Download pdf - βιβλιο μαθηματικών β κατεύθυνσης

1ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

1.1 ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ - ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.3 ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

Η έννοια του Διανύσματος

8 Σίσκας Χρήστος – Φακόπουλος Επαμεινώνδας

1ο

Κεφάλαιο

Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 9

1.1 Η έννοια του Διανύσματος

Διάνυσμα ονομάζουμε κάθε προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα. Δηλαδή κάθε ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα.Το πρώτο άκρο λέγεται αρχή ή σημείοεφαρμογής, ενώ το δεύτερο λέγεται πέραςτου διανύσματος.

Έστω το διάνυσμα ΑΒ

Το Α είναι η αρχή του διανύσματος.

Το Β είναι το τέλος του διανύσματος.

Αρκετές φορές για το συμβολισμό των διανυσμάτων χρησιμοποιούμε τα μικρά γράμματα του ελληνικού ή του

λατινικού αλφαβήτου π.χ. α, β

ή u, v

.

Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος συμπίπτουν, τότε το διάνυσμα καλείται μηδενικό διάνυσμα.

Έτσι λοιπόν το διάνυσμα ΑΑ

που η αρχή συμπίπτει με το τέλος του

είναι μηδενικό διάνυσμα και συμβολίζεται με 0

.

Δηλαδή ΑΑ 0

.

Μέτρο ή μήκος ενός διανύσματος ΑΒ

λέγεται το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ δηλαδή η απόσταση των σημείων Α και Β.

Το μέτρο του ΑΒ

συμβολίζεται με ΑΒ

Αν ΑΒ 1

το ΑΒ

λέγεται μοναδιαίο διάνυσμα

α 0

, δηλαδή το μέτρο είναι μη αρνητικός αριθμός

0 0

α 0 α 0

, δηλαδή το μοναδικό διάνυσμα με μηδενικό μέτρο

είναι το μηδενικό διάνυσμα.

Ορι

σμός

Δια

νύσμ

ατος

Β

ασικ

οί Σ

υμβο

λισ

μοί

Β (πέρας)

Α (πέρας)

ΑΒ

Μηδ

ενικ

ό Δι

άνυσ

μαΜ

έτρο

Διαν

ύσμα

τος



Η ευθεία (ε) πάνω στην οποία κινείται ένα μη μηδενικό διάνυσμα είναι ο φορέας του διανύσματος.

Ως φορέα ενός μηδενικού διανύσματος ΑΑ 0

θεωρούμε οποιαδήποτε ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α

Η ε και κάθε άλλη ευθεία ε / / ε είναι η διεύθυνση του

διανύσματος.

Δύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται παράλληλα ή συγγραμμικά αν έχουν τον ίδιο φορέα ή παράλληλους φορείς. Σε αυτή την περίπτωση, λέμε ότι τα διανύσματα έχουν την ίδια διεύθυνση.

Αν τα ΑΒ, ΓΔ

είναι συγγραμμικά ή παράλληλα

το συμβολίζουμε ΑΒ / /ΓΔ

Δύο μη μηδενικά διανύσματα που είναι συγγραμμικά (ίδια διεύθυνση) και έχουν την ίδια φορά λέγονται ομόρροπα.


είναι ομόρροπα το

συμβολίζουμε ΑΒ ΓΔ

Δύο μη μηδενικά διανύσματα που είναι συγγραμμικά (ίδια διεύθυνση) και έχουν αντίθετη φορά λέγονται αντίρροπα.


είναι αντίρροπα το

συμβολίζουμε ΑΒ ΓΔ

Το μηδενικό διάνυσμα θεωρείται συγγραμμικό, ομόρροπο, αντίρροπο με κάθε διάνυσμα.

Φορ

έας

Διαν

ύσμα

τος

Α

Β (ε)

Α

ΑΑ

Παρ

άλλ

ηλα

ή

Συγ

γραμ

μικά

Δ

ιανύ

σματ

α

Α Β Γ

Δ

Α

Β

ΓΔ

ή

Ομό

ρροπ

αΔι

ανύσ

ματα

ΓΔ

Α Β

Α Β

ΓΔ

ή

Αντ

ίρρο

πα

Διαν

ύσμα

τα Α Β

Α Β

ή

Γ

Δ

Γ

Δ

1ο

Κεφάλαιο


Δύο μη μηδενικά διανύσματα θα λέμε ότι είναι ίσα όταν:

είναι ομόρροπαίσα

έχουν ίσα μέτρα

Συμβολισμός ΑΒ=ΓΔ

Αν ΑΒ=ΓΔ

και έχουν διαφορετικό φορέα τότε το τετράπλευρο ΑΒΔΓ είναι παραλληλόγραμμο

Από το διπλανό σχήμα εύκολα γίνεται αντιληπτό ότι

ΑΓ ΒΔ

ΑΒ ΓΔ ΔΒ ΓΑ

ΒΑ ΔΓ

Μ μέσο του ΑΒ ΑΜ ΜΒ

Δύο μη μηδενικά διανύσματα θα λέμε ότι είναι αντίθετα όταν:

είναι αντίρροπααντίθετα

έχουν ίσα μέτρα

Συμβολισμός ΑΒ ΓΔ

ή ΓΔ ΑΒ

Προφανώς ΑΒ ΒΑ

Έστω δύο μη μηδενικά διανύσματα α, β

. Με

αρχή ένα τυχαίο σημείο Ο παίρνουμε τα

διανύσματα ΟΑ α

, ΟΒ β

. Ονομάζουμε

γωνία των α και β

την κυρτή γωνία ΑΟΒ και

τη συμβολίζουμε με α,β ή β,α

ή αν δεν

προκαλείται σύγχυση με κάποιο μικρό γράμμα.

Ισχύει ότι 0 θ π με θ α,β

Η γωνία δύο διανυσμάτων είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του σημείου Ο.

Ίσα

Δια

νύσμ

ατα

Α Β

ΓΔ

Α Β

ΓΔ

ή

Α

Β

Γ

Δ

Α Β Μ

Αντ

ίθετ

α Δ

ιανύ

σματ

α

Γ

Δ

Α Β

Α Β

ΓΔ

Α Β

Β Α

Γω

νία

δύο

διαν

υσμά

των α

β

β

Α

Β

α

Ο

θ



α β α,β 0

α β α,β π

Δύο διανύσματα α, β

είναι κάθετα ή

ορθογώνια αν πα,β

2

Συμβολισμός α β

Αν ένα από τα α, β

είναι το μηδενικό διάνυσμα τότε ως γωνία των

α, β

θεωρούμε οποιαδήποτε γωνία θ με 0 θ π . Γι’ αυτό και το

μηδενικό διάνυσμα μπορούμε να θεωρήσουμε ότι είναι ομόρροπο, αντίρροπο, κάθετο σε κάθε άλλο διάνυσμα.

Γω

νία

δύο

διαν

υσμά

των

α

β

α

β

α

β

1ο

Κεφάλαιο


ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ – ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Λύση

Αρκεί να δείξουμε ότι ΔΑ ΑΕ

Έχουμε:

ΒΔ ΓΑ

οπότε ΑΓΒΔ παρ/μο άρα ΔΑ ΒΓ

1

ΓΕ ΒΑ

οπότε ΑΕΓΒ παρ/μο άρα ΑΕ ΒΓ

2

Από τις 1 και 2 έχουμε ότι: ΔΑ ΑΕ

Λύση

Αν ΑΒ ΓΔ

, τότε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ είναι ίσα και παράλληλα. Έτσι το τετράπλευρο ΑΒΔΓ είναι παραλληλόγραμμο, οπότε οι διαγώνιοίτου διχοτομούνται. Άρα, τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΔ και ΒΓ έχουν κοινό μέσο.

Αν τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΔ και ΒΓ έχουν κοινό μέσο, τότε το τετράπλευρο ΑΒΔΓ είναι

παραλληλόγραμμο, οπότε ΑΒ ΓΔ

Λύσηα) Αφού ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο θα ισχύει ότι:

ΑΒ ΔΓ

ΑΓ και ΒΔ κοινό μέσο 1

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε ώστε ΒΔ=ΓΑ

και ΓΕ=ΒΑ

. Να αποδείξετε ότι το Α είναι μέσον του ΔΕ.

Παράδειγμα 1

ΑΓ ΒΔΑν ΑΒ ΓΔ τότε

ΔΒ ΓΑ

Α

Γ Β

Ε Δ

Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και το παραλληλόγραμμο ΑΕΓΖ, να δείξετε ότι:

α) ΔΖ=ΕΒ

β) ΔΕ=ΖΒ


Δίνονται τα διανύσματα ΑΒ και ΓΔ

που έχουν διαφορετικούς φορείς. Να

αποδείξετε ότι ΑΒ ΓΔ

αν και μόνο αν τα τμήματα ΑΔ και ΒΓ έχουν κοινό μέσο.


Ε

Ο

Α

Δ

Β

Γ



Αφού ΑΕΓΖ παραλληλόγραμμο θα ισχύει ότι:

ΑΕ ΓΖ

ΑΓ και ΖΕ κοινό μέσο 2

β) Από τις 1 και 2 συμπεραίνουμε ότι οι ΒΔ και

ΖΕ έχουν κοινό μέσο άρα ΔΖ ΕΒ

οπότε θα είναι

και ΔΕ ΖΒ

Λύση

Τα τρίγωνα ΑΔΕ

και ΒΖΓ

είναι ίσα γιατί α) είναι ορθογώνια β) ΑΔ ΒΓ και

γ) Δ Α Ε Β Γ Ζ (ως εντός εναλλάξ)Από την ισότητα των τριγώνων έχουμε ότι ΔΕ ΒΖ . Άρα ΔΕ// ΒΖ απ’ όπου προκύπτει ότι

το τετράπλευρο ΔΕΒΖ είναι παραλληλόγραμμο.

Τελικά λοιπόν ΔΖ ΒΕ

Α

Δ

Β

Γ

Ζ

Ε

Για να δείξουμε ότι δύο

διανύσματα ΚΛ

και ΜΝ

είναι ίσα αρκεί να δείξουμε ότι τα τμήματα ΚΝ και ΛΜ έχουν κοινό μέσο.

Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές των Δ και

Β αντίστοιχα στη διαγώνιο ΑΓ, να αποδειχθεί ότι τα διανύσματα ΔΖ

και ΒΕ

είναι αντίθετα.


Ε

Ζ

Α

Δ

Β

Γ

1ο

Κεφάλαιο


ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ

1) Δίνονται τρία μη συνευθειακά σημεία Α, Β και Γ. Αν Δ και Ε είναι σημεία

που ορίζονται από τις ισότητες ΑΔ ΒΓ

και ΒΕ ΑΓ

, να αποδείξετε ότι:

α) ΔΓ ΓΕ

β) Το Γ είναι μέσο του ΔΕ

2) Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ, Δ και Ε. Αν ισχύουν οι ισότητες ΒΔ ΓΕ

και

ΑΓ ΕΒ

, να αποδείξετε ότι το σημείο Ε είναι μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΔΑ.

3) Στα παρακάτω σχήματα να σημειώσετε τη γωνία των διανυσμάτων α

και

β

4) Το διπλανό σχήμα είναι ισοσκελές τραπέζιο. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ).

α) ΑΒ ΓΔ

β) ΑΔ ΓΒ

γ) ΑΔ ΓΒ

δ) ΑΔ ΒΓ

5) Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ το ύψος του. Να βρείτε τις γωνίες:

α) ΒΑ,ΒΓ

β) ΑΒ,ΓΑ

γ) ΒΓ,ΔΑ

δ) ΒΑ,ΑΔ

α

β

α

β

α

β

Α Β

ΓΔ



1ο

Κεφάλαιο


1.2 Πρόσθεση – Αφαίρεση Διανυσμάτων

Έστω δύο διανύσματα α

, β

. Με αρχή ένα

τυχαίο σημείο Ο παίρνουμε διάνυσμα ΟΑ α

και στη συνέχεια με αρχή το σημείο Α

παίρνουμε διάνυσμα ΑΒ β

. Το διάνυσμα ΟΒ

λέγεται άθροισμα ή συνισταμένη των

διανυσμάτων α

και β

και συμβολίζεται με

α β

.

Άρα έχουμε ότι Α ΑΟ Β ΟΒ

α) Για να προσθέσουμε δύο διανύσματα λοιπόν πρέπει να τακαταστήσουμε διαδοχικά.

β) Αν προσθέσουμε δύο διανύσματα τότε προκύπτει ένα διάνυσμα που έχει αρχή την αρχή του πρώτου διανύσματος και πέρας το πέρας του δεύτερου διανύσματος.

γ) Με το ίδιο τρόπο που προσθέτουμε δύο διανύσματα μπορούμε να προσθέσουμε και περισσότερα.

ΒΔΟΒ

ΟΑ ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΔΖ ΟΒ ΒΔ ΔΖ ΟΖ

δ) Το άθροισμα α β

είναι ανεξάρτητο από την επιλογή του σημείου Ο

1. α β β α

(Αντιμεταθετική Ιδιότητα)

2. α β γ α β γ

(Προσεταιριστική Ιδιότητα)

3. α 0 α

( 0

το ουδέτερο στοιχείο στην πρόσθεση)

4. α α 0

(α, α

είναι αντίθετα διανύσματα)

Πρό

σθεσ

ηΔι

ανυσ

μάτω

ν

α

β

α β

α β

Ο

Α

Β

Ιδιό

τητε

ς Π

ρόσθ

εσης

Διαν

υσμά

των

Ο

Α Β

Γ

Δ

Ζ

Πρόσθεση – Αφαίρεση Διανυσμάτων

18 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

Ορίζουμε ως διαφορά του β

από το α

και το

συμβολίζουμε με α β

το άθροισμα των

διανυσμάτων α

και β

. Για να αφαιρέσουμε

λοιπόν δύο διανύσματα, ουσιαστικά προσθέτουμε στο ένα το αντίθετο του άλλου.

Δηλαδή α β α β

Η εξίσωση β x α

έχει μοναδική λύση το διάνυσμα x α β

Δηλαδή β x α x α β

Από το παραλληλόγραμμο του διπλανού σχήματος και θεωρώντας ότι

ΑΒ α

, ΑΔ β

είναι φανερό ότι

ΑΓ α β

καθώς και ΒΔ α β

Έστω Ο ένα σταθερό σημείο του επιπέδου. Τότε για κάθε σημείο Μ το

διάνυσμα ΟΜ

καλείται διάνυσμα θέσεως ή διανυσματική ακτίνα του σημείου Μ.

Το σημείο Ο που είναι η κοινή αρχή όλων των διανυσματικών ακτινών καλείται σημείο αναφοράς.

Κάθε διάνυσμα ισούται με την διανυσματική ακτίνα του πέρατος μείον τη διανυσματική ακτίνα της αρχής.

Απόδειξη

Θεωρούμε Ο σημείο αναφοράς του επιπέδου

καθώς και ένα τυχαίο διάνυσμα ΑΒ

Από το διπλανό σχήμα είναι φανερό ότι

ΑΒ ΑΟ ΟΒ ΑΒ ΟΑ ΟΒ

ΑΒ ΟΒ ΟΑ

Δηλαδή ΟΑΒ Β ΟΑ

Προσθέτουμε διανύσματα αν αυτά είναι διαδοχικά σύμφωνα με τη

σχέση: Α ΑΟ Β ΟΒ

Αφαιρούμε διανύσματα αν αυτά έχουν κοινή αρχή σύμφωνα με τη

σχέση: Β ΑΟ Ο ΑΒ

Αφ

αίρε

σηΔι

ανυσ

μάτω

να

β

-β

α

-β

α β

Διάν

υσμα

Θέσ

εως

β

α

Α Β

ΓΔ

β

α

Α

Ο Β

Χρή

σιμο

ι Κ

ανόν

ες

1ο

Κεφάλαιο


Έστω δύο τυχαία διανύσματα α

, β

και το

άθροισμά τους α β

.

Εφαρμόζοντας την τριγωνική ανισότητα στο διπλανό τρίγωνο προκύπτει ότι

α β α β α β

Θα ισχύει ότι

α β α β α β

α β α β α β

Μέτ

ρο Α

θροί

σματ

οςΔι

ανυσ

μάτω

να β

α β

α

β

α β

β

α

α β




Λύση

α) Αρχικά ονομάζουμε τις κορυφές του σχήματος για να δουλέψουμε πιο άνετα

Έτσι λοιπόν έχουμε:

x OX

, α ΧΑ

, β ΒΑ

, γ ΒΓ

, δ ΔΓ

, ε ΔΧ

Οπότε: x OX OΔ ΔΓ ΓΒ ΒΑ ΑΧ

-ε δ - γ β- α

β) Όπως λειτουργήσαμε στο α) ερώτημα έχουμε:

x OX

, α ΑΟ

, β ΑΒ

, γ ΧΒ

Οπότε: x OX OΑ ΑΒ ΒΧ

-α β- γ

Λύση

Σε ένα κανονικό εξάγωνο το μήκος της πλευράς του ισούται με την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

Οπότε τα ΑΒΓΟ, ΒΓΔΟ είναι ρόμβοι δηλαδή ΑΟ ΟΔ β

και έχουμε:

ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΑΔ α+β+x=β+β x=β-α

Στα παρακάτω σχήματα να εκφράσετε το διάνυσμα x

σαν συνάρτηση των άλλων διανυσμάτων που δίνονται:


α) γ

αβ

ε

δ

x

α

β

γ

xβ)

αβ δ

γ

ε

x Ο

Χ

Α

ΒΓ

Δ

α

β

γ

x Ο

Χ

ΑΒ

Δίνεται κανονικό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ. Αν ΑΒ α

και ΒΓ β

να εκφράσετε το

διάνυσμα ΓΔ

ως συνάρτηση των α, β


ΕΖ

β

x

Α

Β Γ

Δα

1ο

Κεφάλαιο


Λύση

1ος τρόπος

Θεωρούμε ότι η δοθείσα διανυσματική ισότητα ισχύει

ΑΚ ΒΛ ΓΜ ΑΜ ΒΚ ΓΛ

ΑΚ ΒΛ ΓΜ ΑΜ ΒΚ ΓΛ 0

ΑΚ ΑΜ ΒΛ ΒΚ

ΓΜ ΓΛ 0

ΜΚ ΚΛ ΛΜ 0

ΜΜ 0

0 0 Προφανώς ισχύει

Απόδειξη – Μετασχηματισμός ισότητας με διανύσματα

1ος τρόπος

Προσπαθούμε να εντοπίσουμε στη δοθείσα ισότητα διανύσματαπου είναι διαδοχικά και αντικαθιστούμε το άθροισμά τους με βάση την ισότητα

ΑΒ ΒΓ ΑΓ

Προσπαθούμε να εντοπίσουμε στη δοθείσα ισότητα διανύσματαπου έχουν κοινή αρχή και αντικαθιστούμε τη διαφορά τους με βάση την ισότητα

ΑΒ ΑΓ ΓΒ

2ος τρόποςΘεωρούμε σημείο αναφοράς κάποιο από τα άκρα των διανυσμάτων που υπάρχουν στη δοθείσα ισότητα (συνήθως αυτό που εμφανίζεται τις περισσότερες φορές) ή κάποιο άλλο τυχαίο σημείο και εκφράζουμε κάθε διάνυσμα της ισότητας με αρχή το σημείο αναφοράς βάση της ισότητας:

ΑΒ ΛΒ ΛΑ

(σημείο αναφοράς το Λ)

Έστω τα σημεία Α, Β, Γ, Κ, Λ, Μ. Να αποδείξετε ότι:

ΑΚ+ΒΛ+ΓΜ ΑΜ+ΒΚ+ΓΛ




2ος τρόπος

Έστω σημείο αναφοράς το Α.

Θεωρούμε επίσης ότι η δοθείσα διανυσματική σχέση και γράφουμε όλα τα διανύσματα με αρχή το σημείο αναφοράς Α


ΑΚ ΒΛ ΓΜ ΑΜ ΒΚ ΓΛ

ΑΚ

ΑΛ

ΑΒ

ΑΜ

ΑΓ

ΑΜ

ΑΚ

ΑΒ

ΑΛ

ΑΓ

0 0 Προφανώς ισχύει

Λύση

1ος τρόπος

ΜΓ ΒΔ ΓΕ ΔΖ ΕΑ ΖΒ 0

ΜΓ ΓΕ ΒΔ ΔΖ ΕΑ ΖΒ 0

ΜΕ ΒΖ ΕΑ ΖΒ 0

ΜΕ ΕΑ ΒΖ

ΒΖ

0

ΜΑ 0 και αποδείχτηκε το ζητούμενο

2ος τρόπος

Έστω σημείο αναφοράς το Α

ΜΓ ΒΔ ΓΕ ΔΖ ΕΑ ΖΒ 0

ΑΓ

ΑΜ ΑΔ

ΑΒ

ΑΕ

ΑΓ

ΑΖ

ΑΔ

ΑΕ

ΑΒ

ΑΖ

0

ΑΜ 0

ΜΑ 0 και αποδείχτηκε το ζητούμενο

Για να δείξουμε ότι δύο σημεία Α και Β ταυτίζονται αρκεί να δείξουμε ότι

ΑΒ 0

Έστω τα σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Μ για τα οποία ισχύει ότι

ΜΓ+ΒΔ+ΓΕ+ΔΖ+ΕΑ+ΖΒ 0

Να αποδείξετε ότι το σημείο Μ ταυτίζεται με το σημείο Α


1ο

Κεφάλαιο


Λύση

Για να δείξουμε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο αρκεί να

δείξουμε ότι ΑΒ// ΓΔ ή αλλιώς αρκεί να δείξουμε ότι ΑΒ ΔΓ

.

Ξεκινάμε από τη δοθείσα διανυσματική σχέση όπου παρατηρούμε ότι όλα τα διανύσματα που υπάρχουν έχουν κοινή αρχή άρα μπορούμε να τα αφαιρέσουμε. Για αυτό το λόγο αλλάζουμε με κατάλληλο τρόπο μέρος στα διανύσματα.


ΟΑ ΟΓ ΟΒ ΟΔ

ΟΓ ΟΔ ΟΒ ΟΑ

ΔΓ ΑΒ και αποδείχτηκε το ζητούμενο

Λύση

Έστω

α κβ γ

α κ β 2κ2 3

γ 3κ

με *κ

α)Ισχύει ότι α β γ 0 α β γ α β γ α β γ α β 3κ

(1)

Όμως 1

α β κ+2κ α β 3κ α β α β α β

β)Ισχύει ότι α β γ 0 β γ α β γ α β γ α β γ κ

(2)

Όμως 2

β γ 2κ-3κ β γ κ β γ β γ β γ

Δίνονται τα διαφορετικά μεταξύ τους σημεία Α, Β, Γ και Δ, τα οποία δεν

είναι συνευθειακά. Αν ΟΑ+ΟΓ=ΟΒ+ΟΔ , όπου Ο τυχαίο σημείο του

επιπέδου, να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο.


Αν για τα μη μηδενικά διανύσματα α, β, γ ισχύει ότι

α β γ 0 και

β γα

2 3να αποδείξετε ότι α)

α β β)

β γ





1) Στις παρακάτω περιπτώσεις να εκφράσετε το διάνυσμα x

ως συνάρτηση των διανυσμάτων που σημειώνονται στα σχήματα:

2) Στο διπλανό σχήμα το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες:

α) ΑΒ ΑΔ ..........

β) ΑΒ ΑΔ ..........

γ) ΑΒ ΓΔ ..........

δ) ΟΑ ΟΓ ..........

ε) ΔΟ .......... ΔΓ

στ) ΑΒ .......... ΔΒ

3) Έστω τα σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε. Να αποδείξετε ότι:

ΑΕ ΒΑ ΒΓ ΕΔ ΔΓ

4) Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ, Δ και Ζ του χώρου, για τα οποία ισχύει ότι

ΑΓ ΔΕ ΔΓ ΒΕ

. Να αποδειχθεί ότι τα σημεία Α και Β συμπίπτουν.

5) Έστω το τετράπλευρο ΑΒΓΔ και το σημείο Ο για το οποίο ισχύει

ΑΓ ΒΟ ΒΔ ΓΔ

. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Ο, Α συμπίπτουν.

6) Έστω το τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Μ μέσον του ΑΒ. Να αποδείξετε ότι:

ΜΓ ΜΔ ΑΓ ΔΒ

α

β

α

β

α

β

x

x

δ γ

x

γ

δ

ε

Ο

Α Β

ΓΔ

1ο

Κεφάλαιο


7) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τυχαίο σημείο Ρ της πλευράς ΒΓ. Ορίζουμε το

σημείο Μ από τη σχέση ΡΜ ΑΡ ΡΒ ΡΓ

. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΜΓ είναι παραλληλόγραμμο.

8) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Ρ τυχαίο σημείο του επιπέδου. Να αποδείξετε ότι το

διάνυσμα f Ρ 2ΡΑ 5ΡΒ 3ΡΓ

είναι ανεξάρτητο από τη θέση του

σημείου Ρ, δηλαδή σταθερό.



1ο

Κεφάλαιο


1.3 Πολλαπλασιασμός Αριθμού με Διάνυσμα

Έστω λ ένας πραγματικός αριθμός με λ 0 και

α

ένα μη μηδενικό διάνυσμα. Ονομάζουμε

γινόμενο του λ με το α

και το συμβολίζουμε

με λ α

ή λα

ένα διάνυσμα το οποίο:

• Είναι ομόρροπο του α

, αν λ 0 και α-

ντίρροπο του α

, αν λ 0 .

• Έχει μέτρο

λα λ α

Σημείωση

• Αν λ 0 ή α 0 τότε ορίζουμε

λα 0

• Όταν γράφουμε

α

λεννοούμε

1α

λ

λ λβ α λα β

λ μ λα μα α με λ,μℝ

μ αλ λ μα

Ως συνέπεια του ορισμού του γινομένου αριθμού με διάνυσμα και των παραπάνω ιδιοτήτων έχουμε τις παρακάτω ιδιότητες:

λ λ 0α 0 ή α 0

α αλ λαλ

λ λβ α λα β με λ,μℝ

λ μ λα μα α

Αν

λα λβ και λ 0 τότε α β

Αν

λα μα και α 0 τότε λ μ

Ορι

σμός

Π

ολλ

απλ

ασια

σμού

Α

ριθμ

ού μ

ε Δ

ιάνυ

σμα

α

2α

2α

Ιδιό

τητε

ς

Πολ

λαπ

λασ

ιασμ

ού

Αρι

θμού

με

Διά

νυσμ

α

Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα


Αν α

,β δύο διανύσματα, ορίζουμε ως γραμμικό συνδυασμό τους,

κάθε διάνυσμαu της μορφής

u κα λβ όπου κ, λ .

Ανάλογα ορίζεται και ο γραμμικός συνδυασμός τριών ή περισσότερων διανυσμάτων.

Για παράδειγμα το διάνυσμα u 5α 3β είναι γραμμικός συνδυα-

σμός των διανυσμάτων α

,β ενώ το διάνυσμα

v 2α β 3γ είναι

γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων α

,β ,

γ .

Αν α

, β

είναι δύο διανύσματα με β 0

τότε ισχύει

α / /β α λ β

, λℝ

ΑπόδειξηΟρθό

Έστω α λβ και

β 0

Από τον ορισμό του γινομένου πραγματικού αριθμού με διάνυσμα

έχουμε α / /β .

Αντίστροφο

Έστω α / /β και

β 0 . Θέτουμε

α

κβ

, οπότε α κ β

Συνεπώς

Αν α β , τότε

α κβ (είναι: λ κ )

Αν α β , τότε

α κβ (είναι: λ κ )

Αν α 0 , τότε

α 0 β (είναι: λ 0

Σε κάθε περίπτωση υπάρχει λ και μάλιστα μοναδικός τέτοιος

ώστε α λβ

Αν ΑΒ

τυχαίο διάνυσμα και Ο ένα σημείο αναφοράς ισχύει ότι:

Μ μέσο του ΑΒΟΑ ΟΒ

ΟΜ2

Απόδειξη

Μ μέσο του ΑΒ ΑΜ ΜΒ

ΟΜ ΟΑ ΟΒ ΟΜ

2ΟΜ ΟΑ ΟΒ

ΟΑ ΟΒΟΜ

2

Γρα

μμικ

ός Σ

υνδυ

ασμό

ςΔι

ανυσ

μάτω

νΣ

υνθή

κη Π

αραλ

ληλ

ίας

Διαν

υσμά

των

Διαν

υσμα

τική

Ακτ

ίνα

Μέσ

ου Τ

μήμα

τος

Ο

Α

Μ

Β

1ο

Κεφάλαιο



Λύση

α) 2ΑΜ 3ΒΝ 2ΑΝ 5ΝΜ 3ΒΜ

2ΑΜ 3ΒΝ 2ΑΝ 5ΝΜ 3ΒΜ 0

2 ΑΜ ΑΝ 3 ΒΜ ΒΝ 5ΝΜ 0

2ΝΜ 3ΝΜ 5ΝΜ 0

5ΝΜ 5ΝΜ 0

0 0

β) Ας είναι Α σημείο αναφοράς

3ΑΜ ΒΝ 2ΓΝ 3ΑΝ ΒΜ 2ΓΜ

3ΑΜ ΑΝ ΑΒ 2 ΑΝ ΑΓ 3ΑΝ ΑΜ ΑΒ 2 ΑΜ ΑΓ

3ΑΜ ΑΝ ΑΒ 2ΑΝ 2ΑΓ 3ΑΝ ΑΜ ΑΒ 2ΑΜ 2ΑΓ

3ΑΜ 3ΑΝ ΑΒ 2ΑΓ 3ΑΝ 3ΑΜ ΑΒ 2ΑΓ

0 0

Λύση

1ος τρόπος

Είναι 11ΜΒ 5ΜΑ 6ΜΓ 6ΜΒ 5ΜΒ 5ΜΑ 6ΜΓ

6ΜΒ 6ΜΓ 5ΜΑ 5ΜΒ

6 ΜΒ ΜΓ 5 ΜΑ ΜΒ

6ΓΒ 5ΒΑ 6ΒΓ 5ΑΒ 6ΒΓ 5ΑΒ

που ισχύει από υπόθεση

α) Να δείξετε ότι 2ΑΜ 3ΒΝ 2ΑΝ 5ΝΜ 3ΒΜ

β) Να δείξετε ότι 3ΑΜ ΒΝ 2ΓΝ 3ΑΝ ΒΜ 2ΓΜ


Αν 5ΑΒ 6ΒΓ

να δείξετε ότι 11ΜΒ 5ΜΑ 6ΜΓ


Διανυσματικές Σχέσεις

Για να αποδείξουμε μια διανυσματική ισότητα είτε μεταφέρουμε όλα τα διανύσματα στο ένα μέλος και κάνουμε τιςπροσθέσεις και τις α-φαιρέσεις, είτε θεωρού-με ένα σημείο ως σημείο αναφοράς.



2ος τρόπος

Ξεκινάμε από τη σχέση που ισχύει θεωρώντας ως σημείο αναφοράς το Μ γιατί στη σχέση που θέλουμε να καταλήξουμε υπάρχει το Μ. Έτσι λοιπόν έχουμε:

5ΑΒ 6ΒΓ 5 ΜΒ ΜΑ 6 ΜΓ ΜΒ

5ΜΒ 5ΜΑ 6ΜΓ 6ΜΒ

5ΜΒ 6ΜΒ 6ΜΓ 5ΜΑ

11ΜΒ 5ΜΑ 6ΜΓ

Λύση

1ος τρόπος

Ας είναι Α σημείο αναφοράς

ΔB ΓΕ ΔΓ ΑΕ

ΑB ΑΔ ΑΕ ΑΓ ΑΓ ΑΔ ΑΕ

ΑB ΑΔ ΑΕ ΑΓ ΑΓ ΑΔ ΑΕ

ΑB 0

άρα Α Β

2ος τρόπος

ΔB ΓΕ ΔΓ ΑΕ ΔB ΔΓ ΓΕ ΑΕ

ΓB ΓΕ ΕΑ ΓB ΓΑ

άρα Α Β

Λύση

Δίνονται τα μη συνευθειακά σημεία Α, Β, Γ και ένα τυχαίο σημείο Μ .

Να δείξετε ότι το διάνυσμα u 2ΜA+3ΜB 5ΜΓ

είναι σταθερό.


Αν ΔB ΓΕ ΔΓ ΑΕ

να δείξετε ότι τα σημεία Α και Β ταυτίζονται.


Σημεία που ταυτίζονται

Για να δείξουμε ότι δύο σημεία Α και Β ταυτίζο-νται αρκεί να δείξουμε ότι:

α) ΑB 0

ή

β) ΟΑ ΟΒ

με Ο σημείο αναφοράς

1ο

Κεφάλαιο


1ος τρόπος

Ας είναι Α σημείο αναφοράς

u 2ΜA+3ΜB 5ΜΓ

2AΜ+3 ΑB ΑΜ 5 ΑΓ ΑΜ

2AΜ+3ΑB 3ΑΜ 5ΑΓ 5ΑΜ

3ΑB 5ΑΓ

άρα u

σταθερό

2ος τρόπος

u 2ΜA+3ΜB 5ΜΓ

2ΜA+3ΜB 3ΜΓ 2ΜΓ

2 ΜA ΜΓ +3 ΜB ΜΓ

2ΓA 3ΓB

άρα u

σταθερό

Λύση

Δίνονται τα σημεία Ο, Μ, Α, Β, Γ για τα οποία ισχύει ότι

ΟA+3ΜΑ 2ΜΟ ΜΓ 3ΟΒ

α) Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακάβ) Να βρείτε τη σχετική θέση των Α, Β, Γ.


Α

Β

Γ

u

Σταθερό Διάνυσμα

Αν θέλουμε να αποδείξουμε

ότι ένα διάνυσμα u

που είναι

εκφρασμένο συναρτήσει δια-νυσμάτων που το ένα άκρο τους είναι μεταβλητό τότε αρκεί να δείξουμε ότι η δο-σμένη σχέση είναι ανεξάρτητη του μεταβλητού σημείου. Αυτό το επιτυγχάνουμε:

α) Θεωρώντας σημείο αναφο-ράς ένα από τα σταθερά ση-μεία και κατόπιν με προφα-νείς πράξεις απαλλασσόμα-στε από το μεταβλητό ση-μείο

β) Είτε κάνοντας εξαρχής προ-φανείς διανυσματικές πρά-ξεις στη δοσμένη διανυσμα-τική ισότητα.

Μπορεί να φανεί περίεργο ότι καταλήξα-με σε «διαφορετικά» διανύσματα. Ουσι-αστικά όμως καταλήξαμε στο ίδιο διανύ-σμα αλλά σε διαφορετικές μορφές αυ-τού.Αν θέλετε δείξτε ότι

3ΑB 5ΑΓ 2ΓΑ 3ΓΒ



α) Αρκεί να δείξουμε ότι ΑΒ / /ΑΓ

Ας είναι Α σημείο αναφοράς οπότε από τη δοθείσα διανυσματική σχέση έχουμε:

ΟA 3ΜΑ 2ΜΟ ΜΓ 3ΟΒ

ΑΟ 3ΑΜ 2 ΑΟ ΑΜ ΑΓ ΑΜ 3 ΑΒ ΑΟ

ΑΟ 3ΑΜ 2ΑΟ 2ΑΜ ΑΓ ΑΜ 3ΑΒ 3ΑΟ

ΑΟ

3ΑΜ

ΑΟ

3ΑΜ

ΑΓ 3ΑΒ

0 ΑΓ 3ΑΒ

ΑΓ 3ΑΒ

άρα ΑΒ / /ΑΓ

β) Αφού ΑΓ 3ΑΒ

συμπεραίνουμε ότι τα διανύσματα

ΑΓ

και ΑΒ

είναι αντίρροπα άρα τα σημεία Β, Γ είναι

εκατέρωθεν του σημείου Α όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα

ΛύσηΑς είναι Α σημείο αναφοράς

ΜΑ ΜΒ 2ΑΓ 0 ΑΜ ΑΒ ΑΜ 2ΑΓ 0

2ΑΜ ΑΒ 2ΑΓ 0

2ΑΜ ΑΒ 2ΑΓ

1ΑΜ ΑΒ ΑΓ

2

Άρα το σημείο Μ προσδιορίζεται

Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ. Να βρείτε σημείο Μ τέτοιο ώστε:

ΜΑ ΜΒ 2ΑΓ 0


Συνευθειακά Σημεία

Για να δείξουμε ότι τρία σημεία Α, Β, Γ είναι συ-νευθειακά αρκεί να δεί-ξουμε ότι δύο από τα

διανύσματα ΑB

, ΑΓ

, ΒΓ

είναι συνευθειακά.

Δηλαδή αρκεί να δείξου-με ότι

ΑB / /ΑΓ

δηλ. ΑB λΑΓ

ΑB / /ΒΓ

δηλ. ΑB λΒΓ

ΑΓ / /ΒΓ

δηλ. ΑΓ λΒΓ

Για να δείξουμε μια από τις παραπάνω σχέσεις μπορούμε να χρησιμοποι-ήσουμε σημείο αναφοράς.

Α ΒΓ

Α Β

Γ Μ

1ΑΒ

2

Εύρεση Σημείου

Για να προσδιορίσουμε τη θέση ενός σημείου που ικανοποιεί μια δια-νυσματική ισότητα προ-σπαθούμε να εκφρά-σουμε ένα διάνυσμα με αρχή γνωστό σημείο ως γραμμικό συνδυασμό γνωστών διανυσμάτων.

1ο

Κεφάλαιο


Λύση

Ας είναι ΑΒ α

και ΒΓ β ΑΔ

Αρκεί να δείξουμε ότι ΜΝ/ /ΜΔ

Είναι 1

ΑΜ ΑΒ6

1

ΑΜ α6

(1)

Ακόμη 1 1 1ΑΝ ΑΓ ΑΝ ΑΒ ΒΓ ΑΝ α β

7 7 7

1 1ΑΝ α β

7 7

(2)

1

2

1 1 1 1 1ΜΝ ΑΝ ΑΜ α β α α β

7 7 6 42 7

1

ΑΔ=ΒΓ

1 1ΜΔ ΑΔ ΑΜ ΒΓ α β α

6 6

Έτσι λοιπόν έχουμε

1 1ΜΝ α β

42ΜΝ α 6β42 7 42ΜΝ 6ΜΔ ΜΔ 7ΜΝ1 6ΜΔ α 6βΜΔ α β6

Άρα ΜΔ / /ΜΝ

(και μάλιστα ΜΔ ΜΝ

)

Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, Μ ένα σημείο που ανήκει στην ΑΒ και Ν ένα σημείο που ανήκει στην ΑΓ τέτοια ώστε να ισχύουν

1ΑΜ ΑΒ

6

και

1ΑΝ ΑΓ

7

Να δείξετε ότι τα σημεία Δ, Μ, Ν είναι συνευθειακά


Βασικά ΔιανύσματαΣχήματος

Όταν έχουμε ένα σχήμα τότε ονομάζουμε τα δια-νύσματα

ΑB α

και ΑΓ β

και εκφράζουμε οποιο-δήποτε άλλο διάνυσμα του σχήματος ως γραμ-μικό συνδυασμό των

α,

β

.

Α

Δ Γ

ΒΜ

Ν

Με πράξεις προσπα-θούμε να δημιουργή-σουμε τα ίδια δεύτε-ρα μέλη.



Λύση

Είναι

ΙΖ ΙΑ ΑΖ

ΕΘ ΕΒ ΒΘ ΙΖ ΕΘ ΗΔ ΙΑ ΑΖ ΕΒ ΒΘ ΗΓ ΓΔ

ΗΔ ΗΓ ΓΔ

(1)

Όμως από το σχήμα έχουμε ΙΑ ΒΘ

(2) και ΑΖ ΓΗ

(3) και ΕΒ ΔΓ

(4)

Έτσι λοιπόν η (1) με τη βοήθεια των (2), (3), (4) γίνεται:

ΙΖ ΕΘ ΗΔ ΘΒ ΓΗ ΔΓ ΒΘ ΗΓ ΓΔ

ΙΖ ΕΘ ΗΔ ΘΘ ΓΓ ΔΔ

ΙΖ ΕΘ ΗΔ 0

άρα τα ΙΖ, ΕΘ, ΗΔ

σχηματίζουν τρίγωνο

Λύση

Αφού Μ μέσο ΒΓ είναι ΒΓ 2ΒΜ 2ΜΓ

Άρα ΒΓ ΒΑ ΑΓ 2ΜΓ ΒΑ ΑΓ

2ΜΓ ΜΔ ΜΕ

ΜΔ ΜΕΜΓ

2

Άρα Γ μέσο του ΔΕ με Μ σημείο αναφοράς

Με βάσεις τις πλευρές τριγώνου ΑΒΓ κατασκευάζουμε εξωτερικά τα πα-

ραλληλόγραμμα ΒΓΔΕ, ΓΑΖΗ και ΑΒΘΙ. Να δείξετε ότι τα διανύσματα ΙΖ

,

ΕΘ

και ΗΔ

σχηματίζουν τρίγωνο.


Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Μ μέσο της πλευράς ΒΓ. Γράφουμε τα διανύσματα

ΜΔ ΒΑ

και ΜΕ ΑΓ

. Να δείξετε ότι το Γ είναι μέσο του ΔΕ.


Διανύσματα ορίζουν τρίγωνο

Για να δείξουμε ότι τρία διανύσματα ορίζουν τρίγωνο αρκεί να δεί-ξουμε ότι το άθροισμά τους είναι το μηδενικό διάνυσμα.

Ι

Α

Ζ Η

ΓΔ

ΕΘΒ

Β

ΔΑ

Μ Γ

Ε

1ο

Κεφάλαιο


Λύση

Υπολογίζουμε το διάνυσμα ΜΝ

με δύο τρόπους

Από πάνω: ΜΝ ΜΑ ΑΒ ΒΝ

(1)

Από κάτω: ΜΝ ΜΔ ΔΓ ΓΝ

(2)

Με πρόσθεση κατά μέλη των (1) και (2) έχουμε:

2ΜΝ ΜΑ ΑΒ ΒΝ ΜΔ ΔΓ ΓΝ

Μ μέσο ΑΔ ΑΜ Μ

Ν μέσο ΒΓ Ν ΝΓ

Δ

Β2ΜΝ ΜΑ ΑΒ ΝΓ ΑΜ ΔΓ ΓΝ

2ΜΝ ΑΜ ΑΒ ΓΝ ΑΜ ΔΓ ΓΝ

2ΜΝ ΑΜ ΑΒ ΓΝ ΑΜ ΔΓ ΓΝ

2ΜΝ ΑΒ ΔΓ

ΑΒ ΔΓΜΝ

2

Λύση

Λύνουμε το σύστημα και εκφράζουμε τα διανύσματα x

, y

ως γραμμικό συνδυ-

ασμό των διανυσμάτων α

, β

.

α x 6β 3y x 3y 6β α 2x 6y 12β 2α2

6y 7x 11α 66β 7x 6y 66β 11α 7x 6y 66β 11α

9x 9α 54β x α 6β

(2)

Τότε η 2 3

1 α α 6β 6β 3y 2α 12β 3y α 6β y2

(3)

Από (2) και (3) έχουμε ότι 3

x y2

άρα x y

Δίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Αν Μ, Ν είναι τα μέσα των ΑΔ και ΒΓ να δεί-

ξετε ότι 1ΜΝ ΑΒ ΔΓ

2


Δίνονται τα διανύσματα α

, x

, β

, y

για τα οποία ισχύουν οι σχέσεις

α x 6β 3y

και 6y 7x 11α 66β

Να δείξετε ότι τα διανύσματα x

, y

είναι ομόρροπα


Α

Β

ΓΔ

Μ

Ν

(1)



Λύση

α) Ας είναι Ο σημείο αναφοράς. Τότε ΟΑ α

, ΟΒ β

, ΟΜ r

Είναι ΑΜ ΜΒ

Ακόμη ΜΑ κ κ κ

ΜΑ ΜΒ ΑΜ ΜΒΜΒ λ λ λ

Άρα κ

ΑΜ ΜΒ λΑΜ κΜΒλ

λ ΟΜ ΟΑ κ ΟΒ ΟΜ

λΟΜ λΟΑ κΟΒ κΟΜ

λr λα κβ κr

λα κβ

λr κr λα κβ λ κ r λα κβ rλ κ

β) Ας είναι Ο σημείο αναφοράς. Τότε ΟΑ α

, ΟΒ β

, ΟΜ r

Είναι ΑΜ ΜΒ

Ακόμη ΜΑ κ κ κ

ΜΑ ΜΒ ΑΜ ΜΒΜΒ λ λ λ

Άρα κ

ΑΜ ΜΒ λΑΜ κBMλ

λ ΟΜ ΟΑ κ ΟΜ ΟΒ

λΟΜ λΟΑ κΟΜ κΟΒ

λr λα κr κβ

λα κβ

λr κr λα κβ λ κ r λα κβ rλ κ

Αν α

, β

και r

είναι οι διανυσματικές ακτίνες των σημείων Α, Β και Μ

αντιστοίχως και MA κ

MB λ , να αποδείξετε ότι

α) Αν Μ εσωτερικό του ΑΒ τότε λα κβ

rλ κ

β) Αν Μ εξωτερικό του ΑΒ τότε λα κβ

rλ κ


Α ΒΜ

Ο

Ο

Α Β Μ

α

β

r

β

α

r

1ο

Κεφάλαιο


ΛύσηΈστω κ 0 τότε έχουμε ότι

κα λβ 0 κα λβ

λα β α / /β

κ

Άτοπο

Άρα κ 0 και β 0

κα λβ 0 λβ 0 λ 0

οπότε κ λ 0

Λύση

Είναι λ 1β / / 2α γ 2α γ λβ 2α λβ γ α β γ

2 2

(1)

γ / / α β α β κγ α κγ β

(2)

Από (1) και (2) προκύπτει:

λ 1κγ β β γ 2κγ 2β λβ γ

2 2

2κγ 2β λβ γ 0

2κ 1 γ β 2 λ 0

Αφού β, γ

μη συγγραμμικά έχουμε ότι:

λ 2 λ 2 0 λ 2

11 2κ 0 2κ 1 κ

2

Για λ 2 η (1) 1α β γ 2α 2β γ γ 2β 2α γ 2β / /2α

2

Δίνονται τα μη συγγραμμικά ανά δύο διανύσματα α

, β

, γ

για τα οποία

ισχύουν

β / / 2α γ

και γ / / α β

Να δείξετε ότι α / / γ 2β


Δίνονται τα μη συγγραμμικά και μη μηδενικά διανύσματα α

, β

για τα ο-

ποία ισχύει ότι κα λβ 0

με κ, λℝ. Να δείξετε ότι κ λ 0 Βασική Πρόταση




Λύση

Αφού Α, Β, Γ συνευθειακά έχουμε ΑΒ / /ΑΓ ΑΒ κΑΓ

(1)

Θεωρώντας Ο σημείο αναφοράς έχουμε:

λ λΑΒ ΟΒ ΟΑ 4α 1 β α 2β

3 3

λ λ4α 1 β α 2β

3 3

λ λα 4 3 β

3 3

λ λΑΓ ΟΓ ΟΑ 2α 2 β α 2β

3 3

λ λ2α 2 β α 2β

3 3

λ λα 2 4 β

3 3

Τότε η (1)λ λ λ λ

α 4 3 β κ α 2 4 β3 3 3 3

λ λ κλ κλα 4 3 β α 2κ 4κ β

3 3 3 3

λ λ κλ κλα 4 3 β α 2κ 4κ β 0

3 3 3 3

λ κλ λ κλα 4 2κ 3 4κ β 0

3 3 3 3

λ κλ

4 2κ 012 λ 6κ κλ 03 3

12 6κ 9 12κ 0λ κλ λ 9 κλ 12κ 0

3 4κ 03 3

13 6κ 0 6κ 3 κ

2

(1)λ

λ 9 6 0 2λ 18 λ 12 0 3λ 30 λ 102

Δίνονται τα μη συγγραμμικά διανύσματα α

, β 0

. Αν για τα ΟΑ

, ΟΒ

, ΟΓ

ισχύουν λ

ΟΑ α 2β3

,λ

ΟΒ 4α 1 β3

,

λΟΓ 2α 2 β

3

να υπολο-

γισθεί ο πραγματικός αριθμός λ ώστε τα σημεία Α, Β, Γ να είναι συνευθει-ακά.


(1)

Δες παράδειγμα 13 στη σελίδα 37.

1ο

Κεφάλαιο



Διανυσματικές Ισότητες – Παράλληλα Διανύσματα – Συνευθειακά Σημεία

1) Να αποδειχτούν οι παρακάτω διανυσματικές ισότητες

α) 2ΑΒ 3ΓΑ 2ΜΒ 3ΜΓ ΜΑ

β) 3ΑΜ 5ΒΜ 8ΓΜ 16ΟΜ 3ΑΟ 5ΒΟ 8ΓΟ

γ)

7ΑΓ 2ΒΔ 5ΔΑ 2ΑΒ 7ΔΓ

δ) 2ΓΒ 3ΑΔ 5ΒΔ 3ΒΑ 2ΔΓ

2) Αν ΒΜ ΜΓ

και ΑΒ ΑΓ ΑΔ ΑΕ

να δείξετε ότι θα είναι και ΔΜ ΜΕ

3) Αν 3ΑΓ 2ΒΓ

να δείξετε ότι ΑΓ 2ΒΑ

4) Αν 3ΑΔ 2ΒΔ

να δείξετε ότι 5ΔΓ 3ΑΓ 2ΒΓ

5) Αν ΔΑ ΓΒ

και ΣΓ 3ΒΣ

να δείξετε ότι 2ΣΑ 3ΓΔ ΒΣ ΔΣ

6) Το διάνυσμα f K 2AB 3KΓ

αν το σημείο Κ συμπέσει με το Α γίνεται

f Α 2AB 3ΑΓ ΟΚ

και αν συμπέσει με το Β γίνεται

f Β 2AB 3ΒΓ ΟΛ

. Να δείξετε ότι ισχύει η διανυσματική ισότητα

ΚΛ 3ΑΒ 0

.

7) Να σχεδιάσετε τα διανύσματα έτσι ώστε να ισχύουν οι ισότητες

α) ΑΓ ΓΒ ΑΓ

β) ΑΒ 2ΚΛ

γ) ΑΒ ΒΓ 3ΑΔ

δ) α β γ



8) Για τα σημεία Α, Β, Γ, Δ είναι γνωστό ότι ΒΓ ΑΕ ΑΔ ΒΕ

. Να δείξετε ότι τα σημεία Δ και Γ ταυτίζονται.

9) Για τα σημεία Ρ, Κ, Μ, Ν, Σ είναι γνωστό ότι ΒΜ ΡΑ ΣΒ ΓΝ ΡΓ ΣΑ

. Να δείξετε ότι τα σημεία Μ και Ν ταυτίζονται

10) Αν ισχύει ΜΑ 2ΜΒ 3ΜΓ ΝΑ 2ΝΒ 3ΝΓ

να δείξετε ότι τα σημεία Μ και Ν ταυτίζονται.

11) Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και ένα μεταβλητό σημείο Μ. Να αποδείξετε ότι

το διάνυσμα u ΜΑ 4ΜΒ 2ΜΓ 3ΜΔ

είναι σταθερό.

12) Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ , ένα μεταβλητό σημείο Μ και οι πραγματικοί

αριθμοί κ, λ, μ. Να δείξετε ότι το διάνυσμα u κ λ ΑΜ λ κ ΒΜ

είναι

σταθερό.

13) Αν 2ΑΛ 3ΒΛ 2ΜΒ ΑΚ ΑΜ ΒΚ

να δείξετε ότι ΚΛ ΜΛ

14) Να δείξετε ότι τα σημεία Μ, Ν, Ρ είναι συνευθειακά όταν ισχύει

2ΑΜ 3ΜΒ 2ΑΝ 3ΡΒ

15) Να δείξετε ότι τα σημεία Μ, Ν, Ρ είναι συνευθειακά όταν ισχύει

3ΒΜ 7ΑΝ 5ΑΜ ΒΡ 2ΑΒ

16) Δίνονται τα σημεία Π, Α, Ο, Κ ώστε

3ΠΑ ΠΟ 4ΠΚ 0

α) Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Ο, Κ είναι συνευθειακά

β) Να βρείτε τη σχετική θέση των Α, Ο, Κ

1ο

Κεφάλαιο


17) Δίνονται τα σημεία Ο, Α, Β, Γ για τα οποία ισχύει ότι:

3OA 4OB 7OΓ

α) Να γράψετε τη σχέση χρησιμοποιώντας ως σημείο αναφοράς το Α

β) Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

γ) Να δείξετε ότι το Γ είναι μεταξύ των Α και Β

18) Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ. Να βρείτε σημείο Μ τέτοιο ώστε

ΜΑ ΜΒ 2AΓ 0

19) Δίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Να βρεθεί σημείο Μ τέτοιο ώστε

2ΜΑ 3ΜΒ ΜΓ 2ΜΔ 0

Διανυσματική Ακτίνα Μέσου

20) Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Αν Μ και Ν αντίστοιχα τα μέσα των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ να δείξετε ότι:

α) 1ΜΝ ΑΒ 2ΒΓ

2

β) 4ΜΝ ΑΔ ΑΒ ΓΔ ΓΒ

21) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, Κ το κέντρο του, Μ το μέσο του ΚΓ. Να δείξετε ότι:

22) Δίνονται τα διανύσματα ΑΒ

και Α Β

. Αν Μ και Μ΄ είναι μέσα των ΑΒ

και

Α Β

αντίστοιχα να δείξετε ότι ΑΑ ΒΒ 2ΜΜ

.



23) Στην πλευρά ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ θεωρούμε διαδοχικά τα σημεία Κ, Μ, Λ τέ-τοια ώστε ΒΚ ΚΜ ΜΛ ΛΓ .

Να αποδειχτεί η ισότητα: ΑΒ ΑΚ ΑΛ ΑΓ 5ΑΜ

24) Σε κύκλο κέντρου Ο θεωρούμε δύο κάθετες χορδές ΑΒ και ΓΔ που τέμνο-νται στο σημείο Σ. Να αποδειχθούν οι παρακάτω ισότητες:

α) ΟΑ ΟΒ ΟΓ ΟΔ 2ΟΣ

β) ΣΑ ΣΒ ΣΓ ΣΔ 2ΣΟ

25) Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και τα μέσα Μ και Ν των πλευρών ΑΒ και ΓΔ

αντίστοιχα. Ορίζουμε διανύσματα ΑΣ 2ΜΝ

. Να δείξετε ότι:

α) 2ΜΝ ΑΓ ΒΔ

β) ΒΝ ΒΣ

Γραμμικός Συνδυασμός Διανυσμάτων

26) Έστω Ο, Α, Β, Γ, Δ σημεία τέτοια ώστε ΟΑ α

, ΟΒ β

, ΟΓ α 2β

και

ΟΔ 2α β

. Να εκφράσετε τα διανύσματα ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΑΓ, ΒΔ

ως γραμμι-

κό συνδυασμό των α

και β

.

27) Να δείξετε ότι τα διανύσματα 4

v 2α β γ3

και 3 3

u α β γ2 4

είναι

συγγραμμικά.

28) Δίνονται τα διανύσματα u

, v

, w

και τα σημεία Ο, Α, Β, Γ τέτοια ώστε

ΟΑ u v 2w

, ΟB u 2v w

και ΟΓ u 5v 2w

Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.

1ο

Κεφάλαιο


29) Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ με διανύσματα θέσης ως προς σημείο αναφοράς

το Ο τα ΟΑ α

, ΟΒ β

, ΟΓ 3α 2β

όπου α

, β

μη συγγραμμικά διανύ-

σματα.

α) Να γράψετε τα διανύσματα ΑΒ

, ΑΓ

ως γραμμικό συνδυασμό των α

και

β

.

β) Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.

30) Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και ένα εσωτερικό του σημείο Δ τέτοιο ώ-

στε2

ΑΔ ΔΒ5

. Αν τα διανύσματα θέσης των Α και Β είναι ΟΑ α

και

ΟΒ β

να δείξετε ότι 2ΑΔ β α

7

και

5α 2βΟΔ

7

.

31) Σε ένα παραλληλόγραμμο ΟΑΒΓ είναι ΟΑ α

, ΟΓ γ

και ένα σημείο Δ

βρίσκεται στην πλευρά ΑΒ έτσι ώστε ΔΒ 2ΑΔ . Να εκφράσετε τα διανύ-

σματα ΓΒ

, ΒΓ

, ΑΔ

, ΟΔ

, ΑΓ


, γ

.

32) Δίνεται ένα τραπέζιο ΟΑΒΓ με ΟΑ α

, ΟΓ γ

και ΓΒ 2ΟΑ

. Αν Δ, Ε είναι

μέσα των ΑΒ και ΓΒ αντίστοιχα, τότε:

α) Να γράψετε τα διανύσματα ΓΑ

, ΑΒ

, ΕΔ

ως γραμμικό συνδυασμό των

α

, γ

β) Να δείξετε ότι ΓΑ 2ΕΔ

33) Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα σημεία Ε, Ζ της ΑΓ ώστε

1ΑΕ ΖΓ ΑΓ

4 . Αν ΑΒ α

, ΒΓ β

τότε:

α) Να εκφράσετε τα ΔΕ

και ΕΖ


, β

β) Να αποδείξετε ότι το ΕΒΖΔ είναι παραλληλόγραμμο



34) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε, Ζ ώστε

3ΑΔ ΑΒ

, 2ΓΕ ΒΓ

και 5ΑΖ 3ΑΓ

Να δείξετε ότι τα σημεία Δ, Ε, Ζ δεν είναι συνευθειακά.

35) Στο διπλανό σχήμα τα σημεία Α και Β έχουν δια-

νύσματα θέσης ως προς Ο τα 6α

και 6β

αντίστοι-

χα. Το Μ είναι μέσο του ΟΑ και ΑΔ 2ΔΒ

. Αν Ε εί-ναι το μέσο της ΟΔ:

α) Να εκφράσετε ως γραμμικό συνδυασμό των α

και β

τα διανύσματα ΑΒ

, ΟΔ

και ΜΕ

.

β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΜΑΔΕ είναι τραπέζιο.

36) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ α

και ΑΓ β

. Αν Δ, Ε, Ζ τα μέσα των ΑΒ, ΒΓ,

ΓΑ αντίστοιχα

α) Να εκφράσετε τα διανύσματα ΑΕ

, ΒΖ

και ΓΔ

ως γραμμικό συνδυασμό

των α

και β

β) Να δείξετε ότι τα διανύσματα ΑΕ

, ΒΖ

και ΓΔ

σχηματίζουν τρίγωνο.

37) Δίνεται το τραπέζιο στο διπλανό σχήμα. Αν

ΓΔ 3ΑΒ , ΕΓ 3ΕΑ , ΑΒ α

και ΒΓ β

α) Να εκφράσετε συναρτήσει των α

και β

τα δια-

νύσματα ΑΓ

, ΑΕ

, ΒΕ

και ΒΔ

β) Να δείξετε ότι τα σημεία Β, Δ, Ε είναι συνευθει-ακά.

38) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν ΑΔ κΑΒ λΑΓ

και ΑΕ λΑΒ κΑΓ

με κ, λ πραγ-

ματικοί αριθμοί να δείξετε ότι ΔΕ / /ΒΓ

.

Α Β

Δ Γ

Ε

α

β

Ο

Μ

Β

Α

ΔΕ

α

β

1ο

Κεφάλαιο


39) Δίνονται τα σημεία Ο, Α, Β, Γ του επιπέδου για τα οποία ισχύει:

4κΟΑ 2 4κ ΟΒ 3ΟΓ ΟΒ

Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά για κάθε τιμή του πραγ-ματικού αριθμού κ.

40) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ένα σημείο Δ ώστε:

ΑΔ κΑΒ λΑΓ

με κ λ 1

Να αποδείξετε ότι τα σημεία Δ, Β, Γ είναι συνευθειακά.

41) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού αριθμού λ ώστε τα σημεία Α, Β, Γ που

ικανοποιούν τη σχέση 2 2λ 2λ ΟΑ λ λ 2 ΟΒ λ 2 ΟΓ 0

να είναι

συνευθειακά.

42) Να βρεθεί η τιμή του x ώστε τα σημεία Α, Β, Γ να είναι συνευθειακά όταν ισχύει η διανυσματική ισότητα

2 2 2x 3x 2 ΟΑ x 5x 3 ΟΒ x 13x 3 ΟΓ

43) Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ για τα οποία ισχύει

ΟΑ 3α 5β

, ΟΒ λα β

και ΟΓ 4α κβ

όπου Ο τυχαίο σημείο αναφοράς και κ, λ πραγματικοί αριθμοί με κ λ -3

Αν Α, Β, Γ είναι συνευθειακά σημεία να βρεθούν τα κ και λ.

44) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα σημεία Μ και Ν ώστε να είναι:

ΑΜ κΑΔ

και ΑΝ λΑΒ

με κ, λ πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδέν.

Αν είναι κ λ κλ να δείξετε ότι τα σημεία Μ, Ν, Γ είναι συνευθειακά.



45) Έστω ότι α 0

. Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού λ ι-σχύει:

2λ 5λ+10 α α 3α

46) Δίνονται τα μη συγγραμμικά ανά δύο διανύσματα α

, β

, γ


ισχύουν:

α β / /2γ

και α 6γ / /2β

Να δείξετε ότι α β 6γ


, β

, γ


ισχύουν:

α 12γ / /3β

και 6β α / /4γ

Να δείξετε ότι α / / 2γ β


, β

, γ


ισχύουν:

α / / β 2γ

και β / / γ 2α

Να δείξετε ότι β 4α 2γ


, β

, γ


ισχύουν:

α / / β γ

και β / / γ α

Να δείξετε ότι α β γ 0

1ο

Κεφάλαιο


50) Αν ισχύει 3u 4v α

4u 3v β

να εκφράσετε τα διανύσματα u

, v

ως γραμμικό

συνδυασμό των α

, β

.

51) Αν ισχύει u 2v α

u v β

να εκφράσετε τα διανύσματα u

, v



, β

.



1ο

Κεφάλαιο


1.4 Συντεταγμένες Διανύσματος

Άξονας λέγεται κάθε ευθεία x΄x πάνω στην ο-

ποία έχουμε επιλέξει δύο σημεία Ο και Α, έτσι

ώστε ΟΑ i

να έχει μέτρο 1 (μοναδιαίο διάνυ-

σμα). Το Ο λέγεται αρχή του άξονα.

Έστω Μ τυχαίο σημείο ενός άξονα x΄x. Επειδή

ΟM / / i

αποδεικνύεται ότι υπάρχει ακριβώς

ένα xℝ ώστε ΟM x i

και αντίστροφα σε

κάθε xℝ αντιστοιχεί μοναδικό σημείο Μ του

άξονα x΄x.

Τον αριθμό x τον ονομάζουμε τετμημένη του σημείου Μ

Σύστημα συντεταγμένων (ορθοκανονικό) ή

καρτεσιανό επίπεδο, λέγεται ένα σύστημα από

δύο κάθετους μεταξύ τους άξονες x΄x και y΄y με

κοινή αρχή Ο και μοναδιαία διανύσματα i

, j

.

Συμβολίζεται με Οxy

Άξο

νας

Τετ

μημέ

νη σ

ημεί

ουπ

άνω

σε

Άξο

ναΣ

ύστη

μα

Συν

τετα

γμέν

ων

Οx΄ xΑi

Οx΄ xΑi

Μ

xx΄

y

y’Ο i

j

Συντεταγμένες Διανύσματος


Έστω Μ τυχαίο σημείο πάνω στο καρτεσιανό

επίπεδο Οxy.

Ας είναι M1 η προβολή του Μ στον άξονα x΄x

και Μ2 η προβολή του Μ στον άξονα y΄y.

Ονομάζουμε:

Τετμημένη του Μ την τετμημένη x του Μ1, ως προς τον άξονα x΄x.

Τεταγμένη του Μ την τεταγμένη y του Μ2, ως προς τον άξονα y΄y

Η τετμημένη και η τεταγμένη του σημείου Μ λέγονται συντεταγμένες

του Μ

Έτσι σε κάθε σημείο Μ του επιπέδου αντιστοιχεί ένα ζεύγος συντε-

ταγμένων. Αλλά και αντίστροφα, σε κάθε ζεύγος (x,y) πραγματικών

αριθμών αντιστοιχεί μοναδικό σημείο Μ του επιπέδου που βρίσκεται

με την παρακάτω διαδικασία:

Πάνω στους άξονες x΄x και y΄y παίρνουμε τα σημεία Μ1 και Μ2 αντί-

στοιχα. Από το Μ1 φέρνουμε κάθετη στον x΄x και από το Μ2 κάθετη

στον y΄y που τέμνονται στο Μ. Αυτό είναι το ζητούμενο σημείο.

Αν x η τετμημένη και y η τεταγμένη του σημείου Μ συμβολίζουμε

Μ(x,y)

Κάθε διάνυσμα α

του καρτεσιανού επιπέδου Οxy γράφεται κατά

μοναδικό τρόπο ως γραμμικός συνδυασμός των μοναδιαίων διανυ-

σμάτων i

, j

. Δηλαδή, υπάρχουν μοναδικά x, yℝ ώστε:

α x i y j

Απόδειξη

Έστω OA α

και Α1, Α2 οι προβολές του Α στους άξονες x΄x και y΄y

αντίστοιχα.

Συν

τετα

γμέν

ες

Σημ

είου

Συν

τετα

γμέν

ες

Διαν

ύσμα

τος

Ο

y

xi

j

M(x,y)

M1

M2

1ο

Κεφάλαιο


Έχουμε 1 2OA OA OA

(1)

Αν x, y οι συντεταγμένες του Α, τότε ισχύει

1OA x i

και 2OA y j

Επομένως η (1) γράφεται

OA x i y j α x i y j

(2)

Μοναδικότητα

Θα δείξουμε ότι x, y είναι μοναδικοί.

Έστω ότι υπάρχουν x΄, y΄ ώστε α x i y j

(3) με x x

Από τις σχέσεις (2) και (3) έχουμε

x i y j x i y j x x i y y j

(4)

y yi j

x x

Δηλαδή i / / j

που είναι άτοπο

Άρα x x και από (4) για x x προκύπτει y y

Παρατηρήσεις

1. Οι αριθμοί x και y λέγονται συντεταγμένες του α

Συγκεκριμένα x τετμημένη του α

y τεταγμένη του α

2. Τα διανύσματα x i

και y j

λέγονται συνιστώσες του α

κατά τη

διεύθυνση των i

και j


3. Για να δηλώσουμε ότι ένα διάνυσμα α

έχει τετμημένη x και τε-

ταγμένη y, γράφουμε α ,yx

Συν

τετα

γμέν

ες

Διαν

ύσμα

τος

j

i

A1

A2 Aα

α

Ο



4. Ένα διάνυσμα α y,x

είναι το μηδενικό διάνυσμα αν και μόνο

αν καθεμία από τις συντεταγμένες είναι μηδέν.

Δηλαδή: α 0 και

y

x 0

0

5. Δύο διανύσματα 1 1x yα ,

και 2 2x yβ ,

είναι ίσα αν και μό-

νο αν οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους είναι ίσες.

Δηλαδή: 1 2

1 2

α β

y y

x

ι

x

κα

Αν 1 1xα ,y

και 2 2x yβ ,

τότε έχουμε:

1. 1 12 2yβ yxα ,x

2. 1 1x yλα λ ,λ

3. 11 22λα μβ λx xμ λ μy y,

Απόδειξη

Είναι 1 1 1 1α x ,y x i y j

και 2 2 2 2β x ,y x i y j

Έχουμε

1. 1 1 2 2 1 2 1 2α β x i y j x i y j x x i y y j

1 2 1 2x x ,y y

2. 1 1 1 1 1 1λα λ x i y j λx i λy j λx ,λy

3. 1 1 2 2λα μβ λx ,λy μx ,μy

1 2 1 2λx μx ,λy μy

Συν

τετα

γμέν

ες

Διαν

ύσμα

τος

Συν

τετα

γμέν

ες

Γρα

μμικ

ού Σ

υνδυ

ασμο

ύ Δ

ιανυ

σμάτ

ων

1ο

Κεφάλαιο


Αν Α(xΑ,yΑ) και Β(xΒ,yΒ) τότε ισχύει:

Μ(xΜ,yΜ) μέσο του ΑΒ

A

BM

BM

Ay yy

και

x

2

2

xx

Απόδειξη

Είναι

A AOA x ,y

, B BOB x ,y

και OM x,y

Όμως όπως είναι γνωστό

M M A A B B

OA OB 1OM x ,y x ,y x ,y

2 2

M M A B A B

1x ,y x x ,y y

2 A B A B

M M

x x y yx ,y ,

2 2

Άρα A B A BM M

x x y yx και y

2 2

Αν Α(xΑ,yΑ) και Β(xΒ,yΒ) τότε ισχύει BB A Ay y,xΒ xΑ

Απόδειξη

Ας είναι ΑΒ x,y

Είναι A AOA x ,y

, B BOB x ,y

Όμως

B B A AΑΒ OB OA x,y x ,y x ,y

B A B Ax,y x x ,y y

Άρα B A B Ax x x και y y y

Οπότε B A B AΑΒ x x ,y y

Συν

τετα

γμέν

ες

Μέσ

ου Τ

μήμα

τος

Συν

τετα

γμέν

ες Δ

ιανύ

σματ

οςμε

Γνω

στά

Άκρ

α

y

xΟ

A(xA,yA)

B(xB,yB)

A(xA,yA)

y

xΟ

Μ(xΜ,yΜ)

B(xB,yB)



Συνοπτικά


1. Αν το διάνυσμα α x,y

είναι παράλληλο στον άξονα x΄x

τότε y 0

2. Αν το διάνυσμα α x,y

είναι παράλληλο στον άξονα y΄y

τότε x 0

Αν α ,yx

τότε το μέτρο του είναι 2 2xα +y

Απόδειξη

Έστω το σημείο Α με διανυσματική ακτίνα

OA α

οπότε οι συντεταγμένες του Α είναι (x,y)

Av Α1, Α2 οι προβολές του Α στους άξονες x΄x και y΄y αντίστοιχα τότε:

1OA x και 2OA y

Από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΟΑΑ1

προκύπτει:

22 2 2 2 2

1 1 1 2OA OA A A α OA OA

2 22 2 2 2 2 2α x y α x y α x y

Αν Α(xΑ,yΑ) και Β(xΒ,yΒ) τότε ισχύει 2 2

B A B AΑΒ x x y y

Απόδειξη

Είναι B A B AΑΒ x x ,y y

Άρα 2 2

B A B AΑΒ x x y y

Συν

τετα

γμέν

ες Δ

ιανύ

σματ

οςμε

Γνω

στά

Άκρ

α

==

--

Μέτ

ρο

Διαν

ύσμα

τος

y

xΟ

A(x,y)α

α

A1

A2

ΤΕΤΑΓΜΕΝΗ Β ΤΕΤΑΓΜΕΝΗ ΑΤΕΤΑΓΜΕΝΗ ΑΒ

ΤΕΤΜΗΜΕΝΗ ΑΒ

ΤΕΤΜΗΜΕΝΗ Β ΤΕΤΜΗΜΕΝΗ Α

1ο

Κεφάλαιο



1. Κάθε σημείο απέχει από τον άξονα x΄x απόσταση ίση με την

απόλυτη τιμή της τεταγμένης του. Δηλαδή Ad Α,x x y

2. Κάθε σημείο απέχει από τον άξονα y΄y απόσταση ίση με την

απόλυτη τιμή της τετμημένης του. Δηλαδή Ad Α,y y x

Αν 1 1α x ,y

και 2 2β x ,y

τότε ισχύει:

α / / β det α,β 0

όπου det α,β

είναι η ορίζουσα των διανυσμάτων α

και β

για την

οποία ισχύει:

1

2

1

1 2 1

22

det α,β dx

x yy

ye y

x,β xt α

Παρατήρηση

α / /

β det α,β 0

Γωνία μη Μηδενικού Διανύσματος με το άξονα x΄x

Ας είναι α x,y

ένα μη μηδενικό διάνυσμα

και Α σημείο τέτοιο ώστε OA α

Ονομάζουμε γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα

α

με τον άξονα x΄x τη γωνία φ που διαγράφει ο x΄x αν στραφεί γύρω από το Ο κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα) μέχρι να συμπέσει με

το φορέα του OA

.

Ισχύει ότι 0 φ 2π

Συντελεστής Διεύθυνσης Διανύσματος

Ονομάζουμε συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος α x,y

με

x 0 τον αριθμό

yλ

x , x 0

και συμβολίζεται με λ ή με α

λ

Συν

θήκη

Παρ

αλλ

ηλία

ςΔι

ανυσ

μάτω

νΣ

υντε

λεσ

τής

Διε

ύθυν

σης

Διαν

ύσμα

τος

Μέτ

ρο

Διαν

ύσμα

τος

Ο

α

α A

y

xφ

+



Αν α , β

διανύσματα με συντελεστές διεύθυνσης α β

λ , λ ισχύει ότι:

α βα / / β λ λ

Απόδειξη

Ας είναι 1 1α x ,y

και 2 2β x ,y

Τότε 1

α1

yλ

x και 2

β2

yλ

x

Οπότε 1 1

2 2

x yα / / β det α,β 0 0

x y

2 11 2 2 1 α β

2 1

y yx y x y λ λ

x x


1. Ο συντελεστής διεύθυνσης ενός διανύ-

σματος α x,y

δεν ορίζεται αν x 0

δηλαδή δεν ορίζεται αν το διάνυσμα είναι παράλληλο στον άξονα y΄y (ή κάθετο στον x΄x)

2. συντελεστής διεύθυνσης ενός διανύσμα-

τος α x,y

είναι ίσος με το 0 αν το διά-

νυσμα είναι παράλληλο στον άξονα x΄x.

Δηλαδή α

α / /x x λ 0

3. Ο συντελεστής διεύθυνσης ενός διανύσματος α x,y

είναι

ίσος με την εφαπτομένη της γωνίας φ που σχηματίζει το διά-νυσμα με τον άξονα x΄x.

Δηλαδή α

λ εφφ

Συν

τελ

εστή

ς Δ

ιεύθ

υνση

ςΔι

ανύσ

ματο

ς

Ο

Ο

Α

Β

xA=xB

yA=yBΑ Β

1ο

Κεφάλαιο



Συντεταγμένες Σημείου και Διανύσματος

Λύση

α) Το Α είναι σημείο του x΄x αν και μόνο αν

2λ λ 6 0 λ 3 λ 2 0

λ 3 ή λ 2

β) Το Α είναι σημείο μόνο του y΄y αν και μόνο αν

2λ 5λ 6 0 λ 3 λ 2 0

λ 3 ή λ 2

γ) Το Α δεν ανήκει σε κανένα άξονα αν και μόνο αν

2

2

λ 5λ 6 0 λ 3 λ 2 0

λ λ 6 0 λ 3 λ 2 0

λ 3 και λ 2

λ 3 και λ 2

Δίνεται το σημείο 2 2Α λ 5λ 6,λ λ 6 με λℝ

Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε

α) Το Α να είναι σημείο του x΄x

β) To A να είναι σημείο μόνο του y΄y

γ) To A να μην ανήκει σε κανένα άξονα

δ) Το Α να βρίσκεται στο 1ο τεταρτημόριο


Ας είναι Α(α,β)

Α ανήκει στον x΄x β 0

Α ανήκει στον y΄y α 0

Α ανήκει μόνο στον x΄x

β 0 και α 0

Α ανήκει μόνο στον y΄y

α 0 και β 0

Α ανήκει στο 1ο τεταρτημόριο

α 0 και β 0


α 0 και β 0


α 0 και β 0


α 0 και β 0



Τελικά λοιπόν πρέπει λℝ 2,2,3

δ) Το Α βρίσκεται στο 1ο τεταρτημόριο αν και μόνο αν

Τελικά λοιπόν λ , 2 3,

Λύση

α) Τα σημεία Μ(x,y) που έχουν τετμημένη 2 ανήκουν στη δι-

πλανή κατακόρυφη ευθεία.

β) Αρχικά έχουμε y 3 y 3 ή y 3

Να βρεθεί η θέση στο καρτεσιανό επίπεδο των σημείων Μ(x,y) για τα ο-ποία ισχύει:

α) x 2 β) y 3 γ) x 1

δ) y 2 ε) y 1 και 1 x 2


2λ λ 6 0

λ -2 3

2λ λ 6 + - +

Άρα

λ , 2 3,

2λ 5λ 6 0

λ 2 3

2λ λ 6 + - +

Άρα λ ,2 3,

-2 2 3

και

Ο 2

-3

1ο

Κεφάλαιο


Τα σημεία Μ(x,y) που έχουν τεταγμένη 3 ή -3 ανήκουν στις οριζόντιες ευθείες

ε1, ε2 του διπλανού σχήματος.

γ) Αρχικά έχουμε x 1 1 x 1

Τα σημεία Μ(x,y) για τα οποία είναι 1 x 1 ανήκουν

στο χωρίο που βρίσκεται με των κατακόρυφων ευθειών ε1,

ε2 (με τα σημεία των ευθειών) όπως φαίνεται στο διπλανό

σχήμα.

δ) Αρχικά έχουμε y 2 2 y 2

Τα σημεία Μ(x,y) για τα οποία είναι 2 y 2 ανήκουν

στο χωρίο που βρίσκεται με των οριζόντιων ευθειών ε1, ε2

(χωρίς τα σημεία των ευθειών) όπως φαίνεται στο διπλα-

νό σχήμα.

ε) Τα σημεία Μ(x,y) που έχουν τεταγμένη 1 και τετμημένη x

με 1 x 2 ανήκουν στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ του δι-

πλανού σχήματος χωρίς το άκρο Β.

Λύση

α) α 3i 4j 3,4

β) β 3j 2i 2i 3j 2,3

Να βρεθούν οι συντεταγμένες των παρακάτω διανυσμάτων:

α) α 3i 4j

β) β 3j 2i

γ) γ 2012i

δ) δ 2 3i 900j 3 2i 60j


Αν α xi yj

τότε α x,y

Ο

Ο

Ο

Ο

3

-1 1

2

-2

-1 2

Α Β



γ) γ 2012i 2012i 0j 2012,0

δ) δ 2 3i 900j 3 2i 60j 6i 1800j 6i 180j

1980j 0,1980

ΛύσηΔιαδοχικά έχουμε

2 2 2α β 2λ λ 3,λ 1 λ 2λ 1,λ 1

2 2

2

2λ λ 3 λ 2λ 1

λ 1 λ 1

2 2

2

2λ λ 3 λ 2λ 1 0

λ 1 λ 1 0

2

2

λ 3λ 2 0 1

λ λ 2 0 2

Λύνοντας την (1) έχουμε λ 1

λ 2

ενώ λύνοντας την (2) έχουμε

λ 1

λ 2

Η ζητούμενη τιμή του λ είναι η κοινή λύση των εξισώσεων (1) και (2) δηλαδή λ 2 .

Λύση

α) Είναι 2α 0 2λ λ 3 0

(1) 2και 2λ 7λ 6 0 (2)

Για την (1) έχουμε Δ 25 άρα 1,2

11 5

λ 34

2

Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε τα διανύσματα

2 2α 2λ λ 3,λ 1

και 2β λ 2λ 1,λ 1

να είναι ίσα.


Έστω το διάνυσμα 2 2α 2λ λ 3,2λ 7λ 6

με λℝ

Να βρείτε την τιμή του λ ώστε

α) α 0

β)α 0

και α / /x x


Δύο διανύσματα είναι ίσα αν

και μόνο αν οι αντίστοιχες

συντεταγμένες τους είναι

ίσες. Δηλαδή αν 1 1α x ,y

και 2 2β x ,y

τότε:

1 2

1 2

x x

α β και

y y

Ας είναι α x,y

α 0 x 0 και y 0

α 0 x 0 ή y 0

α / /x x y 0

α / /y y x 0

1ο

Κεφάλαιο


Για την (2) έχουμε Δ 1 άρα 1,2

27 1

λ 34

2

Άρα 3

λ2

β) Είναι 2α 0 2λ λ 3 0

2ή 2λ 7λ 6 0

και 2α / /x x 2λ λ 3 0

Έτσι λοιπόν πρέπει 22λ 7λ 6 0 λ 2 ή3

λ2

και 22λ λ 3 0 λ 3 και3

λ2

Άρα είναι λ 2

Συντεταγμένες Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων

Λύση

Αρκεί να βρούμε λ, μℝ τέτοια ώστε γ λα μβ


γ λα μβ 12, 5 λ 3, 1 μ 2,1

12, 5 3λ, λ 2μ,μ

12, 5 3λ 2μ, λ μ

3λ 2μ 12 3λ 2μ 12 1

λ μ 5 3λ 3μ 15

2μ 3μ 12 15 μ 3

Δίνονται τα διανύσματα α 3, 1

, β 2,1

και γ 12, 5

. Να γρά-

ψετε το διάνυσμα γ

ως γραμμικό συνδυασμό των α, β

.


