Download ppt - Творческий проект по математике

1

ТворческийТворческий проект проект по математикепо математике

““ПРОИЗВОДНАЯПРОИЗВОДНАЯ””

Подготовила студентка группы 2Т-03

Мосеева ЕленаМосеева Елена

Руководитель проектаКривченкова Светлана Кривченкова Светлана

ВикторовнаВикторовна

Мосеева Елена Александровна2

Содержание

История развития производной……………………………………… Производная в трудах великих математиков……………………… Введение понятия производной……………………………………… Физический, геометрический смысл производной………………… Производная функции………………………………………………….. Правила нахождения производной………………………………….. Формулы дифференцирования. Таблица производных…………. Нахождение производной по формуле……………………………… Производная суммы, произведения, частного……………………… Производная степенной функции…………………………………….. Дифференцирование тригонометрических функций………………. Дифференцирование обратных тригонометрических функций…


Содержание

Производная сложной функции……………………………………….. Вторая производная и её физический смысл………………………….. Касательная. Уравнение касательной………………………………. Производные высших порядков. Формула Лейбница…………….. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши и их применение. Правило

Лопиталя………………………………………………………………….. Логарифмическое дифференцирование……………………………. Дифференцирование функций, заданных параметрически……… Дифференцирование неявных функций…………………………….. Применение производной……………………………………………… Сборник задач…………………………………………………………….


История развития производной

Раздел математики, в котором изучаются производные и их применения к исследованию функций, называется дифференциальным исчислением. Приращения вида Δf, представляющие собой разности, играют заметную роль при работе с производными. Естественно поэтому появление латинского корня differentia (разность) в названии calculis differentialis нового исчисления, которое переводится как исчисление разностей; это название появилось уже в конце XVII в., т. е. при рождении нового метода.

О происхождении терминов и обозначений


Термин «производная» является буквальным переводом на русский французского слова derivee, которое ввел в 1797 г. Ж. Лагранж (1736—1813); он же ввел современные обозначения у', f `. Такое название отражает смысл понятия: функция f `(х) происходит из f (х), является производным от f (х). И. Ньютон называл производную функцию флюксией, а саму функцию — флюентой. Г. Лейбниц говорил о дифференциальном отношении и обозначал производную как -

dxdf


Это обозначение также часто встречается в современной литературе. Рассказ о происхождении терминологии, принятой в дифференциальном исчислении, был бы не полон без понятия предела и бесконечно малой.

Обозначение lim — сокращение латинского слова limes (межа, граница); уменьшая, например, Δх, мы устремляем значения

к «границе» f ' (х0). Термин «предел» ввел Ньютон.xf


Из истории дифференциального исчисления

Дифференциальное исчисление создано Ньютоном и Лейбницем сравнительно недавно, в конце XVII столетия. Тем более поразительно, что задолго до этого Архимед не только решил задачу на построение касательной к такой сложной кривой, как спираль но и сумел найти максимум функции f(x) = x2(a — х) ,применяя при этом предельные переходы.


Эпизодически понятие касательной (связано с понятием производной) встречалось в работах итальянского математика Н.Тартальи (1500-1557) здесь касательная появилась в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда. И. Кеплер рассматривал касательную в ходе решения задачи о наибольшем объеме параллелепипеда, вписанного в шар данного радиуса.

В XVII в. на основе учения Г. Галилея о движении активно развилась кинематическая концепция производной. Различные варианты изложения, примененные к разным задачам, встречаются уже у Декарта, французского математика Роберваля (1602—1675), английского ученого Д. Грегори (1638— 1675), в работах И. Барроу (1630—1677) и, наконец, И. Ньютона. Говоря о последующем развитии идей анализа (а они очень быстро завоевали популярность и нашли многих последователей), следует в первую очередь назвать учеников Лейбница — братьев Бернулли.


А.Лопиталь (1661 — 1704), который учился у Бернулли, издал уже в 1696 г. первый печатный курс дифференциального исчисления «Анализ бесконечно малых для исследования кривых линий», способствовавший распространению новых ме тодов.

Ряд крупных результатов получил Лагранж, его работы сыграли важную роль в осмыслении основ анализа.

Как и в случае многих других разделов математики, неоценим вклад в развитие математического анализа, внесенный Л. Эйлером и К. Ф. Гауссом (1777—1855).


Производная в трудах великих математиков

Иоганн Бернулли (1667- 1748)


ИОГАНН БЕРНУЛЛИ (1667—1748), младший брат Якоба Бернулли, профессор математики с 1695 в Гронингенском (Голландия), а с 1705 в Базельском университете. Почётный член Петербургской Академии наук, в изданиях которой опубликовал 9 работ. Иоганн Бернулли был деятельным сотрудником Лейбница в разработке дифференциального и интегрального исчислений, в областикоторых им был сделан ряд открытий

(учение о показательных функциях; правило раскрытия неопределённостей вида 0/0, несправедливо носящее имя Лопиталя; интегрирование рациональных дробей; квадратура и спрямление различных кривых)

Иоганну принадлежит также первое систематическое изложение дифференциального и интегрального исчислений. Конспект лекций, прочитанных им Лопиталю по дифференциальному исчислению, лёг в основу написанного последним «Анализа бесконечно малых» (1687). Курс интегрального исчисления Иоганна был издан в 1742. Иоганн Бернулли продвинул далее разработку методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений



Якоб Бернулли (1654 – 1705)


ЯКОБ БЕРНУЛЛИ (1654—1705) — профессор математики Базельского университета с 1687. Ознакомившись в этом же году с первым мемуаром Лейбница по дифференциальному исчислению (1684), вскоре блестяще применил новые идеи к выводу формулы радиуса кривизны плоской кривой, к изучению логарифмической спирали, открытой им лемнискаты, цепной линии, упругой линии и других кривых, встречающихся в математике и механике. Ему, между прочим, принадлежит термин «интеграл». Совместно с братом, Якоб положил начало вариационному исчислению.



Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813)


ЖОЗЕФ ЛУИ ЛАГРАНЖ. В 1736 г. в итальянском городе Турине, входившем тогда в состав Сардинского королевства, в семье военного казначея Лагранжа родился одиннадцатый ребенок, получивший при крещении имя Жозеф Луи. Когда мальчик вырос, его отдали в артиллерийскую школу, которая готовила военных специалистов, владеющих теорией артиллерийской стрельбы. Для успешного овладения этой теорией требовалась хорошая математическая подготовка, поэтому математика занимала видное место в процессе обучения. Выявившиеся выдающиеся математические способности Жозефа Луи позволили ему не только успешно окончить артиллерийскую школу Турина, но уже в возрасте 19 лет занять в ней место профессора математики. Первый том ее трудов увидел свет в 1759 г. Значительная часть работ, печатавшихся в этом издании, принадлежала самому Лагранжу.

Среди различных вопросов, занимавших его в то время, выделялся один, разработке которого он уделял особенное внимание. Исследование этого вопроса привело к замечательным результатам, лежащим в основе вариационного исчисления.

Прочитанный им курс математического анализа был опубликован впоследствии в двух книгах (1797, 1801 гг.) и содержал попытку обоснования математического анализа, в основах которого содержались в то время значительные неясности и пробелы (общепринятое сегодня обоснование было дано знаменитым французским математиком О. Л. Коши в 1821 г.).

Лагранж обогатил своим творчеством почти все области тогдашней математики Ему принадлежат фундаментальные результаты по алгебре (в частности, его работы по теории алгебраических уравнений послужили исходной точкой для исследований Э. Галуа), теории чисел (например, им была доказана теорема о том, что любое целое положительное число есть сумма не более чем четырех квадратов целых чисел), теории вероятностей, дифференциальным уравнениям, исчислению конечных разностей, комбинаторике, эллиптическим интегралам, различным вопросам математического естествознания.

Во Франции Лагранж пережил Великую революцию, времена Директории, Консульства и, наконец, наполеоновскую Империю. Бурные исторические события нашли слабое отражение в его биографии. Сменявшие друг друга правительства с постоянным глубоким уважением относились к величайшему математику страны. Умер Жозеф Луи Лагранж в 1813 г.



Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 - 1726)


ГОТФРИД ВИЛЬГЕЛЬМ ЛЕЙБНИЦ (1646-1716)Математика не была его единственной страстью. С юных лет ему хотелось познать природу в целом, и математика должна была стать решающим средством в этом познании. Он был философом и лингвистом, историком и биологом, дипломатом и политическим деятелем, математиком и изобретателем. Научные и общественные планы Лейбница были грандиозны. Он мечтал о создании всемирной академии наук, о построении «универсальной науки»,. Он хотел выделить простейшие понятия, из которых по определенным правилам можно сформировать все сколь угодно сложные понятия. Лейбниц мечтал об универсальном языке, позволяющем записывать любые мысли в виде математических формул, причем логические ошибки должны проявляться в виде математических ошибок. Он думал о машине, которая выводит теоремы из аксиом, о превращении логических утверждений в арифметические (эта идея была воп лощена в жизнь в нашем веке).Но грандиозность замыслов уживалась у Лейбница с пониманием того, что может быть непосредственно осуществлено. Он не может организовать всемирную академию, но в 1700г. организует академию в Берлине, рекомендует Петру I организовать академию в России. При организации Петербургской Академии наук в 1725 г. пользовались планами Лейбница. Он прекрасно умеет решать конкретные задачи и в математике: создает новый тип арифмометра, который не только складывает и вычитает числа, но и умножает, делит, возводит в степень и извлекает квадратные и кубические корни, решает трудные геометрические задачи. Вводит понятие определителя и закладывает основы теории определителей. И все же Лейбниц всегда стремилея рассмотреть любой вопрос под самым общим углом зрения. Скажем, X. Гюйгенс замечает сохранение энергии на примере некоторых механических задач, а Лейбниц пытается преобразовать это утверждение во всеобщий закон природы, он рассматривает Вселенную в целом как вечный двигатель (предварительная формулировка закона сохранения энергии).Но особенно ярко проявились эти качества Лейбница, когда он, узнав о разнообразных математических и механических задачах, решенных Гюйгенсом, по совету последнего знакомится с работой Б. Паскаля о циклоиде. Он начинает понимать, что в решении этих разных задач спрятан общий, универсальный метод решения широкого круга задач и что Паскаль остановился перед решающим шагом, «будто на его глазах была пелена». Лейбниц создает дифференциальное и интегральное исчисления, которые в другом варианте были построены, но не опубликованы И. Ньютоном.Ученый, занимавшийся разработкой универсального языка, понимает, какую роль в новом исчислении должна играть символика (см. Зна ки математические). Без символики (которая сохранилась до наших дней в форме, предложенной Лейбницем) метод математического анализа не вышел бы за пределы узкого круга избранных (как это было с алгеброй до символики Виета Декарта). Кстати, Лейбниц предложил несколько других математических знаков, например = (равенство), (умножение). В отличие от Ньютона Лейбниц потратил много сил на передачу своего метода другим математикам, среди которых выделялись братья Якоб и Иоганн Бернулли. По его инициативе создается журнал, в котором группа математиков оттачивает методы нового математического анализа.Смысл своей жизни Лейбниц видел в познании природы, в создании идей, помогающих раскрыть ее законы.



