Download pdf - ДЕСТРУКЦИЯ СКОЛЬЗЯЩЕГО ЛАМЕЛЬНОГО КОНТАКТА

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. –

М.: Наука, 1981. – 487 с.

2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Академия, 2005. –

576 с.

3. Абезгауз Г.Г., Тронь А.П., Копёнкин Ю.Н., Коровина И.А.

Справочник по вероятностным расчётам. – М.: Воениздат,

1970. – 536 с.

4. Болотин В.В. Прогнозирование ресурса машин конструк�

ций. – М.: Машиностроение, 1984. – 312 с.

5. Башуров Б.П. Пути совершенствования технической эксплуа�

тации вспомогательного оборудования энергетических устано�

вок судовых транспортных средств. – Новороссийск: НГМА,

2002. – 269 с.

6. Слободян С.М. Телевизионная диагностика лазерных пуч�

ков. – Барнаул: Азбука, 2006. – 224 с.

7. Петров В.В., Соболев В.И. Энтропийный подход к оценке ка�

чества систем автоматического регулирования // Доклады

РАН. – 1996. – Т. 387. – № 4. – С. 799–801.

8. Берже П., Помо М., Видаль К. Порядок в хаосе. – М.: Мир,

1991. – 160 с.

9. Шустер Г. Детерминированный хаос / пер. с англ. – М.: Мир,

1988. – 242 с.

10. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры

из бесконечного рая. – Ижевск: РХД, 2001. – 528 с.

11. Деева В.С., Романишина С.А.Устойчивость энтропийной жи�

вучести систем // Молодёжь и наука: Матер. VIII Всеросс. на�

учно�техн. конф., посвящённой 155�летию со дня рождения

К.Э. Циолковского. – Красноярск, 19–27 апреля 2012. – Крас�

ноярск: Сибирский федеральный университет (СФУ), 2012. –

С. 120–123.

Поступила 27.03.2012 г.

Известия Томского политехнического университета. 2013. Т. 322. № 2

72

ВведениеДеструкция – разрушение тонкого слоя сопри�

касающихся поверхностей в процессе контактноговзаимодействия разной или соизмеримой упруго�сти твердых тел, называемая часто износом, об�условлена если не в основном, то в наибольшейстепени физико�механическими факторами раз�личной природы.

Как показано в [1–7], именно эмиссия фрак�ций деструкции (процесса разрушения тонких по�верхностных слоёв вступающихся в контакт тел)является причинно�следственным отражением из�носа – изменения объёма подвижных тел в процес�се непосредственного контакта, вызываемогов большей степени движением скольжения поверх�ности одного тела по соприкасающейся с ней по�верхностью другого тела (трением скольжения) и вменьшей степени – процессом качения элементоводной поверхности по поверхности другого тела(трением качения).

Для процесса непосредственного контактногоскольжения характерно то, что области структурповерхностных слоёв тел, находящихся в контакт�

ном взаимодействии, в течение всего процессакаждый раз испытывают контактное прямое со�прикосновение со структурно разными областямивзаимно видоизменяющегося ввиду силовой меха�нической деструкции двумерного поля поверхно�стей обоих подвижных тел. Пространственные из�менения двумерной структуры поверхностных сло�ёв тел вызваны в большей степени взаимным сре�занием (ломкой выступов) неравномерностей по�верхностей тел в контактном пространстве.

В отличие от скольжения как механическоговида относительного движения тел, процессу каче�ния поверхности одного подвижного тела по по�верхности другого, в частном случае неподвижно�го, в большей степени присущи объёмные дефор�мационные явления (упругая и пластическая де�формации) и в меньшей степени – явления срезаи выкрашивания агломератов в виде отдельныхфракций. Данные фракции отличаются по своимразмерам и приводят в динамике процесса своегоперемещения в направлении вектора скольжения квзаимному дроблению неравномерностей много�мерной структуры поверхностных слоёв обоих тел.

УДК 621.313:534

ДЕСТРУКЦИЯ СКОЛЬЗЯЩЕГО ЛАМЕЛЬНОГО КОНТАКТА

В.С. Деева, С.М. Слободян

Томский политехнический университетE�mail: [email protected]; [email protected]

Предложен вероятностный подход к описанию динамики разрушения контактной пары тел в процессе скольжения одного по бес�конечной периодической поверхности другого тела. Проведен анализ возможности решения проблемы точной оценки живучестищёток электрических машин. Предложена марковская модель износа щёток при скольжении по ламели коллектора машин.

