Download pdf - ВЕКТОРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АССОЦИАТИВНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ СОПРЯЖЕННЫХ КВАТЕРНИОННЫХ МАТРИЦ

4

Восточно-Европейский журнал передовых технологий 1/4 ( 49 ) 2011

МАТЕМАТИКА И КИБЕРНЕТИКА - ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ АСПЕКТЫ

УДК 512.643.8:531.3

ВЕКТОРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

АССОЦИАТИВНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ СОПРЯЖЕННЫХ

КВАТЕРНИОННЫХ МАТРИЦ

В . В . К р а в е ц Доктор технических наук, профессор

Кафедра автомобилейНациональная горная академия

пр. К. Маркса, 19, г. Днепропетровск, Украина, 49027Контактный тел.: 067-72-607-72

А . В . Х а р ч е н к оАспирант

Кафедра «Прикладная математика»*Контактный тел.: 050-321-14-60

Т . В . К р а в е цАссистент

Кафедра «Теоретична механика»*Контактный тел.: 067-921-10-67; (056) 713-58-03*Днепропетровский национальный университет

железнодорожного транспортаимени академика В. Лазаряна

ул. Лазаряна, 2, г. Днепропетровск, Украина, 49010

Методом математичної індукції буду-ється процедура векторного представлення асоціативних добутків спряжених кватер-ніоних матриць. Знаходяться розгорнуті символьні формули, які встановлюють екві-валентні відповідності асоціативних добут-ків кватерніоних матриць та мультипліка-тивних композицій векторної алгебри

Ключові слова: кватерніоні матриці, мультиплікативні композиції, асоціативні добутки, векторне представлення

Методом математической индук-ции строится процедура векторного пред-ставления ассоциативных произведений сопряженных кватернионных матриц. Находятся развернутые символические формулы, устанавливающие эквивалент-ные соответствия ассоциативных произве-дений кватернионных матриц и мультипли-кативных композиций векторной алгебры

Ключевые слова: кватернионные матри-цы, мультипликативные композиции, ассо-циативные произведения, векторное пред-ставление

Using mathematical induction the procedu-re of vector representation of adjoint quatern-ionic matrices’ associative products were built. Some symbolic formulas that shows an equiv-alence of associative products of quaternion-ic matrices and multiplicative compositions of vector algebra

Key words: quaternionic matrices, multipli-cative compositions, associative products, vec-tor presentation

Введение

Как было показано в [3], исчисление введенных кватернионных матриц изоморфно алгебре кватернио-нов, обобщает алгебру комплексных чисел, векторную алгебру на плоскости и в трехмерном пространстве [1, 8], а также удобно представляет операции конечного поворота в пространстве, если в качестве элемен-тов кватернионных матриц использовать параметры Родрига-Гамильтона[2]. Задача по представлению кватернионными матрицами сложных векторно-ска-лярных произведений нескольких векторов решалась в [5, 6]. В данной статье рассматривается обратная задача по представлению ассоциативных произведе-ний кватернионных матриц в векторной форме. При-водятся подробные процедуры и устанавливаются

развернутые символические формулы, отражающие эквивалентные соответствия множества ассоциатив-ных произведений рассматриваемых кватернионных матриц мультипликативным композициям векторной алгебры, содержащим сложные векторно-скалярные произведения нескольких векторов.

Постановка задачи

Рассматриваются два a b, , три a b c, , , четыре a b c d, , , и более векторов, которым сопоставляются по две сопряженные кватернионные матрицы вида A At

0 0, при равной нулю скалярной части ( a0 0= ). Требуется построить множества ассоциативных про-изведений исходных сопряженных кватернионных

5

Математика и кибернетика - фундаментальные и прикладные аспекты

матриц, соответствующих двум, трем, четырем и более векторам и найти соответствующие им вектор-ные представления.

Решение задачи

Введем обозначения

a b a b a b a b1 1 2 2 3 3+ + = ⋅ , т.е. a a a

b

b

b

a b1 2 3

1

2

3

= ⋅

a b a b a b2 3 3 2 1− = ×( )

a b a b a b3 1 1 3 2− = ×( )

a b a b a b1 2 2 1 3− = ×( ) ,

т.е.[7]

0

0

0

3 2

3 1

2 1

1

2

3

1

2

3

−−

−=

×( )×( )×( )

= ×a a

a a

a a

b

b

b

a b

a b

a b

a b

Тогда имеют место эквивалентные соотношения:

A b

a b

a b

a b

a b

0 0

1

2

3

⋅ ↔

⋅

×( )×( )×( )

, A b

a b

a b

a b

a b

t0 0

1

2

3

⋅ ↔

⋅

− ×( )− ×( )− ×( )

,

или [5]

A ba b

a b0 0⋅ ↔⋅

×, A b

a b

a bt0 0⋅ ↔

⋅

− ×( ) ,

где A At0 0, - кватернионные матрицы при a0 0= :

A

a a a

a a a

a a a

a a a

0

1 2 3

1 3 2

2 3 1

3 2 1

0

0

0

0

=− −− −− −

, A

a a a

a a a

a a a

a a a

t0

1 2 3

1 3 2

2 3 1

3 2 1

0

0

0

0

=− −− −− −

.