Лопиталь Гийом Франсуа (1661—1704), французский математик. Автор первого печатного учебника по дифференциальному исчислению (1696), в основу которого были положены лекции швейцарского учёного Бернулли. Лопиталь исследовал ряд трудных задач математического анализа, в частности дал одно из решений знаменитой задачи о брахистохроне.



Исаак Ньютон (1643 – 1727)


ИСААК НЬЮТОН (1643-1727)В 1665 г. Исаак Ньютон окончил Кембриджский университет и собирался начать работу там же, в его родном Тринити колледже. Однако чума, бушевавшая в Англии, заставила Ньютона уединиться на своей ферме, в Вулсторпе. «Чумные каникулы» затянулись почти на два года. «Я в то время был в расцвете моих изобретательских сил и думал о математике и философии больше, чем когда-либо позже»,-писал Ньютон. Тогда и сделал молодой ученый почти все свои открытия в физике и математике. Он открыл закон всемирного тяготения и приступил с его помощью к исследованию планет. Он обнаружил, что 3-й закон Кеплера о связи между периодами обращения планет и расстоянием до Солнца с необходимостью следует, если предположить, что сила притяжения Солнца обратно пропорциональна квадрату расстояния до планеты.Но чтобы исследовать и выражать законы физики, Ньютону приходилось заниматься и математикой. В Вулсторпе Ньютон, решая задачи на проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, создает общий метод решения таких задач метод флюксий (производных) и флюэнт, которые у Г. В. Лейбница назывались дифференциалами. Ньютон вычислил производную и интеграл любой степенной функции. О дифференциальном и интегральном исчислениях ученый подробно пишет в своей самой значительной работе по математике «Метод флюксий» (1670-1671), которая была опубликована уже после его смерти. В ней были заложены основы математического анализа. Ньютон также находит формулу для различных степеней суммы двух чисел, причем не ограничивается натуральными показателями и приходит к суммам бесконечных рядов чисел . Ньютон показал, как применять ряды в математических исследованиях.Когда Ньютон вернулся в Кембридж в 1666 г., он привез бесчисленные и бесценные результаты своих математических занятий в Вулсторпе. У него пока не было времени привести их в форму, пригодную для публикации, и он не торопится с этим. Дел у него прбавляется, в 1669 г. он получает физикоматематическую кафедру. В 1672 г. его выбирают членом Лондонского королевского общества (английской Академии наук).В 1680 г. Ньютон начинает работу над основным своим сочинением «Математические начала натуральной философии», в котором он задумал изложить свою систему мира.В 1688 г. И. Ньютона выбирают в парламент, а в 1699 г. он переезжает в Лондон, где получает пожизненное место директора монетного двора.Работы И. Ньютона надолго определили пути развития физики и математики. Значительная часть классической механики надолго сохранилась в виде, созданном Ньютоном. Закон всемирного тяготения постепенно осознавался как единый принцип, позволяющий строить совершенную теорию движения небесных тел. Созданный им математический анализ открыл новую эпоху в математике.



Пьер Ферма (1601 – 1665)


Пьер Ферма. Мы очень мало знаем о жизни этого великого математика. Известно, что он родился в 1601 г. на юге Франции, был выходцем из «третьего сословия», изучал юридические науки и состоял советником тулузского парламента (суда). Математике он мог посвящать только свободное от работы время. Но сила его гения была столь велика, что, несмотря на это, его идеи наложили глубокий отпечаток на все дальнейшее развитие теории чисел, геометрии и математического анализа.

С наибольшей силой гений Ферма проявился в математике. Так, еще до Декарта и в более совершен ной форме он построил систему аналитической геометрии, открыл общий метод для определения мак-симумов, минимумов и касательных, существенно развил метод Архимеда и применил его для опреде ления площадей, объемов и длин дуг.

Очень немногие сочинения Ферма были изданы им при жизни, и то по настоятельному требованию друзей. Первое собрание сочинений великого ученого появилось только после его смерти. Умер Ферма в 1665 г.


Введение понятия производной

Задача. Пусть задан закон механического движения, например,

Требуется найти скорость движения в момент времени to (мгновенную скорость). График движения представлен на рис.1. "Растянем мгновение" и рассмотрим движение на малом промежутке времени .

2

2gtS

tt ;0



Пусть приращение аргумента стремится к нулю , тогда средняя скорость изменения функции будет стремиться к мгновенной скорости:

В математике часто рассматривается мгновенная скорость изменения функции в точкех0 и поэтому этой скорости дали специальное имя - производная

и обозначение – Производной функции в точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю:

Производной функции f в точке хо называется число, к которому стремится разностное отношение

при стремящемся к нулю. Производная функции в точке х0 обозначается

0x

x

xx

xxV

xx

0

000 limlim

0/ x

x

x

xx

xx

xx

0

000/ limlim

x

xxx

x

00

x 0

/ x


Физический и геометрический смысл производнойПроизводная - это скорость измене ния функции в фиксированной точке.


