Практика цифровой обработки оптических сигналов

Учебное пособие

(краткий курс лекций)

Лычагов В.В., Рябухо В.П.

ГОУ ВПО «Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского»

Кафедра оптики и биофотоники

Саратов, 2010

Постановка задачи

Лазерная флоуметрия биологических (и не только) жидкостей

Спектр флуктуаций фототока, пропорциональных изменению интенсивности на фотоприемнике

Спектральный анализ, цифровая фильтрация, корреляционный анализ, статистический анализ…

Интерферометрия (лазерная, низкокогерентная, спекл-, полного поля, микро-, голографическая и т.д.)

Измерения:Толщин;

Профиля поверхности;

Деформаций;

Смещений;

Вибраций;

Параметров движения;

Оптических напряжений;

Скрытых дефектов;

…

Цифровая фильтрация, морфологический анализ, корреляционный анализ, частотно-временные и частотно-пространственные преобразования…

Оптическая когерентная томография (ОКТ) Восстановление внутренней оптической 2-

D и 3-D структуры объекта по одномерным сечениям

(формирование искусственных изображений)

Цифровая фильтрация, визуализация, частотно-временные и пространственно-временные преобразования…

Фурье-спектроскопия Расчет спектра излучения источника по его функции автокорреляции

посредством Фурье-преобразования

Фурье-преобразование

Фурье-преобразования, цифровая фильтрация…

Спектральный метод ОКТ

Обратное преобразование Фурье

Фурье-преобразования, цифровая фильтрация, корреляционный анализ, морфологический анализ…

Аналого-цифровыеи цифро-аналоговые преобразования

Преобразование сигналов: аналоговый – цифровойДискретизация по времени: теорема отсчетов

T – период дискретизации; Fd=1 / T – частота

дискретизации; Критерий (Теорема) Найквиста

(Шеннона, Котельникова):Частота дискретизации сигнала

должна быть как минимум в два раза больше максимальной частоты, содержащейся в сигнале

Fd ≥ 2*Fmax

Fn = Fd / 2

Fmax ≤ Fn

Преобразование сигналов: аналоговый – цифровойДискретизация по времени: периодичность спектра

Преобразование сигналов: аналоговый – цифровойДискретизация по времени: наложение спектров Частота

дискретизации достаточная, чтобы адекватно разрешить все частоты сигнала

Частота дискретизации мала – происходит наложение спектров

Преобразование сигналов: аналоговый – цифровойКвантование по уровню: ошибка квантования x(n) = x(t=nT) – дискретный сигнал xq(n) – цифровой сигнал e(n) = x(n) - xq(n) – шум квантования xq(n) = x(n) + e(n) T – период дискретизации Q – шаг квантования

Преобразование сигналов: аналоговый – цифровойКвантование по уровню: метод округления

Ошибка метода округления

-Q/2 ≤ e(n) ≤ Q/2

Среднее значение ошибки округления равно 0

Преобразование сигналов: аналоговый – цифровойКвантование по уровню: метод усечения

Ошибка метода усечения

0 ≤ e(n) ≤ Q

Среднее значение ошибки усечения равно Q/2

Диапазон входных напряжений АЦП +/-5В

Разрядность АЦП 12 бит

Шаг квантования 2.4мВ

Преобразование сигналов: цифровой – аналоговый Интерполятор нулевого порядка

Ряд ФурьеПреобразование ФурьеДискретное преобразование ФурьеБыстрое преобразование ФурьеСпектральный анализОценка спектра

Преобразование Фурье

Разложение в ряд Фурье Коэффициенты ряда Фурье

t – здесь - время, но может быть чем угодно

– циклическая частота первой гармоники

T – период изменения сигнала

T = 2/k = 1, 2, 3, 4, …

11

0 )sin()cos()(k

kk

k tkbtkaatx

2

2

0 )(2

T

T

dttxT

a

2

2

cos2

T

T

k dttktxT

a

2

2

sin2

T

T

k dttktxT

b

Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

cos(- kt) = cos(kt)

Ряд Фурье четной функции содержит только косинусоидальные члены:

sin(- kt) = - sin(kt)

Ряд Фурье нечетной функции содержит только синусоидальные члены:

1

0 )cos()(k

k tkaatx

1

0 )sin()(k

k tkbatx

Экспоненциальное представление ряда Фурье

k

tjkk eCtx

2

2

1T

T

tjkk dtetx

TC

,...2,1,2

2

,...2,1,2

0

kjba

a

kjba

C

kk

kk

k

2

22kk

kk

baCC

k

kkk a

barctgCC argarg

амплитудный и фазовый спектр:

связь с коэффициентами действительного ряда Фурье:

