Г.А. Шишкин
ЛИНЕЙНЫЕ
ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА
Улан-Удэ
2007
1
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
БУРЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Г.А. Шишкин
ЛИНЕЙНЫЕ
ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА
Допущено Учебно-Методическим Объединением по
классическому университетскому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки 010100 Математика (010101)
Учебное пособие
по спецкурсу и спецсеминару
Улан-Удэ Издательство Бурятского госуниверситета
2007
2
УДК 517.948 Ш 655
Утверждено к печати редакционно-издательским и учебно-
методическим советами Бурятского государственного университета
Р е ц е н з е н т ы
В.А. Ильин – д-р физ-мат. наук, проф. МГУ, академик РАН Ц.Б. Шойнжуров – д-р физ-мат. наук, проф. Восточно-сибирского государственного университета
.
Шишкин Г.А. Ш 655 Линейные интегродифференциальные уравнения
Фредгольма: Учеб. пособие по спецкурсу и спецсеминару. – Улан-Удэ: Издательство Бурятского госуниверситета, 2007. – 195 с.
В учебном пособии изложены основные разделы теории ин-тегро-дифференциальных уравнений. Введены понятия, аналогич-ные основным понятиям теории интегральных уравнений Фред-гольма, а также доказаны аналоги теорем Фредгольма, полученные академиком А.И.Некрасовым и опубликованные им в 1934 г.
Рассмотрены задача Коши, специфическая задача Коши, краевые задачи, некоторые особенности интегродиффе-ренциальных уравнений Фредгольма, приближенные методы решения и возможности решения в замкнутом виде, как для уравнений с обыкновенным аргументом, так и для уравнений с запаздывающим аргументом.
Пособие предназначено для студентов специальностей «Математика», «Прикладная математика и информатика», а также для молодых преподавателей и аспирантов, специализирующихся в области функциональных уравнений.
© Г.А.Шишкин, 2007
© Бурятский госуниверситет, 2007
3
ВВЕДЕНИЕ
C задачами, которые приводят к интегродифференциальным уравнениям, физики и математики столкнулись еще в XVIII-XIX ве-ках.
Из первых задач, которые приводят к решению интегро-дифференциальных уравнений, можно привести:
1) задачу Проктора о равновесии упругой балки
∫−
−=+1
121 ;)(),()()( dttytxKxyxy IVIV αα
2) задачу Вольтерра о крутильных колебаниях
[ ] ['
0
( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ;t
t k f t m t K t s f s m s dsω ω ω ⎤= − + − ⎦∫
3) задачу Прандтля расчета крыла самолета
.)(211
)()(
1
1 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−⋅+
Δ= ∫
−xt
dtdt
tdgx
xgπ
π
История разработки теории интегродифференциальных уравнений началась с работ Бурбаки в 1903 г. В 1934 г. были опубликованы серьезные результаты по решению и исследованию интегродиффе-ренциальных уравнений А.И. Некрасовым[31].Идеи этой работы затем развивались В.В. Васильевым [6]-[11], Т.И. Виграненко [12]-[14], Я.В. Быковым [3]-[5] и другими.
К интегродифференциальным уравнениям относят такие функ-циональные уравнения, в которых неизвестная функция и ее произ-водные входят как под знак интеграла, так и могут находиться вне его. Следовательно, в отличие от интегральных уравнений они со-держат еще и производные неизвестной функции. Интегродиффе-ренциальные уравнения, как и интегральные, делятся на уравнения типа Фредгольма и Вольтерра.
Приведем общий пример нелинейного интегродифференциаль-ного уравнения типа Фредгольма:
[ ] [ ] . )()(),...('),(,,)( ),...,('),(, )()( ∫ =−b
a
mn xfdyyzyzyzyxKxzxzxzxF λ
Некоторыми частными видами интегродифференциальных урав-нений занимались В.Бушам [35], Я.В.Быков [3]-[5], В.В.Васильев [6]-
4
-[11],Т.И.Виграненко[12]-[14], В.Вольтерра [36]-[41], Л.Е.Кривошеин [22]-[23], Ю.К.Ландо [26]-[28], Н.Н.Назаров [30] и др.
Вопросы существования и единственности решения рассматри-вались в работах Б.М. Галаева [16], А.И. Егорова [17], О. Женхэна [18], Т.А. Кокаревой [21] и др. Приближенные методы - в работах К.Б. Бараталиева [2], Л.Е. Кривошеина [23] и др.
В главе I учебного пособия изложена классическая теория линейных интегродифференциальных уравнений Фредгольма, доказаны аналоги теорем Фредгольма.
Рассмотрены задача Коши, специфическая задача Коши, краевые задачи и некоторые особенности решения в зависимости от соотношения порядков внешнего и внутреннего дифференциальных операторов.
Глава I обобщает некоторые результаты, опубликованные рядом авторов [1]-[31] и [35]-[41], а также курс лекций, читавшийся проф. В.В.Васильевым для студентов Иркутского государственного университета специальностей «Математика» и «Прикладная математика» в 1970-1990 г.
В главе II рассматривается возможный вариант решения и исследования с использованием фундаментальной системы решений внутреннего дифференциального оператора, а в главе III и IV без использования фундаментальных систем решений внутреннего и внешнего дифференциальных операторов.
В главе IV рассматриваются приближенные приемы решения как для задачи Коши, так и для краевых задач при различных соотношениях порядков внешнего и внутреннего дифференциальных операторов.
В главах II-IV обобщены некоторые исследования авторов [22]-[32] и исследования автора данного пособия.
В главу V включены некоторые последние исследования автора [43]-[49] по применению одной модификации функции гибкой структуры [24]-[25] при преобразовании начальных и краевых задач для линейных интегродифференциальных уравнений Фредгольма с запаздывающим аргументом к разрешающим интегральным уравнениям с обыкновенным аргументом.
5
Глава I Аналоги теорем Фредгольма
§1. Аналог первой теоремы Фредгольма
1. Построение разрешающего интегрального уравнения, когда порядок внешнего дифференциального оператора
больше порядка внутреннего
Рассмотрим уравнение
∫ =+b
amn dyyzPyxKxzL ,0)]([),()]([ λ (1)
где
, )()(...)()()()()]([
),()(...)()()()]([
1
1
10
1
1
1
yzybdy
yzdybdy
yzdybyzP
xzxadx
xzdxadx
xzdxzL
mm
m
m
m
m
nn
n
n
n
n
+++=
+++=
−
−
−
−
коэффициенты обоих дифференциальных операторов – непрерывные функции, ядро K(x,y) – регулярно в квадрате а≤х, у≤b, λ – числовой параметр и n>m.
Поставим задачу – вывести разрешающее интегральное уравне-ние. Пусть z1(x), z2(x),…, zn(x) – фундаментальная система решений дифференциального уравнения
[ ] , 0)( =xzLn (2) тогда его общий интеграл запишется
z(x)=c1z1(x)+c2 z2(x)+….+ cn zn(x). (3) Предположим, что в уравнении (1) [ ] , )()( xFxzLn = (4)
где F(x) – пока неизвестная функция. Чтобы выразить z(x) в уравнении (4) через неизвестную функцию
F(x) применим метод вариации произвольных постоянных, т.е. реше-ние уравнения (4) будем искать в виде
z(x)=C1(x) z1+ C2(x) z2+….+ Cn(x) zn. (3*) Тогда неизвестные сi(x) определятся из системы
6
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+++=+++
=+++=+++
−−−
−−−
).(...,0...
,0...,0...
')1('2
)1(2
'1
)1(1
')2('2
)2(2
'1
)2(1
'''2
'2
'1
'1
''22
'11
xFCzCzCzCzCzCz
CzCzCzCzCzCz
nn
nnn
nn
nnn
nn
nn
LLLLLLLLLLL (5)
Главный определитель этой системы )(xΔ – определитель Врон-ского фундаментальной системы функций nizi ,1, = уравнения (2).
.0
...
.........
...
...
)(
)1()1(2
)1(1
''2
'1
21
≠=Δ
−−− nn
nn
n
n
zzz
zzzzzz
x (6)
Тогда по формулам Крамера найдем
nix
zzxFzz
zzzzzzzz
xCn
nn
in
in
nii
nii
i ,1,)(
...)(...
...0...
...0...
)()1()1(
1)1(
1)1(
1
''1
'1
'1
111
' =Δ
=−−
+−
−−
+−
+−
LLL
или, обозначив алгебраические дополнения к элементу F(x) в по-следней строке через nixi ,1),( =Δ , получим:
nixFxx
xC ii ,1 ),(
)()(
)(' =ΔΔ
= . (7)
Интегрируя выражение (7) определим Сi(x):
i
xi
i cdFxC +ΔΔ
= ∫ ηηηη )()()()( (8)
и, подставив Сi(x) в формулу (3*), выразим общий интеграл уравнения (4) в виде
∑ ∫= ⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
ΔΔ
+=n
i
xi
ii dFcxzxz1
.)()()()()( ηη
ηη (9)
Поставим теперь задачу подобрать функцию F(x) таким образом, чтобы выражение (9) удовлетворяло интегродифференциальному
7
уравнению (1). Для этого, продифференцировав z(х) в (9) n раз и учи-тывая равенства (5), получим:
,1,1,)()()()()(
1
)()( −=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
ΔΔ
+=∑ ∫=
nkdFcxzxzn
i
xi
ik
ik ηη
ηη (9k)
).()()()()()(
1
)( xFdFcxzxzn
i
xi
in
in +
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
ΔΔ
+=∑ ∫=
ηηηη (9n)
Потребуем теперь, чтобы функция (9) и ее производные (9k) и (9n) удовлетворяли уравнению (1). Подставив их выражения в уравнение (1) придем к разрешающему интегральному уравнению специального вида
,0),()(
)(),()()( =
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
Δ++ ∫ ∫ dyyxKdFyHygxF
b
a
y
ηηηηλ (10)
где F(x) – неизвестная функция,
)]([)(1
yzPcyg i
n
imi∑
=
= и )]([)(),(1
yzPyH i
n
imi∑
=
Δ= ηη .
2. Решение разрешающего интегрального уравнения
специального вида
Решение уравнения (10) будем искать в виде ряда Неймана
.)()(
1∑∞
=
=r
rr xxF λϕ (11)
Если решение уравнения (10) представимо в виде ряда (11), то, подставив его в уравнение (10) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях λ , получим рекуррентные формулы для коэффициентов этого ряда
,),()()(1 ∫−=b
a
dyyxKygxϕ
,)(),()(
),()( 1∫ ∫ −Δ−=
b
ar
y
r dydyxKyHx ηηϕηηϕ
,...3,2=r
8
Докажем сходимость этого ряда при следующих ограничениях
(12): ,)(
),(,),( MyHAyxK ≤Δ
≤ηη ,,,,),()( ηyxNdyyxKyg
b
a
∀≤∫
byxa ≤≤ η,, .
.,...2,1,2
)(
,2
)(,)(
1
12211
22
21
=−
≤
−=≤≤
−
−
−−
∫ ∫
rab
NAMx
abMANdydMANxNx
r
r
rrr
b
a
y
ϕ
ηϕϕ
Из правых частей оценок коэффициентов ряда (11) составим чи-словой ряд
12 21 1
11 2
r
rr rr
r
b aM A N λ
−∞
− −−
=
−⋅∑ . (13)
Нетрудно увидеть, что члены ряда (13) представляют собой гео-
метрическую прогрессию со знаменателем λ2
22 abMAq −= и при
q<1 он будет сходиться, что будет выполняться при
.
222 abMA −
<λ (14)
В силу построения ряда (13) он является мажорирующим для ряда (11) и, следовательно, по критерию Вейершрасса ряд (11) сходится абсолютно и равномерно ∀х, где выполняются ограничения (12) и (14).
Пример 1. Решим уравнение
∫ =+−−1
0
,0)(6'" dyyzzzz λ ).()]([ ,1),( yzyzPyxK m ==
Уравнение (2) будет z''– z – 6z = 0, ему соответствует характеристическое уравнение k2 – k– 6 = 0, корни которого k1 = 3, k2 = –2, и соответствующие им линейно независимые решения уравне-
9
ния (2) будут z1(x)=e3x, z2(x) =e -2x, используя которые, можем запи-сать общее решение в виде z(x)=c1e3x+ c2e-2x.
Для нахождения решения уравнения (4) применим метод вариа-
ции произвольных постоянных ⎩⎨⎧
=−=+
−
−
),(23,0
'2
2'1
3
'2
2'1
3
xFcececece
xx
xx
откуда нахо-
дим =Δ )(x –5ex, =Δ )(1 x –e-2x, =Δ )(2 x e3x, 2
' 311
' 222
3 21 1 2 2
( ) 1( ) ( ) ( ) ( ),( ) 5 5( ) 1( ) ( ) ( ),( ) 5
1 1( ) ( ) , ( ) ( ) .5 5
xx
x
x
x x
x eC x F x F x e F xx exC x F x e F xx
C x e F d C C x e F d cη ηη η η η
−−
−
Δ −= = =Δ −Δ
= = −Δ
= + = − +∫ ∫
Далее строим функции g(y) и H(η,y) в соответствии с обозначе-ниями в уравнении (10)
g(y)= c1 e3y+ c2e -2y, H(η ,y)= -e-2η e3y+e3ηe-2y. Решение уравнения (1) через неизвестную функцию F(x) по фор-
муле (9) запишется:
∫ −−− −++=x
xxxx dFeeeeececxz ηηηη )()(51)( 22332
23
1 ,
а разрешающее уравнение (10) примет вид
.0)1(2
)1(3
)()(5
)( 22311
0
2233 =−+−+−+ −−−∫ ∫ ececdFeeeedyxFy
yy λληηλ ηη
Подставляя решение в виде ряда (11) в разрешающее уравнение, оп-ределим коэффициенты этого ряда
( ) ( )⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+−−= −2231
1 12
13
)( ececxϕ , ( ) ( )3 21 22
1( ) 1 16 3 2
c cx e eϕ −⎡ ⎤= − − + −⎢ ⎥⎣ ⎦,
… , ( ) ( )⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+−−= −
−2231
1 12
136
1)( ececx rrϕ , … , используя которые,
найдем решение уравнения (10)
.)1(2
)1(36
6)( 2231⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+−
−−= −ececxF
λλ
10
Подставив это решение в формулу (9), получим решение задан-
ного интегро-дифференциального уравнения в виде
3 23 2
1 2( 1) (1 )( ) .
3(6 ) 2(6 )х хe ez x с с eλ λ
λ λ
−−⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −
= + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦l
Замечание. Нетрудно проверкой установить, что полученное ре-шение удовлетворяет уравнению в примере 1 при всех значениях λ , кроме λ =6. Следовательно, ограничение (14) возникло в связи с при-менением метода решения и связано с условиями абсолютной и рав-номерной сходимости ряда (11).
Задание. Самостоятельно найти ограничение (14) для примера 1 и сделать соответствующие выводы.
3. Итерированные ядра и резольвента. Интегральные уравнения резольвенты
Преобразуем коэффициенты ряда (11), для этого выражение ϕ1(х) подставим в ϕ2(х), предварительно заменив 1ηη → и у→у1 в выраже-нии )(2 xϕ . Тогда, после изменения порядка интегрирования, полу-чим:
dydуКухКyHdyygxb
a
yb
a∫ ∫∫ ⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
Δ−−= 111
1
1112 ),(),(
)(),()()(
1
ηηηηϕ . (15)
Принимая за первое первоначально заданное ядро К1(х,у) =К(х,у), (151)
а выражение в квадратных скобках за второе итерированное ядро
,),(),()(
),(),(1
111
1112 ηη
ηη dуКухКyHdyуxК
b
a
y
∫ ∫ Δ−= (152)
получим: dyухКygxb
a∫−= ),()()( 22ϕ . Затем аналогично преобразуем
коэффициент )(3 xϕ
11
dyухКygxb
a∫−= ),()()( 33ϕ ,
где
11211
1113 ),(),(
)(),(),(
1
ηηηη dуКухКyHdyуxК
b
a
y
∫ ∫ Δ−= ; (153)
и так далее dyухКygxb
arr ∫−= ),()()(ϕ ,
где
,...3,2 , ),(),()(
),(),( 11111
111
1
=Δ
−= ∫ ∫ − rdуКухКyHdyуxКb
a
y
rr ηηηη . (15r)
Подставив новые выражения коэффициентов )(xrϕ в ряд (11) и, в силу равномерной сходимости этого ряда, сгруппировав все слагае-мые под одним интегралом, найдем
[ ] ....),(...),(),(),()()( 13
22 dyуxКуxКухКухКygxF r
rb
a
+++++−= −∫ λλλλ
Ряд в квадратных скобках назовем резольвентой и обозначим R(x,y;λ ) =K(x,y)+λ K2(x,y)+…+ 1−rλ Kr(x,y)+… . (16) Тогда решение разрешающего уравнения через резольвенту запи-
шется
dyухRygxFb
a∫−= );,()()( λλ . (11*)
Нетрудно доказать равномерную и абсолютную сходимость ре-зольвенты, аналогично, как это было сделано для ряда (11) и при тех же ограничениях.
Если при преобразованиях коэффициентов ϕr(х) воспользоваться другим порядком перестановки интегралов, то получим другую фор-мулу для итерированных ядер
,...3 ,2 , ),(),()(
),(),( 11111
111
1
=Δ
−= ∫ ∫ − rdуКухКyHdyуxКb
a
y
rr ηηηη , (17r)
Задание проделать самостоятельно.
12
Интегральных уравнений резольвенты тоже можно составить два. В ряд резольвенты (16) подставим значения итерированных ядер (15r), r = 1, 2… .
−Δ
−= ∫ ∫ 1111
111
1
),(),()(
),(),();,( ηηηηλλ dуКухКyHdyуxКyxR
b
a
y
−−Δ
− ∫ ∫ ....),(),()(
),(1121
1
111
2 1ηη
ηη
λ dуКухКyHdyb
a
у
....),(),()(
),(1111
1
111
11
+Δ
− ∫ ∫ −− ηη
ηηλ dуКухКyHdy
b
a
y
rr
В силу равномерной сходимости выражение для резольвенты мо-жем переписать
[
] ,...),(...),(
),(),()(
),(),();,(
1112
12
111
111
1
ηηληλ
ηηη
λλ
dуКуК
уКухКyHdyуxКyxR
rr
b
a
y
++++
+Δ
−=
−−
∫ ∫
откуда видим, что в квадратных скобках тоже резольвента и
1111
111 );,(),(
)(),(),();,(
1
ηληηη
λλ dyRухКyHdyуxКyxRb
a
y
∫ ∫ Δ−= . (181)
Если же в ряд резольвенты (16) подставить выражения итериро-ванных ядер (17r), то, проделав аналогичные выкладки, получим сле-дующее уравнение резольвенты
1111
111 );,(),(
)(),(),();,(
1
ηληηηλλ dyхRуКyHdyуxКyxR
b
a
y
∫ ∫ Δ−= . (182)
4. Характеристический полином и минорный ряд А.И. Некрасова
Применив ряд Неймана (11) при решении разрешающего уравне-
ния (10), мы получили ограничения на λ (14). Естественно возникает вопрос, существенное это ограничение или возникло в связи с вы-бранным способом решения. На эти сомнения наталкивает и приве-денный пример 1.
13
Далее будем решать уравнение (10) без жестких ограничений на параметр λ . Для этого введём новую неизвестную функцию
)()()(
),( xФdFхНx
=Δ∫ ηηηη (19)
и, подставив F(x) из (10) в равенство (19), получим
ηηληληη ddyyyKdyygyKхНxФ
x b
a
b
a∫ ∫ ∫ ⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡Φ−−
Δ= )(),()(),(
)(),()( ,
откуда, вводя обозначения для известных выражений, придем к инте-гральному уравнению Фредгольма
∫ Φ+=b
a
dyyyxMxfxФ )(),()()( λ , (20)
где
∫∫∫ Δ−=
Δ−=
xb
a
x
dyKхНyxMdydygyKхНxf .),()(
),(),( ,)(),()(
),()( ηηηηηη
ηηλ
К уравнению (20) применим теорию Фредгольма, в соответствии с которой выпишем характеристический полином )(λD
......
),(...),(),(...........
),(...),(),(),(...),(),(
...!
)1(....
),(),(),(),(
!2),(1)(
1
21
22212
12111
212212
21112
111
+−+−
−+−=
∫ ∫
∫∫∫
p
b
a
b
a
pppp
p
p
pp
b
a
b
a
b
a
dxxd
xxMxxMxxM
xxMxxMxxMxxMxxMxxM
p
dxxdxxMxxMxxMxxM
dxxxMD
λ
λλλ
и затем, подставив ядро М(х,у) из (20) в )(λD и преобразовав опреде-лители, получим характеристический полином для уравнения (1)
...),(),(),(),(
)()(),(),(
!2
),()(
),(1)(
212212
2111
21
221121
2
1111
111
1 2
1
+ΔΔ
+
+Δ
+=
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
dxxdуxКуxКуxКуxК
xxуxНуxНdуdу
dxуxКxуxНdуD
b
a
b
a
у у
b
a
у
λ
λλ
14
. ...... ),(...),(
.........),(...),(
)()...(),()...,(
.........!
1
1
111
1
111
1
+×
×ΔΔ
+ ∫ ∫ ∫ ∫
p
ppp
p
b
a
b
a
у у
p
ppp
p
dxdxуxКуxК
уxКуxК
xxуxНуxН
dуdуp
nλ
(21)
Что и следовало ожидать, так как в силу эквивалентности уравне-ний (10) и (20) характеристические числа этих уравнений должны совпадать. Вводя обозначения
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
р
р
ррр
р
ККК
КК
ββαα
βαβα
βαβα
...
...
),(...),(.........
),(...),(
1
1
1
111
перепишем
. ......
)()...(),()...,(
.........!
1)(
11
1
1 1
111
1
рр
р
р
b
a
b
a
у у
р
ррр
p
...dxdxуухх
К
xxуxНуxН
dуdур
Dр
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×
×ΔΔ
+= ∑ ∫ ∫ ∫ ∫∞
=
λλ
(21*)
Вернемся к решению уравнения (10) в виде (11*)
∫−=b
a
dyyxRygxF );,()()( λλ .
Резольвенту будем искать в виде )(
);,(λ
λλ
Dyx
DyxR
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
= , где
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λ
yx
D – пока неизвестная функция. Тогда решение уравнения
(10) примет вид
∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
b
a
dyyx
DygD
xF λλλ )(
)()( . (22)
15
Для определения функции ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λ
yx
D воспользовавшись
уравнением резольвенты (181) получим интегральное уравнение
( ) ∫ ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ b
a
y
ds
DyxКyHdysxКDsx
D ηλη
ηηλλλ ),(
)(),(),( . (23)
Выберем эту функцию с помощью ряда
r
rr sxА
sx
D λλ ∑∞
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
0
),( , (24)
подставив его в равенство (23) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях λ , получим
),(),(0 sxКsxА = ,
∫ ∫ −Δ
=b
a
у
dxsxКуxKxуxНdуsxА
1
1111
1111 ),(),(
)(),(),(
∫ ∫
∫ ∫
Δ=
=Δ
−
b
a
у
b
a
у
dxуxКsxКуxКsxК
xуxНdу
dsКуxKуН
dу
1
.),(),(),(),(
)(),(
),(),()(
),(
1111
1
1
111
ηηη
η
Аналогично найдем
. ),(),(),(),(),(),(),(),(),(
)()(),(),(
!21),(
21
22122
21111
21
21
2211212
1 2
dxdxуxКуxКsxКуxКуxКsxКуxКуxКsxК
xxуxНуxНdуdуsxА
b
a
b
a
у у
×
×ΔΔ
= ∫ ∫ ∫ ∫
… … … … … …… … … … … …… … … … … …
16
∫ ∫ ∫ ∫ ×ΔΔ
=b
a
b
a
у у
r
rrrr
r
xxуxНуxНdуdу
rsxА
1
)()....(),()...,(.........
!1),(
1
111
r
rrr
r
r
dxdx
уxКsxК
уxКsxКуxКsxК
...
),(...),(...
),(......
...),(
),(...),(
111×
… … … … … …… … … … … …… … … … … …
Подставив найденные выражения ),( sxАr в ряд (24), получим минорный ряд А.И. Некрасова – аналог минорного ряда Фредгольма
+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛),( sxК
sx
D λ
×ΔΔ
+∑ ∫ ∫ ∫ ∫∞
=1 1
111
1
)()...(),()...,(
.........!р
b
a
b
a
у у
р
ррр
р р
xxуxНуxН
dуdурλ
р
рррр
р
р
dxdx
уxКуxКsxК
уxКуxКsxКуxКуxКsxК
...
),(...),(),(............
),(...),(),(),(...),(),(
1
1
1111
1
× . (251)
Используя обозначения в формуле (21*) ряд (251) перепишется
)(25 ..........
)()...(),()...,(
.........!
),(
111
1
1 1
111
1
∗
∞
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×
×ΔΔ
+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ∑ ∫ ∫ ∫ ∫
рр
р
р
b
a
b
a
у у
р
ррр
р
dxdxууsxxх
К
xxуxНуxН
dуdур
sxКsx
Dрλλ
Исследуем на сходимость ряд ( )λD (ряд ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λ
sx
D исследуется
аналогично).
17
Для коэффициентов ряда ( )λD в (21) введем обозначения
, .........
)()...(
),()...,(.........
!1 , 1
121
21
1
1110
1
рр
р
b
a
b
a
у у
р
рррp
dxdxуууxxx
К
xxуxНуxН
dуdур
ddр
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×
×ΔΔ
== ∫ ∫ ∫ ∫
где
.,...2,1,),(...),(
.........),(...),(
...
...
1
111
1
1 ==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛р
уxКухК
уxКуxК
ууxx
К
ррр
р
р
р
Тогда ряд (21) примет вид
( ) .0
p
рpdD λλ ∑
∞
=
= (21*)
Для доказательства сходимости ряда (21*) вспомним неравенство Адамара. Если АухК ≤),( при bуха ≤≤ , , то
рр
р
р рАуууxxх
К ≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛......
21
21 ;
и пусть МхухН
≤Δ )(
),( , тогда
.2!
1
............!
1
22
11
1
pp
p
рррр
b
a
b
a
у у
ррррррp
p
uab
рАМр
dxdxdуdурАМр
dр
=−
=
=≤ ∫ ∫ ∫ ∫
λ
λλ
18
Из оценок pu членов ряда (21*) составим положительный
числовой ряд ∑∞
=0рpu , сходимость которого докажем,
воспользовавшись признаком Даламбера
,102)!1(
2!)1(limlim
221
12211111 <=
−⋅+
−+==
+
+++++
∞→
+
∞→ pррррp
ppрррр
pp
p
p abрАМp
pabрАМ
uu
λ
λl
так как
.01
1lim)1(1)1(lim
)1(
)1(lim
1
=+
⋅=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++
⋅+
=+
+∞→∞→
+
∞→ pe
pр
рр
рp
рpр
р
pр
р
p
По построению ряд ∑∞
=0рpu является мажорирующим для ряда
(21*) и, следовательно, по критерию Вейершрасса ряд (21*) сходится абсолютно и равномерно при всех значениях λ .
Задание. Самостоятельно доказать сходимость ряда (251).
5. Существование и единственность решения интегро-дифференциального уравнения Фредгольма
Прежде чем сформулировать аналог первой теоремы Фредгольма сначала убедимся, что функция F(x) в формуле (22) удовлетворяет уравнению (10). Для этого значение функции F(x) из формулы (22) подставляем в уравнение (10), сокращаем на λ , переименовываем переменные, группируем под одним общим интегралом, вынося об-щий множитель g(y1). В результате придем к первому уравнению ре-зольвенты.
19
( )
( ) , 0),()()(
),()(
)(
11
1
11
1
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−Δ
++
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
∫ ∫ ∫
∫
dyyxKddyD
yD
ygyHyg
dyD
yx
Dyg
b
a
y b
a
b
a
ηλ
λη
ληηλ
λ
λλ
( ) ( ) , 0),()(
),(),()( 11
11
1 =
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Δ−
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
− ∫ ∫∫ dydydyxKD
yD
yHyxKD
yx
Dyg
b
a
yb
a
ηλ
λη
ηηλ
λ
λ
откуда, так как g(y1), вообще говоря, ≠0, то
( ) ( ) , ),()(
),(),( 11
1 dydyxKD
yD
yHyxKD
yx
D b
a
y
ηλ
λη
ηηλ
λ
λ
∫ ∫⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅Δ
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
т.е.
.),();,()(
),(),();,( 111 ηληηηλλ dydyxKyRyHyxKyxR
b
a
y
∫ ∫ Δ−=
Затем докажем единственность решения уравнения (10) в форме
(22). Доказательство проведем методом от противного. Пусть уравне-
ние (10) имеет другое решение Ф(х), тогда
.0),()()(
),()()( ≡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡Φ
Δ++Φ ∫ ∫ dyухКd
yHygx
b
a
y
ηηηη
λ (26)
В этом тождестве заменим x на t, умножим его на
);,()(
),(1
1 λyxRtytH
Δ
и проинтегрируем
20
.0*)(*),(*);,(*)()(
*),(),(*
)(),();,()(
),(
)();,()(
),(
1
1
1
11
1
11
1
11
1
≡ΦΔΔ
+
+Δ
+
+ΦΔ
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∗b
a
b
a
у у
b
a
b
a
у
b
a
у
dtdytKyxRtуtHуНdуdу
dtygytKyxRtуtНdуdу
dttyxRtуtНdу
ηηλη
ηλ
λλ
λ
Выражение, отмеченное под «*»:
∫ ∫ −=Δ
b
a
у
yxRyхKdtyxRytKtуtН
dу1
);,(),();,(),()(
),(1
11 λλλ , – находится
из второго интегрального уравнения резольвенты (182), подставим его в последнее слагаемое, расписав на сумму интегралов
; 0)();,()(
),()(),()(
),(
)(),();,()(
),(
)();,()(
),(
1
11
1
11
1
1
1
≡ΦΔ
−ΦΔ
+
+Δ
+
+ΦΔ
∫ ∫ ∫∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
b
a
b
a
уу
b
a
b
a
у
b
a
у
dyxRуНdуdyхKуНdу
dtygytKyxRtуtНdуdу
dttyxRtуtНdу
ηηληηηη
ηη
λλ
λ
тогда первое и последнее слагаемое уничтожатся.
. )(),();,()(
),(
)(),()(
),(
1
11
1∫ ∫ ∫
∫ ∫
Δ−≡
≡ΦΔ
b
a
b
a
у
b
a
у
dtygytKyxRtуtНdуdу
dyхKуНdу
λλ
ηηηη
(27)
Подставив (27) в уравнение (26)
∫ −+Φb
a
dуyхKygх ),()()( λ
21
0)(),();,()(
),(1
11
12 ≡
Δ− ∫ ∫ ∫
b
a
b
a
у
dtygytKyxRtуtНdуdу λλ
и, записав разность интегралов под одним, получим
.0);,(),()(
),(),()()( 11
1
1
≡⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
Δ−+Φ ∫ ∫ ∫ dydtyxRуtК
tytHdyухКygx
b
a
b
a
y
λλλ
Так как в квадратных скобках резольвента (в соответствии с
(182)), то dyyxRygxb
a∫−=Φ );,()()( λλ , т.е. )()( xFx =Φ . Единствен-
ность доказана. Сформулируем теперь аналог первой теоремы Фредгольма.
Если 0)( ≠λD , то разрешающее интегральное уравнение (10) имеет единственное решение, определяемое по формуле (22)
∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
b
a
dyygyx
DD
xF )()(
)( λλλ ,
в котором )(yD и ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λ
yx
D – ряды (21 ∗ ) и (25 ∗1 ), сходящиеся
абсолютно и равномерно для всех значений λ (в том числе и для комплексных). Определение. Значения λ , для которых ( )λD = 0, назовем
характеристическими или фундаментальными числами ядер К(х,у) и М(х,у).
6. Рекуррентные формулы вычисления коэффициентов характеристического полинома и минорного ряда
Выпишем ряды (21) и (251) с неопределенными пока коэффициен-
тами
( ) ,0
p
рpdD λλ ∑
∞
=
= (21*) и р
рр ухd
yx
D λλ ),(0
*∑∞
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ )25( *
1 .
22
Сравнивая слагаемые в формуле (21) с (21*) и в формуле (251) с )25( *
1 , видим, что 10 =d , =),(*0 yxd К(х,у), а следующие
коэффициенты представимы в виде формул
, .........
)()...(),()...,(
.........)!1(
1
11121
121
11
1111111
1 1
++
+
+
++++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×
×ΔΔ+
= ∫ ∫ ∫ ∫+
рр
р
b
a
b
a
у у
р
рррp
dxdxуууxxx
К
xxуxНуxН
dуdур
dр
(28)
. .........
)()...(),()...,(
.........!
1),(
121
21
1
111
*1
рр
р
b
a
b
a
у у
р
рррр
dxdxуууxxx
yx
К
xxуxНуxН
dуdур
ухdр
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×
×ΔΔ
= ∫ ∫ ∫ ∫ (29)
Умножим равенство (29) на )(),(
11
xуxН
р Δ+ и проинтегрируем
по ∫ ∫b
a
у
dхdу :
∫ ∫ ∫∫ ∫ +=
Δ+
b
a
b
a
у
р
b
a
у
р dydуdyp
dхухdxуxНdу
р.........
)!1(1),(
)(),(
11 1
1*
. .........
)()()...(),(),()...,(
... 121
21
1
11 dxdxdxуууxxx
yx
Кxxx
уxНуxНуxНру
р
у
р
р
р
рр∫ ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΔΔΔ
Нетрудно увидеть, что заменив х на х1, х1 на х2, …, хр на хр+1 и у на у1, у1 на у2, …, ур на ур+1, в правой части последнего равенства, получим коэффициент dP+1, т.е.
∫ ∫ Δ+=+
b
a
у
рp dхухdxуxНdу
рd ),(
)(),(
11 *
1 . (28*)
Положив в формуле (28*) р=0, найдем
23
∫ ∫ Δ=
b
a
у
dхухКxуxНdуd ),()(),(
1 .
Для определения коэффициентов ),(* ухd р воспользуемся
интегральным уравнением (23) для ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λ
sx
D .
Подставив в равенство (23) ряд )25( *1
, ),(),()(
),(
),(),(
0
*
0 0
*
∫ ∫ ∑
∑ ∑∞
=
∞
=
∞
=
Δ−
−=
b
a
у
р
рр
р р
рр
рр
dsdуxКуНdу
dуxКsхd
ηληηηλ
λλ
приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях λ , заменив при этом s на у и у на у1, получим
∫∫ −Δ
−
−=1
),(),()(
),(
),(),(
*11
11
*
у
р
b
a
pр
dydуxКуН
dу
yxKdухd
ηηηη . (29*)
Теперь, положив р=1 в (29*), определим
∫∫ Δ−=
1
),(),()(
),(),(),( 111*1
уb
a
dyКуxКуНdуyxKdухd ηηηη
и так далее, используя рекуррентные формулы (28*) и (29*).
Замечание 1. Если ( ) 0≠λD , т.е. λ не является характеристиче-
ским числом, а ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λ
yx
D ≡0, то разрешающее интегральное уравнение
(10) имеет только нулевое решение, и решение интегро-дифференци-ального уравнения (1) совпадает с решением дифференциального уравнения
24
Ln[z(x)]=0, т.е. z(x)=c1z1+ c2z1+…+cnzn.
Замечание 2. Если ( )λD =0, а ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λ
yx
D ≠0, то разрешающее
интегральное уравнение (10) имеет одно бесконечное решение, и, соответственно, бесконечное решение будет иметь интегро-дифференциальное уравнение (1).
Замечание 3. Случай ( )λD = 0 и ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λ
yx
D = 0 будет
рассматриваться особо.
Пример 2. [ ]∫ +=+π
λ0
)()(')()(" dyyzyzxxzxz .
0)()(" =+ xzxz , k2+1=0, k 1,2=±i, z1(x)=cos x, z2 = sin x, z(x)=c1cos x+ c2 sin x, )()()(" xFxzxz =+ , z(x)=C1(x)z1(x)+ C2(x)z2(x).
⎩⎨⎧
=+=+
,xFсos xС x -С, x Ссos xС
''
''
)(sin0sin
21
21
.)(1
cos)(1
sin21 xF x С,xF x-С '' ==
В соответствии с обозначениями в (7) и (10) найдем
Δ (x) =1, Δ 1(x)= - sin x, Δ 2(x)=cos x, P1[z(y)]=z'( y)+ z(y),
P1[z1(y)]= -sin y +cos y, P1[z2(y)] = cos y +sin y.
g(y) = c1P1[z1(y)]+ c2P1[z2(y)] = c1 (cos y- sin y) + c2 (cos y +sin y),
H(η,y) = Δ1 (η)P1[z1(y)]+ Δ2 (η)P1[z2(y)] = - sin η(cos y- sin y) +
+cos η(cos y +sin y).
Теперь найдем коэффициенты рядов (21*) и (251*), воспользовавшись рекуррентными формулами (28*) и (29*)
,),( ,1 *00 хухdd −== ,),(
)(),(
1 ∫ ∫ Δ=
b
a
у
dxdyyxKхухНd
25
[ ]
∫ ∫ ∫
∫∫
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+−=
=−++=
π
π
0
01
xcos )sincos(sin x )sincos(
)()sincos(cos)sincos(sin -
dуdxxyydxxyy-
dxxyyxyy- xdуd
у у
у
[ ]∫ =++−−−=π
0
)cossin)(sincos()cossin)(sincos( dуyyyyyyyyyy
y -y yy y yyyyyy cossincossincossinsincos(0
22 −+−−= ∫π
∫ +−==−−π
ππ
0
222 ),
2()1(cossincossin dу-y-y)dуy y-yy
∫∫ Δ−=
1
),(),()(
),(),(),( *01
111
*1
уb
a
dydуxКуНdуyxKdухd ηηηη ,
[ ]
[
] ,0)2
()2
()cossin)(sincos(
)sincos)(sincos()2
(
)sincos(cos)sincos( sin
)2
(),(
22
111111
011111
2
011111
2*1
1
=+−+=+++
+−+=
=++−
−+=
∫
∫ ∫
ххdyyyyyy
y-yyy-yxх
dydxyyy-y-
хухd
у
ππππ
ππ
ηηηη
ππ
π
π
следовательно, d2=0, =),(*2 ухd 0 и т.д.
По формулам (21*) и (251*) находим
( )λD =1 )2
(2
ππ+− λ, x
yx
D −=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λ .
26
Тогда в соответствии с формулами (112) и (22) определим сначала F(х)
xc
dyyyyy-cхxF
λππ
λ
λππ
λ π
)2
(1
)c(2
])sincos(c)sincos()[()
2(1
)(
212
0212
+−
−=
=++−+−
−= ∫
и затем по формуле (9) z(х)
z(x)=c1 )(1 xz + c2 )(2 xz ηηη
ηη dFx
)()(
(x)z)((x)z)( 2211∫ ΔΔ+Δ
− ,
z(x)=c1 cos x+ c2 sin x+ xc
λππ
λ
)2
(1
)c(2212
+−
− , при
2
12ππ
λ+
≠ .
7. Решение задачи Коши
Рассмотрим начальную задачу для интегро-дифференциального уравнения (1) с начальными условиями
1,0,)( 00
)( −== nizxz ii и ],[0 bax ∈ . (1*)
Учитывая начальные условия, формулу (9) – представление решения уравнения (1) через неизвестную функцию F(x) – можем переписать
∑ ∫= ⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
ΔΔ
+=n
i
x
x
iii dFcxzxz
10
0
)()()(
)()( ηηηη
. (90)
Значения постоянных ci0 можно определить на этом этапе решения начальной задачи. Положив x=x0 в формуле (90), получим линейную алгебраическую систему относительно ci0
27
1,0,)(
1
)(000
)( −==∑=
nkzcxzn
i
ki
ki , (50)
которая всегда разрешима, так как главный определитель этой системы есть значение определителя Вронского Δ (х) фундаментальной системы функций 1,0),( −= nixzi в точке х0
0
)(...)()(............
)(...)()()(...)()(
)(
0)1(
0)1(
20)1(
1
0'
0'20
'1
00201
0 ≠=Δ
−−− xzxzxz
xzxzxzxzxzxz
x
nn
nn
n
n
(60)
Вычислив значения постоянных ci0 в системе (50) и подставив их в выражение g(х) в уравнении (10), придем к разрешающему интегральному уравнению специального вида
,0),()(
)(),()()(
00 =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
++ ∫ ∫ dyyxKdFyHygxFb
a
x
xηη
ηηλ
(100)
где ∑=
=n
iimio yHyzPcyg
10 ),()],([)( η и )(ηΔ те же, что и в формуле
(10). Для нахождения характеристического полинома ( )λD и первого
минорного ряда ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λ
yx
D при решении уравнения (10), учитывая на-
чальные условия, получим формулы ( )
,.........
)()...(),()...,(
.........!
1
11
1
1
1
111
0
1
0 0
∑ ∫ ∫ ∫ ∫∞
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΔΔ
+
+=
p
b
a
b
a
у
x
у
xр
р
р
р
ррр
p р
dxdxууxx
Кxx
уxНуxНdуdу
р
D
λ
λ
( *021 )
28
. .........
)()...(),()...,(
.........!
),(
11
1
1 1
1110
1
0 0
рр
р
p
b
a
b
a
у
x
у
x р
ррр
p
dxdxуууxxx
К
xxуxНуxН
dуdур
yxKyx
Dр
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×
×ΔΔ
+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ∑ ∫ ∫ ∫ ∫∞
=
λλ
( *1025 )
Решение уравнения (10), а затем и (1), при заданных начальных условиях, найдем по формулам:
( ) ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
b
a
dyygyx
DD
xF ,)()( 000
λλ
λ (220)
. )(
)()(
)()(1 0∑ ∫=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
+=n
i
x
xi
ioi dFcxzxz ηηηη
(90)
Пример 3. Найти решение задачи Коши и определить характери-стические числа.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
=+−− ∫.0)0(' ,1)0( ,0
,0)(6
0
1
02
2
zzx
dyyzzdxdz
dxzd λ
К(х,y) = 1, Pm[z(y)]=z(y), a =0, b =1. 06'" =−− zzz , k2-k-6=0, k1=3, k2 = -2, z1(x) = e3х, z2(x)=e-2х, Δ (x) = -5eх, Δ 1(x)= − e-2х, Δ 2(x)=e3х.
∫ −−− −++=x
xxxx dFeeeeececxz0
223322
31 )()(
51)( ηηηη .
Здесь использованы результаты вычислений примера 1. Далее, положив х0= 0, найдем постоянные с10 и с20, записав систему (50)
⎩⎨⎧
=−=+
023,1
2010
2010
cc cc
, откуда находим 53
52
2010 == , cc и
yyyy eeeeyHeeyg 3223230 ),( ,
53
52)( ηηη −−− −=+= .
29
Разрешающее уравнение (100) запишется
0)()(51
53
52)(
1
0 0
223323 =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+++ ∫ ∫ −−−
yyyyy dFeeeeeexF ηηλ ηη .
