Download pdf - Обработка результатов измерения физических величин: Лабораторный практикум

Министерство образования Российской Федерации

Омский государственный университет

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН Лабораторный практикум

(для студентов физического факультета)

специальность 010400 laquoФизикаraquo

Издание Омск ОмГУ 2004

2

УДК 5281 О23

Рекомендовано к изданию учебно-методическим советом ОмГУ Протокол 1 от 28 апреля 2004 г

О23 Обработка результатов измерения физических вели-чин Лабораторный практикум (для студентов физического факультета) Сост ГМ Серопян ИС Позыгун ndash Омск Омск гос ун-т 2004 ndash 20 с

Материал соответствует Государственному образовательному

стандарту по специальности 010400 laquoФизикаraquo Может быть использован студентами других специальностей

УДК 5281

copy Омский госуниверситет 2004

3

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

Измерением называется определение значения физической

величины опытным путем Значение величины найденное таким способом называется результатом измерения Измерения клас-сифицируются на прямые и косвенные

Прямым называется измерение при котором искомое зна-чение величины находится непосредственно из опыта путем отсче-та по шкале измерительного прибора например измерение длины линейкой определение температуры тела термометром и т д

Косвенным называется измерение при котором искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами подвергаемыми прямым из-мерениям например определение плотности тела по его геомет-рическим размерам и массе определение силы тока по напряже-нию и сопротивлению и т д

Как известно никакое измерение не может быть выпол-нено абсолютно точно поэтому результат измерения в той или иной мере отклоняется от истинного значения измеряемой величи-ны Разница между результатом измерения и истинным значением измеряемой величины называется абсолютной погрешностью из-мерения и определяется формулой

∆xi = xi ndash X где Х ndash истинное значение измеряемой величины хi ndash результат i-того измерения ∆xi ndash абсолютная погрешность i-того измерения

Наряду с абсолютной погрешностью используется относи-тельная погрешность ε равная отношению абсолютной погрешно-сти к истинному значению измеряемой величины

εi = ∆xi X Существует три типа погрешностей систематические слу-

чайные и промахи

4

Систематическими называются погрешности величина ко-торых не меняется при повторении измерений данной величины при тех же способах измерения Систематические погрешности возникают в тех случаях когда не учитывается влияние на резуль-таты эксперимента различных постоянно действующих факторов например температуры давления сопротивления подводящих проводов и т д Источником систематических погрешностей мо-жет быть также неточность градуировки измерительного прибора или его неисправность

Случайными называются погрешности величина и знак ко-торых меняется непредсказуемым образом при повторных измере-ниях данной величины в тех же условиях Источником случайных ошибок может быть и сам экспериментатор из-за несовершенства органов его чувств Так например результаты повторных измере-ний периода колебаний математического маятника с помощью очень точного секундомера обязательно окажутся несколько от-личными друг от друга вследствие того что моменты нахождения маятника в соответствующих фазах отклонения фиксируются не-точно при пуске секундомера экспериментатор может несколько замешкаться при его остановке или наоборот поспешить Слу-чайные погрешности отклоняют результат то в одну то в другую сторону от истинного значения измеряемой величины поэтому результаты большого числа измерений симметрично располагают-ся относительно Х

Величина sum=

=n

ii xx

n 1

1 называется средним арифметиче-

ским результатом серии измерений Так как при большом числе измерений величина x очень мала то можно считать что Xx cong Чем больше n тем точнее выполняется это равенство

Промах ndash это грубая погрешность вызванная невниматель-ностью экспериментатора (неверный отсчет показаний прибора описка при записи показаний и т д) Промахи могут сильно иска-зить результаты измерений особенно в тех случаях когда их число невелико Их следует исключать из результатов измерений

5

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Если погрешности носят чисто случайный характер то по

результатам измерений можно оценить вероятности их появления Пусть х1 х2hellipхn ndash результаты отдельных измерений Примем что n достаточно велико и при оценке погрешностей будем считать что

sum=

==n

iix

nxX

1

1 (1)

xxx ii minus=∆

Определив погрешности ∆xi рассортируем их по величине Для этого весь диапазон полученных значений ∆xi разобьем на ма-лые одинаковые интервалы ∆ε и подсчитаем сколько раз величи-на ошибки попадает в каждый интервал Если в интервале номер laquokraquo оказалось заключено ∆nk значений погрешности то вероят-ность попадания погрешности в этот интервал

