Transcript
Page 1: Динамика материальной точки: Учебное пособие

1

Министерство образования Российской Федерации. Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра «МЕХАНИКА»

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Данное пособие входит в серию электронных учебных по-

собий по теоретической механике, разрабатываемых на кафед-ре механики СамГТУ.

Пособие предназначено для самостоятельного изучения студентами темы «Динамика материальной точки».

Зав. кафедрой – д.т.н., проф. Я.М.Клебанов, Разработчики – Л.Б.Черняховская, Л.А.Шабанов. Самара – 2008.

Page 2: Динамика материальной точки: Учебное пособие

2

Основные законы динамики материальной точки.

Дифференциальные уравнения движения. Динамика изучает движение материальной точки в зависимости от при-

ложенных к ней сил. Основные законы динамики материальной точки сфор-мулированы Ньютоном.

Материальная точка - это модель материального тела любой формы, размерами которого в конкретной задаче можно пренебречь.

Первый закон динамики (закон инерции): материальная точка при

отсутствии внешних воздействий сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока приложенные к ней силы не изменят этого состояния.

Движение, совершаемое точкой при отсутствии сил, называется движе-

нием по инерции. Свойство тел сохранять свою скорость неизменной назы-вается свойством инертности. Количественной мерой инертности матери-альной точки является ее масса.

Инерциальной называется система отсчета, в которой справедлив закон инерции.

Реально система отсчета будет считаться инерциальной в результате опытной проверки выполнения в ней закона инерции. При решении боль-шинства технических задач за инерциальную можно принять систему отсче-та, связанную с Землей.

Второй закон динамики (основной закон): в инерциальной системе

отсчета произведение массы материальной точки на вектор ее ускоре-ния равен вектору действующей на точку силы.

Fam = (1) Если на точку одновременно действует несколько сил, то они будут эк-

вивалентны равнодействующей, равной геометрической сумме приложенных сил, тогда

∑= kFam . Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат:

∑ ∑ ∑=== .,, kzzkyykxx FmaFmaFma (2) Положение точки в декартовой прямоугольной системе координат оп-

ределяется уравнениями ).(),(),( tzztyytxx ===

Page 3: Динамика материальной точки: Учебное пособие

3

Проекции ускорения точки на оси координат равны

.2

2,, 2

2

2

2

dt

zdzyx a

dtyda

dtxda ===

Подставим в уравнения (2) значения проекций ускорения точки на оси

координат и получим дифференциальные уравнения движения точки:

∑ ∑ ∑=== kzkykx Fdt

zdmFdt

ydmFdt

xdm 2

2

2

2

2

2

,, , (3)

где x, y, z – координаты движущейся материальной точки, Fkx, Fky, Fkz - про-екции приложенных к этой точке сил на оси координат.

Задачи динамики точки

С помощью дифференциальных уравнений движения материальной

точки решаются две задачи динамики. В первой задаче по заданным массе точки и ее уравнениям движения

требуется найти действующие на нее силы. Вторая (основная) задача динамики заключается в том, чтобы,

зная массу материальной точки и действующие на нее силы, определить движение этой точки.

Для решения первой задачи динамики по заданным уравнениям дви-жения точки )(),(),( tzztyytxx === определяют проекции ускорения на соответствующие оси координат, а затем по уравнениям (1.3) находят про-екции равнодействующей сил, приложенных к материальной точке.

Решение основной задачи динамики точки.

Определим движение точки по действующим на нее силам. Запишем дифференциальные уравнения движения точки

∑ ∑ ∑=== .,, 2

2

2

2

2

2

kzkykx Fdt

zdmFdt

ydmFdt

xdm

Если принять обозначения

,,,,,, 2

2

2

2

2

2

zdtdzVy

dtdyVx

dtdxVz

dtzdy

dtydx

dtxd

zyx &&&&&&&&& =========

то дифференциальные уравнения принимают вид

.,, zyx FzmFymFxm === &&&&&&

Page 4: Динамика материальной точки: Учебное пособие

4

В общем случае правая часть каждого дифференциального уравнения

представляет собой функцию нескольких переменных, так как действующие на точку силы могут зависеть от положения точки (координат x, y, z), ее ско-рости, определяемой проекциями на оси координат zyx &&& ,, , и времени t, т.е.