Для мультипликативных композиций трех векто-ров a b c, , могут быть построены два варианта ассоциа-тивного умножения рассматриваемых кватернионных матриц [5]:

A B c A B c0 0 0 0 0 0⋅ ⋅( ) = ⋅( )⋅ ,

A B c A B ct t0 0 0 0 0 0⋅ ⋅( ) = ⋅( )⋅ ,

A B c A B ct t0 0 0 0 0 0⋅ ⋅( ) = ⋅( )⋅ ,

A B c A B ct t t t0 0 0 0 0 0⋅ ⋅( ) = ⋅( )⋅ ,

Здесь в развернутом виде получим:

или в эквивалентной записи:

A B ca b c

a b c a b c0 0 0⋅ ⋅( ) ↔

⋅ ×( )− ⋅( ) + × ×( ) .

Аналогично получим[5]:

A B ca b c

a b c a b c

A B ca b c

a b

t

t

0 0 0

0 0 0

⋅ ⋅( ) ↔− ⋅ ×( )

− ⋅( ) − × ×( )⋅ ⋅( ) ↔

⋅ ×( )−

,

⋅⋅( ) − × ×( )⋅ ⋅( ) ↔

− ⋅ ×( )− ⋅( ) + × ×( )

c a b c

A B ca b c

a b c a b ct t

,

.0 0 0

При рассмотрении ассоциативного произведения вида A B c0 0 0⋅( )⋅ воспользуемся результатами [4], где с точностью до обозначений получим в развернутом виде:

A B

a b a b a b a b

a b a b a b a b

a0 0

1 2 3

1 3 2⋅ =

− ⋅( ) ×( ) ×( ) ×( )− ×( ) − ⋅( ) − ×( ) ×( )− ××( ) ×( ) − ⋅( ) − ×( )− ×( ) − ×( ) ×( ) − ⋅( )

b a b a b a b

a b a b a b a b

2 3 1

3 2 1

.

Тогда

A B c

a b c a b c a b c

a b c a b c a b0 0 0

1 1 2 2 3 3

1 3 2⋅( )⋅ =

×( ) + ×( ) + ×( )− ⋅( ) − ×( ) + ×(( )− ⋅( ) + ×( ) − ×( )− ⋅( ) − ×( ) + ×( )

2 3

2 3 1 1 3

3 2 1 1 2

c

a b c a b c a b c

a b c a b c a b c

или в символической записи

A B ca b c

a b c a b c0 0 0⋅( )⋅ ↔

×( )⋅

− ⋅( ) + ×( )×.

Для ассоциативного произведения вида A B ct0 0 0⋅( )⋅

также воспользуемся результатами [4], где

A B c

a a a

a a a

a a a

a a a

b c

b c

b c0 0 0

1 2 3

1 3 2

2 3 1

3 2 1

1

0

0

0

0

⋅ ⋅( ) =− −− −− −

⋅

×( )×( ))×( )

=

×( ) + ×( ) + ×( )− ⋅( ) − ×( ) + ×

2

3

1 1 2 2 3 3

1 3 2 2

b c

a b c a b c a b c

a b c a b c a b cc

a b c a b c a b c

a b c a b c a b c

( )− ⋅( ) + ×( ) − ×( )− ⋅( ) − ×( ) + ×( )

3

2 3 1 1 3

3 2 1 1 2

A B

a b a b a b a b

a b a b a b a bt

0 0

1 2 3

1 1 12⋅ =

− ⋅( ) − ×( ) − ×( ) − ×( )− ×( ) ⋅( ) − − ×( )

33 2 1 2 3 1

2 3 1 2 2 2 1

2 2

2 2

− ×( ) −

− ×( ) ×( ) − ⋅( ) − − ×( ) −

a b a b a b

a b a b a b a b a b a b 22

2 2 2

3 2

3 2 1 3 1 2 3 3 3

a b

a b a b a b a b a b a b a b− ×( ) − ×( ) − ×( ) − ⋅( ) −

6


тогда:

или, упорядочив выражение, получим:

A B c

a b c

a b c a c a c a c b a b ct

0 0 0

1 1 1 2 2 3 3 12⋅( )⋅ =

− ×( )⋅

⋅( ) − + +( ) + ×( )×

⋅( ) − + +( ) + ×( )×

⋅( ) − +

1

2 1 1 2 2 3 3 22

3 1 1

2

2

a b c a c a c a c b a b c

a b c a c a22 2 3 3 33

c a c b a b c+( ) + ×( )×

т.е. в символической записи:

A B ca b c

a b c a c b a b ct

0 0 02

⋅( )⋅ ↔− ×( )⋅

⋅( ) − ⋅( ) + ×( )×.

Аналогично устанавливаем:

A B ca b c

a b c a c b a b c

A B ca

t

t t

0 0 0

0 0 0

2⋅( )⋅ ↔

×( )⋅

⋅( ) − ⋅( ) + ×( )×

⋅( )⋅ ↔− ×

,

bb c

c a b a b c

( )⋅

− ⋅( ) + ×( )×.