Ключевые слова:Стохастическая динамика, скользящий контакт, ламель, деструкция.Key words:Stochastic dynamics, sliding contact, lamella collector, destruction.

В общем случае в зависимости от структуры по�верхностных слоёв контактно взаимодействующихтел в контактном пространстве на практике, в ре�альных условиях, при силовом контактном дина�мическом взаимодействии материальных тел при�сутствуют оба процесса с разной степенью приори�тета и превалирования по рангу влияния и веса де�струкции. Ранее [5–7] были рассмотрены особен�ности контактного динамического взаимодействияэлемента контактной пары скользящего по беско�нечной протяжённости сплошной шероховатойповерхности второго элемента. На практике по�добных вариантов скользящего контактного взаи�модействия (контактных пар), особенно в электро�и энергомашиностроении, не говоря уже о маши�ностроении, весьма много: «электрическая щёт�ка – контактное кольцо» в электрогенераторах иэлектродвигателях, «метаемое тело – направляю�щие шины – салазки» при электромагнитном мета�нии тел, «токоведущий провод – направляющаяскоба» в троллее и т. д.

Однако в той же области электро� и энергома�шиностроения существуют и другие варианты по�движных устройств передачи энергии тока, в осно�ве функционирования которых лежит принципскользящего контактного взаимодействия двух то�копроводящих пар элементов. Например, коллек�торные электрические и электромеханические пре�образователи, машины и аппараты, принципфункционирования которых основан на примене�нии скользящего контактного взаимодействия двухтокопроводящих элементов – контактной пары,один из элементов которой представляет собойпрофилированную периодической структуры, кон�тактную в первом приближении, кольцевую беско�нечной протяжённости поверхность. Такой родконтактной поверхности в электрических машинахи аппаратах порождает ряд проблем, обусловлен�ных наличием периодического прерывания пере�дачи энергии тока (коммутации) в процессе сколь�зящего перехода контактного элемента от однойэлементарной ячейки поверхности (ламели) пе�риодической структуры (коллектора) к другой,смежной с ней. Возникающий при этом ряд про�блем называют проблемами коммутации, которыеподробно рассмотрены в [2–4]. Наибольшее вни�мание исследователей привлекает проблема повы�шения ресурсных характеристик и коммутацион�ной надёжности – основных и очень важных эк�сплуатационных характеристик коллекторныхэлектрических и электромеханических аппаратов,в сильной степени определяемых состоянием из�носа щёточно�коллекторного узла токосъёма. Дан�ная проблема актуальна до сих пор [2–7].

Краткий анализ коммутации энергии узлом токосъёмаПериодический процесс коммутации щёточ�

ным узлом скользящего токосъёма коллекторнойцепи передачи тока обусловлен [1–4] принципомработы коллекторных электрических машин и ап�

паратов, например генераторов. Так же как и в лю�бой динамической системе с временной много�факторной вариацией поля параметров, изменениеодного или симбиоз нескольких наиболее чувстви�тельных параметров может заметно повлиять настабильность периодического процесса прерывае�мой передачи тока и привести при определённыхусловиях к росту коммутационной напряжённостии развитию детерминированной хаотической неу�стойчивости процесса транспортировки энергии –передачи тока от одного элемента к другому сколь�зящим по поверхности коллектора щёточным кон�тактом. Скользящий по периодической поверхно�сти коллектора контактный элемент – щётка – этоважный фактор существенного влияния на изме�нение тока не только в коммутируемой секции, нои в контуре коммутации. Требование высокой ком�мутационной устойчивости – один из аспектов,определяющих постоянное внимание к проблемеповышения надёжности и ресурса коллекторныхэлектрических машин. Особенно важным для до�стижения высокой коммутационной устойчивостиявляется обеспечение непрерывности щёточногоконтакта при передаче тока узлом скользящего то�косъёма в условиях динамической неустойчивостипрофиля контактной поверхности коллектораи нестабильности параметров ряда других узлов.Устойчивость процесса коммутации – фактор «бе�зыскровой» работы коллекторных электрическихмашин и аппаратов.

