Осташкевич В.А.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ В ЗАДАЧАХ НАДЕЖНОСТИ И БЕЗОПАСНОСТИ СИСТЕМ
В теории подобия имеются три фундаментальных теоремы, устанавливающие необходимые и достаточные
условия подобия систем и да ют возможность преобразования функциональной зависимости между физи-
ческими параметрами в критериальное уравнение. Согласно первой теореме о необходимых условиях подобия,
сравниваемые явления подобны, если они имеют одинаковые критерии подобия в сходственные моменты
времени и в сходственных точках пространства. Под критериями подобия, или инвариантами подобия понимаются
безразмерные комплексы физических величин, определяющих то или иное физическое явление. Для подобных
явлений j i dem, n где n - число критериев подобия. Кроме критериев подобия, для установления
подобия используются отношения сходственных физических величин jx и jx - исследуемого и базового
явления в виде констант подобия j
j
i
xm
y ,которые масштабами величин или симплексами. Физическое мо-
делирование использует афинное подобие, когда константы подобия , 1,jm j n отличны друг от друга.
Вторая теорема известна под названием - теоремы. Эта теорема определяет, что функциональная зави-
симость между физическими пара метрами системы может быть представлена в виде зависимости состав
ленными из них критериями подобия. Использование этой теоремы позволяет получить в отработке зна-
чительные преимущества. Во-первых, критериальное уравнение характеризует всю группу подобных си-
стем, и поэтому использование его позволяет распространить полученные результаты единичной отра-
ботки на всю группу. Во-вторых, применение безразмерных комплексных величин уменьшает число парамет-
ров, которые входят в уравнение, что упрощает математические операции с ним. В-третьих, при прове-
дении отработочных исследований не нужно не нужно изучать влияние каждого фактора в отдельности. Вид
критериального уравнения может быть получен методом анализа размерностей, если число физических пара-
метров функциональной зависимости превышает число основных единиц измерений не больше чем на единицу.
Если физическое явление определяется n независимыми между собой размерными величинами
1, 2 1, , , , nx x x x x из числа, которых "K" величин 1, ,x x являются основными (имеют независимые размерно-
сти), а n n - то согласно второй теореме подобия из n величин можно образовать n независимых без-
размерных комплексов:
1 221 1 1/ , , ,x x x x i
dem
1 222 2 1 , , ,x x x x i
dem
……………………………………
1 221 , , ,n nx x x x i
dem (12)
где 1 2, , - показатели размерностей основных величин. Согласно второй теореме подобия на осно-
ве анализа размерностей зависимость между некоторой физической величиной , является функцией незави-
симых между собой n размерных величин
1 2 1, , , , , ny x x x x (13)
Может быть заменена соотношением между безразмерными критериальными комплексами
1 2, , , n ky (14)
Здесь связи между 1n размерными величинами принимают вид соотношением между критериальными ком-
плексами 2, n . Таким образом, производится обобщение характеризующей данное явление зависимо-
сти (13), найденной отработочным (экспериментальным) или аналитическим путем и изучаемое явление
сводится к рассмотрению значительно меньшего числа зависимостей между безразмерными комбинациями
величин.
Условие подобия (12) может быть представлено в виде индикаторов подобия
1 21 1 1 2/ , , , 1x x x
1 22 2 1 2/ , , , 1x x x x
……………………………...
1 221/ , , , 1n nx x x x
(15)
При построении модели, подобной исследуемому явлению, требуется определить добавочные условия, кото-
рые из всех возможных решений выделяют наиболее характерные для данного случая признаки. В этих случаях
потребуются шкалы измерений при исследовании безопасности и изложенные выше. В дополнение к необходимым
условиям третья теорема подобия формулирует достаточные условия подобия. Согласно этой теореме
подобны те явления, которые имеют одинаковые определяющие критерии подобия и подобные условия
однозначности. Определяющими считаются критерии, содержащие величины, входящие в условия одно-
значности явления. В отличие от неопределяющих (зависимых величин) эти критерии могут быть заранее
вычислены. Следовательно, при по строении критериальных моделей подобия для обобщенного анализа и
использования физического моделирования в задачах исследования безопасности и надежности систем, в
дополнение к зависимости, описывающим изучаемой явление, должны быть сформулированы начальные и граничные
условия однозначности, связанные с понятием безопасной работоспособности системы и характеризующие
временные, геометрические, социальные и физические особенности явления.
