Download pdf - Μαρξ Καρλ-Τα Μαθηματικά Χειρόγραφα Του Καρλ Μαρξ-Γλάρος (1987)

Tov : .

/

164

31 106 77 .: 36.18.457 36.19.167

: Karl Marx

Mathematicheskie Rukopsii Nauka Press, Moscow, 1968

Copyght pi : , 1987

& : ... : -

:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1968 . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 . . . . . . . . . . . . . . . 47

. 49 . . . . 49

11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 62

. 62 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 >> . . . 85

87 . . . 107

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 . . 119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

) uz . 124 . . . . . . . . . . . . . . . . 129

( ) 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

I. . 132 11. . . 148

111. . 159 , - . . . . . . . . . . . . . . 165

. , - -)) 167

7

I. .............................. 11. .

2.

y y y . y ,

y y, y y yv

- y y (-y) .

yy - - y .

f: y . y

y y . y y y

c .

y yy, ,

- 'y. y 5.

9

- y- .

y, . y , y

, . -

, > -

' ' ' ' ,s!x_ - - - y .

)) y )), y )).

' y, , yy ,

: , w , y

.. y y.

yy y:

- y))

- y y>> '

- y y)) y. , ' , , .

10

: y

- y y y

- y . . y, , y

- vy

- y u

- . y,

y

- y y yy y, y)).

,

.

. yy

y y y, y

. y y

y y

y. yy .

y, .

.

11

c

, .

c a . y

rrc r . r y r

- - . c y

)), . y , r y

. , .

12

. . l%8

v-r

, . ( 1.000 ) -

. 1933, , , , 1881

, , (1933, I, . 15-73) "to

(1933, . 5-61). , .

' ,

, , ..

-

13

. ,

, .

. ,

.*

.

, , . ,

, . '

.

. ' 11 1858, :

. , 1846.

.

, 1858.

, , ' . , 23 1860, :

' . , 1869,

, (Feller)

(Odermann), (. . 2388 2400).

, , , .

, , . - , . . 3881, 3888, 3981- , , .

1870, 1878 , . ' , ,

, : 1870

a . , , , , - (-, y, 24, 1963, . 11).

-

16

. , , 31 1873, :

, priatim [] .

pro tempore [ ], . : , . ., , . . , ,

( , ) ' .

(Samuel Moore ), , , , , )) (-, y, 33, 1966, . 82).

.

, . ,

. :.~: ' ,

.

17

, , .

v-yc .

(( a a

, , , . , .

. , , (v-yc, . 107). . , ((, ' (( (. . 167). , ,

. , , (( , a - a (-, y, 20, 1962, . 30).

' , -

18

, .

.

, . . , , 1881 (

), , ~ (. , . 45 ).

. , 17 . ,

'20 '30 , ,

a . Prncpa,

, ,

. ' , (Sauri) Cours complet de math6-matques [ ] ( 1778), , De analyse per aequatones numero termnorum nfintas [ ' -

19

1 ] (. . 2763). , ' (

). Cours . ( 1827) .-. (Jean-Louis Boucharlat), Elements de calcul dif-ferentiel et du ca/cul integral [

]. , ' . ( ). , . (Euler) - (MacLaurin) ( t ) (S.F. Lacroix), (Hind), (Hemming) . ' .

' ,

; ,

))

. , , , , ,

. ' ,

. 3932 3933, I)) 11)). (. Taylor) -. 3933, 4000 400 I, '

. -i:, , .

' ' ' ' dy - dx -. '

(. 2763, 3888, 3932, 4302).

)) ,

(. . 4038 4040). ( ) )) , ~ .

:) > )

21

. .

1870, , ( [Weierstrass], [Dedekind] [Cantor] ).

. . , g, (Hardy), Course of Pure Mathematics [ ], (1917), :

. , .

. , . ; , ; ' - , , .

. , ,

' , , . , - - p .

; , , ,

. , , . ' , , ,

. , a -

23

>. ,

, (. 62)." , ,

, ' ( ). a , ' , . , , p ... (Boden )

du dz , - -, '

dx dx

(. 69). du dz , - - -

d dx (Operations-symbo/e), 1t ... "" . . , : :: "" -

24

, (. 70).

f] . , a, ,

, , 18 . ,

. , .

, . " ' , , '

, , . , , . ,

, , 11 . , ' . , ' , . , , , ,

.

25

, (Descartes). ' ,

, ' yy yv

y, , , .

f'(x) f(x), f(x). ,

, ( ) ( ) . )) (. 145).

- , ,

+ . ' , ' . + ( ) ' , + , , , , , , (. 144).

, , f'(x) f(x) . , f(x) f() - f()- f(x), , ~.

' , , , . , )) (. 145).

, ( , , ( ),

27

, , f(x)-f(x) -, . f()- f(x) . . . .

-

, , -

f()- f(x) f(x), ,

-

f(x)- f(x) = , , -, '

-

. , - -

f()-f() - - -

-

. ' ,

, Traite du calcul differentiel et du calcul integral i - - . , ,

" " (. . 123).

, .

, , , , . , , .

, ,

( , )

= + = + h, , . '

, a

' . ( , , , [ , . 498-562].)

' ,

h ( ) . , -= , - , - ,

- .

- = = h. : = + h f() y f(x + h) [ , . 522].

' . , . , , ' .

1881 , ,

. , y yvv

. ' . , ,

' . -

30

(. . 129-164).

.

: .

, 2.

' , 3.

y )) (. 148).

, yy - , dx dy y, - -

, .

, .

)) , tt , (, , ) . ' ,

, )) (. 151-152).

, , )) ' . , . 0 ' point dc dcpart : = + dx. : = + ,

prima ficic [ ] * h. h dx ... , ,

(. 152). '

. )) (. 154).

mrt 1) yi uu c rrt (. c.).

33

, &y , ' ~. (( ' >>, (. 155).

' + , , ' . ,c ' : (( ' (+ dx)

(+ ) (+ h). h _ dx, (. 187).

, ' ,

. . y dy . - -, dx (p . , f(x + h) h. ' h (( f'(x).

(( h .

h f(x + h), h.

, (( I ), 2), . . , y

h1 , -

34

I) 2) . ' (. 156).

, ,.

, h >) f(x).

-, ' , -

.

( , )} ,

, ). .

.

" .

. ,

. , ,

, , , , . . , , , ',

, , , ,

19 (de Morgan) (Graes). , .

, (Wussing), , .

37

', .

, , .

. , .

a . . , . ' , .

. .

, . ,

. *

. , , . -

* , ' , .

38

. , u I. *

11~ , , , . , , . , a

, . .

' .

. . . , . ' , ( . .

), . . . , , ). . . I. .

. . . , a - , . .

* fond I, opuscule 1: c .

39

-

, ,

. ' ' , .* .

* .

40

()

10 , 1881

... - - , - -. n . , -. - . ' -

dy ' ' ' ' dy ' - =-. , - dx dx . , - ]v (quanta) y - , - .

- - ' .

, - - -, -

41

. , , a, n dxdy .

. : dy --dx

- 2. .

y= f(x) y , , y , pro tempore [ ], . , ,

- .

, , y , , , , ' -

, -

. -~ dx

, ,

' ' dy ' y ' ' ' - -, -d

. , (aufgehoben). , '

42

, ' . , .

y , .

, , - dx dy : ,

' dy r < ) - = , dx

, a .

, ,

, .

..

43

()

, 21 , 1882

... . )) ' . . ,

', , + h, . , , ' , ' ,

, h ' . ,

, , , .

+ h, . ' ...

44

()

St. Bonface Gardens 1,

22 , 1882

... , , , , . , , , - , y ' , ( -)

,

. , pro nunc [] . ...

45

1 1 f '1

. y y.1

I) , .

I) y=ax. , y=a y-y=a(x-x). , .

=, -=,

a( -x)=aO=O. , y y, , - -

=y, -y=O,

-y=a(x -) 0=0.

, .

( ) -

49

' .

a(- ) -- -,

y-y --=a.

-

y , !l y . y-y=O, - .

, a (- ) - =. -

3 ' .

y-y

-

- .

y-y

-

y - y-y y

-

-

y -=a ' a c (Grenzwet) .5

a , , - cro a

5

. ' , p

y-y

-

y ' a.

, , , . - = =-= , , y -y =y-y=O. '

-=a . -

' ' ' dy , -,

dx

- - y y vpv vv

y dy . , - -.

dx

dy -=a. dx

dy dx

a, -,

, ).

, -

51

( Grenzwert) - .

2) :

y=x y-y=-

y=

y-y y -= -

11

dy -=.

dx

, y=f(x), [] vyv y

,6 y . yy

((yy . 7

I) y=ax3 + bx2 +cx-e.

, y =a~+ bx~ +c -e, ( - y = a(x~- 1) + b(xi- xz) + c(- )

= a (- x)(xi + + xz) + b(- )( + )+c( -).

