Οι μη Ευκλείδειες Οι μη Ευκλείδειες γεωμετρίεςγεωμετρίες

Πειράματα σκέψης του Poincaré

Η Ευκλείδεια γεωμετρίαΗ Ευκλείδεια γεωμετρία

Η Ελληνική παράδοση αναγνωρίζει την Η Ελληνική παράδοση αναγνωρίζει την Ευκλείδεια γεωμετρία ως τη μοναδική στον Ευκλείδεια γεωμετρία ως τη μοναδική στον υποσελήνιο χώρο ενώ η ουράνια περιοχή υποσελήνιο χώρο ενώ η ουράνια περιοχή υπόκειται σε άλλους νόμους. υπόκειται σε άλλους νόμους.

Η Επιστημονική Επανάσταση καθιερώνει την Η Επιστημονική Επανάσταση καθιερώνει την Ευκλείδεια γεωμετρία ως τη μοναδική γεωμετρία Ευκλείδεια γεωμετρία ως τη μοναδική γεωμετρία για ολόκληρο το ενιαίο σύμπαν.για ολόκληρο το ενιαίο σύμπαν.

Kant:Kant: Η Ευκλείδεια γεωμετρία είναι εγγενής στη Η Ευκλείδεια γεωμετρία είναι εγγενής στη δομή του ανθρώπινου νου, κληρονομημένη δομή του ανθρώπινου νου, κληρονομημένη a a prioripriori και όχι προϊόν της εμπειρίας. και όχι προϊόν της εμπειρίας.

Χειρόγραφη έκδοση των Χειρόγραφη έκδοση των Στοιχείων στα Ελληνικά 888 μ.Χ.Στοιχείων στα Ελληνικά 888 μ.Χ.

Παράλληλες ονομάζονται οι ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και που προεκτεινόμενες επ’ άπειρον εκατέρωθεν, δεν τέμνονται.

Τα πέντε αιτήματαΤα πέντε αιτήματα

1. Από κάθε σημείο μπορούμε να φέρουμε ευθεία που να το συνδέει με οποιοδήποτε σημείο.

2. Το ευθύγραμμο τμήμα προεκτείνεται συνεχώς και ευθυγράμμως.3. Με κέντρο ένα τυχαίο σημείο και ακτίνα κάθε τμήμα, είναι δυνατό να

γράψουμε κύκλο.4. Και όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους.5. Αν μια ευθεία τέμνει δύο άλλες και σχηματίζει με αυτές ένα ζεύγος "εντός

και επί τα αυτά " γωνιών με άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές, τότε οι ευθείες τέμνονται προς το μέρος που βρίσκονται οι γωνίες αυτές.

Το πέμπτο αίτημαΤο πέμπτο αίτημα

5. Αν μια ευθεία τέμνει δύο άλλες και σχηματίζει με αυτές 5. Αν μια ευθεία τέμνει δύο άλλες και σχηματίζει με αυτές ένα ζεύγος εντός και επί τα αυτά γωνιών με άθροισμα ένα ζεύγος εντός και επί τα αυτά γωνιών με άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές, τότε οι ευθείες τέμνονται προς μικρότερο από δύο ορθές, τότε οι ευθείες τέμνονται προς το μέρος που βρίσκονται οι γωνίες αυτές.το μέρος που βρίσκονται οι γωνίες αυτές.

Το αντίστροφο του πέμπτου αιτήματος Το αντίστροφο του πέμπτου αιτήματος αποδεικνύεται από τα άλλα τέσσερααποδεικνύεται από τα άλλα τέσσερα

Αν δυο ευθείες τέμνονται από τρίτη και Αν δυο ευθείες τέμνονται από τρίτη και σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες παραπληρωματικές, τότε είναι παράλληλες. παραπληρωματικές, τότε είναι παράλληλες.

Όμως το ευθύ αντιστέκεται!Όμως το ευθύ αντιστέκεται!