Мультипликативным композициям четырех век-торов a b c d, , , соответствуют пять вариантов ассоци-ативных произведений рассматриваемых кватернион-ных матриц [5, 6]:

1. A B C d A B C d A B C d

A

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

⋅ ⋅ ⋅( ) = ⋅ ⋅( )⋅ = ⋅( )⋅ ⋅ =

= ⋅ BB C d A B C d0 0 0 0 0 0 0⋅( ) ⋅ = ⋅( )⋅ ⋅( ),

2. A B C d A B C d A B C dt t t

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0⋅ ⋅ ⋅( ) = ⋅ ⋅( )⋅ = ⋅( )⋅ ⋅ =

= AA B C d A B C dt t0 0 0 0 0 0 0 0⋅ ⋅( ) ⋅ = ⋅( )⋅ ⋅( ),


0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0⋅ ⋅ ⋅( ) = ⋅ ⋅( )⋅ = ⋅( )⋅ ⋅ =

= AA B C d A B C dt t0 0 0 0 0 0 0 0⋅ ⋅( ) ⋅ = ⋅( )⋅ ⋅( ),

4. A B C d A B C d A B C dt t t t t t

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0⋅ ⋅ ⋅( ) = ⋅ ⋅( )⋅ = ⋅( )⋅ ⋅ 00

0 0 0 0 0 0 0 0

=

= ⋅ ⋅( ) ⋅ = ⋅( )⋅ ⋅( )A B C d A B C dt t t t ,


0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0⋅ ⋅ ⋅( ) = ⋅ ⋅( )⋅ = ⋅( )⋅ ⋅ =

= AA B C d A B C dt t0 0 0 0 0 0 0 0⋅ ⋅( ) ⋅ = ⋅( )⋅ ⋅( ),

6. A B C d A B C d A B C dt t t t t t

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0⋅ ⋅ ⋅( ) = ⋅ ⋅( )⋅ = ⋅( )⋅ ⋅ 00

0 0 0 0 0 0 0 0

=

= ⋅ ⋅( ) ⋅ = ⋅( )⋅ ⋅( )A B C d A B C dt t t t ,

7.

A B C d A B C d

A B C

t t t t

t t

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0

⋅ ⋅ ⋅( ) = ⋅ ⋅( )⋅ =

= ⋅( )⋅ ⋅dd A B C d

A B C d

t t

t t

0 0 0 0 0

0 0 0 0

= ⋅ ⋅( ) ⋅ =

= ⋅( )⋅ ⋅( ),

8.

A B C d A B C d

A B C

t t t t t t

t t t

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0

⋅ ⋅ ⋅( ) = ⋅ ⋅( )⋅ =

= ⋅( )⋅ ⋅ = ⋅ ⋅( ) ⋅ =

= ⋅( )⋅ ⋅( )d A B C d

A B C d

t t t

t t t

0 0 0 0 0

0 0 0 0 ,

Представим приведенные ассоциативные про-изведения кватернионных матриц мультиплика-тивными композициями четырех векторов, содер-жащими скалярные и векторные произведения. Рассматривая ассоциативное произведение вида A B C d0 0 0 0⋅ ⋅( ) , воспользуемся ранее полученны-ми результатами в координатной форме:

A B C d

a a a

a a a

a a a

a a a

b c d

0 0 0 0

1 2 3

1 3 2

2 3 1

3 2 1

10

0

0

0

⋅ ⋅( ) =

=− −− −− −

×

(( ) + ×( ) + ×( )− ⋅( ) − ×( ) + ×( )− ⋅( ) +

1 2 2 3 3

1 3 2 2 3

2

b c d b c d

b c d b c d b c d

b c d b33 1 1 3

3 2 1 1 2

c d b c d

b c d b c d b c d

×( ) − ×( )− ⋅( ) − ×( ) + ×( )

или в развернутой записи:

A B C d

a b c d a b c d a b c d

a

0 0 0 0

1 1 11

2 2

2

⋅ ⋅( ) =

=

− ⋅( ) + × ×( )

− ⋅( ) +

+

bb c d a b c d a b c d

a b c d a b c d

× ×( )

− ⋅( ) + × ×( )

− ×( ) − ×(

23 3 3

3

1 1 1 1 2 )) − ×( ) + ⋅( ) −

− × ×( )

− ⋅( ) + × ×

2 1 3 3 3 2

32

2 3 2

a b c d a b c d

a b c d a b c d a b c d(( )

− ×( ) − ×( ) − ×( ) − ⋅( ) +

+ ×

3

2 1 1 2 2 2 2 3 3 3 1

3

a b c d a b c d a b c d a b c d

a b c ××( )

+ ⋅( ) − × ×( )

− ×( ) − ×( ) −

d a b c d a b c d

a b c d a b c d

11 3 1

3

3 1 1 3 2 2aa b c d a b c d


3 3 3 2 1

21

1 2 1

×( ) + ⋅( ) −

− × ×( )

− ⋅( ) + × ×( )

2

Свернув запись, получим эквивалентную, симво-лическую формулу:

A B C d

a b c d a b c d

a b c d a

0 0 0 0( ) ↔

↔− ⋅( ) ⋅( ) + ⋅ × ×( )

− ⋅ ×( )

− × bb c d a b c d( ) ⋅( ) + × × ×( )

;

Аналогично получим:

A B c

a b c a b c a b c

a b c a b c a bt

0 0 0

1 1 2 2 3 3

1 1 1 12⋅( )⋅ =

− ×( ) − ×( ) − ×( )⋅( ) − − ×(( ) − + ×( ) −

⋅( ) − + ×( ) −3 2 2 1 2 2 3 3 1 3

2 2 2 2 3 1

2 2

2 2

c a b c a b c a b c

a b c a b c a b c a11 2 1 1 3 3 2 3

3 3 3 3 2 1 1 3 1

2

2 2

b c a b c a b c

a b c a b c a b c a b c a

− ×( ) −

⋅( ) − − ×( ) − + × bb c a b c( ) −1 2 2 3 22

7


A B C d

b c a d a b c d

a b c d a

0 0 0 0( ) ↔

↔− ⋅( ) ⋅( ) + ⋅ ×( )×

− ×( )⋅

− × dd b c a b c d( ) ⋅( ) + × ×( )×

;

