Download pdf - Проекционные операторы для планетарных волн Россби и Пуанкаре в атмосфере

П. Ф. Бессараб, А. В. Радиевский

32 32

Соответственно в одном измерении будет получено значение HcW, в другом — Hc1. В реальном эксперименте, как ожидается, должно на-блюдаться расщепление нижнего критического поля. Следовательно, по величине этого расщепления можно сделать выводы о характери-стиках самой ДС и, в частности, определить величину HcW.

Список литературы

1. Воловик Г. Е., Горьков Л. П. // ЖЭТФ. 88. 1412 (1985). 2. Житомирский М. Е. // ЖЭТФ. 97. 1346 (1990). 3. Минеев В. П., Самохин К. В. // Введение в теорию необычной сверхпрово-

димости / МФТИ. М., 1998. 4. Овчинников С. Г. // УФН. 173. 27 (2003). 5. Зельцер А. С., Радиевский А. В., Филиппов А. Э. // ЖЭТФ. 112. 1351 (1997). 6. Filippov A. E., Radievsky A. V., Zeltser A. S. // Phys. Rev. B 54. 3504 (1996).

Об авторах П. Ф. Бессараб — студ. физ. факультета СПбГУ. А. В. Радиевский — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта,

[email protected]

УДК 550.338

И. В. Карпов, Ф. С. Бессараб, С. Б. Лебле

ПРОЕКЦИОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ ДЛЯ ПЛАНЕТАРНЫХ ВОЛН РОССБИ И ПУАНКАРЕ

В АТМОСФЕРЕ

Рассмотрено применение метода проекционных операторов к задаче идентификации планетарных волн Россби и Пуанкаре в атмосфере. Предложена процедура построения проекционных операторов для коротких и длинных волн Россби, а также для распространяющихся в противоположных направлениях волн Пуанкаре. Тестовые расчеты показывают, что дифференциаль-ные операторы, построенные по предложенной процедуре, реша-ют задачу идентификации планетарных волн на основе анализа наблюдений только одной станции.

The application of a method of projective operators to a problem of

identification of planetary Rossby and Poincare waves in an atmos-phere is considered in the paper. Procedure of construction of projec-tive operators for short and long Rossby waves, and also for Poincare waves propagating in opposite directions is offered. Test calculations were shown, that by the differential operators constructed on offered procedure, solve a problem of identification of planetary waves from observations only one station.

Вестник РГУ им. И. Канта. 2008. Вып. 4. Физико-математические науки. С. 32—37.

mailto:[email protected]

Проекционные операторы для планетарных волн Россби и Пуанкаре

33 33

1. Введение

Современные методы идентификации волновых возмущений ос-новываются на гармоническом анализе наблюдений. Успешность его применения определяется экспериментальными данными, получен-ными в длительных (по сравнению с периодом волны) наблюдениях атмосферы на большом числе станций. Сложившаяся сейчас система наблюдений в атмосфере — как наземная, так и спутниковая — не-равномерно покрывает поверхность Земли и не позволяет решить за-дачу идентификации волн. Продвижение в ее решении предполагает применение новых методов анализа наблюдений, в частности метода проекционных операторов. В его основе лежит предположение, что пространственно-временная структура атмосферы определяется су-перпозицией волн различных типов. Для всех волн известны диспер-сионные и поляризационные соотношения (связь компонент вектора волнового поля).

Идея использования поляризационных соотношений для класси-фикации волн возникла в радиофизике [1]. В теории электромагнитно-го поля поляризация традиционно включается в анализ волновых яв-лений. В теории акустико-гравитационных волн поляризационные со-отношения, с применением операторов проектирования, были введены в работе [2]. В качестве объекта изучения выступает четырехмерный вектор состояния (компоненты скорости, давление и температура). В таких предположениях можно построить операторы проектирования суперпозиционного состояния Ф на линейный базис, соответствующий известному типу волн:

∑ ∑ ⋅==n n

ii P1 1

ΦΦΦ . (1)

Здесь iP и iΦ — оператор проектирования и волновой вектор, соот-ветствующий i-му типу волны. Действие этого оператора на суперпо-зиционное состояние Ф, которое, по сути, является результатом наблю-дений, определяет амплитуды и фазы Фi волн известного типа.

2. Операторы проектирования

для планетарных волн Россби и Пуанкаре

Система линеаризованных уравнений для волн Россби и Пуанкаре в приближении β-плоскости имеет следующий вид [3]:

.

