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第六章曲线和曲面 ( 三 )

© 2004 Dept. of Computer Science and Engineer 23/4/19 2 / 50

主要内容：

曲线、曲面参数表示的基础知识常用的参数曲线常用的参数曲面


曲面表示：曲面表示的作用：

- 能使模型表现的质量更高，特别是构造高质量真实感模型；曲面建模方法：很多

- 方法一：类似于多面体建模，用小的，互相连接的曲面片，而不是用多边形构造模型；

- 方法二：直接定义实体对象的表面，如多面体、球体、柱体和圆锥体等，再用这些实体对象构建模型，此过程也称为实体建模；

构建模型方法：

- 加法建模：把许多简单的实体对象组合起来构建模型；- 减法建模：从给定的物体中去除某些部分，从而构建新的物体，如，在球体或立方体中挖一个柱形的洞。减法建模类似于雕塑；


曲面绘制：曲面的建模和逼近比较复杂；两种曲面的表示方法：特征网格、插值面片特征网格：用给定的节点集 Pij构造曲面；

- 直接推广 Bezier-Bernstein 和 Bezier-B 样条曲线逼近方法。- 特征网格是一个多边形网络，其顶点为 Pij

插值面片：- 描述曲面片的边界曲线，再通过边界曲线的插值，“填充”曲面片的内部；


常用的参数曲线

参数曲面的定义参数曲面的重新参数化平面、二次曲面和直纹面 Bezier 曲面 B 样条曲面 Coons 曲面常用双三次参数曲面的等价表示


参数曲面的定义参数曲面的表示：

- 显式、隐式；- 参数式：从图形学角度，更便于用计算机表示与构造；

1 、一张矩形域上的参数曲面片- 定义：由曲线边界包围，具有一定连续性的点集面片；

- 用双参数的单值函数表示（如图）：

]1,0[,

),(

),(

),(

wu

wuzz

wuyy

wuxx


参数曲面的定义- 其中为参数；- 上式可改写为：- 参数曲面片的常用几何元素：

1 ）角点：代入可得四个点：

2 ）边界线：矩形域曲面片的四条边界线是：

3 ）曲面片上一点；

4 ）点的切矢：在面片上一点处有向切矢为向切矢为：

5 ）点的法矢：该点处的法矢记为：，简记为：

wu,

)],(),,(),,([),( wuzwuywuxwup

10, 或wu ),( wup

11100100 ,,,),1,1(),1,0(),1,0(),0,1(),0,0( ppppppppp 记为：

wwuu ppppwpwpupup 1010 ,,,),,1(),,0(),1,(),0,( 记为：

jiji pwup ,),( ，简记为：jip , jip , u

uijp

wwijp

jip , ),( ji wun ijn

wij

uij

wij

uij

ijpp

ppn


参数曲面的定义 2 、常用面片的参数表示举例（ 1 ）- 在 xoy 平面上，矩形域的平面片的参数表示（如图）：

- 球面（如图）：球心坐标：半径： r 参数：纬度，经度表达式：

]1,0[,,0

,)(

,)(

wuz

bwbdy

auacx

urzz

wwuryy

uwurxx

sin

]2,0[sinsin

]2/,2/[coscos

0

0

0


参数曲面的定义常用面片的参数表示举例（ 2 ）

- 简单回转面若一条曲线绕 Z 轴旋转，会得到一张回转面；如图；

参数表达式：

)(

]2,0[sin)(

cos)(

uzz

wwuxy

wuxx


参数曲面的定义 3 、双三次参数曲面片的代数形式

- 定义：两个三次参数变量定义的曲面片；应用最广泛的一种面片；- 代数形式：- 矩阵表示：

- 若已知四个角点坐标及其切矢量，则该面片边界线的代数形式： 1 ） 2 ）

3

0

3

0

]1,0[,,),(j

jiij

i

wuwuawuP

00010203

10111213

20212223

30313233

2323 1,1

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

wwwWuuuUUAWP T

;,0 00102

203

