СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математиче�
ская теория конструирования систем управления. – М.: Вы�сшая школа, 2003. – 615 с.
2. Василян А.К. К вычислению коэффициентов�функций соб�ственных многочленов матриц монодромии на основе диффе�ренциальных преобразований // Вестник Инженерной Акаде�мии Армении. – 2011. – Т. 8. – № 2. – С. 175–179.
3. Егоров А.И. Обыкновенные дифференциальные уравненияс приложениями. – М.: Физматлит, 2005. – 384 с.
4. Богачев К.Ю. Методы решения линейных систем и нахожде�ния собственных значений. – М.: Изд�во МГУ, 1998. – 137 с.
5. Симонян С.О., Аветисян А.Г. Прикладная теория дифферен�циальных преобразований. – Ереван: Чартарагет, 2010. – 360 с.
6. Пухов Г.Е. Дифференциальные преобразования функцийи уравнений. – Киев: Наукова думка, 1984. – 420 с.
7. Симонян С.О., Аветисян А.Г., Бадалян Г.А. QRДП – алгоритмдля разложения неавтономных матриц. // Вестник Инженер�ной Академии Армении. – 2004. – Т. 1. – С. 122–129.
Поступила 09.06.2011 г.
Известия Томского политехнического университета. 2012. Т. 320. № 2
24
Pавномерно pаспределенные последовательно�сти с наилучшей (по порядку) асимптотикой частоназывают квазислучайными. Именно такие последо�вательности (с некоторыми дополнительными свой�ствами равномерности) используют на практике дляреализации алгоритмов Монте�Карло (так называ�емый метод квази�Монте�Карло), для вычислениямногомерных интегралов, в случайном поиске, в за�дачах многокритериальной оптимизации, в плани�ровании экспериментов и др. Свойства таких после�довательностей и их исследование рассмотреныв [1–3]. В некоторых задачах, например таких, какпостроение равномерно распределенных векторовв конусе [4], важно не столько свойство независимо�сти векторов, как свойство именно равномерности.
В настоящей статье рассматривается постро�ение таких последовательностей для небольших n,где n – число членов последовательности.
Квазислучайными, в отличие от псевдослучай�ных, называют равномерно распределенные после�довательности, элементы которых не обладаютсвойством независимости.
Последовательность Xn точек из d�мерного кубаId=[0,1)×...×[0,1) называется равномерно распределен�ной в Id, если для любого блока B=[a1,b1)×[a2,b2)×...××[ad,bd), где 0≤ai, bi≤1 выполняется соотношение
где означает копроизведение. Другими
словами, последовательность равномерно распре�делена, если при больших n количество ее точек,попавших в какой�либо блок, пропорциональноего объему. Если разбить куб на несколько равно�великих частей, то в каждой из них (при достаточ�но больших n) окажется примерно одинаковое чи�сло точек последовательности.
Однако для практических задач важно, чтобыравномерно распределенные последовательностиобладали указанными свойствами не только длябольших, но и для малых значений n.
Семейство последовательностей, рассматривае�мых в настоящей работе, обобщает двоичные по�следовательности Ван дер Корпута и Рота и p�ич�ные последовательности Фора [5]. Эти последова�тельности в отечественной литературе называют,следуя И.М. Соболю [6–8], ЛП0�последовательно�стями. Не отступая от традиции, распространимэто название и на наши конструкции, т. к. обозна�чение «ЛП» в нашем контексте может означать, чтолюбой последовательный участок Xn хорошо распре�делен.
Пусть q=р n, где р – простое число. Назовем q�ич�
ными отрезками ранга s интервалы1
0, ,s s
t
q q
⎡ ⎞
+ ⎟⎢
⎣ ⎠
1
( )
d
i i
i
b a
=
−�
1
| |
lim ( ),
d
n
i i
n
i
X B
b a
n→∞=
∩= −�
УДК 519.6
НОВОЕ СЕМЕЙСТВО КВАЗИСЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
В.А. Орлов, В.И. Рейзлин
Томский политехнический университетE!mail: [email protected]
Рассматривается семейство равномерно распределенных последовательностей, обобщающих аналогичные конструкции Рота,Фора, Соболя. Доказывается, что все их последовательные участки определенной длины имеют хорошее распределение. По!строенные последовательности могут использоваться в алгоритмах глобального поиска и прочих в качестве альтернативных кпопулярным ЛП
τ!последовательностям.
Ключевые слова:Квазислучайные последовательности, двоичные, p!ичные и ЛП!последовательности.Key words:Quasi!random sequences, binary, p!ary and an AS!sequence.