52

y-

-

y 2 2 -=a( + + )+b( +x)+c

[] a(xf+ + 2)+ b( + x)+c [ ] (Grenzwert) v

. ,

' ' y i ' ' , -

)),* , ', . =.

, ,

t)), .

() []

y , dy , -- -, :

dx

dy -=3ax2 +2bx+c, dx

.

, i .

)

3ax2 +2bx+c

:

( ax3 +bx2 +cx-e). , [ ]

))

. ' )). , t - - .

d2y d3y - 2 , - 3 , .,

dx dx

)) . ,

. , 32 , , , , 3

32 . nota bene [ , ].

, , . . y 6- -

' I), . , 1), :

y dy -=a=- dx

55

, - .

-, -

[ ]

y-y y -.= a (- + -2 + \"-32 + ...

-

' yy>,

= -=

r- m-' -2 xm-2x = m-2+ = m- ' \"-32 xm-3x2 = xm-3+2 = m- ,

m m- , r m-1 > max .

=

. * y ' . dy )), - - -dx ,

dy -=maxm- dx

' , .

, -

(. tc.).

57

,

y-y . y ---.

-

: 3) y=a

.

y=a'.

y-y=a'-a'=a'(a''- 1). []

a-= +(a- )}'''

(-)(-- I) +( -x)(a- I) + (a -1)2 + . 2 y-y=a'(a''- I)

{ (-)(-- I) =a' (- x)(a -I) + (a- 1)2 2

(-)(--)(--2) 3 } + (a- I) + ..

23

9 y- y . y ---=

-

{ - -

a'(a-1)+ (a-1)2 2

58

(--)(--2) } + (a- 1)3 + ..

123

, = - = , )):

{ I 2 I 3 } ax (a-1)--(a-1) +-(a-1)- .. 2 3 .

dy { I 2 I . 3 } -=a (a-1)--(a-1) +-(a- J)- .. dx 2 3

,

dy -=Aa dx

= * a,

' dy ' ' ' -, , y : dx

dax -=log aa dx '

dax=log aax dx.

I) (- ) [] [ ]

- y-y . y --

-

a

2) ( d(a')) -y z (- ) -.

3) - ( [ ]

' ' - -

(- )( .J a2 + xi + .J a2 + xz)

(- )( +)

(- ) ( .J a2 + xi + .J a2 + 2 ) :

y + .J az + xf + .J az + xz . , =, -=,

dy 2

dx 2Va2 +x2 .Ja2 +x2

xdx

dy dVa2 +x2=---.Jaz+xz

61

013

) f(x) y=uz . y z

y ' , .

y=uz,

-y=uz -uz=-z (u -u)+u(z -z), -y , y U -u -z zu uz -- -=z---+u--=--+--.*

- - -

= , - = u-u u- u =, z - z =, z z --

-

z. , - y =.

* (. .).

62

dy du dz ) -=z-+u-.

dx dx dx , dx,

) dy d(uz)=z du +u dz. 14

2) ): dy du dz -=z-+u-dx dx dx ,

dy dx= f'(x), f'(x), f(x) 15 , mxm- 1, xm .

f(x) f'(x) (Doppelgiinger)

' dy ' ' ' 16 - -, , - dx f'(x).

' ' ' dy ' f'( ) ' , - - dx .

) , f'(x), uz,

, . uz , , -

63

, , uz. 3).

yy ).

u-u u z-z z -------

- -

-, - =, - = .

du dz -, - -, - .

dx dx , -

u z ,

, , , , dy , -- -- dx I;

du dz -,

. dx dx

, : z-+u-. -

. z u a -

, :-+-. - -

0

64

z u =0,17 , []:

-=

du dz z-+u-.

dx dx

. , ,

u-u u -

' , =0, u- u =, u- u =, , , - , =0.

, u

z ( ~ ), ' -

0 . -

-

= . ,

m - -,

=, =, .

x2-a2 ---. [ = a]

-a

65

2 =a2, x2 -a2 =0. -=-, [] =,

. - .

, x2 -a2 ,

x-a P--(x+a)=P(x+a) x=a,19 =2Pa.

x-a

- 3 , . - = ,

- a - =

.

, -, -

z u - - -

, >> (die Uni-dz du

form) -, - . dx dx

3) y=xm, y=a' . , y y ' [ ].

y = uz [-

66

] . y u z, z u [] . uz .

u z :

u = f(x), U- u = f()- f(x),

z = ( ), - z = ( )- ( ). f(x) () ,

* . u z , ,

yv y (Ab-hangigkeitsverhaltnis):

u-u f(x)-f(x) z-z ()-() - - - -

. =, - =

du df(x) dz d() dx dx ' dx dx '

du dz -, -

d dx

.

, ~ dx

*

du dz ' --.

dx dx

- f()- f(x) 18

= - -

du dz -, - - -

d dx - v v yy,

, ' , .

uz f(x) )) f'(x)

:

dy du dz -=z-+u-dx dx dx

dy -=f'(x). dx ' .

~ -d

(Ablcitungsprozcsse ), f(x) f'(x). , f(x) f'(x),

~ f'(x) , d

(Doppclgiinger) .

68

, , ~ dx

. du dz - -.

dx dx

f'(x), , ~ dx

, f'(x)

'() . , , ,

, )). ,

. , , , . , , (Boden) du dz - - ' -

d dx

. 1e uz. , , , .*

)) -

c (4148, Pl. 16-17), :

69

du dz - -; y=uz

dx dx

' . [] u z ,

u=x4 z=x3 +ax2 du dz - -, -

d dx , (Opera-tionssymbole}, -

' 4 3+ 2 ' ' ' a . , ,

.

du dz . . . . dy - - . , -dx dx dx

> . , , f'(x), '() .

, .

. l(l(v,

, . , . uz,

(. .).

70

dy du dz -=z-+u-dx dx dx'

, , .

* 18 , : .

4)

dy du dz ) -=z-+u-.

dx dx dx

) dx. a,

) d(uz) dy=zdu +udz. ) ), . ) u z , . 11

. ' ,

y=zu ., = v, dy= , -

* : > (p. .).

71

.

- , y , )

. ' : u=x4, z=x3 +ax2,

du=4x3dx, dz=(3x2 +2ax)dx, . du dz )

dy 1 4x3dx 4 (32 + 2ax)dx ) -=( +ax2)--+x , dx dx dx

dy = { (3 + ax2)4x3 + 4 (32 + 2ax)} dx. uz. uz = f(x), f'(x). :

dy = f'(x)dx. . :

dy dx = ffiXm- I = f'(X), dy = f'(x)dx.

: y = f(x) dy = df(x) df(x) = f'(x)dx

72

, . :

) dy = f'(x)dx y. f(x) f(x, z),

. .

11

I) dy=f'(x)dx

dy -=f'(x) dx

.

~=~ -d

. dy = f'(x)dx ,

O=f'(x)O 0=0 )) (

32, - ' ' dy ' ' ' y. , -

dx

32 , dx (stehn)* dy, y y -

' dy ' ' dy 3 2 - - = dx dx

.

dy=3x2dx,

y.13 , ,

. .

-** -

0

, ; , , , (dans /'espece) 14 :

- f()- f(x) - -

. , . , .

: (stehn bleiben) (. .).

:

, - = dx , dy [] y, m . ,

dx, dy dx a. , dy = f'(x)dx

dy -=f'(x) dx .15

2) dy = f'(x)dx ) (. 1,4), ) ,

(dans l'espece) , ,

' , ' , ' .

( Operationsgleichungen ).

dy = f'(x)dx , a priori [ ] ,

y = f(x) [] dy=df(x), , df(x) f(x), dy = f'(x)dx '

dy -=f'(x). dx

75

, , , , .

, f(x) q

,

f'(x)dx = dy dy = f'(x)dx. y, , . . . dy, 26 y - , [] - y .

, dx, ' .

~=f1(x)

,

I) y = f1 (). , , - - I), :

11) dy = f'(x)dx.

3) 11 ~;rp ( Glcichung dcs Diffcrcntials) n} ::v ti'.'

) ' ' ' dy ' a y =, - = , -d

dy = dx.

b) y = ab, ~ = , dx

dy = dx.

) ' ' ' dy ' c y = ax, - = a, -d

dy = adx.

, a). : y=x,

y=

y-y y=- .

-y y y I) -- -= I. y=. -, -

-

=, - = , :

dy Il)--= I, dy=dx.

dx

, I) ~=, -

~ - , I. , vr , , a-, , .

78

. :

I) y = I.

' dy 11)--=1. dx I) 11) , .' . - = , . : 11), , )) (. .).

79

, y , , ,

, ' n. , , ,

' ' ' dy y y . , -=-, dx

dy . . . . - o-

dx

- (Sonntagsuni-

0

form) y, a

, . .