300 auauauapw u

);()(

)()(

,1

0001020310111213

220212223

3303132331

aaaauaaaa

uaaaauaaaap

w

u


参数曲面的定义

3 ） 4 ）

4 、双三次参数曲面片的几何形式- 1 ）几何表示是基于其代数表示和边界条件：

A. 4 个角点位置矢量 B. 角点处的 8 个切点 A 、 B 共同定义边界曲线（如图：）

;,0 00012

023

030 awawawapu w

).()(

)()(,1

0010203001112131

202122232

3031323331

aaaawaaaa

waaaawaaaapu w


参数曲面的定义- 2 ）边界曲线表达式：

F 与 Hermite 曲线的调和函数相同；- 3 ）求辅助线（如图）；对曲线作 u 向切矢，可以得到一条辅助线：

类似的，另外三条辅助曲线：钮矢：其中是曲面片角点处的扭矢；

双三次曲面片上任一点的扭矢满足：

Twww

Twww

Tuuu

Tuuu

ppppFpppppFp

ppppFpppppFp

][][

][][

111011101010001000

110111011100010000

wp0

Tuwuwuuuw ppppFp ][ 000001000

wu

wu

uw ppp 101 ,,uwuwuwuw pppp 11100100 ,,,

wuij

uwij pp


参数曲面的定义- 4 ）由边界曲线和辅助线，构造双三次参数曲面片，其几何系数矩阵为：

其中：左上角子阵：矩形域的角点位置矢量；左下角子阵：角点在 u 向的切矢；右上角子阵：角点在 w 向的切矢；右下角子阵：角点的钮矢；

- 5 ）求：曲面点 pi,j 可看成曲线 Piw 和 Puj的交点，也是求一个给定参数值的参数曲线上的一点。对于两条曲线，首先确定其几何系数，进而求

uwuwuu

uwuwuu

ww

ww

pppp

pppp

pppp

pppp

11101110

01000000

11101010

00000100

jip ,

jip ,


参数曲面的定义 A ：确定几何系数

设从曲线开始，确定其几何系数：

B ：求由边界曲线，求

由边界曲线，求

由辅助曲线，求

由辅助曲线，求

上式中系数：是的简写；

wip ,wi

wiii pppp 101,0, ,,,

jip ,

0up ;: 10400310200100uu

ii PFPFPFPFpp

1up

wup 0

wup 1

;: 11401311201111uu

ii PFPFPFPFpp

;: 10400310200100uwuwwww

iwi PFPFPFPFpp

uwuwwwwi

wi PFPFPFPFPP 11401311201111 :

4321 ,,, FFFF )(),(),(),( 4321 iiii uFuFuFuF


参数曲面的定义- 6 ）几何表示的矩阵式：

由上述四式求得曲线的几何系数后，则点点处的：

令，则双三次参数曲面片的几何和表示的矩阵式为：

此处： M 和三次 Hermite 曲线的系数矩阵相同－》

iwp jw ijp

)()(

)(

)(

)(

)(

])()()()([

)()()()(

4

3

2

1

11101110

01000100

11101110

01000100

4321

14031201

wBFuF

wF

wF

wF

wF

pppp

pppp

pppp

pppp

uFuFuFuF

PwFPwFPwFPwFp

T

j

j

j

j

uwuwuu

uwuwuu

ww

ww

iiii

wij

wijijijij

WMwFUMuF )(,)(]10[,, wuWUMBMP TT

TwwwWuuuU ]1[],1[ 2323

0001

0100

1233

1122

M


参数曲面的定义- 7 ）代数形式和几何形式间的关系：

由定义的双三次参数曲面称为 Hermite 曲面或 Ferguson 曲面；

基于式 6-3-2: 和 6-3-1:

可得双三次参数曲面代数形式和几何形式之间的关系：

构造参数曲面的主要任务：构造其几何系数矩阵 B 。

5 、双三次参数曲面的切矢和钮矢- 1 ） U 向切矢：- 2 ） w 向切矢：- 3 ）钮矢：

]10[,, wuWUMBMP TT

TTwuuwTuuw

TTwwTww

TTwuTuu

WMBUMpwBFuFwup

WMUMBpwBFuFwup

WMUMBpwBFuFwup

)(,)()(),(

)(,)()(),(

)(,)()(),(

即：

即：

即：

TT AMMBMBMA 1

]10[,, wuWUMBMP TT TUAWP





参数曲面的重新参数化 1 、参数方向变反

- 最简单形式：把参数变量u 或 / 和 w 的方向变反；

- 此方式不改变曲面片的形状；

- 如图，表示对一个曲面片改变参数方向的三种情况：


参数曲面的重新参数化- 初始曲面片如图 a ，其几何系数 Ba ：

- 若参数 U 方向取反－》相应法矢方向也取反，几何系数为 Bb:- 若参数 w 方向取反－》相应法矢方向也取反，几何系数为 Bc:- 若 u,w 方向均取反－》相应法矢方向不变，几何系数如 Bd ：

uwuwuu

uwuwuu

ww

ww

d

uwuwuu

uwuwuu

ww

ww

c

uwuwuu

uwuwuu

ww

ww

b

uwuwuu

uwuwuu

ww

ww

a

pppp

pppp

pppp

pppp

B

pppp

pppp

pppp

pppp

B

pppp

pppp

pppp

pppp

B

pppp

pppp

pppp

pppp

B

00010001

10111011

00010001

10111011

10111011

00010001

10111011

00010001

01000100

11101110

01000100

11101110

11101110

01000100

11101110

01000100

,

;