На атом промежутке график движения "выглядит" почти как отрезок, а это означает, что движение на этом промежутке можно считать равномерным. Тогда скорость движения на этом участке с большой степенью достоверности характеризуется средней скоростью и находится как отношение пройденного пути к затраченному времени :

Будем уменьшать промежуток времени. Тогда средняя скорость будет стремиться

к мгновенной скорости: при

Таким образом:

Обобщим предыдущую задачу и ее решение на случай, если задана функция и требуется найти скорость изменения функции в точке х0 (мгновенную скорость изменения функции).Рассмотрим изменение функции на промежутке [Х0; Х] (рис.3), изменение функции на этом промежутке равно Средняя скорость изменения функции на этом промежутке равна отношению приращения функции к приращению аргумента:

t

tSVср

.

S

.. мгнCP VV 0t

tStV

t

00 lim

x

0xx

x

xx

xVср

0

.


Посмотрим на полученные результаты с точки зрения геометрии (рис. 4) Отношение есть тангенс угла А, а значит и угла наклона секущей АВ, т.е. угловой

коэффициент прямой, проходящей через точку

и точку .При секущая стремится к касательной, проведенной к кривой в точке А и к секущей, стремящейся к касательной. Отсюда угловой коэффициент касательной равен

Геометрический смысл производной: производная - это угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в заданной (фиксированной) точке.

x

0,0 xx

xx,

0x

0/

0lim x

xx


Производная функции

?;2

2

мгнVgtS

..

.

,0

мгнср

Cв

VVt

tSV

Физический смысл: производная – это скоррость изменения функции в заданной точке

,xy

x

xx

xVср

0

.

.. мгнср VV

0/0

000 limlim xx

xx

xxV

xx

Производной функции в заданной точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к 0

tgx xсек

.

0x .. кассек

0/

0lim x

xx

Геометрический смысл:производная – это угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции в заданной точке


Правила нахождения производной

Опираясь на определение, можно рекомендовать следующий план нахождения производной функции y = f(x):1) Фиксируем значение х, находим f (х).2) Даем аргументу х приращение , находим3) Вычисляем приращение функции4) Составляем отношение5) Находим предел отношения при Пример. Найти производную функции у = х3.f(x) = x3.

x xx

xxx

t

t

0x

3xxxx

xxxxxxxxxxx 2233 33

22 33 xxxxx

22222

003003333limlim xxxxxxx

x xx

23 3xx


Формулы дифференцирования.Таблица производных

Операцию отыскания производной называют дифференцированием.

xx

xx

axx

xx

axa

ee

rxx

kbkx

C

a

xx

xx

rr

sincos.9

cossin.8

ln1log.7

.1ln.6

.ln.5

..4

..3

..2

.0.1

1

.1

1.15

.1

1.14

.1

1arccos.13

.1

1arcsin.12

.sin

1.11

.cos

1.10

2

2

2

2

2

2

xarcctgx

xarctgx

xx

xx

xctgx

xtgx

• Например, (2x —3)' = 2; (x10)' = 10x9,

52

5 3322 5

3,21

xxxx

x

5ln55 xx

10ln

1lgx

x


Нахождение производной по формуле

Найдем производную функции f(x) = kx+b (k и b постоянны) в точке х0. xkbkxbxxk 00 k

x

Поскольку k — постоянная, постоянное число при любом , и, значит

Итак, (kx + b)' = k.

x

x

kx

.0x

Функцию, имеющую производную в точке x0, называют дифференцируемой в этой точке. Пусть D1 — множество точек, в которых функция f дифференцируема. Сопоставляя каждому число получим новую функцию с областью определения D1 . Эта функция называется производной функции y = f(x) и обозначается или у'.

1Dx x/

/

Нахождение производной данной функции называется дифференцированием.Полагая в формуле (kx+b)' = k, что k = 0, b= С, где С — произвольная постоянная, получаем, что , т. е. производная постоянной равна нулю.


Производные суммы,произведения и частного

Теорема 1. Производная суммы двух функций равна сумме их производных: (1)

Рассмотрим функцию у = и (x)+v(x). Возьмем какое-нибудь значение аргумента х (из области определения функции) и дадим ему приращение : Тогда u (х) и v (x) получат приращения и и примут значения и

.vuvu

x

u v uu vv

xxvvvxxuuu , Их сумма также получит приращение vuy yи примет значе ние : yy vuvuvvuuyy

Так как y = u + v, то vuy Разделим обе части этого ра венства на

x xv

xu

xy

и перейдем к пределу при Так как предел суммы равен сумме пределов,то 0x

.lim,lim,lim

.limlimlimlim

000

0000

vxvu

xuy

xy

xu

xu

xv

xu

xy

xxx

xxxx


Значит, y' = u' + v', т. е. (u + v)'= и'+ v'. Теорема 1 распространяется на случай любого числа слагаемых, т. е. имеет место равенство(u1 + u2 + ... + un)' = u'1+u'2 + ... + un. (2)

Пример 1. Найти производную функции у = х3 + х2. Мы знаем, что (х3)' = 3x2, (х2)' = 2х. Воспользовавшись доказанной теоремой о производной суммы, получаем(x3 + х2)' = (х3)' + (х2)' = Зx2 + 2х.


