Download pdf - УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНОСТИ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛА ТИПА ПЛОЩАДИ

МАТЕМАТИКА

УДК 517.957 + 514.752

УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНОСТИ ПОВЕРХНОСТИВРАЩЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛА ТИПА ПЛОЩАДИ

В.А. Клячин, Т.В. Ткачева

Данная статья посвящена исследованию поверхностей вращения, являю-щихся условными экстремалями функционала типа площади. Получены со-ответствующие решения дифференциальных уравнений и доказано свойствосимметричности поверхностей вращения относительно специальных горизон-тальных плоскостей.

Введение

Пусть Ω — ограниченная область в R3, M ⊂ Ω — заданная C2 поверхность,

S = ∂Ω — граница Ω. Предположим, что в R3 определены неотрицательные

C2-функции α(x) и ϕ(x). Определим два функционала, выражаемые интегралами [3]

J1(M) =

∫

S

α(|x|)dS, J2(M) =

∫

Ω

ϕ(|x|)dx,

где x = (x1, x2, x3), dS — элемент площади. Поставим перед собой задачу исследо-вания поверхностей вращения M , являющихся экстремалями функционала

J(M) = J1(M) − λJ2(M).

К такому функционалу приводит задача минимизации функционала весовой площа-ди J1(M) при условии, что пространственный функционал J2(M) = const. В част-ности, в теории капиллярных поверхностей [1] исследуется задача минимизации от-крытой площади поверхности при условии несжимаемости, то есть при постоянномобъеме жидкости.

1. Формула функционала для поверхностей вращения

Рассмотрим поверхность M , заданную вращением вокруг оси x3 графика функ-ции, определяемой уравнением ρ = ρ(t), где ρ — расстояние точки P до оси t(рис. 1). Примем за параметры точки P величину t и полярный угол θ. Для опреде-ленности будем считать, что t принадлежит некоторому числовому отрезку (a, b), аθ изменяется от 0 до 2π, функция ρ = ρ(t) определяет форму меридиана. Имеем

Вестник ВолГУ. Серия 1. Вып. 11. 2007–2008

©В.А

.Кляч

ин,Т.В.Ткачева,

2007–2008

39


r(t, θ) = ρ(t) cos θ, ρ(t) sin θ, t,rt = ρ′ cos θ, ρ′ sin θ, 1,rθ = −ρ sin θ, ρ cos θ, 0.

Поэтому коэффициенты первой квадратичной формы поверхности примут вид

E = (rt, rt) = ρ′2 + 1, F = (rt, rθ) = 0, G = (rθ, rθ) = ρ2.

Тем самым

dS2 = (ρ′2 + 1)dt2 + ρ2dθ2.

Рис. 1

Далее получим

J1(M) =

∫

S

α(|x|)dS =

2π∫

0

dθ

b∫

a

α√

EG − F 2dt = 2π

b∫

a

αρ√

ρ′2 + 1dt,

где α = α(ρ(t)).

J2(M) =

∫

Ω

ϕ(|x|)dx =

b∫

a

dt

2π∫

0

dθ

ρ∫

0

ϕρdρ = 2π

b∫

a

h(ρ(t))dt,

40 В.А. Клячин, Т.В. Ткачева. Условие экстремальности поверхности вращения


где ϕ = ϕ(ρ(t)) и

h(ρ) =

ρ∫

0

ϕ(y)ydy.

Вариационная задача для рассматриваемого функционала формулируется следу-ющим образом. Среди всех поверхностей вращения M с фиксированным значениемпространственного функционала J2(M), определяемых функциями ρ(t), имеющихнепрерывную производную и удовлетворяющих граничным условиям

ρ(a) = A, ρ(b) = B,

найти ту из них, которая доставляет слабый экстремум функционалу J1(M). Извариационного исчисления известно, что решения такой задачи являются экстрема-лями функционала J(M) = J1(M) − λJ2(M). В терминах функции ρ(t) мы, темсамым, получаем следующий одномерный функционал

J [ρ(t)] =

b∫

a

(αρ√

ρ′2 + 1 − λ + h(ρ))dt. (1)

Поскольку данный функционал не зависит явно от t, так что F = F (ρ, ρ′),следовательно уравнение Эйлера—Лагранжа [2] можно записать в следующем виде

d

dt(F − ρ′Fρ′) = 0.

То есть

d

dt

(αρ√

ρ′2 + 1 − λh(ρ) − αρρ′2

√ρ′2 + 1

)= 0. (2)

Введем обозначение ρ = u. Тогда первый интеграл выше приведенного уравне-ния примет вид

α(u)u√

u′2 + 1 − λh(u) − α(u)uu′2

√u′2 + 1

= µ

илиα(u)u√u′2 + 1

− λh(u) = µ.