, .

xm+ Pxm-1 +. +Tx+U=O

= xm+ Pxm-1 +. ++ U.

y , y u, u , ~

~ ~ ~v. zt :

I)

2)

3 2_ U1-y1,

x~+axf=u1. 1):

3uf- 3u2 =y1-y,

3(uf-u2)=y1-y,

3(u1-u)(u1 +u)=y1-y,

y1-y y 3(u1 +u)=-- -.

u1-u u , U1 = u,

U1- u =, : dy

3(u+u)=-, du

dy 3(2u)=-,

du

dy 6u=-

du

81

3+ 2 u a , :

3)

2): xi +a~- 3 - ax2 = u - u,

(xt- 3) + a (xf- 2) = u - u, (- )( ~+ + 2)+ a(- )( +)= U- u,

2 u-u u (~++ )+a(+)=--- -. -

= , - = . du (2 + + xz) + a (+ )=_. dx

2 du 3 +2ax=-. dx

4)

3) 4) , :

5) 2 dy du dy 30

6(x3 +ax2)(3x +2ax)=--=-. du dx dx

..... r dy dy du -=--

dx du dx'

n \ } .

-

82

. :

I) y=f(u) y=f(u) y-y=f(u)-f(u)

2)u=() u=() u- u = ( )- ( ).

I) :

- f(u)- f(u) dy df(u) u-u u-u du

df(u) = f'(u)du, dy f'(u)du

dy

3) -=f'(u). du

du du

2) :

du

U- u ()- ( ) du d() - -

d() = '()d,

: du

4) -='(). dx

du '()d dx dx

dx dx

3) 4), :

83

dy du dy J 5) -- - =f'(u)'(x) ...

du dx dx

.. .31

84

J 0>>33

34

f(u,z) (= uz], u z , - , y- , :


dy=zdu +udz.

, dy= maxm-1dx,

~ , f'(x)= dx

= maxm- , dy = = zdu + udz.

[ ] , ' xm. [ ] . , -

87

. dy . . . -=- . , -0 dx

. dy . ', . . ' -=- -0 dx

' , - (waldursprnglichen)

= , -=

0=0. -, ,

(ganz bestimmten), , = mxm-, xm.

' ' dy ' dy ( ) . -. - =- -d dx , , f'(x) , -

, f'(x) ~. dx

, ' (Boden) , [ ]. , ,

xm=f(x)=y'

( n omherein) dy=mxm-1dx

dy m-1 -=mx dx

88

, , [] , , ,

35

f(x) ~, -d

f'(x). , ~ ~ dx f'(x).

' ' ' dy ' -. dx

, f'(x) -d d d2 ' ' ' ' ' -. , -, - 2 ~ ~ ~ ( Operationsformcln) ,36

, dy=f'(x)dx. . . . , . . dy f'( ) , , -=

dx

., (bcstimmtcn).

- - d(uz), u z , 3'.

89

f(x) y = uz, u z .

y=uz

y,-y=uz-uz. :

y,-y U UZ - - -

y uz-uz -

uz- uz=z (u- u)+ u(z -z),

zu-zu +uz- uz=zu-uz. :

uz-uz u-u z-z z,---+u--. - - -

,- =0, = , u,-u=O. u=u z-z=O, z=z.


d (uz) dy = zdu + udz. , ,

uz, - , v v -

90

,

c

dy du dz -=z-+u-dx dx dx '

d(uz) dy=zdu+udz , dy=f'(x)dx,

dx ~=f'(x), o-dx

(Spezialwcrt) f'(x) - -

: dy = zdu + udz.

, , , f(x) = xm, , f'(x) , , mxm-, y

c c . , ' ,

, dy , , , - =- ;c dx .

, , dy , ' : - =- -0 dx

, -

, -= -0

91

= . , - -

0

, mxm-, xm. (festgehalten) -

, , dy dx.

, , ~ (= ~) -d

, f'(x) -

, dy , ' , , dy [ - , - -d dx ] .

, . f(x), .. xm, dy

, , d m-ld dy m-1 y = mx , - = mx . dx (figuriert) . (so)

, ~ . dx

. . . dy ( ) . - =-dx f'(x), -

92

f'(x) d d2y _y_, - 2 , . dx dx , ( Operationsfone/n) , , dy=f'(x)dx. ~

~ = f'(x), , d

, , [] .

d(uz), u z , 3 , .. .

(Differenzierungsprozess) (. , , . 10 *)

dy du dz -=z-+u-dx dx dx' u z

, y , u z. , , u z

y, . , []

* . ~ .

93

-du dz - -.

dx dx

, .

:


d(uz) dy=zdu+udz. " (sobald) u z

. , ,

u=ax, z=bx.

d(uz) dy =bx adx +a bdx. dx, :

dy - = abx + bax = 2abx dx

d2y - 2 = ab + ba = 2ab. dx

y uz=axbx=abx2,

dy d2y uz y=abx2, -=2abx, - 2 =2ab.

dx dx

,

94

du [w=]z -, ,

dx

what we might call)) [, ] , [] . , -

d . [] y-, y -

dy

, ( d(uz) = zdu + udz ).

, ' dx, , dy, .

, , y ,

dx, /=a, .

' 2 d d ' d 2ydy ' y y = a , = --. -a

dx dx y-,

dy

2ydy y-a- y2ydy

-= dy ady

/ =a, [ ] 2ax =-=2,

a

95

a '

, = 2 v.

dx , y-=

dy

ydx = dy. , , ( )

: ~. dx

' ' ' ' dy -dx

. -.


-=z-+u-0 (zu

nicht.), -

, . :

I) ,

dy - -=f'(x), dy=f'(x)dx.

dx

dy dx

dy=O dx=O, 0=0.

96

' . dy - dx

-, ' ,

- -0

f'(x) dy -, dy = f'(x)dx. dx

u,- u du 2) --- - -

,- dx

u -u = ,-=, - 1-- -

[ ] -. -

(Spezialwert) u.

du , a - -, -

d

-du dz , - -

dx dx

. dy du dz -=z-+u-dx dx dx '

97

dy = zdu + udz,

du dz - , - , du dz ,

dx dx

-, .

3) , -

,

- .

2 _a2 , , ---, = a,

x-a

,

, a

x2-a2 --- .

x-a

2 - a2 , =(+ a)(x- a),

x2-a2 x-a --=(x+a)--=x+a, x-a x-a

98

, - a =, = a, + a = a + a = 2a.'x , , ( - a), , = a, - a =, ( - a) = = , ,

, (2 - a2) =. 2 - a2 (+ a)(x- a) ,

( + a)(x- a)= ( +a) 0=0.

, ( ~ } : = a, =0.

- [ ]

- = : = = . ) :

- ,

, ,

.

!- a! , , --- = a,

x-a

x-a=O x2 =a2, x2-a2 =0, x"-a --= -.

x-a ' , ' -

0 - =,

99

-

,

-= .

2 - a2 (+ a) (- a). ,

x-a P(x+a)--=P(x+a)l,

x-a

[] x=a P2a 2Pa. ' (rcchncn) ,39

(fcstzuhaltcn) -0 dy dz - -, -,

dx dx .,

. , , , ' ,

(umgckchrt) , (Opcrationssymbolen) f.,

(Dicnst) .

( [ ] : . : : , ).

100

, : d(uz) dy zdu udz ---=-+-

d dx dx dx ' , z u, , z u. (aus-gestattet) .

, , u z , .

[] u z,

~(=~} ~(=~} dx dx

dy ( ) ' , , , \ - =- , -= ,,-d

, .

u = 1 +a~.

( } du , 0 =~=3x-+2ax,

( ) d~u - =-, =6x+2a, 1 dx-

d~u () '= dx~ =, 6: ' . -=0.

I I

, , -

, , [ :~ ] ,

d(uz) dy du dz -- -=z-+u-.

dx dx dx dx

u = u-u du , f(x). --- -,

- dx

f'(x), dz

f(x). z = ( ) -= '( ), dx

- (). u z ,

u=xm, z=JX. u z 2 - ,

. , uz,

du - -.

d

, f(x), ()= z -

dz - []

dx

> f(x) = u

102

. .

, , -

du dz - , - -

d dx

> , .

(angenommen) , , u:

dy =y+-h +.

dx

. ' uz, -

y- , , (

), .

, ,

(sicl beu'egenden) . (.>icher) 6 .

. ' . ) v~ . 6. f.v .

, 40 (wirklichen) , .