Вычислим теперь по формулам ( *021 ) и ( *
1025 ) значения ( )λ0D и
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λуx
D0 . Так как определители второго и высших порядков для дан-
ной задачи равны нулю, то имеем
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −++−+=
−−
+= ∫ ∫−
2
251
0 01
3223
10 36954
65
51
5)(1
1
1
1111
eeedх
eeeeedyD
y
х
yхyх λλλ ,
10 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λуx
D .
По формулам (220) и (90) находим
∫ −
−+⋅
−++−−=
1
0
23
23,)32(
51
)954(1806
1)( dyee
eexF yy
λλλ
3 2 3 2
3 2 3 2
6(6 )(2 3 ) (4 5 9 )( ) .30(6 ) (4 5 9 ) 30(6 ) (4 5 9 )
x xe e e ez xe e e e
λ λλ λ λ λ
− −
− −
− + + −= − +
− + + − − + + −
Приравняв нулю ( )λ0D , найдем характеристическое число
)954(30180
230 −−+−=
eeλ .
Задание. Сравнить с характеристическим числом общего решения (пример 1) и сделать соответствующий вывод.
§2. Аналог второй теоремы Фредгольма
30
1. Минорные ряды высших порядков
Назовем минорными рядами высших порядков следующие ряды
⋅ΔΔ
+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∑ ∫ ∫ ∫ ∫∞
= ++
++++++
+ +
1 1
111
1
1
1
1
1
)()...(),()...,(
.........!
...
.........
р
b
a
b
a
у у
рrr
рrрrrrprr
р
r
r
r
r
r pr
xxуxНуxН
dуdур
yx
yx
Кyx
yx
D
λ
λ
....,2,1 ,.........
11
1 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅ ++
+
+ rdxdxyx
yx
К рrrpr
pr (25r)
Докажем сходимость минорных рядов высших порядков при сле-
дующих ограничениях а≤ x, y≤ b, АухК ≤),( , МхухН
≤Δ )(
),(. То-
гда, в соответствии с неравенством Адамара
рrрr
рr
рr рrАуууxxх
К ++
+
+ +≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛)(
...
...
21
21,
для членов рядов ( *25r ) получим ограничения
.2!
)(...
...
...
)()...(),()...,(
.........!
22
11
1
1
111
1
pp
pрrрrpp
рrrpr
pr
b
a
b
a
у у
рrr
рrрrrrprr
р
up
abрrАMdxdx
yx
yx
К
xxуxНуxН
dуdур
r pr
=−+
≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×
×ΔΔ
++
+++
+
++
++++++∫ ∫ ∫ ∫
+ +
λ
λ
По признаку Даламбера ряд ∑∞
=0рpu , где rr rАu ≤0 , сходится, так
как == +
∞→ p
p
p uu 1liml
31
.10)(2)!1(
2!)1(lim
221
1221111
<=−+⋅+
−++=
+++
+++++++
∞→ pрrrрррp
ppрrrррр
p abрrАМp
pabрrАМ
λ
λ
Аналогичный предел уже рассматривался при доказательстве схо-димости ряда ( )λD (21*) в пункте 4. Следовательно, ряды ( *25r ) по критерию Вейерштрасса сходятся абсолютно и равномерно.
2. Связь между минорными рядами
разрешающего интегрального уравнения специального вида
Получим зависимость между минорными рядами разложением входящих в них определителей по элементам строк и столбцов. Нач-
нем с минорного ряда второго порядка ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λ
2
2
1
1
ух
уx
D в формуле (25r)
при r =2 (для минорного ряда первого порядка проделать самостоя-тельно), разложив его определители по элементам первой строки:
×ΔΔ
+
+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∑ ∫ ∫ ∫ ∫∞
=+
+++
+
123
223323
2212
2111
2
2
1
1
3 2
)()...(),()...,(.........
!
),(),(),(),(
р
b
a
b
a
у у
р
ррр
р p
xxуxНуxНdуdу
р
уxКуxКуxКуxК
ух
уx
D
λ
λ
=× +
+++
+
23
2212
2111
...
),(......),(........................
),(......),(
р
ррр
р
dxdx
уxКуxК
уxКуxК
×Δ
+−= ∫∫ )(),(
),(),(),(),(3
33312212211
3
xуxН
dууxКуxКуxКуxКуb
a
λ
+⎢⎣
⎡−×
),(),(),(),(
),(),(),(),(),(
),(3313
321221
3323
322211 уxКуxК
уxКуxКуxК
уxКуxКуxКуxК
уxК
32
×ΔΔ
+
+⎥⎦
⎤+
∫ ∫ ∫∫b
a
y yb
axx
уxНуxНdydy
dxуxКуxКуxКуxК
уxК
3 4
)()(),(),(
!2
),(),(),(),(
),(
43
443343
2
32313
221231
λ
....),(),(),(),(),(),(),(),(),(
),(
),(),(),(),(),(),(),(),(),(
),(
),(),(),(),(),(),(),(),(),(
),(
),(),(),(),(),(),(),(),(),(
),(
43
342414
332313
322212
41
442414
432313
422212
31
443414
433313
423212
21
443424
433323
423222
11
+⎥⎥⎥
⎦
⎤−
−+
+−
⎢⎢⎢
⎣
⎡−×
dxdxуxКуxКуxКуxКуxКуxКуxКуxКуxК
уxК
уxКуxКуxКуxКуxКуxКуxКуxКуxК
уxК
уxКуxКуxКуxКуxКуxКуxКуxКуxК
уxК
уxКуxКуxКуxКуxКуxКуxКуxКуxК
уxК
Сгруппировав члены, содержащие множители ),( 11 уxК и ),( 21 уxК , и вынося общий множитель за скобки, в скобках в
соответствии с выражением (251) получим разложения ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λ
2
2
yx
D и
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λ
1
2
yx
D :
∫ ∫ +Δ
+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
b
a
у
уxКуxКуxКуxК
уxКxуxН
dу
ух
DуxКух
DуxКух
уx
D
),(),(),(),(
),()(
),(
),(),(
2313
221231
3
333
1
221
2
211
2
2
1
1
3
λ
λλλ
33
...),(),(),(),(),(),(),(),(),(
),()()(
),(),(!2
),(),(),(),(),(),(),(),(),(
),()()(
),(),(!2
43
342414
332313
322212
4143
443343
2
43
442414
432313
422212
3143
443343
2
3 4
3 4
+×
×ΔΔ
⋅−
−×
×ΔΔ
+
∫∫ ∫ ∫
∫∫ ∫ ∫
dxdxуxКуxКуxКуxКуxКуxКуxКуxКуxК
уxКxx
уxНуxНdydy
dxdxуxКуxКуxКуxКуxКуxКуxКуxКуxК
уxКxx
уxHуxНdydy
b
a
b
a
у у
b
a
b
a
у у
λ
λ
Далее, для симметричной записи, переставим строки в определителях, сменив затем х3 на х4, у3 на у4 и наоборот х4 на х3 и у4 на у3 и т.д. в выражениях с отрицательными знаками
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λλλ
1
221
2
211
2
2
1
1 ),(),(ух
DуxКух
DуxКух
уx
D
∫ ∫ +⎢⎣
⎡Δ
−b
a
у
уxКуxКуxКуxК
уxКxуxНdу
),(),(),(),(
),()(
),(2212
231331
3
333
3
λ
......),(),(),(),(),(),(),(),(),(
),()(
),(
34
342414
322212
332313
414
444
4
+⎥⎥⎥
⎦
⎤+×
×Δ
+ ∫ ∫
dxdxуxКуxКуxКуxКуxКуxКуxКуxКуxК
уxКxуxН
dуb
a
у
λ
34
Нетрудно увидеть, что в соответствии с формулой (25r) в квадратных скобках получили фредгольмовский минорный ряд
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λ
2
2
1
3
ух
уx
D . Следовательно, заменив х3 на η , у3 на у, получим
.),()(
),(
),(),(
2
2
11
1
221
2
211
2
2
1
1
ηλη
ηη
λ
λλλ
dух
уDуxKуНdу
ух
DуxКух
DуxКух
уx
D
b
a
у
∫ ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
(302)
Разложим пятый минор по элементам третьей строки (самостоятельно), используя обозначения в (21*). Тогда ряд (255) перепишется
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
+
+
λ
λ
λλ
5
5
4
4
2
2
1
131
33
5
5
4
4
3
2
1
121
23
5
5
4
4
3
2
2
111
13
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
),()1(
),()1(
),()1(
ух
ух
ух
уx
DуxК
ух
ух
ух
уx
DуxК
ух
ух
ух
уx
DуxКух
ух
ух
ух
уx
D
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+ + λ
5
5
3
4
2
2
1
141
43 ),()1( ух
ух
ух
уx
DуxК
41 2 53 51 5
31 2 4
51 2 4
3 51 2 4
( 1) ( , )
( , ) ( , )( )
уb
a
хx х хК x у D
уу у у
хx х хН уК x у dy D dу уу у у
λ
ηηλ λ ηη
+ ⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞
− ⎜ ⎟Δ ⎝ ⎠∫ ∫
или
35
.)(
),(),(
),()1(
5
5
4
4
32
2
1
13
5
1 5
5
1
4
1
2
1
13
3
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
ηλη
ηηλ
λλβ ββ
ββ
dух
ух
уух
уx
DуНdyуxК
ух
ух
ух
уx
DуxКух
ух
ух
ух
уx
D
b
a
у
∫ ∫
∑
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
= +−
+
(305)
Аналогично получим формулу для разложения r – минора по α–й строке
.......
...
...)(
),(),(
...
.........
),()1(
...
.........
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
ηλη
ηηλ
λ
λ
α
α
αα
αα
β β
α
β
αβα
βα
α
α
α
α
α
α
dух
ух
yух
уx
DуНdyyxК
ух
ух
ух
уx
DуxК
ух
ух
уx
ух
уx
D
b
a
у
r
r
r
r
r
r
r
∫ ∫
∑
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
+
−
−
= +
+
−
−+
+
+
−
−
(30r)
Также аналогично можно получить формулу для разложения r – минора по β -му столбцу
1 11
1 11
1 11
1 1 11
... ...
... ...
... ... ( 1) ( , )
... ...
r
r
rr
r
х х хx хD
у у уу у
х хx хК x у D
y уу у
β β β
β β β
α αα βα β
α β β
λ
λ
− +
− +
− ++
= − +
⎛ ⎞=⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞
= − −⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
.......
...
...),(
)(),(
1
1
1
1
1
1 ηληηηλ
β
ββ
β
ββ dyd
ух
ух
ух
ух
уx
DyКуНb
a
у
r
r∫ ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
−+
+
−
− (31r)
36
3. Построение фундаментальных функций однородного уравнения, соответствующего неоднородному
разрешающему интегральному уравнению Выпишем однородное интегральное уравнение, соответствующее
неоднородному уравнению специального вида (10)
.0)(),(
)(),()( =
Δ+ ∫ ∫
b
a
ydFyxKyHdyxF ηη
ηη
λ (32)
При нахождении фундаментальных функций уравнения (32) нам потребуются производные )(λD , найдем их
+=1)(λD
,.........
)()...(),()...,(
.........!1
11
1
1
111
1
∑ ∫ ∫ ∫ ∫∞
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΔΔ
+р
р
b
a
b
a
у у
р
р
р
ррр
р
dxxdуухх
Кxx
уxНуxНdуdу
р
рλ (21*)
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×
×ΔΔ−
=∑ ∫ ∫ ∫ ∫∞
=
−
рр
р
р
b
a
b
a
у у
р
ррр
p
dxdxуухх
К
xxуxНуxН
dуdур
Dр
.........
)()...(),()...,(
.........)!1(
)('
11
1
1 1
111
1 1λλ
[ +Δ
= ∫ ∫ ),()(
),(. 111
111
1
уxKxуxНdу
b
a
у
212 2
22 2
1 1 1
2 1
1
( , )... ( , )... ... ...
( 1)! ( )... ( )
( , ) ... ( , ) ... ... ... ... .
( , ) ... ( , )
рууb bpр р
рр рa a
р
р
р р р
Н x у Н x уdу dу
р x x
К x у К x уdx dx dx
К х у К x у
λ −∞
=
+ ×− Δ Δ
⎤⎥
× ⎥⎥⎦
∑ ∫ ∫ ∫ ∫
В квадратных скобках в соответствии с формулой (251) имеем
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λ
1
1
уx
D и, следовательно,
∫ ∫ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
=b
a
у
dxуx
DxуxНdуD .)(
),()(' 11
1
1
111
1
λλ (331)
37
Аналогично найдем
212
2
1
1
21
221121
1 2
)()(),(),()('' dxxd
ух
уx
Dxx
уxНуxНdуdуDb
a
b
a
у у
∫ ∫ ∫ ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΔΔ
= λλ , (332)
… … … … … … … … … … … … … … … …
..........
)()...(),()...,(.........
)(
11
1
1
111
)(
1
m
b
a
b
a
у у
m
m
m
mmm
m
dxxdух
уx
Dxx
уxНуxНdуdу
Dm
∫ ∫ ∫ ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΔΔ
=
=
λ
λ
(33m) Пусть λ=λ* является корнем характеристического уравнения
D(λ)=0, кратности p, тогда D(λ*)=0, D′(λ*)=0, … D(p-1)(λ*)=0, а
D(p)(λ*)≠0. Положим m= 1,1 −p , в формулах (33m), тогда ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛*
1
1 λуx
D =0,
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛*
2
2
1
1 λух
уx
D =0, …, ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
− *......
1
1
1
1 λp
p
ух
уx
D =0, ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛*
...
...
1
1 λp
p
ух
уx
D ≠0.
Нетрудно увидеть, что и обратно, при
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛*
1
1 λуx
D =0, ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛*
2
2
1
1 λух
уx
D =0,…, ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
− *......
1
1
1
1 λq
q
ух
уx
D =0, ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛*
...
...
1
1 λq
q
ух
уx
D ≠0,
из тех же формул следует, что D′(λ*)=0, D′′(λ*)=0, …, D(q-1)(λ*)=0, а D(q)(λ*)≠ 0, т.е. λ* является корнем уравнения D(λ)=0 кратности q≤р.
Определение. Рангом характеристического числа назовем порядок первого минора высшего порядка тождественно не равного нулю.
В рассматриваемом выше случае ранг характеристического числа λ * равен q≤p.
Предположим теперь, что λ=λ* – характеристическое число ранга r=q. Возьмем разложение минора q-го порядка по строке α и поло-жим в нем
, ,...,,..,
,,,,...,,***
11
**11
*11
*11
yyyyyy
xxxxxxxxxx
===
===== ++−−
αα
ααααα
где *ix и *
iy – любые числа, но такие, чтобы минор q-го порядка тож-дественно не равнялся нулю.
38
Тогда в выражении минора в форме (30r) при r=q слагаемые в сумме исчезнут, т.е. получим
* * * *1 1 1* * * * *1 1 1
* * * *1 1 1
* * * * *1 1 1
... ...*
... ...
... ...( , ) ( , ) * .... ...( )
q
q
уbq
qa
x x x x xD
y y y y y
x x x xН уК x у dy D dy y y y y
α α
α α α
α α
α α α
λ
ηηλ λ ηη
− +
− +
− +
− +
⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞
= − ⎜ ⎟⎜ ⎟Δ ⎝ ⎠∫ ∫
И за решение однородного интегрального уравнения (32) можно взять функцию
, *......
......)( **
1**
1*1
**1
*1
*1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
+−
+− λααα
αα
q
q
yyyyyxxxxx
DxF
где ,,1 q=α т.е. имеем q различных решений. Поделим полученные решения на
0*............
**1
**1
*1
**1
**1
*1 ≠⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−
+− λααα
ααα
q
q
yyyyyxxxxx
D и поскольку уравнение (32) –
однородное, то функции
,
*............
*......
......
)(
**1
**1
*1
**1
**1
*1
**1
**1
*1
**1
*1
*1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
+−
+−
+−
+−
λ
λ
ααα
ααα
ααα
αα
α
q
q
q
q
yyyyyxxxxx
D
yyyyyxxxxx
D
xF (34)
где ,,1 q=α также являются его решениями. Определение. Функции )(xFα в формуле (34) назовем фундамен-
тальными функциями характеристического числа λ*. Из формул (34) следуют два очень важных свойства фундамен-
тальных функций: 1) ,1)( * =αα xF 2) 0)( * =βα xF при ,βα ≠ (35)
так как в первом случае числитель равен знаменателю, а во втором в числителе появятся две одинаковых строки.
39
4. Линейная независимость и полнота решений системы фундаментальных функций.
Аналог второй теоремы Фредгольма
Сначала докажем линейную независимость фундаментальных функций (34), используя свойства (35) и метод от противного. Пред-положим, что
0)(...)(...)()( 2211 ≡+++++ xFCxFCxFCxFC qqαα ,
где не все Сi равны нулю. Так как последнее равенство должно выполняться тождественно, то положив *
αxx = в силу второго
свойства в (35), получим 0)( * =ααα xFC , следовательно, в силу
первого свойства ,0=αC но ,,1 q=α т.е. все 0=αC и, следовательно, линейная независимость доказана.
Докажем теперь полноту решений, т.е. покажем, что любое другое решение соответствующее характеристическому числу λ*, выража-ется линейно и однородно через фундаментальные функции.
Предположим, что функция u(х) – еще одно решение однородного уравнения (32), соответствующая характеристическому числу λ*, тогда имеет место следующее тождество
.0)(),()(
),(*)( ≡Δ
+ ∫∫ ηηηηλ ddyuуxКуНxu
b
a
у
(36)
Введем пока неопределенную, но непрерывную функцию ),( txQ и запишем следующее тождество
.0)(),()(
),(*)()(
),(),(* 11111
111
≡⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
Δ+
Δ∫ ∫ ∫∫b
a
b
a
tt
dsdtdutsКtНsut
tsНdttxQ ηηηη
λλ
(37)
Затем, сменив в (36) η на 1η , у на t1, вычтем из тождества (36) то-ждество (37) и, объединяя сумму интегралов в один, сменив во вто-ром слагаемом s на 1η , t на t1, получим
40
.0)(),(),()(),(*),(),(
)(),(*)(
11111
1
111
1
≡⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
Δ−−×
×Δ
+
∫ ∫
∫ ∫
ηηλ
ηη
λ
dudstsKtxQs
tsНdttxQtxК
tНdtxu
b
a
t
b
a
t
Неизвестное выражение в квадратных скобках обозначим через N(x, t1):
∫ ∫ Δ−−=
b
a
t
dss
tsКtsНdttxQtxQtxКtxN)(
),(),(),(*),(),(),( 1111 λ ;
тогда
0)(),()(
),(*)( 1111
111
1
≡Δ
+ ∫ ∫b
a
t
dutxNtНdtxu ηηηη
λ . (37*)
Далее выпишем разложение (q+1)-го минора по s-м столбцам вхо-дящих в него определителей в соответствии с (31r). Сначала рассмот-рим частный случай (самостоятельно)
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ + λλ3
3
2
2
1
111
3
3
2
2
1
1 ),()1(ух
ух
уx
DsxКух
ух
уx
sх
D
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+ + λ
3
3
2
2
11
12 ),()1(ух
ух
уx
DsxК
.),()(
),(
),()1(),()1(
3
3
2
2
1
1
3
2
2
1
13
14
3
3
2
1
12
13
ηληηηλ
λλ
dух
ух
уx
yх
DsКуНdy
ух
ух
уx
DsxКух
ух
уx
DsxК
b
a
у
∫ ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+ ++
41
В полученном разложении, начиная со второго, сделаем все члены
отрицательными, переставив строки, а минор ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
3
2
2
1
1 ух
уx
ух
D заменим
на равный ему ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λ
32
2
1
1
уx
ух
уx
D , то получим
.),()(
),(
),(),(
),(),(
3
3
2
2
1
1
32
2
1
13
3
3
21
12
3
3
2
2
11
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
ηληηηλ
λλ
λλλ
dух
ух
уx
yх
DsКуНdy
ух
ух
уx
DsxКух
ух
уx
DsxК
ух
ух
уx
DsxКух
ух
уx
DsxКух
ух
уx
sх
D
b
a
у
∫ ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Аналогично и в общем виде из разложения (31r) при r=q+1 распишем
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λλλ
q
q
q
q
q
q
ух
ух
уx
DsxКух
уx
DsxКух
уx
sх
D......
),(......
),(......
2
2
11
1
1
1
1
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− − λλ
q
q
q
ухх
ух
уx
DsxКухх
ух
уx
DsxК......
...),(...
...
......
),( 1
2
2
1
13
21
12
.......
),()(
),(
1
1 ηληηη
λ dух
уx
yх
DsКуН
dyb
a q
qу
∫ ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
−
(31q+1)
В разложении минора (31q+1) положим
. * ,,..,,
,,...,,...,,**
22*11
1**
22*11
λλ ====
====
yyyyyy
tsxxxxxx
Числа, обозначенные под «*», выберем так, чтобы минор
0*......
**1
**1 ≠⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λ
q
q
yyxx
D ,
и затем на него поделим равенство (31q+1):
42
* * * *1 2* * * *
1 1 1*1 1 1* * **
1 1* * **1 1
**11
* **11*
1
... ...* *
... ......( , ) ( , )
... ......* *
... ......
...*
...... ( , )
q q
q q
q q
q q
q
q qq
x x x x x xD D
t y y y yК x t К x t
x x xxD D
y y yy
x xxD
y yyК x t
D
λ λ
λ λ
λ−
−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠− −
**1
**1
* *1* *1
1 * *1* *1
......*
......
...*
...( , )* ( , ) .( ) ...
*...
q
q
qуb
q
a q
q
xxyy
x xxD
y yyН уdy К t dx x
Dy y
λ
ληλ η ηη
λ
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠−
Δ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ ∫
В последнем равенстве дробь слева примем за ),( 1txQ , а остальные дроби в соответствии с формулами (34) есть фундаментальные функции )(xFα
.),(),()(
),(*
)(),(),(),(
1
11
*11
∫ ∫
∑
Δ−
−−==
b
a
y
q
dyxQtКyНdy
xFtxКtxКtxQ
ηηηηλ
αα
α
Из последнего равенства определим )(),(1
1* xFtxК
q
αα
α∑=
, сменив од-
новременно у на t и η на s:
−−=∑=
),(),()(),( 111
1* txQtxКxFtxК
q
αα
α
),,()(
),(),(),(* 11 txNsd
stsКtsНdttxQ
b
a
t
=Δ
− ∫ ∫λ
– в соответствии с обозначением в тождестве (37*).
43
Подставим теперь полученное выражение для ),( 1txN в тожде-ство (37*):
0)()(),()(
),(*)( 111
1*
1
111
1
≡Δ
+ ∑∫ ∫=
ηηηηλ α
αα duxFtxКtНdtxu
qb
a
t
или
).()(),()(
),(*)(1
111*
1
111
1
xFdutxКtНdtxuq b
a
t
αα
α ηηηηλ∑ ∫ ∫
= ⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
Δ−≡
В последнем тождестве, в квадратных скобках, после вычисления интегралов получим постоянные числа, обозначим их через αC , то-гда
),()(1
xFCxuq
αα
α∑=
≡
т.е. любое другое решение уравнения (32) выражается линейно и од-нородно через фундаментальные функции и, следовательно, полу-ченная система фундаментальных функций полна.
Сформулируем теперь аналог второй теоремы Фредгольма.
Если ∗= λλ есть корень уравнения 0)( =λD ранга q , то однородное разрешающее интегральное уравнение (32) имеет q линейно независимых решений, соответствующих этому значению ∗λ и определяемых формулами (34), а любое другое решение этого уравнения выражается через них линейно и од-нородно.
Пример 4. Найти общее решение уравнения
∫=−1
0
2 )()()(" dttzxxzxz λ
и фундаментальную систему функций разрешающего уравнения.
44
[ ] 22 ),( ),()([( ,")]( xyxKtzxzPzzxzL −==−= ,
z″-z=F(x), z″-z=0, k2-1=0, k 1,2 = ±1,
z1(x)= ex, z2 = e –x, z(x)=c1 ex + c2 e-x .
,2)( ),( )( )(
,0 (x) )(
21
21 −==Δ⎩⎨⎧
=−=+
-xx
-xx
-x'x'
-x'x'
-eeeex
xFexcexcecexc
( ) -x-x
-x
-e-eex ==Δ
10
1 , xx
x
eeex ==Δ
10)(2 ,
-yηyη-yy eeeeyHececyg +−=+= −),( ,)( 21 η ,
0)()(21)(
1
021
2 =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−++− ∫ ∫ − dydFeeeeececxxF
y-yηyη-yy ηηλ .
Коэффициенты рядов (21*) и (251*)
( ) , 0∑∞
=
=p
ppdD λλ ∑
∞
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
0
* ),(p
pp yxd
yx
D λλ
находим по формулам (28) и (29)
37))((
21,),(,1
1
1111
21
1
011
2*00 =−+=−== ∫∫ −
у-yxyx dxxeeeedуdхухdd ,
∫∫ =−++−= −1
1111 0)()(21
37),( 1
21
21
01
2*1
у-yxyx dxxxeeeedуxухd ,
0),(,0 *22 == ухdd и т.д.
Следовательно,
45
( )λD =1+37λ, −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λ
yx
D х2, λ
λ
371
);,(2
+
−=
xyxR и по формулам
(22) и (9) определим
[ ],)(11)-(
371
371
)()()( 1-21
221
021 ececxdyxececxF -yy −+
+=
+
−+−= ∫
λ
λ
λλ
[ ]
[ ]
[ ] .)(1)1(73
)2(3
)371(2
)(11)-(
)371(2
)(11)-()(
1-21
2
21
x
0
1-21
2
0
-121
2x
21
ece-cxecec
decece
e
decece
eececxz
-xx
x
x-xx
−+++
++=
=+
−++
++
−+−+=
∫
∫
−
−
λλ
ηλ
λη
ηλ
λη
η
η
Приравняв нулю ( )λD , найдем характеристическое число
λ*73
−= , ( )λ'D =73≠0, следовательно, ранг характеристического
числа q=1 и ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛*
**λ
yx
D = –х*2= –1, ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛*
*λ
yx
D = –х2, 22
1 1)( xxxF =
−−
= ,
т.е. фундаментальная система функций разрешающего уравнения со-стоит из одной функции
21 )( xxF = и 2)( xxF Α= .
5. Специализированная задача Коши
Рассмотрим начальную задачу для интегродифференциального
уравнения (1) с начальными условиями
46
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
=+
−−
∫,)(...,,)(',)(
,0)]([),()]([
)1(00
)1('0000
nn
b
amn
zxzzxzzxz
dyyzPyxKxzL λ (1)
где n>m, К(х,у) – вырожденное ядро. Пусть К(х,у)=ϕ1(х)ψ1(у), тогда разрешающее уравнение (10) запишется
0)()()(
),()()()( 101
0
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
Δ++ ∫ ∫ dyydFyHygxxF
b
a
y
x
ψηηηηλϕ
или
,0)()(
),()()()()()()(0
11101 =Δ
++ ∫ ∫ ∫b
a
b
a
y
x
dydFyHdyyxdyyygxxF ηηηηψλϕψλϕ
где ∑∑==
Δ==n
iimi
n
iimio yzPyHyzPcyg
110 )].([)(),()],([)( ηη
Далее рассмотрим соответствующее однородное интегральное уравнение
,0)()(
),()()()(0
11 =Δ
+ ∫ ∫b
a
y
x
dFyHdyyxxF ηηηηψλϕ
которое получим, если положить .0)()]([1
1 =∫∑=
b
a
n
iimio dyyyzPc ψ
После вычисления интегралов i
b
aim dyyyzP l=∫ )()]([ 1ψ получим
∑=
=n
iiioc
1
0l , т.е. постоянные
ioc в случае однородного уравнения ли-
нейно зависимы, и noc можно выразить через остальные:
∑−
=
−=1
1
1 n
iiio
nno cc l
l.
( ) ∫ ∫ Δ+=
b
a
у
x
dxуxКxуxНdуD 111
1
1110 ),(
)(),(1
1
0
λλ в силу того, что
47
,0),(),(),(),(
2212
2111 =уxKуxKуxKуxK
так как .0)]()([)]()([)]()([)]()([
21211121
21111111 =уxуxуxуx
ψϕψϕψϕψϕ
Приравняв ( )λ0D =0, найдем характеристическое число λ*, ранг которого q=1 и, следовательно, найдем одну фундаментальную функцию F1(x). Общее решение однородного уравнения будет F(x)=А F1(x), где А – произвольная постоянная.
Общее решение однородного уравнения (1) найдем по формуле
(90)
, )()()()()(
11
0
∑ ∫= ⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
ΔΔ
+=n
i
x
x
iioi dAFcxzxz ηη
ηη
где одна из постоянных ioc может быть определена через остальные,
следовательно, чтобы при решении начальной задачи не возникло противоречия, достаточно задать (n-1) условий, при этом постоянная А останется неопределенной, т.е. нарушается единственность реше-ния задачи Коши.
Пример 5. Найти решение специализированной задачи Коши.
⎪⎩
⎪⎨⎧
==
=+− ∫−
.?)0(',2)0(
,0)]()('[)("1
1zz
dyyzyzxxz λ
z′′(x) = F(x), К(х,y) = x− , P1(y) = )(yz′ + z(y).
0)(" =xz , k2 = 0, k1,2 = 0 , z1(x)=1, z2(x)=х, z(x) = c1+c2 x.
⎩⎨⎧
==+),( )(
,0)( )(
2
21
xFxcxcxxc
'
''
Δ (η ) = 1, Δ 1(η )= –η , Δ 2(η )=1,
48
200
2100
1 )()(,)()( cdFxccdFxcxx
+=+−= ∫∫ ηηηηη .
,1),(),1()( 20100 yyHyccyg ++−=++= ηη
( ) ∫ ∫−−=++−−=
1
10
111110 .3
1)1(11 λλλ
y
dхxyxdyD
Характеристическое число λ*=3 и уравнение (10) запишется
0)()1()1(3)(1
1 02010 =
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡++−+++− ∫ ∫
−
xdydFyyccxFy
ηηη .
Выписав условие однородности [ ] 0)1(1
12010 =++∫
−
dyycc , найдем
с10 + с20 = 0 или с20 = – с10 . Однородное уравнение будет
0)()1(3)(1
1 0
=++−− ∫ ∫−
y
dxFydyxF ηηη .
Откуда найдем F1(x) = –x и общее решение однородного уравнения запишется F(x) = –Аx. Далее можем найти решение специализирован-ной задачи, сначала определив с10=2 и с20= –2,
3
6)1(2)( xAxxz −−= .
§3. Аналог третьей теоремы Фредгольма
1. Связь между детерминантными рядами двух разрешающих интегральных уравнений
Ранее мы получили для интегродифференциального уравнения
(1) два разрешающих интегральных уравнения: специального вида
49
(10), с ядром )(
),(),(η
ηΔ
yxKyH и уравнение Фредгольма (20), с ядром
М(х,у). Установим связь между ними. В соответствии с теорией Фредгольма выпишем детерминантные ряды первого и высших по-
рядков уравнения (20), которые обозначим через ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λ
r
r
óx
óõ
óx
G......
2
2
1
1 :
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
r
rr
r
r
óx
óx
Móx
óx
G......
...
...
1
11
1
1 λλ
. ...
...
.........
...!
)1(1
1
1
1
1
1
1
i
b
a
b
a i
i
r
r
i
rii
dtdttt
tt
óx
óx
Mi ∫ ∫∑ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
∞
=
−+λ
(38r)
Распишем теперь выражение детерминантов в соответствии с обозначениями ядра М(х, у) в уравнении (20)
==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛)()()()(
2,21,2
2,11,1
21
21
yxMyxMyxMyxM
yyxx
M
=
Δ−
Δ−
Δ−
Δ−
=
∫∫
∫∫2
22
22222
22
1222
1
11
21111
11
1111
)(),(),(
)(),(),(
)(),(),(
)(),(),(
xx
xx
dyKxÍ
dyKxÍ
dyKxÍ
dyKxÍ
ηη
ηηη
ηηη
ηη
ηηη
ηηη
,)()()()(
)()(),(),(
212,21,2
2,11,11 2
21
2211 ηηηηηη
ηηηη
ddyKyKyKyKxÍxÍ
x x
∫ ∫ ΔΔ=
(392)
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
3
3
2
2
1
1
yx
yx
yx
M
50
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Δ−
Δ−
Δ−
Δ−
Δ−
Δ−
=
3
33
2333
2
22
2222
1
11
2111
3
33
1333
2
12
1222
1
1
1111
)(),(),(
)(),(),(
)(),(),(
)(),(),(
)(),(),(
)(),(),(
x
x
x
x
x
x
dyKxÍ
dyKxÍ
dyKxÍ
dyKxÍ
dyKxÍ
dyKxÍ
ηη
ηη
ηη
ηη
ηη
ηη
ηη
ηη
ηη
ηη
ηη
ηη
=
Δ−
Δ−
Δ−
∫
∫
∫
3
33
3333
2
22
3222
1
11
3111
)(),(),(
)(),(),(
)(),(),(
x
x
x
dyKxÍ
dyKxÍ
dyKxÍ
ηη
ηη
ηη
ηη
ηη
ηη
×ΔΔΔ
−= ∫ ∫ ∫1 2
321
3322113
)()()(),(),(),(
x x xxÍxÍxÍ
ηηηηηη
,)()()()()()()()()(
321
3,32,31,3
3,22,21,2
3,12,11,1
ηηηηηηηηηηηη
dddyKyKyKyKyKyKyKyKyK
×
(393)
×ΔΔ
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∫ ∫1
1
11
1
1
)()...(),()...,(
...)1(...... x rx
r
rrr
r
r xÍxÍyx
yx
Mηηηη
,...
)(...)(...
)(......
...)(
)(...)(
21
,1,
,21,2
,11,1
r
rrr
r
r
ddd
yKyK
yKyKyKyK
ηηη
ηη
ηηηη
×
(39r)
Начнем c преобразования детерминантного ряда Фредгольма первого порядка, воспользовавшись формулами (38r) при r =1:
i
b
a
b
a i
i
i
ii
dtdttt
tt
óx
Mi
óxMóx
G .........
...!)1(),( 1
1
1
1
1
111
1
1 ∫ ∫∑ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ∞
=
λλ
(381)
51
Подставим теперь выражения (39r) в (381) :
i
b
a
b
ai
iix
dtdti
dyKxÍ
óx
G ......!)1(
)()(),(
11
1
11
1,111
1
1 ∫ ∫∑∫∞
=
−+
Δ−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ληη
ηηλ .
×ΔΔ
⋅ ∫ ∫∫+
+1
1
112111
1 )()...1()()...,(),(
...t it
i
iix
tÍtÍxÍd
ηηηηη
η
=× +
+++
12
,11,11,1
,21,21,2
,11,11,1
...
)(....)()(...
)(.................
...)(...
)()(...)()(
i
iiii
i
i
dd
tKtKyK
tKtKyKtKtKyK
ηη
ηηη
ηηηηηη
[∫ +Δ
−=1
1,11
11 )()(
),(x
yKxÍ
ηηη
×ΔΔ
+ ∫ ∫∫ ∫∑+
+∞
=
1
1
1121
1 )()...2()()...,(
.........!
t it
i
iib
a
b
ai
i
i tÍtÍdtdt
i ηηηηλ
....
)(....)()(......
..................................
...
...)(...)()(
112
,11,11,1
,11,11,1
ηηη
ηηη
ηηη
ddd
tKtKyK
tKtKyK
i
iiii
i
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
× +
+++
Нетрудно заметить, что в квадратных скобках получили выраже-
ние ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λ
η
1
1
óD , в соответствии с формулой (251), тогда
∫ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ 1
11
1
1
11
1
1 .)(
),(x
dó
DxH
óx
G ηλη
ηη
λ (401)
Проделав аналогичные выкладки для
i
b
a
b
a i
i
i
ii
ddtt
tt
óx
óx
Mió
xóx
Móx
óx
G ηηλλλ .........
...!
)1(1
1
1
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1 ∫ ∫∑ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ∞
=
+
,
(382) найдем детерминантный ряд Фредгольма второго порядка
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λ
21
21
yyxx
G
52
+ΔΔ
= ∫ ∫ 212212
21111 2
21
2211
),(),(),(),(
)()(),(),(
ηηηηηη
ηηηη
λ ddyKyKyKyKxHxH
x x
∫ ∫ ∫∫ ∫∑∞
=
+
+1 2 1
2111
1
...!
x x tb
a
b
an
i
i
dddtdti
ηηλLL
×ΔΔΔΔ∫
+
+it
i
ii tHtHxHxH)()()()(
),(),(),(),(...
2321
2132211
ηηηηηηηη
L
L
=× +
++++
23
2122212
1132313
1122212
1112111
...
),(),(),(),(
),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(
i
iiiii
i
i
i
dd
tKtKyKyK
tKtKyKyKtKtKyKyKtKtKyKyK
ηη
ηηηη
ηηηηηηηηηηηη
L
LLLLL
L
L
L
⎢⎣
⎡+
ΔΔ= ∫ ∫ ),(),(
),(),()()(
),(),(
2212
21111 2
21
2211
yKyKyKyKxHxH
x x
ηηηη
ηηηη
λ
×⎥⎥⎦
⎤
ΔΔ+ ∑ ∫ ∫ ∫ ∫
∞
= +
+
1
1
21
2131 )()(
),(),(!i
b
a
b
a
t it
i
iii
i tHtHdtdti ηη
ηηλL
LLLL
...
),(),(),(),(
),(),(),(),(),(),(),(),(
3
21222112
2122212
1112111
η
ηηηη
ηηηηηηηη
d
tKtKyKyK
tKtKyKyKtKtKyKyK
iiiii
i
i
++++
×
L
LLLLL
L
L
212 ... ηηη ddd i
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
+ ,
и, заменив квадратную скобку ее значением ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λ
ηη
21
21
yyD в соответ-
ствии с (252), получим
53
( )21
21
211 2
21
2211
21
21
)()(),(,
ηηληη
ηηηη
λλ ddyy
DxHxH
yyxx
Gx x
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΔΔ
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∫ ∫ . (402)
Аналогично можно получить подобное соотношение и для
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λ
321
321
yyyxxx
G :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λ
321
321
yyyxxx
G ×ΔΔΔ
−= ∫ ∫ ∫1 2 3
321
3322112
)()()(),(),(),(
x x xxHxHxH
ηηηηηη
λ
+⎢⎢⎢
⎣
⎡×
),(),(),(),(),(),(),(),(),(
332313
322212
312111
yKyKyKyKyKyKyKyKyK
ηηηηηηηηη
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∑∞
=
+
+41 2 3
32111
2
.........!
xb
a
b
a
x x x
ii
i
ddddtdti
ηηηλ
×Δ⋅⋅⋅⋅ΔΔΔ
⋅⋅⋅∫+
+
+3
3321
314332211
)()()()(),(),(),(),(),(
...1
ix
i
ii tHtHxHxHxHηηηη
ηηηηη
...
),(),(),(),(),(
),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(
4
313332313
313332313
212322212
111312111
η
ηηηηη
ηηηηηηηηηηηηηηη
d
tKtKyKyKyK
tKtKyKyKyKtKtKyKyKyKtKtKyKyKyK
iiiiii
i
i
i
+++++
×
L
LLLLLL
L
L
L
3213 ... ηηηη dddd i
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
+ =
321321
3211 2 3
321
3322112
)()()(),(),(),(
ηηηληηη
ηηηηηη
λ dddyyy
DxHxHxH
x x x
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΔΔΔ
−= ∫ ∫ ∫ ,
(403)
54
и по индукции запишем соотношение для детерминантного ряда r-го порядка
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λ
r
r
yyyxxx
GL
L
21
21
rr
rx rx
r
rrrr ddyy
DxHxH
ηηληη
ηηηη
λ LL
L
L
LL 1
1
11
1
111
)()(),(),(
)1( ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΔΔ
−= ∫ ∫− ,
r = 1, 2, … (40r)
2. Связь между решениями
двух разрешающих интегральных уравнений Чтобы установить связь между решениями ранее полученных
двух разрешающих интегральных уравнений (10) и (20) для интегро-дифференциального уравнения (1) сначала выпишем эти уравнения
0),()()(
),()()( =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
Δ++ ∫ ∫ dyyxKdFyHygxF
b
a
y
ηηηηλ (10)
и
∫+=b
a
dyyФyxMxfxФ )(),()()( λ , (20)
где
,)()(
),()( ηηηη dFyHxФ
x
∫ Δ=
,)()(
),(),()( ηη
ηηλ dygyKxHdyxfxb
a∫∫ Δ
−=
.)(
),(),(),( ηη
ηη dyKxHyxMx
∫ Δ−=
Если найдено решение F(x) уравнения (10) то, воспользовавшись обозначениями в (20), найдем и его решение. И наоборот, если из-вестно решение Ф(x) уравнения (20), то, учитывая (19) и подставив его в (10), найдем решение F(x)
55
[ ]∫ +−=b
a
dyyxKyФygxF ),()()()( λ . (41)
Если λ не является характеристическим числом, то решение уравнения (10) запишется в виде (22)
∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
b
a
dyyx
DygD
xF λλλ )(
)()( . (22)
Если теперь (22) подставить в формулу для Ф(х) (19), то получим решение уравнения (20)
ηλη
ηη
λλ d
yDyHdyyg
DxФ
x b
a⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
−= ∫ ∫ )(),()(
)()( , (42)
но это же решение уравнения (20) можно получить непосредственно по формулам Фредгольма
dyyfyx
GD
xfxФb
a
)()(
)()( ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= λ
λλ
. (42*)
Подставив теперь (42*) в (41)
dydyyfyy
GD
yfyxK
dyyxKygxF
b
a
b
a
b
a
∫ ∫
∫
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
−−=
111
)()(
)(),(
),()()(
λλλλ
λ
и детерминант ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λ
1yy
G по формуле (401), заменив на ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λ
1yy
D ,
(проделать самостоятельно), придем к ранее известному
dyyx
DygD
xFb
a⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= ∫ λ
λλ )(
)()( .
Возможен другой вариант получения этого результата. Для этого (42) подставим в (41)
56
∫ ∫ ∫
∫
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
+
+−=
b
a
b
a
y
b
a
dydydyxKy
DyHygD
dyyxKygxF
11
1 ),()(
),()()(
),()()(
ηλη
ηηλ
λλ
λ
и выражение в квадратных скобках заменим в соответствии с форму-
лой для ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λ
1yx
D в (23) выражением
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ∫ ∫ λληλ
ηηηλ
11
1)(),(),(
)(),,(
yx
DDyxKdydyxKy
DyHb
a
y
,
то
11
11 )(),()()(
),()()( dyyx
DDyxKygD
dyyxKygxFb
a
b
a⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−= ∫ ∫ λλ
λλλ .
Разбив последний интеграл на сумму получим тот же результат
11
1 )()(
)( dyyx
DygD
xFb
a⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= ∫ λ
λλ .
