1
Министерство образования Российской Федерации. Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра «МЕХАНИКА»
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Данное пособие входит в серию электронных учебных по-
собий по теоретической механике, разрабатываемых на кафед-ре механики СамГТУ.
Пособие предназначено для самостоятельного изучения студентами темы «Динамика материальной точки».
Зав. кафедрой – д.т.н., проф. Я.М.Клебанов, Разработчики – Л.Б.Черняховская, Л.А.Шабанов. Самара – 2008.
2
Основные законы динамики материальной точки.
Дифференциальные уравнения движения. Динамика изучает движение материальной точки в зависимости от при-
ложенных к ней сил. Основные законы динамики материальной точки сфор-мулированы Ньютоном.
Материальная точка - это модель материального тела любой формы, размерами которого в конкретной задаче можно пренебречь.
Первый закон динамики (закон инерции): материальная точка при
отсутствии внешних воздействий сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока приложенные к ней силы не изменят этого состояния.
Движение, совершаемое точкой при отсутствии сил, называется движе-
нием по инерции. Свойство тел сохранять свою скорость неизменной назы-вается свойством инертности. Количественной мерой инертности матери-альной точки является ее масса.
Инерциальной называется система отсчета, в которой справедлив закон инерции.
Реально система отсчета будет считаться инерциальной в результате опытной проверки выполнения в ней закона инерции. При решении боль-шинства технических задач за инерциальную можно принять систему отсче-та, связанную с Землей.
Второй закон динамики (основной закон): в инерциальной системе
отсчета произведение массы материальной точки на вектор ее ускоре-ния равен вектору действующей на точку силы.
Fam = (1) Если на точку одновременно действует несколько сил, то они будут эк-
вивалентны равнодействующей, равной геометрической сумме приложенных сил, тогда
∑= kFam . Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат:
∑ ∑ ∑=== .,, kzzkyykxx FmaFmaFma (2) Положение точки в декартовой прямоугольной системе координат оп-
ределяется уравнениями ).(),(),( tzztyytxx ===
3
Проекции ускорения точки на оси координат равны
.2
2,, 2
2
2
2
dt
zdzyx a
dtyda
dtxda ===
Подставим в уравнения (2) значения проекций ускорения точки на оси
координат и получим дифференциальные уравнения движения точки:
∑ ∑ ∑=== kzkykx Fdt
zdmFdt
ydmFdt
xdm 2
2
2
2
2
2
,, , (3)
где x, y, z – координаты движущейся материальной точки, Fkx, Fky, Fkz - про-екции приложенных к этой точке сил на оси координат.
Задачи динамики точки
С помощью дифференциальных уравнений движения материальной
точки решаются две задачи динамики. В первой задаче по заданным массе точки и ее уравнениям движения
требуется найти действующие на нее силы. Вторая (основная) задача динамики заключается в том, чтобы,
зная массу материальной точки и действующие на нее силы, определить движение этой точки.
Для решения первой задачи динамики по заданным уравнениям дви-жения точки )(),(),( tzztyytxx === определяют проекции ускорения на соответствующие оси координат, а затем по уравнениям (1.3) находят про-екции равнодействующей сил, приложенных к материальной точке.
Решение основной задачи динамики точки.
Определим движение точки по действующим на нее силам. Запишем дифференциальные уравнения движения точки
∑ ∑ ∑=== .,, 2
2
2
2
2
2
kzkykx Fdt
zdmFdt
ydmFdt
xdm
Если принять обозначения
,,,,,, 2
2
2
2
2
2
zdtdzVy
dtdyVx
dtdxVz
dtzdy
dtydx
dtxd
zyx &&&&&&&&& =========
то дифференциальные уравнения принимают вид
.,, zyx FzmFymFxm === &&&&&&
4
В общем случае правая часть каждого дифференциального уравнения
представляет собой функцию нескольких переменных, так как действующие на точку силы могут зависеть от положения точки (координат x, y, z), ее ско-рости, определяемой проекциями на оси координат zyx &&& ,, , и времени t, т.е.
).,,,,,,(
);,,,,,,();,,,,,,(
tzyxzyxFzm
tzyxzyxFymtzyxzyxFxm
z
y
x
&&&&&
&&&&&
&&&&&
=
==
(4)
Неизвестные в этих уравнениях - координаты движущейся материаль-
ной точки, являющиеся функциями времени: ).(),(),( tzztyytxx === Для их определения необходимо проинтегрировать систему получен-
ных трех дифференциальных уравнений второго порядка, что представляет подчас значительные трудности и не всегда может быть выполнено в квадра-турах. В таких случаях задача решается численными методами, которые ле-жат в основе имеющихся компьютерных программ.
