ÀËÃÅÁÐÀ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇ

4�

удк 511.3

Формулы для мультипликативныХ ФункЦий, представимыХ степенями ФункЦий разбиений на слагаемые

а. и. ПендЮРинПензенский государственный педагогический университет им. В. г. Белинского

кафедра математического анализа

Получены формулы мультипликативных функций, представленных степенями функций разбиений на слагаемые.

Пуст� ( )p n – число разбиений натурал�ного n на слагаемые, ( ) ( )1

n

np q p n q

∞

=

= ∑ – соответствующая про-

изводящая функция. В настоящей работе указываются формулы для мул�типликативных функций, производя-

щими для которых являются

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )24 2 12 4 6 8 3, , ,q q q qa q b q c q d q

p q p q p q p q= = = = .

Всюду в тексте работы p – простое число, другими буквами обозначаются натурал�ные числа.

Функция ( )a n .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 216 1 6 5 6 124

1 1 1 .k k kk k k

k k

qa q q q qp q

+∞ +∞−+ − −

=−∞ =∞

= = − = − + −∑ ∑

имеем:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2

2 2

1, 5,7 mod12 ,

1, 1,11 mod12 ,

0, 6 5 , 6 1 .

a m m

a m m

a n n k k

= − ≡ = − ≡

= ≠ − −

В частности: ( ) 0a p = ,

( ) ( )( )

2 1, 5,7 mod12 ,

1, 1,11 mod12

pa p

p

− ≡= ≡

( )2,3p ≠

Функция ( )b n .

( ) ( ) ( )( ) ( )2 26 1 6 1

22 12

,1

k lk l

k l

qb q qp q

+ + ++

∈

= = −∑Z

12 1n m= + ( ) ( )1 k lb n += −∑( ) ( )2 22 6 1 6 1n k l= + + + .

если 12 1p m= + и ( )224 2 1 ,p x y= + − то ( )

( )( )

2, 0 mod3 ,

2, 0 mod3

xb p

x

− ≡= ≡

При 12 1p m≠ + ( ) 0b p = .

Функция ( )c n .

известно, что ( )

( ) ( ) ( ) ( )26

2 3 2 123k+1

k

qp q3k +1 q

p q p q ∈

= ∑Z

, ( )( ) ( )

( )2

2 2 4

3 5 2l

l

p q p qq q

p q ∈

θ = = ∑Z

.

�0

ÈÇÂÅÑÒÈß ÏÃÏÓ Ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèå è òåõíè÷åñêèå íàóêè ¹ 8 (12) 2008 ã.

имеем

( ) ( )4 6

qc qp q

= =( )

( ) ( )( ) ( )

( )6 2 3 2 12

2 3 2 12 5 6

qp q p q p q

p q p q p q⋅ = ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 33

,

3k+1 3k+1 ll

k l k l3k +1 q q 3k +1 q +

∈ ∈ ∈

= ⋅ =∑ ∑ ∑Z Z Z

.

6 1n m= + ( ) ( )3 1c n k= +∑( )2 23 1 3n k l= + + .

если 6 1p m= + и ( )22 2 23 3 1 3p x y k l= + = + + , то ( ) ( )2 3 1 2c p k x= + = ±

( )( )

( )2 , 1 mod3 ,

2 , 1 mod3

x xc p

x x

≡= − ≡ − .

Функция ( )d n .

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 22 2 3 1 3 3

48 3

,

3 1 9 3 3 1

8

l k

k l

l k lqd q qp q

+ +

=

+ − += = ∑

Z

3 1n m= +

( )( ) ( ) ( )( )2 2

,

3 1 9 3 3 1

8k l

l k ld q

=

+ − += ∑

Z,

где 4 ( ) ( )2 23 1 3 3n k k= + + .

если 3 1p m= + и 2 23p x y= + ,

то

2 2

2 2

2 9 , 1 mod3

2 9 , 1 mod

x x y xd p

x x y x

,

3 .

отметим, что ( ) ( ) ( )3 3d p c p pc p= − .

удк 511.3

линейные комбинаЦии двуХ мультипликативныХ ФункЦийа. и. ПендЮРин

Пензенский государственный педагогический университет им. В. г. Белинскогокафедра математического анализа

Получено необходимое и достаточное условие мультипликативности линейной комбинации двух мультипликатив-ных функций.

Пуст� α и β – мул�типликативные функции и ϕ = λα + µβ .

необходимые условия.

( ) ( ) ( )1 1 1 1ϕ = λα + µβ = λ + µ = , 1µ = − λ .

итак, ( ) ( ) ( ) ( )1n n nϕ = λα + − λ β .

Пуст� ( ), 1m n = . Тогда из равенства ( ) ( ) ( )mn m nϕ = ϕ ϕ следует, что

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1 1m m n n mn mnλα + − λ β λα + − λ β = λα + − λ β ⇒

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 0m m n nλ − λ α − β α − β = .