参数曲面的重新参数化 2 、重新参数化的一般形式

- 一般情况如图（下页）所示：- 图 a所示曲面片参数区间从变到，从变到；其几何系数 B1 ；

- 图 b 参数区间从变到，从变到；其几何系数 B2 ；

- 对 B1 ， B2 两张曲面片，角点位置应重合，即：

- 若要求两张曲面片的参数方程仍是双三次，要求 u 和 t, w 和 v 是线性关系：

iu ju kw lw

it jt kv lv

uwjl

uwjk

ujl

ujk

uwil

uwik

uil

uik

wjl

wjkjljk

wil

wikilik

uwjl

uwjk

wjl

wjk

wil

uwik

uil

uik

wjl

wjkjljk

wil

wikikik

qqqq

qqqq

qqqq

qqqq

B

pppp

pppp

pppp

pppp

B 21 ,

jljljkjkililikik pqpqpqpq ,,,

uw

ktij

ktijtvw

kl

klvu

ij

ijt pvvtt

wwuuqp

vv

wwqp

tt

uuq

))((

))((,,



参数曲面的重新参数化 3 、参数曲面片的分割

- 给定参数曲面片，几何系数矩阵 B1 ；- 要求其子曲面片的几何系数为矩阵 B2 ；边界由及定义的参数曲线，如图：

ji uu , tk ww ,


参数曲面的重新参数化- 对于新面片，角点有如下关系：

其中 P 矢量是 B1 的元素， q 矢量是 B2 的元素；- 若令，则相应切矢和扭矢如下表示：

- 由上述 16 个表达式可以构造分割后子曲面片的几何系数矩阵 B2 ；

jliljkik pqpqpqpq 11011000 ,,,

1,1 0101 vvtt

,))((,))((

,))((,))((

,)(,)(

,)(,)(

,)(,)(

,)(,)(

1101

1000

1111

0101

1010

0000

uwilklij

tvuwilklij

tv

uwikklij

tvuwikklij

tv

wjlkl

vujlij

t

wilkl

vuilij

t

wjkkl

vujkij

t

wikkl

vuikij

t

pwwuuqpwwuuq

pwwuuqpwwuuq

pwwqpuuq

pwwqpuuq

pwwqpuuq

pwwqpuuq





平面、二次曲面和直纹面 1 、平面

- 最简洁的参数表示形式（如图）：

- 其代数形式是双三次曲面片代数形式的退化表示，即：

- 其中：说明该平面片过且平行于 r,s 矢量。其相应的几何形式为：

角点：

U 向切矢：W 向切矢：扭矢：

由此四个参数表示的几何参数矩阵：

];1,0[,,),( 00 wuwsurpwup

011000),( wauaawup ,,, 01100000 sarapa

00p

srpprpp

spppp

00110010

00010000

,

,,

rpppp uuuu 11100100

spppp wwww 11100100

011100100 uwuwuwuw pppp

00

000000

0000

rr

rr

sssrprp

ssspp

B


平面、二次曲面和直纹面 2 、二次曲面

- 球体、柱体、锥体都属于二次曲面家族；- 二次曲面用二次（ x,y 或 z ）方程定义；- 几何表示定义参数下表所示，对应图 6.3.11


平面、二次曲面和直纹面- 二次曲面的代数式定义：

- 写成矩阵：

- 上式化简可消去一次项，可得 :

