7

בסטטיסטיקה למבחן נוסחאות דף

מדדי המרכז:רציף משתנהבדיד משתנה

דוגמא לטבלתשכיחות

שכיחMoביותר הגדולה השכיחות בעל האיבר

= צפיפות

הצפופה הקבוצה היא ביותר השכיחה הקבוצהביותר.

חציוןMd

כמות אם או באוסף האמצעי האיבר האיברים שני בין הממוצע זוגית איברים

האמצעיים.

אמצע בערך כופליםXi במקום – דומה חישובממוצעהקבוצה

אמצעטווחMRדומה חישוב

שלישי רבעון חישובראשון רבעון חישוב

אחוזון לחישוב נוסחא)כללי(:

באחוזון שנמצאX הציון מהC

Cאחוז(5)דוג'- למצוא רוצים אחוזון = איזה

Nהכולל האיברים = מספר

איבר של מצטברת = שכיחות

קודם.

האחוזון. בה הקבוצה של = שכיחות

הקבוצה של עליון = ערך

קבוצה של תחתון = ערך

למציאת כללית נוסחא X ציון שלc)) אחוז

נתון:Xאחוזון מחפשים אנו לו אותו = הציון

לעיל כמצוין פרמטרים שאר

Md=Moסימטרית פעמונית)נורמלית( =Md<Moא-סימטרי שלילי )שמאלי( >>Mo<Mdא-סימטרי חיובי )ימני(

F(x)X51102

7

מדדי פיזור:

(13=15-2) <<< דוגמא טווח

בין טווחרבעוני

Q3 - Q1בינהם ולחסר אחוזון נוסחת לפי והשלישי הראשון הרבעון את למצוא יש

שכיחות בטבלת סדרהבודדות תצפיות סדרת

2,4,5,5,6,9,11,15דוגמא

שונות

תקן סטיית

ל- שווים התקן וסטיית השונות זהים הערכים כל וכאשר (0 או )חיובית שלילית לא תהיה לעולם הערה: שונות0.

והשונות הממוצע על קווי( והשפעתן )שינוי לינאריות טרנספורמציית שינתנו קבועים = מספריםY=bx+a( A;b הבא באופן הנתונים על כלשהוא לינארי שינוי לבצע נרצה לעיתים

בשאלה(להלן השינוי שיתבצע לכל אחד מהמדדים:

פרמטריםבמדד השינויהמדד

החדש = הממוצעהישן, = הממוצעממוצע

חדשה = שונותישנה, = שונותשונות

חדשה תקן סטיית= ישנה, תקן = סטייתתקן סטיית

בחוברת( 44 עמ' נורמלית התפלגות )טבלת יחסי למיקום מדד – תקן ציון

נמדד זה מרחק כאשר ההתפלגות מממוצעX)הערך( התצפית של המרחק את מתאר תקן ציון – הגדרה

התצפיות לכל בהשוואה בודדת תצפית של יחסי מיקום מתאר תקן ציון תקן. כלומר סטיית של ביחידות

ההתפלגויות. של

תקן= ציון

קשר מדדי

Xנקבה(, )זכר = מיןYשחור, שער = צבע(

)ערכים( תצפיות לנתונים מוסיפים כאשר: כלל של הטווח )בתוך בקירבתו או לממוצע ששוות

)כלומר קטן התקן( הפיזור +- סטיית הממוצעקטנה(. התקן סטיית

לזכור: חשובMeanממוצע -

Median –חציון

Modeשכיח -

Std.deviation –תקן סטיית

Varianceשונות -

Rangeטווח -

Percentilesאחוזונים -

7

.RC (, וסימונוcremer) קרמר במדד נשתמש ושמי שמי בין קשר

.RS )מתאם( ספירמן, וסימונו במדד נשתמש וסדר סדר ערך בין קשר למציאת

.RP פירסון במתאם נשתמש כמותיים משתנים שני בין קשר למציאת

מתאם קרמר )שמי(

התוצאה משמעותעזר וחישובי פרמטריםקשר מדד

)שמי( קרמר

אלאXב מדובר לאבחי.

Lמבין ביותר הנמוך = המספר Rו C.R = ROW –בטבלה. השורות מספר

C = COLOMבטבלה. העמודות = מספרO = OBSERVE –בתא בכתוב תצפית, הנתון

שבטבלה.E = EXPECTED –מצורף. החישוב אופן – צפוי

0rc > > 1תמיד:

RC = 1קשר מושלם.

RC =0קשר אין0.7 rc > < 1טוב קשר חזק

0.4rc > <0.7בינוני קשר0rc > <0.4חלש. קשר

Xבצבא, = דרגותY השכלה =

נשתמש? מדד באיזה שונים מסוגים משתנים שני יש כאשראנחנו תמיד נשאף לעבוד עם המשתנה ה"נחות" ביותר.