Учитывая то, что параметры характеризующие исследуемый процесс надежности и безопасности нами рас-
сматриваются как случайные величины, тогда подобие стохастически определенных физических систем должно
быть основано на равенстве функций плотностей распределения параметров, характеризующих эти системы. Крите-
рии подобия в этом случае должны быть определены в пределах верхней и нижней границ до верительного ин-
тервала.
Классическая теория подобия для определения подобия систем сводит задачу к решению отношения вида
1 2
1 2
1 2
1 2
, , ,
, , mam
x x x
x x x
(16)
где 1, ,x x - параметры существующей первой системы; 1, , mx x - параметры вновь создаваемой
системы; , ,n m - экспериментальные коэффициенты.
Если соотношение (16) равно единице 1 , тогда сравниваемые системы подобны. В противном
случае (если 1 ) системы не подобны. Так как, , как правило - непрерывная случайная величина,
то 1 0 . Поэтому рассмотрим задачу подобия в стохастической постановке. Параметры 1 2, , , mx x x - явля-
ются случайными величинами, имеющими функции плотностей вероятности , 1,i if x j m . Вопросы оценки подобия
сформулируем в терминах задачи проверки статистических гипотез. Обозначим 1 21 1 2 , ;y x x x
и
1 22 1 2, m
my x x x
. Тогда 0 - нулевая гипотеза будет состоять в том, 1 2f y y . Альтернативная ги-
потеза состоит в том, что 1 2f y y Из теории гипотез следует, что сравниваемые исследуемые системы
подобны если , ,ãäå ,
верхняя и нижняя границы для , определяемые для достоверной вероятности ,
причем 1- уровень значимости и -критерий статистической гипотезы . В этом заложен принцип подобия
систем в стохастическом смысле. Задача определения и при заданных и n ( n - число отработок) рас-
падается на две: 1. определение функции плотности вероятности f случайной величины по функциям
плотности вероятности случайных вели чин 1 2, , , mx x x .
2. Определение критической области для критерия . Рассмотрим решение первой задачи. При этом будем
полагать, что величины jx при всех j независимых и имеют обобщенное - распределение. Будем счи-
тать, что j jf определяется следующим образом:
1
/
exp/
j j
j j
a
dj
j j j j j
j j
af x x
a
; 0 0j jx a
0 0j j
0j juf в любом другом случае.
Это трехпараметрическое распределение включает в себя почти все известные законы распределения. Уста-
новлено, что h - момент отношения 1 1, , / , ,m ny x x x x имеет вид
/
11
/ jm
hjhj
j
hy C
j
/
11
/ ,j h j
jj m
j
h
где
1
1 1;
mj j
j m jj j
C
(17)
- знак математического ожидания. Когда моменты ny существуют, функция плотности вероят-
ности, обозначенная g , определяется обратным преобразованием Меллина.
11
2
c in n
c i
g y y y dn
(18)
Таким образом, результат (18) можно использовать в случаях, когда коэффициенты 1 в (17) равны
единице. Но это не всегда выполняется, поэтому необходимо найти распределение при 0j . Упрощая
задачу, будем считать, что jx - имеет - распределение с плотностью
11 1jjj j
j j j
j j
f x x x
; 0 1jx ; 1 ; 1j . (19)
Тогда h- й момент распределения величины 1 21 1 2 , ,y x x x
при взаимозависимости jx имеет вид
1
1 1,j
h j jhj
j jj j j
hy x C
h
где 1
j j
jj
Ñ
. Отсюда например, получаем среднее значение 1y , полагая 1h
1
1.
kj j
jj j j
C
Дисперсия 1
221y y ; откуда
1
2
1
2
2
j j
yj
j j
aC
a
Таким образом, приходим к решению
новой задачи определения функции распределения отношения двух полиномов.
