Download pdf - УПРАВЛЕНИЕ КАЧЕСТВОМ ПРОДУКЦИИ ПИЩЕВЫХ ПРОИЗВОДСТВ НА ОСНОВЕ ДИСКРЕТНО-АНАЛИТИЧЕСКИХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ

Известия ТулГУ. Технические науки. 2012. Вып. 1

456

.2

)(

2

)(ln

2

2

2

2

y

y

x

x

x

y my

a

amby

a σ

−−

σ

−−=

σ

σ

При условии, что xy aσ=σ , имеем .0)()( 22 =−−−− yx myamby

Последнее выражение будет всегда выполняться при условии 0=+−−− yx myamby или ,bamm xy += что и требовалось доказать.

Таким образом, в работе показано, что если случайные значения одноименного параметра X на входе технологической операции и Y на выходе операции распределены по закону Гаусса, то технологическую операцию можно представить как линейную неслучайную функцию

baXY += , где a и b вычисляются по формулам (13) и (14) соответствен-но, что позволяет прогнозировать изменение параметра Y , зная изменения параметра X .

E.A. Yadykin MATHEMATICAL AND STATISTICAL PROJECTIONS OF PRODUCTS QUALITY

AFTER MANUFACTURING OPERATION Conditions at which technological operation can be presented as linear not casual

function of two random variables are strictly proved. Key words: technological operation, not casual function, linearity, random

variables.

Получено 13.01.12

УДК 664-047.58 Е.А. Ядыкин, д-р техн. наук, проф., нач. Управления ПКВК, (4872) 35-54-66, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ) УПРАВЛЕНИЕ КАЧЕСТВОМ ПРОДУКЦИИ ПИЩЕВЫХ ПРОИЗВОДСТВ НА ОСНОВЕ ДИСКРЕТНО-АНАЛИТИЧЕСКИХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Показана необходимость широкого применения математического моделирова-

ния объектов и процессов в пищевых производствах. Приводятся основные принципы моделирования, примеры математических моделей процессов и объектов.

Ключевые слова: моделирование, математическая модель, пищевые производ-

ства. Предприятия пищевой промышленности должны быть надёжны с

точки зрения пищевой безопасности и эффективности своего функциони-рования. Система пищевой безопасности предприятия включает в себя

Управление качеством, стандартизация и метрология

457

процедуру санитарно-гигиенических мероприятий: личная гигиена персо-нала, строгое соблюдение технологического процесса производства пище-вой продукции, контроль и предотвращение попадания в готовый продукт посторонних включений, санитарная обработка и дезинфекция помещений и оборудования и т.д.

Эффективность функционирования предприятия предполагает ста-бильность (надёжность) работы пищевого предприятия и минимизацию пищевых рисков, т.е. чёткую работу оборудования. Последнее предполага-ет обязательность плана предупредительных ремонтов, которые позволяют проследить за ходом ремонтных работ, как плановых, так и внеочередных, а также обеспечить приоритетность выполнения тех, которые непосредст-венно связаны с безопасностью пищевой продукции. Помимо этого, на предприятии необходим контроль входящих и выходящих потоков сырья, идентификация рисков, связанных с производством конкретного продукта, вероятность реализации данного риска и т.д.

Всего этого можно добиться опытным путём, но это потребует дли-тельного времени и серьёзных затрат. Время и затраты можно значительно сократить, если использовать для повышения эффективности функциони-рования производств пищевых продуктов приёмы математического моде-лирования с учётом опыта других отраслей [1, 2].

Математическое моделирование – это исследование моделируемого объекта или процесса (для сокращения в дальнейшем будем говорить «объекта»), базирующееся на его математическом подобии модели и включающее построение математической модели, её машинную реализа-цию, оценку качества модели, планирование экспериментов с ней и пере-нос полученных наиболее эффективных результатов на моделируемый объект. Базовым понятием в процессе моделирования является математи-ческая модель объекта.

Математическая модель – это упрощенный математический образ реального объекта, адекватно отображающий существенные для целей ис-следования свойства объекта. Основными принципами, которыми руково-дствуются при разработке математической модели, являются адекватность и системность.

Адекватность модели означает требование максимального прибли-жения теоретической модели к устойчивым, существенным характеристи-кам и закономерностям реального исследуемого объекта.