' d(uz) (Produkt) - = , , :

dy du dz -=z-+u-. dx dx dx ,

dy = zdu + udz. (entspricht)

, , , , dy -dx ,

, f'(x) ( , maxrn-, f'(x) axrn = f(x))

dy -=f'(x) dx

dv=f'(x)dx ' dy rn-1 d rn-ld , ( , - = max , y = max ,

dx y) (

, ' dy rn-1) , , - = max . dx

104

dy=zdu +udz

du dz dy . .

u=f(x), z=() du

du=f'(x)dx

[dz]

>:

dz = '()d.

dy = (x)f"'(x)dx + f(x)'(x)dx

dy -= ( ) f'(x) + f(x) '(). dx

~=f'(x) dx

dy = f'(x)dx.

dy

' ' ' dy ' ' -. -d

. f(x). , ( wirkliche) -

, ' ' . ' ' ' dy - dx

105

, ( das Differential) dy = f'(x)dx.

dy = zdu + udz (umgekehrt). du dz -' -- , ' ,

. ' ' dy ' ' ' - -d

, u z - -

dy = ( ) f'(x)dx + f(x) '()d. , dx

dy -= ( ) f'(x)+ f()'(). dx

du dz dy d2y , -, -, -, - 2 .

dx dx dx dx

.

106

041

f'(x), '

' ' dy ' ' ' - -, dx . , , -

du dz - - ,

dx dx

a f'(x) '(). ,

- - uz .

, , , .

107

( ), - uz . -

. ,

dy du dz - -=z-+u-0 dx dx dx

. dy . . . -, uz, dx

, . , -

du dz - - f'(x), -

d dx

uz,

. ' dy -. dx

, - ,

(als symbo/isches Resultat derselben). : , , , , (Differentiaoperationen)

, . f'(x), . '

, ,

, -

108

, (umgekehrt), , ,

. ,


z u ,

y=xm, u z,

u=Jx, z=x3 +2ax2

du dz ' , , - -

dx dx

(Ausfhrungsweise) , a u z.

c) (Operationsgleichung)

.

[ I)] dy du dz -=z-+u-dx dx dx'

dx , :

11) dy d(uz) = zdu + udz.

, ( ~

109

), .

, ,

dy du dz -=z-+u-dx dx dx , ,

, , .

.

y=y-y f()- f(x), ( f(x) f(x 1)

). f()- f(x) y - f'(x)

-

' ' ' fi( ) ' dy '/ - - -. ,, dx .

dy d;=f'(x),

dy = f'(x)dx. * dy,

11 (. .).

110

du, dz (Ausgangspunkte). , u z ,

u = f(x) z = ( ),

dy = (x)df(x) + f(x)d(x), d .

_ :

df(x) = f'(x)dx d()= '()d.

dy = ()f' (x)dx + f() '(x)dx.

dy - = ( ) f'(x) + f(x) '(). dx , , ' , . , ,

. ,

: dy

y=ax, -=a. dx

dy=adx. :

) .

' dy -=a dx

111

dy=O dx=O, [] dy=adx = . , dy dx -

, ' - - y -.

dy=adx , ,

dy = f'(x)dx, '

dy dx=f'(x),

= a, . (Operationssymbo/e). ,

dy=f'(x)dx , dx

~=f'(x), . dx

, , y2 =a d(y2) = d(ax), 2ydy = adx.

- ,

dy a dx 2y -=- -=-. dx 2y dy a

[] 2ydy = adx dx

' 2ydy ' ' ' -a-, , , dx y-,

dy

112

2, , .

11

(fer-tige) , .

I) y , y u u . : v v yc

' ,fl .1 ' ' ' dy c c v -.

a) y=f(u), b) u=(). , I) y = f(u) :

dy df(u) f'(u)du -=--=--=f'(u). du du du

du d() '()d 2) -=--= '().

dx dx dx

dy du --= f'(u) '( :). du dx

113

dx

dy du dy --=-

du dx dx

dy -_ -=f'(u)'(x). d_x

y. a) y = 3u1, b) u = 3 +ax2,

dy d(3u1) -= --= 6u ( = f'(u)) du du

b) u=x3 +ax1. u 6u,

:

dy 1 ' -=6(x-+ax) (=f'(u)). du

du , -=3x-+2ax (='()). dx

dy du dy 1 , , -- -= 6( + ax) (3 + 2ax) ( = f'(u) '()). du dx dx

2j (Ausgangsgleichungen), . a)y=3u2, b)u=x1 +ax2

y=3u2, [] y=3ui ' ' ( + ) y-y=3(u-u)=3(u-u) u u.

114

y-y --=3(u+u).

u-u

u -u =0, u =u 3(u +u) 3 (u + u)= 6u.

u f b)

, u=x3 +ax2, [] u=x~+axf.

u- u =(~+ axT) -(3 + ax2) =(~- 3)+ a(xT- \ U- u =(- )( + + 2)+a(- )( +)

U -u 2 2 --=( ++ )+a( +).

-

- =, = , + + 2 = 32

: a( +x)=2ax.

du -=3x2 +2ax. dx

,

6 (3 + ax2) (32 + 2ax).

115

dy du dy --=-

du dx dx .

, , , , , [ ] .

a) 3u2 =y, b) x3 +ax2 =u.

3(u,-u)(u +u)=y,-y,

y,-y 3(u +u)=--.

u,-u

u =u, u-u=O, dy

6u=-du

3(u+u)

6u b ),

,

116

x~+axf=u

~ +axf- 3 -ax2 = u- u,

(~- 3) + a (xf- 2) =u- u. , :

(- x)(xf + + 2) + a (- )( +)= U- u.

2 2 u-u ( ++ )+a( +)=--. -

=, -=,

2 du 3 +2ax=-dx

2 , -

dy du dy 3 2 2 --=-=6( +ax )(3 +2ax). du dx dx

, , f()- f(x), -.

,

' ' d d dy ' ' y, - dx

117

, . . , [] , ; , , ' , , .

, , d (uz)

, . I) v. , , , y . , , y . . ,

, a yvv , y . a , . = ,

y. 41

118

'f

, y , dy = f'(x)dx,

, f'(x) , dy = d(ax) =

=adx. ~ ~=f'(x) dx

~ = ~, dx . dy= = f'(x)dx ,

: dy=f'(x)dx O=f'(x)O, 0=0, (

' dy 3 2 ' dy ' ' ' , - = , - - dx dx 32 y. -

, ' dy ' ' ' ' ' - dx

32, dx dy, , , y ,

dy ' ' dy 3 2 ' ' - -= -d dx . dx dy=3x2dx, y)).43

) .

. -

( { ~ )>. (Minimalausdrucks) y-y f(x)-f(x) f(x) - ,

. ; -

y . - = dx -:-y= dy, ' . dx, dy '

120

. [] dy = df(x) = f'(x)dx

~ [ = f'(x)], dx

f'(x) . dy = df(x) , , :

y2 =ax

d(y2) = d(ax)

2ydy=adx

2ydy dx=--

a

dx, dx y-,

dy

2ydy y-a-

dy ady a

2ax []=-=2,

a

_ 2, .

dy = df(x) (Aus-k) . dy . gangspun t -, ,

dx

y , dy, dx

.

\21

, , y=ax, , -

, y-y , , --= a, -

' dy ' ' ' - = a. dx

a priori[ ] , y . . dy , - = a - = a, , y, - dx

, (Kontraktions-fahigkeit) dx dy a

, - = y- y =. , , =, -= . = dx, dy

. IV) d(uz), ' III)44 (fertigen Operationsformel),

a . (sov-iel) ), ,

, , (die Ausgangspunkte)

~ , .

(ad) IV.

122

( v v yv) , ( Vorstcllungen ),

(figuricrcn) f'(x) , , f'(x) . , . , , ,

, , , , - , , --, -

-

. , ' y

. (Modcrncn) .45

123

46

) p p uz41

I) d(uz) ,

dy du dz ) -=z-+u-,

dx dx dx , , , vr

.

. ) ,

du dz -, -, f'(x),

dx dx

dy , , , , , -, dx f'(x) ,

, .

124

du dz -, - -

d dx , )) ,

u f(x), 32 , z ( ), 3 + ax2

,

, yv v dx = y- , dy

du dz z-, u-, -

d dx

. , y = uz [] ( y = y1 uz ) .

u.a ) -

z

u 3) d- d(uz),

z

,

d(uz)=zdu+udz

y u

d-. , z

125

, , .

u a) y=-

z

b) u= yz. u y =-,

z

u yz=-z=u.

z

, , u ' . , ,

, , . ' :

c) du = zdy + ydz. , zdy, v , (genau r Torschluss),

y = ( ~ ) , , u z. ' , , ydz . :

d) du-ydz=zdy. u y, -, z

ydz, u

du--dz=zdy. z

126

zdu-udz

zdy. z

a dy sleeping partnen> [ ] , z, :

zdu-udz z2

127

u dy=d-.

z

( ) 11))50

) Newton, 1642, t 1729. Philosophiae naturalis principia mathematica, . 1687.