).,,,,,,(

);,,,,,,();,,,,,,(

tzyxzyxFzm

tzyxzyxFymtzyxzyxFxm

z

y

x

&&&&&

&&&&&

&&&&&

=

==

(4)

Неизвестные в этих уравнениях - координаты движущейся материаль-

ной точки, являющиеся функциями времени: ).(),(),( tzztyytxx === Для их определения необходимо проинтегрировать систему получен-

ных трех дифференциальных уравнений второго порядка, что представляет подчас значительные трудности и не всегда может быть выполнено в квадра-турах. В таких случаях задача решается численными методами, которые ле-жат в основе имеющихся компьютерных программ.

Так как система состоит из трех дифференциальных уравнений второго порядка, то решение этих уравнений будет содержать шесть произвольных постоянных интегрирования:

).,...,,,(),,...,,,(),,...,,,(

621

621

621

CCCtzzCCCtyyCCCtxx

===

(5)

Найдем проекции скорости точки на оси координат, продифференци-

ровав уравнения (5):

).,...,,,(

),,...,,,(),,...,,,(

621

621

621

CCCtzzV

CCCtyyVCCCtxxV

z

y

x

&&

&&

&&

==

====

(6)

Для определения постоянных интегрирования необходимо задать на-

чальные условия движения точки, т.е. для момента времени t = 0 следу-ет указать начальное положение точки, определяемое тремя координа-тами, и скорость точки – тремя ее проекциями на оси координат.

Начальные условия: t = 0, x = x0, y = y0, z = z0 , Vx= 0x& , Vy = ,0y& Vz = 0z& .

Page 5: Динамика материальной точки: Учебное пособие

5

Подставив в уравнения (5) и (6) начальные условия, получим систему шести алгебраических уравнений, неизвестными в которых являются посто-янные С1, С2,…С6:

).,...,,,0(),,...,,,0(),,...,,,0(

6210

6210

6210

CCCzzCCCyyCCCxx

===

(7)

).,...,,,0(

),,...,,,0(),,...,,,0(

6210

6210

6210

CCCzzV

CCCyyVCCCxxV

&&

&&

&&

==

====

(8)

Решив систему алгебраических уравнений (7) и (8), определим по-

стоянные интегрирования, найденные значения постоянных С1,С2,…,С6 под-ставим в выражения (5) и (6) и получим уравнения движения точки, соот-ветствующие начальным условиям задачи, и проекции скорости точки на оси координат в зависимости от времени:

)(),(),( tzztyytxx === , ).(),(),( tVVtVVtVV zzyyxx === Рекомендации по решению задач 1. Установить, какие силы действуют на материальную точку, и пред-

ставить каждую силу в векторной форме. 2. Выбрать систему координат, начало которой следует совместить с

известным по условиям задачи положением точки, которое она зани-мала в определенный момент времени. Оси координат следует выби-рать так, чтобы было удобно проектировать на них векторы сил, ско-ростей и ускорений.

3. Записать в выбранной системе координат начальные условия движе-ния точки.

4. Изобразить движущуюся точку в произвольном положении так, что-бы ее координаты были положительными.

5. Изобразить все приложенные к точке активные силы и реакции свя-зей.

6. Составить дифференциальные уравнения движения материальной точки.

7. Проинтегрировать дифференциальные уравнения. 8. Определить по начальным условиям движения постоянные интегри-

рования.

Page 6: Динамика материальной точки: Учебное пособие

6

Составление дифференциальных уравнений

Левая часть каждого дифференциального уравнения независимо от вы-

бранной системы координат и действующих на материальную точку сил представляет собой произведение массы точки на вторую производную по времени от соответствующей координаты. Правая часть каждого уравнения является суммой проекций всех сил, приложенных к точке, на соответст-вующую координатную ось.

Составление дифференциальных уравнений сводится к определе-нию проекций всех приложенных к точке сил на выбранные оси коорди-нат.

Сила является векторной функцией, модуль и направление которой могут меняться в зависимости от времени, положения точки и ее скорости. В общем случае, модуль и направление силы зависят от семи скалярных пере-менных: времени t, координат точки х, у, z и их производных по времени

zyx &&& ,, . Можно указать три простейших типа переменных сил: а) постоянные силы и силы, зависящие от времени; б) силы, зависящие от скорости материальной точки; в) силы, зависящие от положения материальной точки. Чаще всего на материальную точку действуют одновременно несколько

различных сил. Примеры составления дифференциальных уравнений

1. Пусть действующая на материальную точку М сила (рис.1.1) за-дана формулой: ktjitF 2842 −−= , где kji ,, - единичные векторы вы-бранных координатных осей.