Для краткого анализа явлений динамика про�цесса коммутации тока в электрических машинахэтого типа в достаточно общем случае может бытьпредставлена видом нелинейного дифференциаль�ного уравнения первого порядка [2, 3]:

где – э.д.с. сам�

оиндукции; δuщ(J)=[Δuн(J)–Δuc(J)] – разность зна�чений переходных падений напряжений на про�странственном интервале размера щётки (междупередним набегающим Δuн(J) и задним сбегающимΔuc(J) краями щётки); i(t) – коммутируемый ток;Rs – сопротивление коммутируемой секции; ek(t) –коммутирующая э.д.с., наводимая в секции (при еёвзаимодействии с магнитным полем) в зоне ком�мутации. Эта система уравнений используетсяпрактически всеми исследователями [2–4] как ос�нова изучения процесса коммутации.

Идеальной коммутации соответствует наилуч�шая коммутационная устойчивость машин, когдаdi/dt=0 и для предельно малого размера щётки(игольчатый электрод), когда Δuн(J)≡Δuс(J). Тогданелинейное дифференциальное уравнение первогопорядка процесса коммутации вырождается в типуравнения закона Ома: i(t)Rs=ek(t).

Если первое условие – достижение высокойкоммутационной устойчивости – считать целью,

1

è k

L k kk

di die L e M

dt dt=

= − = −∑

ù1

( ) ( ) ( ),k

k s kk

di diL M u J i t R e tdt dt

δ=

+ = − −∑

Математика и механика

73

то второе (минимизация δuщ(J) – разности пере�ходных падений напряжений на щётке, а в идеалеобеспечение соотношения Δuн(J)=Δuс(J)) являетсяфактором достижения этой цели.

В [2–4] показано, что наиболее сложным дляучёта в уравнениях контура коммутации коллек�торных электрических машин является случайныйхарактер распределения электрической проводи�мости в контактном слое. Так же как и при контак�те щётки, скользящей по непрерывной поверхно�сти контактного кольца [5–7], в зависимостиот особенностей структуры контактно сопрягае�мых поверхностей скользящих относительно другдруга тел, в контактном пространстве щёточногоузла токосъёма могут возникать разные виды кон�тактного взаимодействия: прямой контакт нерав�номерностей поверхностей соприкасающихся эл�ементов тел; контакт поверхностей через слой сме�си фракций деструкции (разрушения) элементовповерхностей этих же тел; совместное действиепервых двух факторов (симбиоз обоих приведён�ных случаев) – частичное наличие прямого непо�средственного точечного контакта выступами по�верхностей тел с присутствием частичного образо�вания проводящих ток областей через слой фрак�ций деструкции поверхности тел. Во всех перечи�сленных типах часть контактного пространства за�нимают области полного отсутствия контакта, за�нятые газом окружающей среды (воздух). Поэтомуконтактные пространства щётки, скользящейпо составному (ламельному) и сплошному кольцуколлектора, существенно отличаются, но и то идругое с позиции динамического взаимодействияявляется вероятностной динамической системой.Характеристики такой динамической системыопределены физико�механическими свойствамиструктур поверхностных слоёв и динамикой кон�такта тел, естественно с учётом электромагнитноговлияния транспортируемой энергии.

Для повышения точности оценки состояниящётки, скользящей по ламельной периодическойконтактной поверхности коллектора, лучшего учё�та влияния фактора контактной периодичностискольжения и более точного приближения оценокреальной нестабильности периодического процес�са коммутации тока в ламельном коллекторном то�косъёме ниже на основе марковской модели кон�тактного динамического взаимодействия элемен�тов скользящего токосъёма проведён анализ веро�ятностной динамики контактного пространства,образованного скользящей по ламелям коллектораконтактной парой «щётка–коллектор», позволяю�щей оценивать в реальном времени состояниеи живучесть щёточного узла периодического кол�лекторного токосъёма машин.

Сущность модели локального контактного пространства на ламелиВ контактном процессе одного элемента, сколь�

зящего по периодической ламельной структуре,со вторым элементом узла токосъёма можно выде�

лить четыре последовательно сменяющих друг дру�га состояния механического и электрического кон�такта: разомкнутое, замыкание, замкнутое, размы�кание. Практически на всех стадиях смены состоя�ния происходит механический износ поверхностейобоих элементов контактной пары, что сказываетсяна живучести контакта, определяемой долговечно�стью существования объёма элементов контактнойпары. Взаимодействие тел приводит к сложным фи�зико�механическим процессам, заметно изменяю�щих идеализацию периодического контактного со�единения пары элементов в области щёточного то�косъёма. Скользящее взаимодействие элементовконтакта влечет, как правило, изменение их свойствввиду фрикционного износа. Это заметно влияетна физику и механику процесса контактного взаи�модействия, в том числе на состояние поверхно�стей, надёжности работы и живучести элементовконтакта. Живучесть элементов контактной пары –мера длительной и надежной работы контакта в це�лом. С позиций живучести наиболее тяжелые усло�вия существуют для щёточного узла как наиболееподверженного деструкции, хотя и неподвижногоэлемента электрического контакта, выполняющегоразмыкание и замыкание электрической цепи,в которой протекает сильный ток. При работе такихконтактов на стадиях «замыкание–скольже�ние–размыкание» образуются электрические дугис температурой, приводящей к изменению упругихсвойств материала элементов контакта в сторонуусиления пластичности материала, частичногоплавления и изменения структуры контактирую�щих поверхностей. Контроль и диагностика живу�чести такой контактной пары актуальны для оцен�ки состояния широкого класса коллекторных элек�трических машин и аппаратов.

Рассматриваемая ниже математическая модельаналитического описания динамики ламельно�щё�точного, по временной последовательности – пе�риодического контакта коллекторных электриче�ских машин и аппаратов ориентирована на ком�пьютерное и имитационное моделирование кон�тактного пространства с дискретными фракциями.Сущность представляемой ниже математическоймодели контактного пространства – математиче�ский и имитационный алгоритм, каждая компью�терная реализация которого – адекватная имитациясовокупности процессов эмиссии фракций износав течение реального времени функционированиямоделируемого контактного пространства. Содер�жание и связь событий в модели, их временная ди�намика соответствуют содержанию и последова�тельности протекания процессов в реальной кон�тактной системе. При этом предполагается, чтона каждое вероятностное событие – эмиссию фрак�ций разрушения области поверхности любого из эл�ементов контактной пары – модель реагирует мгно�венно (скачком) в некоторый момент времени.

Контактные пространства отличает сложностьи разнообразие способов взаимодействия поверх�ностей, структуры элементов контактной пары ал�


74

горитмов протекания процессов. Выбор параме�тров контактного пространства в процессе опти�мизации щёточного узла скользящего токосъёмаявляется трудной задачей из�за отсутствия матема�тического аппарата для их анализа.

Модель контактного пространства на основепредставлений системного подхода можно пред�ставить совокупностью формализованных описа�ний процессов, каждое из которых представляетсобой совместное действие (симбиоз) взаимосвя�занных алгоритмов, состоящий из операторови описательной части. Пространственные и вре�менные изменения структуры и свойств реальногоконтактного пространства элементов контактнойпары скользящего токосъёма представлены в моде�ли совокупным поведением дискретных процес�сов, совмещённых в непрерывно меняющемсяусловном времени. Основой лаконичного описа�ния функционирования контактного пространстваслужит аппарат процессов Маркова – эквивалентсоответствующих реальных процессов.

Структура локального ламельного контактного пространстваАнализ физики и механики явлений в щёточ�

ном контакте электрических машин показывает,что для общности анализа динамики областей со�прикосновения поверхностей элементов контакт�ной пары «щётка – ламель коллектора», как и прискольжении на сплошном бесконечной протяжён�ности контактном кольце [5–7], можно принятьделение на два логических множества областейконтакта: проводящих и не проводящих ток. Слу�чайный процесс, основанный [8] на показательномзаконе описания событий, может быть применендля исследования физико�механических явлений,протекающих в контактном пространстве любоговида процессов динамического взаимодействиясред и тел.

Одну из областей контактного слоя (область ос�новного контакта), частично образованную пря�мым соприкосновением проводящих ток неравно�мерностей поверхности элементов контактной па�ры, будем считать полным контактным множе�ством. Другая часть этого множества обусловленаконтактом поверхностей этих элементов через бу�ферную проводящую ток прослойку, образованнуюфракциями разрушения разной дисперсности,но в большей части частицами износа обоих эл�ементов пары, в том числе контактирующими свыступами неравномерностей поверхности любогоиз элементов контактной пары. Вторая область –пространство примыкающих друг к другу областейвоздушного зазора (т. е. областей, в которых кон�такт поверхностей элементов пары отсутствует).Зона отсутствия контакта – пустое множество.

Контактное пространство пары «щётка–ла�мель» в течение времени перекрытия их контакт�ных поверхностей может находиться в любом ij�мконечном (счётном) или бесконечном числе со�стояний. Примем, что m есть максимальное в сред�

нем число состояний, которое определяется мини�мальным дисперсным размером отторгаемых кон�тактной парой дискретных фракций деструкции Vдф

и объёмом наименьшего элемента. Для элементапрямоугольной формы Vэ=aэbэcэ (произведение раз�меров):

(1)

Здесь скобки �…� – усреднение по множествуразмеров фракций разрушения элементов контакт�ной пары. При неправильной геометрии фракцийкак агломерата деструкции средний размер фрак�ции определится интегральной формулой вычи�сления объёма.