Принцип системности предполагает рассмотрение объекта как сложной системы и соответственно применение системного подхода к его исследованию:

а) изучение взаимосвязанных требований законодательства, опреде-ляющего характер и основы функционирования объекта (системы);


458

б) определение целей развития данной системы с учетом требований более общей системы, частью которой данный объект является;

в) проведение структурного анализа объекта, раскрывающего харак-тер взаимосвязи и назначение каждого его элемента (подсистемы);

г) исследование особенностей управления и механизма обратных связей;

д) определение характера и степени влияния на систему со стороны внешней среды;

е) исследование процессов принятия и реализации решений в каж-дом элементе объекта с учётом его взаимодействия с другими элементами и его места в объекте в целом.

Таким образом, системный подход означает, что объект должен рас-сматриваться, с одной стороны, как единое целое, а, с другой стороны, как совокупность относительно самостоятельных элементов, каждый из кото-рых обладает собственными целями. Объединяющим началом является достижение максимума эффекта для всей системы в целом, а не для какой-нибудь её части. Результатом системного анализа является выбор такого пути достижения цели с учётом свойств эмерджентности системы, кото-рый является наиболее эффективным. Поэтому необходимо ещё на на-чальном этапе исследования объекта разработать критерий эффективности его функционирования.

Моделирование объектов – сложный и трудоёмкий процесс, сущест-венно облегчить который могут выработанные практикой принципы моде-лирования [3].

1. Принцип информационной достаточности. Необходимо сущест-вование некоторого критического уровня априорных сведений о объекте, при достижении которого в принципе можно получить адекватную модель объекта (системы). Этот уровень определяется наличием информации об элементах объекта и о существенных связях между ними, которые форми-руют эмерджентные свойства объекта.

2. Принцип параметризации позволяет некоторые относительно изолированные элементы объекта заменять соответствующим параметром, а не описывать процесс их функционирования.

3. Принцип агрегатирования [4] позволяет структурно представить объект как состоящий из агрегатов (элементов). При этом для математиче-ского описания отдельных элементов объекта (системы) используются стандартные математические схемы. В единую имитационную модель элементы (агрегаты) объединятся с помощью оператора сопряжения.

4. Принцип осуществимости. Математическая модель должна обеспечивать достижение поставленной цели исследования с вероятно-стью, существенно отличающиеся от нуля, и за конечное время.


459

5. Принцип рационального использования факторного пространст-

ва позволяет выбирать оптимальный план эксперимента [5]. 6. Принцип множественности моделей. Для более полного отобра-

жения действительности необходим ряд моделей, позволяющих с разных сторон и с разной степенью детальности отображать изучаемый объект.

Как уже отмечалось, базовым элементом моделирования является математическая модель. Среди математических моделей наибольшее рас-пространение получили прескрептивно-нормативные, отвечающие на во-прос, какой вариант управленческого поведения лучше, т.е. оптимизи-рующие один или несколько параметров, и дескрептивно-аналитические, отвечающие на вопрос, «что будет, если …».

В качестве прескрептивно-нормативных математических моделей широко используются модели, в основе которых заложена методика ли-нейного программирования [6]. В качестве примера можно привести зада-чу разработки оптимальной рецептуры яблочного сока.

Каждый отдельный сорт сырья яблок обладает своими уникальными физическими и химическими составами. Это, в свою очередь, отражается на составе получаемого сока.

Выпускаемый сок должен обладать стабильными органолептически-ми, физическими и химическими показателями. Зная состав сока каждого отдельного сорта, можно смешать соки из различных сортов таким обра-зом, чтобы при наименьших затратах продукт на выходе обладал бы необ-ходимыми характеристиками.

Предприятию необходимо изготовить яблочный сок с содержанием титруемых кислот не менее 0,3 % и с долей витамина С не менее 0,02 %. Предприятие закупает три различных сорта яблок: Антоновку, Штрифель и Папировку. Стоимость и содержание необходимых компонентов в соках, полученных из трёх сортов по отдельности, указаны в таблице.

Определим, в какой пропорции необходимо смешать соки из различ-ных сортов яблок, чтобы полученная смесь удовлетворяла ограничениям при минимальной стоимости.

Стоимость, содержание титруемых кислот и содержание витамина С для каждого сорта яблок

Содержание компонентов, %

Сорт яблок Титр. кислоты Витамин С

Цена 1 кг, р.