Α) Αν 1 1α x ,y

και 2 2β x ,y

και λ, μℝ τότε:

1 2 1 2α β x x ,y y

1 1λα λx ,λy

1 2 1 2λα μβ λx μx ,λy μy

Β) Για να γράψουμε ένα διάνυσμα

u

ως γραμμικός συνδυασμό των

α

και β

αρκεί να βρούμε κ, λ

έτσι ώστε u κα λβ

(1). Έτσι

λοιπόν, θεωρούμε τη σχέση (1)

και από την ισότητα των διανυ-

σμάτων βρίσκουμε τα κ, λ.



Για μ 3 η 1 3λ 2 3 12

3λ 6 12 3λ 6 λ 2

Λύση

α) Αφού Μ μέσο του ΒΓ είναι

Β ΓM

M

Β ΓMM

x x1x

x22

y yy 3y

2

άρα 1

M , 32

Οπότε

M A M A

1 1ΑΜ x x ,y y 1, 3 2 , 5

2 2

β) Ας είναι Ρ(xP,yP)

Ρ A Ρ A Γ Β Γ ΒΑΡ ΒΓ x x ,y y x x ,y y

Ρ Ρ

Ρ Ρ

Ρ Ρ

x 1 7 x 8x 1,y 2 7,2

y 2 2 y 4άρα Ρ(8,4)

γ) Το παραλληλόγραμμο ΑΡΓΒ έχει διαγώνιο την ΑΓ

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1,2), Β(-3,-4), Γ(4,-2)Να βρείτε:

α) Τις συντεταγμένες της διαμέσου ΑΜ

β) Τις συντεταγμένες του Ρ αν ΑΡ ΒΓ

γ) Τις συντεταγμένες του κέντρου Κ του παραλληλογράμμου ΑΡΓΒ


Α

Γ

Β

Ρ

1ο

Κεφάλαιο


Άρα το κέντρο του Κ είναι το μέσο της ΑΓ

Δηλαδή

A Γ A Γx x y yΚ ,

2 2ή

5Κ ,0

2

Λύση

α) Αφού ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο έχουμε ότι

Δ ΔΑB ΔΓ 4,2 2 x , 5 y

Δ Δ

Δ Δ

2 x 4 x 6

5 y 2 y 7άρα Δ(6,-7)

β) Για να δείξουμε ότι οι διαγώνιες του παραλληλογράμμου διχοτομούνται αρκεί

να δείξουμε ότι έχουν κοινό μέσο.

Το μέσο της ΒΔ έχει συντεταγμένες

Β Δ Β Δx x y y,

2 2ή

3 3,

2 2

Το μέσο της ΑΓ έχει συντεταγμένες

Α Γ Α Γx x y y,

2 2ή

3 3,

2 2

Άρα πράγματι η ΒΔ και η ΑΓ έχουν κοινό μέσο οπότε και διχοτομούνται.

Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Α(1,2), Β(-3,4) και Γ(2,-5).

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής Δ

β) Να δείξετε ότι οι διαγώνιές του διχοτομούνται


Σε ένα σύστημα συντεταγμένων οι τετμημένες δύο σημείων Α και Β είναι

ρίζες της εξίσωσης 2 2x λ 5λ 14 x 7 0 (1) ενώ οι τεταγμένες είναι

ρίζες της εξίσωσης 2 2y λ 3λ 2 y 5 0 (2).

Να βρεθούν οι τιμές του λℝ ώστε το μέσο του τμήματος ΑΒ να έχει συ-ντεταγμένες (4,6)


ΑΒ

ΓΔ



Λύση

Αφού xA, xB είναι ρίζες της εξίσωσης (1) από τους τύπους του Vieta προκύπτει ότι:

2

2Α Β Α Β

λ 5λ 14x x x x λ 5λ 14

1(3)

Αφού yA, yB είναι ρίζες της εξίσωσης (2) από τους τύπου του Vieta προκύπτει ότι:

2

2Α Β Α Β

λ 3λ 2y y y y λ 3λ 2

1(4)

Αλλά Μ μέσο του ΑΒ οπότε

A B A Bx x y yM ,

2 2ή

2 2λ 5λ 14 λ 3λ 2M ,

2 2

Όμως Μ(4,6) άρα είναι

2

2 2

2 2 2

λ 5λ 144

λ 5λ 14 8 λ 5λ 6 02και και και

λ 3λ 2 λ 3λ 2 12 λ 3λ 10 06

2

λ 3 λ 2 0 λ 3 ή λ 2

και και λ 2

λ 5 ή λ 2λ 5 λ 2 0

Τελικά λοιπόν λ 2

Παράλληλα Διανύσματα – Συνευθειακά Σημεία

Δίνονται τα διανύσματα α 2x y,x 1

, β 3x 2y,y 2

, v 2,12

και u 3, 12

με x, yℝ

Να βρεθούν οι τιμές των x, yℝ ώστε τα διανύσματα γ α β

και

δ α β

να είναι παράλληλα αντίστοιχα προς τα διανύσματα v

και u

.


1ο

Κεφάλαιο


Λύση

Αρχικά βρίσκουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων γ και

δ

γ α β 2x y,x 1 3x 2y,y 2 5x 3y,x y 1

δ α β 2x y,x 1 3x 2y,y 2 x y,x y 3

Έχουμε

5x 3y x y 1γ / / v det γ,v 0 0

2 12

60x 36y 2 x y 1 0

60x 36y 2x 2y 2 0

58x 38y 2 0 29x 19y 1 0 (1)

Ακόμη

x y x y 3δ / / v det δ,v 0 0

3 12

12x 12y 3x 3y 9 0 9x 9y 9 0 x y 1 0 (2)

Έχουμε λοιπόν το σύστημα

29x 19y 1 0 29x 19y 1 0

-x y 1 0 29x 29y 29 029

10y 30 0 10y 30 y 3

Για y 3 η (2) x 3 1 0 x 2 0 x 2


Αν δύο διανύσματα είναι

συγγραμμικά τότε η

ορίζουσα αυτών είναι ίση

με το μηδέν.

Η παραπάνω συνθήκη

είναι ικανή και αναγκαία.

Έτσι λοιπόν στις ασκήσεις

για να δείξουμε ότι δύο

διανύσματα είναι συγ-

γραμμικά αρκεί να δεί-

ξουμε ότι η ορίζουσά

τους είναι ίση με το μη-

δέν. Και, αντιστρόφως αν

γνωρίζουμε ότι δύο δια-

νύσματα είναι συγγραμ-

μικά τότε η ορίζουσά της

είναι ίση με μηδέν.



Λύση

Αφού v u v / /u οπότε

23κ 1 2κ 4det v,u 0 0

3 κ 2

2 2 23κ 1 κ 2 3 2κ 4 0 3κ 6κ κ 2 2κ 4 0

2κ 5κ 6 0 κ 6 κ 1 0 κ 6 ή κ 1

Για κ 6 είναι v 19,76 και

u 1, 4

Δηλαδή v 19,76 19 1, 4 19u

Άρα v u οπότε η τιμή κ=6 απορρίπτεται

Για κ 1 είναι v 2,6 και

u 1,3

Δηλαδή v 2,6 2 1,3 2u άρα

v u

Τελικά λοιπόν κ 1

Λύση

Δίνονται τα διανύσματα 2v 3κ 1,2κ 4

και u 1,κ 2

με κℝ

Να βρεθεί η τιμή του κℝ ώστε τα διανύσματα v

και u

να είναι ομόρρο-πα.

Δίνονται τα διανύσματα

ΟΑ x 1,x

, ΟB 2x 1,x 1

και ΟΓ 1,3

Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου.


1ο

Κεφάλαιο


Αρκεί να δείξουμε ότι τα σημεία Α, Β, Γ δεν είναι συνευθειακά δηλαδή AB / /

AΓ

Έχουμε AB ΟΒ ΟΑ 2x 1,x 1 x 1,x x 2, 1

και AΓ ΟΓ ΟΑ 1,3 x 1,x 1 x 1,3 x 2 x,3 x

Οπότε

x 2 1det ΑΒ,ΑΓ x 2 3 x 2 x

2 x 3 x

2 23x x 6 2x 2 x x 4x 8

Δ 16 32 16 άρα

2x 4x 8 0 det ΑΒ,ΑΓ 0 οπότε AB / /

AΓ

Μέτρο Διανύσματος

Λύση

α) Είναι α 3, 4 άρα

22α 3 4 9 16 25 5

β) Είναι β α άρα

β λ α με λ 0

Οπότε β λ 3,4 3λ,4λ

Αλλά

2 2β 2 α 9λ 16λ 10

λ 0

5 λ 10 5λ 10 λ 2

Άρα β -2 α 2 3, 4 6,8

Δίνεται το διάνυσμα α 3i 4j

α) Να βρείτε το α

β) Να βρείτε διάνυσμα β

αντίρροπο του α

και με διπλάσιο μέτρο




Λύση

Ας είναι Κ(x,y) με

ΚΑ ΚΒ ΚΑ ΚΒ και

ΚΓ ΚΔ ΚΓ ΚΔ

Όμως ΚΑ 2 x,2 y άρα

2 2

ΚΑ 2 x 2 y

ΚΒ x,4 y άρα

22ΚΒ x 4 y

ΚΓ 1 x, 4 y άρα

2 2

ΚΓ 1 x 4 y

ΚΔ 2 x,3 y άρα

2 2

ΚΔ 2 x 3 y

Οπότε

2 2 22ΚΑ ΚΒ 2 x 2 y x 4 y

2 2 2 24 4x x 4 4y y x 16 8y y

4y 4x 8 y x 2 (1)

Ακόμη

2 2 2 2ΚΓ ΚΔ 1 x 4 y 2 x 3 y

2 22 21 2x x 4 y 2 x 9 6y y

2 2 2 21 2x x 16 8y y 4 4x x 9 6y y

3 2

14y 6x 4 y x7 7

(2)

Να βρεθεί σημείο Κ που να ισαπέχει από τα σημεία Α(2,2), Β(0,4) και να ισαπέχει επίσης από τα σημεία Γ(1,-4), Δ(-2,3).


Α

Γ

Β

Δ

Κ

1ο

Κεφάλαιο


(1)

2 3 2

x 2 x 7x 14 3x 2 4x 16 x 47 7

Έτσι λοιπόν (2) 12 2

y y 27 7

Άρα Κ(-4,-2)


Λύση

α) Είναι AΒ 4,4 άρα

AΒ

4λ 1

4και

ΓΔ 3, 3 άρα

ΓΔ

3λ

3

β) Έχουμε AΒ

λ 1 εφφ 1 άρα π

φ4

γ) Έχουμε ΓΔ

3 3λ εφω

3 3άρα

5πφ

6

Έτσι λοιπόν 5π π 7π

AΒ,ΓΔ φ ω6 4 12

Δίνονται τα σημεία Α(2,3), Β(6,7), Γ(3,0), Δ(0, 3 )

α) Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης των ΑΒ

και ΓΔ

β) Να βρείτε τη γωνία φ που σχηματίζει το ΑΒ

με τον x΄x

γ) Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζουν μεταξύ τους τα ΑΒ

και ΓΔ


Αν έχουμε θεωρητική άσκηση που δεν παρουσιάζονται συντεταγμένες μπο-

ρούμε μόνοι μας να βάλουμε συντεταγμένες.

Συνήθως τοποθετούμε το σχήμα μας έτσι ώστε μια κορυφή (ή άλλο χαρακτη-

ριστικό του σημείο) να βρίσκεται στην αρχή των αξόνων και μια πλευρά του (ή

άλλη χαρακτηριστική ευθεία του σχήματος) να βρίσκεται σε έναν άξονα.

Με αυτόν τον τρόπο επιτυγχάνουμε να έχουμε λιγότερους αγνώστους άρα

ευκολότερες πράξεις.

Α

Β

ΓΔ



ΛύσηΑς είναι το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ η διάμεσος

που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ΒΓ

Αρκεί να δείξουμε ότι ΒΓ

ΑΔ2

Χωρίς περιορισμό της γενικότητας θεωρούμε Α(0,0)

Τότε είναι Γ(0,γ) και Β(β,0)

Επίσης Δ μέσο ΒΓ άρα B Γ B Γx x y yΔ ,

2 2

ή β γ

Δ ,2 2

Άρα β γ

ΑΔ ,2 2

οπότε

2 2 2 2 2 22 2 β γβ γ β γ β γΑΔ

2 2 4 4 4 2

(1)

καθώς και ΒΓ β, γ

οπότε 22 2 2ΒΓ β γ β γ

(2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) εύκολα προκύπτει ότι ΒΓ

ΑΔ2

Λύσηα) Ας είναι Σ(0,0), Α(α,0), Β(β,0), Γ(0,γ), Δ(0,δ)

Το κέντρο του κύκλου έχει συντεταγμένες α β γ δ

Ο ,2 2

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ. Να δείξετε ότι η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό αυτής.


Δίνεται κύκλος (O,R) και 2 χορδές του ΑΒ, ΓΔ κάθετες στο Σ. Να δείξετε ότι:

α) 2ΟΣ ΟΑ ΟΒ ΟΓ ΟΔ

β) Αν Κ, Λ μέσα των ΑΔ, ΒΓ αντίστοιχα τότε το ΟΚΣΛ είναι παραλληλό-γραμμο.


Α

Β

Γ

Δ

1ο

Κεφάλαιο


Έτσι λοιπόν έχουμε 2ΟΣ ΟΑ ΟΒ ΟΓ ΟΔ

α β γ δ α β γ δ α β γ δ2 , α , β ,

2 2 2 2 2 2

α β γ δ α β γ δ,γ ,δ

2 2 2 2

2α α β γ δ 2β α β γ δ

α β, γ δ , ,2 2 2 2

α β 2γ γ δ α β 2δ γ δ, ,

2 2 2 2

α β γ δ β α γ δ

α β, γ δ , ,2 2 2 2

α β γ δ α β δ γ, ,

2 2 2 2

α β β α α β α β γ δ γ δ γ δ δ γ

α β, γ δ ,2 2 2 2 2 2 2 2

2α 2β 2γ 2δ

α β, γ δ ,2 2

α β, γ δ α β, γ δ που ισχύει

β) Κ μέσο ΑΔ άρα α δ

Κ ,2 2

και Λ μέσο ΒΓ άρα β γ

Λ ,2 2


β γ α α β δ γ δ β γ β γΛΣ ΟΚ 2 0 ,0 , , ,

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

που ισχύει

ΛΒ

Γ

Δ

Α

Κ

Ο ΣΖ

Ε




Συντεταγμένες Σημείου – Συντεταγμένες Διανύσματος

1) Δίνεται το σημείο 2 2Α λ 4λ 3,λ λ 6 με λℝ

Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε:

α) Το σημείο Α να ανήκει στον άξονα x΄x

β) Το σημείο Α να ανήκει μόνο στον άξονα y΄y

γ) Το σημείο Α να μην ανήκει σε κανένα άξονα

δ) Το σημείο Α να είναι η αρχή των αξόνων

2) Δίνεται το σημείο Α λ 2,λ 1 με λℝ

Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε

α) Το σημείο Α να βρίσκεται στο 1ο τεταρτημόριο

β) Το σημείο Α να βρίσκεται στο 2ο τεταρτημόριο

γ) Το σημείο Α να βρίσκεται στο 3ο τεταρτημόριο

δ) Το σημείο Α να βρίσκεται στο 4ο τεταρτημόριο

3) Δίνονται τα σημεία M(x,y). Να βρεθεί η θέση των σημείων Μ στο καρτε-

σιανό επίπεδο για το οποία ισχύει ότι:

α) x 3 β) y 4 γ) x 3

1ο

Κεφάλαιο


δ) y 2 ε) x 1 και y 1 στ) y 4 και x 1

4) Να βρεθούν οι συντεταγμένες των παρακάτω διανυσμάτων

α) α 7i 6j

β) β 5j 4i

γ) γ 3i

δ) δ 4j

ε) u 5 i 4j 9 3i 2j

5) Να βρείτε τα κ, λℝ ώστε τα σημεία Α κ 1,2 , Β λ 2,λ να είναι

συμμετρικά ως προς

α) Την αρχή των αξόνων

β) Τον άξονα x΄x

γ) Την διχοτόμο της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων

6) Δίνονται τα διανύσματα 2

λα , 3

λ 1

, 22

β ,λ 4λ 13

με

λ ℝ 1,1

Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε τα διανύσματα α

, β

να είναι ίσα.

7) Δίνονται τα διανύσματα α κ 1,λ 2

και β λ,2κ 1

. Να βρείτε τα

κ, λ ώστε:

α) Το α

να είναι το μηδενικό διάνυσμα

β) Τα α

, β

να είναι ίσα

γ) Τα α

, β

να είναι αντίθετα

8) Δίνεται το διάνυσμα u 2κ 3λ,κ λ 1

με κ, λℝ

Να βρείτε τα κ, λℝ ώστε το u

να είναι το μηδενικό διάνυσμα.



9) Δίνονται τα διανύσματα

2 2α 4λ λ 2,5λ λ 1

και 2 2β λ λ 1,3λ 2λ 2

με λℝ

Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του λ ώστε τα α

, β

να είναι αντίθετα

10) Δίνονται τα διανύσματα 2α κ 4μ 1,2ρ 3

και 2β μ 2κ 4,ρ

με

κ, μ, ρℝ. Να βρείτε τους κ, μ, ρ ώστε να είναι α β

.

11) Δίνεται το διάνυσμα 2 2α λ 5λ 6,λ 9

με λℝ.

Να βρείτε τις τιμές του λℝ ώστε

α) α 0

β) α / /x x

και α 0

γ) α / /y y

και α 0

12) Δίνεται το σημείο Α(2,3)

Να βρείτε:

α) Τις συντεταγμένες του διανύσματος AB

όταν Β(3,2)

β) Τις συντεταγμένες του Γ όταν AΓ 2,4

γ) Τις συντεταγμένες του Δ όταν 2AΔ 3ΔΕ

και Ε(5,4)

13) Δίνονται τα σημεία Α(x,4), B(5,y) και Μ(2,3) με x, yℝ. Nα βρείτε τις τι-

μές των x, y ώστε το Μ να είναι μέσο του ΑΒ.

14) Δίνονται τα σημεία Α(-2,-1) , Β(4,0) και Γ(6,1)

α) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του συμμετρικού σημείου του Α ως

προς το Β

1ο

Κεφάλαιο


β) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του συμμετρικού σημείου του Γ ως προς

το μέσο του ΑΒ

15) Δίνεται το σημείο Α(-2,3)

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β όταν τα Α, Β είναι συμμε-

τρικά ως προς το Κ(0,1)

β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β όταν τα Α, Β είναι αντιδια-

μετρικά σημεία κύκλου με κέντρο το Κ(-1,0).

16) Δίνονται τα σημεία Α(-3,-4), Β(2,3), Γ(4,5), Δ(-1,-2)

α) Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο

β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου του παραλληλογράμμου

ΑΒΓΔ

17) Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Α(-3,5), Β(1,7) και Μ(1,1) κέντρο

του παραλληλογράμμου. Να βρείτε τις συντεταγμένες των άλλων κορυ-

φών του.

Συντεταγμένες Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων

18) Δίνονται τα διανύσματα α 2,3

, β 5, 2

και γ 3, 4

Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων

α) u 3α β

β) v α 2β 3γ


και β 3,2

. Να βρεθεί διάνυσμα

u x,y

ώστε να είναι



α) u α β

β) u α β

γ) u κα

, κℝ δ) u κα λβ

, κ, λ ℝ


, β 1,7

και u 10, 13

. Να γρά-

ψετε το u


.


, β 2, 1

και u 3,4

. Να γράψετε

το u


.

22) Δίνονται τα σημεία Α(5,7), Β(-2,4) και Γ(3,-5)

Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων

α) ΑΒ

, ΒΓ

, ΑΓ

β) u 2ΑΒ 3BΓ

23) Δίνονται τα σημεία Α 6,4x , 2 2B y 5y,2x x 2 και

2Γ y 8,x 3x 1 με x, yℝ. Να βρείτε τους x, y ώστε ΑΒ ΑΓ

.

24) Α) Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ με Α(-2,-3), Β(4,1), Γ(2,2) και Δ(-1,0).

Να εκφραστεί το ΑΓ

ως γραμμικός συνδυασμός των ΑΒ

, ΑΔ

Β) Αν είναι 1

ΒΑ ΑΓ2

και ΔΚ 2ΚΑ

α) Να εκφραστεί εφόσον είναι δυνατόν το ΑΔ

ως γραμμικός συνδυα-

σμός των ΑΒ

, ΓΔ

.

β) Να εκφραστεί το ΚΔ

ως γραμμικός συνδυασμός των ΑΒ

, ΓΔ

.

1ο

Κεφάλαιο


25) Δίνονται τα σημεία Α(3,0), Β(-6,0), Γ(-8,0). Αν Μ, Ν τα μέσα των ΑΒ, ΒΓ αντίστοιχα και Κ, Λ τα μέσα των ΑΓ και ΜΝ αντίστοιχα να βρείτε:

α) Τις συντεταγμένες των σημείων Μ και Ν

β) Τις συντεταγμένες των σημείων Κ και Λ

γ) Τις συντεταγμένες του σημείου Ρ για το οποίο ισχύει ΡΑ ΡΒ ΡΓ 0

26) Δίνονται τα σημεία Κ(4,0), Λ(6,2) και Μ(3,5) τα οποία είναι μέσα των

πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ αντίστοιχα ενός τριγώνου ΑΒΓ. Να υπολογίσετε τις

συντεταγμένες των κορυφών του τριγώνου.

27) Δίνονται τα διανύσματα α, β

για τα οποία ισχύει ότι

α 2β 1, 8

3α β 3,9

Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων α, β

28) Οι τετμημένες των σημείων Α και Β είναι ρίζες της εξίσωσης

2 2x λ 3λ 2 x 199 0 με λ ℝ

Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ να

έχει τετμημένη ίση με 3

29) Έστω ότι οι συντεταγμένες ενός σημείου Α είναι ρίζες της εξίσωσης

2 2x λ 3λ 2 x λ 2 0 και οι συντεταγμένες ενός σημείου Β είναι

ρίζες της 2x λ 2 x 3 2λ 0 με λ ℝ 1 . Αν για το σημείο

Μ(xM,yM) ισχύει ΑΜ λΜΒ

και M Mx y 5 να βρείτε το λ.



Παράλληλα Διανύσματα – Συνευθειακά Σημεία

30) Δίνονται τα διανύσματα 2 2α x y , 3

και β 2y 3,1

. Να βρεθούν

οι x, yℝ ώστε α//β

31) Δίνονται τα διανύσματα 2α x y,y y x 1

και β 2,x y

. Να

βρεθούν οι x, yℝ ώστε α//β

32) Δίνονται τα σημεία Α 1 2λ,5λ 4 και 2 2Β λ 2λ,λ 2 με λ ℝ. Να

βρεθούν οι τιμές του λ ώστε το διάνυσμα ΑΒ

να είναι:

α) Παράλληλο στον y΄y β) Παράλληλο στον x΄x

33) Δίνονται τα σημεία 2 2Α λ λ 2,λ λ 1 και 2 2Β λ 2λ,λ 1 με λ ℝ.

Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε το διάνυσμα ΑΒ

να είναι παράλληλο στο

διάνυσμα u λ 5,λ 4

.

34) Να βρείτε τα α, β ℝ ώστε

α 3 i βj / /y y

και α 1 i 2βj / / i j

35) Να εξετάσετε αν τα σημεία Α(-6,1), Β(-2,3) και Γ(-10,-1) είναι συνευθεια-κά.

1ο

Κεφάλαιο


36) Να βρείτε τις τιμές του μℝ ώστε τα σημεία Α(1,0), 2Β μ ,3 και

Γ 5μ,9 να είναι συνευθειακά.

37) Να εξετάσετε αν τα σημεία Α(1,-1), Β(2,1) και Γ(-1,5) είναι κορυφές τρι-

γώνου.

38) Να βρείτε τις τιμές του λℝ ώστε τα σημεία Α(-3,1), Β(μ,3) και

Γ 5,1 μ να είναι κορυφές τριγώνου.


, β 2,5

και γ 0, 1

.

α) Να δείξετε ότι τα διανύσματα α, β

δεν είναι παράλληλα

β) Να αναλύσετε το διάνυσμα γ

σε δύο συνιστώσες παράλληλες στα α

και β

40) Δίνονται τα διανύσματα α x,1

και β 9,x

με xℝ. Να βρείτε τις

τιμές του x ώστε τα α, β

να είναι αντίρροπα.

Μέτρο Διανύσματος


, β 3,4

και γ 1,2

.

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των u 2α 3β

και v α 2β γ

β) Να βρείτε τα μέτρα των α, β, γ, u, v




, β 1,1

και γ 2,3

.

Να υπολογίσετε τα α) α β γ

β) α β β γ α γ

43) Αν α λ,λ 1

με λℝ. Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε 3α 15

44) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος α

για τα οποία ισχύει ότι

α α 4,8

45) Αν u 1,2

, v 1,0

και α u α v

να βρείτε το α

46) Δίνονται οι κορυφές Α(2,9), Β(3,4), Γ(5,7) του τριγώνου ΑΒΓ και το διάνυ-

σμα x κ 2,λ 5

με κ, λ ℝ.

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΒ

, ΒΓ

, ΑΓ

.

β) Να βρείτε τις τιμές των πραγματικών αριθμών κ, λ για τις οποίες ισχύει

x BΓ 2ΑΒ

γ) Να υπολογίσετε το x

.

δ) Να υπολογίσετε το μήκος της διαμέσου ΑΜ.

ε) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Γ.

47) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ 3i 4j

και ΑΓ 12i 5j

όπου i, j

γνωστά

μοναδιαία διανύσματα, κάθετα μεταξύ τους.

α) Να εκφραστεί το ΒΓ

ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων i, j

και να υπολογιστούν τα μήκη των πλευρών του τριγώνου.

1ο

Κεφάλαιο


β) Να εκφραστεί η διάμεσος ΑΜ

ως γραμμικός συνδυασμός των διανυ-

σμάτων i, j

και να υπολογίσετε το μήκος της.

48) Να βρείτε διάνυσμα β

αντίρροπο του διανύσματος α 6,8

με μέτρο

τριπλάσιο από το α

49) Δίνεται το διάνυσμα v i 2j

. Να βρείτε διάνυσμα που να έχει μέτρο

διπλάσιο του v

και να είναι ομόρροπο του v

.

50) Να βρείτε το μοναδιαίο διάνυσμα το οποίο είναι ομόρροπο με το διάνυ-

σμα α 2i j

51) Δίνονται τα σημεία Α(-2,1), Β(-5,2). Να βρείτε σημείο Γ του άξονα x΄x ώ-στε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ορθογώνιο στο Γ.

52) Δίνονται τα σημεία Α(-2,-5) και Β(3,-4). Να βρείτε σημείο Γ του άξονα x΄xώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές με βάση την πλευρά ΑΒ.


53) Δίνονται τα διανύσματα α 2, 2

, β 0, 1

, γ 2,0

και

δ 1, 3

α) Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης καθενός από τα διανύσματα

α, β, γ, δ

αν ορίζονται.

β) Να υπολογίσετε τη γωνία που σχηματίζει καθένα από τα διανύσματα

α, β, γ, δ

με τον άξονα x΄x.

54) Nα βρείτε τη γωνία φ που σχηματίζει με τον x΄x το διάνυσμα ΑΒ

όταν Α(2,4) και Β(4,2).




και β 3,1

. Αν φ και ω οι γωνίες που

σχηματίζουν τα διανύσματα α

, β

αντίστοιχα με τον x΄x, να δείξετε ότι

πφ ω

4

56) Δίνονται τα διανύσματα α x 1,2

και β x,2x 1

με xℝ

α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα α

, β

δεν είναι συγγραμμικά για κά-

θε xℝ

β) Αν x 3 να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το α

με τον x΄x

γ) Aν x 1 να γράψετε το διάνυσμα γ 3i

ως γραμμικό συνδυασμό

των α

και β

δ) Αν x 2 να βρείτε ένα διάνυσμα αντίρροπο του α

που να έχει μέτρο 10

57) Σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οxy δίνεται το σημείο

A x y,3y και το διάνυσμα OB 2x y,x y

με x, yℝ. Να βρείτε τα

x, y ώστε το OA

να σχηματίζει με τον άξονα x΄x γωνία 315ο και AB 4

.

58) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος v

αν είναι γνωστό ότι σχη-

ματίζει μη κυρτή γωνία με τον ημιάξονα Οx, έχει v 10

και είναι παράλληλο

προς το διάνυσμα u 3, 4

Γεωμετρικά Θέματα

59) Να δείξετε ότι τα ευθύγραμμα τμήματα που ενώνουν τα μέσα των απέ-ναντι πλευρών κυρτού τετραπλεύρου και τα μέσα των διαγωνίων του, δι-χοτομούνται.

60) Να δείξετε ότι οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διχοτομούνται.

1ο

Κεφάλαιο


61) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ, Ε, Ζ σημεία τέτοια ώστε να ισχύουν

2AΔ AB

3

, ΒΕ 5ΒΓ

,5

AΖ AΓ7

. Να δείξετε ότι τα σημεία Δ, Ε, Ζ είναι

συνευθειακά

62) Με βάση την πλευρά ΑΒ τετραγώνου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε στο εσωτε-ρικό του ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΕ. Στη συνέχεια με βάση την πλευρά του ΒΓ κατασκευάζουμε εξωτερικά το ισόπλευρο τρίγωνο ΒΓΖ. Να δείξετε ότι τα σημεία Δ, Ε, Ζ είναι συνευθειακά.

1ο

Κεφάλαιο


1.5 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων

Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη

μηδενικών διανυσμάτων α

και β

το συμ-

βολίζουμε με α β

τον πραγματικό αριθμό:

α β α β συνφ

Όπου φ α,β

η γωνία των διανυσμάτων α

, β

Αν ένα τουλάχιστον από τα α

, β

είναι το 0

τότε ορίζουμε α β 0

Άμεσες συνέπειες του παραπάνω ορισμού είναι οι εξής:

1) α β β α

(Αντιμεταθετική ιδιότητα)

2) α β α β 0

3) α β α β α β

4) α β α β α β

5)22

α α

(Απόδειξη:22

α α α α α συν0= α

)

6) i j j i 0

αφού i j

( όπου i, j

τα μοναδιαία διανύσματα)

7)22

i 1i

καθώς και 22

j 1j

Το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων

1 1α ,x y και

2 2β ,x y είναι

1 2 1 2α β x x y y

ΑπόδειξηΈστω το διπλανό καρτεσιανό σύστημα συντε-ταγμένων.Με αρχή το σημείο Ο παίρνουμε τα διανύσμα-

τα OA α

και OB β

Εσω

τερι

κό

Γιν

όμεν

οΑ

ναλ

υτικ

ή Έ

κφρα

ση

Εσω

τερι

κού

Γιν

ομέν

ουΙδ

ιότη

τες

Α(x1,y1)B(x2,y2)

Ο

α

β

β

αφ

Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων


Από το νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΟΑΒ έχουμε ότι:

2 2 2

ΑΒ ΟΑ ΟΒ 2 ΟΑ ΟΒ συν ΑΟΒ

(1)

η οποία ισχύει και στην περίπτωση που τα σημεία Ο, Α, Β είναι συ-νευθειακά. Όμως είναι

222 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1ΑΒ ΑΒ x x y y x x y y

222 2 2 2 2

1 1 1 1OA OA x y x y

222 2 2 2 2

2 2 2 2OB OB x y x y

Από τη σχέση (1) λοιπόν διαδοχικά έχουμε:

2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 1 1 2 2

2 2 2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2

1 2 1 2

1 2 1

2

2

1 1 2

2 ΟΑ ΟΒ συν ΑΟΒ

2 2 2ΟΑ Ο

α

Β

2 2 2ΟΑ ΟΒ

ΟΑ ΟΒ

β

x x y y x y x y

x x x x y y y y x y x y

x x y y

x x

x x y

y y

y

Δηλαδή:Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των ομώνυμων συντεταγμένων τους.

Με τη βοήθεια της αναλυτικής έκφρασης του εσωτερικού γινομένου των διανυσμάτων προκύπτουν οι παρακάτω ιδιότητες:

1)

λα β α λβ λ α β

Απόδειξη

Έστω 1 1α ,x y

και 2 2β ,x y

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2λα β λ ,λ , λ λ λ λ α βx y x y x x y y x x y y

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2α λβ , λ , λ λ λ λ α βx y x y x x y y x x y y

Άρα λα β α λβ λ α β

2) α β γ α β α γ (Επιμεριστική Ιδιότητα)

Απόδειξη

Έστω 1 1α ,x y

, 2 2β ,x y

και 3 3γ ,x y

1 1 2 2 3 3 1 1 2 3 2 3α β γ , , , , ,x y x y x y x y x x y y

Ανα

λυτ

ική

Έκφ

ραση

Ε

σωτε

ρικο

ύ Γ

ινομ

ένου

Ιδιό

τητε

ς

1ο

Κεφάλαιο


1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 1 2 1 3

1 2 1 2 1 3 1 3 α β α γ

x x x y y y x x x x y y y y

x x y y x x y y

3)α β

α β λ λ 1

εφόσον α,β / /

y'y

Απόδειξη

Έστω 1 1α ,x y

και 2 2β ,x y

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

α β1 2 1 2

α β α β 0 0

1 1 1

x x y y y y x x

y y y y

x x x x

ΠΡΟΣΟΧΗ !!!Παρακάτω θα αναφέρουμε μερικές βασικές ιδιότητες που δεν ισχύ-ουν, για αποφυγή λαθών1) Δεν ισχύει γενικά η προσεταιριστική ιδιότητα δηλαδή είναι

α β γ α β γ

γιατί το α΄ μέλος είναι ένα διάνυσμα παράλλη-

λο με το γ

ενώ το β΄ μέλος είναι ένα διάνυσμα παράλληλο με το

α

. Η προσεταιριστική ιδιότητα ισχύει μόνο στις παρακάτω περι-πτώσεις:

Αν ένα από τα α, β, γ

είναι το 0

Αν α β

και β γ

Αν α / /γ

2) Δεν ισχύει η ιδιότητα της διαγραφής

Δηλαδή α γ β γ

δεν συνεπάγεται ότι α β

.

Ισχύει όμως το αντίστροφο, δηλαδή α β α γ β γ

Επίσης αποδεικνύεται ότι ο νόμος της διαγραφής ισχύει μόνο αν

τα α, β, γ

είναι συγγραμμικά και γ 0

3) Δεν ισχύει η σχέση α β α β

δηλαδή α β α β

Η ισότητα ισχύει μόνο στις περιπτώσεις όπου

α 0

ή β 0

α / /β

4) Δεν ισχύει η σχέση 2 2 2

α β α β

δηλαδή 2 2 2

α β α β

Η ισότητα ισχύει μόνο στις περιπτώσεις όπου

α 0

ή β 0

α / /β

Ιδιό

τητε

ς



Ισχύουν οι παρακάτω ταυτότητες:

1) 2 2 22 2

α β α 2α β β α 2α β β

2) 2 2 22 2

α β α 2α β β α 2α β β

3) 2 22 2

α β α β α β α β

4) 2 2 2 2

α β γ α β γ 2α β 2α γ 2γ β

Δεν ορίζονται οι δυνάμεις διανυσμάτων με περιττούς εκθέτες

Από το ορισμό του εσωτερικού γινομένου δύο διανυσμάτων προ-κύπτει ότι

α βσυνφ

α β

όπου φ α,β

Αν επιπλέον είναι 1 1α ,x y

και 2 2β ,x y

τότε από τον παρα-

πάνω τύπο προκύπτει ότι

1 2 1 2

2 2 2 21 1 2 2

συνφx x y y

x y x y

όπου φ α,β

Για τον υπολογισμό του εσωτερικού γινομένου χρήσιμος είναι ο παρακάτω πίνακας:

Έστω α,β

δύο διανύσματα του επιπέδου με

α 0

. Με αρχή ένα σημείο Ο θεωρούμε τα

διανύσματα ΟΑ α

και ΟΒ β

. Από το ση-

μείο Β φέρνουμε ΒΒ1 κάθετη στη διεύθυνση

του α

. Το διάνυσμα 1ΟΒ

λέγεται προβολή του

β

στο α

και συμβολίζεται με 1 αΟΒ προβ β

.

Ταυ

τότη

τες

Συν

ημίτ

ονο

Γω

νίας

δύο

Δια

νυσμ

άτω

ν Π

ροβο

λή

Δια

νύσμ

ατος

σε

Διά

νυσμ

α

Ο

αβ

β

α

Β

Α

Β1

φ

0ο

30ο

45ο

60ο

90ο

120ο

135ο

150ο

180ο

0 π6

π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6

π

συνφ 1 32

22

12

0 12

22

32

-1

1ο

Κεφάλαιο


Ισχύει ότι α

α β α προβ β

ΑπόδειξηΔιαδοχικά έχουμε

1

11 1 1 1 α

α Β Β

α Β Β 0α β α ΟΒ Β Β α ΟΒ α Β Β α προβ β

Αποδεικνύεται ότι η α

προβ β

είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του

σημείου Ο.

Προ

βολ

ή Δ

ιανύ

σματ

ος

σε Δ

ιάνυ

σμα




Λύση

α) 1α β α β συν α,β 1 2 1

2

β) 2 22 2 2 2α β α β α β α β 1 2 1 4 3

Αν γνωρίζουμε τα μέτρα δύο διανυσμάτων α, β

και τη γωνία τους

α,β

τότε μπορούμε να υπολογίσουμε:

Το α β

Το μέτρο οποιουδήποτε διανύσματος λα μβv

υπολογίζοντας το

2 2 2 2 2

2 22 22 2 2 2

λα μβ λα μβ 2λα μβ

λ α μ β 2λμα β λ α μ β 2λμα β

v v

και κατόπιν το v

Τη γωνία δύο διανυσμάτων της μορφής 1 1 1λ α μ βv

και

2 2 2λ α μ βv

από τη σχέση

1 21 2

1 2

συν ,v v

v vv v

με 1 2, 0v v

Τη προβολή οποιουδήποτε διανύσματος που είναι γραμμικός συν-

δυασμός των α, β

πάνω σε ένα μη μηδενικό διάνυσμα που είναι

επίσης γραμμικός συνδυασμός των α και β

Έστω α

, β

δύο διανύσματα του επιπέδου με α 1

, β 2

και

πα, β

3

. Να υπολογισθούν τα εσωτερικά γινόμενα:

α) α β

β) α β α β

γ) 2

α β

δ) 2α β α 2β


1ο

Κεφάλαιο


γ) 2 22 2 2 2 2α β α 2α β β α 2 β 1 2 2 1 2 4 3

δ) 2 22 2

2α β α 2β 2α 4αβ αβ 2β 2 α 5αβ 2 β

2 22 1 5 1 2 2 15

Λύση

Αρχικά υπολογίζουμε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων α,β

2 1α β α β συν α,β 2 5συν 10 5

3 2

Έτσι λοιπόν είναι:

2 2 22

2 22 2

2 2

5α 4β 5α 4β 5α 2 5α 4β 4β

25α 40αβ 16β 25 α 40αβ 16 β

25 2 40 5 16 5 100 200 400 700

Άρα

5α 4β 700 10 7

Λύση

3π 2α β α β συν α,β 2 2 4συν 8 2 8

4 2

Για να εκφράσουμε το διάνυσμα x

ως γραμμικό συνδυασμό των α,β

αρκεί να

βρούμε κ, λℝ τέτοια ώστε x κα λβ

(1)

Για να βρούμε το μέτρο ενός δια-νύσματος θεω-ρούμε το τετρά-γωνο του μέτρου.

Αν α 2 2

, β 4

και 3α, β

4

α) Να υπολογισθεί το εσωτερικό γινόμενο α β

β) Να εκφράσετε ως γραμμικό συνδυασμό των α

, β

το διάνυσμα x

για

το οποίο ισχύει ότι x α 4

και x β 5


Αν α 2

, β 5

και 2πα, β

3

να υπολογισθεί το 5α - 4β




Επιπλέον από τα δεδομένα έχουμε ότι

22

1

x α 4 κα λβ α 4 κα λαβ 4 κ α λαβ 4

2

κ 2 2 λ 8 4 8κ 8λ 4 2κ 2λ 1 (2)

1 22

x β 5 κα λβ β 5 καβ λβ 5 καβ λ β 5

2

κ 8 λ 4 5 8κ+16λ 5 (3)

Λύνοντας το σύστημα των (2) και (3) έχουμε:

8κ+16λ 5 8κ+16λ 5 1λ

2κ 2λ 1 8κ 8λ 44 8

Από τη σχέση (2) προκύπτει ότι 1 3 3

2κ 1 2κ κ4 4 8

Άρα 3 1x α β

8 8

Λύση

α) Αρχικά υπολογίζουμε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων α,β

π 1α β α β συν α,β 2 3συν 6 3

3 2


2 2 2 2 2 2

2 22 2

α 2β α 2β α 2 2αβ 2β α 4αβ 4β

α 4αβ 4 β 2 4 3 4 3 4 12 36 52

Άρα α 2β 52 2 13

Δίνονται τα διανύσματα α, β

για τα οποία ισχύουν

α 2

, β 3

και πα, β

3

α) Να υπολογισθεί το α 2β

β) Να υπολογισθεί το συν α,α 2β


Μέτρο διανύ-σματος άρα θεωρούμε το τετράγωνο του μέτρου.

1ο

Κεφάλαιο


β) Έχουμε α α 2β

συν α,α 2βα α 2β

(1)

Επιπλέον 22α α 2β α 2αβ α 6 4 6 10

Άρα από τη σχέση (1) προκύπτει ότι 10 5 13συν α,α 2β

262 2 13

Λύση

α) i) α β 1,3 2,5 1 2 3 5 2 15 13

ii) 2α 3β 6α β 6 13 78

iii) α β 3α β 1,3 2,5 3 1,3 2,5

3, 2 3,9 2,5 3, 2 1,14 3 28 25

β) 5

u β 0 κ,λ 2,5 0 2κ 5λ 0 2κ 5λ κ λ2

Όλα τα διανύσματα u

είναι κάθετα στο βαφού όπως γνωρίζουμε από τη

θεωρία μας α β α β 0

Ισχύει ότι:

α βσυν α,β

α β

Αν γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων α, β

τότε για να υπολο-

γίσουμε το εσωτερικό τους γινόμενο χρησιμοποιούμε τον τύπο:

1 2 1 2α β x x y y

με 1 1α x ,y

και 2 2β x ,y

Αν α 1,3

και β 2,5

τότε:

α) Να βρείτε τα εσωτερικά γινόμενα

i) α β

ii) 2α 3β

iii) α β 3α β

β) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τους κ, λℝ, ώστε το εσωτερικό γινό-

μενο των διανυσμάτων u κ,λ

και β

να είναι ίσο με το μηδέν. Ποια

η σχέση όλων των διανυσμάτων u

στην περίπτωση αυτή;




Λύση

Αφού 4α 2β 3α 4β 4α 2β 3α 4β 0

2 2

2 2

22

12α 16αβ 6αβ 8β 0

12 α 10αβ 8 β 0

12 2 10αβ 8 6 0

48 10αβ 48 0

10αβ 0 αβ 0

Λύση

Έχουμε

2α β α β 2α β α β 0

2 2 2 22α 2αβ αβ β 0 2α αβ β 0

(1)

α 2β 2α β α 2β 2α β 0

2 2 2 22α αβ 4αβ 2β 0 2α 3αβ 2β 0

(2)

Έχουμε λοιπόν το παρακάτω σύστημα

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2α αβ β 0 6α 3αβ 3β 03 58α 5β 0 α β

82α 3αβ 2β 0 2α 3αβ 2β 0

(3)

Για δύο διανύσματα α, β

ισχύει ότι

α 2

, β 6

και 4α 2β 3α 4β

Να δείξετε ότι α β


Για να δείξουμε ότι δύο διανύ-σματα είναι κά-θετα αρκεί να δείξουμε ότι έ-χουν εσωτερικό γινόμενο μηδέν.

Για δύο διανύσματα α, β

ισχύει ότι

2α β α β

και α 2β 2α β

Να βρείτε το συν α,β


Κάθετα διανύ-σματα άρα … ε-σωτερικό γινόμε-νο μηδέν.

1ο

Κεφάλαιο


2 2 2 2 23 5 5 1

2 β αβ β 0 αβ β β αβ β8 4 4

1

Επιπλέον 2 22 25 5 5

α β α α β8 8

3 β8

Άρα 22

2

1 1 1β β

α β 2 104 4 4συν α,β205 5 5 2 5α β

β β β8 8 2 2

Λύση

2α β α β 0 xy,y 2x x 6,2 0

2xy x 6 2 y 2x 0

διαιρούμε2 2

με 2xy 0x y 6xy 2y 4x 0

2 2x y 6xy 2y 4x0

2xy 2xy 2xy 2xy

x y 2 x y 23 0 3

2 x y 2 x y (1)

Όμως x y 2

12 x y

Άρα

33 3

3 3 3 3x y 2 x y 2

32 y 2 x yx

Οπότε

33 3

3 3 3x y 2

2 x y

ή

22 x

x 2yx y 2 y2

2 x y xy 4xy 4

2

3

xy 2y

2x 2

x 8

α βσυν α,β

α β

Αν τα διανύσματα 2α xy, y 2x

και β x 6,2

με x,yℝ*+ είναι κά-

θετα, να βρείτε τα x, y.


Κάθετα διανύ-σματα άρα … ε-σωτερικό γινόμε-νο μηδέν και α-φού γνωρίζουμε τις συντεταγμέ-νες θα δουλέ-ψουμε με την αναλυτική έκ-φραση του εσω-τερικού γινομέ-νου.

Ισχύει ότι αν3 3 3α +β +γ 3αβγ

τότεα+β+γ 0 ή

α=β=γ



Λύση

Ισχύει ότι ΑΜ ΑΓσυν ΑΜ,ΑΓ

ΑΜ ΑΓ

Αφού το Μ μέσο της ΒΓ έχουμε ότι

B Γ

B Γ

1 3x x

x 22 22 4 y 1

y y2 2

M MM

MM M

x x

y y

άρα Μ(-2,1)

Έτσι λοιπόν ΑΜ 3, 1

με 2 2

ΑΜ 3 1 10

Καθώς και ΑΓ 4,2

με 2 2ΑΓ 4 2 20

Τέλος, ΑΜ ΑΓ 4,2 3, 1 4 3 2 1 10

Έτσι λοιπόν 10 2συν ΑΜ,ΑΓ συν ΑΜ,ΑΓ

210 2

Οπότε πΑΜ,ΑΓ

4

γιατί ως γνωστόν 0 ΑΜ,ΑΓ π

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(1,2), Β(-1,-2) και Γ(-3,4). Να βρείτε την γωνία που σχηματίζει η διάμεσος ΑΜ με την πλευρά ΑΓ.


Α(1,2)

Β(-1,-2) Γ(-3,4)Μ

Προβολή Διανύσματος

Η προβ uv

είναι ένα διάνυσμα παράλληλο με το

v 0 . Για να υπολογί-

σουμε την προβολή του διανύσματος u

πάνω στο v

Θέτουμε προβ u = λvv

Αντικαθιστούμε στη σχέση u v v προβ uv

, οπότε

22

2

u vu v v λv u v λv u v λ v λ

v

άρα 2

u vπροβ u = v

vv

v

v

u

προβ vu

1ο

Κεφάλαιο


Λύση

Με βάση την παραπάνω μεθοδολογία ισχύει ότιβ

προβ α = λβ

(1)

Πολλαπλασιάζοντας την (1) με το διάνυσμα β

έχουμε

ββ προβ α β α

22

β

22

β προβ α = λβ β α = λ β

62 3 3 4 λ 3 4 6 12 5λ λ

5

Άρα από την (1) έχουμε

β β

6 18 24προβ α 3, 4 προβ α = ,

5 5 5

Λύσηα) Διαδοχικά έχουμε

α β 2 2 πσυν α,β συν α,β συν α,β α,β

2 42 2α β

Άρα α

, β


β) Η απροβ κα 2 κ β

είναι παράλληλη στο α

οπότε θα είναι -2λ=0 λ=0

Έτσι λοιπόν

α

α

προβ κα 2 κ β 4κα

κα 2 κ β προβ κα 2 κ β 4κα κα 2 κ β

κα 2 κ β α 4κα κα 2 κ β

2 22κα 2 κ α β 4κ α 4κ 2 κ α β

Να βρείτε την προβολή του διανύσματος α 2,3

πάνω στο διάνυσμα

β 3, 4

.



και β

για τα οποία ισχύει α 2

, β 2

και

α β 2

. Να δείξετε ότι:

α) Τα α

, β


β) Να υπολογίσετε τα κ, λℝ ώστε α

προβ κα 2 κ β = 4κα 2λβ




2 22

2 22

κ α 2 κ 2 4κ α 4κ 2 κ 2

κ 2 2 κ 2 4κ 2 4κ 2 κ 2

2κ

4 2κ 28κ 216κ 8κ

14 16κ κ

4

Ανάλυση Διανύσματος σε Κάθετες Συνιστώσες

Α) Όταν θέλουμε να αναλύσουμε το διάνυσμα γσε δύο κάθετες μετα-

ξύ τους συνιστώσες όπου η μία έχει τη διεύθυνση γνωστού διανύ-

σματος v

, ισχύει:

1 2γ γ γ

(1)

1γ //v

οπότε 1γ λv

(2)

2γ v

οπότε 2γ v 0

Αντικαθιστούμε την (2) στη σχέση (1) και γίνεται 2γ λv γ

Πολλαπλασιάζουμε εσωτερικά με το διάνυσμα v

οπότε

22

2γ v λv γ v γ v λ v

και υπολογίζουμε το λ

Από την (2) βρίσκουμε το 1γ

και στην συνέχεια από την (1)

βρίσκουμε το 2γ

Β) Όταν θέλουμε να αναλύσουμε ένα διάνυσμα γ

σε δύο άλλες συνι-

στώσες παράλληλες ή κάθετες γνωστών διανυσμάτων, τότε γρά-

φουμε το γ

ως γραμμικό συνδυασμό των παραλλήλων διανυσμά-

των προς τις συνιστώσες και με αντικατάσταση των συντεταγμένων των διανυσμάτων δημιουργούμε σύστημα για να βρούμε τις συνι-στώσες.

Δίνονται τα διανύσματα α 1,2

και β 3,1

. Να αναλύσετε το διάνυ-

σμα α

σε δύο συνιστώσες, κάθετες μεταξύ τους, που η μία να έχει τη διεύ-

θυνση του β


v γ

2γ

1γ

1ο

Κεφάλαιο


Λύση

Έστω 1γ

, 2γ

οι ζητούμενες συνιστώσες του α

Έχουμε ότι 1 2α γ γ

(1) με 1 2γ γ

(2)

Θεωρούμε ότι το 1γ

έχει τη διεύθυνση του β

δηλαδή 1γ λβ

(3)

Διαδοχικά λοιπόν έχουμε από τη σχέση (1)

2 22 2 22 1 1 1 2

2 2

α λβ γ γ α λγ β γ γ λαβ λ ββ λαβ λ β λαβ λ β 0

λ 0

λ λ 9 1 0 λ 10λ 0 λ 1 10λ 0 ή

1λ

10

Για λ 0 από τη σχέση (3) προκύπτει ότι 1 1γ 0 γ 0,0

το οποίο

απορρίπτεται.

Για 1

λ10

από τη σχέση (3) προκύπτει ότι

1 1 1

1 1 3 1γ - β γ - 3,1 γ ,

10 10 10 10

ενώ από τη σχέση (1) προκύπτει ότι

2 1 2 2

3 1 7 21γ α γ γ 1,2 , γ ,

10 10 10 10

Έστω ότι για τα α, β, γ

γνωρίζουμε τα μέτρα τους και ότι ισχύει η σχέση

α+κβ+μγ 0

(1)

Αν θέλουμε να υπολογίσουμε

Τα α β, β γ, γ α

Π.χ. το α β

τότε μετασχηματίζουμε την (1) ώστε στο ένα μέλος να εί-

ναι τα α, β

και παίρνουμε την ισότητα των τετραγώνων. Δηλαδή:

α+κβ μ1 =- γ

οπότε 2 2

α+κβ = -μγ ...

Το α β β γ γ α

και είναι κ μ 1 τότε από τη σχέση:

α+β+γ 0

έχουμε 2

α+β+γ 0 ...



Λύση

Είναι 2α-β+3γ 0 β 3γ 2α

(1)

Οπότε Α α β β γ γ α α 2α 3γ 2α 3γ γ γ α

2 2

2α 3αγ 2αγ 3γ αγ

2 2

2 α 6αγ 3 γ 11 6αγ

(2)

Επίσης β 3γ 2α

άρα

222 2 2

2 2 2

β 3γ 2α β 9γ 12αγ 4α

β 9γ 12αγ 4α

9 9 12αγ 16

12αγ 16

16αγ

12

4

αγ3

Από τη σχέση (2) έχουμε 4

Α 11 6 11 8 33

Αν έχουμε μια σχέση των α, β, γ 0

και μια σχέση των μέτρων τους π.χ.

α+κβ+μγ 0

(1) και 1 2 3

α β γ

λ λ λ

(2) και θέλουμε να δείξουμε π.χ.

α β

ή α β

τότε θέτουμε τους λόγους της (2) ίσον με το λ και

εκφράζουμε τα α , β , γ

συναρτήσει του λ.

Δηλαδή 1 2 3

α β γλ

λ λ λ

οπότε 1 2 3α λ λ , β λ λ , γ λ λ

Αρκεί να δείξουμε

Για α β

ότι α β α β

Για α β

ότι α β α β

Αν για τα διανύσματα α,

β

, γ

έχουμε ότι α 2

, β 3

, γ 1

και

2α-β+3γ 0

να βρεθεί το α β+β γ+γ α


1ο

Κεφάλαιο


Λύση

Για να δείξουμε ότι α β

αρκεί να δείξουμε ότι α β α β

Από την υπόθεση έχουμε ότι α β 2 (1)

Επιπλέον

2α β γ 0 2α β γ (2)

Υψώνοντας την σχέση (2) στο τετράγωνο έχουμε

2 2 2 2 2

2 2 2

2α β γ 4α 4α β β γ

4 α 4α β β γ

16 4α β 1 9

4α β 8

α β 2 (3)

Από (1) και (3) προκύπτει ότι α β α β άρα α β

Για να δείξουμε ότι γ β αρκεί να δείξουμε ότι

β γ β γ

Από την υπόθεση έχουμε ότι β γ 3 (4)

Επιπλέον

2α β γ 0 β γ 2α (5)

Υψώνοντας την σχέση (5) στο τετράγωνο έχουμε

2 2 2 2 2

2 2 2

β γ 2α β 2β γ γ 4α

β 2β γ γ 4 α

1 2β γ 9 16

2β γ 6

β γ 3 (6)

Από (1) και (3) προκύπτει ότι β γ β γ άρα

γ β


β

, γ

έχουμε ότι α 2

, β 1

, γ 3

και

2α+β+γ 0

να αποδείξετε ότι α β

και γ β




ΛύσηΈχουμε

2 2

2 2

2 2 2 2

5α-3β 5α+3β 5α-3β 5α+3β

5α-3β 5α+3β

25α -30αβ+9β 25α +30αβ+9β

-30αβ 30αβ

60αβ 0 αβ 0

ΛύσηΈχουμε να αποδείξουμε μια σχέση υπό συνθήκη οπότε αρχικά μετασχηματίζουμε τη συνθήκη.

2 2 2 2

-2 -2 = -2 =α β α α β α α β α

2α 2 2

-4α +4β β α

2-4α 4 0β β

2 24 4α αβ β β β

(1)2 2 2 2

2 2 4α β α β α β

(2)


22 2 2

2 2 2

2 2 2 2

1

2

3 +2 13 3 2 13 3 2 13

9 12α β 4β 13

9 4β 12β 4β 13 4β

α β α α β α α β α

α α

2 2

52β 52β , που ισχύει

Σε θεωρητικές ασκήσεις εφαρμόζουμε τις ιδιότητες που ισχύουν για τα δια-νύσματα. Αν έχουμε μέτρα, υψώνουμε στο τετράγωνο για να φύγουν τα μέ-τρα. Όταν πρόκειται να δείξουμε μια ισότητα είτε ξεκινάμε από κάποιο μέ-λος για να καταλήξουμε στο άλλο ή κάνουμε πράξεις και στα δύο μέλη για να καταλήξουμε σε κάτι που ισχύει.

Ισότητα με μέ-τρα διανυσμά-των οπότε υψώνουμε και τα δύο μέλη στο τετράγωνο.


β

είναι 5α 3β 5α 3β

να δείξετε ότι α β 0


Αν 2 2α β α β

να αποδείξετε ότι: 3 2 13α β α


1ο

Κεφάλαιο


Λύση

Έστω θ η γωνία των ,α β

. Τότε έχουμε:

α) α β 0

0

2

α

2

βα β α β α β α β

2 2 2

2

α β α 2 α β β

α

2

2α β β 2

α 2

2 α β β

2 α β

συν α,β 2 α β

συνθ=1 συνθ=συν0 θ=0 α β

β) 22


2 2 2

2

α β α 2 α β β

α

2

2α β β 2

α 2

2 α β β

2 α β

συν α,β 2 α β

συνθ -1 συνθ συνπ θ π α β

ΛύσηΜε βάση τον τύπο του εσωτερικού γινομένου έχουμε ότι:

2α+β 2α 2α+β 2α συν 2α+β,2α

2α+β 2α

συν 2α+β,2α =2α+β 2α

(1)

Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα α, β

του επιπέδου. Να αποδειχθεί

ότι:

α) α β α β α β

β) α β α β α β


Αν α = β =1

, και 2πα,β

3

να βρεθεί η γωνία 2α+β,2α

.




Υπολογίζουμε αριθμητή και παρονομαστή χωριστά.

Για τον αριθμητή έχουμε:

22

2α+β 2α 4α +2αβ 4 α 2 α β α,β

2π π4 2συν 4 2συν π-

3 3

π 1

4 2συν 4 2 4 1 3 3 2

(2)

Για τον παρονομαστή έχουμε:

22 2 2

2 2

2α+β 2α+β 4α +4αβ+β

4 α 4 α β συν α,β β

2π π4 4συν 1 5 4συν π-

3 3

π 1

5 4συν 5 4 5 2 3 2α+β 33 2

(3)

3 3 3 3 3 3συν 2α+β,2α

2 3 22 33 2α 2 3 α1

συν 2α+β,2α συν 2α+β,2α6 6

Λύση

Αρκεί να δείξουμε ότι ΚΛ ΝΕ 0

Θα βρούμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΚΛ, ΝΕ , ώστε να χρησιμοποιήσουμε την αναλυτι-

κή έκφραση του εσωτερικού γινομένου.

Κ μέσο ΑΒ

1+3 2+4Κ ,

2 2άρα Κ(2,3)

Λ

Α

Β Γ

Δ

ΕΚ

Ν

Δίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με Α(1,2), Β(3,4), Γ(5,4) και Δ(3,-2). Στην προέκταση της ΒΓ προς το Γ, παίρνουμε τμήμα ΓΕ, έτσι ώστε ΒΓ=2ΓΕ. Αν Κ, Λ, Ν είναι τα μέσα των ΑΒ, ΓΔ και ΑΔ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι ΚΛ ΝΕ .


1ο

Κεφάλαιο


Λ μέσο ΓΔ

5+3 4-2Λ ,

2 2άρα Λ(4,1)

Ν μέσο ΑΔ

2+ -21+3Ν ,

2 2άρα Ν(2,0)

Ε Ε

Ε Ε

Ε

Ε

ΒΓ=2ΓΕ ΒΓ 2ΓΕ 5-3,4-4 2 x -5,y -4

2,0 2x -10,2y -8

2x -10=2

2y -8=0

Ε Ε

Ε Ε

2x =12 x =6Ε 6,4

2y =8 y =4

Οπότε ΚΛ= 4-2,1-3 = 2,-2 και

ΝΕ= 6-2,4-0 = 4,4

Άρα ΚΛ ΝΕ 4,4 2,-2 8 8 0

δηλαδή ΚΛ ΝΕ

Εύρεση Γεωμετρικού Τόπου ενός σημείου Μ

Αν το σημείο Μ επαληθεύει μια διανυσματική σχέση γραμμικού συνδυασμού, τότε δίνουμε στη

σχέση τη μορφή ΑΜ λ α

, όπου Α σταθερό ση-

μείο και α

γνωστό διάνυσμα. Τότε ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι ευθεία ή τμήμα ευθεία που περνά από το σημείο Α και έχει τη διεύθυνση του

διανύσματος α

.

Αν το σημείο Μ επαληθεύει μια σχέση με μέτρα διανυσμάτων, τότε καταλήγουμε σε μια από τις παρακάτω σχέσεις

o ΜΑ κ

όπου Α σταθερό σημείο και κ > 0, ο-

πότε ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι κύκλος κέντρου Α και ακτίνας κ.

o ΜΑ ΜΒ

, όπου Α, Β σταθερά σημεία, οπότε

ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι η μεσοκάθε-τος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ.

Α Μ

α

(ε)

Μ

κ

Μ

Α Β



o ΜΑ ΜΒ κ

όπου Α, Β σταθερά σημεία και 2

4κ ΑΒ 0

Τότε παίρνουμε το μέσον Ο του ΑΒ και έχουμε:

22 2

ΜΑ ΜΒ κ ΟΑ ΟΜ ΟΒ ΟΜ κ

ΟΑ ΟΜ ΟΑ ΟΜ κ

ΟΑ ΟΜ κ ΟΜ κ ΟΑ

Οπότε ο γ.τ. είναι κύκλος με κέντρο το Ο και ακτίνα:2

ρ= 4κ ΟΑ

Αν το σημείο Μ επαληθεύει μια σχέση εσωτερι-κού γινομένου, τότε:

o Όταν ΟΜ ΑΒ 0

, όπου Ο, Α, Β σταθερά ση-μεία, τότε ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι κάθετη ευθεία από το Ο στο ΑΒ.

o Όταν ΜΑ ΜΒ 0

όπου Α, Β σταθερά ση-μεία τότε ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι κύκλος διαμέτρου ΑΒ.

o Όταν ΑΒ

προβ ΑΜ c

, όπου Α, Β σταθερά ση-

μεία, τότε ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι ευθεία κάθετη στην ΑΒ, που απέχει από το Α απόσταση c.

Γενική Μέθοδος

Αν για το σημείο Μ δίνεται ότι ισχύει μια από τις σχέσεις ΜΑ ΜΒ λ

ή 2 2

ΜΑ ΜΒ λ

ή 2 2

ΜΑ ΜΒ λ

με λ , τότε θεωρούμε το μέσο

Ο του ΑΒ και εκφράζουμε τα διανύσματα ΜΑ ΜΟ ΟΑ

και

ΜΒ ΜΟ ΟΒ

για να καταλήξουμε σε μια από τις παραπάνω σχέσεις.

Α ΒΟ

Μ

ΒΑ

Ο

Μ

Μ

ΒΑΟ

1ο

Κεφάλαιο


Λύση

Ας είναι Κ το μέσο του ΒΓ τότε θα είναι

ΑΒ+ΑΓΑΚ ΑΒ+ΑΓ 2ΑΚ

2

(1)

1

ΑΒ ΑΜ+ΑΓ ΑΜ 0 ΑΜ ΑΒ+ΑΓ 0

2ΑΜ ΑΚ 0

ΑΜ ΑΚ 0

ΑΜ ΑΚ

Άρα ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ είναι ευθεία κάθετη στο ΑΚ που διέρχε-ται από το σημείο Α.

ΛύσηΔιαδοχικά έχουμε:

222 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

ΜΑ 2ΜΒ ΜΑ 4ΜΒ ΜΑ 2ΜΒ ΜΑ 4ΜΒ

ΜΑ 2ΜΒ ΜΑ 4ΜΒ

ΜΑ 4ΜΑ ΜΒ 4ΜΒ ΜΑ 4ΜΒ

4ΜΑ ΜΒ 0 ΜΑ ΜΒ 0 ΜΑ ΜΒ

Άρα ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ είναι κύκλος διαμέτρου ΑΒ

Α

Β

Γ

ΚΜ

Α Β

Μ

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, για τα

οποία ισχύει ΑΒ ΑΜ ΑΓ ΑΜ 0

.


Δίνονται τα σταθερά σημεία Α και Β. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των

σημείων Μ, για τα οποία ισχύει2 2

ΜΑ 2ΜΒ ΜΑ 4ΜΒ

.





α β α β συν α,β

1) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων α , β

σε κάθε

μια από τις παρακάτω περιπτώσεις:

α) Αν 1α

, 3β

και 5πα,

6β

β) Αν 2α

, 2β

και 0α, 30β

γ) Αν 2 3α

, 12β

και 0α, 135β

2) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα

α

β

συν α,β α β

2 3 1

35 1

7

12

3 7 -11

3) Αν το διάνυσμα α είναι μοναδιαίο,

2β και 2π

α,3

β

να υπολογίσετε

τις παρακάτω παραστάσεις:

α) α β β)

2α β α β γ)

2

3α β

4) Έστω δύο διανύσματα α , β

του επιπέδου με 3α

, 4β

και πα,

2β

.

Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις:

α) α β β)

2α

και2

β

γ) α β α β

δ) 2

α β

ε) 3 2 2α β α β

στ)2 2

α β

ζ) α β

1ο

Κεφάλαιο


5) Έστω δύο διανύσματα α , β

του επιπέδου με 2α

, 3β

και

4α β

. Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις:

α) 2 3α β α

β) 3 2 5α β α β

γ) 2

α β

δ) α β α β

ε) 2

2α β

6) Αν

2 2β α και πα,

2β

να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος

u 2 3α β β α β

7) Δίνονται τα διανύσματα α

και βμε α 3

, β 2

και 5πα,

6β

α) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο α β

β) Να βρείτε το διάνυσμα u

, τέτοιο ώστε u α 2

και u β 3

8) Αν

2 2 5β α , α, 120β

και v 2α β , να υπολογίσετε:

α) Το v β) Τις γωνίες α,ν

, v,β

9) Αν 2α

, 2 2β

, πα,

4β

να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων

α β,

β

. Δίνεται ότι 16 3 2

17

= 0,61 και συν52ο=0,61.

10) Αν 3α

, 1β

, πα,

6β


α β

, α β

. Δίνεται ότι 2 7

7= 0,75 και συν41ο=0,75.



11) Αν α 3

, β 5

και 2πα,

3β

να υπολογιστούν τα

α) α β

β) α β

γ) α 2β

12) Αν

3α ,

1β και 2α β

να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος

v 2α β

13) Αν 1α β

, 2 3 3α β

και πα+ ,2α-3

3β β

να βρεθούν τα μέτρα

των διανυσμάτων ,α β

14) Έστω ότι για τα διανύσματα ,α β

ισχύει 2, 3α β

και 5α β

α) Να υπολογίσετε το συνημίτονο της γωνίας των ,α β

β) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων

u 2 +3α β

και v -2α β

γ) Να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων u,

v

δ) Να υπολογίσετε το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων u,

v

15) Αν

3α ,

1β γ και α β 4γ 0 τότε:

α) Να βρείτε το α β

β) Να υπολογίσετε την α,β

γ) Να δείξετε ότι

3α β

16)Έστω τα διανύσματα

,α β με

1α ,

2β , α, 60β

και το τρίγωνο ΑΒΓ

με ΑΒ α β ,

ΒΓ 3α β . Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ του τρι-

γώνου ΑΒΓ.

1ο

Κεφάλαιο


17) Έστω τα διανύσματα , ,α β γ

με

1α , 2β

, 3γ

και πα,

3β

,

πβ,

6γ

. Να γραφτεί το διάνυσμα β

ως γραμμικός συνδυασμός των

,α γ

.

Αναλυτική Έκφραση Εσωτερικού Γινομένου

1 2 1 2α β x x y y

για 1 1α ,x y

και 2 2β ,x y

8

18) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο α β

στις ακόλουθες περιπτώσεις

α) α 1,4

και β 1,3

β)1

α 1,2

και β 3,4

γ) α 3,3

και β 1,2 3

19) Αν α 1,2

και β 1,3

να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα:

α) α β

β) α 2β

γ)2

α

δ) α β α 2β

20) Να υπολογίσετε τη γωνία των διανυσμάτων α, β

στις ακόλουθες περι-

πτώσεις:

α) α 3, 3

και β 3,-1

β) α 1, 3

και β - 3,3

γ) α 2,3

και β 1,5

δ) α -1,4

και 1 3

β 3-6,- -2 32 2

21) Αν α 3, 4

και 1

β i j7

να βρείτε τη γωνία των α, β

22) Αν α 1, 1

, β 1,1

, 2v+u β

και v+2u α

να βρείτε:

α) Τα διανύσματα v, u

β) Το συν v, u



23) Έστω τα διανύσματα α 2,4

, β -3,1

. Για το διάνυσμα γ

ισχύει

α γ 18

και β γ 8

. Να βρεθεί το διάνυσμα γ


, β -5,2

. Για το διάνυσμα γ

ισχύει

α γ 8

και β γ 6

. Να βρεθεί το διάνυσμα γ


, β -1,2

, γ 2,2

. Να υπολογίσετε τις

παρακάτω παραστάσεις

α) α β β γ γ α

β) α β γ β γ α γ α β

γ)1 1 1

α β γα β γ


και β 0,1

. Αν ΑΒ α 2β

και

ΑΓ 2α β

να υπολογίσετε το ΒΓ

.

27) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1,-2), Β(2,3), Γ(0,1). Να υπολογίσετε τις παρα-στάσεις:

α) ΑΒ ΑΓ

β) ΑΒ ΑΔ

όπου για το σημείο Δ ισχύει: ΒΔ 2ΔΓ

γ) ΑΜ ΒΓ ΑΓ

όπου Μ μέσον του ΒΓ

Καθετότητα Διανυσμάτων

28) Να βρείτε για ποια τιμή του λ τα διανύσματα α, β

είναι κάθετα στις πα-

ρακάτω περιπτώσεις

α) α λ,2

και β λ-3,1

β)λ

α ,λλ+1

και β 3λ+1,1-3λ

γ) α 2λ,1

και 2β 4λ , 1

29) Αν α 3

και β 6

να βρείτε το λ ώστε τα διανύσματα v 3α+λβ

και

u 3α-λβ

να είναι κάθετα.

1ο

Κεφάλαιο


30) Αν για τα διανύσματα α, β, γ

ισχύει α+3β γ 0

και γ 3 β

να δείξετε

ότι: α α 6β

.

31) Να βρείτε το διάνυσμα που είναι κάθετο στο v 1,2

και έχει μέτρο 5 .

32) Αν για τα διανύσματα α, β

ισχύουν: α β

2α

και η γωνία των διανυ-

σμάτων α β

, α

είναι 045 , να αποδείξετε ότι:

α) α β

β) α β


, β 3, 1

και γ 1,0

. Να βρείτε το

διάνυσμα v λα+μβ

ώστε να είναι v 10

και v γ


του επιπέδου με α β 1

και τα διανύ-

σματα u 3α-2β

, v α+β

. Αν u v


α, β

.

35) Δίνονται δύο κάθετα διανύσματα u 4

και v 5

Α) Να υπολογίσετε τα

α) 2

v u

β) 2u 3v u 4v

Β) Να βρείτε το xℝ αν

α) 2

xu v 34

β) xu v xu v 23



36) Δίνονται τα διανύσματα u α β γ- α γ β

και 2

α βv α -β

α

.

Να δείξετε ότι u α

και v α


για τα οποία ισχύουν α β 1

και

α β 1 β α β

. Να αποδείξετε ότι τα α, β

είναι ίσα ή αντίθετα.

38) Αν για τα διανύσματα α, β

ισχύουν: α β

, α β α 3β

και α β 2

να βρείτε τα α , β

.

39) Έστω τα διανύσματα α, β

και γ

ώστε

α β 1

, γ 2

και α β γ

α) Να δείξετε ότι α β

β) Να υπολογίσετε τη γωνία α,γ

40) Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα α, β

με 4 α 3 3 β

και

α 2α 3β

. Να αποδείξετε ότι πα,

6β

Προβολή Διανύσματος

41) α) Να αποδείξετε ότι

2β

α β βπροβ α =

β

β) Αν α 2,3

και β 1,4

να βρείτε την προβολή του α

πάνω στο β

1ο

Κεφάλαιο


42) Να βρείτε την προβολή του διανύσματος α 1,2

στο διάνυσμα

β 3, 4

43) Αν α 1

, β 2

και 0α, 60β

να βρείτε την προβολή του διανύσματος

v 2α β

πάνω στο διάνυσμα α

.

44) Αν α 1,2

, β 4,3

και v α β α 3β

να βρείτε την α

προβ v

45) Αν α 1

, β 2

και 2πα,

3β

να βρείτε το λ ώστε:

απροβ λα β 2α

46) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ 3 , ΑΓ 4 , 0ΒΑΓ 120

και ΑΜ διάμεσος.

Να υπολογίσετε την ΑΓ

προβ ΑΜ

.

Ανάλυση Διανύσματος σε Συνιστώσες


και β 1, 3

. Να αναλύσετε το διά-

νυσμα α

σε δύο συνιστώσες από τις οποίες η μια να είναι παράλληλη

στο β

και η άλλη κάθετη στο β

.


και β 1,3

. Να αναλύσετε το διά-

νυσμα α

σε δύο συνιστώσες γ

και δ

ώστε να είναι: δ / /β

και γ α

49) Έστω τα διανύσματα α 3, 4

και β 5,10

. Να αναλύσετε το διάνυ-

σμα β

σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η μια να

είναι παράλληλη στο α

.



50) Να αναλυθεί το διάνυσμα u 8,1

σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις

οποίες η μία να είναι παράλληλη προς το α 2, 3

.

51) Δίνονται τα διανύσματα u 3,1

, β 2,3

, γ 4,1

. Να αναλυθεί το

διάνυσμα u

σε δύο συνιστώσες παράλληλες προς το β

και γ

.

52) Να αναλυθεί το διάνυσμα u 5, 5

σε δύο συνιστώσες κάθετες των δι-

ανυσμάτων α 2,1

και β 3, 4


και β 3,4

. Να βρείτε τα διανύσμα-

τα p

και q

ώστε να είναι: α p q

, p / /α

, q β


και β 1, 2

α) Να υπολογίσετε το διάνυσμαα

προβ β

β) Να αναλύσετε το β

σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία

να είναι παράλληλη και η άλλη κάθετη στο α

*****

55) Αν 2 α β 4 γ 4

και α β 3γ

να υπολογίσετε την τιμή της παρά-

στασης: Α α β β γ γ α

56) Δίνονται τα διανύσματα α, β, γ


α β γ 0

και α 3, β 5, γ 7

Να υπολογίσετε:

α) Τη γωνία α,β

β) Την παράσταση Α α β 2β γ 3γ α

1ο

Κεφάλαιο


57) Αν τα διανύσματα α, β, γ

είναι μοναδιαία και ισχύει α 2β γ 0

να

υπολογίσετε την παράσταση: Α α β β γ γ α

58) Αν για τα διανύσματα α, β, γ

ισχύουν α 2, β 3, γ 1

και

2α β 3γ 0

να υπολογιστεί ο αριθμός α β β γ γ α

59) Αν το διάνυσμα α

είναι μοναδιαίο και ισχύει: 2 2

β γ α 2β α

, να υ-

πολογίσετε την παράσταση Α α β β γ

60) Αν τα διανύσματα α, β, γ

είναι μοναδιαία και ισχύει α β β γ 2

να

αποδείξετε ότι: α β γ

.

61) Αν α 1

και β 2

, α, 60β

και α β γ 0 , να υπολογίσετε:

α) Το γ β) Το α γ β γ

62) Δίνονται τα διανύσματα α, β, γ


α 2β γ 0

και α γ

β2 4

Να αποδείξετε ότι α) α β

β) α 2β 0

63) Αν για τα μη μηδενικά διανύσματα α, β, γ

ισχύει

α β γ 0

και β γ

α2 3

Να αποδείξετε ότι: α) β 2α

β) β γ

64) Αν 2

α 5β 2α 5β

να αποδείξετε ότι: α β



65) Έστω τα διανύσματα α, β

με α =2 β

και 0α, 120β

α) Να αποδείξετε ότι α-3β 0

β) Να βρείτε διάνυσμα x

ώστε: x / / α-3β

και α β-x


και β 2, 3

. Να βρείτε τα δια-

νύσματα x, y

ώστε να είναι α 2x 3y

και x y

και y / /β

67) Αν β 0

και α v u

με v / /β

και u β


2

α βv β

β

68) Αν 2

α βv β

β

και u v α

να αποδείξετε ότι:

α) v u

β) Αν α / /β

τότε v α


, β 1,1

και γ 3,5

. Να βρείτε το

διάνυσμα x

ώστε να είναι x α β 2x γ

70) Αν x x α β γ

με 1 α β 0


α)α γ

x α1 α β

β)α γ

x γ β1 α β


και β 4,3

. Βρείτε μοναδιαίο διά-

νυσμα, που να βρίσκεται στη διχοτόμο τους.

1ο

Κεφάλαιο


72) Δίνονται τα διανύσματα α,β

. Να δείξετε ότι το διάνυσμα x α β β α

είναι συγγραμμικό με τη διχοτόμο της γωνίας των α,β

73) Έστω τα διανύσματα α,β

και γ

. Να δείξετε ότι

α) α β α β

β) α γ β β γ-α γ α-β

74) Έστω τα διανύσματα α,β

.

α) Να δείξετε ότι 2 2 2 2

α β α β 2 α 2 β

β) Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία της παραπάνω πρότασης;

Γεωμετρικές

75) Στο ισοσκελές τρίγωνο δείξτε ότι η διχοτόμος που άγεται από την κορυφή του είναι και ύψος.

76) Στο ισοσκελές τρίγωνο δείξετε ότι η διάμεσος που άγεται από την κορυ-φή του είναι και ύψος.

77) Να δείξετε ότι οι διαγώνιες ενός ρόμβου τέμνονται κάθετα.

78) Δείξτε ότι κάθε γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή.

79) Δείξτε ότι η διάμεσος ενός ορθογωνίου τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό αυτής.

80) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα τμήματα ΑΔ =ΑΒ και ΑΕ =ΑΓ εκτός

του τριγώνου. Αν Μ το μέσο του ΕΔ, να δειχτεί ότι ΑΜ ΒΓ



Γεωμετρικοί Τόποι

81) Δίνεται ένα ευθύγραμμο τμήμα με (ΑΒ)=2α και ένα μεταβλητό σημείο Μ του επιπέδου. Αν Ο είναι το μέσο του ΑΒ, τότε

α) Να αποδείξετε ότι 2 2

ΜΑ ΜΒ ΟΜ α

β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα

οποία ισχύει ΜΑ ΜΒ κ

όπου κ σταθερός αριθμός.

82) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του

επιπέδου για τα οποία ισχύει: 2

ΑΜ ΑΒ ΑΓ ΑΜ ΑΒ ΑΓ 0

.

83) Δίνονται τα σταθερά σημεία Α, Β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των

σημείων Μ, τα οποία έχουν την ιδιότητα 2 2

2ΜΑ ΜΒ α

όπου α στα-

θερός πραγματικός αριθμός.

84) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του

επιπέδου για τα οποία ισχύει: ΜΑ ΜΒ ΜΓ 3ΜΓ 2ΜΑ ΜΒ

.

