10

УДК 519.8 Горшков В.В., доктор технических наук, профессор

Исаков О.А., аспирант ФГУП «СТАНДАРТИНФОРМ», г. Москва

ДВУХКОМПОНЕНТНАЯ МОДЕРНИЗАЦИЯ КОМПЬЮТЕРНОГО И СЕТЕВОГО ОБОРУДОВАНИЯ:

РЕШЕНИЕ В НЕПРЕРЫВНОМ ВРЕМЕНИ

Рассматривается задача синхронно/асинхронной замены двух компонент одной единицы техники (компьютера). Задача реша-ется моделированием в виде цепи Маркова с использованием теории потенциалов. Рассмотрен представительный частный слу-чай.

Ключевые слова: замена оборудования, цепи Маркова, случайные блуждания. Одной из задач, которую приходится решать в наше время

во всех организациях, является задача о рациональной модерни-зации компьютеров и серверов. И всегда возникает вопрос: как следует производить такую замену? По какому плану?

В работах [1,2] рассмотрены различные схемы замены ком-пьютеров в рамках отдельно взятой организации. В настоящей статье рассматривается задача синхронно/асинхронной замены двух различных компонент одного компьютера или двух раз-личных агрегатов внутри корпоративной информационной сети. Ее целью является получение зависимостей, позволяющих рас-считать как суммарные затраты, связанные с приобретением новой техники, так и возвращенные затраты, связанные с про-дажей высвободившихся элементов и агрегатов (по остаточной или рыночной стоимости).

ОБЩАЯ МЕТОДИКА Компьютер состоит из многих компонент и существует

очень много модификаций этих компонент. Причём замена од-ной компоненты может вынуждать замену другой компоненты. Типичным примером здесь является соотношение процессор-материнская плата. Имеющиеся на рынке материнские платы поддерживают многие из имеющихся процессоров, но далеко не все. Предположим, что на основе имеющихся на рынке процес-соров и плат мы составили план, по которому мы собираемся их менять. Предположим, что необходимость замены процессоров возникает с интенсивностью , а необходимость замены плат возникает с интенсивностью . Тогда, вообще говоря, как замена процессора может вызывать замену платы, так и замена платы может вызвать замену процессора.

Эта же задача остается актуальной и в случае замены серве-ров и сетевого оборудования, например, в паре сервер-коммутатор.

Для определение средней стоимости замены многокомпо-нентных систем может быть успешно применен механизм расче-та характеристик блуждания на цепях Маркова. Рассмотрим цепь Маркова с непрерывным временем (ц.м.н.в.) и счётным пространством состояний J. Предположим, что она является невзрывной [2, с. 274] и описывается прямой системой диффе-ренциальных уравнений

0t ,I)0(P ,QPP , (1) где )t(P и ))t(P()t(P ijJj,iij — вероятность перехода из состоя-ния i в состояние j за время t; I – единичная матрица (у такой матрицы все диагональные эле-менты равны единице, а остальные – нули); Q - так называемая Q -матрица.

Следуя [4, с. 199], будем под Q-матрицей на конечном или счетном пространстве состояний J будем понимать матрицу с действительными элементами (qij, i, jJ), обладающую следую-щими свойствами: - диагональные элементы неположительны, ;Ji ,0qij - внедиагональные элементы неотрицательны,

Jj,i ,ji ,0qij ; - имеет место условие баланса:

ij;Ij

ijij qq , т.е. 0qj

ij Ji . (2)

Для ji значение qij — это скорость (интенсивность) пе-рехода из состояния i в j. Величину

ij:jijij qq обозначим qi;

эта величина представляет собой суммарную скорость (интен-сивность) перехода из состояния i. Будем обозначать Q-матрицу просто Q (общеупотребительное сокращение); часто эту матри-цу называют генератором цепи Маркова.

Записывая в общей теории м.ц.н.в. условие баланса ii

ij;Jjij qq

, (3)

предполагаем, что ij;j

ijq . Однако существенная часть тео-

рии была развита в предположении, что равенство в условии баланса ослаблено до верхней оценки 0q

jij , т. е.

ij:jijij qq

Ii . Тогда Q-матрица, удовлетворяющая условию баланса, назы-

вается консервативной. Напомним также определение невзрывной цепи Маркова.

Такой называется цепь, у которой для любого i и j ≥ 0 выполня-ется соотношение

,1pJj

ij

(4) т.е. матрицы P(t) являются стохастическими (в противном слу-чае цепь Маркова называется взрывной).

Уравнение (1) принято называть обратным [4, с. 201], в от-личие от прямого, в правой части которого матрицы Q и P пере-ставлены местами.

Предположим, что за вход в состояние i в момент t необхо-

димо платить сумму, равную 0 ,0C ,eС iit

i i , а за выход из состояния i в момент t нам возвращается сумма

0 ,0R,eR iit

i i . Вход в состояние соответствует модер-низации некой конфигурации аппаратуры, а возврат, в свою очередь, осуществляется путем продажи устаревшей конфигу-рации аппаратуры или ее отправки на склад по остаточной сто-имости. Указанные формулы учета дисконтирования имеют форму, соответствующую непрерывному учету процентов (в экономической теории процентов) [5].