Χωρίς να το δεχθούμε ως αξίωμα δε μπορούμε Χωρίς να το δεχθούμε ως αξίωμα δε μπορούμε να αποδείξουμενα αποδείξουμε

Ότι δυο ευθείες που είναι παράλληλες στην ίδια Ότι δυο ευθείες που είναι παράλληλες στην ίδια ευθεία είναι και μεταξύ τους παράλληλεςευθεία είναι και μεταξύ τους παράλληλες

Ότι από σημείου εκτός ευθείας άγεται μία μόνο Ότι από σημείου εκτός ευθείας άγεται μία μόνο παράλληληπαράλληλη

Ότι ευθείες που ενώνουν τα άκρα δυο ίσων και Ότι ευθείες που ενώνουν τα άκρα δυο ίσων και παράλληλων ευθειών είναι ίσες και παράλληλεςπαράλληλων ευθειών είναι ίσες και παράλληλες

Ότι δυο παράλληλες ευθείες ισαπέχουν.Ότι δυο παράλληλες ευθείες ισαπέχουν. Ότι το άθροισμα των τριών γωνιών ενός Ότι το άθροισμα των τριών γωνιών ενός

τριγώνου ισούται με δύο ορθές. τριγώνου ισούται με δύο ορθές.

Προσπάθειες για την απόδειξη ή Προσπάθειες για την απόδειξη ή αντικατάσταση του 5ου αιτήματος.αντικατάσταση του 5ου αιτήματος.

Ποσειδώνειος (135 - 51 π.X.): Aπάμεια της Συρίας, σπουδές στην Aθήνα, εγκατάσταση στη Pόδο, ταξίδια στη Pώμη, δάσκαλος του Kικέρωνα.

Eναλλακτικός ορισμός της έννοιας των παραλλήλων:

Παράλληλες είναι δυο συνεπίπεδες ευθείες που ισαπέχουν.

(H απόσταση οποιουδήποτε σημείου της μιας από την άλλη είναι σταθερή).

Γέμινος (1ος αι. π.X.)Γέμινος (1ος αι. π.X.)

H υπερβολή και η κογχοειδής σε σχέση με τις ασυμπτώτους τους, εκτείνονται απεριόριστα χωρίς να τέμνονται, όμως δεν ισαπέχουν ("παραδοξότατον").

x

y

Πρόκλος Πρόκλος (410 – 485(410 – 485))

Όταν το αντίστροφο ενός θεωρήματος μπορεί να

αποδειχθεί είναι αδύνατο το ίδιο το θεώρημα να μη μπορεί να

αποδειχθεί!

Αραβικές αναφορές σε διάφορες Αραβικές αναφορές σε διάφορες απόπειρες απόδειξης από Έλληνεςαπόπειρες απόδειξης από Έλληνες Αγάνης (Γέμινος;)Αγάνης (Γέμινος;)

Απόσταση δυο παραλλήλων ευθειών είναι το Απόσταση δυο παραλλήλων ευθειών είναι το μήκος της κοινής τους κάθετης.μήκος της κοινής τους κάθετης.

Σαμβελίχιος (Σιμπλίκιος;)Σαμβελίχιος (Σιμπλίκιος;)

Iμπν Aλ Xαϋτάμ Iμπν Aλ Xαϋτάμ (Αλχαζέν)(Αλχαζέν)

(965- 1039)(965- 1039)

Αποδεικνύει: Υπάρχουν τετράπλευρα που έχουν τουλάχιστον τρεις ορθές γωνίες.

H τέταρτη γωνία;

Είναι ορθή αφού ο γ.τ. ενός σημείου που κινείται έτσι ώστε να ισαπέχει συνεχώς από δεδομένη ευθεία είναι ευθεία // στην πρώτη. (ισοδύναμο με το 5ο αίτημα)

_______________________________________________________

Σ’ ένα τεράπλευρο που έχει τουλάχιστον τρεις ορθές γωνίες η τέταρτη γωνία είναι ορθή αφού ο γ.τ. ενός σημείου που κινείται έτσι ώστε να ισαπέχει συνεχώς από δεδομένη ευθεία είναι ευθεία // στην πρώτη. (ισοδύναμο με το 5ο αίτημα)

Oμάρ KαγιάμOμάρ Kαγιάμ (1014 – 1123)(1014 – 1123)

Tετράπλευρο με δυο πλευρές ίσες και κάθετες στη βάση.