Так как система состоит из трех дифференциальных уравнений второго порядка, то решение этих уравнений будет содержать шесть произвольных постоянных интегрирования:
).,...,,,(),,...,,,(),,...,,,(
621
621
621
CCCtzzCCCtyyCCCtxx
===
(5)
Найдем проекции скорости точки на оси координат, продифференци-
ровав уравнения (5):
).,...,,,(
),,...,,,(),,...,,,(
621
621
621
CCCtzzV
CCCtyyVCCCtxxV
z
y
x
&&
&&
&&
==
====
(6)
Для определения постоянных интегрирования необходимо задать на-
чальные условия движения точки, т.е. для момента времени t = 0 следу-ет указать начальное положение точки, определяемое тремя координа-тами, и скорость точки – тремя ее проекциями на оси координат.
Начальные условия: t = 0, x = x0, y = y0, z = z0 , Vx= 0x& , Vy = ,0y& Vz = 0z& .
5
Подставив в уравнения (5) и (6) начальные условия, получим систему шести алгебраических уравнений, неизвестными в которых являются посто-янные С1, С2,…С6:
).,...,,,0(),,...,,,0(),,...,,,0(
6210
6210
6210
CCCzzCCCyyCCCxx
===
(7)
).,...,,,0(
),,...,,,0(),,...,,,0(
6210
6210
6210
CCCzzV
CCCyyVCCCxxV
zо
yо
xо
&&
&&
&&
==
====
(8)
Решив систему алгебраических уравнений (7) и (8), определим по-
стоянные интегрирования, найденные значения постоянных С1,С2,…,С6 под-ставим в выражения (5) и (6) и получим уравнения движения точки, соот-ветствующие начальным условиям задачи, и проекции скорости точки на оси координат в зависимости от времени:
)(),(),( tzztyytxx === , ).(),(),( tVVtVVtVV zzyyxx === Рекомендации по решению задач 1. Установить, какие силы действуют на материальную точку, и пред-
ставить каждую силу в векторной форме. 2. Выбрать систему координат, начало которой следует совместить с
известным по условиям задачи положением точки, которое она зани-мала в определенный момент времени. Оси координат следует выби-рать так, чтобы было удобно проектировать на них векторы сил, ско-ростей и ускорений.
3. Записать в выбранной системе координат начальные условия движе-ния точки.
4. Изобразить движущуюся точку в произвольном положении так, что-бы ее координаты были положительными.
5. Изобразить все приложенные к точке активные силы и реакции свя-зей.
6. Составить дифференциальные уравнения движения материальной точки.
7. Проинтегрировать дифференциальные уравнения. 8. Определить по начальным условиям движения постоянные интегри-
рования.
6
Составление дифференциальных уравнений
Левая часть каждого дифференциального уравнения независимо от вы-
бранной системы координат и действующих на материальную точку сил представляет собой произведение массы точки на вторую производную по времени от соответствующей координаты. Правая часть каждого уравнения является суммой проекций всех сил, приложенных к точке, на соответст-вующую координатную ось.
Составление дифференциальных уравнений сводится к определе-нию проекций всех приложенных к точке сил на выбранные оси коорди-нат.
Сила является векторной функцией, модуль и направление которой могут меняться в зависимости от времени, положения точки и ее скорости. В общем случае, модуль и направление силы зависят от семи скалярных пере-менных: времени t, координат точки х, у, z и их производных по времени
zyx &&& ,, . Можно указать три простейших типа переменных сил: а) постоянные силы и силы, зависящие от времени; б) силы, зависящие от скорости материальной точки; в) силы, зависящие от положения материальной точки. Чаще всего на материальную точку действуют одновременно несколько
различных сил. Примеры составления дифференциальных уравнений
1. Пусть действующая на материальную точку М сила (рис.1.1) за-дана формулой: ktjitF 2842 −−= , где kji ,, - единичные векторы вы-бранных координатных осей.