1 2/ ,y y
где 1 2
2 1 2, , , mmy x x x
. Здесь необходимо определить:
- коэффициенты 1 2 1, , , , , m (из опыта или эксперимента);
- функцию распределения отношения ;
- нижнюю и верхнюю доверительные границы для неизвестного при заданной доверительной вероятности
.
Рассматривая как коэффициенты линейной функции регрессии величины ln , можно использовать стандартное
уравнение регрессии для их определения. Последнее выбирается таким, чтобы дисперсия условной величи-
ны 1/ 1 1;N y N Ny x y x ,была минимальной ,т.е.
21
0
1
M
n i i
i
y y
min.
Коэффициенты регрессии определяются с помощью стандартных программ для ЭВМ. Учитывая универ-
сальность подхода, будем искать функцию распределения . Функция плотности вероятности семейства
Пирсона удовлетворяет дифференциальному распределению
1 0
20 1 2
d g z y z
g z dz y y Z z
, (20)
где коэффициенты ii 0,1, 2 определяются следующим образом:
1/22 2
2 2 1 1 2
0 12 22 1 2 1
4 3 3; ;
2 5 6 9 2 5 6 9
z z z z z
z z z z
2 1
2 22 1
2 3 6
2 5 6 9
z z
z z
;
31 3
zz
z
;
42 4
3zz
z
где 3 4z - центальные моменты 2,3,4, порядка соответственно равные 2
2 2z z z ;
33 3 2 23 2z z ;
2 44 2 3 24 6 3z z z z - здесь v - начальные моменты v-го порядка для
случайной величины 1y .
11
1j
jy x
;
1
j j
vj
j j j
C
.
Величина j имеет функцию плотности вероятности
11 1jj j j
j j j j
j j
f x x x
(21)
где 1
/j j jj
C
(8.21*). Тогда
1
j j
ÿj
j j j
Ñ
;
2 2
1
2
2
j j
ÿ zj
j j j
Ñ
Отсюда определяются моменты 3z и 4z
31
3
3
j j
zj
j j j
C
2
1
23 2
2
j j
z zj
i j j
C
2 44
1 1 1
4 3 24 6 3
3 24
j j j j j j
z z z zj j j
j j j j j jj j j
C C C
С помощью таблиц - функций найдем коэффициенты асимметрии и эксцесса 3
1 43z
z
z
; а по ним и
коэффициенты 0 1 2, , .
Запишем уравнение (16) в виде
1
20 1 2
ln ;d x
ydx x x
Отсюда 210 0 2 0 12
20 1 2
1ln ln ln ln
2y C dx C x
или
0
1/2 22
2 0 1
ln lnC
y
y x x
Ñ определим из условия
1
0
1g z dz
Откуда
2
1
0 1/22
0 2 1 0
1dz
C
z z
или
2
1
1
0 1/22
0 2 1 0
dzC
z z
В результате получим 2
01 1/2
22 1 1 1 0
Cg y
y y y
Аналогично находим распределение случайной величины
1 22 1 2 , , m
mx x x ,
10
4 11/2
1 2 1 1 1 22 2 1 2 0
Cg y
y y y
где
1 1 122 21 1 1
0 1 1 12 2
4 3; ;
2 5 6 9
mj j
jj j j
Ñ
1/21 12 1
1 21 11 1 12 1
2 2
3; ;
2 5 6 9
mj j
jj
Ñ
11 1 11 1 132 1 42 1 213 142
2 1
2 3 6; ;
2 5 6 9
12 1 2 1 1 1 1 32 3 3 2; 3 2z z za a a
1 1 1 1 44 4 3 34 6 3z z za a a
1v -начальные моменты м-го порядка для случайной величины
21
mj
jj
z y X
т.е.