Спектр последовательности прямоугольных импульсов

действительная часть коэффициентов ряда Фурье – коэффициенты при косинусе

мнимая часть коэффициентов ряда Фурье – коэффициенты при синусе

амплитудный спектр сигнала

спектр мощности сигнала

Разложение непериодических сигналов Интегральное преобразование Фурье

deXtx tj

2

1

dtetxX tj

T d

k XCk

Свойства преобразования Фурье

Линейность:

Сдвиг сигнала во времени:

txFTX tyFTY

bYaXtbytaxFT

XetxFT j

XXe j

Свойства преобразования Фурье

Подобие:

Теорема Парсеваля:

aX

aatxFT

1

dXdttx22

2

1

Дискретное преобразование Фурье

k, i = 0, 1, 2,…, N-1x1, x2, x3,…xN-1 – отсчеты дискретного сигнала

iNkN

jkiN

jee

22

Nkk CC

ikN

jikNN

jee

22

kkkN CCC

1

0

2N

k

kiN

j

ki eCx

1

0

21 N

i

kiN

j

ik exN

C

Быстрое Преобразование Фурьеk = 0, 1, 2,… N-1

x(i), i = 0, 1, 2,... N-1

x1(i) = x(2i), i = 0, 1, 2,... N/2 – 1

x2(i) = x(2i+1), i = 0, 1, 2,... N/2 – 1

1

0

2N

i

kiN

jeixkX

kiN

NiNkN WW

22

NN WW kN

NkN WW 2

Nj

N eW2

1

0

N

i

kiNWixkX

kXWkXWixWixkX kN

N

i

ikN

N

i

kiN 21

12

0

1212

0

2 122

.12

,22

,12

0,

21

21

NkNN

kXWN

kX

NkkXWkX

kXk

N

kN

Быстрое преобразование ФурьеВычисление 8-точечного БПФ

X(0) = X1(0) + W0X2(0); X(4) = X1(0) – W0X2(0); … и так далее

Быстрое преобразование ФурьеВычисление 8-точечного БПФ

i i2 i2-1 i-1

0 000 000 0

1 001 100 4

2 010 010 2

3 011 110 6

4 100 001 1

5 101 101 5

6 110 011 3

7 111 111 7

операция инверсии битов:

Проблемы спектрального анализа Эффекты конечного размера реализации

«гребешковое искажение»

Составляющая сигнала на частоте f? не может быть представлена в спектре. Возможный вариант решения проблемы – использование дополняющих нулей.

Исходная реализация содержит N точек отсчитанных через T секунд.

Дополненная реализация – N+N` точек через те же T секунд.

TNNf

1'

1

Эффекты конечного размера реализации

Просачивание спектральных составляющих и размывание спектра.Выборка данных в течение некоторого времени эквивалентна умножению сигнала на функцию (временное окно)

спектр которой (спектральное окно) равен

.2

,0

,2

,1

Tt

Tt

t

fT

fTTfW

sin

Проблемы спектрального анализа Случайный характер измеряемых величин

Каждой выборке или реализации случайного процесса соответствует выборочный спектр, так же имеющий случайный характер.

Для детерминированных сигналов выборочный спектр при увеличении времени измерения сходится к истинному спектру сигнала.

Для случайных сигналов выборочный спектр не сходится к какому-либо предельному значению.

Для случайных сигналов можно говорить только об оценке спектра Оценка спектра, являясь статистической величиной, может быть

охарактеризована смещением и дисперсией.

Немного статистики Математическое ожидание величины x(i):

Дисперсия ряда x(i):

Если оценка спектра величина статистическая, то она должна иметь функцию распределения плотности вероятности

Смещение оценки спектра:

– истинный спектр случайного процесса

– статистическая оценка этого спектра

1

0

1 N

i

ixN

ixixE

1

0

222 1 N

i

ixixN

ixixE

fPEfPfB

fP fPE

Метод периодограмм

Величина называется периодограммой и представляет собой оценку спектра мощности случайного сигнала в дискретном представлении

Для больших N смещение периодограммы является незначительным и сходится к

Дисперсия периодограммы не равна 0 и не стремится к нему при увеличении N

ixDFTkC

2kC

fPE

fPE

x(i), i = 0 ... N-1 – дискретный временной ряд

– коэффициенты дискретного преобразования Фурье

fP

Модифицированные периодограммы

дисперсия оценки по методу Уэлча меньше, но перекрывающиеся сегменты коррелируют между собой.

метод Бартлетта метод Уэлча

Взвешивание

узкое временное окно (широкое спектральное окно, малое М) – дисперсия оценки малая, но большое смещение;

широкое временное окно (узкое спектральное окно, большое М) – дисперсия увеличивается, но смещение оценки становится малым

Небольшой пример

реализация шумового сигнала... ...он же, растянутый во времени

Небольшой пример

Корреляция и свертка:функция корреляции,коэффициент корреляции,циклическая корреляция,линейная корреляция,быстрая корреляция,импульсная характеристика системы,теорема о свертке,обращение свертки...