Так как в общем случае kFjFiFF zyx ++= , то проекции силы на оси координат будут равны
,2tFx = ,4−=yF .8 2tFz −= Дифференциальные уравнения
точки в данном случае принимают вид
,22
2
tdt
xdm =
42
2
−=dt
ydm ,
.8 22
2
tdt
zdm −=
k F
M (x,y,z)
x
y
z
x y
z
i j
Рис.1
О
7
2. Пусть на точку действует сила сопротивления R , пропорциональная скорости точки и направленная противоположно вектору скорости (рис.2). Такая сила может быть представлена в виде векторной формулы
VkR −= , где k-коэффициент пропорциональности, V - вектор скорости точ-ки.
Найдем проекции этого векторного равенства на оси координат:
dtdxkkVR xx −=−= ,
dtdykkVR yy −=−= ,
dtdzkkVR zz −=−= .
Если на точку, кроме силы R , дей-
ствует сила тяжести gm , то уравнения движения запишутся в виде
,2
2
dtdxk
dtxdm −=
,2
2
dtdyk
dtydm −=
.2
2
dtdzkmg
dtzdm −−=
3. Пусть сила сопротивления (рис.2), действующая на точку, пропорцио-
нальна квадрату скорости точки R = kV2 и направлена в сторону, противо-положную вектору скорости: VR ↑↓ . Векторы R и V направлены по каса-тельной к траектории точки, следовательно, ττ 2kVR −= , где τ - единичный вектор касательной в данной точке.
Сила тяжести вертикальна и равна .kmgG −= Заменим RR =τ , VV =τ , тогда VkVkVVkV −=−=− ττ2 . Следовательно, VkVR −= . Проекции этого векторного равенства на оси координат будут равны ,xx VkVR −= ,yy kVVR −= .zz kVVR −= Модуль вектора скорости 222
zyx VVVV ++= , проекции скорости на оси координат
.,, zdtdzVy
dtdyVx
dtdxV zyx &&& ======
Тогда, проекции силы сопротивления на оси координат будут равны:
k
R M(x,y,z)
x
y
z
x y
z
i j
τ V
Рис.2
mg
О
8
,222 xzyzkRx &&&& ++−=
,222 yzyxkRy &&&& ++−=
zzyxkRz &&&& 222 ++−= . Следовательно, дифференциальные уравнения c учетом силы тяжести
будут записаны в виде =xm && ,222 xzyzk &&&& ++−
=ym && ,222 yzyxk &&&& ++−
=zm && zzyxk &&&& 222 ++− - mg. В том случае, когда начальная скорость точки направлена вертикально,
движение точки окажется прямолинейным, т.е. 0,0 == yx && . Такому движению будет соответствовать одно дифференциальное уравнение:
=zm && .2 mgzk −− & 4. Пусть на точку (рис.1.3) дейст-
вует центральная сила Q , обратно пропорциональная расстоянию до центра О, и направленная к этому центру, т.е. 2r
fQ = , rQ ↑↓ , где r -
радиус-вектор, соединяющий точку М с центром О, f – коэффициент про-порциональности.
Представим силу Q векторной формулой
erfQ 2−= ,
Где e - единичный вектор вектора r . Умножим и разделим левую часть этого равенства на r, получим
errfQ 3−= .
Заменим rer = , тогда .3 rrfQ −=
Проекции этого векторного равенства на оси координат
,33 xrfr
rfQ xx −=−=
k
Q
M(x,y,z)
x
y
z
x y
z
i j
Рис.3
r
e O
9
,33 yrfr
rfQ yy −=−=
zrfr
rfQ zz 33 −=−= .
Модуль радиуса - вектора 21
222222 )( zyxzyxr ++=++= . Тогда проекции силы Q на оси координат будут равны
2
3222 )( zyx
fxQx++
−= , 2
3222 )( zyx
fyQy++
−= , 2
3222 )( zyx
fzQz++
−= .
Дифференциальные уравнения движения точки записываются в виде
,)( 2
3222 zyx
fxxm++
−=&& ,)( 2
3222 zyx
fyym++
−=&& 2
3222 )( zyx
fzzm++
−=&&
Прямолинейное движение материальной точки Прямолинейное движение свободной материальной точки возможно в
случае, когда равнодействующая приложенных к точке сил и ее начальная скорость лежат на одной прямой.
Прямолинейное движение несвободной материальной точки обуслов-лено наложенными на нее связями.