1 12
1;
mj jv
vj
j j j
vy C
v
1 33
1 1
2 23 2
3 2
m mj j j j
z zj j
j j j j j j
Ñ C
1 1 2 44
1 1 1
4 3 24 6 3
4 2 2
m m mj j j j j j
z z zj j j
j j j j j j j j j
C C C
11
1 1
1/21 2 111 1 0
;( ) ø
mj j
zj
j j j
dzC Ñ
z
(22*)
Таким образом, функция плотности вероятности 1g y и 2g y можно определить функцию плотности веро-
ятности распределения критерия подобия 1 2/y y .
Воспользуемся формулой для композиции 2 2 1 2
0
,f y f y y dy
,где 2 1,f y y совместная функция
плотности вероятности случайных величин 1 2, . При их независимости имеем 1 2 2 1,f y y f y f y
или
2 2
01, 2 1/2 1/2
2 22 1 1 1 0 2 2 2 2
н
С Сf y y
y y y y
(22)
Таким образом, функция плотности вероятности распределения критерия подобия имеет вид
2 3
20 1/2 1/22
0 2 2 1 2 0 2 2 1 2 0
dyf C C
y y y y
Для решения задачи (22) необходима программа для ЭВМ, которая даст результаты: вычислить f и
определить среднее значение и дисперсию по формулам
2
2
0 0
;ср срf d f d
(23)
Для определения нижних и верхних границ критерия подобия необходимо по опытным (экспериментальным)
данным найти оценку
1 2/ср y y
. (24)
Согласно формулам, приведенным выше,
11
j j
j
j j j
y С
,
Где j и j - параметры распределения jx
j
,
- оценки этих параметров по опытным (экспериментальным) данным;
j
оценка для j , полученная по данным, с помощью которых устанавливается критерий . Ана-
логично определяем оценку 2y .
22
22 2 12
12 21 2
; ,j jm
срj
j j j
y C
y y
где 1
и 2
оценки дисперсии.
22
1 21
2
2
j jk
j
jj j
С y
;
2
21
2
,
2
j jk
j k
j j j
а для постоянных С и С даны в формулах (21) и (22*). Учитывая сложность анализируемой задачи и ограниченность исходных данных, можно рассмотреть нормальное приближение при определении границ
и - математического ожидания критерия подобия:
;ср ср
h h
n n
где h - квантиль распределения Стьюдента, определяемый по значениям до-
стоверной вероятности 2 1 и числу n испытаний (отработок) сис темы, по которым находятся критерии
подобия 1, 2, , т , позволяющие определить подобие создаваемой системы и некоторых прототипов,
находящихся в эксплуатации. Если доверительный интервал критериев подобия найден при одной и той же
доверительной вероятности, тогда, если 1 11 и
, 2 21 , ,1 n nи и
и эти условия выполняются
одновременно, то исследуемые системы на надежность и безопасность можно считать подобными и объединить
необходимую имеющуюся информацию о надежности и безопасности системы. Если хотя бы одно из условий не вы-
полняется, то объединение такой информации может быть частичным, а подобие исследуемых систем (объек-
тов) приближенным.
Изложенное позволяет сформулировать принцип подобия процессов, явлений в стохастическом смысле.
Если исследуемые объекты (системы), явления, процессы, протекающие в них, а также параметры, опре-
деляющие природу изучаемого события, имеют тождественные плотности распределения вероятности, а
критерии подобия как функции распределения вероятностей, получаемые на основании равенства функций
плотностей вероятности параметров, приведенных к безразмерному виду, по своей значимости находятся в пре-
делах верхней и нижней границ доверительного интервала, определяемого единицей, то эти события принадле-
жат одной генеральной совокупности и их вероятностные характеристики одинаковы. Теперь на основании изло-
женных теоретических основ основные теоремы подобия можно представить в стохастическом виде.