Антоновка 0,45 0,015 70 Штрифель 0,2 0,01 55 Папировка 0,3 0,025 85

Обозначим через 321 ,, xxx доли различных соков в полученной сме-

си. Эти значения должны быть неотрицательными:

.0,0,0 321 ≥≥≥ xxx


460

Запишем целевую функцию, которую необходимо минимизировать:

.855570)( 321 xxxxf ++= Запишем ограничения по содержанию компонентов:

≥++

≥++

.02,0025,001,00150

303020450

321

321

xxx,

,,x,x,x,

В сумме доли соков различных сортов должны составлять единицу: .1321 =++ xxx

Такие задачи удобно решать при помощи программы Microsoft Excel. 1. Создадим форму для ввода условий задачи (рис. 1). Оптимальные значения компонента вектора ),,( 321 xxxx = будут помещены в ячейку

B3:D3, оптимальное значение целевой функции – в ячейку Е4.

Рис.1. Исходная форма задачи

Результаты поиска решения для значений 321 ,, xxx и минимального

значения целевой функции представлены на рис. 2. Полученное решение означает, что для приготовления самой деше-

вой необходимой смеси нужно взять 15 % сока из яблок сорта Антоновка, 23 % – сорта Штрифель и 62 % – сорта Папировка. При таком соотноше-нии состав сока удовлетворяет заданным условиям при минимальных за-тратах на сырьё, цена которого составляет 75 рублей 77 копеек за кило-грамм.

Рис. 2. Результаты решения задачи


461

В качестве дискрептивно-аналитической математической модели приведём адаптивную модель функционирования технологического ротора автоматической роторной линии (АРЛ).

Будем рассматривать технологический ротор АРЛ как систему, со-стоящую из u элементов многоканальной части (МЧ) [1, 2], работающих независимо друг от друга, что, собственно, определено конструкцией ро-тора. Независимость работы элемента МЧ предполагает и независимость по отказам, т.е. независимость по их надёжности. Схематично систему можно представить как систему, состоящую из u параллельных, однотип-ных и независимых элементов МЧ (простая схема маршрутизации [1]).

При отказах элементов МЧ система остаётся частично работоспо-собной до тех пор, пока не потеряют работоспособность все u элементов.

С точки зрения надёжности в системе происходит случайный про-цесс, заключающийся в том, что элементы МЧ в процессе функциониро-вания системы внезапно переходят из работоспособного состояния в нера-ботоспособное. Время отказов подчиняется экспоненциальному распределению, а сам процесс представляет собой стохастический процесс с непрерывным временем и этот процесс может быть определён как одно-родный марковский процесс [6].

Если дискретные состояния системы обозначить через ,,...,,...,, 10 uEEEE β где β указывает на число отказавших элементов, то сис-

тема переходов из начального состояния 0E (в момент 0=t ) в конечное (по-

глощающее) uE (в момент времени tt = ) представляется цепочкой событий:

,......210 uEEEEEλλ

β

λλλλ→→→→→→ (1)

где const=λ – параметр потока отказов элементов МЧ. Оценивая вероятность )(tpβ каждого из состояний цепочки (1),

можно составить уравнения Колмогорова в виде системы уравнений

=++++++

λ=

λ−β−+βλ−−=

λ−+λ−−=

+λ−−=

−=

β

−

−βββ

,1)('...)('...)(')(')('

),()('

......................................................................

),())1(()()()('

.....................................................................

),()()()2()('

),()()()('

),()('

210

1

1

122

011

00

tptptptptp

tptp

tpmtpmtp

tpmtpmtp

tmptpmtp

tmptp

u

uu

(2)

где λ= um , ,,0,)(

)(' udt

tdptp =β= β

β а последнее уравнение является нор-

мировочным.


462

В начальный момент времени 0=t все элементы МЧ были работо-способными, поэтому начальное условие для системы уравнений (2) может быть определено как

.0)0(...)0(...)0()0(,1)0( 210 ======= β uppppp (3)

Используя методы операционного исчисления, решим систему (2) при начальных условиях (3).

Не показывая всех промежуточных вычислений, приведём оконча-тельное решение:

−=

−λβ

λ−

=

+−λ

λ−=

+−λ

=

=

∑

∑

−=

=

β=

=

λβ

β+−β

−β=

=β

λλ−

λ−

−

1

0

0

1

0

222

1

0

),(1)(

.............................................................

,)1(!

)(

)(

.............................................................

),21(!2

)()(

),1(!1

)(

,!0

1)(

ui

iiu

i

i

tiiimt

i

i

ttmt

tmt

mt

tptp

eCe

im

tp

eeemm

tp

eem

tp

etp

П

где βi

C – число сочетаний из β по i .

