Transcript
Page 1: ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ В ЗАДАЧАХ НАДЕЖНОСТИ И БЕЗОПАСНОСТИ СИСТЕМ

Осташкевич В.А.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ В ЗАДАЧАХ НАДЕЖНОСТИ И БЕЗОПАСНОСТИ СИСТЕМ

В теории подобия имеются три фундаментальных теоремы, устанавливающие необходимые и достаточные

условия подобия систем и да ют возможность преобразования функциональной зависимости между физи-

ческими параметрами в критериальное уравнение. Согласно первой теореме о необходимых условиях подобия,

сравниваемые явления подобны, если они имеют одинаковые критерии подобия в сходственные моменты

времени и в сходственных точках пространства. Под критериями подобия, или инвариантами подобия понимаются

безразмерные комплексы физических величин, определяющих то или иное физическое явление. Для подобных

явлений j i dem, n где n - число критериев подобия. Кроме критериев подобия, для установления

подобия используются отношения сходственных физических величин jx и jx - исследуемого и базового

явления в виде констант подобия j

j

i

xm

y ,которые масштабами величин или симплексами. Физическое мо-

делирование использует афинное подобие, когда константы подобия , 1,jm j n отличны друг от друга.

Вторая теорема известна под названием - теоремы. Эта теорема определяет, что функциональная зави-

симость между физическими пара метрами системы может быть представлена в виде зависимости состав

ленными из них критериями подобия. Использование этой теоремы позволяет получить в отработке зна-

чительные преимущества. Во-первых, критериальное уравнение характеризует всю группу подобных си-

стем, и поэтому использование его позволяет распространить полученные результаты единичной отра-

ботки на всю группу. Во-вторых, применение безразмерных комплексных величин уменьшает число парамет-

ров, которые входят в уравнение, что упрощает математические операции с ним. В-третьих, при прове-

дении отработочных исследований не нужно не нужно изучать влияние каждого фактора в отдельности. Вид

критериального уравнения может быть получен методом анализа размерностей, если число физических пара-

метров функциональной зависимости превышает число основных единиц измерений не больше чем на единицу.

Если физическое явление определяется n независимыми между собой размерными величинами

1, 2 1, , , , nx x x x x из числа, которых "K" величин 1, ,x x являются основными (имеют независимые размерно-

сти), а n n - то согласно второй теореме подобия из n величин можно образовать n независимых без-

размерных комплексов:

1 221 1 1/ , , ,x x x x i

dem

1 222 2 1 , , ,x x x x i

dem

……………………………………

1 221 , , ,n nx x x x i

dem (12)

где 1 2, , - показатели размерностей основных величин. Согласно второй теореме подобия на осно-

ве анализа размерностей зависимость между некоторой физической величиной , является функцией незави-

симых между собой n размерных величин

1 2 1, , , , , ny x x x x (13)

Может быть заменена соотношением между безразмерными критериальными комплексами

1 2, , , n ky (14)

Здесь связи между 1n размерными величинами принимают вид соотношением между критериальными ком-

плексами 2, n . Таким образом, производится обобщение характеризующей данное явление зависимо-

сти (13), найденной отработочным (экспериментальным) или аналитическим путем и изучаемое явление

сводится к рассмотрению значительно меньшего числа зависимостей между безразмерными комбинациями

величин.

Условие подобия (12) может быть представлено в виде индикаторов подобия

1 21 1 1 2/ , , , 1x x x

1 22 2 1 2/ , , , 1x x x x

……………………………...

1 221/ , , , 1n nx x x x

(15)

При построении модели, подобной исследуемому явлению, требуется определить добавочные условия, кото-

рые из всех возможных решений выделяют наиболее характерные для данного случая признаки. В этих случаях

потребуются шкалы измерений при исследовании безопасности и изложенные выше. В дополнение к необходимым

условиям третья теорема подобия формулирует достаточные условия подобия. Согласно этой теореме

подобны те явления, которые имеют одинаковые определяющие критерии подобия и подобные условия

однозначности. Определяющими считаются критерии, содержащие величины, входящие в условия одно-

значности явления. В отличие от неопределяющих (зависимых величин) эти критерии могут быть заранее

вычислены. Следовательно, при по строении критериальных моделей подобия для обобщенного анализа и

использования физического моделирования в задачах исследования безопасности и надежности систем, в

дополнение к зависимости, описывающим изучаемой явление, должны быть сформулированы начальные и граничные

условия однозначности, связанные с понятием безопасной работоспособности системы и характеризующие

временные, геометрические, социальные и физические особенности явления.