- 即：－》二次曲面的判断式；- 若则方程表示一个球面，其半径为：

0222 kJzHyGxFxzEyzDxyCzByAx

KJHG

JCEF

HEBD

GFDA

szyxX

XSX T

2

2

2

2

2

1],1[

0 其中：

0

000

000

000

000

TX

k

a

X

kzyx 222 0 2/1)/( ak


平面、二次曲面和直纹面- 其余情况见下图：


平面、二次曲面和直纹面 3 、直纹面

- 定义：绕面上任一点的面法矢旋转含该法矢的平面，如果该平面至少在某一方向上有一条边和该面重叠，则此面在一个方向上是直纹面（如图：）。

如在多个方向上该平面边和此面重叠，则此面在该点有多个直纹；

最简单的直纹面是平面；二次曲面中的圆锥（台）面和圆柱面是单直纹面；

一张双曲面和双曲抛物面是双直纹面；直纹面可看作是对两条已知边界曲线的线性插值；


平面、二次曲面和直纹面- 直纹面表示：

已知两条边界曲线式：则直纹面为：

- 注意：曲面的角点和边界曲线的端点重合；直纹面的边界和线性插值边界重合：即：

- 若已知：，直纹面可以写成：

- 直纹面例子如图所示：

)1,()0,( upup

1

0]21[,)1,()1)(0,(),(u

u

p

pwQwupwupwuQ

11000000 uuuu PQPQPQ

ww PP 10 ,

w

www p

puuuPuPQ

1

010 ]1[)1(


平面、二次曲面和直纹面 4 、双线性曲面

- 单位正方形的参数空间内，以其相反边界进行线性插值而获得的面；

- 如图 ,设任一点的参数坐标：

- 其矩阵形式：

- 角点：

- 如给定四个三维点，则用上式插值得到的双线性曲面也是三维的；

- 如给定单位立方体不共面的四个点，则双线性插值面为双曲抛物面，如图：

,)1()1()1)(1( 11100100 uwpwupwupwuPQuw

w

w

pp

ppuuQuw

1]1[

1110

0100

,,,, 1111101001010000 PQPQPQPQ





Bezier曲面 1 、定义

- 基于 Bezier 曲线，能给出 Bezier 曲面的定义和性质， Bezier 曲线中的一些算法可以扩展到 Bezier 曲面的情况。

- 曲面定义：设为个空间点列，则次 Bezier 曲面定义为：

- 基函数：式中为 Bernstein 基函数；

- 特征网格：依次用线段连接点列中相邻两点所形成的空间网格为特征网格；

- Bezier 曲面的矩阵表示：

- 实际应用中 m,n 小于 4 ；

),,1,0;,,1,0( mjnipij )1()1( mnnm

m

i

n

jijnjmi pwBuBwuS

0 0,, )()(),(

jnjjnnj

imiimmi wwCwBuuCuB )1()(,)1()( ,,

),,1,0;,,1,0( mjnipij

)(

)(

)(

)](,),(),([),(

,

,1

,0

10

11110

00100

,,1,0

wB

wB

wB

ppp

ppp

ppp

uBuBuBwuS

mn

m

m

nmnn

m

m

nmnn


Bezier曲面- 1 ）双线性 Bezier 曲面：

定义：

上式定义了一张双线性 Bezier 曲面；如果已知四个角点，则：

- 2 ）双二次 Bezier 曲面：定义：

上式定义的曲面，其边界曲线及其参数坐标曲线均为抛物线；- 3 ）双三次 Bezier 曲面：

定义：

]1,0[,)()(),(,11

0

1

01,1,

wupwBuBwuSnmi j

ijji时当

11100100 )1()1()1)(1(),( uwppwuwpupuwwuS

]1,0[,,)()(),(,22

0

2

0,2,2,

wupwBuBwuSnmi j

jiji时当

]1,0[,)()(),(,33

0

3

03,3,

wupwBuBwuSnmi j

ijji时当


Bezier曲面上式的矩阵形式：

双三次 Bezier 曲面如图所示－》

0001

0033

0363

1331

],1[],1[

),(

)(

)(

)(

)(

])()()()([),(

2323

3,3

3,2

3,1

3,0

33323130

23222120

13121110

03020100

3,33,23,13,0

z

TTzzz

MwwwWuuuU

WMBUMwuS

wB

wB

wB

wB

pppp

pppp

pppp

pppp

uBuBuBuBwuS

其中：


Bezier曲面

式中参数阵的作用：- 1 ）是曲面特征网格 16 个控制顶点的几何位置矩阵，其中

在曲面片的角点处；

- 2 ）阵四周的 12 个控制点定义四条 Bezier 曲线，即曲面片的边界曲线；

- 3 ）阵中央的四个控制点与边界曲线无关，但也影响曲面的形状；

zB

zB

33300300 pppp ，，，

zB

zB 22211211 pppp ，，，


Bezier曲面 2 、 Bezier 曲面片的拼接

- 已知两张双三次 Bezier 曲面片：

- 令：

- 相应特征网格如图：- 1 ）达到连续此时：

]1,0[,),(

),(

22

11

wu

WMBUMwuS

WMBUMwuSTT

zzz

TTzzz