Прямолинейное движение под действием постоянной силы Выберем прямую, по которой движется точка, за ось х. Равнодейст-
вующую всех приложенных к точке сил обозначим F. Дифференциальное уравнение движение точки будет иметь вид
constFdt
xdm ==2
2
,
Заменим dt
dVdt
xd x=2
2
, получим уравнение первого порядка
Fdt
dVm x = .
Умножим обе части этого уравнения на dt, т.е. разделим переменные FdtdVm x = .
10
После интегрирования получим .1CtFmVx += Подставим в это уравнение начальные условия t = 0, Vx = V0, тогда С1 =mV0.
Следовательно, 0mVtFmVx += .
После замены dtdxVx = , получим
0mVtFdtdxm += .
Разделим переменные, умножив полученное уравнение на dt: dtmVtFmdx 0+= . Проинтегрируем
10
2
2CtmVtFxm ++= .
Подставим в это уравнение начальные условия: t = 0, x = x0, найдем С2 = mx0.
Окончательно, уравнение прямолинейного движения точки имеет вид
.2
2
00 mFttVxx ++=
Следовательно, прямолинейное движение материальной точки в данном
случае является равнопеременным. Прямолинейное движение по наклонной плоскости.
Груз скользит (рис.4) по наклонной плоскости под действием силы тя-
жести, коэффициент трения скольжения равен f, масса груза m, начальная скорость груза равна V0. Определить движение груза по наклонной плоско-сти.
Выберем начальное положение груза на на-чало отсчета оси х, которую направим вниз по на-клонной плоскости. Начальная координата хО= 0.
На груз действуют сила тяжести gm , нор-мальная реакция N , сила тренияF .
Дифференциальное уравнение движения гру-за
Fmgdt
xdm −= αsin2
2
.
mg
N F
y
x
O
α
Рис.4
11
Сила трения равна F = fN, нормальная реакция αcosmgN = , тогда αcosfmgF = .
Дифференциальное уравнение после сокращения на m принимает вид
αα cossin2
2
fggdt
xd−= .
Заменим 2
2
dtxd на
dtdVx , получим
αα cossin fggdt
dVx −= .
Разделим переменные, умножив обе части уравнения на dt:
dtfggdVx )cossin( αα −= Проинтегрировав, найдем 1)cos(sin СtfgVx +−= αα . Подставив в это уравнение начальные значения t = 0, Vx =V0, получим
С1= V0. Следовательно, 0)cos(sin VtfgVx +−= αα .
Заменим xV = dtdx , получим
0)cos(sin Vtfgdtdx
+−= αα .
Для разделения переменных умножим обе части этого уравнения на dt: dtVtdtfgdx 0)cos(sin +−= αα . После интегрирования
20
2
2)cos(sin CtVtfgx ++−= αα .
Подставив в это уравнение значения t = 0, x0 = 0, найдем С2= 0. Окончательно,
tVtfgx 0
2
2)cos(sin +−= αα .
12
Движение под действием силы, зависящей от времени. Пусть на материальную точку действует сила )(tFF = , параллельная
начальной скорости точки 0V . Движение точки будет прямолинейным. Дифференциальное уравнение движения груза имеет вид
)(2
2
tFdt
xdm x=
Решение этого уравнения выполним в два этапа. Сначала сделаем за-
мену dt
dVdt
xd x=2
2
и получим дифференциальное уравнение первого порядка, в
котором неизвестной функцией будет проекция скорости xV на ось х:
).(tFdt
dVm x
x =
Умножив обе части уравнения на dt, разделим переменные: .)( dttFmdV xx =
После интегрирования получим
∫ += 1)(1 CdttFm
V xx .
На втором этапе заменим dtdxVx = и снова получим дифференциальное
уравнение первого порядка теперь уже относительно координаты х.
11 СФmdt
dx+= ,
где ∫= 1)( dttFФ x .
Снова разделим переменные:
dtCФm
dx )1( 1+= ,
Проинтегрируем обе части этого уравнения и получим зависимость коорди-наты х от времени
∫ ++= 211 CtCФdtm
x .
13
Для определения постоянных С1 и С2 подставим в уравнения для х и xV
начальные условия движения точки. Движение под действием силы тяжести и силы сопротивления Сила сопротивления пропорциональна скорости.
Пусть точка из состояния покоя движется вертикально вниз под действием силы тяжести gm (рис. 1.5) и силы сопротив-ления VkR −= .