Учитывая то, что параметры характеризующие исследуемый процесс надежности и безопасности нами рас-

сматриваются как случайные величины, тогда подобие стохастически определенных физических систем должно

быть основано на равенстве функций плотностей распределения параметров, характеризующих эти системы. Крите-

рии подобия в этом случае должны быть определены в пределах верхней и нижней границ до верительного ин-

тервала.

Классическая теория подобия для определения подобия систем сводит задачу к решению отношения вида

Page 2: ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ В ЗАДАЧАХ НАДЕЖНОСТИ И БЕЗОПАСНОСТИ СИСТЕМ

1 2

1 2

1 2

1 2

, , ,

, , mam

x x x

x x x

(16)

где 1, ,x x - параметры существующей первой системы; 1, , mx x - параметры вновь создаваемой

системы; , ,n m - экспериментальные коэффициенты.

Если соотношение (16) равно единице 1 , тогда сравниваемые системы подобны. В противном

случае (если 1 ) системы не подобны. Так как, , как правило - непрерывная случайная величина,

то 1 0 . Поэтому рассмотрим задачу подобия в стохастической постановке. Параметры 1 2, , , mx x x - явля-

ются случайными величинами, имеющими функции плотностей вероятности , 1,i if x j m . Вопросы оценки подобия

сформулируем в терминах задачи проверки статистических гипотез. Обозначим 1 21 1 2 , ;y x x x

и

1 22 1 2, m

my x x x

. Тогда 0 - нулевая гипотеза будет состоять в том, 1 2f y y . Альтернативная ги-

потеза состоит в том, что 1 2f y y Из теории гипотез следует, что сравниваемые исследуемые системы

подобны если , ,ãäå ,

верхняя и нижняя границы для , определяемые для достоверной вероятности ,

причем 1- уровень значимости и -критерий статистической гипотезы . В этом заложен принцип подобия

систем в стохастическом смысле. Задача определения и при заданных и n ( n - число отработок) рас-

падается на две: 1. определение функции плотности вероятности f случайной величины по функциям

плотности вероятности случайных вели чин 1 2, , , mx x x .

2. Определение критической области для критерия . Рассмотрим решение первой задачи. При этом будем

полагать, что величины jx при всех j независимых и имеют обобщенное - распределение. Будем счи-

тать, что j jf определяется следующим образом:

1

/

exp/

j j

j j

a

dj

j j j j j

j j

af x x

a

; 0 0j jx a

0 0j j

0j juf в любом другом случае.

Это трехпараметрическое распределение включает в себя почти все известные законы распределения. Уста-

новлено, что h - момент отношения 1 1, , / , ,m ny x x x x имеет вид

/

11

/ jm

hjhj

j

hy C

j

/

11

/ ,j h j

jj m

j

h

где

1

1 1;

mj j

j m jj j

C

(17)

- знак математического ожидания. Когда моменты ny существуют, функция плотности вероят-

ности, обозначенная g , определяется обратным преобразованием Меллина.

11

2

c in n

c i

g y y y dn

(18)

Таким образом, результат (18) можно использовать в случаях, когда коэффициенты 1 в (17) равны

единице. Но это не всегда выполняется, поэтому необходимо найти распределение при 0j . Упрощая

задачу, будем считать, что jx - имеет - распределение с плотностью

11 1jjj j

j j j

j j

f x x x

; 0 1jx ; 1 ; 1j . (19)

Тогда h- й момент распределения величины 1 21 1 2 , ,y x x x

при взаимозависимости jx имеет вид

1

1 1,j

h j jhj

j jj j j

hy x C

h

где 1

j j

jj

Ñ

. Отсюда например, получаем среднее значение 1y , полагая 1h

1

1.

kj j

jj j j

C

Page 3: ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ В ЗАДАЧАХ НАДЕЖНОСТИ И БЕЗОПАСНОСТИ СИСТЕМ

Дисперсия 1

221y y ; откуда

1

2

1

2

2

j j

yj

j j

aC

a

Таким образом, приходим к решению

новой задачи определения функции распределения отношения двух полиномов.

