האנרגיה ושימור פוטנציאלית האנרגיה אנרגיה ושימור פוטנציאלית אנרגיההפריהיסטורית בתקופהחצבו הפסחא איי תושביבמחצבה ענקיות אבנים

אותם גררו מכן ולאחר . ברור לא האי בכל לאתרים

להוביל יכלו כיצד היום עדעד של למרחק 10אותם

מכונות" ללא מ קוהרבה, מתוחכמות

. הוצעו תיאוריות

" אמצעים י ע אחד פסל להזיז הדרושה האנרגיה מהיפרימיטיביים?

פוטנציאליתפוטנציאלית אנרגיהאנרגיהעקב לגוף השייכת האנרגיה היא קינטית אנרגיה כזכור

מהירותו.של לקונפיגורציה השייכת האנרגיה היא פוטנציאלית אנרגיה

. אם השני על אחד כוח המפעילים גופים מערכתמשתנית הפוטנציאלית האנרגיה גם משתנית הקונפיגורציה

.) כלל) בדרך: פוטנציאלית אנרגיה של סוגים

גופים 1. של למערכת שייכת גרביטציונית פוטנציאלית אנרגיה. " גרביטציוני משיכה כוח י ע לשני אחד הנמשכים נפרדים

ההפרדה בין הרמת משקולת מעל הראש מגדילה אתהמשקולת וכדור הארץ. הכוח שבעזרתו הורמה המשקולת שינה את האנרגיה הפוטנציאלית של המערכת משקולת –

.כדור הארץ

או .2 לדחיסה שייכת אלסטית פוטנציאלית אנרגיה. אלסטי גוף של למתיחה

. עבודה לעשות צורך יש אלסטי גוף לדחוס או למתוח כדיכדי כוח להפעיל יש ולכן עליו שפועלת לפעולה מתנגד הגוף

. העבודה את לבצע

הקשר בין העבודה שנעשית על גוף והשינוי באנרגיה .K = W הואהקינטית שלו

כאשר זורקים גוף כלפי מעלה כוח הגרביטציה עושה עבודה שלילית כיון שהכוח מעביר אנרגיה

קינטית מהגוף. האנרגיה מועברת לאנרגיה פוטנציאלית של המערכת ארץ – גוף.

בזמן הנפילה העברת האנרגיה משנה כיוון. העבודה ע"י כוח הגרביטציה היא חיובית, והכוח מעביר

אנרגיה פוטנציאלית מהמערכת ארץ – גוף לאנרגיה הקינטית של הגוף.

באנרגיה Uמהנפילה או מהעלייה ניתן להגדיר את השינוי הפוטנציאלית

U = -W

 גוף קשור לקפיץ.

, , ומעביר שלילית עבודה עושה שמאלה שכוונו הקפיץ כוחשל הפוטנציאלית לאנרגיה הגוף של הקינטית מהאנרגיה

. , שמאלה. לנוע ומתחיל נעצר מואט הגוף המערכת

מהירות לגוף נותניםימינה התחלתית

פועל עדיין הקפיץ כוחהאנרגיה. מעבר שמאלה

, מאנרגיה הפוך בכיוון הואפוטנציאלית

של המערכת לאנרגיה הקינטית של הגוף.

כוחות משמרים ומכליםכוחות משמרים ומכלים

: האחרונות לדוגמאות יותר כללית מסגרת

1. גופים. שני לפחות כוללת מערכת כל

2. המערכת. שאר ובין במערכת גוף בין פועל כוח

על W1. כאשר הקונפיגורציה משתנית, הכוח עושה עבודה 3בין צורות אחרות של ל Kבין האנרגיה הקינטית , ומעבירףהגו

אנרגיה של המערכת.

. כאשר השינוי בקונפיגורציה מתהפך, הכוח הופך את 4. W2מעבר האנרגיה ועושה עבודה

Conservative and Nonconservative ForcesConservative and Nonconservative Forces

,W1 = – W2 תמיד מתקיים ה שבערכתבמ

, אנרגיה פוטנציאליתאנרגיה פוטנציאליתהצורה השניה של האנרגיה היא והכוח הוא כוח משמר. כוח הגרביטציה והכוח האלסטי של

הקפיץ הם כוחות משמרים. אחרת לא היינו מדברים על האנרגיה הפוטנציאלית שלהם.

