Download pdf - ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 1. Στατιστική

ν κ κ2 2 2

i i i i i κ2i 1 i 1 i 1

ii 1

χ χ f χ χ fχσ ή σ χ , όπου ν f

v v v

2. Τριγωνομετρία

ημ(Α Β) ημΑσυνΒ συνΑημΒ , συν(Α Β) συνΑσυνΒ ημΑημΒ

2ημασυνβ ημ(α β) ημ(α β) , 2συνασυνβ συν(α β) συν(α β)

2ημαημβ συν(α β) συν(α β) , ημ2α 2ημα συνα , 2 2συν2α συν α ημ α

2 21 συν2α 1 συν2αημ α , συν α

2 2

2

2 2

2t 1 tημ2α , συν2α , t εφα 1 t 1 t

Α Β Α ΒημΑ ημΒ 2ημ συν2 2


Α Β Α ΒσυνΑ συνΒ 2συν συν2 2

Β Α Α ΒσυνΑ συνΒ 2ημ ημ2 2

Λύση τριγωνομετρικών εξισώσεων:

Σε μοίρες Σε ακτίνια

ημχ ημα

0

0 0

χ 360 κ α ή χ 360 κ 180 α, κ Ζ

χ 2κπ α ή χ 2κπ π α, κ Ζ

συνχ συνα 0χ 360 κ α, κ Ζ χ 2κπ α, κ Ζ εφχ εφα 0χ 180 κ α, κ Ζ χ κπ α, κ Ζ

3. Γεωμετρία

Ορθό Πρίσμα π βΕ Π υ βV E υ

Κανονική Πυραμίδα π β1E Π h2

βE .υ

V3

Κύλινδρος κΕ 2πRυ 2V πR υ

Κώνος κE πRλ 2πR υV

3

Κόλουρος Κώνος κE π R ρ λ 2 2πυV R Rρ ρ3

4. Αναλυτική Γεωμετρία

Απόσταση δυο σημείων 1 1Α χ ,ψ και 2 2Β χ ,ψ : 2 2

2 1 2 1d χ χ ψ ψ

Απόσταση σημείου 1 1Σ χ ,ψ από ευθεία Aχ Bψ Γ 0 :

1 1

2 2

Aχ Bψ Γd

A B

Έλλειψη: 2 2

2 22 2

χ ψ 1, γ α β , α βα β

Εστίες: γ,0 , Διευθετούσες: αχ ,ε

Εκκεντρότητα: γεα

5. Παράγωγοι

u v u v u v ,

2

u u v u vv v

, dψ dψ dudχ du dχ

ημχ συνχ , συνχ ημχ , 2εφχ τεμ χ , 1lnχχ

6. Ολοκληρώματα

χτεμχdχ ln τεμχ εφχ c στεμχdχ ln εφ c2

2 22 2

dχ χ dχ 1 χτοξημ c τοξεφ cα α χ α αα χ

7. Απλός τόκος:

K E XT100

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ∆ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΣΗΣ

ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2006

Μάθηµα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ηµεροµηνία και ώρα εξέτασης: Τρίτη, 30 Μαΐου 2006 07.30 – 10.30

ΤΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ∆ΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΙΤΑΙ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙ∆ΕΣ

ΜΕΡΟΣ Α΄. Αποτελείται από 10 ασκήσεις. Να απαντήσετε και στις 10 ασκήσεις. Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 5 µονάδες.

1. Να υπολογίσετε τον όγκο ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου µε διαστάσεις 3 cm, 5 cm

και 2 cm. 2. Να βρείτε τον τόκο που δίνει κεφάλαιο £12000 το οποίο τοκίζεται µε απλό τόκο προς

5% για 2 χρόνια. 3. Να βρείτε το πλήθος των τριψήφιων αριθµών που µπορούν να σχηµατιστούν µε τα

ψηφία 3, 5, 6, 7, 9 χωρίς επανάληψη ψηφίου. 4. Να βρείτε το πλήθος των αναγραµµατισµών της λέξης «ΠΑΠΑΓΑΛΟΣ». (Η απάντηση

µπορεί να δοθεί σε παραγοντική µορφή). 5. Οι 20 µαθητές µιας τάξης ρωτήθηκαν για τον αριθµό των αδελφών τους και οι

απαντήσεις τους καταχωρήθηκαν στον πιο κάτω πίνακα.

Αρ. αδελφών 0 1 2 3 Αρ. µαθητών 5 8 4 3

Επιλέγουµε στην τύχη ένα από τους πιο πάνω µαθητές. Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων: Α: «Ο µαθητής δεν έχει αδέλφια». Β: «Ο µαθητής έχει τουλάχιστο 2 αδέλφια».

6. ∆ίνονται οι αριθµοί 8, y, 13, 13, 20, 26, 27, 31, 31, 31. Αν η µέση τιµή x των αριθµών

αυτών είναι 21, να βρείτε : (ι) τον αριθµό y, (ιι) την επικρατούσα τιµή xε και τη διάµεσο xδ. 7. Ένα αυτοκίνητο ξεκινά στις 7:00 το πρωί από το σηµείο Α και κατευθύνεται προς το

σηµείο Β µε σταθερή ταχύτητα 60km/h. Μετά από δύο ώρες, ένα δεύτερο αυτοκίνητο ξεκινά από το ίδιο σηµείο Α, ακολουθεί την ίδια διαδροµή όπως και το πρώτο αυτοκίνητο, κινείται µε σταθερή ταχύτητα και τα δύο αυτοκίνητα φθάνουν ταυτόχρονα στο σηµείο Β στις 13:00 της ίδιας µέρας. Να υπολογίσετε:

(α) την απόσταση ΑΒ και (β) την ταχύτητα του δεύτερου αυτοκινήτου.

1/3

8. Το πιο κάτω κυκλικό διάγραµµα παρουσιάζει τον τρόπο µετάβασης των 900 µαθητών

ενός Λυκείου στο σχολείο τους µια συγκεκριµένη µέρα. Αν οι µαθητές που µεταβήκανε στο σχολείο τους µε µοτοσικλέτα ήταν τριπλάσιοι από τους µαθητές που µεταβήκανε µε ποδήλατο, να υπολογίσετε τον αριθµό των µαθητών που µεταβήκανε στο σχολείο τους (α) µε µοτοσικλέτα και

(β) µε ιδιωτικό αυτοκίνητο.

Πεζοί

Ποδήλατο

Ιδιωτικό Αυτοκίνητο

Λεωφορείο

Μοτοσικλέτα

122ο150ο

40ο

9. Αν Α, Β είναι δύο ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου Ω και Ρ(Α΄)=2·Ρ(Α),

1P(B)2

= και 1P(A B)5

∩ = , να υπολογίσετε τις τιµές των Ρ(Α΄) και P( . A B)∪

10. Κανονική τετραγωνική πυραµίδα έχει πλευρά βάσης 8 cm

υ h

και παράπλευρο ύψος h = 5 cm. Να υπολογίσετε:

(α) το ύψος υ της πυραµίδας, (β) το εµβαδόν της παράπλευρης επιφάνειάς της και (γ) τον όγκο της. ΜΕΡΟΣ Β΄. Αποτελείται από 5 ασκήσεις. Να απαντήσετε και στις 5 ασκήσεις. Κάθε

άσκηση βαθµολογείται µε 10 µονάδες. 1. Ένα κουτί περιέχει 2 άσπρες, 3 κόκκινες και µια πράσινη µπάλα. Παίρνουµε τυχαία

δύο µπάλες. Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων: Α: «Και οι δύο µπάλες είναι άσπρες». Β: «Οι δύο µπάλες έχουν διαφορετικό χρώµα».

2. Υπάλληλος Εταιρείας πληρώνεται µε βασικό µισθό £300 τον µήνα και επιπλέον παίρνει

προµήθεια ανάλογα µε την αξία των πωλήσεων που έχει κάνει στο µήνα. Για τις πρώτες £5000 η προµήθεια του είναι 5% και για το µέρος των πωλήσεων πέραν των £5000 η προµήθεια του είναι 10%. Κάθε µήνα γίνονται κρατήσεις 16% επί του συνόλου του βασικού µισθού και της προµήθειας του υπαλλήλου και τα υπόλοιπα αποτελούν τις καθαρές απολαβές του. Αν τον Απρίλιο οι πωλήσεις του ήταν £12000, να υπολογίσετε τις καθαρές απολαβές του για το µήνα αυτό.

2/3

3. Σε µια έρευνα καταγράφηκε ο αριθµός των

αυτοκινήτων που έχει κάθε οικογένεια µιας κοινότητας και τα αποτελέσµατα παρουσιάζ νται στο διπλανό πολύγωνο συχνοτήτων. (α) Να κάνετε τον πίνακα συχνοτήτων για τη

έρευνα αυτή. (β) Να υπολογίσετε τον αριθµό των οικογενε ών

που συµµετείχαν στην έρευνα. (γ) Να υπολογίσετε τη µέση τιµή του αριθµο των

αυτοκινήτων που έχει µια οικογένεια της κοινότητας.

(δ) Να υπολογίσετε την τυπική απόκλιση τω παρατηρήσεων.

Αρ.

Οικογενειών

4. Μια αντιπροσωπεία 4 ατόµων θα επιλεγεί απ

αγόρια και 5 κορίτσια. Να υπολογίσετε µε πγίνει η επιλογή αν: (α) δεν υπάρχει κανένας περιορισµός.

(β) η αντιπροσωπεία πρέπει να αποτελείται (γ) η αντιπροσωπεία πρέπει να περιλαµβάν 5. Στο διπλανό σχήµα ΑΕ=4 cm, ΒΓ=5 cm, Γ∆

∆Ε=10 cm, και οι ΑΒ, ΕΓ είναι κάθάξονα xy. Το σκιασµένο µέρος του σχήµατοπεριστρέφεται πλήρη στροφή γύρω από τον

ΟˆΕΓ∆=90

Να υπολογίσετε το εµβαδόν της επιφάνειας του παραγόµενου στερεού.

………………………….Τ Ε Λ

ο

ν

ι

ύ

ν

ό µια τάξη η οποία αποτελείται από 7 όσους διαφορετικούς τρόπους µπορεί να

από 3 αγόρια και 1 κορίτσι. ει το πολύ 1 κορίτσι.

Α Β

Γ

∆

Ε

x

y

=8 cm, ετες στον ς άξονα xy. και τον όγκο

Ο Σ ..…………………….