פירסוןספירמןכמותי, כמותי, סדר

"נחשב" הכי נשתמש–בצבא( )דדרגות = סדרYנקבה( , זכר – )מין = שמיXלדוגמא: אם

נתונה טבלה:(13דוגמא: )עמ' ונשאלת השאלה האם יש קשר בין מינו של אדם לצבע שערו?

0035753109סה"כ002535907נקבה001040402זכרמין/צבעשחורחוםבלונדיניסה"כ

מעתיקים את הנתונים לטבלה חדשה )ע"פ אותם התאים(:

02 = 3O04 = 2O03 = 3E

04 =1O54 = 2E52=1E07 = 6O

59 = 5O06 = 6E53 = 4O09 = 5E

05 = 4E.למציאת הקשר נחשב את מתאם הקשר שנותן לנו את עוצמת הקשר

003=N

L הינו המספר הנמוך ביותר מבין = R ו C.WOR = R זכר ונקבה(2 – מספר השורות בטבלת הנתונים לא כולל את הסה"כ )אצלנו –

MOLOC = C שחור חום בלונדיני(3 = מספר עמודות בטבלת הנתונים )אצלנו – L=2ולכן

בנפרד!!! E צריך לחשב לכל

תזכורת:

EVRESBO = O תצפית, מה – שקיבלנו בפועל במדגם.

DETCEPXE = E צפוי, מה שצפוי – להיות בהנחה שאין קשר בין

הנתונים.

7

ספירמן מתאם

המשתנה לפי גבוה מדורגת תהיה אחד משתנה לפי גבוה במקום שמדורגת תצפית האם נבדוק זה במדד לפי נמוך במקום מדורגת תהיה אחד משתנה לפי גבוה במקום שמדורגת תצפית ולהיפך, האם האחר

האחר. המשתנה

... 1,2,3,4 כדי להתחיל בחישוב נדרג את התצפיות ברצף מספרים

התוצאה משמעותעזר וחישובי פרמטריםקשר מדד

Dהדירוגים. בין = ההפרשNשלגביהן העמודות = כמות

תצפיות. שני משווים

1 < rs < -1 עולה.Y עולהXש ככל – חיובי קשר יורד.Y עולהXש ככל – שלילי קשר

המשתנים. בין מושלם קשר ישR = 1 אםמושלם. הפוך קשר ישR = -1 אם

(5 שאלה 32: )עמוד דוגמא

והדגבאמועמדת שופט דירוג

א123456

שופט דירוגב

462135

D=rx-ry-3-41321

השופטים. שני דירוג בין חלש שלילי קשר יש

אם לשתי תצפיות או יותר יש אותו ערך כיצד נפתור את הבעיה?הערה-

מועמד

יטחזוהדגבא

X10907070704020150100100RX1755532108.58.5

7

: פירסון מתאם

גלידה. קניית לכמות טמפ' בחוץ חיובי-כמו קשרים בין לנוע יכולים הכמותיים )הקשרים וכמותי כמותי בין קשר למציאת) פירסון במדד/מתאם תאונות( נשתמש פחות לו יש מונעת, כך נהיגה שעות יותר מבצע שאדם ככל – שליליים לקשרים

pearsonאו ( וסימונו .

( וגם את כיוון הקשר )חיובי או שלילי(x.yמקדם זה נותן לנו את עוצמת הקשר הלינארי )קווי( בין שני המשתנים )בדומה לספירמן.

התוצאה משמעותעזר וחישובי פרמטריםקשר מדד

Cov (covariance) – משותפת. שונות

1 < rp < -1

.0מ- גדולr, 0מ- גדול– cov(x,y)ה- אם.0ל- שווהr, 0ל- שווה– cov(x,y)ה- אם. 0מ- קטןr, 0מ- - קטןcov(x,y)ה- אם

שמקשרת משוואה נמצאx,y בין טוב קשר קיים הנק'( אם לכל קרוב הכי שעובר הקו – ריגרסיה קו )או ניבוי משוואותביניהם:

שני משוואת ניבוי אפשריות:

פרמטריםX פרמטר לניבויY פרמטר לניבוי לפי ניבוי משוואת

הרצוי המשתנה

הגרף( )שיפועBה- ערךפירסון = מתאם

Y תקן = סטיית

X תקן = סטיית

Y ערכי = ממוצע

X ערכי = ממוצע

ה ציר )חיתוךAה- ערךY)

ניבוי: משוואת בנושא נוספים ערכים3

= לטעות ניבוי אחוז, נכון( - תנבא שהמשוואה )הסיכוי הניבוי אחוז, - הקשר עוצמת

7

הסתברות

תוצאות של מדגם מרחב קיים תוצאותיו, אלא את מראש בוודאות לדעת שאין ניסוי הוא – מקרי ניסויאפשריות.