Обоснование марковского подходаЭмиссия дискретных фракций деструкции (из�

носа) – отрыв от объёма среды плотноупакованнойструктуры тела одного из элементов контактнойпары скользящего токосъёма в результате скользя�щего взаимодействия слоёв их поверхностей, при�водящий к переходу контактного множества из од�ного состояния в другое, – происходит не в фикси�рованные, а в произвольные моменты времени.Это и определяет стохастичность траектории изме�нения пространственно�временного состоянияконтактного пространства, условий передачи энер�гии в контактном слое «щётка–ламель коллектора»и вероятностный характер процесса коммутациитока узлом скользящего токосъёма.

Случайный процесс скачкообразного измене�ния состояния контактного пространства и множе�ства на действительной оси непрерывного временибудет, следуя классическому понятию [8], марков�ским, если для любого момента времени контакт�ного взаимодействия пары элементов токосъёмаусловные вероятности всех состояний контактногомножества С в будущем (при t>t0) зависит толькоот того, в каком состоянии cj находится контактноемножество С в настоящем (при t=t0), и не зависитот того, через какие состояния cj оно прошлона интервале t<t0, когда и каким путём контактноемножество С пришло в настоящее состояние.Кратко – будущее марковского контактного мно�жества зависит от прошлого только через его на�стоящее.

Привлекательность аппарата теории марков�ских процессов в анализе «живучести» скользяще�го токосъёма основана на сравнительной простотематематического описания обобщённого поведе�ния состояния контактного взаимодействия тел.Следует понимать, что описание динамики поведе�ния контактного множества, как и обобщённоеотождествление стохастичности контактного про�цесса в «чистом виде» с марковским, являетсяв большей или меньшей степени некоторым, хоро�шо совпадающим с практикой, асимптотическимприближением к реальному. При марковском ана�лизе удобно принять, что переходы – скачки изме�нения – контактного множества С обусловленыэмиссией фракций разрушения элементов тел в

ý äô ý ý ý ýsup{ / } ( ) .m V V à b ñ V= =


75

контактное пространство. Это подтверждается экс�периментальными данными [1–4].

Следуя теории марковских случайных процес�сов, для контактного пространства с дискретнымисостояниями и непрерывным временем изменениясостояний примем, что поток фракций износа эл�ементов контактной пары (входит в «политуру»),переводящий контактное множество из одного со�стояния в другое, является пуассоновским не всег�да, а значит, не обязательно стационарным, уста�новившимся. Плотность его распределения описы�вается в общем случае показательным законом,в простейшем случае [8] – законом Пуассона с ха�рактерным отсутствием последействия. Именноэто обстоятельство и позволяет при оценке настоя�щего состояния контактного множества ci в моментt не выяснять, как и когда оно оказалось в этом со�стоянии. Переход С из состояния ci в cj происходитпод воздействием пуассоновского потока эмиссиифракций разрушения с интенсивностью λij(t). Пер�вая же фракция разрушения контактной пары(щётки или коллектора), пополнившая контактноемножество или, наоборот, покинувшая его про�странство, скачком изменяет состояние ci множе�ства на cj. Ветвь графа смены состояний контакт�

ного множества С имеет вид где стрел�

ка с указанием интенсивности потока фракций по�казывает направление смены состояния.

Анализ одиночного ламельного контактного циклаРассмотрим физический процесс контактного

разрушения плотно упакованной щётки, содержа�щей m фракций (определяется формулой (1)), прискольжении по периодически структурированнойповерхности ламелям коллектора. Процесс кон�тактного взаимодействия щётки с любой ламельюколлектора можно анализировать при следующихпредположениях.

