ISSN 1812-9498. ÂÅÑÒÍÈÊ ÀÃÒÓ. 2007. № 6 (41)

174

УДК 621.9.07

Р. Хевер

Астраханский государственный технический университет

ÀÍÀËÎÃÈÈ ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÈÑÒÅÌ. ÏÐÈÌÅÐÛ ÑÎÑÒÀÂËÅÍÈß ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÌÎÄÅËÅÉ

Введение Метод электромеханических аналогий (ЭМА) изначально разрабатывался в основном для

решения задач электроакустики, для создания моделей различных полей с целью внедрения в механику методов анализа и расчета электрических цепей при исследовании различных дина-мических процессов. В результате этого внедрения в механике при исследовании сложных и разветвленных систем применяют операционное исчисление и механические законы Кирхгофа. Механические системы изображаются в виде контурных схемоцепей, состоящих из комплекс-ных механических сопротивлений [1]. Электромеханические приводы, нагрузка у которых представляет собой сложную механическую цепь, описываются уравнениями на основе законов и методов электротехники и с электрической, и с механической сторон, что обеспечивает на-глядность и удобство анализа системы в целом.

Аналогии механических систем Механические системы с сосредоточенными параметрами разделяются на системы с ли-

нейным и угловым (крутильным) перемещением, которые описываются подобными уравнения-ми. Поясним аналогию между системами с крутильными и линейными перемещениями на кон-кретном примере.

На рис. 1 и 2 изображены механические системы с одной степенью свободы. На рис. 1 масса m под действием силы F(t) совершает продольные колебания в вертикальном направле-нии. Свободному перемещению массы препятствует сила трения. В крутильной системе (рис. 2) к диску с моментом инерции J приложен переменный во времени момент M(t). Диск совершает крутильные колебания на стержне податливостью ek, одна сторона которого закреплена. Враща-тельному движению стержня препятствует сила трения.

Рис. 1 Рис. 2

Для систем на рис. 1, 2 составим уравнения динамического равновесия:

(1)

(2)

Из сопоставления уравнений (1) и (2) аналогия между продольными и крутильными коле-

баниями очевидна. Электрические модели в виде цепей из пассивных элементов для механических систем

с продольными и угловыми перемещениями могут быть построены по двум системам ЭМА.

).(1

d

d

d

d

),(1

d

d

d

d

2

2

2

2

tMet

St

J

tFyet

yS

t

ym

xm

nm

=ϕ+ϕ+ϕ

=++

M(t)

Sm ek

J

F(t)

Sm

eп

m

МОДЕЛИ И МОДЕЛИРОВАНИЕ

175

Электрические модели Рассмотрим пример аналогии между механической и электрической системами [2]. На рис. 3, а приведена простейшая механическая система, состоящая из двух масс –

m1 и m2, соединенных пружиной податливостью e и расположенных на поверхности. Силы тре-ния, препятствующие перемещению масс m1 и m2 по этой поверхности, характеризуются коэф-фициентами S1 и S2. К массе m1 приложена механическая сила F(t) произвольной формы.

Рис. 3 На рис. 3, б построена механическая цепь системы, состоящая из двухполюсных элемен-

тов. Скорость перемещения узлов 1 и 2 (полюсов) характеризуется соответствующими мгно-венными значениями v1 и v2.

Система дифференциальных уравнений, описывающая движение механической системы, имеет вид

=−−+

=−++

∫

∫

.0d)(1

d

d

);(d)(1

d

d

21222

2

21111

1

tvve

vSt

vm

tftvve

vSt

vm

(2)

На рис. 4 изображены две электрические цепи. Дифференциальные уравнения, составлен-ные по законам Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений, представлены соот-ветственно в виде систем:

(3)

(4)

=−−+

=−++

∫

∫

0d)(1

d

d

);(d)(1

d

d

21222

2

21111

1

tiiC

irt

iL

tetiiC

irt

iL

=−+

=++

∫

∫

.0d1

d

d

);(d1

d

d

222

2

111

1

tUL

Ugt

UC

titUL

Ugt

UC

Lcc

Lcc

m2 v2 v1

e

S2

F(t)

m1

S1

v2 v1 e

F(t) m1 m2 S1 S2

а

б

ISSN 1812-9498. ÂÅÑÒÍÈÊ ÀÃÒÓ. 2007. № 6 (41)

176

Рис. 4

Из сравнения систем дифференциальных уравнений для механической системы (2)

и электрической (3) и (4) следует, что электрические цепи (рис. 4) имеют аналогичное с механической системой математическое описание и, следовательно, являются электрическими моделями – аналогами рассмотренной механической системы.

Согласно исследованиям и в соответствии с [3] можно представить связь между парамет-рами механической и электрической систем по I и II системам ЭМА в следующем виде (табл.).

Соотношение между параметрами механической и электрической систем

Электрическая система

Механическая система I система

ЭМА Обозначение II система

ЭМА Обозначение

Обобщенная координата

Заряд q Магнитное

потокосцепление Ψ

Обобщенная скорость

Ток i Напряжение u

Обобщенная сила

Напряжение u Ток i

Виртуальная работа

– Udq – idΨ

Обобщенная масса

Индуктивность L Емкость C

Подтатливость Емкость C Индуктивность L

Сопротивление трения

Омическое сопротивление

R Омическая

проводимость g

Количество движения

Потокосцепление Li Потокосцепление Ψ

Рассеяние энергии

Рассеяние энергии 2

2Ri

Рассеяние энергии 2

2gu

Потери Потери Потери

Кинетическая энергия

Магнитная энергия 2

2Cu

Электрическая энергия 2

2Cu

Потенциальная энергия

Электрическая энергия C

q

2

2

Магнитная энергия L2

ψ2

L2 L1 r1

r2 E(t)T

i1 i2

а

i(t) C1 g1 g2 C2

2 1

i g2

L

i g1

L

i с1 i c 2

LUc1

LUc2

L

б

МОДЕЛИ И МОДЕЛИРОВАНИЕ

177

Заключение Аналогия между механической и электрической системами по рис. 4, а в литературе по-

лучила название «сила – напряжение», аналогия по рис. 4, б – «сила – ток». Из рассмотренного примера следует, что эквивалентирование основано на аналогии соот-

ветствующих видов энергии (рис. 5).

Рис. 5

Если кинетическая и потенциальная энергии механической системы эквивалентны энер-

гии магнитного и электрического поля соответственно, то моделирование параметров данной системы осуществляется по I системе ЭМА, если наоборот – по II системе ЭМА.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Нуберт Г. П. Измерительные преобразователи неэлектрических величин. – Л.: Энергия, 1970. – 360 с. 2. Атабеков Г. И. Основы теории цепей: Учеб. для вузов. – М.: Энергия, 1969. – С. 101–103. 3. Веников В. А. Теория подобия и моделирования (применительно к задачам электроэнергетики). – М.:

Высш. шк., 1976. – 480 с.

Статья поступила в редакцию 30.11.2006

ANALOGIES OF MECHANICAL SYSTEMS: EXAMPLES OF ELECTRIC MODELS BUILDING

R. Khever

In this article the author reveals the notion of electromechanical analogies. He gives the description and analysis of different methods of modeling and also the method of electromechanical analogies.

Энергия магнитного поля

Wм

Кинетическая энергия

T

Потенциальная энергия

V

Энергия электрического

поля Wэ