Здесь µ = const. Откуда

u′2 =

(α(u)u

µ + λh(u)

)2

− 1. (3)

Разделение переменных дает

dt = ± du√(α(u)u

µ+λh(u)

)2

− 1

.

Вестник ВолГУ. Серия 1. Вып. 11. 2007–2008 41


Откуда интегрированием получим

t = ±∫

du√(α(u)u

µ+λh(u)

)2

− 1

+ C. (4)

Таким образом, имеем общее решение уравнения Эйлера — Лагранжа с постояннымиинтегрирования µ и C.

Теорема 1. Пусть M ⊂ Ω ⊂ R3 — заданная поверхность вращения, а

t = ±∫

du√(α(u)u

µ+λh(u)

)2

− 1

+ C —

решение уравнения Эйлера — Лагранжа (2) для функционала типа площади (1).

Тогда заданная поверхность M является экстремальной.

2. Примеры

Пример 1. Положим в рассмотренной выше вариационной задаче α(ρ) = 1, ϕ(ρ) = 0.Тогда наш функционал примет вид

J [ρ(t)] =

b∫

a

ρ√

ρ′2 + 1dt.

Полученный выше интеграл (4) дает следующее общее решение

t = ±∫

du√(uµ

)2

− 1

+ C = µ archu

µ+ C.

Тогда график функции

ρ = u = µ ch

(t − C

µ

)

представляет собой цепную линию, а соответствующая ей поверхность вращения —минимальная поверхность — катеноид.

Пример 2. Пусть теперь α(ρ) = u− 32 , ϕ(ρ) = 0. Будем рассматривать функционал

J [ρ(t)] =

b∫

a

1√ρ

√ρ′2 + 1dt.

Получим общее решение

t =

∫du√1

µ2u− 1

+ C.



Откуда заменой 1/µ2 = k, u = kτ, τ = sin2 θ2приходим к виду

t = k

∫ √τ

1 − τdτ + C =

k

2

∫(1 − cos θ)dθ + C =

k

2(θ − sin θ) + C.

Тогда графиком функции

ρ = u = k sin2 θ

2=

k

2(1 − cos θ)

является циклоида.

3. Симметричность решения вариационной задачи

В простейшем случае рассматриваемая задача на экстремум представляет собойхорошо известную изопериметрическую задачу о минимуме площади замкнутой по-верхности среди всех поверхностей, ограничивающих область фиксированного объ-ема. Другими словами, α(ρ) = ϕ(ρ) = 1. Известно, что решением этой задачи явля-ется сфера, имеющая плоскость симметрии, проходящую через ее центр. В нашемслучае для поверхностей вращения следует ожидать существования аналогичногосвойства, которое формулируется в следующей теореме.

Теорема 2. Пусть ρ(t) является решением уравнения (2) и пусть точка

t0 ∈ (a, b) является точкой локального минимума или локального максимума.

Тогда график этой функции симметричен относительно прямой t = t0 в любой

окрестности этой точки, не содержащей других точек экстремума.

Доказательство. Не ограничивая общности, будем считать, что t0 = 0 — точкалокального минимума, так, что при t > 0 функция ρ(t) возрастает, а при t < 0 —убывает. Введем обозначение

F (u) =1√(

α(u)uµ+λh(u)

)2

− 1

.

Тогда уравнение (3) перепишется в виде

u′2 = F−2(u).

Рассмотрим две симметричные точки t1 = τ, t2 = −τ , где τ > 0. Пусть u1 = u(t1),u2 = u(t2), u0 = u(0). Тогда имеем

u1∫

u0

F (z)dz = t1 = τ,

и

−u0∫

u2

F (z)dz = −t2 = τ.

Вестник ВолГУ. Серия 1. Вып. 11. 2007–2008 43


Вычитая эти равенства, приходим к

u2∫

u1

F (z)dz = 0,

что в силу положительности функции F (u) означает: u1 = u2. Это доказывает сим-метричность графика решения уравнения (2).

Summary

EXTREMALITY CONDITION OF SURFACE OF REVOLUTIONFOR AREA-TYPE FUNCTIONAL

V.A. Klyachin, T.V. Tkacheva

Present article is devoted to investigation of extremal rotation surfaces for squaretype functional. The solutions of differentional Euler-Lagrange equation are obtained.Also, the symmetry property of these surface is proved and demonstrated examplesfunctionals and its corresponding solutions are constructed.

Список литературы

1. Финн Р. Равновесные капиллярные поверхности. Математическая теория. М.:Мир, 1989. 312 с.

2. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы иприложения. М.: Наука, 1986.

3. Клячин В.А. Некоторые свойства устойчивых и неустойчивых поверхностейпредписанной средней кривизны // Изв. РАН. Сер. математическая. 2006. Т. 70, 4. C. 77–90.

4. Погорелов А.В. Об устойчивости минимальных поверхностей // ДАН СССР.Т. 260. 1981. 2. С. 293–295.