)3,2,1,0,(

)3,2,1,0,(

2

1

jiQB

jipB

ijz

ijz

21,SS 0C

]1,0[.3,2,1,0][][]1111[]1000[

]1111[]1000[),0(),1(

132012

1221

wiPQBMBM

WMBMWMBMwSwS

iizzzz

TTzzz

TTzzz


Bezier曲面- 2 ）达到连续此时在区间，在处的切矢和在处的切矢必须相同，即两个曲面在公共边界处的法矢必须连续，其表达式为：

分为两种情况讨论：a)设

将位置矢量和代入上式有：

表示这四串点列应位于同一条直线上；

21,SS 1C

),1(),1()(),0(),0( 1122 wSwSwwSwS wuwu

]1,0[w1S 1u 2S 0u

12

12

12

]0123)[(]0100[

]1,0[),,1()(),0(

),1(),0(

zzzz

uu

ww

BMwBM

wwSwwS

wSwS

ZM

21201312

12132021

][,][][,][

0)(

3,2,1,0),][])([(][][

iiii

iiii

QQpp

w

ippwQQ


Bezier曲面

b)设：

说明过边界曲线上的一点作切平面，则上的应位于此切平面内，式中为任意正数，是 w 的一次方程；

]1,0[),1()(),1()(),0( 112 wwSwrwSwwS wuu

1S 2S ),0(2 wS)(w )(wr





B 样条曲面 1 、定义

- 曲面定义：基于均匀 B 样条的定义和性质，可得 B 样条曲面的定义；设有个空间点列，则

定义了 k×l 次 B 样条曲面；

- 基函数：式中分别为 k 次和 l 次的 B 样条基函数。

- 特征网格：有组成的空间网格称为 B 样条曲面的特征网络；- 矩阵表示：

式中 y,z 分别表示在 u,v 参数方向上曲面片的个数：

是某个 B 样条面片的控制点编号；

)1)(1( nm ),,1,0;,,1,0( njmiPij

m

i

n

jljkiij vuvNuNPvuS

0 0,, ]1,0[,),()(),(

)(),( ,, vNuN ljki

ijP

]1,0[,],2:1[],2:1[

,),(

vulnzkmy

VMPMUwuS Tl

Tlklkkyz

]2:1[],2:1[,

]1,,,,[],1,,,,[ 1221

lzzjkyyiPP

vvvVuuuU

ijkl

lll

kkk

klP


B 样条曲面- 最常用的 B 样条曲面是二次、三次 B 样条曲面；- 1 ）均匀双二次 B 样条曲面：

已知曲面的控制点

则构造步骤：（ 1 ）沿 v 或 u 向构造均匀二次 B 样条曲线，有：

2,1,0,,),2,1,0,( lkvuvujiPij 且参数

TTB

TTB

TTB

B

VMPPPvPVMPPPvP

VMPPPvP

P

P

P

VM

P

P

P

vvvP

][)(,][)(

][)(

011

022

121

]1[)(

22212021211101

0201000

02

01

00

02

01

002

0

同上可得：

转置后：


B 样条曲面

ijP ijPijP

（ 2 ）再沿 u 或 v 向构造均匀二次 B 样条曲线，即可得均匀双二次 B样条曲面：

- 2 ）均匀双三次 B 样条曲面：已知曲面的控制点构造步骤：（ 1 ）沿 v 或 u 向构造均匀三次 B 样条曲线（ i=0,1,2,3 ），有：

TTBB

TTBBB

VPMUMvuS

VM

PPP

PPP

PPP

UM

vP

vP

vP

UMvuS

),(

)(

)(

)(

),(

222120

121110

020100

2

1

0

简记为：

1,0,,),32,1,0,( vuvujiPij 且参数，

TTB

TTB

TTB

TTB

VMPPPPvPVMPPPPvP

VMPPPPvPVMPPPPvP

][)(,][)(

][)(,][)(

333231303232221202

131211101030201000


B 样条曲面（ 2 ）再沿 u 或 v 向构造均匀三次 B 样条曲线，即可得均匀双三次 B样条曲面：

可认为是顶点沿滑动，每组顶点对应相同的 v ，当v 由 0 到 1 连续变化，即形成 B 样条曲线；

0141

0303

0363

1331

6

1

,

)(

)(

)(

)(

),(

33323130

23222120

13121110

03020100

3

2

1

0

B

TTBBB

M

PPPP

PPPP

PPPP

PPPP

PVPMUM

vP

vP

vP

vP

UMvuS

)(vpi


B 样条曲面 3 、反求均匀 B 样条曲面的控制点

- 已知型值点：- 求相应均匀双三次 B 样条曲面的控制点列：

- 1 ）双向曲线反算法：（ 1 ）求特征多边形- 对 u 向的 m 组型值点，按照 B 样条曲线的边界条件以及反算公式，求得由 m 组 B 样条曲线构成的特征多边形，顶点为：

（ 2 ）求特征网格控制点- 每条曲线均要加两个边界条件－》可得 (n+2)×m 个特征网格控制点- 把边 Vi,j 看作是 v 向的 m 组型值点，再作 (n+1) 次 B 样条曲线反算，即可得双三次 B 样条曲面的特征网格控制点：