85) Έστω Α, Β δύο σταθερά σημεία με ΑΒ 8

. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τό-

πος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει ΜΑ ΜΒ 9

1ο

Κεφάλαιο


ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

1ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

1) Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμία από τις παρακάτω

προτάσεις

α) Αν ΑΒ ΒΓ ΑΓ

τότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευ-

θειακά

β) Ισχύει ότι ΑΒ ΟΑ ΟΒ

γ) Αν ΑΒ ΒΑ

τότε ΑΒ 0

δ) Αν ΑΒ ΒΓ ΓΔ 0

τότε ΑΔ 0

ε) Αν ΑΜ διάμεσος τριγώνου ΑΒΓ τότε ΑΒ ΑΓ

ΑΜ2

στ) Κάθε διάνυσμα είναι ίσο με τη διανυσματική ακτίνα

του τέλους του συν τη διανυσματική ακτίνα της αρ-

χής του


προτάσεις

α) Αν α β

τότε αναγκαστικά α β

β) Αν α λ β

με λℝ τότε αναγκαστικά α / /β

γ) Αν α β α β

τότε τα α

και β

είναι πάντα συγ-

γραμμικά

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Ερωτήσεις Κατανόησης


δ) Για τα ομόρροπα διανύσματα α

και β

ισχύει

α β α β

ε) Για οποιαδήποτε διανύσματα α

και β

ισχύει

α β α β α β


προτάσεις

α) Τα αντίθετα διανύσματα έχουν ίσα μέτρα

β) Δύο αντίθετα διανύσματα έχουν αντίθετους συντελε-

στές διεύθυνσης

γ) Αν α β

τότε α,β β,α 2π

δ) Όταν οι συντελεστές διεύθυνσης δύο διανυσμάτων

είναι αντίθετοι αριθμοί τότε τα διανύσματα είναι

κάθετα

ε) Αν το α β

είναι συγγραμμικό του α

, τότε το α β

είναι συγγραμμικό και με το β


προτάσεις

α) Είναι j 1,0

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

1ο

Κεφάλαιο


β) Είναι det i, j 0

γ) Είναι det α, α 1

δ) Αν φ η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα α

με τον

άξονα x΄x τότε είναι 0 φ 2π

ε) Αν Α(x1,y1), B(x2,y2) και Μ το μέσο του ΑΒ είναι

1 2 1 2x x y yΜ ,

2 2


προτάσεις

α) Αν α β 0

τότε α,β

είναι οξεία

β) Το α β γ

παριστάνει διάνυσμα

γ) Το λα β

με λ ℝ παριστάνει διάνυσμα

δ) Ισχύει ότι α β γ α β γ

ε) Αν α β α γ

τότε είναι β γ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ



6) Να αντιστοιχίσετε κάθε διάνυσμα που βρίσκεται στην αριστερή στήλη Α

με το κάθετό του στη δεξιά στήλη Β

Στήλη Α

Διάνυσμα

Στήλη Β

Κάθετο Διάνυσμα

α) e 0,κ

1. α 2κ,1

β)1

u ,1κ

2. β κ, 1

γ)1

v 1,κ

3. γ κ 1,κ

δ) t 9,0

4.1

δ 0,κ

ε) w 1, 2κ

στ) r κ, κ 1

ζ) 2m κ ,0

7) Να αντιστοιχίσετε κάθε διάνυσμα που βρίσκεται στην αριστερή στήλη Α

με το μέτρο του στη δεξιά στήλη Β

Στήλη Α

Διάνυσμα

Στήλη Β

Μέτρο

α) 2

1. α 1, 1

β) 0

2. β 2ημθ,2συνθ

γ) 1

3. γ 2,1

δ) 3

4.1 3

δ ,2 2

ε) 3

στ) 2

1

2

3

4

1

2

3

4

1ο

Κεφάλαιο


8) Δίνεται ότι α β γ 1

και πα,β

6

, α,γ π

. Να αντιστοιχίσετε

κάθε εσωτερικό γινόμενο που βρίσκεται στη στήλη Α με την τιμή του που

βρίσκεται στη στήλη Β.

Στήλη Α

Διάνυσμα

Στήλη Β

Μέτρο

α) -1

1. α β

β) 0

2. α γ

γ)3

2

3. γ β

δ)3

2

ε)1

2

9) Κάθε διάνυσμα της στήλης Α έχει μέτρο ένα αριθμό που βρίσκεται στη

στήλη Β. Να κάνετε τη σωστή αντιστοίχιση.

Στήλη Α

Διάνυσμα

Στήλη Β

Μέτρο

α) 2

1. 8 i j

β) ημθ συνθ

2. x i y j

γ) 3

3. 2ημθ i 2συνθ j

δ) 2 2x y

4. x y i 2 xy j

ε) ημθ συνθ

στ) 2

ζ) x y

1

2

3

1

2

3

4



10) Να συμπληρωθούν οι στήλες στον παρακάτω πίνακα

11) Να συμπληρωθούν οι στήλες στον παρακάτω πίνακα

Διανύσματα Γωνία

α,β

Μέτρο

α

Μέτρο

β

Εσωτερικό

Γινόμενο

α β

α

β

(-1,4) (2,-3) π

3

(3,2) (-1, 2 ) π

6

(1, 3 ) (1,1) π

4

1 6,

22

3 1,

3 3

5π

6

Διανύσματα Γωνία που

σχηματίζει το

α

με τον x΄x

Γωνία που

σχηματίζει το

β

με τον x΄x

Γωνία που

σχηματίζoυν τα

β

και α

μεταξύ

τους

α

β

(2,0) (0,-3)

(2,2) (-3,3)

(2,2) (3,3)

(0,2) (-2,0)

1ο

Κεφάλαιο


12) Σε καθεμία από τις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε τη σωστή απά-

ντηση

i. Αν α

, β

ομόρροπα διανύσματα και κ, λℝ* διάφοροι του 1 και

κα λβ 0

, τότε:

Α. κ, λ θετικοί Β. κ, λ αρνητικοί Γ. κ, λ αντίστροφοι

Δ. κ, λ ετερόσημοι Ε. κανένα από τα προηγούμενα

ii. Αν ισχύει κα λβ 0

με κ, λ ℝ* τότε:

Α. Τα α

, β

έχουν την ίδια φορά Β. Τα α

, β

είναι κάθετα

Γ. Τα α

, β

είναι αντίρροπα Δ. Τα α

, β

έχουν το ίδιο μέτρο

Ε. Τα α

, β

έχουν την ίδια διεύθυνση

iii. Το διάνυσμα α ημθ,συνθ

είναι το μηδενικό με:

Α. θ 2κπ Β.π

θ 2κπ4

Γ.π

θ 2κπ2

Δ. θ 2κπ π Ε. καμία τιμή του θ

iv. Αν Α(1,2) και Ο η αρχή του ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων,

το ΟΑ

ισούται με:

Α. i 2j

Β. 2i j

Γ. i 2j

Δ. 2i j



v. Ο συντελεστής διεύθυνσης του μοναδιαίου διανύσματος j

είναι

Α. λ 1 Β. λ 0 Γ. δεν ορίζεται Δ. λ 1

vi. Τα διανύσματα 2 2α λ 1,2λ 1

και β 1,1

με λℝ είναι συγ-

γραμμικά για:

Α. λ 1 Β. λ 0 Γ. λ 1 Δ. καμία τιμή του λℝ

vii. Αν α β 0

τότε

Α. α 0

Β. β 0

Γ. α β

Δ. α β

Δ. α β

viii. Είναι α β 0

. Από τις παρακάτω σχέσεις δεν μπορεί να ισχύει:

Α. α 0

Β. α β

Γ. α β

και πα,β

2

Δ. πα,β

4

Ε. α β 1

και πα,β

6

ix. Αν α

είναι μη μηδενικό διάνυσμα και β

ένα οποιοδήποτε άλλο διάνυ-

σμα, τότε :

Α. β

α β α προβ α

Β.

αα β α προβ β

Γ.

αα β β προβ β

Δ. α

α β α προβ β

Ε.

βα β β προβ α

1οΚεφάλαιο


1ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑΘΕΜΑ ΑΑ1) Να ορίσετε τα παρακάτω :

α) Ίσα διανύσματα β) Αντίθετα διανύσματα ,

γ) Ομόρροπα διανύσματα δ) Αντίρροπα διανύσματα

Α2) Να αποδείξετε ότι αν Μ μέσο ενός τμήματος ΑΒ , να αποδείξετε ότι :

ΟΑ ΟΒΟΜ

2

Α3) Να χαρακτηρίσετε με σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις :

1. Αν α

ομόρροπο του β

τότε ισχύει πάντα α β

λ λ

2. Το (α β) γ

παριστάνει αριθμό

3. Αν α β α γ

τότε β γ

4. Αν α β 0

τότε α β

5. Αν α β 0

τότε α 0

ή β 0

6. Το (α β) γ

παριστάνει διάνυσμα

7. Αν α β α β

τότε η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι αμβλεία

8. Αν λ α μ β

και α

,β

μη παράλληλα διανύσματα τότε λ μ 0

9. Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ ισχύει ότι AB ΓΔ

10. Το διάνυσμα β (2, 3)

έχει ίδιο μέτρο με το α ( 2,3)

ΘΕΜΑ ΒΒ1) Δίνονται τα σημεία Α,Β,Γ για τα οποία ισχύει

2 ΜΑ ΜΒ 3 ΜΓ 0

Να δείξετε ότι τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά

Β2) Δίνονται τα διανύσματα

κ (3, 1)

, v ( 2,1)

, u (12, 5)

α) Αποδείξτε ότι τα παραπάνω διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά

β) Να γράψετε το u

ως γραμμικό συνδυασμό των κ

, v

Διαγωνίσματα


ΘΕΜΑ Γ

Δίνονται διανύσματα α

και βμε α 3

και β 4

και 0α,β 60

Γ1) Να βρείτε το εσωτερικό τους γινόμενο

Γ2) Να υπολογίσετε το α 2β

Γ3) Να εξετάσετε αν τα διανύσματα v α 2β

και 1

u β 2α2

έχουν ίδιο μέτρο

και αν είναι κάθετα μεταξύ τους.

ΘΕΜΑ Δ

Δ1. Να αναλύσετε το διάνυσμα v (8,1)

σε δυο κάθετες συνιστώσες από τις ο-

ποίες η μια είναι παράλληλη στο διάνυσμα u (2,3)

Δ2. Δίνονται τα διανύσματα α 2, 2

, β x,1

και γ 2, 1

,όπου xℤ. Αν

γνωρίζετε ότι για την γωνία θ των διανυσμάτων α

και β

ισχύει 5

συνθ5

να βρείτε :

α) την τιμή του xℤ

β) την γωνία φ των διανυσμάτων β

και γ

1οΚεφάλαιο



ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑΘΕΜΑ Α

Α1) α) Να δώσετε τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου δύο διανυσμάτων α

και

β

β) Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόμενο ενός διανύσματος α

με ένα

διάνυσμα v

είναι ίσο με το εσωτερικό γινόμενο του α

με την προβολή

του vπάνω στο α

.

Α2) Έστω ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με AB 6 , γωνία 0BAΓ 30 και

Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του.

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση

α) Το AB AΓ

ισούται με

i) 18 ii) 2 3 iii) 6 3 iv) 18 3 v) 36

β) Το ΒΑ ΟΒ

ισούται με

i) 18 ii) -1 iii) - 6 3 iv) 36 v) -12

γ) Το ΔΓ ΑΒ

ισούται με

i) 36 ii) -18 iii) -36 iv) 6 3 v) -12

δ) Το ΔΑ ΔΟ

ισούται με

i) 36 ii) -6 iii) -36 iv) 6 v) 0



ΘΕΜΑ Β

Β1) α) Να αποδείξετε ότι α β α β

. Πότε ισχύει η ισότητα;

β) Να αποδείξετε ότι αν α β α β

τότε α β

Β2) Δίνονται τα διανύσματα α

, β

, γ

για τα οποία ισχύει

α β γ 0

και α β γ

2 3 5

Να αποδείξετε ότι: α) α β

β)β γ

Β3) Αν ΑΗ είναι το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ και ισχύει η ισότητα 2

AB ΒΓ ΒΗ

να

αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

ΘΕΜΑ Γ

Γ1) Δίνεται κύκλος (Ο,R) και δύο κάθετες μεταξύ τους χορδές ΑΒ και ΓΔ που τέ-

μνονται στο Σ. Να αποδείξετε ότι:

α) 2ΟΣ ΟΑ ΟΒ ΟΓ ΟΔ

β) Αν Κ, Λ είναι τα μέσα των ΑΓ και ΒΔ αντιστοίχως να αποδείξετε ότι το τε-

τράπλευρο ΟΚΣΛ είναι παραλληλόγραμμο.

Γ2) Να αποδείξετε ότι όταν ισχύει καθεμία από τις παρακάτω ισότητες, τότε τα

σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.

α) 3ΑΚ 2ΛΓ ΛΑ 3ΒΚ ΛΑ

β) 2004ΟΑ 1821ΒΟ 183ΓΟ 0

1οΚεφάλαιο


ΘΕΜΑ Δ

Θεωρούμε στο επίπεδο τα σημεία Α(-1,3), Β(1,1) και Γ(-4,0)

Δ1) Να βρείτε σημείο Θ του επιπέδου τέτοιο ώστε να ισχύει

4ΘΑ 3ΘΒ 5ΘΓ 0

Δ2) Σε κάθε σημείο Μ του επιπέδου αντιστοιχούμε τον πραγματικό αριθμό Mf

από την ισότητα

M ΜΑ ΜΒ 2ΜΒ ΜΓ 3ΜΓ ΜΑf

α) Να αποδείξετε ότι Γ 18f

β) Να αποδείξετε ότι 2

M 6ΜΘ Θf f

γ) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ όταν ισχύει M Γf f




2.0 ΕΞΙΣΩΣΗ ΓΡΑΜΜΗΣ

2.12.22.3 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ

ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΓΕΝΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

Εξίσωση Γραμμής


2ο

Κεφάλαιο


2.0 Εξίσωση Γραμμής

Ονομάζουμε εξίσωση της γραμμής (c),

κάθε εξίσωση της μορφής f x,y 0 για

την οποία ισχύουν:

Κάθε σημείο Μ x,y της γραμμής

την επαληθεύει

Κάθε σημείο 0 0Μ x ,y που την επα-

ληθεύει ανήκει στη γραμμή (c).

Σκοπός μας είναι να δώσουμε αλγεβρική μορφή στα γεωμετρικά σχή-ματα δηλαδή να μεταμορφώσουμε

Την ευθεία σε εξίσωση

Τον κύκλο σε εξίσωση

Την έλλειψη σε εξίσωση

Την παραβολή σε εξίσωση

Την υπερβολή σε εξίσωση

Και αντί να δουλεύουμε τα γεωμετρικά σχήματα, θα δουλεύουμε την εξίσωσή τους. Δηλαδή τα γεωμετρικά θέματα θα τα μετατρέψουμε σε αλγεβρικά.

Εξί

σωση

Γ

ραμμ

ήςΣ

τόχ

οι

f x,y =0

1

2

f x,y =0Μ:

f x,y =0

1f x,y =0

2f x,y =0

Μ

0 0Μ x ,y =0

0 0f x ,y =0

Γεωμετρική Μορφή Αλγεβρική Μορφή

f x,y =0




Λύση

Θέτουμε 2 2f x,y x +y -3x+y και έχουμε

2 2f 1,1 1 +1 -3 1+1=0 άρα Α C

2 2f -1,3 -1 +3 -3 1 +3=1+9+3+3 16 0 άρα Β C

2 2f 0,0 0 +0 -3 0+0=0 άρα Γ C

Λύση

Θέτουμε f x,y x-3y+4

Αφού Α 2λ+1,λ C έχουμε f 2λ+1,λ 0 2λ+1-3λ+4=0 -λ+5=0 λ=5

Λύση

Θέτουμε 2 2 2f x,y x +y -2x+κ -1

Αφού Ο 0,0 C έχουμε 2 2f 0,0 0 κ -1 0 κ 1 κ 1

Αφού Α ημθ,συνθ C έχουμε 2 2f ημθ,συνθ 0 ημ θ+συν θ-2ημθ 0

1 π1-2ημθ 0 2ημθ 1 ημθ θ

2 6

Για να δείξουμε ότι ένα σημείο 0 0x ,y ανήκει σε μια γραμμή αρκεί οι συντε-

ταγμένες του σημείου να επαληθεύουν την εξίσωση της γραμμής δηλαδή

αρκεί 0 0f x ,y 0

Να εξετάσετε αν τα σημεία Α(1,1), Β(-1,3), Γ(0,0) ανήκουν ή όχι στη γραμμή

με εξίσωση 2 2x y 3x y 0 .


Να βρείτε το λℝ ώστε το σημείο Α(2λ+1,λ) να ανήκει στη γραμμή (c) μεεξίσωση x - 3y 4 0


Να βρείτε τα κ,θ μεπ

0<θ<2

ώστε η γραμμή (c) με εξίσωση

2 2 2x y 2x κ 1 0

να διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το σημείο Α(ημθ,συνθ).


2ο

Κεφάλαιο


ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ

► Συμμετρικό Σημείου

Αν το σημείο Μ έχει συντεταγμένες x,y τότε:

Το συμμετρικό του 1Μ ως προς τον άξο-

να x x έχει συντεταγμένες x,-y

Το συμμετρικό του 2Μ ως προς τον άξο-

να y y έχει συντεταγμένες -x,y

Το συμμετρικό του 3Μ ως προς την αρχή

Ο(0,0) έχει συντεταγμένες -x,-y

Το συμμετρικό του 4Μ ως προς τη διχο-

τόμο της xΟy έχει συντεταγμένες y,x

► Συμμετρική Γραμμής

Ας θεωρήσουμε τη γραμμή με εξίσωση f x,y 0

Αν f x,y f x,-y για κάθε x,y τότε η γρα-

φική παράσταση της f είναι συμμετρική ως προς τον άξονα x x .

Με την ίδια λογική αν θέλουμε να βρούμε την εξίσωση της συμμετρικής γραμμής της

f x,y 0 ως προς τον x x βρίσκουμε το

f x,-y 0 αντικαθιστώντας στην εξίσωση

f x,y 0 το y με το -y .

Αν f x,y f -x,y για κάθε x,y τότε η γρα-

φική παράσταση της f είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y y .


f x,y 0 ως προς τον y y βρίσκουμε το

f -x,y 0 αντικαθιστώντας στην εξίσωση

f x,y 0 το x με το -x .

xx’

y’

y

M3(-x,-y)

M4(y,x)

M1(x,-y)

M(x,y)

M2(-x,y)

x

y

y΄

x΄

Ο(0,0)

f x,-y =0

f x,y =0

y΄

x

y

x΄

f -x,y =0 f x,y =0



Λύση

Ας είναι 2 2f x,y x y 3x 5


22 2 2f x,-y x y 3x 5 x y 3x 5 f x,-y f x,y

Άρα η γραμμή είναι συμμετρική ως προς τον x΄x

2 2 2 2f -x,y x y 3 x 5 x y 3x 5 f -x,y f x,y

Άρα η γραμμή δεν είναι συμμετρική ως προς τον y΄y

2 2 2 2f -x,-y x y 3 x 5 x y 3x 5 f -x,y f x,y

Άρα η γραμμή δεν είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων

Αν f x,y f -x,-y για κάθε x,y τότε η γρα-

φική παράσταση της f είναι συμμετρική ως προς την αρχή Ο(0,0).


f x,y 0 ως προς την αρχή Ο(0,0) βρίσκουμε το

f -x,-y 0 αντικαθιστώντας στην εξίσωση

f x,y 0 τα x, y με τα -x, -y αντίστοιχα.

Αν f x,y f y,x για κάθε x,y τότε η γραφι-

κή παράσταση της f είναι συμμετρική ως προς

τη διχοτόμο της xΟy

Με την ίδια λογική αν θέλουμε να βρούμε την

εξίσωση της συμμετρικής γραμμής της f x,y ως

προς τη διχοτόμο της xΟy βρίσκουμε το

f y,x αντικαθιστώντας στην εξίσωση

f x,y 0 τα x, y με τα y, x αντίστοιχα.

y΄

x

y

x΄

y΄

x

y

x΄

f x,y =0

f -x,-y =0

f x,y =0

f y,x =0

Δίνεται η γραμμή με εξίσωση 2 2x y 3x 5 0

Να εξετάσετε αν είναι συμμετρική ως προς τους άξονες x΄x, y΄y και την αρ-χή των αξόνων.


2ο

Κεφάλαιο


Λύση

α) Για τη συμμετρική της c1 ως προς τον x΄x θέτουμε στην εξίσωσή της όπου y το

– y και έχουμε: 3x-4 -y +5 0 3x+4y+5 0

β) Για τη συμμετρική της c2 ως προς τον y΄y θέτουμε στην εξίσωσή της όπου x το

– x και έχουμε: 2 2 2 2-x +y -2 -x +3y 1 0 x +y +2x+3y 1 0

γ) Για τη συμμετρική της c3 ως προς την αρχή των αξόνων θέτουμε στην εξίσωσή

της όπου x το – x, y το – y και έχουμε: 2 2 2 2-x + -y 9 x +y 9 που είναι η

ίδια.

Δίνονται οι γραμμές με εξισώσεις:

1c : 3x-4y+5 0 , 2 22c : x +y -2x+3y 1 0 , 2 2

3c : x +y 9

Βρείτε τη: α) συμμετρική της c1 ως προς τον x΄xβ) συμμετρική της c2 ως προς τον y΄yγ) συμμετρική της c3 ως προς την αρχή των αξόνων


ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΓΡΑΜΜΩΝ

Για να βρούμε τα κοινά σημεία δύο γραμμών αρκεί να λύσουμε το σύ-στημα των εξισώσεων των δύο γραμμών.

Αν το σύστημα έχει μόνο μια λύση τότε οι δύο γραμμές έχουν ένα κοινό σημείο.

Αν το σύστημα έχει δύο λύσεις διαφορετικές οι γραμμές έχουν δύο κοινά σημεία.

Αν το σύστημα έχει μια διπλή πραγματική λύση τότε οι γραμμές εφάπτονται.

Αν το σύστημα είναι αδύνατο τότε οι γραμμές δεν έχουν κοινά σημεία.




1) Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω γραμμές διέρχονται από την αρχή των αξόνων:

α) 2010x-y 0 β) 2 24x +4y -20x+8y 0 γ) 2 2x -y -2x+1 0

2) Να βρείτε ποια από τα σημεία Α(0,1), Β(2,1) και Γ(-1,3) ανήκουν στις πα-ρακάτω γραμμές:

α) 2 2x +y -5x+2y-3 0 β) 2y =-9x γ) x-y 1

3) Να βρείτε το λ ώστε οι γραμμές που έχουν τις παρακάτω εξισώσεις να διέρχονται από την αρχή των αξόνων:

α) 3x-λy+λ-2 0 β) 2 2 2x-1 +y -λ -1 0 γ)

22λx + y-1 -1 0

δ) 2λx λy 2 0

4) Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω γραμμές έχουν άξονα συμμετρίας των x΄x, τον y΄y και ποιες κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων.

α) 21c : x+y -1 0 β) 2 2

2c : 2x +y -5 0

5) Δίνεται η γραμμή 2 2c : x +y -3x+2y-10 0

Να βρείτε τη συμμετρική (c΄) της (c) ως προς

α) Τον άξονα x΄x β) Τον άξονα y΄y

γ) Την αρχή των αξόνων δ) Τη διχοτόμο της γωνίας xΟy

6) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραμμών

α) 1c : 4x-3y-1 0 και 2c : 5x+y 6

β) 1c : 4x-3y-1 0 και 2 22c : x +y +3x-4y-9 0

γ) 2 21c : x +y -3x+4y-3 0 και 2 2

2c : x +y +x+y-4 0

2ο

Κεφάλαιο


2.1 Εξίσωση Ευθείας2.2 Γενική Εξίσωση Ευθείας

Μια εξίσωση με δύο αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση μιας γραμμής (c)όταν οι συντεταγμένες των σημείων της (c), και μόνο αυτές, την επα-ληθεύουν.

Ας είναι Οxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και (ε) μια ευ-θεία που τέμνει τον άξονα x΄x στο σημείο Α.

Τη γωνία ω που σχηματίζει ο άξονας x΄x ό-ταν στραφεί γύρω από το σημείο Α κατά τη θετική φορά μέχρι να συμπέσει με την ευ-θεία (ε) τη λέμε γωνία που σχηματίζει η (ε) με τον άξονα x΄x.

Αν η ευθεία (ε) είναι παράλληλη προς τον άξονα x΄x τότε λέμε ότι σχηματίζει με αυτόν γωνία ω=0

Σε κάθε περίπτωση για τη γωνία ω ισχύει ότι 0 ω π

Συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) ορίζουμε την εφαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα x΄x και τον συμβολί-

ζουμε συνήθως με ελ . Δηλαδή ελ εφω

Αν η γωνία ω είναι οξεία ( ω 90 ) τότε ελ 0

Αν η γωνία ω είναι αμβλεία ( ω 90 ) τότε ελ 0

Αν η γωνία ω είναι μηδέν τότε ελ 0

Αν η γωνία ω είναι ορθή τότε ελ δεν ορίζεται

Εξί

σωση

Γ

ραμμ

ήςΓ

ωνί

α π

ου σ

χημ

ατίζ

ει

η ευ

θεία

(ε) μ

ε το

ν άξ

ονα

x΄x

x

x

y

y

(ε)

ωΟΑ

(ε)

Ο

Συν

τελ

εστή

ς Δ

ιεύθ

υνση

ςΕ

υθεί

ας (

ε)

+

Εξίσωση Ευθείας – Γενική Εξίσωση Ευθείας


Έστω ένα διάνυσμα δ

παράλληλο σε μια ευθεία (ε). Αν φ και ω είναι

οι γωνίες που σχηματίζουν το δ

και η (ε) με τον x΄x αντιστοίχως, τότε θα ισχύει ότι φ=ω ή φ=π+ω

Σε κάθε περίπτωση είναι:

εδεφφ εφω λ λ

Προσοχή!!!

Η παραπάνω πρόταση δεν ισχύει στην περί-

πτωση που το διάνυσμα δ

και η ευθεία (ε) εί-ναι κάθετα στον άξονα τον x΄x γιατί τότε δεν ορίζονται οι συντελεστές διεύθυνσης τους.

Ο συντελεστής διεύθυνσης ελ μιας ευθείας που διέρχεται από τα

σημεία 1 1Α x ,y και 2 2Β x ,y με 1 2x x είναι 2 1ε

2 1

y - yλ

x - x

Απόδειξη

Αφού 1 2x x η ευθεία δεν είναι κατακόρυφη.

Επειδή ο φορέας του ΑΒ

είναι η ευθεία ΑΒ, το

ΑΒ

είναι παράλληλο στην ευθεία ΑΒ.

Άρα ελ λ

Όμως 2 1 2 1ΑΒ x x ,y y

και 2 1

2 1

y yλ

x x

Επομένως 2 1ε

2 1

y yλ

x x

Αν δύο ευθείες 1 2ε , ε είναι παράλληλες τότε 1 2ε ελ λ

Απόδειξη

Θεωρούμε τα διανύσματα 1 2δ , δ

τέτοια ώστε 1 1δ / / ε

και 2 2δ / / ε

Τότε 11εδ

λ λ και 22εδ

λ λ

Έχουμε 1 21 2

1 2 1 2 ε εδ δε / /ε δ / /δ λ λ λ λ

Σχ

έση

Συν

τελ

εστώ

ν Δι

εύθυ

νσης

Δι

ανύσ

ματο

ς κα

ι Ε

υθεί

ας π

ου ε

ίναι

παρ

άλλ

ηλα

Υπ

ολογ

ισμό

ς Σ

υντε

λεσ

τή

Διεύ

θυνσ

ης Ε

υθεί

αςΣ

υνθή

κη Π

αραλ

-λ

ηλία

ς Ε

υθει

ών

x

y

x

y

x

y

x

y

(ε)δ

ωφωφ

δ

(ε)

δ

(ε)

Α(x1,y1)

B(x2,y2)

2ο

Κεφάλαιο


Αν δύο ευθείες 1 2ε , ε είναι κάθετες τότε 1 2ε ελ λ 1

Απόδειξη

Θεωρούμε τα διανύσματα 1 2δ , δ

τέτοια ώστε 1 1δ / / ε

και 2 2δ / / ε

Τότε 11εδ

λ λ και 22εδ

λ λ

Έχουμε 1 21 2

1 2 1 2 ε εδ δε ε δ δ λ λ 1 λ λ 1

Η εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Α(x0,y0) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι: y - y0 = λ(x - x0)

ΑπόδειξηΈστω ότι το Μ(x,y) είναι διαφορετικό του ΑΈχουμε:

λ λ0

εΑΜ0

0 0

y yΜ ε ΑΜ/ / ε λ λ λ

x x

y y λ x x (1)

Επιπλέον, αφού η (1) επαληθεύεται από τις συντεταγμένες του ση-

μείου 0 0A x ,y συμπεραίνουμε ότι αυτή είναι η εξίσωση της (ε).

Η ευθεία (ε) που διέρχεται από τα σημεία 1 1A x ,y και 2 2B x ,y

έχει εξίσωση:

2 11 1

2 1

y yy y = x x

x x

ή 1x x

Απόδειξη

Αν 1 2x x τότε

2 1

ε

2 1

y yλ =

x x

Επειδή η (ε) διέρχεται από το 1 1A x ,y

και έχει συντελεστή διεύθυνσης ελ λ ,

η εξίσωσή της είναι:

2 11 1

2 1

y yy y = x x

x x

Αν 1 2x x , τότε η (ε) είναι κατακόρυφη. Οπότε κάθε σημείο της έ-

χει τετμημένη 1x

Άρα η εξίσωση της (ε) είναι 1x x

Συν

θήκη

Καθ

ετό-

τητα

ς Ε

υθει

ών

Εξί

σωση

Ευθ

είας

1(Γ

νωστ

ό ση

μείο

και

συν

τ. δ

ιευθ

.)Ε

ξίσω

ση Ε

υθεί

ας 2

(Γνω

στά

δύο

σημε

ία α

πό

τα ο

ποί

α δι

έρχ

εται

)

x

y

x

y

Α(x0 ,y0)

B(x2 ,y2)

Α(x1 ,y1)



Η εξίσωση της ευθείας που τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Α(0,β)

και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι: y λx β

Απόδειξη

Αφού η ευθεία έχει συντελεστή διεύθυνσης λ και διέρχεται από το σημείο Α(0,β) η εξίσωσή της είναι:

Α Αy y λ x x y β λx y λx β

Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι: y λx

Απόδειξη

Αφού η ευθεία έχει συντελεστή διεύθυνσης λ και διέρχεται από το σημείο Ο(0,0) η εξίσωσή της είναι:

0 0y y λ x x y λx

Πιο συγκεκριμένα

Η διχοτόμος της γωνίας xΟy

(1ης και 3ης γω-

νίας των αξόνων) έχει εξίσωση:

y x

Η διχοτόμος της γωνίας yΟx΄

(2ης και 4ης

γωνίας των αξόνων) έχει εξίσωση:

y x

Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(x0,y0) και εί-

ναι παράλληλη στον άξονα x΄x είναι: 0y y

Απόδειξη

Ας είναι 1 1δ / / ε

τότε 11εδ

λ λ

Αφού 11

1 1 εδε / / x΄x δ / / x΄x λ 0 λ 0

Άρα η εξίσωσή της θα είναι:

0 0 0 0y y λ x x y y 0 y y

Ο άξονας y΄y έχει εξίσωση x 0

Ο άξονας x΄x έχει εξίσωση y 0

Ειδ

ικές

Περ

ιπτώ

σεις

Ε

ξισώ

σεις

Ευθ

ειώ

ν

x

y

x

y

x

y

x

y

Α(0,β)

y=xy=-x

Α(x0 ,y0)

2ο

Κεφάλαιο


Κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής

Αx By Γ 0 με Α 0 ή Β 0

και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της παραπάνω μορφής παριστάνει ευθεία.

ΑπόδειξηΕυθύΘα δείξουμε ότι κάθε ευθεία του επιπέδου έ-χει εξίσωση της μορφής


Έστω (ε) μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο.

Διακρίνουμε περιπτώσεις:

Έστω ότι η (ε) δεν είναι κατακόρυφη. Έτσι η (ε) τέμνει τον άξονα y΄yστο σημείο Σ(0,β) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ τότε θα έχει εξί-σωση

y λx β λx - y β 0 λ x y 01 β

η οποία έχει τη μορφή Αx By Γ 0 με Α λ , Β -1 0 και Γ β

Αν η (ε) είναι κατακόρυφη και διέρχεται από το σημείο Ρ(x0,y0), τότε θα έχει εξίσωση

0 00 1x x x x 0 x xy 00

η οποία έχει τη μορφή Αx By Γ 0 με Α 1 0 , Β 0 και 0Γ -x

Άρα σε κάθε περίπτωση η εξίσωση της ευθεία παίρνει τη μορφή


Αντίστροφο

Θα δείξουμε ότι κάθε εξίσωση της μορφής

Αx By Γ 0 με Α 0 ή Β 0 (1)

παριστάνει ευθεία

Διακρίνουμε περιπτώσεις

Αν Β 0 τότε η (1)Α Γ

By -Αx -Γ y - x -B B

που είναι εξίσωση

ευθείας.

Αν Β 0 τότε από την (1) έχουμε Α 0 και

ΓΑx Γ 0 Αx Γ x

Α

Γεν

ική

Μορ

φή

Εξί

σωση

ς Ε

υθεί

ας

x

y

Ο

Α(0,β)

(ε)



Άρα σε κάθε περίπτωση η (1) παριστάνει ευθεία.Η ευθεία με εξίσωση Αx By Γ 0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα

δ B, - Α

ΑπόδειξηΈστω η ευθεία (ε) με εξίσωση Αx By Γ 0

Διακρίνουμε περιπτώσεις

Αν Β 0 τότε Α Γ

Αx By Γ 0 By -Αx -Γ y - x -B B

Άρα εΑ

λ -B

και δ

Αλ -

B οπότε εδ

λ λ άρα ε / /δ

Αν Β 0 τότε ε / /y y και δ / /y y

οπότε ε / /δ

Επομένως σε κάθε περίπτωση ε / /δ

Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται ότι και το διάνυσμα δ Β,Α

είναι παράλληλο στην (ε).

Η ευθεία με εξίσωση Αx By Γ 0 είναι κάθετη στο διάνυσμα

η Α,Β

Απόδειξη

Από προηγούμενη απόδειξη το διάνυσμα δ Β,-Α

είναι παράλληλο

στην ευθεία (ε) με εξίσωση Αx By Γ 0

Επίσης παρατηρούμε ότι

δ η Β,-Α Α,Β Β Α - Α Β 0

Είναι λοιπόν δ η

και αφού ε / /δ

θα είναι ε / /η

Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται ότι και το διάνυσμα ε Α, Β

είναι κάθετο στην (ε).

Διάν

υσμα

Παρ

άλλ

ηλο

ή Κ

άθετ

ο σ

ε Ε

υθεί

α

2ο

Κεφάλαιο



Εύρεση Συντελεστή Διεύθυνσης Ευθείας

Για να βρούμε το συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας αρκεί να γνωρίζουμε κάτι από τα παρακάτω:

Τις συντεταγμένες δύο σημείων Α, Β από τα οποία διέρχεται η ευθεία (ε). Τότε θα είναι:

Β Α

Β Α

y yλ

x x

Τα σημεία Α, Β δεν πρέπει να έχουν την ίδια τετμημένη !!!

Τη γωνία ω που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα x΄x. Τότε θα είναι:

λ εφω

Η γωνία ω δεν πρέπει να είναι ορθή !!!

Την εξίσωση μιας ευθείας (ε1) ή τις συντεταγμένες ενός διανύ-

σματος 1δ

στα οποία η (ε) είναι παράλληλη. Τότε θα είναι:

1λ λ ή

1λ λ

αντίστοιχα

Η ευθεία (ε1) ή το διάνυσμα 1δ

δεν πρέπει να είναι κάθετα στον άξονα x΄x !!!

Την εξίσωση μια ευθείας (ε2) ή τις συντεταγμένες ενός διανύ-

σματος 2δ

στα οποία η (ε) είναι κάθετη. Τότε θα είναι:

2λ λ -1 ή

2λ λ -1 αντίστοιχα

Η ευθεία (ε2) ή το διάνυσμα 2δ

δεν πρέπει να είναι παράλληλαστον άξονα x΄x !!!



Λύση

α) Ισχύει ότι ΑΒ

λ λ

Όμως ΑΒ 6 3, 4 5 3,1

Άρα ΑΒ

1λ

3 οπότε και ε

1λ

3

β) Αφού ε / / δ

και δ / /

y΄y έχουμε ότι δ

λ λ

Όμως δ

4022λ 2011

2 οπότε λ 2011

γ) Αφού ε δ

και δ / /

x΄x έχουμε ότι δ

λ λ 1 (1)

Όμως δ

1λ

2010 .

Από τη σχέση (1) έχουμε:1 λ

λ 1 1 λ 20102010 2010

δ) Ισχύει ότι:3π π π

λ εφ λ εφ π - λ εφ λ 14 4 4

Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x΄x, η ευθεία ε, που

α) Διέρχεται από τα σημεία Α(2,3) και Β(4,1)

β) Διέρχεται από τα σημεία Α(2,6) και Ρ(2,1)

γ) Διέρχεται από τα σημεία Η(2,3) και Σ(4,3)

δ) Έχει εξίσωση 3 3 9 0x y

ε) Είναι κάθετη στην ευθεία η : 5 5 10 0x y


Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνση της ευθείας που:

α) Διέρχεται από τα σημεία Α(3,-5) και Β(6,-4)

β) Είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ 2,4022

γ) Είναι κάθετη στο διάνυσμα η 2010,1

δ) Σχηματίζει γωνία 3π

4με τον άξονα x΄x


2ο

Κεφάλαιο


Λύση

α) Έχουμε ΑΒ 4 2,1 3 2, 2

ΆραΑΒ

2λ 1

2

Όμως ΑΒ

λ λ λ 1 εφω=-1

Οπότε 3π

ω4

β) Έχουμε ΑΡ 2 2,1 6 0, 5

ΆραΑΡ

λ δεν ορίζεται

Δηλαδή ΑΡ x΄x

οπότε και ε x΄x άρα π

ω2

γ) Έχουμε ΗΣ 4 2,3 3 2,0

ΆραΗΣ

0λ 0

2

ΌμωςΗΣ

λ λ λ 0 εφω=0 άρα ω 0

Δηλαδή ε / /x΄x

δ) Έχουμε ε : 3x 3y 9 0

Οπότε 3 3 3

λ λ εφω3 3 3

άρα π

ω=6

ε) Αφού η : 5x 5y 12 0 είναι η η

5λ λ 1

5

Όμως ε η εε η λ λ 1 λ 1 εφω= 1 άρα 3π

ω=4

Αν η εξίσωση μιας ευθείας (ε) είναι της μορφής

Αx By Γ 0

με Β 0

τότε ε

Αλ

Β

Αν α

λ δεν ορί-

ζεται τότε

α x΄x

Αν α 0,y

με

y 0 τότε

α x΄x

Αν α

λ 0 τότε

α / /x΄x

Αν α x,0

με

x 0 τότε

α / /x΄x



Εύρεση Εξίσωσης Ευθείας

Για να βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας (ε) πρέπει να γνωρίζου-με:

Τις συντεταγμένες ενός σημείου της 0 0Α x ,y και το συντελεστή

διεύθυνσής της λ ή ένα άλλο σημείο της.

► Πιο συγκεκριμένα αν ζητείται να βρεθεί η εξίσωση μιας ευθείας

(ε) που διέρχεται από το σημείο 0 0Α x ,y τότε ακολουθούμε τα

εξής βήματα:

Γράφουμε την εξίσωσή της η οποία είναι

0 0ε : y y λ x x (1) ή 0x x (2)

Ελέγχουμε αν η ευθεία 0x x είναι λύση του προβλήματος

Με ένα άλλο δεδομένο βρίσκουμε το λ, όποτε και την εξί-σωση της (ε).

► Αν ζητείται να βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται

από δύο σημεία 1 1A x ,y και 2 2Β x ,y τότε χρησιμοποιούμε

τον τύπο:

2 11 1

2 1

y yy y = x x

x xαν 2 1x x

Ενώ αν 1 2x x τότε 1(ε): x x

Ειδική Περίπτωση

Αν η ευθεία (ε) διέρχεται από το 0 0Α x ,y και σχηματίζει με τους

άξονες τρίγωνο, τότε έχουμε τους περιορισμούς ότι η (ε) δεν είναι παράλληλη στους άξονες και επιπλέον δεν διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

Οπότε η εξίσωσή της είναι:

0 0ε : y y λ x x με λ 0 και 0

0

yλ

x

Χρήσιμη Παρατήρηση

Αν ένα σημείο 1 1A x ,y ανήκει στην ευθεία ε : y λx β τότε

2ο

Κεφάλαιο


Λύση

Σε κάθε ένα από τα ερωτήματα θα θεωρήσουμε ότι η ζητούμενη ευθεία είναι η (ε) ώστε να μην επαναλαμβανόμαστε.

Αφού γνωρίζουμε τις συντεταγμένες του σημείου Α από το οποίο διέρχεται αρκεί να βρούμε το συντελεστή διεύθυνσής.

α) Είναι δ δ

5λ λ -1

-5

Αφού ε εδε / /δ λ λ λ -1

Άρα A ε Aε : y - y λ x - x y - -1 -1 x -2 y 1 -x 2 y -x 1

β) Είναι δ

1λ

7

Αφού ε ε εδ

1ε δ λ λ -1 λ -1 λ -7

7

Άρα A ε Aε : y - y λ x - x y - -1 -7 x -2 y 1 -7x 14 y -7x 13

γ) Είναι ζλ 3

Αφού ε ζ εε / / ζ λ λ λ 3

Άρα A ε Aε : y - y λ x - x y - -1 3 x -2 y 1 3x - 6 y 3x - 7

δ) 1

η : 2y 4x 1 2y -4x 1 y -2x2

άρα ηλ -2

Αφού ε η ε ε

1ε η λ λ -1 λ -2 -1 λ

2

Άρα A ε A

1 1 1ε : y - y λ x - x y - -1 x -2 y 1 x -1 y x -2

2 2 2

Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(2,-1)και

α) Είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ 5,5

β) Είναι κάθετη στο διάνυσμα δ 7,1

γ) Είναι παράλληλη στην ευθεία ζ : y 3x+1

δ) Είναι κάθετη στην ευθεία η : 2y 4x 1




Λύση

Σε κάθε ένα από τα ερωτήματα θα θεωρήσουμε ότι η ζητούμενη ευθεία είναι η (ε) ώστε να μην επαναλαμβανόμαστε.

α) Είναι ε ε ε ελ εφ135 λ εφ 180 - 45 λ -εφ 45 λ -1

Άρα A ε Aε : y - y λ x - x y -2 -1 x 3 y -2 -x - 3 y -x -1

β) Αφού ε / /x x είναι Aε : y y y 2

γ) Αφού ε x x είναι Aε : x x x 3

δ) Αφού η κλίση της (ε) είναι 2010 έχουμε ότι ελ 2010

Άρα A ε Aε : y - y λ x - x y - 2 2010 x 3

y - 2 2010x 6030 y 2010x 6032

Λύση

α) Αρχικά βρίσκουμε το συντελεστή διεύθυνσης της (ε)

Είναι ε ΑΒλ λ (1)

Όμως ΑΒ 2 14, 1 5 12, 6

άρα ΑΒ

6 1λ

12 2

Δίνονται τα σημεία Α(14,5) και Β(2,-1)

α) Να δείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Β έχει εξίσωση

ε : x - 2y - 4 0

β) Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής της (ε) με τους άξονες.


Αν η ευθεία (ε) διέρχεται από το Α(x0,y0) και

ε x x΄ τότε

0x x

ε y y΄ τότε

0y y

Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(-3,2)και

α) Σχηματίζει γωνία 135ο με τον άξονα x΄x

β) Είναι παράλληλη στον άξονα x΄x

γ) Είναι κάθετη στον άξονα x΄x

δ) Έχει κλίση ίση με 2010


2ο

Κεφάλαιο


Από την (1) προκύπτει ότι ε

1λ

2

Επιπλέον η (ε) διέρχεται από το σημείο Α οπότεγια την εξίσωσή της έχουμε:

A ε A

1ε : y - y λ x - x y - 5 x -14

2

1 1y - 5 x - 7 y x - 2

2 2 (2)

β)

Για x 0 από τη σχέση (2) έχουμε y -2

Άρα η (ε) τέμνει τον y΄y στο Γ(0,-2)

Για y 0 από τη σχέση (2) έχουμε 1 1

0 x - 2 x 2 x 42 2

Άρα η (ε) τέμνει τον x΄x στο Δ(4,0)

Λύση

α) Διαδοχικά έχουμε

ΑΒ 0 3,2 1 3,1

και ΑΓ 1 3,0 1 2, 1

3 1

det ΑΒ,ΑΓ 3 2 5 02 1

Άρα ΑΒ / /

ΑΓ

οπότε Α, Β, Γ μη συνευθειακά δηλαδή Α, Β, Γ σχηματίζουν τρί-

γωνο.

Δίνονται τα σημεία Α(3,1), Β(0,2) και Γ(1,0)

α) Να αποδείξετε ότι τα Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου

β) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές

γ) Να βρείτε την εξίσωση του ύψους ΓΕ του τριγώνου ΑΒΓ

δ) Να βρείτε την εξίσωση της διαμέσου ΑΔ του τριγώνου ΑΒΓ

ε) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου της ΑΓ

στ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής του ύψους ΓΕ με τη διάμεσο ΑΔ


Στην ίδια εξίσωση θα καταλήγαμε ανθεωρούσαμε ότι η (ε) διέρχεται από το σημείο Β.

Δοκιμάστε το !!!

x

y

x΄

y΄

A

B



β) Είναι 2 2

ΑΓ 2 1 5

Επιπλέον ΒΓ 1 0,0 2 1, 2

άρα

22ΒΓ 1 2 5

Αφού ΒΓ ΑΓ ΒΓ ΑΓ

έχουμε ότι ΑΒΓ ι-

σοσκελές

Ακόμη ΑΓ ΒΓ 2 1 1 2 2 2 0

άρα ΑΓ ΒΓ

Οπότε ΑΒΓ και ορθογώνιο με ορθή γωνία τη Γ

γ)ΓΕ ΑΒ ΓΕ ΓΕ

1ΓΕ ΑΒ λ λ -1 λ - -1 λ 3

3

Άρα για την εξίσωση του ΓΕ έχουμε:

Γ ΓΓΕΓΕ : y - y λ x - x y 3 x -1 y 3x - 3

δ) Δ μέσο ΒΓ

Β ΓΔ

Β ΓΔ

x x 0 1 1x

2 2 2y y 2 0

y 12 2

άρα 1

Δ ,12

Οπότε 1 5

ΑΔ 3,1 1 ,02 2

άρα

ΑΔ

0λ 0

5

2

Έτσι λοιπόν η ΑΔ είναι παράλληλη στον άξονα x΄x και η εξίσωσή της θα είναι:

ΑΑΔ : y y y 1

ε) Ας είναι (ε) η μεσοκάθετος της ΑΓ με Κ μέσο του ΑΓ

Κ μέσο ΑΓ

A ΓK

A ΓK

x x 3 1x 2

2 2y y 0 1 1

y2 2 2

άρα 1

K 2,2

Επιπλέον ε ΑΓ ε ε

1ε ΑΓ λ λ 1 λ 1 λ 2

2

Άρα για την εξίσωση της (ε) έχουμε:

x

y

x΄

y΄

B

Γ

Α

Ε

Δ

(ε)

Κ

Λ

2ο

Κεφάλαιο


Κ ε Κ

1 1ε : y - y λ x - x y - -2 x - 2 y - -2x 4

2 2

1 9y -2x 4 y -2x

2 2

στ) Από προηγούμενα ερωτήματα έχουμε:

ΓΕ : y 3x - 3 (1) και ΑΔ : y 1 (2)

Λύνουμε το σύστημα των (1) και (2)

2 4

1 1 3x - 3 4 3x x3

Άρα το σημείο τομής των ΓΕ και ΑΔ είναι το 4

Λ ,13

ΛύσηΈστω (ζ) η ζητούμενη ευθεία.

Αρχικά βρίσκουμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των (ε1) και (ε2)

x y 5x y - 5 0 -2

3x 2y 113x 2y -11 0

-2x - 2y -10

3x 2y 11

1

x 1

Για x 1 η 1 y - 5 0 y - 4 0 y1 4 άρα Α(1,4) το σημείο τομής των

(ε1) και (ε2)

Για το συντελεστή διεύθυνσης της (ζ) έχουμε:

ζ ε ζ ζ

3 5ζ ε λ λ 1 λ 1 λ

5 3

Έτσι λοιπόν η εξίσωση της (ζ) είναι:

A ζ A

5 5 5 5 7ζ : y - y λ x - x y - 4 x -1 y x - 4 y x

3 3 3 3 3

Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο τομής των

ευθειών 1ε : x y - 5 0 και 2ε : 3x 2y -11 0 και είναι κάθετη στην

ευθεία ε : 3x 5y - 4 0 .


Για να βρούμε το σημείο τομής δύο ευθειών λύνουμε το σύστημα των εξισώσεών τους.

Αν (ε): Αx+Βy+Γ=0με Α 0 τότε

Αλ

Β

x

y

x΄

y΄(ε1)

(ε2)

(ε)(ζ)



Λύση

Αρχικά παρατηρούμε αν το Α ανήκει στο ύψος

1ε : x y 1 (1) ή στη διάμεσο 2ε : y 6 (2)

Για x 1 και y 4 η (1) 5 1 που δεν ισχύει

Άρα το Α δεν ανήκει στην (ε1)

Προφανώς το Α δεν ανήκει στην διάμεσο (ε2) αφού η τεταγμένη του δεν είναι 6.

Ας θεωρήσουμε λοιπόν ότι το ύψος (ε1) διέρχεται

από την κορυφή B BΒ x ,y και η διάμεσος (ε2) διέρχεται από την κορυφή

Γ ΓΓ x ,y .

Διαδοχικά έχουμε:

2 ΓΓ ε y 6 οπότε ΓΓ x ,6

Επιπλέον 22 ε ΑΓε ΑΓ λ λ -1 (3)

Όμως Γ Α

ΑΓΓ Α Γ Γ

y - y 6 - 4 2λ

x - x x -1 x -1 και

2ελ -1

(3) Γ Γ

Γ Γ

2 2- -1 1 2 x -1 3 x

x -1 x -1 άρα Γ(3,6)

1 Β Β Β ΒΒ ε x y 1 y 1 - x οπότε B BΒ x ,1 - x

Θεωρούμε Μ μέσο ΑΒ και έχουμε:

Α B BΜ

Α B B BΜ

x x 1 xx

2 2y y 4 1 - x 5- x

y2 2 2

άρα B B1 x 5- xΜ ,

2 2

Όμως B2 B B

5- xΜ ε 6 5- x 12 x -7

2 άρα Β(-7,8)

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1,4) και έστω x y 1 , y 6 , οι εξισώσεις ενός

ύψους και μιας διαμέσου αντίστοιχα. Να βρείτε τις συντεταγμένες των κο-ρυφών Β και Γ.


Βοηθητικό Σχήμα

Α

ΒΓ

(ε1)

Μ

(ε2)

x

y

x΄

y΄

Α

ΓΒ

Μ(ε2)

(ε1)

2ο

Κεφάλαιο


Λύση

Παρατηρούμε ότι οι δύο εξισώσεις των πλευρών δεν έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης άρα δεν είναι παράλληλες.

Ας είναι ΑΒΓΔ το παραλληλόγραμμο με κέντρο Κ(-4,2)

ΑΒ : 2x y - 4 0 (1)

ΒΓ : x - y - 2 0 (2)

Για να βρούμε τις εξισώσεις των ΑΔ, ΔΓ αρκεί να βρούμε τις συντεταγμένες της κορυφής.

Λύνουμε το σύστημα των (1) και (2) για να βρούμε το Β

2x y - 4 0 2x y 43x 6 x 2

x - y - 2 0 x - y 2

Για x 2 η (2) 2 2 y - 4 0 4 y - 4 0 y 0 άρα Β(2,0)

Βρίσκουμε τις συντεταγμένες του Δ

Κ μέσο του ΒΔ

Β Δ ΔΚ

Δ Δ

Β Δ Δ Δ ΔΚ

x x 2 xx -4

-8 2 x x -102 2y y 0 y 4 y y 4

y 22 2

άρα Δ(-10,4)

Για την εξίσωση της ΑΔ έχουμε

ΑΔ ΒΓ ΑΔΑΔ / / ΒΓ λ λ λ 1

Άρα Δ ΑΔ ΔΑΔ : y - y λ x - x

y - 4 x 10 y x 14

Για την εξίσωση τη ΔΓ έχουμε

ΔΓ ΑΒ ΔΓΔΓ / / ΑΒ λ λ λ -2

Άρα Δ ΔΓ ΔΔΓ : y - y λ x - x y - 4 -2 x 10

y - 4 -2x - 20 y -2x -16

Δίνεται παραλληλόγραμμο του οποίου οι δύο πλευρές έχουν εξίσωση 2x y - 4 0 και x - y - 2 0 και το κέντρο του έχει συντεταγμένες (-4,2). Να

βρεθούν οι εξισώσεις των δύο άλλων πλευρών.



Α Β

ΓΔ

Κ(-4,2)

x

y

x΄

y΄

Β

Δ

Α

Γ

Κ



Λύση

Η ευθεία x 2 δεν αποτελεί λύση γιατί προφανώς δεν τέμνει τους άξονες x΄x,y΄y.

Έτσι λοιπόν η ζητούμενη ευθεία (ε) θα έχει εξίσωση της μορφής

M Mε : y - y λ x - x y -1 λ x - 2 y λx - 2λ 1 (1) με λ 0 (γιατί;)

Βρίσκουμε το σημείο τομής της (ε) με τον y΄y

Για x 0 η (1) y -2λ 1

Άρα η (ε) τέμνει τον y΄y στο Α 0,-2λ 1

Βρίσκουμε το σημείο τομής της (ε) με τον x΄x

Για y 0 η

(1)2λ -1

0 λx-2λ 1 λx 2λ -1 xλ

Άρα η (ε) τέμνει τον x΄x στο 2λ -1

Β ,0λ

M μέσο του ΑB

Α ΒΜ

Α ΒΜ

2λ -1x x

x λ222

y y-2λ 1y

122

2λ -14λ 2λ -1 2λ -12 1

λ -2λ2λ -1 2λ -1 2

2 -2λ 1

Άρα η εξίσωση της ευθείας (ε) είναι:

(1)1 1 1

y - x - 2 - 1 y - x 22 2 2

Να βρείτε την ευθεία (ε) που διέρχεται από το σημείο Μ(2,1), τέμνει τους άξονες στα σημεία Α και Β, έτσι ώστε το Μ να είναι μέσο του ΑΒ.


x

y

x΄

y΄

Α

ΜΒ

2ο

Κεφάλαιο


Λύση

Αρχικά ελέγχουμε αν η κατακόρυφη ευθεία ε : x 1 αποτελεί λύση του προ-

βλήματος.

Βρίσκουμε το κοινό σημείο της (ε) με την (ε1)

x y - 4 0 1 y - 4 0 y 3

x 1 x 1 x 1

άρα Α(1,3)

Βρίσκουμε το κοινό σημείο της (ε) με την (ε2)

2x - y 3 0 2- y 3 0 y 5

x 1 x 1 x 1

άρα Β(1,5)

Το μέσο του ΑΒ είναι το σημείο 1 1 3 5

, ή 1,42 2

που είναι το σημείο

Μ άρα η μια ευθεία είναι η ε : x 1

Έστω τώρα ότι η (ε) δεν είναι κατακόρυφη. Τότε:

Μ Με : y - y λ x - x y - 4 λ x -1 y λx - λ 4 (1)

Βρίσκουμε το κοινό σημείο της (ε) με την (ε1): x y - 4 0 (2) λύνοντας το

σύστημα των εξισώσεών τους.

(2)

1 λ

x λx λ 4 4 0 1 λ x λ x1 λ

Για λ

x1 λ

η (2)λ λ 3λ 4

y - 4 0 y 4 - yλ 1 λ 1 λ 1

άρα λ 3λ 4

Α ,λ 1 λ 1

Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το Μ(1,4) και τέ-

μνει τις ευθείες 1ε : x y - 4 0 και 2ε : 2x - y 3 0 στα σημεία Α και Β

αντίστοιχα, ώστε το Μ να είναι μέσο του ΑΒ


x

y

x΄

y΄

(ε1)(ε2)(ε)

Α

Β

Μ



Βρίσκουμε το κοινό σημείο της (ε) με την (ε2): 2x - y 3 0 (3)

(3)

1

2x - λx - λ 4 3 0 2x - λx λ 4 3 0

1 λ

2- λ x 1 λ x2- λ

Για 1 - λ

x2- λ

η (3)1 - λ 2- 2λ

2 - y 3 0 - y 3 02- λ 2- λ

2- 2λ 8 - 5λy 3 y

2- λ 2- λ άρα

1 - λ 8 - 5λΒ ,

2- λ 2- λ

Όμως Μ μέσο ΑΒ

Α ΒΜ

Α ΒΜ

x xx 4

2y y

y 52

Α ΒΑ Β

2 2 2

x x λ 1 - λ4 1 x x 2 2

2 λ 1 2- λ

λ 2- λ λ 1 1 - λ 2 2- λ λ 1

2λ - λ 1 - λ 4λ 4 - 2λ - 2λ 2λ 1 2λ 4 1 4 Αδύνατη

Τελικά η μοναδική ευθεία είναι η ε : x 1

Εύρεση Εξίσωσης Ευθείας με Γνωστό Συντελεστή Διεύθυνσης

Αν μας δίνεται ότι η ευθεία (ε) έχει γνωστή διεύθυνση η οποία καθο-ρίζεται από το συντελεστή διεύθυνσής της λ, τότε θα θεωρούμε ότι η εξίσωσή της είναι:

y λx β

και το β θα βρίσκεται από άλλο δεδομένο.

Το λ θα μας δίνεται έμμεσα αν γνωρίζουμε

Τη γωνία που σχηματίζει η (ε) με τον άξονα x΄x

Tην εξίσωση μιας ευθείας (η) ή τις συντεταγμένες ενός διανύσματος

δ

που είναι παράλληλα στην (ε) αλλά όχι στον y΄y

Την εξίσωση μιας ευθείας (η) ή τις συντεταγμένες ενός διανύσματος

δ

που είναι κάθετα στην (ε) αλλά όχι στον x΄x

2ο

Κεφάλαιο


Λύση

Ας είναι ε : y λx β

Επειδή (ε) // (η) είναι ε η ελ λ λ -4

Άρα ε : y -4x β (1)

Βρίσκουμε τα σημεία τομής της (ε) με x΄x και y΄y

Για x 0 η 1 y β άρα τέμνει τον y΄y στο

σημείο Β(0,β)

Για y 0 η β

1 0 -4x β 4x β x4

άρα τέμνει τον x΄x στο σημείο

βΑ ,0

4

Επιπλέον:

2 2

1Ε 8 ΟΑ ΟΒ 8 ΟΑ ΟΒ 16

2

β 8ββ 16 β 64 β 64

β 84

Οπότε οι ζητούμενες ευθείες είναι οι

1ε : y -4x 8 και 2ε : y -4x - 8

Λύση

Ας είναι ε : y λx β (1) με λ 0 αφού ε / / y΄y

Βρίσκουμε τα σημεία τομής της (ε) με τους ημιάξο-νες

Για x 0 η 1 y β

Άρα τέμνει τον Οy στο σημείο Α(0,β) με β 0

Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που είναι παράλληλες στην ευθεία

η : 4y x και σχηματίζουν με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν 8 τετρα-

γωνικές μονάδες.


Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που σχηματίζει με τους θετικούς ημιάξο-νες τρίγωνο ορθογώνιο και ισοσκελές, με εμβαδόν ίσο με 2 τετραγωνικές μονάδες.


Για Κ(x,y) είναι:

d K,x x y

d K,y y x

x

y

x΄

y΄

x

y

x΄

y΄

(ε1)

(ε2)

(η)

Β

ΑΟ

(ε)

Α

Β

Ο



Για y 0 η β

1 0 λx β λx -β x -λ

Άρα τέμνει τον Οx στο σημείο β

Α - ,0λ

μεβ

- 0λ

Αφού το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισοσκελές έχουμε ότι:

β>0

β- 0

λ

β β 1ΟΑ ΟΒ β - β - 1 - λ -1

λ λ λ

Επιπλέον:

2

1Ε 2 ΟΑ ΟΒ 2 ΟΑ ΟΒ 4

2

β 2ββ - 4 β 4

β 2 Απορρίπτεται γιατί β 0λ

Η ζητούμενη ευθεία λοιπόν είναι η ε : y -x 2

Συμμετρίες

Για να βρούμε τις συντεταγμένες του συμμετρικού σημείου Μ΄ ενός σημείου Μ ως προς μια ευθεία (ε) ακολουθούμε τα εξής βήματα:

Βρίσκουμε την εξίσωση της κάθετης ευθείας (η) από το σημείο Μ προς την ευθεία ε.

Με επίλυση του συστήματος των εξισώσεων των (ε) και (η) βρίσκουμε τις συντεταγμένες της προβολής Κ του Μ πάνω στην ευθεία (ε).

Από τις συντεταγμένες του μέσου Κ του τμήματος ΜΜ΄ βρίσκουμε τις συντεταγμένες του Μ΄.

Δίνεται η ευθεία 5

ε : y x 22

και το σημείο Μ(3,-2)

α) Να δείξετε ότι το σημείο Μ δεν ανήκει στην ευθεία (ε)

β) Να βρείτε την προβολή του σημείου Μ στην ευθεία (ε)

γ) Να βρείτε το συμμετρικό σημείο του Μ ως προς την ευθεία (ε)


x

y

x΄

y΄(ε)

Μ

Μ΄

Κ

(η)

2ο

Κεφάλαιο


Λύση

α) Για x 3 και y -2 η 5

ε : y - x 22

(1) δίνει:

15-2 - 2 -4 -11

2 που δεν ισχύει

β) Άρα το σημείο Μ δεν ανήκει στην ευθεία (ε)

Φέρνουμε ΜΚ ε

Το Κ είναι η προβολή του σημείου Μ στην (ε)

Άρα θέλουμε να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου Κ

Βρίσκουμε την εξίσωση της ΜΚ

Ισχύει ότι

ΜΚ ε ΜΚ ΜΚ

5 2ΜΚ ε λ λ -1 λ - -1 λ

2 5

Οπότε: Μ ΜΚ Μ

2 2 6ΜΚ : y - y λ x - x y 2 x - 3 y 2 x -

5 5 5

2 6 2 16y x - - 2 y x -

5 5 5 5 (2)

Από (1) και (2) έχουμε:

5 2 16 52- x 2 x - -25x 20 4x - 32 -29x -52 x2 5 5 29

Για 52

x29

η (2)2 52 16 104 16 104 464 360 72

y - - - - -5 29 5 145 5 145 145 145 29

Άρα 52 72

Κ ,-29 29

γ) Προεκτείνουμε τη ΜΚ κατά τμήμα ΚΛ=ΜΚ

Το συμμετρικό του Μ ως προς την (ε) είναι το Λ ΛΛ x ,y

Κ μέσο ΜΛ

ΛΜ ΛΚ

Λ

Μ Λ Λ ΛΚ

52 3 xx xx

104 87 29x29 22y y 72 -2 y -144 -58 29y

y -2 29 2

ΛΛ

ΛΛ

17x

-29x -17 29

-29y 86 86y -

29

άρα 17 86

Λ ,-29 29

Για να δείξουμε ότι ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία αρκεί να δείξουμε ότι οι συντε-ταγμένες του, επαλη-θεύουν την εξίσωσή της

x

y

x΄

y΄

Ο

Μ

Λ

Κ

(ε)



Λύση

α) Έστω ότι το σημείο του πέναλτι είναι το Α(20,-20)

Έστω Κ το σημείο έναρξης του αγώνα.

Φέρνουμε από το Α κάθετη στην (ε)

Το Κ είναι το σημείο τομής της ΑΚ με την (ε)

ΑΚ ε

ΑΚ ΑΚ

ΑΚ ε λ λ -1

4 3λ -1 λ -

3 4


Α ΑΚ Α

3ΑΚ : y - y λ x - x y 20 x - 20

4

3 3y 20 - x 15 y - x - 5

4 4 (1)

Λύνοντας το σύστημα των (1) και 4 10

ε : y x3 3

(2) έχουμε:

4 10 3x - x - 5 16x 40 -9x - 60 25x -100 x -4

3 3 4

Για x -4 η (1) y 3- 5 y -2 ά ρα Κ(-4,-2)

β) Το σημείο Β του πέναλτι στην άλλη περιοχή είναι συμμετρικό του Α ως προς το Κ άρα έχουμε:

Κ μέσο ΜΛ

Α Β ΒΚ

Β Β

Α Β Β Β ΒΚ

x x 20 xx 4

-8 20 x x -282 2y y -20 y -4 -20 y y 16

y -22 2

Οπότε Β(-28,16)

Ένα γήπεδο ποδοσφαίρου είναι τοποθετημένο στο επίπεδο (ορθοκανονι-κό σύστημα συντεταγμένων) έτσι ώστε η μεσαία γραμμή να είναι τμήμα

της ευθείας 4 10

ε : y x3 3

. Αν το σημείο του πέναλτι στη μία περιοχή

έχει συντεταγμένες (20,-20), να βρείτε:

α) Τις συντεταγμένες του σημείου που γίνεται η έναρξη του αγώνα

β) Τις συντεταγμένες του σημείου του πέναλτι στην άλλη περιοχή


Α

Β

Κ (ε)

2ο

Κεφάλαιο


Λύση

Βρίσκουμε το σημείο τομής της

1ε : x 2y 3 0 (1) με y΄y

Για x 0 η (1)3

-2y 3 0 -2y -3 y2

άρα η (ε1) τέμνει τον y΄y στο σημείο 3

A 0,2

Βρίσκουμε το σημείο τομής της

2ε : 2x 4y 5 0 (2) με y΄y

Μεσοπαράλληλος Ευθειών

Για να βρούμε τη μεσοπαράλληλο δύο παράλληλων ευθειών

1 1ε : y λx β και 2 2ε : y λx β

ακολουθούμε τα εξής βήματα:

Βρίσκουμε τις συντεταγμένες των σημείων τομής Α, Β με τον y΄y των (ε1) και (ε2) αντίστοιχα

Βρίσκουμε τις συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ

Βρίσκουμε το συντελεστή διεύθυνσης της μεσοπαραλλήλου (η) των (ε1) και (ε2) εκμεταλλευόμενοι ότι (η) // (ε1)

Βρίσκουμε την εξίσωση της μεσοπαραλλήλου των (ε1) και (ε2)αφού γνωρίζουμε ένα σημείο από το οποίο αυτή διέρχεται (το Μ) καθώς και το συντελεστή διεύθυνση της.

Στην περίπτωση που οι δύο ευθείες (ε1) και (ε2) είναι παράλληλες στον y΄y τότε η μεσοπαράλληλος αυτών θα είναι κάθετη στον x΄x

και η εξίσωσή της θα είναι της μορφής Μx x όπου Μ το μέσο του

ΑΒ.

Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης των ευθειών

1ε : x 2y 3 0 και 2ε : 2x 4y 5 0


x

y

x΄

y΄

(ε1)

(ε2)

Α

Β

(η)

x

y

x΄y΄

(ε1)

(ε2)

Α

Β

Μ

Μ

(η)



Για x 0 η (2)5

-4y 5 0 -4y -5 y4

άρα η (ε2) τέμνει τον y΄y στο

σημείο 5

B 0,4

Έστω Μ μέσο ΑΒ

A B MMM

A B MMM

x x x 0x 0x

2 3 511

y y y2 4yy 822

άρα 11

M 0,8

Ας είναι (η) η μεσοπαράλληλη των (ε1), (ε2)

Έχουμε: 11 η ε η

1η / / ε λ λ λ

2

Έτσι λοιπόν είναι: Μ η Μ

11 1 1 11η : y - y λ x - x y - x y x

8 2 2 8

Λύση

Για να παριστάνει η (1) ευθεία ΔΕΝ πρέπει να μηδενίζονται ταυτόχρονα το2λ +λ -2 και το λ -1

Έστω 2λ +λ -2 0 (2)

λ -1 0 (3)

Πότε μια εξίσωση της μορφής Ax By Γ 0 παριστάνει ευθεία

Αν μας δίνεται μια εξίσωση της μορφής Ax By Γ 0 όπου τα Α, Β, Γ εκ-

φράζονται με τη βοήθεια μιας παραμέτρου και μας ζητείται να βρούμε τις τιμές της παραμέτρου για οποίες είναι ευθεία τότε θα θεωρούμε το σύ-στημα

Α 0

Β 0

Για τις τιμές της παραμέτρου που θα προκύψουν η εξίσωση δεν είναι ευ-θεία. Οπότε είναι ευθεία για όλες τις υπόλοιπες τιμές.

Δίνεται η εξίσωση 2λ +λ - 2 x λ -1 y 3 0 (1)

Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η εξίσωση (1) να παριστάνει ευθεία


2ο

Κεφάλαιο


Για την (2) έχουμε : Δ 1- 4 -2 1 8 9 , 1,2

1-1 3λ

-22

Για την (3) έχουμε: λ -1 0 λ 1

Άρα οι (2) και (3) μηδενίζουν ταυτόχρονα για λ 1

Οπότε πρέπει λ 1 δηλαδή λℝ 1

Λύση

Έχουμε ότι ε

2λλ -

λ 4

καθώς και η

-2 2λ

-3 3

Όμως ε η

2λ 2ε / / η λ λ - -6λ 2λ 8 -8λ 8 λ -1

λ 4 3

Για ποια τιμή του λℝ η ευθεία ε : 2λx λ 4 y 1 0 είναι παράλλη-

λη στην ευθεία η : 2x - 3y 2010 0


Μονοπαραμετρική Οικογένεια Ευθείών

Αν μας δίνεται μια παραμετρική εξίσωση ευθείας και θέλουμε να αποδεί-ξουμε ότι όλες οι ευθείες που σχηματίζονται, για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου, διέρχονται από το ίδιο (ή από σταθερό σημείο) τότε ακο-λουθούμε τα εξής βήματα:

Δίνουμε δύο τυχαίες τιμές στην παράμετρο και βρίσκουμε δύο ευθείες που ανήκουν στην αρχική οικογένεια ευθειών. Δηλαδή βρίσκουμε δύο «εκπροσώπους» της αρχικής οικογένειας.

Βρίσκουμε το σημείο τομής των «εκπροσώπων»

Εξετάζουμε αν οι συντεταγμένες του σημείου τομής των «εκπροσώ-πων» επαληθεύουν την αρχική εξίσωση.

Αν την επαληθεύουν, τότε όλες οι ευθείες που ανήκουν στην αρχική οικογένεια διέρχονται από το σημείο αυτό.



Λύση

α) Για να δείξουμε ότι (ελ) παριστάνει εξίσωση ευθείας αρκεί να δείξουμε ότι δεν

υπάρχει λℝ ώστε ταυτόχρονα να είναι 23λ λ 2 0 και 22λ λ 1 0

Έτσι λοιπόν έχουμε: 23λ λ 2 0 με Δ 1- 4 2 3 1-24 -23 0

Άρα 23λ λ 2 0 για κάθε λℝ

Οπότε (ελ) παριστάνει εξίσωση ευθείας για κάθε λℝ

β) Βρίσκουμε δύο «εκπροσώπους» της αρχικής οικογένειας θέτοντας δύο τυχαίες αλλά βολικές τιμές στο λ

Για λ 0 έχουμε 0ε : 2x y 1 0 y 2x 1 (1)

Για λ 1 έχουμε 1ε : 6x 4y 0 (2)

Βρίσκουμε το σημείο τομής των παραπάνω «εκπροσώπων» λύνοντας το σύ-στημα των εξισώσεών τους

(2)

1

6x - 4 2x -1 0 6x - 8x 4 0 -2x -4 x 2

Για x 2 η (1) y 3

Άρα οι 0ε , 1ε διέρχονται από το Μ(2,3)

Παρατηρούμε αν οι συντεταγμένες του σημείου τομής των δύο «εκπροσώ-πων» επαληθεύουν την εξίσωση της οικογένειας των ευθειών

Για x 2 και y 3 η αρχική οικογένεια των ευθειών δίνει:

2 2

2 2

3λ λ 2 2 2λ λ 1 3 λ 1 0

6λ 2λ 4 6λ 3λ 3 λ 1 0

0 0 ισχύει για κάθε λ

Οπότε όλες οι ευθείες (ελ) διέρχονται από το σημείο Μ(2,3)

Δίνεται η εξίσωση

2 2λε : 3λ λ 2 x 2λ λ 1 y λ 1 0 με λℝ

α) Να δείξετε ότι η λε παριστάνει εξίσωση ευθείας, για κάθε τιμή της

παραμέτρου λ

β) Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες λε διέρχονται από σταθερό σημείο.


x

y

x΄

y΄

(ε0)(ε1)

2ο

Κεφάλαιο


Λύση

Έχουμε το σύστημα

λ - 4 x 3y λ 1

3x λ 4 y 2λ 8

(Σ)

Αρχικά βρίσκουμε D , xD , yD

2 2λ - 4 3

D λ 4 λ - 4 - 9 λ -16 - 9 λ - 25 λ - 5 λ 53 λ 4

Σχετική θέση ευθειών

Για να βρούμε τη σχετική θέση δύο ευθειών λύνουμε το σύστημα των ε-ξισώσεών τους.

Πιο συγκεκριμένα:

Αν το σύστημα έχει μια λύση τότε οι ευθείες τέμνονται δηλαδή έχουν ένα κοινό σημείο

Αν το σύστημα είναι αδύνατο τότε οι ευθείες δεν έχουν κανένα κοινό σημείο δηλαδή είναι παράλληλες

Αν το σύστημα έχει άπειρες λύσεις τότε οι ευθείες έχουν άπειρα κοινά σημεία δηλαδή ταυτίζονται.

Στην περίπτωση που οι εξισώσεις των ευθειών περιέχουν παράμετρο, τό-τε μας συμφέρει να λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων με τη μέθοδο των οριζουσών και στη συνέχεια να κάνουμε διερεύνηση.

Δίνονται οι ευθείες

1ε : λ - 4 x 3y λ 1 και 2ε : 3x λ 4 y 2λ 8 , λ

Να βρεθεί το λ ώστε

α) οι 1ε και 2ε να τέμνονται

β) οι 1ε και 2ε να είναι παράλληλες

γ) οι 1ε και 2ε να ταυτίζονται

δ) οι 1ε και 2ε να είναι κάθετες




x

λ 1 3D λ 1 λ 4 - 3 2λ 8 λ 1 λ 4 - 6 λ 4 λ 4 λ - 5

2λ 8 λ 4

y

2 2

λ - 4 λ 4D λ - 4 2λ 8 - 3 λ 1 2 λ - 4 λ 4 - 3λ - 3

3 2λ 8

2λ - 32- 3λ - 3 2λ - 3λ - 35

α) Για να τέμνονται οι (ε1) και (ε2) αρκεί το (Σ) να έχει μοναδική λύση.

Δηλαδή λ - 5 0 λ 5

D 0 λ - 5 λ 5 0 και και

λ 5 0 λ 5

β) Για να είναι παράλληλες οι (ε1) και (ε2) αρκεί το (Σ) να είναι αδύνατο.

Δηλαδή D 0 και ( xD 0 ή yD 0 )

D 0 λ 5 ή λ 5

Έστω x

λ 4 0 λ 4

D 0 λ 4 λ - 5 0 ή ή

λ - 5 0 λ 5

Άρα πρέπει λ 4 και λ 5

Έστω 2yD 0 2λ - 3λ - 35 0 ,

2Δ -3 -4 2 -35 9 280 289

Οπότε 1,2

53 17

λ ή4

7-

2

άρα πρέπει 7

λ2

και λ 5

γ) Τελικά λοιπόν (ε1) και (ε2) παράλληλες για λ=-5

Για να ταυτίζονται οι (ε1) και (ε2) αρκεί το (Σ) να είναι αόριστο δηλαδή

x yD D D 0

Όμως

D 0 λ 5 ή λ 5 , xD 0 λ 4 ή λ 5 ,7

D 0 λ ή λ 52

y

δ) Για να είναι (ε1) (ε2) πρέπει:

1 2

λ 4 3 λ 4λ λ -1 1 1

3 λ 4 λ 4

λ 4 λ 4 2λ 0 λ 0 για λ 4

Αν λ 4 τότε 1ε : 8x 3y 3 και 2ε : 3x 0 που δεν είναι κάθετες.

2ο

Κεφάλαιο


Λύση

Ας είναι 1δ 5, 1

και 2δ 2,3

με 1 1δ / / ε

και 2 2δ / / ε

Τότε

1 2

1 22 2 2 2

1 2

5 2 1 3δ δσυν δ ,δ

δ δ 5 1 3 2

13 13 1 2

226 13 2 13 13 2

Άρα

1 23π

δ ,δ4

οπότε η οξεία γωνία των (ε1) και (ε2) είναι

3π ππ

4 4

Οξεία γωνία ευθείων

Για να βρούμε την οξεία γωνία δύο ευθειών (ε1) και (ε2) ακολουθούμε τα εξής βήματα:

Βρίσκουμε τις συντεταγμένες δύο διανυ-

σμάτων 1δ

, 2δ

που είναι παράλληλα στις

ευθείες (ε1) και (ε2) αντίστοιχα.

Βρίσκουμε το

1 2συν δ ,δ

οπότε και τη γω-

νία των δύο διανυσμάτων άρα και τη γωνία των ευθειών.

o Στην περίπτωση που το

1 2συν δ ,δ

είναι θετικός αριθμός τότε

έχουμε βρει την οξεία γωνία των ευθειών (ε1) και (ε2).

o Στην περίπτωση όμως που το

1 2συν δ ,δ

είναι αρνητικός α-

ριθμός τότε έχουμε βρει την αμβλεία γωνία των ευθειών (ε1)και (ε2) οπότε η ζητούμενη οξεία γωνία θα είναι η παραπληρω-ματική της.

Να βρεθεί η οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες:

1ε : x 5y 7 0 και 2ε : 3x 2y - 5 0


x

y

x΄

y΄

(ε1)

(ε2)

1δ

2δ

Αν (ε): Αx+Βy+Γ=0τότε

1δ Β, Α

πα-

ράλληλο στην (ε)

2δ Α,Β

κάθε-

το στην (ε)



Λύση

Φέρνουμε τις εξισώσεις των δύο ευθειών στην γενική τους μορφή

Οπότε είναι 1ε : μx y 0 (1) καθώς και 2ε : 1+μ x 1-μ y 0 (2)

Ας είναι 1δ 1, μ

και 2δ μ 1, μ 1

με 1 1δ / / ε

και 2 2δ / / ε

Τότε

1 2

1 22 2 2 2

1 2

1 μ -1 + -μ -μ-1δ δσυν δ ,δ

δ δ -1 + -μ μ -1 + -μ -1

2 2

2 2 2 2 2

2 2

22 2

μ+1+μ +μ μ +1

1+μ μ - 2μ+1+μ 2μ+1 1+μ 2μ +2

μ +1 μ +1 1 2

22 μ +1 22 μ +1 μ +1

Άρα

1 2π

δ ,δ4

οπότε η οξεία γωνία των (ε1) και (ε2) είναι ηπ

4

ΛύσηΘεωρώντας την (1) τριώνυμο ως προς y έχουμε:

2 2-2y +y 3x+5 +2x 2 0

2 2 2 2

2 22 2

Δ 3x+5 - 4 -2 2x 2 9x +30x+25+16x -16

25x +30x+9 5x +2 3 5x+3 5x+3

Να βρεθεί η οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες:

1ε : y μ x και 2ε : 1 μ x 1 μ y με μℝ


Δίνεται η εξίσωση : 2 22x 2y 3xy 5 2 0y (1)

α) Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει δύο ευθείες

β) Να βρείτε τη σχετική θέση των δύο ευθειών


Η εξίσωση 2 2Α x Β y Γ x y Δ x Ε y Ζ 0 (1)

Αν μια εξίσωση είναι της μορφής (1) τότε θα παριστά δύο ευθείες των ο-ποίων τις εξισώσεις θα βρίσκουμε σχηματίζοντας τριώνυμο ως προς y και βρίσκοντας τη διακρίνουσα Δ, η οποία θα βγαίνει πάντα τέλειο τετράγωνο.

Εναλλακτικά μπορούμε να παραγοντοποιήσουμε το 1ο μέλος της σχέσης.

2ο

Κεφάλαιο


Οπότε είναι

1

2

-3x - 5 5x+3 2x - 21 1y y y - x : ε- 3x+5 5x+3 -4 -4y 2 2

-3x - 5- 5 - 3 -8x - 8-4y 2x+2 : εy y

-4 -4

x

Για να βρούμε τη σχετική θέση των ευθειών (ε1) και (ε2) λύνουμε το σύστημα των εξισώσεών τους.


1 1

y - x+ 3-x+1 4x+4 -5x 3 x -2 2

5y

1

2x+2

Για 3

x -5

η 1 3 1 3 1 8 4

y - - + +2 5 2 10 2

110 5

Άρα οι ευθείες (ε1) και (ε2) τέμνονται στο σημείο 3 4

Α - ,5 5

Εύρεση γεωμετρικού τόπου σημείων Αν θέλουμε να βρούμε το γεωμετρικό τόπο των σημείων

Μ f λ ,g λ , λℝ όπου f λ , g λ παραστάσεις με λ, τότε:

Θεωρούμε ότι Μ x,y οπότε είναι

x f λ

y g λ

Μετά κάνουμε απαλοιφή του λ, λαμβάνουμε υπόψη τυχόν αρ-χικούς περιορισμούς για τα x, y , βρίσκουμε τη σχέση που συν-δέει τα x με τα y οπότε και το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ.

Αν θέλουμε να βρούμε το γεωμετρικό τόπο των σημείων

Μ α+βημθ,γ+δσυνθ , θℝ τότε

Θεωρούμε ότι Μ x,y οπότε είναι x α+βημθ (1)

y γ+δσυνθ (2)

Μετά λύνουμε τις (1) και (2) ως προς ημθ και συνθ αντίστοιχα και αντικαθιστώντας αυτά στην τριγωνομετρική ταυτότητα

2 2ημ θ+συν θ=1 βρίσκουμε τη σχέση που συνδέει τα x με τα y

οπότε και το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ.