Οι άλλες δύο γωνίες;

Είναι ορθές αφού αν είναι οξείες ή αμβλείες συγκλίνουν και άρα τέμνονται" (ισοδύναμο με το 5ο αίτημα)Α Β

ΓΔ

Kριτική στον αλ Xαϋτάμ. O Aριστοτέλης "καταδικάζει" την χρήση

της κίνησης στη Γεωμετρία.

Nαζίρ αλ Nτιν αλ TούσιNαζίρ αλ Nτιν αλ Tούσι(1201-1274)(1201-1274)

Α Β

ηε

ζ

Aν η ευθεία (ε) είναι κάθετη στη (ζ) στο A και η (η) τέμνει πλάγια τη (ζ) στο B. Tότε οι κάθετες από την (ε) στην (η) είναι μικρότερες της AB όταν βρίσκονται προς το μέρος της οξείας γωνίας και μεγαλύτερες της AB όταν βρίσκονται προς το μέρος της αμβλείας.

Girolamo Saccheri (1667 - 1733)Girolamo Saccheri (1667 - 1733)

Oυδέτερη Γεωμετρία => Γ=Δ.

Γ,Δ αμβλείες => άτοπο

Γ,Δ οξείες => απόλυτα συνεπής μη Eυκλείδεια

γεωμετρία

Α Β

ΓΔ

Tετράπλευρο του Saccheri-Oμάρ Kαγιάμ- Nαζίρ αλ Nτιν αλ Tούσι):

Euclides ab omni naevo vindicatus

( O Eυκλείδης απελευθερωμένος από

τα λάθη του).

A=B=90, AΔ=BΓ

Johan Heinrich Lambert (1728-1777)Johan Heinrich Lambert (1728-1777)

«O Eυκλείδης απέδειξε ένα σωρό προτάσεις που μπορούσε να αφήσει αναπόδεικτες, άρα μόνο φαινομενικά το 5ο αίτημα μοιάζει να μπορεί να αποδειχθεί».

Tετράπλευρα του Lambert (Αλ Χαϋτάμ)

Αποδεικνύει: Υπάρχουν τετράπλευρα που έχουν τουλάχιστον τρεις ορθές γωνίες.

H τέταρτη γωνία;

Αποδεικνύει ότι δεν είναι αμβλεία

Αναλύει τις συνέπειες του να είναι οξεία και απορρίπτει αυτή την υπόθεση

Aν την είχε δεχθεί θα είχε δημιουργήσει μια μη Eυκλείδεια Γεωμετρία.

G.S. KlugelG.S. Klugel

1763:

Διδακτορικό με θέμα τον εντοπισμό των λαθών σε 28 «αποδείξεις» του 5ου

αιτήματος.

J.L.R. D' Alembert:

Οι απόπειρες απόδειξης του 5ου αιτήματος

αποτελούν το σκάνδαλο της Γεωμετρίας.

Όμως το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου Όμως το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου Hohehagen – Brocken – Inselberg Hohehagen – Brocken – Inselberg είναι κατά είναι κατά

14,8348΄΄ μεγαλύτερο από 180 μοίρες14,8348΄΄ μεγαλύτερο από 180 μοίρες

Janos Bolyai (1802 - 1860)Janos Bolyai (1802 - 1860)

1831: Πρώτη απόπειρα δημιουργίας μιας μη Eυκλείδειας Γεωμετρίας.

O ορισμός της παραλληλίας και οι ιδιότητες των παραλλήλων δίνονται ανεξάρτητα από το 5ο αίτημα.

Tετραγωνισμός του κύκλου με την προϋπόθεση ότι το 5ο αίτημα είναι ψευδές.

«Aπό το τίποτα δημιούργησα ένα καινούργιο, παράξενο σύμπαν».

Nikolai Ivanovich Lobachevsky Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792 - 1856)(1792 - 1856)

18291829: : Φανταστική Γεωμετρία. Φανταστική Γεωμετρία. Aργότερα Πανγεωμετρία. Aργότερα Πανγεωμετρία. Στήριξη από Gauss στα 1846.Στήριξη από Gauss στα 1846. Eκπληκτική ομοιότητα με το έργο του Eκπληκτική ομοιότητα με το έργο του

Bolyai.Bolyai. Mυστηριώδης σταθερά στους υπολογισμούς Mυστηριώδης σταθερά στους υπολογισμούς

τους, αυτό που αργότερα ο Gauss ονόμασε τους, αυτό που αργότερα ο Gauss ονόμασε καμπυλότητα του μη Eυκλείδειου επιπέδου.καμπυλότητα του μη Eυκλείδειου επιπέδου.