По второй теореме подобия полное физическое подобие, описываемое уравнением вида
1 2, , , ;nr W x x x t (25)
может быть заменено зависимостью
1, 2 2 1 2,
3 1, 2 1 2
, , , , , ,
, , , , , , , , ,
i n
n n k n
x x r t x x x r
x x x r x x x r
(26)
где - критерий подобия, составленный из параметров физического уравнения (25).
Если (25) описывает безопасную работоспособность и надежность объекта или его составных частей, то за-
мена (25) на критериальное уравнение (26) позволяет построить модели развития, например, отказов в
объекте, или умышленного повреждения их, в критериальном виде. Для этого в качестве неопределяющего крите-
рия 1 выбирается критерий подобия, включающий в себя временной параметр t, а в качестве определяющих
критериев подобия 2 3, , , n k критерии подобия, характеризующие физическую сущность исследуемого процесса
надежности и безопасности. В случае стохастически определенных системы выражение (26) является функцией
случайных аргументов и построение модели развития опасности (отказы системы, включая целенаправленный
вывод из строя) в критериальной форме в общем виде - достаточно сложная за дача. Однако, для многих слу-
чайных процессов изменение характеристик системы можно выделить ряд общих свойств.
- С точки зрения надежности физические процессы - это долго временные необратимые процессы из-
менения характеристик, которые являются основной причиной отказов технических систем.
- Оцениваемые показатели надежности количественно описывают наиболее устойчивые свойства распределения
этих характеристик (математическое ожидание и дисперсию) и, случайная составляющая функции, описывающая
изменение этих характеристик, играет меньшую роль.
- Математические модели таких процессов могут быть представ лены в виде случайных функций,
которые имеют определенную функциональную зависимость от времени, а их случайный характер обусловливает-
ся факторами, не зависящими от времени.
- Случайные изменения характеристик, как правило, являются нормально распределенными. Выражение
(26) можно представить в виде
1 2 2 1 2, , , , , , , , ,i n nx x x r t x x x r ,
3 1 2 1 2, , , , , , , , , , ,n n k nx x x к x x x r (27)
где математическое ожидание i-го критерия подобия может быть определено как:
2 2
1 2 21 1
1, , , ,
2
nj i
i i n i i i
j j i j i
x x x r D x K x xx xx
(28)
Здесь - точка, в которой i ix x , а последние два члена представляют собой поправку на нели-
нейность функции 1 2, , , ,i nx x x r ).
На основании изложенного некоторые общие свойства случайных процессов изменения физических харак-
теристик технической системы и полученные соотношения (27) и (28), можно предложить следующую
статистическую трактовку - теоремы. Функциональная зависимость между определяющими физический процесс
характеристиками, рассматриваемыми как случайные величины, может быть представлена в виде зависи-
мости между математическим ожиданием критериев подобия - функцией от математических ожиданий соответ-
ствующих характеристик исследуемого процесса.
Таким образом, статистическая трактовка основных теорем теории подобия применительно к вопро-
сам отработки систем, их надежности и безопасности, позволяет установить необходимые и достаточные
условия подобия исследуемых процессов, т.е. определить границы доверительного интервала для соответству-
ющих критериев подобия, в пределах которых сохраняется подобие, установить математическую зависи-
мость между временным параметром процесса и вероятностными характеристиками критериев подобия.
Решение этих задач дает возможность использовать элементы статистической теории подобия для повышения
эффективности отработки систем. В этом случае в классическую схему исследований на основе методов
теории подобия и моделирования добавляются этапы, связанные с построением законов распределения
критериев подобия как случайных величин, установлением границ доверительного интервала из возмож-
ных отклонений и проверкой условий статистического подобия. Схема этапов исследуемых процессов
представлена на рис.2.