0≤t≤q s–1. Эти отрезки получаются при разбиенииинтервала I=[0,1) на qs равных отрезков. Обобщаяэто определение на многомерный случай, назовемq�ичным блоком ранга s параллелепипед B1×...×Bd
в d�мерном кубе Id=[0,1)×...×[0,1), где Bi – q�ичныеотрезки рангов s1, s2,..., sq соответственно, причемs1+...+sq=s.
Таким образом, q�ичные отрезки – это простоодномерные q�ичные блоки.
Последовательные участки множества целыхнеотрицательных чисел kq s+{0,q s–1}, k=0,1,2,... на�зовем q�ичными участками ранга s. Точно также будем называть и соответствующие участкипроизвольных последовательностей.
Определение 1. Последовательность Xn точекиз Id назовем ЛП�последовательностью, если каж�дый ее q�ичный участок ранга s имеет ровно по од�ной общей точке с каждым q�ичным блоком тогоже ранга.
Теорема 1.1. Проекции ЛП�последовательности на k�мер�
ные грани куба I d также являются ЛП�последо�вательностями.
2. ЛП�последовательности равномерно распреде�лены в I d.Эти утверждения легко проверяются, поэтому
мы не будем приводить доказательства.Приведем примеры ЛП�последовательностей.Любое число x из интервала I=[0,1) можно за�
писать в q�ичной системе счисления в виде
0≤xn≤q–1. Заметим, что q�ично рацио�
нальные числа, т. е. числа вида 0≤t≤qs–1, име�
ют две различных q�ичных записи:
Каждое неотрицательное целое число n можнозаписать в q�ичной системе счисленияn=n0+n1q+n2q2+...+nsqs, 0≤ni≤q–1 и ns≠0. Обозначимномер старшей q�ичной цифры как r(n). Числоn~=ns+ns–1q+...+n0q s назовем инверсным к n. Сопо�ставим каждому n q�ично рациональное число
Таким образом, множество
целых неотрицательных чисел вкладывается ото�бражением h в интервал I=[0,1). Очевидно, что по�следовательность h(n) является одномерной ЛП�последовательностью.
На самом деле справедливо даже более сильноеутверждение:
Теорема 2.Любые q s последовательных точек из (h(n))|∞n=0
лежат в разных q�ичных отрезках ранга s.
Доказательство. Пусть t – произвольное нео�трицательное целое. Нетрудно видеть, что {(t+a)mod q s: a∈{0, q s–1}}={0, q s–1}. Отсюда следует, чтокогда а пробегает множество {0, q s–1}, первые sq�ичных цифр числа t+a принимают все возмож�ные значения. Дальнейшее очевидно.
Построим теперь целое семейство ЛП�последо�вательностей.
Каждому целому неотрицательному числуn=n0+n1q+...+nsq s, представленному его q�ичной за�писью, сопоставим бесконечномерный векторn–=<n0,n1,...,ns,0,0,...>.
Теорема 3.Пусть A=(aij) i, j∈{0,1,...,∞}, 0≤aij≤q–1, беско�
нечная матрица над конечным полем Fq, такая, чтовсе ее подматрицы As=(aij), i,j∈{0,1,...,s} не вырож�дены, и пусть A(n) – число, соответствующее про�изведению
(вычисления здесь проводятся в арифметике поля Fq).1. Последовательность h(A(n)) – ЛП�последова�
тельность.2. Для h(A(n)) справедливо утверждение теоремы 2.
Доказательство.Для того, чтобы h(A(n)) была ЛП�последова�
тельностью, необходимо и достаточно выполнениеследующего требования: для любого вектора<t0,t1,...,ts,0,0,...> и любого s система уравнений
m=0,1,..., s должна иметь единствен�
ное решение.Это требование очевидным образом выполняется.Матрица A для каждого s определяет невырож�
денное преобразование пространства Fqs в себя. Поэ�
тому, когда n пробегает множество {(t+a):a∈{0,qs–1}},первые s q�ичных цифр чисел А(t+n) принимаютвсе возможные значения. Дальнейшее очевидно.
Построим теперь многомерные ЛП�последова�тельности.
Теорема 4.Пусть A=(Ck
mδkm), k,m∈{0,1,...,∞}, где Ck
m – би�номиальные коэффициенты, Ck
m=0 при k≤m,и пусть d≤q.
Тогда последовательность (h(n),h(A(n)),h(A2(n)),...,h(Ad–1(n))) является d�мерной ЛП�последовательностью.