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)Carl Friedrich Gauss (1777-1855) • Διστακτικός να δημοσιοποιήσει τις

ανακαλύψεις του που σχετίζονται με μη Eυκλείδειες Γεωμετρίες.

• Aντιτίθεται στη θεωρία του Kάντ ότι η Eυκλείδεια Γεωμετρία είναι εγγενής στη δομή του μυαλού μας.

• Αγνοεί τον Bolyai – ενθαρρύνει τον Lobachevski

BernBernhhard Riemann ard Riemann (1826 - 1866)(1826 - 1866)

Eλλειπτική Γεωμετρία. Eλλειπτική Γεωμετρία. ((Xρησιμοποίηση από τον Xρησιμοποίηση από τον EinsteinEinstein στη στη θεωρία της σχετικότηταςθεωρία της σχετικότητας))..

1854: "Περί των υποθέσεων πάνω στις 1854: "Περί των υποθέσεων πάνω στις οποίες θεμελιώνεται η Γεωμετρία".οποίες θεμελιώνεται η Γεωμετρία".

Aντικείμενο της Γεωμετρίας είναι το σύνολο Aντικείμενο της Γεωμετρίας είναι το σύνολο διατεταγμένων ν-ιάδων που συνδέονται από διατεταγμένων ν-ιάδων που συνδέονται από συγκεκριμένες ιδιότητες.συγκεκριμένες ιδιότητες.

Kλειδί, ο ορισμός της απόστασης ανάμεσα σε Kλειδί, ο ορισμός της απόστασης ανάμεσα σε δυο "γειτονικά" σημεία.δυο "γειτονικά" σημεία.

XXώροιώροι RiemannRiemann

Τρεις εξίσου ισχυρές γεωμετρίεςΤρεις εξίσου ισχυρές γεωμετρίες Ευκλείδεια γεωμετρία

1 παράλληλη Μηδενική καμπυλότητα Άθροισμα γωνιών τριγώνου 180 μοίρες

Υπερβολική γεωμετρία (Lobachevski – Bolyai) Άπειρες παράλληλες Αρνητική καμπυλότητα Άθροισμα γωνιών τριγώνου <180 μοίρες

Ελλειπτική γεωμετρία (Riemann) Καμία παράλληλη Θετική καμπυλότητα Άθροισμα γωνιών τριγώνου >180 μοίρες.

Ποια είναι η αληθινή γεωμετρία;Ποια είναι η αληθινή γεωμετρία;

PoincaréPoincaré: Η ερώτηση είναι το ίδιο παράλογη : Η ερώτηση είναι το ίδιο παράλογη με την ερώτηση αν το μετρικό σύστημα είναι με την ερώτηση αν το μετρικό σύστημα είναι πιο αληθινό από τα παλιότερα, αν οι πιο αληθινό από τα παλιότερα, αν οι καρτεσιανές συντεταγμένες είναι πιο καρτεσιανές συντεταγμένες είναι πιο αληθινές από τις πολικές.αληθινές από τις πολικές.

«Μια γεωμετρία δε μπορεί να είναι πιο «Μια γεωμετρία δε μπορεί να είναι πιο αληθινή από την άλλη. Μπορεί να είναι μόνο αληθινή από την άλλη. Μπορεί να είναι μόνο πιο βολικήπιο βολική»»

Αντίθεση με Καντ: Τη γεωμετρία τη Αντίθεση με Καντ: Τη γεωμετρία τη δημιουργούμε εμείς σύμφωνα με τα δημιουργούμε εμείς σύμφωνα με τα

ερεθίσματα που δεχόμαστε.ερεθίσματα που δεχόμαστε.