Pk cong ∆nkn (2) В большинстве случаев распределение погрешностей соот-

ветствует так называемому нормальному закону найденному Га-уссом Согласно гауссову распределению плотность вероятности y и величина погрешности ∆xi связаны соотношением

( )πσ 2

1=∆ ixy ( )

∆minus 2

2

2exp

σix

(3)

где σ2 ndash некоторый постоянный параметр называемый дисперсией распределения Вид кривой распределения соответствующий не-которому значению σ показан на рис 1

6

Рис 1 Кривая распределения Гаусса вероятности случайных погрешностей

Из формулы ε∆sdot

∆=

nn

y k следует что вероятность P(∆xk) того

что величина погрешности заключена в интервале ∆xk divide ∆xk + ∆ε определяется формулой

P(∆xk) = y(∆xk)middot∆ε

Численно эта вероятность равна площади черного прямо-угольника под точкой С с основанием ∆ε (см рис 1) Вероятность того что модуль погрешности не превзойдет некоторого значения изобразится площадью заштрихованной фигуры АВС с основани-ем 2 ∆xk

На рис 2 представлены кривые распределения соответст-вующие разным σ Как видно с ростом σ максимум кривой рас-пределения понижается а ее laquoкрыльяraquo поднимаются Это означает что с ростом σ вероятность малых погрешностей уменьшается а

7

вероятность больших растет Следовательно чем больше диспер-сия распределения σ2 тем меньше точность измерений

Рис 2 Влияние дисперсии на вид кривой распределения

вероятностей случайных погрешностей Следует отметить что кривая y(∆xi) характеризует не конеч-

ную серию измерений а совокупность бесконечного числа измере-ний данной величины в одних и тех же условиях

8

СРЕДНЕКВАДРАТИЧНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ

Пусть х1 х2hellipхn ndash результаты некоторой серии n измерений проведенных в одинаковых условиях Как уже подчеркивалось величина случайной погрешности непостоянна и меняется от опы-та к опыту Возникает необходимость охарактеризовать погрешно-сти результатов отдельных измерений данной серии некоторой средней величиной Иногда в качестве такой характеристики ис-пользуют среднюю арифметическую погрешность

sum=

∆=∆n

iix

nx

1

1

Однако удобнее использовать так называемую среднеквад-ратичную погрешность выборки Sn определяемую формулой

( )

11

2

minus

minus=

sum=

n

xxS

n

ii

n (4)

Можно показать что при достаточно большом числе измере-ний Sn cong σ и следовательно дисперсия распределения

( ) ( )

11

2

1

2

22

n

xx

n

xxS

n

ii

n

ini

n

sumsum==

minuscong

minus

minus=congσ (5)

Таким образом дисперсия распределения приблизительно равна среднему квадрату погрешности отдельных измерений най-денному при достаточно большом числе n Для генеральной сово-купности (n rarr infin) равенство (5) выполняется точно Из него следу-ет что величина дисперсии зависит от условий в которых прово-дятся измерения чем благоприятнее условия измерений тем меньше разброс результатов и меньше дисперсия

9

СРЕДНЕКВАДРАТИЧНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ СРЕДНЕГО

Допустим что мы провели серию n измерений некоторой ве-

личины х результаты которых равны х1 х2hellipхn Наилучшим при-ближением к истинному значению является величина

sum=

=n

iix

nx

1

1

называемая средним выборочным значением измеряемой величи-ны Если серию по n измерений в каждой повторить m раз то мы получим m значений x несколько отличающихся друг от друга и от истинного значения Х измеряемой величины Погрешности

Xxx kk minus=∆ являются случайными и так же как погрешности отдельных измерений Δxi = xi ndash Х подчиняются гауссову распреде-лению но с другой дисперсией 2

xσ lt 2σ Величина 2xσ называе-

мая дисперсией среднего является мерой погрешности среднего значения x найденного в серии из n измерений В теории по-грешности доказывается что

22

nxσσ = (6)

Таким образом среднеквадратичная погрешность среднего результата n измерений в n12 раз меньше среднеквадратичной по-грешности отдельных измерений

10

ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ И ДОВЕРИТЕЛЬНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