Так как в общем случае kFjFiFF zyx ++= , то проекции силы на оси координат будут равны

,2tFx = ,4−=yF .8 2tFz −= Дифференциальные уравнения

точки в данном случае принимают вид

,22

2

tdt

xdm =

42

2

−=dt

ydm ,

.8 22

2

tdt

zdm −=

k F

M (x,y,z)

x

y

z

x y

z

i j

Рис.1

О

Page 7: Динамика материальной точки: Учебное пособие

7

2. Пусть на точку действует сила сопротивления R , пропорциональная скорости точки и направленная противоположно вектору скорости (рис.2). Такая сила может быть представлена в виде векторной формулы

VkR −= , где k-коэффициент пропорциональности, V - вектор скорости точ-ки.

Найдем проекции этого векторного равенства на оси координат:

dtdxkkVR xx −=−= ,

dtdykkVR yy −=−= ,

dtdzkkVR zz −=−= .

Если на точку, кроме силы R , дей-

ствует сила тяжести gm , то уравнения движения запишутся в виде

,2

2

dtdxk

dtxdm −=

,2

2

dtdyk

dtydm −=

.2

2

dtdzkmg

dtzdm −−=

3. Пусть сила сопротивления (рис.2), действующая на точку, пропорцио-

нальна квадрату скорости точки R = kV2 и направлена в сторону, противо-положную вектору скорости: VR ↑↓ . Векторы R и V направлены по каса-тельной к траектории точки, следовательно, ττ 2kVR −= , где τ - единичный вектор касательной в данной точке.

Сила тяжести вертикальна и равна .kmgG −= Заменим RR =τ , VV =τ , тогда VkVkVVkV −=−=− ττ2 . Следовательно, VkVR −= . Проекции этого векторного равенства на оси координат будут равны ,xx VkVR −= ,yy kVVR −= .zz kVVR −= Модуль вектора скорости 222

zyx VVVV ++= , проекции скорости на оси координат

.,, zdtdzVy

dtdyVx

dtdxV zyx &&& ======

Тогда, проекции силы сопротивления на оси координат будут равны:

k

R M(x,y,z)

x

y

z

x y

z

i j

τ V

Рис.2

mg

О

Page 8: Динамика материальной точки: Учебное пособие

8

,222 xzyzkRx &&&& ++−=

,222 yzyxkRy &&&& ++−=

zzyxkRz &&&& 222 ++−= . Следовательно, дифференциальные уравнения c учетом силы тяжести

будут записаны в виде =xm && ,222 xzyzk &&&& ++−

=ym && ,222 yzyxk &&&& ++−

=zm && zzyxk &&&& 222 ++− - mg. В том случае, когда начальная скорость точки направлена вертикально,

движение точки окажется прямолинейным, т.е. 0,0 == yx && . Такому движению будет соответствовать одно дифференциальное уравнение:

=zm && .2 mgzk −− & 4. Пусть на точку (рис.1.3) дейст-

вует центральная сила Q , обратно пропорциональная расстоянию до центра О, и направленная к этому центру, т.е. 2r

fQ = , rQ ↑↓ , где r -

радиус-вектор, соединяющий точку М с центром О, f – коэффициент про-порциональности.

Представим силу Q векторной формулой

erfQ 2−= ,

Где e - единичный вектор вектора r . Умножим и разделим левую часть этого равенства на r, получим

errfQ 3−= .

Заменим rer = , тогда .3 rrfQ −=

Проекции этого векторного равенства на оси координат

,33 xrfr

rfQ xx −=−=

k

Q

M(x,y,z)

x

y

z

x y

z

i j

Рис.3

r

e O

Page 9: Динамика материальной точки: Учебное пособие

9

,33 yrfr

rfQ yy −=−=

zrfr

rfQ zz 33 −=−= .

Модуль радиуса - вектора 21

222222 )( zyxzyxr ++=++= . Тогда проекции силы Q на оси координат будут равны

2

3222 )( zyx

fxQx++

−= , 2

3222 )( zyx

fyQy++

−= , 2

3222 )( zyx

fzQz++

−= .

Дифференциальные уравнения движения точки записываются в виде

,)( 2

3222 zyx

fxxm++

−=&& ,)( 2

3222 zyx

fyym++

−=&& 2

3222 )( zyx

fzzm++

−=&&

Прямолинейное движение материальной точки Прямолинейное движение свободной материальной точки возможно в

случае, когда равнодействующая приложенных к точке сил и ее начальная скорость лежат на одной прямой.

Прямолинейное движение несвободной материальной точки обуслов-лено наложенными на нее связями.