L. I. , Schol. . 11. L. 11. , Vll.51 Analysis per quantitatum series, fluxiones etc.,

1665, . 171I.s2 2) Leibnitz. 3) Taylor (J. Brook), 1685, t 1731,

1715-17: Methodus incrementorum etc. 4) MacLaurin (Colin), 1698, t 1746.

5) John Landen.

6) D'Alembert, 1717, t 1783. Traite des fluides, 1744.53

7) Euler(Leonard), [] 1707, t 1783. !ntroduction a J'analyse de J'infini, , 1748. Institutions du calcul diffe-rentiel, 1755, (., c.III).54

8) Lagrange, 1736. Theorie des fonctions analyti-ques (1797 1813) ( yy).

9) Poisson (Denis, Sirneon), 78, t 840. 10) Laplace (. Simon, m~rquis de), 749, t 827.

) Moigno, Leons de Calcul Differentiel et de calcul inte-gral. ss

131

.

v: 1642, t 1727 (85 ). Philosophiae naturalis principia mathematica ( 1687

f f , Schol.). , : Analysis per quantitatum series

fluxiones etc. 1711, 1665, 1676.

: 1646, t 1716 (70 ). ypv: 1736, t ( ) . heorie des fonctions analytiques (1797 1813).

: 1717, t 1783 (65 ). Trait6 des fluides, 1744.

I) . , y, ., , , y . , (),

pyv , - a , -;-

y .

[]

132

y, a- , = - a- - -,56 ' a- - y y -.

: y=uz[] y, z, 1 - y, z, u -, y y, z, i )', :, i -

y=uz,

y + y = (u + i) (z + :) = uz + uz + zi + 2i:,

y = uz + zi + 2i:. , a, 2i: , a- - ,

2 . ( = 1 . ,

2 I ) = I -

y=uz+zu,

y=uz uz+:Zu.57

2) . uz. u u + du, z z + dz

uz + d(uz) = (u + du)(z + dz) = uz + udz + zdu + dudz.

' uz, udz + zdu + dudz. dudz,

133

d'un infiniment petit du par un autre infiniment petit dz ( du a dz), a

a udz zdu. d(uz)=udz+zdu.58

[3)] ' . :

y=f(x),

=f(x+h) , ' , ' y-y , -h-,

59 h -.

, , a

. ' . , y y.

- , = h. .

=dx [],

=. , , . , , + (

, 60 ), , , + dx, ( 0-

\34

perationssymbole,), .

15* (). . :

y=uz,

y+y=(u +)(z+:t). , , , :

y+y=(u+)(z+z), y + y = uz + z + :Zu + z,

y+y-uz=z+:Zu +z, , uz = y,

y=z+:Zu+Z. , z.

;

, y y, u z z , ~.

, ,

. , dy, dx y, , , ,

y + y, + . -

* . 102-105 .

135

ve (manvriercn) .

, , y=ax, : y+y=ax+ax,

y-ax+y=ax

y=ax.

' , : a, ax yc a

a* ( . ). ,61 y = f(x), . y

i . f'(x) f(x), , :

y=f"'(x)x

, y

, dx . ,

~= a (. .).

y=f(x)

dy=f'(x)dx

136

y= ( ~ ) .

y = ax : = a :

i_= f'(x).

, , .

, , dx, dy . , y, . , y, , ,

.

,

, a, a b, xy, - , ", a', Iog -

.. . . d dy . , y, - -d

, .

, , - .

: y = 2 , - h

y - k,

y+ k =( +h)2 =x2 +2hx + h2,

137

[ ].

(y+k)-y k=2hx+h2 h, :

k -=2x+h. h h=O

2x+h=2x+0=2x.

k k - -. y

h y + k, + h, , h , + h + , , y + k y. c;> k k d .

' = ' dx -;. -

:

. 2 -;= .

[ h =] y+k-x2 =2hx+h2 (y+k)-y=2xh+h2 ( h dx ), k=O+O=O , y y+ k, + h ... , ' x+h=x+O=x, y+k=y, k=O.

138

' :

k = 2xdx + dxdx

, : y=2+. h k y, h , - ( (x+h)-x) y-y (= = (y + k)- y) , -= y-y=O.

, y, . , , y, . , = , , =, ,

y+k)-y=2xh+h2, h , k =, = . h , 2, h

y-y =2x+h. h .

dy -=2 dx

61

dy=2xdx.

139

, h a , , y, . dx, dy [.]. a a ( a (unendlich) [] (unbestimmt) ). , dy, dx, . y, , [.] , ,

(y+ k)-y k=2xdx+dxdx

dxdx 2xdx. (Raisonnement) , (unen-dlich k/ein ). dxdx a dx, 2xdx 2: ...

y = z + :iu + :i :i a z :iu, z + :iu (An-naherungswert), . .

, ( , , ) ,

y=2xx+xx.

, : y=2xx

140

_t=2x . '

2, [ ].

. i:. , , -y y

, , , h, dx , , .

:

f(x),

dy = f'(x)dx.

df(x)= f'(x)dx.

( y=f(x), [] dy=df(x)).

I) f() = f()

2) df(x) = f'(x)dx

I).

---]

I) , ) -=,

~ :

Aa) = -, a) -=.

, , , ,

, . : ,

, vj , ,* v :

, .

* ' : c > (. .).

142

.

b) =+. . ' . . , , , , .

, , - . ,

=+ I) 2) , , +

3) , ,

v - , (+ h)m xm. , , v . - , a -

,- a . , [] ,

.

. 2 (+ h)2, -

143

+ , 2 + 2 + + 2: , 2, [2] ,

= I. , ,

, , + .

4) + , , , , ,

, (als Frucht ncben ihrer Muttcr, beor dicse gcschwangcrt war).

+ ,

[] , . 5) . ,

, + (in bestimmtcn Grad). ,

-y ' ' ' --, = , - ,

: y-y y-y *

-

, - = , =, ~ ,

' : ~ (. tc.).

144

- - (Entwick-Jungsreihe). .

6) y = f(x) = f(x + ), , - , y

yy. c) + = ( y + y = ). = -,

, - , = + .

I) ' , , , . , .

2) : - , -

, . , - 3 , {.

(+ ) , , - 2 .,

-{' , 3

{- 3 3 - a3 - a. - . {- 3 - (, [] , (+ )

) ( -- ), , - ( Jt&- ) , ,

- . , -

145

y - y , -

, y-y ' ' . ' ' -- , -

-

-- (Differenzfon ). , - -, ,

, - (Manver), ~ -3 - .

a (- ), f(x) = uz (

I ), (- ) --.

-

, - , ' , - - - (, , y = a',

y-y { (-)-1 } --=a (a-1)+ (a-1)2 + . ,

- 12

- =

{ I 2 I 3 } =a' (a-)-2(a-) +J(a-1) -.). , , - - = . , (- ) -

(). ,

146

= p (- ) , - =, p , = 0 ... 63

~- 3 , y = 3 = =

y-y=(-)

y-y --=.

-

, , =f\ , - , , ( - )2 . ,

, + +, , -, vx;x, . =,

2, 2, -, I, J. .

, , - , , .

147

11.

I) y. = + =+ dx + , dx . .

, , =y+dy =y+y. + + ,

y :. . ' ,

' , . . . . dy v , -dx

~ , ,

. = ' = y,

( ersteht .5ich n se/bst) y

D y. -

148

,

, , , . *

(al/ereinfachste) y , y =. dy = dx y =.

[] , =, 64 dx.

dy

dx ~=.

[ ] .

, yy

[ ], ( und fertig) dx , + . (Eskamotage), ,

.

= + = + dx + ,

* .: (di Differentiellen) dx dy. a \' .: y. > > (d;.~ Dil1nntia/): dy = f'(x) dx ( i .. .:. ).

149

, .

: ; .

: . , .,

, a , ,

: y=x2,

y + dy =(+ dx)2 = 2 + 2xdx + dx2, y+y=(x +/=2+2 +2. 2 (y = 2) , :

dy = 2xdx + dx2

y=2xx+xx.

[] , :

dy = 2xdx, y = 2

dy -=2 dx

i_=2x.

(+ a)2 2

\50

2xa. a, [] 2xdx dx 2 , 2, 2 2x.6s dx2 - dx2 . *

- - dx2

, .

2xdx + dx2 2 + , (

) (+ dx)2 (+ )2 , yv y, -= = - = dx , .66

, , a .

: (man ... se/bst) , (, , )

. ,

, , , -

* : (. .).

151

.

2) y y. ' point de depart [ ]

: = + dx. : = + , pma facie [ ] , h. h dx ( ,

) ,

( ' *, ). . 67

a) f(x+h)-f(x) f(x+h)-f(x)

h -

(Bildung). I) [ ] f(x + h)- f(x), , + h , 3 (=y-y, y=f(x)) , ' , , ' ,

f(x)=x3 ,

f(x + h)=(x + h)3 = 3 + 3x2h + 3xh2 + h3 ,

* (. c.).