Αρκετές φορές χρήσιμη είναι και η ταυτότητα 2

2

11 εφ θ

συν θ



Λύση

α) Έστω Μ x,y . Τότε είναι:

x 3λ - 4 x 3λ - 4άρα x 3 5- y - 4

y 5- λ λ 5- y

x 15- 3y - 4

3y -x+11

1 11

y - x+3 3

Οπότε ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία 1 11

ε : y - x+3 3

β) Έστω Μ x,y . Τότε είναι: x 2

y 6 - λ

Από τις παραπάνω σχέσεις αντιλαμβανόμαστε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η κα-τακόρυφη ευθεία x 2

γ) Έστω Μ x,y . Τότε είναι: 2010x λ +3

y 1

Η σχέση y 1 παριστάνει οριζόντια ευθεία

Όμως επιπλέον έχουμε 2010x λ +3 x 3

Άρα τελικά ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ημιευθεία του διπλανού σχήματος

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων στις παρακάτω περιπτώσεις

α) Μ 3λ 4,5 λ , λℝ β) Μ 2,6 λ , λℝ

γ) 2010Μ λ +3,1 , λℝ γ) Μ συνλ-3,0 , λℝ


x

y

x΄

y΄

x

y

x΄

x

y

x΄

y΄

y΄

(ε)

2ο

Κεφάλαιο


δ) Έστω Μ x,y . Τότε είναι: x συνλ - 3

y 0

Η σχέση y 0 παριστάνει τον x΄x

Όμως επιπλέον είναι

-1 συνλ 1 -4 συνλ-3 -2 -4 x -2

Άρα τελικά ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με άκρα τα σημεία Α(-4,0) και Β(-2,0)

Λύση

Έστω Μ x,y . Τότε είναι:

22 2

2 22

x - 2συν θ

x 2+3συν θ x - 2 3συν θ 3

y - 2y 2+3ημ θ y - 2 3ημ θ ημ θ 3

1

2

Όμως είναι:

2 2 y - 2 x - 2ημ θ+συν θ 1 + 1 y - 2+x - 2 3

3 3

y+x - 4 3 y -x+7

Οπότε ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία ε : y -x+7

Λύση

α) Έστω Λ x,y το μέσο του ΑΓ. Τότε είναι:

A BΛ

A BΛ

x x 1 2λ-5 2λ - 4x x x

x λ - 2 λ x 22 2 2y y 2 3λ-1 1 3λ 2y 1 3λ 2y 1 3λ

y y y2 2 2

Δίνονται τα σημεία Α(1,2), Β(5,-1) και Γ(2λ-5,3λ-1) όπου λℝ

α) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του μέσου του ΑΓ

β) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο της κορυφής Μ του παραλληλογράμμου ΑΒΓΜ


x

y

x΄

y΄

Α Β

x

x΄y΄ (ε)

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων

2 2Μ 2 3συν θ,2 3ημ θ , θℝ




3 7

2y 1 3 x 2 2y 1 3x 6 2y 3x 7 y x2 2

Οπότε ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Λ είναι η ευθεία 3 7

ε : y x2 2

β) Έστω Μ x,y . Αφού ΑΒΓΜ είναι παραλληλόγραμμο έχουμε:

ΑΜ ΒΓ x -1,y - 2 2λ - 5-5,3λ-1+1

x -1,y - 2 2λ -10,3λ

x -1 2λ -10 x 9 2λ

- 2 3λ 3λ 2

x 9λ x 9

y 3 222

3λ 2

3x 27 3 31y 2 y x

2 2 2 2

y y

y

Οπότε ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία 3 31

ε : y x2 2

ΛύσηΒρίσκουμε το σημείο τομής τους λύνοντας το σύστημα των εξισώσεών τους με τη μέθοδο των οριζουσών.

λ -3D 2λ 6λ - 3 8λ - 3

2λ -1 2 , x

2 -3D 4 12 16

4 2 ,

y

λ 2D 4λ 4λ 2 2

2λ-1 4

Τα σημεία τομής τους είναι τα yxDD

Α ,D D

ή 16 2

Α ,8λ-3 8λ-3

με 3

λ8

Ας είναι Α x,y τότε:

16 16x 8λ-3

2 18λ-3 x y y x1622 8

yyx8λ-38λ

1

-32

ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων χωρίς όμως την αρχή των αξόνων διότι από (1), (2) έχουμε ότι x 0 και y 0 .


Α Β

ΓΜ


1ε : λ x 3y 2 και 2ε : 2λ 1 x 2y 4 με λℝ

Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων τομής τους.


2ο

Κεφάλαιο


ΛύσηΈστω Μ(x,y) και Α(κ,λ)

5 1

Α ε άρα 3κ - 5λ+1 0 3κ 5λ-1 κ λ -3 3

Οπότε 5 1

Α λ - ,λ3 3

Όμως Μ μέσο ΡΑ

Ρ ΑΜ

Ρ ΑΜ

5 1x x 2 λ -

5 5x 3 3x 2x λ22 3 3

y y-1 λ 2y λ -1y

y22

6x 5 5λ

6x 5 5 2y 1 6x 5 10y 52y 1 λ

36x 10y 10 10y 6x 10 y x 1

5 ευθεία

Οπότε ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία 3

ε : y x 15

ΛύσηΘεωρώντας Μ(x,y) έχουμε:

ΜΑ 1 - x,2- y

και ΜΒ -3- x,1 - y

και ΜΓ -x,-y

Έτσι λοιπόν είναι

ΜΑ ΜΒ 1- x,2 - y -3- x,1- y ΜΑ ΜΒ -2 -2x,3-2y

ΜΒ ΜΓ -3- x,1 - y -x,-y ΜΒ ΜΓ -3- 2x,1 - 2y

Οπότε:

2 2 2 2

ΜΑ ΜΒ ΜΒ ΜΓ -2- 2x 3- 2y -3- 2x 1 - 2y

Δίνονται τα σημεία Α(1,2), Β(-3,1) και Γ(0,0). Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει:

ΜΑ ΜΒ ΜΒ ΜΓ


Δίνεται η ευθεία ε : 3 x 5y 1 0 και το σημείο Ρ(2,-1) εκτός αυτής.

Σημείο Α κινείται στην (ε). Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του μέσου Μ του ΡΑ.




2 2

2 2 2 22 2x 3- 2y 3 2x 1 - 2y

24 8x 4x 9 2-12y 4y 9 212x 4x 21 - 4y 4y

4 8x -12y 12x 1 - 4y

-12y 4y 12x - 8x 1 4

-8y 4x 3

1 3

y - x2 8

2ο

Κεφάλαιο



Εύρεση Συντελεστή Διεύθυνσης

1) Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που:


β) Διέρχεται από τα σημεία Α(2,1) και Β(2,3)

γ) Διέρχεται από τα σημεία Α(1,2) και Β(3,2)

2) Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που :

α) Είναι παράλληλη στο διάνυσμα

1,3δ

β) Είναι παράλληλη στο διάνυσμα

0,2v

γ) Είναι παράλληλη στο διάνυσμα

2,0u

3) Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας που

α) Είναι κάθετη στο διάνυσμα

2,1u

β) Είναι κάθετη στο διάνυσμα

0,2v

γ) Είναι κάθετη στο διάνυσμα

2,0δ

4) Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας που σχηματίζει γωνία με τον άξονα x΄x

α)π

4β)

3π

4γ) 0 δ)

π

2

5) Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης κάθε μιας από τις παρακάτω ευθείες:

α) 1ε : y 8x+7 β) 2ε : x 8y+7

γ) 3ε : y - 5 0 δ) 4ε : x+1 0 ε) 5ε : 2x+3y+7=0



6) Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας που

α) Είναι παράλληλη στην 1ε : y 5x

β) Είναι κάθετη στην 2ε : 2x+y+3 0

γ) Είναι παράλληλη στην 3ε : 2y - x 0

δ) Είναι παράλληλη στην 4ε : 2011y - 4022 0

ε) Είναι κάθετη στην 5ε : 7x - 8 0

7) Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει μια ευθεία με τον x΄x αν έχει συντελε-στή διεύθυνσης

α) 1 β) 3 γ) -1 δ) 3

3ε) 0

8) Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει μια ευθεία με τον x΄x αν


β) Διέρχεται από τα σημεία Α(3, 3 ) και Β(-1,-3 3 )

γ) Διέρχεται από τα σημεία Α(2,4) και Β(1,4)

δ) Διέρχεται από τα σημεία Α(1,3) και Β(1,2)

9) Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει μια ευθεία με τον x΄x αν

α) Είναι παράλληλη στην ευθεία 1ε : y x+5

β) Είναι κάθετη στην ευθεία 2ε : 3y - 3x 0

γ) Είναι παράλληλη στο διάνυσμα

7,-7δ

δ) Είναι κάθετη στο διάνυσμα

-2,2η

ε) Είναι κάθετη στο διάνυσμα

0,2v

στ) Είναι παράλληλη στο διάνυσμα

0,1u

10) Δίνονται οι ευθείες 1ε : y 3x και 2ε : y x

α) Να βρείτε τις γωνίες που σχηματίζουν οι ευθείες (ε1) και (ε2) μετον άξονα x΄x

2ο

Κεφάλαιο


β) Να σχεδιάσετε τις ευθείες

γ) Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι (ε1) και (ε2)

11) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1,2), Β(3,0), Γ(5,-4)

Να βρείτε τους συντελεστές διεύθυνσης

α) Των πλευρών του β) Των υψών του

γ) Των διαμέσων του δ) Των μεσοκαθέτων των πλευρών του

12) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Α(1,2), Β(-3,4), Γ(2,-1).

Να βρείτε τους συντελεστές διεύθυνσης των πλευρών και των δια-γωνίων του.

13) Δίνονται τα διακεκριμένα σημεία Α(-2,3), 2Β 1,λ , Γ(μ-1,4)

α) Να βρεθεί το λ ώστε η ευθεία ΑΒ να σχηματίζει με τον άξονα x΄xγωνία 150ο

β) Να βρεθούν τα λ, μ ώστε η ευθεία ΒΓ να είναι κατακόρυφη

γ) Να βρεθούν τα λ, μ ώστε η ευθεία ΒΓ να είναι παράλληλη στον άξονα x΄x

Εύρεση Εξίσωσης Ευθείας με Γνωστό Σημείο

14) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(2,-3) και α) Έχει συντελεστή διεύθυνσης 3

β) Είναι παράλληλη στην ευθεία 1ε : y 5x+3

γ) Είναι κάθετη στην ευθεία 2ε : y -x - 3

δ) Είναι παράλληλη στην ευθεία 3ε : 3x - 4y+2 0

ε) Είναι κάθετη στην ευθεία 4ε : 4x - 5y 3 0

στ) Είναι παράλληλη στο διάνυσμα

1,0v

ζ) Είναι κάθετη στο διάνυσμα

0,1u



15) α) Να βρεθεί η εξίσωση την ευθείας (ε) που διέρχεται από τα σημεία Δ(2,3) και Γ(-3,4)

β) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (η) που διέρχεται από τα σημεία Α(2,34) και Β(3,33)

γ) Να βρεθεί το σημείο τομής των (ε) και (η)

16) Δίνονται τα σημεία του επιπέδου Α(2,5) και Β(4,3)Να βρείτε

α) Την εξίσωση της ευθείας ΑΒ

β) Το σημείο τομής της ΑΒ με τους άξονες

γ) Τη γωνία που σχηματίζει η ΑΒ με τον x΄x

17) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(3,1), Β(2,-1) και Γ(4,-2)

α) Να βρείτε την εξίσωση της διαμέσου ΑΔ

β) Του ύψους ΒΕ

γ) Της μεσοκάθετης της πλευράς ΑΒ

18) Δίνεται τρίγωνο με κορυφές Α(1,1), Β(-1,3) και Γ(2,-4)

α) Να βρείτε την εξίσωση του ύψους του τριγώνου από την κορυφή Α

β) Να βρείτε την εξίσωση της διαμέσου του τριγώνου από την κορυφή Β

γ) Το σημείο τομής των παραπάνω ευθειών

19) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι κάθετη στην ε : y 2x 3

στο σημείο όπου αυτή τέμνει τον y΄y.

20) Nα βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξό-

νων και είναι κάθετη στην ε : y x 1 .

Ποιας χαρακτηριστικής ευθείας βρήκατε την εξίσωση;

21) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α(5,3) και είναι παράλληλη

α) Στη διχοτόμο της xΟy

β) Στη διχοτόμο της x Οy

2ο

Κεφάλαιο


22) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξό-νων και από το σημείο Α(8,2)

23) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α(1,2) και από το σημείο τομής των ευθειών

1ε : y 6x 3 και 2ε : y x 7

24) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο τομής

των 1ε : x - y+3 0 , 2ε : 2x+y - 6 0 και είναι κάθετη στην ευθεία

η : 3x+2y - 5 0 .

Κατόπιν να βρεθεί το πλησιέστερο σημείο της (ε) από την αρχή των αξό-νων.

25) Η ευθεία ε : 3x - y - 2 0 περνά από το σημείο Α(α,β) και η ευθεία

δ : x+2y - 8 0 περνά από το σημείο Β(β,α).

Να βρεθεί η εξίσωση της ευθεία ΑΒ.

26) Έστω τα διανύσματα

2,3α και

4β j

Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Α(-

1,3) και είναι κάθετη στο διάνυσμα 1

3α - β2

v και μετά το πλησιέστερο

σημείο της (ε) από το Ο.

27) Οι συντεταγμένες των κορυφών ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι Α(1,1), Β(-2,1)και Γ(3,5).

Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την κορυφή Α και εί-ναι κάθετη στη διάμεσο ΒΛ του τριγώνου.

28) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφή Α(2,1)

Τα ύψη ΒΔ και ΓΕ έχουν αντίστοιχα εξισώσεις

x - 2y+3 0 και x+2y+2 0

Να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του.



29) Δίνονται τα σημεία Μ(-3,4) , Ν(1,-4) και Κ(7,2) μέσα των πλευρών τριγώ-νου ΑΒΓ. Να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του τριγώνου και οι συντεταγμέ-νες των κορυφών του.

30) Δίνεται η κορυφή Α(2,1) ενός τριγώνου ΑΒΓ και έστω ότι οι ευθείες πάνω στις οποίες βρίσκονται δύο από τα ύψη του έχουν εξισώσεις

3x+y -11 0 και x - y 3 0 .

Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών και τις συντεταγμένες των κορυφών Β, Γ του τριγώνου ΑΒΓ.

31) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1,3) και έστω x - 2y 1 0 και y 1 οι εξισώ-

σεις δύο διαμέσων του.

Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών και τις συντεταγμένες των κορυφών Β, Γ του τριγώνου.

32) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Α(2,5), Η(-10,14) το ορθόκεντρο του τριγώνου

και η εξίσωση της μεσοκαθέτου της πλευράς ΑΒ είναι ε : x 4y 16 0

να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του.

33) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α 4,6 και οι ευθείες 1ε : x y 4 0 και

2ε : 2x 3y 3 0 πάνω στις οποίες βρίσκονται δύο εσωτερικοί διχοτό-

μοι του. Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ.

34) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1,2) και Β(-1,0)Αν η εξίσωση της διχοτόμου ΑΔ είναι y=2x να βρείτε

α) Το συμμετρικό σημείο του Β ως προς την ευθεία ΑΔ

β) Την εξίσωση της πλευράς ΑΓ

2ο

Κεφάλαιο


35) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Η πλευρά ΑΒ ανήκει στην ευθεία με ε-ξίσωση y 7x 41 και η πλευρά ΑΔ στην ευθεία με εξίσωση

3 19

y x5 5

. Οι διαγώνιοί του ΑΓ, ΒΔ τέμνονται στο σημείο Κ(4,3).

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής Γ

β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας στην οποία ανήκει η πλευρά ΒΓ

γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας στην οποία ανήκει η διαγώνιος ΒΔ

36) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ του οποίου δύο πλευρές έχουν εξισώ-

σεις y 2x 1 , 8 1

y x3 3

και μια διαγώνιός του έχει εξίσωση

3 3

y x2 2

. Να βρείτε τις εξισώσεις των δύο άλλων πλευρών καθώς και

τις συντεταγμένες των κορυφών του.

37) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ του οποίου δύο πλευρές έχουν εξισώ-

σεις 1

y x2

και y 2x 3 και το κέντρο του Κ έχει συντεταγμένες

(1,2). Να βρείτε:

α) Τις εξισώσεις των δύο άλλων πλευρών του

β) Τις συντεταγμένες των κορυφών του

38) Δίνονται οι εξισώσεις 2x - 3y 5 0 , 3x 2y 7 0 δύο πλευρών παραλ-

ληλογράμμου και η κορυφή Α(2,-3). Να βρεθούν οι εξισώσεις των δύο άλλων πλευρών του.

39) Δίνονται τα σημεία Α(3,3), Β(2,-4), Γ(-5,-5), Δ(-4,2)α) Να δείξετε ότι ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο

β) Να δείξετε ότι ΑΒΓΔ είναι ρόμβος

γ Να βρείτε τις εξισώσεις των διαγωνίων του ΑΒΓΔ

δ) Να βρείτε το κέντρο του ΑΒΓΔ



40) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο Μ(-1,-2) και σχηματίζουν με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο.

41) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο Α(1,2) και σχηματίζουν με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο.

42) Να βρείτε τις εξίσώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο Μ(2,-4) και σχηματίζουν με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν 2 τ.μ.

43) Δίνεται η ευθεία ε : 4x - 3y 2 0 και τα σημεία Μ(-1,1) και Ν(-2,3).

Δύο παράλληλες ευθείες 1ε και 2ε διέρχονται από τα σημεία Μ και

Ν αντίστοιχα και τέμνουν την ευθεία (ε) στα σημεία Α και Β αντίστοιχα

έτσι ώστε να είναι ΑΒ 5 . Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών 1ε

και 2ε .

44) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο Μ(2,1) και

τέμνει τις ευθείες 1δ : y x+1 και 2δ : y x 1 στα Α, Β αντίστοιχα

ώστε το Μ να είναι μέσο του ΑΒ.

45) Δίνονται οι ευθείες 1ε : x - 3y 10 0 και 2ε : 2x y 8 0

Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Μ(0,1) και τέμνει τις (ε1), (ε2) στα σημεία Α, Β αντίστοιχα ώστε το σημείο Μ(0,1) να είναι μέσο του ΑΒ.

46) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο Α(1,0) και τέ-

μνει τις ευθείες 1δ : y x και 2δ : y x 2 στα Β, Γ αντίστοιχα ώστε

το μήκος του ΒΓ να είναι 2.

2ο

Κεφάλαιο


47) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο

5Μ 2,

3

και τέμνει τις ευθείες 1ε : x 2y 2 0 , 2ε : 3x y 7 0 στα Α και Β

αντιστοίχως ώστε ΑΜ 2 ΜΒ

Εύρεση Εξίσωσης Ευθείας με Γνωστό Συντελεστή Διεύθυνσης

48) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (ε) που είναι παράλληλη στην ευθεία

2

η : y x3

και τέμνει τους άξονες x΄x, y΄y στα σημεία Α και Β αντίστοι-

χα ώστε Α Βx y 15 .

49) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι κάθετη στην ευθεία

1

δ : y x+22

και τέμνει τους άξονες x΄x, y΄y στα σημεία Α και Β αντί-

στοιχα ώστε το άθροισμα της τετμημένης του Α και της τεταγμένης του Β να είναι ίσο με 3.

50) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (ε) που είναι παράλληλη στην ευθεία

δ : y 2x - 8 και σχηματίζει με τον άξονα x΄x και την ευθεία

1

ε : y x 32

τρίγωνο με εμβαδόν 5 τετραγωνικές μονάδες.

51) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που σχηματίζουν με τον άξονα x΄xγωνία 30ο και επιπλέον, το τρίγωνο που σχηματίζουν με άξονες να έχει

εμβαδόν 2 3

Συμμετρίες

52) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1,2), Β(2,-3) και Γ(3,2)Να βρεθεί το συμμετρικό του Γ ως προς άξονα συμμετρίας την ευθεία ΑΒ

53) Δίνεται η ευθεία ε : y x -1 και το σημείο Α(1,3)

Να βρεθούν

α) Η προβολή Κ του Α πάνω στην (ε)

β) Σημείο Β που είναι συμμετρικό του Α ως προς την (ε)



54) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι συμμετρική της ε : y 2x -1

ως προς τη 1 2

δ : y x3 3

55) Δίνεται η ευθεία ε : 5x - 6y+2 0

Να βρείτε τη συμμετρική της (ε) ως προς

α) Τον άξονα x΄x β) Τον άξονα y΄y

γ) Την αρχή των αξόνων δ) Το φορέα της διχοτόμου της γωνία xΟy

56) Δίνεται το σημείο Α(2,5) και οι ευθείες:

1ε : 4x-3y-18=0 και 2ε : 2x-6y+2=0

α) Να βρείτε το συμμετρικό σημείο Β του Α ως προς την ευθεία (ε1)

β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στην (ε2) και διέρχεται από το Β.

57) Να βρείτε την προβολή του σημείου Μ(1,-1) στην ευθεία 2x 3y 2

58) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(-2,-1) και χωρίζει το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα Τ(2,3), Σ(-1,2) σε δύο τμήματα ΤΚ,

ΣΚ έτσι ώστε

ΤΚ

3ΣΚ

Μεσοπαράλληλος Ευθειών

59) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης των ευθειών

1ε : x - 3y 4 0 και 2ε : x 3y 15 0

60) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι μεσοπαράλληλη των ευθειών

1ε : y -2x 1 και 2ε : y -2x 5

2ο

Κεφάλαιο


61) Αν η ευθεία η : x - 2y 1 0 είναι μεσοπαράλληλος των ευθειών

1ε : x - 2y α 0 και 2ε : 2x 4y α 2 0 να βρείτε το α.

62) Δίνονται οι ευθείες 1ε : y x 2 και 2ε : x - y - 4 0 . Να δείξετε ότι

(ε1)//(ε2) και να βρεθεί η 1 2ε ,εd

63) Δίνονται οι ευθείες 1ε : x y 1 0 και 2ε : 2μx 2y λ 0 . Να βρε-

θούν τα ζεύγη τιμών των λ,μℝ ώστε (ε1)//(ε2) και 1 2d ε ,ε 2 2

Πότε μια εξίσωση Αx+By+Γ=0 παριστάνει Ευθεία

64) Δίνεται η εξίσωση λ - 3 x λ -1 y λ 0 (1) όπου λℝ

Α) Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει ευθεία για κάθε τιμή του λ

Β) Να βρεθεί το λ ώστε

α) Η παραπάνω ευθεία να είναι παράλληλη στον x΄x

β) H παραπάνω ευθεία να είναι παράλληλη στον y΄y

γ) H παραπάνω ευθεία να διέρχεται από την αρχή των αξόνων

65) Να βρεθούν οι τιμές του κℝ ώστε η 2 2κ - 4 x κ - 3κ 2 y 2 κ να

είναι εξίσωση ευθείας γραμμής. Κατόπιν, να βρεθούν οι τιμές του κ ώστε κανένα σημείο της ευθείας να μην ανήκει στο 4ο τεταρτημόριο.

66) Δίνονται οι εξισώσεις :

2κ - 2κ - 3 x 3κ - 2 y+1 0 (1) και 2 23κ -11κ 6 x κ -1 y - 5 0 (2)

Να εξεταστεί αν είναι εξισώσεις ευθειών και αν ναι, να βρεθεί ο κℝώστε οι παραπάνω ευθείες να είναι κάθετες μεταξύ τους.

67) Δίνεται η εξίσωση 2 2κ κ - 2 x κ - 4 y+2κ 4 0

α) Να βρεθούν οι τιμές του κℝ ώστε η παραπάνω εξίσωση να παριστά-νει ευθεία

β) Να βρεθούν οι τιμές του κℝ για τις οποίες οι ευθείες αυτές να διέρ-χονται από το σημείο Α(1,1).



68) Να βρεθούν οι τιμές των α, βℝ ώστε η 3α -β x 2α 3β y 5α 2β

να είναι εξίσωση ευθείας. Κατόπιν να βρεθεί εκείνη η ευθεία της παραπάνω εξίσωσης που περνά από το σημείο Α(1,1).

69) Δίνονται οι ευθείες με εξισώσεις

1ε : κ+1 x+y κ -2 3x - 4y κ 0 και 2ε : x - 2y 3 0

α) Να δείξετε ότι η 1ε παριστάνει ευθεία για κάθε κℝ

β) Να βρεθεί ο κ ώστε 1 2ε ε

Μονοπαραμετρική Οικογένεια Ευθειών

70) Δίνεται η εξίσωση κε : κ 1 x κ 2 y κ 3 0

α) Να δείξετε ότι η κε παριστάνει εξίσωση ευθείας για κάθε τιμή της

παραμέτρου κ.

β) Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες κε διέρχονται από σταθερό σημείο.

γ) Να βρεθεί ο μℝ ώστε η απόσταση του κοινού σημείου των παραπά-

νω ευθειών από το Α(μ,0) να ισούται με 2 2

71) Δίνεται η εξίσωση 2 2 2λε : λ 2λ 2 x 2λ 3λ 3 y - 2λ λ 1 0

α) Να δείξετε ότι η λε παριστάνει εξίσωση ευθείας για κάθε τιμή του

λℝ

β) Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες λε διέρχονται από σταθερό σημείο.

72) Δίνονται οι ευθείες

κε : 2 3κ x 3 κ y 3κ 4 0

λε : 1 λ x 1 λ y 1 λ 0 με κ, λ πραγματικοί αριθμοί.

α) Να δείξετε ότι κάθε μια από τις παραπάνω οικογένειες ευθειών διέρ-χονται από σταθερό σημείο.

β) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που περνά από αυτά τα σημεία

2ο

Κεφάλαιο


73) Δίνεται η εξίσωση 2κx κ 1 y 3κ 1 0 (1) όπου κ ένας πραγματικός

αριθμός.

α) Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει ευθεία

β) Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται από την (1) διέρχονται από σταθερό σημείο.

γ) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός κ ώστε μια ευθεία που ανήκει στην παραπάνω οικογένεια να περνά από το μέσο του ΑΒ με Α(1,5) και Β(5,-1)

74) Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες που εκφράζονται από την εξίσωση

κ μ - 3 x κ 4μ -1 y 2μ -κ 5 0 όπου κ, μ πραγματικοί αριθμοί, δε

διέρχονται από σταθερό σημείο. Κατόπιν να βρεθούν εκείνες οι ευθείες

που είναι κάθετες στην ευθεία ε : 2x - y - 2 0 και περνούν από το ση-

μείο Κ(0,1).

75) Να δείξετε ότι δε διέρχονται από το ίδιο σημείο όλες οι ευθείες που ορί-

ζονται από την εξίσωση 2 2λ 1 x λy λ 3λ 2 0 όπου λ ένας πραγ-

ματικός αριθμός.

76) Δίνεται η εξίσωση 2 22λx λ 1 y 2λ 2λ 3 0 (1) όπου λℝ

α) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία για κάθε λℝ

β) Να δείξετε ότι δε διέρχονται από το ίδιο σημείο όλες οι ευθείες που ορίζονται από την (1)

Σχετική Θέση Ευθειών

77) Δίνονται οι ευθείες 1ε : λx - λ 1 y -1 0 και 2ε : x - 2y λ - 2 0

Να βρεθεί το λ ώστε:

α) Οι (ε1) και (ε2) να τέμνονται

β) Οι (ε1) και (ε2) να είναι παράλληλες

γ) Οι (ε1) και (ε2) να ταυτίζονται

δ) Οι (ε1) και (ε2) να είναι μεταξύ τους κάθετες




1ε : κ -1 x κy 3 0 και 22ε : κ -1 x κ 2 y 3κ 2 0

Να βρεθούν οι τιμές του κ ώστε:

α) Οι (ε1) και (ε2) να τέμνονται

β) Οι (ε1) και (ε2) να είναι παράλληλες

γ) Οι (ε1) και (ε2) να ταυτίζονται

δ) Οι (ε1) και (ε2) να είναι μεταξύ τους κάθετες

79) Να βρείτε τη σχετική θέση των ευθειών (ε1), (ε2) και (ε3) στις παρακάτω περιπτώσεις:

α) 1ε : x 2y -1 β) 1ε : x 2y 5

2ε : 2x y 1 2ε : 2x 5y 1

3ε : 3x 2y 5 3ε : x 3y 5

γ) 1ε : 2x y 0 δ) 1ε : 3x 2y 1

2ε : 4x 2y 3 2ε : x 3y 0

3ε : x y 1 3ε : 2x 6y 5

80) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού κ ώστε οι ευθείες

1ε :κx y 2 0 , 2ε : x κy κ 0 , 3ε : x y κ 0 να συντρέχουν.

Οξεία Γωνία Ευθειών

81) Να βρεθεί η οξεία γωνία των ευθειών:

1ε : x 7y 2 0 και 2ε : 3x 4y 1 0


1ε : λx y 2 και 2ε : λ -1 x λ 1 y 1 0

όπου λ ένας πραγματικός αριθμός.Να βρεθεί η οξεία γωνία των ευθειών (ε1) και (ε2) .

2ο

Κεφάλαιο


83) Αν οι ευθείες 1 1ε : y λ x+β και 2 2ε : y λ x+γ σχηματίζουν οξεία γω-

νία θ να δείξετε ότι 1 2

2 21 2

λ - λημθ

1+λ 1+λ.

Η εξίσωση Αx2+By2+Γxy+Δx+Ey+Z = 0

84) Να δείξετε ότι η εξίσωση 2 2x 2y 3xy x 3y 2 0 παριστάνει 2 ευ-

θείες.

85) Να δείξετε ότι η εξίσωση 2 22x 2y 3xy 6x 7y 4 0 παριστάνει 2

ευθείες κάθετες μεταξύ τους.

86) Να δείξετε ότι η εξίσωση 2 23x 3y 8xy 9x 23y 30 0 παριστάνει 2

ευθείες των οποίων να βρεθεί η γωνία.

87) Να δείξετε ότι η εξίσωση 2 29x 12xy 4y 4 0 παριστάνει δύο παράλ-

ληλες ευθείες. Να βρεθεί το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που έχει κορυφές τα σημεία τομής των παραπάνω ευθειών με τους άξονες x΄x και y΄y.

88) Δίνεται η εξίσωση 2 2y 3x 0 (1)

α) Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει δύο ευθείες (ε1) και (ε2).

β) Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x΄x κάθε μια από τις (ε1) και (ε2).

γ) Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζει η ευθεία η : x y 0 με

την (ε1) και την (ε2).


89) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ στις παρακάτω περιπτώ-σεις:

α) Μ λ 1, 2λ 3 , λℝ β)

1 2λΜ 2 λ,

3, λℝ



γ) Μ 3, 1 λ , λℝ δ) Μ 4, λ , λℝ

ε) Μ λ 3, 1 , λℝ στ) Μ λ, 2 , λℝ

ζ) Μ ημλ 2, 2 , λℝ η) Μ 2 συνλ, 3 , λℝ

θ) 2 2Μ ημ θ 1, συν θ 3 , θ ℝ ι) 2 2Μ 1 2ημ θ, συν θ 3 , θ ℝ


1ε : λ+1 x λ-2 y 2λ -1 0 και 2ε : 2x y 4

όπου λℝ - 1

α) Να δείξετε ότι οι (ε1) και (ε2) τέμνονται.β) Έστω Μ το κοινό σημείο των (ε1) και (ε2). Να δείξετε ότι το σημείο Μ

κινείται σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση.

91) Δίνονται τα σημεία Α(-1,1), Β(2,-5) και Γ(3,0).Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει:

2 2 2ΜΑ 2ΜΒ - 3ΜΓ 0

92) Αν το σημείο Α(κ,λ) κινείται στην ευθεία ε : 4x 5y 9 0 να βρεθεί ο

γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ(2κ+1,5λ-3) όπου κ, λ πραγματικοί α-ριθμοί.

93) Δίνονται τα σημεία Α(3,0) και Β(0,6)Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για τα οποία ισχύει:

2 2

ΜΑ ΜΒ 8

Γεωμετρικά Θέματα

94) Έστω Δ τυχαίο σημείο της πλευράς ΑΒ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στην προέκταση της ΓΑ προς το Α θεωρούμε σημείο Ε τέτοιο ώστε Α-Ε=ΑΔ. Να αποδείξετε ότι ΔΕ ΒΓ

95) Να αποδείξετε ότι σε κάθε τραπέζιο ΑΒΓΔ με βάσεις ΑΒ και ΓΔ ισχύει

2 2 2 2ΑΓ ΒΔ ΑΔ ΒΓ 2ΑΒΓΔ

2ο

Κεφάλαιο


96) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Στις προεκτάσεις των διαμέσων του ΒΔ και ΓΕ παίρ-νουμε σημεία Κ και Λ αντίστοιχα τέτοια ώστε ΔΚ=ΒΔ και ΕΛ=ΓΕ. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ, Δ και Λ είναι συνευθειακά και ότι ΑΚ=ΑΛ.

97) Να αποδείξετε ότι κάθε γωνία εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο είναι ορθή.



2ο

Κεφάλαιο


2.3 Απόσταση Σημείου από ΕυθείαΕμβαδόν Τριγώνου

Έστω (ε) μια ευθεία με εξίσωση Αx By Γ 0

και 0 0Μ x ,y ένα σημείο εκτός αυτής.

Η απόσταση d M,ε του σημείου Μ από την

ευθεία (ε) είναι:

0 0

2 2

Αx By Γd M,ε

Α Β

Ειδικότερα

Αν (ε1): x=α, τότε 1 0d M,ε x α

Αν (ε2): y=β, τότε 2 0d M,ε y β

Έστω 1 1Α x ,y , 2 2Β x ,y και 3 3Γ x ,y τρία σημεία του καρτεσιανού

επιπέδου.

Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι:

2 1 2 1

3 1 3 1

x x y y1 1ΑΒΓ det AB,AΓ

x x y y2 2

Απ

όστα

ση

Σημ

είου

απ

ό Ε

υθεί

αΕ

μβαδ

όν

Τρι

γώνο

υ

x

y (ε)

Ο

x

yx=α

Ο

Μ(x0,y0)

d(M,ε)

Μ(x0,y0)

y=β

x

y

Ο

Α(x1,y1)

Β(x2,y2)

Γ(x3,y3)

Απόσταση Σημείου από Ευθεία – Εμβαδόν Τριγώνου



Απόσταση Σημείου από Ευθεία

Λύση

α)

A A

1 2 2

3x 4y 1 3 8 1 10d A,ε

5253 4

β) 2 Ad A,ε x 5 1 5 4

γ) 3 Ad A,ε y 7 2+7 9

δ) Φέρνουμε την (ε4) στην γενική της μορ-

φή 4ε : x y 0

A A

4 2 2

x y 1 2 1 2d A,ε

22 21 1

Λύση

Το σημείο (2,-1) εύκολα διαπιστώνουμε ότι δεν αληθεύει καμία από τις (ε1) και (ε2) οπότε αναγκαστικά η θα είναι Γ(2,-1).

Ισχύει ότι 1 2AΒΓΔ ΓΒ ΓΔ d Γ,ε d Γ,ε

Αλλά

1 2 2

3 2 4 -1 1 6 4 1 3d Γ,ε

5253 4

και

2 2 2

4 2 3 -1 5 16d Γ,ε

53 4

άρα

3 16 48AΒΓΔ τ.μ.

5 5 25

Να βρεθεί η απόσταση του σημείου Α(1,2) από τις ευθείες:

α) 1ε : 3x 4y 1 0 β) 2ε : x 5

γ) 3ε : y 7 δ) 4ε : y - x 0


Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ

Η πλευρά ΑΒ βρίσκεται πάνω στην ευθεία 1ε : 3x 4y 1 0 και η

πλευρά του ΑΔ βρίσκεται πάνω στην ευθεία 2ε : 4x 3y 5 0 και μια

κορυφή του έχει συντεταγμένες (2,-1).

Να βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ.


x

y

x΄

y΄

Ο

Α

ε1

ε2

ε3ε4

Βοηθητικό ΣχήμαΒΑ

Γ(2,-1)Δ

ε1

ε2

d(Γ

,ε1)

)d(Γ,ε2)

2ο

Κεφάλαιο


Λύση

α) Αρχικά φέρνουμε τις εξισώσεις και των δύο ευθειών στη γενική τους μορφή.


1 1ε : λx y β 0 (1) και 2 2ε : λx y β 0 (2)

Επιλέγουμε ένα σημείο της (ε1)

Για x 0 η (1) 1y β άρα είναι Α(0,β1)

Οπότε ισχύει ότι:

1 2 1 21 2 2 2 2 2

λ 0 β β β βd ε ,ε d Α,ε

λ 1 λ 1

β) Είναι 1 2ε ε

3λ λ

4 άρα οι ευθείες (ε1) και (ε2) είναι παράλληλες.

Για x=0 η (ε1) δίνει ότι 1

y4

άρα 1

Α 0,4

ένα σημείο της (ε1)

Οπότε 1 2 2 2 2

16 0 8 5

2 5 74d ε ,ε d Α,ε

10 106 8

Λύση

Ας είναι A AΑ x ,y .

Αφού 1 A A A AΑ ε x 2y 0 x 2y (1)

Δίνονται οι παράλληλες ευθείες 1 1ε : y λx β και 2 2ε : y λx β .

α) Να δείξετε ότι 1 21 2 2

β βd ε ,ε

λ 1

β) Να βρεθεί η απόσταση των παράλληλων ευθειών 1ε : 3x 4y -1 0

και 2ε : 6x 8y 5 0 .


Δίνονται οι ευθείες 1ε : x - 2y 0 και 2ε : 3x 4y -1 0 . Να βρείτε τα

σημεία της (ε1) που απέχουν από την (ε2) απόσταση ίση με 1.


Η έννοια της απόστασης δύο ευθειών έχει νόημα στην περίπτωση που αυτές

είναι παράλληλες.

x

y

x΄

y΄

Α(0,β1)

ε1

ε2

Όταν ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία, οι συντεταγ-μένες του επαληθεύουν την εξίσωσή της.



Επιπλέον είναι:

A A2 A A2 2

3 x 4 y 1d Α,ε 1 1 3 x 4 y 1 5

3 4

1

A A A

A A

A A

A A

A A

6 y 4 y 1 5 10y 1 5

10y 1 5 10y 6

10y 1 5 10y 4

3 6y άρα x

5 52 4

y άρα x5 5

Οπότε τα ζητούμενα σημεία είναι τα 1

6 3Α ,

5 5

και 2

4 2Α ,

5 5

Λύση

Ας είναι A AΑ x ,y .

Αφού 3 A A A AΑ ε x y 0 y x (1)

A A A A1 2 2 2 2 2

3 x 2 y 1 2 x 3 y 5d Α,ε d Α,ε

3 2 3 2

A A A A3x 2x 1 2x 3x 5

A A

A A

A A

x 1 5 xx 1 5 x

x 1 5 x

A

A

2x 4x 2

1 5 Αδύνατη

άρα Ay 2

Οπότε το μοναδικό σημείο είναι το Α(2,-2)


1ε : 3x 2y 1 0 , 2ε : 2x 3y 5 0 και 3ε : x y 0 .

Να βρείτε τα σημεία της (ε3) που ισαπέχουν από τις (ε1) και (ε2).


x

y

x΄

y΄

ε1

Α1

Α2ε2

x

y

x΄

y΄

ε3

Α

ε1

ε2

2ο

Κεφάλαιο


Λύση

Είναι Αε : y -1 λ x - 3 y -1 λx - 3λ

λx - y - 3λ 1 0 (1)

Επιπλέον

Α 22

λ 0 1 0 3λ 1d O,ε 3 3

λ 1

2

2

3λ 13 3λ 1 3 λ 1

λ 1

2 22 23λ 1 9 λ 1 1 3λ 9 λ 1

2 2 41 6λ 9λ 9λ 9 6λ 8 λ

3

Οπότε Α

4 4 4ε : - x - y - 3 - 1 0 y - x 5

3 3 3

καθώς και η x=3 αποτελεί λύση

Λύση

Ας είναι δ : y λ x β η ζητούμενη ευθεία

Για να ορίζεται η απόσταση των (ε) και (δ) πρέπει οι ευθείες να

είναι παράλληλες. Οπότε έχουμε ε δ

3ε / / δ λ λ λ

4

Άρα 3

δ : y x β4

(1)

Για x 0 η (1) y β δηλαδή Α(0,β) ένα σημείο της (δ)

Όμως

3 0 - 4 β -1

d δ,ε 2 d Α,ε 2 2 -4 β -1 109 16

9β

4β 1 10 4β 9 44 β 1 104β 1 10 4β 11 11

β4

3 11δ : y x

4 43 9

ζ : y x4 4

Βρείτε την ευθεία που περνά από το σημείο Α(3,1) και απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση με 3.


Να βρείτε τις ευθείες που απέχουν από την ευθεία ε : 3x 4y 1 0 από-

σταση ίση με 2 μονάδες.


Αφού μας δίνεται ένα σημείο απ’ το οποίο διέρχε-ται η ευθεία θε-ωρούμε ότι η ε-ξίσωσή της είναι της μορφής:

0 0y - y λ x - x

Στο τέλος θα ε-λέγξουμε αν και η κατακόρυφη ευθεία αποτελεί λύση του προ-βλήματος

Αφού μας δίνεται ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας και δε μπορούμε να βρούμε ένα ση-μείο από το ο-ποίο διέρχεται θεωρούμε ότι έ-χει εξίσωση της μορφής

y λx β



Λύση

Οι ζητούμενες ευθείες θα είναι παράλληλες στην (η) οπότε για το συντελεστή διεύθυνσής τους έχου-

με: η

1λ λ λ

2

Η εξίσωσή τους θα είναι της μορφής:

(ε):1

y λ x β y x β2

(1)

Κάθε μια από τις ζητούμενες ευθείες θα απέχει από την (η) απόσταση ίση με

d5

2

Για x 0 η (1) y β δηλαδή Α(0,β) ένα σημείο της (ε)

1 0 2 β - 3

d ε,η 5 d Α,η 5 5 2β - 3 51 4

2β - 3 5 2β 8 β 4

2β - 3 5 2β 2 β 1

Οπότε οι ζητούμενες ευθείες είναι οι 1

ε : y x 42

και 1

ζ : y x 12

Εμβαδόν Τριγώνου

Λύση

Είναι ΑΒ 2, 2

και ΑΓ 4,2

Οπότε 2 21 1 1

ΑΒΓ det AB,ΑΓ 4 8 24 22 2 2

τ.μ.

Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(1,2), Β(3,0), Γ(5,4).


Η ευθεία η : x 2y 3 0 είναι μεσοπαράλληλη δύο παράλληλων ευ-

θειών που απέχουν d 2 5 . Να βρείτε τις εξισώσεις αυτών.


x

y

x΄

y΄

η

ζε

2ο

Κεφάλαιο


Λύση

Έστω Α Α Αε : y - y λ x - x y - 3 λ x -1

y - 3 λx - λ y λx - λ 3 (1)

Βρίσκουμε τα σημεία τομής της (εΑ) με τους άξονες

Για x=0 η (1) y 3- λ άρα Β(0,3-λ)

Για y=0 η (1)λ - 3

0 λx - λ 3 xλ

άρα λ - 3

Γ ,0λ

Οπότε είναι ΟΒ 0,-λ+3

και λ - 3

ΟΓ ,0λ

0 -λ+3

λ - 3 3- λ1ΟΒΓ 2 det ΟΒ,OΓ 2 4 4λ - 3

2 λ0λ

2 23λ - λ - 9+3λ 4λ -λ +6λ - 9 4λ

22

2 2

-λ +2λ - 9 0 2-λ +6λ - 9 4λ

-λ +6λ - 9 -4λ -λ +10λ - 9 0 3

Για την (2) έχουμε Δ 4 36 32 0 αδύνατη

Για την (3) έχουμε Δ 100 36 64 0

Οπότε 1,2

110 8λ

92

Άρα από τη σχέση (1) οι ζητούμενες ευθείες είναι οι:

ε : y x 2 και ζ : y 9x 6

Λύση

Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο Α(1,3) και σχη-ματίζει με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν 2 τ.μ.


Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (ε) που περνά από την αρχή των αξόνων

και σχηματίζει με την ευθεία ε : x y 3 και τον y΄y τρίγωνο εμβαδού 9 τ.μ.


y΄

x

y

x΄Α(1,3)

ε

ζ



Έστω (δ) η ζητούμενη ευθεία. Αφού η (δ) διέρχεται από την αρχή των αξόνων η εξίσωσή της θα είναι της μορφής

δ : y λx

Βρίσκουμε το σημείο τομής της (ε) με τον y΄yΓια x=0 η (ε) δίνει y=3 άρα Α(0,3)

Από το διπλανό βοηθητικό σχήμα γίνεται αντιλη-πτό ότι για να εκμεταλλευτούμε ότι το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από το Ο(0,0) τον y΄y και τις 2 ευθείες απαιτείται να βρούμε το ση-μείο τομής τους Γ.


y λx 1

x+y+3 0 2

1 3

2 x+λx+3 0 1+λ x -3 x -λ+1

και από 3λ

1 y -λ+1

Άρα 3 3λ

Γ - ,-λ+1 λ+1

οπότε είναι ΟΑ 0,-3

και 3 3λ

ΟΓ - ,-λ+1 λ+1

0 -3

1ΟΑΓ 9 det ΟΑ,OΓ 9 18-3 -3λ

2λ+1 λ+1

918 18λ+18 9

λ+1

1λ

18λ+18 9 18λ 9 218λ+18 9 18λ 27 3

λ2

Έτσι λοιπόν οι ζητούμενες ευθείες είναι οι 1

δ : y x2

και 3

ζ : y x2


Δίνονται οι παράλληλες ευθείες

1ε : 4x 6y 5 0 και 2ε : 2x 3y 1 0 .

Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων που ισαπέχουν από τις παράλ-ληλες. (Εξίσωση Μεσοπαραλλήλου)


x

y

x΄

y΄

Α(0,3)

Γ

y΄

x

y

x΄

ε

Ο


ηζ

2ο

Κεφάλαιο


Λύση

Έστω Μ(x,y) τα σημεία των οποίων το γεωμετρικό τόπο ζητάμε.

Είναι

1 2

4x 6y 5 2x 3y 1 4x 6y 5 2x 3y 1d Μ,ε d Μ,ε

16 36 4 9 52 13

4x 6y 5 2x 3y 14x 6y 5 2 2x 3y 1

2 13 13

4x 6y 5 4x 6y 24x 6y 5 4x 6y 2

4x 6y 5 4x 6y 2

5 2 8 7 2 7y x y x

12y 8x 7 12 12 3 12

Άρα ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία 2 7

y x3 12

Λύση


Είναι

1

2

3x y 4

3x y 4d Μ,ε 2 2 29 1x 3y 5d Μ,ε 3 3 x 3y 5 3

1 9

9x 3y 12 2x 6y 109x 3y 12 2x 6y 10

9x 3y 12 2x 6y 10

7 22y x

3y 7x 22 3 3

9y 11x 2 11 2y x

9 9

Άρα ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι οι δύο παραπάνω ευθείες.

Δίνονται οι ευθείες 1ε : 3x y 4 0 και 2ε : x 3y 5 0 .

Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ των οποίων ο λόγος των

αποστάσεων από τις (ε1) και (ε2) είναι ίση με 2

3




Λύση


Είναι ΑΜ x 3,y 1

και ΑΒ 4, 3

Οπότε έχουμε:

x - 3 y -11

ΑΒΜ 8 det ΑΒ,ΑΜ 8 16-4 -32

-3x+9+4y - 4 16 -3x+4y+5 16

3 11y x+

-3x+4y+5 16 4y 3x+11 4 4ή ή ή

-3x+4y+5 16 4y 3x -21 3 214y x -

4 4Άρα ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι οι δύο παραπάνω ευθείες.

ΛύσηΑς είναι Μ(x,y) τα σημεία του επίπεδου που ανήκουν στις διχοτόμους των ευ-θειών (ε1) και (ε2). Τότε έχουμε:

1 2

4x 3y 5 6x 8y 5 4x 3y 5 6x 8y 5d Μ,ε d Μ,ε

5 1016 9 36 64

54x 3y 5 3x 4y

1 24x 3y 5 6x 8y 552

4x 3y 5 3x 4y2

8x 6y 10 6x 8y 5 2x 2y 5 0

8x 6y 10 6x 8y 5 14x 14y 15 0

Δίνονται τα σημεία Α(3,1) και Β(-1,-2)

Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του Μ αν το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΜ είναι 8 τ.μ.


Δίνονται οι ευθείες 1ε : 4x 3y 5 0 και 2ε : 6x 8y 5 0

Να βρείτε τις εξίσωσεις των διχοτόμων τους. (εξίσωση διχοτόμου)


2ο

Κεφάλαιο



Απόσταση Σημείου από Ευθεία

1) Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ(4,2) από τις ευθείες

α) 1ε : x 2y 5 0 β) 2ε : y x

γ) 3ε : x 1 δ) 4ε : y 2

2) Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ(-1,2) από τις ευθείες

α) 1ε : 3x 4y 1 0 β) 2ε : y x

γ) 3ε : x 2011 δ) 4ε : y 2010

3) Να βρεθεί η απόσταση των ευθειών

α) 1ε : 3x 4y 12 0 και 2ε : 3x 4y 27 0 .

β) 1ε : 6x 8y 11 0 και 2ε : 6x 8y 13 0 .

4) Να βρείτε τα σημεία της ευθείας ε : x y 1 0 που απέχουν από την

ευθεία ζ : 3x 4y 2 0 απόσταση ίση με 2.

5) Δίνονται οι ευθείες ε : 5x 12y 10 0 και ζ : 5x 12y 20 0 . Να

βρείτε την εξίσωση της ευθείας (η) που είναι παράλληλη προς την (ε) και η απόσταση των (η) και (ε) είναι διπλάσια από την απόσταση των (η) και (ζ).

6) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που είναι κάθετες στην ευθεία

ε : 2x y 2 0 και απέχουν από το σημείο Α(3,0) απόσταση 2 5 μο-

νάδες.



7) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το κοινό σημείο των

ευθειών 1ε : x 3y 1 0 , 2ε : 2x 5y 9 0 και απέχει από την αρχή

των αξόνων απόσταση ίση με 2 μονάδες.

8) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(-2,0)και απέχουν από το σημείο Β(5,-3) απόσταση ίση με 3 μονάδες.

9) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από την αρχή των αξόνων και ισαπέχουν από τα σημεία Α(-2,3) και Β(4,1).

10) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α(3,5) και ισαπέ-χει από τα σημεία Β(-7,3) και Γ(11,-5).

11) Η ευθεία ε : 6x 8y 9 0 είναι μεσοπαράλληλη των παράλληλων ευ-

θειών (ε1) και (ε2) που έχουν απόσταση 2 μονάδες. Να βρείτε τις εξισώ-σεις των (ε1) και (ε2).

12) Η ευθεία ε : 2x y 1 0 είναι μεσοπαράλληλη δύο παράλληλων ευ-

θειών (ε1) και (ε2) που απέχουν 5 μονάδες. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών αυτών.

13) Δίνονται οι ευθείες 1ε : 3x y 10 0 και 2ε : x 3y 16 0 . Να βρείτε

τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που ορίζουν οι (ε1) και (ε2).

14) Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι

ευθείες 1ε : 3x 2y 4 0 και 2ε : 2x 3y 6 0 .

2ο

Κεφάλαιο


15) Δίνονται οι ευθείες 1ε :μx y 1 0 και 2ε : x μy 3λ 0 . Να βρείτε

τις τιμές των πραγματικών αριθμών λ, μ ώστε οι (ε1) και (ε2) να είναι πα-

ράλληλες και η απόστασή τους να είναι ίση με 2 .

16) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(5,6), Β(2,-1) και Γ(3,3). Να βρείτε το μήκος του ύψους ΑΔ του τριγώνου.

17) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(2,-7).

Αν 1ε : 3x y 2 0 (1) και 2ε : x 2y 7 0 (2) είναι οι εξισώσεις ε-

νός ύψους και μιας διαμέσου αντίστοιχα που φέρονται από διαφορετική κορυφή να βρείτε:

α) Τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ

β) Τα μήκη του ύψους και της διαμέσου που δίνονται από τις εξισώσεις (1) και (2) αντίστοιχα.

18) Δίνεται η ευθεία ε : x y 1 0 . Να βρεθεί ποιο σημείο της (ε) απέχει

από την αρχή των αξόνων την ελάχιστη απόσταση καθώς και η απόστα-ση αυτή.

19) Δίνεται η εξίσωση λε : 2x y 4 λ x 2y 3 0 όπου λ πραγματικός

αριθμός.

α) Να δείξετε ότι η (ελ) παριστάνει ευθεία που διέρχεται από σταθερό σημείο.

β) Να βρείτε την ευθεία (ελ) ώστε η απόσταση του Δ(2,-3) από αυτήν να

ισούται με 10 .

γ) Να βρείτε το λ ώστε τα σημεία Α(-1,1) και Β(1,0) να ισαπέχουν από την ευθεία (ελ).

Εμβαδόν Τριγώνου

20) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ στις παρακάτω περιπτώσεις

α) Α(-5,3), Β(2,0), Γ(-1,-3) β) Α(7,-4), Β(1,6), Γ(4,4)



21) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(-1,4) και σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν 1 τετραγωνική μονάδα.

22) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(1,2) και σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν 4 τετραγωνικές μονάδες.

23) Δίνονται οι ευθείες 1ε : x y 1 0 και 2ε : 3x y 5 0 . Να βρείτε τις

ευθείες που είναι παράλληλες στο διάνυσμα u i j

και σχηματίζουν με

τις ευθείες (ε1) και (ε2) τρίγωνο με εμβαδόν 2 τετραγωνικές μονάδες.

24) Δίνονται τα σημεία Α(1,1), Β(5,5) και η ευθεία ε : x 2y 1 0 . Να βρεί-

τε σημείο Γ της (ε) ώστε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ να είναι ίσο με 4 τετραγωνικές μονάδες.

25) Δίνονται τα διανύσματα θέσης α 1,2

, β 3, 2

και γ 0,2

των

σημείων Α, Β, Γ αντίστοιχα.

α) Να δείξετε ότι Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου.

β) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.

γ) Αν το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο να βρεθεί το εμβα-δόν του.

26) Ισοσκελές τρίγωνο έχει κορυφή το σημείο Α(1,2). Η βάση του βρίσκεται

στην ευθεία ε : x 2y 10 0 και το εμβαδόν είναι 5 τετραγωνικές μο-

νάδες. Να βρείτε τις συντεταγμένες των άλλων δύο κορυφών του.

27) Δίνονται τα σημεία Α(λ,1), Β(λ-1,λ+1) και Γ(λ+5,λ+3) όπου λ πραγματικός αριθμός.

α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ τα Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου.

β) Να βρείτε το λ ώστε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ να είναι ίσο με 1.

2ο

Κεφάλαιο


28) Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ είναι 12 τετραγωνικές μονά-δες και Α(-1,3), Β(-2,4). Να βρείτε συντεταγμένες των δύο άλλων κορυ-φών του αν οι διαγώνιοί του τέμνονται στον άξονα x΄x.

29) Nα δειχθεί ότι η εξίσωση 2 29x 12xy 4y 4 0 παριστάνει δύο παράλ-

ληλες ευθείες. Να βρεθεί το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που έχει κορυφές τα σημεία τομής των παραπάνω ευθειών με τους άξονες x΄x και y΄y.


30) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων τα οποία ισαπέχουν από τις

ευθείες 1ε : 3x 2y 4 0 και 2ε : 3x 2y 6 0 .

31) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(6,6), Β(-3,0) και Γ(3λ-1,2λ+3) όπου λℝ

α) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της κορυφής Γ.

β) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.

32) Δίνονται τα σημεία Α(-2,1), Β(3,5) και Γ(2,4)

α) Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου.

β) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για τα οποία ισχύει

ΜΒΓ 3 ΑΒΓ

33) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου έτσι ώστε το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ με Α(-2,-1), Β(3,2) να είναι σταθερό και ίσο με 12 τετραγωνικές μονάδες.

34) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου των οποίων

ο λόγος των αποστάσεων από τις ευθείες 1ε : x 2y 0 και

2ε : x 2y 0 ισούται με 2.

35) Δίνονται οι ευθείες 1ε : x y -1 0 και 2ε : x - y - 3 0 . Να βρείτε το

σύνολο των σημείων Μ του επιπέδου των ευθειών των οποίων ο λόγος των αποστάσεων από τις ευθείες (ε1) και (ε2) είναι ίσος με 2.



36) Δίνονται οι ευθείες 1ε : 2x y 3 0 και 2ε : x y 1 0 . Να βρείτε το

γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει

1 25 d M,ε 2 d M,ε .

37) Δίνονται οι μεταβλητές ευθείες

1ε : y λx 3 και 2ε : y 2λ+5 x+2

Να δείξετε ότι το κοινό σημείο των (ε1) και (ε2) κινείται σε μια ευθεία (ε).

2ο

Κεφάλαιο





προτάσεις

α) Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας είναι η εφα-

πτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον

άξονα x΄x

β) Mια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα x΄x έχει συ-

ντελεστή διεύθυνσης λ 0

γ) Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α(α,β) και

Β(α,γ) έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο με το μηδέν.

δ) Μια ευθεία κάθετη προς τον άξονα x΄x έχει συντελε-

στή διεύθυνσης λ 1

ε) Οι διχοτόμοι των γωνιών των αξόνων x΄x και y΄y είναι

ευθείες κάθετες.

στ) Οι ευθείες y λ και y λx είναι παράλληλες


προτάσεις

α) Οι ευθείες y κx 1 και λ

y x 12

είναι παράλληλες

αν και μόνο αν λ 2κ

β) Οι ευθείες y 2x 5 και 2x y 10 0 είναι παράλ-

ληλες

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ



γ) Οι ευθείες 2x 3y 1 0 και 3x 2y 1 0 είναι κά-

θετες

δ) Οι ευθείες 2x y 7 0 και 4x 2y 9 0 τέμνονται

ε) Τα σημεία Α(3,5), Β(-1,5), Γ(0,5) είναι συνευθειακά


προτάσεις

α) Η εξίσωση Αx Βy Γ 0 με Α 0 είναι εξίσωση ευ-

θείας.

β) Η εξίσωση Αx Βy Γ 0 με Α Β παριστάνει ευθεί-

α.

γ) Η ευθεία Αx Βy Γ 0 είναι παράλληλη στο διάνυ-

σμα α Β,Α

δ) Αν d είναι η απόσταση του σημείου Μ(x0,y0) από την

ευθεία ε : Αx Βy Γ 0 , τότε ισχύει

2 20 0Αx Βy Γ d A B

ε) Η ευθεία 3x 5y 2 0 είναι παράλληλη στο διά-

νυσμα δ 5,3


προτάσεις

α) Η εξίσωση y 5 λ x 2 με λℝ παριστάνει για τις

διάφορες τιμές του λℝ όλες τις ευθείες που διέρ-

χονται από το σημείο Α(-2,5).

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

2ο

Κεφάλαιο


β) Η ευθεία y 3 είναι παράλληλη με τον άξονα x΄x

γ) H εξίσωση 2α 1 x α 3α 2 y 3 0 με αℝ

παριστάνει πάντοτε ευθεία.

δ) Η ευθεία x 2y 3 0 διέρχεται από το σημείο

Α(1,-2)

ε) Η ευθεία 2x 3y 1 0 είναι κάθετη στο διάνυσμα

δ 2,3

στ) Είναι d M,ε 0 αν και μόνο αν το σημείο Μ ανήκει

στην ευθεία (ε).


προτάσεις

α) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται

από τα σημεία Α(x1,y1) και Β(x2,y2) είναι 1 2

1 2

y yλ

x x

για

κάθε x1 και x2.

β) Η ευθεία 2x 3y 5 0 είναι παράλληλη στο διάνυ-

σμα α 3i 2j

γ) Όλες οι ευθείες που διέρχονται από το σημείο Α(1,2)

έχουν τύπο y 2 λ x 1

δ) Η ευθεία y 3x είναι παράλληλη στο διάνυσμα

α i 3j

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ



ε) Αν α μ,ν

, β x,y

με α 0

η σχέση α β 15 πα-

ριστάνει ευθεία.


προτάσεις

α) Αν 1 1α x ,y

, 2 2β x ,y

με 1 2 1 2x x y y 0 και δύο

ευθείες ε1 και ε2 με 1ε / /α

και 2ε β

, τότε είναι

1 2ε / /ε

β) Η εξίσωση 2 2x y παριστάνει δύο ευθείες

γ) Αν 1α / /ε

και 2β / /ε

τότε 1 2α,β ε ,ε

δ) Η απόσταση της αρχής των αξόνων από την ευθεία

2x 4 0 είναι ίση με 1

ε) Η απόσταση του σημείου Α(α,-α) από την ευθεία

x y α 0 είναι ίσημεα

2

7) Δίνεται η εξίσωση 2 2λ 1 x λ 4λ 3 y 5 0 . Να εξετάσετε αν είναι

σωστή ή λανθασμένη καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις.

α) Η εξίσωση παριστάνει ευθεία για κάθε τιμή του λ

β) Η εξίσωση παριστάνει ευθεία κάθετη στον x΄x, για λ=3

γ) Η εξίσωση παριστάνει ευθεία κάθετη στον y΄y, για λ=-1

δ) Η εξίσωση παριστάνει ευθεία που διέρχεται από την

αρχή των αξόνων για λ=1

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

2ο

Κεφάλαιο


8) Να αντιστοιχίσετε καθεμία από τις προτάσεις της πρώτης στήλης στην κα-

τάλληλη από τις προτάσεις της δεύτερης στήλης.

Στήλη Α Στήλη Β

1. 1ε : y αx 0, α 0 α) Η ευθεία είναι κάθετη

στον x΄x

β) Η ευθεία διέρχεται από

την αρχή των αξόνων

γ) Η ευθεία τέμνει του ά-

ξονες σε σημεία δια-

φορετικά από το 0

δ) Η ευθεία είναι κάθετη

στον άξονα y΄y.

2. 2ε : y α 0, α 0

3. 2 23ε : α 1 x y α 1 0, α 0

4. 4ε : y αx 1 0, α 0

5. 5ε : y α 1, α 1

6. 6ε : x α 0, α 0

9) Να αντιστοιχίσετε καθεμία από τις ευθείες της πρώτης στήλης στο παράλ-

ληλο προς αυτή διάνυσμα της δεύτερης στήλης.

Στήλη Α

Ευθεία

Στήλη Β

Παράλληλο Διάνυσμα

1. x 3

2. y 4 0

3. y 2x 5

4. y 2x 3 0

5. x y 2 0

α) α i j

β) β 0,3

γ) γ 2i

δ) δ 3i 6j

ε) ε 2,1

στ) η 1,2

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5



10) Να αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία της πρώτης στήλης στη γωνία που σχημα-

τίζει με τον άξονα x΄x.

Στήλη Α

Ευθεία

Στήλη Β

Γωνία με x΄x

1. 3x 3y 0

2. x y 2 0

3. 3y 3x 2

4. y 3 0

5. 17x 384 0

α) 0o

β) 45o

γ) 135o

δ) 90o

ε) 30o

στ) 120o

11) Να αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία της πρώτης στήλης στον συντελεστή διεύ-

θυνσής της, που βρίσκεται στη δεύτερη στήλη.

Στήλη Α

Ευθεία

Στήλη Β

Συντελεστής

Διεύθυνσης

1. 2x 3 0

2. 2y 3 0

3. 2x 3y 1 0

4. 3x 2y 4 0

5.x y

23 2

α)2

3

β2

3

γ) 0

δ) δεν ορίζεται

ε)3

2

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

2ο

Κεφάλαιο



ντηση

i. Αν το διάνυσμα δ 3, 2

είναι παράλληλο στην ευθεία (ε) τότε ο συ-

ντελεστής διεύθυνσης της (ε) είναι:

Α.3

2 Β.

2

3 Γ.

2

3Δ.

3

2

ii. Αν η ευθεία που ορίζεται από τα σημεία Γ(2,x) και Δ(4,7) είναι παράλ-

ληλη στην ευθεία που ορίζεται από τα σημεία Α(1,3) και Β(2,5) τότε το x

είναι:

Α. -3 Β. 3 Γ. 5 Δ. 2

iii. Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α(1,-3) και είναι παράλληλη στην

ευθεία y 2x 1 έχει εξίσωση:

Α. y 2x 1 Β. y 2x 3

Γ. y 2x 7 Δ. y 2x 1

iv. Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α(1,2) και είναι κάθετη στην ευ-

θεία x 2y 5 0 έχει εξίσωση:

Α. y 2x 4 Β.1

y x2

Γ. 1

y 2 x 12

Δ. y 2x



v. Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(-1,3) και είναι

παράλληλη στο διάνυσμα δ 2,4

είναι:

Α. 1

y 3 x 12

Β. y 2x 1

Γ.1

y x 12

Δ. 2y x 1 0

vi. Η μεσοκάθετος του τμήματος που ορίζεται από τα σημεία Α(-1,3) και

Β(2,5) έχει εξίσωση:

Α. 6x 4y 19 0 Β. 2 1

y 4 x3 2

Γ. 4x 6y 19 0 Δ.3 3

y x2 4

vii. Αν οι ευθείες 1ε : 2x 3y 5 0 και 2ε : αx y 7 0 είναι παράλλη-

λες τότε το α είναι:.

Α. 2 Β. 2

3Γ.

2

3 Δ.

3

2

viii. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ 3λ 1,2λ 3 με λℝ είναι η

ευθεία με εξίσωση:

Α. y 2x 3 Β. x 3y 1

Γ. 2x 3y 7 0 Δ. y x 2

2ο

Κεφάλαιο



ντηση

i. Η ευθεία x 3y 1 0 σχηματίζει με τον άξονα x΄x γωνία :

Α. 30ο Β. 60ο Γ. 90ο Δ. 180ο

ii. Αν η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α(1,2) και Β(α,γ) είναι κάθετη

στον άξονα x΄x είναι:

Α. α 1 Β. α 2 Γ. α 0 Δ. α 3

iii. Η εξίσωση αx βy γ 0 παριστάνει ευθεία όταν:

Α. α β Β. α β 0 Γ. α 0

Δ. Το διάνυσμα μ α,β

είναι μηδενικό.

iv. Η ευθεία που σχηματίζει οξεία γωνία με τον άξονα x΄x είναι η:

Α. y λ x 4 με λ 0 Β. 2x 3y 6 0

Γ. λ x 3 0 με λ 0 Δ. y λ

v. Το τρίγωνο που σχηματίζουν οι ευθείες 1ε : y x , 2ε : y x και

3ε : x 1 έχει εμβαδό:

Α. 1

2Β. 1 Γ. 2 Δ. 4



vi. Αν μια ευθεία είναι παράλληλη στην ευθεία 3 1

y x4 4

και απέχει από

αυτήν απόσταση ίση με 2 τότε μπορεί να έχει εξίσωση:

Α. 3 7

y x4 4

Β. 3

y x 24

Γ. 3x 4y 11 0 Δ. 4x 3y 2 0

vii. Οι ευθείες που διέρχονται από το σημείο Α(3,4) έχουν τύπο:

Α. x 3 Β. y 4 λ x 3 , λℝ

Γ. x 3 ή y 4 λ x 3 , λℝ Δ. y 4

viii. Η απόσταση του σημείου Α(1,1) από την ευθεία x y 1 0 είναι:

Α. 3

2Β.

3

2 Γ.

3

2Δ.

3

2

ix. Η ευθεία που είναι παράλληλη στο διάνυσμα α 0,3

και διέρχεται

από το σημείο Α(1,2) είναι η:

Α. y 2 x 1 Β. y 1 x 2

Γ. y 2 Δ. x 1

2οΚεφάλαιο



ΕΥΘΕΙΑΘΕΜΑ Α

Α1) Έστω ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς Οxy και ένα σημείο Α(x0,y0). Να α-

ποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το Α και έχει συ-

ντελεστή διεύθυνσης λ είναι:

0 0y y λ x x

Α2) Να χαρακτηρίσετε ως Σωστή (Σ) ή Λανθασμένη (Λ) καθεμία από τις παρακά-

τω προτάσεις :

α) Αν Α 0 ή Β 0 η εξίσωση Ax By Γ 0 παριστάνει ευθεία

β) Η εξίσωση y x παριστάνει τις διχοτόμους των αξόνων

γ) Η ευθεία Ax By Γ 0 είναι κάθετη στο διάνυσμα δ A,B

δ) Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία

Α(x1,y1) και Β(x2,y2) με 1 2x x είναι 2 1

2 1

y yλ

x x

ΘΕΜΑ Β

Σε ορθοκανονικό σύστημα Οxy θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με Α(2,1) και τις ευθείες

1ε : 3x y 11 0 , 2ε : x y 3 0 πάνω στις οποίες βρίσκονται δύο από τα

ύψη του τριγώνου.

Β1) Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του ΑΒ και ΑΓ

Β2) Τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ



Β3) Την εξίσωση της ευθείας ΒΓ

Β4) Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ

Β5) Τις συντεταγμένες του ορθόκεντρου του τριγώνου ΑΒΓ

ΘΕΜΑ Γ

Γ1) Έστω η εξίσωση:

2 2 2α 2α 3 x α 3α 2 y α 8α 1 0 (1) με αℝ

α) Να δειχθεί ότι η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία.

β) Να δειχθεί ότι όλες οι ευθείες της μορφής (1) διέρχονται από σταθερό

σημείο του οποίου να βρεθούν οι συντεταγμένες.

γ) Να βρεθεί ο αℝ ώστε η παραπάνω εξίσωση (1) να σχηματίζει με τον

άξονα x΄x γωνία ίση με π

4.

Γ2) Να βρεθεί η οξεία γωνία των ευθειών

1ε : 3 x y 2 0 και 2ε : x 3 y 4 0

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η εξίσωση 2 2x y 8x 16 0 (1)

Δ1) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αυτή παριστάνει δύο ευθείες (ε1) και (ε2)

Δ2) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες (ε1) και (ε2) είναι κάθετες

Δ3) Να βρείτε σημείο Κ(α,β), με α 0 και β 0 τέτοιο ώστε το διάνυσμα

1δ 4,α

να είναι παράλληλο σε μια από τις δύο ευθείες (ε1) και (ε2) και το

διάνυσμα 2δ 8,2β

να είναι παράλληλο προς την άλλη ευθεία

2οΚεφάλαιο


4 ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΕΥΘΕΙΑΘΕΜΑ Α

Α1) Να αποδείξετε ότι κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής

Ax By Γ 0 με Α 0 ή Β 0

Α2) Έστω μια ευθεία (ε) με εξίσωση Ax By Γ 0 και Μ0(x0,y0) ένα σημείο εκτός

αυτής. Να γράψετε τον τύπο που δίνει την απόσταση του σημείου Μ0 από την

ευθεία.

Α3) Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ

Α4) Στη στήλη Α δίνονται οι εξισώσεις ευθειών και στη Στήλη Β τα κάθετα σε αυ-

τές διανύσματα. Να κάνετε τη σωστή αντιστοίχιση

Στήλη Α

Ευθεία

Στήλη Β

Παράλληλο Διάνυσμα

1. y 3x 5

2. y 7

3. x 1

α) (-2,7)

β) (3,-1)

γ) (1,3)

δ) (4,0)

ε) (0,-3)

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1,1), Β(-1,3) και Γ(2,-4)

Β1) Να βρεθεί η εξίσωση του ύψους ΑΔ

Β2) Να βρεθεί η εξίσωση της διαμέσου ΒΜ

Β3) Να βρεθεί το κοινό σημείο των παραπάνω ευθειών

1

2

3



ΘΕΜΑ Γ


1ε : λ 2 x λy 3λ 1 0 και 2ε : 2λ 1 x λy 5 0 με λℝ 0

Γ1) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού αριθμού λ ώστε οι ευθείες (ε1) και (ε2) να

είναι παράλληλες .

Γ2) Για λ 3

α) Να βρείτε την απόσταση των παράλληλων ευθείων (ε1) και (ε2)

β) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης των ευθειών (ε1) και (ε2)

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφή Α(3,6).

Η πλευρά ΒΓ του τριγώνου έχει εξίσωση 4x 3y 9 0

Επιπλέον το σημείο Μ(3,1) είναι το μέσο της ΒΓ και το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ

είναι 45 τετραγωνικές μονάδες.

Δ1) Να υπολογίσετε την απόσταση του σημείου Α από τη ΒΓ

Δ2) Να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς ΒΓ

Δ3) Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ

2οΚεφάλαιο



ΕΥΘΕΙΑ - ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΘΕΜΑ Α

Α1) Να αποδείξετε ότι 22

α α

Α2) Αν 1 1α x ,y

και 2 2β x ,y

να αποδείξετε ότι

α β γ α β α γ

Α3) Αν ορίζονται οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων α, β

να αποδείξ-

τε ότι α β

α β λ λ 1

.

Α4) Να χαρακτηρίσετε ως Σωστές (Σ) ή Λανθασμένες (Λ) τις παρακάτω προτάσεις

στο τετράδιό σας.

1. Η γωνία ω που σχηματίζει ένα διάνυσμα με τον άξονα x΄x είναι

0 ω 2π .

2. Αν α β

τότε α β 1

.

3. Η ευθεία με εξίσωση Αx Βy Γ 0 είναι κάθετη στο διάνυσμα

η B,A

.

4. Αν η ευθεία 0ε : y y είναι κάθετη στην ευθεία ε1 τότε ο συντελε-

στής διεύθυνσης της ε1 δεν ορίζεται.

5. Για δύο διανύσματα α, β

που έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ1 και λ2

αντίστοιχα ισχύει ότι: 1 2λ λ det α,β 0



ΘΕΜΑ Β

Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(-1,2), Β(1,3) και Γ(3,-2).

Β1) Να βρείτε την εξίσωση του ύψους ΑΔ.

Β2) Να βρείτε την εξίσωση της διαμέσου ΒΕ.

Β3) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο τομής Κ

των ευθειών ΑΔ και ΒΕ και είναι παράλληλη στην ευθεία ΑΒ.

ΘΕΜΑ Γ

Για τα διανύσματα α, β

δίνεται ότι α 1

, β 1,1

καιπ

α,β4

. Έστω τα

διανύσματα u 2α 3β

και v α 2β

. Να υπολογίσετε :

Γ1) Τα μέτρα u

, v

των διανυσμάτων u

και v

.

Γ2) Το εσωτερικό γινόμενο u v

.

Γ3) Να δείξετε ότι η γωνία των διανυσμάτων u

και v

είναι αμβλεία .

Γ4) Να αναλύσετε το γ 1,3

σε δυο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες από

τις οποίες η μια να έχει τη διεύθυνση του β

.

ΘΕΜΑ Δ

Δ1) Έστω η εξίσωση:

2 2 2α 2α x α α 1 y α 2 0 (1) όπου αℝ .

α) Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει ευθεία για κάθε αℝ

2οΚεφάλαιο


β) Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες της μορφής (1) διέρχονται από σταθερό ση-

μείο του οποίου να βρεθούν οι συντεταγμένες.

Δ2) Δίνεται η εξίσωση 2 2 2x y 4λy 2λx 3λ 0 (2) όπου λℝ

α) Να δείξετε ότι η (2) παριστάνει δύο κάθετες ευθείες και να βρείτε το ση-

μείο τομής τους Κ.

β) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο στον οποίο ανήκει το Κ και να ορίσετε την

αρνητική τιμή του α για την οποία η ευθεία (1) είναι κάθετη στον γεωμε-

τρικό τόπο.




3.1 ΚΥΚΛΟΣ

3.23.33.4 ΥΠΕΡΒΟΛΗ

ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΠΑΡΑΒΟΛΗ

ΕΛΛΕΙΨΗ

Κύκλος


3ο

Κεφάλαιο


3.1 Κύκλος

Θεώρημα 1Ο κύκλος με κέντρο το σημείο Ο(0,0) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση:

2 2 2x y ρ

ΑπόδειξηΈστω C o κύκλος και έστω Μ(x,y) ένα τυχαίο σημείο του επιπέδου που ανή-κει στον κύκλο. Ως γνωστό κάθε ση-μείο ενός κύκλου απέχει πάντα σταθε-ρή απόσταση από το κέντρο αυτού ίση με την ακτίνα του. Έτσι λοιπόν έχουμε:

2 2

22 2 2 2 2 2

M(x,y) C OM ρ x y ρ

x y ρ x y ρ

και αποδείχτηκε το ζητούμενο.

Ειδική περίπτωση:

Ο κύκλος με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα ρ 1 έχει εξίσωση 2 2x y 1

Θεώρημα 2Η εφαπτομένη ε του κύκλου

2 2 2c : x y ρ σε ένα σημείο

1 1A x , y , έχει εξίσωση 2

1 1xx yy ρ

Απόδειξη

Αφού το σημείο 1 1Α x ,y ανήκει στον

κύκλο συμπεραίνουμε ότι οι συντε-ταγμένες του επαληθεύουν την εξίσω-ση του κύκλου (c). Έτσι λοιπόν είναι:

2 2 21 1x y ρ (1)

Εξί

σωση

Κύκ

λου

με κ

έντρ

ο τη

ν αρ

χή

των

αξόν

ων

y

Μ(x,y)

ρ

Ο(0,0) xx΄

y΄

Εξί

σωση

Εφ

απτο

μένη

ςΚ

ύκλ

ουμε

κέν

τρο

Ο(0

,0)

ρ

y΄

y

Ο

Α(x1,y1)

xx΄

Μ(x,y)

ε

Κύκλος


Επιπλέον

1 1 1 1

2 21 1 1 1 1 1 1 1

2 2 21 1 1 1 1

1

1

Μ x,y ε ΟΑ ΑΜ ΟΑ ΑΜ 0

x ,y x x ,y y 0

x x x y y y 0 x x x y y y 0

x x y y x y xx yy ρ

Άρα η εξίσωση της ευθείας (ε) είναι:2

1 1xx yy ρ

Θεώρημα 3

Ο κύκλος με κέντρο 0 0Κ x , y και

ακτίνα ρ έχει εξίσωση:

2 2 2

0 0c : x x y y ρ

Απόδειξη

Έστω κύκλος (c) με κέντρο 0 0K ,x y

και ακτίνα ρ. Έχουμε:

2 2M(x,y) KM ρ KM ρC

22 2 2

0 0

2 2 20 0

x - x y - y ρ

x - x y - y ρ

Θεώρημα 4Κάθε κύκλος έχει εξίσωση της μορφής:

2 2c : x y Ax By Γ 0 , με 2 2A B 4Γ 0 (1)

και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της μορφής (1) παριστάνει κύκλοΑπόδειξη

Ορθό Θα αποδείξουμε ότι κάθε κύκλος έχει εξίσωση της μορφής (1)Όπως δείξαμε παραπάνω κάθε κύκλος με κέντρο ένα τυχαίο σημείο

0 0K ,x y του επιπέδου έχει εξίσωση:

2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0

2 2 2 2 20 0 0 0

A ΓB

2 2

x - x y - y ρ x - 2xx +x +y - 2yy +y ρ

x +y + -2x x+ -2y y+x +y - ρ 0

x +y +Αx+Βy+Γ 0

Άρα ο κύκλος (c) έχει εξίσωση της μορφής (1)

Εξί

σωση

Κύκ

λου

με κ

έντρ

ο τυ

χαί

ο ση

μείο

Εξί

σωση

Εφ

απτο

μένη

ςΚ

ύκλ

ουμε

κέν

τρο

Ο(0

,0)

y

Μ(x,y)

ρ

Κ(x0,y0)

y΄

xx΄

Γεν

ική

Εξί

σωση

Κύκ

λου

3ο

Κεφάλαιο


ΑντίστροφοΘα αποδείξουμε ότι κάθε εξίσωση της μορφής (1) παριστάνει κύκλο.

Έχουμε: 2 2 2 2x +y +Αx+Βy+Γ 0 x +y +Αx+Βy -Γ 2 2 2 2

2 2Α Α Β Β Α Βx +2 x+ +y +2 y+ + -Γ

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2Α Β Α +Β - 4Γ

x+ + y+2 2 4

(2)

Η εξίσωση (2) λόγω της (1) και επειδή 2 2Α +Β - 4Γ>0 παριστάνει κύκλο

με κέντρο Α Β

Κ - ,-2 2

και ακτίνα 2 2Α +Β - 4Γ

ρ2

Γεν

ική

Εξί

σωση

Κύκ

λου

Κύκλος



Λύση

Αφού γνωρίζουμε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου εύκολα γίνεται αντιληπτό ότι η εξίσωσή του θα είναι η

2 2 2 22

Κ Κ: x - x y - y ρ x 1 y - 3 4c

Λύση

Αφού ο κύκλος έχει κέντρο το Ο(0,0) η εξίσωσή του θα είναι:

2 2 2: x y ρc (1)

Εύρεση Εξίσωσης Κύκλου

Γενική ΜέθοδοςΓια να βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου αρκεί να βρούμε τις συντεταγμέ-νες του κέντρου και την ακτίνα του.