,,

00

02

2

=⋅−++

=⋅+⋅+

=⋅+⋅−

VUVcUfVcVfU

xyt

yt

xt

βη

η

η

(2)

В (2) координаты x, y определяют зональное (на восток) и меридио-нальное (на юг) направления, t — время, U и V связаны с меридиональ-ной (u) и зональной (v) компонентами скорости: UuHVHv ==⋅ 00 , ;


34 34

η — геопотенциальная высота, H0 — высота однородной атмосферы,

Hgc ⋅=2 , ),cos(2),1(0 θΩβ ⋅⋅=⋅−⋅= fyHH )sin(/1 θβ ⋅= R , R — ра-диус Земли, Ω — угловая скорость вращения Земли, θ — коширота, на которой определена β-плоскость. Уравнения (2) описывают динами-ку газа в канале шириной L с непроницаемыми стенками. Решение (2) представимо в виде:

∑ Θ⋅=n

nnYV ;

nnyn

nn YYU φϕ ⋅+⋅= ∑ ; ),2/exp()sin( yylY nn ⋅⋅⋅= β Lnln /⋅= π ; (3)

nnyn

nn YY νμη ⋅+⋅=∑ .

Используя систему (3) и Фурье-преобразование по переменной x, в котором kdxki∫ ⋅⋅⋅⋅= θΘ ~)exp( , переходим к системе уравнений:

).//()4/(

;0~)1(~;0~~~

;0~~~

22222

2

2

cflQ

QcQf

ckif

ki

t

t

t

−+=

=⋅⋅⋅+⋅−⋅+

=⋅⋅⋅+⋅−

=⋅−⋅⋅+

ββ

μβϕθ

μθϕ

θβϕμ

(4)

Дисперсионные соотношения для волн Россби и Пуанкаре имеют вид: )//( 2222

1 cflkkf ++⋅⋅−= βσ ; 1/ 221 <fσ ;

2/122223,2 )4/)/(( βσ +++⋅±= lkcfc ; 1/3,2 >fσ .

(5)

Здесь σ1 — частоты волны Россби, а σ2,3 — правой и левой волн Пу-анкаре; k и l — компоненты волнового вектора в зональном и меридио-нальном направлениях.

Связь компонент вектора ∑=3

1iΦΦ для рассматриваемых волн (по-

ляризационные соотношения) определяется следующим образом:

;~~

)(~

;~~~

222

2

iiii

i

iiii

i

bfki

ck

afkckf

μμσβ

σθ

μμσβ

βσϕ

≡⋅⋅+⋅⋅⋅−

=

≡⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅

=

iii

ba μΦ ~1

⋅⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

= . (6)

Для баротропных волн Россби и Пуанкаре в атмосфере общий вид проекционных операторов получен в [2] и имеет вид:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

)()()()()()(

σγσβσασγσβσα

γβα

iiiiii

iiiiii

iii

i

bbbaaaP . (7)

Матричные элементы операторов Pi можно рассчитать, используя со-отношения:


35 35

23321 abab ⋅−⋅=Δ ; 31132 abab ⋅−⋅=Δ ; 12213 abab ⋅−⋅=Δ ;

ΞΔ

= iiα ; ∑Δ=Ξ

ii ;

Ξ−

=)( 23

1bb

β ;Ξ−

=)( 31

2bb

β ; Ξ−

=)( 12

3bb

β (8)

Ξ−

=)( 32

1aa

γ ; Ξ−

=)( 13

2aa

γ ; Ξ−

=)( 21

3aa

γ .

[ ] ii PP =2 и IPi

i =∑ , (9)

где I — единичный оператор.

3. Особенности применения проекционных операторов для планетарных волн в верхней атмосфере

Проекционные операторы для анализа волновой структуры атмо-сферы имеют особенности, определяемые как самой средой, так и ха-рактером экспериментальных данных. В большинстве случаев иденти-фикация волн осуществляется в результате анализа временных рядов наблюдений. Поэтому операторы проектирования (6—8) следует мо-дифицировать, определив их действие только на зависящие от времени функции (ряд наблюдений). С этой целью необходимо определить за-висимость )(σkk = и использовать ее для нахождения матричных эле-ментов. Решения (5) относительно k определяют «длинные» ( maxkk < ) и «короткие» ( maxkk > ) волны Россби, соответствующие одной частоте.

Параметр 22max )/( lcfk += — волновое число, для волны Россби с

максимально допустимой частотой maxmax 2/ kf⋅= βσ . Период волны Россби, имеющей меридиональную структуру

2/,/ RLLl ⋅== ππ , на средних широтах превышает 4 суток, а соответ-ствующие длины волн составляют 10 тыс. км. Наблюдения в верхней атмосфере регистрируют возмущения с периодами, превышающими минимальный период волн Россби [4], а пространственные размеры позволяют реализовываться «длинным» и «коротким» волнам Россби. Следовательно, необходимо рассматривать два набора операторов для «длинных» и «коротких» волн.

Зависимость )(σk с точностью до членов 3

max)(

σσ имеет вид (11,12):

max

maxmaxmax

22

σσ

σσ

⋅⋅

−⋅

⋅=kkk «короткие» волны Россби; (11)

3max

3

maxmax

max 81

21

σσ

σσ kkk ⋅+⋅⋅= «длинные» волны Россби. (12)

Коэффициенты )(),( 11 σσ ba в (7) для «коротких» волн имеют вид:

))/()1(

()(122

γσγ

γσαfc

c⋅−⋅

+⋅= ; ))1(()(12

ff

icb

⋅⋅−

+⋅

⋅=γ

σγσγ

σ ; (13)

В (13) приняты обозначения fc

⋅= βγ ; f

q maxσ= ; 1−=i .