1 2/ ,y y

где 1 2

2 1 2, , , mmy x x x

. Здесь необходимо определить:

- коэффициенты 1 2 1, , , , , m (из опыта или эксперимента);

- функцию распределения отношения ;

- нижнюю и верхнюю доверительные границы для неизвестного при заданной доверительной вероятности

.

Рассматривая как коэффициенты линейной функции регрессии величины ln , можно использовать стандартное

уравнение регрессии для их определения. Последнее выбирается таким, чтобы дисперсия условной величи-

ны 1/ 1 1;N y N Ny x y x ,была минимальной ,т.е.

21

0

1

M

n i i

i

y y

min.

Коэффициенты регрессии определяются с помощью стандартных программ для ЭВМ. Учитывая универ-

сальность подхода, будем искать функцию распределения . Функция плотности вероятности семейства

Пирсона удовлетворяет дифференциальному распределению

1 0

20 1 2

d g z y z

g z dz y y Z z

, (20)

где коэффициенты ii 0,1, 2 определяются следующим образом:

1/22 2

2 2 1 1 2

0 12 22 1 2 1

4 3 3; ;

2 5 6 9 2 5 6 9

z z z z z

z z z z

2 1

2 22 1

2 3 6

2 5 6 9

z z

z z

;

31 3

zz

z

;

42 4

3zz

z

где 3 4z - центальные моменты 2,3,4, порядка соответственно равные 2

2 2z z z ;

33 3 2 23 2z z ;

2 44 2 3 24 6 3z z z z - здесь v - начальные моменты v-го порядка для

случайной величины 1y .

11

1j

jy x

;

1

j j

vj

j j j

C

.

Величина j имеет функцию плотности вероятности

11 1jj j j

j j j j

j j

f x x x

(21)

где 1

/j j jj

C

(8.21*). Тогда

1

j j

ÿj

j j j

Ñ

;

2 2

1

2

2

j j

ÿ zj

j j j

Ñ

Отсюда определяются моменты 3z и 4z

31

3

3

j j

zj

j j j

C

2

1

23 2

2

j j

z zj

i j j

C

2 44

1 1 1

4 3 24 6 3

3 24

j j j j j j

z z z zj j j

j j j j j jj j j

C C C

С помощью таблиц - функций найдем коэффициенты асимметрии и эксцесса 3

1 43z

z

z

; а по ним и

коэффициенты 0 1 2, , .

Запишем уравнение (16) в виде

1

20 1 2

ln ;d x

ydx x x

Отсюда 210 0 2 0 12

20 1 2

1ln ln ln ln

2y C dx C x

Page 4: ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ В ЗАДАЧАХ НАДЕЖНОСТИ И БЕЗОПАСНОСТИ СИСТЕМ

или

0

1/2 22

2 0 1

ln lnC

y

y x x

Ñ определим из условия

1

0

1g z dz

Откуда

2

1

0 1/22

0 2 1 0

1dz

C

z z

или

2

1

1

0 1/22

0 2 1 0

dzC

z z

В результате получим 2

01 1/2

22 1 1 1 0

Cg y

y y y

Аналогично находим распределение случайной величины

1 22 1 2 , , m

mx x x ,

10

4 11/2

1 2 1 1 1 22 2 1 2 0

Cg y

y y y

где

1 1 122 21 1 1

0 1 1 12 2

4 3; ;

2 5 6 9

mj j

jj j j

Ñ

1/21 12 1

1 21 11 1 12 1

2 2

3; ;

2 5 6 9

mj j

jj

Ñ

11 1 11 1 132 1 42 1 213 142

2 1

2 3 6; ;

2 5 6 9

12 1 2 1 1 1 1 32 3 3 2; 3 2z z za a a

1 1 1 1 44 4 3 34 6 3z z za a a

1v -начальные моменты м-го порядка для случайной величины

21

mj

jj

z y X

т.е.