Каждому вероятностному состоянию )(tpβ системы соответствует

определённое число работоспособных элементов МЧ. Математическое ожидание r работоспособных элементов МЧ для системы в момент време-ни tt = определяется из условия

[ ] ...)()(...)()2()()1()( 210 +β−++−+−+= β tputputputuprM

∑=

=−=⋅+

ui

iiu tpiutp

0),()()(0... (4)

где r – заданное число работоспособных элементов МЧ (предполагается групповая смена отказавшего инструмента).

Обозначим математическое ожидание [ ]rM (4) через вспомогатель-

ную функцию

∑=

=−=

ui

ii tpiutF

0)()()( (5)


463

и будем говорить об обратной от (5) функции )(1rF

− (6), которая позволи-

ла бы по заданному значению r прогнозировать время rtt = , через кото-

рое с момента времени 0=t в системе остаётся r -e количество работоспо-собных элементов МЧ, т.е. в состоянии отказа будет )( ru − элементов МЧ:

).(1rFtt rur

−− == (6)

Точность прогноза будет в основном определяться достоверностью значений параметра потока отказов λ , известного из результатов статисти-ческой обработки ранее полученных данных о наработке до отказа элемен-тов МЧ и не учитывающего особенности системы в данный момент време-ни, т.е. модель не адаптирована по отношению к реальной системе.

Наиболее важен для коррекции модели прогноз наработки до перво-го отказа:

).1(11 −= −

uFt (7) Важность прогноза наработки до первого отказа определяется сле-

дующими обстоятельствами: - прогноз других временных интервалов в случае недостоверного

первого прогноза становится ещё более недостоверным; - после первого отказа (7) система структурно изменяется и должна

представляться уже другой, видоизменённой моделью; - сравнение прогноза 1t с реальным временем наработки до первого

отказа Дt1 действующей системы позволяет сразу же ввести в модель кор-

рективы, адаптирующие модель к действующей системе и реальному вре-мени [7].

Для этого из условия )(1 1ДtFu =− (8)

определяют действительное значение Дλ , которое подставляют в новую

модель, учитывающую произошедшие структурные изменения, т.е. отказ одного элемента

,)()()(1

01 ∑

−=

=−=

ui

ii tpiutF (9)

где )(1 tF – вспомогательная функция (9) для системы с новым количест-

вом )1( −u элементов МЧ и новым началом отсчёта времени.

При необходимости алгоритм повторяется, т.е. прогнозируется

),1( 11

11 −= −uFt

где 11 −= uu , и сравнивается с новым значением Дt1 и вновь по условию

(8) проводится коррекция параметра потока отказов λ . Таким образом, посредством коррекции значения параметра потока

отказов λ достигается адаптация модельной системы к реальной.


464

Список литературы

1. Ядыкин Е.А. Комплексно-автоматизированные производства на базе автоматических роторных линий и их моделирование. Тула, 2001. 140 с.

2. Ядыкин Е.А. Моделирование процессов эксплуатации технологи-ческих систем роторных машин: учеб. пособ. Тула: Изд-во ТулГУ, 2004. 77 с.

3. Надёжность и эффективность в технике: справочник в 10 т. / ред. совет: В.С. Авдуевский [и др.]. М.: Машиностроение, 1988. Т.З. Эффек-тивность технических систем / под общ. ред. В.Ф.Уткина, Ю.В. Крючкова. 328 с.

4. Бусленко В.Н. Автоматизация имитационного моделирования сложных систем. М.: Наука, 1977. 240 с.

5. Налимов В.В., Голикова Т.Н. Логические основы планирования эксперимента. М.: Металлургия, 1976. 128 с.

6. Вентцель Е.С. Исследование операций. М.: Сов. радио, 1972. 552 с.

7. Ядыкин Е.А. Марковская модель и её адаптация к реальной мно-гоканальной системе / Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Ин-форматика. 2001. Т.7. Вып. 3. С. 185-188.

E.A. Yadykin

QUALITY MANAGEMENT OF FOOD INDUSTRY PRODUCTS BASED ON DISCRETE-ANALYTIC MATHEMATICAL MODELS

Necessity of wide application of mathematical modelling of objects and processes for food manufactures is shown. The main principles of modelling, examples of mathematical models of processes and objects are resulted.

Key words: modelling, mathematical model, food manufactures

Получено 12.01.12