Пример 1. Пусть в распоряжении создателя сложной системы есть информация о проведении десяти ее
разных отработок (на надежность, безопасность, устойчивость, управляемость и пр.) (п = ), при этом
имеется один отказ (d = I). Установлено, что создаваемая система подобна некоторому прототипу, который
ранее отрабатывался вместе с подсистемами (агрегатами, элементами и т.д., входящими в систему) 110
раз ( 0n = 110), причем всего отказов было 5 раз ( 0d = 5). Тогда оценку создаваемой системы по надежно-
сти можно представить так:
0 01 /d d n n 0,9455,
Нижняя граница 1 , , ,f n d где 1f табулированная функция.
Рис 2. Схема этапов исследования на моделях с учетом стохастического характера исследуемых
процессов
Без учета информации о состоянии создаваемой системы имеем
1 10,1, ,f
а с учетом информации
1 110,6,f 0,9037
Задаваясь значением = 0,95 и по таблицам [85], получим = 0,7 или 0,9 соответственно, что
изменяет оценку в 1,5 раза и приводит к значительному сокращению объема отработки системы. В ряде
случаев не удается сформулировать все критерии подобия, характеризующие исследуемую систему. Вме-
сте с тем для отдельных (главных) режимов работы системы (подсистемы, агрегатов и пр.), критерии
подобия можно сформулировать, или они уже имеются по прототипу. Тогда по схеме (рис.2) можно опре-
делить вероятности безопасной (безотказной) работы системы.
Пример 2. Рассмотрим задачу вероятности невозникновения акустической неустойчивости работы
теплового двигателя (энергетической тепловой системы). Появление акустической неустойчивости мо-
жет явиться причиной аварии в работе двигателя энерготепловой системы. Оценка вероятности невоз-
никновения акустической неустойчивости при работе данного двигателя и ее нижний доверительный предел
определяется как
1 1
11
1 1
1
1 ; , , ,
N
i
N
i
m m
f n d
n n
где 1 1m n - число случаев возникновения акустической неустойчивости исследуемого объекта и общее
число его отработки соответственно, i im n , -число случаев возникновения акустической неустойчивости работы
ана лога и общее число его отработки ,n d , - эквивалентные числа неисправностей (повреждений) и выхода из
строя (отказов); N - число рассматриваемых аналогов, , ,f n d - табулированная функция (квантиль не-
полной бета – функции).
1 1
1 1
;N N
k k
k k
n n n d m m
Если определяющие параметры исследуемого объекта являются случайными величинами, то одноименные
критерии подобия должны быть статистически однородными. Предположим, что определяющие параметры
исследуемого объекта получены, а именно: акустическая проводимость, геометрические размеры, ско-
рость звука в продуктах горения, плотность топлива, начальная температура топлива, плотность
твердых частиц и др. Получены результаты отработки четырех однотипных тепловых двигателей, у кото-
рых отмечались случаи возникновения акустической неустойчивости при работе, приведшие к разрушению:
1n =780 и 1m =2; 2n =1220 и 2m =3; 3n =410 и 3m =1; 4n = 1580 и 4m =4. Геометрические параметры, харак-
теризующие отрабатываемые двигатели, идентичны. На основании численных значений определяющих параметров
не обходимо:
- решить задачу получения обобщенной информации по результатам испытаний четырех однотипных дви-
гателей, т.е. о возможности рассмотрения этих двигателей как подобных;
- оценить вероятности невозникновения акустической неустойчивости создаваемого двигателя на осно-
вании обобщенной ин формации и построить нижний доверительный предел для этой вероятности.
Пусть для конкретного исследуемого физического процесса двигателя определяющими будут десять парамет-
ров: , 1,10ix i . Размерности этих параметров приведем в табличной форме (табл. 2*).
Таблица 2*.