3/3

1

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ


ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2007 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Πέμπτη, 31 Μαΐου 2007 7:30 π.μ. – 10:30 π.μ.

ΤΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΤΡΕΙΣ (3) ΣΕΛΙΔΕΣ Στο τέλος του εξεταστικού δοκιμίου επισυνάπτεται τυπολόγιο

που αποτελείται από δυο (2) σελίδες ΜΕΡΟΣ Α΄

Να λύσετε και τις 10 ασκήσεις του Μέρους Α΄. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 5 μονάδες.

1) Κύβος έχει ακμή 4 cm . Να υπολογίσετε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειάς του. 2) Ένας φοιτητής αγόρασε ψυγείο με έκπτωση 20%. Αν η αξία του ψυγείου ήταν 300

λίρες, να υπολογίσετε το ποσό που πλήρωσε ο φοιτητής. 3) Να βρείτε με πόσους τρόπους μπορούν να παραταχθούν σε σειρά 6 στρατιώτες. 4) Να βρείτε το πλήθος των αναγραμματισμών της λέξης ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ.

(Η απάντηση μπορεί να δοθεί σε παραγοντική μορφή.)

5) Κεφάλαιο 7000 λίρες τοκίστηκε με απλό τόκο και μετά από τρία χρόνια έγινε μαζί με τον τόκο του 7840 λίρες. Να υπολογίσετε το επιτόκιο με το οποίο τοκίστηκε το κεφάλαιο.

6) Η μέση τιμή του βάρους 15 μαθητών μαζί με τον καθηγητή τους είναι 70 κιλά. Αν η

μέση τιμή του βάρους των 15 μαθητών είναι 68 κιλά, να υπολογίσετε το βάρος του καθηγητή τους.

7) Δίνονται τα ενδεχόμενα Α και Β του ιδίου δειγματικού χώρου με πιθανότητες

( )127AP =′ , ( )

61ΒAP =∩ και ( )

43ΒAP =∪ .

Να υπολογίσετε τις πιθανότητες ( )AP και ( )BP .

2

8) Δίνεται κανονική τετραγωνική πυραμίδα με ακμή βάσης cm10 και όγκο 3cm400 . Να υπολογίσετε: (α) το ύψος της πυραμίδας, (β) το παράπλευρο ύψος της, και (γ) το εμβαδόν της ολικής επιφάνειάς της.

9) Το κυκλικό διάγραμμα παρουσιάζει το

μορφωτικό επίπεδο των 400 γονιών των μαθητών ενός σχολείου. Οι γονείς που είναι απόφοιτοι Λυκείου είναι 100 περισσότεροι από τους γονείς που είναι απόφοιτοι Πανεπιστημίου. Να υπολογίσετε τον αριθμό των γονιών για το κάθε μορφωτικό επίπεδο.

10) Μια πισίνα σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου έχει μήκος m16 και πλάτος

m4 . Για να γεμίσει η πισίνα, αδειάζουμε σε αυτήν 24 ντεπόζιτα γεμάτα με νερό. Αν τα ντεπόζιτα έχουν σχήμα κύβου ακμής m2 , να υπολογίσετε το βάθος της πισίνας.

ΜΕΡΟΣ Β΄

Να λύσετε και τις 5 ασκήσεις του Μέρους Β΄. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 10 μονάδες.

1) Η μέγιστη ημερήσια θερμοκρασία (σε βαθμούς Κελσίου) στη Λευκωσία τις πρώτες

δέκα μέρες του Απριλίου ήταν: 20, 18, 20, 17, 18, 17, 16, 18, 16, 10. (α) Να βρείτε τη διάμεσο, δχ , και την επικρατούσα τιμή, εχ , των θερμοκρασιών

αυτών. (β) Να υπολογίσετε την μέση τιμή, χ , και την τυπική τους απόκλιση, σ.

2) Σε μια εταιρεία εργάζονται 10 άνδρες και 7 γυναίκες. (α) Να βρείτε:

i) με πόσους διαφορετικούς τρόπους, οι εργαζόμενοι στην εταιρεία, μπορούν να σχηματίσουν μια πενταμελή επιτροπή, και

ii) πόσες από τις πιο πάνω επιτροπές έχουν τουλάχιστον 4 γυναίκες. (β) Αν επιλεγεί τυχαία μια πενταμελής επιτροπή από τους εργαζόμενους στην

εταιρεία, να βρείτε την πιθανότητα να αποτελείται από 2 άνδρες και 3 γυναίκες.

18°

Απόφοιτοι Δημοτικού Απόφοιτοι

Γυμνασίου

Απόφοιτοι Λυκείου

Απόφοιτοι Πανεπιστημίου

3

3) Ρίχνουμε ένα ζάρι δυο φορές. Να βρείτε: (α) τα ενδεχόμενα:

Α: «το άθροισμα των ενδείξεων είναι ίσο με 9» Β: «οι ενδείξεις είναι μεγαλύτερες του 3»

(β) τις πιθανότητες ( )ΑΡ και ( )ΒΡ . (γ) την πιθανότητα να πραγματοποιηθούν τα ενδεχόμενα Α και Β ταυτόχρονα.

4) Εισαγωγέας αγόρασε από εργοστάσιο 50 ηλεκτρονικούς υπολογιστές και πλήρωσε

20000 λίρες. Πλήρωσε επιπλέον 25% της αξίας τους για έξοδα μεταφοράς. Ο εισαγωγέας πωλεί τους ηλεκτρονικούς υπολογιστές με κέρδος 20% επί του συνολικού κόστους. Να υπολογίσετε πόσα πρέπει να πωλεί τον κάθε ηλεκτρονικό υπολογιστή αν στην τιμή πώλησης περιλαμβάνεται 15% Φ.Π.Α.

5) Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓ είναι ορθογώνιο τρίγωνο με °= 90A , cm3AB = και cm5ΒΓ = . Το τρίγωνο ΑΒΓ

περιστρέφεται πλήρη στροφή γύρω από άξονα χψ που είναι παράλληλος προς την ΑΒ και απέχει cm6 από αυτήν. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας και τον όγκο του στερεού που παράγεται.

– ΤΕΛΟΣ –

ψ

χ

Β

Α Γ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

1. Στατιστική

ν

2ν

1iχiχ

σ∑=

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ή

2χν

κ

1i2iχif

ν

2κ

1iχiχif

σ −∑==

∑=

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

όπου ∑

==κ1i ifν

2. Απλός τόκος: 100

KEXT =

./2..

- 2 -


Ορθό πρίσμα

υβΠπE ⋅=

V=E υβ⋅

Κανονική Πυραμίδα

hβΠ21

πE ⋅=

V= 3

υβΕ ⋅

Κύλινδρος

2πκE = Rυ

V=πR2υ

Κώνος

πκE = Rλ

V= 3υ2πR

Κόλουρος Κώνος

πκE = (R+ρ)λ V= ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++ 2ρRρ2R3πυ

1



ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2008 Μάθηµα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ηµεροµηνία και ώρα εξέτασης: Σάββατο, 7 Ιουνίου 2008 7:30 – 10:30

ΤΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ∆ΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΤΡΕΙΣ (3) ΣΕΛΙ∆ΕΣ Στο τέλος του εξεταστικού δοκιµίου επισυνάπτεται τυπολόγιο

που αποτελείται από µία (1) σελίδα ΜΕΡΟΣ Α΄

Να λύσετε και τις 10 ασκήσεις του Μέρους Α΄. Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 5 µονάδες.

1) Κώνος έχει ακτίνα βάσης 5cm και ύψος 9cm . Να υπολογίσετε τον όγκο του. 2) Το 25% των µαθητών µιας τάξης ασχολείται µε τον αθλητισµό. Αν η τάξη έχει 24

µαθητές, να βρείτε πόσοι από αυτούς ασχολούνται µε τον αθλητισµό. 3) Κεφάλαιο 6000€ τοκίζεται µε επιτόκιο 5%. Να βρείτε πόσο θα γίνει το κεφάλαιο µαζί

µε τους τόκους του µετά από 3 χρόνια. 4) Ρίχνουµε ένα νόµισµα δύο φορές. (α) Να γράψετε το δειγµατικό χώρο Ω του πειράµατος τύχης. (β) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχοµένου Α: «οι ενδείξεις να είναι διαφορετικές». 5) Το κόστος κατασκευής οκτώ προϊόντων είναι 15, 18, 16, 18, 12, 14, 18, 14 ευρώ. Να

υπολογίσετε την επικρατούσα τιµή εx και τη διάµεσο δx των πιο πάνω παρατηρήσεων.

6) ∆ίνονται τα ενδεχόµενα Α και Β του ίδιου δειγµατικού χώρου Ω µε πιθανότητες

2P(A)

3= ,

3P(Β ')

4= και

1P(A Β)

6∩ = . Να υπολογίσετε τις πιθανότητες P(Β) και

P(A Β)∪ . 7) ∆ίδονται τα ψηφία 0, 2, 4, 6, 8, 9. Να βρείτε πόσους τριψήφιους αριθµούς µπορούµε

να σχηµατίσουµε µε τα ψηφία αυτά, αν επιτρέπεται η επανάληψη ψηφίου.

2

8) Το διπλανό κυκλικό διάγραµµα παρουσιάζει την ηµερήσια κατανάλωση νερού ανά επαρχία στην ελεύθερη Κύπρο. (α) Αν η ηµερήσια κατανάλωση νερού της επαρχίας

Λάρνακας είναι 310000m , να βρείτε πόσα κυβικά µέτρα νερό καταναλώνει ηµερήσια κάθε επαρχία στην ελεύθερη Κύπρο. (β) Να κατασκευάσετε το αντίστοιχο ραβδόγραµµα της ηµερήσιας κατανάλωσης νερού των επαρχιών της ελεύθερης Κύπρου.

Λευκωσία 120ο

Λεµεσός 90ο

Αµµόχωστος

Λάρνακα 50ο

Πάφος 60ο

9) ∆ίνεται κανονική τετραγωνική πυραµίδα µε εµβαδόν βάσης 2βΕ 100cm= και εµβαδόν

παράπλευρης επιφάνειας 2πΕ 260cm= . Να υπολογίσετε:

(α) την ακµή της βάσης της πυραµίδας, (β) το παράπλευρο ύψος της, (γ) τον όγκο της.