1η περίπτωση

Αν γνωρίζουμε το κέντρο 0 0K x ,y και την ακτίνα του ρ τότε η εξίσωση

του κύκλου είναι 2 2 2

0 0: x - x y - y ρc


Αν γνωρίζουμε το κέντρο 0 0K x ,y και ότι ο κύ-

κλος διέρχεται από ένα σημείο Α ΑΑ x ,y τότε εί-

ναι ρ ΚΑ . Άρα βρίσκουμε και την ακτίνα του.

Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το Κ(-1,3) και ακτίνα ρ=2


Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και διέρχεται από το σημείο Α(3,4)


x

y

O

A(xA,yA)

K(x0,y0)

3ο

Κεφάλαιο


Επιπλέον :

2 2

ρ ΟΑ 3 0 4 0 9 16 25 5

Άρα (1) 2 2x y 25

Λύση

Αφού ο κύκλος έχει κέντρο το Κ(-3,1) η εξίσωσή του θα είναι:

2 2 2: x 3 y -1 ρc (1)

Επιπλέον είναι

2 2

3 3 4 1 1 6 6ρ d Κ,ε

5253 4

Άρα (1) 2 2 36

x 3 y -125



κλος εφάπτεται σε γνωστή ευθεία (ε) τότε είναι

ρ d Κ,ε

• Αν ο κύκλος εφάπτεται στον x΄x τότε 0ρ y

• Αν ο κύκλος εφάπτεται στον y΄y τότε 0ρ x

• Αν ο κύκλος εφάπτεται και στους δύο άξονες

τότε 0 0ρ x y

Σε κάθε περίπτωση λοιπόν βρίσκουμε την ακτίνα του.

Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο Κ(-3,1) και εφάπτεται της

ευθείας ε : 3x 4y 1 0


x

y

O x0

K(x0,y0)y0

Αν Α(xA,yA) και Β(xB,yB) τότε η απόστασή τους είναι:

2 2

Β A B AΑΒ x -x + y -y

ε

ρ

Απόσταση σημείου Α(xA,yA)από ευθεία (ε): Αx+By+Γ=0:

Α Α

2 2

Α x Β y Γd Α,ε

Α B

Κύκλος


Λύση

Αφού ο κύκλος έχει κέντρο το Κ(2,3) η εξίσωσή του θα είναι:

2 2 2: x 2 y - 3 ρc (1)

Επιπλέον επειδή ο κύκλος εφάπτεται στον άξονα

x΄x έχουμε: Κρ y 3 3

Άρα (1) 2 2

x 2 y - 3 9

Λύση

Ο κύκλος έχει κέντρο το σημείο Κ(1,1)

και ακτίνα

2 22 + 2 - 4

ρ 12

Ας είναι (c΄) ο κύκλος του οποίου θέλουμε να βρούμε την εξίσωση.



κλος εφάπτεται σε έναν άλλο κύκλο (c΄) με γνω-

στό κέντρο 0 0Λ x ,y και ακτίνα ρ΄ τότε:

• Αν οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά είναι

ΚΛ =ρ+ρ

• Αν οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά είναι

ΚΛ = ρ-ρ

Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο Κ(2,3) και εφάπτεται στον άξονα x΄x.


Δίνεται ο κύκλος 2 2c : x y 2x 2y 1 0 και το σημείο του Α(2,1). Να

βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται του (c) εξωτερικά και έχει α-κτίνα διπλάσια της ακτίνας του (c).


K(x0,y0)

K(x0,y0)

Λ(x0΄,y0΄)

Λ(x0΄,y0΄)

Αν ο κύκλος έχει εξίσωση της μορφής x

2+y

2+Αx+By+Γ=0

τότε είναι Α Β

Κ - ,-2 2

και

2 2Α +Β - 4Γρ

2

x

y

x΄

y΄

ρ

K(2,3)

3ο

Κεφάλαιο


Για την ακτίνα του έχουμε: ρ 2ρ 2

Μένει λοιπόν να βρούμε το κέντρο Κ΄ του ζητούμενου κύκλου

Θεωρούμε ότι Κ΄(x0,y0)

Αφού οι (c) και (c΄) εφάπτονται εξωτερικά συμπεραίνουμε ότι το κέντρο Κ΄ του (c΄) θα ανήκει στην ευθεία ΚΑ.

Για την εξίσωση του ΚΑ έχουμε ΚΑ 1,0

οπότε ΚΑ : y 1

Έτσι λοιπόν είναι 0y 1 οπότε Κ΄(x0,1)

Επιπλέον είναι:

2 2

0

2

0 0

0 0

0 0

ΚΚ΄ =ρ+ρ x 1 1 1 3

x 1 3 x 1 3

x 1 3 x 4

x 1 3 x 2

Άρα είναι Κ1΄(4,1) ή Κ2΄(-2,1) οπότε οι ζητούμενοι κύκλοι είναι οι:

2 2

1 : x 4 y -1 4c και 2 2

2 : x 2 y -1 4c


Αν γνωρίζουμε ότι ο κύκλος εφάπτεται σε 2 ευ-θείες (ε1) και (ε2) τότε:

• Αν οι (ε1) και (ε2) τέμνονται, το κέντρο του κύκλου ανήκει στη διχοτόμο των (ε1) και (ε2)

• Αν οι (ε1) και (ε2) είναι παράλληλες, το κέ-ντρο του κύκλου ανήκει στη μεσοπαράλληλή τους.

Και για τις 2 περιπτώσεις ισχύει ότι

1 2ρ d Κ,ε d Κ,ε απ’ όπου και υπολογίζουμε

την ακτίνα του κύκλου.

K

(ε2)

(ε1)

(δ)

Κ

Κ1΄

Κ2΄

Αρρ΄

KΑ

(ε1)

(ε2)

(δ)

Κύκλος


Λύση

Ας είναι Κ(x0,y0) το κέντρο και ρ η ακτίνα του ζητούμενου κύκλου

Παρατηρούμε ότι 1 2ε / / ε

Αφού Κ ε με ε : x 1 έχουμε ότι 0x 1 άρα Κ(1,y0)

Είναι 0 01

2 y 3 5 yρ d Κ,ε

5 5

(1)

Επιπλέον 0 02

2 y 1 3 yρ d Κ,ε

5 5

(2)

Από (1) και (2) έχουμε 0 05 y 3 y

05 y

03 y

00 0

5 3 Αδύνατο

y 45 y 3 y

Άρα Κ(1,4) και από (1)5 4 1 5

ρ55 5

άρα

2 2 1: x 1 y - 4

5c

Λύση

Ας είναι Κ(x0,y0) το κέντρο και ρ η ακτίνα του κύκλου.

Αρχικά παρατηρούμε ότι 1 2ε ε αφού 1 2ε ελ λ 1

Βρίσκουμε το σημείο τομής των (ε1) και (ε2)

x y 2 0 12x 12 0 x 6

x y 14 0

και από (1) 8 y 0 y 8

Δίνονται οι ευθείες 1ε : x y 2 0 και 2ε : x y 14 0 . Να βρεθεί η

εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται των (ε1), (ε2) και διέρχεται από το ση-μείο Α(4,2).


Δίνονται οι ευθείες 1ε : 2x y 3 0 και 2ε : 2x y 1 0 . Να βρεθεί η

εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται των (ε1), (ε2) και έχει το κέντρο του στην ευθεία x=1.


K

(ε2)

(ε1)

(ε)

3ο

Κεφάλαιο


Έτσι λοιπόν οι (ε1) και (ε2) τέμνονται στο σημείο Β(6,8)

Ισχύει ότι 0 01

x y 2ρ d Κ,ε

2

(1)

Επιπλέον 0 02

x y 14ρ d Κ,ε

2

(2)

Από (1) και (2) έχουμε: 0 0 0 00 0 0 0

x y 2 x y 14x y 2 x y 14

2 2

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

x y 2 x y 14 2y 16 y 8

ή ή ή

x y 2 x y 14 2x 12 x 6

Όπως παρατηρούμε στο διπλανό σχήμα η ΒΚ είναι διχοτόμος της ΘΒΛ οπότε το τρίγωνο ΒΘΚ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Από πυθαγόρειο θεώρημα στο ΒΘΚ έχουμε:

2 2 2 2 22 2

0 0ΒΘ ΘΚ ΒΚ ρ ρ x 6 y 8

2 22

0 02ρ x 6 y 8 (3)

Επιπλέον 2 2 2 22

0 0 0 0ρ ΑΚ ρ x 4 y 2 ρ x 4 y 2

3

2 220 02ρ 2 x 4 2 y 2

2 2 2 2

0 0 0 0x 6 y 8 2 x 4 2 y 2

2 2 2 20 0 0 0 0 0 0 0x 12x 36 y 16y 64 2x 16x 32 2y 8y 8

2 20 0 0 0x y 4x 8y 60 0 (4)

Για 0y 8 η (4) 2 20 0 0 0x 64 4x 64 60 0 x 4x 68 0

Δ 16 272 256 0 άρα η εξίσωση είναι αδύνατη

Για 0x 6 η (4) 2 20 0 0 036 y 24 8y 60 0 y 8y 48 0

Δ 64 192 256 0 άρα

0

4 Κ 6,48 16y

2 12 Κ 6, 12

KΒ

(ε2)

ρ

ΑΘ

Λρ

ρ

(ε1)

1 1

Κύκλος


Για Κ 6,4 από

(3) 2 22 2 22ρ 6 6 4 8 2ρ 16 ρ 8

Άρα 2 2

1 : x 6 y - 4 8c

Για Κ 6, 12 από

(3)

2 22 2 22ρ 6 6 12 8 2ρ 400 ρ 200

Άρα 2 2

2 : x 6 y 12 200c

Λύση

Α΄ τρόπος

Θεωρούμε ότι ο κύκλος έχει εξίσωση της μορφής:

2 2c : x y Ax By Γ 0


Αν ο κύκλος διέρχεται από τρία γνωστά σημεία

Α ΑΑ x ,y , Β ΒΒ x ,y , Γ ΓΓ x ,y (δηλαδή είναι περι-

γεγραμμένος στο τρίγωνο ΑΒΓ) τότε:

Α΄τρόπος

Θεωρούμε ότι η εξίσωσή του είναι της μορφής 2 2x y Ax By Γ 0

και επειδή τα σημεία Α, Β, Γ ανήκουν στον κύκλο, οι συντεταγμένες τους θα επαληθεύουν την εξίσωσή του.

Έτσι δημιουργούμε ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώ-στους (τους Α, Β, Γ) το οποίο και επιλύουμε.

Β΄ τρόπος

Βρίσκουμε το κέντρο Κ του κύκλου παρατηρώντας ότι είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των χορδών ΑΒ και ΑΓ ενώ για την ακτίνα

του έχουμε ότι ρ ΚΑ ή ρ ΚΒ ή ρ ΚΓ

Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Μ(0,0), Κ(2,0) και Λ(3,1).


K

Α

Β

Γ

3ο

Κεφάλαιο


Μ c Γ 0

Γ 0

Κ c : 4 2A Γ 0 4 2A 0 A 2

Γ 0

Α 2Λ c : 9 1 3A Β Γ 0 10 6 Β 0 Β 4

Άρα η εξίσωση του είναι: 2 2c : x y 2x 4y 0 (*)

Β΄ τρόπος

Ας είναι Ν το κέντρο του κύκλου και ρ η ακτίνα του.

Το Ν θα είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των χορδών (ΚΜ), (ΚΛ).

Άρα πρέπει να βρούμε τις εξισώσεις των μεσοκαθέ-των των χορδών (ΚΜ), (ΚΛ) και κατόπιν επιλύοντας το σύστημα των εξισώσεών τους να βρούμε τις συντεταγμένες του κέντρου Ν του κύκλου μας.

Εύρεση εξίσωσης μεσοκαθέτου της ΚΜ

Έστω Η το μέσο της ΚΜ με K M K Mx x y yΗ ,

2 2

δηλαδή Η(1,0)

Παρατηρούμε ότι ΚΜ 2,0

άρα ΚΜ

λ 0 ΚΜ / /x x΄

οπότε ΝΞ x x΄

Άρα για την εξίσωσή της έχουμε ΝΞ : x 1 (1)

Εύρεση εξίσωσης μεσοκαθέτου της ΚΜ

Έστω Θ το μέσο της ΚΛ με K Λ K Λx x y yΘ ,

2 2

δηλαδή 5 1

Θ ,2 2

Παρατηρούμε ότι ΚΛ 1,1

άρα ΚΜ

λ 1 . Όμως ΝΘ ΚΛ άρα ΝΘλ 1

Έτσι λοιπόν για την εξίσωσή της έχουμε

Θ ΝΘ Θ

1 5ΝΘ : y - y λ x x y - -1 x y -x 3

2 2

(2)

Από (1) και (2) έχουμε y 2 άρα Ν(1,2) οπότε 2 2ρ ΝΜ 1 2 5

Άρα η εξίσωση του είναι: 2 2

c : x -1 y - 2 5 (**)

Προφανώς οι (*) και (**) είναι ισοδύναμες εξισώσεις

Κ

Μ

Λ

Ν

Η

Θ

Κύκλος


Λύση

Θεωρούμε Κ(x0,y0) το κέντρο του κύκλου.

Αφού το Κ ανήκει στην ευθεία (ε) έχουμε ότι:

0 0 0 02x y 1 0 y 2x 1 (1)

Άρα είναι 0 0K x , 2x 1

Επιπλέον το κέντρο παρατηρούμε ότι ανήκει στη μεσοκάθετο της χορδής ΑΒ.

Βρίσκουμε την εξίσωση της μεσοκαθέτου της χορδής ΑΒ

Έστω Θ το μέσο της ΑΒ με Α Β Α Βx x y yΘ ,

2 2

δηλαδή 1

Θ 1,2

Παρατηρούμε ότι ΑΒ 4, 3

άρα ΑΒ

3λ

4 . Όμως ΚΘ ΑΒ άρα ΚΘ

4λ

3

Έτσι λοιπόν για την εξίσωσή της έχουμε

Θ ΚΘ Θ

1 4ΚΘ : y - y λ x x y - x 1

2 3

4 4 1 4 5y x y x

3 3 2 3 6

Αφού 0 0 0 0

4 5Κ ΚΘ -2x -1 x -12x - 6 8x - 5

3 6

0 0

1-20x 1 x -

20

(1) 0 0

1 9y 1 y

10 10 άρα είναι

1 9K - ,-

20 10

Για την ακτίνα του κύκλου έχουμε ότι 2 2

1 9 149ρ ΚΑ 1 2

20 10 4

Άρα ο κύκλος έχει εξίσωση: 2 2

1 9 149c : x y

10 10 16

Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει το κέντρο του στην ευθεία (ε):2x+y+1=0 και διέρχεται από τα σημεία Α(-1,2) και Β(3,-1).


Αφού μας δίνονται δύο σημεία από τα οποία διέρχεται ο κύκλος εκμε-ταλλευόμαστε ότι το κέντρο του κύκλου ανή-κει στη μεσοκάθετο της χορδής που ορίζουν τα σημεία αυτά.

Β

ΘΚ

Α(ε)

3ο

Κεφάλαιο


Λύση

Ας είναι Κ(x0,y0) το κέντρο του ζητούμενου κύκλου και ρ η ακτίνα του.

Ισχύει ότι: 0 01

3x 2y 1ρ d Κ,ε

13

(1)

0 02

2x 3y 5ρ d Κ,ε

13

(2) και 0 0

3

2x 3y 1ρ d Κ,ε

13

(3)


0 0 0 00 0 0 0

3x 2y 1 2x 3y 53x 2y 1 2x 3y 5

13 13

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

3x 2y 1 2x 3y 5 x 5y 6 (4)

3x 2y 1 2x 3y 5 y 5x 4 (5)


Αν ο κύκλος εφάπτεται σε τρεις γνωστές ευθείες ε1 , ε2 , ε3 (δηλαδή είναι εγγεγραμ-μένος στο τρίγωνο που ορίζουν οι ευθείες αυτές) τότε βρίσκουμε το κέντρο του πα-ρατηρώντας ότι είναι το σημείο που ισαπέ-χει από αυτές.

Για την ακτίνα του έχουμε ότι 1ρ d Κ,ε ή

2ρ d Κ,ε ή 3ρ d Κ,ε

Προσοχή

Σε 3 ευθείες ε1 , ε2 , ε3 έχουμε γενικά 4 κύκλους που εφάπτονται σε αυτές. Έναν τον εγγεγραμμένο στο τρίγωνο που αυτές ορίζουν και τρεις παρεγγεγραμμένους.

Θέλει λοιπόν προσοχή στο να αποφανθούμε ποιος από όλους είναι ο εγγεγραμμένος.

Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται των ευθειών

1ε : 3x 2y 1 0 , 2ε : 2x 3y 5 0 , 3ε : 2x 3y 1 0


(ε1) (ε2)

(ε3)

Α

Γ

Β

Κύκλος



0 0 0 00 0 0 0

2x 3y 5 2x 3y 12x 3y 5 2x 3y 1

13 13

00 0 0 0 0

0 0 0 0 00

2y (6)

2x 3y 5 2x 3y 1 6y 4 32x 3y 5 2x 3y 1 4x 6 3

x (7)2

Έχουμε τις παρακάτω περιπτώσεις λοιπόν

Αν 0

2y

3 τότε (4) 0 0

2 8x 5 6 x

3 3 άρα το κέντρο του είναι

8 2Κ ,

3 3

ενώ η ακτίνα του είναι 1

8 2 43 2 1 7

253 3 3ρ d Κ,ε

13 13 3 13

Η εξίσωσή του είναι 22 2

1

8 2 25c : x - y -

3 3 3 13

Αν 0

2y

3 τότε (5) 0 0

2 25x 4 x


2 2Κ - ,

3 3


2 2 43 2 1 3

3 3 53ρ d Κ,ε

13 13 3 13


2

2 2 5c : x y -

3 3 3 13

Αν 0

3x

2 τότε (4) 0 0

3 3- -5 y 6 y


3 3Κ ,

2 2


3 3 93 - 2 -1 2-

2 2 52ρ d Κ,ε

13 13 2 13


3

3 3 5c : x y -

2 2 2 13

3ο

Κεφάλαιο


Αν 0

3x -

2 τότε (5) 0 0

3 7y 5 - 4 y -

2 2

άρα το κέντρο του είναι

3 7Κ - ,-

2 2


3 73 - 2 - -1

2 2 25ρ d Κ,ε

13 2 13


3

3 7 25c : x y

2 2 2 13

Λύση

Αφού ο κύκλος έχει διάμετρο ΑΒ το κέντρο του Κ(x0,y0) θα είναι το μέσο του ΑΒ.


A B0 0

0

A B 00 0

x x -2 4x x

x 12 2y y 3 1 y 2

y y2 2

άρα Κ(1,2)

Επιπλέον είναι

2 24 2 3 1ΑΒ 36 4 40

ρ 102 2 2 2

Άρα η εξίσωση του κύκλου είναι:

2 2

c : x 1 y 2 10


Αν μας δίνεται ότι ο κύκλος έχει διάμετρο ΑΒ με γνωστά άκρα τότε το

κέντρο του 0 0K x ,y είναι το μέσο του ΑΒ οπότε είναι

A B0

A B0

x xx

2y y

y2

Για την ακτίνα του έχουμε ότι

ΑΒ

ρ ΚΑ ΚΒ2

Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο το ΑΒ με Α(-2,1) και Β(4,3).


Κύκλος


Λύση

Γνωρίζουμε το κέντρο του κύκλου άρα αρκεί να βρούμε την ακτίνα του.

Φέρνουμε το απόστημα ΚΜ της χορδής ΑΒ.

Το Μ είναι μέσο του ΑΒ άρα ΒΜ 4

Επιπλέον είναι ΚΜ ΑΒ

Αρχικά υπολογίζουμε το μήκος του ΚΜ

2 2

3 3 4 2 2 15(ΚΜ) d Κ,ε 3

53 4

Έπειτα παρατηρούμε ότι το τρίγωνο ΚΜΒ είναι ορθογώνιο οπότε από πυ-θαγόρειο θεώρημα σε αυτό προκύπτει ότι:

2 2 2 2 2 2ΚΜ ΒΜ ΒΚ 4 3 ρ ρ 5

Η εξίσωση λοιπόν του κύκλου είναι 2 2

c : x 3 y 2 25

Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Κ(3,-2) και απο-

κόπτει από την ευθεία ε : 3x 4y 2 0 χορδή με μήκος 8.


Εύρεση Εξίσωσης Εφαπτομένης Κύκλου

με Γνωστό το Σημείο Επαφής

Για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης ενός κύκλου αν γνωρί-ζουμε τις συντεταγμένες του σημείου επαφής έχουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:

Αν ο κύκλος έχει εξίσωση 2 2 2x y ρ η εφαπτομένη του στο ση-

μείο 1 1Α x ,y έχει τύπο 21 1xx yy ρ

Αν ο κύκλος έχει κέντρο 0 0K x ,y δηλαδή

η εξίσωσή του είναι της μορφής

2 2 2

0 0x - x y - y ρ για να βρούμε την

εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο του

1 1Α x ,y θεωρούμε τυχαίο σημείο Μ(x,y)

της Αε και έχουμε:

ΚΑ ΑΜ ΚΑ ΑΜ 0

και προχωράμε με προφανείς πράξεις

x

y

O

K(x0,y0)

(ε)

Α(x1,y1)

Μ(x,y)

Α

Κ

ΒΜ

3ο

Κεφάλαιο


Λύση

Για την εφαπτομένη στο Α(-3,4) έχουμε:

2Α Α Α

3 25ε : xx yy ρ 3x 4y 25 4y 3x 25 y x

4 4

Το αντιδιαμετρικό του σημείου Α είναι το συμμετρικό του σημείο ως προς την αρχή των αξόνων. Ως γνωστό δύο ση-μεία που είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων έχουν αντίθετες τετμημένες και αντίθετες τεταγμένες. Έτσι λοιπόν αν ονομάσουμε Α΄ το συμμετρικό του Α τότε θα είναι Α΄(3,-4) και η εφαπτομένη του κύκλου στο Α΄ θα έχει εξίσωση:

2Α' Α΄ Α΄

3 25ε : xx yy ρ 3x 4y 25 4y 3x 25 y x

4 4

Λύση

Το κέντρο του κύκλου είναι το σημείο Κ(-1,2) και η ακτίνα του είναι ρ 5

Φέρνουμε την εφαπτόμενη του κύκλου στο σημείο Α αυτού

Θεωρούμε τυχαίο σημείο Μ(x,y) που ανήκει στην (εΑ)


ΑΜ x-1,y-1

και ΑΚ 2,-1

ΑΜ ΑΚ 0 2 x-1 y-1 0

2x 2 y 1 0

2x 1 y 0 y 2x 1

Να βρεθεί η εφαπτομένη του κύκλου 2 2x y 25 στο Α(-3,4) και στο αντι-

διαμετρικό του.


Να βρεθεί η εφαπτομένη του κύκλου 2 2

x 1 y - 2 5 στο Α(1,1)


Ο

Α

Α΄εΑεΑ΄

εΑ

ΑΚ

Κύκλος


Λύση

Αρχικά παρατηρούμε ότι το σημείο Β(5,3) δεν ανήκει στον κύκλο άρα το Β δεν είναι το σημείο επαφής.

Ο κύκλος μας έχει κέντρο το σημείο Κ(0,0) και ακτίνα ρ 3

Αφού η εφαπτομένη του κύκλου διέρχεται από το σημείο Β(5,3) η εξίσωση της θα είναι της μορφής:

Εύρεση Εξίσωσης Εφαπτομένης Κύκλου

με Άγνωστο το Σημείο Επαφής

Για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης ενός κύκλου και δε γνωρίζουμε το σημείο επαφής αλλά γνωρίζουμε ένα σημείο Α(x0,y0) από το οποίο διέρχεται θεωρούμε ότι έχει εξίσωση της

μορφής 0 0y - y λ x - x και βρίσκουμε το λ από κατάλληλο δε-

δομένο. Πάντα στο τέλος ελέγχουμε αν η κατακόρυφη ευθεία αποτελεί λύση του προβλήματος.

Επίσης αν η εφαπτομένη

Είναι παράλληλη σε γνωστή ευθεία (ε1)

Είναι κάθετη σε γνωστή ευθεία (ε2)

Σχηματίζει γνωστή γωνία ω με τον x΄x

τότε θεωρούμε ότι η εφαπτομένη έχει εξίσωση της μορφής

y λx β

Ο συντελεστής διεύθυνσης βρίσκεται με ένα από τα παραπάνω δεδομέναΤο β βρίσκεται

• Είτε απαιτώντας d K,ε ρ

• Είτε απαιτώντας το σύστημα των εξισώσεων της εφα-πτομένης και του κύκλου να έχει μοναδική λύση (δηλα-δή Δ=0).

Δίνεται ο κύκλος 2 2: x y 9c και το σημείο Β(5,3). Να βρείτε την εξίσω-

ση της εφαπτομένης του κύκλου (c) που διέρχεται από το σημείο Β.


Β

Κ

εΒ

ρ

3ο

Κεφάλαιο


Β Β Βε : y - y λ x - x y - 3 λ x - 5 y - 3 λx - 5λ λx - y - 5λ 3=0


2

22 2Β 2

5λ 3ρ d Κ,ε 3 3 5λ 3 λ 1 3 5λ 3 λ 1

λ 1

2 2 2 2 23 5λ 9λ 9 9 30λ+25λ 9λ 9 16λ 30λ 0

λ 0

λ 0 λ 02λ 8λ 15 0 15

8λ 15 0 8λ 15 λ8


Για λ 0 η (1) -y 3=0 y 3 άρα Βε : y 3

Για 15

λ8

η (1)15 25 15 1

x - y - 3=0 y x -8 8 8 8

άρα Β

15 1ε : y x -

8 8

Τέλος ελέγχουμε αν η κατακόρυφη ευθεία που διέρχεται από το σημείο Β αποτε-λεί λύση του προβλήματος παρατηρώντας αν η απόστασή της από το κέντρο του κύκλου ισούται με την ακτίνα του κύκλου.

Η κατακόρυφη ευθεία που διέρχεται από το Β είναι η ε : x 5

Είναι d Κ,ε 5 1 ρ άρα η (ε) δεν αποτελεί εφαπτομένη του κύκλου.

Λύση

Ο κύκλος μας έχει κέντρο το σημείο Α Β

Κ ,2 2

ή Κ 1, 2 και

ακτίνα 2 2Α +Β - 4Γ 4+16 20

ρ 52 2 2

Η δοθείσα ευθεία ε : x - 2y+3 0 έχει συντελεστή διεύθυνσης ε

1λ

2

Αφού η εφαπτομένη του κύκλου είναι κάθετη στην ευθεία (ε) ο συντελεστής

διεύθυνσής της λ θα είναι αντιθετοαντίστροφος του ελ άρα λ -2

Δίνεται ο κύκλος 2 2: x y 2x 4y 0c και η ευθεία ε : x 2y 3 0 .

Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου που είναι κάθετη στην (ε).


Κύκλος


Έστω ότι η εφαπτομένη έχει εξίσωση

1ε : y λx+β y -2x+β 2x+y -β 0


1

2 2 β βρ d Κ,ε 5 5

4 1 5

β 5β 5

β -5

Άρα 1ε : y -2x+5 ή 2ε : y -2x-5

Σχετικές Θέσεις

Σχετική θέση σημείου Α ως προς κύκλο (c)

Έστω κύκλος (c) με κέντρο Κ, ακτίνα ρ και ένα σημείο A AΑ x ,y

Αν ΚΑ ρ τότε το Α c

Αν ΚΑ ρ τότε το Α είναι εσωτερικό

σημείο του κύκλου

Αν ΚΑ ρ τότε το Α είναι εξωτερικό

σημείο του κύκλουΣε κάθε περίπτωση λοιπόν για να βρούμε τη σχετική θέση ενός ση-μείου και ενός κύκλου βρίσκουμε την απόσταση του σημείου από το κέντρο του κύκλου και τη συγκρίνουμε με την ακτίνα.

Σχετική θέση ευθείας (ε) ως προς κύκλο (c)

Έστω κύκλος (c) με κέντρο Κ, ακτίνα ρ και ευθεία (ε)

• Αν d Κ,ε ρ τότε η (ε) εφάπτεται στον

κύκλο

• Αν d Κ,ε ρ τότε η (ε) δεν έχει κοινά ση-

μεία με τον κύκλο

• Αν d Κ,ε ρ τότε η (ε) τέμνει τον κύκλο

σε δύο σημείαΣε κάθε περίπτωση λοιπόν για να βρούμε τη σχετική θέση μιας ευ-θείας με έναν κύκλο βρίσκουμε την απόσταση του κέντρου του κύ-κλου από την ευθεία και τη συγκρίνουμε την ακτίνα του κύκλου.

Κ

ε

ρε1

ε2

Α2

K

Α1

Α3

K

Α1

ε1

ε3

ε2

Α3

Α2

3ο

Κεφάλαιο


Σχετική θέση δύο κύκλων (c1) και (c2)

Έστω κύκλος (c1) με κέντρο Κ1, ακτίνα ρ1 και κύκλος (c2) με κέντρο

Κ2, ακτίνα ρ2 με 1 2ρ ρ

• Αν 1 2 1 2Κ Κ ρ ρ τότε οι κύκλοι εφάπτο-

νται εξωτερικά δηλαδή έχουν ένα κοινό σημείο.

• Αν 1 2 1 2Κ Κ ρ ρ τότε οι κύκλοι εφάπτο-

νται εσωτερικά δηλαδή έχουν ένα κοινό σημείο.

• Αν 1 2 1 2Κ Κ ρ ρ τότε ο (c2) εξωτερικός

του (c1) δηλαδή δεν έχουν κοινά σημεία.

• Αν 1 2 1 2Κ Κ ρ ρ τότε ο (c2) εσωτερικός

του (c1) δηλαδή δεν έχουν κοινά σημεία.

• Αν 1 2 1 2 1 2ρ ρ Κ Κ ρ ρ τότε (c2) και

(c1) τέμνονται δηλαδή έχουν δύο κοινά σημεία.

Συνοπτικά για τη σχετική θέση των δύο κύκλων έχουμε τον παρα-κάτω πίνακα

Κ1Κ2 0 1 2ρ ρ 1 2ρ ρ

Σχ. Θέσεις(c1) και (c2)

(c2) εντός (c1) τέμνονται (c2) εκτός (c1)ο (c2) εφ. εσ.του (c1)

εφάπτονταιεξωτερικά

ρ1 > ρ2

Δίνεται ο κύκλος 2 2: x y 8x 12 0c και οι ευθείες

1ε : x 2y 6 0 , 2ε : x y 0 , 3ε : x 3y 0 . Να βρεθεί η θέση

κάθε ευθείας σχετικά με τον κύκλο.


K1 K2

ρ1 ρ2

K1 K2

ρ1-ρ2

ρ1 ρ2K1 K2

K1

K2

K1 K2

Α

Κύκλος


Λύση

Ο κύκλος μας έχει κέντρο το σημείο Κ(4,0) και

ακτίνα2 2Α +Β - 4Γ 64-48 16

ρ 22 2 2


1 2

4 6 2 2 5d Κ,ε = = = ρ

552 1

άρα η (ε1) τέμνει τον κύκλο

2

4 4 4 2d Κ,ε 2 2 ρ

21 1 2

άρα η (ε2) δεν έχει κοινά σημεία

με τον κύκλο

3

4 4d Κ,ε 2 ρ

21 3

άρα η (ε3) εφάπτεται του κύκλου

Λύση

α) Ο κύκλος (c1) έχει κέντρο το σημείο Κ1(0,0) και ακτίνα ρ1=1

Ο κύκλος (c2) έχει κέντρο το σημείο Κ2(3,4) και ακτίνα ρ2=4

2 2

1 2 1 2Κ Κ 3 0 4 0 9 16 25 5 ρ ρ

Άρα οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά.

β) Για να βρούμε το κοινό σημείο των δύο κύκλων λύνουμε το σύστημα των εξι-σώσεων τους.

2 2 2 22 2

2 2 2 2 2 2

x +y 1 x +y 1 1x +y 1

x - 6x+9+y - 8y+16 16x - 3 + y - 4 16 x +y - 6x - 8y -9

Με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει:

Δίνονται οι κύκλοι 2 21c : x y 1 και

2 2

2c : x - 3 y - 4 16 .

α) Να δείξετε ότι οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά.

β) Να βρεθεί το κοινό τους σημείο

γ) Να βρεθούν οι εξισώσεις των κοινών τους εφαπτομένων.


K

ε2

ε1

ε3

Για να δείξουμε ότι οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά αρκεί να δείξουμε ότι η διάκε-ντρος ισούται με το άθροισμα των ακτι-νών τους

3ο

Κεφάλαιο


3 56x 8y 10 8y -6x 10 y - x

4 4 (2)

Από την (1) με τη βοήθεια της (2) έχουμε:2

2 2 2 2 23 5 9 30 25x + - x 1 x + x x 1 16x +9x 30x 25 16

4 4 16 16 16

22 3

25x 30x 9 0 5x 3 0 5x 3 0 x5

Για3

x5

η (2)3 3 5 9 5 16 4

y - y - y y4 5 4 20 4 20 5

Άρα3 4

A ,5 5

το κοινό σημείο των δύο κύκλων

γ) Αφού οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά θα έχουν μια κοινή εσωτερική εφαπτομένη και δύο κοινές εξωτερικές εφαπτο-μένες.

Αρχικά αναζητούμε την κοινή εσωτερική εφαπτομένη

Η εφαπτομένη του (c1) στο σημείο Α έχει εξίσωση:

2A 1

3 4ε : xx yy ρ x y 1 3x 4y 5

5 5A A

3 54y -3x 5 y - x

4 4

Κατόπιν αναζητούμε τις κοινές εξωτερικές εφαπτομένες

Ας είναι 1ε : y αx β αx - y β 0 η εξίσωση της

μιας κοινής εξωτερικής εφαπτομένης των δύο κύκλων

Είναι 21 1 1 2

βd Κ ,ε ρ 1 β α +1

α +1 (3)

Επιπλέον 3

2 1 2 2

3α-4+β 3α-4+βd Κ ,ε ρ 4 4 3α-4+β 4 β

βα 1

4β α-

3α-4+β 4β 3α-4 3β 3

3α-4+β 4β 3α-4 -5β 3α 4β - +

5 5

Αν δύο κύκλοι εφά-πτονται εξωτερικά τότε έχουν τρεις κοι-νές εφαπτομένες

Αν δύο κύκλοι εφά-πτονται εσωτερικά τότε έχουν μια κοινή εφαπτομένη.

Αν δύο κύκλοι τέμνο-νται τότε έχουν δύο κοινές εφαπτομένες.

Αν ένας κύκλος είναι εξωτερικός ενός άλ-λου τότε οι κύκλοι έ-χουν τέσσερις κοινές εφαπτομένες.

Αν ένας κύκλος είναι εσωτερικός ενός άλ-λου τότε δεν έχουν κοινές εφαπτομένες.

Κύκλος


Για 4

β α-3

η

(3) 2 2 24 3α-4α- α +1 α +1 3α-4 3 α +1

3 3

2 2 2 23α-4 9α +9 9α -24α 16 9α +9

7-24α -7 α

24

Οπότε 7 4 7 32 25

β - β - β -24 3 24 24 24

Άρα 1

7 25ε : y x

24 24

Για 3α 4

β - +5 5

η

(3) 2 2 23α 4 -3α+4- + α +1 α +1 3α-4 5 α +1

5 5 5

2 2 2 23α-4 25α +25 9α -24α 16 25α +25

22 3

16α +24α+9 0 4α+3 0 4α+3 0 α -4

Οπότε 3 3 4 9 4 25 5

β - - + β + β β5 4 5 20 5 20 4

Άρα Α

3 5ε : y x

4 4 την οποία είχαμε βρει και παραπάνω.

Η τρίτη κοινή εφαπτομένη των δύο κύκλων θα είναι η κατακόρυ-

φη ευθεία 3ε : x 1

3ο

Κεφάλαιο


Μέγιστες και Ελάχιστες Αποστάσεις

Σημείο και ΚύκλοςΈστω κύκλος (c) με κέντρο Κ, ακτίνα ρ και Α ένα σημείο που δεν α-νήκει στον κύκλο

• Η ελάχιστη απόσταση που απέχει το ση-μείο Α από ένα σημείο του (c) είναι:

mind AM AK MK AK ρ

• Η μέγιστη απόσταση που απέχει το ση-μείο Α από ένα σημείο του (c) είναι:

maxd AΝ AK KΝ AK ρ

Ευθεία και ΚύκλοςΈστω κύκλος (c) με κέντρο Κ, ακτίνα ρ και (ε) μια ευθεία που δεν τέμνει τον κύκλο.

• Η ελάχιστη απόσταση που απέχει ένα σημείο του (c) από την (ε) είναι:

mind MA AK KM d K,ε ρ

• Η μέγιστη απόσταση που απέχει ένα ση-μείο του (c) από την (ε) είναι:

maxd NA NK KA d K,ε ρ

Δύο κύκλοιΈστω κύκλος (c1) με κέντρο Κ, ακτίνα ρ1 και κύκλος (c2) με κέντρο Λ, ακτίνα ρ2, οι οποίοι ο ένας είναι εξωτερικός του άλλου.

• Η ελάχιστη απόσταση που απέχει ένα σημείο του (c1) από ένα σημείο του (c2)είναι:

mind BΓ ΚΛ KΒ ΛΓ

1 2ΚΛ ρ ρ

• Η μέγιστη απόσταση που απέχει ένα ση-μείο του C από την (ε) είναι:

maxd ΑΔ ΚΛ ΚΑ ΛΔ

1 2ΚΛ ρ ρ

Δύο σημεία του ίδιου κύκλουΈστω κύκλος (c) με κέντρο Κ και ακτίνα ρ. Η μέγιστη απόσταση που απέχουν δύο σημεία

του (c) είναι: maxd ΑΒ 2ρ

K

K

ρ

Ν

Α

Μ ρ

cd

M

N

Α

d cρ

ρ

K

N

M

d

ρ

ρ

Α

ε

Α

Δ

Β

Κ

Λ

Γd

ρ1

ρ2

ρ2

ρ1

Α ΒΚρ ρ

d

Κύκλος


Λύση

2 2 2 2 1 4316x 16y 48x - 8y - 43 0 x y 3x - y - 0

2 16

Άρα ο κύκλος μας έχει κέντρο το σημείο 3 1

K - ,2 4

και ακτίνα

1 43 1 439 -4 - 94 16 9 11 204 4ρ 5

2 2 2 2

Φέρνουμε την ευθεία (ζ) κάθετη από το κέντρο του κύκλου στην ευθεία (ε).

Από το διπλανό σχήμα γίνεται κατανοητό ότι:

min

3 18 - 4 73

12 1 732 4d d K,ε

64 16 80

60 6 80 12 5

8 480

Να βρείτε το μικρότερη απόσταση του κύκλου

2 216x 16y 48x 8y 43 0 από την ευθεία ε : 8x 4y 73 0 .


Κοινή Χορδή δύο Τεμνόμενων Κύκλων

Έστω 2 21 1 1 1c : x y A x B y Γ 0 και 2 2

2 2 2 2c : x y A x B y Γ 0

δύο τεμνόμενοι κύκλοι. Για να βρούμε την εξίσωση της κοινής χορδής τους ακολουθούμε την εξής μέθοδο.

Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων των 1c και

2c βρίσκοντας τα κοινά τους σημεία Α και Β.

Τότε εύκολα βρίσκουμε την εξίσωση της ΑΒ αφού γνωρίζουμε τις συντεταγμένες δύο σημείων από τα οποία αυτή διέρχεται.

Α

Β

ζ

εΚ

Α

ΘΑ

3ο

Κεφάλαιο


Λύση

Για να τέμνονται οι κύκλοι πρέπει η διάκεντρος να είναι μικρότερη από το άθροισμα των ακτινών τους και μεγαλύτερη τιμή από τη διαφορά των ακτινών τους.

O κύκλος (c1) έχει κέντρο το Κ1(κ,0) και ακτίνα ρ1=1ενώ ο κύκλος (c2) έχει κέντρο το Κ2(1,0) και ακτίνα ρ2=2.

Είναι 2

1 2Κ Κ κ 1 κ 1

Πρέπει 2 1 1 2 1 2ρ ρ Κ Κ ρ ρ 1 κ 1 3

κ 1 1 κ 1 1 ή κ 1 1

3 κ 1 3κ 1 3

κ 2 ή κ 0

κ -2,0 2,42 κ 4

Επιπλέον αφού θέλουμε ο κ να είναι ακέραιος αρνητικός αριθμός, εύκολα γίνεται αντι-ληπτό ότι η μοναδική τιμή του κ που γίνεται δεκτή είναι η κ = -1.

Για να βρούμε την εξίσωση της κοινής χορδής των δύο κύκλων αρχικά βρίσκουμε τα κοινά τους σημεία.

2 2

2 2 2 2

2 2

x 1 y 4 1x 1 x 1 3 x - 2x 1 x 2x 1 3

x 1 y 1

34x 3 x

4

Από την σχέση (1) έχουμε 2 2

2 2 23 7 491 y 4 y 4 y 4

4 4 16

2 2y 15

49 y 64 y 15y 15

Δίνονται οι κύκλοι 2 2

1c : x -κ y 1 και 2 2

2c : x -1 y 4 με

κℝ - 1 . Να βρεθεί για ποιες τιμές του κ οι κύκλοι τέμνονται και να βρε-

θεί η εξίσωση της κοινής χορδής τους.


K2

x

y

OK1

Α

Β

Κύκλος


Τα σημεία τομής λοιπόν των δύο κύκλων είναι τα

3Α , 15

4

και 3

Β , 154

Παρατηρούμε ότι ΑΒ 0, 2 15

άρα η χορδή ΑΒ είναι κατακόρυφη οπότε η

εξίσωσή της θα είναι η 3

x4

Λύση

Ας είναι Β(x2,y2) και Γ(x3,y3) τα σημεία επαφής

Οι εφαπτόμενες του (c) στα σημεία Β και Γ έχουν εξισώσεις:

21 2 2ε : xx yy ρ και 2

2 3 3ε : xx yy ρ


Οι ευθείες (ε1) και (ε2) διέρχονται από το σημείο Α(x1,y1) αν και μόνο αν

21 12 2x yx y ρ και 1 3

21 3x y y ρx

Παρατηρούμε ότι η εξίσωση της ευθείας 21 1x y ρx y επαληθεύεται από τα ση-

μεία Β και Γ άρα αυτή θα είναι και η εξίσωση της χορδής ΒΓ.

Παραμετρική Εξίσωση Κύκλου

Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια παραμετρική εξίσωση (cλ) παριστάνει κύκλο ακολουθούμε τα εξής βήματα:

• Τη φέρνουμε στη μορφή 2 2x y Ax By Γ 0

• Δείχνουμε ότι 2 2A B 4Γ 0 για κάθε λℝ

Δίνεται κύκλος 2 2 2c : x y ρ και το σημείο 1 1Α x ,y εκτός του κύ-

κλου. Από το Α φέρνουμε τις εφαπτομένες ΑΒ και ΑΓ στον κύκλο. Να δει-

χθεί ότι η εξίσωση της χορδής ΒΓ είναι 21 1xx yy ρ .

***Η χορδή ΒΓ ονομάζεται πολική του κύκλου


Α

Β

Γ

Ο

3ο

Κεφάλαιο


Λύσηα) Αρχικά μετασχηματίζουμε τη δοθείσα εξίσωση ώστε να τη φέρουμε στη μορ-

φή:2 2x y Ax By Γ 0


2 2 2 2κc : x y x 1 κ x y 0 x y x 1 κx κy 0

2 2

ΓΒΑ

x y κ 1 x κy 1 0

2 22 2Α +Β -4Γ κ 1 κ 4 1

2 2 2κ 2κ 1 κ 4 2κ 2κ 5

Είναι 2Δ 2 -4 2 5 -36 0 άρα 22κ 2κ 5 0

Δίνεται η εξίσωση 2 2κc : x y x 1 κ x y 0 (1), κℝ

α) Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού κ.

β) Δείξτε ότι όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την (1) διέρχονται από δύο σταθερά σημεία.

γ) Να βρείτε την εξίσωση της κοινής χορδής όλων των κύκλων που ορίζο-νται από την (1).


Οικογένεια Κύκλων από Σταθερό Σημείο

Αν μας δίνεται μια παραμετρική εξίσωση κύκλου και θέλουμε να αποδεί-ξουμε ότι όλοι οι κύκλοι που σχηματίζονται, για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου, διέρχονται από το ίδιο (ή από σταθερό σημείο) τότε ακο-λουθούμε τα εξής βήματα:Δίνουμε δύο τυχαίες τιμές στην παράμετρο και βρίσκουμε δύο κύκλους που ανήκουν στην αρχική οικογένεια κύκλων. Δηλαδή

Βρίσκουμε δύο «εκπροσώπους» της αρχικής οικογένειας.

Βρίσκουμε τα σημεία τομής των «εκπροσώπων»

Εξετάζουμε αν οι συντεταγμένες των σημείων τομής των «εκπροσώ-πων» επαληθεύουν την αρχική εξίσωση.

Αν την επαληθεύουν, τότε όλες οι ευθείες που ανήκουν στην αρχική οικογένεια διέρχονται από το σημείο αυτό.

Κύκλος


β) Θέτουμε δύο τυχαίες τιμές στην παράμετρο κ και βρίσκουμε δύο κύκλους της οικογένειας.

Για κ = 0 (1) 2 2x y x 1 0 (2)

Για κ = 1 (1) 2 2 2 2x y x 1 x y 0 x y 2x y 1 0 (3)

Αφαιρώντας κατά μέλη τις (2) και (3) προκύπτει:

x 1 2x y 1 0 x y 0 y x (4)

(2)

2

4

2 2x x x 1 0 2x x 1 0

Είναι 2Δ 1 -4 -2 1 9 0 άρα 1,2

11 3

x 14

2

Για x 1 από τη σχέση (4) έχουμε

y 1 άρα Α(-1,-1)

Για 1

x2

από τη σχέση (4) έχουμε

1y

2 άρα

1 1B ,

2 2

Οι δύο κύκλοι λοιπόν της οικογένειας τέμνονται στα σημεία

Α(-1,-1) και 1 1

B ,2 2

Κατόπιν, εξετάζουμε αν οι συντεταγμένες των σημείων Α και Β επαληθεύουν την εξίσωση της οικογένειας. Έτσι λοιπόν έχουμε:

Για x 1 και y 1 η (1) 1 1 1 1 κ -1 1 0 0 0

Για 1

x2

και 1

y2

η (1)1 1 1 1 1

1 κ 0 0 04 4 2 2 2

Οπότε ότι όλοι οι κύκλοι διέρχονται από τα σημεία Α και Β.

γ) Η κοινή χορδή των κύκλων είναι η ΑΒ

3 3AB ,

2 2

άρα

ABλ 1 οπότε AB : y 1 x 1 y x

Α

Β

3ο

Κεφάλαιο


ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ

ΛύσηΈστω ότι Μ(x,y)

Είναι:

x 3 συνα x 3 συνα x 3 συνα

y 2 ημα y 2 ημα y 2 ημα

Ως γνωστό από την τριγωνομετρία ισχύει ότι:

2 22 2ημ α+συν α 1 x 3 y 2 1

2 2

x 3 y 2 1

Άρα ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι κύκλος με κέντρο Κ(3,-2) και ακτί-να ρ = 1.

Λύση

Ο κύκλος έχει κέντρο το σημείο Κ(0,0) και ακτίνα ρ=5.

Ας είναι Μ(x,y) τα μέσα όλων των χορδών που διέρχονται από το ση-μείο Α.

Ενώνουμε το κέντρο του κύκλου με το Μ

Έχουμε ΚΜ x,y

και

AΜ x-3,y-4

Είναι

ΚΜ ΑΜ x x - 3 y y - 4 0

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ 3 συνα, - 2 -ημα


Δίνεται ο κύκλος 2 2x y 25 και το σημείο του Α(3,4). Να βρείτε το γεω-

μετρικό τόπο των μέσων των χορδών του κύκλου που διέρχονται από το σημείο Α.


x

y

Κ

Κύκλος


2 2x - 3x y - 4y 0 2 2x y - 3x - 4y 0

2 22 2Α +Β -4Γ= 3 4 9 16 25 0

Άρα η (1) παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο 3

Λ ,22

και ακτίνα 25 5

ρ=2 2

ΛύσηΛύνουμε το σύστημα των εξισώσεων των δύο ευθειών.

2λ - λ 1D 2λ λ -1 3λ 1 λ 1

3λ 1 λ 1

2 2 22λ - 2λ 3λ 3λ λ 1 5λ 2λ 1

Ισχύει ότι 2Δ 2 -4 1 5 -16 0 άρα D 0 για κάθε τιμή του πραγματικού αριθ-μού λ. Οπότε οι ευθείες μας τέμνονται.

x

3λ 1 - λ 1D 3λ -1 λ -1 6λ 2 λ 1

6λ 2 λ 1

3λ -1 λ -1 2 3λ 1 λ 1 3λ -1 3λ 1

y

2λ 3λ 1D 2λ 6λ - 2 3λ 1 3λ 1

3λ 1 6λ 2

4λ 3λ -1 3λ 1 3λ 1 3λ 1 λ 1


x2

3λ -1 3λ 1Dx

D 5λ 2λ 1

και

y

2

D 3λ -1 λ 1y

D 5λ 2λ 1

Άρα τα σημεία τομής των ευθειών έχουν συντεταγμένες της μορφής

2 2

3λ -1 3λ 1 3λ -1 λ 1M ,

5λ 2λ 1 5λ 2λ 1

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων τομής των ευθειών

1ε : 2λx λ 1 y 3λ 1 και 2ε : 3λ 1 x λ 1 y 6λ 2 με λℝ


3ο

Κεφάλαιο


Έστω Μ(x,y). Είναι

2 2

22

3λ -1 3λ 1 x 3λ -1x

x y5λ 2λ 1 3λ 1 5λ 2λ 1y 3λ -1 3λ 1 λ 13λ -1 λ 1

yλ 1 5λ 2λ 15λ 2λ 1

1

x λ 1 3λ 1 y λx x 3λy y λx 3λy x y

x y

λ x 3y x y λx 3y

με x 3y

Έτσι λοιπόν η σχέση (1) γράφεται:

2

x y x y3 -1 3 1

x 3y x 3yx

x y x y5 2 1

x 3y x 3y

2x y x y 3x 3y - x 3y 3x 3y x 3y

5x 2x xx 3y x 3y x 3y x 3y

2 2

2

x y 2x 2xy 2x 6y 4x5x x

x 3y x 3y x 3yx 3y

2 2 2

2 2

x y 2x 2xy 8x 24xy5x x

x 3yx 3y x 3y

2 22 25x x y x 3y 2x 2xy x 3y x 8x 24xy

2 2 3 2 2 2 2 2 25x x 2xy y 2x 2x y 6x y 6xy x 6xy 9y x 8x 24xy

3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 25x 10x y 5xy 2x 2x y 6x y 6xy x 6x y 9y x 8x 24xy

3 2 28x 8xy 14xy - 8x 0

2 2

2 2

x 07

8x x y y - x 0 74 x y y - x 0

4

Από την σχέση x 0 έχουμε ότι ο γεωμετρικός τόπος είναι ο άξονας x΄xχωρίς όμως την αρχή των αξόνων (μη ξεχνάτε ότι πρέπει x 3y )

Κύκλος


Από την σχέση 2 2 7x y y - x 0

4 και επειδή 2 2 49 65

Α +Β -4Γ 116 16

έ-

χουμε ότι ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο το σημείο

7K 1,

8

και ακτίνα 65

ρ4

χωρίς τα σημεία Ο(0,0) και 57 19

Α ,40 40

Λύσηα) Ας είναι Μ(x,y) οι συντεταγμένες του σημείου Μ. Είναι

2 2 22 2 2ΜΑ ΜΒ ΜΓ 7 ΜΑ ΜΒ ΜΓ 7

2 2 2 2 22x 1 y 3 x y 4 x 2 y 1 7

2 2 2 2 2 2x 2x 1 y 6y 9 x y 8y 16 x 4x 4 y 2y 1 7

22 2 2x 2x 1 y 9 x 1 y 9

Άρα ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι κύκλος με κέντρο το Κ(-1,0) και ακτίνα ρ=3

β) Η ευθεία εφάπτεται στον παραπάνω κύκλο αν και μόνο αν

2 2

2 3λ 1 2λ 1 0 3 6λd K,ε ρ 3

2 3λ 2λ 1

2 2

2 2

1 9λ3 1 9λ 3 2 3λ 2λ 1

2 3λ 2λ 1

2 2 2

1 9λ 9 2 3λ 2λ 1 2 2 21 18λ 81λ 36 81λ 108λ 36λ 36λ 9

218λ 45λ 22 0

α) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1,3), Β(0,4) και Γ(-2,1). Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου του τριγώνου που εί-

ναι τέτοια ώστε να ισχύει: 2 2 2

ΜΑ ΜΒ ΜΓ 7

είναι κύκλος.

β) Να βρείτε τις τιμές του λℝ ώστε η ευθεία

ε : 2 3λ x+ 2λ 1 y 3 6λ 0

να εφάπτεται στον προηγούμενο κύκλο.


3ο

Κεφάλαιο



Εύρεση Εξίσωσης Κύκλου

1) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που:

α) Έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα 2 2

β) Έχει κέντρο το σημείο Α(3,-1) και ακτίνα 5

2) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που

α) Έχει κέντρο το σημείο τομής των ευθειών 1ε : y - 2011x 0 ,

2ε : 2011y x 0 και έχει ακτίνα 1.

β) Είναι ομόκεντρος με τον μοναδιαίο κύκλο και έχει ακτίνα 5

γ) Έχει κέντρο το σημείο Κ(-1,3) και ακτίνα ίση με το μέτρο του διανύσματος

u 3 i 4 j

δ) Έχει κέντρο το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ με Α(-3,7) και Β(5,-9)

και ακτίνα ίση με το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης 22x 10x 7 0

3) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Κ(8,-6) και διέρ-χεται από την αρχή των αξόνων.

4) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Κ(-2,1) και διέρ-χεται από το σημείο Α(-2,3).

5) Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου που έχει εξίσωση:

α) 2 2x +y 25 β) 2 2x 5 y

γ) 2 2

x -1 + y - 2 9 δ) 2 2

x+3 + y -1 1

ε) 2 2x +y - 2x - 6y 0 στ) 2 2x +y - 4x+2y -1 0

ζ) x x -1 + y - 3 y+1 0 η) 2 22x +2y - 4x+1 0

Κύκλος


********

6) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και

εφάπτεται της ευθείας ε : 3x+y 10

7) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Κ(-3,2), εφάπτε-ται στον άξονα y΄y και διέρχεται από το σημείο Α(-6,2).

8) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Κ(-3,1) και εφά-

πτεται στην ευθεία ε : 4x - 3y+5 0 .

9) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Κ(3,3) και εφά-πτεται των αξόνων x΄x και y΄y.

10) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που είναι ομόκεντρος του κύκλου

2 2c : x +y - 2x+4y+1 0 και εφάπτεται της ευθείας που διχοτομεί την 1η

και 3η γωνία των αξόνων.

11) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Κ(-3,1), εφά-πτεται της ευθείας που διέρχεται από το Α(-2,-1) και είναι κάθετη στην ευ-

θεία ε : 3x+4y+1 0 .

12) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώ-σεις:

α) Όταν εφάπτεται της ευθείας 1ε : 4x 3y+6 0 στο σημείο τομής της

με τον άξονα y΄y και το κέντρο του βρίσκεται στην ευθεία 2ε : y 2x

β) Όταν εφάπτεται της ευθείας 1ε : x - y+1 0 στο σημείο Α(2,3) και διέρ-

χεται από την αρχή των αξόνων.

3ο

Κεφάλαιο


13) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει ακτίνα ίση με 4, εφάπτεται στον άξονα x΄x και διέρχεται από το σημείο Α(5,4).

********

14) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται εσωτερικά στον κύκλο

2 2c : x +y 2 στο σημείο του Μ(1,-1) και έχει ακτίνα ίση με το μισό της

ακτίνας του (c).

15) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται εξωτερικά του κύκλου

2 2c : x +y - 2x - 2y+1 0 στο σημείο Α(2,1) και έχει ακτίνα διπλάσια από την

ακτίνα του (c).

16) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται εξωτερικά στον κύκλο

2 2c : x +y +4x+6y+3 0 στο σημείο Α(-3,0) και διέρχεται από το σημείο

Β(-1,2).

********

17) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σημείο Α(1,0) και

εφάπτεται των ευθειών 1ε : 3x+y+6 0 και 2ε : 3x+y -12 0

18) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται των ευθειών

1ε : 2x+y - 5 0 , 2ε : 2x+y+15 0 και το ένα σημείο επαφής είναι το

Α(2,1).

19) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται των ευθειών

1ε : 3x+4y -10 0 , 2ε : 4x+3y-5 0 και διέρχεται από την αρχή των αξό-

νων.

Κύκλος


20) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που το κέντρο του ανήκει στην ευθεία

1ε : x-2y+1 0 και εφάπτεται στις ευθείες 2ε : x-y+1 0 και

3ε : x+y-3 0 .

********

21) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α(5,2),

Β(4,3) και το κέντρο του Κ απέχει από την ευθεία ε : x+y-2 0 απόσταση

ίση με 2 .

22) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α(8,9), Β(10,7) και έχει ακτίνα ρ=10.

23) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο με ακέραιες συντεταγ-

μένες, ακτίνα ίση με 10 και τέμνει την ευθεία ε : x-2y+4 0 στα ση-

μεία Α και Β με τεταγμένες 1 και 3 αντίστοιχα.

24) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α(7,10), Β(9,-4) και Γ(-5,-6).

25) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α(1,1), Β(1,-1) και Γ(2,0).

26) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει το κέντρο του στην ευθεία

ε : x+y+5 0 και διέρχεται από τα σημεία Α(2,3) και Β(4,1).

27) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α(3,1) και

Β(-1,3) και το κέντρο ανήκει στην ευθεία ε : y 3x-2 .

3ο

Κεφάλαιο


28) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που το κέντρο του ανήκει στην ευθεία

ε : 2x+y+1 0 και διέρχεται από τα σημεία Α(-1,2) και Β(3,-1).

********

29) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο το ΑΒ με Α(3,4) και Β(-1,-2).

30) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στον άξονα y΄y στο ση-μείο Α(0,3) και αποκόπτει από τον άξονα x΄x χορδή ΒΓ της οποίας το μήκος είναι 8 μονάδες.

31) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το Κ(5,1) και αποκόπτει

από την ευθεία ε : 4x-3y+3 0 χορδή μήκους 6 μονάδες.

32) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει ακτίνα ρ=5, διέρχεται από το

σημείο Α(-2,4) και αποκόπτει από την ευθεία ε : 3x+4y+10 0 χορδή μή-

κους 6 μονάδες.

33) Δίνεται ο κύκλος (c1) με κέντρο Κ(-2,-2) ο οποίος διέρχεται από το σημείο Α(-5,-3) και ο κύκλος (c2) με κέντρο Λ(1,4) ο οποίος εφάπτεται στην ευθεία

ε : 4x-3y-17 0 . Να βρείτε:

α) Τις εξισώσεις των κύκλων (c1) και (c2)

β) Τα κοινά σημεία Β και Γ των κύκλων (c1) και (c2)

γ) Την εξίσωση του κύκλου (c3) που έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ.

34) Έστω το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με Α(1,2), Β(3,2), Γ(3,4), Δ(1,4).

α) Να δείξετε ότι η εξίσωση x-1 x-3 + y-2 y-4 0 παριστάνει τον πε-

ριγεγραμμένο κύκλο του ΑΒΓΔ.

β) Να δείξετε ότι οι ΑΓ και ΒΔ είναι διάμετροι του κύκλου αυτού.

Κύκλος


Εφαπτομένη Κύκλου με Γνωστό το Σημείο Επαφής

35) Να βρείτε την εφαπτομένη του κύκλου 2 2c : x +y 25 στα σημεία:

α) Α(3,-4) β) Β(5,0) γ) Γ(0,5)

36) Να βρείτε την εφαπτομένη του μοναδιαίου κύκλου στα σημεία:

α)3 1

A ,2 2

β) Β(0,1) γ) Γ(1,0) δ) Δ(ημθ,συνθ)

37) Να βρείτε τις εφαπτομένες του κύκλου που έχει διάμετρο την ΑΒ με Α(2,3), Β(4,5) στα σημεία Α και Β αντίστοιχα.

38) Να βρείτε την εφαπτομένη του κύκλου 2 2

c : x-2 + y-1 8 στο σημείο

του Μ(4,3).

39) Να βρείτε την εφαπτομένη καθενός από τους παρακάτω κύκλους στα ση-μεία που δίνονται:

α) 2 21c : x +y +6x-2y 0 , Α(-2,4)

β) 2 22c : x +y +2x-6y-35 0 , Β(5,6)

γ) 2 23c : x +y +10x-6y+14 0 , Γ(-1,5)

δ) 2 24c : x +y +8x-10y+36 0 , Δ(-2,6)

40) Δίνεται η εξίσωση 2 2x -6x+y -8y 0

α) Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα.

β) Να βρείτε τα σημεία τομής Α και Β του παραπάνω κύκλου με τον άξονα y΄y.

γ) Να βρείτε τις εφαπτομένες του κύκλου στα σημεία Α και Β καθώς και το σημείο τομής των δύο αυτών εφαπτομένων

3ο

Κεφάλαιο


Εφαπτομένη Κύκλου με Άγνωστο το Σημείο Επαφής

41) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων:

α) Του κύκλου 2 21c : x +y 4 που είναι παράλληλες στην ευθεία x+y 0 .

β) Του κύκλου 2 22c : x +y 9 που διέρχονται από το σημείο Α(0,6).

42) Να βρείτε την εφαπτομένη του κύκλου 2 2c : x +y 1 :

α) Που διέρχεται από το σημείο Μ(-3,4)

β) Που είναι παράλληλη στην ευθεία y 2x+1

43) Να βρείτε την εφαπτομένη του κύκλου 2 2

c : x-2 + y-1 8 που διέρχε-

ται από το σημείο Μ(3,4).

44) Να βρεθούν οι εφαπτομένες του κύκλου 2 2c : x +y -4x+6y+8 0

α) Που είναι κάθετες στην ευθεία 1ε : 2x-y+4 0 .

β) Που είναι παράλληλες στην ευθεία 2ε : 6x-2y+5 0

45) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου 2 2c : x +y 20 που

σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο εμβαδού 25 τ.μ.

46) Δίνεται ο κύκλος 2 2c : x +y -4x-2y-5 0 και εξωτερικό σημείο Ρ(6,3).

Φέρνουμε τις εφαπτομένες ΡΑ και ΡΒ. Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφα-πτομένων ΡΑ, ΡΒ και το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ.

47) Δίνεται ο κύκλος 2 2c : x +y +10x 4y-3 0 και το σημείο Α(3,5). Να βρε-

θεί το μήκος του εφαπτόμενου τμήματος ΑΒ από το σημείο Α προς τον κύ-κλο (c).

Κύκλος


48) Να αποδειχθεί ότι οι εφαπτομένες του κύκλου 2 2c : x +y 25 από το ση-

μείο Ρ(1,7) είναι κάθετες μεταξύ τους.

49) Δίνεται κύκλος (c) ο οποίος έχει κέντρο το σημείο Κ(2,4) και ορίζει στην

ευθεία ζ : 3x-4y+5 0 χορδή μήκους 4.

α) Nα βρείτε την εξίσωση του κύκλου (c).

β) Nα δείξετε ότι το σημείο Α(4,5) ανήκει στον κύκλο (c) και να βρείτε την εφαπτομένη του (c) στο Α.

γ) Να βρείτε τις εφαπτομένες του κύκλου (c) που είναι παράλληλες στο

διάνυσμα ΟΚ

όπου Ο η αρχή των αξόνων.

Σχετικές Θέσεις

50) Δίνεται ο κύκλος 2 2c : x +y 4x+4y+2 . Να βρεθεί η σχετική θέση καθενός

από τα παρακάτω σημεία ως προς τον παραπάνω κύκλο (c).

α) A(-2,-3) β) Β 2 10,2 γ) Γ(0,0)

51) Δίνεται ο κύκλος 2 2c : x +y +x+y 0 . Να βρείτε τη σχετική θέση των πα-

ρακάτω ευθειών με τον κύκλο (c).

α) 1ε : x-2y+2 0 β) 2ε : 2x-4y+1 0 γ) 3ε : 10x-20y+11 0

52) Δίνεται ο κύκλος 2 2c : x +y -2x-1 0 και η ευθεία ε : y x-3 . Να αποδεί-

ξετε ο η ευθεία εφάπτεται στον κύκλο και στη συνέχεια να βρεθεί το ση-μείο επαφής.

53) Να δείξετε ότι η ευθεία ε : x+y 2 εφάπτεται στους κύκλους

2 21c : x +y 2 και 2 2

2c : x +y +3x+3y-8 0 στο ίδιο σημείο.

3ο

Κεφάλαιο


54) Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου 2 2 2c : x-1 + y+2 ρ έτσι ώστε:

α) ο κύκλος να εφάπτεται στην ευθεία ε : y 3x+1 .

β) ο κύκλος να διέρχεται από το σημείο Μ(3,4).

55) Να βρεθεί για ποια τιμή του λℝ το σημείο Μ(2λ+1,λ) ανήκει στον κύκλο

2 2

c : x-3 + y+4 100 έτσι ώστε ο κύκλος να εφάπτεται στην ευθεία

ε : y 3x+1 .

56) Δίνεται ο κύκλος 2 2 2c : x +y -2λx+λ -5 0 με λℝ.

α) Να βρεθεί η τιμή του λℝ ώστε ο κύκλος να εφάπτεται στην ευθεία

ε : y 2x-1 .

β) Για λ 1 να βρείτε τις εφαπτόμενες του κύκλου (c) που διέρχονται από το σημείο τομής της (ε) με τον x΄x.

57) Έστω οι ευθείες 1ε : λx+y+μ 0 , 2ε : 4x+λy+2 0 και ο κύκλος

2 2c : x +y -2x+4y 0 με λ,μℝ . Να βρεθούν οι τιμές των λ, μ ώστε οι ευ-

θείες (ε1) και (ε2) να εφάπτονται του κύκλου (c).

58) Να βρεθεί η σχέση μεταξύ των α,βℝ ώστε η ευθεία x y

ε : + 1α β

να

εφάπτεται στον κύκλο 2 2 2c : x +y ρ .

59) Να βρεθεί η τιμή του ρℝ ώστε η ευθεία ε : x συνθ +y ημθ -ρ 0 να

εφάπτεται στον κύκλο 2 2 2 2c : x +y - 2ασυνθ x- 2βημθ y-α ημ θ 0 .

60) Δίνoνται οι κύκλοι 2 2

1c : x-3 + y+2 4 και 2 2

2c : x-α + y+1 4 .

Να βρείτε τη σχετική θέση των παραπάνω κύκλων αν:

α)9

α10

β) α 3 γ) α 2 δ) α 3

Κύκλος


61) Να δείξετε ότι οι κύκλοι 2 2

1c : x-2 +y 4 και 2 22c : x +y -2x 0 εφά-

πτονται εσωτερικά.

62) Να δείξετε ότι οι κύκλοι 2 21c : x +y -8x-2y+8 0 και

2 22c : x +y -2x+6y+6 0 εφάπτονται και να βρεθεί το σημείο επαφής.

63) Δίνονται οι κύκλοι 2 21c : x +y -2x 0 και 2 2

2c : x +y +6x-6y+2 0 .

α) Να δείξετε ότι οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά.

β) Να βρεθεί το κοινό τους σημείο.

γ) Να βρεθούν οι εξισώσεις των κοινών εφαπτομένων τους.

64) Δίνονται οι κύκλοι 2 21c : x +y -2x-6y+9 0 και 2 2

2c : x +y +6x-2y+1 0 .

α) Να δείξετε ότι ο ένας είναι εξωτερικός του άλλου.

β) Να βρείτε τις εξισώσεις των κοινών εφαπτομένων τους.

65) Δίνονται οι κύκλοι

2 2 2 21c : x +y -2αx-2βy-α +β 0 και 2 2 2 2

2c : x +y -2βx+2αy+α -β 0 .

α) Να δείξετε ότι οι κύκλοι τέμνονται.

β) Να δείξετε ότι τα σημεία τομής τους είναι τα

Α(0,β-α) και

2 2 2 2

2αβ β+α β-α β+αΒ ,

β +α β +α

γ) Να δείξετε ότι οι εφαπτομένες στα σημεία τομής τους είναι κάθετες.

Μέγιστες και Ελάχιστες Αποστάσεις

66) Δίνεται ο κύκλος 2 2c : x +y 4 και το σημείο Α(8,-6). Να βρείτε σημείο Μ

του κύκλου (c) τέτοιο ώστε η απόσταση (ΑΜ) να είναι ελάχιστη.

3ο

Κεφάλαιο


67) Δίνεται το σημείο Ρ(10,7) και ο κύκλος 2 2c : x +y -4x-2y-20 0 . Να βρεθεί

η μεγαλύτερη και η μικρότερη απόσταση που μπορεί να έχει ένα σημείο του κύκλου από το Ρ.

68) Να βρεθεί σημείο του κύκλου 2 2

c : x-4 + y-4 13 που έχει τη μέγιστη

και ελάχιστη απόσταση από την ευθεία ε : 3x-2y-30 0 .

69) Δίνεται ο κύκλος 2 2c : x +y -2x-4y-13 0 και το σημείο Σ(6,-8).

Α) Να βρείτε το κέντρο Κ και την ακτίνα του κύκλου (c).

Β) Να βρείτε τη μέγιστη απόσταση που μπορούν να απέχουν δύο σημεία του κύκλου (c).

Γ) Nα βρείτε τα σημεία του κύκλου (c) που απέχουν τη μικρότερη και τη μεγαλύτερη απόσταση από το σημείο Σ.

Δ) Έστω (ζ) η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Σ και τέμνει τον x΄x στο σημείο με τετμημένη 10.

Να βρείτε:

α) Την εξίσωση της ευθείας (ζ)

β) Τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση που απέχει ένα σημείο του κύκλου (c) από την ευθεία (ζ).

γ) Τις εφαπτομένες του κύκλου (c) που είναι κάθετες στην ευθεία (ζ).

70) Δίνονται οι κύκλοι 2 21c : x +y 1 και

2 2

2c : x-3 + y-2 4

Α) Να δείξετε ότι οι κύκλοι δεν έχουν κοινό σημείο.

Β) Να βρείτε την εξίσωση της διακέντρου.

Γ) Από όλα τα ζεύγη σημείων (Α,Β) όπου το Α ανήκει στον (c1) και το Β ανή-κει στον (c2) να βρεθεί αυτό για το οποίο τα Α, Β απέχουν τη μικρότερη απόσταση καθώς και να υπολογιστεί η μικρότερη απόσταση.

Δ) Να βρεθεί το ζεύγος σημείων (Γ,Δ) (το Γ στον c1, το Δ στον c2) με τη με-γαλύτερη απόσταση καθώς και να υπολογιστεί η μεγαλύτερη απόσταση.

Κύκλος


71) Έστω το σημείο Μ(x,y) του κύκλου 2 2c : x +y 1

Α) Έστω ότι 3x+4y c

Να δείξετε ότι το σύστημα 2 2x +y 1

3x+4y c

έχει λύση αν και μόνο αν 225-c 0 .

Β)Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει η πα-ράσταση Α 3x+4y c .

Κοινή Χορδή δύο Τεμνόμενων Κύκλων

72) Να βρείτε την εξίσωση της κοινής χορδής των κύκλων:

2 2

1c : x-1 + y-2 4 και 2 2

2c : x-2 + y-1 4

73) Δίνονται οι κύκλοι 2 21c : x +y -2y 0 και 2 2

2c : x +y -4x-2y+1 0 . Να

βρείτε το μήκος της διακέντρου του και το μήκος της κοινής χορδής τους.

74) Δίνεται ο κύκλος 2 2 2c : x +y +2αx+2βy-γ 0 όπου α, β, γ μήκη πλευρών

ορθογωνίου τριγώνου με α<β<γ. Αν Ρ(α,β) είναι εξωτερικό σημείο του κύ-κλου (c) και φέρουμε τις εφαπτομένες ΡΑ και ΡΒ να αποδείξετε ότι η χορδή ΑΒ διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

75) Δίνεται ο κύκλος με εξίσωση 2 2 2c : x +y ρ και το εξωτερικό σημείο

Ρ(x0,y0). Φέρνουμε τις εφαπτομένες ΡΑ και ΡΒ. Να δείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΡΑΒ είναι:

32 2 2

0 0

2 20 0

ρ y ρΕ=

y

x

x

3ο

Κεφάλαιο


Παραμετρική Εξίσωση Κύκλου – Οικογένεια Κύκλων από Σταθερό Σημείο

76) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2 21-t x + 1-t y -2 1+t x-2 2-t y+3 0 παρι-

στάνει κύκλο για κάθε tℝ 1 .

77) Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2 2x +y -4x-2αy+2α 4 παριστάνει κύκλο

για κάθε αℝ του οποίου να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα.

B) Να βρεθεί η τιμή του α ώστε ο παραπάνω κύκλος να εφάπτεται

α) του άξονα x΄x β) της ευθείας y=-x

78) Να δείξετε ότι για κάθε λℝ η εξίσωση 2 2x +y + λ+2 x-2 0 παριστάνει

κύκλο του οποίου να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα.

79) Να εξετάσετε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού μ η εξίσωση

2 2 2 2x +y -2x-4y+1+μ x +y -4x-2y+1 0 παριστάνει κύκλο.

80) Να βρείτε για ποιες τιμές του λℝ η εξίσωση

2 2 2 3λx +y +3λx+y+2λ + -1 0

2 παριστάνει κύκλο

81) Δίνεται η εξίσωση 2 2x +y + ημ2ω x+ συν2ω y-ημω συνω 0 ,

πω 0,

4

. Να βρεθούν οι τιμές του ω για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση

παριστάνει κύκλο.

82) Να βρείτε για ποιες τιμές του λℝ η εξίσωση

2 2 2 23λ +4 x +2 λ -1 y -x λx-28 +4y λy-28 -28 0

παριστάνει κύκλο του οποίου να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα.

Κύκλος


83) Να δείξετε ότι όλοι οι κύκλοι που έχουν εξίσωση:

2 2x +y + λ+6 x+ 3λ+4 y+3-λ 0 με λℝ-{-2}

διέρχονται από σταθερό σημείο.

84) Δίνεται η εξίσωση 2 2x +y -2λx-1 0

Α) Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο για κάθε λℝ.

Β) Να δείξετε ότι όλοι οι κύκλοι της παραπάνω οικογένειας διέρχονται από δύο σταθερά σημεία Α και Β των οποίων να βρεθούν οι συντεταγμένες.

Γ) Να βρεθεί η εξίσωση της κοινής χορδής ΑΒ καθώς και το μήκος της.

85) Δίνεται η εξίσωση 2 2

x-1 + y+3 -20+λ 3x+y-10 0 (1)

Α) Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο για κάθε λℝ.

Β) Να δείξετε ότι όλοι οι κύκλοι που παριστάνει η (1) για τις διάφορες τιμές του λℝ διέρχονται από δύο σταθερά σημεία Α και Β των οποίων να βρείτε τις συντεταγμένες.

Γ) Έστω ότι το κέντρο Κ του κύκλου που παριστάνει η εξίσωση (1) ανήκει

στην ευθεία ε : 2x+y+8=0 .

α) Να βρείτε τον αριθμό λ

β) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΚΒ

86) Να δείξετε ότι η εξίσωση 2 2 2 2x +y -16+λ x +y -8x-8y+16 0 παριστάνει κύ-

κλο για κάθε λℝ - -1 ο οποίος διέρχεται από τα σημεία τομής των κύ-

κλων 2 21c : x +y 16 και

2 2

2c : x-4 + y-4 16 .


87) Δίνεται η εξίσωση 2 2x +y + λ-2 x-2 λ+2 y+13λ-20 0 , λℝ

Α) Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο για κάθε λℝ.

Β) Να βρείτε τα κέντρα των παραπάνω κύκλων και να αποδείξετε ότι αυτά κινούνται σε μια ευθεία, καθώς το λ μεταβάλλεται.

Γ) Να δείξετε ότι όλοι οι κύκλοι της παραπάνω οικογένειας διέρχονται από δύο σταθερά σημεία.

3ο

Κεφάλαιο


88) Α) Να δείξετε ότι για κάθε θ 0,2π η εξίσωση

2 2x +y - 2συνθ x- 2ημθ y-1 0 (1)

παριστάνει κύκλο του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτί-να.

Β) Αν π

θ=2

να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου που παρι-

στάνετε από την (1) στο σημείο Μ(1,2).

Γ) Να δείξετε ότι για τις διάφορες τιμές του θ τα κέντρα των παραπάνω κύκλων βρίσκονται σε κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ=1.

89) Δίνεται η εξίσωση 2 2c : x +y +2x-3y-1+κ x+y-2 0 με κℝ

Α) Να δείξετε ότι η (c) παριστάνει κύκλο για κάθε κℝ και να υπολογίσε-τε τις συντεταγμένες του κέντρου καθώς και την ακτίνα του.

Β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων (c)

Γ) Να δείξετε ότι όλοι οι κύκλοι διέρχονται από δύο σταθερά σημεία

Δ) Να βρεθεί η εξίσωση της κοινής χορδής των κύκλων.

90) Δίνεται η εξίσωση 2 2 13c : x +y +x- 4κ+1 y+ κ+14 0

2

Α) Να βρείτε για ποιες τιμές του κℝ η (c) παριστάνει κύκλο και να υπο-λογίσετε τις συντεταγμένες του κέντρου καθώς και την ακτίνα του.

Β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων (c)

91) Α) Είναι α β-1 x- 2-α β y+4 0

(1) με α β

ℝ

α) Να δείξετε ότι όλες οι παραπάνω ευθείες διέρχονται από σταθερό σημείο.

β) Αν α, β

μοναδιαία διανύσματα και π

α,β3

να βρείτε την εξίσωση

της ευθείας που παριστάνει η (1).

Β) Δίνεται ο κύκλος 2 2 1

x-κ + y+210

. Να βρείτε την τιμή του κ ώστε η

ευθεία του θέματος Α) στο ερώτημα β) να εφάπτεται του παραπάνω κύκλου.

Κύκλος


92) Δίνεται κύκλος 2 2c : x +y 4 και σημείο Θ(5,0). Από το Θ φέρνουμε τυ-

χαία ευθεία που τέμνει τον (c) στα σημεία Α και Β. Να βρείτε το γεωμετρι-κό τόπο των μέσων των χορδών ΑΒ.

93) Δίνεται κύκλος 2 2

c : x 4 + y 7 4 και σημείο Θ(-2,3). Αν Ρ τυχαίο

σημείο του κύκλου να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου Μ του τμή-ματος ΘΡ.

94) Δίνεται κύκλος 2 2c : x y 12x 6y 20 0 και η ευθεία

ε : 4x 3y 10 0 . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των μέσων Μ των

χορδών του κύκλου που είναι παράλληλες προς την ευθεία (ε).

95) Δίνονται οι ευθείες:

1ε : ημθ x- συνθ y ημ2θ και 2ε : συνθ x+ ημθ y συν2θ με θℝ

Α) Να δείξετε ότι οι (ε1) και (ε2) τέμνονται για κάθε θℝ

Β) Να δείξετε ότι το σημείο τομής των (ε1) και (ε2) κινείται σε κύκλο.

96) Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β(3,0). Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων για τα οποία:

α)2 2

ΜΑ + ΜΒ =10

β)2 2

2 ΜΑ +3 ΜΒ =15

97) Δίνονται τα σταθερά σημεία Α, Β ώστε (ΑΒ)=8. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία:

α) ΜΑ ΜΒ=9

β) ΜΑ ΜΑ 2ΒΑ =36

γ) ΜΑ + ΜΒ = 2ΜΑ - ΜΒ

98) Δίνονται τα σταθερά σημεία Α(3,4) και Β(-1,4)

Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία ο λόγος των

αποστάσεών τους από τα Α, Β είναι 2

3

3ο

Κεφάλαιο


99) Δίνονται οι κύκλοι 2 21c : x +y -2x+3y - 3 0 και 2 2

2c : x +y +2x+y - 4 0 .

Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία οι εφαπτόμε-νες ΜΑ και ΜΒ στους δύο κύκλους έχουν αντίστοιχα το ίδιο μήκος.

100) Δίνονται δύο κύκλοι με εξισώσεις

2 2

1c : x - 3 + y - 4 6 και 2 2

2c : x -1 + y -2 4

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ ώστε το εφαπτόμενο τμήμα ΜΡ από το Μ στον (c1) να είναι διπλάσιο από το εφαπτόμενο τμή-μα ΜΣ από το Μ στον (c2).