A B C d

a b c d a b c d

a b c d a

0 0 0 0( ) ↔

↔− ⋅( ) ⋅( ) + ×( )×

⋅

− ×( )⋅

− ⋅ bb c d a b c d( ) ×( )+ ×( )×

×

;

A B C d

b c a d a b c d

a b c d b

0 0 0 0( ) ↔

↔− ⋅( ) ⋅( ) + × ×( )

⋅

− ⋅ ×( )

− ⋅ cc a d a b c d( ) ×( )+ × ×( )

×

;

A B C d

a b c d a b c d

a b c d a

t0 0 0 0( ) ↔

↔− ⋅( ) ⋅( ) − ⋅ × ×( )

⋅ ×( )

− × bb c d a b c d( ) ⋅( ) − × × ×( )

;

A B C d

a b c d a b c d

a b c d a

t0 0 0 0( ) ↔

↔− ⋅( ) ⋅( ) − ⋅ × ×( )

− ⋅ ×( )

− ××( ) ⋅( ) − × × ×( )

b c d a b c d

;

A B C d

a b c d a b c d

a b c d a

t t0 0 0 0( ) ↔

↔− ⋅( ) ⋅( ) + ⋅ × ×( )

⋅ ×( )

− ××( ) ⋅( ) + × × ×( )

b c d a b c d

;

A B C d

b c a d a b c d

a b c d a

t t0 0 0 0( ) ↔

↔− ⋅( ) ⋅( ) + ⋅ ×( )×

×( )⋅

− ××( ) ⋅( ) + × ×( )×

d b c a b c d

;

A B C d

a b c d a b c d

a b c d a

t0 0 0 0( ) ↔

↔− ⋅( ) ⋅( ) + ⋅ × ×( )

− ⋅ ×( )

+ ××( ) ⋅( ) − × × ×( )

b c d a b c d

;

A B C d

b c a d a b c d

a b c d a

t0 0 0 0( ) ↔

↔− ⋅( ) ⋅( ) + ⋅ ×( )×

− ×( )⋅

+ ××( ) ⋅( ) − × ×( )×

d b c a b c d

;

A B C d

a b c d a b c d

a b c d a

t t0 0 0 0( ) ↔

↔− ⋅( ) ⋅( ) − ⋅ × ×( )

⋅ ×( )

+ ××( ) ⋅( ) + × × ×( )

b c d a b c d

;

A B C d

a b c d a b c d

a b c d

t t0 0 0 0( ) ↔

↔− ⋅( ) ⋅( ) − ⋅ × ×( )

− ⋅ ×( )

+ aa b c d a b c d×( ) ⋅( ) + × × ×( )

;

A B C d

a b c d a b c d

a b c d

t t t0 0 0 0( ) ↔

↔− ⋅( ) ⋅( ) + ⋅ × ×( )

⋅ ×( )

+ aa b c d a b c d×( ) ⋅( ) − × × ×( )

;

A B C d

b c a d a b c d

a b c d

t t t0 0 0 0( ) ↔

↔− ⋅( ) ⋅( ) + ⋅ ×( )×

×( )⋅

+ aa d b c a b c d×( ) ⋅( ) − × ×( )×

;

A B C d

a b c d a b c d

a b c d

t t t0 0 0 0( ) ↔

↔− ⋅( ) ⋅( ) + ×( )×

⋅

×( )⋅

+ aa b c d a b c d⋅( ) ×( ) − ×( )×

×

;

A B C d

b c a d a b c d

a b c d

t t t0 0 0 0( ) ↔

↔− ⋅( ) ⋅( ) + × ×( )

⋅

⋅ ×( )

+ bb c a d a b c d⋅( ) ×( ) − × ×( )

×

;

При рассмотрении ассоциативного произведения вида A B C d0 0 0 0⋅( ) ⋅( ) использованы приведенные фор-мулы:

A B C d

a b a b a b a b

a b a b a b

0 0 0 0

1 2 3

1

( )( ) =

=

− ⋅( ) ×( ) ×( ) ×( )− ×( ) − ⋅( ) − ×( )) ×( )− ×( ) ×( ) − ⋅( ) − ×( )− ×( ) − ×( ) ×( ) − ⋅

3 2

2 3 1

3 2 1

a b

a b a b a b a b

a b a b a b a bb

c d

c d

c d

c d( )

⋅

×( )×( )×( )

1

2

3

.

Тогда:

или в символической записи:

A B C d

a b c d a b c d

a b c d a b c

0 0 0 0 ( )( ) ↔

↔− ⋅( ) ⋅( ) + ×( )⋅ ×( )

− ×( ) ⋅( ) − ⋅( ) × dd a b c d( )+ ×( )× ×( ) ;

A B C d

a b c d a b c d a b c d a b

0 0 0 0

1 1 2 2

( )( ) =

=

− ⋅( ) ⋅( ) + ×( ) ×( ) + ×( ) ×( ) + ×( )) ×( )− ×( ) ⋅( ) − ⋅( ) ×( ) − ×( ) ×( ) + ×( ) ×( )

3 3

1 1 3 2 2

c d

a b c d a b c d a b c d a b c d33

2 2 3 1 1 3− ×( ) ⋅( ) − ⋅( ) ×( ) + ×( ) ×( ) − ×( ) ×( )− ×( )


a b33 3 2 1 1 2

c d a b c d a b c d a b c d⋅( ) − ⋅( ) ×( ) − ×( ) ×( ) + ×( ) ×( )

8


а также[6]:

A B C da b c d a b c d

a b c d a b ct

0 0 0 0 ( )( ) ↔− ⋅( ) ⋅( ) − ×( )⋅ ×( )

− ×( ) ⋅( ) + ⋅( ) × dd a b c d( ) − ×( )× ×( ) ;


a b c d a b ct t0 0 0 0 ( )( ) ↔

− ⋅( ) ⋅( ) − ×( )⋅ ×( )×( ) ⋅( ) − ⋅( ) × dd a b c d( )+ ×( )× ×( ) ;


a b c d a b ct t t0 0 0 0 ( )( ) ↔

− ⋅( ) ⋅( ) + ×( )⋅ ×( )×( ) ⋅( ) + ⋅( ) ××( ) − ×( )× ×( )d a b c d

;

При рассмотрении ассоциативного произведения вида A B C dt0 0 0 0( ) используется структура

ранее приведенной формулы:

A B C d

a a a

a a a

a a a

a a a

b c

t0 0 0 0

1 2 3

1 3 2

2 3 1

3 2 1

0

0

0

0

( ) =− −− −− −

− ×( )⋅dd

b c d b d c b c d

b c d b d c b c d

⋅( ) − ⋅( ) + ×( )×

⋅( ) − ⋅( ) + ×( )×

1 11

2 2

2

2

⋅( ) − ⋅( ) + ×( )×

2

3 33

2b c d b d c b c d

откуда

A B C d

b c a d b d a c a b c d b c

t0 0 0 0

1 1 1 1 11

2

( ) =

⋅( ) − ⋅( ) + ×( )×

+ ⋅( )aa d b d a c

a b c d b c a d b d a c a b

2 2 2 2

22

3 3 3 3 3

2

2

− ⋅( ) +

+ ×( )×

+ ⋅( ) − ⋅( ) + × cc d

a b c d b c a d b d a c a b c d

( )×

×( )⋅

− ⋅( ) + ⋅( ) − ×( )×

3

1 3 2 3 2 32 +

+ ⋅( ) − ⋅( ) + ×( )×

×( )⋅

− ⋅(

2

2 3 2 3 23

2

2b c a d b d a c a b c d

a b c d b c)) + ⋅( ) − ×( )×

+

+ ⋅( ) − ⋅( ) +

a d b d a c a b c d

b c a d b d a c a b

3 1 3 1 31

1 3 1 3 1

2

2 ××( )×

×( )⋅

− ⋅( ) + ⋅( ) − ×( )×

c d

a b c d b c a d b d a c a b c d

3

3 2 1 2 1 22 +

+ ⋅( ) − ⋅( ) + ×( )×

1

1 2 1 2 12

2b c a d b d a c a b c d

или, сгруппировав соответствующие слагаемые, получим следующую символическую запись:

A B C db c a d a c b d a b c d

a b ct

0 0 0 0

2( ) ↔

⋅( ) ⋅( ) − ⋅( ) ⋅( ) + ⋅ ×( )×

×( ))⋅

+ ×( ) ⋅( ) − ×( ) ⋅( ) + × ×( )×

d a d b c a c b d a b c d2

.



a bt

0 0 0 0

2( ) ↔

⋅( ) ⋅( ) − ⋅( ) ⋅( ) + × ×( )

⋅

− ⋅ × cc d b d a c b c a d a b c d( )

− ⋅( ) ×( ) + ⋅( ) ×( )+ × ×( )

×2

;


a b ct t0 0 0 0

2( ) ↔

⋅( ) ⋅( ) − ⋅( ) ⋅( ) + ⋅ ×( )×

×(( )⋅

− ×( ) ⋅( ) + ×( ) ⋅( ) − × ×( )×

d a d b c a c b d a b c d2

;

9



a bt t0 0 0 0

2( ) ↔

⋅( ) ⋅( ) − ⋅( ) ⋅( ) + × ×( )

⋅

⋅ × cc d b d a c a b c d b c a d( )

+ ⋅( ) ×( ) − × ×( )

× − ⋅( ) ×( )2

;


a bt t0 0 0 0

2( ) ↔

⋅( ) ⋅( ) − ⋅( ) ⋅( ) + ⋅ ×( )×

− × cc d a d b c a c b d a b c d( )⋅

− ×( ) ⋅( ) + ×( ) ⋅( ) − × ×( )×

2

;

При рассмотрении ассоциативного произведения вида A B C dt0 0 0 0( ) воспользуемся ранее по-

лученной формулой и найдем:

A B C

a b a b a b a b

a b a b a b a bt

0 0 0

1 2 3

1 3( ) =

− ⋅( ) ×( ) ×( ) ×( )− ×( ) − ⋅( ) − ×( ) ×(( )− ×( ) ×( ) − ⋅( ) − ×( )− ×( ) − ×( ) ×( ) − ⋅( )

2

2 3 1

3 2 1

0

a b a b a b a b

a b a b a b a b

c11 2 3

1 3 2

2 3 1

3 2 1

0

0

0

c c

c c c

c c c

c c c

− −− −− −

;

т.е.

