Линейные коды
Коды Рида-Маллера
Задание булевых функций с помощью таблиц
1
0
1
0
),( 21 xxf
1x
0 0 0
0 1 1
1 0 0
1 1 1
2x ),( 21 xxf
Задание булевых функций с помощью формул Определение
• ДНФ
• КНФ
• Полином Жегалгина (полином Рида-Маллера)
Степень булевой функции
kxxx
ейсомножителчисло
коньюнкциистепень
kiii
...deg
:
21
Степень булевой функции
)(
,
),...,(deg
:
21
МаллераРидаполином
Жегалкинаполиномввходящих
конъюнкцийстепенейизнаибольшая
xxxf
функциибулевойстепень
n
Пример
3deg 431 xxx
коньюнкциистепень
2
),...,( 3221121
равна
xxxxxxxxf
функциистепень
n
Покомпонентное произведение кодовых слов
Tn
Tn bbbиaaa ),...,,(),...,,( 110110
Tnn bababa ),...,,( 111100
Пример покомпонентного произведения
TT и )11011011()01110101(
T)01010001(
Определение
• Код Рида-Маллера порядка r (РМ-r – код) – это множество булевых функций степени не выше r.
Пример кодов длины 4• Всего 16 функций:
1
1
1
1
,
0
0
0
0
1,0:0степени
1
0
0
1
,
0
1
1
0
,
0
1
0
1
,
0
0
1
1
,
1
0
1
0
,
1
1
0
0
1,,1,1,,:1 21212121 xxxxxxxxстепени
0
0
0
1
,
1
1
1
0
,
1
1
0
1
,
1
0
1
1
,
0
0
1
0
,
0
1
0
0
,
0
1
1
1
,
1
0
0
0
...,1,:2 1111111 xxxxxxxстепени
Пример кодов длины 4• Всего 16 функций:
1
1
1
1
,
0
0
0
0
:0 кодРМ
1
0
0
1
,
0
1
1
0
,
0
1
0
1
,
0
0
1
1
,
1
0
1
0
,
1
1
0
0
,
1
1
1
1
,
0
0
0
0
:1 кодРМ
словвсекодРМ 16:2
Порождающая матрица РМ-1 – кода длины 8
Пример.
10
1111
0111
1011
0011
1101
0101
1001
0001
GGG
321 xxx1
Порождающая матрица РМ-2 – кода длины 8
Пример.
210
323
11
00
01
00
10
00
00
00
11111
10111
01011
00011
01101
00101
01001
00001
GGGG
xxxxxxxxx1 121321
Порождающая матрица РМr-кода
rGGGG ...10
Параметры РМ-r - кода
Длина кода
Число информационных разрядов
Минимальное расстояние
rmm CCmk ...1 2
mn 2
rmd 2min
Пример параметров РМ-2 - кода
Длина кода
Число информационных разрядов
Минимальное расстояние
1164141 24 Ck
4,1624 mn
42min rmd
Пример параметров РМ-3 - кода
Длина кода
Число информационных разрядов
Минимальное расстояние
15464141 34
24 CCk
4,1624 mn
22 34min d
Кодированиe – блоки информационного и кодового
слова
rr
r
r
GGG
GGGG
...
......
1100
1
0
10
Пример
21
0
1
0
1
111
001
010
000
100
000
000
000
0
0
1
111
011
101
001
110
010
100
000
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
11
00
01
00
10
00
00
00
11111
10111
01011
00011
01101
00101
01001
00001
GG
G
G
Построение проверок - на примере РМ-1 кода длины 16
4
3
2
1
0
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
11111
01111
10111
00111
11011
01011
10011
00011
11101
01101
10101
00101
11001
01001
10001
00001
a
a
a
a
a
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
Построение проверок - на примере РМ-1 кода длины 16
03210
4303
302
401
00
cccc
aaac
aac
aac
ac
4
3
2
1
0
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
11111
01111
10111
00111
11011
01011
10011
00011
11101
01101
10101
00101
11001
01001
10001
00001
a
a
a
a
a
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
Построение проверок - на примере РМ-1 кода длины 16
0
0
0
0
6420
5410
7654
43207
3206
4205
204
3210
4303
302
401
00
cccc
cccc
cccc
aaaac
aaac
aaac
aac
cccc
aaac
aac
aac
ac
4
3
2
1
0
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
11111
01111
10111
00111
11011
01011
10011
00011
11101
01101
10101
00101
11001
01001
10001
00001
a
a
a
a
a
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
Построение проверок - на примере РМ-1 кода длины 16
0
0
0
0
0
111098
431011
31010
4109
108
6420
5410
7654
43207
3206
4205
204
3210
4303
302
401
00
cccc
aaaac
aaac
aaac
aac
cccc
cccc
cccc
aaaac
aaac
aaac
aac
cccc
aaac
aac
aac
ac
4
3
2
1
0
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
11111
01111
10111
00111
11011
01011
10011
00011
11101
01101
10101
00101
11001
01001
10001
00001
a
a
a
a
a
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
Построение проверок - на примере РМ-1 кода длины 16
..
0
0
0
0
0
0
0
0
1412108
131298
15141312
432015
32014
42013
2012
111098
431011
31010
4109
108
6420
5410
7654
43207
3206
4205
204
3210
4303
302
401
00
дти
cccc
cccc
cccc
aaaac
aaac
aaac
aac
cccc
aaaac
aaac
aaac
aac
cccc
cccc
cccc
aaaac
aaac
aaac
aac
cccc
aaac
aac
aac
ac
Построение проверок - на примере РМ-1 кода длины 16 – шаг 1
1514
1312
1110
98
76
54
32
104
cc
cc
cc
cc
cc
cc
cс
cca
4
3
2
1
0
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
11111
01111
10111
00111
11011
01011
10011
00011
11101
01101
10101
00101
11001
01001
10001
00001
a
a
a
a
a
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
Построение проверок - на примере РМ-1 кода длины 16 – шаг 1
1513
1412
119
108
75
64
31
203
cc
cc
cc
cc
cc
cc
cc
cca
4
3
2
1
0
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
11111
01111
10111
00111
11011
01011
10011
00011
11101
01101
10101
00101
11001
01001
10001
00001
a
a
a
a
a
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
Построение проверок - на примере РМ-1 кода длины 16 – шаг 1
1511
1410
139
128
73
62
51
402
cc
cc
cc
cc
cc
cc
cc
cca
4
3
2
1
0
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
11111
01111
10111
00111
11011
01011
10011
00011
11101
01101
10101
00101
11001
01001
10001
00001
a
a
a
a
a
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
Построение проверок - на примере РМ-1 кода длины 16 – шаг 1
157
146
135
124
113
102
91
801
cc
cc
cc
cс
cc
cc
cc
cca
4
3
2
1
0
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
11111
01111
10111
00111
11011
01011
10011
00011
11101
01101
10101
00101
11001
01001
10001
00001
a
a
a
a
a
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
Построение проверок - на примере РМ-1 кода длины 16 – шаг 2
1514
1312
1110
98
76
54
32
100
cc
cc
cc
cс
cc
cc
cс
cca
0
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
а
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
Мажоритарное декодирование РМ - кодов
• Строятся проверки для
• Затем – для и т.д.
• На последнем шаге исправляется
провероквсего rmr
2провероквсего rm
r1
1 2
провероквсегоa m200
Recommended