Теорема 2. Постоянный множитель можно вынести за знак производной:(Сu)' = Сu'. (3)

Пример 2. Найти производную функции у=5х3. Так как (х3)' = 3х2, а постоянный множитель можно вынести за знак производной, то(5x3)' = 5 (х3)' = 5·Зх2 = 15x2. Аналогичная формула справедлива для любого числа слагаемых: (5)

Выражение называют линейной комбинацией функций Поэтому формула (5) дает правило дифференцирования линейной комбинации функций.Пример 3. Найти производную функции

По правилу дифференцирования линейной комбинации имеем

//22

/112211 nnnn uCuCuCuCuCuC

nnuCuCuC 2211 nuuu ,,, 21

.1312 23

xxxy

xxx

xxxy 1

3121

312 2323 2

223 11,2,3xx

xxxx

.13261

312 2

223

xxx

xxx


Теорема 3. Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по следующему правилу: (6)Аналогичным образом дифференцируется произведение большего числа функций. Например, для трех множителей имеем

Значит, чтобы найти производную произведения трех функций, нужно найти производные всех множителей, умножить каждую из них на произведение остальных множителей и полученные выраже ния сложить.Пример 4. Найти производную функции у = х2(5х — 4) и вычислить (1) По формуле (6) получаем

Так как (х2)' = 2х, а (5x – 4)'= 5, то Тот же результат получится, если сначала раскрыть скобки, а потом выполнить дифференцирование. В самом деле, имеем и, следовательно, подставляя вместо х значение 1, находим:

vuvuuv

wuvwvuwvuvuwuvwuvwuvuvw

/

4545 22 xxxxy

xxxxxy 8155452 22

xxxxxxy 8154545 22323

7181151 2/


xvy 1Теорема 4. Производная функции равна взятой с противоположным знаком производной от знаменателя, деленной на квадрат знаменателя:

• Пример. Найти производную функции

Теорема 5. Производная частного двух функций вычисляется по следующему правилу:

xvy 1

2

1vv

v

51

3

xy

23

2

23

3

3 53

55

51

xx

xx

xy

2vvuvu

vu

vu

vu 1

.11122 v

vuvuvvu

vu

vu

vu

vu

vu

Отметим частные случаи дифференцирования частного. Если и = С, то, воспользовавшись тем, что постоянный множитель можно вынести за знак производной, и формулой (8), получим Если же v = С, то проще воспользоваться правилом вынесения постоянного множителя за знак производной:

2

1vvC

vC

vC

Cuu

Cu

CCu

11


• Пример. Найти производную функции

17123 2

x

xxy

.

179621

1771231726

171712317123

17123

2

2

2

2

2

222

xxx

xxxxx

xxxxxxx

xxxy

Искомое уравнение касательной имеет вид

По заданному значению х0 = 2 находим

Используя правило дифференцирования частного, найдем производную:

00/

0 xxxxy

52

212

20

x

.

11

1211

111

1 22

2

22

2

22

22

2/

xx

xxxx

xxxxx

xxx

253

21

212 22

2

0/

x

Подставив найденные значения в общее уравнение касательной, получаем

- это и есть искомое уравнение.

,2253

52

xy

2516

253

xy


Производная степенной функции

Формула для вычисления производной степенной функции ,где п — произвольное нату ральное число, большее 1, такова:

(1)Для любого целого n и любого

nx

1 nn nxx

1,,0 nприxx 1 nn nxx

• Пример. Найдем производные функций: a) f(x)= x-5; б) 37 53

xxx

;55 6155

xxx .152135735353 464637

37

xxxxxx

xx

Из дифференцируемости степенной функции и основных правил вычисления производных вытекает, что целые рациональные функции (многочлены) и дробно-рациональные функции дифференцируемы в каждой точке своей области определения.


Дифференцирование тригонометрических функций

Найдем производную функции у — sinx. Дадим х приращение ,тогда Воспользовавшись формулой преобразования разности синусов в произведение, получим

Разделим обе части этого равенства на и перейдем к пределу при

x xxy sin

2cos

2sin2 xxxy

x 0x

2coslim

22sinlim2

cos2

sin2limlim

0000

xxx

xx

xxx

xy

xxxx

1sinhlim0

hh

12

2sinlim0

xx

xxy cos непрерывна в любой точке х,

(5)

xxxx

cos2

coslim0

xxxy

xcoscos1lim

0

xx cossin


справедлива при

справедлива при

xx cossin

xx sincos

x

tgx 2cos1

x

ctgx 2sin1

Znnx ,

Znnx ,2

• Пример. Найти угол, который обра зует график функции x с осью абсцисс в начале координат

tgxy

xtgxy 2cos1 10/ 4угол равен


Дифференцирование обратных тригонометрических функций

Производная обратной функции есть величина, обратная производной

данной функции.

