Теорема Теорема ПифагораПифагора

Геометрия 8 класс

ГОУ лицей №533ГОУ лицей №533

ЗадачиЗадачи

ЗадачаЗадача

(580 – 500 г. до н.э.)(580 – 500 г. до н.э.)

Пифагор СамосскийПифагор Самосский

Открытия пифагорейцевОткрытия пифагорейцев

теорема о сумме внутренних углов теорема о сумме внутренних углов треугольника;треугольника;

построение правильных построение правильных многоугольников; многоугольников;

геометрические способы решения геометрические способы решения квадратных уравнений;квадратных уравнений;

деление чисел на чётные и деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные; нечётные, простые и составные; введение фигурных, совершенных и введение фигурных, совершенных и дружественных чисел;дружественных чисел;

Открытия пифагорейцевОткрытия пифагорейцев

доказательство того, что корень из доказательство того, что корень из 2 не является рациональным 2 не является рациональным числом;числом;

создание математической теории создание математической теории музыки и учения об музыки и учения об арифметических, геометрических и арифметических, геометрических и гармонических пропорциях гармонических пропорциях

и многое другое.и многое другое.

ЗадачаЗадача Для крепления мачты Для крепления мачты нужно установить нужно установить

4 троса. 4 троса. Один конец каждого Один конец каждого

троса должен троса должен крепиться на высоте крепиться на высоте 12м, другой на земле 12м, другой на земле на расстоянии 5м от на расстоянии 5м от

мачты. мачты.

Хватит ли 50м троса Хватит ли 50м троса для крепления мачты?для крепления мачты?

cc22 = a = a22 + b + b22

В прямоугольном В прямоугольном треугольнике треугольнике

квадрат гипотенузы квадрат гипотенузы равен сумме равен сумме

квадратов катетов. квадратов катетов. Площадь квадрата, Площадь квадрата,

построенного на гипотенузе построенного на гипотенузе прямоугольного прямоугольного

треугольника, равна сумме треугольника, равна сумме площадей квадратов, площадей квадратов,

построенных на его катетах. построенных на его катетах.

«Пифагоровы штаны во все «Пифагоровы штаны во все стороны равны»стороны равны»

ШаржиШаржи

Теорема:Теорема: В прямоугольном В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.равен сумме квадратов катетов.

Доказательство

Если дан нам треугольникЕсли дан нам треугольник

И притом с прямым углом,И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузыТо квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдём:Мы всегда легко найдём:

Катеты в квадрат Катеты в квадрат возводим,возводим,

Сумму степеней находим – Сумму степеней находим –

И таким простым путёмИ таким простым путём

К результату мы придём.К результату мы придём.

Теорема в стихахТеорема в стихах

ЗадачаЗадача Р е ш е н и еР е ш е н и е АВСАВС

прямоугольный с прямоугольный с гипотенузой АВ, по гипотенузой АВ, по теореме Пифагора:теореме Пифагора:

АВАВ22 = АС = АС2 2 + ВС+ ВС22

АВАВ22 = 8 = 822 + 6 + 622

АВАВ22 = 64 + 36 = 64 + 36АВАВ22 = 100 = 100АВ = 10АВ = 10

ЗадачаЗадача Р е ш е н и еР е ш е н и е

DCEDCE прямоугольный с прямоугольный с гипотенузой гипотенузой DEDE, ,

по теореме по теореме Пифагора:Пифагора:

DEDE22 = D = DСС22 + CE + CE22

DCDC22 = DE = DE22 CE CE22

DCDC22 = 5 = 522 3 322

DCDC22 = 25 = 25 9 9DCDC22 = 16 = 16DCDC = 4 = 4

ЗадачаЗадачаР е ш е н и еР е ш е н и е

KLMKLM вписан в вписан в окружность и опирается окружность и опирается на диаметр на диаметр KMKM. Так как . Так как

вписанные углы, вписанные углы, опирающиеся на опирающиеся на

диаметр, прямые, то диаметр, прямые, то KLM KLM прямой. Значит, прямой. Значит,

KLMKLM – прямоугольный. По – прямоугольный. По теореме Пифагора для теореме Пифагора для KLMKLM с гипотенузой КМ: с гипотенузой КМ:

KMKM22 = KL = KL22 + KM + KM22

KMKM22 = 5 = 522 + 12 + 1222

KM = KM = 25 + 14425 + 144KMKM = 169 = 169KMKM = 13 = 13

Задача:Задача: Высота, Высота, опущенная из вершины В опущенная из вершины В АВС, делит сторону АС АВС, делит сторону АС на отрезки, равные 16 см на отрезки, равные 16 см и 9 см. и 9 см. НайдитеНайдите сторону ВС, сторону ВС, если сторона АВ равна 20 если сторона АВ равна 20 см.см.