Прямолинейное движение под действием постоянной силы Выберем прямую, по которой движется точка, за ось х. Равнодейст-

вующую всех приложенных к точке сил обозначим F. Дифференциальное уравнение движение точки будет иметь вид

constFdt

xdm ==2

2

,

Заменим dt

dVdt

xd x=2

2

, получим уравнение первого порядка

Fdt

dVm x = .

Умножим обе части этого уравнения на dt, т.е. разделим переменные FdtdVm x = .

Page 10: Динамика материальной точки: Учебное пособие

10

После интегрирования получим .1CtFmVx += Подставим в это уравнение начальные условия t = 0, Vx = V0, тогда С1 =mV0.

Следовательно, 0mVtFmVx += .

После замены dtdxVx = , получим

0mVtFdtdxm += .

Разделим переменные, умножив полученное уравнение на dt: dtmVtFmdx 0+= . Проинтегрируем

10

2

2CtmVtFxm ++= .

Подставим в это уравнение начальные условия: t = 0, x = x0, найдем С2 = mx0.

Окончательно, уравнение прямолинейного движения точки имеет вид

.2

2

00 mFttVxx ++=

Следовательно, прямолинейное движение материальной точки в данном

случае является равнопеременным. Прямолинейное движение по наклонной плоскости.

Груз скользит (рис.4) по наклонной плоскости под действием силы тя-

жести, коэффициент трения скольжения равен f, масса груза m, начальная скорость груза равна V0. Определить движение груза по наклонной плоско-сти.

Выберем начальное положение груза на на-чало отсчета оси х, которую направим вниз по на-клонной плоскости. Начальная координата хО= 0.

На груз действуют сила тяжести gm , нор-мальная реакция N , сила тренияF .

Дифференциальное уравнение движения гру-за

Fmgdt

xdm −= αsin2

2

.

mg

N F

y

x

O

α

Рис.4

Page 11: Динамика материальной точки: Учебное пособие

11

Сила трения равна F = fN, нормальная реакция αcosmgN = , тогда αcosfmgF = .

Дифференциальное уравнение после сокращения на m принимает вид

αα cossin2

2

fggdt

xd−= .

Заменим 2

2

dtxd на

dtdVx , получим

αα cossin fggdt

dVx −= .

Разделим переменные, умножив обе части уравнения на dt:

dtfggdVx )cossin( αα −= Проинтегрировав, найдем 1)cos(sin СtfgVx +−= αα . Подставив в это уравнение начальные значения t = 0, Vx =V0, получим

С1= V0. Следовательно, 0)cos(sin VtfgVx +−= αα .

Заменим xV = dtdx , получим

0)cos(sin Vtfgdtdx

+−= αα .

Для разделения переменных умножим обе части этого уравнения на dt: dtVtdtfgdx 0)cos(sin +−= αα . После интегрирования

20

2

2)cos(sin CtVtfgx ++−= αα .

Подставив в это уравнение значения t = 0, x0 = 0, найдем С2= 0. Окончательно,

tVtfgx 0

2

2)cos(sin +−= αα .

Page 12: Динамика материальной точки: Учебное пособие

12

Движение под действием силы, зависящей от времени. Пусть на материальную точку действует сила )(tFF = , параллельная

начальной скорости точки 0V . Движение точки будет прямолинейным. Дифференциальное уравнение движения груза имеет вид

)(2

2

tFdt

xdm x=

Решение этого уравнения выполним в два этапа. Сначала сделаем за-

мену dt

dVdt

xd x=2

2

и получим дифференциальное уравнение первого порядка, в

котором неизвестной функцией будет проекция скорости xV на ось х:

).(tFdt

dVm x

x =

Умножив обе части уравнения на dt, разделим переменные: .)( dttFmdV xx =

После интегрирования получим

∫ += 1)(1 CdttFm

V xx .

На втором этапе заменим dtdxVx = и снова получим дифференциальное

уравнение первого порядка теперь уже относительно координаты х.

11 СФmdt

dx+= ,

где ∫= 1)( dttFФ x .

Снова разделим переменные:

dtCФm

dx )1( 1+= ,

Проинтегрируем обе части этого уравнения и получим зависимость коорди-наты х от времени

∫ ++= 211 CtCФdtm

x .

Page 13: Динамика материальной точки: Учебное пособие

13

Для определения постоянных С1 и С2 подставим в уравнения для х и xV

начальные условия движения точки. Движение под действием силы тяжести и силы сопротивления Сила сопротивления пропорциональна скорости.

Пусть точка из состояния покоя движется вертикально вниз под действием силы тяжести gm (рис. 1.5) и силы сопротив-ления VkR −= .