3. Общее решение однородных уравнений, соответствующих разрешающим интегральным уравнениям
Выпишем однородное уравнение соответствующее разрешаю-
щему уравнению специального вида (10)
,0)(),()(
),()( ∫ ∫ =Δ
+b
a
y
dFyxKyHxF ηηηηλ (32)
которое получилось из (10) при
∫ ≡b
a
dyyxKyg .0),()( (43)
Однородное уравнение, соответствующее разрешающему инте-гральному уравнению (20), будет
57
∫=b
a
dyyФyxMxФ ,)(),()( λ (44)
которое получим из (20) при f(x)≡0, т.е.
.0)()(
),(),(≡
Δ∫ ∫ dydygyKxHb
a
y
ηη
ηη (45)
Нетрудно увидеть, что если выполняется тождество (43), то выпол-няется и (45) и наоборот. Также уравнение (44) можно получить из (32) и непосредственно, с помощью подстановки
ηηηη dFxHxФ
x
)()(
),()( ∫ Δ= (46)
(проделать самостоятельно), поэтому за основное можно принять условие (43).
Если *λλ = является характеристическим числом ранга q, то ме-жду фундаментальными функциями уравнений (32) и (44) будет ус-танавливаться связь по формуле (46), т.е.
,)()(
),()( ηηηη
αα dFxHxФx
∫ Δ= q,1=α . (47)
Общее решение однородного уравнения (44) запишется
,)()(1∑=
=q
xФCxФα
αα
но тогда общее решение уравнения (32) можно представить через решения уравнения (47), т.е.
.)(),()(1
*∫ ∑=
−=b
a
q
dyyФCyxKxFα
ααλ (48)
Нетрудно показать, что функция (48) дает тоже общее решение, ко-торое было получено ранее
∑=
=q
xFCxF1
)()(α
αα . (49)
Для этого в (48) вместо )(xФα подставим (47)
58
.)(),()(
),()(1
*∑ ∫∫= ⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
Δ−=
q b
a
y
dydFyxKyHCxFα
αα ηηηηλ (50)
Функции )(xFα должны удовлетворять однородному уравнению (32), т.е. имеем
,0)(),()(
),()( ≡Δ
+ ∫ ∫∗ dydFyxKyHxFb
a
y
ηηηηλ αα q,1=α . (51)
Из (51) определим значение интегралов и подставим в равенство (50), получим равенство (49)
∑=
=q
xFCxF1
)()(α
αα . (49)
4.Построение сопряженного уравнения и аналог третьей теоремы Фредгольма
Для вывода аналога первых двух теорем Фредгольма разрешаю-щим уравнением (20) можно было не пользоваться. При доказатель-стве третьей теоремы Фредгольма без разрешающего уравнения (20) обойтись, по крайней мере, чрезвычайно трудно.
Выпишем оба разрешающих уравнения для уравнения (1)
0),()()(
),()()( =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
Δ++ ∫ ∫ dyyxKdFyHygxF
b
a
y
ηηηηλ , (10)
∫+=b
a
dyyФyxMxfxФ )(),()()( λ (20)
и соответствующие им однородные уравнения
,0)(),()(
),()( ∫ ∫ =Δ
+b
a
y
dydFyxKyHxF ηηηη
λ (32)
∫=b
a
dyyФyxMxФ )(),()( λ . (44)
Составить сопряженное уравнение для уравнения (32) непосред-ственно, если и возможно, то очень трудно, тогда как записать со-
59
пряженное уравнение для уравнения (44) очень просто. В соответ-ствии с теорией Фредгольма оно будет
∫=b
a
dyyxyMx )(),()( ψλψ . (52)
Пусть ∗= λλ – характеристическое число ранга q. В (52) при ∗= λλ подставим значение ядра M(x,y)
0)()(
),(),()( =Δ
+ ∫ ∫∗ dydxKyHxb
a
y
ηηψη
ηηλψ . (53)
Возникает вопрос, можно ли уравнение (53) принять за сопря-женное однородному уравнению (32). Докажем, что да. Для этого введем скалярное произведение функций f=f(x) и v=v(x) с весом
dxdxfxHvfb
a
x
ηνηηη )()(
)(),(),( ∫ ∫ Δ
= . (54)
Нетрудно проверить, что для этого скалярного произведения за-кон коммутативности не выполняется, т.е. (f, v) ≠ (v, f). Из функцио-нального анализа следует, что два оператора
( , ) ( , ) ( )( )
yb
a
H yAF dy K x y F dη η ηη
= −Δ∫ ∫
и
ηηψη
ηηψ dxKyHdyÀb
a
y
)()(
),(),(* ∫ ∫ Δ−=
будут сопряженными, если (AF, ψ ) = (F, A*ψ ). Докажем их сопряженность. Для этого в AF заменим х на η и η
на 1η , тогда
11 1
1
( , ) ( , )( , )( , ) ( ) ( )( ) ( )
yb x b
a a
H y K yH xAF dx F d dη ηηψ η η ψ η ηη η
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ .
Заменим теперь 1η на η , η на 1η , х на у, у на х:
1 11 1
1
( , ) ( , ) ( , )( , ) ( ) ( )( ) ( )
yb b x
a a
H y H x K xAF F d d dydxη η ηψ η ψ η η ηη η
= − =Δ Δ∫ ∫ ∫ ∫
60
1 11 1
1
( , ) ( , )( , ) ( ) ( )( ) ( )
yb x b
a a
H y K xH xdx F dy d dη ηη η ψ η η ηη η
⎡ ⎤= − =⎢ ⎥
Δ Δ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫
).,()()(
),( ** ψηψηηη AFdAFxHdx
b
a
x
=Δ
= ∫ ∫ (55)
Что требовалось доказать. Далее нетрудно доказать, что характеристические полиномы
уравнения (32) D(λ ) и уравнения (44) D*(λ ) совпадают, т.е. ( ) ( )λλ ∗= DD (доказать самостоятельно). Дальнейшую теорию можно строить, опираясь на сопряженное
уравнение (53). Мы пойдем другим путем, будем опираться на хо-рошо известную теорию Фредгольма для неоднородного интеграль-ного уравнения (20) и однородного (44).
Пусть ∗= λλ характеристическое число ранга q, в этом случае уравнение (20) может иметь решение тогда и только тогда, когда функция f(x) ортогональна к любой фундаментальной функции со-пряженного уравнения (52) (по третьей теореме Фредгольма), т.е.
,0)()(∫ =b
a
dxxxf αψ q,1=α . (56)
Фундаментальная система решений сопряжённого уравнения
∫≡b
a
dyyxyMx )(),()( *αα ψλψ
может быть найдена в соответствии с теорией Фредгольма по формуле
.
...
...
............
)(*
**1
**1
***
1**
1*1
**1
*1
*1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=+−
+−
λ
λ
ψ ααα
αα
α
q
q
q
q
yyxx
G
yyyyyxxxxx
Gx
Выражения для ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−
+− ***
1**
1*1
**1
*1
*1
............
λααα
αα
q
q
yyyyyxxxxx
G можно получить по
формулам (40r)
61
И решение уравнения (20), если оно существует, найдется по фор-муле
∫ ∑=
Φ++=Φb
a
q
xAdssfsxNxfx1
** ),()(),()()(α
ααλ (57)
где ),(* sxN – обобщенная резольвента ядра M(x,y),
),(* sxN =* * * *1 1* ** * * *1 1
, , ..., , ...,, , ..., , ...,
q q
q q
x x x x xG G
s y y y yλ λ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
. (58)
Теперь можно перейти к решению уравнения (10). Вспомним фор-мулу (41) §2 и подставим в нее λ = λ* и )(xΦ в соответствии с (57)
∫ ∑∫
∫
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡Φ++−
−−=
=
b
a
qb
a
b
a
dyyAdssfsyNyfyxK
dyygyxKxF
1
***
*
)()(),()(),(
)(),()(
αααλλ
λ
или =)(xF
∫ ∑∫ ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡Φ+++−=
=
b
a
qb
a
dyyAdssfsyNyfygyxK .)()(),()()(),(1
***
αααλλ
(59) Далее определители в ),(* syN и )(yαΦ можно выразить через определители ядра K(x,y) и получить окончательную формулу для решения уравнения (10). (проделав самостоятельно, получите фор-мулу (59*). При этом условие разрешимости (условие ортогонально-сти) запишется
,0)()()(
),(),(=
Δ∫∫∫ ηψη
ηηα dxygyKxHdydx
xb
a
b
a
q,1=α . (60)
Теперь можно сформулировать аналог третьей теоремы Фред-гольма:
Если ∗= λλ – характеристическое число ранга q, то разрешающее уравнение (10), вообще говоря, не имеет решения, но если выполняются условия ортогональности (60), то решение уравнения (10) может быть найдено по формуле (59) или (59*), следовательно, решение уравнения (1) по формуле (9).
62
В этом случае нарушается свойство единственности решения, так как формула (59) содержит q произвольных постоянных, не опреде-ляемых начальными условиями. А в общем решении будет содер-жаться (n+q) произвольных постоянных.
Пример 6. Найти общее решение уравнения
0)( 21
0
=++′−′′ ∫ dttztzzz λ
и решения при характеристических значениях ,λ если они сущест-вуют.
В уравнении K(x,t)=t, [ ] ,2)(2 zzzxzL +′−′′= ).(),(0 tztxP = Приравняв [ ])(2 xzL =0, найдем ,)(1
xexz = xxexz =)(2 и в соответствии с обозначениями в уравнении (10)
.),(,)(
,)(,)(,)(
21
212
xyyxxx
xxx
eyeexeyxHxeCeCxg
exxexex
+−=+=
=Δ−=Δ=Δ
Используя рекуррентные формулы (28*) и (29*) определим
21)( λλ +=D и y
yx
D =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
и, затем, по формулам (22) и (9), соответственно, решения разре-шающего уравнения (10) и данного интегро-дифференциального уравнения
( )[ ]222)( 21 −++
−= eCCxFλλ ,
( )[ ]222)( 2121 −++
−+= eCCxeCeCxz xx
λλ .
Теперь перейдем к решению второй части задачи. Приравняв )(λD =0, найдем единственное характеристическое число ядра данного уравнения 2* −=λ и по формуле (34) соответствую-щую ему фундаментальную функцию 1)(1 =xF .
Выясним теперь, имеет ли решение разрешающее уравнение (10) при характеристическом значении 2* −=λ , для этого проверим выполнение условий ортогональности (60)
63
( ) ( )yyx xy
yeCeCe
yexeeedydx 212
1
0
1
0
++−
∫∫∫ η
ηηη 0)( =ηψα dx .
Самостоятельно сделать проверку и довести решение задачи до конца.
§4. Линейные однородные интегродифференциальные уравнения при mn ≤
1.Общее решение при n≤m
Рассмотрим вначале однородное уравнение
[ ] [ ]∫ =+b
amn dyyzPyxKxzL 0)(),()( λ , (61)
где 0 , ≥+= ppnm , и пусть существуют 1
1 ),(+
+
∂∂
p
p
xyxK .
Продифференцируем (p+1) раз уравнение (61):
( )[ ] ( ) ( )[ ] 0,
1
1
1
1
=∂
∂+ ∫ +
+
+
+
dyyzPx
yxKdx
xzLdm
b
ap
p
pn
p
λ . (62)
Как и прежде, введем неизвестную функцию [ ] )()( xFxzLn = . (63) Продифференцировав последнее равенство (p+1) раз придем к урав-нению
[ ] ( ) )(
)( 11
1
xFdx
xzLd ppn
p+
+
+
= , (64)
которое разрешим, применяя дважды метод вариации произвольных постоянных.
Из уравнения [ ]
0)(
1
1
=+
+
pn
p
dxxzLd
(65)
следует, что [ ] .)( 121
ppnnnn xCxCCxzL ++++ +++= L (66)
Пусть уравнение [ ] 0)( =xzLn имеет фундаментальную систему
решений ),(xzi ni ,1= , тогда его решение запишется
64
∑=
=n
iii xzCxz
1
)()( .
Применяя метод вариации произвольной постоянной первый раз, найдем решение уравнения (66), решив систему
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=′++′+′
=′′++′′+′′=′++′+′
∑+
=
−+
−−− .)()()()()()(
..,......................................................................,0)()()()()()(,0)()()()()()(
1
1
1)1()1(22
)1(11
2211
2211
p
i
iin
nnn
nn
nn
nn
xCxzxCxzxCxzxC
xzxCxzxCxzxCxzxCxzxCxzxC
L
L
L
Определитель этой системы ( )xΔ – определитель Вронского фундаментальной системы функций nixzi ,1 ),( = , и, следовательно, ( ) 0≠Δ x . По формулам Крамера находим решение
)()('
xxС i
i ΔΔ
= , ni ,1= ,
где
)()()(
)()()()()()(
)(
)1()1(2
)1(1
''2
'1
21
xzxzxz
xzxzxzxzxzxz
x
nn
nn
n
n
−−−
=Δ
L
LLLL
L
L
,
а )(xiΔ – алгебраические дополнения при разложении определителя
)()()()(
)()(0)()(
)()(0)()()()(0)()(
)(
)1()1(1
1
1
1)1(1
)1(1
)2()1(1
)2(1
)2(1
''1
'1
'1
111
xzxzxCxzxz
xzxzxzxz
xzxzxzxzxzxzxzxz
x
nn
ni
p
k
kkn
ni
n
nn
ni
ni
n
nii
nii
i
−−+
+
=
−+
−−
−
−−+
−−
−
+−
+−
∑
=
LL
LL
LLLLLLL
LL
LL
ω
по элементам i-го столбца. Коэффициенты Ci(х) определятся интегрированием
ik
p
kkn
xi
i CdCxС +ΔΔ
= −+
=+∑∫ ηη
ηη 1
1
1)()()( .
65
Подставляя полученные выражения для ( )xCi в решение
z(x)=∑=
n
iii xzxC
1)()( ,
получим
+Δ
Δ+=∑ ∫
∑=
=+ η
η
ηd
xzCxzCxz
n
i
x
n
iii
nii1
11 )(
)()()()(
ηηη
ηηη
η
ηd
xzCd
xzC p
x
n
iii
pn
x
n
iii
n ∫∑
∫∑
Δ
Δ++
Δ
Δ+ =
++=
+ )(
)()(
)(
)()(1
11
2 L
и, вводя обозначения
)()(
)()(
11 xzd
xz
pnp
x
n
iii
++= =
Δ
Δ
∫∑
ηηη
η, (67)
запишем решение однородного уравнения (65):
∑++
=
=1
1)()(
pn
iii xzCxz .
Для решения неоднородного дифференциального уравнения (64) со-ставим определитель Вронского
,0
)()(
)()()()(
)(
)(1
)(1
'1
'1
11
≠=Δ
+++
+
++
++
xzxz
xzxzxzxz
x
pnpn
pn
pn
pn
L
LLL
L
L
он не равняется нулю, так как функции, определяемые интегралами
ηηη
ηd
xzk
x
n
iii
∫∑
Δ
Δ=
)(
)()(1 , pk ,1=
линейно независимы как между собой, так и с zi(x) при i = n,1 .
66
Теперь еще раз применим метод вариации произвольных по-стоянных
( )
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=++=++
=++=++
+++
+++
+++
−+++
−+
++++
++++
).()()(0)()(
...0)()(0)()(
)1('1
)()1(
'1
)(1
'1
11
'1
)1(1
'11
''1
'1
'11
'11
xFxCzxCzxCzxCz
xCzxCzxCzxCz
ppn
pnpn
pnpn
pnpn
pn
pnpn
pnpn
L
L
L
L
Главный определитель этой системы )(xΔ . Остальные определители будут =)(xiω
)()()()()()()(0)()(
)()(0)()()()(0)()(
)(1
)(1
)1()1(1
)(1
)1(1
)1(1
)1(1
)1(1
'1
'1
'1
'1
1111
xzxzxFxzxzxzxzxzxz
xzxzxzxzxzxzxzxz
pnpn
pni
ppni
pn
pnpn
pni
pni
pn
pnii
pnii
+++
++
++−
+
−+++
−++
−+−
−+
+++−
+++−
=
LL
LL
LLLLLLL
LL
LL
.
Решив систему найдем
)()()()( )1(' xF
xxxС pi
i+
ΔΔ
= , 1,1 ++= pni ,
где )(xiΔ определяется, как и в предыдущем случае, при разложе-нии определителей )(xiω по элементам i-го столбца и последней
строки. Интегрируя )(' xC i , найдем
ipi
x
i CdFxС +Δ
Δ= +∫ ηη
ηη )()()()( )1( , .1,1 ++= npi (69)
Тогда решение уравнения (68) запишется
.)()(
)()()()(
1
1
)1(
1
1 ηηη
ηdF
xzzxCxz
pn
i
xp
pn
iii
ii∑ ∫∑++
=
+
++
=
Δ
Δ+= (70)
Далее обнулим лишние произвольные постоянные (в общем случае это можно сделать) С n+1=Cn+2=…= C n+p+1=0, найдем Pm[z(y)]:
67
( ) ηηη
ηdF
yzPyzPCyzP p
n
i
y
pn
iimi
imim )()]([)(
)]([)]([ )1(
1
1
1 +
=
++
=∑ ∫∑
Δ
Δ+=
и, вводя обозначения для известных выражений
)],([)(1
yzPCyg imi
n
i∑=
= )]([)(),(1
1yzPyH im
pn
ii ηη ∑
++
−
Δ= ,
придем к разрешающему интегродифференциальному уравнению
0),()()(
),()()( )1( =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
Δ++ ∫ ∫ + dyyxKdFyHygxF
b
a
yp ηη
ηηλ . (71)
Полученное интегро-дифференциальное уравнение путем дифферен-цирования (p+1) раз легко преобразуется в интегральное уравнение специального вида
0),()()(
),()()( 1
1)1()1( =
∂∂
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
Δ++
+
+++ ∫ ∫ dy
xyxKdFyHygxF p
pb
a
ypp ηη
ηηλ , (72)
решив которое и подставив найденное выражение для F(p+1)(x) в фор-мулу (70), получим общее решение уравнения (61).
2.Решение задачи Коши при mn ≤ Решение уравнения (61) усложняется, если поставить задачу
Коши. Пусть ( ) )(00 )( ii zxz = ,
1,0 −= ni , тогда в формуле (70) решения уравнения в нижнем пре-деле интеграла появится 0x
( )( ) ( )
( ) ηηη
ηdF
xzzCxz p
pn
i
x
x
pn
iii
ii )()(
11
1 0
1
1 +++
=
++
=∑ ∫∑
Δ
Δ+= . (700)
Появление нижнего предела интегрирования при подстановке (700) в уравнение (61) не дает разрешающее уравнение (71), а получается нагруженное интегродифференциальное уравнение
68
( ) +−
−++′′−
−
−′−+−
+ )(!
)()1()(
!2)(
)(!1
)()()(
001
0
20
00
0
xFpxx
xFxx
xFxx
xFxF
pp
pL
( ) ( ) ( ) 0),()(
,)(0
1 =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
Δ++ ∫ ∫ + dyyKdFyHyg
b
a
y
x
p ηηηηηλ ,
решить которое пока никто не смог. Другой вариант решения состоит в сохранении постоянных, ко-
торые занулили при нахождении общего решения и которыми можно распорядиться при решении задачи Коши. Подставляя (700) в уравне-ние (61) получим нагруженное интегродифференциальное уравнение
( ) +−
−++−
−++++
+
++++
)(!
)()1()(
)(
001
0
121
xFpxx
xF
xFxCxCC
pp
p
ppnnn
L
L
( ) ( ) ( ) 0),()(
,)(0
1 =⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
Δ++ ∫ ∫ + dyyxKdFyHyg
b
a
y
x
p ηηηηλ ,
где ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]yzPCyzPCyzPCyg pnmpnnmnm 1111)( ++++++++= LL . Теперь распорядимся лишними произвольными постоянными, поло-жив
( ) ,0)(
!)(
)1()(!2
)(
)(!1
)()(
001
0
20
00
0121
≡−
−++′′−+
+−
+−+++
+
++++
xFpxx
xFxx
xFxx
xFxCxCC
pp
p
ppnnn
L
L
(73)
получим разрешающее уравнение
( ) ( ) ( ) ,0),()(
,)()(0
1 =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
Δ++ ∫ ∫ + dyyxKdFyHygxF
b
a
y
x
p ηηηηλ (74)
аналогичное уравнению (71), продифференцировав которое (p+1) раз придем к разрешающему уравнению специального вида (72)
69
0),()()(
),()()( 1
1)1()1(
0
=∂
∂⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
Δ++
+
+++ ∫ ∫ dy
xyxKdFyHygxF p
pb
a
y
x
pp ηηηηλ . (75)
Для определения лишних постоянных тождество (73) продиффе-ренцируем p-раз и подставим 0xx = , тогда получим систему
( ) ⎪
⎭
⎪⎬
⎫
=
′=+++=++++
++
−++++
+++++
)(!)(2
)(
01
01
01302
0012
03021
xFCpxFxpCCxC
xFxCxCxCC
ppn
ppnnn
ppnnnn
L
L
. (76)
Первые n постоянных nСC ,...,1 можно определить заранее, исполь-зуя начальные данные. Интегралы в (700) при 0xx = исчезнут, исчез-нут так же и выражения с 121 ,...,, ++++ pnnn СCC , так как
( )( ) ( )
( )∫∑
Δ
Δ= =
++
x
x
p
n
iii
pn dxz
xz0
11 ηη
η
η.
Рассмотренные варианты решения сильно усложняют решение задачи Коши, поэтому рациональнее, в этом случае, сначала найти общее решение и затем, используя начальные условия, определить оставшиеся постоянные.
Пример7. Найти решение задачи Коши
( ) ( )[ ]
( ) [ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈=
=+′+−′ ∫, 1,0,1
, 0
00
1
0xxz
dyyzyzxyzz λ
( )∫ ′−+= −x
yxx dFeeeCxz ηηλ )(1)( 1 ,
0)()12(2)(1
01 =
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡′−++ ∫ ∫ − xydydFeeeCxF
yyy ηηλ η ,
.0)()12(2)(1
01 =
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡′−++′ ∫ ∫ − ydydFeeeCxF
yyy ηηλ η
70
Решив последнее уравнение, найдем
( )λλ
436 1
−−=′ CxF ,
а затем и общее решение данного интегродифференциального урав-нения
).1(43
6)( 1
1 xC
eCxz x +−
+=λλ
Положив 0xx = , определим 1C :
( ) ( )001
164343
xeC x ++−
−=
λλλ .
Подставляя найденное выражение для 1C в общее решение )(xz , найдем решение задачи Коши
( ) ( )[ ]( ) ( )0
0 16431643)(
xexexz x
x
++−
++−=
λλλλ .
§5. Линейные неоднородные
интегродифференциальные уравнения
1.Нахождение общего решения при n>m Продолжаем рассматривать случай n>m.
[ ] [ ] )()(),()( xdyyzPyxKxzLb
amn ϕλ =+ ∫ . (77)
Положим [ ] )()()( xxFxzLn ϕ+= , тогда разрешающее специальное уравнение примет вид
( ) [ ]∫ ∫ =⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+Δ
++b
a
y
dyyxKdFyHygxF 0),()()(),()()( ηηϕηηηλ
или
( )∫ ∫ =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
Δ++
b
a
y
dyyxKdFyHyGxF 0),()(),()()( ηηηηλ , (78)
71
где ( ) ( ) ηηϕηη dyHygyG
y
∫ Δ+=
),()()( .
В случае ( ) 0≠λD , т.е. если λ не является характеристическим чис-лом, решение уравнения (78) в соответствии с формулой (22) полу-чим в виде
( ) dyyGyx
DD
xFb
a
)()( ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= λ
λλ , (79)
и решение уравнения (77) запишется
( )( ) ( ) ( )[ ]∑ ∫
= ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+Δ
Δ+=
n
i
xii
ii dFxz
xzCxz1
.)(
)()( ηηϕηη
η (80)
2. Решение задачи Коши при n>m
Рассмотрим начальную задачу для интегро-
дифференциального уравнения (77) с начальными условиями
,)( )(00
)( ii zxz = 1,0 −= ni и ],[0 bax ∈ . (770) Учитывая начальные условия, разрешающее уравнение (78) за-пишется
0),()()(
),()()(0
0 =⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
Δ++ ∫ ∫ dyyxKdFyHyGxF
b
a
y
x
ηηηηλ , (780)
где ∫ Δ+=
y
x
dyHygyG0
00 )()(
),()()( ηηϕηη
.
В случае D0(λ )≠0, т.е. если λ не является характеристическим числом, решение уравнения (780) в соответствии с формулой (220) получим в виде
dyyGyx
DD
xFb
a
)()(
)( 000
∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= λ
λλ
(790)
72
и решение задачи Коши получим по формуле
[ ]∑ ∫= ⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
ΔΔ
+=n
i
x
x
iiii dFxzxzCxz
10
0 )()()(
)()()()( ηηϕηη
η. (800)
3. Линейные неоднородные интегродифференциальные уравнения при n≤m
Рассмотрим уравнение
∫ =+b
amn xdyyzPyxKxzL )()]([),()]([ ϕλ , (77)
где n≤m, пусть m=n+p, p≥0 и существуют 1
1 ),(+
+
∂∂
p
p
xyxK и )()1( xp+ϕ .
Продифференцируем (р+1) раз уравнение (77):
∫ ++
+
+
+
=∂
∂+
∂∂ b
a
pmp
p
pn
p
xdyyzPx
yxKx
xzL)()]([),()]({ )1(
1
1
1
1
ϕλ , (81)
затем, как и в п.1 §5, положим )()()]([ xxFxzLn ϕ+= . Продифференцировав последнее равенство (р+1) раз придем к урав-нению
)()()]({ )1()1(
1
1
xxFx
xzL ppp
np
+++
+
+=∂
∂ϕ , (82)
которое разрешим, аналогично как и в §4, применяя дважды метод вариации произвольных постоянных. Рассмотрим сначала соответст-вующее ему однородное уравнение
0)]({
1
1
=∂
∂+
+
pn
p
xxzL
, (65)
откуда следует, что p
pnnnn xCxCCxzL 121 ...)]([ ++++ +++= . (66) И если уравнение Ln[z(x)] =0 имеет фундаментальную систему реше-ний zi(x), ni ,1= , то решение этого уравнения запи-
шется ∑=
=n
iii xzCxz
1)()( и далее все аналогично, как и в §4.
73
При повторном применении метода вариации произвольных постоянных система для их определения несколько измениться
( )
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
+=++
=++
=++
=++
++++
+++
+++
−+++
−+
++++
++++
)()()()(0)()(
...0)()(0)()(
)1()1('1
)()1(
'1
)(1
'1
11
'1
)1(1
'11
''1
'1
'11
'11
xxFxCzxCzxCzxCz
xCzxCzxCzxСz
pppn
pnpn
pnpn
pnpn
pn
pnpn
pnpn
ϕL
L
L
L
Решив эту систему, найдем
[ ])()()(
)()( )1()1('
xxFx
xxС ppi
i++ +
Δ
Δ= ϕ , 1,1 ++= pni .
Интегрируя )(' xСi , получим
[ ] ipp
xi
i CdFxC ++Δ
Δ= ++∫ ηηϕη
η
η )()()(
)()( )1()1( , 1,1 ++= pni , (83)
где )(ηiΔ – алгебраические дополнения при разложении определи-теля
)]()([0...00
)()(
...)()(
...
...
...
...
...
)()(
...)()(
)(
)1()1()1(1
)1(1
'1
1
)(1
)1(1
'1
1
xxFxzxz
xzxz
xzxz
xzxz
x
pppni
pni
i
i
pn
pni
+++−
−+−
−
−
+
−+
+
=
ϕ
ω
)()(
...)()(
...
...
...
...
...
)()(
...)()(
)(1
)1(1
'1
1
)(1
)1(1
'1
1
xzxz
xzxz
xzxz
xzxz
pnpn
pnpn
pn
pn
pni
pni
i
i
+++
−+++
++
++
++
−++
+
+
по элементам i-го столбца. Тогда решение уравнения (82) запишется
74
.)]()([)(
)()()()()( )1()1(
1
1
1
1 ηηϕηη
ηdF
xzxzxCxz pp
pn
i
x
pn
iii
ii++
++
=
++
= +Δ
Δ= ∑ ∫
∑(84)
Далее обнулим лишние произвольные постоянные Cn+1=Cn+1=…=C n+p+1=0,
найдем Pm[z(y)]: =)]([ yzPm
ηηϕηη
ηdF
yzPyzPC pp
n
i
y
pn
imi
imi )]()([)(
)]([)()]([ )1()1(
1
1
1 ++Δ
Δ+= +
=
++
=∑ ∫∑
и, вводя обозначения для известных выражений
∑=
=n
iimi yzPCyg
1
)]([)( , )]([)(),(1
1
yzPyxH im
pn
ii η∑
++
−
Δ= (85)
придем к разрешающему интегродифференциальному уравнению
. )(),()]()([)(
),()(
)()(
)1()1( xdyyxKdFyHyg
xxFb
a
ypp ϕηηϕη
η
ηλ
ϕ
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
Δ++
++
∫ ∫ ++ (86)
Продифференцировав уравнение (86) (р+1) раз , преобразуем его в интегральное уравнение специального вида
)87(, 0),()()(
),()(
)(
)1(
)1()1(
)1(
=∂
∂
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
Δ++
+
∫ ∫ +
++
+
dyx
yxKdFyHyG
xFb
ap
pyp
p
ηηη
ηλ
где .)()(
),()()( 1 ηηϕηη dyHygyG p
y+∫ Δ
+=
Подставив найденное выражение )()1( xF p+ в формулу (84) получим общее решение уравнения (77) в случае n≤m.
75
4. Решение задачи Коши при n≤m для неоднородных уравнений
Рассмотрим уравнение (77) с начальными условиями z(i)(x0)=z0(i) ,
1,0 −= ni . В этом случае, как мы видели в п.2 § 4, задача сильно усложняется даже в случае однородных уравнений. Поэтому для ре-шения задачи Коши в этом случае рациональнее сначала найти об-щее решение, а затем, используя начальные данные, определить постоянные.
Задачи к главе I
1. Найти общее решение уравнений:
1.1. ∫ =++−1
0
,0)('2'' dyyyzzzz λ
1.2. ∫ =−+1
0
,0)('''' dyyxzzz λ
1.3. ∫ =−−1
0
,0)('' dyyxyzzz λ
1.4. ∫ =−−1
0
,0)]()(''['' dyyzyzxz λ
1.5. ∫ =+−1
0
,)]()('['' xdyyzyzxz λ
1.6. ∫ =+−1
0
.)]()(''['' xdyyzyzxz λ
2. Решить задачи Коши:
2.1. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
=+ ∫.0)0(',1)0(
,)('2''1
0
zz
dyyxzzz λ
76
2.2. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
=− ∫.0)0(',1)0(
,)(''1
0
2
zz
dyyzxzz λ
2.3. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
=− ∫.1)0(',0)0(
,)('''1
0
zz
dyyxyzzz λ
2.4. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
=+− ∫.0)0(',1)0(
,)]()('[''1
0
zz
xdyyzyzxz λ
2.5. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
=+− ∫.0)0(',1)0(
,)]()(''[''1
0
zz
xdyyzyzxz λ
3. Найти решение специализированных задач Коши:
3.1. ∫ =−+1
0
,0)('2'' dyyxzzz λ если ?)0(',1)0( == zz
3.2. ∫ =−+1
0
,0)('''' dyyxzzz λ если ?)0(',1)0( == zz
3.3. ∫ =−−1
0
,0)(''' dyyxyzzz λ если ?)0(',0)0( == zz
4. Выяснить, имеют ли решения при характеристических значениях λ уравнения:
4.1. ∫=+1
0
,)('''' dyyxzzz λ
4.2. ∫=−1
0
2 .)('' dyyzxzz λ
77
Глава II.
Решение линейных интегродифференциальных уравнений Фредгольма с использованием
фундаментальной системы решений внутреннего дифференциального оператора
§1. Постановка задачи и формулы для производных
Рассмотрим линейное интегро-дифференциальное уравнение
[ ] [ ]( ) ( , ) ( ) 0b
n ma
L z x K x y P z y dyλ+ =∫ , (1)
где [ ] ( ) ( 1)
1 1( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( )n nn n nL z x z a x z x a x z x a x z x−
− ′= + + + + ,
[ ] ( ) ( 1)0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( )m m
m m mP z y b y z y b y z y b y z y b y z y−− ′= + + + + .
Будем искать решение уравнения (1), исходя из фундаментальной системы решений внутреннего дифференциального оператора, для этого положим
[ ]( ) ( )mP z y F y= , (2) где ( )F y – пока неизвестная функция. Пусть решение соответствующего однородного уравнения [ ]( ) 0mP z y = найдено
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ... ( )m mz y C z y C z y C z y= + + + .
Методом вариации произвольной постоянной находим решение уравнения (2), решив систему
1 1 2 2
1 1 2 2
( 1) ( 1)1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) 0,( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) 0,
..............................................................................( ) ( ) ( ) ( ) .
m m
m m
m m
C y z y C y z y C y z yC y z y C y z y C y z y
C y z y C y z y− −
′ ′ ′+ + + =′ ′ ′ ′ ′ ′+ + + =
′ ′+ + ( 1).. ( ) ( ) ( ).mm mC y z y F y−
⎧⎪⎪⎨⎪⎪ ′+ =⎩
(3)
Решение системы (3) существует и при том единственное, т.к. определитель этой системы есть определитель Вронского для фундаментальной системы решений уравнения [ ]( ) 0mP z y = , а потому отличен от нуля. Следовательно,
78
1 1 1
1 1 1
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)1 1 1
1 2
1 2
( ) ... ( ) 0 ( ) ... ( )( ) ... ( ) 0 ( ) ... ( )... ... ... ... ... ... ...
( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( )( )
( ) ( ) ... ( )( ) ( ) ... ( )... ... ... ...
i i m
i i m
m m m mi i m
im
m
z y z y z y z yz y z y z y z y
z y z y F y z y z yC y
z y z y z yz y z y z y
z
− +
− +
− − − −− +
′ ′ ′ ′
′ =
′ ′ ′
( 1) ( 1) ( 1)1 2( ) ( ) ... ( )m m m
my z y z y− − −
=
( ) ( )( )
iW y F yW y
= ,
где ( )W y – определитель Вронского, ( )iW y – его миноры, взятые с их знаками. Интегрируя, находим коэффициенты
( )( ) ( )( )
yi
i iWC y F d CW
ηη η
η= +∫ ,
где значок y над интегралом означает, что после интегрирования переменная η должна быть заменена на y. Тогда решение уравнения (2) запишется в виде
1
1
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
m
y i imi
i ii
W z yz y C z y F d
W
ηη η
η=
=
= +∑
∑ ∫ . (4)
Будем искать решение уравнения (1) в форме (4), для этого найдем производные этого решения до m-го порядка включительно
1 1
1
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
m m
y i i i imi i
i ii
W z y W y z yz y C z y F d F y
W W y
ηη η
η= =
=
′′ ′= + +
∑ ∑∑ ∫ .
Учитывая, что ( ) ( ) ( )( )
ii
W y F y С yW y
′= и первое из уравнений системы
(3), видим, что последнее слагаемое равняется нулю, и производная перепишется
1
1
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
m
y i imi
i ii
W z yz y C z y F d
W
ηη η
η=
=
′′ ′= +
∑∑ ∫ . (4.1)
79
Так будет до ( 1)m − производной включительно:
1
1
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
m
y i imi
i ii
W z yz y C z y F d
W
ηη η
η=
=
′′′′ ′′= +
∑∑ ∫ , (4.2)
…………………………………………………. ( 1)
( 1) ( 1) 1
1
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
mm
y i imm m i
i ii
W z yz y C z y F d
W
ηη η
η
−
− − =
=
= +∑
∑ ∫ (4. 1)m −
и, учитывая последнее равенство системы (3), найдем ( )
( ) ( ) 1
1
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
mm
y i imm m i
i ii
W z yz y C z y F d F y
W
ηη η
η=
=
= + +∑
∑ ∫ . (4.m)
Производные более высокого порядка ( ) ( )m pz y+ определятся дифференцированием (4.m), при 1,2,...p = .
§2. Задача Коши при совпадении порядков внешнего и внутреннего дифференциальных операторов
Рассмотрим при m n= задачу Коши для уравнения (1). Пусть даны начальные условия
( ) ( )0 0( ) ;s sz x z= ( 0, 1)s n= − . (5)
Учитывая предыдущие выкладки, решение будем искать в виде:
0
1
1
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
m
x i imi
i ii x
W z xz x C z x F d
W
ηη η
η=
=
= +∑
∑ ∫ , (6.0)
0
1
1
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
m
x i imi
i ii x
W z xz x C z x F d
W
ηη η
η=
=
′′ ′= +
∑∑ ∫ , (6.1)
………………………………………………
0
( 1)
( 1) ( 1) 1
1
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
mm
x i imm m i
i ii x
W z xz x C z x F d
W
ηη η
η
−
− − =
=
= +∑
∑ ∫ , (6. 1)m −
80
0
( )
( ) ( ) 1
1
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
mm
x i imm m i
i ii x
W z xz x C z x F d F x
W
ηη η
η=
=
= + +∑
∑ ∫ . (6.m)
Подставляя начальные данные в выражения (6.0)-(6. 1)m − получим для определения коэффициентов систему
(0)0 0
1
0 01
( 1) ( 1)0 0
1
( ) ,
( ) ,
............................
( )
m
i ii
m
i ii
mm m
i ii
C z x z
C z x z
C z x z
=
=
− −
=
⎧=⎪
⎪⎪
′ ′=⎪⎨⎪⎪⎪
=⎪⎩
∑
∑
∑
(7)
m уравнений с m неизвестными, решение которой существует и притом единственное, т.к. определитель этой системы 0( ) 0W x ≠ .
(0)1 0 1 0 0 1 0 0
1 0 1 0 0 1 0 0
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)1 0 1 0 0 1 0 0
1 0 2 0 0
1 0 2 0
( ) ... ( ) ( ) ... ( )( ) ... ( ) ( ) ... ( )... ... ... ... ... ... ...
( ) ... ( ) ( ) ... ( )( ) ( ) ... ( )( ) ( )
i i m
i i m
m m m m mi i m
im
z x z x z z x z xz x z x z z x z x
z x z x z z x z xC
z x z x z xz x z x
− +
− +
− − − − −− +
′ ′ ′ ′ ′
=
′ ′ 0
( 1) ( 1) ( 1)1 0 2 0 0
... ( )... ... ... ...
( ) ( ) ... ( )
m
m m mm
z x
z x z x z x− − −
=
′
0
0
( ) ,( )
i xW xΔ
= (8)
где 0( )W x – значение определителя Вронского в точке 0x , а 0( )i xΔ получен из 0( )W x заменой i-го столбца начальными данными. Тогда (6.0)-(6.m) перепишутся:
0
0 1
1 0
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )
m
x i imi i
ii x
W z xxz x z x F d
W x W
ηη η
η=
=
Δ= +
∑∑ ∫ , (9.0)
81
0
0 1
1 0
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )
m
x i imi i
ii x
W z xxz x z x F d
W x W
ηη η
η=
=
′Δ′ ′= +
∑∑ ∫ , (9.1)
………………………………………………
0
( 1)
( 1) ( 1)0 1
1 0
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )
mm
x i imm mi i
ii x
W z xxz x z x F d
W x W
ηη η
η
−
− − =
=
Δ= +
∑∑ ∫ , (9.m-1)
0
( )
( ) ( )0 1
1 0
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
mm
x i imm mi i
ii x
W z xxz x z x F d F x
W x W
ηη η
η=
=
Δ= + +
∑∑ ∫ . (9.m)
Определим функцию ( )F η так, чтобы функция (9.0) была решением уравнения (1). Для этого подставим выражения (9.0)-(9.m) в уравнение (1)
0
( )
( )0 1
1 0
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
mm
x i immi i
ii x
W z xx z x F d F x
W x W
ηη η
η=
=
Δ+ + +∑
∑ ∫
0
( 1)
( 1)0 11 1
1 0
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ...( ) ( )
mm
x i immi i
ii x
W z xxa x z x a x F d
W x W
ηη η
η
−
− =
=
Δ+ + + +
∑∑ ∫
0
0 1
1 0
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
m
x i imi i
n i ni x
W z xxa x z x a x F d
W x W
ηη η
η=
=
Δ+ + +
∑∑ ∫
( , ) ( ) 0b
a
K x y F y dyλ+ =∫
и, группируя, получим
+++Δ
∫∑
∑ =
=
ηηη
ηdF
W
xzLWxFxzL
xWx x
m
iini
in
m
i
i
x)(
)(
)]([)()()]([
)()(
0
1
1 0
0
82
0
0 1
1 0
( ) [ ( )]( ) [ ( )] ( ) ( )( ) ( )
m
x i n imi i
n ii x
W L z xx L z x F x F d
W x W
ηη η
η=
=
Δ+ + +
∑∑ ∫
( , ) ( ) 0b
a
K x y F y dyλ+ =∫ .
Обозначив известные выражения
[ ]0
1 0
( )( ) ( )( )
mi
n ii
xg x L z xW x=
Δ= −∑ и 1
( ) [ ( )]( , )
( )
m
i n ii
W L z xH x
W
ηη
η== −∑
получим для уравнения (1) разрешающее интегральное уравнение смешанного типа Вольтерра-Фридгольма
0
( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )b x
a x
F x g x K x y F y dy H x F dλ η η η= − +∫ ∫ . (10)
Рассмотрим уравнение более общего вида
0
( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )b x
a x
F x g x K x y F y dy H x F dλ μ η η η= + +∫ ∫ , (11)
решение которого будем искать в форме ряда по целым степеням параметра λ
20 1 2( ) ( , ) ( , ) ( , ) ... ( , ) ...k
kF x x x x xϕ μ ϕ μ λ ϕ μ λ ϕ μ λ= + + + + + , (12) где коэффициенты ряда ),( μϕ xк ( 0,1,...)k = – функции переменной x и одновременно зависят от параметра μ . Подставляя ряд (12) в уравнение (11) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях λ , получим интегральные уравнения Вольтерра второго рода
0
0 0( , ) ( ) ( , ) ( , )x
x
x g x H x dϕ μ μ η ϕ η μ η= + ∫ . (13)
Если Г ( , ; )xη μ – резольвента ядра уравнения (13), то его решение будет иметь вид
∫+=x
x
dgxГxgx0
)();,()(),(0 ηημημμϕ . (14)
Аналогично получим уравнение для 1( , )xϕ μ
83
0
1 0 1( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )b x
a x
x K x y y dy H x dϕ μ ϕ μ η ϕ η μ η= +∫ ∫ .