1 12

1;

mj jv

vj

j j j

vy C

v

1 33

1 1

2 23 2

3 2

m mj j j j

z zj j

j j j j j j

Ñ C

1 1 2 44

1 1 1

4 3 24 6 3

4 2 2

m m mj j j j j j

z z zj j j

j j j j j j j j j

C C C

11

1 1

1/21 2 111 1 0

;( ) ø

mj j

zj

j j j

dzC Ñ

z

(22*)

Таким образом, функция плотности вероятности 1g y и 2g y можно определить функцию плотности веро-

ятности распределения критерия подобия 1 2/y y .

Воспользуемся формулой для композиции 2 2 1 2

0

,f y f y y dy

,где 2 1,f y y совместная функция

плотности вероятности случайных величин 1 2, . При их независимости имеем 1 2 2 1,f y y f y f y

или

2 2

01, 2 1/2 1/2

2 22 1 1 1 0 2 2 2 2

н

С Сf y y

y y y y

(22)

Таким образом, функция плотности вероятности распределения критерия подобия имеет вид

2 3

20 1/2 1/22

0 2 2 1 2 0 2 2 1 2 0

dyf C C

y y y y

Page 5: ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ В ЗАДАЧАХ НАДЕЖНОСТИ И БЕЗОПАСНОСТИ СИСТЕМ

Для решения задачи (22) необходима программа для ЭВМ, которая даст результаты: вычислить f и

определить среднее значение и дисперсию по формулам

2

2

0 0

;ср срf d f d

(23)

Для определения нижних и верхних границ критерия подобия необходимо по опытным (экспериментальным)

данным найти оценку

1 2/ср y y

. (24)

Согласно формулам, приведенным выше,

11

j j

j

j j j

y С

,

Где j и j - параметры распределения jx

j

,

- оценки этих параметров по опытным (экспериментальным) данным;

j

оценка для j , полученная по данным, с помощью которых устанавливается критерий . Ана-

логично определяем оценку 2y .

22

22 2 12

12 21 2

; ,j jm

срj

j j j

y C

y y

где 1

и 2

оценки дисперсии.

22

1 21

2

2

j jk

j

jj j

С y

;

2

21

2

,

2

j jk

j k

j j j

а для постоянных С и С даны в формулах (21) и (22*). Учитывая сложность анализируемой задачи и ограниченность исходных данных, можно рассмотреть нормальное приближение при определении границ

и - математического ожидания критерия подобия:

;ср ср

h h

n n

где h - квантиль распределения Стьюдента, определяемый по значениям до-

стоверной вероятности 2 1 и числу n испытаний (отработок) сис темы, по которым находятся критерии

подобия 1, 2, , т , позволяющие определить подобие создаваемой системы и некоторых прототипов,

находящихся в эксплуатации. Если доверительный интервал критериев подобия найден при одной и той же

доверительной вероятности, тогда, если 1 11 и

, 2 21 , ,1 n nи и

и эти условия выполняются

одновременно, то исследуемые системы на надежность и безопасность можно считать подобными и объединить

необходимую имеющуюся информацию о надежности и безопасности системы. Если хотя бы одно из условий не вы-

полняется, то объединение такой информации может быть частичным, а подобие исследуемых систем (объек-

тов) приближенным.

Изложенное позволяет сформулировать принцип подобия процессов, явлений в стохастическом смысле.

Если исследуемые объекты (системы), явления, процессы, протекающие в них, а также параметры, опре-

деляющие природу изучаемого события, имеют тождественные плотности распределения вероятности, а

критерии подобия как функции распределения вероятностей, получаемые на основании равенства функций

плотностей вероятности параметров, приведенных к безразмерному виду, по своей значимости находятся в пре-

делах верхней и нижней границ доверительного интервала, определяемого единицей, то эти события принадле-

жат одной генеральной совокупности и их вероятностные характеристики одинаковы. Теперь на основании изло-

женных теоретических основ основные теоремы подобия можно представить в стохастическом виде.