למיניהם והגרר החיכוך משמרים הםכוחות בלתי .כוחות

. , כוח מואט הוא חלק לא משטח על לגוף דחיפה נותנים כאשרקינטית אנרגיה ומעביר הגוף על שלילית עבודה עושה החיכוך

, השייכת הקינטית האנרגיה שהיא תרמית לאנרגיה מהגוף . והמולקולות האטומים .לתנועת הפיך אינו זה .תהליך הפיך אינו זה תהליך

משמרים משמרים כוחות כוחות

העבודה שעושה כוח משמר על חלקיק הנע : Iניסוח במסלול סגור היא אפס.

העבודה שעושה כוח משמר על חלקיק הנע : IIניסוח בין שתי נקודות אינו תלוי במסלול שבו נע החלקיק.

כיצד נקבע אם כוח הוא כוח משמר?

וחזרה, ונראה b ל - aניתן לכוח לפעול על חלקיק מנקודה בכיוון הלוך שווה מרוויח חלקיק שה הקינטיתאם האנרגיה

בכיוון חזור. הקינטית שהוא מפסידלאנרגיה

a

b1

2

Wab,1 =Wab,2

Wab,1 + Wba,2 = 0

Wab,1 = – Wba,2

Wab,2 = – Wba,2

הפוטנציאלית האנרגיה חישוב

פועל על גוף המהווה חלק ממערכת. הכוח Fכוח משמר . Wעושה עבודה

xf

W = ∫F(x) • dx = – U xi

: גרביטציונית פוטנציאלית אנרגיה yf yf

U = – ∫(– mg)dy = mg ∫dy = mg (yf – yi) yi yi

U = mg y

U – Ui = mg (y – yi)

Ui נמצא שהוא כגוף היא האנרגיה הפוטנציאלית של

נקודתבדרך כלל בוחרים את. yiבנקודת ייחוס בגובה

הייחוס בגובה אפס. כלומר

Ui = 0 כאשר yi = 0.

האנרגיה הפוטנציאלית של מערכת אדמה – גוף תלויה רק . y=yi של החלקיק מעל האדמה יחסית לנקודה yבגובה

היא אינה תלויה במיקומו האופקי של הגוף.

: אלסטית פוטנציאלית אנרגיה

xf xf

U = – ∫(– kx)dx = k ∫x dx xi xi

U = (½)kxf2 – (½)kxi

2

. xi = 0נקודת הייחוס היא במצב שיווי המשקל של הקפיץ בו

U = (½)kx2

. kלקפיץ קבוע כוח כאשר הגוף נע מנקודה

xi לנקודה xf כוח הקפיץ F = -kx עושה עבודה על

הגוף.

בזמן x = xf -עד x = 0 מ xחלקיק נע לאורך ציר ה - , פועל עליו. בציור להלן xשכוח משמר, המכוון לאורך ציר

מתוארים שלושה מקרים של כוחות שונים. הם בעלי אותו דרג את שלושת . F1ערך מקסימלי של הכוח שערכו שווה ל –

המקרים לפי השינוי באנרגיה הפוטנציאלית שלהם.

xf xf xf

F1F1

F1

xf

U = – F(x) dxxi

i ii iii

i. xf

U = – [F1 – (F1/xf) x] dx = – [F1xf – (½)(F1/xf) xf2]

0U = –( ½) F1xf

ii. xf

U = – F1 dx = – F1xf

0

iii. xf

U = – [– F1 + (F1/xf) x] dx = –[– F1xf + (½)(F1/xf) xf2]

0U = (½) F1xf

המכנית האנרגיה המכנית שימור האנרגיה שימור

הקינטיות האנרגיות סכום היא המכנית האנרגיהוהפוטנציאליות.