За начало оси z, направленной вертикально вниз, выберем начальное положение точки, тогда при t = 0, z0 = 0, 00 =z& . Составим дифференциальное уравнение движения точки
zkVmgdt
zdm −=2
2
.
Заменим dt
dVdt
zd z=2
2
, сократим на m и, обозначив k/m = n, получим
zz nVg
dtdV
−= .
Для того, чтобы разделить переменные в этом уравнении, умножим обе
части уравнения на dt и разделим на множитель ( zkVg − ), после чего полу-чим
dtnVg
dV
z
z =−
.
1СdtVgn
dV
z
z +=− ∫∫ .
После интегрирования 1)ln(1 CtnVgn z +=−− .
Подставим начальные условия:t = 0, Vz = 0, получим, gn
С ln11 −= .
Тогда gk
tnVgn z ln1)ln(1
−=−− .
Преобразуем полученное уравнение:
R
М
mg
O
z
z
Рис.5
14
ntgnVg z −=−− ln)(ln( , ntgnVg z −=
−ln , откуда ntz egnVg −=
−.
Следовательно, скорость точки
)1( tnengVz
−−= .
Как следует из полученной формулы, скорость падения убывает и при
t→ ∞ принимает максимальное значение Vz = g/n =mg/k . Для того, чтобы найти уравнение движения точки, заменим
dtdzVz = ,
получим дифференциальное уравнение первого порядка относительно пере-менной координаты z:
)1( nteng
dtdz −−= .
Для разделения переменных умножим обе части этого уравнения на dt,
получим
dtengdz nt )1( −−= ,
2)1( Cdtengdz nt +−= −∫∫ .
Откуда 2)( Cn
etngz
nt++=
−
.
Подставим начальные значения t=0, z = 0 и определим C2= 2n
g− .
Окончательно уравнение движения материальной точки принимает вид
))1(1( / −+= − mkten
tngz .
Сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости Материальная точка под действием силы тяжести падает вниз. На нее
действуют (рис. 1.5) силы: gm и VkVR −= , где k – постоянный коэффи-циент. Пусть в начальный момент скорость точки V0 = 0, ось z направим вер-тикально вниз, начало отсчета выберем в начальном положении точки, z0 = 0. Найдем скорость точки.
Дифференциальное уравнение движения точки в проекции на ось z
15
22
2
zVkmgdt
zdm −= .
Так как dt
dVdt
zd z=2
2
, то 2z
z Vkmgdt
dVm −= .
Сократим уравнение на m и преобразуем левую его часть, умножив и
разделив ее на dz:
dzdVV
dzdtdzdV zzz = , заменим
dtdzVz = , получим 2
zzz V
mkg
dzdVV
−= ,
Разделим переменные, умножив обе части этого уравнения на dz и
разделив их на ( 2znVg − ), обозначим m
kn = :
dznVgdVV
z
zz =− 2 .
Интегрируем:
12 CdzVng
dVV
z
zz +=− ∫∫ ; 1
2 )ln(1 CznVgn z +=−− .
Подставим в это уравнение начальные значения z = 0, Vz = 0, получим
gn
C ln11 −= .
Тогда znVgg
n z=
− 2ln1, откуда ).1( nz
z engV −−=
Полученное уравнение определяет проекцию скорости материальной
точки в зависимости от ее положения. С возрастанием z величина ntе− убы-вает, стремясь к нулю при z → ∞. Отсюда следует, что скорость падения с возрастанием z возрастает, стремясь к постоянной величине. Эта величина
называется предельной скоростью падения kmg
ngVпр == .
Движение под действием силы, зависящей от положения точки.
Пусть на материальную точку М, находящуюся на горизонтальной
плоскости (рис.6), действует сила P , пропорциональная расстоянию от не-
16
подвижного центра О, коэффициент пропорциональности зависит от массы точки, поэтому силу P можно представить векторной формулой:
MOmkP 2= . Проекция этой силы на ось х равна Рx= k2m x. В начальный момент точка находилась в покое на расстоянии а от на-
чала отсчета, т.е. при t=0, x0=a, Vx = 0.
На точку, кроме силы отталкивания, действуют сила тяжести gm и нормальная реакция N , проекции которых на ось х равны нулю.
Составим дифференциальное уравнение:
mxkdt
xdm 22
2
= .