По второй теореме подобия полное физическое подобие, описываемое уравнением вида

1 2, , , ;nr W x x x t (25)

может быть заменено зависимостью

1, 2 2 1 2,

3 1, 2 1 2

, , , , , ,

, , , , , , , , ,

i n

n n k n

x x r t x x x r

x x x r x x x r

(26)

где - критерий подобия, составленный из параметров физического уравнения (25).

Если (25) описывает безопасную работоспособность и надежность объекта или его составных частей, то за-

мена (25) на критериальное уравнение (26) позволяет построить модели развития, например, отказов в

объекте, или умышленного повреждения их, в критериальном виде. Для этого в качестве неопределяющего крите-

Page 6: ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ В ЗАДАЧАХ НАДЕЖНОСТИ И БЕЗОПАСНОСТИ СИСТЕМ

рия 1 выбирается критерий подобия, включающий в себя временной параметр t, а в качестве определяющих

критериев подобия 2 3, , , n k критерии подобия, характеризующие физическую сущность исследуемого процесса

надежности и безопасности. В случае стохастически определенных системы выражение (26) является функцией

случайных аргументов и построение модели развития опасности (отказы системы, включая целенаправленный

вывод из строя) в критериальной форме в общем виде - достаточно сложная за дача. Однако, для многих слу-

чайных процессов изменение характеристик системы можно выделить ряд общих свойств.

- С точки зрения надежности физические процессы - это долго временные необратимые процессы из-

менения характеристик, которые являются основной причиной отказов технических систем.

- Оцениваемые показатели надежности количественно описывают наиболее устойчивые свойства распределения

этих характеристик (математическое ожидание и дисперсию) и, случайная составляющая функции, описывающая

изменение этих характеристик, играет меньшую роль.

- Математические модели таких процессов могут быть представ лены в виде случайных функций,

которые имеют определенную функциональную зависимость от времени, а их случайный характер обусловливает-

ся факторами, не зависящими от времени.

- Случайные изменения характеристик, как правило, являются нормально распределенными. Выражение

(26) можно представить в виде

1 2 2 1 2, , , , , , , , ,i n nx x x r t x x x r ,

3 1 2 1 2, , , , , , , , , , ,n n k nx x x к x x x r (27)

где математическое ожидание i-го критерия подобия может быть определено как:

2 2

1 2 21 1

1, , , ,

2

nj i

i i n i i i

j j i j i

x x x r D x K x xx xx

(28)

Здесь - точка, в которой i ix x , а последние два члена представляют собой поправку на нели-

нейность функции 1 2, , , ,i nx x x r ).

На основании изложенного некоторые общие свойства случайных процессов изменения физических харак-

теристик технической системы и полученные соотношения (27) и (28), можно предложить следующую

статистическую трактовку - теоремы. Функциональная зависимость между определяющими физический процесс

характеристиками, рассматриваемыми как случайные величины, может быть представлена в виде зависи-

мости между математическим ожиданием критериев подобия - функцией от математических ожиданий соответ-

ствующих характеристик исследуемого процесса.

Таким образом, статистическая трактовка основных теорем теории подобия применительно к вопро-

сам отработки систем, их надежности и безопасности, позволяет установить необходимые и достаточные

условия подобия исследуемых процессов, т.е. определить границы доверительного интервала для соответству-

ющих критериев подобия, в пределах которых сохраняется подобие, установить математическую зависи-

мость между временным параметром процесса и вероятностными характеристиками критериев подобия.

Решение этих задач дает возможность использовать элементы статистической теории подобия для повышения

эффективности отработки систем. В этом случае в классическую схему исследований на основе методов

теории подобия и моделирования добавляются этапы, связанные с построением законов распределения

критериев подобия как случайных величин, установлением границ доверительного интервала из возмож-

ных отклонений и проверкой условий статистического подобия. Схема этапов исследуемых процессов

представлена на рис.2.