21

1arcsinx

x

.1

1arccos2x

x

211x

arctgx

211x

arcctgx


Производная сложной функции

Если функция f имеет производную в точке хо, а функция g имеет

производную в точке , то сложная функция h (х) = g(f(x)) также имеет производную в точке x0, причем

• Пример. Найдем производную функции

00 xy

0/

00 xxgxh

13 2 xxh

xgxh , где y=f(x) = 3x2+ 1, y y g

y

yg2

1 xxy 6/

13

3132

62

122

x

xxxy

yxhоткуда


Вторая производная и её физический смысл

Пусть функция у = f(x) имеет производную f '(х). Это новая функция, которая, в свою очередь, может иметь производную. Производная функции f '(х) называется второй производной функции y = f(x) и обозначается f " (x) или у".• Пример. Найти у", если у = х10.Имеем (x10)” = 10x9, a (10x9)' = 90x8. Итак, (x10)" = 90x8.Пусть s = s (t) — закон прямолинейного движения. Тогда вторая производная выражает скорость изменения скорости этого движения, т. е. ускорение a=s"(t). В этом состоит физический смысл второй производной.• Пример . Материальная точка движется прямолинейнопо закону

Доказать, что сила, действующая на тело, пропорциональна кубу пройденного пути.

121

t

s


Значит,

Решение. По второму закону Ньютона F = ma, где F — сила, действующая на тело, а — ускорение, m — масса; a = s". Имеем

.12

8128121222122

122121212

3332

;221

ttttts

tttts

Значит, 3

3 812

8 mst

mmaF

т. е. сила F пропорциональна s3

(8m — коэффициент пропорциональности).


Касательная. Уравнение касательной

Касательной к графику функции y=f(x), дифференцируемой в точке x=a, называется прямая,проходящая через точку(a;f(a)) и имеющая угловой коэффициент f ’(a).Существование производной функции в точке х0

эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке графика, при этом угловой коэффициент касательной равен f' (х0).

В этом состоит геометрический смысл производной.Уравнение касательной.

00; xx

00/

0 xxxxy

•Пример. Найдем уравнение касательной к графику функции 12 23 xxx

В этом примере х0 = 2, 424232,43,112222 2/0

/2/230 xxxxx

241 xy , т. е. у = 4х — 7.


Производные высших порядков.Формула Лейбница

Пусть дана дифференцируемая функция y = f(x). Рассмотрим ее производную Если эта производнаяявляется дифференцируемой функцией, то рассмотрим ее производную

xy /

x/

Производную от производной функции f обозначают x//

и называют второй производной x

Производную от второй производной (если она существует) обозначают и называют третьей производной и т. д. По индукции производную от (п — 1)-й производной

(если она существует) обозначают и называют п-й производной.

x// x///

xn 1

xn

.cos

,sin,cos,sin,cos,sin,cos,sin7

654//////

xx

xxxxxxxxxxxxxx

.,2,1,4 nxx nn


Удобно рассматривать функцию f(x) как производную нулевого порядка от себя самой: f(x) = f(0) (x).

Теорема (формула Лейбница). Если функции f (х) и g(x) имеют все производные до п-го порядка включительно, то

.0

n

k

knkkn

nxgxCxg


Теоремы Ролля,Лагранжа,Коши,их применение.Правило Лопиталя

Теорема Ролля Пусть функция f (х) определена и непрерывна на отрезке [а, b], дифференцируема в интервале и значения функции на концах отрезка равны, т. е. Тогда существует точка такая, что ba

bac ; 0/ c

Формула ЛагранжаВоспользуемся геометрическим смыслом производной, чтобы дать наглядные пояснения справедливости того. что существует касательная к графику f в точке с абсциссой c из интервала (a;b) ,параллельная секущей. Проходящей через точки A(a; f(a)), B(b; f(b)).Итак, если функция дифференцируема, то на интервале (а; b) найдется такая точка ,что bac ;

ab

abc

/


Теорема КошиПусть:1)функции f и g непрерывны на отрезке [а, b], и дифференцируемые в интервале (a;b)2)g´(x)≠0 в каждой точке x €(a;b)Тогда существует точка c €(a;b) такая, что f(b) - f(a)÷g(b) – g(a)=f´(c)/g´(c) Правило Лопиталя Раскрытие неопределённости вида 0/0 Пусть1)функции f (х) и g(x) определены в окрестности точки x ,причем f (х▫) =g(x▫)=02)существуют производные f´(x▫) , g´(x▫),причём g´(x▫),≠0.Тогда существует предел lim f (х) /g(x) и lim f (х) /g(x) =f´(x▫)/g´(x▫). x→x▫ x→x▫


Раскрытие неопределённостей вида ∞/∞Теорема(правило Лопиталя) Пусть:1) функции f (х) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки x▫,за исключением, быть может, самой точки x▫;2)lim f(x)=limg(x)=∞ x→0 x→03)g´(x)≠0 в окрестности точки x▫, за исключением, быть может, самой точки x▫; 4)существует конечный или бесконечный (равный +∞ или - ∞),предел lim f ´ (х) /g´ (x) x→ x▫ Тогда существует предел lim f (х) /g (x) и lim f (х) /g (x)= lim f ´ (х) /g´ (x) x→ x▫ x→ x▫ x→ x▫