Посчитаем суммарные затраты на путешествие из состояния i0. Вероятность того, что мы войдём в узел ц.м.н.в. в интервал времени t ,t равна

i\Jkkiki )t(P

0.

Затраты за этот интервал времени составляют

t

i\Jkkikii i

0e)t(PC

.

Просуммируем вышеприведенною функцию по моментам времени ,0Ns ,st где N - множество натуральных чи-сел. Тогда мы получим интегральную сумму, которая, как мож-но показать, сходится к интегралу по всей прямой, задаваемому выражением:

.dte)t(PC t

i\Jk 0kikii i

0

11

Далее воспользуемся теорией потенциала в цепях Маркова [3]. Чтобы вычислить этот интеграл, необходимо вспомнить понятие резольвенты:

0

t ,dte)t(PR

(5)

а именно

.)QI(R 1

(6)

Очевидно,

0 kit

ki .Rdte)t(P0ii

i0

Таким образом, суммарные затраты составляют

.C)R(.)R(CC

i i\Jkikiki

i\Jkkiki

ii 0i0i

(7)

Напомним, что выше было введено обозначение .iii Вероятность того, что в интервале времени (t, t + ) выйдем

из узла i есть iii )t(P0

. Аналогично предыдущему получаем, что

.)R(C

e)t(PRe)t(PR

iiii

0Ns,st 0

tiiii

tiiii

0i

i0

i0

Суммарное возмещение затрат будет равно: .RR R

iiiii0i

(8)

Таким образом, все желаемые величины действительно вы-ражены через потенциалы

iR и

iR

ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ Рассмотрим типовой пример. Предположим, например, что

на рынке имеется пять типов процессоров и три типа материн-ских плат. Платы первого типа поддерживают лишь процессоры типов 1, 2 и 3. Платы второго типа поддерживают процессоры

типов 2, 3, 4 и 5, а платы третьего типа поддерживают процессо-ры лишь типов 4 и 5. На Рис. 1 показана диаграмма переходов между типами процессоров и плат. Например, если у нас есть процессор второго типа и плата второго типа, а мы вынуждены заменить плату, то мы должны поменять процессор второго типа на процессор сразу четвёртого типа. Как видно из Рис. 1, состо-яния, показанные в узлах графа, перенумерованы следующим образом: 1 (1,1); 2 (1,2); 3 (1,3); 4 (2,2); 5 (2,3).

Конечно, состояние № 5 дл такой цепи является поглощаю-щим (т.е. таким, попав в которое, система уже из него не вый-дет), а остальные – невозвратными [6, с. 361].

Например, можно считать, что по горизонтали отложены номера процессоров для компьютеров или серверов, а по верти-кали – номера материнских плат.

Пусть нас интересуют суммарные затраты для достижения состояния 4 (2,2). Выпишем матрицу интенсивностей перехода для нашей цепи Маркова с поглощающим состоянием 5 (2,3) и возможным обрывом при выходе из состояния 4 (2,2) и 3 (1,3):

.

00000)(000

0)(000)(000)(

Q

(9)

В данном случае переход в поглощающее состояние означа-ет, что выход из данного состояния (2,3) невозможен, так как трудно представить, что кто-то захочет сознательно перейти к более старой конфигурации аппаратуры. При этом должна надо учитывать, что может быть плата за вход в поглощающее состо-яние, но компенсации (возмещение затрат) за выход из погло-щающего состояния не возможны. Кроме того, в данном случае под обрывом понимается возможность выхода за пределы за-данной части более крупной цепи Маркова в состояние (2,4) или (3,4).

Рис. 1. Граф возможных переходов для цепи Маркова (пример)

12

Вычислим матрицу потенциалов, заменив (во избежание пу-таницы с повторным использованием обозначений) величину λ, входящую в вышеприведенные выражения, на ζ:

1

00000)(000

0)(000)(000)(

00000000000000000000

R

.

00000000

0000000 1

(10)

Вычисление обратной матрицы (с использованием програм-мы Maple) в соответствии с вышеприведенным выражением приводит к следующей формуле:

.

10000

1000

0100

210

)3()2(1

R

222

333

2

2

(11)

Использование вышеприведенных формул для выражения возвращённых затрат через потенциалы даёт

.)(R2)(R

)(R)(RR

34

33

2

221

(12)

При этом формула для суммарных затрат имеет следующий вид:

.C)2(

CC)()2(

CCC)(

CC)(CCC

35

55

35

52

34

44

24

4

4

43

3

32

23

32

22

2

2

2

1

1

(13) Ниже приводятся графики, построенные по этим формулам

для различных значений входящих в них параметров и перемен-ных. Эти графики строились с определенными упрощениями. Так, вычисления возвращенных затрат R производилось в пред-положении ζ = 1, а также R1 = 1; R2 = 1,5; R3 = 2; R4 = 2,5, а сум-марных затрат – в предположении α1 = α2 = α3 = α4 = α5 = 1, а также С1 = 1; С2 = 1,5; С3 = 2; С4 = 2,5; C5 = 3. Другими словами, для простоты предполагалось, что затраты новые и возвращен-ные растут со временем линейно, что вполне согласуется с об-щей тенденцией масштабирования и усложнения информацион-ных систем поддержки функционирования различных предприя-тий.