Emec = K + U

. כלומר במערכת חיצוני כוח פועל לא בו במקרה נטפל. מהסביבה מבודדת המערכת

על גוף בתוך מערכת, הוא Wכאשר כוח משמר עושה עבודה של הגוף והאנרגיה Kמעביר אנרגיה בין האנרגיה הקינטית

של המערכת.Uהפוטנציאלית

K = W: באנרגיה הקינטית השינוי U = – W :השינוי באנרגיה הפוטנציאלית

. K + U=0 : והתוצאה

K + U = 0

K2 – K1 = –( U2 –U1)

K2 + U2 = K1 + U1

Emec,2 = Emec,1שימור האנרגיה המכנית

בלבד משמרים כוחות פועלים שבה מבודדת במערכת , להשתנות יכולות הפוטנציאלית והאנרגיה הקינטית האנרגיה

. קבועה נשארת המערכת של המכנית האנרגיה אבל

זהו חוק שימור האנרגיה המכנית והוא מאפשר לנו לפתור של ניוטון.II בעזרת חוק שקשה לפתור אותןבעיות

דוגמה לשימור אנרגיה. כאשר המטוטלת נעה מצד לצד האנרגיה של המערכת ארץ – מטוטלת נעה הלוך

וחזור בין אנרגיה קינטית ואנרגיה פוטנציאלית

גרביטציונית. ידיעת האנרגיה הפוטנציאלית בנקודה הגבוהה ביותר

נותנת את האנרגיה הקינטית בנקודה הנמוכה

ביותר.

מקרים. במקרה הראשון גוף 4בתמונה המצורפת מתוארים נופל נפילה חופשית. בשלושת המצבים הבאים הגוף מחליק

במורד משטח חסר חיכוך. באיזה מקרה יש לגוף את ובאיזה מקרה Bהמהירות הגבוהה ביותר בהגיעו לנקודה

תהיה לו את המהירות הנמוכה ביותר.

ק"ג 61 שמשקלה bungeeקופצת קשורה לחבל קופצת מגשר שגובהו

L מטר וקשורה למיתר שאורכו45 מטר. המיתר מקיים את חוק 25 הוא

. N/m 160הוק עם קבוע כוח של הקופצת נעצרת לפני המים. באיזה

נמצאים רגליה מעל המים. hגובה

. ניתן למצוא dהמיתר מתארך ב - אותו מתוך שימור האנרגיה בין

המצב ההתחלתי והסופי.

K + Ue + Ug = 0

Ug = mg y = – mg ( L +d )Ue = (½)kd2K = 0

0( + (½kd2 – mg ( L +d ) = 0

(½)d2 – mgd/k – mgL/k =0

d = (mg/k) ± (m2g2/k2 +2mgL/k)½

d = 17.9 m

רגלי הקופצת הם במרחק של= 42.9 m 25 + 17.9 מתחת

מטר מעל 2.1לגשר, כלומר המים.

. הפוטנציאלית האנרגיה עקומת .קריאת הפוטנציאלית האנרגיה עקומת קריאת

נתון חלקיק שהוא חלק ממערכת שבה פועל כוח משמר. . xנניח כי החלקיק מוגבל רק לתנועה לאורך ציר ה –

מסקנות להסיק ניתןתנועת על רבותמתוך החלקיק

האנרגיה עקומתהפוטנציאלית

. בצד המתוארת

U(x)

הכוח . 1 חישוב

U = – W = – F(x) x

F(x) = – U/x

F(x) = – dU/dxמעבר לגבול נותן הו

U(x) = ½kx2במקרה של קפיץ

U(x) = mgx במקרה של גרביטציה

F(x) = – kx הואוהכוח הפועל

F(x) = – mg הואוהכוח הפועל

הפוטנציאלית. 22 האנרגיה הפוטנציאלית. עקומת האנרגיה עקומת

נתונה עקומת אנרגיה .U(x)פוטנציאלית

הפועל על F(x)את הכוח החלקיק ניתן לחשב

)באופן גרפי( מתוך הנגזרת של האנרגיה

הפוטנציאלית.

תהיה התוצאה

. הזזתו ימינה x2הגוף נמצא ב – חיובי U(x)היא לאזור שבו שיפוע

ולכן הכוח הוא שלילי, כלומר פועל שמאלה חזרה לנקודת שיווי המשקל. הזזתו שמאלה

היא לאזור שבו השיפוע שלילי ולכן הכוח פועל ימינה ומחזיר

את הגוף לנקודת שיווי המשקל. לכן הנקודה היא נקודת שיווי

משקל יציב.