Как уже указывалось для любой конечной выборки x neХ

Практически очень важно оценить возможную величину отклоне-ния среднего значения x от истинного Х т е x ndashХ Интервал

plusmnx ΔХ в который с заданной вероятностью α попадает истинное значение Х измеряемой величины называется доверительным соответствующим вероятности α Вероятность α называется также доверительной вероятностью или надежностью Величина ΔХ характеризует точность оценки Чем меньше разность x ndashХ тем выше точность

Надежность соответствующую заданной точности ΔХ мож-но вычислить теоретически воспользовавшись гауссовым распре-делением если известна дисперсия 2

xσ Так как =2xσ σ2n то на-

дежность соответствующая заданной точности ΔХ растет с ростом числа измерений и величины дополнительного интервала Если n мало то используют распределение выведенное Госсетом (псев-доним laquoСтьюдентraquo)

В распределении Стьюдента плотность распределения вероятностей рассматривается как функция величины

xx SXx

SXt minus

=∆

= называемой коэффициентом Стьюдента

Распределение Стьюдента зависит от n и при nrarrinfin переходит в распределение Гаусса

Вычислив по результатам измерений xS и задав величину ΔX можно найти t и α соответствующие данному n Или наобо-рот задав надежность α можно вычислить tαn и соответствующую точность ΔX = tαn xS при данном значении n Соответствующие друг другу значения α и tαn при разных n приводятся в специаль-ных таблицах (см приложение 1) На практике задание величины

11

ΔX определяется конкретными условиями В лабораторных усло-виях обычно довольствуются надежностью α = 090 095

Для оценки доверительного интервала прямых измерений предлагается следующий порядок 1 Провести серию измерений изучаемой величины Х и оценить среднее выборочное x по формуле

sum=

=n

iix

nx

1

1

2 Найти абсолютную погрешность единичного измерения Δхi Δxi = xi ndash x

3 Определить среднюю квадратичную ошибку среднего арифме-тического

( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x

4 Определить точность измерения ΔX при заданных n и α ΔX = nx tS αsdot

5 Записать доверительный интервал для истинного значения из-меряемой величины

Х = x plusmn ΔX или x ndash ΔX leΧle xi +ΔX

12

СОВМЕСТНЫЙ УЧЕТ СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ И СЛУЧАЙНОЙ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Строгий учет систематической погрешности является за-

труднительным Если систематическая погрешность обусловлена точностью прибора то можно оценить верхнюю границу возмож-ных ошибок зная класс его точности Если точность обусловлен-ная случайной погрешностью ndash ΔХ а величина систематической погрешности ndash δ то величина суммарной точности ΔХ определя-ется формулой

( )2

2

3

sdot

+∆=∆δαkXX (7)

где kα = tα(infin) ndash коэффициент Стьюдента при n = infin Существует два способа оценки погрешности косвенного

измерения В большинстве случаев имеют дело с косвенными из-мерениями Пусть x y z ndash непосредственно измеряемые величины а W = f(x y z) ndash их функция т е величина измеряемая косвенно Рассмотрим два способа оценки погрешности величины W

1-й способ если косвенные измерения проводятся в невос-производимых условиях то значения Wi вычисляются для каждого отдельного измерения а затем обрабатываются как прямые изме-рения

2-й способ позволяет вычислить погрешность косвенного измерения как функцию погрешностей прямых измерений Далее остановимся подробнее на этом способе

13

ПОГРЕШНОСТЬ КОСВЕННОГО ИЗМЕРЕНИЯ

Обрабатывая прямые измерения мы находим их выборочные средние значения zyx hellip являющиеся как было показано выше случайными величинами Очевидно что и величина

WW = ( zyx hellip) представляющая собой выборочное среднее искомой функции будет также случайной величиной Задача как и в случае прямых измерений состоит в том чтобы определить с какой вероятностью искомая величина W может быть заключена в некотором заданном интервале WplusmnΔW

В общем случае эта задача весьма сложна и мы ограничимся лишь ее приближенным решением

22

22

22

Zz

WYy

WXx

WW ∆

partpart

+∆

part

part+∆

partpart

=∆ (8)

Очень часто бывает удобно вычислить относительную по-грешность результата косвенного измерения

WdW

W =ε

Если W = W(x) ndash функция одной переменой тогда относи-тельная погрешность определяется как