На рис. 2 и 3 представлены графики зависимости возвра-щенных затрат R = g(x,y) от показателя λ = x для разных значе-ний показателя μ = y= 0,01; 0,1; 0,25; 0,5; 1, а также от показате-ля μ = y для разных значений показателя λ = x = 0,01; 0,1; 0,25; 0,5; 1. На рис. 4 приведена поверхность значений возвращенных затрат R = g(x,y) как функции от показателей λ = x и μ = y (пока-зана часть оси x в интервале от 0 до 4 и часть оси y в интервале от 0 до 3); конечно, такая поверхность может использоваться только для качественной оценки изменения возвращенных за-трат, в отличие от графиков на рис. 2 и 3.

На рис. 5 и 6 представлены графики зависимости суммарных затрат С = f(x,y) от показателя λ = x для разных значений пока-зателя μ = y= 0,01; 0,1; 0,25; 0,5; 1 и от показателя μ = y для раз-ных значений показателя λ = x = 0,01; 0,1; 0,25; 0,5; 1.

Рис. 2. Зависимость возвращенных затрат R = g(x,y) от показателя λ = x для разных значений показателя

μ = y= 0,01; 0,1; 0,25; 0,5; 1

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

22

0

g x 1( )

g x 0.5( )

g x 0.25( )

g x 0.1( )

g x 0.01( )

40 x

13

Рис. 3. Зависимость возвращенных затрат R = g(x,y) от показателя μ = y для разных значений показателя λ = x = 0,01; 0,1; 0,25; 0,5; 1

Рис. 4. Поверхность значений возвращенных затрат R = g(x,y) как функции от показателей λ = x и μ = y (показана часть оси x в

интервале от 0 до 4 и часть оси y в интервале от 0 до 3)

Рис. 5. Зависимость суммарных затрат С = f(x,y) от показателя λ = x для разных значений показателя

μ = y= 0,01; 0,1; 0,25; 0,5; 1

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5

1.8

2.1

2.4

2.7

33

0

g 1 y( )

g 0.5 y( )

g 0.25 y( )

g 0.1 y( )

g 0.01 y( )

40 y

g

0 0.15 0.3 0.45 0.6 0.75 0.9 1.05 1.2 1.35 1.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

22

0

f x 1( )

f x 0.5( )

f x 0.25( )

f x 0.1( )

f x 0.01( )

1.50 x

14

Рис. 6. Зависимость суммарных затрат С = g(x,y) от показателя μ = y для разных значений показателя

λ = x = 0,01; 0,1; 0,25; 0,5; 1 Прокомментируем полученные графики. Прежде всего,

необходимо отметить, что они построены в относительных ве-личинах. Для адекватного учета реальной ситуации необходимо в вышеприведенные выражения (и соответственно с графики) вставить значения реальных цен, для которых, конечно же, бу-дет выполняться соотношение Ri < Ci ∀ i ∈ J. Далее, графики для возвращенных затрат демонстрируют монотонное возрастание с ростом обоих показателей марковской цепи (λ и μ). Для суммар-ных затрат зависимость от λ оказывается монотонно убываю-щей, а от μ – сначала возрастающей, а затем убывающей. Это

свидетельствует о том, что имеются противоречивые факторы, что и позволяет надеяться на получение оптимального (наилуч-шего) результата.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Вышеприведенные формулы и соотношения могут быть ре-

комендованы для использования при формировании методики рациональной замены оборудования в различных организациях. Это должно позволить снизить общие затраты на приобретение, модернизацию и обслуживание вычислительного и офисного оборудования.

Литуратура

1. Горшков В.В., Горшков А.В. Оптимизация единичной замены компьютера в организации // Вопросы радиоэлектроники. Се-

рия ЭВТ. – 2011. № 2. – С. 31-37. 2. Горшков В.В., Горшков А.В. Однократная замена офисного оборудования нескольких категорий // Вопросы радиоэлектро-

ники. Серия ЭВТ. – 2011. № 2. – С. 37-50. 3. Кемени Дж., Снелл Дж., Кнепп А. Счетные цепи Маркова. Пер. с англ. 1987. 416 с. 4. Кельберт М.Я., Сухов Ю.М. Вероятность и статистика в примерах и задачах. Марковские цепи как отправная точка теории

случайных процессов и их приложения / Пер. с англ. под ред. Ю. Мишуры. – М.: МЦНМО, 2010. – 560 с. 5. Масыч М.А. Финансовые и коммерческие расчеты на ЭВМ: Конспект лекций.- Таганрог: ТРТУ, 2005. 6. Боровков А.А. Теория вероятностей: Учебное пособие. – М.: ЛИБРОКОМ, 2009. – 656 с.

0 0.15 0.3 0.45 0.6 0.75 0.9 1.05 1.2 1.35 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

22

0

f 1 y( )

f 0.5 y( )

f 0.25 y( )

f 0.1 y( )

f 0.01 y( )

1.500 y