Интенсивность простейшего пуассоновскогопотока фракций деструкции в контактное про�странство «щётка–коллектор» равна λ, где

– const на всех интервалах времени

ламельного контакта. Время контакта щёткис каждой ламелью коллектора на уровне среднегозначения (математическое ожидание) определяет�ся режимом работы (nоб – числом оборотов в мину�ту) и конструктивными особенностями (nлк – чи�слом ламелей коллектора; pпп – числом пар полю�сов электрической машины):

Если принять T–

ж – среднюю длительность«жизни» щётки (паспортное её значение устана�вливается производителем), – то среднее числофракций, эмитируемых за время контакта щёткис каждой ламелью при средней интенсивности по�тока эмиссии фракций λ–=m/T

–ж, составит:

Итак, из полного объёма фракций (1) с интен�сивностью стационарного пуассоновского потокаλ любая дискретная фракция может попадатьв контактное пространство «щётка–ламель» и уча�ствовать в изменении состояния полного контакт�ного множества. Время пребывания фракциив полном контактном множестве для приближенияПуассона распределено по показательному законус параметром γ, а время её аннигиляции (переходав пустое множество, разрушения до малых разме�ров, удаления из контактного пространства, воз�врата за счёт адгезии в структуру щётки) или поки�дания – с параметром μ. Траекторию смены со�стояний контактного пространства в интервалеединичного цикла взаимодействия щётки с ла�мелью коллектора можно представить в виде про�стейшего кольцевого графа.

Определим вероятности состояний контактно�го пространства (полного контактного множества),если в начальный момент оно уже существовалос вероятностью 1, то есть контакт щётки с коллек�тором был обеспечен. При этом примем: С1 – на�чальное состояние контактного множества (кон�такт пары «щётка–коллектор» обеспечен); С2 –произошла эмиссия (или принудительная подача)в контактное пространство дискретных фракцийс интенсивностью λ, формирующих контактноемножество; С3 – раздробленные (до пренебреже�ния учёта их участия) фракции за счёт адгезии,принудительной подачи или заменившие их тран�зитные фракции с интенсивностью μ стремятсявосстановить начальное состояние. В соответствиис логикой изменения фрактального множества, ве�роятности изменения дискретных состояний ла�мельного контактного множества на оси непре�рывного времени отразит следующая система диф�ференциальных уравнений Колмогорова как одно�родного марковского процесса [8]:

(2)

с начальными условиями: р1(0)=1; р2(0)=р3(0)=0.Тогда, с учётом несовместности действия разныхтраекторий фракций, справедливо условие норми�ровки – равенства единице полной вероятностивсех событий р1(t)+р2(t)+р3(t)=1 или

(3)

которым можно заменить любое из уравнений си�стемы (2).

Система дифференциальных уравнений веро�ятности состояний контактного множества ла�мельно�щёточного пространства, отражающаяпринятую постановку задачи, отображаемой гра�фом состояний этого пространства, согласно пра�вилам описания динамики смены состояний, изло�

3

1

( ) 1 (0 ( ) 1; 0),i i

i

p t p t t=

= ≤ ≤ ≥∑

1 3 1

2 1 2

3 2 3

( ) ( ) ( );

( ) ( ) ( );

( ) ( ) ( )

p t p t p t

p t p t p t

p t p t p t

μ λ

λ γ

γ μ

= −⎧ ⎫⎪ ⎪

= −⎨ ⎬⎪ ⎪= −⎩ ⎭

�

�

�

ë æ ë/ .i i imT T Tλ λ= =

ë ïï îá ëê60 / ( ).i

T ð n n=

1

n

i iji

λ λ λ=

= = ∑

( )

,ijt

i jC C

λ

⇒


76

женных в [8], с соблюдением условия нормировки(3) и начальных условий {р1(0)=1;р2(0)=р3(0)=0}примет вид:

(4)

Используя свойства преобразования Лапласапри его применении для решения системы диффе�ренциальных уравнений Колмогорова путём заменыизображения вероятности состояния pi(t) на функ�цию πi(x), с учётом которой изображение условия

(3) меняет вид система дифферен�

циальных (4) вырождается [8] в систему алгебраиче�ских уравнений оценки вероятности состояний:

с решением

где

(5)

и (A=λ+μ+γ; B=λμ+λγ+γμ) – квадратное уравне�ние с дискриминантом, при p(x)=0 равнымΔ=B–A2/4=0,25(4B–A2). Для положительных зна�чений параметров пуассоновского потока фракций(λ>0;μ>0;γ>0) поведение дискриминанта говорит овозможности принятия им любых значений на чи�словой оси –∞…+∞: Δ≥0, Δ=0, Δ≤0.