)(lnWdWdW

W ==ε (9)

т е для нахождения εW необходимо сначала прологарифмировать выражение W(x) а затем продифференцировать его по х В случае многих переменных можно как и для абсолютных погрешностей ввести частные относительные погрешности равные

xWхx ∆sdot

partpart

= lnε

yWхy ∆sdot

partpart

= lnε (10)

14

zWхz ∆sdot

partpart

= lnε

Тогда общая относительная погрешность определится как 222zyxW εεεε ++= (11)

Расчет погрешности по формулам (10) и (11) особенно удоб-но производить в случае когда функция имеет одночленную (ло-

гарифмическую) формулу Пусть например y

xAW4

= где А ndash

константа Используя правило (10) имеем ylnxlnAlnWln 2

14 minus+=

yy

xx

yx∆

minus=∆

=214

εε

22

22 4

116 yy

xx

∆sdot+∆sdot=ε

Замечание Прежде чем сделать расчет по формуле (11)

произведите оценку относительных погрешностей по отдельным аргументам вычисленных по формулам (10) Если при этом от-дельные частные погрешности меньше максимальной хотя бы в три раза ими можно пренебречь В таком случае общая формула (11) значительно упростится

Определив относительную погрешность ηW можно рассчи-тать абсолютную погрешность (точность) по формуле

WW Wε=∆ (12)

15

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТЕЛА ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ

Цель работы статистическая обработка результатов изме-

рения плотности тела цилиндрической формы Приборы и оборудование тело цилиндрической формы

штангенциркуль микрометр весы

Порядок выполнения работы

1 Измерить высоту h и диаметр основания d цилиндрическо-го тела

2 Измерить массу тела m весами 3 Измерения по пунктам 1 и 2 провести не менее 10 раз 4 Рассчитать плотность тела ρ по формуле

hdm2

4π

ρ =

5 Рассчитать погрешность прямых измерений высоты диа-метра и массы тела

6 Рассчитать погрешность косвенного измерения плотности тела

7 Сравнить измеренное значение плотности вещества иссле-дуемого тела со справочными данными

16

РЕКОМЕНДАТЕЛЬНЫЙ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Жукова ИС Бутина ЛИ Крылова СИ Введение в лабора-

торный практикум по курсу общей физики Петрозаводск

Изд-во Петрозаводск гос ун-та 1999

2 Деденко ЛГ Керженцев ВВ Математическая обработка и

оформление результатов эксперимента М Изд-во МГУ 1977

3 Зайдель АН Ошибки измерения физических величин Л Нау-

ка 1974

4 Кассандрова ОН Лебедев ВВ Обработка результатов изме-

рений М Наука 1970

5 Соловьев ВА Яхонтова ВЕ Элементарные методы обработки

результатов измерений Л Изд-во ЛГУ 1977

17

Приложение 1

Значения коэффициентов Стьюдента

Число измере-ний n

Коэффициент надежности

08 09 095 098 099

2 31 631 127 318 637

3 19 292 431 696 992

4 16 235 318 454 584

5 15 213 278 375 460

6 15 202 257 336 403

7 15 194 245 314 371

8 14 190 236 300 350

9 14 186 231 290 336

10 14 183 226 282 325

infin 13 165 196 233 259

18


Некоторые правила оформления лабораторных работ

По результатам каждой лабораторной работы в рабочей тет-

ради составляется отчет который должен включать 1 Краткую формулировку идеи метода расчетную формулу по-яснение физического смысла входящих в нее символов

2 Таблицы с результатами измерений и расчетов 3 Статистическую обработку результатов измерений 4 Выводы

При построении графиков необходимо соблюдать ряд правил 1 Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге 2 На осях необходимо нанести масштабную сетку указать еди-ницы измерения и символы изображаемых величин

3 Масштаб должен быть простым удобным для отсчета его до-лей Например 1 см = 01 1 2 или 10 единиц Кроме того масштаб выбирают так чтобы все экспериментальные точки вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей на-чало отсчета Масштаб по осям Х и У может быть различен

4 Экспериментальные точки следует наносить с максимальной точностью так чтобы они четко выделялись на фоне графика не сливаясь с ним

5 График должен представлять собой плавную кривую без изло-мов и перегибов Нужно стремиться провести кривую так что-бы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее

Примечание Приводя значение измеренной величины про-

верьте согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с по-рядком погрешности Порядок последней значащей цифры из-

19

меренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы Например запись Е = (1845127 plusmn 20) 107 Па негра-мотна Величина ошибки свидетельствует о том что неуверенно определяется уже четвертый знак поэтому результат должен быть соответственно округлен Е = (18450 plusmn 20) 107 Па

20

Учебно-практическое издание

Составители ГМ Серопян ИС Позыгун




Технический редактор МВ Быкова

Редактор ЛФ Платоненко

Подписано в печать 210504 Формат бумаги 60х84 116 Печ л 125 Уч-изд л 10 Тираж 200 экз Заказ 312

Издательско-полиграфический отдел ОмГУ 644077 г Омск-77 пр Мира 55а госуниверситет

3

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

Измерением называется определение значения физической

величины опытным путем Значение величины найденное таким способом называется результатом измерения Измерения клас-сифицируются на прямые и косвенные

Прямым называется измерение при котором искомое зна-чение величины находится непосредственно из опыта путем отсче-та по шкале измерительного прибора например измерение длины линейкой определение температуры тела термометром и т д

Косвенным называется измерение при котором искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами подвергаемыми прямым из-мерениям например определение плотности тела по его геомет-рическим размерам и массе определение силы тока по напряже-нию и сопротивлению и т д

Как известно никакое измерение не может быть выпол-нено абсолютно точно поэтому результат измерения в той или иной мере отклоняется от истинного значения измеряемой величи-ны Разница между результатом измерения и истинным значением измеряемой величины называется абсолютной погрешностью из-мерения и определяется формулой

∆xi = xi ndash X где Х ndash истинное значение измеряемой величины хi ndash результат i-того измерения ∆xi ndash абсолютная погрешность i-того измерения

Наряду с абсолютной погрешностью используется относи-тельная погрешность ε равная отношению абсолютной погрешно-сти к истинному значению измеряемой величины

εi = ∆xi X Существует три типа погрешностей систематические слу-

чайные и промахи

4

Систематическими называются погрешности величина ко-торых не меняется при повторении измерений данной величины при тех же способах измерения Систематические погрешности возникают в тех случаях когда не учитывается влияние на резуль-таты эксперимента различных постоянно действующих факторов например температуры давления сопротивления подводящих проводов и т д Источником систематических погрешностей мо-жет быть также неточность градуировки измерительного прибора или его неисправность

Случайными называются погрешности величина и знак ко-торых меняется непредсказуемым образом при повторных измере-ниях данной величины в тех же условиях Источником случайных ошибок может быть и сам экспериментатор из-за несовершенства органов его чувств Так например результаты повторных измере-ний периода колебаний математического маятника с помощью очень точного секундомера обязательно окажутся несколько от-личными друг от друга вследствие того что моменты нахождения маятника в соответствующих фазах отклонения фиксируются не-точно при пуске секундомера экспериментатор может несколько замешкаться при его остановке или наоборот поспешить Слу-чайные погрешности отклоняют результат то в одну то в другую сторону от истинного значения измеряемой величины поэтому результаты большого числа измерений симметрично располагают-ся относительно Х

Величина sum=

=n

ii xx

n 1

1 называется средним арифметиче-

ским результатом серии измерений Так как при большом числе измерений величина x очень мала то можно считать что Xx cong Чем больше n тем точнее выполняется это равенство

Промах ndash это грубая погрешность вызванная невниматель-ностью экспериментатора (неверный отсчет показаний прибора описка при записи показаний и т д) Промахи могут сильно иска-зить результаты измерений особенно в тех случаях когда их число невелико Их следует исключать из результатов измерений

5




sum=

==n

iix

nxX

1

1 (1)

xxx ii minus=∆




( )πσ 2

1=∆ ixy ( )

∆minus 2

2

2exp

σix

(3)


6



∆=

nn






7





8



sum=

∆=∆n

iix

nx

1

1


( )

11

2

minus

minus=

sum=

n

xxS

n

ii

n (4)


( ) ( )

11

2

1

2

22

n

xx

n

xxS

n

ii

n

ini

n

sumsum==

minuscong

minus

minus=congσ (5)


9




sum=

=n

iix

nx

1

1





22

nxσσ = (6)