Пример: Найти предел limx lnxРешение. Перепишем данный предел следующим образом:

limx lnx=lim·lnx/1/xx→0 x→0

Имеем f(x)=lnx, g(x)=1/x , lim f(x)=-∞, limg(x)=∞. Получимx→ 0 x→0+0

lim f (х) /g (x)= lim f ´ (х) /g´ (x) =lim·1/x/-1/x²=0x→0 x→0 x→0Пример. Найти предел lim(ctgx-1/x).Решение: Это неопределённость вида ∞ - ∞.Имеем lim(ctgx-1/x)=lim ctgx (1-tgx/x)=lim·xctgx-1/x x→0Так как x·ctgx-1→0 при x→0 , то последний предел представляет собой неопределённость вида 0/0.Воспользуемся правилом Лопиталя:lim· xctgx-1/x=lim·ctgx-x/sin²x/1=lim·sinx cosx-x/sin²x. x→0 x→0 x→0т.е снова получили неопределённость вида 0/0.Применяя ещё раз правило Лопиталя, находимlim· sinx cosx-x/sin²x=limcosx –sinx -1/2sin²x cos²x=lim·-2sin²x/2sinx cosx=-x→0 x→0 x→0lim·sinx/cosx=0x→0


Логарифмическое дифференцирование

Функцию вида , где и(x) и v(x) —функции от x, называют показательно-степенной. Ее можно дифференцировать по формуле

xvxuxy

,ln1 vuuuuvu vvv

т. e. рассматривая ее сначала как степенную (при этом получаем первое слагаемое этой формулы), а затем как показательную (получаем второе слагаемое).

xxy ln•Пример . Найти y

xx

xxxxxxx

xxx xxxxxx lnlnln1lnlnlnlnln1lnlnln1lnln 11


Однако в некоторых случаях производную показательно-степенной функции удобнее находить не по формуле, а способом логарифмического дифференцирования.Рассмотрим этот способ на примере той же функции

Прологарифмируем обе части равенства:

Обе части полученного равенства продифференцируем:

• Пример. Найти .

xxy ln

xxy lnlnln

xxxxy

y1

ln1lnln11

.ln1lnlnln

ln1lnln

xxx

xxyy x

tgxctgxy y

ctgxtgxy lnln ,sin

11lncos

1122

xctgxtgxctgx

xy

y

.cos

ln

cos1ln

cos1

cosln

2222 xe

ctgx

ctgxx

ctgxctgxxx

ctgxyy tgxtgx

Логарифмическое дифференцирование применяется и для функций других типов. Так, например, этот метод используется при дифференцировании произведений более двух функций.


Дифференцирование функций,заданныхпараметрически

Если функция задана параметрически:

то ее производная находится по формуле

• Пример. Найти производную по независимой переменной x от функции, заданной параметрически:

Решение

,,

tytx

xy .0,

tt

tx еслиy

.sin8,cos6

tytx

.34

sin6cos8

;cos8,sin6

ctgttty

tytx

x

tt


Дифференцирование неявных функций

Пусть y есть функция от x, и связь между x и y задана уравнением в этом случае говорят, что у есть неявная функция от x.Можно показать, что производная от неявной функции выражается формулой

где символ результат дифференцирования левой части уравнения

0; yxF

,0,,

,,

yxFеслиyxFyxFy y

y

xx

0, yxxF

0, yxF

по x при условии, что у рассматривается как постоянная величина.Аналогичный смысл вкладывается в символ • Пример. Дана функция Найти производную

yxFy , 0ln yxe y

xy

;0; yyx eeyxF .11;

yxye

yxeyxF

yy

y

.

11,,

y

y

y

y

y

xx xye

yexye

yeyxFyxFy


Применение производной

Производная в физике и технике. Механический смысл производной. Напомним, как определялась скорость движения в курсе физики. Рассмотрим самый простой случай: материальная точка движется по координатной прямой, причем задан закон движения, т. е. координата х этой точки есть известная функция х (t) времени t. За промежуток времени от t0 до перемещение точки равно , а ее средняя скорость такова: При формула также верна: перемещение равно ,а продолжительность промежутка времени равна Обычно характер движения бывает таким, что при малых средняя скорость практически не меняется, т. е. движение с большой степенью точности можно считать равномерным . Другими словами, значение средней скорости при стремится к некоторому вполне определенному значению, которое и называют мгновенной скоростью материальной точки в момент времени t0.

tt 0 xtxttx 00

txtVср

.

0t xttxtx 00

t

0t

0tV


0.,0.

tприtVtxtVср

Но по определению производнойПоэтому считают, что мгновенная скорость V (t) определена (только) для любой дифференцируемой функции х (t), при этомКоротко говорят: производная от координаты по времени есть скорость. В этом состоит механический смысл производной.Мгновенная скорость может принимать как положительные, так и отрицательные значения и, конечно, значение 0. Если скорость на каком-либо промежутке времени положительна, то точка движется в положительном направлении, т. е. координата растет с течением времени, а если V (t) отрицательна, то координата убывает.Аналогичное положение и с ускорением движения. Скорость движения точки есть функция от времени t. А производная этой функции называется ускорением движения:Коротко говорят: производная от скорости по времени есть ускорение.Пример. Пусть зависимость координаты точки, движущейся по прямой, от времени выражается формулой

0.,0 tприtx

tx

txtV

21; tt

tVa

002

2xtVtatx


где — постоянные. Найдем скорость и ускорение движения.Скорость этого движения такова:

Так как нам известна скорость движения как функция времени, мы можем найти ускорение этого движения: v'(t) = =(at+Vo)' = a. Мы видим, что ускорение при движении по квадратичному закону постоянно и равно а. Если а>0, то это равноускоренное движение; если же а<0, то равнозамедленное. Отметим также, что Vo = V(0), a xo = x(0). Мгновенная скорость V(t) в точках промежутка [а; b] не может быть все время меньше (больше) средней. Значит, в какой-то момент мгновенная скорость равна средней, т. е. в промежутке [а; b] найдется такое t0, что

Мы получили механическую интерпретацию формулы Лагранжа. Производная применяется также к исследованию функций на монотонность, к исследованию функций на экстремум, для доказательства тождеств и неравенств.