Следуя [8], для уравнения (5) с отрицательнымдискриминантом Δ≤0, приводящим к двум разнымотрицательным корням x1x2=B и x1+x2=–A,x1,2=(–A±√

⎯A2–

⎯4B⎯

)/2, можно получить соотноше�ния для оценки вероятностей состояния множе�ства контактного пространства:

При t→∞ ламельное контактное пространствоколлектора в своём подобии асимптотически при�ближается к свойствам контактного множества насплошном контактном кольце. Для примера, приμ=γ=1: λ=3 имеем: p2(t)=p3(t)=3/7, p1(t)=1/7 или

Другие ситуации: λ=0, когда p2(t)=p3(t)=0,p1(t)=1, эмиссии и износа нет; щётка в исходномсостоянии; μ=0 – фракции не возвращаются вполное множество: p3(t)=0; p1(t)=1–p2(t); γ=0 –фракция без задержки вылетает из контактногомножества.

Эргодичность ламельного контактного пространстваКонтактное пространство на ламели коллекто�

ра представляет собой простейшее эргодическоеконтактное пространство. Все потоки фракций,переводящих пространство из одного состоянияв другое, – пуассоновские (простейшие), а все слу�чайные состояния являются транзитивными.

Следуя этому определению, для обобщённойформе записи системы однородных вероятностныхуравнений с постоянными коэффициентами

считая контактное множество на ламели простей�шим, эргодическим, получим простую системуоценки предельных вероятностей финального со�стояния ламельного контактного пространства:{p1=μp3/λ; p2=λp1/γ; p3=γp1/μ}, или, с условием нор�мировки,

(6)

Из (6) следует p3=λp1/μ и условие нормировкиполучает вид: p1+(λ/γ)p1+(λ/μ)p1=1 илиp1[(γμ+λμ+λγ)/γμ]=1. Для μ=γ=1: λ=1 имеемp1=p2=p3=1/3; λ=3: p1=1/7, p2=p3=3/7; λ=5: p1=1/11;p2=p3=5/11 и т. д. Равенство значений траекториипроцессов, отражаемых вероятностями р2 и р3, приизменении интенсивности эмиссии λ означаетих весьма близкий характер поведения. Иначе го�воря, пределы вероятностей состояния контактно�го ламельного пространства при t→∞ и получае�мые предельные вероятности финального состоя�ния контактного пространства аутентичны.

Смысл понятия предельной вероятности ламельного пространстваПредельная вероятность состояния рi при мар�

ковском формировании ламельного контактногопространства с дискретными состояниями и не�прерывным временем имеет смысл, аналогичныйпредельным вероятностям для однородной цепиМаркова:

(7)

где t#i – среднее (математическое ожидание) времяоднократного пребывания контактного простран�ства С в состоянии сi; t

#i – среднее время цикла тра�

ектории блуждания контактного множества С от�носительно состояния сi. Если учесть время пребы�вания С вне сi, то выражение (7) приобретёт вид:pi=t#i/(t#i+τ–≠ci

), где τ–≠ci– среднее время однократного

пребывания контактного множества С вне состоя�ния сi. Другими словами, предельная вероятность рi

/ ,i i ip t τ=

1 3 2 1 1 2 3{ / ; / ; 1}.p p p p p p pμ λ λ γ= = + + =

1 1

/ ; ( , 1, 2, ..., ),n n

i ij i j j ij

i i

p p i j nλ λ λ λ= =

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑

1 1 2 2

3 3

lim ( ) 1/ 7, lim ( ) 3 / 7,

lim ( ) 3 / 7.

t t

t

p t p p t p

p t p

→∞ →∞

→∞

= = = =

= =

1 2

1 2

1 2

1 2 3

2 1 2

2 1 1 2

1 2

3 2 1 1 2

1 2

( ) 1 ( ) ( ) ;

( ) [( ) / ( )]

[1 ( ) / ( )];

( ) [1 ( ) / ( )] .

x t x t

x t x t

x t x t

p t p t p t

p t e e x x

x e x e x xx x

p t x e x e x xx x

λ

λμ

λμ

= − −

= − − +

+ + − −

= + − −

2

1 2( ) ( )( )p x x Ax B x x x x= + + = − −

1

2

3 2

( ) [ ( )] / ( );

( ) ( ) / ( ),

x x x p x

x x x

π λ μ

π γπ μ

−= +

= +

2 1 2

31

3 2 3

1

( ) ( ) ( );

( ) ( ) ( ); ( )

i

i

x x x x

x x x x x x

π λπ γπ

π γπ μπ π −

=

= −⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬

= − =⎪ ⎪⎩ ⎭

∑

1

1

( ) ,n

i

i

x xπ −

=

=∑

1 3 1

2 1 2

3 2 3

( ) ( ) ( );

( ) ( ) ( ); .