)אומגה(.Ω באות המקרי. שסימונו הניסוי של האפשריות התוצאות כל של אוסף – מדגם מרחב

אותם(. לסדר אפשר בהם )מצבים תמורות!N בדיוק יש איבריםN לכלל-(1!=0 – )לזכור

A מאורע של : הסתברותהסתברות

P= probability )היתכנות(

משלימה( )קבוצה משלים מאורע

בסטטיסטיקה( לממוצע )מקביל=E(x) – תוחלת

שונות-

- עזר חישוב

התפלגויות: מדדי כל מתלכדים הפעמון של בנק' המרכז גאוס. כאשר סימטרית, פעמון התפלגות – נורמלית התפלגות

)שכיח, המרכז: פרמטרים ע"י מאופיינת נורמלית טווח(. התפלגות ממוצע, חציון, אמצע

.µ באות שנסמנו המשתנה )הממוצע( של התוחלת.1

התקן. סטיית הוא בריבוע סיגמא של השורש , באות שנסמנה המשתנה )הפיזור( של השונות.2

.(N) נורמלית בצורה ( מתפלגx) - המשתנה - ההתפלגות סימון

תקן ציון כל קודם , מחשבים הממוצע אינו שהוא מיקום של אחוז לדעת ורוצים במידה

:.

fiלנקודה שמשמאל השטח )פי( = כל

: המכפלה חוק התוצאות , ומספרN1 הוא הראשון הניסוי של האפשריות התוצאות ומספר ניסוים שני עורכים כאשר

למכפלה שווה הניסויים משני המורכב הניסוי השל האפשריות התוצאות מספר , אזיn2 הוא האפשריותn1*n2.

:דוגמא

זוגי? מספר נקבל קוביה שבהטלת ההסתברות מה

X ש האפשרים הערכים של משוקלל ממוצע – תוחלת זהX של ערך לכל שניתן המשקל לקבל. כאשר יכול

יתרחש. שהוא ההסתברות

:דוגמאקוביה? של התוחלת מה

E(x)=1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6 = 3.5

חשוב: כלל

כשרוצים50% ב מתחילה שהטבלה מכיוון 50%ל מתחת שטח ( שלZ) תקן ציון למצוא של המשלים של התקן ציון את כל קודם נמצא)-( לו ( ונוסיף100% ל ישלים )מה השטח

: &%$..&$%..$&%..$%&..%&$..דוגמא.&$%לסידורם. מצבים6= עצרת3איברים, שלוש

7

: בינומית התפלגות

של לסדר חשיבות אין אנשים, כאשרN בת קבוצה מתוך אנשיםK לבחור ניתן בהן מס' אפשרויות – הקדמה

בקבוצה. האנשים

הערכים את מקבל הוא אםP וN פרמטרים עם בינומית התפלגות בעל נקראX מקרי : משתנההגדרה

0,1,2,3,n

x~b(n,p)ההתפלגות: סימון בהסתברות

Xמתפלג B .בינומית nתלויים. בלתי ניסוים מספרpבודד. בניסיון להצלחה סיכוי

זיהוי: סימני3 יש זו בהתפלגות

תלויים. בלתי ניסויםN סדרת.1

.p-1 בסיכוי וכישלוןP בסיכוי הצלחה יש ניסוי בכל.2

הניסויים.N מתוך ההצלחות מספר את סופר X המקרי המשתנה.3

E(x)=N*P – בבינומי תוחלת

V(x)=N*P*(1-P)=N*P*Qבבינומי- שונות

התפלגות מתפלג לצה"ל המתגייסים החיילים גובה – דוגמא . סימון100 של ושונות ס"מ170 של תוחלת עם נורמלית

רוחב קטנה, כך ששונות ככל. ההתפלגות

גדל. וגובהו קטן הפעמון

: מתמטית בשפה פתרון

מתוך אנשים שני לבחור שלי האפשרות מה – דוגמא

. $%&. )$ שלוש של קבוצה

קבועות: תבניות

דוגמא:

גול שיבקיע ברציפות. ההסתברות פעמים8 לשער בועט שערים. הוא בהבקעת מתאמן כדורגל שחקן

.0.6 היא פעם בכל

X~b(n=8,p=0.6)

שערים?2 שיבקיע ההסתברות מה.1

x=2 , p(x=2)=

הבקעה. קומבינציות28 ל היא הכוונהלכישלון.... ( = הסיכוי0.4)

שערים?8 שיבקיע ההסתברות מה.1

p(x=8)=

?1 שער לפחות שיבקיע ההסתברות מה.2

p(x>1)=

?1 שער היותר לכל שיכניס ההסתברות מה.3

p(x<1)=