10









xx SXx

SXt minus

=∆




11



sum=

=n

iix

nx

1

1



( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x




12




( )2

2

3

sdot

+∆=∆δαkXX (7)





13





22

22

22

Zz

WYy

WXx

WW ∆

partpart

+∆

part

part+∆

partpart

=∆ (8)


WdW

W =ε


)(lnWdWdW

W ==ε (9)


xWхx ∆sdot

partpart

= lnε

yWхy ∆sdot

partpart

= lnε (10)

14

zWхz ∆sdot

partpart

= lnε




xAW4

= где А ndash


14 minus+=

yy

xx

yx∆

minus=∆

=214

εε

22

22 4

116 yy

xx

∆sdot+∆sdot=ε




WW Wε=∆ (12)

15








hdm2

4π

ρ =




16








ка 1974





17





08 09 095 098 099

2 31 631 127 318 637

3 19 292 431 696 992

4 16 235 318 454 584

5 15 213 278 375 460

6 15 202 257 336 403

7 15 194 245 314 371

8 14 190 236 300 350

9 14 186 231 290 336

10 14 183 226 282 325

infin 13 165 196 233 259

18












19


20










5




sum=

==n

iix

nxX

1

1 (1)

xxx ii minus=∆




( )πσ 2

1=∆ ixy ( )

∆minus 2

2

2exp

σix

(3)


6



∆=

nn






7





8



sum=

∆=∆n

iix

nx

1

1


( )

11

2

minus

minus=

sum=

n

xxS

n

ii

n (4)


( ) ( )

11

2

1

2

22

n

xx

n

xxS

n

ii

n

ini

n

sumsum==

minuscong

minus

minus=congσ (5)


9




sum=

=n

iix

nx

1

1





22

nxσσ = (6)


10









xx SXx

SXt minus

=∆




11



sum=

=n

iix

nx

1

1



( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x




12




( )2

2

3

sdot

+∆=∆δαkXX (7)





13





22

22

22

Zz

WYy

WXx

WW ∆

partpart

+∆

part

part+∆

partpart

=∆ (8)


WdW

W =ε


)(lnWdWdW

W ==ε (9)


xWхx ∆sdot

partpart

= lnε

yWхy ∆sdot

partpart

= lnε (10)

14

zWхz ∆sdot

partpart

= lnε




xAW4

= где А ndash


14 minus+=

yy

xx

yx∆

minus=∆

=214

εε

22

22 4

116 yy

xx

∆sdot+∆sdot=ε




WW Wε=∆ (12)

15








hdm2

4π

ρ =




16








ка 1974





17





08 09 095 098 099

2 31 631 127 318 637

3 19 292 431 696 992

4 16 235 318 454 584

5 15 213 278 375 460

6 15 202 257 336 403

7 15 194 245 314 371

8 14 190 236 300 350

9 14 186 231 290 336

10 14 183 226 282 325

infin 13 165 196 233 259

18












19


20










7





8



sum=

∆=∆n

iix

nx

1

1


( )

11

2

minus

minus=

sum=

n

xxS

n

ii

n (4)


( ) ( )

11

2

1

2

22

n

xx

n

xxS

n

ii

n

ini

n

sumsum==

minuscong

minus

minus=congσ (5)


9




sum=

=n

iix

nx

1

1





22

nxσσ = (6)


10









xx SXx

SXt minus

=∆




11



sum=

=n

iix

nx

1

1



( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x




12




( )2

2

3

sdot

+∆=∆δαkXX (7)





13





22

22

22

Zz

WYy

WXx

WW ∆

partpart

+∆

part

part+∆

partpart

=∆ (8)


WdW

W =ε


)(lnWdWdW

W ==ε (9)


xWхx ∆sdot

partpart

= lnε

yWхy ∆sdot

partpart

= lnε (10)

14

zWхz ∆sdot

partpart

= lnε




xAW4

= где А ndash


14 minus+=

yy

xx

yx∆

minus=∆

=214

εε

22

22 4

116 yy

xx

∆sdot+∆sdot=ε




WW Wε=∆ (12)