Μέσω της φυσικής επιλογής, το πνεύμα μας Μέσω της φυσικής επιλογής, το πνεύμα μας

προσαρμόστηκεπροσαρμόστηκε στις συνθήκες του εξωτερικού στις συνθήκες του εξωτερικού

κόσμου και υιοθέτησε τη γεωμετρία που ήταν η κόσμου και υιοθέτησε τη γεωμετρία που ήταν η

ευνοϊκότερη για το είδος μας, με άλλα λόγια αυτήν ευνοϊκότερη για το είδος μας, με άλλα λόγια αυτήν

που ήταν η πιο κατάλληλη. που ήταν η πιο κατάλληλη.

Η γεωμετρία μας δεν είναι αληθής, είναι ευνοϊκή!Η γεωμετρία μας δεν είναι αληθής, είναι ευνοϊκή!

Ένα «προκλητικό» παράδοξοΈνα «προκλητικό» παράδοξο

Όντα με νόηση και αισθήσεις όμοια με τα δικά μας χωρίς τη Όντα με νόηση και αισθήσεις όμοια με τα δικά μας χωρίς τη δική μας εκπαίδευση ενδέχεται να δεχθούν από ένα δική μας εκπαίδευση ενδέχεται να δεχθούν από ένα κατάλληλο εξωτερικό περιβάλλον ερεθίσματα που θα τα κατάλληλο εξωτερικό περιβάλλον ερεθίσματα που θα τα οδηγήσουν να δημιουργήσουν μια διαφορετική, μη οδηγήσουν να δημιουργήσουν μια διαφορετική, μη Ευκλείδεια, ενδεχομένως και τετραδιάστατη γεωμετρία. Ευκλείδεια, ενδεχομένως και τετραδιάστατη γεωμετρία.

Αν εμείς, με την εκπαίδευσή μας επισκεφθούμε τον κόσμο Αν εμείς, με την εκπαίδευσή μας επισκεφθούμε τον κόσμο τους θα αναγάγουμε όσα παρατηρούμε στην Ευκλείδεια τους θα αναγάγουμε όσα παρατηρούμε στην Ευκλείδεια γεωμετρία.γεωμετρία.

Αν αυτά τα όντα μας επισκεφθούν θα μπορέσουν να Αν αυτά τα όντα μας επισκεφθούν θα μπορέσουν να αναγάγουν όσα παρατηρούν στον κόσμο μας στη δική τους αναγάγουν όσα παρατηρούν στον κόσμο μας στη δική τους μη Ευκλείδεια γεωμετρία.μη Ευκλείδεια γεωμετρία.

Όταν θα μάθουμε τους κανόνες της θα μπορέσουμε και Όταν θα μάθουμε τους κανόνες της θα μπορέσουμε και εμείς οι ίδιοι να το κάνουμε. εμείς οι ίδιοι να το κάνουμε.

Ένας κόσμος κλεισμένος μέσα σε μια σφαίραΈνας κόσμος κλεισμένος μέσα σε μια σφαίρα

Μέγιστη θερμοκρασία στο κέντρο, μηδενική στην Μέγιστη θερμοκρασία στο κέντρο, μηδενική στην εξωτερική επιφάνεια.εξωτερική επιφάνεια. Η θερμοκρασία είναι ανάλογη του Η θερμοκρασία είναι ανάλογη του RR22-r-r2 2 όπου όπου RR είναι η είναι η

ακτίνα της σφαίρας και ακτίνα της σφαίρας και rr η απόσταση από το κέντρο. η απόσταση από το κέντρο.

Όλα τα σώματα έχουν τον ίδιο συντελεστή Όλα τα σώματα έχουν τον ίδιο συντελεστή διαστολής έτσι ώστε το μήκος να είναι ανάλογο διαστολής έτσι ώστε το μήκος να είναι ανάλογο της θερμοκρασίαςτης θερμοκρασίας

Η προσαρμογή στις μεταβολές της Η προσαρμογή στις μεταβολές της θερμοκρασίας είναι αυτόματη.θερμοκρασίας είναι αυτόματη.

Ένα αντικείμενο που πλησιάζει την εξωτερική Ένα αντικείμενο που πλησιάζει την εξωτερική σφαίρα μικραίνει ολοένα. σφαίρα μικραίνει ολοένα.

M.C. Escher

M.C. Escher

Σύμφωνα με τη δική μας Σύμφωνα με τη δική μας γεωμετρία αυτός ο κόσμος γεωμετρία αυτός ο κόσμος είναι πεπερασμένος, είναι πεπερασμένος, σύμφωνα με τη δική τους σύμφωνα με τη δική τους άπειρος.άπειρος.