Положим
1 0( ) ( , ) ( , )b
a
g x K x y y dyϕ μ= ∫ , (15.1)
то
0
1 1 1( , ) ( ) ( , ) ( , )x
x
x g x H x dϕ μ μ η ϕ η μ η= + ∫ . (13.1)
Так как ядро этого уравнения то же, что и уравнения (13), то его решение запишется
0
1 1 1( , ) ( ) ( , ; ) ( )x
x
x g x Г x g dϕ μ μ η μ η η= + ∫ . (14.1)
Аналогично определяются и следующие коэффициенты ряда (12)
0
( , ) ( ) ( , , ) ( )x
k k kx
x g x Г x g dϕ μ μ η μ η η= + ∫ , (14.к)
где
1( ) ( , ) ( ; )b
k ka
g x K x y y dyϕ μ−= ∫ , (15.к)
при 0,1,2,...k = . Найденные выражения коэффициентов (14.0), …, (14.к), …
подставляем в ряд (12) и, группируя, получим 2
1 2( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ...kkF x g x g x g x g xλ λ λ= + + + + + +
0
21 2( , ; ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ...
xk
kx
Г x g g g g dμ η μ η λ η λ η λ η η⎡ ⎤+ + + + + +⎣ ⎦∫ . (16)
Запишем рекуррентные формулы для функций ( )ig x , ( 1,2,...)i = :
1 0( ) ( , ) ( ; )b
a
g x K x y y dyϕ μ= =∫
0
( , ) ( ) ( , ; ) ( )yb
a x
K x y g y Г y g d dyμ η μ η η⎡ ⎤
= + =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫
84
0
( , ) ( ) ( , ) ( , ; ) ( )yb b
a a x
K x y g y dy K x y Г y g d dyμ η μ η η= +∫ ∫ ∫ ,
0
2 1 1( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ; ) ( )yb b
a a x
g x K x y g y dy K x y Г y g d dyμ η μ η η= +∫ ∫ ∫ ,
……………………………………………………….
0
1 1( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ; ) ( )yb b
k k ka a x
g x K x y g y dy K x y Г y g d dyμ η μ η η− −= +∫ ∫ ∫ , (17)
……………………………………………………….. Для достаточно малых λ докажем абсолютную и равномерную
сходимость ряда (12), для этого положим ( )g x g≤ ; ( , ; )Г x Гη μ ≤ ; ( , )K x y K≤ , , :x yη∀ a x b≤ ≤ ; 0x yη≤ ≤ ; a y b≤ ≤ и из формул
(14.0), … , (14.к), … найдем
0
0 ( , ) ( ) ( , ; ) ( )x
x
x g x Г x g dϕ μ μ η μ η η= + ≤∫
0
(1 )x
x
g Гgd g Г b aμ η μ≤ + ≤ + −∫ ,
0
1 1 1( , ) ( ) ( , ; ) ( )x
x
x g x Г x g dϕ μ μ η μ η η= + ≤∫
0
( ) ( )b x b
a x a
K g Гg b a dy Г K g Гg b a dydμ μ μ η≤ + − + + − ≤∫ ∫ ∫
2( ) ( )K g Гg b a b a ГK g Гg b a b aμ μ μ≤ + − − + + − − = 2(1 )Kg Г b a b aμ= + − − ,
22 ( , ) (1 )
b
a
x K Kg Г b a b a dyϕ μ μ≤ ⋅ + − − +∫
0
2 2(1 )x b
x a
Г K g Г b a b a dydμ μ η+ + − − ≤∫ ∫
2 32 2 2 2(1 ) (1 )K g Г b a b a ГK g Г b a b aμ μ μ≤ + − − + + − − =
85
22 3(1 )K g Г b a b aμ= + − − , ……………………………………………………………………
1( , ) (1 ) kk kk x K g Г b a b aϕ μ μ +≤ + − − ; 0,1,2,...k = .
Из полученных оценок составляем мажорирующий ряд для ряда (12)
2(1 ) (1 ) ...g Г b a Kg Г b a b aμ λ μ+ − + + − − + + 1(1 ) ...kk k kK g Г b a b aλ μ ++ + − − + .
Этот ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем (1 )K Г b a b aλ μ+ − − и сходится при | (1Kλ μ+ ×
) 1Г b a b a× − − < , т.е. для 1
(1 )K Г b a b aλ
μ<
+ − −. (18)
Следовательно, ряд (12) сходится равномерно и абсолютно для этих значений λ и решение разрешающего уравнения (10) можно переписать в виде
0
( ) ( , ) ( , , ) ( , )x
x
F x G x Г x G dλ η μ η λ η= + ∫ , (19)
где 2
1 2( , ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ...kkG x g x g x g x g xλ λ λ λ= + + + + + .
Подставляя ( )F x (19) в выражение z(x) (9), найдем решение исходного интегродифференциального уравнения.
Самостоятельно рассмотреть другой возможный вариант решения в виде ряда по степеням параметра μ – тема курсовой работы.
Пример 1. Решим задачу Коши для интегродифференциального уравнения
0)]()([)()(1
0
=+′++′ ∫ ydyyzyzxzxz λ
с начальными условиями 0 0( )z x z= . Общее решение уравнения ( ) ( ) ( )z x z x F x′ + = запишется
( ) ( ( ) )x
xz x e C e F dη η η−= + ∫ ,
откуда при заданных начальных условиях находим С:
86
0
0
0
0 ( ( ) )x
x
x
z e C e F dη η η−= + ∫ , 00
xC z e= .
Тогда решение перепишется
0
0
0( ) ( )x
x x x
x
z x z e e e F dη η η− −= + ∫ . (*)
Затем найдем производную решения
0
0
0( ) ( ) ( )x
x x x x x
x
z x z e e e F d e e F xη η η− − −′ = − − + =∫
0
0
0 ( ) ( )x
x x x
x
z e e e F d F xη η η− −= − − +∫
и, подставив ( )z x и ( )z x′ в исходное уравнение
0 0
0
0 0( ) ( )x
x x x xx
x
z e e e F d F x z eη η η− −−− − + − −∫
0
1
0
( ) ( ) 0x
x
x
e e F d F y ydyη η η λ−− + =∫ ∫ ,
0
0
1
00
2 ( ) 2 ( ) ( ) 0x
x x x
x
z e F x e e F d yF y dyη η η λ− −− + − + =∫ ∫ ,
получим разрешающее уравнение
0
0
1
00
( ) 2 2 ( ) ( )x
x x x
x
F x z e e F d yF y dyη η η λ− −= + +∫ ∫ ,
где 00( ) 2 x xg x z e −= , yyxK =),( , ( , ) 2 xH x eηη −= , 1μ = .
Найдем резольвенту Г ( , , )xη μ ядра ( , )H xη , для этого определим сначала итерированные ядра
2
22( , ) 2 2 ( )1!
xs x s xH x e e ds e xη η
η
η η− − −= ⋅ = −∫ ,
32 2
32( , ) 2 2 ( ) ( )2!
xs x s xH x e e s ds e xη η
η
η η η− − −= ⋅ − = −∫ ,
……………………………………………………
87
12( , ) ( )( 1)!
kx k
kH x e xk
ηη η− −= −−
.
…………………………………………………. Учитывая, что 2( , ;1) ( , ) ( , ) ... ( , ) ...,kГ x H x H x H xη η η η= + + + +
найдем 2 22( ) 2 ( ) 2 ( )( , ;1) 2 1 ... ...
1! 2! !
k kx x x xГ x e
kη η η ηη − ⎡ ⎤− − −
= + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
,
т.е. 2( )( , ;1) 2 2x x xГ x e e eη η ηη − − −= ⋅ = .
Далее находим коэффициенты ряда (12) по формулам (14.0), …., (14.к), …
0 0 0 0
0 0
20 0 0 0 0( ) 2 2 2 2 4
x xx x x x x x xx
x x
x z e e z e d z e z e dη ηηϕ η η− − − + −−= + ⋅ = +∫ ∫ ,
0 0 00 0
2 2
0 0 0 0 0( ) 2 4 4 22 2
x x x x x xx x x xe ex z e z z z eϕ
+ − + −− −= + − =
− −.
По формуле (15.1) получим
0 0 0
1 1 1
1 0 0 0 00 0 0
( ) ( ) 2 2 2y x x xyg x y y dy y z e dy z e ye dy z eϕ − − −= − = − = − = −∫ ∫ ∫ .
И затем по формуле (14.1) определим 1( )xϕ
0 0
0
1 0 0( ) 2 2 ( 2 )x
x xx
x
x z e e z e dηϕ η− −−= − + − =∫
0 0 0 0
0
0 0 02 4 2 (1 2 )x
x x x x xx
x
z e z e e d z e eη η− − − −−= − − = −∫ .
Аналогично находим 2 ( )g x по формуле (15.к) при к=2 и т.д.
0 0
1
2 00
( ) 2 ( 2 )x y xg x z e y ye dy− −= − − =∫
0 0 0 0
21
0 00
12 2 ( 1) 2 (2 )2 2
x y x x xyz e e y z e e− − − −⎡ ⎤= − − − = −⎢ ⎥
⎣ ⎦,
0 0 0 0
0
2 0 0( ) (4 1) 2 (4 1)x
x x x xx
x
x z e e e z e e dηϕ η− − − −−= − + ⋅ − =∫
88
)21)(212(2 000
0xxxx eeez −−− −−−= ,
0 0 0
1
3 00
1( ) 2 (2 )(1 2 ) 2
x x y xg x y z e e e dy− − −⎡ ⎤= − − − − =⎢ ⎥⎣ ⎦∫
0 0 0
1
00
12 (2 ) ( 2 )2
x x y xz e e y ye dy− − −= − − =∫ 0 0 20
12 (2 )2
x xz e e− −− − ,
0 0 023 0
1( ) 2 (2 ) (1 2 )2
x x x xx z e e eϕ − − −= − − ,
…………………………………………………………………0 0 01 1
01( ) ( 1) 2 (2 ) (1 2 )2
x x x xn nn x z e e eϕ − − −− −= − − − ,
………………………………………………………………………….. Подставив найденные коэффициенты в ряд (12), найдем
0 0 00 0( ) 2 2 (1 2 )x x x x xF x z e z e eλ− − −= + − −
0 0 020
12 (2 )(1 2 ) ...2
x x x xz e e eλ − − −− − − + +
0 0 01 10
1( 1) 2 (2 ) (1 2 ) ...2
x x x xn n nz e e eλ − − −− −+ − − − + =
0 0 00
12 (1 2 ) 1 (2 ) ...2
x x x xxz e e e eλ λ− − −⎧ ⎡= + − − − + +⎨ ⎢⎣⎩
01 1 11( 1) (2 ) ...2
xn n neλ −− − − ⎫⎤+ − − + =⎬⎥⎦⎭
00
0
0(1 2 )2 11 (2 )
2
x xx x
x
ez e ee
λ
λ
−−
−
⎡ ⎤⎢ ⎥−
= +⎢ ⎥⎢ ⎥+ −⎣ ⎦
, для 0
1122
xeλ
−<
−.
И подставив полученное значение ( )F x в решение (*) определим ( )z x :
0
0
0( ) ( )x
x x x
x
z x z e e e F dη η η− −= + =∫
89
00 0 0 0
00
0 0 0 0(1 2 )2 211 (2 )
2
x xx x x x x x xx
xx
ez e e e z e e d z e z ee
ηη η λ η
λ
−− − − − −−
−
⎡ ⎤⎢ ⎥−
= + + = + ×⎢ ⎥⎢ ⎥+ −⎣ ⎦
∫
00
00
22
0( 2 )
11 (2 )2
x xx x
xx
e ee d z ee
ηηη λ η
λ
−−
−
⎡ ⎤⎢ ⎥−
× + = +⎢ ⎥⎢ ⎥+ −⎣ ⎦
∫
00
0
0
22
01 ( )2 12 1 (2 )
2
x
xx x
x
x
e ez e ee
ηηη λ
λ
−− −
−
⎡ ⎤⎢ ⎥−
+ + =⎢ ⎥⎢ ⎥+ −⎣ ⎦
0 0 00 0 0
0 0
222
0 01 ( ) 1 ( )2 1 12 21 (2 ) 1 (2 )
2 2
x x x xxx x x x xx
x x
e e e ez e z e e ee e
λ λ
λ λ
−− − −
− −
⎡ ⎤⎢ ⎥− −
= + + − − =⎢ ⎥⎢ ⎥+ − + −⎣ ⎦
0 0 0 0
0
2 220 0
12 ( ) ( )12 1 (2 )2
x x x x x x xx x
xz e z e e e e e
e
λ
λ
− − − −
−
⎡ ⎤⎢ ⎥
= + − + −⎢ ⎥⎢ ⎥+ −⎣ ⎦
,
0 0 0 0 0
0
20 0
1( ) 2 ( ) ( )12 1 (2 )2
x x x x x x x x x
xz x z e z e e e e
e
λ
λ
− − − − −
−
⎡ ⎤⎢ ⎥
= + − + −⎢ ⎥⎢ ⎥+ −⎣ ⎦
.
Сделаем проверку:
0 0 0 0
0
20 0
1( ) 2 ( ) 12 1 (2 )2
x x x x x x x x
xz x z e z e e e
e
λ
λ
− − − −
−
⎡ ⎤⎢ ⎥
′ = − + + −⎢ ⎥⎢ ⎥+ −⎣ ⎦
,
0 0 0
0
00 0
2( ) ( ) 2 2 11 (2 )2
x x x x x
x
zz x z x z e z e ee
λ
λ
− − −
−′ − = − + − =
+ −
90
0
0
0211 (2 )2
x
x
z e
e
λ
λ
−
−= −
+ − ,
0 00
0
2
1 2
00
( 2 )2 11 (2 )2
x y xy x
x
e ey z e dye
λ
λ
− −−
−
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥−⎪ ⎪+ =⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥+ −
⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭
∫
00
0
1
00
( 2 )2 11 (2 )2
y xx y
x
y yez e ye dye
λ
λ
−−
−
⎡ ⎤⎢ ⎥−
= + =⎢ ⎥⎢ ⎥+ −⎣ ⎦
∫
0 0
0
1
2
0
0
2 ( 1) ( 2 ( 1))1 21 (2 )2
x y xy
x
yz e e y e ye
λ
λ
− −
−
⎡ ⎤⎢ ⎥
= − + − − =⎢ ⎥⎢ ⎥+ −⎣ ⎦
00
0 0
01 22 11 12 1 (2 ) 1 (2 )
2 2
xx
x x
ez ee e
λ λ
λ λ
−−
− −
⎡ ⎤⎢ ⎥
= ⋅ + − =⎢ ⎥⎢ ⎥+ − + −⎣ ⎦
00 00
0 0
00
22 4 42 1 12(1 (2 )) 1 (2 )2 2
xx xx
x x
z ee ez ee e
λ λ λ λ
λ λ
−− −−
− −
+ + − −= =
+ − + −
и, следовательно, 0 0
0 0
0 02 2 01 11 (2 ) 1 (2 )2 2
x x
x x
z e z e
e eλ λ
− −
− −− + =
+ − + −, т.е. имеем
тождество.
§3. Задача Коши для случая, когда порядок внутреннего дифференциального оператора больше порядка внешнего
Рассмотрим теперь задачу Коши для уравнения (1), в случае m n> . Пусть m n p= + , где 0p > . Решение уравнения (1) будем искать, исходя из фундаментальной системы решений внутреннего дифференциального оператора, т.е. в виде
91
0
1
1
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
m
x i imi
i ii x
W z xz x C z x F d
W
ηη η
η=
=
= +∑
∑ ∫ . (6.0)
Вычислив производные
0
1
1
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
m
x i imi
i ii x
W z xz x C z x F d
W
ηη η
η=
=
′′ ′= +
∑∑ ∫ , (6.1)
……………………………………………… ( 1)
( 1) ( 1) 1
1
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
mm
y i imm m i
i ii
W z xz x C z x F d
W
ηη η
η
−
− − =
=
= +∑
∑ ∫ , (6. 1)m −
0
( )
( ) ( ) 1
1
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
mm
x i imm m i
i ii x
W z xz x C z x F d F x
W
ηη η
η=
=
= + +∑
∑ ∫ (6.m)
и подставив начальные данные в (6.0)-(6.m–1), получим систему
(0)0 0
1
0 01
( 1) ( 1)0 0
1
( ) ,
( ) ,
............................
( )
m
i ii
m
i ii
mn n
i ii
C z x z
C z x z
C z x z
=
=
− −
=
⎧=⎪
⎪⎪
′ ′=⎪⎨⎪⎪⎪
=⎪⎩
∑
∑
∑
n уравнений с m неизвестными постоянными. Из составленной системы можно выразить n постоянных через остальные p, которые пока оставим произвольными, а в дальнейшем распорядимся ими при нахождении функции F(x). Для этого в уравнениях системы перенесем слагаемые с 1, ...,n n pC C+ + в правую часть
92
1 1 0 2 2 0 0
0 1 1 0 0
1 1 0 2 2 0 0
0 1 1 0 0
( ) ( ) ... ( )( ) ... ( ) ,
( ) ( ) ... ( )( ) ... ( ) ,
..............................................................
n n
n n n p n p
n n
n n n p n p
C z x C z x C z xz C z x C z x
C z x C z x C z xz C z x C z x
+ + + +
+ + + +
+ + + =
= − − −
′ ′ ′+ + + =′ ′ ′= − − −
( 1) ( 1) ( 1)1 1 0 2 2 0 0
( 1) ( 1) ( 1)0 1 1 0 0
............( ) ( ) ... ( )
( ) ... ( )
n n nn n
n n nn n n p n p
C z x C z x C z x
z C z x C z x
− − −
− − −+ + + +
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪ + + + =⎪⎪= − − −⎩
(20)
и найдем iC , 1,i n= : iC =
0 1 1 01 0 1 0 1 0 0
0
0 1 1 01 0 1 0 1 0 0
0
( 1) ( 1)1 0 1
( )( ) ... ( ) ( ) ... ( )
... ( )
( )( ) ... ( ) ( ) ... ( )
... ( )
... ... ... ... ... ... ...
( ) ... (
n ni i n
n p n p
n ni i n
n p n p
n ni
z C z xz x z x z x z x
C z x
z C z xz x z x z x z x
C z x
z x z x
+ +− +
+ +
+ +− +
+ +
− −−
− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎣ ⎦′ ′− −⎡ ⎤
′ ′ ′ ′⎢ ⎥′− −= ⎣ ⎦
( 1) ( 1)0 1 1 0 ( 1) ( 1)
0 1 0 0( 1)0
( )) ( ) ... ( )
... ( )
n nn n n n
i nnn p n p
z C z xz x z x
C z x
− −+ + − −
+−+ +
×
⎡ ⎤− −⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦
11 0 2 0 0
*1 0 2 0 0 0
*0
( 1) ( 1) ( 1)1 0 2 0 0
( ) ( ) ... ( )( ) ( ) ... ( ) ( ) ,... ... ... ... ( )( ) ( ) ... ( )
n
n i
n n nn
z x z x z xz x z x z x x
W xz x z x z x
−
− − −
′ ′ ′ Δ× = (21)
где 0( )W x∗ – значение функционального определителя в точке 0x , составленного из n функций фундаментальной системы решений внутреннего дифференциального оператора, а *
0( )i xΔ – определитель, составленный из 0( )W x∗ заменой i-го столбца столбцом из правых частей системы (20).
Распишем определители *0( )i xΔ на сумму определителей:
93
1 0 1 0 0 1 0 0
1 0 1 0 0 1 0 0*
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)1 0 1 0 0 1 0 0
( ) ... ( ) ( ) ... ( )( ) ... ( ) ( ) ... ( )
( )... ... ... ... ... ... ...
( ) ... ( ) ( ) ... ( )
i i n
i i ni
n n n n ni i n
z x z x z z x z xz x z x z z x z x
x
z x z x z z x z x
− +
− +
− − − − −− +
′ ′ ′ ′ ′Δ = −
1 0 1 0 1 0 1 0 0
1 0 1 0 1 0 1 0 01
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)1 0 1 0 1 0 1 0 0
( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( )( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( )... ... ... ... ... ... ...
( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( )
i n i n
i n i nn
n n n n ni n i n
z x z x z x z x z xz x z x z x z x z x
C
z x z x z x z x z x
− + +
− + ++
− − − − −− + +
′ ′ ′ ′ ′− −
…………………………………………………………………..
1 0 1 0 0 1 0 0
1 0 1 0 0 1 0 0
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)1 0 1 0 0 1 0 0
( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( )( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( )... ... ... ... ... ... ...
( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( )
i n p i n
i n p i nn p
n n n n ni n p i n
z x z x z x z x z xz x z x z x z x z x
C
z x z x z x z x z x
− + +
− + ++
− − − − −− + +
′ ′ ′ ′ ′− .
В последней сумме определители соответственно обозначим 10
0( )i xΔ , 110( )i xΔ , …, 1
0( )pi xΔ ,
тогда 10 11 1
0 1 0 0*
0
( ) ( ) .... ( )( )
pi n i n p i
i
x C x C xC
W x+ +Δ − Δ − − Δ
= , 1,i n= . (22)
Подставим значение iC из (21) в (6.0)-(6.m):
0
*0 1
*1 0
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )
m
x i imi i
ii x
W z xxz x z x F d
W x W
ηη η
η=
=
Δ= +
∑∑ ∫ ,
0
*0 1
*1 0
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )
m
x i imi i
ii x
W z xxz x z x F d
W x W
ηη η
η=
=
′Δ′ ′= +
∑∑ ∫ ,
……………………………………………… (23)
0
( 1)*
( 1) ( 1)0 1*
1 0
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )
mm
x i imm mi i
ii x
W z xxz x z x F d
W x W
ηη η
η
−
− − =
=
Δ= +
∑∑ ∫ ,
94
0
( )*
( ) ( )0 1*
1 0
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
mm
x i imm mi i
ii x
W z xxz x z x F d F x
W x W
ηη η
η=
=
Δ= + +
∑∑ ∫ .
Далее вычислим
[ ]0
( )*
( )0 1*
1 0
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )
mn
x i imni i
n ii x
W z xxL z x z x F d
W x W
ηη η
η=
=
Δ= + +
∑∑ ∫
*( 1)0
1 *1 0
( )( ) ( )( )
mni
ii
xa x z xW x
−
=
Δ+ ∑
0
( 1)
11
( ) ( )( ) ( ) ...
( )
mn
x i ii
x
W z xa x F d
W
ηη η
η
−
=+ + +∑∫
0
*0 1
*1 0
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
m
x i imi i
n i ni x
W z xxa x z x a x F d
W x W
ηη η
η=
=
Δ+ + =
∑∑ ∫
0
*0 1
*1 0
( ) [ ( )]( ) [ ( )] ( )( ) ( )
m
x i n imi i
n ii x
W L z xx L z x F d
W x W
ηη η
η=
=
Δ= + =
∑∑ ∫
0
( ) ( , ) ( )x
x
g x H x F dη η η= + ∫ ,
где
*0
*1 0
( )( ) [ ( )]( )
mi
n ii
xg x L z xW x=
Δ=∑ , 1
( ) [ ( )]( , )
( )
m
i n ii
W L z xH x
W
ηη
η==∑
. (24)
Тогда разрешающее уравнение для уравнения (1) запишется
0
( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) 0x b
x a
g x H x F d K x y F y dyη η η λ+ + =∫ ∫ .
Решим это разрешающее смешанное интегральное уравнение в более общем виде
0
( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) 0x b
x a
g x H x F d K x y F y dyμ η η η λ+ + =∫ ∫ . (25)
Сначала продифференцируем это уравнение и сведем его к
95
уравнению вида (11) ( ) ( , ) ( )g x H x x F xμ′ + +
0
( , ) ( ) ( , ) ( ) 0x b
x xx a
H x F d K x y F y dyμ η η η λ′ ′+ + =∫ ∫ . (26)
Считая, что ( , ) 0H x x ≠ ; g(x), ( , )H xη , K(x,y) имеют непрерывные производные по x на [a,b], и поделив (26) на ( , ) 0H x xμ ≠ , получим
0
( , ) ( , )( )( ) ( ) ( )( , ) ( , ) ( , )
b xx x
a x
K x y H xg xF x F y dy F dH x x H x x H x x
ηλ η η
μ μ′ ′′
= − − −∫ ∫ .
Если же ( , ) 0H x x = , то можно еще раз продифференцировать и так до тех пор, пока ( 1)
1 ( , ) 0k
xkH x x−− ≠ , после k –го дифференцирования.
Введем обозначения
* ( )( )( , )
g xg xH x xμ′
= − , * ( , )( , )( , )
xK x yK x yH x xμ′
= − , * ( , )( , )( , )
xH xH xH x x
ηη
′= − , (27)
тогда получим разрешающее уравнение вида (11)
ηηηλ dFxHdyyFyxKxgxFx
x
b
a
)(),()(),()()(0
*** ∫∫ ++= . (28)
Пусть ( , ,1)R xη – резольвента ядра ( , )H xη∗ при 1μ = , тогда аналогично, как и ранее, получим
0
* *( ) ( , ) ( , ;1) ( , ) ,x
x
F x G x R x G dλ η η λ η= + ∫ (29)
где * * * * 2 *
1 2( , ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ...,kkG x g x g x g x g xλ λ λ λ= + + + + + (30)
* *1( ) ( , ) ( ) , 1,2,...,
b
k ka
g x K x y y dy kϕ −= =∫ (31)
0
* *( , ) ( ) ( , ;1) ( ) , 1,2,...x
k k kx
x g x R x g d kϕ μ η η η= + =∫ . (32)
Если положить * *0 ( ) ( )g x g x= , то рекуррентные формулы для
нахождения * ( ), 1,2,...kg x k = , запишутся
96
* * *1( ) ( , ) ( )
b
k ka
g x K x y g y dy−= +∫
0
* *1( , ) ( , ,1) ( )
b x
ka x
K x y R y g d dyμ η η η−+ ∫ ∫ , ,...2,1=k . (33)
………………………………………. Докажем, что ряд (30) сходится абсолютно и равномерно для
достаточно малых значений λ . Для этого при bxa ≤≤ ; yx ≤≤η0 ; bya ≤≤ , 0μ ≠ наложим ограничения
1( , )
NH x xμ
≤ ; ( )g x Q′ ≤ ; MyxK x ≤′ ),( ; ( , ,1)R y Rη ≤
и оценим по модулю коэффициенты ряда (30):
.),(
)()(* QNxxH
xgxg ≤′
−=μ
Из формул (27) и (33) и наложенных ограничений, имеем
0
*1 ( )
yb b
a a x
g x MN QNdy MN RQNd dyμ η≤ ⋅ + ≤∫ ∫ ∫
2 (1 )MN Q b a R b aμ≤ − + − ,
* 22 ( ) (1 )
b
a
g x MN MN Q b a R b a dyμ≤ ⋅ − + − +∫
0
2 (1 )yb
a x
MN RMN Q b a R b a d dyμ μ η+ − + − ≤∫ ∫
2 32 3 2 3(1 ) (1 )M N Q b a R b a M N QR b a R b aμ μ μ≤ − + − + − + − =
2232 )1( abRabQNM −+−= μ , ……………………………………………………………..
kkkkk abRabQNMxg )1()( 1* −+−≤ + μ ,
……………………………………………………………. Составляем для ряда (30) мажорирующий ряд
97
2 (1 ) ...QN MN Q b a R b aλ μ+ − + − + +
1 (1 ) ...kk k k kM N Q b a R b aλ μ++ − + − + ,
который, как ряд составленный из членов геометрической прогрессии, будет сходиться для
1(1 )MNQ b a R b a
λμ
<− + −
(34)
и, следовательно, ряд (30) для этих значений λ будет сходиться абсолютно и равномерно.
В решение (29) войдут пока неопределенные постоянные 1,nС +
2 , ...,n n pС С+ + , которыми распорядимся так, чтобы решение (29) удовлетворяло уравнению (25). Рассмотрим далее как это можно сделать, для этого выпишем g(x) и подставим , 1,iС i n= из (22):
[ ] [ ]10 11 1
0 1 0 0*
1 1 0
( ) ( ) .... ( )( ) ( ) ( )
( )
pm ni n i n p i
i n i n ii i
x C x C xg x C L z x L z x
W x+ +
= =
Δ − Δ − − Δ= = +∑ ∑
[ ]1
( ) ...m
i n ii n
C L z x= +
+ + =∑
[ ] [ ] [ ]10 11
0 01 1* *
1 10 0
( ) ( )( ) ( ) ( ) ...( ) ( )
n ni i
n i n n n n ii i
x xL z x C L z x L z xW x W x+ +
= =
⎧ ⎫Δ Δ= + − + +⎨ ⎬
⎩ ⎭∑ ∑
[ ]1
0*
1 0
( )( ) ( )( )
pni
n p n n p n ii
xC L z x L z xW x+ +
=
⎧ ⎫Δ⎡ ⎤+ − =⎨ ⎬⎣ ⎦⎩ ⎭
∑
0 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ... ( )n n n p pd x C d x C d x C d x+ + += − − − − , где
[ ]10
00 *
1 0
( )( ) ( )( )
ni
n ii
xd x L z xW x=
Δ=∑ , [ ] [ ]
110
1 1 *1 0
( )( ) ( ) ( )( )
ni
n n n ii
xd x L z x L z xW x+
=
Δ= −∑ ,
… , [ ]1
0*
1 0
( )( ) ( ) ( )( )
pni
p n n p n ii
xd x L z x L z xW x+
=
Δ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ ∑ .
Найдем производную функции ( )g x :
)(...)()()()( 22110 xdCxdCxdCxdxg ppnnn ′++′+′+′=′ +++ .
Из формул (27) и (33) найдем ( )g x∗ и ( )kg x∗ ; k=1,2,3, … . И проделаем аналогичные преобразования, что и для функции g(x):
98
0 1 1 2 2* ( ) ( ) ( ) ... ( )( )
( , )n n n p pd x C d x C d x C d x
g xH x xμ
+ + +′ ′ ′ ′+ + + += − =
00 01( ) ( )
0 11
( ) ( )( , ) ( , )
A x A x
nd x d xCH x x H x xμ μ+
′ ′= + +
64748 64748
002( )( )
22
( )( ) ...( , ) ( , )
pA xA x
pn n p
d xd xC CH x x H x xμ μ+ +
′′+ + + =
6474864748
)(...)()()( 002201100 xACxACxACxA ppnnn +++ ++++= ,
* * *1 ( ) ( , ) ( )
b
a
g x K x y g y dy= +∫
0
* *( , ) ( , ;1) ( )b x
a x
K x y R y g d dyμ η η η+ =∫ ∫
00 01( ) ( )
* 0 11
( ) ( )( , )( , ) ( , )
A y A y
b
na
d y d yK x y CH y y H y yμ μ+
⎡⎢ ′ ′
= + +⎢⎢⎢⎣
∫64748 64748
002( )( )
22
( )( ) ...( , ) ( , )
pA yA y
pn n p
d yd yC C dyH y y H y yμ μ+ +
⎤⎥′′⎥+ + + +⎥⎥⎦
6474864748
00 01
0
( ) ( )
* 0 11
( ) ( )( , ) ( , ;1)( , ) ( , )
A A
yb
na x
d dK x y R y CH H
η η
η ηημ η η μ η η+
⎡⎢ ′ ′
+ + +⎢⎢⎢⎣
∫ ∫64748 64748
99
002( )( )
22
( )( ) ...( , ) ( , )
pAA
pn n p
ddC C d dyH H
ηη
ηη ημ η η μ η η+ +
⎤⎥′′⎥+ + + =⎥⎥⎦
6474864748
00 00
0
( ) ( )
* *0 0( ) ( )( , ) ( , ) ( , ;1)( , ) ( , )
A y A
yb b
a a x
d y dK x y dy K x y R y d dyH y y H
η
ηη η
μ μ η η
⎡ ⎤⎢ ⎥′ ′
= + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ ∫64748 64748
01 01
0
( ) ( )
* *1 11
( ) ( )( , ) ( , ) ( , ;1)( , ) ( , )
A y A
yb b
na a x
d y dC K x y dy K x y R y d dyH y y H
η
ηη ημ μ η η+
⎡ ⎤⎢ ⎥′ ′
+ + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ ∫64748 64748
……………………………………………………………
0
( ) ( )
* *
0 0
( ) ( )( , ) ( , ) ( , ;1)
( , ) ( , )
y
yb bp p
n pa a x
p pA A
d y dC K x y dy K x y R y d dy
H y y H
η
ηη η
μ μ η η+
⎡ ⎤⎢ ⎥′ ′⎢ ⎥+ + =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ ∫64748 64748
10 1 11 2 12 1( ) ( ) ( ) ... ( )n n n p pA x C A x C A x C A x+ + += + + + + .
Здесь через 10 11 12 1( ), ( ), ( ), ..., ( )pA x A x A x A x соответственно обозначены выражения в квадратных скобках.
Аналогично найдем
0
* * * *2 1 1( ) ( , ) ( ) ( , ;1) ( )
yb
a x
g x K x y g y R y g d dy dyη η η⎡ ⎤
= + =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+= ∫∫∫
y
x
b
a
b
a
dydAyRyxKdyyAyxK0
)()1;,(),()(),( 10*
10* ηηη
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡++ ∫∫∫+
y
x
b
a
b
an dydAyRyxKdyyAyxKC
0
)()1;,(),()(),( 11*
11*
1 ηηη
………………………………………………………
100
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡++ ∫∫∫+
y
xp
b
a
b
appn dydAyRyxKdyyAyxKC
0
)()1;,(),()(),( 1*
1* ηηη
)(...)()()( 222221120 xACxACxACxA ppnnn +++ ++++= ,
где через 20 21 2( ), ( ), ..., ( )pA x A x A x соответственно обозначены выражения в квадратных скобках.
……………………………………………………
)(...)()()()( 22110* xACxACxACxAxg kppnknknkk +++ ++++= ,
где
∫∫∫ −− +=y
xk
b
a
b
akk dydAyRyxKdyyAyxKxA
0
)()1;,(),()(),()( 0,1*
0,1*
0 ηηη ,
……………………………………………………..
∫∫∫ −− +=y
xpk
b
a
b
apkkp dydAyRyxKdyyAyxKxA
0
)()1;,(),()(),()( ,1*
,1* ηηη ,
…………………………………………………….. По формуле (30) найдем
+++++= +++ )(...)()()(),( 002201100* xACxACxACxAxG ppnnnλ
[ ]++++++ +++ )(...)()()( 112211110 xACxACxACxA ppnnnλ
[ ]++++++ +++ )(...)()()( 2222211202 xACxACxACxA ppnnnλ
……………………………………………………… [ ] ...)(...)()()( 22110 ++++++ +++ xACxACxACxA kppnknknk
kλ .
Так как доказано, что этот ряд сходится абсолютно для достаточно малых λ , то его члены можно перегруппировать:
* 200 10 20 0( , ) [ ( ) ( ) ( ) ... ( ) ...]k
kG x A x A x A x A xλ λ λ λ= + + + + + +
21 01 11 21 1[ ( ) ( ) ( ) ... ( ) ...]k
n kC A x A x A x A xλ λ λ++ + + + + + +
22 02 12 22 2[ ( ) ( ) ( ) ... ( ) ...]k
n kC A x A x A x A xλ λ λ++ + + + + + + …………………………………………………
20 1 2[ ( ) ( ) ( ) ... ( ) ...]k
n p p p p kpC A x A x A x A xλ λ λ++ + + + + + =
101
)(...)()( 110 xGCxGCxG ppnn ++ +++= ,
где через 0 1( ), ( ), ..., ( )pG x G x G x соответственно обозначены сходящиеся ряды в квадратных скобках. И окончательно по формуле (29) найдем F(x):
0
* *( ) ( , ) ( , ;1) ( , )x
x
F x G x R x G dλ η η λ η= + =∫
0 1 1( ) ( ) ... ( )n n p pG x C G x C G x+ += + + + +
0
0 1 1( , ;1) ( ) ( ) ... ( ) x
n n p px
R x G C G C G dη η η η η+ +⎡ ⎤+ + + + =⎣ ⎦∫
0
0 0( ) ( , ;1) ( )x
x
G x R x G dη η η⎡ ⎤
= + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
0
1 1 1( ) ( , ;1) ( ) ...x
тx
С G x R x G dη η η+
⎡ ⎤+ + + +⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦∫
0
( ) ( , ;1) ( )x
т p p px
С G x R x G dη η η+
⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦∫
0 1 1( ) ( ) ... ( )n n p pE x C E x C E x+ += + + + ,
где через 0 1( ), ( ), ..., ( )pE x E x E x соответственно обозначены выражения в квадратных скобках. Найденное выражение для F(x) и вычисленное значение g(x) по формулам в (24) подставляем в (25):
0 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ... ( )n n n p pd x C d x C d x C d x+ + ++ + + + +
0
0 1 1( , ) ( ) ( ) ... ( )x
n n p px
H x E C E C E dμ η η η η η+ +⎡ ⎤+ + + + +⎣ ⎦∫
0 1 1( , ) ( ) ( ) ... ( ) 0b
n n p pa
K x y E y C E y C E y dyλ + +⎡ ⎤+ + + + =⎣ ⎦∫ .
или, перегруппировав слагаемые, найдем
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡++ ∫∫ dyyEyxKdExHxd
b
a
x
x
)(),()(),()( 000
0
ληηημ
102
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+++ ∫∫+ dyyEyxKdExHxdC
b
a
x
xn )(),()(),()( 1111
0
ληηημ
…………………………………………………….
0)(),()(),()(0
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+++ ∫∫+ dyyEyxKdExHxdC
b
app
x
xppn ληηημ .
Откуда, обозначив квадратные скобки соответственно через 0 1( ), ( ), ..., ( )px x x−Φ Φ Φ , получим
0 1 1( ) ( ) ... ( ) 0n n p px C x C x+ +−Φ + Φ + + Φ =
или 1 1 0( ) ... ( ) ( )n n p pC x C x x+ +Φ + + Φ =Φ . Это равенство должно выполняться тождественно относительно х.
Продифференцируем его (р–1) раз и, подставляя в полученные равенства значение 0x x= , получим систему р уравнений с р неизвестными постоянными:
1 1 0 2 2 0 0 0
1 1 0 2 2 0 0 0 0
( 1) (1 1 0 2 2
( ) ( ) ... ( ) ( ) ,
( ) ( ) ... ( ) ( ) ,
....................................................................................( )
n n n р p
n n n р p
pn n
C x C x C x х
C x C x C x х
C x C
+ + +
+ + +
−+ +
Φ + Φ + + Φ =Φ
′ ′ ′ ′Φ + Φ + + Φ =Φ
Φ + Φ 1) ( 100 0
( 100 0
( ) ... ( )
( ) .
p pn р p
p
x C x
х
− −+
−
⎧⎪⎪⎪⎨⎪ + + Φ =⎪⎪ = Φ⎩
(35)
Если определитель этой системы 1 0 2 0 0
1 0 2 0 0
( 1) ( 1) ( 1)1 0 2 0 0
( ) ( ) ... ( )( ) ( ) ... ( )
0... ... ... ...
( ) ( ) ... ( )
p
p
p p pp
x x xx x x
x x x− − −
Φ Φ Φ′ ′ ′Φ Φ Φ
≠
Φ Φ Φ
и все 0 0( ) 0i xΦ ≠ одновременно ( 0,1,2,..., 1)i p= − , то постоянные
1 2, , ...,n n n pС С С+ + + определяются единственным образом.
Если же все 0 0( ) 0i xΦ = одновременно, то для единственности решения необходимо, чтобы этот определитель равнялся нулю. При решении примеров эти факты легко проверяются, так как функции
103
0 1( ), ( ), ..., ( )pх х хΦ Φ Φ будут определены. Пример 2. Найти решение уравнения
1
0
( ) ( ) [ ( ) ( )] 0z x z x x z y z y ydyλ′ ′′ ′− + + =∫
при начальных условиях 0 0( ) 1z x z= = . Положим ( ) ( ) ( )z x z x F x′′ ′+ = . Сначала находим общее решение
однородного уравнения ( ) ( ) 0z x z x′′ ′+ = : ;02 =+ kk ;01 =k ;12 −=k
;1)(1 =xz xexz −=)(2 , xeCCxz −+= 21)( . Затем методом вариации произвольной постоянной ищем
решение неоднородного уравнения:
1 2
1 2
1 0 ,
0 ( ) ,
x
x
C C e
C C e F x
−
−
′ ′⎧ ⋅ + =⎪⎨
′ ′⋅ − =⎪⎩ 1
0
( )10
x
x x
xx
x
eF e eC F x
eee
−
− −
−−
−
− −′ = =−
−
,
2
1 00 1 ( )
10
xx
x
FC F x
eee
−−
−
′ = =−
−
,
откуда
1( ) ,xW x e−= − 2 ( ) 1,W x = xexW −−=)( . Решение исходного уравнения будем искать в форме (6.0):
0
1 21 1( ) ( )
x xx
x
e ez x С С e F de
η
η η η−
−−
− ⋅ + ⋅= + + =
−∫
∫ −− −++=x
x
xx dFeeСС0
)()1(21 ηηη , (**)
∫ −− +−=′x
x
xx dFeeСxz0
)()( 2 ηηη ,
104
откуда 1 201 xС С e−= + или 1 2
01 xC C e−= − . Подставив ( )z x′ и z(x) в исходное уравнение и заменив 1C его
выражением через 2C :
0
2 1 2( )x
x x x
x
С e e F d С С eη η η− − −− + − − −∫
0
1
0
(1 ) ( ) ( ) 0x
x
x
e F d yF y dyη η η λ−− + + =∫ ∫ ,
получим разрешающее уравнение
0
1
2 20
0 1 2 (2 1) ( ) ( ) 0x
x x
x
xС e С e e F d x yF y dyη η η λ− − −− − + − + =∫ ∫ .
Вводим обозначения: ;21)( 22
0 xx eCeCxg −− −−= ;1=μ 12),( −= −xexH ηη , ;),( xyyxK = ;2)( 2
xeCxg −=′ ;1),( =xxH ;),( yyxK x =′x
x exH −−=′ ηη 2),( и по формулам (27) находим
xx
eCeCxg −−
−=⋅
−= 22* 211
2)( , yyyxK −=⋅
−=11
),(* ,
xx
eexH −−
=−
−= ηη
η 21
2),(* .
Затем, найдем резольвенту ядра ),(* xH η , определив сначала итерированные ядра
∫ −=⋅= −−−x
xsxs xedseexHη
ηη ηη )(!1
222),(2
*2 ,
∫ −−=−⋅= −−−x
xsxs xedsseexHη
ηη ηηη 23
2*3 )(
!22)(22),( ,
………………………………………………………….