За начало оси z, направленной вертикально вниз, выберем начальное положение точки, тогда при t = 0, z0 = 0, 00 =z& . Составим дифференциальное уравнение движения точки

zkVmgdt

zdm −=2

2

.

Заменим dt

dVdt

zd z=2

2

, сократим на m и, обозначив k/m = n, получим

zz nVg

dtdV

−= .

Для того, чтобы разделить переменные в этом уравнении, умножим обе

части уравнения на dt и разделим на множитель ( zkVg − ), после чего полу-чим

dtnVg

dV

z

z =−

.

1СdtVgn

dV

z

z +=− ∫∫ .

После интегрирования 1)ln(1 CtnVgn z +=−− .

Подставим начальные условия:t = 0, Vz = 0, получим, gn

С ln11 −= .

Тогда gk

tnVgn z ln1)ln(1

−=−− .

Преобразуем полученное уравнение:

R

М

mg

O

z

z

Рис.5

Page 14: Динамика материальной точки: Учебное пособие

14

ntgnVg z −=−− ln)(ln( , ntgnVg z −=

−ln , откуда ntz egnVg −=

−.

Следовательно, скорость точки

)1( tnengVz

−−= .

Как следует из полученной формулы, скорость падения убывает и при

t→ ∞ принимает максимальное значение Vz = g/n =mg/k . Для того, чтобы найти уравнение движения точки, заменим

dtdzVz = ,

получим дифференциальное уравнение первого порядка относительно пере-менной координаты z:

)1( nteng

dtdz −−= .

Для разделения переменных умножим обе части этого уравнения на dt,

получим

dtengdz nt )1( −−= ,

2)1( Cdtengdz nt +−= −∫∫ .

Откуда 2)( Cn

etngz

nt++=

.

Подставим начальные значения t=0, z = 0 и определим C2= 2n

g− .

Окончательно уравнение движения материальной точки принимает вид

))1(1( / −+= − mkten

tngz .

Сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости Материальная точка под действием силы тяжести падает вниз. На нее

действуют (рис. 1.5) силы: gm и VkVR −= , где k – постоянный коэффи-циент. Пусть в начальный момент скорость точки V0 = 0, ось z направим вер-тикально вниз, начало отсчета выберем в начальном положении точки, z0 = 0. Найдем скорость точки.

Дифференциальное уравнение движения точки в проекции на ось z

Page 15: Динамика материальной точки: Учебное пособие

15

22

2

zVkmgdt

zdm −= .

Так как dt

dVdt

zd z=2

2

, то 2z

z Vkmgdt

dVm −= .

Сократим уравнение на m и преобразуем левую его часть, умножив и

разделив ее на dz:

dzdVV

dzdtdzdV zzz = , заменим

dtdzVz = , получим 2

zzz V

mkg

dzdVV

−= ,

Разделим переменные, умножив обе части этого уравнения на dz и

разделив их на ( 2znVg − ), обозначим m

kn = :

dznVgdVV

z

zz =− 2 .

Интегрируем:

12 CdzVng

dVV

z

zz +=− ∫∫ ; 1

2 )ln(1 CznVgn z +=−− .

Подставим в это уравнение начальные значения z = 0, Vz = 0, получим

gn

C ln11 −= .

Тогда znVgg

n z=

− 2ln1, откуда ).1( nz

z engV −−=

Полученное уравнение определяет проекцию скорости материальной

точки в зависимости от ее положения. С возрастанием z величина ntе− убы-вает, стремясь к нулю при z → ∞. Отсюда следует, что скорость падения с возрастанием z возрастает, стремясь к постоянной величине. Эта величина

называется предельной скоростью падения kmg

ngVпр == .

Движение под действием силы, зависящей от положения точки.

Пусть на материальную точку М, находящуюся на горизонтальной

плоскости (рис.6), действует сила P , пропорциональная расстоянию от не-

Page 16: Динамика материальной точки: Учебное пособие

16

подвижного центра О, коэффициент пропорциональности зависит от массы точки, поэтому силу P можно представить векторной формулой:

MOmkP 2= . Проекция этой силы на ось х равна Рx= k2m x. В начальный момент точка находилась в покое на расстоянии а от на-

чала отсчета, т.е. при t=0, x0=a, Vx = 0.

На точку, кроме силы отталкивания, действуют сила тяжести gm и нормальная реакция N , проекции которых на ось х равны нулю.

Составим дифференциальное уравнение:

mxkdt

xdm 22

2

= .