Сократим на m: 02 =− xkx&&
Полученное уравнение является однородным линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим соответствую-щее характеристическое уравнение:
022 =− kr . Откуда kr ±=2,1 .
Учитывая, что корни характеристического уравнения являются действи-тельными, решение дифференциального уравнения запишется в виде
ktkt eCeCx −+= 21 . (а) Для определения постоянных интегрирования С1 и С2 нужно иметь два
уравнения. Дифференцируя по времени выражение (а), получим: ktkt keCkeCx −−= 21& . (б) Подставим в (а) и (б) начальные условия t= 0, x0=a, 00 =x& и получим 21 CCa += , 0 =C1 - C2.
Откуда С1 = С2 = 2a
.
После подстановки С1 и С2 в уравнения (а) и (б) получим уравнение движения материальной точки и зависимость скорости точки от времени:
)(2
ktkt eeax −+= , )(2
ktkt eeakxVx−−== & .
Р N
mg
x x
O
Рис.6
М
17
Учет силы трения. Решим предыдущую задачу, учитывая силу трения F= - f N, где f коэф-
фициент трения, N - нормальная реакция. Дифференциальное уравнение движения точки в этом случае имеет вид
fNxmkxm −= 2&& . Нормальная реакция N = f mq (рис.7), тогда fmgxmkxm −= 2&& . После сокращения на m получим fqxkx =+ 2&& . (а) Общее решение этого неоднородного линей-
ного дифференциального уравнения равно сумме общего решения х1 соответствующего однородного уравнения 02 =+ xkx&& и частного решения х2 уравнения (а), т.е. 21 xxx += .
ktkt eCeCx −+= 211 . Частное решение х2 ищем в форме правой части уравнения (а), т.е. в ви-
де постоянного: Ax =2 , тогда 02 =x&& . Подставим х2 в уравнения (а), полу-чим
fgAk =+ 20 , тогда 2kfgA =
Окончательно 221 kfgeCeCx ktkt ++= −
. (б)
Для определения постоянных С1 и С2 находим ktkt keCkeCx −−= 21& . (в) Подставив в (б) и (в) начальные условия t =0, x0 = a, 00 =x& , получим
221 kfgCCa ++= , kCkC 210 −= .
Откуда )(21
221 kfgaCC −== .
Внесем значения С1 и С2 в уравнения (б) и (в) и получим уравнение
движения точки и проекцию ее скорости на ось х в зависимости от времени
22 ))((21
kfgee
kfgax ktkt ++−= −
, ).)((2 2
ktkt eekfgakxVx
−−−== &
N
mg
x x
O
Рис.7
F М Р
18
Криволинейное движение материальной точки
Пусть равнодействующая всех приложенных к материальной точке сил
и начальная скорость точки лежат в одной плоскости. Выберем эту плоскость за плоскость движения с системой координат
Оху, тогда ∑ = 0kzF , .0,0 0 == zz & Переменными координатами являют-ся х и у. В начальный момент при t =0, x = x0, y = y0 , 00 , yyxx &&&& == .
Движение точки в этом случае определяется двумя дифференциальными уравнениями:
.
,
2
2
2
2
∑
∑
=
=
ky
kx
Fdt
ydm
Fdt
xdm (9)
Проинтегрировав эти уравнения, находят координаты х и у движущейся
точки, как функции времени, т.е. определяют уравнения движения. Получен-ные решения содержат четыре постоянных интегрирования С1, С2, С3 и С4, значения которых определяются начальными условиями. Окончательно, решение дифференциальных уравнений представляют собой уравнения дви-жения точки x = x(t), y = y(t).
Уравнения движения позволяют определить все кинематические харак-теристики движения точки: траекторию, скорость, полное, касательное, нор-мальное ускорения и радиус кривизны траектории.
Движение точки, брошенной под углом к горизонту. Пусть материальная точка массой m получила начальную скорость 0V ,
направленную под углом α к горизонтальной плоскости, при этом сопротив-ление воздуха во внимание не принимаем.
Поместим начало координат О в начальном положении точки, ось Оу направим вертикально, ось Ох расположим горизонтально в плоскости,
проходящей через ось Оу и начальную скорость 0V (рис.8).
На материальную точку М действу-ет сила тяжести gm .
Дифференциальные уравнения движения точки имеют вид:
mgdt
ydmdt
xdm −== 2
2
2
2
,0 .