∫ −−−
−== −−−
xrrx
r
rr xer
dssHxsHxHη
η ηηη )1()()!1(
2),(),(),( 11
* ,
105
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−++−+−+= − ...)(
!2...)(
!22)(
!1212)1;,( 2
2r
rx x
rxxexR ηηηη η
ηηη −−− = xxx eee 22 )(2 . По формулам (33) определим * ( ); 1,2,3,...kg x k = :
=−−+−−= ∫ ∫∫ −−−1
02
1
02
*1 )2(2)()2)(()(
0
dydeCeydyeCyxgy
x
yy ηηη
0
1 12
2 20 0
2 4y
y y
x
C ye dy C y e d dyη η− −= + =∫ ∫ ∫
0
1 21
2 200
2 ( 1) 42
yyy
x
eC e y C y dyη−
−= − − + =−∫
0
121
2 2 20
4 2 2 ( ) y xyC e C C y e e dy−− −= − + − − =∫
[ ] =−−−−−+−= −−− 1
0
222
12 )1()1(224 0 yeeyCCeC xyy
0 02 21 12 2 2 24 2 2 [ 2 1 ] 2x xC e C C e e C e− −− −= − + − − + − = ,
=−+−= ∫ ∫∫ −−−1
0
22
1
0
22
*2 )2(2)(2)()( 0
0
0 dydeCeydyeCyxg xy
x
yx ηη
0 0
0
1 12 2
2 20 0
2 4y
x x y
x
C e ydy C e y e d dyη η− − −= − − =∫ ∫ ∫
0 0
0
1 122 2
2 200
2 42
y
x x y
x
yC e C e ye dyη− − −− + =∫
0 0 0
12 2
2 20
4 (1 )x x y xC e C e y e dy− − −= − + − =∫
0 0 0
122 2
2 2
0
4 ( 1)2
x x y xyC e C e e y− − −⎡ ⎤= − + − − =⎢ ⎥
⎣ ⎦
106
0 0 02 22 2
142
x x xC e C e e− − −⎡ ⎤= − + − =⎢ ⎥⎣ ⎦
0 0 0 0 02 2 3 22 2 2 22 4 (1 4 )x x x x xC e C e C e C e e− − − − −− + − = − ,
0 0
12*
3 20
( ) ( ) (1 4 )x xg x y C e e dy− −= − − +∫
0 0
0
12
20
( ) 2 (1 4 )y
x xy
x
y e C e e d dyη η− −−+ − − =∫ ∫
=−−−−= ∫ ∫∫ −−−−−1
0
22
1
0
22
0
0000 )41(2)41(y
x
yxxxx dydeyeeCydyeeC ηη
0 0 022
1 1(1 4 ) 2( )2 2
x x xC e e e− − −⎡ ⎤= − − − − =⎢ ⎥⎣ ⎦
0 0 0 0 02 2 22 2
1 1(1 4 ( 2 ) (1 4 )2 2
x x x x xC e e e C e e− − − − −= − − − + = − ,
322
*4 )41(
41)( 00 xx eeCxg −− −= ,
……………………………………………………… 12
22* )41(
21)( 00 −−−− −= kxx
kk eeCxg ,
………………………………………………………………………….. Найденные значения )(* xgk подставляем в (30):
0 0 02 2* 22 2 2( , ) 2 2 (1 4 )x x xxG x C e C e C e eλ λ λ− − −−= − + + − +
0 02 2 32
1 (1 4 ) ...2
x xC e e λ− −+ − + +
0 02 12 22
1 (1 4 ) .... 22
x x k k xk C e e C eλ− − − −−+ − + = − +
0 0 00
22 2
2 2
1 4 (1 4 ) (1 4 )2 1 ... ...2 2 2
x x x kx k
k
e e eC e λ λ λ λ− − −
− ⎡ ⎤− − −+ + + + + + =⎢ ⎥
⎣ ⎦
)41(242
2411
220
0
0
0 22
2
22
2 x
xx
x
xx
eeCeC
eeCeC −
−−
−
−−
−−+−=
−−
+−=λ
λ
λ
λ
107
и согласно (29) находим
0
0
22
24( ) 2
2 (1 4 )
xx
x
a
C eF x C eeλ
λ
−−
−= − + +− −
1442443
0
0
0
22
242 2
2 (1 4 )
x xx
xx
a
C ee C e de
η η λ ηλ
−− −
−
⎡ ⎤⎢ ⎥
+ − + =⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦
∫1442443
0 0
22 22 ( 4 ) 2
x xx x x
x x
C e a C e d a e dη ηη η− − −= − + + − + =∫ ∫
0
0
2
2 22 4 22
xx xx x
xx
eC e a C aeη
η−
− −= − + − − =−
0 0 0 022 2 22 2 ( ) 2 (1 ) 2 ( )x x x x x x xx xC e a C e e a e e a C e a− − − −− −= − + + − − − = − − .
Найдем 2C из условия, чтобы F(x) удовлетворяло разрешающему уравнению (25):
∫ ∫ =+−+−− −−−x
x
xxx dyyyFxdFeeCeС0
0 0)()()12(211
022 ληηη ,
где положив 0x x= , найдем
0 0 0 0
1
2 2 0 20
1 2 2 ( ) 0x x y x xС e C e x y e a C e a dyλ− − − −⎡ ⎤− − + − − =⎣ ⎦∫ ,
0 0 0
1
2 0 20
1 2 ( ) 0x y x xС e x ye a C e ay dyλ− − −⎡ ⎤− − + − − =⎣ ⎦∫ ,
02
)()1(211
0
2
0
1
0202000 =−−−+−− −−− yaxeCaeyxeС xxyx λλ ,
02
)(21 0202
000 =−−+−− −−− axeCaexeС xxx λ
λ ,
02
221 022002
000 =−−+−− −−− axeCxaexeС xxx λ
λλ ,
108
00 0
0
22
2 041 2
2 (1 4 )
xx x
x
C eС e x eeλλ
λ
−− −
−− − + −− −
00
0
22 0 2
0 242 0
2 2 (1 4 )
xx
x
x C ex C ee
λ λλλ
−−
−− − =− −
,
0 00 0
0 0
3 22 220 0
2 08 2( 2 ) 1
2 4 2 4
x xx x
x x
e x e xC e x ee e
λ λλ
λ λ λ λ
− −− −
− −− + − − =− + − +
,
0 0 0 02 320
22 4 8
2
x x x xe e e x eC λ λ λλ
− − − −− + − + −− +
0 0 0 0
0
2 2 3 22 2 20 0 0 04 2 8 2 1
4
x x x x
x
x e x e x e x ee
λ λ λ λλ
− − − −
−
− + − −=
+,
0 0 0
0 0 0
2
2 20 0
2 4 (2 4 )[( 2 ) 4 4 ] ( 2) 4 (1 )
x x x
x x x
e e eCe e x e x
λ λ λ λλ λ λ λ λ
− −
−
− + − += = =
− + − − − − + 0 0
00
[ (2 ) 4 ](2 ) 4 (1 )
x x
x
e ee x
λ λλ λ
− +−
− + +
и по формуле (**) находим решение
0
0
1 2 2 2( ) (1 ) ( ) 1x
xx x x
x
z x С С e e F d С e С eη η η −− − −= + + − = − + +∫
0 0 0
0
2 2 2(1 ) 2 ( ) 1x
x x xx x
x
e e a C e a d С e С eηη η− − −− −⎡ ⎤+ + − − = − + +⎣ ⎦∫
0 0 0 0
0
22 22 ( ) 2 ( )
xx x x x x x
x
e a C e a e a C e ae dη η η η− − − − − −⎡ ⎤+ − − − − + =⎣ ⎦∫
02 21 x xС e С e− −= − + +
0 0 0 0
0
22 22 ( ) ( )
xx x x x x x
xe a C e a e a C e aeη η ηη− − − − − −⎡ ⎤+ − − − − + =⎣ ⎦
0 0 02 2 21 [2 ( )x x x xxС e С e e a C e ax− − −−= − + + − − −
0 0 02 2( ) 2( )x x x xe a C e a a C e− − −− − + − − +
0 0 00 2( ) ]x x x x xax e a C e ae− − −+ + − + =
0 0 02 2 0( ) 1]x x x xe a C e C e ax a ax− − −= − + − − + + =
109
0
0 0 0
0
22
2 24
2 (1 4 )
xx x x x
x
C ee C e C eeλ
λ
−− − −
−
⎡ ⎤= − + −⎢ ⎥− −⎣ ⎦
0
0
22
04 ( 1 ) 1
2 (1 4 )
x
x
C e x xeλ
λ
−
−− + − + =− −
0
0
0
22
4 (2 ) 4(2 ) 4
xxx
x
eС e ee
λ λ λλ λ
−⎡ − − −= +⎢ − +⎣
0
0
0 04 ( 1 ) 1
(2 ) 4
xx
x
ee x xeλ
λ λ
−− ⎤
+ − + − + =⎥− + ⎦
0 0
00
(2 ) 4
(2 ) 4 (1 )
x x
x
e e
e x
λ λ
λ λ
⎡ ⎤− +⎣ ⎦= − ×− + +
0
0
0 0 0
04 ( 1 )( 2) 1[(2 ) 4 ] (2 ) 4
xxx
x x x
e x xe ee e e
λλλ λ λ λ
−−⎡ ⎤+ −−
× + − + =⎢ ⎥− + − +⎣ ⎦
0 0
00
(2 ) 4
(2 ) 4 (1 )
x x
x
e e
e x
λ λ
λ λ
⎡ ⎤− +⎣ ⎦= − ×− + +
0
0 0
0( 2) (2 ) 4 4 ( 1 ) 1[(2 ) 4 ]
xx
x x
e e x xe e
λ λ λ λλ λ
− + − + − + −× + =
− +
0
0
( 2) (2 ) 4(2 )
xx
x
e ee
λ λ λλ
− − − − − +=
− +
0
0 0
0
4 ( 1 ) (2 ) 4 (1 )4 (1 )
xx x e xx
λ λ λλ
+ + − + − + ++ +
,
)1(4)2()1(4)2()(0
0 xexexz x
x
++−++−
=λλλλ
.
Нетрудно проверить, что найденное решение тождественно удовлетворяет поставленной задаче для любых λ , кроме характеристического
0
00
24 4
x
x
ee x
λ =− −
.
110
Глава III.
Решение линейных интегродифференциальных уравнений Фредгольма без использования
фундаментальных систем решений внешнего и внутреннего
дифференциальных операторов
§ 1. Преобразования внешнего и внутреннего дифференциальных операторов
Рассмотрим уравнение
[ ( )] ( , ) [ ( )] 0b
n ma
L z x K x y P z y dyλ+ =∫ , (1)
где 1
1 1
( ) ( )[ ( )] ( ) ... ( ) ( )n n
n nn n
d z x d z xL z x a x a x z xdx dx
−
−= + + + ,
1
0 1 1
( ) ( )[ ( )] ( ) ( ) ... ( ) ( )m m
m mm m
d z y d z yP z y b y b y b y z ydy dy
−
−= + + +
…………………………………………….
Положим ( ) ( ) ( )nz x u x= , (2.0)
тогда
1)1(
0
)()( Cduxzx
x
n += ∫− ηη , (2.1)
и 0x – любое из отрезка [a,b] при нахождении общего решения, 0x – начальное значение при решении задачи Коши.
2012)2( )()()(
0 0
CxxCduxzx
x x
n +−+= ∫ ∫− ηηη
и по формуле Коши имеем
201)2( )()()()(
0
CxxCduxxzx
x
n +−+−= ∫− ηηη , (2.2)
111
0 0 0
( 3) 2 210 2 0 3( ) ( ) ( ) ( )
2!
x x xn
x x x
Cz x u d x x C x x Cη η− = + − + − + =∫ ∫ ∫
+−+−= ∫ 20
12 )(!2
)()(21
0
xxCduxx
x
ηηη ,)( 302 CxxC +− (2.3)
…………………………………………………………
( ) ( ( ))( ) ( )m n n mz x z x− −= =
0
1 110
1 ( ) ( ) ( )( 1)! ( 1)!
xn m n m
x
Cx u d x xn m n m
η η η− − − −− + − +− − − −∫
mnmnmn CxxCxx
mnC
−−−−− +−++−
−−+ )(...)(
)!2( 012
02 , (2.n–m)
( 1) ( ( 1))( ) ( )m n n mz x z x− − − += =
0
10
1 ( ) ( ) ( )( )! ( )!
xn m n m
x
Cx u d x xn m n m
η η η− −= − + − +− −∫
101
02 )(...)(
)!1( +−−−− +−++−
−−+ mnmn
mn CxxCxxmnC
, (2.n–m+1)
………………………………………………………
0
22 1 0( )1( ) ( ) ( )
( 2)! ( 2)!
x nn
x
C x xz x x u dn n
η η η−
− −′ = − + +− −∫
2 0 1... ( )n nC x x C− −+ + − + , (2.n–1)
0
11 1 0( )1( ) ( ) ( )
( 1)! ( 1)!
x nn
x
C x xz x x u dn n
η η η−
− −= − + +
− −∫
1 0... ( )n nC x x C−+ + − + . (2.n) Найдем [ ]( )nL z x , подставив полученные выражения для ( )z x ,
( )( ), ...., ( )nz x z x′ :
[ ]0
1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )x
nx
L z x u x a x u d a x Cη η= + + +∫
0
2 2 1 0 2( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ]x
x
a x x u d a x C x x Cη η η+ − + − + +∫
112
0
2 23 13 0 2 0 3
( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ( ) ]2 2!
x
x
a x Cx u d a x x x C x x Cη η η+ − + − + − + +∫
0
21( )... ( ) ( )( 2)!
xnn
x
a x x u dn
η η η−−+ + − +− ∫
2 31 21 0 0( )[ ( ) ( )
( 2)! ( 3)!n n
nC Ca x x x x x
n n− −
−+ − + − +− −
0
12 0 1
( )... ( ) ] ( ) ( ) ( 1)!
xnn
n nx
a xC x x C x u dn
η η η−− −+ + − + + − +
− ∫
1 21 20 0( )[ ( ) ( )
( 1)! ( 2)!n n
nC Ca x x x x x
n n− −+ − + − +
− −
1 0... ( ) ]n nC x x C−+ + − + =
[0
1 2( ) ( ) ( )( )x
x
u x a x a x x η= + + − +∫
2 13 ( ) ( )( ) ... ( ) ( )2! ( 1)!
nna x a xx x u dn
η η η η− ⎤+ − + + − +⎥− ⎦
1 1 2 1 0 2[ ( ) ( )( ( ) )a x C a x C x x C+ + − + +
213 0 2 0 3( )( ( ) ( ) ) ...
2!Ca x x x C x x C+ − + − + + +
110( )( ( )
( 1)!n
nCa x x x
n−+ − +
−
220 1 0( ) ... ( ) )]
( 2)!n
n nC x x C x x C
n−
−+ − + + − +−
.
Введем обозначения
1 1 2( , ) ( ) ( )( )H x a x a x xη η− = + − +
2 13 ( ) ( )( ) ... ( )2! ( 1)!
nna x a xx xn
η η −+ − + + −−
,
1 1 1 2 1 0 2( ) ( ) ( )[ ( ) ]g x a x C a x C x x C= + − + +
213 0 2 0 3( )[ ( ) ( ) ] ...
2!Ca x x x C x x C+ − + − + + +
113
110( )[ ( )
( 1)!n
nCa x x x
n−+ − +
−
220 1 0( ) ... ( ) ]
( 2)!n
n nC x x C x x C
n−
−+ − + + − +−
. (3)
Тогда выражение для [ ]( )nL z x перепишется
[ ]0
1( ) ( ) ( , ) ( ) ( )x
nx
L z x u x H x u d g xη η η= − +∫ . (4)
Теперь найдем [ ]( )mP z y :
[ ]0
10 ( )( ) ( ) ( )( 1)!
yn m
mx
b yP z y y u dn m
η η η− −= − +− − ∫
1 2
1 0 2 00
( ) ( )( )[ ...( 1)! ( 2)!
n m n mC y x C y xb yn m n m
− − − −− −+ + + +
− − − −
0
11 0
( )( ) ] ( ) ( )( )!
yn m
n m n mx
b yC y x C y u dn m
η η η−− − −+ − + + − +
− ∫
1
1 0 2 01
( ) ( )( )[( )! ( 1)!
n m n mC y x C y xb yn m n m
− − −− −+ + +
− − −
0
211
( )... ] ... ( ) ( )( 2)!
ynm
n mx
b yC y u dn
η η η−−− −+ + + + − +
− ∫
2 3
1 0 2 01
( ) ( )( )[ ...( 2)! ( 3)!
n n
mC y x C y xb y
n n
− −
−
− −+ + + +
− −
0
11
( )] ( ) ( )( 1)!
ynm
nx
b yC y u dn
η η η−−+ + − +
− ∫
1 2
1 0 2 0( ) ( )( )[ ... ]( 1)! ( 2)!
n n
m nC y x C y xb y C
n n
− −− −+ + + +
− −,
[ ]( )mP z y0
2 2( , ) ( ) ( )y
x
H y u d g yη η η= − +∫ , (5)
114
где
102
( )( , ) ( )( 1)!
n mb yH y yn m
η η − −− = − +− −
11 ( )( ) ( ) ... ( )( )! ( 1)!
n m nmb yb y y yn m n
η η− −+ − + + −− −
,
1 2
1 0 2 02 0
( ) ( )( ) ( )[( 1)! ( 2)!
n m n mC y x C y xg y b yn m n m
− − − −− −= + +
− − − −
1 0... ( ) ]n m n mC y x C− − −+ + − + +
++++−−
−+
−−
+ −−
−−−
....]...)!1(
)()!()()[( 1
20201
1 mn
mnmn
CmnxyC
mnxyCyb
]...)!2()(
)!1()()[(
202
101
n
nn
m Cn
xyCn
xyCyb ++−−
+−−
+−−
. (6)
………………………………………….
§ 2. Построение разрешающего интегрального уравнения и его решение
Подставив (4) и (5) в уравнение (1) получим
0
1 1( ) ( , ) ( ) ( )x
x
u x H x u d g xη η η− − +∫
0
2 2( , ) [ ( , )] ( ) ( ) 0yb
a x
K x y H y u d g y dyλ η η η⎡ ⎤
+ − + =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫
и положив
1 2( ) ( , ) ( ) ( )b
a
g x K x y g y dy g xλ− + = −∫ , (7)
придем к разрешающему интегральному уравнению смешанного типа Вольтерра-Фредгольма
0
2( ) ( ) ( , ) ( )x
x
u x g x H x u dη η η= + ∫0
2( , ) ( , ) ( )yb
a x
K x y H y u d dyλ η η η+ ∫ ∫ . (8)
115
Решение уравнения (8) можно искать в форме ряда
...)(...)()()()( 22
10 +++++= xxxxxu kkϕλϕλλϕϕ . (9)
Ряд (9) подставляем в уравнение (8):
=+++++ ...)(...)()()( 22
10 xxxx kkϕλϕλλϕϕ
1 2( ) ( , ) ( )b
a
g x K x y g y dyλ= − +∫
0
22 0 1 2( , )[ ( ) ( ) ( ) ... ( ) ...]
xk
kx
H x dη ϕ η λϕ η λ ϕ η λ ϕ η η+ + + + + + +∫
0
22 0 1 2( , ) ( , )[ ( ) ( ) ( ) ...
yb
a x
K x y H yλ η ϕ η λϕ η λ ϕ η+ + + + +∫ ∫
( ) ...] kk d dyλ ϕ η η+ +
и, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях λ , получим систему рекуррентных интегральных уравнений Вольтера 2-го рода:
0
0 0
0 0
0 1 1 0
1 2
2 0 1 1
2 2 1 1 2
( ) ( ) ( , ) ( ) ,
( ) ( , ) ( )
( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ,
( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ,
.........................
x
x
b
ayb x
a x x
yb x
a x x
x g x H x d
x K x y g y dy
K x y H y d dy H x d
x K x y H y d dy H x d
ϕ η ϕ η η
ϕ
η ϕ η η η ϕ η η
ϕ η ϕ η η η ϕ η η
= +
= − +
+ +
= +
∫
∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
0 0
2 1 1
....................................................
( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ,
.............................................................................
yb x
k k ka x x
x K x y H y d dy H x dϕ η ϕ η η η ϕ η η−
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
= +∫ ∫ ∫
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
(10)
Введем обозначения 0 1( ) ( )q x g x= ,
116
0
1 2 2 0( ) ( , )[ ( ) ( , ) ( ) ] yb
a x
q x K x y g y H y d dyη ϕ η η= − +∫ ∫ ,
0
2 2 1( ) ( , ) ( , ) ( )yb
a x
q x K x y H y d dyη ϕ η η= ∫ ∫ , …,
0
2 1( ) ( , ) ( , ) ( )yb
k ka x
q x K x y H y d dyη ϕ η η−= ∫ ∫ , (11)
…………………………………………….. , тогда система (10) перепишется
0
0
0
0 0 1 0
1 1 1 1
1
( ) ( ) ( , ) ( ) ,
( ) ( ) ( , ) ( ) ,
.........................................................
( ) ( ) ( , ) ( ) ,
..................................................
x
x
x
x
x
k k kx
x q x H x d
x q x H x d
x q x H x d
ϕ η ϕ η η
ϕ η ϕ η η
ϕ η ϕ η η
= +
= +
= +
∫
∫
∫........
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
(12)
Если Г ( , ;1)xη – резольвента ядра 1( , )H xη при 1μ = , то решение этой системы запишется
0
0
0
0 0 0
1 1 1
( ) ( ) ( , ;1) ( ) ,
( ) ( ) ( , ;1) ( ) ,
..........................................................
( ) ( ) ( , ;1) ( ) ,
..............................................
x
x
x
x
x
k k kx
x q x Г x q d
x q x Г x q d
x q x Г x q d
ϕ η η η
ϕ η η η
ϕ η η η
= +
= +
= +
∫
∫
∫.............
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
(13)
117
Подставляя )(xkϕ , 0,1,2,...k = из (13) в (11), получим рекуррентные формулы для )(xqk , 0,1,2,...k = :
0 1( ) ( )q x g x= ,
0 0
1 2 2 0 0( ) ( , ){ ( ) ( , )[ ( ) ( , ;1) ( ) ] }yb
a x x
q x K x y g y H y q Г t q t dt d dyη
η η η η= − + +∫ ∫ ∫ ,
0 0
2 2 1 1( ) ( , ) ( , )[ ( ) ( , ;1) ( ) ]yb
a x x
q x K x y H y q Г t q t dt d dyη
η η η η= +∫ ∫ ∫ ,
…………………………………………………………
dyddttqtГqyHyxKxqy
x xkk
b
ak ∫ ∫∫ −− +=
0 0
])()1;,()()[,(),()( 112 ηηηηη
, (14)
………………………………………………………… Определив по формулам (14) )(xqk , 0,1,2,...k = и подставив в
(13), а затем (13) в (9), найдем решение уравнения (8)
++++= ∫∫ ])()1;,()([)()1;,()()(00
1100
x
x
x
x
dqxГxqdqxГxqxu ηηηληηη
0
... [ ( ) ( , ;1) ( ) ] ...x
kk k
x
q x Г x q dλ η η η+ + + + =∫
20 1 1( ) ( ) ( ) ... ( ) ...k
kq x q x q x q xλ λ λ= + + + + + +
∫ +++++++x
xk
k dxqxqxqxqxГ0
]...)(...)()()()[1;,( 12
10 ηλλλη .
Вводя обозначение ...)(...)()()(),( 1
210 +++++= xqxqxqxqxQ k
kλλλλ , (15) решение перепишем
∫+=x
x
dQxГxQxu0
),()1;,(),()( ηληηλ . (16)
Докажем сходимость ряда (15), для этого введем ограничения: gxg ≤)(2 ; qxq ≤)(0 ; KyxK ≤),( ; HyH ≤),(2 η ; ГxtГ ≤)1;,( ;
для bxa ≤≤ ; bya ≤≤ ; yx <≤η0 ; η<≤ tx0 ; bxa ≤≤ 0 . Тогда по формулам (14) имеем
118
0 0
1 2 2 0 0( ) ( , ){ ( ) ( , )[ ( ) ( , ;1) ( ) ] }yb
a x x
q x K x y g y H y q Г t q t dt d dyη
η η η η= − + + ≤∫ ∫ ∫
0 0
{ [ ] }yb
a x x
K g H q Гqdt d dyη
η≤ + + ≤∫ ∫ ∫
{ }[ ]K g H q Гq b a b a b a≤ + + − − − =… = K b a M− ,
где ababГHqgM −−++= ]1[ ,
0 0
2 2 1 1( ) ( , ) ( , )[ ( ) ( , ;1) ( ) ]yb
a x x
q x K x y H y q Г t q t dt d dyη
η η η η= + ≤∫ ∫ ∫
0 0
[ ]yb
a x x
K H K b a M ГK b a Mdt d dyη
η≤ − + − ≤∫ ∫ ∫
32 (1 )K H b a M Г b a≤ − + − ,
25233 )1()( abГMabHKxq −+−≤ , ………………………………………………………………….
1121 )1()( −−− −+−≤ kkkkk abГMabHKxq ,
…………………………………………………………............. Составляем мажорирующий ряд для ряда (15)
32 2 (1 ) ...q K b a M K H b a M Г b aλ λ+ − + − + − + + 2 11 1(1 ) ...kk k k kK H b a M Г b aλ −− −+ − + − + .
Этот ряд, как ряд составленный из членов геометрической прогрессии, сходится для
)1(1
2 abГabKH −+−<λ . (17)
Следовательно, для этих значений λ ряд (15) сходится абсолютно и равномерно.
Подставляя (16) в (2.n), получим решение уравнения (1). Ограничения на λ возникли в силу применения рядов, как видно при решении примеров, решения полученные в замкнутом виде удовлетворяют данным уравнениям при всех значениях λ , кроме характекристических.
119
§3. Решение начальной задачи Рассмотрим задачу Коши для случая n m> . Используя начальные
данные zi(x0)=z0i, i= 1,0 −n в соответствии с (2.0)-(2.n–1), найдем
)1(01−= nzC , )2(
02−= nzC , …., 01 zCn ′=− , 0zCn = . (18)
Подставляя найденные значения постоянных в решение, определяемое формулой (2.n), где u(x) определяется по формуле (16), получим решение задачи Коши.
В случае n m< , n m p= + решение задачи Коши можно найти как и в гл. I, §4, предварительно продифференцировав уравнение (1) p раз и вычисляя лишние постоянные 1, ...,n n pC C+ + при последовательном дифференцировании уравнения (1).
Пример. Решить уравнение
0)]()([)()(1
0
=+′−′+′′ ∫ dyyzyzxxzxz λ
с начальными условиями 1)0( =z , 1)0( =′z . По формулам (2.0)-(2.n) найдем
)()( xuxz =′′ , 10
)()( Cduxzx
+=′ ∫ ηη ,
1 0 20 0
( ) ( ) ( )x x
z x u d C x x Cη η= + − + =∫ ∫
1 0 20
( ) ( ) ( )x
x u d C x x Cη η η= − + − +∫ . (2.2*)
Подставляем начальные данные и определяем 1 1С = , 2 1С = . Воспользовавшись формулами (3), (6) и (7) составим
разрешающее уравнение (8) 1]1[),(1 −=−=xH η , 1][)( 11 −=−= Cxg ,
2 1 1 2 12
1 1( , ) ( ) ( )(2 1 1)! (2 1)!
H y y yη η η− − −⎡ ⎤= − − + − =⎢ ⎥− − −⎣ ⎦
1 ( ) 1y yη η= − − − = − − ,
120
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
+−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
= −−−−− 112212111212 )!112()!12(
1)!112(
1)( yCyCyCyg
2211 +=++= yCyCC ,
1
1 20
( ) ( ) ( ) ( )g x g x x g y dyλ= − − =∫
11 2
0 0
51 ( )( 2) 1 ( 2 ) 12 2yx y dy x y xλ λ λ− − − + = − + + = −∫ ,
1
0 0 0
5( ) 1 ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( )2
y x
u x x x y u d dy u dλ λ η η η η η= − + − − − + −∫ ∫ ∫ ,
∫∫∫ −+−+−=xy
dudyduyxxxu00
1
0
)()()1(125)( ηηηηηλλ .
Найдем резольвенту для ядра 1),(1 −=xH η , вычислив сначала итерированные ядра
ηηη
−=−−= ∫ xdsxHx
)1)(1(),(12 ,
13 ( , ) ( 1)( ) ( )x x
H x s ds s dsη η
η η η= − − = − =∫ ∫
2 2 2 2 22 21( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
xs x xs x x x
η
η ηη η η η η= − = − − + = − − + = − − ,
=+−=+−−−= ∫xx
sssdsssxHηη
ηηηηη )3
(21)2)(
21)(1(),( 22
322
14
3 3
2 2 3 3 31 1( ) ( )2 3 3 3!
x x x xηη η η η η= − + − − + = − ,
………………………………………………………….
11 )(
)!1()1(),( −−−−
= kk
k xk
xH ηη ,
………………………………………………………….
21( , ;1) 1 ( ) ( )2!
Г x x xη η η= − + − − − +
121
3 11 ( 1)( ) ... ( ) ...3! ( 1)!
kkx x
kη η −−
+ − − + − +−
, xexГ −−= ηη )1;,( .
Далее определим коэффициенты ряда (9) по формулам (13), где коэффициенты )(xqk , 0,1,2,...k = определяются по формулам (11)
xxxxx
x eeedex −−−− −=−+−=+−=−−+−= ∫ 111)1)((1)(0
00
ηη ηϕ ,
1
1 00 0
( ) ( ){ ( 2) ( 1) ( ) }y
q x x y y d dyη ϕ η η= − − + + − − =∫ ∫
1
00 0
5 ( 1) ( )2
y
x x y d dyη ϕ η η= + − + =∫ ∫
1
0 0
5 ( 1)( )2
y
x x y e d dyηη η−= + − + − =∫ ∫
1
00
5 ( ( 1) )2
yx x ye e e dyη η ηη− − −= + + − − + =∫
1
0
5 ( 1 1)2
y y y yx x ye ye e e y dy− − − −= + − + − − + − =∫
12
0
5 5 22 2 2 2
y xx x x x= − = − = ,
1 00
( ) 2 ( )2 2 2 ( 1)x
xy x y xx x e ydy x e yϕ − −= + − = − − =∫ 2(1 )xe−− ,
1 1
2 10 0 0 0
( ) ( ) ( 1) ( ) 2 ( 1)(1 )y y
q x x y d dy x y e d dyηη ϕ η η η η−= − − − = − + − =∫ ∫ ∫ ∫
1
0 0
2 ( 1 )y
x dy y ye e e dη η ηη η η− − −= − + − + − =∫ ∫
1 2
0 0
2 ( ( 1) )2
y
x y ye e e dyη η ηηη η η− − −= − + + + − − + =∫
1 2
2
0
2 ( ( 1) 1 1)2
y y yyx y y ye y e e y dy− − −= − + + + − − + − + − =∫
122
11 2 3
0 0
222 3 6y y xx dy x= = =∫ ,
2 00
1( ) ( ) ( 1)3 3 3 3
xxy x y xx y xx e dy e yϕ − −= + − = − − =∫
1 1 2( 1) (1 )3 3 3 6
x xx x e e− −= − − − = − ,
2
1
0 023 6
2)()1()()( xdydyxxqy
=−−−= ∫ ∫ ηηϕη ,
3 2 2 2 2 00
2 2 2 2( ) ( ) ( 1)6 6 6 6
xxy x y xx y xx e dy e yϕ − −= + − = − − =∫
2 2 2 2
2 2 2 2( 1) (1 )6 6 6 6
x xx x e e− −= − − − = − ,
……………………………………………………………..
)1(6
2)( 1x
kk ex −− −=ϕ ,
…………………………………………………………….. . Находим решение разрешающего уравнения
21
2 2( ) 2(1 ) (1 ) ... (1 ) ...6 6
x x x x kku x e e e eλ λ λ− − − −−= − + − + − + + − + =
2 1
2 12(1 ) (1 ... ...)6 6 6
kx x
ke e λ λ λλ−
− −−= − + − + + + + + =
1 122(1 ) (1 )1 616
x x x xe e e eλλλλ
− − − −= − + − = − + −−−
,
12( ) (1 )6
x xu x e eλλ
− −= − + −−
.
Найденное выражение u(x) подставляем в (2.2*) и, учитывая значения 1C , 2C , получим решение исходного уравнения
0
12( ) ( )[ (1 )] 16
x
z x x e e d xη ηλη ηλ
− −= − − + − + + =−∫
123
=++−−
−+−−
+−= ∫ −−−− 1)](612)1(
612[
0
xdeeexxex
ηηηλλη
λλ ηηηη
12[ ( ) ( 1)6
xxe e eη η ηλ η ηλ
− − −= + + + − − −−
2
0
12 ( )] 16 2
x
e e xη ηλ η ηλ
− −− + + + + =−
212 12
6 6x x x xx xxe e xe eλ λ
λ λ− − − −= + + − − −
− −
212 12 12 12
6 2 6 6 6x xx x xe e xλ λ λ λ
λ λ λ λ− −− ⋅ − − − − +
− − − −
212 6 12 12 121 1 26 6 6 6 6
x xxx e x eλ λ λ λ λλ λ λ λ λ
− −+ + + + = − − + − +− − − − −
,
212( ) ( 1) 26 2
x xxz x e x eλλ
− −= − − + − +−
.
Проверка: xx eexxz −− +−+
−=′ )1(
612)(
λλ
, xx eexz −− −−−
=′′ )1(612)(
λλ
.
λλ
λλ
λλ
−=+−+
−+−−
−=′+′′ −−−−
612)1(
612)1(
612)()( xeexeexzxz xxxx ,
1
0
[ ( ) ( )]x z y z y dyλ ′ + =∫
1 2
0
12 12[ ( 1) ( 1) 2]6 6 2
y y y yyx y e e e y e dyλ λλλ λ
− − − −= + − + + − − + − + =− −∫
11
2 3
00
6 2 2 12[ 2] ( 2 ) ( 2)6 6 6 6
xx y dy x y y xλ λ λ λλ λ λλ λ λ λ
= + = + = + =− − − −∫ ,
12 12 06 6
x xλ λλ λ− =
− −,
т.е. имеем тождество.
124
Глава IV. Приближённое решение линейных интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма §1. Решение начальной задачи, не опираясь на
фундаментальные системы решений внешнего и внутреннего дифференциальных операторов
1. Постановка задачи и преобразование внешнего
дифференциального оператора. Рассмотрим задачу Коши для линейного интегро-
дифференциального уравнения
Ln[y(x)] = f(x)+λ ∫b
am dyPxK ηηη )]([),( ,
y(s)(x0) = )(0
sy (s= 1,0 −n ), (1) где
Ln[y(x)] = y(n)(x)+∑=
−n
i
ini xyxf
1
)( )()( , Pm[y(η)] = ∑=
−m
i
imi yb
0
)( )()( ηη .
Функции f(x), fi(x) и bi(x)-непрерывны ∀ xє[a,b], а ядро K(x,η)-регулярно в квадрате R[a≤x; η≤b].
Введём новую функцию u(x) = y(n)(x), тогда
y(i)(x) = ∫ −−− −−x
x
in
dttuintx
0
)()!1(
)( 1
+ kin
k
kin xxk
c )(! 0
1
0−∑
−−
=
−− , i= 1,0 −n , (2)
где y(0)(x) = y(x). Если в (2) положить x=x0, то найдём cn-i=y(i)(x0), i= 1,0 −n . Выражение внешнего дифференциального оператора
Ln[y(x)] через новую неизвестную функцию u(x) будет
Ln[y(x)] = u(x)- )()(),( 11
0
xqdttutxHx
x
+∫ , (3)
где
H1(x,t) = -∑=
−
−−n
i
i
i itxxf
1
1
)!1()()( , q1(x) = ki
n
i
i
k
ki xx
kicxf −
= =
−−∑ ∑ )(
)!()( 0
1 1.
125
Выражение внутреннего дифференциального оператора Pm[y(η)] через новую неизвестную функцию u(x) будет зависеть от соотношения порядков внешнего и внутреннего дифференциального операторов.
2. Случай, когда порядок внешнего дифференциального оператора больше порядка внутреннего.
В этом случае выражение внутреннего дифференциального оператора через новую неизвестную функцию u(x) будет
Pm[y(η)] = )()(),( 22
0
ηηη
qdttutHx
+∫ , (4)
где
H2(η,t) =∑=
−−−
−−−−m
i
imni
imntb
0
1
)!1())(( ηη , q2(η)
=∑ ∑=
−+−+−
= −+−−m
i
kimnk
imn
ki kimn
xcb0
0
1 )!()()( ηη .
Подставляя выражения дифференциальных операторов (3) и (4) в уравнение (1), получим разрешающее интегральное уравнение
u(x) = Q(x)+λ ∫ ∫b
a x
dtdtutHxK ηηηη
)(),(),(0
2 + ∫x
x
dttutxH0
)(),(1 , (5)
где
Q(x) = f(x)-q1(x)+ λ ∫b
a
dqxK ηηη )(),( 2 .
Пусть R(x,t;1)-резольвента ядра H1(x,t), тогда
u(x) = Q1(x)+λ ∫ ∫b
a x
dtdtutHxK ηηηη
)(),(),(0
21 , (6)
где
∫+=x
x
dttQtxRxQxQ0
)()1;,()()(1 , ∫+x
x
dttKtxRxK0
.),()1;,(),(1 ηη
126
Применив к уравнению (6) оператор V[u(x)]= ∫x
x
dttutxH0
)(),(2 ,
придём к интегральному уравнению Фредгольма
V[u(x)] = Q2(x)+ λ ∫b
a
duVxK ηηη )]([),(2 , (7)
где
Q2(x) = ∫x
x
dttQtxH0
)(),( 12 , K2(x,η) = ∫x
x
dttKtxH0
),(),( 12 η .
Если К2(x,η)-регулярная функция в области квадрата R, то к уравнению (7) полностью применима теория Фредгольма [33], на основании которой могут быть сформулированы следующие теоремы:
Теорема 1. Если λ не является собственным числом ядра К2(x,η), то решение задачи Коши для уравнения (1) выразится формулой (2) при i=0, где u(x) находится по формуле
u(x) = Q1(x)+
+λ ∫b
a
dQxK ηηη )(),( 21 +)(
2
λλ
D ∫ ∫b
a
b
a
dsdsQsDxK ηληη )();,(),( 21 , (8)
D(λ) – характеристический полином Фредгольма и D(η,s;λ) -минорный ряд Фредгольма.
Теорема 2. Если λ*-собственное число ядра К2(x,η) ранга q, тогда задача Коши для уравнения (1), вообще говоря, решения не имеет. Однако, если
∫b
aj dxxxQ )()(2 ψ = 0, j= q,1 ,
где функции ψj(x) представляют собой полную систему фундаментальных функций сопряжённого ядра K2
*(x,η) = K2(η,x), принадлежащую собственному числу λ*, то решение уравнения (1) с начальными условиями существует, зависит от q произвольных постоянных и выражается формулой (2) при i=0, с функцией u(x), равной
127
u(x)=Q1(x)+λ ∫ ∑=
+b
a
q
iii dcQxK ηηϕηη
121 )]()()[,( +
+λ ∫ ∫b
a
b
a
dsdsQsNxK ηηη )(),(),( 21 , (9)
где ci-произвольные постоянные, φi(x)-полная система фундаментальных функций ядра K2(x,η), принадлежащая собственному числу λ*, а N(η,s) определяется по формуле Фредгольма
N(η,s) =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
***
1
**1
***
1
**1
,...,,...,
,...,,,...,,
λ
ληηη
q
q
q
q
ssxx
D
sssD
,
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ***
1
**1
,...,,,...,,
λq
q
sssxxx
D -детерминантные ряды Фредгольма.
3.Случай, когда порядок внешнего дифференциального оператора меньше или равен порядку внутреннего.
Пусть n≤m, m=n+p, p≥0. Тогда для внутреннего дифференциального оператора получим
Pm[y(η)] = ∫∑ ++=
−x
x
p
i
ipi dttutHqub
0
)(),()()()( 330
)( ηηηη , (10)
где
q3(η) = ∑ ∑= =
−
+ −
−n
i
i
j
jij
ip jixc
b1 1
0
)!()(
)(η
η , H3(η,t) = ∑=
−
+ −−n
i
i
ip itb
1
1
)!1()()( ηη .
Подставляя выражения (3) и (10) в уравнение (1), придём к разрешающему интегральному уравнению
u(x) = F(x)+λ ∫ ∑ ∫=
− +b
a
p
i x
ipi ddttutHubxK ηηηηη
η
03
)( ])(),()()()[,(0
+
128
+ ∫x
x
dttutxH0
)(),(1 , (11)
где
F(x) = f(x)-q(x)+ λ ∫b
a
dPxK ηηη )(),( 2 .
Пусть R(x,t;1) – резольвента ядра H1(x,t), тогда
u(x)=F1(x)+λ ∫ ∑ ∫=
− +b
a
p
i x
ipi ddttutHubxK ηηηηη
η
03
)(1 ])(),()()()[,(
0
, (12)
где
F1(x)=F(x)+ ∫x
x
dttFtxR0
)()1;,( , K1(x,η)= K(x,η)+
∫x
x
dttKtxR0
),()1;,( η .
Применяя оператор
V[u(x)] = ∑ ∫=
− +p
i
x
x
ipi dttutxHxuxb
03
)(
0
)(),()()(
к уравнению (12), придём к интегральному уравнению Фредгольма
V[u(x)] = F2(x)+ λ ∫b
a
duVxK ηηη )]([),(3 , (13)
где
F2(x) = ∑ ∫=
− +p
i
x
x
ipi dttFtxHxFxb
013
)(1
0
)(),()()( ,
K3(x,η) = ∑ ∫=
− +p
i
x
x
ipi dttKtxHxKxb
013
)(1
0
),(),(),()( ηη .
129
Решив уравнение (13) и подставив найденное выражение V[u(x)] в (12), найдём u(x) и, затем, в соответствии с формулами (2) при i=0, найдём решение исходного уравнения. В этом случае, как и для n>m, могут быть сформулированы аналогичные теоремы.
4. Приближённое решение задачи Коши при n>m. Ввиду того, что резольвента R(x,t;1) ядра H1(x,t) не всегда
находится в замкнутом виде, но всегда её можно найти приближённо, рассмотрим приближённый метод решения уравнения (1) в случае n>m. Пусть
|R(x,t;1)- R (x,t;1)|≤r (14) для a≤x; η≤b, a≤t<x, где R (x,t;1) – приближённое значение резольвенты, а r-погрешность. Обозначим через )(1 xQ ,
),(1 ηxK , )(2 xQ и ),(2 ηxK соответственно приближённые значения Q1(x), K1(x,η), Q2(x) и K2(x,η) и, учитывая оценку погрешности (14), оценим разности
| Q1(x)- )(1 xQ |≤rl1, где l1 = ∫≤≤
x
xbxa
dttQ0
|)(|max ; (15)
| K1(x,η)- ),(1 ηxK |≤ rl2, где l2 = ∫≤≤
x
xbxa
dttK0
|),(|max;
ηη
; (16)
| Q2(x)- )(2 xQ |≤rl1l3, где l3 = ∫≤≤
x
xbxa
dttxH0
|),(|max 2 ; (17)
| K2(x,η)- ),(2 ηxK |≤ rl2l3. (18) Применяя теорему о замене ядра интегрального уравнения на близкое [20], определим погрешность решения интегрального уравнения (7)
|V[u(x)]- |)]([ xuV ≤)||1(||1)||1(|| 2
βλλβλλ
+−+
hhN +δ(1+|λ|β) = υ, (19)
где N = |)(|max 2 xQbxa ≤≤
≤ |)(|max 2 xQbxa ≤≤
+rl1l3,
130
h= ηηη dxKxKb
abxa
|),(),(|max 22∫ −≤≤
≤rl2l3|b-a|,
β= ηλη dxГb
abxa
|);,(|max ∫≤≤,
где Г (x,η;λ)-приближённое значение резольвенты ядра K2(x,η), δ = |max
bxa ≤≤Q2(x)- )(2 xQ |=rl1l3.