( ) ( ) ( )

p t p t p t

p t p t p t

p t p t p t

μ λ

λ γ

γ μ

= −⎧ ⎫⎪ ⎪

= −⎨ ⎬⎪ ⎪= −⎩ ⎭

�

�

�


77

есть отношение времени пребывания простейшегоэргодического контактного множества С в состоя�нии сi к сумме математических ожиданий времён t#i

и τ–≠ci. Устанавливает их взаимосвязь следующая си�

стема:

Иначе, пуассоновский однородный потокфракций, переводящий контактное множествоС не из конечного состояния сi, является простей�шим с интенсивностью λi. При этом интервал вре�мени t#i от любой точки на оси времени до ближай�шего акта смены состояния пространства под дей�ствием простейшего потока фракций распределёнпо показательному закону с параметром, равныминтенсивности этого потока: t#i=λi

–1.

ВыводыОпределена статистическая марковская анало�

гия подобия динамического процесса разрушениящёточного элемента, скользящего по периодиче�ской ламельной структуре, процессу скольжениящётки на сплошной, бесконечной протяжённости,поверхности контактного кольца. Разработана ана�литическая модель динамических случайных про�цессов в скользящем по поверхности периодиче�ской структуры – ламелям коллектора – щёточномконтакте, учитывающая совокупное влияние слу�чайных факторов в параметрах дискретного потокаэмиссии фракций деструкции и позволяющая ис�следовать основные характеристики и оцениватьсостояние контактного узла токосъёма вероятност�ными методами и моделированием.

{ / (1 ); (1 ) / }.i ii c i i c i i i

t p p t p pτ τ≠ ≠= − = −


78

Изучение радиационного баланса планетныхатмосфер проводится на основе методов теориипереноса излучения и численных методов [1, 2].При проведении исследований используются раз�личные модели атмосферы с подстилающей по�

верхностью [3–5]. Точность получаемых результа�тов зависит от точности используемых приближе�ний и учета всех эффектов, существенно влия�ющих на результат, например эффекта простран�ственной ограниченности дисперсной среды [6, 7].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1. Мышкин Н.К., Кончиц В.В., Браунович М. Электрические

контакты. – М.: Издательская группа URSS, 2008. – 560 с.

2. Лившиц П.С. Скользящий контакт электрических машин. –

М.: Энергия, 1974. – 272 с.

3. Копылов И.П. Электрические машины. – М.: Логос, 2000. – 607 с.

4. Плохов И.В. Комплексная диагностика и прогнозирование

технического состояния узлов скользящего токосъёма турбоге�

нераторов: автореф. дис. … д�ра техн. наук. – СПб., 2001. – 36 с.

5. Слободян М.С., Слободян С.М. Модель динамики электриче�

ского контакта // Приборы и системы: управление, контроль,

диагностика. – 2010. – № 2. – С. 42–47.

6. Слободян М.С., Слободян С.М. Деструкция тел скользящего

контакта // Известия Томского политехнического университе�

та. – 2011. – Т. 318. – № 2. – С. 20–25.

7. Деева В.С., Слободян С.М. Физическая модель разрушения

скользящего токосъёма // Инженерная физика. – 2011. –

№ 6. – С. 32–37.

8. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и её

инженерные приложения. – М.: Академия, 2009. – 384 с.

Поступила 18.01.2013 г.

УДК 535.36

ПЕРЕНОС ОПТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В СЛОИСТОЙ ДИСПЕРСНОЙ СРЕДЕ С ОТРАЖАЮЩЕЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

Б.В. Горячев, С.Б. Могильницкий

Томский политехнический университетE�mail: [email protected]

Рассмотрен перенос излучения в двухслойной дисперсной среде с отражающей поверхностью. Получены аналитические выра�жения для определения характеристик радиационного баланса. Показано, что приземный слой атмосферы даже при малой ве�личине оптической плотности и ее слабом изменении оказывает существенное влияние на отражательную способность системы«двухслойная среда – отражающая поверхность» при всех значениях коэффициента отражения подстилающей поверхности.Установлено, что увеличение оптической плотности приземного слоя атмосферы с поглощением приводит к почти полной неза�висимости поглощательной способности системы «двухслойная среда – отражающая поверхность» от коэффициента отраженияподстилающей поверхности.

Ключевые слова:Радиация, баланс, дисперсная среда, слой, отражающая поверхность.Key words:Radiation, balance, dispersion media, layer, reflective surface.