35

УДК 510.22А.И. Забарина, Г.Г. Пестов

К АЛЬТЕРНАТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВАвторы предлагают модель вопенковской теории множеств. Модель строится в рамках нестандартного анализа.

Со времен Кантора фундаментом математики стала тео-рия множеств. Основная идея канторовой теории множеств– это идея актуальной бесконечности: бесконечное множе-ство рассматривается как завершенное, существующее совсеми своими элементами. Идее актуальной бесконечностипротивостоит идея потенциальной бесконечности: беско-нечное множество мыслится как строящееся, порождаю-щееся некоторым процессом.

Борьбу этих концепций бесконечного можно проследитьна протяжении всей истории математики. Так, Гаусс былрешительным противником использования актуальной бес-конечности в математике.

Во второй половине ХХ века математики предпринима-ют попытки изменить фундамент математики – теориюмножеств. Так возникла теория внутренних множеств, не-стандартный анализ во многих вариантах. Сюда же отно-сится и альтернативная теория множеств Вопенки.

Основная установка Вопенки – критика идеи актуальнойбесконечности.

Теория множеств Вопенки [1] была задумана как аль-тернатива канторовой теории множеств с ее актуальнойбесконечностью, чем и объясняется ее название. Поэтомупостроение модели альтернативной теории множеств в рам-ках теоретико-множественной модели нестандартного ана-лиза Закона – Робинсона [2], то есть, в конечном счете,средствами классической теории множеств, выглядит не-сколько парадоксально.

Тем не менее такого рода модели могут быть полезны хо-тя бы тем, что позволяют использовать интуицию, накоплен-ную в процессе работы с нестандартной моделью теориимножеств, для лучшего осмысления альтернативных теорий.

Отметим некоторые отличия альтернативной теориимножеств Вопенки от канторовой теории множеств.

В альтернативной теории различаются совокупноститрех видов: множества, классы и полумножества. Все бес-конечные множества равномощны. Каждое множество ко-нечно по Кантору (то есть каждое множество равномощнонекоторому начальному отрезку множества натуральныхчисел).

В качестве интуитивного оправдания этих понятий сво-ей теории множеств Вопенка приводит такой, возможношутливый, пример. Совокупность человекообразных пред-ков человека (не являющихся, следовательно, людьми) естьполумножество, не являющееся множеством. Они образуютподкласс множества приматов. В альтернативной теориимножеств каждое множество, линейно упорядоченное неко-торым отношением ρ (где ρ, в свою очередь, есть множест-во), обладает тем свойством, что каждое его непустое под-множество имеет наибольший и наименьший элементы. Ес-ли бы совокупность наших человекообразных предков быламножеством, то существовала бы последняя обезьяна, тоесть обезьяна, ребенок которой был бы человеком, что про-тиворечит здравому смыслу. Аналогичные рассужденияприменимы и к совокупности всех живущих в данный мо-мент людей.

Существуют аксиоматизации альтернативной теориимножеств [2]. Мы, однако, будем исходить из неформально-го подхода, изложенного в [1]. Нашей целью является по-строение модели теории множеств, близкой к альтернатив-ной теории множеств Вопенки, средствами нестандартногоанализа. В рамках этой модели основные понятия и фактыальтернативной теории множеств Вопенки, на наш взгляд,становятся более естественными.

1. КОНСТРУКЦИИ УНИВЕРСУМОВ

Обозначим через N множество всех конечных ор-диналов (по фон Нойману). По построению, каждыйэлемент этого множества сам является конечныммножеством.

Построим суперструктуру конечных множеств надN. Обозначим через PF(A) множество всех конечныхподмножеств множества А. Положим:

0 1( ) ,..., ( ) ( )n n nW N N W N W PF W+= = ∪ , …

Множество1

( ) ( )nn

W N W N∞

=

=∪назовем суперструктурой конечных множеств. Множе-ство ( )nW N назовем n-м этажем суперструктуры W(N).