V0
О
у
α mg
М
х
Рис.8
19
Сделаем замену: dt
dVdt
yddt
dVdt
xd yx == 2
2
2
2
, .
После сокращения на m, получим
.,0 gdt
dVdt
dV yx −==
Умножая обе части этих уравнений на dt и интегрируя, находим Vx = C1, Vy= - gt+C2. (а) Эти уравнения справедливы при любом значении t. При t = 0, xo = 0, Vx = Vo cos α, Vy =Vosin α. Следовательно, С1= Vo cos α, С2= Vo cos α. Подставим эти значения в (а), и заменяя
dtdyV
dtdxV yx == , получим
.sin,cos 00 gtVdtdyV
dtdx
−== αα . (б)
Полученные уравнения определяют проекции скорости на оси коорди-
нат: .sin,cos 00 gtVVVV yx −== αα Модуль скорости .)sin(cos 2
022
022 gtVVVVV yx −+=+= αα (в)
Интегрируя уравнения (б), получим x = V0 t cosα + C3, y = V0 t sinα – 0,5 gt2 + C4. Поставим в эти уравнения начальные условия х0 = 0, у0 = 0, найдем, что
С1 = С2 = = 0. Тогда окончательно определяем уравнения движения точки М:
x = V0 t cosα, y = V0 t sinα – 0,5 gt2. Методами кинематики определим все характеристики этого дви-
жения.
20
1. Траектория точки. Исключим из уравнений (б) время t, для этого выразим t из первого уравнения и подставим во второе:
,cos0 αVxt = 2
220 cos2
xV
gxtgуα
α −= . (г)
Уравнение (г) является уравнением параболы. 2. Дальность полета точки. Определим дальность полета точки, положив
в этом уравнении у = 0.
0cos2
222
0
=− xV
gxtgα
α , отсюда х1 = 0, αα
tgg
Vx
220
2cos2
= .
Значение х1 дает точку О, значение х2 определяет еще одну точку С пересе-чения параболы с осью О х, расстояние ОС = L определяет дальность полета точки
L = gV α2sin2
0 .
При заданной начальной скорости максимальная дальность получается, если sin2α =1, т.е. при угле α = 450.
3.Высоту полета определим, подставив в уравнение траектории движе-
ния точки значение g
VLx O α2sin2/2
== :
g
VH O
2sin22 α
=
4. Время полета. Подставим вместо x значение L дальности полета в
уравнение x = V0 t cosα , и найдем время полета
g
VT
αsin2 0= .
5. Скорость полета определяется формулой (б). После подстановки в нее
время полета, получим, что скорость, в момент приземления по модулю бу-дет равна начальной скорости.
В частности, если α = 450 , VO = 28,3 м/c, то L ≈ 81,6 м; H ≈ 20,4 м; T ≈ 4 c. Траектория движения точки для этого случая построена с помощью программы Microsoft Excel (рис.9).
21
Движение точки, брошенной под углом к горизонту с учетом силы
сопротивления Материальной точке массой 2 кг сообщили начальную скорость VO = 8,3
м/c под углом 450 к горизонту. Во время движения на точку кроме силы тя-жести действует сила сопротивления, пропорциональная первой степени ско-рости, коэффициент пропорциональности μ = 0,5.
Определить, уравнения движения точки и все ее основные кинематиче-ские характеристики,
Поместим, как и в предыдущей задаче, начало координат О в начальном положении точки, ось Оу направим вертикально, ось Ох расположим го-ризонтально в плоскости, проходящей через ось Оу и начальную скорость 0V (рис.1.10).
Определим начальные условия движения точки. Так как начало коор-динат выбрано в начальном положении точки, то при t = 0, xo = 0, yo = 0.
Проекции начальной скорости на оси координат равны
./20707,03,2845sin
;/20707,03,2845cos0
0
cмVyV
cмVxV
OOOy
OOOx
≈⋅===
≈⋅===
&
&
При t = 0, ./20,/20 cмycмx OO == &&
Проведем анализ действующих сил. Силу сопротивления представим векторной форме
0
5
10
15
20
25
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Рис. 9
x
y
O
М
R
V
mg VO
450
Рис. 1.10
22
VR μ−= , где μ коэффициент пропорциональности. Проекции силы сопротивления на оси координат равны
.
,
dtdyVR
dtdxVR
yy
xx
μμ
μμ
−=−=
−=−=
Сила тяжести mg направлена вертикально и проецируется только на ось у. Составим дифференциальные уравнения движения точки
.