В соответствии с (6), используя неравенство (19), получим | u(x)- )(xu |≤rl1+|λ|(υl4+rl2l5), (20)
где l4 = |),(|max 1∫≤≤
b
abxa
dxK ηη , l5 = | ∫b
a
dV ηη)( |.
И окончательно, в соответствии с (2) при i=0, учитывая неравенство (20) найдём
| y(x)- y (x)| = )!1(
)](||[ 65241
−++
nllrllrl νλ , (21)
где l6 = ∫ −
≤≤−
x
x
n
bxadx
0
|)(|max 1 ηη .
Нетрудно заметить, что погрешность решения, вычисленная по формуле (21), прямо пропорциональна величине r, так как δ и h, а, следовательно, и υ в (19), выражаются через r прямо пропорционально.
Пример 1. Найдём решение уравнения
∫=′+′′1
0
)( ηηλ dyxyxy ,
при λ=21 , с начальными условиями y(0)=1, y′ (0)=0.
Вводим обозначение u = y ′′ , тогда y = ∫ +−x
x
dttutx0
1)()( .
В соответствии с обозначениями в (5) находим Q(x) = (λ-1)x, H1(x,t) = x(t-x) и H2(η,t) = η-t.
131
Используя итерированные ядра, найдём
R (x,t;1)=H1(x,t)+H12(x,t) = )12
()16
(612
432
45 ttxtxtxx−+−+− ,
причём |R(x,t;1)- R (x,t;1)| ≤5041 = r.
Далее в соответствии с обозначениями в (6) и (7) находим
)(1 xQ = (λ-1)(x -1806
74 xx+ ), ),(1 ηxK = x -
1806
74 xx+ ,
)(2 xQ = (λ-1)(129601806
963 xxx+− ), ),(2 ηxK =
129601806
963 xxx+− .
Определим резольвенту ядра ),(2 ηxK
Г (x,η;λ) = )(
);,(λλη
DxD =
λ907200370871
129601806
963
−
+−xxx
,
тогда приближённое решение уравнения (7) запишется
V[u(x)] = (λ-1)a(129601806
963 xxx+− ), где a = 1+
λλ
3708790720037087
−.
Подставляя найденное решение уравнения (7) в (6) и, затем, (6) в (2) при i=0, получим
y(x) = (λ-1)( 907200
37087 aλ +1)( 129601806
963 xxx++ )+1.
Погрешность полученного решения, подсчитанная по формуле (21), не превосходит
|y(x)- y (x)|≤0,0017 для всех xє[0,1]. 5. Приближённое решение задачи Коши при n≤m. Найдём оценку погрешности приближённого решения в
случае n≤m, n=m+p. Обозначим через R (x,t;1), 1F (x), ),(1 ηxK ,
2F (x), ),(2 ηxK , V [u(x)] соответственно приближённые значения R(x,t;1), F1(x), ),(1 ηxK , F2(x), ),(2 ηxK , V[u(x)]. Пусть
|R(x,t;1)- R (x,t;1)| = |r(x,t;1)|≤ r (22) при a≤x; η≤b, a≤t<x, где r=max|r(x,t;1)|.
132
Для подсчёта погрешности приближённого решения потребуется оценить
ji
ji
xdxxxrd
∂∂ )1;,( и j
j
xxxr
∂∂ )1;,( , i= p,0 , j= p,1
(где частные производные берутся только по первому аргументу).
Для этого воспользуемся интегральным уравнением резольвенты
R(x,t;1) = H1(x,t)+ ∫x
t
dstsRsxH )1;,(),(1 (23)
и уравнением
R (x,t;1) = H1(x,t)+ ∫ −x
tk dstsHtsRsxH )],()1;,()[,( 11 (24)
для укороченной резольвенты, справедливость которого легко доказать, расписывая R (x,t;1) через итерированные ядра.
Вычитая из уравнения (23) уравнение (24) и, затем, дифференцируя полученное равенство, последовательно можем оценить производные функции r(x,t;1)
ji
ji
xdxxxrd
∂∂ )1;,(
≡0, а | j
j
xxxr
∂∂ )1;,( | ≤ rj, j= p,1 . (25)
Используя соотношения (22) и (25), найдём
| F1(x)- )(1 xF |(i) ≤ riq1, i= p,0 , где q1 = ∫≤≤
x
xbxa
dttF0
|)(|max и r0=r; (26)
| K1(x,η) - ),(1 ηxK )(| ix ≤riq2, i= p,0 , где q2 = ∫≤≤
x
xbxa
dttK0
|),(|max;
ηη
.
(27) Далее, учитывая оценки погрешностей (26) и (27), получим
оценки
|F2(x)- )(2 xF |≤(∑=
−
p
iiipr
0β +rq3)q1,|K3(x,η) ),(3 ηxK |≤
133
≤(∑=
−
p
iiipr
0β +rq3)q1, (28)
где βi = |)(|max xbibxa ≤≤, q3 = max| ∫
x
x
dttxH0
),(3 |.
Применяя теорему о замене ядра интегрального уравнения на близкое [1], определим погрешность приближённого решения уравнения (13)
|V[u(x)]- |)]([ xuV ≤)||1(||1)||1(|| 2
βλλβλλ
+−+
hhN +δ(1+|λ|β) = σ, (29)
где N = |)(|max 2 xFbxa ≤≤
≤ |)(|max 2 xFbxa ≤≤
+(∑=
−
p
iiipr
0β + rq3)q1,
h = ∫ −≤≤
b
abxa
dxKxK ηηη |),(),(|max 3 ≤(∑=
−
p
iiipr
0β + rq3)q2|b-a|,
β = ∫≤≤
b
abxa
dxГ ηλη |);,(|max ( );,( ληxГ - резольвента ядра
),(3 ηxK ),
δ = |)()(|max 22 xFxFbxa
−≤≤
= (∑=
−
p
iiipr
0β +rq3)q1.
В соответствии с (12), используя неравенство (29), получим |u(x)-u (x)|≤rq1+|λ|(σq4+rq2q5), (30)
где q4 = |),(|max 1∫≤≤
b
abxa
dxK ηη , q5= |)(| ∫b
a
dV ηη .
И окончательно, в соответствии с (2) при i=0, учитывая неравенство (30), найдём
|y(x)- y (x)|≤)!1(
](||[ 65241
−++
nqqrqqrq σλ , (31)
где q6 = ∫ −
≤≤−
x
x
n
bxadttx
0
|)(|max 1 ,
134
т.е. для оценки погрешности получена аналогичная формула, что и в случае n>m.
Пример 2. Найдём решение задачи Коши
yxy ′+′′25
= (x+50
3x ) ∫ ′′′1
0
)( ηη dy ; y(1)=0, y′ (1)=1.
Вводим обозначение u = y ′′ , тогда
y′= ∫ +x
dttu1
1)( , y= ∫ −+−x
xdttutx1
1)()( .
В соответствии с обозначениями в (11) находим
F(x) = -25x , H3( t,η ) = 0, H1(x,t) = -
25x .
Возьмём R (x,t;1)= -25x , тогда |R(x,t;1)- R (x,t;1)|≤
12501 = r.
Далее в соответствии с обозначениями в (12) и (13) находим
1F (x) = 1250
513 xx − , ),(1 ηxK = 5000
5101 5xx − ,
2F (x) = 1250
513 2 −x , ),(2 ηxK =5000
55101 4x− .
Определяем резольвенту ядра ),(2 ηxK
);,( ληxГ = )(
);,(λλη
DxD =
10051015 4 −x
и приближённое решение уравнения (13) запишется
)(xV = 2500
4999x +1250
3x -2500
5x .
Подставляя найденное решение уравнения (13) в формулу (12) и, затем, решение (12) в формулу (2) при i=0, получим
y (x) = - +++150004999
150006562521877 3xx
2500
5x -105000
7x
Вычитая из уравнения (23) уравнение (24) и дифференцируя обе части полученного равенства, найдём
135
|xtxr
∂∂ )1;,( | ≤ 0,0025 = r1.
Вычислив q1, q2, q3, σ, q4, q5, q6 по формулам (26), (27), (28), (29), (30), (31) для погрешности полученного решения по формуле (31) находим оценку
|y(x)- y (x)|≤0,0067 для всех x∈[0,1].
Зная точное решение исходного уравнения y=3
13 −x , можно
найти более точную оценку погрешности полученного решения |y(x)- y (x)|≤0,0001 для всех x∈[0,1].
§2 Решение краевой задачи
1. Постановка задачи и преобразование производных Рассмотрим краевую задачу для линейного интегро-дифференциального уравнения
Ln[y(x)] =f(x)+λ ηηη∫∑=
−b
a
m
i
imi dyxK
0
)( )(),( , (1)
где
Ln[y(x)] =y(n)(x)+∑=
−n
i
ini xyxa
1
)( )()( ,
с линейными краевыми условиями
1,0,)]()([1
01
)(0
)( −==+∑−
=
njxyxy j
n
i
iij
iij γβα (2)
причем ],[0 bax ∈ и ],[1 bax ∈ , 10 xx < . Функции )(xf и )(xai - непрерывны при любом ],[ bax∈ , а ядра ),( ηxKi - регулярны в
области R ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡≤≤≤≤
babxa
η. Коэффициенты ijij βα , и jγ -
постоянные числа. Задача (1)-(2) решалась рядом авторов [9],[14],[23],[26]-[28] и др. Покажем, что решение задачи (1)-(2) может быть сведено к
136
решению задачи Коши при начальном значении 0x (или 1x ), что дает эффективный приближенный метод решения краевой задачи для уравнения (1), если возникают трудности при отыскании решения в замкнутом виде. Отметим, что в этом методе не надо, как это обычно делается, предполагать дифференцируемость ядер по x в случае mn ≤ . Введем новую функцию )()()( xuxy n = , тогда
∫ ∑−−
=
−−−− −+−−−
=x
x
in
k
kkinini xxk
Cdttutxin
xy0
1
00
1)( )(!
)()()!1(
1)( , (3)
1,0 −= ni , где )()()0( xyxy = . Если в (3) положить 0xx = , то получим in
i Cxy −=)( 0)( и
соотношения (3) перепишутся так:
∫ ∑−−
=
+−−
−=−+−−
−=
x
x
in
k
kkiin
i nixxk
xydttuintxxy
0
1
00
0)(1
)( 1,0,)(!
)()()!1(
)()( . (4)
При 1xx = из (4) имеем
∑∫−−
=
+−−
−=−+−−
−=
in
k
kkix
x
ini nixx
kxydttu
intxxy
1
001
0)(1
11
)( 1,0,)(!
)()()!1(
)()(1
0
.(5)
Подставляем выражения для производных )( 1)( xy i (5)
в условия (2)
∑ ∑−
=
−−
=
+
=−+1
0
1
001
0)(
0)( ])(
!)()([
n
i
in
k
kki
iji
ij xxk
xyxy βα
∑ ∫−
−
−−−−−
−1
0
11
1
0
,)()()!1(
n
i
x
x
inijj dttutx
inβ
γ
1,0 −= nj или, группируя члены с одноимёнными производными, получим систему n линейных неоднородных алгебраических уравнений с неизвестными 1,0),( 0
)( −= nixy i .
=−−
+−
=
−
=∑∑ )(]
)!()([ 0
)(01
0
1
0xy
kixx i
kii
kkj
n
iij βα
137
∑ ∫−
=
−−−−−
−1
0
11
1
0
,)()()!1(
n
j
x
x
iniji dttutx
inβ
γ 1,0 −= nj . (6)
Обозначим определитель этой системы через Δ
Δ =det ])!()([ 01
0 kixx kii
kkjij −
−+
−
=∑ βα .
Пусть Δ≠ 0, тогда , обозначив через Δ ij миноры определителя Δ с их знаками, получим
1,0
,])()(
)!1([
)(
1
0
1
0
11
0)(
1
0
−=Δ
Δ−−−
−
=∑ ∑ ∫−
=
−
=
−−
ni
dttutxkn
xy
n
jij
n
k
x
x
knkjj
i
βγ
(7)
2. Случай, когда порядок внешнего дифференциального оператора больше порядка внутреннего.
Найдем выражения )]([ xyLn и )(),(0
)( ηη∑=
−m
i
imi yxK через
новую функцию )(xu
,)(),()()(),()()]([1
00
111 dttutxNxФdttutxHxuxyLx
x
x
xn ∫∫ −++= λλ (8)
где
∑=
−
−−
=n
i
ii
itxxatxH
1
1
1 ,)!1())((),(
λ
∑ ∑ ∑−
=
−
= =−−
−Δ
Δ=
1
0
1
0
0
01 ],
!)()([)(
n
i
n
j
ki
kkin
ijj
kxxxaxФ
γ
∑ ∑ ∑−
=
−
= =+−
−− −−−Δ
Δ−=
1
0
1
0
0
0
11
1 ];!
)()()!1(
)([)(
n
i
n
k
ki
kkin
ijkn
kj
kxxxa
kntx
xNλ
β
∫∑ −+==
−η
ηηηη0
),()(),,()(),( 220
)(
x
m
i
imi xФdttutxHyxK
138
∫−1
0
,)(),,(2
x
x
dttutxN η (9)
где
∑=
−−
−−−
=m
i
ini
intxKtxH
0
1
2 ,)!1())(,(),,( ηηη ∑∑
−
=
−
= ΔΔ
=1
0
1
02 ,),(),(
n
j
ijjn
ii xxФ
γηϕη
∑ ∑−
=
−
=
−−
−−Δ
−=
1
0
1
0
11
2 )!1()(
),(),,(n
i
n
k
knkj
i kntx
xtxNβ
ηϕη и
++−
−+
−=
−− L
)!1())(,(
!))(,(),(
1010
ixxK
ixxKx
im
im
iηηηηηϕ
.)!(
))(,( 00
mixxK mi
−−
+−ηη
Подставляя выражения (8) и (9) в уравнение (1), придем к интегральному уравнению смешанного типа Вольтерра - Фредгольма
∫ ∫ =−++x
x
x
x
dttutxNxФdttutxHxu0
1
0
)(),()()(),()( 111 λλ
∫ ∫ ∫ −++=b
a x
b
a
dxФdtdtutxHxfη
ηηληηλ0
),()(),,()( 22
∫ ∫−b
a
x
x
dttutxN1
0
)(),,(2 ηλ
или в операторной форме FKuu += λ , (10)
где
),(),()(),()( 12 xФdxФxfFxuxub
a
−+== ∫ ηηλ
139
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ −+−=b
a x
b
a
x
x
x
x
dttutxNdttutxNdttutxHKuη
ηη0
1
0
1
0
)(),()(),,()(),,( 122
∫−x
x
dttutxH0
.)(),(1
Докажем, что для достаточно малых значений λ оператор FKuVu += λ есть оператор сжатия. Определим норму
функции )(xu в метрическом пространстве R равенством Тогда
++⎪⎩
⎪⎨⎧
+= ∫∫ ∫∫ ∫≤≤
1
0
1
00
),(),,(),,(max 122
x
x
b
a
x
x
b
a xbxa
dttxNdtdtxNdtdtxHK ηηηηη
}.),(0
1∫+x
x
dttxH
Возьмем две произвольные функции )(),( 21 xuxu , определённые в R и рассмотрим расстояние
)()()(),( 212121 uuKFKuFKuVuVu −=+−+= λλλρ
),,( 2121 uuuuK αρλ =−⋅⋅≤ где .Kλα =
Следовательно, если 1<α , т.е. K1
<λ , то V- оператор сжатия
и, в соответствии с теоремой Банаха [15], для уравнения (10) имеется единственная неподвижная точка, которая может быть найдена методом последовательных приближений. При этом, если за начальное приближение взять ),(0 xFu = то для погрешности приближенного решения уравнения (10)
FKFKKFFxuxu lll λλλ ++++== L22)()( (12)
получим оценку
αα−
≤−+
1)()(
1 Fxuxu
l
l . (13)
)11(,)(max)( xuxudxa ≤≤
=
140
Подставляя полученное выражение для )(xu (12) в (4), найдем решение исходного уравнения
∫ ∑−
=
−
−+−−
=≈x
x
n
i
ii
l
n
l xxi
xydttun
txxyxy0
1
00
0)(1
,)(!
)()()!1(
)()()( (14)
где )( 0)( xy i находится по формулам (7).
Принимая во внимание оценку погрешности (13), подсчитаем погрешность полученного решения
∫ −−−−
=−−x
xl
n
l dttutun
txxyxy0
)]()([)!1(
)()()(1
(15)
∑ ∑∑ ∫−
=
−
=
−
=
+−−
−≤−
−−Δ−Δ−
−1
0
1
0
1
0
1110
1
0
,1
)]()([)!1(
)(!
)(n
i
n
j
n
k
x
x
l
l
knijkj
i Fdttutu
kntx
ixx υ
ααβ
где
.})!1(
)(!
)()!1(
)({max1
0
1
0
1
0
110
1 1
00
∑ ∑∑ ∫∫−
−
−
=
−
=
−−−
≤≤ −−⋅Δ−Δ−
+−−
=n
i
n
j
n
k
x
x
knijkj
ix
x
n
bxadt
kntx
ixxdt
ntx β
υ
Пример 1. Решим уравнение
∫=+−+1
0
'21'' )()( ηη dyyyxy (1*)
с краевыми условиями
⎪⎭
⎪⎬⎫
=−
−=−
1)1()0(21)1(2)0(
'
'
yyyy
. (2*)
В соответствии с формулами (4) имеем
∫ +==x
ydttuxyxuxy0
'''' ),0()()(),()(
141
∫ ++−=x
yxydttutxxy0
' )0()0()()()( . (4*)
Находим ∫ ′+=′1
0
)0()()1( ydttuy и подставляем в краевые
условия (2*)
,)(1)1()0(2
)(21)1(2)0(
1
0
'
1
0
'
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
+=−
+−=−
∫
∫
dttuyy
dttuyy
откуда
∫−==1
0
' )(1)0(,1)0( dttuyy . (7*)
Подставляя полученные выражения из (7*) в (4*)
∫ ∫ ∫ ∫ +−+−=−+=x x
dttuxxdttutxxydttudttuxy0
1
0 0
1
0
' 1)()()()(,)(1)()(
(4**) и, затем, (4**) в уравнение (1*), придем к разрешающему уравнению
∫ ∫ ∫ −+−=1
0 0 021 )()()()()(
η
ηηx
dttutdtdtutxu . (10*)
Докажем, что ∫ ∫ ∫ −+−=1
0 0 021 )()()()(
η
ηηx
dttutdttutVu - оператор
сжатия. Для этого найдем сначала
,247)()(max
021
1
0 0
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−+−= ∫∫ ∫≤≤
x
bxadttdttK
η
ηη
142
1247 <== Kλα . Следовательно V - оператор сжатия и
уравнение (10*) имеет единственное решение, а так как это уравнение однородное, то это решение будет .0)( ≡xu Подставляя это решение в (4*), получим
∫ ∫ ++−⋅−=x
xdtxdttxxy0
1
0
.100)()(
Т.е. точное решение будет 1)( += xxy . Действительно, зная общее решение xccxy 21)( += уравнения (1*), легко это проверить. 3.Случай, когда порядок внутреннего дифференциального оператора равен или больше порядка внешнего. Рассмотрим теперь случай n≤m, m=n+p, p≥0. Выражение для )]([ xyLn через новую функцию )(xu будет тем же, что и в случае .mn > Найдем выражение для
∑ ∑ ∑= = +=
−−− +=m
i
p
i
m
pi
imi
ipi
imi yxKyxKyxK
0 0 1
)()()( .)(),()(),()(),( ηηηηηη
Для первой суммы имеем
∑ ∑= =
−− =p
i
p
i
ipi
ipi uxKyxK
0 0
)()( ),(),()(),( ηηηη (16)
а вторая сумма аналогична выражению )],([ xyLn только вместо коэффициентов )(xai стоят коэффициенты ),,( ηxKi поэтому в соответствии с (8) можем записать
∑ ∫+=
− −+=m
pi x
imi xФdttutxHyxK
133
)(
0
),()(),,()(),(η
ηηηη
∫−1
0
,)(),,(3
x
x
dttutxN η (17)
где
∑=
−+
−
−=
n
i
iip
itxK
txH1
1
3 ;)!1(
))(,(),,(
ηηη
143
∑ ∑ ∑−
=
−
= =+−
−Δ
Δ=
1
0
1
0
0
03 ],
!)(),([),(
n
i
n
j
ki
kkim
j
kxxKxФ ij ηη
γη
∑ ∑ ∑−
=
−
= =−−
−− −⋅
−−Δ
Δ−=
1
0
1
0
0
0
11
3 ].!
)(),()!1(
)([),,(
n
i
n
k
ki
kkim
ijkn
kj
kxxK
kntx
txN ηηβ
η
Подставляя выражения (8), (16) и (17) в уравнение (1) придем к уравнению
∫ ∫ +=−++x
x
x
x
xfdttutxNxФdttutxHxu0
1
0
)()(),()()(),()( 111 λλ
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +−++b
a x
b
a
b
a
x
x
dtdtutxNdxФdttutxHη
ηηληηληλ0
1
0
)(),,(),()(),,( 333
∫∑=
−+b
a
p
i
ipi duxK
0
)( )(),( ηηηλ
или в операторной форме ФNuu += λ , (18) где
)(),()(),( 13 xФdxФxfФxuub
a
−+== ∫ ηηλ и
∫ ∫ ∫ ∫ +−=b
a x
b
a
x
x
dtdtutxNdtdtutxHNuη
ηηηη0
1
0
)(),,()(),,( 33
∫∑ ∫ ∫=
− +−+b
a
p
i
x
x
x
x
ipi dttutxNdttutxHduxK
011
)(
0
1
0
.)(),()(),()(),( ηηη
Докажем, что для достаточно малых значений λ оператор ФNuVu += λ есть оператор сжатия.
Определим норму функции )(xu в метрическом пространстве R равенством
,)(max)(0
)(∑−≤≤
=p
i
i
bxaxuxu (19)
тогда
144
++= ∫ ∫∫ ∫≤≤
b
a
x
x
b
a xbxadtdtxNdtdtxHN
1
00
),,(),,(max{ 33 ηηηηη
} .),(maxsup))(1(),(),(,11
1
00
ηη
xKabpdttxNdttxH ibxai
x
x
x
x≤≤
−++++ ∫∫
Для двух произвольных функций )(1 xu и )(2 xu рассмотрим расстояние
≤−⋅=+−+= )()()(),( 212121 uuNФNuФNuVuVu λλλρ
),( 2121 uuuuN ραλ ⋅=−⋅≤ , где N⋅= λα .
Следовательно, если 1<α , т.е. N1
<λ , то V- оператор сжатия
и к уравнению (18) применима теорема Банаха [15]. При этом, если за начальное приближение взять )(0 xФu = , то для погрешности приближенного решения
ФNФNNФФxuxu lll λλλ ++++=≈ L22)()( (20)
получаем оценку
αα−
≤−+
1)()(
1 Фxuxu
l
l (21)
Подставляя полученное выражение для )(xu из (20) в (4), найдем решение исходного уравнения в форме (14), при этом погрешность приближенного решения может быть подсчитана по формуле (15), где следует заменить F на Ф и норму понимать в соответствии с определением в (19), т.е.
υα
α−
≤−+
1)()(
1 Фxyxy
l
l , (22)
где υ то же, что и в (15). Пример 2. Найдем решение уравнения
∫=+1
0
''''' )( ηηλλ dyxxyy (1*)
с краевыми условиями
145
⎭⎬⎫
=−=+
0)1()0(1)1()0(
yyyy
. (2*)
В соответствии с (4) имеем
∫ +==x
ydttuxyxuxy0
'''' ),0()()(),()(
∫ ++−=x
yxydttutxxy0
' )0()0()()()( . (4*)
Находим ∫ ++−=1
0
' )0()0()()1()1( yydttuty и подставляем в
краевые условия (2*)
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
−=−
−−=+
∫
∫1
0
'
1
0
'
)()1()0(
)()1(1)0()0(2
dttuty
dttutyy,
откуда
∫ =−−=1
0
'
21)0(,)()1()0( ydttuty (7*)
Подставляя (7*) в (4*)
∫ ∫ −−=x
dttutdttuxy0
1
0
' ,)()1()()(
∫ ∫ +−−−=x
dttutxdttutxxy0
1
021)()1()()()( . (4*)
и, затем, (4*) в уравнение (1*), придем к разрешающему интегральному уравнению
∫ ∫ ∫+−+−−−=x
duxdttutxtutxxxxu0
1
0
1
0
'2 )()()1()()(2
)( ηηλλλλ . (18*)
Определив норму функции )(xu равенством
146
{ })()(max)( '
10xuxuxu
x+=
≤≤,
найдем
.2)1()(max1
0
1
0
2
010
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+−+−= ∫∫∫≤≤ηdxdttxdttxxN
x
x
Следовательно для 211
=<N
λ , в уравнении (18*) оператор
справа есть оператор сжатия и к этому уравнению применима теорема Банаха. Найдем решение уравнения (18*) методом последовательных
приближений при .51
=λ Возьмем 100xu −= и в соответствии с
(20) определим первое приближение решения )(xu
253
300300)(
24
1xxxxu −−= . (20*)
Посчитаем погрешность полученного решения разрешающего уравнения по формулам (21)
,1
)()(1
αα−
≤−+ Ф
xuxul
l
,32
=⋅= Nλα ,51
22=−=
xФ λ
( ).
754
1)()(
52
512
52
1 =−⋅
≤− xuxu
Подставив (20*) в (4*), найдем приближенное решение исходного уравнения
90003600506000121
21)(
643
1xxxxxy +−−+= .
147
Посчитаем погрешность по формуле (22)
,1
)()(2
1 να
α−
≤−Ф
xyxy
.754)()(,1)1()(max 1
1
0010
≤−=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−+−= ∫∫≤≤xyxydttxdttx
x
xν
Глава V. Линейные интегродифференциальные уравнения Фредгольма с отклоняющимся аргументом
§1. Классификация линейных интегродифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом
Рассмотрим общий вид линейных интегро-
дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом
∑∑ ∫= =
=+l
j
n
i
b
aj
iijj
iij xfduyxKxuyxf
0 0
)()( ),(]))((),())(()([ ηηηλ (1)
где )(,)(0 xfxxu ij≡ и )(xu j - непрерывны, ядра ),( ηxKij - регулярны в
квадрате ., bxa ≤≤ η При xxu j ≤)( уравнения вида (1)- уравнения с
запаздывающим аргументом. Различные соотношения порядков внешнего и внутреннего
дифференциальных операторов получим при равенстве нулю некоторых коэффициентов )(xfij и ядер ),( ηxKij при старших производных. Все рассуждения и выкладки проведем считая порядок внешнего дифференциального оператора больше или равным порядку внутреннего. В противном случае уравнение можно предварительно продифференцировать достаточное число раз.
По аналогии с классификацией дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом [19], проведем классификацию уравнений вида (1):
Определение 1.
148
а) Уравнения запаздывающего типа получим из общего вида (1), если аргументы )(xu j lj ,1=∀ входят только в функцию и ее производные до (n-1)-го порядка включительно, т.е. в уравнении (1)
0)( ≡xfnj и 0),( ≡ηxKnj lj ,1=∀ , а 0)(0 ≡/xfn и, следовательно,
можно считать что .1)(0 ≡xfn
Определение 2. б) Уравнения нейтрального типа получим из общего вида (1),
если существует хотя бы один аргумент )(xu j , lj ,1= входящий в производную n-го порядка и при этом есть член со старшей производной от аргумента x, т.е. в уравнении (1) ≡/)(0 xfn 0 и
,0≠∃j для которого 0)( ≡/xfnj и 0),( ≡/ηxKnj одновременно или по отдельности.
Определение 3. в) Уравнения опережающего типа получим из общего вида (1),
если аргументы ljxu j ,1),( = , хотя бы для некоторых j, входят в производные более высокого порядка, чем аргумент x, т.е. в уравнении (1) 0)(0 ≡xfn и 0≠∃j что .0)( ≡/xfnj
§2. Функции гибкой структуры (ФГС) и их применение к решению различных задач
Любую непрерывную n раз дифференцируемую функцию можно представить с помощью ФГС [24]-[25], следовательно решение начальных и краевых задач для уравнения (1) можем искать в виде одной из модификаций ФГС.
∑ ∫=
−− −Δ+−Δ=n
s
x
xns
s dtttxxxxyDxy1
0)1(1
0
0],)()()()([)( μ (2)
где ),,,( 21 nrrrDD K= - определитель Вандермонда, составленный из неопределенных параметров nrrr ,,, 21 K , которые определяются в ходе решения задачи исходя из оптимальности ее решения,
149
;
111
112
11
21
−−−
=
nn
nn
n
rrr
rrrD
K
KKKK
K
K
определитель nstxs ,1),( =−Δ получается из определителя D заменой s-ой строки строкой
)(exp,),(exp),(exp 21 txrtxrtxr n −−− K и )(xμ - новая неизвестная функция.
Для производных искомого решения, записанного в форме (2) получим следующие выражения
∑ ∫=
−−
∂−Δ∂
+−Δ=n
s
x
xi
ni
is
si dttx
txxxxyDxy1
0)(
0)1(1)(
0
],)()()()([)( μ (3)
1,1 −= ni ,
∑ ∫=
−− +∂
−Δ∂+−Δ=
n
s
x
xn
nn
ns
sn xdttx
txxxxyDxy1
0)(
0)1(1)(
0
).(])()()()([)( μμ
(4) Как известно, функции гибкой структуры для достаточное
число раз дифференцируемых функций при определенных значениях параметров дают их разложение по всем известным формулам (Лагранжа, Тейлора, Маклорена), а также в ряды (степенные, тригонометрические, Фурье и т.д.). Так как параметры вначале не зафиксированы, то их величина, а следовательно и окончательная форма представления решения устанавливается в ходе решения задачи. Естественно что таких форм бесконечное множество и наша задача сделать оптимальный выбор.
Причём параметры rp, p= n,1 можно брать и равными. При этом
отношения D-1 is
i
xtx
∂−Δ∂ )(
следует заменить их пределами
is
i
rr xtxD
n ∂−Δ∂−
→
)(lim 1
1
в силу того, что при равных значениях уже двух
150
параметров определитель Д=0, а рассматриваемые отношения имеют вполне определённые значения, вычисляемые по правилу Лопиталя.
Рассмотрим пределы отношений is
i
rr xtxD
∂−Δ∂−
→
)(lim 1
12
при двух
параметрах r2→r1:
Dtx
rr
)(lim 1
12
−Δ→
= 12
)(1
)(2
21
12
limrr
erer txrtxr
rr −− −−
→=
1)(lim
)(1
)( 21
12
txrtxr
rr
etxre −−
→
−−=
= ))(1( 1)(1 txre txr −−− ,
Dtx
rr
)(lim 2
12
−Δ→
= 12
)()( 12
12
limrree txrtxr
rr −− −−
→=
1)(lim
)(2
12
txr
rr
etx −
→
−=(x-t) )(1 txre − ,
11 )(lim12
−
→ ∂−Δ∂ D
xtx
rr=
1 2
2 1
( ) ( )1 2 1 2
2 1
limr x t r x t
r r
r r e r r er r
− −
→
−−
=
=1 2 2
2 1
( ) ( ) ( )1 1 2 1( )lim
1
r x t r x t r x t
r r
r e x t r r e re− − −
→
− − −= )(1 txre − (-r1
2(x-t)),
12 )(lim12
−
→ ∂−Δ∂ D
xtx
rr=
12
)(1
)(2
12
12
limrr
erer txrtxr
rr −− −−
→=
1)(lim
)(2
)( 22
12
txrtxr
rr
etxre −−
→
−+= = )(1 txre − (1+r1(x-t)),
2 1
211
2
( )limr r
x t Dx
−
→
∂ Δ −∂
=1 2
2 1
( ) ( )2 21 2 1 2
2 1
limr x t r x t
r r
r r e r r er r
− −
→
−−
=
=1 2 2
2 1
( ) ( ) ( )2 21 1 2 2 12 ( )lim
1
r x t r x t r x t
r r
r e r r e r re x t− − −
→
− − −=-r1
2 )(1 txre − +
+r13(x-t) )(1 txre − =-r1
2 )(1 txre − (1+r1(x-t)),
2 1
212
2
( )limr r
x t Dx
−
→
∂ Δ −∂
=2 1
2 1
( ) ( )2 22 1
2 1
limr x t r x t
r r
r e r er r
− −
→
−−
=
=2 2
2 1
( ) ( )22 22 ( )lim
1
r x t r x t
r r
r e r e x t− −
→
+ −=2r1
)(1 txre − +r12(x-t) )(1 txre − =
=r1)(1 txre − (2+r1(x-t))
151
01 ( 1)0
1
( ( ) )( , )[ ( ( ) ]
j
ib ns js
ij isc
d u xK x D y x
dη
λ ηη
− −
=
Δ −∑∫
Аналогично вычисляются пределы и при большем количестве параметров.
Профессором Н.К.Куликовым и рядом его учеников функции гибкой структуры применялись для решения и исследования диффе-ренциальных и интегральных уравнений с обыкновенным аргумен-том. Применение функции гибкой структуры к различным уравне-ниям с отклоняющимся аргументом дает возможность преобразовать их к интегральным уравнениям, причем для ряда классов задач с не-известными функциями от аргумента без отклонений.
Выясним, какие задачи для различных видов интегродиффе-ренциальных уравнений с помощью ФГС могут быть сведены к раз-решающим интегральным уравнениям без отклонений аргумента и покажем, что эти разрешающие интегральные уравнения специального вида, как для начальных, так и для краевых задач уравнений Фредгольма (запаздывающего, нейтрального и опережающего типов), практически мало отличаются друг от друга, что может быть использовано для составления единой программы приближенного решения таких задач на ЭВМ.
§3. Применение ФГС к преобразованию задачи Коши Пусть дано уравнение (1) и начальные условия
y(i)(uj(x)) = φi(uj(x)), i = 1,0 −n , xє0xE , (5)
где 0xE = U
l
j
jxE
00
=
, jxE
0- множество точек, для которых соответствую-
щие uj(x)≤x при x≥x0 lj ,1=∀ , а 00xE = [a,x0].
Предполагая, что решение задачи (1), (5) существует и единст-венно, будем искать её решение на отрезке [x0,b]. Обозначим через cj наименьшие из корней uj(x) = x0 на отрезке [x0,b], если же таковых нет, то полагаем соответствующие cj = b. Далее разобьём интегралы в уравнении (1) на суммы от известных и неизвестных частей в выра-
152
жениях от запаздываний в соответствии с начальными условиями (5), считая при этом )(xnϕ = )(' 1 xn−ϕ ,
∑∑ ∫= =
++l
j
n
i
c
ajijij
iji
j
duxKxuyxf0 0
ηηϕηλ ))((),())(()([ )(
+ ∫b
cj
iji
j
duyxK ]))((),( )( ηηηλ = f(x). (1*)
Затем воспользуемся ФГС (2), подставив ее и производные (3)-(4) в последнее равенство (1*) и вводя при этом коэффициенты qi в сумме по i перед µ(uj(x)), полагая qn=1 и qi=0 ∀ 1,0 −= ni ,
∑∑ ∑= = =
−− −Δl
j
n
ii
jsin
s
sji dx
xxudxyDxf
0 0
0
10
11 )))((
)(()[({ +
+ ( ) +′+∂
−Δ∂∫ ))](())(
))(()(
0
xuxuqdttx
txuj
nji
xu
xi
jnij
μμ
+ 01 ( 1)0
1
( ( ) )( , )[ ( ( )
j
ib ns js
ij isc
d u xK x D y x
dη
λ ηη
− −
=
Δ −+∑∫
+ ∫−Δ∂)(
0
))((η
ηηju
xi
jni
dtu
( ) ) ( ) ( ( ))]ni j jt dt q u u dμ η μ η η′+ +
+ }))((),(∫jc
ajiji duxK ηηϕηλ = f(x).
Полученные известные выражения перенесём в правую часть равенства
( )
( ) =′+∂
−Δ∂+
+′+∂
−Δ∂
∫ ∫
∑∑ ∫
−
= =
−
ηημημηη
ηλ
μμ
η
duudtttu
DxK
xuxuqdttx
txuDxf
jn
j
b
c
u
xi
jni
ji
l
j
n
ij
nji
xu
xi
jni
ji
j
j
j
))]((q ))())((
)[,(
))](()())((
)[({
i
)(1
0 0
)(1
0
0
= f(x) - ijs
i
ji
l
j
n
i
n
s
s
dxxxud
xfxyD))((
)([)({ 0
0 0 10
)1(1 −Δ∑∑ ∑= = =
−− +
153
]))((
),( 0 ηηη
ηλ dd
xudxK i
jsib
cji
j
−Δ+ ∫ - })(),(∫
jc
aiji dxK ηηϕηλ .
Введя обозначения для известных выражений
Фj(x,t) = D-1 ijn
in
iji x
txuxf
∂
−Δ∂∑=
))(()(
0,
H *j (x,η ,t) = D-1 i
jnin
iji
tuxK
ηη
η∂
−Δ∂∑=
))((),(
0,
+−Δ
−= ∑∑ ∑= = =
−−i
jsi
ji
l
j
n
i
n
s
s
dxxxud
xfxyDxfxF))((
)([)({)()( 0
0 0 10
)1(1
]))((
),( 0 ηηη
ηλ dd
xudxK i
jsib
cji
j
−Δ+ ∫ - })(),(∫
jc
aiji dxK ηηϕηλ ,
придём к разрешающему интегральному уравнению специального вида смешанного типа Вольтерра – Фредгольма
( ) ))(()([0
xuxuxf j
l
j
njnj μ∑
=
′ + +∫ ))(),()(
0
dtttxФxu
xj
j
μ
∫ ∫ ++ ∗b
C
u
xj
j
j
dtttxHd)(
0
)(),,(η
μηηλ
( ) )(]))((),( xFduuxK jn
j
b
cjn
j
=′+ ∫ ηημηηλ (6*)
Разрешающее уравнение (6*) можно упростить, введя новые переменные uj(η)=t в последних интегралах суммы по j и изменив порядок интегрирования в двойных интегралах. Для этого введём для uj(η) обратную функцию η(t)= uj
-1(t) и найдём новые пределы интег-рирования в двойных интегралах t1= uj(cj)=x0, t2= uj(b) и dη=d 1( )ju t−
( ) ηημηη duuxK jn
j
b
cjn
j
))((),( ′∫ = ( )dttuuttuxK j
bu
x
njjnj
j
)()())(,( 1)(
11
0
−−−∫ ′μ ,
154
dtttxHdxu
xj
b
c
j
j
)(),,()(
*
0
μηη ∫∫ = ∫∫−
b
tuj
bu
x j
j
dtxHtdt)(
*)(
10
),,()( ηημ =
= ∫)(
**
0
)(),(bu
xj
j
dtttxH μ ,
где
),(** txH j = ∫−
b
tuj
j
dtxH)(
*
1
),,( ηη
и порядок интегрирования изменён в соответствии с ниже изобра-жённой (заштрихованной) областью интегрирования:
uj(η)≤η, uj(cj)=x0, x0≤cj ≤b lj ,0=∀ Теперь в уравнении (6*) интегралы с одинаковыми пределами
можно объединить под одним интегралом
dtttxHdj
j
u
xj
b
c
)(),,()(
*
0
μηηη
∫∫ + ( ) ηημηη duuxK jn
j
b
cjn
j
))((),( ′∫ =
= ∫)(
**
0
)(),(bu
xj
j
dtttxH μ + ( )dttuuttuxK j
bu
x
njjnj
j
)()())(,( 1)(
11
0
−−−∫ ′μ =
155
= ( )∫ −−− ′+)(
111**
0
)()())(,(),([bu
xj
njjnjj
j
dtttuutuxKtxH μ =
= dtttxHbu
xj
j
)(),()(
0
μ∫ ,
где Hj(x,t) = Hj**(x,t)+Knj(x, )(1 tu j
− ) ( ))(11 tuu jn
j−−′ .
Тогда разрешающее интегральное уравнение специального вида смешанного типа Вольтерра-Фредгольма в общем случае примет вид:
( ) ++′ ∫∑=
))(),())(()([)(
00
dtttxФxuxuxfxu
xjj
njjn
l
j
j
μμ
+ )(])(),()(
0
xFdtttxHbu
xj
j
=∫ μλ , (6)
где Фj(x,t) и F(x) определяются по формулам в (6*),
Hj(x,t)=Hj**(x,t)+Knj(x, )(1 tu j
− ) ( ))(11 tuu jn
j−−′ = ηη dtxH
b
tuj
j
∫− )(
*
1
),,( +
+Knj(x, )(1 tu j− ) ( ))(11 tuu j
nj
−−′ = ηηη
η du
tuxK
b
tui
j
jnin
iij
j
∫ ∑−
−Δ∂
=)( 01 )]([))((
),( +
+Knj(x, )(1 tu j− ) ( ))(11 tuu j
nj
−−′ . Далее исследуем вопрос о возможности преобразования начальной
задачи для интегродифференциального уравнения Фредгольма с запаздывающим аргументом к интегральным уравнениям с обыкно-венным аргументом в зависимости от типа рассматриваемого урав-нения.
а) Уравнения запаздывающего типа получим из общего уравнения (1), если положить fno(x)≡1, fnj(x)≡0 и Knj(x,η)≡0 ∀ lj ,1= , тогда уравнение (1) примет вид
y(n)(x)+ ))(()([ )(
0
1
0xuyxf j
iji
l
j
n
i∑∑=
−
=
+ λ ηηη dyxK ib
aji )(),( )(∫ ]= f(x) (1a)
и разрешающее уравнение начальной задачи будет
156
μ(x)+∑=
l
j 0[ ∫Φ
)(
0
)(),(xu
xj
j
dtttx μ + ∫)(
0
])(),(bu
xj
j
dtttxH μλ =F(x), (6a)
где Фj(x,t) и Hj(x,t) определяются по формулам
Фj(x,t) = D-1i
jnin
iij x
txuxf
∂
−Δ∂∑−
=
))(()(
1
0,
Hj(x,t) = D-1 ηηη
η dtu
xKb
tui
jnin
iij
j
∫ ∑− ∂
−Δ∂
=)( 01
))((),( + Kn0(x,t),
а F(x) по формуле в (6*). Вывод. Начальная задача с условиями (5) для всех интегродиф-
ференциальных уравнений Фредгольма с отклоняющимся аргументом запаздывающего типа (1а) с помощью ФГС (2) преобразуется к разрешающему интегральному уравнению специального вида сме-шанного типа Вольтерра-Фредгольма (6а) с обыкновенным аргументом.