Построим обычную суперструктуру над N сосвоими этажами:

0 1( ) ,... ( ) ( )n n nV N N V N V P V+= = ∪ ,…

1( ) ( )n

nV N V N

∞

=

=∪ ,

где P(A) есть булеан множества A. Очевидно, что( ) ( )n nW N V N⊂ ( n N∈ ), ( ) ( )W N V N⊂ .Пусть F есть свободный ультрафильтр над N. Если

( ),A V N∈ то через *A обозначим ультрастепень A поультрафильтру F.

Обозначим

1* ( ) * ( ),n

nW N W N

∞

=

=∪ 1

* ( ) * ( ).nn

V N V N∞

=

=∪Построим далее суперструктуру над *N – внеш-

ний универсум (* ).V N Индукцией по номеру этажастроим, как обычно [4], вложение j универсума* ( )V N во внешний универсум (* ).V N Тем самым мыполучим и вложение универсума *W(N) во внешнийуниверсум.

Как обычно, образ множества * ( )V N при отобра-жении j назовем внутренним универсумом. Каждыйэлемент из * ( )V N мы отождествляем с его j-образом.Это можно сделать, поскольку отображение j перево-дит отношения равенства и принадлежности по ульт-рафильтру F в отношения равенства и принадлежно-сти в теоретико-множественном смысле.

По построению, имеют место включения:* ( ) * ( ),* ( ) * ( ).n nV N W N V N W N⊇ ⊇

2. МНОЖЕСТВА, ПОЛУМНОЖЕСТВА,КЛАССЫ

Рассмотрим теперь множество U(N) всех подмно-жеств универсума * ( ).W N

Элементы множества *W(N) назовем множества-ми, элементы U(N) – классами. Классы, не являющие-ся множествами, назовем собственными классами.

36

Приведем пример множества. Пусть Nν ∈ . Обо-значим

[0, ] { | 0 }.n N nν = ∈ ≤ ≤ ν

По построению W(N) имеем ([0, ] ( )).v N W N∀ ∈ ν ∈По принципу переноса: * ([0, ] * ( )v N W N∀ ∈ ν ∈ , где[0, ] { * | 0 }.n N nν = ∈ ≤ ≤ ν Следовательно, [0, ν] естьмножество.

Классы A и B назовем равномощными, если суще-ствует биекция : ,f A B→ где (* )f V N∈ . Если биек-ция – внутренняя, то есть, * ( )f V N∈ , то эти классыназовем внутренне равномощными. Классы равно-мощные, но не внутренне, назовем внешне равномощ-ными.

Класс, равномощный классу N, назовем, как обыч-но, счетным.

Для каждого множества A существует такое*Nν ∈ , что A равномощно множеству [0, ν].Каждое множество можно линейно упорядочить

с помощью некоторого внутреннего бинарного от-ношения.

В самом деле, пусть ( )A W N∈ . Тогда для некото-рого натурального k имеем ( )A W N∈ . Обозначим ко-личество элементов множества A через .Nν ∈ Из по-строения ( )W N легко следует, что найдется такоеs N∈ , что для каждого ( )kA W N∈ существует биек-ция : [0, ], ( ).sf A f W N→ ν ∈

Итак,( ) ( )k sA W N N f W N∀ ∈ ∃ν ∈ ∃ ∈

(f есть биекция A на [0, ν]).

Последнее утверждение легко записывается на язы-ке первого порядка. По принципу переноса получаем

* ( ) * * ( )k sA W N N f W N∀ ∈ ∃ν ∈ ∃ ∈

(f есть биекция A на [0, ν]).

Отсюда следует, что естественный линейный по-рядок с [0, ν] переносится на A с помощью внутрен-ней биекции f, следовательно, на A задается внутрен-ний линейный порядок.

Если множество линейно упорядочено внутрен-ним отношением r, то каждое непустое его под-множество имеет первый и последний элементы от-носительно этого порядка.

Доказательство получаем, аналогично предыду-щему, по принципу переноса.