10) ∆οχείο που έχει σχήµα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο περιέχει νερό. Η βάση του έχει

µήκος 8cm και πλάτος 6cm . Τοποθετούµε µέσα στο δοχείο 12 σιδερένιους κύβους της ίδιας ακµής που καλύπτονται πλήρως από το νερό. Αν η στάθµη του νερού ανεβεί κατά 2cm , να υπολογίσετε την ακµή των κύβων.

ΜΕΡΟΣ Β΄

Να λύσετε και τις 5 ασκήσεις του Μέρους Β΄. Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 10 µονάδες.

1) Έµπορος πώλησε ένα αυτοκίνητο προς 15640€ µε έκπτωση 20% πάνω στην

αρχική τιµή πώλησής του. Στην τιµή των 15640€ που πωλήθηκε το αυτοκίνητο περιλαµβάνεται 36% κέρδος του εµπόρου και επιπλέον 15% Φ.Π.Α.

Να βρείτε πόσα ευρώ είναι: (α) το Φ.Π.Α. (β) το κέρδος του εµπόρου. (γ) το κόστος του αυτοκινήτου. (δ) η αρχική τιµή πώλησης του αυτοκινήτου.

2) Σε µια επιχείρηση εργάζονται 15 άτοµα από τα οποία δύο είναι αδέλφια. Ο

εργοδότης τους θα επιλέξει τυχαία µια οµάδα 5 ατόµων για να λάβει µέρος σε ένα σεµινάριο επιµόρφωσης. Να υπολογίσετε µε πόσους διαφορετικούς τρόπους µπορεί να γίνει η επιλογή της οµάδας αν: (α) δεν υπάρχει κανένας περιορισµός. (β) επιλεγεί µόνο ένα από τα δύο αδέλφια. (γ) επιλεγούν και τα δύο αδέλφια.

3

3) Οι βαθµοί των φοιτητών ενός Κολλεγίου στο µάθηµα της Στατιστικής παρουσιάζονται στο πιο κάτω πολύγωνο συχνοτήτων.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

3 4 5 6 7 8

Βαθµοί

Φοιτητές

α) Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανοµής συχνοτήτων ( i ix , f )

β) Να υπολογίσετε τη µέση τιµή x και την τυπική απόκλισησ των βαθµών της πιο πάνω κατανοµής. γ) Αν επιλέξουµε τυχαία ένα από τους πιο πάνω φοιτητές να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων: Α: «ο φοιτητής να έχει βαθµό 6» Β: «ο φοιτητής να έχει βαθµό τουλάχιστο 7».

4) Να βρείτε το πλήθος των αναγραµµατισµών του ονόµατος ΚΥΡΙΑΚΟΣ (α) Πόσοι από τους πιο πάνω αναγραµµατισµούς

i. αρχίζουν από Κ. ii. αρχίζουν από Υ και τελειώνουν σε Σ. iii. έχουν όλα τα σύµφωνα µαζί.

(β) Αν πάρω τυχαία ένα αναγραµµατισµό ποια η πιθανότητα να αρχίζει µε Κ.

5) Στο διπλανό σχήµα το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι τετράγωνο µε πλευρά 3 cm και το τετράπλευρο ∆ΗΖΕ

ορθογώνιο τραπέζιο (∆ Ε 90= =

∧ ∧∧ ∧∧ ∧∧ ∧

), µε ∆Η 5cm= , ΕΖ 8cm= και ΗΖ 5cm= . Το σκιασµένο µέρος του σχήµατος περιστρέφεται πλήρη στροφή γύρω από τον άξονα χψ. Να υπολογίσετε το εµβαδόν της επιφάνειας και τον όγκο του στερεού που παράγεται.

x

Ζ Ε

Η

B A

∆ Γ

ψ

– ΤΕΛΟΣ –

1



ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Τρίτη, 2 Ιουνίου 2009 7:30 – 10:30

ΤΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ∆ΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΣΕΛΙ∆ΕΣ Στο τέλος του εξεταστικού δοκιμίου επισυνάπτεται τυπολόγιο

που αποτελείται από δύο (2) σελίδες ΜΕΡΟΣ Α΄

Να λύσετε και τις 10 ασκήσεις του Μέρους Α΄. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 5 μονάδες.

1) Κεφάλαιο € 2000 τοκίζεται με απλό τόκο προς 4% για 3 χρόνια. Να υπολογίσετε τον

τόκο που θα αποδώσει.

2) Ένα σαλόνι αξίας € 2500 πωλήθηκε με έκπτωση 20%. Να υπολογίσετε πόσο

πωλήθηκε το σαλόνι.

3) Κύβος έχει εμβαδόν ολικής επιφάνειας 296cm . Να υπολογίσετε τον όγκο του.

4) Να βρείτε το πλήθος των αναγραμματισμών της λέξης ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ που

αρχίζουν με το γράμμα Τ.

5) Ρίχνουμε ένα ζάρι δυο φορές. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα:

Α: «το γινόμενο των ενδείξεων είναι 4».

Β: «το άθροισμα των ενδείξεων είναι 5».

Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α και Β.

2

90

70

Ποδόσφαιρο

Καλαθόσφαιρα

Πετόσφαιρα

6) Το διπλανό κυκλικό διάγραμμα δείχνει τις

προτιμήσεις των 540 μαθητών ενός Λυκείου ως

προς τα αθλήματα Πετόσφαιρα, Καλαθόσφαιρα

και Ποδόσφαιρο.

Να υπολογίσετε:

a) το ποσοστό των μαθητών που προτιμούν

την Καλαθόσφαιρα,

b) τον αριθμό των μαθητών που προτιμούν το

Ποδόσφαιρο.

7) ∆ίδονται τα ψηφία 1, 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 9 . Να βρείτε πόσους άρτιους τριψήφιους

αριθμούς μπορούμε να σχηματίσουμε με τα ψηφία αυτά, αν δεν επιτρέπεται η

επανάληψη ψηφίου.

8) Η μέση τιμή του ύψους των 10 καλαθοσφαιριστών μιας σχολικής ομάδας είναι

1,79m . Στην ομάδα εντάσσονται 2 νέοι παίκτες, με ύψη 1,83m και 1,87m . Να

βρείτε τη μέση τιμή του ύψους των καλαθοσφαιριστών της ομάδας με τη νέα της

σύνθεση.

9) Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει εμβαδόν ολικής επιφάνειας 2448cm και εμβαδόν

παράπλευρης επιφάνειας 2288cm . Το μήκος της βάσης του είναι πενταπλάσιο του

πλάτους. Να υπολογίσετε τον όγκο του παραλληλεπιπέδου.

10) Τα Α και Β είναι ενδεχόμενα του ιδίου δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει:

Ρ Α 3

Ρ Α 4

,

1P(B)

2 και

5P(A B)

7 .

Να υπολογίσετε τις πιθανότητες Ρ Α , Ρ Α και P(A B) .

3

ΜΕΡΟΣ Β΄

Να λύσετε και τις 5 ασκήσεις του Μέρους Β΄. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 10 μονάδες.

1) Ο κύριος Φοίβος αγόρασε ένα σπίτι προς € 290000 . Ξόδεψε €50000 για να το

ανακαινίσει. Στη συνέχεια αποφάσισε να το πωλήσει.

a) Πόσα πρέπει να το πωλήσει για να κερδίσει 30% πάνω στο συνολικό κόστος;

b) Αν κάποιος αγοραστής προσφέρει € 425000 , να υπολογίσετε το ποσοστό (%)

του κέρδους που θα έχει ο κύριος Φοίβος πάνω στο συνολικό κόστος.

2) Κανονική τετραγωνική πυραμίδα έχει παράπλευρο ύψος 8cm που σχηματίζει γωνία

60 με τη βάση της. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας και τον όγκο

της πυραμίδας.

3) Ο πιο κάτω πίνακας παρουσιάζει τις υπερωρίες (σε ώρες) των 25 εργαζομένων ενός

εργοστασίου κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας.

Υπερωρίες i(χ ) 0 1 2 3 4 5

Εργαζόμενοι i(f ) 3 8 6 4 2 2

a) Να βρείτε την επικρατούσα τιμή των υπερωριών.

b) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση των υπερωριών.

c) Αν επιλέξουμε τυχαία έναν από τους εργαζόμενους, να βρείτε την πιθανότητα των

ενδεχομένων:

Α: «ο εργαζόμενος να έχει 3 ώρες υπερωρίες»

Β: «ο εργαζόμενος να έχει το πολύ 2 ώρες υπερωρίες».

4

4) Από τούς 4 άνδρες και 7 γυναίκες που εργάζονται σε ένα γραφείο θα επιλεγεί μια

πενταμελής επιτροπή.

a) Να υπολογίσετε:

i) με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να επιλεγεί αυτή η επιτροπή.

ii) πόσες από τις πιο πάνω επιτροπές έχουν τουλάχιστον 3 άνδρες.

b) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου

Α: «στην πενταμελή επιτροπή συμμετέχουν ακριβώς 3 άνδρες».

5) Ορθογώνιο τραπέζιο ΑΒΓ∆ ˆ ˆΓ ∆ 90 , με

πλευρές Α∆ 12cm , ΒΓ 8cm και ∆Γ 3cm ,

περιστρέφεται πλήρη στροφή γύρω από την ευθεία

(ε) που είναι παράλληλη προς την Α∆ και απέχει

2cm από αυτή.


a) το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας, και

b) τον όγκο του στερεού που παράγεται από την

πλήρη περιστροφή.

– ΤΕΛΟΣ –

1

ΤΠΟΤΡΓΔΙΟ ΠΑΙΓΔΙΑ ΚΑΙ ΠΟΛΙΣΙΜΟΤ ΓΙΔΤΘΤΝΗ ΑΝΩΣΔΡΗ ΚΑΙ ΑΝΩΣΑΣΗ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ

ΤΠΗΡΔΙΑ ΔΞΔΣΑΔΩΝ

ΠΑΓΚΤΠΡΙΔ ΔΞΔΣΑΔΙ 2010 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΚΟΙΝΟΤ ΚΟΡΜΟΤ Ημεπομηνία και ώπα εξέηαζηρ: Γεςηέπα, 31 Μαΐος 2010 7:30 – 10:30

ΣΟ ΔΞΔΣΑΣΙΚΟ ΓΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΣΔΛΔΙΣΑΙ ΑΠΟ ΣΔΔΡΙ (4) ΔΛΙΓΔ ηο ηέλορ ηος εξεηαζηικού δοκιμίος επιζςνάπηεηαι ηςπολόγιο

πος αποηελείηαι από δύο (2) ζελίδερ ΜΔΡΟ Α΄

Να λύζεηε και ηιρ 10 αζκήζειρ ηος Μέποςρ Α΄. Κάθε άζκηζη βαθμολογείηαι με 5 μονάδερ.