Д а н о:Д а н о: АВС, АВС, BD BD АС, АС, АВ = 20см,АВ = 20см, ADAD = 16 см, = 16 см, DCDC = 9 см. = 9 см.Н а й т и:Н а й т и: ВС. ВС.

Р е ш е н и еР е ш е н и е 1) По условию задачи 1) По условию задачи BD BD АС, АС, значит, значит, ABDABD и и CBDCBD – – прямоугольные.прямоугольные.2) По теореме Пифагора для 2) По теореме Пифагора для ABDABD: АВ: АВ22 = = ADAD22 + + BDBD22, отсюда , отсюда BDBD22 = AB = AB22 – AD – AD22,,

BDBD22 = 20 = 2022 – 16 – 1622,, BDBD22 = 400 – = 400 – 256,256,

BDBD2 2 = 144, = 144, BDBD = 12 см = 12 см

3) По теореме Пифагора для 3) По теореме Пифагора для С СBDBD: ВС: ВС22 = В = ВDD22 + + DDСС22, отсюда, отсюда BCBC22 = 12 = 1222 + 9 + 922, , BCBC22 = 144 + 81, = 144 + 81, BCBC22 = 225, = 225, BCBC = 15см. = 15см. О т в е т:О т в е т: ВС = 15 см.ВС = 15 см.З а м е ч а н и е.З а м е ч а н и е. На втором этапе решения достаточно было найти На втором этапе решения достаточно было найти BDBD22 и и подставить его значение в равенство ВСподставить его значение в равенство ВС22 = В = ВDD2 2 + + DDСС22..

Задача индийского математика Задача индийского математика XII века БхаскарыXII века Бхаскары

На берегу реки рос тополь На берегу реки рос тополь одинокий.одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол Вдруг ветра порыв его ствол надломал.надломал.

Бедный тополь упал. Бедный тополь упал. И угол прямойИ угол прямойС теченьем реки его ствол С теченьем реки его ствол

составлял. составлял.

Запомни теперь, что в этом Запомни теперь, что в этом месте рекаместе река

В четыре лишь фута была В четыре лишь фута была широкаширока

Верхушка склонилась у края Верхушка склонилась у края реки.реки.

Осталось три фута всего от Осталось три фута всего от ствола,ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:скажи:

У тополя как велика высота?У тополя как велика высота?

Задача из китайской Задача из китайской «Математики в девяти книгах»«Математики в девяти книгах»

Имеется водоем со стороной в 1чжан = 10чи. В Имеется водоем со стороной в 1чжан = 10чи. В центре его растет камыш, который выступает над центре его растет камыш, который выступает над водой на 1чи. Если потянуть камыш к берегу, то он водой на 1чи. Если потянуть камыш к берегу, то он

как раз коснётся его. Спрашивается: какова как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?глубина воды и какова длина камыша?

Задача из учебника «Арифметика» Задача из учебника «Арифметика» Леонтия МагницкогоЛеонтия Магницкого

«Случися некому «Случися некому человеку к стене человеку к стене

лестницу прибрати, лестницу прибрати, стены же тоя высота стены же тоя высота

есть 117 стоп. есть 117 стоп. И обреете лестницу И обреете лестницу долготью 125 стоп. долготью 125 стоп.

И ведати хочет, колико И ведати хочет, колико стоп сея лестницы стоп сея лестницы

нижний конец от стены нижний конец от стены отстояти имать.»отстояти имать.»

Пифагорова головоломкаПифагорова головоломкаИз семи частей Из семи частей

квадрата составить квадрата составить сноваснова

квадрат, квадрат, прямоугольник, прямоугольник, равнобедренный равнобедренный

треугольник, треугольник, трапецию. трапецию.

Квадрат разрезается Квадрат разрезается так: так:

EE, , FF, , KK, , L L – середины – середины сторон квадрата, сторон квадрата,

О – центр квадрата, О – центр квадрата, ОМ ОМ EFEF, , NF NF EFEF