101) Δίνονται οι ευθείες 1ε : 3x+4y 2 και 2ε : 4x - 3y+1 0 . Να βρείτε τον

γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου ώστε το άθροισμα των τε-τραγώνων των αποστάσεών τους από τις δύο ευθείες να είναι σταθερό.

102) Δίνεται η εξίσωση 2 2c : x +y - 2κ+5 x - 6y+4κ - α 0 με α,κℝ

Α) Να βρεθεί για ποιες τιμές του αℝ η (c) παριστάνει κύκλο για κάθε κℝ

Β) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων

Γ) Για τη μικρότερη ακέραια τιμή του α, να δειχθεί ότι η ευθεία x=2 τέμνει όλους τους κύκλους στα ίδια σημεία.

103) Έστω τα σημεία Α(4,6), Β(2,8) και Γ το μέσο του ΑΒ. Να βρείτε το γεωμε-

τρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει: 2

ΟΜ 2 ΟΓ ΟΜ- ΟΑ ΟΒ

104) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(x,y) για τα οποία το διά-

νυσμα 2

v ΟΜ -1,2y

σχηματίζει με τον άξονα x΄x γωνία π

6.

Κύκλος


3ο

Κεφάλαιο


3.2 Παραβολή

ΟρισμόςΈστω ευθεία (δ) και ένα σημείο Ε εκτός αυτής.

Παραβολή με εστία Ε και διευθετούσα δ, λέγεται ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από το σημείο Ε και την ευθεία δ.

Δηλαδή είναι:ΜΕ d(M,δ)

Αν από την εστία Ε φέρουμε ΕΑ δ τότε είναι προφανές ότι το

μέσο Κ του ΕΑ είναι σημείο της παραβολής C και λέγεται κορυφή της.

Η ευθεία ΕΑ, είναι ο άξονας συμμετρίας για την παραβολή C και λέγεται απλά άξονας της παραβολής.

Η εξίσωση της παραβολής με κορυφή την αρχή

των αξόνων, με εστίαp

Ε ,02

στον άξονα x΄x

και διευθετούσα την p

δ : x=-2

είναι

2y =2px

όπου p είναι μια σταθερά που λέγεται παράμε-

τρος της παραβολής και η p παριστάνει την

απόσταση της εστίας Ε από τη διευθετούσα (δ).


Από την εξίσωση 2y =2px είναι προφανές ότι p

και x ( x 0 ) είναι αριθμοί ομόσημοι.

Ορι

σμός

Π

αραβ

ολής

Εξί

σωση

Π

αραβ

ολής

ΕΚΑ

Μ

(δ)

p>0

O pΕ ,0

2

p

δ : x=-2

x

y

p

δ : x=-2

pΕ ,0

2

O

p<0

x

y

Παραβολή


Η εξίσωση της παραβολής με κορυφή την αρχή

των αξόνων, με εστίαp

Ε 0,2

στον άξονα x΄x

και διευθετούσα την p

δ : y=-2

είναι

2x =2py

όπου p είναι μια σταθερά που λέγεται παράμε-

τρος της παραβολής και η p παριστάνει την

απόσταση της εστίας Ε από τη διευθετούσα (δ).


Από την εξίσωση 2x =2py είναι προφανές ότι p

και y ( y 0 ) είναι αριθμοί ομόσημοι.

Η παραβολή με εξίσωση 2y =2px έχει τις παρακάτω ιδιότητες:

Βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που ορίζει η διευθετούσα δ και η εστία Ε

Ο άξονας x΄x είναι ο άξονας συμμετρίας της

Η παραβολή με εξίσωση 2x =2py έχει τις παρακάτω ιδιότητες:

Βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που ορίζει η διευθετούσα δ και η εστία Ε

Ο άξονας y΄y είναι ο άξονας συμμετρίας της

Η εξίσωση της εφαπτομένης ε της παραβο-

λής 2y =2px στο σημείο Α(x1,y1) είναι:

1 1xx =p y+y

Η εξίσωση της εφαπτομένης ε της

παραβολής 2x =2py στο σημείο Α(x1,y1) εί-

ναι:

1 1yy =p x+x

Ιδιό

τητε

ς Π

αραβ

ολής

Εξί

σωση

Π

αραβ

ολής

p>0

O

pΕ 0,

2

p

δ : y=-2

p

δ : y=-2

pΕ ,0

2

O

p<0

Εξί

σωση

Ε

φαπ

τομέ

νης

Παρ

αβολ

ής

O x

2c : x =2py

O

Α(x1,y1)

(εΑ)

(εΑ)

2c : y =2px

Α(x1,y1)

x

x

x

y

y

y

y

3ο

Κεφάλαιο


Η κάθετη (η) στην εφαπτομένη (ε) μιας παρα-βολής (c) στο σημείο επαφής Α, διχοτομεί τη γωνία που σχηματίζουν η ημιευθεία ΑΕ και η ημιευθεία At που είναι ομόρροπη της ΟΕ, όπου Ε είναι η εστία της παραβολής.

Ανα

κλασ

τική

Ιδι

ότητ

αΠ

αραβ

ολής

O Ε

Α t

εη

c

φθ

x

y

φ=θ

Παραβολή



Λύση

Αφού η παραβολή έχει άξονα συμμετρίας τον x΄x συμπεραίνουμε ότι η εξίσω-σή της θα είναι της μορφής:

2c : y 2px

α) Όπως είναι γνωστό η εστία της παραβολής (c) έχει συ-

ντεταγμένες p

Ε ,02

Άρα είναι p

2 p 42 .

Οπότε η εξίσωση της παραβολής μας θα είναι:

2c : y 8x

Εύρεση Εξίσωσης Παραβολής

Για να βρούμε την εξίσωση μιας παραβολής ακολουθούμε τα εξής βή-ματα:

1) Βρίσκουμε τη μορφή της εξίσωσής της

Η μορφή της εξίσωσης καθορίζεται είτε αν γνωρίζουμε τον άξονα όπου βρίσκεται η εστία της είτε αν γνωρίζουμε την εξίσωση της διευθετού-σας είτε αν γνωρίζουμε τον άξονα συμμετρίας της.

Ως γνωστό αν η εστία είναι στον x΄x τότε η εξίσωση της παραβολής θα

είναι της μορφής 2y 2px ενώ αν η εστία είναι στον άξονα y΄y τότε η

εξίσωση της παραβολής θα είναι της μορφής 2x 2py .

2) Βρίσκουμε την παράμετρο p από κατάλληλο δεδομένο

Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των α-ξόνων και άξονα συμμετρίας τον x΄x σε κάθε μια από τις παρακάτω περι-πτώσεις

α) Όταν έχει εστία το σημείο Ε(2,0)

β) Όταν έχει διευθετούσα την ευθεία x=3

γ) Όταν διέρχεται από το σημείο Α(-1,4)


O

(δ): x=-2

Ε(2,0)

2c : y =8x

3ο

Κεφάλαιο


β) Όπως είναι γνωστό η διευθετούσα της παραβολής (c)

έχει εξίσωση p

δ : x= -2

Άρα είναι p

3 p 62

.


2c : y -12x

γ) Αφού A c έχουμε ότι:

24 2p -1 16 2p p 8 .


2c : y 16x

Λύση

α) Από την εξίσωση της παραβολής (c) προκύπτει ότι η εστία της βρίσκεται στον άξονα x΄x.

Επίσης είναι 2p 6 p 3 .

Οπότε η παραβολή έχει εστία 3

Ε ,02

και διευθετούσα 3

δ : x= -2

β) Ας είναι Μ(x,y) το ζητούμενο σημείο.

2Μ c y 6x (1)

Ακόμη είναι 1

2 2 2 2ΟΜ 4 x +y 4 x +y 16

2 2x +6x 16 x +6x-16 0

Δίνεται η παραβολή 2c : y 6x

α) Να βρείτε την εστία και τη διευθετούσα της

β) Να βρείτε τα σημεία της παραβολής που απέχουν από την αρχή των α-ξόνων απόσταση ίση με 4 μονάδες.


O

(δ): x=3

Ε(-3,0)

2c : y = 12x

O

(δ): x=-4

Ε(-4,0)

2c : y =-16x

Χρήσιμος Κανόνας

Η εστία μιας παραβο-λής βρίσκεται στον άξονα της μεταβλητής που είναι υψωμένη στην 1η.

c 3

δ : x -2

Ε

Μ1

Μ2

Ο

Παραβολή


Δ=100 άρα 1

1,2

2

x 2-6 10x

x -82

Για x 2 από την (1) προκύπτει ότι

12

2

y 2 3 M 2,2 3y 12

y -2 3 M 2,-2 3

Για x -2 από την (1) προκύπτει ότι 2y -12 που είναι αδύνατη

Λύση

Από την εξίσωση της παραβολής προκύπτει ότι η εστία της βρίσκεται στον y΄y.

Ακόμη 2p -4 p=-2 .

Άρα η παραβολή έχει εστία Ε(0,-1) και διευθετούσα την (δ): y=1.

Για να βρούμε τα σημεία τομής της παραβολής (c1) με τον κύκλο (c2) λύνουμε το σύστημα των εξισώσεών τους.


2 2

2 2

2

x +y 5-4y+y 5 y - 4y - 5 0

x -4y

Δ 16+20 36 άρα 1,2

54 6y

-12

Για y -1 από τη (c1) προκύπτει ότι

12

2

x 2 M 2,-1x 4

x -2 M -2,-1

Για y 5 από τη (c1) προκύπτει ότι 2x -20 που είναι αδύνατη

Δίνεται η παραβολή 21c : x -4y

α) Να βρείτε την εστία και τη διευθετούσα της

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της παραβολής με τον κύκλο 2 22c : x +y 5


Ε(0,-1)Μ1Μ2

3ο

Κεφάλαιο


Λύση

Από την εξίσωση της παραβολής προκύπτει ότι

2p 6 p=3

Ας είναι Α(x1,y1) το σημείο επαφής.

Έχουμε 21 1Α c y 6x (1)

Η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής (c) στο σημείο Α θα είναι:

1Α 1 1 1 1

1 1

3x3ε : yy 3 x+x yy 3x+3x y x+

y y (2)

Όμως είναι ΑΑ ε ε 1

1

3ε // ε λ λ 3 y 1

y

Εξίσωση Εφαπτομένης Παραβολής

Για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης μιας παραβολής ακο-λουθούμε τα εξής βήματα:

α) Θεωρούμε Α(x1,y1) το σημείο επαφής

β) Ανάλογα με τη μορφή της εξίσωσης της παραβολής θα έχουμε και αντίστοιχη μορφή για την εξίσωση της εφαπτομένης

Αν 2c : y 2px τότε Α 1 1ε : yy p x+x

Αν 2c : x 2py τότε Α 1 1ε : xx p y+y

γ) Εκμεταλλευόμαστε ότι το σημείο επαφής Α ανήκει στην παραβολή

όποτε έχουμε μια σχέση μεταξύ των 1 1x , y .

δ) Η άλλη σχέση θα προκύψει από κατάλληλο δεδομένο

Πχ

Η εφαπτομένη είναι παράλληλη σε μια γνωστή ευθεία

Η εφαπτομένη είναι κάθετη σε μια γνωστή ευθεία

Η εφαπτομένη διέρχεται από σημείο με γνωστές συντεταγμένες

Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής 2c : y 6x που εί-

ναι παράλληλη στην ευθεία ε : y 3x-1 .


Ε

Α

εΑ ε

Παραβολή


Από τη σχέση (1) προκύπτει ότι 1 1

11 6x x

6

Άρα το σημείο επαφής είναι το 1

Α ,16

και η εξίσωση της εφαπτομένης από τη

σχέση (2) θα είναι:

Α

1ε : y 3x+

2

Λύση


2p 2 p=1



Η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής (c) στο σημείοΑ θα είναι:

1Α 1 1

1 1

x1ε : yy x+x y x+

y y (2)

Όμως είναι ΑΑ ε 1

ε 1

1 1 1ε ε λ - y 4

λ y 4

Από τη σχέση (1) προκύπτει ότι 1 116 2x x 8

Άρα το σημείο επαφής είναι το Α 8,4 και η εξίσωση της εφαπτομένης από τη

σχέση (2) θα είναι:

Α

1ε : y x+2

4

Λύση

Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής 2c : y 2x που εί-

ναι κάθετη στην ευθεία ε : y -4x+1 .


Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής 2c : y 8x που

διέρχεται από το σημείο Ρ(-1,-1).


Α

εΑ

ε

3ο

Κεφάλαιο



2p 8 p=4



Η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής (c) στο σημείοΑ θα είναι:

Α 1 1 1 1ε : yy 4 x+x yy 4x+4x (2)

Όμως είναι Α 1 1 1 1Ρ ε -y -4+4x y 4 - 4x (3)

Από τη σχέση (1) προκύπτει ότι:

2 2

1 1 1 1 14 - 4x 8x 16 - 32x +16x 8x

2 21 1 1 116x - 40x +16 0 2x - 5x +2 0

Δ 25-16 9 άρα1

1,2

1

x 25 3

x ή 4

1x

2

Για 1x 2 από τη σχέση (3) έχουμε 1y -4 άρα είναι Α1(2,-4)

Για 1

1x

2 από τη σχέση (3) έχουμε 1y 2 άρα είναι Α2(

1

2,2)

Τελικά λοιπόν έχουμε:

Η εφαπτομένη της παραβολής (c) στο Α1(2,-4) από τη σχέση (2) είναι η:

1Αε : -4y 4x+8 y -x -2

Η εφαπτομένη της παραβολής (c) στο Α2(1

-2

,2) από τη σχέση (2) είναι η:

2Αε : 2y 4x+2 y 2x+1

Α2

Α1

Παραβολή


Λύση

Σε κάθε περίπτωση λύνουμε το σύστημα της εξίσωση της παραβολής (c) με κάθε μία από τις ευθείες.

α) 2

2 2 2y 4xx+1 4x x +2x+1 4x x -2x+1 0

y x+1

2

x-1 0 x-1 0 x 1

Για x=1 από την εξίσωση της (ε1) έχουμε ότι: y=2

Άρα η παραβολή και η ευθεία εφάπτονται στο σημείο Α(1,2)

β) 2

2 2 2y 4x2x-4 4x 4 x-2 4x x-2 x

y 2x-4

Σχετική Θέση Ευθείας και Παραβολής

Για να βρούμε τη σχετική θέση μιας ευθείας με μια παραβολή (η ευθεία να είναι μη παράλληλη στον άξονα συμμετρίας της παραβολής) λύνουμε το σύστημα των εξισώσεών τους με τη μέθοδο της αντικατάστασης.

Στην πορεία επίλυσης του συστήματος θα καταλήξουμε σε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού οπότε έχουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:

Αν Δ>0 τότε η εξίσωση άρα και το σύστημα έχουν δύο λύσεις δηλα-δή η ευθεία και η παραβολή τέμνονται.

Αν Δ=0 τότε η εξίσωση άρα και το σύστημα έχουν μία λύση, δηλαδή η ευθεία εφάπτεται της παραβολής.

Αν Δ<0 τότε η εξίσωση άρα και το σύστημα είναι αδύνατο, δηλαδή η ευθεία και η παραβολή δεν έχουν κανένα κοινό σημείο.

Δίνεται η παραβολή 2c : y 4x

α) Να δείξετε ότι η ευθεία 1ε : y x+1 εφάπτεται της παραβολής c

β) Να δείξετε ότι η ευθεία 2ε : y 2x-4 τέμνει την παραβολή c

γ) Να δείξετε ότι η ευθεία 3ε : y -x-2 δεν έχει κανένα κοινό σημείο με

την παραβολή c


3ο

Κεφάλαιο


2 2x -4x+4 x x -5x+4 0

Δ 25-16 9 άρα 1

1,2

2

x 45 3x

x 12

Για x=1 από την εξίσωση της (ε2) έχουμε ότι: y=-2

Για x=4 από την εξίσωση της (ε2) έχουμε ότι: y=4

Άρα η παραβολή και η ευθεία τέμνονται στα σημεία Α(1,-2) και Β(4,4)

γ) 2

2 2 2y 4x-x -2 4x x +4x+4 4x x -4

y -x -2

αδύνατη

Άρα η παραβολή και η ευθεία δεν έχουν κοινά σημεία

Λύση

Για να εφάπτεται η ευθεία (ε) με την παραβολή (c) αρκεί το σύστημα των εξισώ-σεών τους να έχει μοναδική λύση.


2 2

2 2

2 2

y 2px y 2pxy 2p 2y -p +3

x -2y+p -3 0 x 2y -p +3

2 3 2 3y 4py -2p +6p y - 4py+2p - 6p 0

Αρκεί 2 3Δ 0 16p - 8p 24p 0

2

2

p 0 Aπορρίπτεται8p -p +2p+3 0

-p +2p+3 0

Για την 2-p +2p+3 0 έχουμε:

Δ 4 12 16 άρα 1

1,2

2

p 12 4p

p 32

Δίνεται η παραβολή 2c : y 2px και η ευθεία με εξίσωση

2ε : x-2y+p -3 0 . Να βρεθεί το p ώστε η (ε) να εφάπτεται της παραβολής

και να βρεθούν τα σημεία επαφής.


ε1

ε3ε2

Παραβολή


Λύση

Λύση

Αρκεί να βρούμε τους πραγματικούς αριθμούς κ, λ έτσι ώστε η ευθεία

ε : y λx+κ να εφάπτεται του κύκλου και της παραβολής.

Από το σύστημα του (c1) και της (ε) έχουμε:

2 2

22 2 2 2 2x +y 25x λx κ 25 x λ x 2κλx κ - 25 0

y λx κ

2 2 21 λ x 2κλx κ - 25 0

Για να έχει η παραπάνω δευτεροβάθμια εξίσωση μόνο μια πραγματική λύση πρέπει:

2 2 2Δ 0 2κλ 4 1 λ κ - 25 0

2 2 2 2 2 24κ λ 4κ 100 4κ λ 100λ 0

2 2 2 24κ 100λ 100 κ 25λ 25 (1)

Από το σύστημα της (c2) και της (ε) έχουμε:

2

2 2 2 2

75y x 75 75

λx κ x λ x 2κλx κ x 044 4

y λx κ

Κοινές Εφαπτόμενες Κύκλου και Παραβολής

Α) Αν θέλουμε να δείξουμε ότι δύο κωνικές τομές εφάπτονται μεταξύ τους αρκεί να δείξουμε ότι στα κοινά τους σημεία δέχονται κοινές εφαπτό-μενες.

Β) Αν θέλουμε να βρούμε τις κοινές εφαπτόμενες ενός κύκλου και μιας πα-

ραβολής θεωρούμε ε : y λx+κ την εξίσωσή της κοινής εφαπτόμενης

και βρίσκουμε τα λ, κ απαιτώντας καθένα από τα συστήματα της (ε) με τον κύκλο και της (ε) με την παραβολή να έχει μοναδική λύση.

Εξετάζουμε μήπως υπάρχουν και κατακόρυφες

Δίνεται ο κύκλος 2 21c : x +y 25 και η παραβολή 2

2

75c : y x

4 . Να βρεί-

τε τις κοινές εφαπτόμενες αυτών.


3ο

Κεφάλαιο


2 2 24λ x 8κλ 75 x 4κ 0

Για να έχει η παραπάνω δευτεροβάθμια εξίσωση μόνο μια πραγματική λύση πρέπει:

2 2 22 2Δ 0 8κλ-75 64κ λ 0 8κλ-75 8κλ 0

8κλ 75 8κλ 8κλ 75 8κλ 0

75

75 16κλ 75 0 16κλ 75 0 16κλ 75 κ16λ

(2)

Από την (1) και με τη βοήθεια της (2) έχουμε:

2 22 2 2 2 4 2 2

2 2

75 7525λ 25 25λ 25 75 16 25λ 16 25λ

16λ 16 λ

2 4 2 2 2 4 2 275 75 16 25λ 16 25λ 3 75 16 λ 16 λ

4 2256λ 256λ 225 0

2 2 2 2Δ 256 4 225 256 256 256 900 256 1156 16 34 544

Άρα

21

21,2

22

9λ

256 544 16λ

25512λ Απορρίπτεται

16

Για 3

λ4

από τη σχέση (2) έχουμε 25

κ4

Άρα 1

3 25ε : y x+

4 4

Για 3

λ4

από τη σχέση (2) έχουμε 25

κ4

Άρα 2

3 25ε : y x

4 4

ε1

ε2

Παραβολή


Λύση

Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων της παραβολής και της ευθείας για να βρούμε τα κοινά τους σημεία

22 2 y 12x

y 12x y 12x2y+1

3x -2y 1 3x 2y+ 11 x3

2 2 22y+1y 12 y 8y+4 y -8y - 4 0

3

Δ 64 16 80 άρα1

1

1,2

22

8 4 5y

y 4 2 58 80 2y2 8 4 5 y 4 2 5

y2

Χορδή Παραβολής με Γνωστό Μέσο

Για να βρούμε την εξίσωση της χορδής ΑΒ της παραβολής 2c : y 2px ,

που έχει μέσο το σημείο Μ(xM,yM) ακολουθούμε τα εξής βήματα:

Θεωρούμε Α(x1,y1), B(x2,y2) δύο σημεία της παραβολής. Οπότε έχουμε 2

1 1y 2px και 22 2y 2px

Αφαιρώντας τις παραπάνω σχέσεις κατά μέλη προκύπτει

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2y -y 2px -2px y -y 2p x -x

1 2 1 2 1 2y -y y +y 2p x -x

1 2 Μy +y 2y

1 2ΑΒ ΑΒ

1 2 1 2 Μ Μ

y -y 2p 2p pλ λ

x -x y +y 2y y

Οπότε η εξίσωση της χορδής ΑΒ είναι: Μ M

Μ

py-y x-x

y

Δίνεται η παραβολή 2c : y 12x . Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου

Μ της χορδής που ορίζεται από την ευθεία ε : 3x-2y 1


ε

Μ

Α

Β

3ο

Κεφάλαιο


Για y 4 2 5 από την (1) έχουμε ότι: 2 4 2 5 +1 9 4 5

x3 3

Για y 4 2 5 από την (1) έχουμε ότι: 2 4 2 5 +1 9 4 5

x3 3

Άρα η ευθεία τέμνει την παραβολή στα σημεία:

9 4 5A 4 2 5,

3

και

9 4 5B 4 2 5,

3

Έτσι λοιπόν για τις συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ έχουμε:

Α ΒΜ

Μ

Α Β ΜΜ

x xx

x 62y y y 4

y2

άρα Μ(6,4)

Λύση

Ας είναι ΑΒ η χορδή της παραβολής με μέσο το Μ(3,2)

Αφού γνωρίζουμε ένα σημείο από το οποίο διέρχεται η ΑΒ αρκεί να βρούμε τον συντελεστή διεύθυνση της.

Θεωρούμε Α(x1,y1) και Β(x2,y2)

Ισχύει ότι 2 1ΑΒ

2 1

y -yλ

x -x


21 1A c : y 12x (1) και 2

2 2B c : y 12x (2)

Με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει ότι:

2 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1y y 12x 12x y y y y 12 x x

2 1 M

2 1ΑΒ

2 1

y y 2y2 1

2 1 y yλ2 1 x x

y yy y 12

x x

ΑΒ M ΑΒ ΑΒλ 2y 12 λ 4 12 λ 3

Οπότε Μ ΑΒ ΜΑΒ : y-y λ x-x y-2 3 x-3 y 3x-7

Δίνεται η παραβολή 2c : y 12x . Να βρείτε την εξίσωση της χορδής που

έχει μέσο το Μ(3,2).


ε

Μ

Α

Β

Παραβολή


Θεωρητικά Θέματα

Λύση

Για να εφάπτεται η ευθεία (ε) στην παραβολή (c) πρέπει το σύστημα των εξισώσεών τους να έχει μοναδική λύση.


2

2 2 2 2y 2pxλx κ 2px λ x 2κλx κ 2px

y λx κ

2 2 2λ x 2κλx - 2px κ 0

2 2 2λ x 2κλ - 2p x κ 0

Για να έχει το σύστημα μοναδική λύση πρέπει και η παραπάνω δευτεροβάθμια εξίσωση να έχει μοναδική λύση.

Πρέπει λοιπόν 2 2 2 2 2 2 2 2Δ 0 2κλ -2p - 4κ λ 0 4κ λ 8pκλ 4p - 4κ λ 0

2 28pκλ 4p 0 4p 8pκλ p 2κλ

Λύση

Η εστία της παραβολής (c) είναι το p

Ε ,02

Η εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο Μ έχει εξίσωση:

Μ 1 1ε : yy p x+x

Βρίσκουμε το σημείο τομής Α της (εΜ) με τον x΄x

Για y=0 από την (εΜ) έχουμε Μ 1 1 1ε : 0 p x+x x+x 0 x -x

Άρα Α(-x1,0)

Δίνεται η παραβολή 2c : y 2px και η ευθεία ε : y λx+κ με λ 0 . Να

βρείτε τη συνθήκη για την οποία η (ε) εφάπτεται της παραβολής.


Δίνεται η παραβολή 2c : y 2px και η εφαπτόμενη στο Μ(x1,y1) που τέ-

μνει τον x΄x στο Α. Αν Ε είναι η εστία της παραβολής (c) να δείξετε ότι το τρίγωνο ΕΑΜ είναι ισοσκελές.


3ο

Κεφάλαιο


2

2 2

E A E A 1 1

p pAΕ x x y y +x +x

2 2

2

2 2 2E M E M 1 1

pEM x x y y -x y

2

(1)

Όμως 21 1M c y 2px (2)

2 22

2 21 1 1 1 1

p p1 EM -px x 2px px x

2 2

2 2

21 1 1 1

p p p p2 x x x x

2 2 2 2

Αφού (ΑΕ)=(ΕΜ) το τρίγωνο ΑΕΜ είναι πράγματι ισοσκελές.

Λύση

Έστω ότι ο κύκλος έχει κέντρο το σημείο Κ και ακτίνα R

Για να δείξουμε ότι ο κύκλος εφάπτεται στον y΄y αρκεί να δείξουμε ότι:

ΚR x

Ας είναι Μ(x1,y1)

Η παραβολή μας έχει εστία το σημείο p

Ε ,02

Το κέντρο του κύκλου είναι το μέσο του ΕΜ. Άρα έχουμε:

Ε Μ 1Κ

Κ

Ε Μ1Κ

Κ

px x x

x 2x22

y yyy

y22

άρα είναι 1

1

px

y2Κ ,2 2

Δίνεται η παραβολή 2c : y 2px . Αν Μ τυχαίο σημείο της (c) να δείξετε ότι

ο κύκλος με διάμετρο την ΕΜ εφάπτεται στον y΄y.


Μ

ΑΕ

Παραβολή


Η ακτίνα του κύκλου είναι ίση με :

2

22 2 1 1

E M E M

p-x y

x x y y 2(ME)R

2 2 2

(1)

Όμως 21 1M c y 2px (2)

2 2

2 21 1 1 1 12

p p-px x 2px px x

2 21 R

2 2

2 2

21 1 1 1

Κ

p p p p2 x x x x

2 2 2 2x

2 2 2

Λύση

Ας είναι Α τυχαίο σημείο της διευθετούσας της παραβολής και ΑΓ, ΑΒ τα εφα-πτόμενα τμήματα που άγονται από το Α στην παραβολή.

Τότε 0

pΑ ,y

2

Κάθε ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α θα έχει εξίσωση:

A A Α 0 0

p pε : y - y λ x - x y - y λ x y λ x y

2 2

Για να εφάπτεται η (εΑ) στην παραβολή αρκεί το σύστημα των εξισώσεών τους να έχει μοναδική λύση.

22

0

0

y 2pxp

λ x y 2pxp2y λ x y

2

Δίνεται η παραβολή 2c : y 2px . Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες της (c)

που άγονται από τυχαίο σημείο Μ της διευθετούσας είναι μεταξύ τους κά-θετες.


Μ

Ε

Κ

3ο

Κεφάλαιο


2

2 20 0

p pλ x 2λ x y y 2px

2 2

22 2 2

0 0 0

pλ x px 2λy x λpy y 2px

4

22 2 2 2 2

0 0 0

pλ x λ px λ 2λy x λpy y - 2px 0

4

2

2 2 2 2 20 0 0

pλ x x λ p 2λy - 2p λpy y λ 0

4

Πρέπει:

2

22 2 2 20 0 0

pΔ 0 λ p 2λy - 2p - 4 λpy y λ λ 0

4

22 2 2 4 2 3

0 0 0λ p 2λy - 2p - 4y λ - λ p - 4λ py 0

4 2 2 2 2 3 2 2 2 2 4 2 30 0 0 0 0λ p +4λ y +4p +4λ py - 4λ p - 8λy p- 4y λ - λ p - 4λ py 0

4 2λ p 2 20+4λ y 2 3

0+4p +4λ py 2 2 2 20 0- 4λ p - 8λy p -4y λ 4 2- λ p 3

0-4λ py 0

2 2 204p - 4λ p - 8λy p 0

204p λ p 2λy -p 0

20λ p 2λy -p 0

Θεωρώντας το 1ο μέλος της παραπάνω εξίσωσης τριώνυμο ως προς λ και με τη βοήθεια των τύπων του Vieta έχουμε:

1 2 1 2 1 2

β pλ λ = - λ λ = - λ λ = -1

α p οπότε ΑΓ ΑΒ

Α

Β

Γ

pΕ 0,

2

Παραβολή



Λύση

Ο κύκλος (c) έχει κέντρο το Κ(2,0) και ακτίνα ρ=2

Ας είναι Μ(x,y) τα κέντρα των κύκλων που εφάπτονται στον y΄y και εξωτερικά στον κύκλο (c).

Αφού ο κύκλος (c΄) εφάπτεται στον y΄y έχουμε ότι : ρ x

Επιπλέον αφού ο κύκλος (c΄) εφάπτεται εξωτερικά του (c) έχουμε ότι:

2 2

M K M Kρ+ρ ΚΜ 2+ x x x y y

2

22 22 22+ x x 2 y 2+ x x 2 y

2 2 2 24+4 x +x x 4x 4y 4 x 4x y (1)

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις

Αν x 0 τότε από την (1) προκύπτει:2 24x 4x y y 8x

οπότε σε αυτή την περίπτωση ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η παραβολή με εστία Ε(2,0) και διευθετούσα (δ): x = -2

Αν x 0 τότε από την (1) προκύπτει:2 2-4x 4x y y 0 y 0

οπότε σε αυτή την περίπτωση ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι ο αρνητικός ημιάξονας των x΄x.

Δίνεται ο κύκλος 2 2c : x-2 +y 4 . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των

κέντρων Μ των κύκλων (c΄) που εφάπτονται στον άξονα y΄y και στον κύκλο (c) εξωτερικά.


Κ

2 4

3ο

Κεφάλαιο


Λύση

Ας είναι Α(x1,y1) και Β(x2,y2) τα σημεία τομής της παραβο-λής (c2) από την εφαπτμένη της παραβολής (c1) στο ση-μείο Ρ(xo,yo) αυτής.

Είναι 0Ρ 0 0

0 0

2 xε : yy -2 x+x y - x+

y y (1)

Ακόμη:

22 1 1Α c y 8x (2) και 2

2 2 2Β c y 8x (3)

Αφαιρώντας κατά μέλη τις (2) και (3) έχουμε:

2 21 2 1 2 1 2 1 1 1 2y y 8x 8x y y y y 12 x x

1 21 2

1 2

y yy y 8

x x

(4)

Όμως 1 2ε

1 2 0

y y 2λ -

x x y

καθώς και 1 2 My y 2y

Οπότε από τη σχέση (4) προκύπτει ότι

M M 0 M 0

0

22y 8 4y 8y y 2y

y (5)

Επιπλέον:

0Ρ 1 1

0 0

2 xA ε : y - x +

y y (6) και 0

Ρ 2 2

0 0

2 xB ε : y - x +

y y (7)

Προσθέτοντας κατά μέλη τις (6) και (7) έχουμε:

0 01 2 1 2 M M

0 0 0 0

2 2x 2 2xy +y - x +x + 2 y - 2x +

y y y y

52M 0

0 0 M 0

0 0

4x 2x4 y + 4 y 4x +2x

y y

2 2 0M 0 0 M 0

x4x 4 y +2x x y +

2 (8)

Δίνονται οι παραβολές 21c : y -4x και 2

2c : y 8x . Αν η εφαπτομένη

της (c1) τέμνει τη (c2) στα Α και Β να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του μέσου Μ του ΑΒ.


Β

ΑO Μ

Ρ

c2

c1

Παραβολή


Όμως 21 0 0Ρ c y -4x (9)

Οπότε η (8) με τη βοήθεια της (9) γράφεται:

2 0 0 MM 0 0 M 0 M 0

x 7x 2x4x 4 y +2x x 4x + x x

2 2 7 (10)

Από τη σχέση (5) έχουμε: M0

yy

2 (11)

Τελικά από την (9) και με τη βοήθεια των (10) και (11) προκύπτει ότι:

22Μ Μ

Μ Μ

y 8x 32y x

4 7 7

Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η παραβολή με εξίσωση:

2 32y x

7

3ο

Κεφάλαιο



Εύρεση Εξίσωσης Παραβολής

1) Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα συμμετρίας των x΄x σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις:

Α) Όταν έχει εστία

α) το σημείο Ε(1,0) β) το σημείο Ε΄(-1,0)

Β) Όταν έχει διευθετούσα

α) την ευθεία (δ): x=-2 β) την ευθεία (δ): x=2

Γ) Όταν διέρχεται από το σημείο Α(1,2)

2) Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής με κορυφή το Ο(0,0) στις παρακάτω περιπτώσεις:

α) Είναι συμμετρική ως προς το θετικό ημιάξονα Οx και έχει παράμετρο p=5.

β) Eίναι συμμετρική ως προς τον άξονα Οx και διέρχεται από το σημείο Α(-1,4).

γ) Είναι συμμετρική ως προς τον άξονα Οy και διέρχεται από το σημείο Β(2,2).

δ) Έχει άξονα συμμετρίας τον Οy και εστία Ε(0,-4).

ε) Έχει εστία Ε(-2,0) και διευθετούσα (δ): x-2=0

3) Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξό-νων και άξονα συμμετρίας τον άξονα y΄y σε καθεμία από τις παρακάτω πε-ριπτώσεις:

α) Όταν έχει εστία το σημείο Ε(0,1)

β) Όταν έχει διευθετούσα την ευθεία (ε):3y-2=0

γ) Όταν διέρχεται από το σημείο Α(2,1)

Παραβολή


4) Να βρείτε τις εξισώσεις των παρακάτω σχεδιασμένων παραβολών

5) Να βρείτε την εστία και τη διευθετούσα καθεμίας από τις παρακάτω παρα-βολές:

α) 21c : y 4x β) 2

2c : y 4x γ) 23c : x -8y

δ) 24c : x 8y ε) 2

5

1c : y x

6στ) 2

6

1c : x y

5

6) Δίνεται η παραβολή 2c : y 4x και η ευθεία ε : x+y 1

α) Να βρείτε την εστία Ε και την εξίσωση της διευθετούσας της (c)

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της (c) με την (ε)

7) Δίνεται η παραβολή 2c : y 4x

α) Να βρείτε την εστία Ε και την εξίσωση της διευθετούσας της (c).

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της παραβολής (c) με την ευθεία (ε) που διέρ-

χεται από την εστία της (c) και είναι παράλληλη στο διάνυσμα v i j

8) Δίνονται οι παραβολές

21c : y 16x , 2

2c : y 16x , 23c : x 16y , 2

4c : x 16y

Να βρεθεί το εμβαδόν του τετραπλεύρου που σχηματίζεται από τα σημεία τομής των παραπάνω παραβολών που είναι διάφορο του Ο(0,0).

Ε

Ε

Ε

Ε

δ

-4

δ

2

1

2

3 δ

δ

3ο

Κεφάλαιο


9) Δίνονται οι παραβολές 21c : y 4x και 2

2c : x 4y

α) Να βρείτε την εστία Ε1 της (c1) και την εστία Ε2 της (c2)

β) Να βρείτε το σημείο τομής Α των (c1) και (c2) που είναι διάφορο του Ο(0,0).

γ) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου (ΑΕ1Ε2)

10) α) Να δείξετε ότι η παραβολή 2c : y 2px και η ευθεία y=x έχουν δύο κοι-

νά σημεία.

β) Να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου p ώστε η απόσταση των παραπάνω

σημείων να είναι ίση με 8 2

11) Δίνεται η παραβολή 21

1c : y x

2και ο κύκλος

222c : x + y+1 10

α) Να βρείτε την εστία Ε και τη διευθετούσα της

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της παραβολής με τον κύκλο

12) Δίνεται η παραβολή 2c : 2y x

α) Να βρεθούν η εστία και η διευθετούσα της

β) Να βρεθεί η απόσταση του σημείου της Α(2,1) από την εστία Ε και να συγκριθεί με την απόσταση (ΟΕ).

γ) Να δείξετε ότι το σημείο της παραβολής με τη μικρότερη απόσταση από την εστία της είναι η κορυφή Ο.

Εξίσωση Εφαπτομένης Παραβολής

13) Δίνεται η παραβολή 2c : y 4x και η ευθεία ε : 4x - 5y 4 0

α) Να βρεθούν τα σημεία τομής Α, Β της παραβολής (c) με την ευθεία (ε).

β) Να βρεθούν οι εφαπτομένες της παραβολής στα Α, Β καθώς και το ση-μείο τομής τους.

Παραβολή


14) Να βρεθούν οι εφαπτομένες της παραβολής 2c : y 24x στα σημεία

3Α ,6

2και Β(24,-24) και να δείξετε ότι τέμνονται κάθετα πάνω στη διευ-

θετούσα της.

15) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της παραβολής 2c : y 4x

στα σημεία Α(4,4) και

1Β , 1

4και να δείξετε ότι τέμνονται κάθετα πάνω

στη διευθετούσα της.

16) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής 2c : y 4x σε κα-

θεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις:

α) Αν είναι παράλληλη στην 1ε : y x -1

β) Αν είναι κάθετη στην 2ε : y 2x 1

γ) Αν διέρχεται από το σημείο Α(-2,1)

17) Από το σημείο Α(-2,3) προς την παραβολή 2c : y 8x γράφονται δύο

εφαπτόμενες ευθείες. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών και να δείξετε ότι είναι κάθετες.

18) Δίνεται η παραβολή 2c : y 4x . Να βρείτε:

α) Την εστία και τη διευθετούσα της παραβολήςβ) Τις ευθείες που διέρχονται από την εστία της παραβολής και απέχουν

από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση με 2

2γ) Την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής που είναι παράλληλη

στην ευθεία ε : y x -1

19) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής 2c : y 6x που

απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση d 3 .

3ο

Κεφάλαιο


20) Να εξετάσετε αν υπάρχει εφαπτομένη της παραβολής 2c : y 8x που

απέχει από την εστία Ε της παραβολής απόσταση d 3 .

Κοινές Εφαπτομένες Κύκλου – Παραβολής, Παραβολής - Παραβολής

21) Να βρείτε τις κοινές εφαπτομένες του κύκλου 2 21c : x y 2 και της πα-

ραβολής 22c : y 8x και να δείξετε ότι είναι κάθετες.

22) Να βρείτε τις κοινές εφαπτομένες του κύκλου 2 21c : x y 64 και της

παραβολής 22c : x 12y .

23) Δίνεται ο κύκλος 2 21c : x y 4x 1 0 και η παραβολή 2

2c : y 2px .

Αν το σημείο Α(1,λ), λ>0 είναι κοινό σημείο των (c1) και (c2) τότε:α) Να βρείτε τα λ και pβ) Nα βρείτε το άλλο κοινό σημείο των (c1) και (c2)γ) Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της παραβολής (c2) στο Α εφάπτεται στον

κύκλο (c1) και μετά να βρείτε την άλλη κοινή εφαπτομένη στο άλλο κοι-νό σημείο.

24) Δίνεται ο κύκλος 2 2

1c : x - 3 y 8 και η παραβολή 22c : y 4x

α) Να βρείτε τα κοινά του σημεία Α, Ββ) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της παραβολής (c2) στα ση-

μεία Α και Βγ) Να δείξετε ότι οι εφαπτομένες της παραβολής στα Α και Β εφάπτονται

και στον κύκλο. δ) Τι συμπεραίνετε για τον κύκλο και την παραβολή;

25) Να αποδείξετε ότι η παραβολή 21c : x 2y και ο κύκλος

22

2c : x y 3 5 εφάπτονται (Δηλαδή σε κάποιο κοινό σημείο τους οι

εφαπτομένες τους συμπίπτουν).

Παραβολή


26) Δίνεται η παραβολή με εξίσωση 2c : y 16x . Να βρεθεί η εξίσωση του

κύκλου ακτίνας ρ=10 που το κέντρο του είναι στον άξονα x΄x και εφάπτε-ται της παραβολής.

Σχετική Θέση Παραβολής – Ευθείας

27) Δίνεται η παραβολή 2c : y x

α) Να δείξετε ότι η ευθεία 1ε : y 3x+1 δεν έχει κανένα κοινό σημείο με

την παραβολή.

β) Να δείξετε ότι η ευθεία 2ε : y 2x -1 τέμνει την παραβολή σε δύο ση-

μεία.

γ) Να δείξετε ότι η ευθεία 3ε : 4y - 4x 1 εφάπτεται της παραβολής.

28) Δίνεται η παραβολή 2c : y 4x και η ευθεία ε : λx 4y 7 0 με λℝ.

Να βρεθεί η τιμή του λ ώστε η (ε) να εφάπτεται της παραβολής (c).

29) Δίνεται η παραβολή 2c : y 2x και η ευθεία ε : x λy 8 0 . Να βρεθεί

η τιμή του πραγματικού αριθμού λ ώστε η (ε) να εφάπτεται της παραβο-λής. Στην περίπτωση αυτή να βρεθεί το σημείο επαφής.

30) α) Να δείξετε ότι η παραβολή 2c : y 2px και η ευθεία ε : y x έχουν

δύο κοινά σημεία.

β) Για ποια τιμή της παραμέτρου p η απόσταση των δύο αυτών σημείων

ισούται με 8 2 .

31) Δίνεται η παραβολή 2c : y 2x και η ευθεία (ε) που τέμνει την παραβολή

στα σημεία Α και Β και διέρχεται από το σημείο Γ(2,0). Να δείξετε ότι

AΟB 90o

.

3ο

Κεφάλαιο


Χορδή Παραβολής με Γνωστό Μέσο

32) Να βρεθεί η εξίσωση της χορδής ΑΒ της παραβολής 2c : y 8x η οποία

έχει ως μέσο το σημείο Μ(4,1).

33) Να βρεθεί η εξίσωση της χορδής της παραβολής 2c : y 10x η οποία

έχει ως μέσο το σημείο Μ(-5,1).

34) Να αποδείξετε ότι τα μέσα των χορδών της παραβολής 2c : y 4x που

έχουν συντελεστή διεύθυνσης λ=1 ανήκουν σε ευθεία γραμμή της οποίας να βρεθεί και η εξίσωση.

35) Δίνεται η παραβολή 2c : y 12x . Να βρείτε την ευθεία που διέρχεται

από την εστία της και αποκόπτει από την παραβολή χορδή μήκους 15.

36) Δίνεται η παραβολή 2c : y 8x και η ευθεία ε : y 2x+β .

Α) Να βρείτε για ποιες τιμές του βℝ η ευθεία (ε) τέμνει την παραβολή

(c) σε δύο διακεκριμένα σημεία.

Β) Έστω ότι η ευθεία (ε) τέμνει την παραβολή (c) στα σημεία Α και Β και έστω Μ μέσο του ΑΒ

α) Να γράψετε τις συντεταγμένες του Μ συναρτήσει του β

β) Αν το σημείο Μ απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση με

2 5 , να βρείτε τον αριθμό β.


37) Δίνεται η παραβολή 2c : y 2px και μια χορδή της ΑΒ, παράλληλη με τον

άξονα y΄y η οποία διέρχεται από την εστία.

Παραβολή


Να δείξετε ότι:

α) (ΑΒ)=2(ΕΚ) όπου Κ το σημείο που τέμνει ο άξονας x΄x την διευθετούσα

β) Οι εφαπτόμενες στα σημεία Α και Β διέρχονται από το Κ.

38) Δίνεται η παραβολή 2c : y 2px η εστία της Ε και οι εφαπτόμενες ευθεί-

ες (ε1) και (ε2) σε δύο σημεία Α(x1,y1) και Β(x2,y2) αντίστοιχα. Αν οι (ε1) και (ε2) τέμνονται στο σημείο Μ και Ν είναι το μέσο του ΑΒ τότε:

α) Να γράψετε τις συντεταγμένες του σημείου Μ συναρτήσει των y1, y2 και p.

β) Να δείξετε ότι MN//x x

γ) Το μέσο του τμήματος ΜΝ ανήκει στην παραβολή (c)

δ) Να δείξετε ότι 2

ΕΜ ΕΑ ΕΒ

39) Δίνεται η παραβολή 2c : y 2px και η εφαπτομένη σε ένα τυχαίο ση-

μείο Μ αυτής. Έστω η χορδή ΑΒ της παραβολής που διέρχεται από την εστία της Ε και είναι παράλληλη της εφαπτομένης στο Μ.

α) Να δείξετε ότι (ΑΒ)=4(ΜΕ)

β) Αν Ν μέσο της ΑΒ και Λ, Κ οι προβολές των Ν και Μ πάνω στη διευθε-τούσα της παραβολής και Ρ το μέσο της ΝΛ να δείξετε ότι το τετρά-πλευρο ΚΜΡΛ είναι παραλληλόγραμμο.

40) Δίνεται η παραβολή 2c : y 2px με κορυφή το Ο και δύο μεταβλητά ση-

μεία 1 1A x ,y και 2 2B x ,y ώστε το τρίγωνο ΟΑΒ να είναι πάντα ορθογώ-

νιο στο Ο. Να δείξετε ότι

α) 21 2x x 4p και 2

1 2y y 4p

β) Οι συντεταγμένες του μέσου Μ της υποτείνουσας επαληθεύουν την εξί-

σωση 2y p x -2p

γ) Η ευθεία ΑΒ διέρχεται πάντα από ένα σταθερό σημείο Ρ.

3ο

Κεφάλαιο


δ) Αν οι εφαπτόμενες στα σημεία Α και Β τέμνονται στο Κ, τότε αυτό το ση-μείο κινείται πάνω σε μια ευθεία και ισχύει ότι ΚΜ//x΄x.


41) Αν α 0 να δείξετε ότι το σημείο 2

2α 2αΜ ,

λ λ

με α σταθερό, κινείται σε

παραβολή όταν το λ μεταβάλλεται στο ℝ*.

42) Δίνονται τα σημεία του επιπέδου 2x,y 2pκ ,2pκ με κℝ

α) Να δείξετε ότι τα σημεία αυτά ανήκουν σε μια παραβολή

β) Αν 21 1Α 2pκ ,2pκ και 2

2 2Β 2pκ ,2pκ είναι δύο σημεία της παραβολής

αυτής να δείξετε ότι αν η ΑΒ διέρχεται από την εστία είναι 4κ1κ2=-1

43) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(x,y) για τα οποία ισχύει 4 2y 16x 0

44) Αν το σημείο Α κινείται στην παραβολή 2c : y x να βρείτε που κινεί-

ται σημείο Μ για το οποίο ισχύει OM 2 MA

.

45) Δίνεται σταθερό σημείο Α και ευθεία (ε) που δε διέρχεται από το Α να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων που διέρ-χονται από το Α και εφάπτονται στην (ε) είναι παραβολή.

Παραβολή


3ο

Κεφάλαιο


3.3 Έλλειψη

Ορισμός

Έστω Ε΄, Ε δύο σταθερά σημεία ενός επιπέδου.

Έλλειψη με εστίες Ε΄ και Ε, λέγεται ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισματων αποστάσεων από τα Ε΄ και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την α-πόσταση (Ε΄Ε).

Σημείωση

Το σταθερό αυτό άθροισμα το συμβολίζουμε, συνήθως, με 2α ενώ την απόσταση (Ε΄Ε) με 2γ και την ονομάζουμε εστιακή απόσταση.

Εξίσωση Έλλειψης με Εστίες στον Άξονα x΄x

Η εξίσωση της έλλειψης C ως προς σύστημα συντεταγμένων Οxy, με άξο-να των x την ευθεία που ενώνει τις δύο εστίες και άξονα των y τη μεσο-κάθετο του Ε΄Ε, είναι:

2 2

2 2

x y1

α β

όπου 2 2 2β α γ και α, γ όπως ορί-

στηκε στον προηγούμενο ορισμό.

Ορι

σμός

Έ

λλ

ειψ

ηςΕ

ξίσω

ση

Έλ

λει

ψης

Ε(γ,0)

ΕΕ΄

Μ

(ΜΕ)+(ΜΕ΄)=σταθ.=2α

(ΕΕ΄)=2γ

α>γ

Ε΄(-γ,0)

Μ(x,y)

O

Έλλειψη


Εξίσωση Έλλειψης με Εστίες στον Άξονα y΄y

Η εξίσωση της έλλειψης C ως προς σύστημα συντεταγμένων Οxy με άξο-να των x τη μεσοκάθετο του Ε΄Ε και άξονα των y την ευθεία Ε΄Ε είναι:

2 2

2 2

x y1

β α

όπου 2 2 2β α γ και α, γ όπως ορί-

στηκαν στον ορισμό της έλλειψης.

Ας είναι η έλλειψη 2 2

2 2

x yc : 1

α β

1) Αν 1 1 1M (x ,y ) c

α) 2 1 1M (x , y ) c δηλαδή ο άξονας x΄x είναι άξονας συμμετρίας

της (c)

β) 3 1 1M ( x ,y ) c δηλαδή ο άξονας y΄y

είναι άξονας συμμετρίας της (c)

γ) 4 1 1M ( x , y ) c δηλαδή η αρχή των

αξόνων Ο είναι κέντρο συμμετρίας της (c)

δ) Το σημείο Ο λέγεται κέντρο της έλλειψης

2) Η εξίσωση 2 2

2 2

x yc : 1

α β

α) Για x=0 η εξίσωση της (c) δίνει2

2 2

2

y1 y β y β

β άρα η (c) τέ-

μνει τον y΄y στα σημεία Β(0,β) και Β΄(0,-β)

β) Για y=0 η εξίσωση της (c) δίνει 2

2 2

2

x1 x α x α

α άρα η (c)

τέμνει τον x΄x στα σημεία Α(α,0) και Α΄(-α,0)

Ιδιό

τητε

ς

Έλ

λει

ψης

Εξί

σωση

Έ

λλ

ειψ

ης Ε(0,γ)

Ε΄(0,-γ)

Μ(x,y)

O

Μ1(x1,y1)

Μ2(x1,-y1)

Μ3(-x1,y1)

Μ4(-x1,-y1)

O

Β(0,β)

Β΄(0,-β)

Α(α,0)

Α΄(-α,0)

Κ

Λ

3ο

Κεφάλαιο


Τα σημεία Α, Α΄, Β, Β΄ λέγονται κορυφές της έλλειψης (c)

Το ευθύγραμμο τμήμα Α΄Α με (Α΄Α)=2α λέγεται μεγάλος άξονας ενώ το Β΄Β με (Β΄Β)=2β λέγεται μικρός άξονας της έλλειψης.

Κάθε ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ που τα άκρα του Κ, Λ είναι σημεία της έλλειψης και διέρχεται από το κέντρο Ο, λέγεται διάμετρος της (c)(προφανώς τα Κ, Λ είναι σημεία συμμετρικά ως προς το Ο).

Αποδεικνύεται ότι 2β ΚΛ 2α

3) Η έλλειψη (c) περιέχεται στο ορθογώνιο πουορίζουν οι ευθείες x=-α, x=α, x=-β και x=β γιατί

αποδεικνύεται ότι για κάθε (x,y) c ισχύουν

α x α

β y β

Ορισμός

Εκκεντρότητα της έλλειψης 2 2

2 2

x yc : 1

α β ,

ονομάζουμε το λόγο γ

εα


1) Είναι προφανές ότι 0 ε 1

2) Αν αντικαταστήσουμε 2 2γ α β κατόπιν πράξεων προκύπτει ότι

2β1 ε

α

Από τον τύπο αυτό καταλαβαίνουμε ότι όσο μεγαλύτερη η εκκεντρό-

τητα τόσο μικραίνει ο λόγος β

ακαι επομένως τόσο πιο επιμηκής γίνε-

ται η έλλειψη και αντίστροφα.

Αν το ε τείνει στο 1 τότε το β τείνει στο 0 και η έλλειψη τείνει να γίνει ευθύγραμμο τμήμα.

Αν το ε τείνει στο 0 τότε το α τείνει να γίνει ίσο με το β και η έλ-λειψη τείνει να γίνει κύκλος.

Οι ελλείψεις που έχουν την ίδια εκκεντρότητα ε, επομένως τον ίδιο

λόγο β

α, λέγονται όμοιες

Ιδιό

τητε

ς

Έλ

λει

ψης

Εκκ

εντρ

ότητ

α

Έλ

λει

ψης

Α(α

,0)Β(0,β)

Β΄(0,-β)

Α΄(

-α,0

)

ε1>ε2>ε3

ε1

ε2

ε3

Έλλειψη


Εφαπτομένη έλλειψης που έχει εστίες στον x΄x

Η εξίσωση της εφαπτομένης ε στην έλλειψη

2 2

2 2

x yc : 1

α β στο σημείο της 1 1M(x ,y ) είναι:

1 12 2

xx yy1

α β

Εφαπτομένη έλλειψης που έχει εστίες στον y΄y

Η εξίσωση της εφαπτομένης ε στην έλλειψη

2 2

2 2

x yc : 1

β α στο σημείο της 1 1M(x ,y ) είναι:

1 12 2

xx yy1

β α

Η κάθετη (δ) στην εφαπτομένη (ε) μιας έλλει-ψης (c), στο σημείο της Μ διχοτομεί τη γωνία

Ε΄ΜΕ

, όπου Ε΄, Ε οι εστίες της έλλειψης.

Εξί

σωση

Εφ

απτο

μένη

ς

Έλ

λει

ψης

Ανα

κλασ

τική

Ιδι

ότητ

α Έ

λλ

ειψ

ης

Μ(x1,y1)

(ε)

Μ(x1,y1)

(ε)

Μ(x1,y1)

φ φ

(ε)

(δ)

3ο

Κεφάλαιο



Λύση

Οι εστίες της έλλειψης βρίσκονται στον x΄x άρα η εξίσωση της (c) θα είναι της μορφής

2 2

2 2

x yc : 1

α β

Επιπλέον από τις συντεταγμένες των εστιών έχουμε ότι

γ 3

Αφού ο μικρός άξονας ισούται με 8 είναι 2β 8 β 4

Όμως από θεωρία είναι γνωστό ότι2 2 2 2 2 2 2 2β α γ α β γ α 16 9 α 25 α 5

Έτσι λοιπόν η εξίσωση της έλλειψης είναι

2 2x y

c : 125 16

Εύρεση Εξίσωσης Έλλειψης

Για να βρούμε την εξίσωση μιας έλλειψης ακολουθούμε τα εξής βήμα-τα:


Η μορφή της εξίσωσης καθορίζεται από τον άξονα όπου βρίσκονται οι εστίες της.

Ως γνωστό, αν οι εστίες είναι στον x΄x τότε η εξίσωση της έλλειψης θα

είναι της μορφής 2 2

2 2

x yc : 1

α β ενώ αν οι εστίες είναι στον άξονα

y΄y τότε η εξίσωση της έλλειψης θα είναι της μορφής 2 2

2 2

x yc : 1

β α .

2) Βρίσκουμε τα α και β από κατάλληλα δεδομένα

Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει εστίες Ε΄(-3,0), Ε(3,0) και μι-κρό άξονα ίσο με 8.


Β

Α΄ Α5

Β΄-4

Ε

-5

Ε΄

3-3

4

Έλλειψη


Λύση

Εστίες στον x΄x άρα 2 2

2 2

x yc : 1

α β

Ακόμη γ 2 .

Όμως 1 γ 1 2 1

ε α 42 α 2 α 2

Επίσης 2 2 2 2 2β α γ β 16 4 β 12 β 2 3

Άρα 2 2x y

c : 116 12

Λύση

Εστίες στον y΄y άρα 2 2

2 2

y xc : 1

α β

2 2 2 2

1 1 4 4Κ c : 1 4

α β α β (1)

2 2 2 2

14 4 14Λ c : 1 1α β α 4β

(2)

Με αφαίρεση κατά μέλη των (1) και (2) προκύπτει

2 2 2 2

2 2

4 1 15 53 16 1 12β 15 12β β β

β 4β 12 4

Για 2 5β

4 η (1) 2

2 2

4 16 4 44 α 5

α 5 α 5

Άρα 2 2 2 2y x y 4x

c : 1 155 5 5

4

Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει εστίες Ε΄(-2,0), Ε(2,0) και εκ-

κεντρότητα 1

2.


Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει που οι εστίες της βρίσκονται

στον y΄y και διέρχεται από τα σημεία Κ(1,-1) και

1Λ ,2

2.


Α

Β

Α΄

Β΄

ΕΕ΄4-4 -2 2

2 3

2 3

ΒΒ΄

Α΄

Α

Ε

Ε΄

3ο

Κεφάλαιο


Λύση

Εστίες στον y΄y άρα 2 2

2 2

y xc : 1

α β

Ακόμη 1 γ 1

ε α 3γ3 α 3

(1)

Όμως

12 2 2 2 2 2 2 2β α γ β 9γ γ β 8γ β 2 2γ (2)

Ας είναι (c1) o περιγεγραμμένος κύκλος της έλλειψης και (c2) o εγγεγραμμένος κύκλος .

Η ακτίνα του (c1) θα είναι 1

1R OA α 3γ

Η ακτίνα του (c2) θα είναι 2

2R OΒ β 2 2γ

Έτσι λοιπόν είναι

1 2

2 2 2 2 2Δακτυλίου 1 2Ε Ε Ε 4π πR πR 4 9γ 8γ 4 γ γ 2c c

Οπότε από (1) α 6 και από 2 β 4 2

Άρα 2 2x y

c : 132 16

Εύρεση Στοιχείων Έλλειψης

Αν γνωρίζουμε την εξίσωση έλλειψης μπορούμε να προσδιορίσουμε, τις κορυφές της, το μήκος του μικρού άξονα, το μήκος του μεγάλου άξονα, τις εστίες της καθώς και την εκκεντρότητα της.

1) Αν η εξίσωση της έλλειψης δεν είναι σε μια από τις μορφές 2 2

2 2

x y1

α β

ή 2 2

2 2

x y1

β α τη φέρνουμε με κατάλληλες πράξεις.

Μια έλλειψη έχει κέντρο την αρχή Ο των αξόνων και τις εστίες της βρίσκο-νται πάνω στον άξονα y΄y. Να βρεθεί η εξίσωσή της αν η εκκεντρότητα εί-

ναι 1

3και το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου που σχηματίζεται από τον

περιγεγραμμένο και τον εγγεγραμμένο κύκλο της έλλειψης είναι 4π.


Α

Α΄

ΒΒ΄

Ο

βα

Έλλειψη


Λύση

α) Από την εξίσωση της έλλειψης έχουμε ότι2α 9 α 3 και 2β 4 β 2

Όμως 2 2 2 2 2 2 2β α γ γ α β γ 5 γ 5

Οι κορυφές της έλλειψης είναι

Α(3,0), Α΄(-3,0), Β(0,2), Β΄(0,-2)

Οι εστίες της έλλειψης είναι Ε 5,0 και Ε 5,0

Το μήκος του μεγάλου άξονα είναι ΑΑ΄ 2α 6

Το μήκος του μικρού άξονα είναι ΒΒ΄ 2β 4

Η εκκεντρότητα είναι γ 5

εα 3

β) Αρχικά μετασχηματίζουμε την εξίσωση της έλλειψης2 2 2 2

2 2 16x 25y x y16x 25y 400 1 1

400 400 25 16

Από την εξίσωση της έλλειψης έχουμε ότι 2α 25 α 5 και 2β 16 β 4

Όμως 2 2 2 2 2 2 2β α γ γ α β γ 9 γ 3

Οι κορυφές της έλλειψης είναι Α(5,0), Α΄(-5,0), Β(0,4), Β΄(0,-4)

Οι εστίες της έλλειψης είναι Ε 3,0 και Ε 3,0

Να βρείτε τις κορυφές, τα μήκη του μικρού και του μεγάλου άξονα, τις ε-στίες και την εκκεντρότητα καθεμίας από τις παρακάτω ελλείψεις:

α)2 2x y

19 4 β) 2 216x 25y 400 γ) 2 225x 4y 1


Χρήσιμος ΚανόναςΟι εστίες μιας έλλειψης βρίσκονται πάντα στον άξονα της μεταβλητής μετον μεγαλύτερο παρονο-μαστή.

2) Βρίσκουμε τον άξονα που είναι οι εστίες της

Οι εστίες βρίσκονται στον άξονα της μεταβλητής με τον μεγαλύτερο πα-ρονομαστή.

Α

Β

Α΄ ΕΕ΄

5

Β΄

2

-2

4-4 5

ΑΕΕ΄

3

-4

-3

3-3Α΄

Β

Β΄

4

3ο

Κεφάλαιο



Το μήκος του μικρού άξονα είναι ΒΒ΄ 2β 8

Η εκκεντρότητα είναι γ 3

εα 5

γ) Αρχικά μετασχηματίζουμε την εξίσωση της έλλειψης2 2

2 2 x y25x 4y 1 1

1 1

25 4

Από την εξίσωση της έλλειψης έχουμε ότι

2 1 1α α

4 2 και 2 1 1

β β25 5

Όμως 2 2 2 2 2 2 2 21 1 21 21β α γ γ α β γ γ γ

4 25 100 10

Οι κορυφές της έλλειψης είναι 1

Α 0,2

,1

Α 0,2

,1

Β ,05

,1

Β΄ ,05

Οι εστίες της έλλειψης είναι 21

Ε 0,10

και 21

Ε΄ 0,10


Το μήκος του μικρού άξονα είναι 2

ΒΒ΄ 2β5

Η εκκεντρότητα είναι

21γ 2110ε

1α 52

Λύση

Να βρείτε το εμβαδόν του τετραγώνου που είναι εγγεγραμμένο στην έλ-

λειψη 2 2x y

c : 149 36


Α

Ε

Ε΄

1

5

12

12

1

5

Α΄

Β

Α

Β΄

21

10

21

10

Έλλειψη


Από την εξίσωση της έλλειψης έχουμε ότι

2α 49 α 7 και 2β 36 β 6

Χωρίς περιορισμός της γενικότητας θεωρούμε Μ1(x1,y1)

τυχαίο σημείο της έλλειψης με 1x 0 και 1y 0 οπότε

Μ2(-x1,y1), Μ3(-x1,-y1), Μ4(x1,-y1) αφού η έλλειψη έχει άξο-να συμμετρίας τόσο τον x΄x όσο και τον y΄y.

Έτσι λοιπόν είναι 1 4 1M M 2y και 3 4 1M M 2x

Όμως το τετράπλευρο Μ1Μ2Μ3Μ4 είναι τετράγωνο άρα έχουμε

1 4 3 4 1 1 1 1M M M M 2x 2y x y

Άρα Μ1(x1,x1)

Επιπλέον 1M c :2 2 2 2

21 1 1 11

x x 36x 49x1 1 85x 49 36

49 36 49 36

21 1 1

49 36 49 36 42x x x

85 85 85

Τελικά λοιπόν 2

2 2 21 2 3 4 3 4 1 1

42 7056M M M M M M 2x 4x 4

85 85

Σχετική Θέση Σημείου ως προς Έλλειψη

Έστω η έλλειψη 2 2

2 2

x yc : 1

α β και ένα τυχαίο σημείο Μ(x1,y1)

To M είναι σημείο της έλλειψης αν και μόνο αν 2 2

1 12 2

x y1

α β

To M είναι εσωτερικό σημείο της έλλειψης αν και μόνο αν2 2

1 12 2

x y1

α β

To M είναι εξωτερικό σημείο της έλλειψης αν και μόνο αν2 2

1 12 2

x y1

α β

Μ1

Μ4

Μ2

Μ3

3ο

Κεφάλαιο


Λύση

Αρχικά μετασχηματίζουμε την εξίσωση της έλλειψης2 2 2 2

2 2 9x 16y x y9x 16y 25 1 1

25 2525 25

9 16

(1)

Για x 3 και y 4 από το 1ο μέλος της (1) έχουμε

9 16 81 256 3371

25 25 25 25 259 16

άρα Μ εξωτερικό σημείο της έλλειψης

Λύση

Λύνουμε το σύστημα των 2 2c : x 4y 12 (1) και

ε : x 2y -2 0 x 2 2y (2)

(1)

2

2 2 2 22- 2y 4y 12 4 - 8y 4y 4y 12

2 28y 8y 8 0 y y 1 0

Δ 4 4 8 0 άρα 1,2

1 22 8 2 2 2y

2 2 1 2

• Για y 1 2 η 2 x 2 2 1 2 x 2 2 2 2 x 2 2

Άρα είναι Α 2 2,1 2

• Για y 1 2 η 2 x 2 2 1 2 x 2 2 2 2 x 2 2

Άρα είναι Β 2 2,1 2

Να δείξετε ότι το σημείο Μ(3,4) είναι εξωτερικό σημείο της έλλειψης:

2 2c : 9x 16y 25


Δίνεται η έλλειψη 2 2c : x 4y 12 και η ευθεία ε : x 2y 2 0 . Να

δείξετε ότι η (ε) τέμνει την (c) σε δύο σημεία Α, Β και να βρεθεί η εξίσωση της μεσοκαθέτου του ΑΒ


Α

Β

Μ

(ε)

Μ

(εΜ)

Έλλειψη


Εύρεση εξίσωσης μεσοκάθετης (εΜ) του ΑΒ

Μ μέσο του ΑΒ

A BΜ Μ

Μ

A B ΜΜ Μ

x x -2 2 2 2x x

x 02 2y y y 11 2 1 2y y

2 2

άρα Μ(0,1)

B A

ΑΒB A

y - y 1 2 1 2 2 2 1λ

x - x 22 2 2 2 4 2

Ο συντελεστής διεύθυνσης της μεσοκαθέτου θα είναι αντιθετοαντίστροφος του

ΑΒλ δηλαδή ελ 2

Οπότε ΜM ε Mε : y y λ x x y 1 2x y 2x 1

Λύση

Εξίσωση Εφαπτομένης Έλλειψης με Γνωστό Σημείο Επαφής

Αν μας δίνεται το σημείο επαφής Μ(x1,y1) τότε

Αν 2 2

2 2

x yc : 1

α β είναι 1 1

Μ 2 2

xx yyε : 1

α β

Αν 2 2

2 2

y xc : 1

α β είναι 1 1

Μ 2 2

yy xxε : 1

α β

Αν η εξίσωση της έλλειψης είναι στη μορφή

2 2 2 2 2 2c : β x α y α β τότε για την αποφυγή πράξεων μπορούμε

να ισχυριστούμε ότι 2 2 2 2Μ 1 1ε : β xx α yy α β

Αν η εξίσωση της έλλειψης είναι στη μορφή

2 2 2 2 2 2c : β y α x α β τότε για την αποφυγή πράξεων μπορούμε

να ισχυριστούμε ότι 2 2 2 2Μ 1 1ε : β yy α xx α β

Να δείξετε ότι εφαπτομένες της έλλειψης 2 2x y

c : 150 8

στα κοινά ση-

μεία της με την ευθεία ε : 2x 5y 0 είναι παράλληλες μεταξύ τους.


3ο

Κεφάλαιο


Αρχικά βρίσκουμε τα κοινά σημεία της έλλειψης (c) με την ευθεία (ε)2 2

2 2 x yx y 1 (1)

1 50 850 8

5y2x 5y 0 x (2)

2

2 2 2 2 2(2) 25y y y y y(1) 1 1 1

200 8 8 8 4

2

2

2

y 2 x 5y 4

y 2 x 5

Τα κοινά σημεία λοιπόν της έλλειψης με την ευθεία είναι τα Α(5,2) και Β(-5,-2)

A AΑ

xx yy 5x 2y 2ε : 1 1 2x 5y 20 y x 4

50 8 50 8 5

B BB

xx yy -5x -2y 2ε : 1 1 2x 5y 20 y x 4

50 8 50 8 5

Αφού Α Βε ε

2λ λ

5 έχουμε ότι Α Βε // ε

Εξίσωση Εφαπτομένης Έλλειψης όταν δε δίνεται το Σημείο Επαφής

Για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης μιας έλλειψης όταν δενγνωρίζουμε το σημείο επαφής ακολουθούμε τα εξής βήματα:


β) Ανάλογα με τη μορφή της εξίσωσης της έλλειψης θα έχουμε και α-ντίστοιχη μορφή για την εξίσωση της εφαπτομένης

Αν 2 2

2 2

x yc : 1

α β τότε 1 1

A 2 2

xx yyε : 1

α β

Αν 2 2

2 2

y xc : 1

α β τότε 1 1

A 2 2

yy xxε : 1

α β

γ) Εκμεταλλευόμαστε ότι το σημείο επαφής Α ανήκει στην έλλειψη ό-

ποτε έχουμε μια σχέση μεταξύ των 1 1x , y .


Πχ




Α

Β

(ε)

(εΑ)

(εΒ)

Έλλειψη


Λύση

Ας είναι Α(x1,y1) το σημείο επαφής

Α c : 2 21 14x y 20 (1)

Επιπλέον Α 1 1 1 1ε : 4xx yy 20 4xx yy 20 0 (2)

Άρα Α

1ε

1

4xλ

y

Επίσης ε : y 4x 4 άρα ελ 4

Αφού Αε / /ε είναι Α

1ε ε 1 1

1

4xλ λ 4 y x

y (3)

(1)

331 12 2 2 2

1 1 1 1 3

1 1

x 2 y 24x x 20 5x 20 x 4

x 2 y 2

Άρα τα σημεία επαφής είναι τα Α(2,2) και Β(-2,-2)

Από (2) η Αε : 8x 2y 20 0 2y 8x 20 y 4x 10

Από (2) η Bε : 8x 2y 20 0 2y 8x 20 y 4x 10

Λύση

Ας είναι Μ(x1,y1) το σημείο επαφής

M c : 2 21 14x y 20 (1)

Επιπλέον M 1 1ε : 4xx yy 20 (2)

M 1 1A ε : 10y 20 y 2 (3)

Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της έλλειψης 2 2c : 4x y 20

που είναι παράλληλες στην ευθεία ε : 4x y 4 .


Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της έλλειψης 2 2c : 4x y 20

που διέρχονται από το σημείο Α(0,10).


Α

Β

(εΒ) (ε)(εΑ)

Μ1Μ2

(ε2)

Α

(ε1)

3ο

Κεφάλαιο


Για 1y 2 η (1) 3

2 21 14x 4 20 4x 16

121

1

x 2x 4

x 2

Άρα τα σημεία επαφής είναι τα Μ1(2,2) και Μ2(-2,2)

Από (2) η 1ε : 8x 2y 20 2y 8x 20 y 4x 10

Από (2) η 2ε : 8x 2y 20 2y 8x 20 y 4x 10

Λύση

Αφού οι εστίες της έλλειψης βρίσκονται στον x΄xέχουμε:

2 2

2 2

x yc : 1

α β με γ 3


2 2 2 21 1Α 1 12 2

xx yyε : 1 β xx α yy α β

α β

2 2 2 21 1α yy β xx α β

2 21

21

β xx αy

α y

2

2

β

α 1y

2 21

21 1

β x βy x

α y y (1)

Όμως από δεδομένα έχουμε ότι

ε : x y 5 0 y x 5 (2)

Αφού οι ευθείες (ε) και (εΑ) ταυτίζονται και με τη βοήθεια των (1) και (2) έχουμε:

Εξίσωση Έλλειψης αν γνωρίζουμεότι εφάπτεται σε γνωστή ευθεία

Για να βρούμε την εξίσωση της έλλειψης (c) που εφάπτεται στην

ευθεία ζ : y λx κ ακολουθού-

με τα εξής βήματα:

α) Θεωρούμε ότι η έλλειψη έχει

εξίσωση της μορφής

2 2

2 2

x yc : 1

α β

β) Η εξίσωση της εφαπτομένης της

(c) στο σημείο της Μ(x1,y1) είναι:

1 1

2 2

xx yyε : 1

α β

2 21

21 1

β x βy x+

y α y

γ) Οι ευθείες (ε) και (ζ) ταυτίζονται

αν και μόνο αν

21

21

2

1

β xλ

y α

βκ

y

δ) Από το παραπάνω σύστημα

βρίσκουμε τα α, β άρα και την

εξίσωση της έλλειψης

Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει εστίες Ε΄(-3,0) , Ε(3,0) και ε-

φάπτεται της ευθείας ε : x y 5 0


Έλλειψη


21 2 2

2 22 1 11 11

222

1 1

1

β x1 β x α y

β x α yα yβ

β 5yβ y5 5

y

2 22 2

1 1

2 2

1 1

β αβ x α x

5 5

β βy y

5 5

Όμως

4 4

2 2 2 22 21 1

2 2 2 2

α βx y α β25 25A c : 1 1 1 α β 25α β α β 25 25

(3)

Επιπλέον από θεωρία είναι γνωστό ότι 2 2 2 2 2β α γ β α 9 (4)

(3) 4

2 2 2 2α α 9 25 2α 34 α 17

Από (4) 2β 8

Η εξίσωση λοιπόν της έλλειψης θα είναι 2 2x y

c : 117 8

Λύση

α) Έχουμε το σύστημα των εξισώσεων της έλλειψης και της ευθείας

2 2 2 2x y x y1 1 (1)

32 8 32 8

x λy 8 0 x 8 λy (2)

2 2(2)2 28 λy y

(1) 1 8 λy 4y 3232 8

2 2 2 2 264 16λy λ y 4y 32 0 λ 4 y 16λy 32 0 (3)

Πρέπει 2 2 2 2Δ 0 16λ 4 32 λ 4 0 256λ 128λ 532 0

2 2λ 2

128λ 532 λ 4λ 2 Απορρίπτεται

Δίνεται η έλλειψη 2 2x y

c : 132 8

και η ευθεία ε : x λy 8 0 με λ>0.

α) Να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου λ ώστε η (ε) να εφάπτεται της (c).

β) Nα βρεθεί το σημείο επαφής


Αφού η (ε) εφάπτεται της έλλειψης (c) θα έχει ένα μόνο κοινό σημείο με αυτή άρα η δευτεροβάθμια εξίσωση που θα προκύψει επιλύοντας το σύστημα των εξισώσεών τους θα έχει Δ=0

Α

ΕΕ΄

3-3

(ε)

3ο

Κεφάλαιο


β) Για λ 2 από (3) 28y 32y 32 0

2y 4y 4 0

2

y 2 0 y 2

Για y 2 από (2) x 8 4 x 4

Οπότε το σημείο επαφής είναι το Α(4,2)

Λύση

Ας είναι ε : y λx κ η κοινή εφαπτομένη των (c1) και (c2)

Θεωρούμε το σύστημα της ευθείας (ε) και της έλλειψης (c1)

2 2

22 2 2 2 2x 2y 4x 2 λx κ 4 x 2λ x 4κλx 2κ 4 0

y λx κ

2 2 21 2λ x 4κλx 2κ 4 0

Πρέπει 2 2 2 2Δ 0 16κ λ 4 1 2λ 2κ 4 0

2 2 2 2 2 216κ λ 8κ 16κ λ 16 32λ 0 2 2 2 28κ 16 32λ 0 8κ 16 32λ

2 2κ 4λ 2 (1)

Κοινές Εφαπτομένες Κωνικών Τομών

Για να βρούμε την κοινή εφαπτομένη δύο κωνικών τομών (c1) και (c2)ακολουθούμε τα εξής βήματα:

α) Θεωρούμε ε : y λx κ την κοινή εφαπτομένη

β) Η (ε) τόσο με τη (c1) όσο και με τη (c2) έχει μόνο ένα κοινό σημείο άρα το σύστημα της (ε) με τη (c1) θα έχει μοναδική λύση (οπότε Δ=0) καθώς και το σύστημα της (ε) με τη (c2) θα έχει μοναδική λύση (οπότε Δ΄=0).

γ) Από τις σχέσεις Δ=0 και Δ΄=0 προσδιορίζουμε τα λ, κ.

Να βρεθεί η εξίσωση της κοινής εφαπτομένης της έλλειψης

2 21c : x 2y 4 και της παραβολής 2

2c : y 4 6x


Α

(ε)

Έλλειψη


Θεωρούμε το σύστημα της ευθείας (ε) και της έλλειψης (c1)

2

2 2 2 2y 4 6xλx κ 4 6x λ x 2κλx 4 6x κ 0

y λx κ

2 2 2λ x 2κλ 4 6 x κ 0

Πρέπει 2

2 2Δ 0 2κλ 4 6 4λ κ 0

2 2 2 24λ κ 16 6κλ 96 4λ κ 0

16 6κλ 96 0 16 6κλ 96

66κλ 6 κλ κλ 6

6 (2)

(2)

1

2 2 2 2κ λ 6 4λ 2 λ 6

4 24λ 2λ 6 0 2θ λ

4 2 2

θ 02λ λ 3 0 2θ θ 3 0

Δ 25 , 1,2

11 5

θ 34 , Απορρίπτεται

2

Για θ=1 είναι 2λ 1 λ 1 ή λ 1

Αν λ=1 από (2) κ 6

Αν λ=-1 από (2) κ 6

Οι κοινές εφαπτομένες λοιπόν θα είναι οι

1ε : y x 6 και 2ε : y x 6

Λύση

Ας είναι Μ(x1,y1) το σημείο επαφής της έλλειψης

1M c : 2 21 1x 13y 13 (1) και Μ 1 1 1 1ε : xx 13yy 13 xx 13yy 13 0 (2)

Να βρείτε τις κοινές εφαπτομένες της έλλειψης 2 21c : x 13y 13 και του

κύκλου 2 22c : x y 12x 35 0


3ο

Κεφάλαιο


Για να εφάπτεται η (εΜ) στον κύκλο (c2) αρκεί:

Μd K,ε ρ (3)

Ο κύκλος έχει κέντρο Κ(6,0) και ακτίνα

2 2Α Β 4Γ 144 140ρ 1

2 2

Οπότε 1Μ 2 2

1 1

6x 13d K,ε

x 169y

(4)

(3) 4

1

2 21 1

6x 131

x 169y

2 21 1 16x 13 x 169y

2 2 2

1 1 16x 13 x 169y

2 2 21 1 1 136x 156x 169 x 169y

2 21 1 135x 156x 169 169y (5)

Όμως από (1) 2 21 113y 13 x (6)

Έτσι λοιπόν

(5)

6

2 21 1 135x 156x 169 13 13 x

2 21 1 135x 156x 169 169 13x

2 21 1 1 148x 156x 0 48x 156x 0

1 1

1

1 1

1 1 1

x 0 x 0x 0

x 48x 156 0 156 1348x 156 x x

48 4

Για 1x 0 η (6) 12 21 1

1

y 113y 13 y 1

y 1

Οπότε είναι Α(0,1) και Β(0,-1) δύο σημεία επαφής

Για 1

13x

4 η (6)

12 2 2

1 1 1

1

3y

169 13 3 413y 13 y 1 y16 16 16 3

y4

Κοινές Εφαπτομένες

Κύκλου - Έλλειψης

Για να βρούμε τις κοινές εφαπτομέ-νες μιας έλλειψης:

2 2

1 2 2

x yc : 1

α β

και ενός κύκλου:

2 2 2

2 0 0c : x-x y-y ρ

εργαζόμαστε ως εξής

α) Θεωρούμε Μ(x1,y1) το σημείο επαφής με την έλλειψη (c1).

β) To σημείο Μ ανήκει στη (c1) άρα:

2 21 1

2 2

x y1

α β (1)

γ) Η εφαπτομένη της (c1) στο Μ έχει εξίσωση:

1 1

2 2

xx yy1

α β

δ) Η ευθεία (ε) εφάπτεται και στον κύκλο (c2), αν και μόνο αν:

d K,ε ρ (2)

όπου Κ(x0,y0) το κέντρο του (c2)

ε) Από τις σχέσεις (1) και (2) βρί-σκουμε τις τιμές των x1 και y1.