1) Γίλεηαη νξζνγώλην παξαιιειεπίπεδν κε δηαζηάζεηο 10cm, 5cm θαη 4cm. Να βξείηε

ηνλ όγθν ηνπ.

2) Ο Λάδαξνο ζέιεη λα αγνξάζεη εθηππσηή πνπ ζηνηρίδεη €250. Πόζα ζα πιεξώζεη αλ

ηνπ γίλεη έθπησζε 12%;

3) Μέζα ζε κηα θάιπε ππάξρνπλ 2 άζπξεο, 3 πξάζηλεο θαη 5 κπιε κπάιεο.

Δπηιέγνπκε ζηελ ηύρε κηα κπάια. Να βξείηε ηελ πηζαλόηεηα ησλ ελδερνκέλσλ:

Α: «ε κπάια λα είλαη κπιε»

Β: «ε κπάια λα κελ είλαη πξάζηλε».

4) Γίλεηαη ε ιέμε ΟΙΚΟΛΟΓΙΚΟ . Να βξείηε:

(α) Τν πιήζνο ησλ αλαγξακκαηηζκώλ ηεο.

(β) Τν πιήζνο ησλ αλαγξακκαηηζκώλ πνπ αξρίδνπλ κε Ο θαη ηειεηώλνπλ ζε Ι.

5) Καλνληθήο ηεηξαγσληθήο ππξακίδαο ε πεξίκεηξνο ηεο βάζεο είλαη 64cm θαη ν

όγθνο ηεο είλαη 1280cm3. Να βξείηε ην εκβαδόλ ηεο νιηθήο επηθάλεηαο ηεο

ππξακίδαο.

2

6) Ο κέζνο όξνο ηνπ βάξνπο ηεζζάξσλ αλδξώλ πνπ βξίζθνληαη ζε έλα απηνθίλεην

είλαη 82 θηιά. Όηαλ θαηέβεθε ν έλαο από απηνύο, ν κέζνο όξνο ηνπ βάξνπο ησλ

ππνινίπσλ κεηώζεθε ζηα 81 θηιά. Πνην είλαη ην βάξνο ηνπ άλδξα πνπ θαηέβεθε

από ην απηνθίλεην;

7) Τν ζηεξεό ζην δηπιαλό ζρήκα απνηειείηαη από έλαλ θύβν

αθκήο 10cm θαη έλαλ θώλν ηνπ νπνίνπ ε βάζε είλαη

εγγεγξακκέλε ζηελ πάλσ έδξα ηνπ θύβνπ. Η γελέηεηξα ηνπ

θώλνπ είλαη 13cm. Να βξείηε ηνλ όγθν ηνπ ζηεξενύ.

8) Ο θάζε καζεηήο ελόο ηκήκαηνο ηεο Β' ηάμεο Λπθείνπ ξσηήζεθε γηα ην είδνο ηεο

ηειενπηηθήο ηαηλίαο πνπ ηνπ αξέζεη πεξηζζόηεξν. Τα απνηειέζκαηα ηεο έξεπλαο

παξνπζηάδνληαη ζην πην θάησ ξαβδόγξακκα.

(α) Να βξείηε ην πνζνζηό (%) ησλ καζεηώλ πνπ πξνηηκνύλ «ηαηλίεο

πεξηπέηεηαο».

(β) Σην θπθιηθό δηάγξακκα πνπ αληηζηνηρεί ζηα πην πάλσ δεδνκέλα, λα βξείηε

ηε γσλία ηνπ θπθιηθνύ ηνκέα γηα ηνπο καζεηέο πνπ πξνηηκνύλ «θσκσδία».

3

9) Τα ελδερόκελα Α θαη Β είλαη ηνπ ίδηνπ δεηγκαηηθνύ ρώξνπ Ω κε 1

P(A B) ,5

9P(A) P(B)

10 θαη P(B) 2P(A) . Να βξείηε ηηο πηζαλόηεηεο:

(α) P(A)

(β) P(A B)

(γ) P(A B)

10) Έλα θνξηεγό μεθηλά ζηηο 8:00 π.κ. από ηελ πόιε Α πξνο ηελ πόιε Β κε ζηαζεξή

ηαρύηεηα 80 Km/h. Μεηά από δύν ώξεο έλα απηνθίλεην μεθηλά από ηελ πόιε Α

πξνο ηελ πόιε Β κε ζηαζεξή ηαρύηεηα 120 Km/h. Τη ώξα θαη ζε πόζε απόζηαζε

από ηελ πόιε Α ζα ζπλαληεζνύλ;

ΜΔΡΟ Β΄

Να λύζεηε και ηιρ 5 αζκήζειρ ηος Μέποςρ Β΄. Κάθε άζκηζη βαθμολογείηαι με 10 μονάδερ.

1) Οη κέξεο άδεηαο αλάπαπζεο πνπ έρνπλ απνκείλεη ζηνπο ζηξαηηώηεο ελόο ηάγκαηνο

πεδηθνύ, πνπ πξόθεηηαη λα απνιπζνύλ, παξνπζηάδνληαη ζην πην θάησ πνιύγσλν

ζπρλνηήησλ.

(α) Να θαηαζθεπάζεηε ηνλ πίλαθα θαηαλνκήο ζπρλνηήησλ i i(x ,f ) .

(β) Να βξείηε ηελ επηθξαηνύζα ηηκή ( εx ) θαη ηε δηάκεζν ( δx ).

(γ) Να ππνινγίζεηε ηε κέζε ηηκή ( x ) θαη ηελ ηππηθή απόθιηζε (ζ) ησλ εκεξώλ

άδεηαο αλάπαπζεο ησλ ζηξαηησηώλ ηνπ ηάγκαηνο.

4

2) Γίλνληαη ηα ςεθία 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 .

(α) Πόζνπο ηξηςήθηνπο αξηζκνύο κπνξνύκε λα ζρεκαηίζνπκε κε ηα πην πάλσ

ςεθία αλ δελ επηηξέπεηαη ε επαλάιεςε ςεθίνπ;

(β) Αλ επηιεγεί ζηελ ηύρε έλαο από ηνπο πην πάλσ ηξηςήθηνπο αξηζκνύο, πνηα ε

πηζαλόηεηα λα είλαη άξηηνο αξηζκόο κηθξόηεξνο ηνπ 300;

3) Η θπξία Αιεμίνπ θιεξνλόκεζε €150000 θαη επέλδπζε απηά ηα ρξήκαηα σο εμήο:

(i) ηόθηζε ηα 2

5 ησλ ρξεκάησλ ηεο πξνο 3% κε απιό ηόθν, (ii) αγόξαζε έλα ρσξάθη

πξνο €50000 θαη (iii) επέλδπζε ηα ππόινηπα αγνξάδνληαο κεηνρέο. Μεηά από 5

ρξόληα απέζπξε ηα ρξήκαηά ηεο από ηελ ηξάπεδα καδί κε ηνπο ηόθνπο, πώιεζε ην

ρσξάθη κε θέξδνο 40% πάλσ ζηελ ηηκή αγνξάο ηνπ θαη πώιεζε ηηο κεηνρέο ηεο.

Δηζέπξαμε ζπλνιηθά €189000.

(α) Να βξείηε ην θέξδνο (€) από ηελ θάζε επέλδπζε ηεο θπξίαο Αιεμίνπ.

(β) Πόζν ηνηο εθαηό (%) θέξδηζε από ηελ πώιεζε ησλ κεηνρώλ πάλσ ζην πνζό

πνπ επέλδπζε ζε απηέο;

4) Η επηινγή ησλ 6 ηξαγνπδηώλ γηα ηε δεκηνπξγία ελόο ςεθηαθνύ δίζθνπ (CD), ζα

γίλεη από έλαλ θαηάινγν πνπ πεξηέρεη 9 ηξαγνύδηα κε Διιεληθνύο ζηίρνπο θαη 7

ηξαγνύδηα κε Αγγιηθνύο ζηίρνπο.

(α) Με πόζνπο ηξόπνπο κπνξεί λα γίλεη ε επηινγή αλ:

(i) δελ ππάξρεη πεξηνξηζκόο ζηελ επηινγή ησλ ηξαγνπδηώλ.

(ii) ηέζζεξα από ηα ηξαγνύδηα έρνπλ Διιεληθνύο ζηίρνπο θαη δύν έρνπλ

Αγγιηθνύο ζηίρνπο.

(β) Δπηιέγνληαη ζηελ ηύρε έμη ηξαγνύδηα από ηνλ θαηάινγν. Πνηα ε πηζαλόηεηα

λα έρνπλ επηιεγεί ηνπιάρηζηνλ πέληε ηξαγνύδηα κε Διιεληθνύο ζηίρνπο;

5) Σην δηπιαλό ζρήκα δίλνληαη ΒΓ ΑΓ , ΑΒ 6cm ,

ΒΓ 8cm , ΒΔ 3cm θαη ΔΓ 5cm . Τν ζθηαζκέλν

ηεηξάπιεπξν ΑΓΔΓ πεξηζηξέθεηαη πιήξε ζηξνθή

γύξσ από ηνλ άμνλα xy πνπ πεξλά από ην ζεκείν Γ

θαη είλαη παξάιιεινο πξνο ηελ ΑΓ . Να ππνινγίζεηε

ην εκβαδόλ ηεο νιηθήο επηθάλεηαο θαη ηνλ όγθν ηνπ

ζηεξενύ πνπ παξάγεηαη.

– ΣΔΛΟ –

Γ

y

x

Δ

Α

Β

Γ

1



ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2011 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Δευτέρα, 30 Μαΐου 2011 8:30 – 11:30

ΤΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΙΤΑΙ ΑΠΟ Στο τέλος του εξεταστικού δοκιμίου επισυνάπτεται τυπολόγιο

που αποτελείται από δύο (2) σελίδες

ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΣΕΛΙΔΕΣ

ΜΕΡΟΣ Α΄: Αποτελείται από 10 ασκήσεις.

Να λύσετε και τις 10 ασκήσεις. Η κάθε άσκηση βαθμολογείται με 5 μονάδες.