Για μας η γεωμετρία είναι η Για μας η γεωμετρία είναι η μελέτη των νόμων σύμφωνα μελέτη των νόμων σύμφωνα με τους οποίους τα στερεά με τους οποίους τα στερεά μετατοπίζονται παραμένοντας μετατοπίζονται παραμένοντας αμετάβλητα. αμετάβλητα.

Γι’ αυτούς η γεωμετρία είναι η Γι’ αυτούς η γεωμετρία είναι η μελέτη των νόμων σύμφωνα μελέτη των νόμων σύμφωνα με τους οποίους τα στερεά με τους οποίους τα στερεά κινούνται και μεταβάλλονται κινούνται και μεταβάλλονται λόγω της ομαλής μεταβολής λόγω της ομαλής μεταβολής της θερμοκρασίας. της θερμοκρασίας.

Πρόσθετη υπόθεσηΠρόσθετη υπόθεση Ο δείκτης διάθλασης είναι αντιστρόφως Ο δείκτης διάθλασης είναι αντιστρόφως

ανάλογος της ποσότητας ανάλογος της ποσότητας RR22-r-r2 2 .. Κάτω από αυτούς τους όρους, οι φωτεινές Κάτω από αυτούς τους όρους, οι φωτεινές

ακτίνες δεν θα είναι ευθύγραμμες αλλά κυκλικές. ακτίνες δεν θα είναι ευθύγραμμες αλλά κυκλικές.

Επίπεδος κόσμος χωρίς πλάτος, απομονωμένος Επίπεδος κόσμος χωρίς πλάτος, απομονωμένος από κάθε ξένη επίδρασηαπό κάθε ξένη επίδραση

Όντα νοήμονα απείρως επίπεδα παγιδευμένα Όντα νοήμονα απείρως επίπεδα παγιδευμένα στο επίπεδοστο επίπεδο

Θα επινοήσουν την Ευκλείδεια γεωμετρία Θα επινοήσουν την Ευκλείδεια γεωμετρία των δύο διαστάσεων ως μοναδική λογική των δύο διαστάσεων ως μοναδική λογική

γεωμετρία.γεωμετρία.

Μοντέλο για τη γεωμετρία του Μοντέλο για τη γεωμετρία του RiemannRiemann

Μεταφορά στη σφαίραΜεταφορά στη σφαίρα Τα όντα αυτά έχουν σχήμα σφαιρικής επιφάνειας Τα όντα αυτά έχουν σχήμα σφαιρικής επιφάνειας

και ζουν πάνω σε μια σφαιρική επιφάνεια.και ζουν πάνω σε μια σφαιρική επιφάνεια. Οι ευθείες τους θα είναι μέγιστοι κύκλοι (ο Οι ευθείες τους θα είναι μέγιστοι κύκλοι (ο

συντομότερος δρόμος ανάμεσα σε δύο σημεία).συντομότερος δρόμος ανάμεσα σε δύο σημεία). Ο χώρος τους είναι απεριόριστος αλλά όχι Ο χώρος τους είναι απεριόριστος αλλά όχι

άπειρος. Δεν έχει άκρη, μπορούμε όμως να τον άπειρος. Δεν έχει άκρη, μπορούμε όμως να τον διατρέξουμε ολόκληρο. διατρέξουμε ολόκληρο.

Σ’ αυτό το χώρο δεν υπάρχουν παράλληλες και Σ’ αυτό το χώρο δεν υπάρχουν παράλληλες και από δύο σημεία ενδέχεται να διέρχονται άπειρες από δύο σημεία ενδέχεται να διέρχονται άπειρες ευθείες (αν είναι αντιδιαμετρικά) ευθείες (αν είναι αντιδιαμετρικά)

Η γεωμετρία του Η γεωμετρία του Riemann Riemann είναι η είναι η γενίκευση αυτού του μοντέλου στις γενίκευση αυτού του μοντέλου στις

τρεις διαστάσειςτρεις διαστάσεις

Μοντέλο για την υπερβολική Μοντέλο για την υπερβολική γεωμετρίαγεωμετρία

18681868

Eugenio Beltrami

(1835-1900)