СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математиче�

ская теория конструирования систем управления. – М.: Вы�сшая школа, 2003. – 615 с.

2. Василян А.К. К вычислению коэффициентов�функций соб�ственных многочленов матриц монодромии на основе диффе�ренциальных преобразований // Вестник Инженерной Акаде�мии Армении. – 2011. – Т. 8. – № 2. – С. 175–179.

3. Егоров А.И. Обыкновенные дифференциальные уравненияс приложениями. – М.: Физматлит, 2005. – 384 с.

4. Богачев К.Ю. Методы решения линейных систем и нахожде�ния собственных значений. – М.: Изд�во МГУ, 1998. – 137 с.

5. Симонян С.О., Аветисян А.Г. Прикладная теория дифферен�циальных преобразований. – Ереван: Чартарагет, 2010. – 360 с.

6. Пухов Г.Е. Дифференциальные преобразования функцийи уравнений. – Киев: Наукова думка, 1984. – 420 с.

7. Симонян С.О., Аветисян А.Г., Бадалян Г.А. QRДП – алгоритмдля разложения неавтономных матриц. // Вестник Инженер�ной Академии Армении. – 2004. – Т. 1. – С. 122–129.

Поступила 09.06.2011 г.

Известия Томского политехнического университета. 2012. Т. 320. № 2

24

Pавномерно pаспределенные последовательно�сти с наилучшей (по порядку) асимптотикой частоназывают квазислучайными. Именно такие последо�вательности (с некоторыми дополнительными свой�ствами равномерности) используют на практике дляреализации алгоритмов Монте�Карло (так называ�емый метод квази�Монте�Карло), для вычислениямногомерных интегралов, в случайном поиске, в за�дачах многокритериальной оптимизации, в плани�ровании экспериментов и др. Свойства таких после�довательностей и их исследование рассмотреныв [1–3]. В некоторых задачах, например таких, какпостроение равномерно распределенных векторовв конусе [4], важно не столько свойство независимо�сти векторов, как свойство именно равномерности.

В настоящей статье рассматривается постро�ение таких последовательностей для небольших n,где n – число членов последовательности.

Квазислучайными, в отличие от псевдослучай�ных, называют равномерно распределенные после�довательности, элементы которых не обладаютсвойством независимости.

Последовательность Xn точек из d�мерного кубаId=[0,1)×...×[0,1) называется равномерно распределен�ной в Id, если для любого блока B=[a1,b1)×[a2,b2)×...××[ad,bd), где 0≤ai, bi≤1 выполняется соотношение

где означает копроизведение. Другими

словами, последовательность равномерно распре�делена, если при больших n количество ее точек,попавших в какой�либо блок, пропорциональноего объему. Если разбить куб на несколько равно�великих частей, то в каждой из них (при достаточ�но больших n) окажется примерно одинаковое чи�сло точек последовательности.

Однако для практических задач важно, чтобыравномерно распределенные последовательностиобладали указанными свойствами не только длябольших, но и для малых значений n.

Семейство последовательностей, рассматривае�мых в настоящей работе, обобщает двоичные по�следовательности Ван дер Корпута и Рота и p�ич�ные последовательности Фора [5]. Эти последова�тельности в отечественной литературе называют,следуя И.М. Соболю [6–8], ЛП0�последовательно�стями. Не отступая от традиции, распространимэто название и на наши конструкции, т. к. обозна�чение «ЛП» в нашем контексте может означать, чтолюбой последовательный участок Xn хорошо распре�делен.

Пусть q=р n, где р – простое число. Назовем q�ич�

ными отрезками ранга s интервалы1

0, ,s s

t

q q

⎡ ⎞

+ ⎟⎢

⎣ ⎠

1

( )

d

i i

i

b a

=

−�

1

| |

lim ( ),

d

n

i i

n

i

X B

b a

n→∞=

∩= −�

УДК 519.6

НОВОЕ СЕМЕЙСТВО КВАЗИСЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

В.А. Орлов, В.И. Рейзлин

Томский политехнический университетE!mail: vir@tpu.ru

Рассматривается семейство равномерно распределенных последовательностей, обобщающих аналогичные конструкции Рота,Фора, Соболя. Доказывается, что все их последовательные участки определенной длины имеют хорошее распределение. По!строенные последовательности могут использоваться в алгоритмах глобального поиска и прочих в качестве альтернативных кпопулярным ЛП

τ!последовательностям.

Ключевые слова:Квазислучайные последовательности, двоичные, p!ичные и ЛП!последовательности.Key words:Quasi!random sequences, binary, p!ary and an AS!sequence.

