Дві прямі, які перетинаються у просторі визначають одну площину, тому означення кута між прямими, які перетинаються у просторі переноситься і в стереометрію.

а в

М

Означення Означення . Менший з кутів, утворених при перетині двох прямих, називають кутом між прямими.

Із означення слідує, що кут між двома перетинаючими прямими не може перевищувати 900 ,тобто

0 00 ;90a,b

Якщо прямі паралельні, то величина кута між ними дорівнює 00.Якщо прямі перпендикулярні, то кут між ними дорівнює 900.

A

B

C

D1

A1 C1

Приклад 1Приклад 1. Дано куб ABCDA1B1C1D1. Знайти кути між прямими: 1) CC1 і BC1; 2) BC1 і CB1; 3) AA1 і CC1; 4) A1C1 і BC1.

B C

C1В1

Розв’язання

1) BC1C=450 (за властивостями діагоналей квадрата);1 1CC ,BC

2) C1ОC=900 (за властивостями діагоналей квадрата);1 1BC ,CB

ОО

3) 00, тобто AA1║CC1;

1 1AA ,CC

4) A1C1B=600 (за властивостями рівностороннього трикутника ΔA1C1B);1 1 1A C ,BC

Відповідь: 1) 450; 2) 900; 3) 00; 4) 600.

ОзначенняОзначення. Кутом між мимобіжними прямими називається кут між прямими, які перетинаються і відповідно паралельні мимобіжним:

а

в

в'

T

a,b a,b a, b, b║b', Ta, b'

Зверніть увагу, що площина, яка утворилася прямими a і b паралельна прямій b (за ознакою паралельності прямої і площини).

A

B

C

D1

A1C1

Приклад Приклад 22. Дано куб ABCDA1B1C1D1. Знайти кути між прямими: 1) CC1 і АB; 2) AD1 і CB1; 3) AD1 і BA1; 4) AC1 і BB1; 5) AC1 і BD.

Розв’язання.

1) =900 (за означенням квадрата);

1 1CC ,AB CC ,DC

2) (за властивістю діагоналей квадрата);

01 1 1 1 90AD ,CB BC ,CB

3) (за властивістю рівностороннього трикутника ΔA1C1B);

01 1 1 1 60AD ,BA BC ,BA

4) = AC1С. 1 1 1 1AC ,BB AC ,CC

У ΔACC1, С=900 : СС1=а, АС= ,

AC1=

2a

3a

01 1

3 354 42

3 33

acos C C arccos

a

5) , де ОBD, AC і М – середина СС1.

1AC ,BD OM ,BD MOB

O

M

ΔBMD – рівнобедрений з основою BD, МО – медіана, а отже висота, тобто MOB=900.

D

ОзначенняОзначення. Кутом між прямою і площиною називається кут між цією прямою і її проекцією на площину.

т

n

K

,m n,m , где m∩=K, m∩n=K, n ,

Pm, Fn, PF.

P

F

Зверніть увагу, що поняття кута між мимобіжними прямими і кута між прямою і площиною зводяться до поняття кута між прямими, які перетинаються.

A C

D1

A1

Приклад 3Приклад 3. Дано куб ABCDA1B1C1D1. Знайти кути між : 1) BC1 і (АBC); 2) A1C1 і (CBB1); 3) AC1 і (AA1D1).

B

C1

Розв’язання.

1) (за властивістю діагоналей квадрата);

01 1 45BC , ABC BC ,BC

2) (за властивістю діагоналей квадрата);

01 1 1 1 1 1 1 45A C , CBB A C ,B C

3) 1 1 1 1 1

2

2AC , AA D AC ,AD arctg .

a

2a

Відповідь: 1) 450; 2) 450; 3) .2

2arctg