),,2,1;,,2,1( mjniQij

)1,,2,1,0;1,,1,0( mjniPij

),,2,1;1,,1,0( mjniVij

)1,,2,1,0;1,,1,0( mjniPij


B 样条曲面- 2 ）广义矩阵法：

以均匀双三次B 样条曲面为例：

QUVUVUVP

P

QVUP

UPVQ

PPvNVuNUQQ

vuvNuNP

vuSmsnrQ

TT

ijjirs

n

i

m

jjiij

srrs

1

11

3,3,

0 03,3,

)(

:

VU

VU

][),(),(],[

]1,0[,)()(

),(),,2,1;,2,1(

求则可以通过广义逆矩阵不一定为方阵，、若考虑边界条件，

存在逆矩阵是正定矩阵，则上式可写为：

令





Coons 曲面

Coons曲面 1964年，美国麻省理工学院 S.A.Coons提出一种曲面分片、拼合造型的思想， Bezier曲面和 B样条曲面的特点是曲面逼近控制网格， Coons曲面的特点是插值，即通过满足给定的边界条件的方法构造 Coons曲面 Coons曲面的特点

属于构造插值曲面的方法，曲面构造的几何意义明确且曲面的表达式简洁，用于构造给定型值点的曲面，不适用于进行曲面设计。原因：在曲面设计的初级阶段，设计者对其所设计产品的外形仅有粗略的概念。为得到满意的外形，需要不断地修改型值点的位置。


Coons 曲面

由于扭矢的几何意义不明显，设计人员难以把握，难以提供精确的角点信息，使曲面的形状不易控制

不具备局部性。修改任意一个型值点都会影响整张曲面的形状，而其形状变化又难以预测

- 基本概念假定参数曲面方程为 P(u, v), u,v€[0, 1]曲面片的四条边界

- P(u,0), P(u,1), P(0,v), P(1,v)曲面片的四个角点

- P(0,0), P(0,1), P(1,0), P(1,1)


Coons 曲面

边界线 P(u,0)上的切矢：同理： Pu(u,1), Pv(0,v), Pv(1,v)也是边界线上的切矢边界曲线的跨界切矢 : 边界曲线 P(u,0)上的法向(指参数 v向 )偏导矢同理， Pv(u,1), Pu(0,v), Pu(1,v)也是边界曲线的跨界切矢

u线和 v线上的切矢： P(u,v)的 u向和 v向求偏导矢：


Coons 曲面

混合偏导矢或扭矢 : 反映 Pu对 v的变化率或 Pv对 u

的变化率

角点 P(0,0)的扭矢 : 曲面片上的每个角点都有这样的扭矢

角点 P(0,0)的 u向和 v向切矢 :在曲面片的每个角点上都有两个这样的切矢量


Coons 曲面

双线性 Coons曲面如果给定四条在空间围成封闭曲边四边形的参数曲线 P(u,0),P(u,1),


Coons 曲面

问题的解有无穷多个，看一种最简单的情况。首先，在 u向进行线性插值，可以得到以 P(0,v)和 P(1,v)为边界的直纹面 P1(u,v) :

再在 v向进行线性插值，可以得到以 P(u,0)和 P(u,1) 为边界的直纹面 P2

(u,v)：

如果把 P1(u,v)和 P2(u,v)叠加，产生的新曲面的边界是除给定的边界外，迭加了四条连接边界两个端点的直边。为此，再构造分别过端点 P(0,0)、

P(0,1)及 P(1,0)、 P(1,1)的直线段：


Coons 曲面

然后，以这两条直线段为边界，构造直纹面 P3(u,v)：

P(u,v)=P1(u,v)+P2(u,v)-P3(u,v), u,v€[0,1] 便是所要求构造的面 (四条直线边界被减掉 )，称之为双线性 Coons曲面片。 P(u,v)可进一步改写成矩阵的形式：