Корреляция двух рядов конечной длиныКраевой эффект

Функция взаимной корреляции:

Для сигналов, содержащих мощную постоянную составляющую:

1

02112

1 N

n

nxnxN

r

1

02112

1 N

n

jnxnxN

jr

22

1

01112

1xjnxxnx

Njr

N

n

Нормированная функция корреляцииКоэффициенты корреляции коэффициент взаимной корреляции

функция автокорреляции

коэффициент автокорреляции

1,00

12

1111

12

1

0

22

1

0

21

1

021

1221

xxN

n

N

n

N

n

rr

jr

nxnx

jnxnxj

1

01111

1 N

n

jnxnxN

jr

1,0 11

11

1111

r

jrj

Циклическая и линейная корреляции

x1 x2 x3 x4 r(j)

y3 y1 y2 y3 x1y3+x2y1+x3y2+x4y3

y1 y2 y3 y1 x1y1+x2y2+x3y3+x4y1

y2 y3 y1 y2 x1y2+x2y3+x3y1+x4y2

y3 y1 y2 y3 x1y3+x2y1+x3y2+x4y3

y1 y2 y3 y1 x1y1+x2y2+x3y3+x4y1 x1 x2 x3 x4 r(j)

y1 y2 y3 x1y1+x2y2+x3y3

y2 y3 y3 x1y2+x2y3

y3 y2 y3 x1y3

y1 y2 y3 x4y1

y1 y2 y3 x3y1+x4y2

y1 y2 y3 x2y1+x3y2+x4y3

y1 y2 y3 x1y1+x2y2+x3y3

x={x1,x2,x3,x4}

y={y1,y2,y3}

Циклическая корреляция периодична с периодом, равным длине более короткой реализации

Для получения линейной корреляции последовательности необходимо дополнить нулями:

x={x1,x2,x3,x4,0,0}

y={y1,y2,y3,0,0,0}

Длина конечного вектора: N1+N2-1

N1 – длина первого вектора

N2 – длина второго вектора

Быстрая корреляция

Расчет быстрой корреляции методом БПФ

Теорема о корреляции:

Это выражение для циклической корреляции. Для получения линейной корреляции нужно использовать дополняющие нули.

Расчет быстрой корреляции рекурсивным методом

(новое значение) = (предыдущее значение) +

+1/N(произведение двух новых членов)-

-1/N(произведение первых двух членов)

kXkXDFTjr 211

12

1

02112

1 N

n

nxnxN

r

Применение корреляции в обработке одномерных данных Расчет спектра мощности сигнала. Теорема Винера-Хинчина

Выделение периодических составляющих из зашумленных сигналов

11rDFTfP

Свертка. Связь входного сигнала, выходного сигнала и импульсной характеристики системы

y(0) = h(0)x(0);

y(1) = h(1)x(0) + h(0)x(1);

y(2) = h(2)x(0) + h(1)x(1) + h(0)x(2);

…

y(n) = h(n)x(0) + h(n-1)x(1) + … + h(0)x(n)

n

m

mxmnhny0

Графическая интерпретация операции свертки

x(m)h(m)

x(m)h(-m)

x(m)h(t-m)

Свертка во временной и частотной областях Теорема о свертке

Свойства свертки

nxDFTfX

nyDFTfY

nhDFTfH

nhnxny

fHfXfY

nhnxny

fHfXfY

Коммутативность

Дистрибутивность

Ассоциативность

nxnxnxnx 1221

nxnxnxnxnxnxnx 3121321

nxnxnxnxnxnx 321321

Обращение свертки

Круговая и линейная свертка

0

00

x

yh

1,0

1

0

nx

mnxmhnynh

n

m

0

00

h

yx

1,0

1

n

h

mnxmhnynx

n

m

Обращение свертки

Идентификация системы

x0 x1 x2 … … … xN-1 0 … 0

N M-1

h0 h1 h2 … … hM-1 0 … … 0

M N-1

Вычисление свертки и корреляции методом сегментации

Литература, которая может понадобиться: Бендат Дж., Пирсол А. Применение корреляционного и спектрального

анализа: Пер. с англ. – М.:Мир, 1983. – 312 с. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических

измерениях: В 2-х томах. Пер. с франц. – М.:Мир, 1983. – 568 с. Айфичер Э.С., Джервис Б.У. Цифровая обработка сигналов: практический

подход, 2-е издание: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2004. – 992 с.

Оппенгейм А.В., Шафер Р.В. Цифровая обработка сигналов: Пер. с англ. – М.: Связь, 1979. – 416 с.

Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов: Пер. с англ. – М.:Мир, 1978. – 849 с.

Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. – М.: Техносфера, 2005. – 1072 с.

Прэтт Э. Цифровая обработка изображений: Пер. с англ. – М.:Мир, 1982. – 312 с.