;
2
2
2
2
mgdtdy
dtydm
dtdx
dtxdm
−−=
−=
μ
μ
После подстановки численных значений и элементарных преобразова-
ний получим:
;025,02
2
=+dtdx
dtxd
(а)
8,925,02
2
−=+dtdy
dtyd (б)
Для решения первого уравнения составим характеристическое уравне-
ние .025,02 =+ rr Корни этого уравнения равны 25,0,0 21 −== rr . Решение уравнения (а): teCCx 25,0
21−+= , ( в)
Тогда
tx eC
dtdxV 25,0
225,0 −== . (г)
Для определения постоянных интегрирования подставим в уравнения (в) и (г) начальные условия: 20,0,0 === OO xxt & .
Из уравнения (в): С1 = - С2 . Из уравнения (г): 20 = - 0,25 С2 , откуда С2 = - 80, С1= 80. Окончательно, )1(80 25,0 tex −−= .
23
tx eV 25,025,0 −= .
Решение дифференциального уравнения (б) у = у1 + у2, где у1 - решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (б), у2 – частное решение уравнения (б).
Однородное уравнение
025,02
2
=+dtdy
dtyd . (д)
Составим характеристическое уравнение: λ2 +0,25λ = 0. Корни этого уравнения равны: λ1 = 0, λ2 = - 0,25.
Решение уравнения (д) совпадает с решением (в): teCCy 25,0
43−+= ,
ty eC
dtdyV 25,0
425,0 −== .
Частное решение уравнения (б): BtAy +=2 .
Adt
dy=2 , 02
22
=dt
yd
После подстановки в уравнение (б) получим 8,925,0 −=A . Следовательно, А= - 39.2. Окончательно решение уравнения (б) принимает вид teCCy t 2,3925,0
43 −+= − . Проекция скорости на ось у равна 2,3925,0 25,0
4 −−== − ty eC
dtdyV .
Подставим в эти уравнения начальные условия t = 0, yo = 0,
20=Oy&
.2,3925,020,0
4
43
−−=+=
CCC
Отсюда получаем: С4 = 236, 8; C3 = -236,8. Тогда ,2,39)1(8,236 25,0 tey t −−= −
24
2,392,59 25,0 −−== − ty e
dtdyV
Итак, движение точки в этом случае описывается уравнениями:
)1(80 25,0 tex −−= ,
tey t 2,39)1(8,236 25,0 −−= − . Скорость точки определяется ее проекциями на оси координат t
x eV 25,025,0 −=
2,392,59 25,0 −−== − ty e
dtdyV
Построим по уравнениям движения траекторию точки и с помощью по-
лученного графика определим основные характеристики движения точки: дальность и высоту полета. График построен с помощью программы Micro-soft Excel (рис.11). Как следует из графика высота и дальность полета при наличии силы сопротивления меньше, чем при движении под действием только силы тяжести.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Рис. 11
25
Контрольные вопросы
1. Напишите дифференциальные уравнения движения материальной точки.
2. Как составить дифференциальные уравнения? 3. Сколько необходимо составить дифференциальных уравнений для
описания движения точки в пространстве? На плоскости? 4. Записать дифференциальные уравнения точки, на которую действует
сила jitF 1210 += и сила тяжести. 5. Что называется начальными условиями движения точки? 6. Какому условию должны удовлетворять действующие на точку силы
и при каких начальных условиях движение точки будет прямолиней-ным?
7. Записать дифференциальное уравнение и его решение для прямоли-нейного движения точки под действием постоянной силы.
8. Записать решение дифференциального уравнения kxdt
xdm =2
2
.
9. Составить дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки под действием силы, зависящей только от скорости точки
VF μ−= и получить его решение. 10. Составить дифференциальное уравнения прямолинейного движения
точки под действием силы tF 12= получить его решение. 11. Как определяются постоянные интегрирования при решении диффе-
ренциальных уравнений?
Библиографический список 1. Бутенин Н.В и др. Курс теоретической механики.
Лань, 2002.- 736 стр. 2. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. Высшая школа, 2004. – 416 стр. 3. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики.
Интеграл-Пресс, 2004. – 608 стр. 4. Яблонский А.А. Сборник заданий для курсовых работ по
теоретической механике. Интеграл-Пресс, 2004. – 384 стр.