135

Северцев Н.А., Мухин А.В., Ефимов И.А.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЫБОРА РЕШЕНИЙ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИХ НАДЕЖНОСТЬ И БЕЗОПАСНОСТЬ СИСТЕМ

Проблема обеспечения надежности и безопасности сложных систем стала особо актуальной в последние де-

сятилетия. Широко известны техногенные и природные катастрофы, произошедшие в конце прошлого и в начале

нынешнего столетия, а также террористические угрозы, которые продолжают постоянно нарастать. Все эти

факторы следует тщательно учитывать при разработке математических основ теории выбора решений.

Теории выбора решений относительно новая дисциплина, но уже получила признание во многих сферах

практической деятельности. Появление этой теории связано с процессами формирования управления в техни-

ке, в военном деле, в экономике и в других областях. Особо важное применение данная теория находит для

обеспечения безопасности в социальной сфере и в экономике. Ее методы широко используются при строитель-

стве стратегических объектов (нефтепроводов по дну моря и др.), при создании новых типов вооружений,

для обеспечения надежной и безопасной эксплуатации сложных и особо ответственных систем при необходимо-

сти продления гарантированного срока эксплуатации. Теория выбора решений имеет свой язык, математиче-

ский аппарат и специальные методы.

Язык связан с предположением, что каждая отдельная альтернатива оценивается одним числом, после чего

сравнение альтернатив сводится к сравнению соответствующих чисел. Например:

Имеется множество альтернатив X , а ix X - некоторая альтернатива. Тогда, для ix X можно за-

дать функцию ( )ig x , которую обычно называют критерием качества, целевой функцией, функцией предпочте-

ния, полезности и т.п. При этом функция ( )ig x строится таким образом, что при 1( )g x > 2( )g x альтернати-

ва 1x предпочтительнее альтернативы 2x . Задача выбора наиболее предпочтительного решения сводится к

отысканию альтернативы с наибольшим значением критериальной функции. Однако на практике использование

единственного критерия приводит к чрезмерному упрощению задачи и применимо только для качественного ис-

следования проблемы. Поэтому разработан многокритериальный подход, когда альтернативы оцениваются по

многим критериям различной природы и различной важности. При этом задача предпочтительного выбора может

не иметь однозначного общего решения. Потому для многокритериальной задачи крайне важна корректная по-

становка. Для упрощения задачи выбора решения, обеспечивающего надежность и безопасность системы, обыч-

но применяются следующие основные подходы:

- осуществляется поиск не глобального экстремума обобщенного критерия, а локального экстремума ос-

новного критерия;

- осуществляется поиск альтернативы с заданными свойствами;

- находится множество Парето;

- многокритериальная задача сводится к однокритериальной, за счет введения обобщенного критерия.

Практически проще выбрать один из двух противоположных вариантов, чем один вариант из большого и

неупорядоченного множества вариантов. Таким образом, язык бинарных отношений является дополнением мно-

гокритериального языка, который основан на том факте, что оценка альтернативы всегда относительна. Это

означает, что в качестве системы отсчета при сравнении альтернатив используются другие альтернативы из

рассматриваемого множества или из генеральной совокупности (например - для количественной оценки надеж-

ности). Итак, основные правила этого языка сводятся к следующему:

- отдельная альтернатива не оценивается (критериальная функция не вводится);

- для каждой пары альтернатив некоторым образом устанавливается, какая из них предпочтительней, или

они равноценны;

- отношение предпочтения в каждой паре не зависит от остальных пар;

- существуют различные способы задания бинарных отношений: непосредственный, матричный, метод сече-

ний и др.

Отношение между альтернативами одной пары выражают через понятия эквивалентности, порядка и домини-

рования.

Обобщенный язык функций выбора основан на понятиях теории множеств и позволяет оперировать отобра-

жениями множеств без перечисления элементов. Данный язык позволяет описать любой механизм выбора. Со-

временная теория выбора имеет дело с абстрактными альтернативами (точнее с символьными данными, описы-

вающими альтернативы) и с описанием механизма выбора на внешнем феноменологическом языке. Аппарат функ-

ций выбора обычно используется для анализа условий, при которых выбор признается рациональным. С разви-

тием теории нечетких множеств появилась возможность исследовать рациональность выбора в условиях нечет-

ких предпочтений и в условиях неполной информации. Метод множественных свойств и отношений позволяет

обобщить структурные особенности системы (объекта), которые присущи задачам дискретно-комбинаторного

характера, среди которых центральное место занимают вопросы формального обоснования выбора решений в

многофакторных (и многопараметрических) ситуациях, какими, например, являются процессы обеспечения без-

опасности и надежности особо ответственных систем (объектов), таких как комплексы вооружений и топлив-

но-энергетический комплекс. При этом различные факторы, которые необходимо учитывать, могут различаться

целенаправленностью и носителями целей, а также могут иметь различные критерии и альтернативы. Такая

многофакторность определяется наличием множественных взаимозависимых элементов рассматриваемой системы.

Рассматривая параметры исследуемой системы на входе, следует оценить выходные параметры. При этом воз-

никает задача определения зависимости надежности работы системы от отношения «вход-выход». На бинарном

языке «да-нет» такая задача имеет следующий смысл: какие значения и каких входных параметров положи-

тельным или отрицательным образом влияют на конечный результат надежной работы системы. В моделях тео-

136

рии выбора решений механизм выбора решения описывается на «внешнем» языке функций выбора или на «внут-

реннем» языке, т.е. на языке описания мотивов и оснований производимого выбора решения.