Пример 1. Пусть в распоряжении создателя сложной системы есть информация о проведении десяти ее

разных отработок (на надежность, безопасность, устойчивость, управляемость и пр.) (п = ), при этом

имеется один отказ (d = I). Установлено, что создаваемая система подобна некоторому прототипу, который

ранее отрабатывался вместе с подсистемами (агрегатами, элементами и т.д., входящими в систему) 110

раз ( 0n = 110), причем всего отказов было 5 раз ( 0d = 5). Тогда оценку создаваемой системы по надежно-

сти можно представить так:

0 01 /d d n n 0,9455,

Нижняя граница 1 , , ,f n d где 1f табулированная функция.

Рис 2. Схема этапов исследования на моделях с учетом стохастического характера исследуемых

процессов

Без учета информации о состоянии создаваемой системы имеем

1 10,1, ,f

а с учетом информации

1 110,6,f 0,9037

Page 7: ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ В ЗАДАЧАХ НАДЕЖНОСТИ И БЕЗОПАСНОСТИ СИСТЕМ

Задаваясь значением = 0,95 и по таблицам [85], получим = 0,7 или 0,9 соответственно, что

изменяет оценку в 1,5 раза и приводит к значительному сокращению объема отработки системы. В ряде

случаев не удается сформулировать все критерии подобия, характеризующие исследуемую систему. Вме-

сте с тем для отдельных (главных) режимов работы системы (подсистемы, агрегатов и пр.), критерии

подобия можно сформулировать, или они уже имеются по прототипу. Тогда по схеме (рис.2) можно опре-

делить вероятности безопасной (безотказной) работы системы.

Пример 2. Рассмотрим задачу вероятности невозникновения акустической неустойчивости работы

теплового двигателя (энергетической тепловой системы). Появление акустической неустойчивости мо-

жет явиться причиной аварии в работе двигателя энерготепловой системы. Оценка вероятности невоз-

никновения акустической неустойчивости при работе данного двигателя и ее нижний доверительный предел

определяется как

1 1

11

1 1

1

1 ; , , ,

N

i

N

i

m m

f n d

n n

где 1 1m n - число случаев возникновения акустической неустойчивости исследуемого объекта и общее

число его отработки соответственно, i im n , -число случаев возникновения акустической неустойчивости работы

ана лога и общее число его отработки ,n d , - эквивалентные числа неисправностей (повреждений) и выхода из

строя (отказов); N - число рассматриваемых аналогов, , ,f n d - табулированная функция (квантиль не-

полной бета – функции).

1 1

1 1

;N N

k k

k k

n n n d m m

Если определяющие параметры исследуемого объекта являются случайными величинами, то одноименные

критерии подобия должны быть статистически однородными. Предположим, что определяющие параметры

исследуемого объекта получены, а именно: акустическая проводимость, геометрические размеры, ско-

рость звука в продуктах горения, плотность топлива, начальная температура топлива, плотность

твердых частиц и др. Получены результаты отработки четырех однотипных тепловых двигателей, у кото-

рых отмечались случаи возникновения акустической неустойчивости при работе, приведшие к разрушению:

1n =780 и 1m =2; 2n =1220 и 2m =3; 3n =410 и 3m =1; 4n = 1580 и 4m =4. Геометрические параметры, харак-

теризующие отрабатываемые двигатели, идентичны. На основании численных значений определяющих параметров

не обходимо:

- решить задачу получения обобщенной информации по результатам испытаний четырех однотипных дви-

гателей, т.е. о возможности рассмотрения этих двигателей как подобных;

- оценить вероятности невозникновения акустической неустойчивости создаваемого двигателя на осно-

вании обобщенной ин формации и построить нижний доверительный предел для этой вероятности.

Пусть для конкретного исследуемого физического процесса двигателя определяющими будут десять парамет-

ров: , 1,10ix i . Размерности этих параметров приведем в табличной форме (табл. 2*).

Таблица 2*.