Сократим на m: 02 =− xkx&&

Полученное уравнение является однородным линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим соответствую-щее характеристическое уравнение:

022 =− kr . Откуда kr ±=2,1 .

Учитывая, что корни характеристического уравнения являются действи-тельными, решение дифференциального уравнения запишется в виде

ktkt eCeCx −+= 21 . (а) Для определения постоянных интегрирования С1 и С2 нужно иметь два

уравнения. Дифференцируя по времени выражение (а), получим: ktkt keCkeCx −−= 21& . (б) Подставим в (а) и (б) начальные условия t= 0, x0=a, 00 =x& и получим 21 CCa += , 0 =C1 - C2.

Откуда С1 = С2 = 2a

.

После подстановки С1 и С2 в уравнения (а) и (б) получим уравнение движения материальной точки и зависимость скорости точки от времени:

)(2

ktkt eeax −+= , )(2

ktkt eeakxVx−−== & .

Р N

mg

x x

O

Рис.6

М

Page 17: Динамика материальной точки: Учебное пособие

17

Учет силы трения. Решим предыдущую задачу, учитывая силу трения F= - f N, где f коэф-

фициент трения, N - нормальная реакция. Дифференциальное уравнение движения точки в этом случае имеет вид

fNxmkxm −= 2&& . Нормальная реакция N = f mq (рис.7), тогда fmgxmkxm −= 2&& . После сокращения на m получим fqxkx =+ 2&& . (а) Общее решение этого неоднородного линей-

ного дифференциального уравнения равно сумме общего решения х1 соответствующего однородного уравнения 02 =+ xkx&& и частного решения х2 уравнения (а), т.е. 21 xxx += .

ktkt eCeCx −+= 211 . Частное решение х2 ищем в форме правой части уравнения (а), т.е. в ви-

де постоянного: Ax =2 , тогда 02 =x&& . Подставим х2 в уравнения (а), полу-чим

fgAk =+ 20 , тогда 2kfgA =

Окончательно 221 kfgeCeCx ktkt ++= −

. (б)

Для определения постоянных С1 и С2 находим ktkt keCkeCx −−= 21& . (в) Подставив в (б) и (в) начальные условия t =0, x0 = a, 00 =x& , получим

221 kfgCCa ++= , kCkC 210 −= .

Откуда )(21

221 kfgaCC −== .

Внесем значения С1 и С2 в уравнения (б) и (в) и получим уравнение

движения точки и проекцию ее скорости на ось х в зависимости от времени

22 ))((21

kfgee

kfgax ktkt ++−= −

, ).)((2 2

ktkt eekfgakxVx

−−−== &

N

mg

x x

O

Рис.7

F М Р

Page 18: Динамика материальной точки: Учебное пособие

18

Криволинейное движение материальной точки

Пусть равнодействующая всех приложенных к материальной точке сил

и начальная скорость точки лежат в одной плоскости. Выберем эту плоскость за плоскость движения с системой координат

Оху, тогда ∑ = 0kzF , .0,0 0 == zz & Переменными координатами являют-ся х и у. В начальный момент при t =0, x = x0, y = y0 , 00 , yyxx &&&& == .

Движение точки в этом случае определяется двумя дифференциальными уравнениями:

.

,

2

2

2

2

=

=

ky

kx

Fdt

ydm

Fdt

xdm (9)

Проинтегрировав эти уравнения, находят координаты х и у движущейся

точки, как функции времени, т.е. определяют уравнения движения. Получен-ные решения содержат четыре постоянных интегрирования С1, С2, С3 и С4, значения которых определяются начальными условиями. Окончательно, решение дифференциальных уравнений представляют собой уравнения дви-жения точки x = x(t), y = y(t).

Уравнения движения позволяют определить все кинематические харак-теристики движения точки: траекторию, скорость, полное, касательное, нор-мальное ускорения и радиус кривизны траектории.

Движение точки, брошенной под углом к горизонту. Пусть материальная точка массой m получила начальную скорость 0V ,

направленную под углом α к горизонтальной плоскости, при этом сопротив-ление воздуха во внимание не принимаем.

Поместим начало координат О в начальном положении точки, ось Оу направим вертикально, ось Ох расположим горизонтально в плоскости,

проходящей через ось Оу и начальную скорость 0V (рис.8).

На материальную точку М действу-ет сила тяжести gm .

Дифференциальные уравнения движения точки имеют вид:

mgdt

ydmdt

xdm −== 2

2

2

2

,0 .