Рассмотрим формальную модель выбора. Пусть задано некоторое конечное множество вариантов A , содер-

жащее не менее двух вариантов. Пусть далее A некоторое множество непустых подмножеств Х вариантов из

A, т.е. A 2 /A .

Любое подмножество Х A может быть предъявлено для реализации выбора и называется предъявлением.

Общая модель выбора может быть представлена преобразователем «Выбор», преобразующим по некоторому пра-

вилу предъявление Х A в выбор из Х. Получаем множество Y X .

В результате работы преобразователя каждому элементу из множества Х ставится в соответствие некото-

рый элемент из множества Y X. Абстрагируясь от механизма работы преобразователя, тем не менее можно

утверждать, что образуется множество пар ( iX , iY ). При этом различным элементам Х могут соответствовать

одинаковые элементы Y. Это множество пар называется функцией выбора и обозначается С(.), так что

y = C(x). Функцию выбора можно построить следующими способами:

- поэлементное задание, когда выбор задается как совокупность всех вариантов из X, удовлетворяющих

условиям

C(x) = | ......y X , (1)

где многоточие, в каждом конкретном случае, заменяется перечнем условий, которым должен удовлетво-

рять вариант y X , чтобы он был включен в выбор из X.

- целостное задание, когда функция выбора C(x) задается как единственное множество Y среди всех под-

множеств Z X, удовлетворяющее требованиям, указанным в (1).

Удобно рассматривать функцию выбора, как функцию, принадлежащую некоторому абстрактному функциональ-

ному пространству. Функция выбора определяет внешнее описание преобразователя «ВЫБОР» на языке «вход-

выход». Каждый конкретный преобразователь задает свою функцию С(.).

Преобразователь выбора можно задать не только «внешним», но и «внутренним» описанием. «Внутреннее»

описание определяет механизм выбора из множества X элементов множества Y. Кроме того, построение множе-

ства Y опирается на совокупность сведений о всех вариантах из множества А, позволяющую сопоставить эти

варианты или группы вариантов. Любая совокупность таких сведений называется структурой над А и обозна-

чается . Это понятие используется в предметной реализации. Существуют правила выбора вариантов. Пра-

вилом выбора « » называется правило, которое указывает, как, используя структуру выделить из множе-

ства X подмножество Y. При выборе с использованием критерия роль структуры исполняет заданная критери-

альная функция., а правило заменяется процедурой нахождения аргумента, доставляющего экстремум критерию

на множестве X. Если выбор осуществляется на основе предпочтений между вариантами, то структура на X

описывается графом с дугами, ориентированными от более предпочтительных к менее предпочтительным вари-

антам. Понятие «самого предпочтительного» варианта, который при попарном сравнении предпочтительнее

всех остальных из X, определяет правило выбора, формулируемое так: из подграфа , графа на множе-

стве X выделяют вершины, от которых исходят дуги ко всем другим вершинам этого графа. Пара М = ,

задает механизм выбора. Этот механизм выбора можно представить, как описание «устройства преобразовате-

ля». Каждый конкретный механизм выбора порождает конкретную функцию выбора, а для каждого «значения»

аргумента х порождает конкретное «значение» функции выбора y = C(x). Обратное утверждение, вообще гово-

ря, не верно: одна и та же функция выбора может порождаться различными механизмами выбора.

Рассмотрим два класса механизмов выбора 1

1M

и 2

2M

. Порождаемые ими области 1

1C и 2

2C могут, как

различаться, так и совпадать, определяя этим эквивалентность рассматриваемых классов выбора. Таким об-

разом, при установлении эквивалентности различных классов механизмов выбора пространство функций выбора

С играет роль «посредника», позволяющего осуществить такое сравнение. С другой стороны, область в С,

порождаемая некоторым механизмом выбора важна и как внешнее описание на языке «вход-выход» этого меха-

низма выбора. Для того чтобы правильно расположить в пространстве С порождаемую область, вводятся спе-

циальные ориентиры – набор стандартных областей, относительно которых исследуемая область «удобно» рас-

положена. Каждая такая область (класс функций) определяет все функции выбора, обладающие свойством, ко-

торое называется характеристическим свойством данного класса функций. Для постулирования этих свойств,

при внешнем описании выбора, указывается, как изменяется выбираемое множество Y при деформации множе-

ства X (предъявления).

При построении функции выбора удобно использовать характеристическую функцию множества [6]. Функция

( )A x , определенная на множестве Х называется характеристической, или индикаторной функцией множества

А, если

( )A x =0, , \ ;

1, , ;

если x A X A

если x A A X

. (2)

При этом отметим важные свойства индикаторной функции

( ) 0x ; ( ) 1X x ;

137

( )A x ( )B x , если A B ;

( ) ( ) ( )A B A Bx x x ;

( ) ( )i

i

i

AA i

x x ;

( )A B x = ( )A x + ( )B x - ( ) ( )A Bx x ;

ЛИТЕРАТУРА 1. Масалитина М.В. Модель конкретно-зависимого выбора вариантов. Информационные технологии и вычис-

лительные системы. М.: Труды ИСА РАН 2006г. №4 с.

2. Масалитина М.В., Толмачев И.Л. Построение обобщенного критериального пространства с помощью си-

стем упорядоченных разбиений. Вестник РУДН т.2(1) 2003. с.

3. Катулев А.Н., Северцев А.Н. Магнитные бури. Исследование операций. Принципы принятия решений и

обеспечение безопасности. М.: «Физматлит». 2000. 192 c.

4. Каштанов В.А. Элементы теории множеств. В Справочнике «Надежность и эффективность в технике».

Т.2. М. Машиностроение. 1987. 280 с.