1. Ένα δείγμα μαθητών της Α΄ Λυκείου ρωτήθηκε ποια είναι η κύρια απασχόλησή

τους στον ελεύθερό τους χρόνο. Οι απαντήσεις όλων των μαθητών του

δείγματος φαίνονται στο πιο κάτω ραβδόγραμμα συχνοτήτων.

Να βρείτε:

(α) Πόσοι ήταν οι μαθητές του δείγματος;

(β) Με τι απασχολούνται στον ελεύθερό τους χρόνο τα περισσότερα παιδιά του

δείγματος;

0123456789

101112

Ηλεκτρονικός Υπολογιστής

Αθλητισμός Βιβλία Λογοτεχνία

Μουσική Άλλη Απασχόληση

Αριθ

μός

Μαθ

ητώ

ν

Κύρια Απασχόληση

2

2. Ο Θανάσης αγόρασε ένα φορητό ηλεκτρονικό υπολογιστή αξίας €600 και

πλήρωσε επιπλέον 15% Φ.Π.Α. πάνω στην αξία του. Να βρείτε πόσα πλήρωσε.

3. Κώνος έχει ακτίνα βάσης 6𝑐𝑚 και ύψος 8𝑐𝑚. Να υπολογίσετε τον όγκο του

κώνου.

4. Να βρείτε πόσοι τετραψήφιοι αριθμοί μπορούν να σχηματιστούν με τα ψηφία

2, 4, 5, 6, 8, και 9 αν δεν επιτρέπεται η επανάληψη ψηφίου.

5. Η Ειρήνη αγόρασε ένα αυτοκίνητο και πλήρωσε €12000. Μετά από ένα χρόνο το

πώλησε 16% πιο κάτω από την τιμή που το αγόρασε. Τα λεφτά που πήρε από

την πώληση του αυτοκινήτου τα κατάθεσε στην τράπεζα με ετήσιο επιτόκιο 4%.

Πόσο τόκο πήρε μετά από 15 μήνες;

6. Κανονική τετραγωνική πυραμίδα έχει εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας

260𝑐𝑚2 και παράπλευρο ύψος 13𝑐𝑚. Να υπολογίσετε τον όγκο της πυραμίδας.

7. Τα ενδεχόμενα Α και Β είναι του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με

1P(A B)

6∩ = ,

1P(A)

3= και 1

P(B)4

= . Να υπολογίσετε τις πιθανότητες:

(α) ′P(B )

(β) P(A B)∪

(γ) −P(Β Α)

8. Δίνονται οι αριθμοί 12, 𝑥, 𝑦, 𝜔, 𝑧, 17 με επικρατούσα τιμή 2 και μέση τιμή 6.

Αν 𝑥, 𝑦, 𝜔, 𝑧 είναι ακέραιοι θετικοί αριθμοί και το 𝜔 είναι διπλάσιο του 𝑧, να

βρείτε τις τιμές των 𝑥, 𝑦, 𝜔 και 𝑧.

9. Σε ένα σχολικό πρωτάθλημα καλαθόσφαιρας συμμετείχαν 𝜈 ομάδες. Κάθε

ομάδα αγωνίστηκε με κάθε άλλη ομάδα μια μόνο φορά. Αν συνολικά διεξήχθηκαν

36 αγώνες, να βρείτε τον αριθμό 𝜈 των ομάδων που συμμετείχαν στο

πρωτάθλημα.

3

10. Ένας ποδηλάτης ξεκίνησε στις 8 το πρωί από το σημείο Α με ταχύτητα 24 𝑘𝑚/ℎ

και έφτασε σε ένα σημείο Β, όπου χάλασε το ποδήλατό του. Μετά από 30 λεπτά

ξεκίνησε πεζός για να επιστρέψει στο σημείο Α ακολουθώντας την ίδια διαδρομή

με ταχύτητα 4 𝑘𝑚/ℎ. Επέστρεψε στο σημείο Α στις 12 το μεσημέρι της ίδιας

ημέρας. Να βρείτε το μήκος της διαδρομής από το σημείο Α στο σημείο Β.

ΜΕΡΟΣ Β΄: Αποτελείται από 5 ασκήσεις. Να λύσετε και τις 5 ασκήσεις. Η κάθε άσκηση βαθμολογείται με 10 μονάδες.

1. H Έλενα κατέγραψε τον αριθμό των επιβατών των 100 πρώτων αυτοκινήτων που

πέρασαν μπροστά από το σπίτι της ένα απόγευμα. Τα αποτελέσματα της

καταγραφής φαίνονται στον πιο κάτω πίνακα κατανομής συχνοτήτων.

Αρ. Επιβατών (𝑥𝜄) 1 2 3 4 5

Αρ. Αυτοκινήτων (𝑓𝑖) 44 30 15 4 7

(α) Να βρείτε την επικρατούσα τιμή (𝑥𝜀) και τη διάμεσο (𝑥𝛿).

(β) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή () και την τυπική απόκλιση (𝜎) του αριθμού

των επιβατών των αυτοκινήτων κατά προσέγγιση 2 δεκαδικών ψηφίων.

2. Δίνεται η λέξη ΑΛΛΗΛΕΓΓΥΗ .

(α) Να βρείτε το πλήθος των αναγραμματισμών της.

(β) Πόσοι αναγραμματισμοί αρχίζουν με Η;

(γ) Πόσοι αναγραμματισμοί έχουν όλα τα φωνήεντα μαζί;

(δ) Πόσοι αναγραμματισμοί αρχίζουν με σύμφωνο;

(ε) Ποια είναι η πιθανότητα του ενδεχομένου να επιλέξουμε ένα αναγραμματισμό

στην τύχη που να αρχίζει με Η;

4

3. Μια βιοτεχνία που παράγει σοκολατάκια, αγοράζει την πρώτη ύλη σε πλάκες

σοκολάτας που έχουν σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με διαστάσεις

30𝑐𝑚, 10𝑐𝑚, και 5𝑐𝑚. Για μια συγκεκριμένη παραγγελία θα χρησιμοποιηθούν 50

πλάκες σοκολάτας και θα προστεθούν και άλλα υλικά σε ποσοστό 10% του

όγκου της σοκολάτας που θα χρησιμοποιηθεί. Κατά την επεξεργασία του

μείγματος υπάρχει απώλεια όγκου 5%. Τα σοκολατάκια που θα παραχθούν θα

έχουν όγκο 5𝑐𝑚3 το καθένα και θα συσκευαστούν σε κουτιά των 25.

(α) Να βρείτε πόσα σοκολατάκια θα παραχθούν και πόσα κουτιά θα χρειαστούν.

(β) Αν το συνολ ικό κόστος παραγωγής είναι €7524 και το κάθε κουτί πωλείται

προς €15, να βρείτε το ποσοστό του κέρδους της βιοτεχνίας (πάνω στο

κόστος).

4. Σε μια ομάδα εργασίας για το περιβάλλον συμμετέχουν 8 Ευρωπαίοι και 3

Αμερικανοί επιστήμονες. Από αυτούς θα επιλεγεί τυχαία μια τετραμελής

επιτροπή. Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων:

Α: Η επιτροπή να αποτελείται από δύο Ευρωπαίους και δυο Αμερικανούς.

Β: Η επιτροπή να αποτελείται από τρεις τουλάχιστον Ευρωπαίους.

Γ: Η επιτροπή να αποτελείται από επιστήμονες της ίδιας ηπείρου.

Δ: Στην επιτροπή να αντιπροσωπεύονται και οι δυο ήπειροι.

5. Στο διπλανό σχήμα δίνονται ορθογώνιο

παραλληλόγραμμο 𝛣𝛤𝛥𝛦 , ορθογώνιο τρίγωνο

𝛢𝛣𝛧 και 𝛧𝛣⊥𝛢𝛤, με 𝛢𝛣 = 3𝑐𝑚, 𝛣𝛤 = 3𝑐𝑚, και

𝛣𝛧 = 4𝑐𝑚. Το σκιασμένο πεντάπλευρο 𝛢𝛤𝛥𝛦𝛧

περιστρέφεται πλήρη στροφή γύρω από τον

άξονα 𝑥𝑦, που είναι παράλληλος προς τη 𝛥𝛤 και

απέχει απόσταση 𝛫𝛢 = 1𝑐𝑚 από την κορυφή 𝛢.

Να υπολογίσετε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας

και τον όγκο του στερεού που παράγεται.

– ΤΕΛΟΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ –


ν κ κ2 2 2

i i i i i κ2i 1 i 1 i 1

i

ι 1

(x x) f (x x) f x

σ ή σ x , όπου ν f v v v

= = =

=

− −= = = − =∑ ∑ ∑

∑


συνΑημΒημΑσυνΒΒ)ημ(Α ±=± , ημΑημΒσυνΑσυνΒΒ)συν(Α =±

β)ημ(αβ)ημ(αημασυνβ2 ++−= , β)συν(αβ)συν(ασυνασυνβ2 ++−=

β)συν(αβ)συν(αημαημβ2 +−−= , ημ2α=2ημα.συνα, συν2α=συν2α-ημ2

α

2

συν2α1ασυν,2

συν2α1αημ 22 +=

−=

εφαt,t1

t1συν2α,t1

2tημ2α2

2

2=

+−

=+

=

2

ΒΑσυν2

ΒΑημ2ημΒημΑ −+=+

2

ΒΑσυν2

ΒΑημ2ημΒημΑ +−=−

2

ΒΑσυν2

ΒΑσυν2συνΒσυνΑ −+=+

2

ΒΑημ2

ΑΒημ2συνΒσυνΑ +−=−


Σε μοίρες Σε ακτίνια ημx=ημα x=360

0κ+α ή x=3600κ+1800 x=2πκ+α ή x=2πκ+π-α, κ∈Ζ -α, κ∈Ζ

συνx=συνα x=3600 x =2πκ±α, κ∈Ζ κ±α, κ∈Ζ

εφx=εφα x=1800 x =πκ+α, κ∈Ζ κ+α, κ∈Ζ


Ορθό πρίσμα π βΕ Π υ= ⋅ βV Eυ= ⋅

Κανονική Πυραμίδα βΠ hEπ 2

⋅= βEυ

V3

⋅=

Κύλινδρος κΕ 2πR υ= ⋅ 2VπR υ= ⋅

Κώνος πRλEκ = 2πR υ

V3

⋅=

Κόλουρος Κώνος ( )κEπ R ρ λ= + ( )2 2πυV R Rρ ρ

3= + ⋅ +


Απόσταση των σημείων Α(x1,y1) και Β(x2,y2 ( 2)12

212 )() yyxxd −+−=):

Απόσταση του σημείου Α(x1,y122

11

BA

ByAxd

+

Γ++=) από την ευθεία Ax+By+Γ=0:

΄Ελλειψη β>αβ−α=γ=β

+α

,,1 222

2

2

2 yx Εστίες ,γ,0)(± Διευθετούσες ,

εα

±=x

Εκκεντρότητα αγ

=ε


vuvu)vu( ′⋅+⋅′=′⋅ , 2v

vuvu

v

u ′⋅−⋅′=

′

, dx

du.

du

dy

dx

dy=

συνx)ημx ( =′ , ημx) συνx( −=′ , xτεμ)εφx ( 2=′ , x

1)x(ln =′


∫∫ +=++= c2

xεφlnστεμxdxcεφxτεμxlnτεμxdx

∫ ∫ +=+

+=−

cαxτοξεφ

α1

xαdx

cαxτοξημ

xαdx

2222

7. Απλός τόκος: 100KEX

T =

-------------------------------------

1



ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Παρασκευή, 1 Ιουνίου 2012 8:30 – 11:30

ΤΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΣΕΛΙΔΕΣ. Στο τέλος του εξεταστικού δοκιμίου επισυνάπτεται τυπολόγιο,

το οποίο αποτελείται από δύο (2) σελίδες. ΜΕΡΟΣ Α΄: Αποτελείται από 10 ασκήσεις.