היא נקודת שיווי משקל רופף. הוצאת הגוף משיווי x3הנקודה משקל יתבטא בכוח שירחיק את הגוף מנקודת שיווי המשקל.

חזרה. 3 נקודותבלתי כוחות בהעדר

משמריםU(x) + K(x) = Emec

K(x) = Emec – U(x)Emec = 5Jנניח כי

K(x2)=5JK(x>x5) = 1J

הקינטית האנרגיה. הגוף במיקום תלויה

האנרגיה הקינטית אינה יכולה להיות שלילית. החלקיק אינו מגיע לנקודה זו . כאשר החלקיקx1יכול להיות משמאל ל –

מימין, מהירותו היא אפס, והוא אינו יכול לנוע שמאלה. הכוח הפועל עליו הוא חיובי )פועל ימינה( ולכן הוא מתחיל

. נקודת חזרההיאלנוע ימינה. נקודה זו

משקל. 4 שווי נקודות

x0

x < x0בנקודות x = x2 x = x3x = x4x >x5

, הגוף ולכן מתאפס הכוח . משקל בשיווי נמצא

שווי x > x5ו – x <x0בנקודות המשקל הוא אדיש. הזזת הגוף

אינה משנה את האנרגיה הפוטנציאלית שלו.

הן נקודות שיווי משקל יציב. הזזת הגוף x4 ו – x2נקודות דוחף dU/dx – . הכוחU(x)מנקודת שיווי המשקל מגדילה את

את הגוף חזרה לנקודת שיווי המשקל.

. " חיצוני כוח י ע מערכת על הנעשית .עבודה " חיצוני כוח י ע מערכת על הנעשית עבודה

" י ע מהמערכת או למערכת המועברת אנרגיה היא עבודה . העבודה המערכת על אחד מכוח יותר פועל אם חיצוני כוח

. למערכת המועברת האנרגיה היא הנקיה

במערכת של חלקיק בודד העבודה הנעשית ע"י כוח חיצוני ( בלבד. K=Wיכולה לשנות את האנרגיה הקינטית )

במערכת כזו יש רק אנרגיה אחת בלבד, האנרגיה הקינטית חלקיקית למשל(, -של החלקיק. במערכת יותר מורכבת )רב

עבודת הכוח החיצוני יכולה לשנות גם את האנרגיה הפוטנציאלית. נמצא קשר בין עבודת הכוח החיצוני ובין

אנרגיות המערכת.

: חיכוך ללא מערכת

בזריקת כדור כלפי מעלה, היד נעה כלפי מעלה ומפעילה כוח חיצוני על הכדור. יש שינוי במהירות הכדור ובמרחקו

מכדור הארץ. כלומר יש שינוי באנרגיה הקינטית של הכדור ובאנרגיה הפוטנציאלית של המערכת ארץ – כדור.

W

W = K + U

W = Emec

Emec = K + U

חיכוך עם מערכת

v0

Ffk

d

v פועל על גוף לאורך Fכוח קבוע , ומגדיל את מהירותו מ - dהעתק

v0 .- לv במשך התנועה פועל .fkחיכוך קינטי

F – fk = mav2 = v0

2 + 2ad

a = (F – fk) / m

v2 = v02 + 2 d (F – fk) / m

Fd = ½mv2 – ½mv02 + fkd

Fd = K + fkd

שינוי גם להיות יכול כללי ובאופן , אם הפוטנציאלית באנרגיהמישור על ינוע הגוף למשל

משופע.