Доказательство. Общий элемент матрицы Аi име�ет вид Ck
mi k–m, причем для i=0 полагаем, ik–m=δkm. По�следовательность (h(n),h(A(n)),h(A2(n)),...,h(Ad–1(n)))будет d�мерной ЛП�последовательностью, если длялюбого s и для любых ν1,ν2,...,νd, таких, что 0≤ν1≤sи ν1+ν2+...+νd=s будет невырожденной матрица Аs,составленная по следующему правилу:
Первые ν1 строк берутся из матрицы А0, следую�щие ν2 строк – из матрицы А1, и т. д., последние νd
строк – из матрицы Аd.Предположим обратное, т. е., что эта матрица
вырождена. Тогда найдется отличный от 0 векторn–=<n0,n1,...ns–1,0,0,...> такой, что Asn
–=0.
0
,
s
mk k m
k
ta n
=
=∑
( )
0
..., ... ,
r n
mk k
k
A n a n
=
⋅ =< >∑
( ) 1 1
0
( ) .
s
i
r n i
i
n nh n
q q+ +
=
= =∑�
1
0 1
1
1 1
0 1
1
1 0
è .
s
i
i i
i i s
s
i s
i s i
i i s
qxx
q q
x xx
q q q
∞
+
= = +
− ∞
+ +
= = +
−= +
+= + +
∑ ∑
∑ ∑
,s
t
q
1
0
,i
i
i
xx
q
∞
+
=
=∑
Математика и механика. Физика
25
Рисунок. Распределения последовательностей из семи точек
Рассмотрим полином n(x)=n0+n1x+...+ns–1xs–1 надполем Fq. Вырожденность матрицы Аs эквивалентнатому, что каждый элемент i∈{0, d–1} будет корнемвсех гиперпроизводных [9] порядков 0,1,...,νi+1,т. е. является корнем полинома n(x) кратностине менее νi+1. А это означает, что полином степениs–1 имеет не менее s корней. Полученное противо�речие доказывает теорему.
Замечание. Так же как и одномерные, постро�енная последовательность обладает свойством,сформулированном в теореме 2.
Приведем на рисунке примеры распределенияразличных последовательностей из семи точекв единичном квадрате.
Видно, что квазислучайная последовательность(построена с помощью одного из вышеописанныхсемейств) обладает лучшей равномерностьюпо сравнению с равномерной сеткой и псевдослу�чайной последовательностью. В более сложныхмногомерных случаях можно оценивать равномер�ность распределения с помощью метода, описан�ного в [1].
Итак, в настоящей работе вводится новое се�мейство равномерно распределенных последова�тельностей (ЛП�последовательности), обобщаю�щих конструкции Рота, Фора, Соболя [5–8]. Дока�зывается, что все последовательные участки ЛП�последовательности определенной длины имеютхорошее распределение.
Известия Томского политехнического университета. 2012. Т. 320. № 2
26
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1. Соболь И.М. Рэйндж – количественная мера неравномерно�
сти распределения // Математическое моделирование. –2009. – Т. 14. – № 6. – С. 119–127.
2. Асоцкий Д.И., Соболь И.М. О последовательностях точек дляоценки несобственных интегралов методами квази�Монте�Карло // Журнал вычислительной математики и математиче�ской физики. – 2005. – Т. 45. – № 3. – С. 411–415.
3. De Doncker E., Guan Y. Error bounds for the integration of singu�lar functions using equidistributed sequences // Journal of Comple�xity. – 2003. – V. 19. – № 3. – P. 259–271.
4. Рейзлин В.И. Эффективный метод построения псевдослучай�ных векторов, равномерно распределенных в гиперконусе //Известия Томского политехнического университета. – 2010. –Т. 316. – № 5. – С. 41–43.
5. Кейперс Л., Нидеррайтер Г. Равномерное распределение по�следовательностей. – М.: Наука, 1985. – 408 с.
6. Соболь И.М. Многомерные квадратурные формулы и функ�ции Хаара. – М.: Наука, 1969. – 288 с.
7. Соболь И.М. Вычисление несобственных интегралов при по�мощи равномерно распределенных последовательностей //Доклады АН СССР. – 1973. – Т. 210. – № 2. – С. 278–281.
8. Соболь И.М. Точки, равномерно заполняющие многомерныйкуб. – М.: Знание, 1985. – 32 с.
9. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. – В 2�х т. – М.: Мир,1988. – 820 с.
Поступила 05.10.2011 г.