V0

О

у

α mg

М

х

Рис.8

Page 19: Динамика материальной точки: Учебное пособие

19

Сделаем замену: dt

dVdt

yddt

dVdt

xd yx == 2

2

2

2

, .

После сокращения на m, получим

.,0 gdt

dVdt

dV yx −==

Умножая обе части этих уравнений на dt и интегрируя, находим Vx = C1, Vy= - gt+C2. (а) Эти уравнения справедливы при любом значении t. При t = 0, xo = 0, Vx = Vo cos α, Vy =Vosin α. Следовательно, С1= Vo cos α, С2= Vo cos α. Подставим эти значения в (а), и заменяя

dtdyV

dtdxV yx == , получим

.sin,cos 00 gtVdtdyV

dtdx

−== αα . (б)

Полученные уравнения определяют проекции скорости на оси коорди-

нат: .sin,cos 00 gtVVVV yx −== αα Модуль скорости .)sin(cos 2

022

022 gtVVVVV yx −+=+= αα (в)

Интегрируя уравнения (б), получим x = V0 t cosα + C3, y = V0 t sinα – 0,5 gt2 + C4. Поставим в эти уравнения начальные условия х0 = 0, у0 = 0, найдем, что

С1 = С2 = = 0. Тогда окончательно определяем уравнения движения точки М:

x = V0 t cosα, y = V0 t sinα – 0,5 gt2. Методами кинематики определим все характеристики этого дви-

жения.

Page 20: Динамика материальной точки: Учебное пособие

20

1. Траектория точки. Исключим из уравнений (б) время t, для этого выразим t из первого уравнения и подставим во второе:

,cos0 αVxt = 2

220 cos2

xV

gxtgуα

α −= . (г)

Уравнение (г) является уравнением параболы. 2. Дальность полета точки. Определим дальность полета точки, положив

в этом уравнении у = 0.

0cos2

222

0

=− xV

gxtgα

α , отсюда х1 = 0, αα

tgg

Vx

220

2cos2

= .

Значение х1 дает точку О, значение х2 определяет еще одну точку С пересе-чения параболы с осью О х, расстояние ОС = L определяет дальность полета точки

L = gV α2sin2

0 .

При заданной начальной скорости максимальная дальность получается, если sin2α =1, т.е. при угле α = 450.

3.Высоту полета определим, подставив в уравнение траектории движе-

ния точки значение g

VLx O α2sin2/2

== :

g

VH O

2sin22 α

=

4. Время полета. Подставим вместо x значение L дальности полета в

уравнение x = V0 t cosα , и найдем время полета

g

VT

αsin2 0= .

5. Скорость полета определяется формулой (б). После подстановки в нее

время полета, получим, что скорость, в момент приземления по модулю бу-дет равна начальной скорости.

В частности, если α = 450 , VO = 28,3 м/c, то L ≈ 81,6 м; H ≈ 20,4 м; T ≈ 4 c. Траектория движения точки для этого случая построена с помощью программы Microsoft Excel (рис.9).

Page 21: Динамика материальной точки: Учебное пособие

21

Движение точки, брошенной под углом к горизонту с учетом силы

сопротивления Материальной точке массой 2 кг сообщили начальную скорость VO = 8,3

м/c под углом 450 к горизонту. Во время движения на точку кроме силы тя-жести действует сила сопротивления, пропорциональная первой степени ско-рости, коэффициент пропорциональности μ = 0,5.

Определить, уравнения движения точки и все ее основные кинематиче-ские характеристики,

Поместим, как и в предыдущей задаче, начало координат О в начальном положении точки, ось Оу направим вертикально, ось Ох расположим го-ризонтально в плоскости, проходящей через ось Оу и начальную скорость 0V (рис.1.10).

Определим начальные условия движения точки. Так как начало коор-динат выбрано в начальном положении точки, то при t = 0, xo = 0, yo = 0.

Проекции начальной скорости на оси координат равны

./20707,03,2845sin

;/20707,03,2845cos0

0

cмVyV

cмVxV

OOOy

OOOx

≈⋅===

≈⋅===

&

&

При t = 0, ./20,/20 cмycмx OO == &&

Проведем анализ действующих сил. Силу сопротивления представим векторной форме

0

5

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Рис. 9

x

y

O

М

R

V

mg VO

450

Рис. 1.10

Page 22: Динамика материальной точки: Учебное пособие

22

VR μ−= , где μ коэффициент пропорциональности. Проекции силы сопротивления на оси координат равны

.

,

dtdyVR

dtdxVR

yy

xx

μμ

μμ

−=−=

−=−=

Сила тяжести mg направлена вертикально и проецируется только на ось у. Составим дифференциальные уравнения движения точки

.