A B C

a b c a b c a b c a b c a b c a

t0 0 0

1 1 2 2 3 3 1 2 3

( ) =

− ×( ) − ×( ) − ×( ) − ⋅( ) − ×( ) + × bb c

a b c a b c a b c a b c a b c a b c

( )⋅( ) + ×( ) − ×( ) − ×( ) + ×( ) + ×( )

3 2

1 3 2 2 3 1 1 2 2 3 33

3 1 2 1 3 2 1 3 1 2− ×( ) + ⋅( ) + ×( ) − ×( ) + ⋅( ) − ×( )×(a b c a b c a b c a b c a b c a b c

a b)) − ×( ) + ⋅( ) − ×( ) − ×( ) − ⋅( )

− ⋅( ) +

2 1 1 2 3 3 1 1 3 2

2

c a b c a b c a b c a b c a b c

a b c a ××( ) − ×( ) − ⋅( ) − ×( ) + ×( )− ×( ) − ⋅( )

b c a b c a b c a b c a b c

a b c a b

1 3 3 1 3 1 2 2 1

1 2 cc a b c a b c a b c a b c

a b c a b c a

3 2 1 1 3 2 3 1

2 2 1 1

− ×( ) − ×( ) + ⋅( ) − ×( )− ×( ) + ×( ) + ××( ) − ×( ) − ×( ) − ⋅( )− ×( ) − ×( ) + ⋅( )

b c a b c a b c a b c

a b c a b c a b

3 3 2 3 3 2 1

3 2 2 3 cc a b c a b c a b c1 3 3 1 1 2 2− ×( ) + ×( ) + ×( )

или

A B C

a b c a b c a b c

a b c a bt

0 0 0

11

1

( ) =

− ×( )⋅

− ⋅( ) − ×( )×

⋅( ) − ×( )× cc a b c a b c

a b c a b c a b c a

×( )⋅

− ×( )

⋅( ) − ×( )×

⋅( ) − ×

1 1 1

22

3

2

bb c a b c

a b c a b c a b c a b c

( )×

− ×( )

⋅( ) − ×( )×

− ⋅( ) − ×( )×

3 1 2

33

2

2

− ×( )

− ⋅( ) − ×( )×

⋅( ) − ×( )×

−

2 1 3

22

33

2 a b c


a ⋅⋅( ) − ×( )×

− ×( ) ⋅( ) + ×( )×

− ×( )b c a b c a b c a b c a b c a b3

3 2 1 22 3

2 2 cc

a b c a b c a b c a b c a b c

a b

1

2 2 11 3 22 2×( )⋅

− ×( ) − ⋅( ) − ×( )×

− ×( )

⋅(( ) + ×( )×

− ×( ) ×( )⋅

− ×( )c a b c a b c a b c a b c1

1 2 3 3 32 2

Откуда получаем:

10


A B C d


a b

t0 0 0 0

1 11

1 2 2

( ) =

− ⋅( ) − ×( )×

− ⋅( ) −

− ×( )) ×

− ⋅( ) − ×( )×

×( )⋅

− ×( )

c d a b c d a b c d

a b c d a b c

22 3 3

33

1 12 11 1 3 2

32

2 1 2 2 32

d a b c d a b c d

a b c d a b c d a b

− ⋅( ) − ×( )×

−

− ×( ) + ⋅( ) + ×( )××

− ×( )

⋅( ) + ×( )×

− ×( )

c d a b c d


23 3 1 3

3 13

1 1 2 1

2

2 ++ ×( )⋅

−

− ×( ) − ⋅( ) − ×( )×

− ×

a b c d

a b c d a b c d a b c d a b

2

2 2 2 1 31

32 2(( )

− ⋅( ) − ×( )×

− ×( ) + ⋅( ) +

+

3 2 3

2 12

1 1 3 1 1 22

c d


a ××( )×

− ×( ) + ×( )⋅

− ×( )b c d a b c d a b c d a b c d

12 2 3 2 3 3 3 32 2

Свернув развернутую координатную запись к векторной форме, получим символическое тож-дество:


a b c d at

0 0 0 02

( ) ↔− ⋅( ) ⋅( ) − ×( )×

⋅

×( )⋅

− × bb d c a b c d a b c d( )⋅

+ ⋅( ) ×( )+ ×( )×

×

.



a b c d at

0 0 0 02

( ) ↔− ⋅( ) ⋅( ) − ×( )×

⋅

− ×( )⋅

− ××( )⋅ + ⋅( ) ×( )+ ×( )×

×c d b a b c d a b c d

;

A B C db c a d a b c d

a b c dt t

0 0 0 02

( ) ↔− ⋅( ) ⋅( ) + × ×( )

⋅

− ⋅ ×( )

+ aa b c d b c a d a b c d×( )⋅

− ⋅( ) ×( )+ × ×( )

×

;

A B C db c a d a b c d

a b c d a bt0 0 0 0

2( ) ↔

− ⋅( ) ⋅( ) + × ×( )

⋅

⋅ ×( )

− ××( )⋅

+ ⋅( ) ×( ) − × ×( )

×c d b c a d a b c d

;


a b c d at t0 0 0 0

2( ) ↔

− ⋅( ) ⋅( ) − ×( )×

⋅

×( )⋅

+ ××( )⋅ − ⋅( ) ×( ) − ×( )×

×c d b a b c d a b c d

;


a b c dt t0 0 0 0

2( ) ↔

− ⋅( ) ⋅( ) − ×( )×

⋅

− ×( )⋅

+ aa b d c a b c d a b c d×( )⋅

− ⋅( ) ×( ) − ×( )×

×

;

Для ассоциативного произведения вида A B C dt0 0 0 0⋅( ) предварительно найдем:

A B C

a a a

a a a

a a a

a a a

b c b c

t0 0 0

1 2 3

1 3 2

2 3 1

3 2 1

0

0

0

0

( ) =

=− −− −− −

− ⋅( ) − ×( )11 2 3

1 1 1 3 2 1 2 32 2 2

− ×( ) − ×( )− ×( ) ⋅( ) − − ×( ) − ×( ) −

b c b c

b c b c b c b c b c b c b c11

2 3 1 2 2 2 1 3 2

3

2 2 2− ×( ) ×( ) − ⋅( ) − − ×( ) −

− ×( ) − ×( )b c b c b c b c b c b c b c

b c b c22 1 3 1 2 3 3 32 2 2− ×( ) − ⋅( ) −b c b c b c b c b c

т.е.