б) Уравнение (1) будет уравнением нейтрального типа, если в нём fno(x)≡ 1 и ∃ j≥1, что fnj(x)≡/ 0 или Knj(x,η)≡/ 0, или существуют тождественно не равные нулю одновременно функции fnj(x) и ядра Knj(x).
Разрешающее уравнение (6) в этом общем случае будет с откло-няющимся аргументом. Если же дополнительно потребовать, чтобы fnj(x)≡ 0 ∀j= l,1 , то получим для такого вида уравнений нейтрального типа разрешающее уравнение начальной задачи, аналогичное урав-нению (6а)
μ(x)+ dtttxФl
j
xu
xj
j
)(),([)(
μ∑ ∫=0
0
+λ ∫)(
])(),(bu
xj
j
dtttxH0
μ =F(x), (6б),
где Фj(x,t) = D-1i
jnin
iij x
txuxf
∂
−Δ∂∑−
=
))(()(
1
0,
1),( −= DtxH j ηηη
η dtu
xKb
tui
jnin
iij
j
∫ ∑− ∂
−Δ∂
=)( 01
))((),( +
)).(())(,( 111 tuutuxK jn
jjnj−−− ′+
157
Вывод. Начальная задача с условиями (5) для интегродифферен-циальных уравнений Фредгольма с запаздывающим аргументом ней-трального типа (1) с помощью ФГС (2) преобразуется в общем слу-чае к разрешающему интегральному уравнению также с запазды-вающим аргументом. Но если дополнительно потребовать, чтобы fnj(x)≡ 0 ∀j=1, l и Knj(x,η)≡/ 0, то для такого вида уравнений разрешающее интегральное уравнение специального вида смешан-ного типа Вольтерра-Фредгольма (6б) будет с обыкновенным аргументом.
в) Уравнение (1) будет уравнением опережающего типа, если ∃j≠0, что fnj(x)≡/ 0, а fno(x)≡0 и Kno(x,η)≡0. Положим fnl(x)≡1 и дополнительно потребуем, чтобы fnj(x)≡0 1, 1j l∀ = − . В этом случае уравнение (1) примет вид:
y(n)(ul(x))+ ))(()([1
0
1
0
)(∑ ∑−
=
−
=
n
i
l
jj
iji xuyxf +
+λ ]))((),( )( ηηη duyxK ji
b
aji
l
j∫∑
=0
= f(x) (1в)
и соответствующее ему разрешающее уравнение начальной задачи будет
( )nlu x′ μ(ul(x))+ dtttxФ
l
j
xu
xj
j
)(),([1
0
)(
0
μ∑ ∫−
=
+
+λ∑=
l
j 0∫
)(
)(),(bu
xj
j
dtttxH0
μ =F(x), (1в)
где Фj(x,t) = D-1i
jnin
iij x
txuxf
∂
−Δ∂∑−
=
))(()(
1
0,
Hj(x,t) = D-1 ηηη
η dtu
xKb
tui
jnin
iij
j
∫ ∑− ∂
−Δ∂
=)( 01
))((),( +
+ Knj(x, )(1 tu j− ) ( )( )tuu j
nj
11 −−′ и F(x) находится в соответствии с (6*).
Далее, произведя замену ul(x) = z, x = ul-1(z), получим инте-
гральное уравнение с обыкновенным аргументом
158
( )( )zuu ln
l1−′ μ(z)+ dtttzuФ l
l
j
zuu
xj
lj
)()),(( 11
0
))(( 1
0
μ−−
=∑ ∫
−
+
+λ∑=
l
j 0∫ −
)(1
0
)()),((bu
xlj
j
dtttzuH μ = F(ul-1(z)).
Для известных выражений в последнем уравнении введём новые обозначения
Qj(z,t) = ( )( )( )( )zuu
tzu
ln
l
jj1
1 ,−
−
′Φ
= D-1
( )( ) il
ljnin
i ln
l
lij
zutzuu
zuuzuf
))(()))((())((
1
11
01
1
−
−−
=−
−
∂
−Δ∂′∑ ,
Nj(z,t) = ( )( )( )( )zuu
tzu
ln
l
lj1
1 ,−
−
′Η
=
∫ ∑−
+∂
−Δ∂′=
=
−−−−b
tu
n
ii
jni
lijln
l
j
tuzuKDzuu
)( 0
1111
1
))(()),(([))](([
ηη
η
(njK+ )(zul1− , )(1 tu j
− ) ( )( )tuu jn
j11 −−′ ],
B(z) = −′′=′
−−−−
−
))(({))](([))(())(( 111
1
1
zufzuuzuuzuF
lijln
ll
nl
l
+−Δ
− −
−−
= = =
−−∑∑ ∑ ij
ljsi
lji
l
j
n
i
n
s
s
zudxzuud
zufxyD))]((
)))((())(([)({ 1
01
1
0 0 10
)1(1
+ ]))((
)),(( 01 ηηη
ηλ dd
xudzuK i
jsib
clji
j
−Δ∫ − - })(),(∫
jc
aiji dxK ηηϕηλ ,
vj(z) = uj( )(zul1− ),
тогда разрешающее уравнение перепишется
μ(z)+ dtttzQl
j
zV
xj
j
)(),(1
0
)(
0
μ∑ ∫−
=
+λ∑=
l
j 0∫
)(
)(),(bu
xj
j
dtttzN0
μ = B(z). (6в)
Вывод. Начальная задача с условиями (5) для интегродиффе-ренциальных уравнений Фредгольма с запаздывающим аргументом опережающего типа (1в) с помощью ФГС (2) преобразуется к разре-шающему интегральному уравнению специального вида смешанного типа Вольтерра-Фредгольма в общем случае также с запаздывающим
159
аргументом, но если внешний дифференциальный оператор содер-жит старшую производную только с одним отклонением, то разре-шающее уравнение (6в) будет с обыкновенным аргументом.
§4. Применение ФГС к преобразованию краевой задачи Рассмотрим линейное интегродифференциальное уравнение (1) с
линейными билокальными краевыми условиями
∑−
=
+1
010
n
i
ii
ii xyxy )]()([ )()(
ττ βα = γτ, τ= 1,0 −n ,a≤x0<x1≤b, (7)
с начальными функциями y(i)(uj(x)) = y(i)(x0)ϕi(uj(x)) при x∈
0xE , 1,0 −= ni , (8)
где 0xE =U
l
j
jxE
00
=
, jxE
0- множество значений uj(x) ≤x0 при x>x0 и 0
0xE =
=[a,x0], функции φi(x)-заданы и φi(x0)=1 ∀ 1,0 −= ni , φn(x)=φn-1’(x).
По-прежнему, как и в §3., считаем u0(x)≡x и cj-наименьшие корни уравнений uj(x)=x0, если же таковых нет, то полагаем cj=b ∀ j= 0, l .
Предполагая, что решение краевой задачи (1), (7)-(8) существует и единственно, для её решения применим одну из модификаций ФГС (2) и её производные (3)-(4). Сначала, воспользовавшись начальными функциями (8), разобьём интегралы в уравнении (1) на суммы
))(()([ )(
0 0xuyxf j
iji
l
j
n
i∑∑= =
+ ηηϕηλ duxyxK jii
c
aji
j
))(()(),( 0)(∫ +
+ ∫b
cj
iji
j
duyxK ]))((),( )( ηηηλ =f(x). (1**)
Затем, используя краевые условия (7), начальные функции (8), ФГС (2) и её производные (3)-(4), определим y(i)(x0) через новую неизвестную функцию )(xμ , при этом могут возникнуть три возможных ситуации: 1. x0<x1≤cj ∀ lj ,0= ; 2. x0≤cj<x1 lj ,0=∀ ;. 3. x1 таково, что lj ,0=∃ , для которых x0<x1≤cj и для которых x0≤cj<x1.
Рассмотрим подробно возможные варианты.
160
1. Первый случай наиболее простой, так как подставив x=x1 в на-чальные функции (8) при j=0 и затем значения y(i)(x1) = y(i)(x0)ϕi(x1) в краевые условия (7), получим алгебраическую систему
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
=+∑−
=
1,0
,)]()[(1
010
)(
n
xxyn
iiii
i
τ
γϕβα τττ (9)
для определения значений y(i)(x0). Обозначив через ω главный определитель этой системы
ω = det[αiτ+βiτφi(x1)], i,τ= 1,0 −n и через ωiτ – алгебраические дополнения к элементам главного опре-делителя по формулам Крамера, найдём
y(i)(x0) = ω-1∑−
=
1
0
n
iτ
ττωγ , 1,0 −= ni . (10)
И краевая задача в этом случае свелась к решению начальной за-дачи, рассмотренной в §3., только при её решении в формулах для уравнений (6а), (6б) и (6в) вместо начальных функций φi(uj(x)) сле-дует подставить начальные функции φi
*(uj(x)) в соответствии с усло-виями (8) и результатом (10), т.е.
φi*(uj(x)) = φi(uj(x)) ω-1∑
−
=
1
0
n
iτ
ττωγ . (11)
2. Во втором и третьем случаях, применив ФГС (2) и её произ-
водные (3)-(4), выразим значения y(i)(x1), i= 1,0 −n через новую неиз-вестную функцию μ(x) и начальные значения искомой функции y(i)(x0)
y(i)(x1) = D-1 ∑=
− +−Δn
s
is
s xxxy1
0101 )()([ )()( ,
+ ])()( dttx
txx
xi
ni
μ∫ ∂−Δ∂1
0
1 , i= 1,0 −n ,
подставив полученные выражения y(i)(x1) в краевые условия (7)
∑ ∑−
= =
−− +−Δ+1
0 1010
110
n
i
n
s
is
si
ii xxxyDxy )()([)({ )()()(
ττ βα
161
τγμ =∂
−Δ∂+ ∫ ]})()(1
0
1 dttx
txx
xi
ni
, τ= 1,0 −n ,
и, перегруппировав слагаемые, придём к системе алгебраических уравнений относительно y(i)(x0)
=−Δ+∑−
=+
− )()]([ )()(0
1
0011
1 xyxxD in
i
iiii ττ βα
dttx
txDn
i
x
xi
ni
i )()( μβγ ττ ∑ ∫−
=
−
∂−Δ∂
−=1
0
111
0
,τ= 1,0 −n . (12)
Обозначив главный определитель системы (12) через ω ω = det[αiτ+βiτD-1 )()(
011 xxii −Δ + ], i,τ= 1,0 −n , (13)
а алгебраические дополнения к элементам главного определителя через ωiτ по формулам Крамера, найдём
y(i)(x0)=∑−
=
1
0
ni
τ
τ
ωω
[γτ-D-1 ])()( dttx
txn
k
x
xk
nk
k μβ τ∑ ∫−
= ∂−Δ∂1
0
11
0
,i= 1,0 −n . (14)
В соответствии с (14) начальные функции краевой задачи (8) примут вид:
y(i)(uj(x)) = ϕi(uj(x))∑−
=
1
0
ni
τ
τ
ωω
[γτ- D-1 ])()(1
0
11
0
dttx
txn
k
x
xk
nk
k μβ τ∑ ∫−
= ∂−Δ∂
,
i= 1,0 −n , lj ,0= ,
0xEx∈ , (15) а функции гибкой структуры
y(i)(x)= 1 0
1
( ){[ ]
ins
is
x xDx
−
=
∂ Δ −∂∑ ∑
−
=
1
0
ns
τ
τ
ωω [ −τγ
])()(1
0 1
111
0
dttx
txDn
k
x
xk
nk
k μβ τ∑ ∫−
=
−
∂−Δ∂
⋅− +
+0
( )( ) ( ) }
[ ]
ju x in
ix
x t t dtx
μ∂ Δ −∂∫ +qiμ(x), (16)
где ni ,0= , lj ,0= , qn=1, qi=0 1,0 −=∀ ni , ].,[ bcx j∈
162
Подставим выражения (15) и (16) в уравнение (1**), перенесём все известные выражения, получившиеся при этом, в правую часть равенства и пронумеруем выражения, содержащие неизвестную функцию под знаком интеграла
( ) ))(()({0
xuxuxf jn
jjn
l
jμ′∑
=
+
( ) ηημηηλ duuxK jn
j
b
cjn
j
))((),( ′+ ∫ + ⋅−∑=
n
iij xf
0)([
{1}
∑∑−
=
−
=
−
∂
−Δ∂⋅
1
0
)1(
1
02
)]([))(( n
sn
si
j
jsi
xuxxu
Dτ
τ
ωω
+∂
−Δ∂∑ ∫−
=
dttx
txn
k
x
xk
nk
k )()( μβ τ
1
0 1
11
0
{2}
+fij(x)D-1 ∫ ∂
−Δ∂)(
0
)())((xu
xi
jnij
dttx
txuμ ⋅+ −∫ 1),( DxK
b
cji
j
ηλ
{3}
∫ −∂
−Δ∂⋅
)(
0
)())((η
μηηju
xi
jni
dtttu
⋅∫jc
ajiij uxK ))((),( ηϕηλ
{4}
∑−
=
−⋅1
0
1n
i Dτ
τ
ωω
−∂
−Δ∂∑ ∫−
=
ημβ τ dtdtx
txn
k
x
xk
nk
k )()(1
0 1
11
0
{5}
- 1),( −∫ DxKb
cji
j
ηλ ⋅−Δ
⋅ −−
=
−
=∑∑ 1
1
0
)1(
1
0 ))((D
dxud n
sn
si
jsi
τ
τ
ωω
ηη
=∂
−Δ∂⋅∑ ∫
−
=
]})()(1
0 1
11
0
ημβ τ dtdtx
txn
k
x
xk
nk
k
{6}
163
= f(x)- +−Δ
∑∑∑∑−
=
−
=
−
= =τ
τ
τ γω
ω1
0
)1(
1
01
0 0
))(()([
ns
n
si
jsi
ji
l
j
n
i dxxxud
Dxf
++ ∑∫−
=τ
τ
τ γωωηϕηλ
1
0))((),(
ni
c
ajiij
j
uxK
∑∫=
− −Δ+
n
si
jsib
cji d
xudDxK
j1
01 ))((),(
ηη
ηλ ).(]1
0
)1( xBn
s =∑−
=
−τ
τ
τ γω
ω
Интегралы {1}, {3} и {4} уже преобразовывались в §3. (формулы
для уравнения (6)) {1}.
( )∫∫ −−− ′=)(
111
0
)()())(,())((),(bu
xj
njjnjj
b
cjn
j
j
dttuuttuxKduxK μηημηλ ,
{3}. ⋅∑=
−n
iij xfD
0
1 )( ∫ ∂
−Δ∂)(
0
)())((xu
xi
jnij
dttx
txuμ = ∫
)(
0
)(),(xu
xj
j
dtttxФ μ ,
{4}. ∑∫=
−n
i
b
cji
j
xKD0
1 ),( η ∫ =∂
−Δ∂)(
0
)())((bu
xi
jnij
dtdttu
ημηη
∫=)(
**
0
)(),(bu
xj
j
dtttxH μ .
В интегралах {2} введем обозначения для известных выражений
),(* txG j = ⋅− ∑=
−−n
iij xfD
0
21 )(λ ⋅−Δ
∑∑−
=
−
=
1
0
)1(
1
0 ))(( ns
n
si
jsi
dxxxud
τ
τ
ωω
dttx
txn
k
x
xk
nk
k )()(1
0 1
11
0
μβ τ∑ ∫−
= ∂−Δ∂
⋅ ,
тогда интегральные выражения {2} перепишутся
{2}. ∑ ∑ ∑∑=
−
=
−
=
−
=
− ⋅−Δ
−n
s
n n
kk
si
jsin
iij dx
xxudxfD
1
1
0
1
0
)1(0
0
2 ))(()(
ττ
τ βω
ω
164
∫ ∫=∂
−Δ∂⋅
1
0
1
0
)(),()()( *
1
1x
x
x
xjk
nk
dtttxGdttx
txμμ .
В интегралах {5} и {6} изменим сначала порядок интегрирования, а затем введём обозначения для известных выражений
),(** txG j =-D-1 ∑∫∑−
==
1
00
))((),(n
i
c
a
n
ijiij
j
uxKτ
τ
ωωηϕη ηβ τ d
xtxn
kk
nk
k∑−
= ∂−Δ∂1
0 1
1 )( ;
1*** ),( −−= DtxG j ∫∑=
b
c
n
iji
j
xK ),(0
η ⋅−Δ
∑∑−
=
−
=
1
0
)1(
1
0 ))(( ns
n
si
jsi
dxud
τ
τ
ωω
ηη
∑−
=
⋅1
0
n
kkτβ ηd
xtx
kn
k
1
1 )(∂
−Δ∂⋅ ,
тогда интегральные выражения {5} и {6} примут вид:
{5}. λD-1 ∑∫∑−
==
1
00))((),(
ni
c
a
n
ijiij
j
uxKτ
τ
ωωηϕη ∑
−
=
⋅1
0
n
kkτβ
=∂
−Δ∂⋅ ∫ dtt
xtxx
xk
nk
)()(1
0 1
1 μ λ ∫1
0
)(),(*x
xj dtttxG μ ,
{6}. –λD-1 ∫∑=
b
c
n
iji
j
xK ),(0
η ∑∑−
=
−
=
−Δ 1
0
)1(
1
0 ))(( ns
n
si
jsi
dxud
τ
τ
ωω
ηη
∑−
=
⋅1
0
n
kkτβ
=∂
−Δ∂⋅ ∫ dtt
xtxx
xk
nk
)()(1
0 1
1 μ λ ∫1
0
)(),(**x
xj dtttxG μ .
165
Порядок интегрирования изменён в соответствии с ниже изображёнными (заштрихованными) областями интегрирования w1 и
w2 Суммируем интегралы с одинаковыми пределами. Интегралы {1}
и {4} уже суммировались в §3.(формулы в разрешающем интеграль-ном уравнении (6)), где
Hj(x,t) = H**(x,t)+Knj(x, )(1 tu j− ).
Суммируем теперь интегралы {2},{5} и {6}
λ ∫1
0
)(),(*x
xj dtttxG μ + λ ∫
1
0
)(),(**x
xj dtttxG μ + λ =∫
1
0
)(),(***x
xj dtttxG μ
∫=1
0
,)(),(x
xj dtttxG μλ где Gj(x,t) = Gj
*(x,t)+Gj**(x,t)+Gj
***(x,t).
Учитывая проделанные преобразования и обозначения, получим общий вид разрешающего интегрального уравнения краевой задачи:
( )∑ ∫ ∫=
+++′l
j
xu
x
bu
xjjj
njnj
j j
dtttxHdtttxФxuxuxf0
)( )(
0 0
)(),()(),())(()([ μλμμ
+λ ])(),(1
0
∫x
xj dtttxG μ =В(x). (17)
Как и в §3., исследуем вопрос о возможности преобразования краевой задачи для интегродифференциального уравнения Фредгольма с запаздывающим аргументом к интегральным уравнениям с обык-
166
новенным аргументом в зависимости от типа рассматриваемого уравнения.
а) Краевая задача (1а), (7)-(8) для уравнений запаздывающего типа, в силу условий fnj(x)≡0 и Knj(x,η)≡0 ∀ lj ,1= , преобразуется к разрешающему интегральному уравнению (17а)
μ(x)+∑ ∫ ∫=
+l
j
xu
x
bu
xjj
j j
dtttxHdtttxÔ0
)( )(
0 0
)(),()(),([ μλμ ])(),(1
0
∫+x
xj dtttxG μλ =В(x).
Вывод. Краевая задача для всех интегродифференциальных
уравнений Фредгольма с отклоняющимся аргументом запаздываю-щего типа с помощью ФГС преобразуется к разрешающему инте-гральному уравнению специального вида смешанного типа Воль-тера-Фредгольма с обыкновенным аргументом.
б) Краевая задача (1), (7)-(8) для уравнений нейтрального типа при fn0(x)≡1, fnj(x)≡0 ∀ j=1, l и Knl(x,η)≡/ 0 преобразуется к разре-шающему интегральному уравнению
μ(x)+∑ ∫ ∫=
++l
j
xu
x
bu
xjj
j j
dtttxHdtttxФ0
)( )(
0 0
)(),()(),([ μλμ
])(),(1
0
∫+x
xj dtttxG μλ =В(x). (17б)
Вывод. Краевая задача с условиями (7)-(8) для интегродиффе-ренциальных уравнений Фредгольма с запаздывающим аргументом нейтрального типа с помощью ФГС (2) преобразуется в общем слу-чае к разрешающему интегральному уравнению также с запазды-вающим аргументом. Если же дополнительно потребовать, чтобы fnj(x)≡ 0 ∀ j=1, l и Knj(x,η)≡/ 0, то для такого вида уравнений разре-шающее интегральное уравнение специального вида смешанного типа Вольтерра-Фредгольма (17б) будет с обыкновенным аргументом.
в) Рассмотрим теперь краевую задачу для уравнений опережаю-щего типа, положив fnl(x)≡1, fnj(x)≡0 ∀ 1,1 −= lj и Kn0(x,η)≡0, то-гда задача (1в), (7)-(8) преобразуется к разрешающему интеграль-ному уравнению:
167
μ(z)+∑ ∫ ∑ ∫−
= =
++1
0
)(
0
)(
0 0
)(),([)(),(l
j
zV
x
l
j
bu
xjj
j j
dtttzNdtttzQ μλμ
])(),(1
0
∫+x
xj dtttzM μ =R(z), (17в)
где Qj(z,t), Nj(z,t) и vj(z) находятся по формулам в разрешающем ин-тегральном уравнении (6в), а
Mj(z,t) = Gj( 1−lu (z),t) и R(z) = B( 1−
lu (z)). Вывод. Краевая задача с условиями (7)-(8) для интегродиффе-
ренциальных уравнений Фредгольма с запаздывающим аргументом опережающего типа (1) с помощью ФГС (2) преобразуется к разре-шающему интегральному уравнению специального вида смешанного типа Вольтерра-Фредгольма в общем случае также с запаздываю-щим аргументом, но если внешний дифференциальный оператор со-держит старшую производную только с одним отклонением, т.е. имеем уравнение (1в), то разрешающее интегральное уравнение спе-циального вида смешанного типа Вольтерра-Фредгольма (17в) будет с обыкновенным аргументом.
168
Глава VI РЕШЕНИЕ РАЗРЕШАЮЩИХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ВОЛЬТЕРРА-ФРЕДГОЛЬМА
§1. Преобразование разрешающих уравнений к единому виду
Нетрудно увидеть, что начальные и краевые задачи для всех типов интегродифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом сводятся к разрешающим интегральным уравнениям Вольтерра-Фредгольма фактически одного и того же вида. Действительно, вводя кусочно заданные ядра
0 1,
1
( , ) ( , ),( , )
( , ), ( ),j j
jj j
H x t G x t если x t xT x t
H x t если x t u в
+ ≤ ≤⎧⎪= ⎨ < ≤⎪⎩
уравнения (17а) и (17б) перепишем в упрощенной форме:
∑ ∫ ∫=
=++l
j
xu
x
вu
xjj
j j
xBdtttxTdtttxФx0
)( )(
0 0
)(])(),()(),([)( μλμμ . (18)
Аналогично и для уравнения (17в), положив
0 1
1
( , ) ( , ), ,( , )
( , ), ( ),j j
jj j
N z t M z t если x t xT z t
N z t если x t u в
+ ≤ ≤⎧⎪= ⎨ < ≤⎪⎩
и 0),( ≡tzQl , уравнение (17в) примет вид
169
∑ ∫ ∫=
=++l
j
zV
x
вu
xjj
j j
zRdtttzTdtttzQz0
)( )(
0 0
)(])(),()(),([)( μλμμ . (19)
Итак, все разрешающие уравнения (6а), (6б), (6в) для начальных
задач и (17а), (17б), (17в) для краевых задач преобразуются к одному и тому же виду (18) или (19) .
Разрешающее уравнение (19)- наиболее общий вид разрешающих уравнений, так как, положив xz ≡ ,
),(),(),,(),(),()( txTtzTtxФtzQxuzV jjjjjj ≡≡≡ и )()( xBzR ≡ , из уравнений вида (19) получим уравнение вида (18).
Поскольку все рассмотренные задачи сводятся к одному виду смешанных интегральных уравнений типа Вольтерра-Фредгольма (19), их можно использовать для составления единой программы ре-шения на ЭВМ.
§2. Таблицы-схемы обозначений,
введённых при решении начальных и краевых задач Для удобства использования полученных формул при исследовании
и решении различных задач сведём результаты в таблицы-схемы, которые будут использованы в дальнейшем для исследования вариантов решения в замкнутом виде полученных разрешающих интегральных уравнений, их приближённого решения и при составлении программ решения на ЭВМ.
Таблица 1. Начальная задача для интегродифференциальных
уравнений Фредгольма с запаздывающим аргументом.
0
( ) ( )
0 0
( )
( ) ( ( )) ( , ) ( ( )) ( ) (1)
( ( )) ( ( )), 0, 1, (2)
bl ni i
ij j ij jj i a
ij i j x
f x y u x K x y u d f x
y u x u x i n x E
λ η η η
φ
= =
⎧ ⎡ ⎤+ =⎪ ⎢ ⎥⎪
⎣ ⎦⎨⎪ = = − ∈⎪⎩
∑∑ ∫
170
Запаздывающий тип Нейтральный тип Опережающий тип
Условия
в
уравнении
(1)
0 ( ) 1nf x ≡ , 0)( ≡xfnj и
0),( ≡ηxKnjlj ,1=∀ .
0 ( ) 1nf x ≡ , 0)( ≡xfnj
lj ,1=∀ и 1j∃ ≥ , что 0),( ≡/ηxKnj
0)(0 ≡xfn , 0 ( , ) 0nK x η ≡
и ! 0j∃ ≠ : ( ) 0njf x ≡/
0 0
v ( ) ( )
0( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( )
j jz u bl
j jj x x
z Q z t t dt N z t t dt B zμ μ λ μ=
⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∫ ∫ (19)
Разреш
ающее
уравнение
(19)
Формулы в (6а) Формулы в (6б) Формулы в (6в)
Обозначения
в разрешаю
щем
уравнении
(19)
, ( ) ( ),j jz x V z u x≡ ≡1( , ) ( , )j jQ z t x t D −≡ Φ = ⋅
1
0
( ( ) )( )
n n jij
i
i u x tf x ix
−
=
∂ Δ −⋅∑
∂
1( , ) ( , )j jN z t H x t D−≡ = ⋅
1 ( )
1
0[ ( , )
( ( ) )]
b
u tj
n
iK xij
i u tn j di
η
ηη
η
−
−
=⋅ ⋅∑∫
∂ Δ −⋅ +
∂
0 ( , ),nK x t+
( ) ( ) ( )B z F x f x≡ = −1 ( 1)
00 0 1
{ ( )l n n s
j i sD y x− −
= = =− ⋅∑ ∑ ∑
+−Δ
⋅ ijs
i
ij dxxxud
xf))((
)([ 0
0( ( ) )( , ) ]
b
Cj
i u xs jK x dij id
d ηλ η η
η
Δ −+ ⋅ −∫
( , ) ( ) }.C j
K x dij iaλ η ϕ η η− ∫
, ( ) ( ),j jz x V z u x≡ ≡1( , ) ( , )j jQ z t x t D−≡ Φ = ⋅
( ( ) )1( )
0
i u x tn n jf xij ixi
∂ Δ −−⋅ ∑
∂=1( , ) ( , )j jN z t H x t D−≡ = ⋅
1
1
0( )
( ( ) )( , )
j
ib n n jij
iu t
u tK x di
ηη η
η−
−
=
∂ Δ −+
∂⋅ ∑∫
,))((
))(,(11
1
dtzuu
tuxK
jn
j
nj
−−
−
′⋅
⋅+
( ) ( ) ( )B z F x f x≡ = −1 ( 1)
00 0 1
{ ( )l n n s
j i sD y x− −
= = =− ⋅∑ ∑ ∑
( ( ) )0[ ( )d
ij
i u x xs jf x idx
Δ −⋅ +⋅
0( ( ) )( , ) ]
b d ji j
Cj
i u xsK x did
ηλ η η
η
Δ −+ ⋅ −∫
( , ) ( ) } .C j
K x dij iaλ η ϕ η η− ∫
( )V zj ≡ 1( ( )),lu u zj−
1( ), ( ),lz u x x u zl−≡ =
))(()),((
),( 1
1
zuutzu
tzQl
nl
ljj −
−
′Φ
=
0, 1, ( , ) 0lj l Q z t∀ = − ≡ ,
,))((
)),((),( 1
1
tuutzuH
tzNl
nl
ljj −
−
′≡
−′=
=′
=
−−−
−
−
))(({))](([
))(())((
)(
111
1
1
zufzuu
zuuzuF
zB
lijln
l
ln
l
l
1 ( 1)0
0 0 1{ ( )
l n n s
j i sD y x− −
= = =− ⋅∑ ∑ ∑
−−Δ
+
+−Δ
⋅
∫ −
−
−−
]))((
)),((
))(()))(((
))(([
01
10
11
b
Ci
jsi
lij
il
ljsi
lij
jd
xudzuK
zduxzuud
zuf
ηη
ηλ
( , ) ( ) }.C j
ij ia
K x dλ η ϕ η η− ∫
171
Таблица 2. Краевая задача для интегродифференциальных уравнений Фредгольма с запаздывающим аргументом
0
( ) ( )
0 0
1( ) ( )
0 1 0 10
( ) ( )0
( ) ( ( )) ( , ) ( ) ( ), (1)
( ) ( ) , 0, 1, , (7)
( ( )) ( ) ( ( )), 0, 1, , (8)
bl ni i
ij j ijj i a
ni i
i ii
i ij i j x
f x y u x K x y d f x
y x y x n a x x b
y u x y x u x i n x E
τ τ τ
λ η η η
α β γ τ
ϕ
= =
−
=
⎧ ⎡ ⎤+ =⎪ ⎢ ⎥
⎣ ⎦⎪⎪⎪ ⎡ ⎤+ = = − ≤ < ≤⎨ ⎣ ⎦⎪⎪ = = − ∈⎪⎪⎩
∑∑ ∫
∑
2.a. В случае 0 1 , 1,jx x c j l< ≤ ∀ = , как уже отмечалось, краевая
задача (1),(7),(8) сводится к решению задачи (1), (5), следует только заменить начальные функции ( ( ))i ju xϕ в (6а), (6б) и (6в) на
1* 1
0( ( )) ( ( ))
n
i j i j iu x u x τ ττ
ϕ ϕ ω γ ω−
−
=
= ⋅∑ , где [ ]1det ( ) ,i i i xτ τω α β ϕ= +
, 0, 1i nτ = − и ωiτ - алгебраические дополнения к элементам определителя ω.
2.b. В случаях, когда 1,j l∃ = , для которых x0≤cj<x1, сведём
результаты в таблицу-схему.
172
Запаздывающий тип Нейтральный тип Опережающий тип
Условия
в
уравнении
(1)
0 ( ) 1nf x ≡ , 0)( ≡xfnj и
0),( ≡ηxK jn lj ,1=∀ . 0 ( ) 1nf x ≡ , 0)( ≡xfnj
lj ,1=∀ и 1j∃ ≥ , что 0),( ≡/ηxK jn
0)(0 ≡xfn ,
0 ( , ) 0nK x η ≡ и ! 0 :j∃ ≠
( ) 0njf x ≡/
0 0
v ( ) ( )
0( ) [ ( , ) ( ) ( , ) ( ) ] ( )
j jz u bl
j jj x x
z Q z t t dt T z t t dt R zμ μ λ μ=
+ + =∑ ∫ ∫ (19)
Разреш
ающ
ее
Формулы в (17а) Формулы в (17б) Формулы в (17в)
, v ( ) ( ),j jz x x u x≡ ≡1( , )jQ z t D−≡ ⋅
1
0
( ( ) )( )
n n j
i
i u x tf xij ix
−
=
∂ Δ −⋅∑
∂
,
0 1
1
( , ) ( , ),
;( , ) ,
( , ),
( ),
j j
jj
j
H x t G x t
x t xT z t
H x t
x t u b
+⎧⎪
≤ ≤⎪≡⎨⎪⎪ ≤ ≤⎩
-1jH (x,t)= D ⋅
1
01 ( )
[ ( , )b n
ijiu tj
K x η−
=−⋅ ⋅∑∫
( ( ) )]n j
i u tdi
ηη
η
∂ Δ −⋅ +
∂
0( , ),nK x t+
* **
***
( , ) ( , ) ( , )
( , ), ( ) ( ),j j j
j
G x t G x t G x t
G x t R z B x
= + +
+ ≡
, v ( ) ( ),j jz x x u x≡ ≡1( , ) ( , )j jQ z t x t D−≡Φ = ⋅
1
0
( ( ) )( ) ,
n n j
i
i u x tf xij ix
−
=
∂ Δ −⋅∑
∂
0 1
1
( , ) ( , ),
;( , ) ,
( , ),
( ),
j j
jj
j
H x t G x t
x t xT z t
H x t
x t u b
+⎧⎪
≤ ≤⎪≡ ⎨⎪⎪ ≤ ≤⎩
j1H (x,t)= D− ⋅
1
01 ( )
[ ( , )b n
iu tj
K xij η−
=−⋅ ⋅∑∫
( ( ) )]n j
i u td
iη
ηη
∂ Δ −⋅
∂+
1
1 1
( , ( ))
( ( )),n j l
nj j
K x u t
dt u u t
−
− −
+ ⋅
′⋅ ⋅
* **
***
( , ) ( , ) ( , )
( , ), ( ) ( ),j j j
j
G x t G x t G x t
G x t R z B x
= + +
+ ≡
1( ),v ( ) ( ( )),lz u x x u u zl j j−≡ ≡
11
1
( ( ), )( , )
( ( ))j l
j nl l
u z tQ z t D
u u z
−−
−
Φ≡ = ⋅
′
∑−
=−
−
−
−
∂−Δ∂
′⋅
1
01
1
1
1
,))((
)))((())(())((n
ii
l
ljni
ln
l
lij
zutzuu
zuuzuf
,1,0 −=∀ lj ( , ) 0,lQ z t ≡
0 1
1
( , ) ( , ),
( , ) ,( , ),
( ),
j j
jj
j
N z t M z t
x t xT z t
N z t
x t u b
+⎧⎪
≤ ≤⎪≡⎨⎪⎪ ≤ ≤⎩
,))((
)),((),( 1
1
zuutzuH
tzNl
nl
ljj −
−
′≡
,))((
)),((),( 1
1
zuutzuG
tzMl
nl
ljj −
−
′=
.))((
))(()( 1
1
zuuzuBzR
ln
l
l−
−
′=
Обозначения
в разрешаю
щем
уравнении
(19)
где * ** ***( , ), ( , ), ( , ), ( )j j jG x t G x t G x t B x вычисляются по формулам в уравнении (17)
173
§ 3. Решение разрешающих интегральных уравнений в замкнутом виде
Решение в замкнутом виде получим, если в уравнении вида (19)
параметры niri ,1, = таковы, что 0)( ≡zR . Тогда решение однородного уравнения (19) будет 0)( ≡zμ и решение первоначально поставленных начальных задач найдется по формуле (2)
∑=
−− −Δ=n
ss
s xzxyDzy1
00)1(1 ).()()( (20)
При i=0 для краевых задач решение найдем по формуле (16)
∑ ∑=
−
=
− −Δ=n
s
ns
s xzDzy1
1
00
1 .)()(τ
τγωτω
(21)
Другой возможный вариант решения в замкнутом виде получим, если параметры niri ,1, = таковы, что 0),( ≡tzQ j и 0),( ≡tzTj
lj ,0=∀ , тогда решение уравнения (19) будет )()( zRz =μ и по формуле (2) определится решение начальных задач:
∑ ∫=
−− −Δ+−Δ=n
s
z
xns
s dttRtzxzxyDzy1
00)1(1
0
])()()()([)( , (22)
и по формуле (16) – решение краевых задач:
⋅⎩⎨⎧
−−Δ= ∑ ∑ ∑=
−
=
−
=
−−n
s
n n
kk
ss DxzDzy
1
1
0
1
0
10
1 [)()(τ
τττ βγ
ωω
(23)
}∫ ∫ +−Δ+∂
−Δ∂⋅
1
0 0
).()()(])()(
1
1x
x
z
xnk
nk
zRdttRtzdttRx
tx
Если условия 0)( ≡zR или условия 0),(,0),( ≡≡ tzTtzQ jj за счет выбора параметров выполнить не удается, то можно попытаться за счет выбора параметров сделать равными нулю или ядра ),( tzQ j
или ( , )jT z t . Тогда при 0),( ≡tzQ j и 0),( ≡/tzTj получим разрешающее уравнение типа Фредгольма, и к нему применимы все
174
известные методы решения в замкнутом виде уравнений Фредгольма (например, метод для вырожденных ядер).
Если же за счет выбора параметров удается сделать 0),( ≡tzTj
при 0),( ≡/tzQ j lj ,0=∀ , тогда получим разрешающее уравнение типа Вольтерра, для них также в некоторых случаях известны возможные варианты решения в замкнутом виде.
Если выполнить эти условия за счет выбора параметров не представляется возможным, то практически всегда можно решить разрешающие уравнения вида (19), применив один из известных при-ближенных методов.
Пример 1. Рассмотрим задачу Коши при начальном значении x0 = 0 для
уравнения запаздывающего типа.
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−==−′−=−==′=
=−−′+′′ ∫ −
].0,1[1)1(,1)1(],0[1)(,)(
,)(2)1()(
10
00
1
0
1
EнаxyxxyEнаxyxxy
xedyexyxxy xx ηηη
Решение.
Начальное множество будет E0= 10
00 EE U =[-1,0].
Выпишем коэффициенты, ядро уравнения и остальные данные задачи f20(x)≡1, f11(x)=x, λ=2, a=0, b=1, K00(x,η)=ηex, f(x)=xex-1,u0(x)≡x, u1(x)=x-1, .1)0(,0)0( =′= yy
Найдём выражения для построения ФГС и её производных по аргументу x:
D=21
11rr
=r2-r1, 1Δ (x-t)= )()( txrtxr erer −− − 2112 , 2Δ (x-t)= )()( txrtxr ee −− − 12 ,
( )x
tx∂−Δ∂ 1 (x-t)= )()( txrtxr errerr −− − 21
2121 ,
( )x
tx∂
−Δ∂ 2 = )()( txrtxr erer −− − 1212 ,
y(x)=12
1rr −
[ ∫∑ −Δ+−Δ=
−x
xss
s dtttxxxxy0
2
2
100
1 )()()()()( μ ]=
175
=12
1rr −
[ dtteeeex
txrtxrxrxr )()( )()( μ∫ −− −+−0
1212 ],
)(xy′ = 12
1rr −
[ xrxr erer 1212 − + dtterer
xtxrtxr )()( )()( μ∫ −− −
012
12 ],
)(xy ′′ = 12
1rr −
[ xrxr erer 12 21
22 − + dtterer
xtxrtxr )()( )()( μ∫ −− −
0
21
22
12 ]+μ(x).
Для сокращения объёма выкладок возьмём один из параметров, равный нулю (r1=0), и по формулам в уравнении (6а) найдём
Ф0(x,t) = )( txrer −222 , Ф1(x,t) = )( txrer −−1
22 ,
H0(x.t) = -2
2r ∫ −−
1
12
t
trx dee ηη η )( )( ,
F(x) = xex-1- xrer 222 -x )( 1
22 −xrer +2 ∫ −
1
0
12 ηη η dee rx )( =
=xex-1- xrer 222 - x )( 1
22 −xrer +2ex(
2
1r
-21
).
Нетрудно увидеть, что оптимальное значение параметра r2=1, при котором F(x)≡0, и тогда разрешающее уравнение однородное, а его решение μ(x)=0. По формуле (2) найдём решение поставленной за-дачи y(x)=ex-1.
Проверим, что найденное решение удовлетворяет поставленной начальной задаче
ex+xex-1-2ex ∫ −1
0
)1( ηη η de = xex-1, xex-1≡ xex-1
и на чертеже хорошо видно выполнение начальных условий
176
Пример 2. Рассмотрим краевую задачу:
1
0
( ) 2 ( ) ( ) 0,2
(0) (1) 0,2 (0) (1) 1.
xy x y x y y d
y yy y
η η⎧ ⎛ ⎞′′ ′ ′ ′+ − − =⎪ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎪⎪ ′+ =⎨⎪ ′ ′− =⎪⎪⎩
∫
Для данной задачи 0 10 1 0 0 00, 1, [0]x x E E E= = = =U , т.к.
начальное множество состоит из одной точки. Следовательно, краевая задача в этом случае ставится так же, как и для уравнений с обыкновенным аргументом, без задания начальных функций. Выпишем коэффициенты, ядро и остальные данные задачи: f10(x)=2, f20(x)=1, f11(x)=-1, f(x)=0, K10(x,η)=-1, a=0, b=1, u0(x)=x, u1(x)=x/2.
Решаем уравнения x=0 и x/2=0. Откуда c0=0, c1=0, следовательно, для уравнения запаздывающего типа имеем второй случай, т.к. выполняются условия 0 1jx c x≤ < , т.е. 0 0 1≤ < .
Воспользовавшись формулами ФГС (2)-(3)-(4) для записи вида искомого решения при n=2, x0=0 и положив ri=0 (для сокращения объёма выкладок), найдём
177
22
2 2
2 2
( )
2 2 0
( )
0
( )2 2
0
1 1( ) (0) (0) 1 ( ) ,
( ) (0) ( ) ,
( ) (0) ( ) ( ).
xz xr x t
xr x r x t
xr x r x t
ey x y y e t dtr r
y x y e e t dt
y x y r e r e t dt x
μ
μ
μ μ
−
−
−
−′ ⎡ ⎤= + + −⎣ ⎦
′ ′= +
′′ ′= + +
∫
∫
∫
Откуда получаем: 2
2
2 2
1(1 )
2 2 0
1(1 )
0
1 1(1) (0) (0) 1 ( ) ,
(1) (0) ( ) .
zr t
r r t
ey y y e t dtr r
y y e e t dt
μ
μ
−
−
−′ ⎡ ⎤= + + −⎣ ⎦
′ ′= +
∫
∫
Подставив полученные выражения для (1)y и (1)y′ в краевые условия
2 2
2 2
1(1 )
0
1(1 )
0
(0) (0) ( ) 0,
2 (0) (0) ( ) ,
r r t
r r t
y y e e t dt
y y e e t dt
μ
μ
−
−
⎧′+ + =⎪
⎪⎨⎪ ′ ′− −⎪⎩
∫
∫
найдём
2 2 2
2 2
1 1(1 ) (1 )
0 0
1 ( ) 2 ( )(0) , (0) 1 2 (0)
2 2
r t r r t
r r
e t dt e e t dty y y
e e
μ μ− −+ +′ ′= = − = −
− −
∫ ∫.