;

2

2

2

2

mgdtdy

dtydm

dtdx

dtxdm

−−=

−=

μ

μ

После подстановки численных значений и элементарных преобразова-

ний получим:

;025,02

2

=+dtdx

dtxd

(а)

8,925,02

2

−=+dtdy

dtyd (б)

Для решения первого уравнения составим характеристическое уравне-

ние .025,02 =+ rr Корни этого уравнения равны 25,0,0 21 −== rr . Решение уравнения (а): teCCx 25,0

21−+= , ( в)

Тогда

tx eC

dtdxV 25,0

225,0 −== . (г)

Для определения постоянных интегрирования подставим в уравнения (в) и (г) начальные условия: 20,0,0 === OO xxt & .

Из уравнения (в): С1 = - С2 . Из уравнения (г): 20 = - 0,25 С2 , откуда С2 = - 80, С1= 80. Окончательно, )1(80 25,0 tex −−= .

Page 23: Динамика материальной точки: Учебное пособие

23

tx eV 25,025,0 −= .

Решение дифференциального уравнения (б) у = у1 + у2, где у1 - решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (б), у2 – частное решение уравнения (б).

Однородное уравнение

025,02

2

=+dtdy

dtyd . (д)

Составим характеристическое уравнение: λ2 +0,25λ = 0. Корни этого уравнения равны: λ1 = 0, λ2 = - 0,25.

Решение уравнения (д) совпадает с решением (в): teCCy 25,0

43−+= ,

ty eC

dtdyV 25,0

425,0 −== .

Частное решение уравнения (б): BtAy +=2 .

Adt

dy=2 , 02

22

=dt

yd

После подстановки в уравнение (б) получим 8,925,0 −=A . Следовательно, А= - 39.2. Окончательно решение уравнения (б) принимает вид teCCy t 2,3925,0

43 −+= − . Проекция скорости на ось у равна 2,3925,0 25,0

4 −−== − ty eC

dtdyV .

Подставим в эти уравнения начальные условия t = 0, yo = 0,

20=Oy&

.2,3925,020,0

4

43

−−=+=

CCC

Отсюда получаем: С4 = 236, 8; C3 = -236,8. Тогда ,2,39)1(8,236 25,0 tey t −−= −

Page 24: Динамика материальной точки: Учебное пособие

24

2,392,59 25,0 −−== − ty e

dtdyV

Итак, движение точки в этом случае описывается уравнениями:

)1(80 25,0 tex −−= ,

tey t 2,39)1(8,236 25,0 −−= − . Скорость точки определяется ее проекциями на оси координат t

x eV 25,025,0 −=

2,392,59 25,0 −−== − ty e

dtdyV

Построим по уравнениям движения траекторию точки и с помощью по-

лученного графика определим основные характеристики движения точки: дальность и высоту полета. График построен с помощью программы Micro-soft Excel (рис.11). Как следует из графика высота и дальность полета при наличии силы сопротивления меньше, чем при движении под действием только силы тяжести.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Рис. 11

Page 25: Динамика материальной точки: Учебное пособие

25

Контрольные вопросы

1. Напишите дифференциальные уравнения движения материальной точки.

2. Как составить дифференциальные уравнения? 3. Сколько необходимо составить дифференциальных уравнений для

описания движения точки в пространстве? На плоскости? 4. Записать дифференциальные уравнения точки, на которую действует

сила jitF 1210 += и сила тяжести. 5. Что называется начальными условиями движения точки? 6. Какому условию должны удовлетворять действующие на точку силы

и при каких начальных условиях движение точки будет прямолиней-ным?

7. Записать дифференциальное уравнение и его решение для прямоли-нейного движения точки под действием постоянной силы.

8. Записать решение дифференциального уравнения kxdt

xdm =2

2

.

9. Составить дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки под действием силы, зависящей только от скорости точки

VF μ−= и получить его решение. 10. Составить дифференциальное уравнения прямолинейного движения

точки под действием силы tF 12= получить его решение. 11. Как определяются постоянные интегрирования при решении диффе-

ренциальных уравнений?

Библиографический список 1. Бутенин Н.В и др. Курс теоретической механики.

Лань, 2002.- 736 стр. 2. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. Высшая школа, 2004. – 416 стр. 3. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики.

Интеграл-Пресс, 2004. – 608 стр. 4. Яблонский А.А. Сборник заданий для курсовых работ по

теоретической механике. Интеграл-Пресс, 2004. – 384 стр.


Recommended