\52

f(x + h)-f(x)=x3 + 3x2h + 3xh2+ h3 - 3 , . ,

3 = f(x + h)- f(x) f(x), dy. ,

, (Differenzgleichung) . ,

d . ' d d ' ' ' ' ' , y - --: . -

d

, ( + h)

dy y ( ), - --:-. dx

' ' , (Entwicklungsbewegungen) .

, , , f(x + h)- f(x) . (c ) dy y .

2) f(x + h)- f(x) = 3x2h + 3xh2 + h3 h,

f(x + h)- f(x) h

153

f(x + h)- f(x) f(x + h)- f(x)

h - , , dx dy y.

3) f(x + h)- f(x) f(x + h)- f(x)

h - h = = -= ,

' dy ' h ' - = dx

3xh + h2 [], . ,

, : dy

4) - -=32 =f'(). dx [ ] , + h,

(+ h)3 \ 3 + 3x2h + ., 32 h . [] , 32

. f'(x) - 32- h

. , , , dx, dy, , ;

~ ~ - =- ( , - =-), dx dx

\54

, .

' , . Traite des fluides 1744 (. . 15*), . 19 . , ..,

' .

3) . , heorie des fonctions analytiques (1797 1813). ) 2),

y f(x)= ., f(x + dx) f(x + h)( = f(x + )).

, ** , , :

xm+mxm-lh+ ., mxm- 1h mxm- 1

a) + h , f(x + h) (Entwicklungsreihe) 9 ,

, , a , , , (x+h)3

* . 132. ** (yy.c.).

155

- , 3 + 3x2h + . ' f(x + h) ( ) ,

a , --

a-x

a 2 3 --=+-+--+3+ . a-x a a a

I + ., ( + h)

(+h)= h+ h . .

' (+ dx) (+ ) (+ h) f(x + h) y + dy y + y f(x + h). (Gesamtausdruck) ' , ,

yv -vvyv , ' .

b) 1), 2), , h1 I) 2) . '

. , h, h2 ... [ ] v

yyv vv y ( yyv vv

).

\56

, dx,

d . . dy . . y y - dx

d2y , - 2 , -d Y2h2 . '

' (Differentialaquivalenten) - , ' . () + h, h, , .68

'

( , ).

c) , y f(x+h)= . [

y+dy y+y, +dx +, , x+dx, y+dy ], -' f(x + h)

yv vyv - ' , ,

157

, .

'

v v ,69 , ,

f(x + h), f(x+h)

dy d2y h2 d3y h3 d4y h4 =y('fi(x))+-h+--+---+- +.

dx dx2 [2] dx3 [2 3] dx4 [2 3 4] d) -.70

e) f(x + h) ' ' ' dy , - .

dx

. r .71 )

158

111.

c) [ ] 25* - - = .

( , y , - y). - = , ' . , ,

. , 4- 2 4 2. 4-2 = 2 2 (

): a) b) , 4-2=2 4=2+2. 2

2, (einer der Differenzform entgegengesetztefl Form).

a - b = c a = b + c c b, -= =+

.

* . 141.

\59

x-x=x=anything []. , = + ,

- , .

-=, -=. , , .

' (=) , , .

, - -= dx d'abord (' ] dx ,

- = , = + . + = , , . .

d) , ( )11 ' .

: I) - ( - y) , =+ + ,

, , + , v .

'

m . , ,

160

[ ] ( +).

2) = + , - ' , ,

, ,

+ . rs , , (

) ()0 = , (). ()2 . , .

( ()0 = I) (+ )"'.

3) , , , . , (+ h)4, h ,

4 + 4x1h + . 4 1 6 h

, , : (+ h)4 y'

', 4 1 4 , h. ' f(x)= 4, 6: f(x + h) , ,

f(x + ) =(+ )4 = 4 + 4 1 + . 4 (+ h)4 (t ' [ ]

. (+ (

161

(+ ). , f(x) = 4 f(x+h)=(x+h)4, [ ] (+ h)4 4 , = . (+ h)4

( 4) + 4 (+ h)4, [ ) (+ h)4 [ ].

4) : , 4x3h, (fix und fcrtig) 4, 43 ,

f(x + )=( + )4, - v , + .

, f(x + ), y, f(x) , , h ( ) , 9 . , , , f(x + h) ,

.

(Angclpunkt) f(x + h) , -, y- y f(x + h)- f(x) .

5) ' :

f(x + )=( + )4 =4 +43 +622 +43 + \

162

!i: 4 +43 + 622 +43 + 4- 4, 4, - , . - -

. ' . -

43 + 62 2 + 43 + 4 , 4 ' - vv . y - ,

y f(x)=x4 :

dy, y ' v y = 43 + . 6) 43 , a

. .

e) f(x) ( yv ) ( d'abord) -

, '

, . , , y, v

, - - v, - a- . ' - y, ,

.

163

, . , y f(x) = 4 , 4 , 43

, . , y f(x) v , , y vv

, )) v.

, f 1, [ ]

' f', : f(x)=y, a) f()=y, y=f(). f(), f(x).

I y y I

f ()=-, -= f(x),

: y=f1(), y = f(),

f() = f1().

df(x) = f'(x)dx, .

, dy df(x) = f'(x)dx . ' - f'(x) (+ ) (+ dx) .

164

1. , -

))73

( , ) , yv v .

, , (Hauptbasis) - , . , , , xm, a', log , . .74

(Lehrbuch-smode) - .75 , - ,

(Basis) - , . ' .

167

, , , h/6 f(x h), f(x h). , , .

- , ,

, ,

n . . , '

[ ) ,77 .

, .

, ,

, f(x + h). ,

+ h.

: f(x + h)

dy d~y h~ d 1y h1 d~y h~ =y+-h+-, --+-1 --+-~----+.

dx dx- I 2 dx I 2 3 dx I 2 3 4

168

-v: f(x) y

-( )+(~)~+(d2y)~+(d3y)_x_3 +(d4y) - dx I dx2 I 2 dx3 I 2 3 dx4

----+. 123 4

, , y,

. , .

11

- .

y= f(x)

dy I d2y 2 y=f(x+h)=f(x) y+-h+--h +. dx 2 dx2

[ I ] d"y + -h"+ . I 2 3 ... dx"

= f(x + h), , y f(x)

d d2 , , , , , , -, - 2 , ., -d dx

169

,78 :

f(h)=(y)+(~)h +( dz~)~+( d3~ )-h-3 -+ :. dx dx I 2 dx I 2 3

y=f(x+h)=f(O+h) h y = f(x) . h f(h), : f(x) : (y)

( :~ ) , : . h : , :

f(x)=(y) f(O) +(~)x+(d2~)~+ :. dx dx I 2

+(d"~) __ _" __ + :. dx 2 3 ... , ,

3 f(x) = f(O) + f'(O)x + f"(O)- + f'"(O) --+ :.

12 12 3

f(x) (c + x)m: (c +O)m = f(O)= cm

m( c + O)m- I = mcm- 1 = f'(O)x :. , , :- : . [ ] failures* [:]

, : : u. -

* .

170

a a- .79

: , Arithmetica Uniersalis, - . - - ; : (Aneignung) . a , -. ' , , - - , ' - - . '

- , -

, - (Anlass) - , -

- _ , - , ( n der gewhnlichen Algebra himmelweit erschiednen).

- - , , , - , , -

171

xy - .

,

-. , (auf strikt a/gebraische Basis).

' [John Landen], 18 Residual Analysis. ' [] .

111. p

(Be-grndung)

. :

f(x+h)=y f(x)+Ah+Bh2 +Ch3 + . :

I) a . f(x + h) .

, f(x + h) [ ] , h. f(x + ) rn> ,

. ' +.))

. , -

172

- 80

- f(x), f() f(x + h).

2) , [] h

, [] h . ' . ( ),

, , . , h

.81 - f(x + h) f(x) y, ' , ,

. , , ,

dy d2y 2 y=y+-h+-2 h +.

dx dx

, , ' :

dy d2y 2 y=y+-h+-2 h +.

dx dx

. ' .

173

[\ (begrndet die Ausgangsg/eichung a/gebraisch)

yv , , .

) I) ,

, ,

, . ' . (+ h) h,

' [ ] (Taufname) .

( .) ' ,

. 2) , , a , -

, , , ( dy ) , - =- dx , . , ' >>

, .

174

: : : :, .

, va ,

: (failures))*) , .

, : , : :

y=f(x) [] y=f(x+h),

,84 f(x) , . ' = f(x + h)

, , : : , . f(x + h), y+ Ah + Bh2 + + Ch3 + ., ,

. . : , : , y un fait accompli [ ], a-, prima facie [ ] , y = f(x) = f(x + h) .

, f(x+h)=y f(x)+Ah+Bh2 +Ch 1 +Dh4 +Eh'+ .

* .