0≤t≤q s–1. Эти отрезки получаются при разбиенииинтервала I=[0,1) на qs равных отрезков. Обобщаяэто определение на многомерный случай, назовемq�ичным блоком ранга s параллелепипед B1×...×Bd

в d�мерном кубе Id=[0,1)×...×[0,1), где Bi – q�ичныеотрезки рангов s1, s2,..., sq соответственно, причемs1+...+sq=s.

Таким образом, q�ичные отрезки – это простоодномерные q�ичные блоки.

Последовательные участки множества целыхнеотрицательных чисел kq s+{0,q s–1}, k=0,1,2,... на�зовем q�ичными участками ранга s. Точно также будем называть и соответствующие участкипроизвольных последовательностей.

Определение 1. Последовательность Xn точекиз Id назовем ЛП�последовательностью, если каж�дый ее q�ичный участок ранга s имеет ровно по од�ной общей точке с каждым q�ичным блоком тогоже ранга.

Теорема 1.1. Проекции ЛП�последовательности на k�мер�

ные грани куба I d также являются ЛП�последо�вательностями.

2. ЛП�последовательности равномерно распреде�лены в I d.Эти утверждения легко проверяются, поэтому

мы не будем приводить доказательства.Приведем примеры ЛП�последовательностей.Любое число x из интервала I=[0,1) можно за�

писать в q�ичной системе счисления в виде

0≤xn≤q–1. Заметим, что q�ично рацио�

нальные числа, т. е. числа вида 0≤t≤qs–1, име�

ют две различных q�ичных записи:

Каждое неотрицательное целое число n можнозаписать в q�ичной системе счисленияn=n0+n1q+n2q2+...+nsqs, 0≤ni≤q–1 и ns≠0. Обозначимномер старшей q�ичной цифры как r(n). Числоn~=ns+ns–1q+...+n0q s назовем инверсным к n. Сопо�ставим каждому n q�ично рациональное число

Таким образом, множество

целых неотрицательных чисел вкладывается ото�бражением h в интервал I=[0,1). Очевидно, что по�следовательность h(n) является одномерной ЛП�последовательностью.

На самом деле справедливо даже более сильноеутверждение:

Теорема 2.Любые q s последовательных точек из (h(n))|∞n=0

лежат в разных q�ичных отрезках ранга s.

Доказательство. Пусть t – произвольное нео�трицательное целое. Нетрудно видеть, что {(t+a)mod q s: a∈{0, q s–1}}={0, q s–1}. Отсюда следует, чтокогда а пробегает множество {0, q s–1}, первые sq�ичных цифр числа t+a принимают все возмож�ные значения. Дальнейшее очевидно.

Построим теперь целое семейство ЛП�последо�вательностей.

Каждому целому неотрицательному числуn=n0+n1q+...+nsq s, представленному его q�ичной за�писью, сопоставим бесконечномерный векторn–=<n0,n1,...,ns,0,0,...>.

Теорема 3.Пусть A=(aij) i, j∈{0,1,...,∞}, 0≤aij≤q–1, беско�

нечная матрица над конечным полем Fq, такая, чтовсе ее подматрицы As=(aij), i,j∈{0,1,...,s} не вырож�дены, и пусть A(n) – число, соответствующее про�изведению

(вычисления здесь проводятся в арифметике поля Fq).1. Последовательность h(A(n)) – ЛП�последова�

тельность.2. Для h(A(n)) справедливо утверждение теоремы 2.

Доказательство.Для того, чтобы h(A(n)) была ЛП�последова�

тельностью, необходимо и достаточно выполнениеследующего требования: для любого вектора<t0,t1,...,ts,0,0,...> и любого s система уравнений

m=0,1,..., s должна иметь единствен�

ное решение.Это требование очевидным образом выполняется.Матрица A для каждого s определяет невырож�

денное преобразование пространства Fqs в себя. Поэ�

тому, когда n пробегает множество {(t+a):a∈{0,qs–1}},первые s q�ичных цифр чисел А(t+n) принимаютвсе возможные значения. Дальнейшее очевидно.

Построим теперь многомерные ЛП�последова�тельности.

Теорема 4.Пусть A=(Ck

mδkm), k,m∈{0,1,...,∞}, где Ck

m – би�номиальные коэффициенты, Ck

m=0 при k≤m,и пусть d≤q.

Тогда последовательность (h(n),h(A(n)),h(A2(n)),...,h(Ad–1(n))) является d�мерной ЛП�последовательностью.