1. Στο πιο κάτω ραβδόγραμμα συχνοτήτων παρουσιάζεται ο αριθμός των μεταλλίων

που πήρε η Ελλάδα στις πέντε τελευταίες διοργανώσεις των Ολυμπιακών

αγώνων.

1) Να υπολογίσετε το σύνολο των μεταλλίων που πήρε η Ελλάδα από το

μέχρι σήμερα.

2) Να βρείτε ποια χρονιά πήρε τα περισσότερα μετάλλια.

2. Δίνεται ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με διαστάσεις , και

. Να υπολογίσετε τον όγκο του παραλληλεπιπέδου.

1992 1996 2000 2004 2008

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16

Αρ

ιθμ

ός

μετ

αλλ

ίων

2

3. Κεφάλαιο τοκίζεται με απλό τόκο προς για χρόνια

Να υπολογίσετε τον τόκο που θα αποδώσει.

4. Οι βαθμοί που πήρε ένας μαθητής στο Β΄ τετράμηνο είναι:


1) Το μέσο όρο των βαθμών του μαθητή.

2) Τη διάμεσο των βαθμών του μαθητή.

5. Δίνεται η λέξη Ο Μ Ο Ι Ο Μ Ο Ρ Φ Ο


1) Το πλήθος των αναγραμματισμών της πιο πάνω λέξης.

2) Το πλήθος των αναγραμματισμών της πιο πάνω λέξης που αρχίζουν και

τελειώνουν με το γράμμα Μ .

6. Κανονική τετραγωνική πυραμίδα έχει εμβαδό βάσης και ύψος .

Να υπολογίσετε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας της πυραμίδας.

7. Από τα πιο κάτω σχήματα επιλέγουμε ένα στην τύχη. Συμβολίζουμε με το

ενδεχόμενο να επιλέξουμε τρίγωνο και με το ενδεχόμενο να επιλέξουμε

σκιασμένο σχήμα.

Να υπολογίσετε τις πιο κάτω πιθανότητες :

1) Να επιλέξουμε τρίγωνο.

2)

3)

4)

5)

3

8. Η κατανάλωση ενός γραμμαρίου καθαρού αλκοόλ δίνει στον ανθρώπινο

οργανισμό θερμίδες. Πόσες θερμίδες παίρνει ο ανθρώπινος οργανισμός με την

κατανάλωση ενός κουτιού μπύρας των γραμμαρίων που έχει περιεκτικότητα

σε αλκοόλ .

9. Δίνονται τα ψηφία .

1) Να υπολογίσετε πόσοι διαφορετικοί αριθμοί μικρότεροι από το

μπορούν να σχηματιστούν με τα πιο πάνω ψηφία αν δεν επιτρέπεται

επανάληψη ψηφίου.

2) Αν επιλεγεί στην τύχη ένας από τους αριθμούς του ερωτήματος (α), να

υπολογίσετε την πιθανότητα ο αριθμός αυτός να είναι τριψήφιος.

10. Ένας αυτοκινητιστής χρειάστηκε λεπτά για να μεταβεί από την πόλη Α στην

πόλη Β οδηγώντας με μέση ταχύτητα . Πόσο χρόνο, σε λεπτά, θα

χρειαστεί για να επιστρέψει στην πόλη Α από τον ίδιο δρόμο, αν η μέση ταχύτητα

του αυτοκινήτου του θα είναι ;

ΜΕΡΟΣ Β΄: Αποτελείται από 5 ασκήσεις.


1. Στον πιο κάτω πίνακα παρουσιάζονται οι θερμοκρασίες σε βαθμούς κελσίου που

καταγράφηκαν στις το μεσημέρι, για κάθε μέρα του Απριλίου του 2012, σε

ένα χωριό της Κύπρου.

Θερμοκρασία

Αρ. ημερών


1) Την επικρατούσα τιμή των παρατηρήσεων.

2) Την διάμεσο τιμή ( των παρατηρήσεων.

3) Την μέση τιμή των παρατηρήσεων.

4) Την τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων.

4

2. Ο όμιλος ποδηλατιστών της πόλης έχει διθέσια και μονοθέσια ποδήλατα.

Με πόσους τρόπους μπορούν να επιλεγούν ποδήλατα αν:

1) δεν υπάρχει κανένας περιορισμός ως προς το είδος του ποδηλάτου,

2) στα ποδήλατα αυτά θα υπάρχουν θέσεις για τουλάχιστον άτομα.

3. Ένας επιχειρηματίας αγόρασε ένα φορτίο ξυλείας με κόστος αγοράς .

Πλήρωσε επιπρόσθετα έξοδα για την μεταφορά του φορτίου πάνω στο

κόστος αγοράς. Στην συνέχεια πώλησε τα

του φορτίου με κέρδος και το

υπόλοιπο μέρος του φορτίου με ζημιά . Να εξετάσετε κατά πόσο ο

επιχειρηματίας κέρδισε ή ζήμιωσε και να υπολογίσετε το συνολικό ποσό του

κέρδους ή της ζημιάς του.

4. Σε ένα σακούλι υπάρχουν 3 άσπροι, 4 κίτρινοι και 2 μπλε βώλοι. Παίρνουμε στην

τύχη 3 βώλους. Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων:

Α: «και οι τρεις βώλοι είναι άσπροι»

Β: «μόνο ένας βώλος είναι άσπρος»

Γ: «τουλάχιστο ένας βώλος είναι άσπρος».

5. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο είναι ισοσκελές με

και . Το είναι ορθογώνιο

τραπέζιο με βάσεις και , ύψος και πλευρά

. Το σκιασμένο πολύγωνο περιστρέφεται

πλήρη στροφή γύρω από τον άξονα που είναι κάθετος

στη . Να υπολογίσετε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας

και τον όγκο του στερεού που παράγεται.

– ΤΕΛΟΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ –


2 2 2

i i i i i2i 1 i 1 i 1

i

i 1

(x x) f (x x) f x

ή x , όπου ν f v v v


συνΑημΒημΑσυνΒΒ)ημ(Α , ημΑημΒσυνΑσυνΒΒ)συν(Α

β)ημ(αβ)ημ(αημασυνβ2 , β)συν(αβ)συν(ασυνασυνβ2

β)συν(αβ)συν(αημαημβ2 , ημ2α=2ημα∙συνα, συν2α=συν2α – ημ2α

2

συν2α1ασυν,

2

συν2α1αημ 22

εφαt,t1

t1συν2α,

t1

2tημ2α

2

2

2

, 2

ΒΑσυν

2

ΒΑημ2ημΒημΑ

2

ΒΑσυν

2

ΒΑσυν2συνΒσυνΑ

,

2

ΒΑημ

2

ΑΒημ2συνΒσυνΑ



ημx=ημα x=3600κ+α ή x=360

0κ+180

0-α, κΖ x=2πκ+α ή x=2πκ+π-α, κΖ

συνx=συνα x=3600κα, κΖ x =2πκα, κΖ

εφx=εφα x=1800κ+α, κΖ x =πκ+α, κΖ


Ορθό πρίσμα E Π υπ β

V E υβ

Κανονική Πυραμίδα 1

E Π hπ β2 βE υ

V3

Κύλινδρος πRυΕκ 2 υπRV 2

Κώνος πRλEκ 3

υπRV

2

Κόλουρος Κώνος ρ)λπ(REκ )ρRρ(R3

πυV 22

2

ΒΑσυν

2

ΒΑημ2ημΒημΑ


Απόσταση των σημείων Α(x1,y1) και Β(x2,y2): 2)12

212 )() yyxxd

Απόσταση του σημείου Α(x1,y1) από την ευθεία Ax+By+Γ=0: 22

11

BA

ByAxd

΄Ελλειψη

,,1 22

2

2

2

2 yx Εστίες ,γ,0)( Διευθετούσες ,

x

Εκκεντρότητα


vuvu)vu( , 2v

vuvu

v

u

,

dx

du.

du

dy

dx

dy

συνx)ημx ( , ημx) συνx( , xτεμ)εφx ( 2 , x

1)x(ln


c2

xεφlnστεμxdxcεφxτεμxlnτεμxdx

cα

xτοξεφ

α

1

xα

dxc

α

xτοξημ

xα

dx2222

7. Απλός τόκος: K E X

T100

1

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ

∆ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΣΗΣ



Μάθημα : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Παρασκευή 31 Μαΐου 2013

8:00 – 11:00

ΤΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ∆ΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΠΕΝΤΕ (5) ΣΕΛΙ∆ΕΣ Στο τέλος του δοκιμίου επισυνάπτεται τυπολόγιο που αποτελείται από δύο (2) σελίδες.

ΜΕΡΟΣ Α΄: Να λύσετε και τις 10 ασκήσεις.

Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 5 μονάδες. 1. ∆ίνεται κύλινδρος με ακτίνα βάσης 5cm . Αν το ύψος του κυλίνδρου είναι

τριπλάσιο της ακτίνας της βάσης του, να υπολογίσετε τον όγκο του

κυλίνδρου.