11


A B C

a b c a b c a b c a b c a b c a b

t0 0 0

1 1 2 2 3 3 1 1 1 1 22

( ) =

− ×( ) − ×( ) − ×( ) ⋅( ) − + × cc a b c a b c a b c

a b c a b c a b c a b

( ) − − ×( ) −

⋅( ) + ×( ) − ×( )3 2 1 2 3 2 3 1 3

1 3 2 2 3 1

2 2

××( ) − ×( ) + − ×( ) −

⋅( ) − ×( ) +

c a b c a b c a b c a b c

a b c a b c a

1 3 3 3 1 2 2 2 2 1 3

2 3 1

2 2

11 3 2 1 3 3 1 1 1 2 1 1 3

3

2 2b c a b c a b c a b c a b c a b c

a b c a

×( ) ×( ) + ⋅( ) − + ×( ) +

⋅( ) − 22 1 1 2 3 1 2 2 1 1 1 3 1 1 22 2b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c×( ) + ×( ) ×( ) − ⋅( ) + + ×( ) −

−− ×( ) − + ⋅( ) − + ×( ) − ×( )a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c1 3 1 2 1 2 2 2 2 3 1 3 2 3 12 2 222 1 3 1 2 1 2 3 2 3 3 3 3

1 2 3

2 2 2− − ×( ) − + ⋅( ) −

×( ) − ⋅(a b c a b c a b c a b c a b c

a b c a b c)) + + ×( ) − ×( ) + ×( ) + + ⋅2 2 23 2 2 2 1 2 2 3 1 3 3 1 3 3 2 2a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c(( ) −

×( ) − ×( ) − − ×( ) + ×

2

2 2

2 3 3

2 2 3 3 3 2 1 1 1 1 2 3 2

a b c

a b c a b c a b c a b c a b c a b c(( ) + ×( ) − − ⋅( ) +

×( ) + ×( ) +

3 3 2 3 3 1 1 1 3 3

3 2 2 3 2

2 2

2


a b c a b c a bb c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a2 1 1 1 2 2 3 3 2 2 2 3 1 1 12 2 2+ ⋅( ) − ×( ) − ×( ) + − ×( ) − 11 3 2b c

или

A B C

a b c a b c b a c a b c

a b ct

0 0 0

1 11

1

2

( ) =

− ⋅ ×( )

⋅( ) − ⋅( ) + × ×( )

⋅( )) − × ×( )

×( ) − ⋅ ×( )

− ×( )

⋅( ) − × ×

a b c a b c a b c b a c

a b c a b

11 1 1 1

2

2 2

cc a b c a b c a b c b a c

a b c a

( )

⋅( ) + × ×( )

+ ×( ) − ×( )

⋅( ) −

23

32 1 1 2

3

2 2

×× ×( )

− ⋅( ) + × ×( )

+ ×( ) − ×( )

⋅

b c a b c a b c a b c b a c

a b c

32

21 3 1 3

2

2 2

(( ) − ⋅( ) + × ×( )

⋅( ) − ⋅( ) + × ×( )

−

2 222

3 33

3

b a c a b c a b c b a c a b c

a b ⋅⋅( ) + × ×( )

+ ×( ) − ×( ) ⋅( ) + × ×( )

c a b c a b c b a c a b c a b c

32 1 2 1 2

22 2 ++ ×( ) − ×( )

×( ) − ⋅ ×( )

− ×( ) − ⋅

2 2

2 2

1 3 3 1

2 2 2 2 1

a b c b a c

a b c a b c b a c a b c(( ) + × ×( )

+ ×( ) − ×( )

⋅( ) + × ×( )

+

a b c a b c b a c

a b c a b c

13 2 3 2

11

2 2

2aa b c b a c a b c a b c b a c3 2 2 3 3 3 3 32 2 2×( ) − ×( ) − ⋅ ×( )

+ ×( ) − ×( )

Откуда получаем:

A B C d

a d b c b d a c a b c d a d b

t0 0 0 0

1 1 1 11

1 2 22

( ) =

⋅( ) − ⋅( ) + × ×( )

+ ⋅⋅( ) − ⋅( ) +

+ × ×( )

+ ⋅( ) − ⋅( ) + × ×

c b d a c

a b c d a d b c b d a c a b

2

2

2 2

22 3 3 3 3 cc d

a d b c a b c d b d a c a d b c

( )

×( ) − ⋅ ×( )

− ×( ) − ⋅( )

33

1 1 1 1 1 1 1 3 22 2 −− × ×( )

+

+ ×( ) − ×( ) + ⋅( ) + × ×(a b c d

a d b c b d a c a d b c a b c

32

1 2 2 2 2 1 2 32 2 ))

+ ×( ) − ×( )

⋅( ) + × ×( )

+

23 1 3 3 3 3 1

3 13

1

2 2d a d b c b d a c

a d b c a b c d 22 2 2

2

2 1 1 1 1 2 2 2 2

2 2 2

a d b c b d a c a d b A

a b c d b d a

×( ) − ×( ) + ×( ) −

− ⋅ ×( )