Доказательство. Общий элемент матрицы Аi име�ет вид Ck

mi k–m, причем для i=0 полагаем, ik–m=δkm. По�следовательность (h(n),h(A(n)),h(A2(n)),...,h(Ad–1(n)))будет d�мерной ЛП�последовательностью, если длялюбого s и для любых ν1,ν2,...,νd, таких, что 0≤ν1≤sи ν1+ν2+...+νd=s будет невырожденной матрица Аs,составленная по следующему правилу:

Первые ν1 строк берутся из матрицы А0, следую�щие ν2 строк – из матрицы А1, и т. д., последние νd

строк – из матрицы Аd.Предположим обратное, т. е., что эта матрица

вырождена. Тогда найдется отличный от 0 векторn–=<n0,n1,...ns–1,0,0,...> такой, что Asn

–=0.

0

,

s

mk k m

k

ta n

=

=∑

( )

0

..., ... ,

r n

mk k

k

A n a n

=

⋅ =< >∑

( ) 1 1

0

( ) .

s

i

r n i

i

n nh n

q q+ +

=

= =∑�

1

0 1

1

1 1

0 1

1

1 0

è .

s

i

i i

i i s

s

i s

i s i

i i s

qxx

q q

x xx

q q q

∞

+

= = +

− ∞

+ +

= = +

−= +

+= + +

∑ ∑

∑ ∑

,s

t

q

1

0

,i

i

i

xx

q

∞

+

=

=∑

Математика и механика. Физика

25

Рисунок. Распределения последовательностей из семи точек

Рассмотрим полином n(x)=n0+n1x+...+ns–1xs–1 надполем Fq. Вырожденность матрицы Аs эквивалентнатому, что каждый элемент i∈{0, d–1} будет корнемвсех гиперпроизводных [9] порядков 0,1,...,νi+1,т. е. является корнем полинома n(x) кратностине менее νi+1. А это означает, что полином степениs–1 имеет не менее s корней. Полученное противо�речие доказывает теорему.

Замечание. Так же как и одномерные, постро�енная последовательность обладает свойством,сформулированном в теореме 2.

Приведем на рисунке примеры распределенияразличных последовательностей из семи точекв единичном квадрате.

Видно, что квазислучайная последовательность(построена с помощью одного из вышеописанныхсемейств) обладает лучшей равномерностьюпо сравнению с равномерной сеткой и псевдослу�чайной последовательностью. В более сложныхмногомерных случаях можно оценивать равномер�ность распределения с помощью метода, описан�ного в [1].

Итак, в настоящей работе вводится новое се�мейство равномерно распределенных последова�тельностей (ЛП�последовательности), обобщаю�щих конструкции Рота, Фора, Соболя [5–8]. Дока�зывается, что все последовательные участки ЛП�последовательности определенной длины имеютхорошее распределение.

Известия Томского политехнического университета. 2012. Т. 320. № 2

26

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1. Соболь И.М. Рэйндж – количественная мера неравномерно�

сти распределения // Математическое моделирование. –2009. – Т. 14. – № 6. – С. 119–127.

2. Асоцкий Д.И., Соболь И.М. О последовательностях точек дляоценки несобственных интегралов методами квази�Монте�Карло // Журнал вычислительной математики и математиче�ской физики. – 2005. – Т. 45. – № 3. – С. 411–415.

3. De Doncker E., Guan Y. Error bounds for the integration of singu�lar functions using equidistributed sequences // Journal of Comple�xity. – 2003. – V. 19. – № 3. – P. 259–271.

4. Рейзлин В.И. Эффективный метод построения псевдослучай�ных векторов, равномерно распределенных в гиперконусе //Известия Томского политехнического университета. – 2010. –Т. 316. – № 5. – С. 41–43.

5. Кейперс Л., Нидеррайтер Г. Равномерное распределение по�следовательностей. – М.: Наука, 1985. – 408 с.

6. Соболь И.М. Многомерные квадратурные формулы и функ�ции Хаара. – М.: Наука, 1969. – 288 с.

7. Соболь И.М. Вычисление несобственных интегралов при по�мощи равномерно распределенных последовательностей //Доклады АН СССР. – 1973. – Т. 210. – № 2. – С. 278–281.

8. Соболь И.М. Точки, равномерно заполняющие многомерныйкуб. – М.: Знание, 1985. – 32 с.

9. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. – В 2�х т. – М.: Мир,1988. – 820 с.

Поступила 05.10.2011 г.