176

a, , , , - , , , y yv. ,

. , - ,

85 -

p , (Operationsformel) ,

, [ ] , - , .

(Ba-.'>i'>) . ,

: .~

lu.'>U.'> h:'>tori -- . .J , (+ a) (+ h) , ,) '> a -

177

( Ge-waltstreich ), ; : -=d, = + dx. , , (+ dx) -

-= h ( =+ =x+h). , . ,

d d2 '' ' ' -, - 2 , ., dx dx

d d2 , ' , , , -, - 2 , ., o-

dx dx

; yv, , (schesst sich direkt a Taylor's Theorem a),

, -

-=d, y,-y=f(x+h)-f(x), , , yy

. [ , , , , , , : ].

17

'f Nr'

11) -=h. : I) (- )(~ + +x2)=h(x~+ +\ 2) :

y-y 2 2 --=++. h I) h yy, f' , f.

h ~, dx

y y 2 2 - -=++ h

., . lc),

f(x+h)-f(x) , y-y 2 2 __:__...:.h_...:....::... -h-= 3 + 3xh + h ,

h , 3xh + h2,88 32 , :

, , - , , 3 2 + 3 h + h2 -- , h ,

. h =, 32 . 32 3 = f'(x). f'(x) ' f"(x)

( = 6) ., f'(x) 32 = f(x)=x3 f(x) , ' . ' , , , , , ,

. .

, , , . , h ,

-y y-y ---- ---

h - -,

. - ."

183

, , y-y , dy -- -=-, h dx

, , , , , y-y , --, h .92

, , , y-y , y-y , ' -- --

h -

- ,

, , -

( Wertausdruck) ~ ( dy ) dx 32 , f'(x).

~( ~)=f'(x) dx . (Grenzerhiiltnis),

6 (Aquivalentverhiiltnis). -=2,

3

6 6 2 -, - 2.

3 3

= .

r .; . (missdeutet). 93 -- h = -

184

-- .

., !i .

185

"

' -.94

) f(x) y=x3 a) f(x+h) y=(x+h)3 =x3 +3x2h+3xh2 +h3 b) f(x+h)-f(x) y-y=3x'h+3xh2 +h3

fi(x + h)- fi(x) y - c) __=3x2 +3xh+h2

h h

h=O: dy

d)- -=3x2 =f'(x). dx

11) f(x) y=x3 a) f() =~. b) f()- f(x) - y =~- 3 =(- x)(xf + + \

f(x)-f(x) . -y 2 2 c) --= ++.

- -

=, -=, :

186

. , [] y. . , -= = = h ( ,

).95 h, a) =.+ b) + +h=.

a), - h ( : , h)

, h. , ' , , ' . ,

, + , [ f(x + )] y =.

(+ ) (+ dx) , , + . 96 , , + dx + . dx a priori_ [ ]

, .

' (x+dx), (+ ) (+ h). h dx, ( das ist auch allc Entwicklung dic wirklich vorgcht).

187

( +dx) (+ h),

- (+ h)3 Ia) 3- dx h , . [] ( be-haftet) .

Ia) yy 3, 32, , h. 32 = f'(x) . ,

+=+h, h. f'(x) h .

Ila) , ' 3 ~. f'(x) , .

lb) f(x + h)- f(x) - y . , [ ] , h.

Ilb) . [ ] , (- ) ,

188

~- 3 - . ~- 3 .

-=h,

~- 3 h(xf + + 2). a Ib). h , yv

ccc yyv ~- 3 , h Ia),

. h , 1), 11) a ( - = h). , , h ) , c

c v .

lc), f'(x) -, h ' , ' , - , . --

h

f(x + h)- f(x) , , , --'------,

h . ,

f( + h)- f(x) , h = -

h

' dy , , ' ld) - =-, , dx f'(x),

189

- la), - .

, ' .

f'(x) = 32, Ia) , - . - h - = - .

Ilc) , ccc yy - (= h).

, Ild), c yy = . =, , - -= - -y , , , dy -- - -.

- dx ) - =

h =, . f'(x), - , - , coup d'etat [].

190

J Nf' 97

' :

a) f(u)911 y = 3u2, b) f(x) u=x3 +ax2

y=3u2, () f(u) = 3u2 (la)

f(u + h)= 3(u + h)2, f(u + h)- f(u) = 3(u + h)2 - 3u2

(2) ( yy , h vc ),

f(u+h)-f(u) 6u +3h.

h f'(u) = 6u, (2), h .

f(u+O)-f(u)

6u,

y,-y . . dy --, -=-=6u. u,- u du

191

u b),

dy -= 6(3 + ax2). du

y a) u, (u -u)=h h=(u-u) u .

: dy 3 2 -=6( +ax ). du

( f(u) y=3u2.) [ b) , ] b) f(x) u=x3 +ax2,

f(x+ h)=(x+ h)3 +a(x+ h)2,

f(x + h)-f(x)= (+ h)3 + a(x + h)2 - 3 - ax2 =3 + 3x2h + 3xh2 + h3 {- 3

+ ax2 + 2axh + ah2 - ax2

= (32 + 2ax)h + (3 + a)h2 + h3, f(x + h)- f(x) 32 + 2ax + (3 + a)h + h2

h

h=O : . du 2 - -=3 +2ax. dx

f(x + h)= (+ h)3 + a(x+ h)2,

192

3 + ax2 + (32 + 2ax)h + (3 + a)h2 + h3 h. f(x) f(x + h) 3 + ax2 (+ h)3 + a(x + h)2 , + h, + h , , ( behaftetes) h ( und fertig) u, f'(u).

f'(x), , h .

f(x + h)- f(x)

. h : , f(x), =f(). ,

, 3 +ax2, (+ h)3 + a(x + h)2 .

. a) : dy -= 6(3 + ax2), du

b): du -=3x2 +2ax. dx

193

, dy , du , , , - -, du dx ,

dy du dy --=-

du dx dx '

dy du , -- du dx' dy

-= 6(1 + ax2) (32 + 2ax) dx , , :

dv df(u) du df(x) y=f(u), d~ =~, u=f(x), d;=d >

dy du , dy df(u) df(x) -- -=----. du dx dx du dx h = u - u a)

l1 =- b), :

y f(u)=3u 2, l{u + (- u))= 3(u + (u- u))2

= 3u2 + 6u(u- u) + 3(u- u)2, f"(. + (u- u)) -l{u) = 3u2 + 6(u- u) + 3(u- u)(u-u)- 3u2,

on :: f( + (u- u))- f(u) = 6u(u- u) + 3(u- u)2,

f"(u +(u- u))- f"(u) 6u+3(u-u). u-u

[\ i u - u r ro =, dv -- = 6u -+ = 6u . du

194

, f(u) f(u +( - u)),

, , ( - u) h , . ,

3 + ax2 (+ h)3 + a(x + h)2

(+ (- ))3 + a(x +(- ))2, ( -) , h

, h - .

: I) ' - = h h =- , , f(x + h) f(x +(- )) , 3u2 ,

. ' h (- ) . a h -, .

-= , (- ) .

( ~) [ ] [ ] -, a

- .

\95

(Mittelprozedur), ,

f(x+h)-f(x) f(x+(x-x))-f(x)=[ ... ]. '

(Zweck) , [] f(x + h)

f(x) . [ f(x)]

. , ,

(+ h)3 +a(x + h)2 -x3-ax2, 3 ax2 (x+h)3 +a(x+h)2,

h (- ), .

' , , , h. h2 . (- )2 . ,

- , h.

2) f()- f(x).= . ,

f(x) u=x3 +ax2, f() U~x{+axf. (Anwachs) f'(x).

f()- f(x) u- u ={+ axf- (3 +a!). ' , xt + axi

196

3 ax2 , (Entwicklungsmoment)

[] . ,

=(xt- 3)+ a(x~- \ - - , : f(x)-f(x) u-u=(-)(2 ++2)

+ a( - )( +). - , :

f(x)-f(x) u-u 2 2 _;__-'--------'---'- --=(+ + ) + a( +).

- -

. .

= ,

-=

:

:

' ' =-, ,

= -.

(xi + + 2)= 32 += + =2,

a(2x)=2xa.

[ ] df(x) du

dx dx , = - = . =

.

197

= -= ' -

~ ~ . dx : yy . , =. = -= , =,

, , - = , .

3) , (

, -= h), , [] [] ,

, ' , .

[ ] ,

, ,

-

, , (

) > ( ) .

, () ,

, . , a , .

, f(x), (a, b), , +a:

I. a, f(x) a

a:::;:::;. ) f(a) .., ' ,

, a

, f(a), f(a). -

32 32, h ,

, a, f(x) - a f(a), f(a), a, .

, f(a) f(x), - a, ( (a- k, a + k)) f(x) a, f(a), .

. f(x), - a,

, x=a.

f(a) f(x), ,

, a . , ,

' ' ' ' .. ' y

, .

y, y==, . . 66 18.