Coons 曲面

右端的三阶方阵包含了曲面的全部边界信息，称之为边界信息矩阵，其右下角二阶子块的四个矢量是曲面边界的端点，称之为曲面的角点。用双线性 Coons曲面片来进行曲面拼合时，可以自动保证整张曲面在边界的位置连续


Coons 曲面

双三次 Coons曲面双线性 Coons曲面能够自动保证各曲面片边界位置连续，曲面片边界的跨界切矢是否也同样连续？对 (3.1.20)对 v求偏导后，代入 v=0，可得的跨界切矢： (计算略 )

可见，跨界切矢不仅与该边界端点的切矢有关，还与该边界曲线有关。因此，双线性 Coons曲面在曲面片的边界上，跨界切矢一般不连续，也就是说，不能达到曲面片的光滑拼接


Coons 曲面

四条边界曲线的跨界切矢为：

不妨取 Hermite基函数 F0, F1, G0, G1作为调和函数，以类似于双线性 Coon

s曲面的构造方法，构造双三次 Coons曲面。在 u向可得曲面 P1(u,v):

为构造光滑拼接的 Coons曲面，除了给定边界信息外，还要给定边界的跨界切矢。也就是说，构造出的 Coons曲面片不仅以给定的四条参数曲线为边界，还要保持四条曲线的跨界切矢。假定四条边界曲线为：


Coons 曲面

在 v向可得曲面 P2(u,v)：

对角点的数据进行插值，可得曲面 P3(u,v)：


Coons 曲面

跨界切矢就是已经给定的四条边界曲线和四条边界曲线的跨界切矢，称为双三次 Coons曲面片。 P(u,v)改成矩阵的形式为：


Coons 曲面

- 在式 (3.1.21)右边的五阶方阵 (即边界信息矩阵 )中，第一行与第一列包含着给定的两对边界与相应的跨界切矢，剩下的四阶子方阵的元素由四个角点上的信息组成，包括角点的位置矢量、切矢及扭矢

- 观察方程 (3.1.20)与 (3.1.21)，可以发现：对曲面片满足边界条件的要求提高一阶，曲面方程中的边界信息矩阵就要扩大二阶，并且要多用一对调和函数；边界信息矩阵的第一行与第一列包含着全部给定边界信息；余下的子方阵则包含着角点信息。认识了这些规律后，就能容易地构造出满足更高阶边界条件的 Coons曲面方程





常用双三次参数曲面的等价表示已知：双三次 Hermite, Bezier, B 样条曲面的矩阵表达：

0141

0303

0363

1331

6

1,

0001

0033

0363

1331

,

0001

0100

1233

1122

),(

),(

),(

Bz

H

TTBBBB

TTzzzz

TTHHHH

MM

M

WMBUMvuS

WMBUMvuS

WMBUMvuS

其中：


常用双三次参数曲面的等价表示问题：已知上述三种表示形式的一种，求其它二种：

- 1 ）已知 Bezier 表示，求 Hermite 和 B 样条表示的和：对同一张曲面，有：

则

- 2 ）已知 Hermite 表示，求 Bezier 和 B 样条表示的和：对同一张曲面，有：

则

- 3 ）已知 B 样条表示，求 Bezier 和 Hermite 表示的和：对同一张曲面则

Tzzz

TBBB

Tzzz

THHH MBMMBMMBMMBM

TB

TzzzBB

TH

TzzzHH MMBMMBMMBMMB 11

BBZB

THHH

TBBB

THHH

Tzzz MBMMBMMBMMBM

TB

THHHBB

TZ

THHHZZ MMBMMBMMBMMB 11

HBZBTBBB

THHH

TBBB

Tzzz MBMMBMMBMMBM

TH

TBBBHH

TZ

TBBBZZ MMBMMBMMBMMB 11

BBHB


谢谢 !

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