15








hdm2

4π

ρ =




16








ка 1974





17





08 09 095 098 099

2 31 631 127 318 637

3 19 292 431 696 992

4 16 235 318 454 584

5 15 213 278 375 460

6 15 202 257 336 403

7 15 194 245 314 371

8 14 190 236 300 350

9 14 186 231 290 336

10 14 183 226 282 325

infin 13 165 196 233 259

18












19


20










9




sum=

=n

iix

nx

1

1





22

nxσσ = (6)


10









xx SXx

SXt minus

=∆




11



sum=

=n

iix

nx

1

1



( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x




12




( )2

2

3

sdot

+∆=∆δαkXX (7)





13





22

22

22

Zz

WYy

WXx

WW ∆

partpart

+∆

part

part+∆

partpart

=∆ (8)


WdW

W =ε


)(lnWdWdW

W ==ε (9)


xWхx ∆sdot

partpart

= lnε

yWхy ∆sdot

partpart

= lnε (10)

14

zWхz ∆sdot

partpart

= lnε




xAW4

= где А ndash


14 minus+=

yy

xx

yx∆

minus=∆

=214

εε

22

22 4

116 yy

xx

∆sdot+∆sdot=ε




WW Wε=∆ (12)

15








hdm2

4π

ρ =




16








ка 1974





17





08 09 095 098 099

2 31 631 127 318 637

3 19 292 431 696 992

4 16 235 318 454 584

5 15 213 278 375 460

6 15 202 257 336 403

7 15 194 245 314 371

8 14 190 236 300 350

9 14 186 231 290 336

10 14 183 226 282 325

infin 13 165 196 233 259

18












19


20










11



sum=

=n

iix

nx

1

1



( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x




12




( )2

2

3

sdot

+∆=∆δαkXX (7)





13





22

22

22

Zz

WYy

WXx

WW ∆

partpart

+∆

part

part+∆

partpart

=∆ (8)


WdW

W =ε


)(lnWdWdW

W ==ε (9)


xWхx ∆sdot

partpart

= lnε

yWхy ∆sdot

partpart

= lnε (10)

14

zWхz ∆sdot

partpart

= lnε




xAW4

= где А ndash


14 minus+=

yy

xx

yx∆

minus=∆

=214

εε

22

22 4

116 yy

xx

∆sdot+∆sdot=ε




WW Wε=∆ (12)

15








hdm2

4π

ρ =




16








ка 1974





17





08 09 095 098 099

2 31 631 127 318 637

3 19 292 431 696 992

4 16 235 318 454 584

5 15 213 278 375 460

6 15 202 257 336 403

7 15 194 245 314 371

8 14 190 236 300 350

9 14 186 231 290 336

10 14 183 226 282 325

infin 13 165 196 233 259

18












19


20










13





22

22

22

Zz

WYy

WXx

WW ∆

partpart

+∆

part

part+∆

partpart

=∆ (8)


WdW

W =ε


)(lnWdWdW

W ==ε (9)


xWхx ∆sdot

partpart

= lnε

yWхy ∆sdot

partpart

= lnε (10)

14

zWхz ∆sdot

partpart

= lnε




xAW4

= где А ndash


14 minus+=

yy

xx

yx∆

minus=∆

=214

εε

22

22 4

116 yy

xx

∆sdot+∆sdot=ε




WW Wε=∆ (12)

15








hdm2

4π

ρ =




16








ка 1974





17





08 09 095 098 099

2 31 631 127 318 637

3 19 292 431 696 992

4 16 235 318 454 584

5 15 213 278 375 460

6 15 202 257 336 403

7 15 194 245 314 371

8 14 190 236 300 350

9 14 186 231 290 336

10 14 183 226 282 325

infin 13 165 196 233 259

18












19


20










15








hdm2

4π

ρ =




16








ка 1974





17





08 09 095 098 099

2 31 631 127 318 637

3 19 292 431 696 992

4 16 235 318 454 584

5 15 213 278 375 460

6 15 202 257 336 403

7 15 194 245 314 371

8 14 190 236 300 350

9 14 186 231 290 336

10 14 183 226 282 325

infin 13 165 196 233 259

18












19


20










17





08 09 095 098 099

2 31 631 127 318 637

3 19 292 431 696 992

4 16 235 318 454 584

5 15 213 278 375 460

6 15 202 257 336 403

7 15 194 245 314 371

8 14 190 236 300 350

9 14 186 231 290 336

10 14 183 226 282 325

infin 13 165 196 233 259

18












19


20










19


20