Έλλειψη


Οπότε είναι 13 3

Γ ,4 4

και 13 3

Δ ,4 4

άλλα δύο σημεία επαφής

Με τη βοήθεια της σχέσης (2) οι κοινές εφαπτομένες των δύο κωνικών τομών είναι οι παρακάτω:

Αε : 13y 13 y 1 , Βε : 13y 13 y 1

Γ13 3 1 3

ε : x 13y 13 x y 14 4 4 4 x 3y 4

3 4 33y x 4 y x

3 3

Γ13 3 1 3

ε : x 13y 13 x y 14 4 4 4 x 3y 4

3y x 4 3 4 3

y x3 3


Δίνεται η έλλειψη 2 2

2 2

x yc : 1

α β και οι εφαπτομένες ΣΜ και ΣΝ από ε-

ξωτερικό σημείο Σ(x0,y0). Nα αποδειχτεί ότι η χορδή ΜΝ που ορίζεται από

τα σημεία επαφής έχει εξίσωση 0 02 2

xx yy1

α β (Εξίσωση Πολικής)


Α

Γ

Β

Δ

3ο

Κεφάλαιο


Λύση

Ας είναι Μ(x1,y1) και Ν(x2,y2) τα σημεία επαφής

Οι εφαπτόμενες της (c) στα σημεία Μ και Ν έχουν εξισώσεις:

1 11 2 2

xx yyε : 1

α β και 2 2

2 2 2

xx yyε : 1

α β αντίστοιχα.

Οι ευθείες (ε1) και (ε2) διέρχονται από το σημείο Σ(x0,y0) αν και μόνο αν

0 02

1 12

x y1

y

α β

x και 0 0

22 2

2

x y1

y

α β

x

Παρατηρούμε ότι η εξίσωση της ευθείας 0 02 2

x y1

α

y

β

x ε-

παληθεύεται από τα σημεία Μ και Ν άρα αυτή θα είναι και η εξίσωση της χορδής ΜΝ.

Λύση

Αρχικά έχουμε:

1M c :2 2

1 12 2

x y1

α β (1) και 2M c :

2 22 22 2

x y1

α β (2)

Επίσης 2 2

1 2 2 1 1Μ Ν εx x y και 2 2

2 1 1 2 2Μ Ν εx x y

Ας είναι

2 22 2

1 2 2 1 2 1 1 1 2 2Μ Ν Μ Ν εx x y εx x y

2 2

2 22 22 1 1 1 2 2εx x y εx x y

2 22 2

2 1 1 1 2 2εx x y εx x y

Δίνεται η έλλειψη 2 2

2 2

x yc : 1

α β , δύο σημεία της Μ1(x1,y1), M2(x2,y2) και

τα σημεία Ν1(εx1,0) και Ν2(εx2,0). Nα αποδείξετε ότι (Μ1Ν2)=(Μ2Ν1).


Σ

ΜΝ

Έλλειψη


2 2 2 2 2 2 2 22 1 2 1 1 1 1 2 2 2ε x 2εx x x y ε x 2εx x x y

2 2 2 2 2 2 2 22 1 1 1 2 2ε x x y ε x x y

2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2x ε x y x ε x y

2 2 2 2 2 21 1 2 21 ε x y 1 ε x y

2 22 2 2 2

1 1 2 22 2

γ γ1 x y 1 x y

α α

2 2 2 22 2 2 2

1 1 2 22 2

α γ α γx y x y

α α

2 22 2 2 2

1 1 2 22 2

β βx y x y

α α

2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2β x α y β x α y

2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

β x α y β x α y


2 2 2 2 11 1 2 22 2 2 2 2

x y x y

α β α β

1 1 που ισχύει


Λύση

Ας είναι Μ(x,y). Διαδοχικά έχουμε

22

22

xxημ θημθ

x 3ημθ 93y 4συνθ y y

συνθ συν θ 4 16

2 2 2 22 2 x y x y

ημ θ συν θ 19 16 9 16

Οπότε ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η παραπάνω έλλειψη

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(3ημθ, 4συνθ) με θℝ


Μ1

Μ2

Ν1

Ν2

3ο

Κεφάλαιο


Λύση

Ας είναι Ρ(x1,y1).

H εφαπτομένη της έλλειψης στο σημείο Ρ είναι:

2 2 2 2Ρ 1 1ε : β xx α yy α β με

Ρ

21

ε 21

β xλ

α y

Ας είναι Ρζ ε οπότε 2

1ζ 2

1

α yλ

β x

Έτσι λοιπόν 2

1Ρ ζ Ρ 1 12

1

α yζ :y - y λ x - x y - y x - x

β x (1)

Για x=0 η

(1)2 2 2 2

1 11 1 1 12 2 2

1

α y α y β -αy - y -x y y - y y

β x β β

Άρα είναι 2 2

12

β -αΛ 0, y

β

Για y=0 η (1) 1- y 2

1

1

α yx - x

22 2

1 1 12 21 1

α-1 x - x -β x α x - x

β x β x

2 2 21 1-β x α x -α x 2 2 2

1 1-β x α x α x 2 2

12

α βx x

α


12

α βΚ x ,0

α

Μ μέσο ΚΛ άρα

2 2 2

Κ ΛΜ 1 Μ 12 2Μ

2 2 2Κ Λ

Μ Μ 1 Μ 12 2

α β γx xx x x xx

2α 2α2y y β - α γ

y y y y - y2 2β 2β


1 12 2

γ γΜ x ,- y

2α 2β

Δίνεται η έλλειψη 2 2 2 2 2 2c : β x α y α β . Η κάθετη της έλλειψης σε ένα

τυχαίο σημείο της Ρ τέμνει τον άξονα x΄x στο Κ και τον άξονα y΄y στο Λ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου Μ του ΚΛ.


ΡΚ

Μ

Λ

ε

ζ

Έλλειψη


Ας είναι Μ(x,y)

Τότε έχουμε

22

1 212

2 2

12 1 2

2αγx x (2)x x

γ2α

γ 2βy - y y - y (3)

2β γ

Όμως c :

22 22

2 22 2 21 12 2 2 23

2α 2βx - y

γ γx y1 1

α β α β

4 42 2

2 2 2 24 4

4 4 2 22 2 2 2

2 2

4α 4βx y

x y x yγ γ1 1 1

γ γα β γ γ4α 4β 2α 2β

Άρα ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι έλλειψη

3ο

Κεφάλαιο



Εύρεση Εξίσωσης Έλλειψης

1) Να βρεθεί η εξίσωση της έλλειψης σε καθεμία από τις παρακάτω περι-πτώσεις:

α) Όταν έχει εστίες τα σημεία Ε΄(-3,0), Ε(3,0) και μεγάλο άξονα 10. Κατό-πιν να βρεθεί ο μικρός της άξονας.

β) Όταν έχει εστίες στον άξονα y΄y, κορυφές Α΄(-2,0), Α(2,0) και μεγάλο άξονα 6

γ) Όταν έχει εστίες Ε΄(-3,0), Ε(3,0) και εκκεντρότητα 3

ε5

δ) Όταν έχει κέντρο την αρχή των αξόνων, μεγάλο άξονα των x΄x και διέρ-χεται από τα σημεία Μ(3,-4) και Ν(-6,2).

2) Να βρεθεί η εξίσωση της έλλειψης σε καθεμία από τις παρακάτω περι-πτώσεις:

α) Όταν έχει εστίες τα σημεία Ε΄(-2,0), Ε(2,0) και μεγάλο άξονα 10

β) Όταν έχει μεγάλο άξονα 20 και εκκεντρότητα3

ε5

γ) Όταν έχει εστίες τα σημεία Ε΄(-3,0), Ε(3,0) και διέρχεται από το σημείο

21Ρ 2,

2

δ) Όταν έχει εστίες στον άξονα x΄x κέντρο την αρχή των αξόνων και διέρ-

χεται από τα σημεία 3

Μ 1,2

και 3 21

Ν ,2 4

3) Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει εστίες στον x΄x, διέρχεται

από το σημείο 9

Μ 4,5

και το εμβαδόν του δακτυλίου, που ορίζουν ο πε-

ριγεγραμμένος και ο εγγεγραμμένος κύκλος στην έλλειψη είναι ίσο με 16π

Έλλειψη


4) Να βρεθεί η εξίσωση των παρακάτω σχεδιασμένων ελλείψεων:

Εύρεση Στοιχείων Έλλειψης

5) Να βρεθεί η εκκεντρότητα και οι εστίες καθεμίας από τις παρακάτω ελ-λείψεις:

α)2

2xy 1

4 β) 2 2x 9y 36 γ) 2 29x 25y 225

6) Να βρεθεί η εκκεντρότητα και οι εστίες καθεμίας από τις παρακάτω ελ-λείψεις:

α) 2 2x 9y 9 β) 2 211x 3y 66 γ)2 22x 3y

243 2

7) Να υπολογίσετε την εκκεντρότητα της έλλειψης

2 2

2 2

x yc : 1

α β στο διπλανό σχήμα

8) Στο διπλανό σχήμα τα σημεία Ε΄, Ε είναι οι εστίες

της έλλειψης 2 2

2 2

x yc : 1

α β . Αν το τρίγωνο Ε΄ΒΕ

είναι ισόπλευρο να βρείτε την εκκεντρότητα της έλ-λειψης.

Β

ΑΑ΄

Β΄

3

4

-2

-3

-3

-4

Ε

6

10

Β

Ε΄

ΑΑ΄ΕΕ΄

Β

Β΄

ΑΑ΄Ε

Ε΄

3ο

Κεφάλαιο


9) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε η καμπύλη με εξί-

σωση 2 2x y

c : 1λ 2 8 λ

να παριστάνει έλλειψη και να βρεθούν οι ε-

στίες της.

Σχετική Θέση Σημείου ως προς έλλειψη

10) Να βρείτε τη σχετική θέση των παρακάτω σημείων με την έλλειψη

2 2x y

c : 116 25

α) Μ1(5,2) β) Μ2(-2,4) γ) Μ3(4,5)

11) Να βρεθεί σημείο Μ της έλλειψης 2 2x y

c : 136 9

ώστε η γωνία ΟΜΑ

να είναι ορθή (Α κορυφή του άξονα ΑΆ=2α).

12) Να βρεθεί το σημείο Μ της έλλειψης στο διπλανό σχήμα.

13) Δίνεται η έλλειψη 2 2x y

c : 116 12

Να βρείτε τα σημεία της έλλειψης των οποίων η απόσταση από το μεγάλο άξονά της είναι ίση με 3.


c : 14 2 και η ευθεία ε : y 2x 1

Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου της χορδής ΑΒ που ορίζεται από την ευθεία και την έλλειψη.

Μ

r 4r

4-4

Έλλειψη


15) Να βρεθεί η εξίσωση της χορδής της έλλειψης 2 2x y

c : 116 4

η οποία

έχει μέσο το σημείο Μ(2,1).

16) Δίνεται η έλλειψη 2 2c : 27x 36y 972 και το σημείο Μ(4,2)

α) Να αποδείξετε ότι το Μ είναι εσωτερικό της έλλειψη

β) Να βρείτε την εξίσωση της χορδής της έλλειψης που έχει μέσο το Μ.

17) Δίνεται η έλλειψη 2

2xc : y 1

4 και το σημείο

1Μ 2,

2

. Να βρείτε την

εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Μ και τέμνει την έλλειψη στα σημεία Α και Β έτσι ώστε το Μ να είναι μέσο του ΑΒ.

Εξίσωση Εφαπτομένης Έλλειψης

18) Να βρείτε την εφαπτομένη της έλλειψης 2 2x y

c : 19 3 στο σημείο που

έχει τετμημένη 1 και θετική τεταγμένη.


c : 18 2 και η ευθεία ε : x y 3

Να βρεθούν οι εφαπτομένες της έλλειψης (c) στα σημεία τομής της με την ευθεία (ε).

20) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της έλλειψης

2 2c : 4x +25y 100 η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία

ε : 2x 3y 1 .

3ο

Κεφάλαιο


21) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της έλλειψης

2 2c : 9x +16y 144 που είναι παράλληλη στο διάνυσμα

v 2011 i 2011 j

.

22) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της έλλειψης 2 2c : 2x +3y 24 η

οποία είναι κάθετη στην ευθεία ε : x 2y+5 0 .

23) Δίνεται ο κύκλος 2 21c : x +y 4 και η έλλειψη 2 2

2c : x +4y 10

α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης (ε) του κύκλου στο σημείο του

A 3,1

β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε΄) της έλλειψης που είναι κά-θετη στην (ε)

24) Να βρείτε της εξισώσεις των εφαπτομένων της έλλειψης 2 2x y

c : 19 4

οι οποίες διέρχονται από το σημείο Μ(0,4).

25) Δίνεται η παραβολή 21c : y 2x και η έλλειψη 2 2

2c : x +y 3 .

α) Να βρείτε τα σημεία τομής τους Α και Β (yA<yB)

β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της έλλειψης στο σημείο Α

26) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της έλλειψης 2 2c : x +3y 3 η

οποία σχηματίζει με τους άξονες Οx και Οy ισοσκελές τρίγωνο.

27) Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει εστίες τα σημεία Ε΄(-2,0),

Ε(2,0) και εφάπτεται της ευθείας ε : y x+4 .

Έλλειψη


28) Δίνεται η έλλειψη 2 2c : x +4y 4 και το σημείο Σ(0,2).

Η ευθεία ε : 3x 2y 4 0 διέρχεται από το Σ και τέμνει τις εφαπτόμε-

νες της (c) στα άκρα του μεγάλου άξονα στα σημεία Μ και Μ΄.

α) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου (c΄) με διάμετρο ΜΜ΄

β) Να εξετάσετε αν ο κύκλος (c΄) διέρχεται από τις εστίες της έλλειψης

29) Δίνεται η έλλειψη 2 2

2

x yc : 1

α 4 με α 0 η οποία εφάπτεται στην ευ-

θεία ε : y x 4

α) Να βρείτε την τιμή του α2

β) Να βρείτε τις εφαπτόμενες της έλλειψης (c) που είναι κάθετες στην ευ-θεία (ε).

30) Να βρείτε την τιμή της παραμέτρου λℝ, αν είναι γνωστό ότι η ευθεία

ε : y 2x λ εφάπτεται στην έλλειψη 2 2c : 8x y 16 .


31) Να βρείτε τις κοινές εφαπτομένες της έλλειψης 2 2

1

x yc : 1

4 3 και της

παραβολής 22c : y 12x

32) Να βρείτε τις κοινές εφαπτομένες των ελλείψεων

2

21

xc : y 1

4 και

22

2

yc : x 1

4

33) Δίνονται οι εξισώσεις της έλλειψης 2 21c : x 4y 16 και του κύκλου

2 22c : x y 12x 28 0 . Να βρεθεί σημείο Μ του κύκλου από το οποίο

οι εφαπτόμενες προς την έλλειψη να είναι κάθετες.

3ο

Κεφάλαιο



34) Να αποδείξετε ότι το γινόμενο των αποστάσεων των εστιών μιας έλλειψης από μια τυχούσα εφαπτόμενή της είναι σταθερό.

35) Έστω η έλλειψη 2 2

2 2

x yc : 1

α β και η εφαπτόμενή της σε ένα σημείο

Ρ1(x1,y1) η οποία τέμνει τους άξονες x΄x και y΄y στα σημεία Μ και Ν αντι-στοίχως. Έστω Κ, Λ οι προβολές του Ρ1 στους άξονες x΄x και y΄y αντιστοί-χως. Να αποδείξετε ότι:

α) 2ΟΚ ΟΜ α β) 2ΟΛ ΟΝ β


2 2

x yc : 1

α β και η εφαπτόμενη (ε) αυτής στο ση-

μείο Μ. Η (ε) τέμνει την εφαπτόμενη της (c) στο Α στο σημείο Ρ. Να δείξε-τε ότι ΟΡ//Α΄Μ. (Είναι Α(α,0) και Α΄(-α,0)).

37) Δίνεται η έλλειψη 2 2 2 2 2 2c : β x α y α β η διάμετρος ΡΣ και η χορδή ΜΝ

που είναι παράλληλη στη διάμετρο ΡΣ και διέρχεται από την εστία

Ε΄(-γ,0). Να δείξετε ότι 2

2

2

βΕ΄Μ Ε΄Ν ΟΡ

α .


2 2

x yc : 1

α β με α>β>0, η εστία της Ε(γ,0) και η ε-

φαπτομένη (ε) της (c) σε ένα σημείο Μ(x1,y1) διαφορετικό από τις κορυ-φές της. Φέρνουμε την ευθεία (ζ) κάθετη στην (ε) στο σημείο Μ και έστω Ρ το σημείο τομής της (ζ) με τον άξονα y΄y.

Να αποδείξετε ότι

α)2

2

γ y1Ρ 0,

β

β)

4 2 22 2 1

4

β γ yΡΕ γ

β

γ) 2 4 2 4

2 1 14

x β y αΡΜ

β

δ)

ΡΕε

ΡΜ , όπου ε η εκκεντρότητα της έλλειψης (c)

Έλλειψη



39) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων

α) Μ(2ημθ,3συνθ) β)1

Ν συνθ, ημθ2

γ)2

2 2

2 2t 6tΛ ,

1 t 1 t

με tℝ

40) Δίνονται οι κύκλοι 2 2

1c : x+2 y 49 και 2 2

1c : x-2 y 4

α) Να βρείτε τη σχετική θέση τουςβ) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων που εφάπτο-

νται στους δύο κύκλους.


c : 14 9 και οι χορδές της, των οποίων ο συντε-

λεστής διεύθυνσης είναι 2

λ2

. Να αποδείξετε ότι τα μέσα των χορδών

αυτών βρίσκονται σε διάμετρο της έλλειψης της οποίας να βρείτε την εξί-σωση.

42) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου που σχηματί-ζουν με τα σημεία Α(-8,0) και Β(8,0) τρίγωνο με περίμετρο ίση με 16 μο-νάδες.

43) Δίνεται ο κύκλος 2 21c : x y 4 και η έλλειψη

2 2

2

x yc : 1

2 6 .

α) Να δείξετε ότι το σημείο Μ 1, 3 είναι κοινό τους σημείο και στη

συνέχεια να βρείτε όλα τα κοινά τους σημεία. β) Να δείξετε ότι τα κοινά τους σημεία είναι κορυφές ορθογωνίου πα-

ραλληλογράμμου.

γ) Να βρεθούν τα σημεία Μ(x0,y0) ώστε 2 20 0x y 4 και

ΜΕ΄ ΜΕ 2 6 (Ε, Ε΄ οι εστίες της έλλειψης (c2))

44) Δίνεται το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και το μέσο του Κ. Να βρείτε το γεωμε-τρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει:

2 1ΜΚ ΜΑ ΜΒ συν ΜΑ,ΜΒ ΜΑ ΜΒ 1

2

3ο

Κεφάλαιο


3.4 Υπερβολή

Ορισμός

Έστω Ε΄, Ε δύο σταθερά σημεία ενός επιπέδου.

Υπερβολή με εστίες Ε΄ και Ε, λέγεται ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων η απόλυτη τιμήτης διαφοράς των αποστάσεων από τα Ε΄ και Ε είναι σταθερή και μικρότε-ρη από την απόσταση (Ε΄Ε).

Σημείωση

Τη σταθερή αυτή διαφορά τη συμβολίζουμε, συνήθως, με 2α ενώ την απόσταση (Ε΄Ε) με 2γ και την ονομάζουμε εστιακή απόσταση.

Επιπλέον ισχύει ότι ΜΕ ΜΕ Ε΄Ε΄ δηλαδή 2α<2γ οπότε α<γ

Εξίσωση Υπερβολής με Εστίες στον Άξονα x΄x

Η εξίσωση της υπερβολής C ως προς σύστημα συντεταγμένων Οxy, με άξο-να των x την ευθεία ΕΕ΄ και άξονα των y τη μεσοκάθετο του Ε΄Ε, είναι:

2 2

2 2

x y1

α β

όπου 2 2 2β γ α και α, γ όπως ορί-

στηκαν στον προηγούμενο ορισμό.

Ορι

σμός

Υ

περ

βολ

ήςΕ

ξίσω

ση

Υπ

ερβο

λής

Ε(γ,0)

ΕΕ΄

Μ

(ΜΕ)-(ΜΕ΄)=σταθ.=2α

(ΕΕ΄)=2γ

α<γ

Ε΄(-γ,0)

Μ(x,y)

O

Υπερβολή


Εξίσωση Υπερβολής με Εστίες στον Άξονα y΄y

Η εξίσωση της υπερβολής C ως προς σύστημα συντεταγμένων Οxy με άξο-να των x τη μεσοκάθετο του Ε΄Ε και άξονα των y την ευθεία Ε΄Ε είναι:

2 2

2 2

y x1

α β

όπου 2 2 2β γ α και α, γ όπως ορί-

στηκαν στον ορισμό της υπερβολής.

Ας είναι η υπερβολή 2 2

2 2

x yc : 1

α β

1) Αν 1 1 1M (x ,y ) c

α) 2 1 1M (x , y ) c δηλαδή ο άξονας x΄x είναι άξονας συμμετρίας

της (c)

β) 3 1 1M ( x ,y ) c δηλαδή ο άξονας y΄y

είναι άξονας συμμετρίας της (c)

γ) 4 1 1M ( x , y ) c δηλαδή η αρχή των

αξόνων Ο είναι κέντρο συμμετρίας της (c)

δ) Το σημείο Ο λέγεται κέντρο της υπερβολής

2) Η εξίσωση 2 2

2 2

x yc : 1

α β

α) Για x=0 η εξίσωση της (c) είναι αδύνατη

άρα η υπερβολή δεν τέμνει τον y΄y

β) Για y=0 η εξίσωση της (c) δίνει 2

2 2

2

x1 x α x α

α άρα η υπερβολή

τέμνει τον x΄x στα σημεία Α(α,0) και

Α΄(-α,0) τα οποία ονομάζονται κορυφές της υπερβολής

Ιδιό

τητε

ς

Υπ

ερβο

λής

Ε(0,γ)

Ε΄(0,-γ)

Μ(x,y)

Μ1(x1,y1)

Μ2(x1,-y1)

Μ3(-x1,y1)

Μ4(-x1,-y1)

O

x=α

Εξί

σωση

Υ

περ

βολ

ής

Α(0,α)

Α΄(0,-α)

Α(α

,0)

Α΄(

-α,0

)

Ε(γ,0)Ε΄(0,-γ)

x=-α

3ο

Κεφάλαιο


3) Απ’ την εξίσωση 2 2

2 2

x y1

α β έχουμε ότι

2 2

2 2

x y1 0

α β άρα

22 2

2

x αx1 x α

x αα

Άρα τα σημεία της υπερβολής βρίσκονται έξω από την ταινία των

ευθειών x α και x α δηλαδή η υπερβολή αποτελείται από

δύο χωριστούς κλάδους.

4) Η υπερβολή 2 2

2 2

x yc : 1

α β έχει δύο ασύμπτωτες, τις ευθείες

1

βε : y x

α και 2

βε : y x

α

Ασύμπτωτη μιας γραμμής (c) λέγεται μια

ευθεία όταν έχει την εξής ιδιότητα:

Όταν η τετμημένη (το x) ενός σημείου της

(c) αυξάνεται απεριόριστα κατ’ απόλυτη

τιμή, τότε η απόσταση του σημείου αυτού

από την ευθεία τείνει προς το μηδέν.

Οι ασύμπτωτες της υπερβολής είναι οι

φορείς των διαγωνίων του ορθογωνίου

ΚΛΜΝ με κορυφές τα σημεία Κ(α,β), Λ(-α,β), Μ(-α,-β), Ν(α,-β).

Το ορθογώνιο αυτό λέγεται ορθογώνιο βάσης της υπερβολής

Μνημονικός Κανόνας Εύρεσης Ασυμπτώτων

Έστω ότι έχουμε την υπερβολή 2 2

2 2

x yc : 1

α β

Θέτουμε στην εξίσωση της υπερβολής όπου 1 το 0 οπότε έχουμε

2 2

2 2

x y x y x y0 0

α β α β α β

Εξισώνουμε κάθε παράγοντα με το 0, λύνουμε ως προς y και προ-κύπτουν οι εξισώσεις των ασυμπτώτων

x y y x β0 y xα β β α αx y y x β

0 y xα β β α α

Ιδιό

τητε

ς

Υπ

ερβο

λής

ΕΕ΄

ΑΑ΄ΚΛ

Μ Ν

β

y xα

β

y xα

Υπερβολή


Αν είναι α=β τότε η υπερβολή λέγεται ισοσκελής και η εξίσωσή της γράφεται:

2 2

2 2 2

2 2

x yc : 1 x y α

α ααν έχει εστίες στον x΄x

2 2

2 2 2

2 2

y xc : 1 y x α

α ααν έχει εστίες στον y΄y


Η ισοσκελής υπερβολή έχει ασύμπτωτες τις ευθείες

1ε : y x και 2ε : y x

Εκκεντρότητα μιας υπερβολής ονομάζουμε το λόγο

γ

ε 1α

(γιατί γ>α)


1) Αποδεικνύεται ότι 2βε 1

α

2) Όσο πιο μικρή είναι η εκκεντρότητα της υπερβολής τόσο πιο ε-πιμηκές είναι το ορθογώνιο βάσης και κατά συνέπεια τόσο πιο κλειστή η υπερβολή.

3) Η ισοσκελής υπερβολή έχει εκκεντρότητα ε 2

Η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) στην υπερβολή

2 2

2 2

x yc : 1

α β στο σημείο της Μ(x1,y1) είναι

1 12 2

xx yy1

α β

Η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) στην υπερβολή

2 2

2 2

y xc : 1

α βστο σημείο της Μ(x1,y1) είναι

1 12 2

yy xx1

α β

Ισοσ

κελ

ής

Υπ

ερβο

λή

Εκκ

εντρ

ότητ

αΥ

περ

βολ

ήςΕ

φαπ

τομέ

νηΥ

περ

βολ

ής

ε1>ε2

Μ(x1,y1)

Μ(x1,y1)

3ο

Κεφάλαιο


Η εφαπτομένη μιας υπερβολής σε ένα σημείο

της Μ διχοτομεί τη γωνία

Ε ΜΕ όπου Ε΄, Ε οι εστίες της υπερβολής.

Όπως είναι φανερό το θεωρητικό κομμάτι της υπερβολής είναι πολύ πιο πλού-σιο σε σύγκριση με τα αντίστοιχα της παραβολής και της έλλειψης.

Για καλύτερη εμπέδωση λοιπόν παραθέτουμε όλα τα παραπάνω «κωδικοποιη-μένα» στον παρακάτω πίνακα:

Εστίες στον y΄y

Εξίσωση: 2 2

2 2

y x1

α β

Κορυφές: Α(0,α), Α΄(0,-α)

Εστίες: Ε(0,γ), Ε΄(0,-γ)

Ασύμπτωτες: α

y xβ

και α

y xβ

Εφαπτομένη στο Μ1(x1,y1): 1 1

2 2

yy xx1

α β

Σημείο Τομής με y΄y: Κανένα

Σημεία Τομής με x΄x: Α(0,α), Α΄(0,-α)

Ορθογώνιο Βάσης: ΚΛΜΝ με Κ(β,α)

Λ(β,-α) Μ(-β,-α)

Ν(-β,α)

Εκκεντρότητα: γ

εα

Σχέση μεταξύ α, β, γ: 2 2 2β γ α

Ανα

κλασ

τική

Ιδι

ότητ

αΥ

περ

βολ

ής

Εστίες στον x΄x

Εξίσωση: 2 2

2 2

x y1

α β

Κορυφές: Α(α,0), Α΄(-α,0)

Εστίες: Ε(γ,0), Ε΄(-γ,0)

Ασύμπτωτες: β

y xα

και β

y xα

Εφαπτομένη στο Μ1(x1,y1): 1 1

2 2

xx yy1

α β

Σημείο Τομής με y΄y: Κανένα

Σημεία Τομής με x΄x: Α(α,0), Α΄(-α,0)

Ορθογώνιο Βάσης: ΚΛΜΝ με Κ(α,β)

Λ(-α,β) Μ(-α,-β)

Ν(α,-β)

Εκκεντρότητα: γ

εα

Σχέση μεταξύ α, β, γ: 2 2 2β γ α

(c)

Ε΄

Μ

(ε)

Ε

φ ω

φ=ω

ΕΕ΄ ΑΑ΄

ΚΛ

Μ Ν

Ε

Ε΄

Α

Α΄

ΚΛ

Μ Ν

Υπερβολή



Λύση

Η εξίσωση της υπερβολής (c) θα είναι της μορφής

2 2

2 2

x yc : 1

α β

Από τις συντεταγμένες των εστιών έχουμε ότι γ 5

Επιπλέον, αφού οι κορυφές απέχουν 8 μονάδες προκύπτει ότι 2α 8 α 4

Όμως από θεωρία είναι γνωστό ότι

2 2 2 2 2β γ α β 25 16 β 9 β 3

Έτσι λοιπόν η εξίσωση της υπερβολής είναι

2 2x y

c : 116 9

Εύρεση Εξίσωσης Υπερβολής

Για να βρούμε την εξίσωση μιας υπερβολής ακολουθούμε τα εξής βή-ματα:


Η μορφή της εξίσωσης καθορίζεται από τον άξονα όπου βρίσκονται οι εστίες της.

Ως γνωστό, αν οι εστίες είναι στον x΄x τότε η εξίσωση της υπερβολής

θα είναι της μορφής 2 2

2 2

x yc : 1

α βενώ αν οι εστίες είναι στον άξο-

να y΄y τότε η εξίσωση της υπερβολής θα είναι της μορφής

2 2

2 2

y xc : 1

α β.

2) Βρίσκουμε τα α και β από κατάλληλα δεδομένα

Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής η οποία έχει εστίες τα σημεία Ε(5,0) και Ε΄(-5,0) και οι κορυφές της απέχουν 8 μονάδες.


ΕΑ

4 5-5 -4

Α΄Ε΄

3ο

Κεφάλαιο


Λύση

Αφού η υπερβολή έχει εστίες στον y΄y η εξίσωσή της θα είναι της μορφής

2 2

2 2

y xc : 1

α β

Είναι γ 13

Ακόμη 13 γ 13 13 13

ε α 1212 α 12 α 12

Επιπλέον 2 2 2 2 2 2 2 2β γ α β 13 12 β 169 144 β 25 β 5

Άρα 2 2y x

c : 1144 25

Λύση

Αφού η υπερβολή έχει εστίες στον y΄y η εξίσωσή της θα είναι της μορφής

2 2

2 2

y xc : 1

α β

Είναι γ 5

Ακόμη 2 2 2

2 2

22 β γ α

2 2 2 2β 25 α

4 2 3 32 9Μ c : 1 1

α β α 25 α

Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής που έχει εστίες τα σημεία Ε΄(0,-13)

και Ε(0,13) και εκκεντρότητα 13

12.


Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής που έχει εστίες τα σημεία Ε΄(0,-5),

Ε(0,5) και διέρχεται από το σημείο Μ(3,4 2) .


12

-12

Ε

Ε΄

Μ

Υπερβολή


2 2 2 225 α 32 9α α 25 α

2 2 2 4800 32α 9α 25α α

2θ α4 2 2

θ 0α 66α 800 0 θ 66θ 800 0

2Δ 4356 3200 1156 34 0 άρα

1,2

5066 34θ

162

Αν 2α 50 τότε από 2 2 2 2 2β γ α β 25 50 β 25 αδύνατο

Αν 2α 16 τότε από 2 2 2 2 2β γ α β 25 16 β 9

Άρα 2 2y x

c : 116 9

Λύση

Διακρίνουμε Περιπτώσεις

Αν η υπερβολή έχει εστίες στον άξονα x΄x τότε 2 2

2 2

x yc : 1

α β

Από τις εξισώσεις των ασύμπτωτων έχουμε

β 3 3β α

α 2 2 άρα 2 29

β α4

(1)

Ακόμη

22 1

2 2 22

4 23 9 32Μ c : 1 1

9α β α α4

2 2 2 2 2

9 128 81 128 471 1 1

α 9α 9α 9α 9α αδύνατο

Αν η υπερβολή έχει εστίες στον άξονα y΄y τότε 2 2

2 2

y xc : 1

α β

Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής που έχει ασύμπτωτες τις ευθείες

1

3ε : y x

2 , 2

3ε : y x

2 και διέρχεται από το σημείο Μ(3,4 2) .


3ο

Κεφάλαιο


Από τις εξισώσεις των ασύμπτωτων έχουμε

α 3 3α β

β 2 2 άρα 2 29

α β4

(2)

Ακόμη

22 2

2 2 22

4 2 3 32 9Μ c : 1 1

9α β ββ4

2

2 2 2

128 81 47 471 1 β

9β 9β 9β 9

Οπότε από τη σχέση (2) έχουμε 2 29 47 47α α

4 9 4

Άρα 2 2y x

c : 147 47

4 9

Λύση

Εύρεση Στοιχείων Υπερβολής

Αν γνωρίζουμε την εξίσωση της υπερβολής μπορούμε να προσδιορί-σουμε, τις κορυφές της, το μήκος του άξονα, τις εστίες της καθώς και την εκκεντρότητα της.

1) Αν η εξίσωση της υπερβολής δεν είναι σε μια από τις μορφές 2 2

2 2

x y1

α β ή

2 2

2 2

y x1

α β τη φέρνουμε με κατάλληλες πράξεις.

2) Βρίσκουμε τον άξονα που είναι οι εστίες της

Οι εστίες βρίσκονται στον άξονα της μεταβλητής που έχει θετικό πρόσημο μπρος από το κλάσμα

Να βρείτε εστίες, τις κορυφές, τις ασύμπτωτες, τις κορυφές του ορθογωνί-ου βάσης και την εκκεντρότητα σε καθεμία από τις παρακάτω υπερβολές:

α) 2 216x 25y 400 β) 2 2x y 1


Μ

Υπερβολή


α) Αρχικά μετασχηματίζουμε την εξίσωση και έχουμε

2 22 2 x y

16x 25y 400 125 16

Οπότε είναι 2α 25 α 5 και 2β 16 β 4

Επίσης 2 2 2 2 2 2 2β γ α γ α β γ 41 γ 41

Άρα η υπερβολή έχει

Εστίες: Ε 41,0 , Ε 41,0

Κορυφές: Α(5,0), Α΄(-5,0)

Ορθογώνιο Βάσης: Κ(5,4), Λ(-5,4), Μ(-5,-4), Ν(5,-4)

Ασύμπτωτες: 1

4ε : y x

5 , 2

4ε : y x

5

Εκκεντρότητα:γ 41

εα 5

β) Είναι 2α 1 α 1 και 2β 1 β 1

Επίσης 2 2 2 2 2 2 2β γ α γ α β γ 2 γ 2

Άρα η υπερβολή έχει

Εστίες: Ε 2,0 , Ε 2,0

Κορυφές: Α(1,0), Α΄(-1,0)

Ορθογώνιο Βάσης: Κ(1,1), Λ(-1,1), Μ(-1,-1), Ν(1,-1)

Ασύμπτωτες: 1ε : y x , 2ε : y x

Εκκεντρότητα:γ 2

ε 2α 1

Να βρείτε την εκκεντρότητα της υπερβολής της οποίας η ασύμπτωτη

1

βε : y x

α σχηματίζει με την ασύμπτωτη 2

βε : y x

α γωνία 30ο.


Σχόλιο

Ας εφαρμόσουμε το μνημονικό κανόνα εύρεσης ασύμπτωτων

2 2x y

025 16

x y x y0

5 4 5 4

x y x y0

5 4 5 4

x y0

5 4

x y0

5 4

y x 4y x

4 5 5

y x 4y x

4 5 5

3ο

Κεφάλαιο


Λύση

Θεωρούμε 1δ α,β

με 1 1δ / / ε

και 2δ -α,β

με 2 2δ / / ε

Αφού ο1 2ε ,ε 30

θα είναι και ο1 2δ ,δ 30

Άρα ο1 2

3συν δ ,δ συν30

2

Όμως

2 21 2

1 2 22 2 21 2

δ δ 3 α βσυν δ ,δ

2δ δ α β -α β

2 2 22 2 2 2 β =γ -α

2 22 2 2 2

3 β α 3 α β

2 2 α βα β α β

2 2 2 2 2

2 2 2 2

3 α γ α 3 γ 2α

2 α γ α 2 γ

2 2 2

2 2 2

3 α α 2 3 α 2 31 2 2

2 γ γ 2 γ 4

22

2

2

γ 4 γ4 2 3 ε 4 2 3 ε 2 2 3

α α2 3

Εξίσωση Εφαπτομένης Υπερβολής με Γνωστό Σημείο Επαφής

Αν μας δίνεται το σημείο επαφής Μ(x1,y1) τότε

Αν 2 2

2 2

x yc : 1

α βείναι 1 1

Μ 2 2

xx yyε : 1

α β

Αν 2 2

2 2

y xc : 1

α βείναι 1 1

Μ 2 2

yy xxε : 1

α β

Αν η εξίσωση της υπερβολής είναι στη μορφή

2 2 2 2 2 2c : β x α y α β τότε για την αποφυγή πράξεων μπορούμε

να ισχυριστούμε ότι 2 2 2 2Μ 1 1ε : β xx α yy α β

Υπερβολή


Λύση

Η εφαπτόμενη της υπερβολής στο σημείο Μ έχει εξίσωση

M MΜ

xx yy 10x 12 2yε : 1 1

20 72 20 72

x 2y

12 6

3x 2y 6 0

3x 2y 6 0

Άρα Μ Με ε

3 3 2λ λ

22

Ο συντελεστής διεύθυνσης της κάθετης ευθείας (ε) της

(εΜ) θα είναι αντιθετοαντίστροφος του Με

λ άρα

Μ

ε

ε

1 2 2 2 2λ

λ 6 33 2

Οπότε M M

2 2ε : y y x x y 12 2 x 10

3 3

2 10 2

y x 12 23 3

2 46 2

y x3 3

Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι κάθετη στην εφαπτόμενη της

υπερβολής 2 2x y

c : 120 72

στο σημείο Μ 10,12 2 .


Αν η εξίσωση της έλλειψης είναι στη μορφή 2 2 2 2 2 2c : β y α x α β

τότε για την αποφυγή πράξεων μπορούμε να ισχυριστούμε ότι

2 2 2 2Μ 1 1ε : β yy α xx α β

Σχόλιο

Αν γνωρίζουμε το συντε-λεστή διεύθυνσης και ένα σημείο από το οποίο διέρχεται μια ευθεία μπορούμε να βρούμε την εξίσωσή της.

Μ

εΜ

ε

3ο

Κεφάλαιο


Λύση


2 21 1Α c 9x y 32 (1)

Επιπλέον Α 1 1 1 1ε : 9xx yy 32 9x x y y 32 0 (2)

Άρα Α

1ε

1

9xλ

y

Επίσης ε : y 9x 9 άρα ελ 9

Εξίσωση Εφαπτομένης Υπερβολήςόταν δε δίνεται το Σημείο Επαφής

Για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης μιας υπερβολής όταν δεν γνωρίζουμε το σημείο επαφής ακολουθούμε τα εξής βήματα:


β) Ανάλογα με τη μορφή της εξίσωσης της υπερβολής θα έχουμε και αντίστοιχη μορφή για την εξίσωση της εφαπτομένης

Αν 2 2

2 2

x yc : 1

α βτότε 1 1

A 2 2

xx yyε : 1

α β

Αν 2 2

2 2

y xc : 1

α βτότε 1 1

A 2 2

yy xxε : 1

α β

γ) Εκμεταλλευόμαστε ότι το σημείο επαφής Α ανήκει στην υπερβολή

όποτε έχουμε μια σχέση μεταξύ των 1 1x , y .


Πχ




Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της υπερβολής

2 2c : 9x y 32 που είναι παράλληλες στην ευθεία ε : 9x y 9 0 .


Α

Β

εΒ εΑε

Υπερβολή


Αφού Α

1Α ε ε 1 1

1

9xε / / ε λ λ 9 y x

y (3)

(1)

3

22 2 2 2 21 1 1 1 1 19x x 32 9x x 32 8x 32 x 4

3

1 1

3

1 1

x 2 y 2

x 2 y 2

Άρα τα σημεία επαφής είναι τα Α(2,-2) και Β(-2,2)

Από τη σχέση (2) η Aε :18x 2y 32 0 2y 18x 32 y 9x 16

Από τη σχέση (2) η Bε :18x 2y 32 0 2y 18x 32 y 9x 16

Λύση


2 21 1Α c 9x y 32 (1)

Επιπλέον Α 1 1ε : 9xx yy 32 (2)

Α 1 1M ε :16y 32 y 2

Για 1y 2 η (1) 2 2 21 1 19x 4 32 9x 36 x 4 1

1

x 2

x 2

Άρα τα σημεία επαφής είναι τα Α(2,-2) και Β(-2,2)

Από τη σχέση (2) η Aε :18x 2y 32 0 2y 18x 32 y 9x 16

Από τη σχέση (2) η Bε :18x 2y 32 0 2y 18x 32 y 9x 16


2 2c : 9x y 32 που διέρχονται από το σημείο Μ(0,-16).


Α

Β

ε εΑ

εΒ

3ο

Κεφάλαιο


Λύση


2 21 1Α c 3x 4y 12 (1)

Επιπλέον Α 1 1ε : 3xx 4yy 12 (2)

Για x 0 η (2) 1

1

34yy 12 y

y άρα η (εΑ) τέμνει τον y΄y στο

1

3Β 0,

y

Για y 0 η (2) 1

1

43xx 12 x

x άρα η (εΑ) τέμνει τον x΄xστο

1

4Γ ,0

x

Αφού το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισοσκελές έχουμε:

1 1 1 1

3 4 3 4OB OA

y x y x

11

1 1

11

1 1

4 3 4yx (3)

x y 3

4 3 4yx (4)

x y 3

Για 11

4yx

3 η (1)

2 22 21 1

1 1

16y 16y3 4y 12 4y 12

9 3

22 21

1 1

4y12 4y 36 y 9

3

3

1 1

3

1 1

y 3 x 4

y 3 x 4


2 2c : 3x 4y 12 οι οποίες σχηματίζουν με τους άξονες ισοσκελές τρίγω-

νο.


Υπερβολή


Για 11

4yx

3 η (1)

221

1

16y3 4y 12

9

2

211

16y4y 12

3

2

14y12

3

2 21 14y 36 y 9

4

1 1

4

1 1

y 3 x 4

y 3 x 4

Άρα τα σημεία επαφής είναι τα Α1(4,3), Α2(-4,-3), Α3(-4,3), Α4(4,-3)

Από τη σχέση (2) η 1Aε :12x 12y 12 x y 1 y x 1

Από τη σχέση (2) η 2Aε : 12x 12y 12 x y 1 y x 1

Από τη σχέση (2) η 3Aε : 12x 12y 12 x y 1 y x 1

Από τη σχέση (2) η 4Aε :12x 12y 12 x y 1 y x 1

Λύση

Αφού η ζητούμενη υπερβολή έχει εστίες στον άξονα x΄x η εξίσωσή της θα είναι

της μορφής: 2 2

2 2

x y1

α β

Θεωρούμε το σύστημα της (c) με την (ε1) οπότε:

2 2

2 2

x y1 1

α β

5x 2y 9 0 2

Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής που εφάπτεται στις ευθείες

1ε : 5x 2y 9 0 και 2ε : y 5x 3 και έχει εστίες στον x΄x.


Α1

Α2

Α3

Α4

3ο

Κεφάλαιο


5x 9

2 2y 5x 9 y2

(3)

2

23

2 2

5x 9x 41 1α β

2 2

2 2

x 25x 90x 811

α 4β

2 2 2 2 2 2 2 24β x 25α x 90α x 81α 4α β

2 2 2 2 2 2 24β 25α x 90α x 81α 4α β 0

Πρέπει 22 2 2 2 2 2Δ 0 90α 4 4β 25α 81α 4α β 0

4 2 2 2 4 4 4 28100α 4 324α β 16α β 2025α 100α β 0

4 2 2 2 4 4 4 28100α 1296α β 64α β 8100α 400α β 0

α 0

2 2 2 2

β 0α β 1296 64β 400α 0

2 264β 400α 1296 0

2 24β 25α 81 0 (4)

Θεωρούμε το σύστημα της (c) με την (ε2) οπότε:

2 2

2 2

x y1 1

α β

y 5x 3 5

22 2 25

2 2 2 2

5x 3x x 5x 6 5x 91 1 1

α β α β

2 2 2 2 2 2 2 2β x 5α x 6 5α x 9α α β

2 2 2 2 2 2 2β 5α x 6 5α x 9α α β 0

Πρέπει 2

2 2 2 2 2 2Δ 0 -6 5α 4 β 5α 9α α β 0

Αφού η ζητούμενη υπερ-βολή εφάπτεται σε καθε-μία από τις ευθείες τότε το σύστημα των εξισώσεων της υπερβολής (c) με την ευθεία (ε1) και με την ευθεία (ε2) θα έχει μοναδι-κή λύση.

Άρα καθεμία από τις δευ-τεροβάθμιες εξισώσειςπου θα προκύψουν θα έχουν Δ=0.

ε1

ε2

Υπερβολή


4 2 2 2 4 4 4 2180α 4 9α β α β 45α 5α β 0

4 2 2 2 4 4 4 2180α 36α β 4α β 180α 20α β 0

α 0

2 2 2 2

β 0α β 9 β 5α 0

2 2β 5α 9 0 (6)

Από τις σχέσεις (5) και (6) έχουμε το παρακάτω σύστημα

2 22 2

2 22 2

4β 25α 81 04β 25α 81 0

4 -4β 20α 36 0β 5α 9 0

2 2 25α 45 0 5α 45 α 9

Για 2α 9 είναι (6) 2 29 β 45 0 β 36

Άρα η υπερβολή είναι c :2 2x y

19 36

Λύση

α) Έχουμε το σύστημα των εξισώσεων της υπερβολής και της ευθείας:

2 22 2 2 2 9x 5y 180 1

9x 5y 180 9x 5y 180λy 6

3x λy 6 0 3x λy 6 x 23

2222 2λy 6λy 6

1 9 5y 180 9 5y 1803 9

2 2 2λ y 12λy 36 5y 180 0

2 2λ 5 y 12λy 144 0 (3)

Δίνεται η υπερβολή 2 2c : 9x 5y 180 και η ευθεία ε : 3x λy 6 0 .

α) Να βρεθεί η τιμή της θετικής παραμέτρου λ ώστε η (ε) να εφάπτεται της (c).

β) Nα βρεθεί το σημείο επαφής


3ο

Κεφάλαιο


Πρέπει 2 2Δ 0 144λ 4 λ 5 144 0

2 2 2144λ 576λ 2880 0 720λ 2880

2λ 2

λ 4λ 2

και αφού λ 0 είναι λ 2

β) Για λ 2 είναι 3

ε : 3x 2y 6 0 2y 3x 6 y x 32

(4)

Επίσης η (3) 2y 24y 144 0 ,

2Δ 24 4 1 144 0 άρα 24

y 122

Οπότε από (4)3

12 x 3 24 3x 6 3x 30 x 102

Το σημείο επαφής λοιπόν είναι το Α(-10,12)

Λύση

Ας είναι ε : y λx κ η κοινή εφαπτομένη των (c1) και (c2)

Θεωρούμε το σύστημα της ευθείας (ε1) και της παραβολής (c1)


Για να βρούμε την κοινή εφαπτομένη δύο κωνικών τομών (c1) και (c2)ακολουθούμε τα εξής βήματα:

α) Θεωρούμε ε : y λx κ την κοινή εφαπτομένη

β) Η (ε) τόσο με τη (c1) όσο και με τη (c2) έχει μόνο ένα κοινό σημείο άρα το σύστημα της (ε) με τη (c1) θα έχει μοναδική λύση (οπότε Δ=0) καθώς και το σύστημα της (ε) με τη (c2) θα έχει μοναδική λύση (οπότε Δ΄=0).

γ) Από τις σχέσεις Δ=0 και Δ΄=0 προσδιορίζουμε τα λ, κ.

Να βρεθεί η εξίσωση της κοινής εφαπτομένης της παραβολής

21c : y 32x και της υπερβολής 2 2

2c : 4x 5y 20


Α

ε

Υπερβολή


2

2 2 2 2y 32xλx κ 32x λ x 2κλx κ 32x 0

y λx κ

2 2 2λ x 2κλ 32 x κ 0

Πρέπει 2 2 2Δ 0 2κλ 32 4κ λ 0

2 2 2 24κ λ 128κλ 1024 4κ λ 0

8128κλ 1024 λ

κ (1)

Θεωρούμε το σύστημα της ευθείας (ε1) και της υπερβολής (c2)

2 2

224x 5y 204x 5 λx κ 20

y λx κ

2 2 2 24x 5 λ x 2κλx κ 20 0

2 2 2 24x 5λ x 10κλx 5κ 20 0

2 2 24 5λ x 10κλx 5κ 20 0

Πρέπει 2 2 2Δ 0 10κλ 4 4 5λ 5κ 20 0

2 2 2 2 2 2100κ λ 100κ λ 400λ 80κ 320 0

2 2 2 280κ 400λ 320 κ 5λ 4 (2)

(2) 21

2 2 4 2

2

8 64κ 5 4 κ 5 4 κ 320 4κ

κ κ

2θ κ4 2 2

θ 0κ 4κ 320 0 θ 4θ 320 0

2Δ 16 4 320 1296 36 άρα 1,2

20, Aπορρίπτεται4 36θ

162

Οπότε

1

2

1

κ 4 λ 2κ 16

κ 4 λ 2

Οι κοινές εφαπτόμενες λοιπόν θα είναι οι 1ε : y 2x 4 και 2ε : y 2x 4

ε2

ε1

3ο

Κεφάλαιο


Λύση

Ας είναι Μ(x1,y1) το σημείο επαφής

2 21 1 1Μ c 2x 3y 24 (1)

Μ 1 1 1 1ε :2xx 3yy 24 2x x 3y y 24 0 (2)

Για να εφάπτεται η (εΜ) στον κύκλο (c2) αρκεί

Μd K,ε ρ

Ο κύκλος έχει κέντρο Κ(0,0) και ακτίνα ρ 10

Οπότε 1 1

Μ 2 21 1

2x 0 3y 0 24d K,ε ρ 10

4x 9y

2 22 21 11 1

24 57610 10

4x 9y4x 9y

2 21 1576 40x 90y (3)

Από τις σχέσεις (1) και (3) προκύπτει το παρακάτω σύστημα

2 22 21 11 1

2 22 21 11 1

40x 60y 4802x 3y 24 20

40x 90y 57640x 90y 576

2 21 1

96150y 96 y

150

12

1

1

4y

16 5y

425y

5

Να βρείτε τις κοινές εφαπτομένες της υπερβολής 2 21c : 2x 3y 24 και

του κύκλου 2 22c : x y 10


Κοινές Εφαπτομένες

Κύκλου - Υπερβολής

Για να βρούμε τις κοινές εφαπτομέ-νες μιας υπερβολής:

2 2

1 2 2

x yc : 1

α β

και ενός κύκλου:

2 2 2

2 0 0c : x-x y-y ρ

εργαζόμαστε ως εξής

α) Θεωρούμε Μ(x1,y1) το σημείο επαφής με την υπερβολή (c1).

β) To σημείο Μ ανήκει στη (c1) άρα:

2 2

1 1

2 2

x y1

α β(1)

γ) Η εφαπτομένη της (c1) στο Μ έχει εξίσωση:

1 1

2 2

xx yy1

α β

δ) Η ευθεία (ε) εφάπτεται και στον κύκλο (c2), αν και μόνο αν:

d K,ε ρ (2)

όπου Κ(x0,y0) το κέντρο του (c2)

ε) Από τις σχέσεις (1) και (2) βρί-σκουμε τις τιμές των x1 και y1.

Υπερβολή


Για 1

4y

5 η (1) 2 2 2

1 1 1

16 48 6482x 3 24 2x 24 2x

25 25 25

12

1

1

18x

324 5x

1825x

5

Για 1

4y

5 ομοίως η (1) δίνει

1

1

18x

5

18x

5

Τα σημεία επαφής λοιπόν είναι τα

18 4A ,

5 5

,18 4

B ,5 5

,18 4

Γ ,5 5

,

18 4Δ ,

5 5

Με τη βοήθεια της σχέσης (2) οι εφαπτόμενες είναι

A

36 12ε : x y 24 0 36x 12y 120 0 y 3x 10

5 5

Β

36 12ε : x y 24 0 36x 12y 120 0 y 3x 10

5 5

Γ

36 12ε : x y 24 0 36x 12y 120 0 y 3x 10

5 5

Δ

36 12ε : x y 24 0 36x 12y 120 0 y 3x 10

5 5

Β

Δ

Α

Γ

εΑεΓεΒ εΔ

3ο

Κεφάλαιο


Εξίσωση Χορδής

Λύση

Ας είναι Α(x1,y1) και Β(x2,y2) τα άκρα της χορδής

Αφού γνωρίζουμε ένα σημείο απ’ όπου διέρχεται η χορδή αρκεί να βρούμε το συντελεστή διεύθυνσής της.

Είναι 2 1ΑΒ

2 1

y yλ

x x

2 21 1A c : 2x y 62 (1) και 2 2

2 2B c 2x y 62 (2)

Αφαιρώντας κατά μέλη τις (1) και (2) προκύπτει

2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 22x 2x y y 0 2 x x y y 0

1 2 1 2 1 2 1 22 x x x x y y y y 0 (3)

Αλλά Μ μέσο ΑΒ άρα

1 2M

1 2

1 2 1 2M

x xx

x x 162y y y y 2

y2

Από (3) 1 2 1 232 x x 2 y y 0

1 2 2 1

1 2 2 1

y y y y32 2 0 32 2 0

x x x x

ΑΒ ΑΒ32 2λ 0 λ 16

Οπότε Μ ΑΒ ΜΑΒ : y y λ x x y 1 16 x 8

y 1 16x 128 y 16x 127

Δίνεται η υπερβολή 2 2c : 2x y 62 και το σημείο Μ(8,1). Να βρεθεί η

εξίσωση της χορδής που έχει μέσο το σημείο Μ.


Μ

Α

Β

Υπερβολή


Λύση

α) Αρκεί το σύστημα των εξισώσεών τους να έχει δύο λύσεις.


22x

y 1 14

y x 2 2

2 22

2 2x x1 x 2 1 x 4x 4 1

4 4

2 2x 4x 16x 16 4 0

2 23x 16x 20 0 3x 16x 20 0

Δ 16 4 3 20 16

2

21,2

2 y 016 4x

10 46 y3 3

Άρα η ευθεία (ε) τέμνει την υπερβολή (c) στα σημεία Α(-2,0),10 4

B ,3 3

β) Μ μέσο ΑΒ άρα A B A Bx x y yM ,

2 2

ή 10 4

M ,6 6

ή 5 2

M ,3 3

γ) 2 2

10 4 16 16 32 4 2AB 2 0

3 3 9 9 9 3

Δίνεται η υπερβολή 2

2xc : y 1

4 και η ευθεία ε : y x 2 .

α) Να δείξετε ότι η ευθεία (ε) τέμνει την υπερβολή (c)

β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου Μ της χορδής που ορίζεται

γ) Να υπολογίσετε το μήκος αυτής


Α

Β

Μ

3ο

Κεφάλαιο



Λύση

Για να εφάπτεται η (ε) της (c) αρκεί το σύστημα των εξισώσεών τους να έχει μοναδική λύση.

Έχουμε το σύστημα

2 2

2 2

x y1 1

α β

y λx κ 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2β α λ x 2α κλx κ α α β 0

Πρέπει 22 2 2 2 2 2 2 2Δ 0 2α κλ 4 β α λ κ α α β 0

4 2 2 2 2 2 2 2 24α κ λ 4α β α λ κ β 0

2 2 2 2 2 2 2 2α κ λ β α λ κ β 0

2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2α κ λ β κ β α κ λ α β λ 0

2 2 4 2 2 2β κ β α β λ 0

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2β κ β α λ 0 κ β α λ 0 κ α λ β

Να δείξετε ότι η ευθεία ε : y λx κ εφάπτεται της υπερβολής

2 2

2 2

x yc : 1

α β αν και μόνο αν 2 2 2 2κ α λ β


Δίνεται η υπερβολή 2 2

2 2

x yc : 1

α β . Να δείξετε ότι το γινόμενο των απο-

στάσεων ενός τυχαίου σημείου αυτής από τις ασύμπτωτες είναι σταθερό.


2222 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

λx κx1 1 β x α λ x 2α κλx κ α α β 0

α β

Α

ε

Υπερβολή


Λύση

Ας είναι Μ(x1,y1) ένα τυχαίο σημείο της υπερβολής

2 2

1 12 1

x yΜ c : 1

α β (1)

Οι ασύμπτωτες της υπερβολής είναι οι ευθείες

1

βε : y x

α και 2

βε : y x

α

Είναι 1ε :αy βx βx αy 0 και 2ε :αy βx βx αy 0

Οπότε 1 1

1 2 2

βx αyd Μ,ε

β α

και 1 1

2 2 2

βx αyd Μ,ε

β α

Έτσι λοιπόν 1 1 1 1

1 2 2 2 2 2

βx αy βx αyd Μ,ε d Μ,ε

β α β α

2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1

2 2 22 2

β x α y β x α y

β αβ α

(2)

Όμως από (1) 2 2 2 2 2 21 1β x α y α β (3)

Άρα (2)

2 2 2 23

1 2 2 2 2 2

α β α βd Μ,ε d Μ,ε σταθερό

β α β α

Λύση

Ο άξονας της 2 2 2c : x y α είναι ο x΄x και οι κορυ-

φές της τα σημεία Α(α,0) και Α΄(-α,0).

Ας είναι Κ(x1,y1) ένα τυχαίο σημείο της υπερβολής. Από το Κ φέρνουμε παράλληλη στον x΄x που τέμνει τον άλ-λο κλάδο της υπερβολής στο σημείο Λ(-x1,y1).

Να δείξετε ότι κάθε χορδή παράλληλη στον άξονα της ισοσκελούς υπερβο-

λής 2 2 2c : x y α φαίνεται από τις κορυφές υπό ορθή γωνία.


Μ

ε1ε2

Α

ΚΛ

3ο

Κεφάλαιο


Είναι 1 1Α Κ x α,y

και 1 1Α Λ x α,y

Οπότε 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1Α Κ Α Λ α x α x y α x y α x y

(1)

Αλλά 2 2 21 1Κ c : x y α (2)

(1) 2

2 2Α Κ Α Λ α α 0

άρα Α Κ Α Λ

Ομοίως δείχνουμε ότι ΑΚ ΑΛ


Λύση


Διαδοχικά έχουμε

22

2

22συνθ2 x

x xσυνθσυνθ

ημθ ημ θy εφθ y y

συνθ συν θ

2

2

222

2

2 21συνθ

xxy

1 συν θ 2y

συν θ x

2

22 22 2 2 2 2

2 2

4 x 41

xx xy y x 4y 4 y 14 4 4x x

Άρα ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η παραπάνω υπερβολή

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων 2

Μ ,εφθσυνθ

με

π πθ ,

2 2


Υπερβολή


Λύση


Τότε 22ΡΜ x y 6 και

3y 8 3y 8d Μ,ε

39

Αλλά 22 3 3y 83

ΡΜ d Μ,ε x y 62 6

2 2

2 22 29 3y 8 3y 8x y 6 x y 6

36 4

2 2 24x 4 y 12y 36 9y 48y 64

2 2 24x 4y 48y 144 9y 48y 64

2 22 2 2 2 y x

4x 5y 80 5y 4x 80 116 20

Άρα ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η παραπάνω υπερβολή

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου των οποίων

η απόστασή τους από το σημείο Ρ(0,6) είναι τα 3

2της απόστασής τους από

την ευθεία ε : 3y 8 0 .


Ρ

ε

3ο

Κεφάλαιο



Εύρεση Εξίσωσης Υπερβολής

1) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής που έχει τις εστίες της στον άξο-

να x΄x και

α) Έχει εστιακή απόσταση Ε Ε 6 και εκκεντρότητα 3

ε2

β) Έχει εστιακή απόσταση Ε Ε 20 και εξισώσεις ασύμπτωτων

1

4ε : y x

3 και 2

4ε : y x

3

γ) Έχει εστιακή απόσταση Ε Ε 4 και ασύμπτωτες τις διχοτόμους των

γωνιών των αξόνων.

2) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής σε καθεμία από τις παρακάτω

περιπτώσεις

α) Όταν έχει εστίες τα σημεία Ε΄(-12,0), Ε(12,0) και η απόσταση των κο-

ρυφών είναι 16

β) Όταν έχει εστίες τα σημεία Ε΄(-5,0), Ε(5,0) και εκκεντρότητα 5

ε3

3) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής όταν έχει κέντρο το Ο(0,0), τις

εστίες της στον άξονα x΄x και διέρχεται από τα σημεία Μ(3,2) και

3 2 1Ν ,

4 4

. Να προσδιορίσετε την εκκεντρότητα και να γράψετε τις

εξισώσεις των ασύμπτωτων της υπερβολής.

Υπερβολή


4) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής, με τις εστίες στον άξονα y΄y, ό-

ταν διέρχεται από το σημείο Μ 4, 2 και έχει ασύμπτωτες τις ευθείες

με εξισώσεις 1

1ε : y x

4 και 2

1ε : y x

4

5) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής που οι εστίες της βρίσκονται στον

άξονα x΄x και το κέντρο συμμετρίας της ταυτίζεται με την αρχή των αξό-

νων, αν είναι ε 2 και οι εστίες της συμπίπτουν με τις εστίες της έλλει-

ψης 2 2c : 9x 225y 225

6) Να βρεθεί η εξίσωση της ισοσκελούς υπερβολής που έχει τις ίδιες εστί-

ες με την έλλειψη 2 2x y

c : 125 16

7) Να βρεθεί η εξίσωση των παρακάτω σχεδιασμένων υπερβολών

45

6

y 2x6 2 3

3

y x2y 2x

3ο

Κεφάλαιο


8) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής με κέντρο την αρχή των αξόνων,

μεγάλο άξονα στον y΄y, εκκεντρότητα 2 3 και με μήκος χορδής που

διέρχεται από μια εστία και είναι κάθετη στο μεγάλο άξονα 18.

Εύρεση Στοιχείων Υπερβολής

9) Να βρείτε τις εστίες, τις κορυφές, τις ασύμπτωτες, τις κορυφές του ορ-

θογωνίου βάσης και την εκκεντρότητα σε καθεμία από τις παρακάτω

υπερβολές

α) 2 29x 16y 144 β) 2 225x 16y 400 γ) 2 2x y 4

10) Να βρείτε την εκκεντρότητα της υπερβολής 2 2

2 2

x yc : 1

α β , α β 0

αν η οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ασύμπτωτες είναι 60ο,

11) Δίνεται η υπερβολή 2 2

2 2

x yc : 1

α β , α β . Αν η εκκεντρότητα της υ-

περβολής είναι ίση με 2

3να βρείτε μια από τις γωνίες των ασύμπτω-

τών της.

12) Να βρείτε την εκκεντρότητα της υπερβολής 2 2

2 2

x yc : 1

α β της οποίας

η ασύμπτωτη 1

βε : y x

α είναι κάθετη στο διάνυσμα v 5 i 13 j

13) Δίνεται η υπερβολή (c) με εστίες E 20,0 , E 20 ,0 και εκκεντρό-

τητα ε 5 . Να βρείτε:

Υπερβολή


α) Την εξίσωση της υπερβολής (c)

β) Τις κορυφές και τις ασύμπτωτες της υπερβολής (c)

γ) To εμβαδόν του ορθογωνίου βάσης της υπερβολής (c)

14) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση 2 2

2

x y1

λ 1 λ 7

παριστάνει

υπερβολή και κατόπιν να βρείτε τις εστίες της υπερβολής.

15) Δίνεται η υπερβολή 2 2c : 4x 5y 80 και η ευθεία 1ε : 2x y 3 0 .

Αν Κ και Λ είναι τα σημεία τομής της υπερβολής με την ευθεία (ε2) που

διέρχεται από την εστία Ε και είναι παράλληλη της ευθείας (ε1) να βρε-

θεί το μήκος της χορδής ΚΛ.

16) Η έλλειψη 2 21c : κx 9y 9κ και η υπερβολή

2 2 2 22c : 3κx κ +4 y 3κ κ +4 έχουν τις ίδιες εστίες. Να εξετάσετε αν

έχουν τις ίδιες εκκεντρότητες.

Εξίσωση Εφαπτομένης

17) Να βρεθούν οι εφαπτόμενες των παρακάτω υπερβολών στα αντίστοιχα

σημεία:

α) 2 21c : 8x 6y 48 στο Μ(3,2)

β) 2 2

2

x yc : 1

12 18 στο Ν 3 2,3

3ο

Κεφάλαιο


18) Να βρείτε την εφαπτόμενη της υπερβολής 2 2x y

c : 14 9 σε σημείο

της που ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο και έχει τετμημένη διπλάσια

της τεταγμένης του.

19) Δίνεται η υπερβολή 2 2x y

c : 15 4 . Να βρείτε την εφαπτόμενή της

που είναι παράλληλη στην ευθεία ε : y 2x 10 .

20) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων της υπερβολής

2 2c : x 4y 4 που είναι παράλληλες στην ευθεία

ε : 2x 2y 1 0 καθώς και την απόστασή τους.

21) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων της υπερβολής

2 2c : y 9x 9 που είναι κάθετες στην ευθεία ε : x y 2 0 .

22) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της υπερβολής 2 2c : x 2y 3

που είναι κάθετη στο διάνυσμα v 2, 1

.

23) Δίνεται η υπερβολή 2 2c : x y 4 . Να βρείτε τις εξισώσεις των εφα-

πτόμενων της υπερβολής που διέρχονται από το σημείο M 2,2 2 2

Υπερβολή


24) Να βρεθούν οι εξισώσεις της εφαπτόμενης και της κάθετης σε αυτή στο

σημείο (-3,1), στην υπερβολή 2 2c : x 6y 3 . Να βρεθεί η εξίσωση της

εφαπτόμενης της (c) που σχηματίζει γωνία 45ο με τον άξονα x΄x.

25) Να βρεθεί η τιμή του κ ώστε η ευθεία ε : y 2x κ να εφάπτεται της

ισοσκελούς υπερβολής 2 2c : x y κ 6 .

26) Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου λ, ώστε η ευθεία ε : y 3x λ να

εφάπτεται στην υπερβολή 2 2c : 81x 25y 225 .

27) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής που έχει τις εστίες της στον άξο-

να y΄y και εφάπτεται στην ευθεία ε : y x 2 στο σημείο Μ(2,4).

28) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής που έχει εστίες Ε(6,0) , Ε΄(-6,0) και

εφάπτεται της ευθείας ε : 2x y 8 0 .

29) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής (c) με κέντρο Ο την αρχή των αξό-

νων και εστίες στον άξονα x΄x που εφάπτεται των ευθειών

1ε : y 2x 8 και 2ε : y x 2 .

3ο

Κεφάλαιο


30) Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες της έλλειψης 2 21c : 4x 3y 12 και

της υπερβολής 2 22c : 4x 5y 20 .

31) Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες της υπερβολής 2 21c : 4x 9y 36

και του κύκλου 2 22c : x y 4 .

Εξίσωση Χορδής

32) Να βρεθεί η εξίσωση της χορδής της υπερβολής 2 2x y

c : 19 16 η ο-

ποία έχει μέσο το σημείο Μ(4,1).

33) Δίνεται η υπερβολή (c) με εστίες Ε΄(-3,0) και Ε(3,0) στην οποία η από-

σταση των κορυφών της είναι ίση με 4.

Να βρείτε

α) Την εξίσωση της υπερβολής (c)

β) Την εξίσωση της χορδής της (c) που έχει μέσο το σημείο Μ(8,5)



2 2

x yc : 1

α β . Να δείξετε ότι κάθε παράλληλη

προς μια ασύμπτωτη τέμνει την υπερβολή σε ένα μόνο σημείο.

35) Δίνεται η ισοσκελής υπερβολή 2 2 2c : x y α και τυχαίο σημείο της

Μ. Αν η κάθετος της υπερβολής στο σημείο Μ τέμνει τους ημιάξονες

Οx, Oy στα σημεία Α και Β να δείξετε ότι το Μ είναι μέσο του ΑΒ.

Υπερβολή


36) Να δείξετε ότι για τις εκκεντρότητες ε1, ε2 των υπερβολών

2 2

1 2 2

x yc : 1

α β και

2 2

2 2 2

y xc : 1

β α αντίστοιχα ισχύει ότι

2 2 2 21 2 1 2ε ε ε ε


1 2 2

x yc : 1

α β και η υπερβολή

2 2

2 2 2

x yc : 1

α αβ αβ β

με α β 0 .

α) Να αποδείξετε ότι η έλλειψη και η υπερβολή έχουν τις ίδιες εστίες

β) Αν ε1 είναι η εκκεντρότητα της έλλειψης (c1) και ε2 η εκκεντρότητα

της υπερβολής (c2) να δείξετε ότι

2

212

2

εε 2

ε


1 2 2

x yc : 1

α β , α β και το σημείο της Μ(x0,y0).

Έστω Ρ η ορθή προβολή του Μ στον άξονα x΄x. Aν Α, Α΄ οι κορυφές της

υπερβολής να δείξετε ότι: 22 2α ΜΡ β ΡΑ ΡΑ


39) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων 3

M 4εφθ,συνθ

με

π πθ ,

2 2

.

3ο

Κεφάλαιο


40) Δίνεται το σημείο Ε(5,0) και η ευθεία δ : 5x 16 0 .

α) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος (c) των σημείων Μ του επιπέδου για

τα οποία είναι 5

ΜΕ d M,δ4

.

β) Να βρεθούν οι εστίες, oι κορυφές, η εκκεντρότητα και ασύμπτωτες

της (c).

41) Δίνονται οι ημιευθείες 1ε : y λx και 2ε : y λx με 0 λ 1 , x 0

και η ευθεία (ε) που τις τέμνει στα σημεία Α και Β.

α) Να βρεθούν οι συντεταγμένες των Α και Β συναρτήσει των συντεταγ-

μένων (x0,y0) του μέσου Μ του ΑΒ.

β) Αν η ευθεία (ε) κινείται έτσι ώστε να ισχύει 2OΑ OB 1 λ

να δείξετε

ότι το σημείο Μ γράφει ένα κλάδο υπερβολής.


1 2 2

x yc : 1

α β και ένα σημείο της Μ(x1,y1) δια-

φορετικό από τις κορυφές της. Θεωρούμε την εφαπτόμενη (ε1) της υ-

περβολής στο Μ και την κάθετη (ε΄) της (ε) στο Μ η οποία τέμνει τους

άξονες x΄x, y΄y στα σημεία Γ και Δ αντίστοιχα.

α) Να βρεθεί συυναρτήσει των x1, y1 η εξίσωση της (ε΄)

β) Να βρεθούν οι συντεταγμένες των Γ και Δ

γ) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του μέσου Ν του ΓΔ

δ) Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του Ν είναι μια υπερβολή (c)

ε) Να δείξετε ότι οι υπερβολές (c) και (c1) έχουν τις ίδιες εκκεντρότητες

αλλά τις εστίες σε διαφορετικούς άξονες.

Υπερβολή


3ο

Κεφάλαιο





προτάσεις

α) Η εξίσωση 2 2x y Ax By 0 παριστά κύκλο.

β) Η εξίσωση 2 2 2 2A B A B 4Γ

x y2 2 4

παριστά

κύκλο.

γ) Οι κύκλοι 2 2x y Ax By Γ και 2 2x y Ax By Δ

με ΓΔ 0 δεν έχουν κοινά σημεία.

δ) Τα κέντρα των κύκλων 2 21c : x y αx βy γ 0

και 2 22c : x y βx αy γ 0 είναι συμμετρικά

σημεία ως προς τη διχοτόμο της 1ης και 3ης γωνίας

των αξόνων.

ε) Η εξίσωση 2 2x y αx αy α 0 παριστάνει κύ-

κλο όταν α 0 .

στ) Ο κύκλος 2 2x y Ax By Γ 0 έχει κέντρο στον

άξονα x΄x όταν Α 0


προτάσεις

α) Ο 2 2 2c : x α y β β εφάπτεται στον x΄x

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ



β) Aν το κέντρο του κύκλου ανήκει στην ε : y x τότε ο

κύκλος έχει εξίσωση 2 2 2c : x α y α α

γ) Για το εσωτερικό σημείο Μ(x1,y1) κύκλου κέντρου

Κ(x0,y0) και ακτίνας ρ ισχύει

2 2 2

0 1 0 1x x y y ρ .

δ) Οι κύκλοι 2 2x y By 0 και 2 2x y By 0 εφάπτο-

νται στην αρχή των αξόνων.

ε) Η εξίσωση 2 2λx λy Ax By Γ 0 παριστά κύκλο

όταν λΓ 0


προτάσεις

α) Η κορυφή της παραβολής ισαπέχει από την εστία και

τη διευθετούσα της.

β) Αν Μ σημείο της παραβολής 21c : y x

2p , τότε το Μ

ισαπέχει από την εστία Ε της παραβολής και τον άξο-

να x΄x.

γ) Αν η παραβολή 21c : y x

2p περνά από το σημείο

(2,3) τότε έχει διευθετούσα 1

y3

δ) Στην παραβολή με άξονα συμμετρίας τον x΄x, αν το p

είναι θετικό, τότε και το x είναι θετικό.

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

3ο

Κεφάλαιο


ε) Όλες οι εφαπτομένες μιας παραβολής τέμνουν τη δι-

ευθετούσα της.


προτάσεις

α) Η εξίσωση 2 2 2 2 2 2c : β x α y α β με 2 2 2β α γ πα-

ριστάνει έλλειψη με εστίες Ε΄(-γ,0), Ε(γ,0) και σταθε-

ρό άθροισμα 2α.

β) Η εξίσωση 2 2 2 2 2 2c : α x β y α β με 2 2 2β α γ παρι-

στάνει έλλειψη με εστίες Ε΄(0,-γ), Ε(0,γ) και σταθερό

άθροισμα 2α.

γ) H έλλειψη 2 2

2 2

x yc : 1

α β περιέχεται στο ορθογώνιο

που ορίζουν οι ευθείες x α , x α , y β , y β .

δ) Δύο από τις κορυφές και οι εστίες μιας έλλειψης εί-

ναι συνευθειακά σημεία.

ε) Όσο η εκκεντρότητα μιας έλλειψης πλησιάζει στο 1,

τόσο η έλλειψη τείνει να γίνει ευθύγραμμο τμήμα.

στ) Ο κύκλος μπορεί να θεωρηθεί σαν έλλειψη με εκκε-

ντρότητα 0.

ζ) Τα σημεία μιας έλλειψης περιέχονται σε ορθογώνιο

διαγωνίου 2 2δ 2 2β γ

η) Οι ελλείψεις με τις ίδιες εστίες είναι όμοιες.

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ



θ) Η εφαπτομένη της 2 2

2 2

x yc : 1

α β σε σημείο της

Μ(x1,y1) έχει συντελεστή διεύθυνσης 2

12

1

β yλ

α x .


προτάσεις

α) Η υπερβολή 2 2

2 2

x yc : 1

α β έχει κορυφές τα σημεία

Α α,0 , Α α,0 .

β) Στην εξίσωση της 2 2

2 2

x yc : 1

α β είναι πάντα α β

γ) Η υπερβολή 2 2

2 2

y xc : 1

α β έχει τις

βy x

α ,

βy x

α

ασύμπτωτες.

δ) Οι διχοτόμοι των αξόνων δεν τέμνουν την υπερβολή

2 2c : λx λy 1 για καμία τιμή του λ.

ε) Μια υπερβολή με κέντρο Ο(0,0) τέμνει και τους δύο

άξονες.

στ) Υπάρχει υπερβολή με εκκεντρότητα 3

2.

ζ) Όσο πιο μεγάλη είναι η εκκεντρότητα, τόσο πιο ανοι-

κτή είναι η υπερβολή.

η) Οι κορυφές και οι εστίες μιας υπερβολής είναι συνευ-

θειακά σημεία.

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

3ο

Κεφάλαιο


θ) Οι ασύμπτωτες των 2 2

1 2 2

y xc : 1

β α ,

2 2

2 2 2

y xc : 1

α β

είναι ανά δύο κάθετες.


προτάσεις

α) Η εξίσωση 2 2 2x y 1 α παριστάνει κύκλο για κάθε

αℝ.

β) Η ευθεία x 1 εφάπτεται του κύκλου 22x y 1 1

γ) Η εξίσωση 2 22x 2 4y 4 παριστά κύκλο με ακτίνα

ρ 2

δ) Η εφαπτομένη του κύκλου 2 2x y 25 στο σημείο

Α(4,3) είναι η 3x 4y 25

ε) Ο κύκλος 22x y 1 1 εφάπτεται του άξονα y΄y

στ) Αν ο κύκλος 2 2 2x 2 y α α 2α 4 εφάπτεται

του άξονα x΄x τότε α 2

ζ) Το σημείο Μ(4,4) είναι εσωτερικό σημείου του κύκλου

2 2x y 25

η) Οι κύκλοι 2 2x y 1 και 2 2x 2 y 1 εφάπτονται.

θ) Αν η εξίσωση 2 2 2x y 2x βy γ 0 παριστάνει κύ-

κλο τότε 2

2β1 γ

2

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ



ι) Ο κύκλος 2 2

x 1 y 1 1 δεν εφάπτεται των αξό-

νων x΄x και y΄y.


προτάσεις

α) To σημείο p

Ε ,02

είναι εστία της παραβολής 2x 2py

β) Η παραβολή 2y 6x έχει διευθετούσα 3

δ : x2

γ) Η παραβολή με κορυφή Ο(0,0), εστία p

Ε ,02

και διευ-

θετούσα p

δ : x2

έχει εξίσωση 22px y

δ) Η παραβολή 2 1x y

4 έχει εστία το σημείο

1Ε 0,

16

ε) Η εξίσωση 22y 3x 0 παριστάνει παραβολή

στ) Η εξίσωση 2 23y x 0 παριστάνει παραβολή

ζ) Αν η παραβολή 2y 4px διέρχεται από το σημείο

Μ(1,2) τότε p 1

η) Η ευθεία y x 2 είναι εφαπτομένη της παραβολής

2y 8x στο σημείο της Μ(2,4).

θ) Η ευθεία x 2y 1 0 εφάπτεται της παραβολής

2x 4y στο σημείο της Μ(2,1).

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

3ο

Κεφάλαιο


ι) Αν η παραβολή 2y 2px έχει εστία Ε(-2,0) τότε p 1 .

ια) Αν y 2 είναι η διευθετούσα της παραβολής

2x 2py τότε 4p 1 .


προτάσεις

α) Τα σημεία Α(-2,0) και Α΄(2,0) είναι κορυφές της έλλει-

ψης 2 2x y

14 2 .

β) Η εκκεντρότητα της έλλειψης 2 25x 13y 65 είναι

2 10

5

γ) Το μήκος του μικρού άξονα της έλλειψης

2 29x 4y 36 είναι 2

δ) Η εφαπτομένη της έλλειψης 2 2

2 2

x y1

α β στο σημείο

Α(α,0) είναι η y α

ε) Η εστιακή απόσταση της έλλειψης 2 2

2 2

x y1

α β είναι

2γ α β

στ) Όσο η εκκεντρότητα μιας έλλειψης πλησιάζει προς το

0 τόσο η έλλειψη τείνει να γίνει κύκλος.

ζ) Μια ευθεία που έχει μόνο ένα κοινό σημείο με μια έλ-

λειψη είναι πάντοτε εφαπτομένη της.

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ



η) Το ορθογώνιο βάσης της έλλειψης2 2

2 2

x y1

α β έχει εμ-

βαδόν 2αβ.

θ) Το ορθογώνιο βάσης μιας έλλειψης έχει κοινά σημεία

με την έλλειψη.

9) Να αντιστοιχίσετε κάθε κύκλο της στήλης Α με τις κατάλληλες προτάσεις

της στήλης Β.


1. 2 21c : x y 9

2. 2 2

2c : x 2 y 4

3. 22

3c : x y 2 4

4. 2 2

4c : x 2 + y 2 =4

α) Ο κύκλος έχει το κέντρο του στην αρχή των αξόνων

β) Ο κύκλος διέρχεται από το σημείο

A 1, 8

γ) Ο κύκλος εφάπτεται μόνο στον άξονα x΄x

δ) O κύκλος εφάπτεται μόνο στον άξονα y΄y.

ε) O κύκλος εφάπτεται και στους δύο άξο-νες.

στ) O κύκλος έχει το κέντρο του στον y΄y.

ζ) O κύκλος έχει το κέντρο του στον x΄x.

1 2 3 4

Σ Λ

Σ Λ

3ο

Κεφάλαιο


10) Να αντιστοιχίσετε κάθε κύκλο της στήλης Α με εκείνη την ευθεία της

στήλης Β που διέρχεται από το κέντρο του.


1. 2 21c : x y 9

2. 2 2

2c : x 1 y 9

3. 2 23c : x y 2x 2y 1 0

4. 2 24c : x y 14x 1 0

α) x y 7

β) y 3x

γ) x y 1

δ) x y 0

ε) 2x 3y 11

11) Να αντιστοιχίσετε κάθε έλλειψη της πρώτης στήλης με τις εστίες της που

βρίσκονται στη δεύτερη στήλη

Στήλη Α

Έλλειψη

Στήλη Β

Εστίες

1. 2 2

1

x yc : 1

4 9

2. 2 2

2

x yc : 1

16 9

3. 2 23c : x 4y 4

α) E 5,0 , E 5,0

β) E 0, 5 , E 0, 5

γ) E 7,0 , E 7,0

δ) E 0, 3 , E 0, 3

ε) E 3,0 , E 3,0

1

2

3

4

1

2

3



12) Να αντιστοιχίσετε κάθε παραβολή της πρώτης στήλης με την εστία της

που βρίσκεται στη δεύτερη στήλη.