00,0 иVa

00002

22

2VatVtaxtVtatxV

bat ;0

ab

abttV

0

/0


Сборник задачНайти производные от функций.№1 y=x /5+4 Ответ: у´=1/5№2 у=3x³+4x²+2 Ответ: у´=9х№3 y=ax ³+bx²+(a+b)x-ab; a=const ; b=const; Ответ: у´=3ax²+2bx+a+bВычислить частные значения производных.№4 у=3x²+4х-1; найти у´(-0.5) Ответ:1Найти производные от произведений и частных двух функций.№5 y=(2х-1)·(4x³+3x²-х+1) Ответ:у´=32x³+6x²-10х +3 №6 y=(x ²-3х+7)(3x²+х-9) Ответ: у´=12x³-24x²+18х+34№7 y=√x /x ²+1 Ответ: у´=1-3x²/2(x²+1)²√x№ 8 у=3x²-3х+4/2х-1 Ответ: у´=6x²-6х-5/(2х-1) ²Найти производные от сложных функций№9 y=(x ²+2х-6) Ответ: у´=14(х+1)(x ²+2х-6)№10 y=√x /х+1 Ответ:y ´=√ x (х+1)/2х (х+1)²


Вычислить частные значения вторых производных от функций№21y =x³+x²-4х; найти у´´(2) Ответ: у´´(2)=14№22 y= cos²2x; найти у´´(π/12) Ответ: у´´( π/12)=-4Найти производные от функций№23 y=x Ответ:y ´=x lnex№24 y=x Ответ:y ´= x (cosxlnx+sinx/x)

Найти производные от функций.№11 y=ln²x Ответ: y´=2lnx/x№12 y=x ²lnx+ln Ответ: y´=xlnex²№13 y=cos2x-sin3x Ответ: y´= -2 sin2x-3 cos3х№14 у=1-ctgx/1+tgx Ответ: y´=4(cos2x+ sin2x)/(1+ tgx)² sin2x№15 y=3² Ответ: у´=2·3² ln3№16 у=3 ·2 Ответ: у´=24 ln24№17 y=x ²arccosx Ответ: y´=2x arccosx-x²/√1-x²№18 y=xarctgx/2 Ответ: y´= arctgx/2+2x/4+x²№19 y=xlnx Ответ:y ´=1/x№20 y=sin4x Ответ: y´=-16 sin4x

x

x x3

x

xsin


№25

Продифференцировать функции, заданные параметрически.

№25

3

3

sin4

3cos2

ty

tx Ответ

tgtyx 2

№26

2

1

tty

tx 12 tyxОтвет

Найти производные от неявных функций.№27 xy+x+y=1 Ответ:y ´=-y+1/x+1№28 y=xsiny Ответ:y ´=siny/1-xcosy

Определить, возрастает или данная функция в указанных точках(при указанных аргументах)№29 y=1-x²/1+x²; x=-5, x=2, x=7. Ответ: при x=-5 функция возрастает , при x=2 и x=7 функция убывает.№30 y=x²+2 ,x=-1,x =0 ,x=1 Ответ: при x=-1 функция убывает. при x=0 и x=1 функция возрастает.

x


Найти экстремум и указать интервалы возрастания и убывания данных алгебраических функций.№31 y=1-7x² Ответ: максимум в точке x=0, интервал возрастания(-∞,0),интервал убывания (-∞,0) №32 y=x³/3-x²/2-2x Ответ: максимум в точке x=-1,минимум в точкеx=2 ,интервалы возрастания(-∞,-1), и (2;∞), интервал убывания (-1,2,).№33 y=√1+x/1-x Ответ: Экстремумов нет, функция возрастает во всей области определения [1;1;)Исследовать на экстремум и найти интервалы возрастания и убывания данных трансцендентных функций.№34 y=ctgx в интервале (0;π;) Ответ: Экстремума нет, функция убывает.№35 Найти два числа, разность которых равна, а произведение — наименьшее из возможных. Ответ:2.5 и -2,5.№36 Разность между квадратом некоторого числа и квадратом его половины является наименьшей изо всех возможных. Найти это число.

Ответ:0


Исследовать данные кривые на выпуклость, вогнутость и перегиб.№37 y=1-x³ Ответ: перегиб в начале координат, интервал выпуклости (-∞;0;), интервал вогнутости (0;∞;)

№38 y= Ответ: перегиб при x=-½ и x=½, интервалы вогнутости (-∞;-½) и (½;∞;), интервал выпуклости (-½;½;).

№39 . Точка движется прямолинейно по закону S= . Вычислить скорость и ускорение т очки через 2 сек после начала движения.

Ответ: ́́́ν=48м/сек, a=96 м/сек.№40 Точка движется прямолинейно по закону S=60t-5t³. Через сколько времени после начала движения точка остановится ? Найти путь, пройденный точкой до остановки.

Ответ: через 2 сек., S=80м.

24 32 xx

34 43 tt


Вычислить предел, раскрыв неопределённость вида 0/0 по первому правилу Лопиталя.

№41

№42 Ответ: 0

Ответ: -10,5

7123

243lim 23

3

xxx

x

xxx

13

11

1311lim