Параметр Размерность Показатели
i i i
1x 3
L 1
1 3 -1
2x
L
0 1 0
3x
L
0 1 0
4x
1L
1
-1 -1 -1
5x L
2
0 1 -2
6x L
2
0 1 -2
7x
L
0 1 0
8x
3L
1 -3 0
9x
3L
1 -3 0
10x
1L
1 -1 0
Методом нулевых размерностей определим критерии подобия, характеризующие протекание исследуе-
мого физического процесса. Пред ставим исход этого процесса - акустической неустойчивости горения
обобщенной координатой 1 10,x f x x . Определяющие параметры 1 2 10, , ,x x x характеризуются тремя ос-
новными единицами измерения (массой М, длиной L, временем Т). Из [108], [110] следует, что можно
получить семь независимых безразмерных комплексов, характеризующих протекание рассматриваемого
процесса. Эти критерии найдем методов нулевых размерностей. Выберем параметры 1 5 10, ,x x x , лею в каче-
стве основных по числу первоначальных единиц измерения и составим определитель из размерностей
этих параметров:
2 2 2
5 5 5
10 10 10
0 1 0
0 1 2 3
1 1 0
Тогда можно перейти к безразмерным величинам
1 1 1 8 8 83 3 3 4 4 4 6 6 6 7 7 7 9 9 9
3 6 7 8 91 4
2 5 10 2 5 102 5 10 2 5 10 2 5 10 2 5 102 5 10 2 5 10
,1, , , , , , ,1x x x x xx x x
x x x x x xx x x x x x x x x x x xx x x x x
(29)
Значение коэффициентов , , ( 1,2, ,9)i i i i определим из условия, чтобы входящие в (29) комплексы
были безразмерными. Определим 1 1 1, , из условия, что размерности числителя и знаменателя выражения
1 1 1
1
2 5 10
x
x x x должны быть одинаковыми, т.е.
111 3 1 2
L L L
1 1
L
,
Откуда 1 =1/2, 1 =-3/2, 1 =-1, показатели при , L , - соответственно.
Подставляя полученные значения коэффициентов 1 1 1, , в соответствующий член уравнения (29) получим
критерий подобия 1 .
11 1/2 3/2 1
2 5 10
x
x x x
Аналогичным способом находим остальные значения коэффициентов в уравнении
3 1 3 =0 3 =0 7 =1 7 =0 7 =0
4 =1/2 4 =1/2 4 =1 8 =1 8 =-1 7 =1
6 = 0 6 =1 6 =0 9 =1 9 =1 9 =1
После подстановки этих численных значений коэффициентов в со ответствующие члены уравнения
(29) получим критерии подобия, характеризующие рассматриваемый процесс. Анализируя критерий
1 найдем отношение
1 2
1 1/ ,
где 1 2
1 1, - значение 1 для двигателя первого и второго типов, или
1 2 2 2
2 1 1 1
1/2 3/2 11 2 5 10
1/2 3/2 11 2 5 10
x x x x
x x x x
,
где 1j
x и 2j
x - характеристики первого и второго типов двигателей. По формулам (23), (24) и таб-
лицам находим оценку среднего значения для среднего квадратичного отклонения
= 0,995,
= 0,28.
До верительный интервал для при значениях доверительной вероятности =0,99,
0,995- /h n 0,28=0,995- 2,7 780 0,28=0,968, 0,995 0,027 1,022
Так как 1 0,968;1,022 , первый создаваемый и второй (находя щийся в эксплуатации) двигатели по
критерию 1 подобны. Аналогично устанавливается подобие по остальным критериям по добия.
Вывод: статистические данные по результатам отработки этих дви гателей в отношении процесса резо-
нансового горения могут рассматри ваться в одной генеральной совокупности. Числовая оценка вероятно-
сти невозникновения неустойчивости горения любого рассматриваемого из четырех типов двигателей опре-
деляется как
2 3 1 41 0,0075.
780 1220 410 1580
Нижний предел определяется с доверительной вероятностью =0,95: ,10, 0,970f n n – число
отработок (испытаний).
Recommended