− ××( ) − ⋅( ) − × ×( )

+ ×( ) − ×( )

−

c a d b c a b c d a d b c b d a c

a

2 1 31

3 2 3 3 3 3 2

2

2 2

dd b c a b c d a d b c b d a c a d b c12

1 3 1 1 1 1 3 1 22 2⋅( ) − × ×( )

+ ×( ) − ×( ) + ⋅( ) +

++ × ×( )

+ ×( ) − ×( ) − ⋅ ×( )

+a b c d a d b c b d a c a b c d a

12 3 2 2 2 2 3 3 32 2 2 dd b A b d a c3 3 3 3 3

2×( ) − ×( )Свернув координатную запись к векторной форме, получим символическое тождество:

A B C d

b c a d a c b d a b c d

a b

t0 0 0 0

2

( ) ↔

↔⋅( ) ⋅( ) − ⋅( ) ⋅( ) + × ×( )

⋅

− ⋅ ××( )

+ ×( )⋅

− ⋅( ) ×( ) + × ×( )

× + ⋅( ) ×c d a b c d b d a c a b c d b c a2 2 dd( )

12


Аналогично находим[6]:


a bt t0 0 0 0

2( ) ↔

⋅( ) ⋅( ) − ⋅( ) ⋅( ) + × ×( )

⋅

⋅ × cc d a b c d b d a c a b c d b c a d( )

− ×( )⋅

+ ⋅( ) ×( ) − × ×( )

× − ⋅( ) ×2 2 (( ) ;

а также


a b c d a b ct

0 0 0 0 ( )( ) ↔− ⋅( ) ⋅( ) + ×( )⋅ ×( )

− ×( ) ⋅( ) + ⋅( ) × dd a c d b a b c d( ) − ⋅ ×( )

+ ×( )× ×( )2

;


a b c d a b ct t

0 0 0 0 ( )( ) ↔− ⋅( ) ⋅( ) + ×( )⋅ ×( )

− ×( ) ⋅( ) − ⋅( ) ××( )+ ⋅ ×( )

− ×( )× ×( )d a c d b a b c d2

;


a b c d a b c dt0 0 0 0 ( )( ) ↔

− ⋅( ) ⋅( ) + ×( )⋅ ×( )×( ) ⋅( ) + ⋅( ) ×(( ) − ⋅ ×( )

+ ×( )× ×( )2 a c d b a b c d

;


a b c d a b ct t0 0 0 0 ( )( ) ↔

− ⋅( ) ⋅( ) − ×( )⋅ ×( )×( ) ⋅( ) − ⋅( ) × dd a c d b a b c d( )+ ⋅ ×( )

− ×( )× ×( )2

;

и т.д.


a b c d at t

0 0 0 02

( ) ↔− ⋅( ) ⋅( ) + ×( )×

⋅

×( )⋅

+ ××( )⋅ − ×( )⋅

− ⋅( ) ×( )+ ×( )×

×c d b a b d c a b c d a b c d2

;


a b c d at0 0 0 0

2( ) ↔

− ⋅( ) ⋅( ) + ×( )×

⋅

− ×( )⋅

− ××( )⋅ + ×( )⋅

+ ⋅( ) ×( ) − ×( )×

×c d b a b d c a b c d a b c d2

;

Выводы

Методом математической индукции найдено век-торное представление ассоциативных произведений сопряженных кватернионных матриц, соответству-ющих двум, трем, четырем векторам. Обобщение на большее число векторов громоздко, но очевидно. По-лученные результаты использованы в двух направле-ниях:

• получение тождеств векторной алгебры,• матричное представление операций векторной

алгебры.

Литература

1. Бранец В.Н. Применение кватернионов в задачах ориен-

тации твердого тела. / В.Н. Бранец, И.П. Шмыглевский

– М.: Наука, 1973. – 320с.

2. Кошляков В.Н. Задачи динамики твердого тела и при-

кладной теории гироскопов. Аналитические методы. /

В.Н. Кошляков – М.: Наука, 1985. – 288с.

3. Кравец В.В. Установление базиса кватернионных ма-

триц. / В.В. Кравец, Т.В. Кравец, А.В. Харченко //

Восточно-Европейский журнал передових технологий.

– 2009. – 5/4 (41) – с.18-23.

4. Кравец В.В. Метод матричного представления муль-

типликативных композицій векторной алгебры. / В.В.

Кравец, Т.В. Кравец, А.В. Харченко // Восточно-Евро-

пейский журнал передових технологий. – 2010. – 3/6

(45) – с.12-17.

5. Кравец В.В. Мультипликативные композиции матриц,

эквивалентных не равным и противоположным векто-

рам. / В.В. Кравец, Т.В. Кравец, А.В. Харченко // Восточ-

но-Европейский журнал передових технологий. – 2010.

– 2/9 (44) – с.56-61.

6. Кравец В.В. Представление кватернионными матрицами

мультипликативных композиций четырех векторов. /

В.В. Кравец, Т.В. Кравец, А.В. Харченко // Восточно-Ев-

ропейский журнал передових технологий. – 2010. – 5/4

(47) – с.15-29.

7. Лурье А.И. Аналитическая механика / А.И. Лурье – М.:

Физматгиз, 1961. – 824с.

8. Онищенко С.М. Применение гиперкомплексных чисел в

теории инерциальной навигации. Автономные системы.

/ С.М. Онищенко – Киев: Наук. думка, 1983. – 208 с.