36 36

В операторах для волн Пуанкаре в качестве малого параметра раз-ложения выбран σ/f <1. Предельные амплитудные значения малых параметров fx /σ= ∼0,2 для волн Россби и σ/fy = ∼ 0,4 для волн Пу-анкаре обеспечивают хорошую сходимость степенных рядов.

Выражения для коэффициентов )(3,2 σa и )(3,2 σb имеют вид:

22

2

)1(1)1(

81)(2 y

qcca

+⋅⋅⋅−⋅−=

γγγσ ; y

ic

qb ⋅

+⋅⋅⋅⋅=

)1(1

41)( 2

22 γ

γσ ; (14)

22

2

)1(1)1(

81)(3 y

qcca ⋅

−⋅⋅⋅+⋅+−=

γγγσ ; y

ic

qb ⋅

−⋅⋅⋅⋅=

)1(1

41)( 2

23 γ

γσ . (15)

Матричные элементы в (7) удобно представить в виде степенных рядов по малым параметрам fx /σ= и σ/fy = .

∑ ⋅= nijnij xAP 11 ; ∑ ⋅= n

ijnij yAP 3,23,2 . (16)

На этом этапе можно тестировать операторы (16), полагая, что Φ является волной рассматриваемых типов с амплитудой, равной едини-це. Применение оператора (16) для волн Россби или Пуанкаре дает ам-плитуду соответствующей ему волны. Амплитуды других волн, входя-щих в суперпозицию, должны обращаться в ноль. Тест показывает (рис.), что построенный оператор для «коротких» волн Россби надежно выделяет свою волну из суперпозиции.

0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2относительная частота

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Рис. Нормированные амплитуды «коротких» волн Россби в зависимости

от частоты (х=σ/f); после применения оператора проектирования к волновому полю, содержащему волну Россби (сплошная линия)

и волны Пуанкаре (пунктирная и штриховая линии) Таким образом, предлагаемая методика позволяет построить про-

екционные операторы для волн Россби и Пуанкаре и решить задачу идентификации этих волн в исходном волновом поле.

Список литературы

1. Новиков А. А. О применении метода связанных волн к анализу нерезонанс-

ных взаимодействий // Изв. вузов. Радиофизика. 1976. Т. 19. № 2. С. 321—328. 2. Leble S. B. Nonlinear waves in waveguides with stratification. Springer-Verlag,

Berlin, 1991.


37 37

3. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика М., 1984. 4. Аltadill D. Planetary wave type oscillations in the ionospheric F-region //Adv.

Space. Res. 2000. V. 26. № 8. P. 1276—1287.

Об авторах И. В. Карпов — д-р физ.-мат. наук, проф., РГУ им. И. Канта. Ф. С. Бессараб — канд. физ. мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта. С. Б. Лебле — д-р физ.-мат. наук, проф., РГУ им. И. Канта.

УДК 530.145

С. В. Ялунин

МЕТОД УЛУЧШЕНИЯ СХОДИМОСТИ КОШИ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ К ВЫЧИСЛЕНИЮ ЭНЕРГИИ ВАКУУМА

Обсуждается развитие идеи Коши об аналитическом про-должении гамма-функции Эйлера на случай функциональных ря-дов. Рассматривается применение теории к проблеме вычисле-ния энергии вакуумных флуктуаций массивного скалярного по-ля, взаимодействующего с другим статическим полем. Обсужда-ется принципиальная возможность изменения энергии вакуума за счет перестройки спектра вакуумных колебаний.

Development of Cauchy idea on analytical continuation of Euler

gamma function to the case of functional series is considered. Applica-tion to the problem of vacuum energy calculation for massive scalar field in presence of other static field is considered. Fundamental possi-bility of vacuum energy correction due to vacuum spectrum alteration is discussed.

Введение

Устранение ультрафиолетовых расходимостей — одна из самых

сложных проблем квантовой теории поля. На данный момент наиболее фундаментальным подходом к решению этой проблемы является тео-рия перенормировок. Теория перенормировок основана на фундамен-тальном допущении о возможности устранения всех расходимостей по-средством переопределения таких констант, как масса, заряд поля и т. д. Существует несколько способов выполнить такую перенормировку. В данной работе для перенормировки энергии вакуума [1; 2] использует-ся техника размерной регуляризации [3]. Также рассматривается разви-тие идеи Коши об аналитическом продолжении гамма-функции Эйле-ра [4, с. 25], суть которой сводится к следующему. Коши заметил, что несмотря то, что интегральное представление гамма-функции

∫∞ −−0

1dtte zt имеет неинтегрируемую сингулярность в точке t=0 (при

Вестник РГУ им. И. Канта. 2008. Вып. 4. Физико-математические науки. С. 37—42.