Στήλη Α

Παραβολή

Στήλη Β

Εστία

1. 21x y

3

2. 21y x

16

3. 21x y

8

4. 21y x

5

α) E 0, 4

β5

E 0,4

γ) E 2,0

δ)3

E ,04

ε)5

E 0,2

13) Να αντιστοιχίσετε κάθε υπερβολή της πρώτης στήλης με τις εστίες της

που βρίσκονται στη δεύτερη στήλη

Στήλη Α

Έλλειψη

Στήλη Β

Εστίες

1. 2 2

1

x yc : 1

9 16

2. 2 2

2

y xc : 1

36 64

3. 2

23

xc : y 4

4

α) E 0, 5 , E 0,5

β) E 5,0 , E 5,0

γ) E 0, 10 , E 0,10

δ) E 10,0 , E 10,0

ε) E 2 5,0 , E 2 5,0

1

2

3

4

1

2

3

3ο

Κεφάλαιο


14) Να αντιστοιχίσετε κάθε εξίσωση της πρώτης στήλης με τα είδη των

γραμμών που βρίσκονται στη δεύτερη στήλη

Στήλη Α

Εξίσωση

Στήλη Β

Γραμμή

1. 2 21c : x y 2x 3y 1 0

2. 2 22c : 4y 20 5x

3. 3c : x 3y 7

4. 2 24c : x y 5

5. 2 25c : x y 2x 1 0

6. 26c : 8y x 0

7. 2 27c : 9x 4y 36

α) Έλλειψη

β) Παραβολή

γ) Σημείο

δ) Κύκλος

ε) Υπερβολή

στ) Ισοσκελής Υπερβολή

ζ) Ευθεία

1

2

3

4

5

6

7

2οΚεφάλαιο



ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣΘΕΜΑ Α

Α1) Δείξτε ότι η εφαπτομένη του κύκλου 2 2 2x y ρ στο σημείο του Α(x1,y1) έχει

εξίσωση 21 1xx yy ρ

Α2) Να δώσετε τον ορισμό της παραβολής.

Α3) Να αντιστοιχίσετε κάθε εξίσωση της στήλης Α στο είδος της κωνικής που

παριστάνεται στη στήλη Β.


1. 2y 2px

2. 2x 2py

3.2 2

2 2

x y1

α β με 0 α β

4.2 2

2 2

x y1

α β

α) Παραβολή με εστία στον y΄y

β) Παραβολή με εστία στον x΄x

γ) Yπερβολή με εστίες στον x΄x

δ) Έλλειψη με εστίες στον y΄y

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται ο κύκλος 2 2c : x y 25

Β1) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου που άγονται από΄το

σημείο M 4 2,3 2

Β2) Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής που έχει εστία το σημείο Ε στον οποίο

τέμνει τον ημιάξονα Οx ο κύκλος



Β3) Να βρείτε τις εξισώσεις των κοινών εφαπτομένων του κύκλου και της παρα-

βολής του Β2) ερωτήματος

ΘΕΜΑ Γ

Δίνονται οι εξισώσεις

2 2 2λ 2 x 3λy 6λx 3λy 4 0 με λℝ (1)

και

2 2 μ 1x y μ 1 x μy

2 4 με μℝ (2)

Γ1) Να βρείτε για ποια τιμή του λℝ η (1) παριστάνει κύκλο:

Γ2) Να δείξετε ότι η εξίσωση (2) παριστάνει κύκλο για κάθε τιμή του μℝ του

οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα.

Γ3) Να δείξετε ότι οι κύκλοι με εξίσωση την (2) περνάνε από δύο σταθερά σημεία από τα οποία το ένα είναι συμμετρικό ως προς τον y΄y με το κέντρο του κύ-κλου του Γ1 ερωτήματος.

Γ4) Να βρείτε την υπερβολή που έχει εστία το άλλο σταθερό σημείο των κύκλων

με εξίσωση (2) και εκκεντρότητα 1.

ΘΕΜΑ Δ

Δίνονται οι εξισώσεις 2 21c : x y 6x 1 0 και 2

2c : y 4x

Δ1) Να δείξετε ότι η (c1) παριστάνει κύκλο του να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα

του.

Δ2) Να βρείτε την εστία και τη διευθετούσα της παραβολής (c2)

Δ3) Nα βρείτε τα κοινά σημεία Α και Β των (c1) και (c2)

Δ4) Να βρείτε τις εφαπτομένες (ε1) και (ε2) της (c2) στα Α, Β και να δείξετε ότι ε-

φάπτονται και στον κύκλο (c1).

2οΚεφάλαιο



ΓΕΝΙΚΟΘΕΜΑ Α

Α1) Να αποδείξετε ότι κάθε εξίσωση της μορφής

2 2c : x y Ax By Γ 0 με 2 2A B 4Γ 0

Α2) Έστω δύο σημεία Ε και Ε΄. Τι ονομάζουμε έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε και Ε΄;

Α3) Να χαρακτηρίσετε ως Σωστές (Σ) ή Λανθασμένες (Λ) τις παρακάτω προτάσεις

στο τετράδιό σας.

1. Η παραβολή 2y 2px, p 0 έχει εστία την p

E 0,2

2. Η εξίσωση Αx Βy Γ 0 παριστάνει ευθεία αν Γ 0 .

3. Η ευθεία Αx Βy Γ 0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα u B,A

4. Η παραβολή 2y 2px, p 0 έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα x΄x.

5. Η εξίσωση 2 2x y Ax By Γ 0 παριστάνει κύκλο όταν 2 2Α Β 4Γ

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η παραβολή 2c : y 4x και η ευθεία ε : y x 1

Β1) Να βρεθεί η εστία και η διευθετούσα της παραβολής c

Β2) Να δείξετε ότι η ευθεία (ε) διέρχεται από την εστία της παραβολής.

Β3) Να βρείτε τα κοινά σημεία Α, Β της ευθείας (ε) και της παραβολής c

Β4) Να αποδείξετε ότι οι εφαπτομένες της παραβολής στα σημεία Α, Β είναι κά-

θετες.



ΘΕΜΑ Γ

Δίνονται οι κύκλοι 2 2

1c : x 1 y 2 4 και 2 2

2c : x 2 y 2 9

Γ1) Να βρεθούν το κέντρο και η ακτίνα κάθε κύκλου.

Γ2) Να δείξετε ότι οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά.

Γ3) Να βρείτε το σημείο επαφής.

Γ4) Να βρεθεί η εξίσωση της κοινής εσωτερικής εφαπτομένης.

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η εξίσωση 2 2x y λx 3λ 10 y 0 (1)

Δ1) Να αποδείξετε ότι (1) παριστάνει κύκλο για κάθε λℝ του οποίου να βρείτε

το κέντρο .

Δ2) Να αποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι της παραπάνω οικογένειας διέρχονται από

δύο σταθερά σημεία.

Δ3) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των παραπάνω κύκλων.

Δ4) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές τα δύο σταθερά σημεία του

ερωτήματος (γ) και το κέντρο του κύκλου, της παραπάνω οικογένειας, ο ο-

ποίος διέρχεται από το σημείο Α(-1,1).

2οΚεφάλαιο



ΓΕΝΙΚΟ

ΘΕΜΑ Α

Α1) Έστω Οxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και Α(x0,y0) ένα σημείο

του επιπέδου. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το Α

και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ.

Α2) Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων α

και

β

;

Α3) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό

σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρό-

ταση:

α) Η ευθεία με εξίσωση Ax By Γ 0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα

δ B,- A

β) Η εξίσωση 2 2x y

c : 14 9 παριστάνει υπερβολή

γ) Η εξίσωση της παραβολής (c) με εστία p

E ,02

και διευθετούσα

p

δ : x2

είναι 2y 2px

δ) Αν α

, β

/ / y y τότε ισχύει 1 2α β λ λ 1

όπου 1 αλ λ και 2 β

λ λ

ε) Κάθε κύκλος με ακτίνα ρ 1 ονομάζεται μοναδιαίος



ΘΕΜΑ Β


c : 116 25

.

Β1) Να βρείτε τις εστίες Ε και Ε΄

Β2) Να βρείτε τα μήκη των αξόνων

Β3) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης στο σημείο Β(4,0)

ΘΕΜΑ Γ


, β

και u α 2β

, v α 3β

έτσι ώστε:

α β

, u v

και α 6

Γ1) Να αποδείξετε ότι 2

u v 6 1 β

Γ2) Να αποδείξετε ότι β 1

Γ3) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος u

ΘΕΜΑ Δ

Θεωρούμε την εξίσωση 2 2 2x y 4αx 2αy 4α α 1 0 με αℝ

Δ1) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο για κάθε αℝ

Δ2) Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του

Δ3) Να αποδείξετε ότι για κάθε αℝ τα κέντρα των παραπάνω κύκλων βρίσκο-

νται πάνω σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση

Δ4) Να δείξετε ότι για α 0 ή για α 1 η ακτίνα του κύκλου αυτού είναι ίση με 1

Δ5) Για την μεγαλύτερη τιμή του α του προηγούμενου ερωτήματος να βρείτε την

εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο Μ(0,1).


4.1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου


4ο

Κεφάλαιο


4.1 Μαθηματική Επαγωγή

Η μαθηματική ή τέλεια επαγωγή είναι μια αποδεικτική μέθοδος που μας εξα-

σφαλίζει την αλήθεια ενός ισχυρισμού P v για κάθε θετικό ακέραιο ή για κάθε

φυσικό αριθμό μεγαλύτερο ή ίσο ενός ορισμένου φυσικού αριθμού 0v .

Η μαθηματική επαγωγή στηρίζεται στη λεγόμενη «αρχή της μαθηματικής επαγω-γής».

Αρχή της μαθηματικής επαγωγής

Έστω P v ένας ισχυρισμός που αναφέρεται στους θετικούς ακεραίους

Αν

α) Ο ισχυρισμός είναι αληθής για τον ακέραιο 1, δηλαδή αληθεύει ο P 1 και

β) Η αλήθεια του P v συνεπάγεται την αλήθεια του P v 1 για κάθε vℕ* τό-

τε ο ισχυρισμός P v αληθεύει για όλους του θετικούς ακεραίους ν.

Για να αποδείξουμε έναν ισχυρισμό P v , για κάθε φυσικό αριθμό

0v v με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής ακολουθούμε τα εξής

τρία βήματα:

1ο βήμα: Αποδεικνύουμε ότι ο ισχυρισμός είναι αληθής για τον μικρό-

τερο φυσικό αριθμό που μας ζητούν (για 0v v ) δηλαδή α-

ποδεικνύουμε τον 0P v .

2ο βήμα: Υποθέτουμε ότι ο ισχυρισμός αληθεύει για έναν τυχαίο φυ-

σικό αριθμό ν, δηλαδή υποθέτουμε ότι ο P v είναι αληθής.

3ο βήμα: Αποδεικνύουμε ότι ο ισχυρισμός αληθεύει για τον αριθμό

v 1 δηλαδή αποδεικνύουμε ότι ο ισχυρισμός P v 1 είναι

αληθής.




Λύση

Για v 1 η ισότητα γράφεται:

2 1 1 1 2 2 που ισχύει

Έστω ότι η πρόταση ισχύει για v κ δηλαδή:

2 4 6 ... 2κ κ κ 1 (1)

Θα δείξουμε ότι η πρόταση ισχύει για v κ 1 δηλαδή:

2 4 6 ... 2κ 2 κ 1 κ 1 κ 2


1

2 4 6 ... 2κ 2 κ 1 κ κ 1 2 κ 1 κ 1 κ 2

Οπότε πράγματι η σχέση ισχύει για κάθε vℕ*

Λύση

Για v 1 η ισότητα γράφεται:

1 1 1 1

1 3 2 1 1 3 3

που ισχύει


1 1 1 1 κ

...1 3 3 5 5 7 2κ 1 2κ 1 2κ 1

(1)


Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει

2 4 6 ... 2ν ν ν 1


Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει

1 1 1 1 ν

...1 3 3 5 5 7 2ν 1 2ν 1 2ν 1


4ο

Κεφάλαιο


1 1 1 1 1 κ 1

...1 3 3 5 5 7 2κ 1 2κ 1 2 κ 1 12 κ 1 1 2 κ 1 1

(1)


11 1 1 1 1...

1 3 3 5 5 7 2κ 1 2κ 1 2 κ 1 1 2 κ 1 1

κ 1 κ 1

2κ 1 2κ 1 2κ 1 2κ 32 κ 1 1 2 κ 1 1

2 2κ 2κ 3 1 2κ 3κ 1 2κ 2κ κ 1

2κ 1 2κ 3 2κ 1 2κ 3 2κ 1 2κ 3

2κ κ 1 κ 1 2κ 1 κ 1 κ 1 κ 1 κ 1

2κ 1 2κ 3 2κ 1 2κ 3 2κ 3 2κ 2 1 2 κ 1 1

Οπότε πράγματι η σχέση ισχύει για κάθε vℕ*

Λύση

Για v 1 η ανισότητα γράφεται:

1+1 1+17 6 1 7 7 6 1 7 49 13 που ισχύει


κ+17 6κ 7 (1)


κ+2 κ+27 6 κ 1 7 7 6κ 13 (2)

(1) κ+1 κ+2 κ+27 6κ 7 7 7 6κ 7 7 42κ 49

Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι 42κ 49 6κ 13 36κ 36 κ 1 που ισχύει

διότι κ 0

Έτσι λοιπόν η πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο ν

Να δείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει ν+17 6ν 7




Λύση

Για ν 10 η ανισότητα γράφεται 10 32 10 που ισχύει

Έστω ότι η πρόταση ισχύει για ν κ δηλαδή: κ 32 κ (1)

Θα δείξουμε ότι η πρόταση ισχύει για ν κ 1 δηλαδή: 3κ+12 κ 1

(1) κ+1 32 2κ

Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι

3 3 23 3 3 32κ κ 1 κ κ 1 κ κ κ 1 κ κ 1 κ 1 1

3 2 3 2 3 2κ κ 2κ 1 κ 2 κ κ 3κ 3 κ κ 3κ 3 0

Αυτό όμως ισχύει διότι

3κ 10 κ 1000 (2)

22 2κ 100

κ 3κ 130 κ 3κ 3 133κ 10 3κ 30

(3)

Αφαιρώντας κατά μέλη τις (2) και (3) είναι 3 2κ κ 3κ 3 877 0

Έτσι λοιπόν η πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο ν 10

Λύση

Για ν 2 έχουμε 2 2 21 α 1 2α 1 α 2α 1 2α α 0

που ισχύει διότι α 0

Έστω ότι ισχύει για ν κ δηλαδή κ

1 α 1 κα (1)

Να δείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν 10 ισχύει ν 32 ν


Έστω α ένας πραγματικός αριθμός με 1 α 0 . Να αποδείξετε ότι για

όλους τους θετικούς ακέραιους ν με ν 2 ισχύει ν

1 α 1 να

Ανισότητα Bernoulli


4ο

Κεφάλαιο


Θα δείξουμε ότι ισχύει για ν κ 1 δηλαδή κ+1

1 α 1 κ 1 α

Πολλαπλασιάζοντας την (1) με 1 α έχουμε κ+1

1 α 1 κα 1 α

Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι

1 κα 1 α 1 κ 1 α 1 κα 1 α 1 κ 1 α 0

1 κα 1 α 1 ακ α 0

1 κα 1 α α 1 ακ 0

1 α 1 κα 1 ακ 0

1 α κα ακ 0

2κα 0

που ισχύει διότι κ 2 0 και 2α 0

Λύση

Από την ανισότητα Bernoulli έχουμε

νν3 1 2 1 2ν

νν4 1 3 1 3ν

Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω σχέσεις έχουμε

ν ν3 5 2 5ν

Η ανισότητα

Βernoulli μπο-

ρεί να χρησι-

μοποιηθεί

χωρίς απόδει-

ξη σε ασκήσεις

Να αποδείξετε ότι για κάθε ακέραιο ν 2 ισχύει ότι

ν ν3 4 2 5ν





1) Να δείξετε ότι 2 2 2 2 ν ν 1 2ν 1

1 2 3 ... ν6

για κάθε vℕ*

2) Να δείξετε ότι

223 3 3 3 ν ν 1

1 2 3 ... ν4


3) Να δείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό ν με ν 2 ισχύει

1 2 3 ν 1 ν2 2 3 2 4 2 ... ν 2 ν 1 2

4) Να δείξετε ότι ν 1 ν 12 2 2 2 2 ν ν 1

1 2 3 4 ... 1 ν 12

για κάθε

vℕ*

5) Να δείξετε ότι 21 2 2 5 3 8 ... ν 3ν 1 ν ν 1 για κάθε vℕ*


2 2 2 2 ν ν 11 2 3 ν...

1 3 3 5 5 7 2ν 1 2ν 1 2 2ν 1

για κάθε

vℕ*

4ο

Κεφάλαιο



22 2 2 2 2 2 22

3 5 7 2ν 1 1... 1

1 2 2 3 3 4 νν 1 ν

για κάθε

vℕ* με ν 2

8) Να δείξετε ότι για κάθε vℕ* ισχύει

ν ν 31 1 1 1

...1 2 3 2 3 4 3 4 5 ν ν 1 ν 2 4 ν 1 ν 2

9) Να δείξετε ότι v 23 ν για κάθε vℕ με ν 4

10) Να δείξετε ότι για κάθε vℕ είναι v v v2 5 7 11ν

11) Για κάθε φυσικό αριθμό ν, να αποδείξετε ότι

Α) v10 1 ν 1 4ν Β) 3v27 1 2ν

12) Να αποδείξετε ότι αν α 0 τότε νvα 1 α 1

2 2


13) Αν α, β 0 να αποδείξετε ότι v 1 ν ν+1β ν 1 α β ν α για κάθε vℕ*

14) Να αποδείξετε ότι νv 1ν ν 1 για κάθε φυσικό αριθμό ν με ν 3



ΘΕΜΑΤΑ

ΓΙΑ

ΤΕΛΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Επαναληπτικά Θέματα




ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΖΗΤΗΜΑ 1Ο

Για τα διανύσματα του διπλανού σχήματος ισχύουν οι σχέσεις:

ΑΒ α, ΒΓ β, ΓΔ 2α και ΔΕ 2β

Α) Να εκφράσετε τα διανύσματα ΑΓ

και ΓΕ

συναρτήσει

των διανυσμάτων α και β

.

Β) Το διάνυσμα ΑΕ

είναι ίσο με:

α. 3α β

β. 3α β

γ. 3α 3β

δ. α 3β

ε. 2α 4β

Γ) Αν ισχύει α β

, τότε να αποδείξετε ότι τα διανύσματα ΑΓ

και ΓΕ

είναι με-

ταξύ τους κάθετα.

ΖΗΤΗΜΑ 2Ο

Για τα διανύσματα α και β

ισχύουν οι σχέσεις:

2α 3β 4, 2

και α 3β 7,8

Α) Να δείξετε ότι α -1,2

και β 2, 2

Β) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός κ, ώστε τα διανύσματα κα β

και 2α 3β

να είναι κάθετα.

Γ) Να αναλυθεί το διάνυσμα γ 3, 1

σε δύο κάθετες συνιστώσες, από τις ο-

ποίες η μία να είναι παράλληλη στο διάνυσμα α

.

ΑΒ

ΓΔ

Ε



ΖΗΤΗΜΑ 3Ο

Για τα διανύσματα α και β

δίνεται ότι α 1

, β 2

και π

α,β3

. Έστω τα δια-

νύσματα u 2α 3β

, v α 2β

. Να υπολογίσετε:

Α) Το εσωτερικό γινόμενο α β

Β) Τα μέτρα u

, v

των διανυσμάτων u

, v

Γ) Το εσωτερικό γινόμενο u v

Δ) Το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων u

και v

ΖΗΤΗΜΑ 4Ο

Αν ΡΑ ΡΒ 2ΡΓ 0

και ΡΑ 6

, ΡΒ ΡΓ 2 3

να δείξετε ότι:

Α) Τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.

Β) Το σημείο Γ είναι ανάμεσα στα σημεία Α, Β.

Γ) Η γωνία ΑΡΒ 90

Δ) Το διάνυσμα v ΡΒ ΡΓ

είναι κάθετο στο ΑΓ

ΖΗΤΗΜΑ 5Ο


και β 2,3

Α) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος γ 5α 3β

Β) Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα γ

με τον άξονα x'x

Γ) Να βρείτε τον αριθμό κℝ ώστε το διάνυσμα 2v κ κ,κ

να είναι κάθετο

στο διάνυσμα α



ΖΗΤΗΜΑ 6Ο

Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι

ΑΒ 2α β

και ΑΓ 3β

όπου α β 1

και 2π

α,β3

.

Α) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

α β

, 2

4β 2α

, 2

α β

Β) Αν Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ να εκφράσετε τα διανύσματα, ΑΜ

και ΒΓ

συναρτήσει των α

, β

.

Γ) Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων ΑΜ

, ΒΓ

.

ΖΗΤΗΜΑ 7Ο

Α) Δίνονται τα μη συγγραμμικά διανύσματα α

, β

. Να αποδείξετε ότι:

α) Υπάρχει λℝ ώστε α

προβ β λα

.

β)2α

α βπροβ β α

α

.

γ) Να αναλυθεί το διάνυσμα v 1,2

σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις ο-

ποίες η μία να είναι παράλληλη στο διάνυσμα u 3,4

.

Β) Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ύψος ΑΔ και πλευρές (ΑΒ)=γ, (ΑΓ)=β. Να α-

ποδείξετε ότι β συνΓ ΒΔ γ συνΒ ΓΔ 0

.

ΖΗΤΗΜΑ 8Ο

Σε σύστημα συντεταγμένων Οxy θεωρούμε τρία σημεία Α, Β, Γ, του μονα-διαίου κύκλου, για τα οποία υπάρχει η ισότητα:

2ΟΑ 4ΒΓ ΑΓ

Να αποδείξετε ότι:



Α) Για τις διανυσματικές ακτίνες των Α, Β, Γ ισχύει η σχέση: 3ΟΑ 4ΟΒ 5ΟΓ

Β) Τα διανύσματα ΟΑ, ΟΒ

είναι κάθετα.

Γ) Για τη γωνία των διανυσμάτων ΟΑ, ΟΓ

είναι 3

συν ΟΑ,ΟΓ5

Δ) Αν det ΟΑ,ΟΒ

είναι η ορίζουσα των διανυσμάτων ΟΑ, ΟΒ

, τότε:

det ΟΑ,ΟΒ 1

ΖΗΤΗΜΑ 9Ο


, β

για τα οποία ισχύουν:

α 4

, β 5

και α

5προβ β α

8

Α) Να αποδείξετε ότι: α β 10

Β) Να βρείτε τη γωνία των α

και β

Γ) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u α β

Δ) Αν το διάνυσμα v α β α κ β

, κℝ είναι κάθετο στο διάνυσμα β

, να

βρείτε την τιμή του κ.

ΖΗΤΗΜΑ 10Ο


, β

για τα οποία ισχύουν:

α 1,8 α β

και 1

β 2, β5

Α) Να αποδείξετε ότι α) β 5

β) α β 5



Β) Να υπολογίσετε τη γωνία α,β

.

Γ) α) Να αποδείξετε ότι β

προβ α β

β) Να αναλύσετε το διάνυσμα α

σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η

μια να είναι παράλληλη με το β

.

ΖΗΤΗΜΑ 11Ο


, β

με α 2

, β 3

και 2πα,β

3

.

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΜ διάμεσός του για το οποίο ισχύουν:

ΑΒ 2α β

και ΑΜ 3α β

Α) Να βρείτε το α β

.

Β) Να εκφράσετε το ΑΓ


και β

.

Γ) Να υπολογίσετε το μήκος της διαμέσου ΑΜ

Δ) Να αποδείξετε ότι η γωνία των ΑΜ

και α

είναι ίση με π

6.

ΖΗΤΗΜΑ 12Ο

Δίνονται τα διανύσματα α i 2j

, β 2i 5j

και γ 7,3

α) Να δείξετε ότι τα διανύσματα α, β, γ

είναι μη συγγραμμικά ανά δύο

β) Να γράψετε το διάνυσμα γ


και β

γ) Να δείξετε ότι α β γ



δ) Αν u, v, w

είναι τα διανύσματα θέσης των σημείων Α, Β, Γ αντίστοιχα ως προς

την αρχή Ο των αξόνων με u α κ 1 β

, v 2κα 3 κ β

, w γ 7α

και

τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά, να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ.

ΖΗΤΗΜΑ 13Ο

Δίνονται τα διανύσματα α, β

με α 4

, β 6

και πα,β

3

Α) Αν 1

u α β2

και 2

v α β3

να βρείτε

α) Το εσωτερικό γινόμενο u v

β) Το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων u, v

Β) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με AB α

και AΓ β

α) Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ να βρείτε το μέτρο του διανύσματος AΜ

β) Αν Δ είναι η προβολή του Β στην ΑΜ, να εκφράσετε το διάνυσμα ΒΔ

ως

συνάρτηση των διανυσμάτων α, β

και να αποδείξετε ότι 14

ΑΔ ΑΜ19

ΖΗΤΗΜΑ 14Ο

Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι

AB α 2β

, AΓ 2α β

με α 2

, β 1

και πα,β

3

Α) Να υπολογιστούν οι παραστάσεις

α) α β

β) α β

γ) α β

Β) Έστω Μ μέσο του ΒΓ. Να εκφράσετε τα διανύσματα AM

και BΓ



και β

Γ) Να υπολογίσετε το συνημίτονο της γωνίας AM,ΒΓ

Δ) Να βρεθεί το μέτρο της προβολής του AM

στο ΒΓ



ΕΥΘΕΙΑ

ΖΗΤΗΜΑ 15Ο

Σε ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς δίνονται τα σημεία A 1,4 και B 1, 5

Να βρείτε:

α) Την εξίσωση της μεσοκάθετης του τμήματος ΑΒ

β) Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ, όπου Ο η αρχή των συντεταγμένων.

γ) Την απόσταση του σημείου Μ(-1,1) από την ευθεία ΑΒ.

ΖΗΤΗΜΑ 16Ο

Δίνονται οι ευθείες:

1

2

ε : λ 1 x 2λy 2λ

και

ε : x 2y 3


α) Υπάρχει τιμή του λ για την οποία οι ευθείες 1ε και 2ε είναι κάθετες.

β) Οι 1ε και 2ε τέμνονται σε ένα σημείο Ρ για κάθε λ του οποίου να

βρείτε τις συντεταγμένες.

γ) Όταν το λ μεταβάλλεται το σημείο Ρ κινείται σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση.

ΖΗΤΗΜΑ 17Ο

Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με Α(-1,2), Β(1,3) και Γ(3,-2).

Να βρείτε:

α) Την εξίσωση του ύψους ΑΔ.

β) Την εξίσωση της διαμέσου ΒΕ.

γ) Την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο τομής Κ των ευθειών ΑΔ και ΒΕ και είναι παράλληλη στην ευθεία ΑΒ.

ΖΗΤΗΜΑ 18Ο

Δίνεται η εξίσωση

2 2 2α 2α x α α 1 y α 2 0 , αℝ (1)



α) Να αποδείξετε ότι για κάθε αℝ η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία.

β) Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση (1) διέρχο-νται από το ίδιο σημείο.

γ) Να βρείτε εκείνη την ευθεία (ε) που ορίζεται από την εξίσωση (1) και είναι κά-

θετη στην ευθεία ε : x y 3 0 .

δ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία η : y 2x δεν ανήκει στην οικογένεια των ευθεί-

ων που ορίζεται από την εξίσωση (1)

ΖΗΤΗΜΑ 19Ο

Δίνεται η εξίσωση 2 26x y xy (1)

α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει δύο ευθείες 1ε και 2ε .

β) Να βρείτε την οξεία γωνία θ που σχηματίζουν οι 1ε και 2ε

γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από το σημείο Μ(0,1) και

τέμνει τις ευθείες 1ε και 2ε στα σημεία Α και Β αντιστοίχως ώστε το ση-

μείο Μ να είναι μέσο του ΑΒ.

ΖΗΤΗΜΑ 20Ο

Δίνονται οι ευθείες:

1

2

ε : λ 1 x λy 3λ

και

ε : λx λ 1 y 3λ 1

α) Να αποδείξετε ότι οι 1ε και 2ε τέμνονται για κάθε λℝ .

β) Να δείξετε ότι το σημείο τομής των 1ε και 2ε βρίσκεται σε μια ευθεία (η).

γ) Αν Α(-1,2) να βρείτε σημείο Β της ευθείας (η), που να απέχει από την ευθεία

ΟΑ απόσταση ίση με 2 5 .

δ) Να βρείτε σημείο Ν της ευθείας (η) ώστε το εμβαδόν του τριγώνου ΝΑΟ να είναι 2.

ΖΗΤΗΜΑ 21Ο

Δίνονται τα σημεία Α(λ-1,3), Β(λ,2) και Γ(λ+1,-1)

α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου για κάθε λℝ.



β) Για λ 1 να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ ώστε

(ΜΑΒ)=2(ΑΒΓ)

γ) Για λ 1 να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Ν ώστε

d Ν,ΑΒ

5d Ν,ΒΓ

ΖΗΤΗΜΑ 22Ο

Δίνονται τα σημεία Α(1,3) , Β(-2,2) και η ευθεία ε : 3x y α 0 όπου αℝ.

Α) Αν η απόσταση του Α από το Β είναι ίση με την απόσταση του Α από την ευ-θεία ε, να βρείτε την τιμή του α.

Β) Για την τιμή α 4 να βρείτε:

α) Το εμβαδόν του τριγώνου που έχει κορυφές τα σημεία Α, Β και το σημείο Γ που η ευθεία (ε) τέμνει τον άξονα y’y.

β) Ποιο σημείο της ευθείας (ε) έχει τη μικρότερη απόσταση από την αρχή Ο των αξόνων.

ΖΗΤΗΜΑ 23Ο

Δίνεται η εξίσωση 2α 1 x α 1 y 3 0 (1)

Α) Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει ευθεία για κάθε αℝ.

Β) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του αℝ οι ευθείες της μορφής (1) διέρχο-νται από το σημείο Μ(-1,2).

Γ) Δίνεται η ευθεία ε : x 5y 3 0 . Αν Α και Β είναι τα σημεία τομής της (ε) με

τις ευθείες που προκύπτουν από την (1) για α 0 και α 1 αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΜΒ είναι 3 τ.μ.

ΖΗΤΗΜΑ 24Ο

Στο καρτεσιανό επίπεδο Οχψ δίνονται τα σημεία Α(2,0), Β(4,5), Γ(6,κ) με

κℝ 10

Α) Να δείξετε ότι:

α) Τα σημεία Α, Β, Γ δεν είναι συνευθειακά



β) Η εξίσωση της ευθείας της διαμέσου (ε) που φέρνουμε από την κορυφή Β του τριγώνου ΑΒΓ, είναι x 4

Β) Να προσδιορίσετε την κορυφή Γ του τριγώνου ΑΒΓ, αν το εμβαδόν του είναι (ΑΒΓ)= 8 τετραγωνικές μονάδες

Γ) Για κ = 2 να βρείτε την εξίσωση της ευθείας του ύψους (η) που φέρνουμε από την κορυφή Α του τριγώνου ΑΒΓ, καθώς και τις συντεταγμένες του σημείου Δ στο οποίο τέμνονται οι ευθείες (η) και (ε).

ΖΗΤΗΜΑ 25Ο

Δίνονται τα σημεία Α(14,5) και Β(2,-1).

Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από τα σημεία Α και Β είναι x 2y 4 0 .

Β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία (ε) τέμνει τους άξονες x΄x, y΄y στα σημεία Κ(4,0) και Λ(0,-2) αντιστοίχως.

ΖΗΤΗΜΑ 26Ο

Δίνονται οι εξισώσεις

λ 1 x λ 2 y 1 (1) και λ 1 x 1 2λy (2) με λℝ

Α) Να δείξετε ότι η (1) και η (2) παριστάνουν ευθείες για κάθε τιμή του πραγμα-

τικού αριθμού λ

Β) Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση (1) διέρχονται

από το ίδιο σημείο

Γ) Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση (2) διέρχονται

από το ίδιο σημείο

Δ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που ανήκει και στις δύο οικογένειες των

ευθειών

ΖΗΤΗΜΑ 27Ο

Δίνεται η εξίσωση 2y y x (1)

Α) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει δύο ευθείες ε1 και ε2 που τέμνονται

στην αρχή των αξόνων



Β) Να δείξετε ότι το σημείο Μ 2 2, 2 ισαπέχει από τις ε1 και ε2

Γ) Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ε1 και

ε2

ΖΗΤΗΜΑ 28Ο

Δίνεται η εξίσωση 2 2x y 2 2x 2y xy 5

Α) Να αποδείξετε ότι παριστάνει δύο ευθείες παράλληλες μεταξύ τους.

Β) Αν (ε1), (ε2) οι δύο ευθείες του Α) ερωτήματος να βρείτε την απόσταση των

ευθειών

Γ) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης (ε) τα των ευθειών (ε1) και (ε2)

Δ) Αν το σημείο Ρ(κ,λ) κινείται στην ευθεία (ε1) και το σημείο Σ(μ,ν) κινείται στην

(ε2), να αποδείξετε ότι το σημείο κ μ λ ν

M 1, 12 2

κινείται στην ευθεία

(ε1) και το εμβαδόν του τριγώνου ΡΣΜ παραμένει σταθερό.

ΖΗΤΗΜΑ 28Ο

Δύο ευθείες με συντελεστές διεύθυνσης αντίθετους αριθμούς σχηματίζουν γωνία

60ο και τέμνονται στο σημείο Α(0,κ) με κℝ. Επίσης η ευθεία που έχει συντελε-

στή διεύθυνσης θετικό αριθμό διέρχεται από το σημείο Β(-3,0).

α) Να βρείτε τις εξισώσεις των δύο ευθειών

β) Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των δύο γωνιών που σχηματίζουν οι

ευθείες.

ΖΗΤΗΜΑ 29Ο

Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με εξισώσεις διαγωνίων BΔ : y x 1 και

AΓ : y 2x 3 . Η διαγώνιος ΒΔ είναι η μεσοπαράλληλος των ευθειών (ε1) και

(ε2) των οποίων η μεταξύ τους απόσταση είναι d 2 2 και οι οποίες διέρχονται

από τις κορυφές Α και Γ αντιστοίχως. Αν ΑΔ 4,6

τότε:



α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του Κ του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ

β) Να δείξετε ότι οι ευθείες ε1, ε2 έχουν εξισώσεις και

1ε : x y 1 0 και 2ε : x y 3 0

γ) Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Α, Β, Γ, Δ του παραλληλογράμμου

δ) Να βρείτε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου (ΑΒΓΔ)

ΖΗΤΗΜΑ 30Ο

Δίνεται η εξίσωση 2λ 1 x λ 1 y 3 0 (1) με λℝ

Α) Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει ευθεία για κάθε λℝ και όλες αυτές

διέρχονται από σταθερό σημείο Μ.

Β) Να βρείτε εκείνη την ευθεία που απέχει τη μέγιστη απόσταση από την αρχή

των αξόνων

Γ) Αν η (1) τέμνει τους άξονες στα σημεία Α και Β, να βρεθεί το λ ώστε το Μ να

είναι μέσο του τμήματος ΑΒ.

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ

ΖΗΤΗΜΑ 31Ο

Δίνεται η εξίσωση 2 2x y 4x 2y 3 0 και το σημείο Μ(2,1).

Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο

Κ(2,-1) και ακτίνα ρ 2 .

Β) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου που διέρχονται από το σημείο Μ(2,1).

Γ) Αν Α, Β είναι τα σημεία επαφής των παραπάνω εφαπτομένων με τον κύκλο, να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ.

ΖΗΤΗΜΑ 32Ο

Δίνεται η παραβολή 2y 4x . Να βρείτε:

Α) Την εστία και τη διευθετούσα της παραβολής.



Β) Τις ευθείες που διέρχονται από την εστία της παραβολής και απέχουν από την

αρχή των αξόνων απόσταση ίση με 2 .

Γ) Την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής που είναι παράλληλη στην ευ-θεία y x 1

ΖΗΤΗΜΑ 33Ο

Δίνεται η εξίσωση 2 2x y 2xσυνθ 2yημθ 1 0 , 0 θ 2π .

Α) Να αποδείξετε ότι για κάθε θ η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο, του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα.

Β) Αν π

θ2

, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο

Μ(1,2).

Γ) Να αποδείξετε ότι για τις διάφορες τιμές του θ τα κέντρα των παραπάνω κύ-κλων βρίσκονται σε κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ 1 .

ΖΗΤΗΜΑ 34Ο

Δίνεται ο κύκλος 2 2c : x y 25 και 1ε , 2ε οι εφαπτομένες του κύκλου από

το σημείο (0,-10). Αν Α και Β είναι τα σημεία επαφής των 1ε , 2ε με τον κύ-

κλο, να βρείτε:

Α) Τις εξισώσεις των εφαπτομένων 1ε , 2ε .

Β) Τις συντεταγμένες των σημείων επαφής Α και Β.

Γ) Την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και διέρχε-ται από τα σημεία Α και Β.

ΖΗΤΗΜΑ 35Ο

Η παραβολή με εξίσωση 2y αx διέρχεται από το σημείο Α(2,4), όπου αℝ.

Α) Να αποδείξετε ότι η εστία της παραβολής είναι το σημείο Ε(2,0).

Β) Έστω Ε΄ το συμμετρικό της εστίας Ε ως προς τον άξονα y΄y. Αν Μ(x,y) είναι ένα

οποιοδήποτε σημείο για το οποίο ισχύει 2

ΜΕ ΜΕ Ε Ε

, να αποδείξετε ότι το



σημείο Μ(x,y) ανήκει στον κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) και ακτίνα 2.

Γ) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του παραπάνω κύκλου που διέρχο-νται από το σημείο Α.

ΖΗΤΗΜΑ 36Ο

Δίνεται η εξίσωση x 1 x 3 y 3 y 5 0 .

Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του.

Β) Στο τοπογραφικό σχεδιάγραμμα, με καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οxyτα σημεία Α(1,3), Β(3,3), Γ(3,5) και Δ(1,5) παριστάνουν τις θέσεις τεσσάρων δήμων. Να αποδείξετε ότι μπορεί να χαραχθεί περιφερειακός κυκλικός δρό-μος που να διέρχεται από τους τέσσερις δήμους.

Γ) Αν θεωρήσουμε ότι στο ίδιο σύστημα αξόνων του ερωτήματος (Β), οι συντε-ταγμένες ενός αυτοκινήτου Κ για κάθε χρονική στιγμή t (t>0) είναι (t,t+2) να βρείτε αν η γραμμή, στην οποία κινείται το αυτοκίνητο Κ, συναντά τον κυκλικό περιφερειακό δρόμο και αν ναι, σε ποια σημεία;

ΖΗΤΗΜΑ 37Ο

Η εστία της παραβολής 21c : y 2px , p 0 συμπίπτει με μία εστία της έλλειψης

2 2

2 2 2

x yc : 1

α β , 0 β α .

Α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία p p

Μ ,α β

ανήκουν σε μια ισοσκελή υπερβολή.

Β) Έστω 1 2ε , ε οι εφαπτομένες της παραβολής που άγονται από την εστία

της έλλειψης που δεν είναι εστία της παραβολής.

α) Να βρείτε τις εξισώσεις των 1 2ε , ε και να γράψετε τις συντεταγμένες

των σημείων επαφής Α, Β των 1 2ε , ε με την παραβολή 1c .

β) Να δείξετε ότι οι 1 2ε , ε τέμνονται κάθετα.

γ) Αν τα σημεία Α, Β ανήκουν στην έλλειψη 2c να αποδείξετε ότι για την εκ-

κεντρότητά της ισχύει ότι: ε 3 2 2



ΖΗΤΗΜΑ 38Ο

Δίνεται η εξίσωση 2 2: x y ημθ x συνθ y 2C (1) όπου θℝ.

Α) Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα.

Β) Να αποδείξετε ότι, όταν το θ μεταβάλλεται, τα κέντρα των κύκλων C κινούνται σε κύκλο του οποίου να βρείτε την εξίσωση.

Γ) Να βρείτε τις τιμές του θ 0,π αν είναι γνωστό ότι ο κύκλος C διέρχεται από

το σημείο Μ(1,-1).

Δ) Έστω Κ το κέντρο του κύκλου C και Α, Β τα σημεία τομής του με την ευθεία ΟΚ (όπου η αρχή των αξόνων). Να υπολογίσετε τις αποστάσεις (ΟΑ) και (ΟΒ).

ΖΗΤΗΜΑ 39Ο

Δίνεται η εξίσωση:

2 2λ 1 x 2λ 3 y 6 2 λ x 16 λ 1 (1) λℝ

Α) Αν λ 1 , να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει παραβολή 1c της οποίας να

βρείτε τη διευθετούσα δ και την εστία Ε.

Β) Αν λ 2 , να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο 2c , του οποίου να βρείτε

το κέντρο Ο και την ακτίνα R.

Γ) Να βρείτε την εξίσωση και την εκκεντρότητα της έλλειψης, που έχει κέντρο την

αρχή Ο των αξόνων, μία εστία της κοινή με την εστία Ε της παραβολής 1c

και μεγάλο άξονα ίσο με την ακτίνα R του κύκλου 2c .

Δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία 1Ρ και 2Ρ των κωνικών τομών 1c και 2c , και να

αποδείξετε ότι:

1 1 2 2d Ρ ,δ Ρ Ε d Ρ ,δ Ρ Ε

ΖΗΤΗΜΑ 40Ο

Δίνεται η εξίσωση: 2 2x ψ

1μ 2 3 μ

(1) όπου μℝ 2,3

Α) Να βρείτε την τιμή του μ ώστε η εξίσωση (1) να παριστάνει κύκλο.

Β) Για ποιες τιμές του μ η εξίσωση (1) παριστάνει έλλειψη;



Γ) Αν 1

μ 2,2

, τότε:

α) Να δείξετε ότι η έλλειψη που προκύπτει από την (1) έχει τις εστίες της πά-νω στον άξονα ψ’ψ.

β) Να υπολογίσετε την τιμή του μ ώστε η εκκεντρότητα της έλλειψης (1) να εί-

ναι ίση με 3

2

ΖΗΤΗΜΑ 41Ο

Σε ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς Οxy με Μ(x,y) παριστάνουμε τα σημεία μι-ας περιοχής. Στο Κ(12,6) είναι τοποθετημένος ένας πομπός κινητής τηλεφωνίας.

Η λήψη σε ένα σημείο της περιοχής θεωρείται «πολύ καλή» αν αυτό βρίσκεται

στον κυκλικό δίσκο που ορίζεται από τον κύκλο 1c , ο οποίος έχει κέντρο Κ και

ακτίνα 1ρ 10 , ενώ η λήψη θεωρείται «καλή», αν το σημείο είναι εξωτερικό

του 1c και εσωτερικό του 2c , που γράφεται με κέντρο Κ και ακτίνα 2ρ 4 .

Α) Να γράψετε τις εξισώσεις των κύκλων 1c και 2c .

Β) Να εξετάσετε αν η λήψη στα σημεία Α(10,7) και Β(9,4) είναι «καλή» ή «πολύ καλή».

Γ) Ένας αυτοκινητόδρομος της περιοχής (θεωρούμενος ως ευθεία) έχει εξίσωση

ε : x y 1 0 . Να εξετάσετε αν υπάρχει τμήμα του αυτοκινητόδρομου στο

οποίο η λήψη είναι «καλή» ή «πολύ καλή».

ΖΗΤΗΜΑ 42Ο

Δίνονται η ευθεία ε : 2x y 3 0 και ο κύκλος 2 2c : x y x y 2 0

Α) Να δείξετε ότι η ευθεία (ε) και ο κύκλος (c) τέμνονται

Β) Να δείξετε ότι η εξίσωση

2 2λc : x y x y 2 λ 2x y 3 0 (1)

Για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού λ παριστάνει κύκλο ο οποίος διέρχε-

ται από τα σημεία Μ και Ν

Γ) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων (cλ) καθώς το λ διατρέ-

χει το ℝ



ΖΗΤΗΜΑ 43Ο

Δίνεται η εξίσωση 2 2 2x y 2 2xlnθ ln θ 4lnθ με θℝ και θ 0

Α) Να βρεθούν οι τιμές του θ ώστε η παραπάνω εξίσωση να παριστάνει κύκλο

Β) Για τις τιμές του θ που βρήκατε στο α) ερώτημα να βρείτε το κέντρο και την

ακτίνα του κύκλου

Γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του θ ώστε η ευθεία ε : x y 3 να εφάπτεται

του κύκλου

ΖΗΤΗΜΑ 44Ο

Δίνεται η εξίσωση 2 2x y 3 4y (1)

Α) Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο του οποίου να βρεθεί το κέντρο και η

ακτίνα του

Β) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων ευθειών του κύκλου που διέρχονται

από την αρχή των αξόνων.

Γ) Θεωρούμε την υπερβολή 2 2

2 2

x y1

α β με 2 2β α 2 . Να βρείτε τους πραγματι-

κούς αριθμούς α, β ώστε οι ασύμπτωτες της υπερβολής να είναι οι ευθείες

του ερωτήματος β)

ΖΗΤΗΜΑ 45Ο

Δίνονται τα σημεία Α(α,0) και Β(0,β) με α β 2011 , α, βℝ

Α) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου με διάμετρο ΑΒ

Β) Να βρεθεί η εξίσωση της γραμμής που ανήκουν τα κέντρα των παραπάνω κύ-

κλων

Γ) Να δείξετε ότι οι κύκλοι αυτοί διέρχονται από δύο σταθερά σημεία Γ και Δ

Δ) Να βρείτε την εξίσωση της κοινής χορδής του ΓΔ



ΖΗΤΗΜΑ 46Ο

Δίνεται η εξίσωση 2 2λc : x y 4λx 2 λ 2 y 4λ 4 0 με λℝ

Α) Να αποδείξετε ότι για κάθε λ 0 παριστάνει κύκλο. Τι συμβαίνει αν λ 0

Β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται τα κέντρα των

κύκλων (cλ)

Γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει κύκλος (cλ) ο οποίος εφάπτεται στον x΄x

Δ) Να εξετάσετε αν υπάρχει κύκλος (cλ) ο οποίος εφάπτεται στον y΄y

E) Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι (cλ) έχουν κοινή εφαπτομένη, την οποία και να

βρείτε.

ΖΗΤΗΜΑ 47Ο

Δίνεται η εξίσωση 2 2c : x y 8x 6y 0 (1)

Α) Να δειχθεί ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο

και την ακτίνα του.

Β) Να δείξετε ότι ο κύκλος διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

Γ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόμενης του κύκλου στο σημείο Ο(0,0).

Δ) Έστω τα σημεία Α(x1,y1) και Β(x2,y2) με x1, x2, y1, y2 ∈ℝ και ικανοποιούν τις ισό-

τητες 2 21 1 1 1x y 8x 6y και 2 2

2 2 2 2x y 8x 6y . Να βρείτε την μέγιστη και

την ελάχιστη τιμή της παράστασης 2 2

1 2 1 2Π x x + y y

ΖΗΤΗΜΑ 48Ο

Δίνεται η παραβολή 2c : y 4x και η ευθεία x y

ε : 1 03 4

Α) Να βρείτε το σημείο Μ(x1,y0), με 0y 0 , της παραβολής, ώστε αν Α είναι η

προβολή του στη διευθετούσα, να ισχύει 5

MAE8

Β) Να αποδείξετε ότι



α) Η ευθεία δεν έχει κοινό σημείο με την παραβολή και να βρείτε την από-

σταση d τυχαίου σημείου της παραβολής από την ευθεία, ως συνάρτηση

της τεταγμένης του σημείου.

β) Η ελάχιστη τιμή της απόστασης d είναι 39

20και να βρείτε τις συντεταγμένες

του σημείου της παραβολής που είναι το πλησιέστερο στην ευθεία (ε).

ΖΗΤΗΜΑ 49Ο

Δίνεται η εξίσωση 2 2x +y -4x 2λ y 1 0 (1) όπου λ πραγματικός αριθμός

α) Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού

λ του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα

β) Για λ=1 να βρείτε την εφαπτόμενη του κύκλου (c1) που ορίζεται από την (1),

στο σημείο του Α(1,μ), μ>0

γ) Να δείξετε ότι όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την (1) διέρχονται από δύο

σταθερά σημεία

δ) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων που ορίζονται από την

(1)

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ

ΖΗΤΗΜΑ 50Ο

Δίνεται η εξίσωση 2 2x y 6x 9 0 .

Α) Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει 2 ευθείες 1ε και 2ε .

Β) Να δείξετε ότι οι ευθείες 1ε και 2ε είναι κάθετες.

Γ) Να βρείτε ένα σημείο Μ(κ,λ) με κ 0 και λ 0 τέτοιο ώστε το διάνυσμα

α 3,κ

να είναι παράλληλο προς τη μία από τις δύο ευθείες 1ε και 2ε

και το διάνυσμα β 16,4λ

είναι παράλληλο προς την άλλη ευθεία.

Δ) Να γράψετε την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξό-νων Ο, άξονα συμμετρίας τον άξονα x΄x και διέρχεται από το σημείο Μ.



ΖΗΤΗΜΑ 51Ο

Δίνεται ένα τρίγωνο με κορυφές Α 2λ 1,3λ 2 , Β(1,2) και Γ(2,3) όπου λℝ με

λ 2 .

Α) Να αποδείξετε ότι το σημείο Α κινείται σε ευθεία, καθώς το λ μεταβάλλεται στο ℝ.

Β) Εάν λ 1 , να βρείτε:

α) Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.

β) Την εξίσωση του κύκλου, που έχει κέντρο την κορυφή Α(1,5) και εφάπτεται στην ευθεία ΒΓ.

ΖΗΤΗΜΑ 52Ο

Δίνονται οι παράλληλες ευθείες

1ε : 3x 4y 6 0 και 2ε : 3x 4y 16 0 .

Α) Να βρείτε την απόσταση των παράλληλων ευθειών 1ε και 2ε .

Β) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης ευθείας των 1ε και 2ε .

Γ) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο τομής της ευ-

θείας 1ε με τον άξονα x΄x και αποκόπτει από την ευθεία 2ε χορδή μήκους

d 4 3 .

ΖΗΤΗΜΑ 53Ο

Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα α

, β

, τα οποία σχηματίζουν μεταξύ τους

γωνίας π

φ3

, και η εξίσωση:

2 2x y 2 α x β y α β 0

(1)

Α) Να αποδείξετε ότι:

α) 2α β

β) Η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο με ακτίνα 1

ρ 2α β2

.



Β) Αν Κ(1,1) είναι το κέντρο του παραπάνω κύκλου, να αποδείξετε ότι:

α) α 1

, β 2

και ρ 1 .

β) Ο κύκλος εφάπτεται στην ευθεία 3x 4y 12 0 .

γ) Η προβολή του β

στο α

είναι ίση με το α

.

ΖΗΤΗΜΑ 54Ο

Έστω τα σημεία Α(-1,ψ) και Β(2x,ψ) με ,ψx ℝ του καρτεσιανού επιπέδου Οxψ.

Α) Αν είναι ΟΑ ΟΒ

τότε να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ(x,ψ) ανήκουν στην πα-

ραβολή 21c : ψ 2x , της οποίας να βρείτε την εστία Ε και τη διευθετούσα

(δ).

Β) Αν ισχύει 2 2

3ΟΑ ΟΒ 15

, τότε να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ(x,ψ) ανήκουν

στον κύκλο 2 22c : x ψ 3 , του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα.

Γ) Να αποδείξετε ότι:

α) Τα κοινά σημεία των 1c και 2c είναι το K 1, 2 και το Λ 1, 2

β) Η εφαπτομένη της 1c στο Κ είναι παράλληλη προς την εφαπτομένη του

2c στο Λ.

ΖΗΤΗΜΑ 55Ο

Δίνεται η υπερβολή 2 2

2 2

x yc : 1

α β και το σημείο Κ(0,β). Μια ευθεία (ε) που έχει

συντελεστή διεύθυνσης λ 0 διέρχεται από το Κ και τέμνει τις εφαπτομένες της C στις κορυφές της Α΄ και Α, στα σημεία Μ και Ρ αντίστοιχα.

Α) Να γράψετε την εξίσωση της (ε) και να αποδείξετε ότι:

Μ α, αλ β και Ρ α,αλ β .

Β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση του κύκλου ου έχει διάμετρο τη ΜΡ είναι η:

22 2 2x y β α 1 λ .



Γ) Να βρείτε το λ ώστε η ακτίνα του κύκλου του ερωτήματος (Β) να είναι ίση με την απόσταση των κορυφών της υπερβολής.

Δ) Αν ε η εκκεντρότητα της υπερβολής και ο κύκλος του ερωτήματος (Β) διέρχε-

ται από τις εστίες της, να αποδείξετε ότι: 2λ 2ε 2 .

ΖΗΤΗΜΑ 56Ο


c : 125 9

και η παραβολή 2y 16x .

Α) Να βρείτε τις εστίες της έλλειψης και την εστίας της παραβολής.

Β) Έστω Ε΄, Ε οι εστίες της έλλειψης (η Ε΄ να έχει αρνητική τετμημένη).

α) Να γράψετε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της παραβολής στα σημεία της Μ(4,8) και Μ΄(4,-8), και να δείξετε ότι τέμνονται στο Ε΄.

β) Να αποδείξετε ότι Ε Μ Ε Μ 0

.

γ) Αν Ν είναι το μέσο του Ε΄Μ να αποδείξετε ότι ΕΝ//Ε΄Μ΄.

ΖΗΤΗΜΑ 57Ο

Έστω ο μη αρνητικός ακέραιος ν και ο πραγματικός αριθμός φ 0,2π .

Α) Να αποδείξετε ότι ν 23 ν 1 για κάθε ν 1 .

Β) Θεωρούμε την εξίσωση

2 2 ν 2x y 4συνφ x 4ημφ y 4 3 ν 0 (1)

α) Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο C.

β) Να γράψετε τις συντεταγμένες του κέντρου του C και να βρείτε την ακτίνα του.

γ) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του κέντρου του παραπάνω κύκλου.

δ) Να αποδείξετε ότι:

δ1) Η εξίσωση ε : συνφ x ημφ y 1 0 παριστάνει ευθεία για κάθε

φ 0,2π .

δ2) Αν η ευθεία (ε) εφάπτεται του κύκλου C, τότε ν 0 .



ΖΗΤΗΜΑ 58Ο

Έστω ν θετικός ακέραιος.

Α) Να αποδείξετε ότι για κάθε ν 2 είναι ν2 3ν 5 .

B) Δίνεται η εξίσωση:

2 2

ν

x y1

2 5 3ν

(1)


α) Για ν 1 η εξίσωση (1) παριστάνει ισοσκελή υπερβολή. Να βρείτε τις εστί-ες της και να γράψετε την εκκεντρότητα και τις εξισώσεις των ασυμπτώτων της.

β) Για κάθε ν 2 η εξίσωση (1) παριστάνει έλλειψη που οι εστίες της βρίσκο-νται στον άξονα x΄x.

ΖΗΤΗΜΑ 59Ο

Ο κύκλος C του σχήματος έχει κέντρο το σημείο Κ(0,1) και ακτίνα ρ 2 . Το σημείο Μ(α,β) είναι εσω-

τερικό του C.

Α) Να αποδείξετε ότι:

α) Oι συντεταγμένες του σημείου Μ(α,β) επαλη-

θεύουν την σχέση: 22x y 1 4 .

β) Η ευθεία x 2 , αν προεκταθεί, εφάπτεται στον κύκλο C.

Β) Δίνεται η εξίσωση:

2λ x 2 2λ y 1 x 2 0 (1), όπου λℝ.

α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου λ η εξίσωση (1) παριστά-νει ευθεία.

β) Θεωρούμε τα σημεία 0 0Ν x ,y με 0x 2 , τα οποία δεν ανήκουν σε ευθεία

με εξίσωση της μορφής (1). Να βρείτε το γεωμετρικό τους τόπο.

Μ(α,β)

Κ(0,1)

x=2

O



ΖΗΤΗΜΑ 60Ο

Α) Δίνεται η εξίσωση 2 2x y 6μx 8λy 0 όπου μ, λ πραγματικοί αριθμοί διά-

φοροι του μηδενός. Να δείξετε ότι, για κάθε τιμή των μ, λ, η παραπάνω εξί-σωση παριστάνει κύκλο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο.

Β) Έστω ότι για τους πραγματικούς αριθμούς μ, λ ισχύει η σχέση 3μ 2λ 0 .

α) Να δείξετε ότι όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την εξίσωση 2 2x y 6μx 8λy 0 για τις διάφορες τιμές των μ και λ έχουν τα κέντρα

τους σε ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

β) Να βρείτε τα μ, λ έτσι, ώστε, αν Α, Β είναι τα σημεία τομής του αντίστοιχου

κύκλου με την ευθεία x y 2 0 , να ισχύει ΟΑ ΟΒ 0

.

γ) Για τις τιμές των μ, λ που βρήκατε στο ερώτημα (β) να υπολογίσετε το εμ-βαδόν του τριγώνου ΟΑΒ.

ΖΗΤΗΜΑ 61Ο

Δίνονται τα σημεία Κ(1,3) και Λ(5,1)

Α) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που ισαπέχουν από τα σημεία Κ και Λ

Β) Να δείξετε ότι οι ευθείες αυτές είναι παράλληλες στην ΚΛ ή διέρχονται από το

μέσο Μ του ΚΛ

Γ) Να βρείτε ποια από τις ευθείες αυτές είναι η μεσοκάθετος του ΚΛ

Δ) Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει κορυφές τα σημεία στα οποία η

μεσοκάθετος του ΚΛ τέμνει τους άξονες και έχει άξονες συμμετρίας τους x΄x

και y΄y. Να βρείτε τις εστίες της έλλειψης αυτής καθώς και τα μήκη των αξό-

νων της.

ΖΗΤΗΜΑ 62Ο

Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα α, β

για τα οποία ισχύει

α 2β 21

, 2α β 2

και α β 1

Α) Να βρεθούν τα μέτρα των διανυσμάτων α

και β



Β) Να βρεθεί η γωνία των διανυσμάτων α

και β

Γ) Να δείξετε ότι α

προβ β α

Δ) Αν ΟΑ α

και ΟΒ β

όπου Ο η αρχή των αξόνων, να βρεθεί το εμβαδόν του

τριγώνου ΟΑΒ

ΖΗΤΗΜΑ 63Ο


1ε : 2 α x y 5

, 2ε : 4 β x y 3

, 3ε : x 4y 2

όπου α, β

δύο διανύσματα και u α 2β

Αν 1 2ε / / ε , 2 3ε ε και 2πα, β

3

τότε να δείξετε ότι

Α) α 2

, β 1

και u 2 3

Β) β u 3

Γ) β,u 5 2β,u

ΖΗΤΗΜΑ 64Ο

Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με Α(3,2), Β(-1,0) και Γ(-3,4)

Α) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του

α) Ορθόκεντρού του Η

β) Βαρύκεντρού του G

γ) Περικεντρού του Ο

δ) Έγκεντρού του Ι

Β) Να βρεθεί η εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου στο ΑΒΓ



ΖΗΤΗΜΑ 65Ο

Δίνονται τα σημεία λ 2

Α 2,λ 1

και

1Β , 1

λ

με λ 1

Α) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες που διέρχονται από τα σημεία Α, Β για τις διά-

φορες τιμές του λ ανήκουν στην οικογένεια των ευθειών

λε : λx λ 1 y λ 2 0

Β) Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες (ελ) διέρχονται από σταθερό σημείο

Γ) Να βρείτε την ευθεία (ε) της οικογένειας (ελ) ώστε το εμβαδόν του τριγώνου

ΟΑΒ να είναι ίσο με 1

Δ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία (ε) εφάπτεται στον κύκλο 22c : x y 3 13

Ε) Να βρείτε σημείο Λ του άξονα x΄x ώστε το συμμετρικό του Κ ως προς την ευ-

θεία (ε) να βρίσκεται στον άξονα y΄y.

ΖΗΤΗΜΑ 66Ο

Δίνονται τα σημεία Α(1,5), Β(5,-2) και Γ(-3,-3)

Α) Αν Μ(x,y) είναι τυχαίο σημείο του επιπέδου, να αποδείξετε ότι:

α)2 2 2

ΜΑ ΜΒ ΜΓ 70

β) Αν ισχύει 2 2 2

ΜΑ ΜΒ ΜΓ 85

, τότε το σημείο Μ κινείται σε κύκλο (c) του

οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα.

Β) Να αποδείξετε ότι το σημείο Ρ(3,1) περιέχεται στον κύκλο αυτό

Γ) Να υπολογίσετε τη γωνία που σχηματίζουν οι εφαπτόμενες του κύκλου που

άγονται από το σημείο Τ(0,3)

ΖΗΤΗΜΑ 67Ο

Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων θεωρούμε τα σημεία Α(-1,0) και Β(1,0). Σημείο

Μ(x0,y0) του επιπέδου κινείται ώστε να ισχύει:

2ΜΑ ΜB 2ΜO ΜΑ ΜB 18



Α) Να αποδείξετε ότι

α) Το σημείο Μ κινείται σε έλλειψη της οποίας να βρείτε την εξίσωση

β)2 2

0 0

9 84

x y , με την προϋπόθεση ότι 0 0x ,y 0

Β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο Σ(1,-1) και

τέμνει την έλλειψη στα σημεία Ρ, Τα έτσι ώστε το Σ να είναι μέσο του τμήμα-

τος ΡΤ.

ΖΗΤΗΜΑ 68Ο

Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται η κορυφή Α(1,2) , η εξίσωση του ύψους

BΔ : x 4y 5 0 και η εξίσωση της διαμέσου ΓΜ : 3x 2y 3 0

α) Βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΓ και τις συντεταγμένες της κορυφής Γ

β) Βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου Μ της πλευράς ΑΒ και της κορυφής Β.

γ) Αν Ε το σημείο τομής των ΓΜ και ΒΔ τότε να υπολογίσετε το εμβαδόν του τρι-

γώνου ΕΒΓ

δ) Δίνεται η γραμμή (c) με εξίσωση 2 2x y λx λ 8 y 3 0 (1). Να αποδεί-

ξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο για κάθε λ και να βρείτε

την τιμή του λ, ώστε ο κύκλος (1) να έχει διάμετρο την πλευρά ΒΓ.

ΖΗΤΗΜΑ 69Ο

Δίνεται η εξίσωση 2 2x y 2yx 8x 8y 12 0

Α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει δύο ευθείες (ε1) και (ε2) οι

οποίες είναι παράλληλες

Β) Αν 1ε : x y 2 0 και 2ε : x y 6 0 είναι οι δύο ευθείες που παριστά-

νει η (1)

α) Βρείτε την εξίσωση του κύκλου (c) που εφάπτεται στις ευθείες (ε1) και (ε2) και

το κέντρο του βρίσκεται στην ευθεία ε : y 3x



β) Βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη απόσταση του σημείου τομής των ευθειών

(ε1) και (ε2) από τον κύκλο (c).

Γ) Βρείτε την εξίσωση της υπερβολής (c1) με εστίες στον άξονα x΄x, που έχει ασύ-

μπτωτη την ε : y 3x και εστιακή απόσταση 22γ 10ρ , όπου ρ η ακτίνα του

κύκλου (c).

ΖΗΤΗΜΑ 70Ο

Δίνονται τα δύο μη μηδενικά διανύσματα α, β

και η εξίσωση

α β α β x α β α β y α β 0

(1)

Α) Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει πάντα ευθεία

Β) Με την προϋπόθεση ότι ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ορίζεται να

δείξετε ότι είναι μη αρνητικός

Γ) Αν α β

να δείξετε ότι η (1) είναι παράλληλη στον άξονα x΄x

Δ) Αν α β

να δείξετε ότι η (1) είναι παράλληλη στον άξονα y΄y

E) Αν η (1) διέρχεται από την αρχή των αξόνων να δείξετε ότι α β

ΖΗΤΗΜΑ 71Ο

Σε καρτεσιανό σύστημα αξόνων x΄x και y΄y, τα σημεία A 0,α 3 , Β α,0 και

Γ α,0 , α 0 παριστάνουν τρεις πόλεις. Τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΑΓ πα-

ριστάνουν δύο εθνικούς δρόμους που συνδέουν την πόλη Α με τις πόλεις Β και Γ

αντίστοιχα. Πάνω στον εθνικό δρόμο ΑΒ βρίσκεται το αεροδρόμιο Δ που εξυπη-

ρετεί και τις τρεις αυτές πόλεις σε σημείο ώστε 1

AΔ ΔΒ2

ενώ πάνω στον εθνικό

δρόμο ΑΓ βρίσκεται ο κεντρικός σιδηροδρομικός σταθμός Ε που εξυπηρετεί και

τις τρεις αυτές πόλεις ώστε AΕ 2ΕΓ



Α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του αεροδρομίου Δ και του σιδηροδρομικού

σταθμού Ε ως συνάρτηση του α.

Β) Ένας ευθύγραμμος δρόμος ΒΕ συνδέει την πόλη Β με το σιδηροδρομικό σταθ-

μό Ε και ένας ευθύγραμμος δρόμος ΓΔ συνδέει την πόλη Γ με το αεροδρόμιο Δ

Στο σημείο που τέμνονται οι δύο δρόμοι χτίζεται ένα μεγάλο συνεδριακό κέ-

ντρο. Να βρείτε τις συντεταγμένες του συνεδριακού κέντρου ως συνάρτηση

του α.

Γ) Να αποδείξετε ότι ο ευθύγραμμος δρόμος που συνδέει την πόλη Α με το συ-

νεδριακό κέντρο, τέμνει κάθετα το δρόμο ΒΕ.

Δ) Αν η τριγωνική περιοχή ΑΒΕ έχει εμβαδόν 150 3 τετραγωνικά χιλιόμετρα, να

βρείτε το α και στη συνέχεια την απόσταση του συνεδριακού κέντρου από το

σιδηροδρομικό σταθμό και το αεροδρόμιο.

ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΖΗΤΗΜΑ 72Ο

Δίνεται η εξίσωση 2 2 2x y 4λ 2 x 4λ 2 y 8λ 1 0

Α) Να αποδείξετε ότι παριστάνει κύκλο για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού λ του οποίου κύκλου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα.

Β) Να δείξετε ότι τα κέντρα των παραπάνω κύκλων κινούνται σε μια ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση.

Γ) Να βρείτε το σημείο της ευθείας του Β) ερωτήματος που απέχει από την αρχή των αξόνων την μικρότερη απόσταση καθώς και την τιμή της απόστασης.

ΖΗΤΗΜΑ 73Ο

Δίνεται η εξίσωση 2 2c : x y 2x 0 και η ευθεία ε : xσυνθ yημθ 1 συνθ

με

πθ 0,

2

Α) Να δείξετε ότι η (c) παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα.



Β) Να δείξετε ότι η ευθεία (ε) εφάπτεται στον κύκλο (c).

Γ) Αν η ευθεία (ε) σχηματίζει με τον άξονα των τετμημένων γωνία 135ο να βρείτε την τιμή του θ.

Δ) Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων, έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα των τετμημένων και έχει εστία Ε(x0,y0) όπου Ε(x0,y0) οι συντεταγμένες του κέντρου του κύκλου (c).

ΖΗΤΗΜΑ 74Ο

Δίνεται η υπερβολή 2 2c : 64x 100y 6400

Α) Να βρείτε τις εστίες της, τις ασύμπτωτές της και την εκκεντρότητα της.

Β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του ορθογωνίου βάσης.

Γ) Αν Ε είναι η εστία της υπερβολής με θετική τετμημένη και (ε1) η ασύμπτωτη με θετικό συντελεστή διεύθυνσης να υπολογίσετε την απόσταση της Ε από την (ε1).

Δ) Αν

1

1344Μ 11,

10ένα σημείο του επιπέδου, να υπολογίσετε το γινόμενο

των αποστάσεων του Μ1 από τις ασύμπτωτες.

ΖΗΤΗΜΑ 75Ο

Δίνεται η εξίσωση ε : 2 λ x 1 2λ y λ 5 0

Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (ε) παριστάνει ευθεία για κάθε τιμή του πραγ-ματικού αριθμού λ.

Β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία (ε) διέρχεται από ένα σταθερό σημείο Α, καθώς το λ μεταβάλλεται.

Γ) Αν το τετράγωνο ΑΒΓΔ, όπου Α είναι το σημείο του ερωτήματος Β), έχει μία

πλευρά του στην ευθεία η : 5x 12y 10 0 , να βρείτε το εμβαδόν του.

ΖΗΤΗΜΑ 76Ο

Δίνεται η παραβολή 2c : y 2px , p 0 . Θεωρούμε σημείο της παραβολής

Μ(x0,y0) με x0, y0 ≠0.

Α) Να εκφράσετε την τετμημένη του Μ σαν συνάρτηση του y0.

Β) Για κάθε θέση του Μ ορίζουμε την ευθεία (ε) ως εξής:



Φέρνουμε την προβολή Ν του σημείου Μ στον άξονα y΄y και την ευθεία (ε) κάθετη από το Ν προς την ΟΜ

α) Βρείτε τις εξισώσεις των παραπάνω ευθειών (ε) που σχηματίζουν με τους άξονες x΄x και y΄y ισοσκελές τρίγωνο.

β) Δείξτε ότι όλες οι ευθείες (ε) όπως ορίστηκαν στο Β) ερώτημα διέρχονται από σταθερό σημείο το οποίο να προσδιορίσετε.

ΖΗΤΗΜΑ 77Ο

Σε ορθογώνιο ΑΒΓΔ είναι ΑΒ 2 ΑΔ και έστω σημείο Μ τέτοιο ώστε

ΔΜ 3 ΜΓ

. Αν είναι ΑΒ α

και ΑΔ β

.

Α) Να εκφράσετε τα ΑΓ, ΒΜ

ως συνάρτηση των α

και β

Β) Να αποδείξετε ότι ΑΓ ΒΜ

Γ) Εάν επιπλέον Κ είναι το σημείο τομής των διαγωνίων να αποδείξετε ότι

ΔΑ ΔΒ ΔΓ 4ΔΚ

ΖΗΤΗΜΑ 78Ο


και β 2,3

Α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος γ 5α 3β

Β) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος γ

Γ) Να βρείτε την τιμή του κ ℝ* ώστε το διάνυσμα 2u κ ,κ

να είναι κάθετο

στο διάνυσμα α 1,2

Δ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(2,1) και

είναι παράλληλη στο διάνυσμα α 1,2

ΖΗΤΗΜΑ 79Ο

Δίνεται η εξίσωση 2 2x y 2λx 2λy λ 1 0 (1) όπου λ ℝ

Α) α) Να δείξετε ότι για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού λ η (1) παριστάνει κύκλο



β) Να βρείτε το κέντρο Κ και την ακτίνα ρ των παραπάνω κύκλων για κάθε τι-μή του πραγματικού αριθμού λ

γ) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων Κ των παραπάνω κύκλων

Β) Αν λ 1 και 2c : y 8x βρείτε:

α) Την εστία Ε της παραβολής

β) Τις εξισώσεις των εφαπτόμενων από το κέντρο Κ του κύκλου προς την πα-ραβολή (c).

ΖΗΤΗΜΑ 80Ο

Δίνονται τα σημεία Α(1,3) και Β(5,7)

Α) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου (ε) της ΑΒ

Β) Να βρεθούν τα σημεία τομής Γ, Δ της (ε) με τους άξονες x΄x και y΄y αντίστοιχα

Γ) Να δείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΟΓΔ είναι 32 τετραγωνικές μονάδες

Δ) Να βρείτε το πλησιέστερο σημείο Ν της ευθείας (ε) στην αρχή των αξόνων

Ε) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ι-

σχύει ΜΑΒ 2 ΟΓΔ

ΖΗΤΗΜΑ 81Ο

Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με κορυφές τα σημεία Α(-2,-1), Β(-1,1), Γ(3,3),Δ(x,y) με x, y πραγματικοί αριθμοί.

Α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Δ.

Β) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΓ

, ΒΔ

, ΔΜ

όπου Μ το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΓ.

Γ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΑΕ

, όπου Ε η προβολή του ση-μείου Α στο φορέα ΒΔ.

Δ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΟΝ

, όπου Ο το σημείο τομής των διαγωνίων ΑΓ, ΒΔ και Ν το μέσο του τμήματος ΑΔ.

Ε) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων ΑΒ

, ΒΓ



ΖΗΤΗΜΑ 82Ο

Δίνονται τα σημεία Ο(0,0), το σημείο Β 1, 3 και τα διανύσματα ΟΑ

, ΟΓ

με

ΟΑ 3

και ΟΓ 3ΟΑ 2ΟΒ

. Δίνεται επίσης το εσωτερικό γινόμενο

ΟΑ ΟΒ 3

Α) Να δείξετε ότι τα διανύσματα ΟΑ

και ΟΒ

είναι μη συγγραμμικά

Β) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο ΟΑ ΟΓ

Γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος ΓΟ

Δ) Να βρείτε την προβολή ΟΒ

προβ ΟΑ

Ε) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ ώστε

ΟΒ 2ΟΑπροβ ΟΑ κΟΒ 0

ΖΗΤΗΜΑ 83Ο

Δίνεται η εξίσωση 2 2x y 2λx 2(2 λ)y 4λ 4 0 , λ ℝ - {0}

Α) Να δείξετε ότι παριστάνει κύκλο για κάθε λ ℝ - {0}

Β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου του κύκλου ως προς λ.

Γ) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων που ανήκει το κέντρο.

Δ) Για λ= 2 βρείτε την εξίσωση της έλλειψης η οποία έχει εστίες τα σημεία στα οποία ο κύκλος τέμνει τον άξονα y΄y και μήκος μικρού άξονα τη διάμετρο του κύκλου.

Ε) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής με κέντρο την αρχή των αξόνων, εστίες

στον άξονα y΄y, ασύμπτωτη παράλληλη στο διάνυσμα u 4, 2

και εστια-

κή απόσταση ίση με το μήκος του μεγάλου άξονα της έλλειψης.

ΖΗΤΗΜΑ 84Ο

Δίνονται το σημείο Ε(0,-6) και η ευθεία (ε): y 3 0

Α) Να προσδιορίσετε το σύνολο των σημείων Μ(x,y) του επιπέδου, για τα οποία

ισχύει: 2 d M,ε (ΜΕ)

Β) Να προσδιορίσετε την εξίσωση της ευθείας (δ) που είναι παράλληλη στο διά-

νυσμα v 2i j

και διέρχεται από το σημείο Α(-1,2).



Γ) Να προσδιορίσετε τις εξισώσεις των εφαπτομένων (ε1) και (ε2) στην καμπύλη του ερωτήματος (Α) που είναι παράλληλες προς την ευθεία του ερωτήματος (Β).

ΖΗΤΗΜΑ 85Ο

Δίνεται η εξίσωση (ελ): (λ 1)x λy λ 3 0 , (1) λ ℝ

Α) Να αποδείξετε ότι για κάθε λ ℝ η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία.

Β) Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες της παραπάνω οικογένειας διέρχονται από σταθερό σημείο.

Γ) Να δείξετε ότι οι ασύμπτωτες της υπερβολής 2 2y x

c : 116 9

δεν ανήκουν

στην οικογένεια (ελ).

Δ) Να βρείτε συναρτήσει του λ, το συνημίτονο της οξείας γωνίας που σχηματίζει κάθε ευθεία της οικογένειας (ελ) με την ευθεία (ζ): y x 1

Ε) Να βρείτε ποιες ευθείες της οικογένειας (ελ) σχηματίζουν γωνίαπ

4με την ευ-

θεία (ζ): y x 1

ΖΗΤΗΜΑ 86Ο

Δίνονται τα διανύσματα ΟΓ x 1,2x 4

και ΟΔ x 2,x 3

όπου x ℝ

Α) Να βρείτε το x ώστε τα παραπάνω διανύσματα να είναι κάθετα

Β) Για τη μεγαλύτερη τιμή του x που βρήκατε στο ερώτημα Α)

α) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με διάμετρο ΓΔ

β) Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτόμενων του κύκλου στα σημεία Γ, Δ

γ) Αν Β το σημείο τομής της εφαπτομένης στο Γ με τον άξονα y΄y και Α το ση-μείο τομής της εφαπτομένης στο Δ με τον x΄x, να βρεθεί η εξίσωση και η εκκεντρότητα της έλλειψης με κέντρο την αρχή των αξόνων και μια κορυφή

στον άξονα y΄y στο Β και μια στον άξονα x΄x στο σημείο AΖ 2x ,0 .



ΖΗΤΗΜΑ 87Ο

Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα α, β, γ

και η εξίσωση:

2 24x 4y 4 α x 4 β y 1 α β β γ 0

(1)

Α) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο του

Β) Αν ο κύκλος της εξίσωσης (1) εφάπτεται με την ευθεία

1ε : x y

2 1τότε:

α) Να αποδείξετε ότι η ακτίνα του κύκλου είναι ίση με 1 μονάδα

β) Να υπολογίσετε τις γωνίες που σχηματίζουν μεταξύ τους τα μοναδιαία δια-

νύσματα α, β, γ

ΖΗΤΗΜΑ 88Ο

Δίνεται η εξίσωση 2 2 2x y 2λx 4λy 5λ 1 0 (1), λ ℝ

Α) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει ίσους κύκλους για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ.

Β) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των παραπάνω κύκλων.

Γ) Να αποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι της εξίσωσης (1) εφάπτονται σε δύο σταθε-ρές παράλληλες ευθείες των οποίων να βρεθούν οι εξισώσεις.

Δ) Αν για τους 1 2 1 2α , α , β , β ℝ ισχύει η σχέση:

2 2 2 2

1 1 2 2α λ β 2λ α λ β 2λ

να αποδείξετε ότι 2 2

1 2 1 20 α α β β 4

ΖΗΤΗΜΑ 89Ο

Α) Δίνεται η παραβολή 2(c): y 2ρx , ρ 0

και η ευθεία 2(ε): 2α x 2αy ρ 0 , α 0


α) Το κοινό σημείο τομής τους είναι το

2

ρ ρΜ ,

2α α



β) Η ευθεία (ε) εφάπτεται στην παραβολή (c) στο σημείο Μ

γ) Η απόσταση της εστίας της παραβολής από την ευθεία (ε) είναι

21 ρd α 1

2 α

Β) Δίνεται η παραβολή 2c : y 4x και η ευθεία (ε΄) που εφάπτεται στην (c΄).

Αν η (ε΄) σχηματίζει με τον άξονα x΄x γωνία 45ο, τότε:

α) Να αποδείξετε ότι (ε ): x y 1 0

β) Να βρείτε τα σημεία τομής Β και Γ της (ε΄) με τους άξονες x΄x και y΄y αντί-στοιχα

γ) Αν Ε είναι η εστία της παραβολής (c΄), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τρι-γώνου ΓΕΒ

ΖΗΤΗΜΑ 90Ο

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(2,4), Β(4,0), Γ(6,0)

Α) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισεμβαδικά μέρη.

Β) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου (c) που διέρχεται από τα Α, Β, Γ

Γ) Να βρεθεί η εξίσωση της έλλειψης της οποίας η μία εστία είναι το σημείο Β και η μια κορυφή είναι το σημείο Γ.

Δ) Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη απόσταση του συμμετρικού του σημείου Γ ως προς την αρχή των αξόνων από τον κύκλο του ερωτήματος Β).

Ε) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Α και αποκόπτει

από τη ευθεία (ε) χορδή μήκους428848

53

ΖΗΤΗΜΑ 91Ο

Α) Στο σύστημα αναφοράς Οxy θεωρούμε τα σημεία Α(3,2), Β(1,0) και Γ(10,4).

Η ΑΓ τέμνει τον Οx στο Δ και η ΑΒ τον Οy΄ στο Ε

α) Να βρείτε την τετμημένη του Δ και την τεταγμένη του Ε



β) Αν Ι το μέσο του ΟΑ, Μ το μέσο του ΒΓ και Κ το μέσο του ΕΔ, να εξετάσετε αν τα σημεία Ι, Μ, Κ είναι συνευθειακά. Στην περίπτωση που τα σημεία Ι, Μ, Κ είναι μη συνευθειακά να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου που αυτά σχηματίζουν.

Β) Μια μεταβλητή ευθεία (ε): y λx β τέμνει την παραβολή 2(c): y 4x στα

σημεία Α, Β

Να δείξετε ότι οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ είναι

2

2 λβ 2Μ ,

λ λ

Κατόπιν, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ στις παρακάτω περι-πτώσεις:

α) Αν λ 1 και β ℝ β) Αν β 0 και λ ℝ*