Каждый бесконечный начальный отрезок [0, ν],* \N Nν ∈ , множества *N имеет мощность конти-

нуума [6].В самом деле, пусть ν из *N бесконечно. Рассмот-

рим отображение (0,1) в [0, ν]: ( ) [ ],f r r= ν (0,1),r ∈

где [x] есть целая часть числа x.Если 1 2r r< , то

2 1 2 1 2 1 2 1( ) ( ) [ ] [ ] 1 ( ) 1.f r f r r r r r r r− = ν − ν ≥ ν − − ν = − ν −

Итак, число 2 1( ) ( )f r f r− бесконечно велико. Зна-чит, 2 1( ) ( ).f r f r≠ Следовательно, f есть инъекция(0, 1) в [0, ν]. Поэтому мощность множества [0, ν] неменьше мощности континуума.

С другой стороны, мощность *N не превосходитмощности континуума [5], [0, ] *Nν ⊂ . Итак, мощ-ность [0, ]ν равна мощности континуума.

Никакой счетный класс не является множеством.Пусть A – счетный класс. Поскольку множество

[0, ], *Nν ν ∈ , или конечно, или несчетно [6], то A неравномощно отрезку [0, ]ν ни при каких *Nν ∈ . Сле-довательно, A не есть множество.

Приведем пример класса, не являющегося множе-ством. Имеем ( )N U N∈ , N есть счетный класс.Итак, N не есть множество.

Подкласс множества называется полумножест-вом. Полумножество называется собственным, еслионо не является множеством.

Пусть * \N Nν ∈ . Так как [0, ]N ⊂ ν и [0, ]ν естьмножество, то N есть собственное полсобственноеполумножество. Так как A – множество, то для неко-торого *Nν ∈ имеем: сущеумножество.

Класс, включающий собственное полумножество,называется бесконечным.

Каждое бесконечное множество включает счет-ное полумножество.

В самом деле, пусть A есть бесконечное множест-во. Тогда A включает некоторое * ( )f W N∈ множест-ва [0, ]ν на A. Ясно, что * \N Nν ∈ , иначе A не вклю-чало бы собственного полумножества. Но тогда

[0, ]N ⊆ ν , и образ B класса N при отображении f естьсчетный подкласс множества A. Значит, B есть счет-ное полумножество, входящее в A.

Все бесконечные множества внешне равномощны.В самом деле, пусть A, B – бесконечные множест-

ва. По предыдущему, A равномощно [0, ]ν , B равно-мощно 1[0, ]ν , где 1, * \N Nν ν ∈ . Но все множества[0, ]ν , где * \N Nν ∈ , внешне равномощны [6]. Сле-довательно, равномощны и множества A и B.

Каждый счетный класс есть собственное полу-множество.

Пусть A есть счетный (и, следовательно, собствен-ный) класс. Тогда существует биекция

: , (* )f N A f V N→ ∈ . Итак, ( ) (* ).A f N V N= ∈

Поэтому существует такое n натуральное, что(* )nA V N⊂ . Так как A – класс, то * ( )A W N⊂ . Зна-

чит, * ( )nA W N⊂ .Итак, A есть полумножество.Собственный класс, равномощный некоторому

множеству, есть полумножество.Доказательство аналогично предыдущему, только

в роли N выступает теперь некоторое множество изуниверсума *W(N).

37

ЛИТЕРАТУРА

1. Вопенка П. Математика в альтернативной теории множеств. М.: Мир,1983. 2. Proceedings of the 1st symposium “Mathematics in the internal Set Theory”. Bratislava, USFR, 1989. 3. Mattes J. Axiomatic approaches to nonstandard analysis. Jahrbuch der Kurt G»del Geselschaft, 1992. Р. 61 – 79. 4. Robinson A. and Zakon E. A set-theoretical characterization of enlargements, in Applications of Model Theory to Algebra, Analysis and prob-ability / W. A. J. Luxemburg (ed.). New York: Holt, Rinehart and Winston, 1969. Р. 109 – 122.

5. Chang S.S. and Keisler H.G. Model theory. North-Holland, Amsterdam, 1990. 6. Галанова Н.Ю. О конфинальности *N // Региональная науч.-практич. конф. Естественные науки. Томск, 1994. С. 74.

Статья представлена кафедрой математического анализа механико-математического факультета Томского государственного университета,поступила в научную редакцию «Математика» 18 мая 2005 г.