2. ∆ίνεται η λέξη «A N A K Α Μ Ψ Η». Να βρείτε:

a) το πλήθος των αναγραμματισμών της πιο πάνω λέξης.

b) πόσοι από τους αναγραμματισμούς αυτούς έχουν όλα τα σύμφωνά

τους συνεχόμενα.

3. Ορθό πρίσμα έχει ύψος 6 cm και βάση τετράγωνο πλευράς 5 cm. Να

υπολογίσετε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας του πρίσματος.

2

4. Στο πιο κάτω ραβδόγραμμα συχνοτήτων παρουσιάζονται τα επιστημονικά

πεδία σπουδών και το πλήθος των μαθητών που επέλεξαν το κάθε

επιστημονικό πεδίο, σαν πρώτη επιλογή τους, τη σχολική χρονιά

2012 2013 , ενός τμήματος της Γ΄ Λυκείου.

a) Να υπολογίσετε το σύνολο των μαθητών του τμήματος.

b) Να βρείτε το ποσοστό % των μαθητών που επέλεξαν το πεδίο

σπουδών ∆.

5. Έμπορος αγόρασε εμπορεύματα αξίας €80000 με έκπτωση 30% πάνω

στην αξία των εμπορευμάτων.

a) Να βρείτε πόσα ευρώ κόστισαν τα εμπορεύματα.

b) Πωλεί τα εμπορεύματα με κέρδος 20% πάνω στο κόστος αγοράς των

εμπορευμάτων. Να βρείτε πόσα ευρώ κέρδισε.

6. Ο μέσος όρος της ηλικίας 10 παιδιών και 8 γονιών είναι 25 χρόνια. Αν ο

μέσος όρος της ηλικίας των 8 γονιών είναι 40 χρόνια, να βρείτε:

a) το μέσο όρο που έχουν οι ηλικίες των 10 παιδιών σήμερα, και

b) το μέσο όρο που θα έχουν οι ηλικίες των γονιών μετά από 5 χρόνια.

3

7. Ένα κεφάλαιο τοκίζεται με απλό τόκο για δύο χρόνια ως εξής: τα 3

7 του

κεφαλαίου προς 5% και το υπόλοιπο μέρος του κεφαλαίου προς 4% . Αν

ο συνολικός τόκος που θα αποδώσει το κεφάλαιο σε δύο χρόνια είναι

€620 , να βρείτε το κεφάλαιο.

8. Για τα ενδεχόμενα Α και Β του ιδίου δειγματικού χώρου Ω ισχύουν:

2Ρ Α

5 , 2

Ρ Β3

, 2Ρ Α Β

15 .

Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ Β , Ρ Α Β , Ρ Α Β και Ρ Ω .

9. Το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας

είναι 2ολΕ 384cm και το παράπλευρο ύψος της είναι ίσο με τα

5

6 της

ακμής της βάσης της.

a) Να αποδείξετε ότι το μήκος της πλευράς της βάσης της πυραμίδας

είναι α 12cm .

b) Να υπολογίσετε τον όγκο της πυραμίδας.

10. Σε ένα δοχείο 1∆ υπάρχουν 6 κόκκινες και 2 πράσινες μπάλες. Σε ένα

άλλο δοχείο 2∆ υπάρχουν 6 κόκκινες και μερικές άσπρες μπάλες.

a) Επιλέγω μια μπάλα από το δοχείο 1∆ . Να βρείτε τη πιθανότητα του

ενδεχομένου Π: «η μπάλα είναι πράσινη».

b) Αν η πιθανότητα να επιλέξω μια άσπρη μπάλα από το δοχείο 2∆ είναι

διπλάσια της πιθανότητας να επιλέξω μια πράσινη μπάλα από το

δοχείο 1∆ , να βρείτε πόσες είναι οι άσπρες μπάλες του δοχείου 2∆ .

4

ΜΕΡΟΣ Β΄: Να λύσετε και τις 5 ασκήσεις. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 10 μονάδες.

1. Ο πιο κάτω πίνακας παρουσιάζει τον αριθμό των ορθογραφικών λαθών

που έκαναν οι μαθητές ενός Λυκείου σε μια έκθεση ιδεών.

Να βρείτε:

a) την επικρατούσα τιμή εχ

b) την διάμεσο της κατανομής δχ

c) τη μέση τιμή χ και

d) την τυπική απόκλιση σ των λαθών.

2. Μια εταιρεία κάλεσε σε συνέντευξη 8 άνδρες και 10 γυναίκες για την πλήρωση

έξι κενών θέσεων εργασίας.

Να βρείτε με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει η πλήρωση των θέσεων, αν:

a) δεν υπάρχει κανένας περιορισμός.

b) θα προσληφθούν 3 άνδρες και 3 γυναίκες.

c) θα προσληφθούν τουλάχιστον 4 άνδρες.

d) θα προσληφθούν άτομα του ιδίου φύλου.

3. Ένα αυτοκίνητο αναχώρησε από την πόλη Α στις 6 το πρωί και κινείται

προς την πόλη Β με σταθερή ταχύτητα 80 km/h . ∆ιέτρεξε τα 5

8 της

απόστασης μεταξύ των δύο πόλεων σε 10 ώρες. Στην συνέχεια αύξησε

την ταχύτητα του κατά 50% της αρχικής του ταχύτητας και κινήθηκε με

αυτή την ταχύτητα μέχρι την πόλη Β. Να βρείτε την ώρα που έφτασε το

αυτοκίνητο στην πόλη Β.

Αριθμός λαθών iχ 0 1 2 3 4 5 6

Αριθμός υπαλλήλων if 9 9 20 17 15 10 10

5

4. Τέσσερις τουρίστες φτάνουν σε μια πόλη που διαθέτει 5 ξενοδοχεία. Αν ο

κάθε τουρίστας θα επιλέξει τυχαία το ξενοδοχείο στο οποίο θα διαμείνει, να

βρείτε:

a) με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να γίνει αυτό.

b) την πιθανότητα όλοι οι τουρίστες να μείνουν στο ίδιο ξενοδοχείο.

c) την πιθανότητα οι τουρίστες να μείνουν σε διαφορετικά ξενοδοχεία.

5. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα

ανο ι κ τ ό δοχείο μεταφοράς γάλακτος

που αποτελείται από δύο κυλινδρικά

τμήματα και ένα κόλουρο κώνο. Το ύψος

του δοχείου είναι 54 cm και οι διάμετροι

των βάσεων του κόλουρου κώνου είναι 30

cm και 24 cm. Τα ευθύγραμμα τμήματα

ΑΒ και Γ∆ έχουν μήκη 9 cm και 41 cm

αντίστοιχα.


a) το εμβαδόν της ολικής εξωτερικής

επιφάνειας και

b) τον όγκο του δοχείου.

- - - - - - Τ Ε Λ Ο Σ - - - - - -


( ) ( )= = =

=

− −= = = − =∑ ∑ ∑

∑

ν κ κ2 2 2

i i i i i κ2i 1 i 1 i 1

ii 1

χ χ f χ χ fχσ ή σ χ , όπου ν f

v v v


± = ±ημ(Α Β) ημΑσυνΒ συνΑημΒ , ± = συν(Α Β) συνΑσυνΒ ημΑημΒ

= − + +2ημασυνβ ημ(α β) ημ(α β) , = − + +2συνασυνβ συν(α β) συν(α β)

= − − +2ημαημβ συν(α β) συν(α β) , = ⋅ημ2α 2ημα συνα , = −2 2συν2α συν α ημ α

− += =2 21 συν2α 1 συν2αημ α , συν α

2 2

−= = =

+ +

2

2 2

2t 1 tημ2α , συν2α , t εφα 1 t 1 t

+ −+ =


− +− =


+ −+ =

Α Β Α ΒσυνΑ συνΒ 2συν συν2 2

− +− =

Β Α Α ΒσυνΑ συνΒ 2 ημ ημ2 2



=ημχ ημα = +

= + − ∈

0

0 0

χ 360 κ α ή χ 360 κ 180 α, κ Ζ

= +

= + − ∈χ 2κπ α ή

χ 2κπ π α, κ Ζ

=συνχ συνα = ± ∈0χ 360 κ α, κ Ζ = ± ∈χ 2κπ α, κ Ζ =εφχ εφα = + ∈0χ 180 κ α, κ Ζ = + ∈χ κπ α, κ Ζ


Ορθό Πρίσμα = ⋅π βΕ Π υ = ⋅βV E υ

Κανονική Πυραμίδα = ⋅π β1E Π h2

= βE .υV

3

Κύλινδρος =κΕ 2πRυ = 2V πR υ

Κώνος =κE πRλ =2πR υV

3

Κόλουρος Κώνος ( )= +κE π R ρ λ ( )= + +2 2πυV R Rρ ρ3


Απόσταση δυο σημείων ( )1 1Α χ ,ψ και ( )2 2Β χ ,ψ : ( ) ( )= − + −2 2

2 1 2 1d χ χ ψ ψ

Απόσταση σημείου ( )1 1Σ χ ,ψ από ευθεία + + =Aχ Bψ Γ 0 : + +

=+

1 1

2 2

Aχ Bψ Γd

A B

Έλλειψη: + = = − >2 2

2 22 2

χ ψ 1, γ α β , α βα β

Εστίες: ( )±γ,0 , Διευθετούσες: = ±αχ ,ε

Εκκεντρότητα: =γεα


( )′ ′ ′⋅ = ⋅ + ⋅u v u v u v , ′ ′ ′⋅ − ⋅ =

2

u u v u vv v

, = ⋅dψ dψ dudχ du dχ

( )′ =ημχ συνχ , ( )′ = −συνχ ημχ , ( )′ = 2εφχ τεμ χ , ( )′ = 1lnχχ


= + + = +∫ ∫χτεμχ dχ ln τεμχ εφχ c στεμχ dχ ln εφ c2

= + = ++−

∫ ∫ 2 22 2

dχ χ dχ 1 χτοξημ c τοξεφ cα α χ α αα χ

7. Απλός τόκος: ⋅ ⋅=

K E XT100

1

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ

ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ



Μάθημα : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ

Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Τρίτη, 27 Μαΐου 2014

8:00 – 11:00

ΜΕΡΟΣ Α΄: Να λύσετε και τις 10 ασκήσεις.

Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 5 μονάδες.

1. Στο πιο κάτω ραβδόγραμμα παρουσιάζεται ο αριθμός των μαθητών

ανά τμήμα σε ένα σχολείο.

α) Να υπολογίσετε το συνολικό αριθμό των τμημάτων του σχολείου.