Fd = Emec + fkd

הוא עליו והמשטח הגוף לחימום גורם החיכוך כי הראו ניסויים . הגופים. שני של הטמפרטורה להעלאת גורם החימום נע

. ככל שלו התרמית לאנרגיה קשורה גוף טמפרטורת . , יותר גבוהה התרמית האנרגיה יותר גבוהה שהטמפרטורה

. החיכוך כוח מעבודת כתוצאה גדלה התרמית האנרגיה

Eth = fkdFd = Emec + Eth

W = Emec + Eth

החיצוני הכוח שעושה העבודהשל המכנית האנרגיה את משנה

. התרמית האנרגיה ואת המערכת

W Emec

Eth

ממקום כנראה הובלו הפסחא שבאי הגדולים האבן פסליעל שנגררה עץ מזחלת בעזרת הנוכחי למקומם חציבתם

. " נדרשו" בשחזור עץ מבולי שהורכב לגרור 25מסלול אנשיםשמשקלו " 9000פסל למרחק ג במשך 45ק . 2מטרים דקות

שהפעיל הצוות בגרירת הפסל Fמהי העבודה שעשה הכוח ועל איזה מערכת הכוח עשה את העבודה?

לפעמיים השווה גרירה כוח הפעיל צוות חבר שכל מניחים אנובממוצע שהוא .80משקלו " ג ק

F = 25•2•mg

W = 50mgd cos0° = 50•80•9.8•45•1 = 1.8 •106J = 1.8 MJ

W = Eth + Emec

אין ספק שקיים חיכוך ולכן יש שינוי באנרגיה התרמית. לעומת = Kזאת המזחלת התחילה ממנוחה וסיימה במנוחה )

(. U = 0(ולא שינתה את גובהה מעל האדמה )0

. התרמית: האנרגיה את רק שינתה העבודה מסקנה

של למרחק הפסל בהזזת להיעשות צריכה עבודה 10כמהמ" ? ק

W = 50mgd cos0° = 50•80•9.8•104•1 = 3.9•108 J 400 MJ

. דבר שום אין אפשרית אבל אנרגיה של מאוד גדולה כמות זוהי. הפסחא אי פסלי של במקורם מסתורי

האנרגיה שימור האנרגיה חוק שימור חוק

של בכמות רק להשתנות יכולה מערכת של הכללית האנרגיה. החיצוני הכוח עבודת דרך למערכת המועברת האנרגיה

W = E = Emec + Eth + Eint

. יסודיים פיסיקליים עקרונות של מתוצאה שנובע חוק איננו זהו . נמצא לא היום עד ניסויים של עצום מספר על מבוסס הוא

. זה חוק הסותרת דוגמא שום

, מועברת לא אנרגיה שום מסביבתה מבודדת המערכת אםאומר, האנרגיה שימור וחוק למערכת

יכולה אינה המערכת של הכללית האנרגיה מבודדת במערכתלהשתנות.

בין לעבור יכולה אנרגיה עצמה המבודדת המערכת בתוך . שלה השונים המרכיבים

Emec + Eth + Ein = 0

כאשר המכנית האנרגיה בשינויי בעיקר מעונינים שאנו כיוןממצב עוברת מבודדת .2למצב 1מערכת

Emec,2 = Emec,1 + Eth + Ein

אחד במצב הכללית האנרגיה את ליחס ניתן מבודדת במערכתפרטי ידיעת ולא הביניים מצבי אנרגיות ידיעת ללא שני למצב

. המצבים שני בין המעבר

Emec,1 + Eth,1+Eint,1 = Emec,2 + Eth2+Eint,2

התרמית באנרגיה שינוי ואין חיכוך אין בו פרטי ובמקרה

Emec,2 = Emec,1

הספקהספקהאנרגיה העברת קצב וגם העבודה עשיית קצב הוא ההספק

. מהמערכת או למערכת

Pavg = E / t

P = dE / dt

: - שעה קילוואט לפי משלמים חשמל

1 kW • hour = 1000 watt • 3600 s = 3.6x106 J

של לגובה טון של משקל להרים אפשר הזאת העבודה בכמות360! מטר

]P = [J/s = watt = W

ק"ג רצה 6כלבת קרקס שמסתה בקצה השמאלי של מסלול

ובגובה של /ש מ7.8במהירות של מטר. היא מתחילה להחליק 8.5

מטר. 11.1ועוצרת בגובה של המסלול אינו חסר חיכוך. מהו הגידול באנרגיה התרמית של

המסלול והכלבה.

Emec + Eth = 0זוהי מערכת מבודדת ולכן

K = 0 – (½)mv02

U = mgy – mgy0

Eth = – Emec

Eth = (½)mv02 – mg(y – y0) = 30 J