' .

'' ' , :

,

'

' -- " ( / -- vy. . , . I, ). , a

. a , ; , , , - a

, =, ax=oo, - .

( , , a ), a + b , , b .

, ax+b b ---, - bx+a a

a , -

b b

a+- __ _ .

a b+-

x

a b . , ,

, -

)) ,

. ' ~ :

)) )) , -

' ' ' ' -- --, .

. ,

-=-=- =. ()

' ~ , -= I

=, -=0 =,

-= = -= = . ,

(I)- , , -

' ' -- .... .

a-

, , ,

. (. . VII),

209

, , , ,

, )) (. 2-3).

,

y =(, ) ( y=f(x))

~=f'(x) , dx

:

~ ~, (, ) f'(x). dx

. y . - ' (2) - - -- - h

- -

0

' dy ' ' ' ' - I -. , --= dx h

, : h , 6. ,

- dy dy 6 ----- -. - = I.

h dx dx

> dy = dx)) (. 6).

21

. , y = b,

dy . . . . . -= , : (( o-dx

)) ( .. 6). . . . --

-0, , . , (( )) (. 24). , :

< < (<

-, ,

)) ,

' , . , "" " ", ( 90-92).

, ,

,

, ' Trate , 1810.

,

, , c'cst-a-dirc dc la

qu s' obscrvc dans la dcscripton dcs lgncs par lc mouvcmcnt, ct d' apres laqucllc lcs ponts consecutfs d' unc memc lignc sc succcdcnt sans aucunc ntcrvallc)) (. XXV), (((, [],

))).

, , lus l st pctt, plus on sc rapprochc dc la dont l s' agt, a laqucllc la lmtc sculc convcnt parfa-

213

tement)), (.. , ))). employer Ja methode des lmiteS)) (. XXIV), )) .

)) a I' exclusion de tout limite, soit en grandeur, soit en petitesse, ce qui n' offre qu' une suite de negations, et ne sourait jamais constituter une notion positive)) (. 19 ((Q ,

))). : ((/' infini est necessairement ce dont on affne que Jes limites ne peuvent etre attentes par que/que grandeur CO9CVab/e QUC ce soit)) ((( , ). , :

.

:

ax (( -- o-

x+a

. ,

a a +

a, -

214

a , -

. a

ax a2 a---=--

x+a x+a

, , yv

, . a :

a a --

x+a

. [ ]

(. 13-14). , :

.

, , , . , . .

. , . 6 .

,

215

, yy , , .

cc>> - ,

, 'y

, - , , .

, - , , , , .- , , cc , [] , " " (. 123). , cc)),

,

( Oeurcs Lagrangc, IX, , 1881). ' a

, , , (. 16):

((Mais il fiut convcnir quc ccttc idec, quoiquc just cn cllc-me-mc, n' cst pas asscz clairc pour scrvir dc principc a unc scicncc dont Ja ccrtitudc doit etrc fondec sur I' cvidcncc, ct surtout pour etrc prcscntec aux commcn9

. ,

, ). ( >) .

218

11

J

r;~'v :; , f'F'

, , , . ,

, , . ,

. ( ).

. . )) (Sir Isaac Newton, Mathe-matical Principles of Natural Philosophy, . Andrew Motte, . Floon Cajo, , . .

, 1934, . 38-39).

, to)) ,

. ,

, , , , (( , , )), , .

(

220

, ' : y t : , y t, , ,

, .* 11 Principia mathematica

)), ()))- ' .

' a .

() -1 : --a f(t) to,

2

I -- b g(t) to, a

2 b f g [to, t]. ( f g r.) f(t) g(t)

[to, t] :

Ab + Ba, ())) f g to. Ab + Ba f(to) g + g(to) f,

(r(to) ++f) g + (g(to) ++g) f , f(to) g + g(to)f f g . , , Ab + Ba f(to) g + g(to) f,

' . (. . . . 132),

-

222

. , ' , 11 .

11 Principia, .

, to, , ,

, ' , , ,

. ' Principia: , '' ,

(. . 131 132).

I : ,

, ' (Newton, Princpia, . Flo-rion Cajori, . . , 1934, . 29).

, , ,

. .

223

)) .

, , - - a c , , , .

224

111

V

. . dy . . . - dx

y , -, , -

du dv du - - :/ )) - ))

dv dx dx

dv - .

, , 111 y )).

y 1755. 1,

225

: >> , (dy, dx ) ,

, , dy , ~( ) ' , -, y = 11 , -d

f'(x) .

a (, , - ).

.>

> ( >> [] 9 . , y,

-, 1949, . 90).

a , .

a ,' . , , , , , , . , a , : . ,

' ~ (. 91).

226

,

, ' ,

, dx dy, ,

f'(x), ~=f'(x) dy=f'(x)dx, dx

. , , , , . dy dx f'(x) - -

[ ~: f'(x), y = f(x), dx

f'(x)=O]- , :

dy: f'(x) dx = ( :~ }: f'(x) = I, , , dy f'(x)dx ~> .

,

( :~} = f'(x) dy = f'(x) dx,

, ( ) > dy dx ( ),

dy dx ( >

). ' (.., . 147).

, (:

228

. . Yushkevich Euler und Lagrange ber die Grundlagen der Analysis [

- ], Sammelband zu Ehren des 250 Geburtstages Leonhard Eulers,

, 1959, . 224-244. - - .

. , , , : w , [ y y

, ] Pw+Qw2 + Rw3 + .* Qw2, Rw3 , ,

Pw. -, Pdx, , , ,

Pw , )) (.. . 105). , - y (, Pdx, y ) dx, ,

* y

(-] w dx, , .

( 2768, . 297 [

]). ,

. '

. , "" ,

' a (. 103). :

, ( ) , )) , y ... )) (,

) , y ... ( ))). ' (. 78)

, )), . , , , y y, u , z )) (. . 135).

(. . 52).

231

IV f

(. . 84).

(. 172),

)), ' .

, v .

, ' : (. 128, 2 .) Treatiseo ( , . 239-240) - , . . : [ ] . , 18 . v ,

232

' -

f(')-f() ,

'-

' = , '- )). ( :

,

)). , , )) . ~ , ' (a)

vr (v yl( , , ,

, ( , , ). ;i , )), 1 a a l( q , (

) : ( ) (. IV). , -.: , ( ) , (. IV).

a'-b' ---=ar-1 +a'-2b+ ... +br-1 a-b

(I)

234

( r ) * '

W W ]2 W ]m- !!! !!! +-+- + ... +-'-w' !!!- ---=' ___ _:_ _ _:_:._ __ ___:-=----+ :JT+ :(~ + ... + :J(r-!)m

(2) v-w

W W ]2 W ]m- !!! m m +-+- + ... +-_v_'_-_w __ ' = -v -. w -, ___ ....:. _ ___:_ ____ ....:. ____ (J)

+ :J + :(~ + ... + :(-,)m v-w ( m r ),

( )

-

=. ,

* (2) ( I) :

(3) (2)

vT-wT (vw)!f(vT-w-i!) m m wr-vr (w)(w-)

235

xP-xf = , -

(1). (2) (3).

[x-y]

I + I + I + I + ... (14142 ... ) I + I + I + I + ... ( ... ) v. [ ] 1,4142 . ( ) (. 8).

v . ,

, ( ) (

) . , , ' ( ) , .

,

, . , , , . , , ' , ( ) , a ( ). , >>, , ( , , -

237

}. > > , ( ), .

( } .

,

. , ( } I ,

, I, 2 ... 9, , , ( } ,

() - . ( 1 1 _

, . , , I ++ 2 + ... +"+ ... -

--

-

I I- .) f(x)

, , :

, ( ). ' v .

, , , , .

238

v, , , - ( ).

( ) .

' , - (., , . 167, 175),

.

(I)

p , 2 ... . = , =aP. (I) ( , , ', r )

(2)

(\) p (2) (a +),

p(a +xf=pA +pA2x+pA3x2+ ... , (I')

2aA3 } 3aA4 } 2 p(a+x)P=aA2+-- +-- + ... , 2 23

(2')

239

, p(a +) ,

a = = R_ = a- , a

- 2aA3 += p 3 =--

2a

p(p-I) p-2 2 a ,

' p-2 3aA4 + 23 = pA3 4 = --3 =

3a

=p(p-I)(p-2) ap-J

23

( + ) p + - + p(p - ) - 2 2 + a =a -a a 2

+ p(p-I)(p-2) p-.1 .1+ a ... I? 3

. ' - ( ' )

-- .

(. 45) , . , :. : Traite ( , . 240)

imitation a I' algebre [ ] ~ -

240

. .

, Theore des fonctons analytques Trate. ,

, : , , , , . ,

, . , , a ,

, . , a ,

. , ,

, . ( ' '