β) Να υπολογίσετε τον αριθμό των τμημάτων που έχουν λιγότερους

από 20 μαθητές.

2. Να βρείτε το πλήθος των αναγραμματισμών της λέξης Ο Δ Υ Σ Σ Ε Α Σ .

ΤΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΠΕΝΤΕ (5) ΣΕΛΙΔΕΣ. Στο τέλος του δοκιμίου επισυνάπτεται ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ που αποτελείται από δύο (2) σελίδες.

2

3. Κύβος έχει όγκο . Να υπολογίσετε:

α) Την ακμή του κύβου.

β) Το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας του κύβου.

4. Η τιμή πώλησης μιας τηλεόρασης μετά από έκπτωση πάνω στην

αρχική τιμή της είναι . Να βρείτε την αρχική τιμή πώλησης της

τηλεόρασης.

5. Ένα δοχείο σε σχήμα κώνου που έχει ύψος και ακτίνα βάσης

είναι γεμάτο με λάδι. Αδειάζουμε το περιεχόμενο του κώνου σε

ένα κυλινδρικό δοχείο με ακτίνα βάσης και ύψος . Να

εξετάσετε αν θα υπερχειλίσει το κυλινδρικό δοχείο και να

δικαιολογήσετε πλήρως με μαθηματικές πράξεις την απάντηση σας.

6. Το εμβαδόν της βάσης ορθού τετραγωνικού πρίσματος είναι

και το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας του είναι .


α) Το ύψος του πρίσματος.

β) Τον όγκο του πρίσματος.

7. Σε μια φάρμα υπάρχουν αγελάδες και κατσίκια. Ο μέσος όρος του

βάρους των αγελάδων είναι και ο μέσος όρος του βάρους όλων

των ζώων είναι . Να υπολογίσετε το μέσο όρο του βάρους των

κατσικιών.

8. Το παράπλευρο ύψος κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας είναι ίσο με

√ και σχηματίζει με τη βάση της γωνία °. Να υπολογίσετε:

α) Το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας της πυραμίδας.

β) Τον όγκο της πυραμίδας.

3

9. Αν Α και Β είναι ενδεχόμενα του ιδίου δειγματικού χώρου Ω με

P(A) = P(B) , P(A ∪ B) = 35

και P(A ∩ B) = 1

10

α) Να υπολογίσετε την πιθανότητα P(A)

β) Αν P(Β) = 720

, να υπολογίσετε τις πιθανότητες:

i) P(B - A)

ii) P(A' ∪ B)

10. Δύο πόλεις Α και Β απέχουν μεταξύ τους . Ένας ποδηλάτης

βρίσκεται στην πόλη Α και ένας πεζός βρίσκεται στην πόλη Β.

Αναχωρούν ταυτόχρονα με σταθερές ταχύτητες. Αν κινηθούν προς την

ίδια κατεύθυνση, ώστε ο ποδηλάτης να ακολουθεί τον πεζό, θα

συναντηθούν μετά από ώρες. Αν όμως ο ποδηλάτης κατευθυνθεί

προς την πόλη Β και ο πεζός κατευθυνθεί προς την πόλη Α, τότε θα

συναντηθούν μετά από ώρες. Να βρείτε την ταχύτητα του καθενός.

ΤΕΛΟΣ ΜΕΡΟΥΣ Α΄

ΑΚΟΛΟΥΘΕΙ ΤΟ ΜΕΡΟΣ Β΄

ΜΕΡΟΣ B΄: Να λύσετε και τις 5 ασκήσεις.

Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 10 μονάδες.

1. Ο κ. Κώστας κατάθεσε ένα κεφάλαιο στην τράπεζα με επιτόκιο .

Μετά από μήνες, το σύνολο της κατάθεσης του

συμπεριλαμβανομένων και των τόκων έγινε . Στα πλαίσια

των οικονομικών μέτρων, οι πρώτες του συνόλου της

κατάθεσης του παρέμειναν χωρίς αποκοπή, ενώ στο ποσό πέραν των

έγινε αποκοπή ύψους . Να υπολογίσετε:

α) Το αρχικό κεφάλαιο που είχε καταθέσει στην τράπεζα ο κ. Κώστας.

β) Το ποσό των χρημάτων που απέμεινε στο λογαριασμό του μετά

την επιβολή των οικονομικών μέτρων.

4

2. Ο πιο κάτω πίνακας παρουσιάζει τις τιμές και τους αντίστοιχους

αριθμούς εισιτηρίων διπλής διαδρομής λεωφορείου που αγοράζουν

καθημερινά οι υπάλληλοι μιας εταιρείας για να μεταβούν στην

εργασία τους.


α) Την επικρατούσα τιμή ( ) των παρατηρήσεων.

β) Τη διάμεσο τιμή ( ) των παρατηρήσεων.

γ) Τη μέση τιμή ( ) των παρατηρήσεων.

δ) Την τυπική απόκλιση ( ) των παρατηρήσεων.

3. Ένας πελάτης μπαίνει σε ένα κατάστημα κατοικίδιων ζώων για να

αγοράσει πουλιά. Το κατάστημα διαθέτει προς πώληση

παπαγάλους και καναρίνια.

α) Να βρείτε με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να γίνει η

επιλογή των πουλιών που θα αγοράσει ο πελάτης.

β) Αν ο πελάτης αγοράσει τα πουλιά στην τύχη, να υπολογίσετε τις

πιθανότητες των ενδεχομένων:

Κ: « ο πελάτης να αγοράσει ακριβώς ένα παπαγάλο »

Λ: « ο πελάτης να αγοράσει το πολύ ένα καναρίνι »

Μ: « ο πελάτης να αγοράσει μόνο ένα είδος πουλιών »

Τιμή εισιτηρίου σε

ευρώ ( ) 4 5 6 7 8 9 10

Αριθμός εισιτηρίων ( ) 6 5 3 4 1 1 2

5

4. Δίνονται τα ψηφία .

α) Να βρείτε το πλήθος των τριψήφιων αριθμών που μπορούν να

σχηματιστούν με τα πιο πάνω ψηφία αν δεν επιτρέπεται

επανάληψη ψηφίων.

β) Να βρείτε το πλήθος των τριψήφιων αριθμών μεγαλύτερων του

που μπορούν να σχηματιστούν με τα πιο πάνω ψηφία:

i) Αν δεν επιτρέπεται επανάληψη ψηφίων.

ii) Αν επιτρέπεται επανάληψη ψηφίων.

5. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο είναι

ισοσκελές με και .

To είναι τετράγωνο πλευράς . Το

σκιασμένο πολύγωνο στρέφεται πλήρη

στροφή γύρω από την ευθεία ( ) που είναι κάθετη

στην . Να υπολογίσετε:

α) Το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας του

παραγόμενου στερεού.

β) Τον όγκο του παραγόμενου στερεού.

Τ Ε Λ Ο Σ Ε Ξ Ε Τ ΑΣ Η Σ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

1. Στατιστική:

σ=

ν

Σi=1

(xi ― x )²

ν ή σ =

κ

Σi=1

fi (xi ― x )²

ν =

κ

Σi=1

fi xi ²

ν ― x ² , όπου ν= κ

Σi=1

fi

2. Τριγωνομετρία:

ημ ( Α ± Β ) = ημΑ συνΒ ± συνΑ ημΒ , συν ( Α ± Β ) = συνΑ συνΒ ∓ ημΑ ημΒ

2 ημα συνβ = ημ(α ― β ) + ημ( α + β ) , 2 συνα συνβ = συν( α ― β ) + συν( α + β )

2 ημα ημβ = συν( α ― β ) ― συν( α + β ) , ημ2α = 2ημα συνα , συν2α = συν²α ― ημ²α

ημ²α = 1―συν2α

2 συν²α = 1+συν2α

2

ημ2α = 2t

1 + t ² συν2α = 1 ― t ² 1 + t ² , t =εφα

ημΑ + ημΒ = 2 ημ A+B

2 συν A―B

2 , ημΑ ― ημΒ = 2 ημ A―B

2 συν A+B

2

συνΑ + συνΒ = 2 συν A+B

2 συν A―B

2 , συνΑ ― συνΒ = 2 ημ A+B

2 ημ B―A

2



ημx = ημα x = 360˚κ + α ή

x = 360˚κ + 180˚―α, κ ∈ Ζ

x = 2κπ + α ή

x = 2κπ + π ― α, κ ∈ Ζ

συνx = συνα x = 360˚κ ± α, κ ∈ Ζ x = 2κπ ± α, κ ∈ Ζ

εφx = εφα x = 180˚κ + α, κ ∈ Ζ x = κπ + α, κ ∈ Ζ

3. Γεωμετρία:

4. Αναλυτική Γεωμετρία: Απόσταση δύο σημείων A(x1,y1)

Ορθό Πρίσμα Επ = Πβ ∙ υ V = Eβ ∙ υ

Κανονική Πυραμίδα Επ = 12 Πβ ∙ h V =

Eβ ∙ υ

3

Κύλινδρος Εκ = 2πRυ V = πR²υ

Κώνος Εκ = πRλ V = πR² ∙ υ

3

Κόλουρος Κώνος Εκ = π(R + ρ)λ V = π∙υ3 ( )R² + R∙ρ + ρ²

και B(x2,y2): d = (x2 ― x1)² + ( y2 ― y1)²

Απόσταση σημείου Σ(x1,y1) από την ευθεία Ax + By + Γ = 0 : d = | x 1 + y 1 + |

Α² + B ²

Έλλειψη x² α² +

y² β² = 1 , γ =

α² ― β² , α > β , Εστίες ( ± γ , 0 ) ,

Διευθετούσες x = ±αε Εκκεντρότητα ε =

γα

5. Παράγωγοι:

(u∙v)΄=u΄∙ v+ u ∙ v΄ , u

vˊ=

uˊ ∙ v ― u ∙ vˊ

v 2 , dydx =

dydu ∙

dudx

(ημx)ˊ = συνx , (συνx)ˊ = ― ημx , (εφx)ˊ= τεμ²x , ( )lnx ˊ = 1 x

6. Ολοκληρώματα:

τεμx dx = ln | τεμx + εφx | + c,

στεμx dx = ln|

|εφ

x2|

| + c

dx

α ² ― x ² =τοξημ

xα + c ,

dx

α ² + x ² = 1α τοξεφ

xα +c

7. Απλός τόκος: T = K∙E∙X100