Параметр Размерность Показатели

i i i

1x 3

L 1

1 3 -1

2x

L

0 1 0

3x

L

0 1 0

4x

1L

1

-1 -1 -1

5x L

2

0 1 -2

6x L

2

0 1 -2

7x

L

0 1 0

8x

3L

1 -3 0

9x

3L

1 -3 0

10x

1L

1 -1 0

Методом нулевых размерностей определим критерии подобия, характеризующие протекание исследуе-

мого физического процесса. Пред ставим исход этого процесса - акустической неустойчивости горения

обобщенной координатой 1 10,x f x x . Определяющие параметры 1 2 10, , ,x x x характеризуются тремя ос-

новными единицами измерения (массой М, длиной L, временем Т). Из [108], [110] следует, что можно

получить семь независимых безразмерных комплексов, характеризующих протекание рассматриваемого

процесса. Эти критерии найдем методов нулевых размерностей. Выберем параметры 1 5 10, ,x x x , лею в каче-

стве основных по числу первоначальных единиц измерения и составим определитель из размерностей

этих параметров:

2 2 2

5 5 5

10 10 10

0 1 0

0 1 2 3

1 1 0

Тогда можно перейти к безразмерным величинам

Page 8: ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ В ЗАДАЧАХ НАДЕЖНОСТИ И БЕЗОПАСНОСТИ СИСТЕМ

1 1 1 8 8 83 3 3 4 4 4 6 6 6 7 7 7 9 9 9

3 6 7 8 91 4

2 5 10 2 5 102 5 10 2 5 10 2 5 10 2 5 102 5 10 2 5 10

,1, , , , , , ,1x x x x xx x x

x x x x x xx x x x x x x x x x x xx x x x x

(29)

Значение коэффициентов , , ( 1,2, ,9)i i i i определим из условия, чтобы входящие в (29) комплексы

были безразмерными. Определим 1 1 1, , из условия, что размерности числителя и знаменателя выражения

1 1 1

1

2 5 10

x

x x x должны быть одинаковыми, т.е.

111 3 1 2

L L L

1 1

L

,

Откуда 1 =1/2, 1 =-3/2, 1 =-1, показатели при , L , - соответственно.

Подставляя полученные значения коэффициентов 1 1 1, , в соответствующий член уравнения (29) получим

критерий подобия 1 .

11 1/2 3/2 1

2 5 10

x

x x x

Аналогичным способом находим остальные значения коэффициентов в уравнении

3 1 3 =0 3 =0 7 =1 7 =0 7 =0

4 =1/2 4 =1/2 4 =1 8 =1 8 =-1 7 =1

6 = 0 6 =1 6 =0 9 =1 9 =1 9 =1

После подстановки этих численных значений коэффициентов в со ответствующие члены уравнения

(29) получим критерии подобия, характеризующие рассматриваемый процесс. Анализируя критерий

1 найдем отношение

1 2

1 1/ ,

где 1 2

1 1, - значение 1 для двигателя первого и второго типов, или

1 2 2 2

2 1 1 1

1/2 3/2 11 2 5 10

1/2 3/2 11 2 5 10

x x x x

x x x x

,

где 1j

x и 2j

x - характеристики первого и второго типов двигателей. По формулам (23), (24) и таб-

лицам находим оценку среднего значения для среднего квадратичного отклонения

= 0,995,

= 0,28.

До верительный интервал для при значениях доверительной вероятности =0,99,

0,995- /h n 0,28=0,995- 2,7 780 0,28=0,968, 0,995 0,027 1,022

Так как 1 0,968;1,022 , первый создаваемый и второй (находя щийся в эксплуатации) двигатели по

критерию 1 подобны. Аналогично устанавливается подобие по остальным критериям по добия.

Вывод: статистические данные по результатам отработки этих дви гателей в отношении процесса резо-

нансового горения могут рассматри ваться в одной генеральной совокупности. Числовая оценка вероятно-

сти невозникновения неустойчивости горения любого рассматриваемого из четырех типов двигателей опре-

деляется как

2 3 1 41 0,0075.

780 1220 410 1580

Нижний предел определяется с доверительной вероятностью =0,95: ,10, 0,970f n n – число

отработок (испытаний).


Recommended