Затем подставим y(0) и y′(0) в ФГС (формулы (2)-(3)-(4)) 2 2
2
2
22 2
2 2
( )
2 2 0
1 1(1 ) (1 )
20 0
1 1( ) (0) (0) 1 ( )2
2 1( ) 1 ( )2 (2 )
xz x rr x t
r
r xr t r t
r r
e ey x y y e t dtr r e
ee t dt e t dte r e
μ
μ μ
−
− −
−′ ⎡ ⎤= + + − = − −⎣ ⎦ −
⎡ ⎤−− + + +⎢ ⎥− − ⎣ ⎦
∫
∫ ∫
178
2
22 2 2
2
2
2 2
22
2
( )
2 0
1( ) (1 )
20 0
( )
0
( )2 2
0
1(1 )2
0
1 1 ( ) ,
( ) (0) ( ) 1 ( )2
( ) ,
( ) (0) ( ) ( ) ( )
1 ( )2
xr x t
x r xr x r x t r t
r
xr x t
xr x r x t
r xr t
r
e t dtr
ey x y e r e t dt e t dte
e t dt
y x y r e r e t dt x x
r e e t dte
μ
μ μ
μ
μ μ μ
μ
−
− −
−
−
−
⎡ ⎤+ −⎣ ⎦
⎡ ⎤′ ′= + = + +⎢ ⎥− ⎣ ⎦
+
′′ ′= + + = +
⎡+ +
− ⎣
∫
∫ ∫
∫
∫
∫ 2 ( )2
0
( ) ,x
r x tr e t dtμ−⎤+⎢ ⎥
⎦∫
,
а полученные выражения для производных ( )y x′ и ( )y x′′ в данное уравнение:
2 2 22 2
2 2 2
2 22
2 2 2
2 2 2
2 22
2
1(1 ) ( )2 2
20 0
1 12 2(1 ) ( ) (1 )
0 0 0
2 ( )2
0
2( ) ( ) ( )2 2 2
2 ( ) 2 ( ) ( )2 2 2
( )2 2
xr x r x r xr t r x t
r r r
x xr rxr xr t r x t r t
r r r
xx r rr t
r
r e r e ex e t dt r e t dte e e
e e ee t dt e t dt e t dte e e
e ee t dte
η η
μ μ μ
μ μ μ
μ
− −
− − −
−
+ + + + +− − −
+ + − − −− − −
− = +−
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ 2 2
2
1 1(1 ) ( )
0 0 0
( ) ( ) .r t r tr e t dt e t dt d
e
ηημ μ η− −⎡ ⎤
+⎢ ⎥−⎣ ⎦∫ ∫ ∫
Изменив порядок интегрирования в двойном интеграле
2 2 2 2
1 1 1 1( ) (1 )1
20 0 0 0
( ) ( ) 1 ( )r t r t r r t
t
d e t dt e t dt e d r e t dtη
η ηη μ μ η μ− − −− ⎡ ⎤= = −⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ,
вычислив интеграл 2
2
1
20
1rr ee d
rη η −
=∫ и, затем, перенеся известные
выражения в правую часть равенства, придём к разрешающему интегральному уравнению
179
22
2 2
2
22 2 22
2
12(1 ) ( )2
20 0
22 22 2 2 2
20
( 2) 1( ) ( ) (2 ) ( )2
1 2( ) ( ) .(2 )
xr xr xr t r x t
r
x xrx r r x r xr t
r
r e ex e t dt r e t dte
e r e r e r ee t dt B xr e
μ μ μ
μ
− −
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
+ − −+ + + −
−
− − − +− = =
−
∫ ∫
∫
Теперь за счёт выбора параметра r2 минимизируем свободную функцию
22 2 2
2
2
2 22 2
2
1 2( )
(2 )
xrr r x r x
r
e r e r e r eB x
r e− − − +
=−
,
минимум которой достигается при r2=0, так как 2
2 2 2
2
22 2 2
2 22 2
0 0 02
1 21lim ( ) lim lim2
xrr r x r x
rr r r
e r e r e r eB x
e r→ → →
− − − += =
−
22
2 2
2 2
220 0
2
1lim lim 2 1 2 1 0xr rr x r x
r r
e r e e er→ →
⎛ ⎞−= − + − = − + =⎜ ⎟
⎝ ⎠.
Следовательно, разрешающее уравнение однородное и его решение будет μ(x)=0, тогда решение поставленной краевой задачи найдётся:
2 22 2
2 2 22
22
22 2 2
2
02 2
0 0 02
11( ) lim2 (2 ) (2 )
1 1lim lim lim 1.2
r x rr r x
r r rr
r xr
rr r r
e r ee ey xe r e r e
e e xe r
→
→ → →
− −−= − + = =
− − −
⎡ ⎤−= ⋅ − = −⎢ ⎥− ⎣ ⎦
.
Ответ: ( ) 1y x x= − . Сделаем проверку, подставив найденную функцию ( ) 1y x x= − в
данное уравнение 1
0
0 2 1 0 0 0dη+ − − = ⇒ =∫
и краевые условия
180
1 1 02 1 1− + =⎧⎨ − =⎩
,
которые также выполняются.
§4. Приближённые методы решения разрешающих интегральных уравнений
Для решения смешанных интегральных уравнений вида (19)
применимы методы и способы приближённого решения интегральных уравнений (такие как представление решения рядами Тейлора, Неймана, Фурье; методами последовательных приближений, осреднения функциональных поправок, сплайн-интерполяционными методами и др.). Наличие параметров в структуре функций в разрешающем уравнении (19) даёт возможность ускорить сходимость любого из известных приближённых методов за счёт оптимального их выбора. Так, например, применив метод последовательных приближений к уравнению (19) и приняв за начальное приближение функцию μ0(z)=R(z), получим рекуррентную формулу для последовательных приближений:
0 0
v ( ) ( )
1 10
( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) , (24)j jz u bl
k j k j kj x x
z R z Q z t t dt T z t t dtμ μ λ μ− −=
⎡ ⎤= − +⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∫ ∫
k=1,2,… Для доказательства сходимости метода и существования решения,
как обычно, составим функциональный ряд 0 1 0 2 1 1( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ... [ ( ) ( )] ...k kz z z z z z zμ μ μ μ μ μ μ −+ − + − + + − + (25) При условии ограниченности функций
( ) ,R z M≤ ( , )j jQ z t N≤ , ( , ) 0,j jT z t P j l≤ ∀ = в квадрате ,a x t b≤ ≤ (26)
оценим по модулю члены ряда
181
0 0
0 0
0
v ( ) ( )
1 0 0 00
00 0 0
00 0
2 1
( ) ( ) ,
( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )
| | | | | |
( | | ), ãäå , ,
( )
j jz u bl
j jj x x
b bl l l
j j j jj j jx x
l l
j jj j
z R z M
z z Q z t t dt T z t t dt
N Mdt P Mdt M b x N P
M b x N P N N P P
z
μ
μ μ μ λ μ
λ λ
λ
μ μ
=
= = =
= =
= ≤
⎡ ⎤− = + ≤⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤≤ + ≤ − + ≤⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
≤ − + = =
−
∑ ∫ ∫
∑ ∑ ∑∫ ∫
∑ ∑
0 0
v ( ) ( )
1 10
( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )j jz u bl
j jj x x
z Q z t t dt T z t t dtμ λ μ=
⎡ ⎤= + ≤⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∫ ∫
0 0
2 20 0
0
1 0
| | ( | | ) | | ( | | ) ,
......................................................................................( ) ( ) | | ( | | ) ,
................
b bl
j jj x x
k kk k
M b x N P N dt P dt M b x N P
z z M b x N P
λ λ λ
μ μ λ
=
−
⎡ ⎤≤ − + + ≤ − +⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
− ≤ − +
∑ ∫ ∫
....................................................................
и из полученных оценок построим для ряда (25) мажорирующий ряд 0 0| | ( | | ) ... | | ( | | ) ...k kM M b x N P M b x N Pλ λ+ − + + + − + + (27).
Ряд (27) составлен из членов геометрической прогрессии и поэтому сходится при
0| | ( | | ) 1q b x N Pλ= − + < (28). Если условие (28) выполняется, то ряд (25) по критерию
Вейерштрасса сходится равномерно и абсолютно и единственное решение уравнения (19) существует и может быть найдено приближённо по формуле (24). При этом погрешность приближённого решения
kμδ может быть вычислена по формуле
0
0
| | ( | | )1 | | ( | | )k
k kM b x N Pb x N Pμ
λδ
λ− +
≤− − +
. (29)
Условие (28) в общем случае довольно жёсткое, поэтому рассмотрим ещё один возможный вариант приближённого решения. За счёт выбора части параметров минимизируем ядра Tj(z,t), а остальные параметры далее используются для ускорения метода последовательных
182
приближений. Если удалось сделать эти ядра достаточно малыми (что иногда выполняется автоматически, например, для дифференциальных уравнений запаздывающего типа, где Tj(z,t)≡0 0,j l∀ = ), то мы можем рассматривать разрешающее уравнение типа Вольтерра
0
( )
0
( ) ( , ) ( ) ( )jV zl
j x
z Q z t t dt R zμ μ=
+ =∑ ∫ (30)
Рекуррентная формула для последовательных приближений будет:
0
v ( )
10
( ) ( ) ( , ) ( ) , 1,2,...j zl
k kj x
z R z Q z t t dt kμ μ −=
= − =∑ ∫ ,
и при тех же ограничениях (26) для членов ряда (25) получим оценки:
0 0
0
v ( )
1 0 0 00 0 0
( ) ( ) ,
( ) ( ) ( , ) ( ) , ,j z bl l l
j j jj j jx x
z R z M
z z Q z t t dt N Mdt M z x N N N
μ
μ μ μ= = =
= ≤
− = ≤ ≤ − =∑ ∑ ∑∫ ∫
0 0
v ( )
2 1 1 0 00 0
202
( ) ( ) ( , )[ ( ) ( )] | |
,2
.................................................................................
j z zl l
j jj jx x
z z Q z t t t d t N M N t x dt
z xM N
μ μ μ μ= =
− = − ≤ − ≤
−≤
∑ ∑∫ ∫
01( ) ( ) ,
!.................................................................................
kk
k k
z xz z MN
kμ μ −
−− ≤
Мажорирующий ряд для ряда (25), построенный из полученных оценок, будет:
22
0| | | || | ... ...
2! !
kkb x b xM MN b x MN MN
k− −
+ − + + + + . (32)
Ряд (32) по признаку Даламбера всегда сходится, так как
1 10 0
0
| | ! | |lim lim 0 1( 1)! | | 1
k k
k kk k
MN b x k N b xlk MN b x k
+ +
→∞ →∞
− ⋅ −= = = <
+ ⋅ − +.
183
Следовательно, ряд (25)по критерию Вейерштрасса всегда сходится равномерно и абсолютно, и для решения уравнения (30) получаем оценку:
0| || ( ) | N b xz Meμ −≤ (33). Оценку погрешности
kμδ k-го приближения решения уравнения
(30) для отрезка [ , ]z a b∈ , воспользовавшись формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, получим в виде
0
1| |10| | , 0 1
( 1)!k
kN b xkb x MN e
kθ
μδ θ+
−+−≤ < <
+ (34).
Приближённое решение первоначально поставленной задачи
получим, воспользовавшись формулой ФГС (2)
0
1 ( 1)0 0
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zn
sk s n k
s x
y z y z D y x z x z t t dtμ− −
=
⎡ ⎤≈ = Δ − + Δ −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∫ ,
откуда следует, что погрешность
kyδ этого решения будет
0[ , ]
max ( )k k
z
y nz a bx
z t dtμδ δ∈
≤ Δ −∫ . (36)
Из оценок ряда (25) следует, что последовательные приближения
сходятся к искомому решению тем быстрее, чем меньше величина N, которую можно считать функцией параметров , 1,ir i n= . Получим формулу для этой функции, предварительно разложив в выражении Qj(z,t) определители .
))((z
tzu jni
∂
−Δ∂ по элементам последней строки:
=′=∂
−Δ∂
−−−
)(
111))((
))(())((2
))((1
21
21
zu
ererer
rrrz
tzu nj
tzurin
tzuritzuri
ni
jni
jnjj K
KKKK
K
K
184
1 ( ( ) ) 1 1 1
02 2 2 2
1 2 1
1 ... 1 1 ... 1... ...
. . . . . .... ...
jn
r u z t i i ni
n n n ni n
r r r rr e
r r r r
νν
− − +
=− − − −
+
=∑ ).(zu nj′ (37)
Затем, вводя обозначения для результатов вычислений
⎪⎩
⎪⎨⎧
<′−
≥′−=ℵ=
≤≤∈
≤≤∈
,0,)(max)])(exp(min[
,0,)(max)])(exp(max[,)(max
],[,
],[,
vn
jz
rjtz
vn
jz
rjtzr
jijijrzutzu
rzutzumzf
v
v
v
βαβα
βαβα (38)
и производя замену функций в формулах для Qj(z,t) на их максимальные значения, получим выражение для N=N(r1,r1,..,rn) как функцию n параметров
1 1 1
0 0 02 2 2 2
1 2 1
1 ... 1 1 ... 1... ...
| |. . . . . .
... ...
l n nij i i nri
jj i
n n n ni n
m r r r rN r
Dr r r r
νν
ν
− +
= = =− − − −
+
= ℵ∑∑ ∑ . (39).
Следовательно, необходимо определить параметры, минимизируя
функцию N(r1,r2,..,rn). Наименьшее значение этой функции существует, так как 1 2( , ,.., ) 0nN r r r ≥ . Величина параметров влияет только на скорость сходимости последовательных приближений, поэтому их можно определить приближённо, если возникли затруднения с точным определением. Погрешность первоначальной задачи
kyδ можно посчитать, воспользовавшись формулами ФГС (34) и (36).
Пример 3. Найти приближённое решение задачи Коши
0
( ) 1,5
(0) 1, (0) 0,[0], [ 1,1].
xy x y
y yE x
⎧ ⎛ ⎞′′ ′+ =⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎪ ′= =⎨⎪ = ∈ −⎪⎪⎩
.
185
Для данной задачи 0 1
0 0 0 00 [0]x è E E E= = =U . Так как начальное множество состоит из одной точки, то задача Коши ставится так же, как и для уравнений с обыкновенным аргументом.
Выпишем данные задачи: f20(x)=1, f11(x)=1, f(x)=1, u0(x)=x и
u1(x)=x/5. Определим C0 и C1: 0 10 0 0 05xx C è C= ⇒ = = ⇒ = .
Приближённое решение будем искать с помощью ФГС (2), положив r2=r1,=r, тогда в соответствии с формулами ФГС (2)-(3)-(4) главы I при n=2 и x0=0 найдем:
( )
0
( )
0
2 ( ) 2
0
( )
0
2
( ) (0) (1 ) (0) ( ) ( ) (1 )
( ) ( ) ,
( ) (0) (0)(1 ) (1 ( )) ( )
(1 ( )) ( ) ,
( ) (0) (1
xrx rx r x t rx
xr x t
xrx rx r x t x
xr x t
rx
y x y e rx y xe x t e t dt e rx
x t e t dt
y x y r xe y rx e r r x t e t dt r xe
r x t e t dt
y x y r e
μ
μ
μ
μ
−
−
−
−
′= − + + − = − +
+ −
′ ′= − + + + + − = − +
+ + −
′′ = − −
∫
∫
∫
∫
( )
0
2 ( )
0
) (0)(2 ) (2 ( )) ( ) ( )
(1 ) (2 ( )) ( ) ( ).
xrx r x t
xrx r x t
rx y rx e r r x t e t dt x
r e rx r r x t e t dt x
μ μ
μ μ
−
−
′+ + + + − + =
= − − + + − +
∫
∫
Подставив полученные выражения для искомой функции и её производных в уравнение
2 ( ) 2 5
0
( ) (1 ) (2 ( )) ( )5
x xrrx r x t xx r e rx r r x t e t dt r eμ μ−− − + + − − +∫
55
0
1 ( ) 15
xxr txr t e t dtμ
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞+ + − =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ,
нетрудно увидеть, что наиболее простой вид разрешающего уравнения получим при r=0
186
5
0
( ) ( ) 1
x
x t dtμ μ+ =∫ .
Запишем рекуррентную формулу
5
10
( ) 1 ( )
x
k kx t dtμ μ −= − ∫
и вычислим последовательные приближения, положив 0 ( ) 1xμ = ;
5
10
( ) 1 1 ;5
x
xx dtμ = − = −∫
2 25 5
2 30 0
( ) 1 1 1 1 ;5 2 5 5 2 5
x x
t t x xx dt tμ⎛ ⎞⎛ ⎞= − − = − − = − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫
2 2 35
3 3 3 60
( ) 1 1 1 ;5 2 5 5 2 5 2 3 5
x
t t x x xx dtμ⎛ ⎞
= − − + = − + −⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠∫
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
11
( 1)( ) 1 , ( 1)!5
.............................................................................................
p
p pk
k p psp
xx s s pp
μ −=
−= − = + −∑
1
( 1)( ) 1!5 p
p p
sp
xxp
μ∞
=
−= −∑ .
За приближённое решение примем 2
2 3( ) 15 2 5x xxμ = − +
⋅,
тогда погрешность такого решения по теореме Лейбница будет
2
3
6| | 1max 0,0000108
2 3 5x
xμδ ≤≤ ≤
⋅ ⋅.
Затем найдём приближённое решение первоначально поставленной задачи
187
2( )
30 0
( ) (1 ) ( ) ( ) 1 ( ) 15 2 5
x xrx r x t t ty x e rx x t e t dt x t dtμ− ⎛ ⎞
= − + − ≈ + − − + =⎜ ⎟⋅⎝ ⎠∫ ∫
3 4 2 3 4 2 3 421 1
10 750 2 15 1000 2 30 3000x x x x x x x xx= + − + − + − = + − +
и определим погрешность 2yδ этого решения, воспользовавшись
формулой(36)
2 2
2
| | 1 | | 10
max ( ) 0,0000108 max 0,00000542
x
y x x
xx t dtμδ δ≤ ≤
≤ − = ⋅ =∫ .
Если подставить полученное приближённое решение в заданное уравнение, предварительно вычислив
2 3 2
( ) , ( ) 110 750 5 250x x x xy x x y x′ ′′= − + = − + ,
то получим невязку | | 1
max ( ) ( )x
f f x f x≤
Δ = − , где ( )f x - приближённое
значение левой части уравнения 2 2 3
3
3
3| | 1
1 1,5 250 5 250 750 5
max 0,00001006.750 5x
x x x x x
xf≤
− + + − + =⋅
Δ = ≈⋅
.
188
Вопросы к зачету Интегро-дифференциальные (и-д.) уравнения.
1. Основные понятия, определения и теоремы. 2. Методы преобразования интегродифференциальных
уравнений к разрешающим уравнениям. 3. Решение разрешающих интегральных уравнений
специального вида. 4. Построение итерированных ядер и резольвента. 5. Построение характеристического полинома и минорных
рядов. Рекуррентные формулы. 6. Построение общего решения и решения задачи Коши. 7. Построение минорных рядов высших порядков. 8. Нахождение фундаментальных чисел и функций
однородных разрешающих уравнений. 9. Применений аналогов трех теорем Фредгольма к
решению интегродифференциальных уравнений. 10. Решение специализированной задачи Коши. 11. Линейные неоднородные интегродифференциальные
уравнения. 12. Альтернативные методы преобразования линейных
дифференциальных операторов. 13. Приближенные методы решения интегральных
уравнений. 14. Оценка погрешности приближенных решений. 15. Решение линейных краевых задач. 16. Уравнения с отклоняющимся аргументом. 17. Функция структуры и ее применение к решению
интегродифференциальных уравнений. 18. Решение интегродифференциальных уравнений с
запаздывающим аргументом в замкнутом виде. 19. Приближенное решение разрешающих уравнений.
189
Вопросы экзамена по спецкурсу, спецсеминару
IV курс, 7-8 сем. Интегро-дифференциальные (и-д.) уравнения.
20. Различные виды и-д. уравнений. Физические примеры. 21. Сингулярно-возмущенные и-д. уравнения. 22. Линейные и-д. уравнения. Задачи приводящие к и-д.
уравнениям. 23. Построение разрешающего интегрального уравнения в
случае n>m и его решение с помощью ряда Неймана. 24. Итерированные ядра и резольвента. Интегральные
уравнения резольвенты. 25. Метод Некрасова А.И. Аналоги детерминантов
Фредгольма. 26. Исследование на сходимость детерминантов.
Доказательство единственности. 27. Аналог первой теоремы Фредгольма. 28. Рекурентные формулы для вычисления коэффициентов
рядов. 29. Миноры высших порядков ядра интегро-
дифференциального уравнения. 30. Связь между разрешающими уравнениями и между
детерминантами. 31. Разложение детерминантов высших порядков по
строкам и столбцам. 32. Построение фундаментальных функций для
разрешающего интегрального уравнения и их свойства. 33. Линейная независимость фундаментальных функций и
полнота решений. Аналог второй теоремы Фредгольма. 15. Связь между решениями двух интегральных
разрешающих уравнений. 16. Однородный случай. Аналог третьей теоремы
Фредгольма.
190
17. Задача Коши для линейного интегро-дифференциального уравнения типа Фредгольма.
18. Специализированная задача Коши. 19. Решение неоднородных линейных интегро-
дифференциальных уравнений. 20. Случай m≥n. Задача Коши для этого случая. 21. Решение линейных интегро-дифференциальных
уравнений, опираясь на фундаментальную систему решений внутреннего дифференциального оператора.
22. Решение задачи Коши без использования фундаментальных систем решений внутреннего и внешнего дифференциальных операторов.
23. Приближенное решение линейных интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма.
191
Глоссарий:
1. Асимптоматика – неограниченное приближение к определенному объекту
2. Алгоритм – последовательность точно описанных операций
3. Альтернативные методы – другие методы решения 4. Итерация – последовательное применение
математических операций 5. Оператор – последовательность математических
операций, записанная аналитическим выражением 6. Разрешающее уравнение – уравнение имеющее те же
решения, что и данное, но более простое по форме и в решении
7. Рекуррентная формула – формула позволяющая шаг за шагом определить значения искомой величины или решения
8. ФГС- функции гибкой структуры – функции изменяющие свою структуру в зависимости от введенных значений параметров
192
Тематика курсовых работ 1. Функции гибкой структуры и их применение к решению
различных задач. 2. Интегральные уравнения Фредгольма. 3. Интегральные уравнения Вольтерра. 4. Смешанные интегральные уравнения. 5. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся
аргументом. 6. Аналоги теоремы Фредгольма для
интегродифференциальных уравнений. 7. Специализированная задача Коши для вырожденных
ядер (общий случай). 8. Исследование и решение разрешающих уравнений. 9. Краевые задачи для интегродифференциальных
уравнений. 10. Приближенные аналитические методы решения
интегродифференциальных уравнений. 11. Приближенные численные методы решения
интегродифференциальных уравнений. 12. Интегродифференциальные уравнения с частными
производными.
193
Тематика дипломных работ 13. Интегродифференциальные уравнения Фредгольма с
отклоняющимся аргументом. Исследование и разработка программ решения на ЭВМ. a. уравнений запаздывающего типа b. уравнений нейтрального типа c. уравнений опережающего типа
14. Интегродифференциальные уравнения Вольтерра с отклоняющимся аргументом. Исследование и разработка программ решения на ЭВМ. a. уравнений запаздывающего типа b. уравнений нейтрального типа c. уравнений опережающего типа
15. Смешанные интегральные уравнения с отклоняющимся аргументом. Исследование и разработка программ решения на ЭВМ. a. интегральные операторы применяются раздельно b. интегральные операторы применяются
последовательно 16. Интегродифференциальные уравнения в частных
производных. Реализация решения на ЭВМ. 17. Системы интегродифференциальных уравнений.
Программа решения на ЭВМ.
194
БУРЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
“У Т В Е Р Ж Д А Ю”
Проректор по УР _______Батуева И.С.
“___”__________2005 г.
У Ч Е Б Н А Я П Р О Г Р А М М А по курсу /дисциплина/___по спецкурсу, спецсеминару «Интегро-дифференциальные уравнения и их приложения» ________________________________________________ для специальности 010200/010501.65 прикладная математика и информатика _______ Кафедра "Прикладная математика"
195
Программа составлена на основании стандартов Специальности (номер)_ 010200/010501.65 прикладная математика и информатика _________________________________ с учетом национально-регионального компонента
Программа утверждена на заседании кафедры « » 200 г. Протокол №__ __________ ( ) подпись Программа утверждена учебно-методической комиссией факультета «___» _____200 г. __________ (________________) подпись
196
Пояснительная записка
Цель курса - дальнейшее углубленное изучение теории дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений как с обыкновенным так и с отклоняющимся аргументом и применение расмотренных теорий к прикладным задачам различных областей знаний.
Задачи курса - вытекают из целей: продолжить изучение
интегральных уравнений, рассмотреть интегральные и интегро-дифференциальные уравнения с обыкновенным аргументом, дифференциальные и другие типы функциональных уравнений с отклоняющимся аргументом, а также их применение к различным прикладным задачам.
Тематика курса Раздел 1. Интегро-дифференциальные уравнения (и.д.у.)
и их приложения. Тема 1. Основные понятия и определения. Тема 2. Решение и.-д.уравнений Тема 3. Аналоги детерминантов Фредгольма. Тема 4. Начальная задача для и.-д.уравнений. Тема 5. Другие методы решения и.д.уравнений. Раздел 2. Дифференциальные уравнения с
отклоняющимся аргументом (д.у.с о.а.). Тема 1. Основные понятия и определения. Теорема
существования.
197
Тема 2. Линейные уравнения. Тема 3. Приближенные методы интегрирования д.у. с о.а. Тема 4. Теория устойчивости. Тема 5. Периодические решения. Свойства и теоремы
существования. Периодические решения линейных и квазилинейных уравнений.
Раздел 4. Интегро-дифференциальные уравнения с
отклоняющимся аргументом. Тема 1. Основные понятия и определения. Уравнения
Вольтера. Тема 2. Уравнения Фредгольма. Тема 3. Краевые задачи.
Раздел 1. Интегро-дифференциальные уравнения (и.д.у.)
и их приложения. Тема 1. Основные понятия и определения. Различные виды и.-д.у. Задачи приводящие к и.-д.у.
Различные виды и.-д.у. Физические примеры. Сингулярно возмущенные и.-д.у.
Тема 2. Решение и.-д.уравнений Построение разрешающего интегрального уравнения и
его решение с помощью ряда Неймана в случае n>m. Итерированые ядра и резольвента. Интегральные уравнения резольвенты. Метод акад.Некрасова А.И.
Тема 3. Аналоги детерминантов Фредгольма. Исследование на сходимость детерминантов.
Доказательство единственности. Аналог первой теоремы Фредгольма. Рекурентные формулы для вычисления коэффициентов рядов. Миноры высших порядков ядра и-д.у. Связь между разрешающими уравнениями и между детерминантами. Разложение детерминантов высших порядков по строкам и столбцам. Построение фундаментальных функций для разрешающего интегрального уравнения. Полнота
198
решений. Аналог второй теоремы Фредгольма. Однородный случай. Аналог третьей теоремы Фредгольма.
Тема 4. Начальная задача для и.-д.уравнений. Задача Коши для линейного и.-д.у. типа Фредгольма.
Специализированная задача Коши. Решение неоднородных линейных и.-д.у. и случай m≥n. Задачи Коши для этих случаев.
Тема 5. Другие методы решения и.д.уравнений. Решение с помощью фундаментальной системы
внутреннего дифференциального оператора. Решение задачи Коши и краевой задачи без использования фундаментальных систем решений.
Раздел 2. Интегро-дифференциальные уравнения с
отклоняющимся аргументом. Тема 1. Основные понятия и определения. Уравнения
Вольтера. Начальная задача для уравнений Вольтерра
запаздывающего, нейтрального и опережающего типов. Решения в замкнутом виде. Приближенные методы решения.
Тема 2. Уравнения Фредгольма. Начальная задача для уравнений Фредгольма
запаздывающего, нейтрального и опережающего типов. Тема 3. Краевые задачи. Краевая задача для различных типов уравнений
Вольтерра. Краевая задача для различных типов уравнений Фредгольма. Приложения и-д.у. с о.а.
199
Литература.
1. Привалов И.И. Интегральные уравнения. 2. Ловитт У.В. Линейные интегральные уравнения. 3. Смирнов В.И. Курс высшей математики. 4. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным
уравнениям. 5. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. Введение в
теорию. 6. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. Задачи и
упражнения. 7. Виарда Г. Интегральные уравнения. 8. Петровский И.Г. Линейные интегральные уравнения. 9. Васильева А.Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения. 10. Эльегольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию
дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.
11. Норкин С.Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом.
12. Быков Я.В. О некоторых задачах теории интегро-дифференциальных уравнений.
13. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений.
14. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование.
15. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений.
16. Коротков В.Б. Методы решения интегральных уравнений. 17. Журналы, сборники, вестники, сборники тезисов. 18. Шишкин Г.А. Линейные интегро-дифференциальные
уравнения. Учебное пособие. Часть I, II, III, IV. 19. Шишкин Г.А. Линейные интегро-дифференциальные
уравнения Фредгольма с запаздывающим аргументом. Монография. Изд-во БГУ. – Улан-Удэ, 2006г.
200
Литература
1. Александрийский Б.И. К теории некоторых линейных интегро-дифференциальных систем // ДАН. СССР, т.91, № 2.- М.1953 – С.184-194.
2. Бараталиев К.Б. Приближенное решение некоторых задач для интегро-дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Диссертация на соискание ученой степени к.ф.-м.н. – Фрунзе, 1965.
3. Быков Я.В. К теории линейных интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра // Труды физ.-мат.фак.Кирг.ун-та, в.2.–Фрунзе, 1953.– С.67-83.
4. Быков Я.В. Об одном классе линейных интегро-дифференциальных уравнений // ДАН. СССР, в.86, №2.-М.1952 – С.85-99.
5. Быков Я.В. О некоторых задачах теории интегро-дифференциальных уравнений. – Фрунзе, 1957.- С.327.
6. Васильев В.В. К вопросу об интегрировании систем линейных интегро-дифференциальных уравнений // Уч.зап. Иркутского гос. пед. ин-та, в.9.-Иркутск, 1946.
7. Васильев В.В. Решение линейных обобщенных интегро-диффе-ренциальных уравнений // ПММ, в.15.-М., 1951.
8. Васильев В.В. Решение задачи Коши для одного класса линей-ных интегро-дифференциальных уравнений // ДАН СССР, в.100, №5-М., 1955.
9. Васильев В.В. К вопросу о решении краевой задачи для одного класса линейных интегро-дифференциальных уравнений // Уч.зап. Ир-кутского гос. пед. ин-та, в.17.-Иркутск, 1960.-С.159-168.
10. Васильев В.В. К вопросу о решении задачи Коши для одного класса линейных интегро-дифференциальных уравнений // Изв.высш.уч.зав., Матем. №4.- М., 1961.-С.8-24.
11. Васильев В.В. Решение одного класса линейных интегро-диффе-ренциальных уравнений // Труды Иркутского у-та, серия матем., т.26.-Иркутск, 1968.-С.3-17.
12. Виграненко Т.И. О решении одного класса интегро-дифференци-альных уравнений // Труды ИМИ АН Узб.ССР, в.10,ч.2.-Ташкент, 1953.
13. Виграненко Т.И. Об одном классе линейных интегро-дифференциальных уравнений // Зап.Лен.горн.ин-та, в.33.-Л., 1956.-С.176-186.
14. Виграненко Т.И. Об одной граничной задаче для линейных ин-тегро-дифференциальных уравнений // Зап.Лен.горн.ин-та, в.33.-Л., 1956.-С.161-176.
201
15. Вулих В.З. Введение в функциональный анализ.-М. «Наука», 1967.
16. Галаев Б.М. Теоремы существования решений интегро-дифференциальных уравнений // ДАН СССР, в.85, №3-М., 1956.
17. Егоров А.И. Теорема существования решений интегро-дифференциальных уравнений // Труды физ.-мат.фак.Кирг.ун-та, в.2.-Фрунзе, 1953.-С.119-123.
18. Женхэн О. О существовании и единственности решений ин-тегро-дифференциальных уравнений// ДАН СССР, в.86, №2-М., 1952 и ДАН СССР, в.91, №6-М., 1953.
19. Каменский Г.А. К общей теории уравнений с отклоняющимся аргументом // ДАН СССР, 120, 4. 1958.-С.697-700.
20. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. –М. «Наука», 1962.
21. Кокарева Т.А. Некоторые теоремы существования аналитиче-ских решений для интегро-дифференциальных уравнений // ДАН СССР, в.79, №1-М., 1951
22. Кривошеин Л.Е. Об одном методе решения некоторых линейных интегро-дифференциальных уравнений // Изв.высш.уч.зав., Матем. №3.- М., 1960.-С.168-172.
23. Кривошеин Л.Е. Приближенные методы решения обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений. –Фрунзе, 1962.
24. Куликов Н.К. Инженерный метод решения и исследования обыкновенных дифференциальных уравнений.-М. «Высшая школа»,1964.-207 с.
25. Куликов Н.К. Решение и исследование обыкновенных дифференциальных уравнений на основе функций с гибкой структурой. Тематический сб. МТИПП.-М.,1974.-207 с.
26. Ландо Ю.К. Краевая задача для линейных интегро-дифференци-альных уравнений типа Вольтерра // Учен зап. Минского пед.ин-та, в.6.-Минск, 1956.-С.257-269.
27. Ландо Ю.К. Функция Грина краевой задачи для интегро-диффе-ренциальных уравнений типа Вольтерра // Учен зап. Минского пед.ин-та, в.9.-Минск, 1958.-С.65-70.
28. Ландо Ю.К. Краевая задача для линейных интегро-дифференци-альных уравнений типа Вольтерра в случае распадающихся краевых условий // Изв.высш.уч.зав., Матем. №3.- М., 1961.-С.56-65.
29. Ловит У.В. Линейные интегральные уравнения.-М.Гос.издат., 1957.-266 с.
202
30. Назаров Н.Н. Об одном классе линейных интегро-дифференциальных уравнений // Тр.ИММ Ан Узб.ССР, в.4.-Ташкент, 1948.
31. Некрасов А.И. Об одном классе линейных интегро-дифференци-альных уравнений // ТР.Цаги, в.190.-М., 1934.
32. Николенко В.Н. Задача Коши для интегро- дифференциальных уравнений типа Фредгольма // -М. УМН., т.7, в.5.,1952.-С.225-228.
33. Привалов И.И. Интегральные уравнения .-М. ГТТИ, 1935. 34. Эсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию
дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. -М. «Наука», 1971.-296 с.
35. Buscham W. Die Zuruckfuhrung von spezielen linearen // Integro-Differentiql gleichungen auf gewohuliche Integralgleichungen. Zeitschrift. Angew/ Math.Mech/, 32, 1952
36. Volterra V. Lecons sur les eguations integrals et les eguations inte-gro-differentielles. -Paris. 1913.
37. Volterra V. Varigzioni e fluttuazioni del numero d’indivindin specie animali conviventi //R.Comit Tallass. Jt Met.31.1927.
38. Volterra V. La teoria deifunzionali appiata aifenomeni ereditari // Atti congr.lut.Mat.,Bolongna, v.1,1928.
39. Volterra V. Teory of functionals and of integral and integro-differen-tiel eguations – London-Grasqon, 1930.
40. Volterra V. The general equations of biological strife in the case of historical actions // Proc.Edinburgh Math. Soc.6.- 1939.- C.4-10.
41. Volterra V. Teorie of functionals and of integral and integro-differen-tial eguations – London, 1931.
42. Шишкин Г.А. Линейные интегро- дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами // Научный отчет во ВНГИ Центре, Б 669678, 31.05.1978, гл.II, §5,-С.14-17.
43. Шишкин Г.А. Обоснование одного метода решения интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма с функциональным запазды-ванием// Корректные краевые задачи для неклассических уравнений ма-тематической физики. СО АН СССР, ин-т мат-ки.-Новосибирск, 1980.-С.172-178.
44. Шишкин Г.А. Постановка и решение линейных краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма с отклоняю-щимся аргументом // Неклассич.ур-я матем. физики. Сб.н.тр. СО АН СССР.-Новосибирск, 1986.-С.214-217.
45. Шишкин Г.А., Сенина И.В. Решение интегро-дифференциаль-ных уравнений спомощью функций с гибкой структурой // Математика и методика ее преподавания. –Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2000.-С.111-113.
203
46. Шишкин Г.А. Исследование возможностей преобразования ин-тегро-дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом к уравнениям с обыкновенным аргументом // Математика и методика ее преподавания. В.1–Улан-Удэ, 2000.-С.108-111; В.2., 2001.-С.71-73; В.3., 2002.-С.71-73; В.4., 2003.-С.112-115.
47. Шишкин Г.А. Преобразование начальной задачи для интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма с отклоняющимся аргумен-том к уравнениям без отклонений аргумента// Математика, ее приложе-ния и математическое образование. Матер.междун.конф. –Улан-Удэ, 2002.-С.139-145.
48. Шишкин Г.А. Преобразование краевой задачи для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма с запаздывающим аргументом нейтрального типа к уравнениям без отклонений аргумента // Вестник Бурятского университета, «Математика и информатика». Серия 13, в.1, Улан-Удэ, 2004.-С.42-47.
49. Шишкин Г.А. Исследование возможностей преобразования краевой задачи для интегро- дифференциальных уравнений Фредгольма с запаздывающим аргументом опережающего типа к уравнениям с обыкновенным аргументом // Вестник Бурятского университета «Математика и информатика», Серия 13, в.2, Улан-Удэ, 2005.-C.98-101.
204
Содержание
Введение……………………………………………………. Глава I. Аналоги теорем Фредгольма………………………. §1. Аналог первой теоремы Фредгольма …………………..
1. Построение разрешающего уравнения, когда порядок внешнего дифференциального оператора больше порядка внутреннего ……………………... . . . . . . . . . . . . . . . . . ……
2. Решение разрешающего интегрального уравнения специального вида ……………………………………………
3. Итерированные ядра и резольвента. Интегральные уравнения резольвенты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……
4. Характеристический полином и минорный ряд А.И. Некрасова . . . . . . …………………………………………….
5. Существование и единственность решения интегро-дифференциального уравнения Фредгольма . . . . . . . . . …...
6. Рекуррентные формулы вычисления коэффициентов характеристического полинома и минорного ряда. . . . …..
7. Решение задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . …… §2. Аналог второй теоремы Фредгольма ……………….
1. Минорные ряды высших порядков . . . . . . . . . . . . . 2. Связь между минорными рядами разрешающего
интегрального уравнения специального вида …. ………… 3.Построение фундаментальных функций однородного
уравнения соответствующего неоднородному разрешаю-щему интегральному уравнению . . . ………………………
4. Линейная независимость и полнота решений сис-темы фундаментальных функций. Аналог второй теоремы Фредгольма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ………………
5.Специализированная задача Коши . . . . . . . . . . . . . §3. Аналог третьей теоремы Фредгольма ………………
1. Связь между детерминантными рядами двух разрешающих интегральных уравнений…………………..
2. Связь между решениями двух разрешающих интегральных уравнений…………………………………..
3. Общие решения однородных уравнений, соответствующих разрешающим интегральным
3 5 5
5
7
10
12
18
21 26 29 29
30
36
39 45 48
48
54
205
уравнениям…………………………………………………. 4. Построение сопряжённого уравнения………………...
§4. Линейные однородные интегро-дифференциальные уравнения при n≤m …………….........................................
1. Общее решение при n≤m………………………………... 2. Решение задачи Коши при n≤m…………………............. §5. Линейные неоднородные
интегродифференциальные уравнения при n≤m………….. 1. Нахождение общего решения при n>m………….....… 2. Решение задачи Коши при n>m………………………. 3. Линейные неоднородные интегродифференциальные
уравнения при n≤m ….............................................................. 4. Решение задачи Коши при n≤m для неоднородных
уравнений……………………………………………………… Глава II. Решение линейных интегро-
дифференциальных уравнений Фредгольма с использованием фундаментальной системы решений внутреннего дифференциального оператора……………..
§1. Постановка задачи и формулы для производных…. §2. Задача Коши при совпадении порядков внешнего и
внутреннего дифференциальных операторов………………. §3. Задача Коши для случая, когда порядок
внутреннего дифференциального оператора больше порядка внешнего……………………………………………
Глава III. Решение линейных интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма без использования фундаментальных систем решений внешнего и внутреннего дифференциальных операторов…………………………………………………......
§1. Преобразования внешнего и внутреннего дифференциальных операторов……………………………..
§2. Построение разрешающего интегрального уравнения и его решение…….………………………………
§3. Решение начальной задачи…………………………... Глава IV. Приближённое решение линейных интегро-
дифференциальных уравнений Фредгольма……………….. §1. Решение начальной задачи…………………………...
1. Постановка задачи и преобразование внешнего дифференциального оператора………………………………
56 58
63 63 67
70 70 71
72
75
77 77
79
90
110
110
114 119
124 124
124
206
2. Случай, когда порядок внешнего дифференциального оператора больше порядка внутреннего…………………….
3. Случай, когда порядок внешнего дифференциального оператора меньше или равен порядку внутреннего………………………............................................
4. Приближённое решение задачи Коши при n>m……………………………………………………………..
5. Приближённое решение задачи Коши при n≤m……………………………………………………………..
§2. Решение линейной краевой задачи………………….. 1. Постановка задачи и преобразования
производных………………………………………………… 2. Случай, когда порядок внешнего дифференциального
оператора больше внутреннего……………………………… 3. Случай, когда порядок внутреннего
дифференциального оператора равен или больше порядка внешнего………………………………………………………
Глава V. Линейные интегро-дифференциальные уравнения Фредгольма с отклоняющимся аргументом……………………………………………………
§1. Классификация линейных интегро-дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом……………………………………………………
§2. Функции гибкой структуры (ФГС) и их применение к решению различных задач………………………………….
§3. Применение ФГС к преобразованию задачи Коши………………………………………………....................
§4. Применение ФГС к преобразованию краевой задачи…………………………………………………………..
Глава VI. Решение разрешающих интегральных уравнений Вольтера-Фредгольма…………………………….
§1. Преобразование разрешающих уравнений к единому виду…………………………………………………..
§2. Таблицы-схемы обозначений, введенных при решении начальных и краевых задач………………………...
§3. Решение разрешающих интегральных уравнений в замкнутом виде………………………………………………..
§4. Приближенные методы решения разрешающих
125
127
129
131 135
135
137
142
147
147
148
151
159
168 168
169
173
207
интегральных уравнений…………………………………….. Вопросы к зачету……………………………………………… Вопросы к экзамену ………………………………………….. Глоссарий …………………………………………………….. Тематика курсовых работ ……………………………………. Тематика дипломных работ …………………………………. Рабочая программа ………………………………………….. Литература…………………………………………………….
180 188 189 191 192 193 194 199
208
Recommended
