1
Министерство образования Российской Федерации
Омский государственный университет
Электричество и магнетизм Лабораторный практикум
Часть II (для студентов физического факультета)
Издание Омск ОмГУ 2004
2
УДК 537 Э45
Рекомендован к изданию учебно-методической комиссией физического факультета ОмГУ
Э45 Электричество и магнетизм: Лабораторный практикум. Ч. II / Сост.: М.П. Ланкина, С.А. Сычев, А.Б. Муравьев, Е.А. Белоусова, И.С. Позыгун. – Омск: Омск. гос. ун-т, 2004. – 32 с.
Практикум включает 3 лабораторные работы. Материал подго-
товлен в соответствии с Государственным образовательным стан-дартом по специальности 010400 «Физика».
Предназначен для студентов физического факультета. Может быть использован при обучении студентов других специальностей.
УДК 537
© Омский госуниверситет, 2004
3
Лабораторная работа № 1
Изучение электрических процессов в простых линейных цепях Цель работы: исследование коэффициента передачи и сдвига фаз
между силой тока и напряжением в цепях, состоящих из последователь-но соединенных: а) двух резисторов, б) резистора и конденсатора, в) ре-зистора и катушки индуктивности.
Приборы и материалы: осциллограф, низкочастотный генератор, источник питания, кассета ФПЭ-09, соединительные провода.
При рассмотрении электрических процессов в цепях переменного
тока следует иметь в виду, что существует два типа сопротивления: ак-тивное и реактивное. Последнее связано с наличием в цепи конденсато-ров и катушек индуктивности. Соответственно различают реактивное емкостное и реактивное сопротивления. Реальные элементы цепи обыч-но обладают одновременно и активным, и реактивным сопротивлением. Если активное сопротивление много больше реактивного, то последним пренебрегают. Такой элемент цепи называют резистором.
Существуют элементы цепи, обладающие только емкостным или только индуктивным сопротивлением. Элементы цепи, обладающие толь-ко одним типом сопротивления, называются идеальными. В некоторых случаях реальный элемент цепи можно представить как комбинацию из нескольких идеальных. Элементы электрических цепей подразделяют на линейные и нелинейные.
Элемент называется линейным, если его сопротивление не зависит от силы протекающего тока или приложенного напряжения. Электриче-ские цепи, составленные из линейных элементов, называют линейными. Электрические процессы, характеризующие такую цепь (рис. 1), описы-ваются алгебраическими или дифференциальными уравнениями.
Рис. 1
4
Пусть внешнее напряжение U изменяется по закону косинуса: tUU ωcos⋅= 0 (1)
( U – амплитуда, ω – циклическая частота колебаний напряжения). Оно равно сумме падений напряжений на каждом из элементов цепи R, L, C:
CLR UUUU ++= (2) Здесь
RIU R ⋅= , tIU L ∂∂= , C
qUC = (3)
где R – сопротивление резистора, L – индуктивность катушки, С – ем-кость конденсатора, q – заряд на пластинах конденсатора. Соотношение (2) с учетом (1) и (3) приводит к дифференциальному уравнению:
Cq
tILRItU +∂∂+⋅=⋅ ωcos0 , (4)
описывающему вынужденные колебания в цепи (рис. 1). Учитывая, что
tqI ∂∂= , получим уравнение:
tL
Uqqq ωωβ cos⋅=⋅+⋅+ 0202 , (5)
где LR
2=β , LC12
0 =ω .
Уравнение (5) совпадает с дифференциальным уравнением выну-жденных механических колебаний. Решение уравнения имеет вид
)cos( ψω −⋅= tqq m , (6)
где 22222
0
0
4 ωβωω +−=
)(
LUqm , 220
2ωω
βωψ−
=tg .
Подстановка значений 20ω и β дает
[ ]22
0
1 CLR
Uqmωωω −+
= (7)
LCRtg
ωωψ
−=
)(1 (8)
Продифференцировав (6) по времени, найдем силу тока в контуре при установившихся колебаниях и запишем это уравнение в виде
)cos( ϕω −⋅= tII 0 , (9) где 2πψϕ −= есть сдвиг по фазе между током и напряжением.
5
Отсюда следует
RCL
tgtgtg )(ωω
ψπψϕ 112
−=−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= . (10)
Согласно (7) получаем выражение для 0I :
[ ]22
00
1 )( CLR
UqI mωω
ω−+
== . (11)
Сила тока отстает по фазе от напряжения на угол ϕ, который за-висит от параметров цепи и частоты (10). Если ϕ < 0, то происходит опережение силы тока от напряжения по фазе и наоборот. Выражение
22 1 )( CLRZ ωω −+= , (12) стоящее в знаменателе формулы (11), называется полным электриче-ским сопротивление цепи или импедансом.
Рассмотрим частные случаи: 1. Цепь содержит только активное сопротивление (L=0, C=∞). То-
гда
RZ = , R
UI 00 = , 0=ϕ . (13)
2. Цепь содержит только индуктивное сопротивление (R=0, С=∞). Тогда
LZ ω= , L
UIω
00 = ,
2πϕ = , (14)
то есть сила тока в индуктивном сопротивлении отстает от напряжения на угол π/2. Величина LX L ω= – реактивное индуктивное сопротивле-ние. Если L выразить в генри, ω – в с-1, то XL будет выражено в омах. Индуктивное сопротивление зависит от частоты протекающего через элемент тока (рис. 2а).
3. Цепь содержит только конденсатор (R=L=0). Тогда
CZ
ω1
= , CUI ω⋅= 00 , 2πϕ −= , (15)
то есть сила тока, текущего в цепи, опережает напряжение на конденса-торе на угол π/2. Величина CX C ω1= – реактивное емкостное сопро-тивление. Если С выразить в фарадах, ω – в с-1, то XС будет выражено в омах. Емкостное сопротивление зависит от частоты протекающего в цепи тока (рис. 2б).
6
а б
Рис. 2
4. Активное сопротивление R=0, но C≠0, L≠0, тогда
CLZ ωω 1−= , )( CL
UIωω 1
00 −= . (16)
Величина CLXXX CL ωω 1−=−= (17)
– полное реактивное сопротивление. Формулы (10) и (12) с учетом (17) записывается в виде
RXtg =ϕ , (18)
22 XRZ += (19) В работе исследуются электрические процессы в цепях, состав-
ленных из последовательно соединенных элементов: а) двух резисторов с сопротивлениями R1 и R2 (цепь RR, рис. 3а); б) резистора R2 и конден-сатора С (цепь RC, рис. 3б; в) резистора R2 и катушки индуктивности L (цепь RL, рис. 3в).
Напряжение U на входе равно ЭДС генератора; элементы R1, R2, L, C, предполагаются идеальными, а электрические процессы достаточ-но медленными τ «T, где Т – характерное время изменения напряжен-ности электрического поля, τ – время распространения электромагнит-ного возмущения вдоль цепи.
Электрические цепи характеризуются коэффициентом передачи К, представляющим собой отношение амплитуды напряжения U1 на вы-ходе цепи к амплитуде напряжения U0 на входе:
01 UUK = . (20)
7
Напряжение U1 на выходе цепи равно падению напряжения на ре-зисторе R2:
21 RIU ⋅= , (21) то есть прямо пропорционально силе тока I в цепи и находится в одина-ковой фазе с ним. С учетом (21) формула (20) принимает вид
0
20
URIK ⋅
= . (22)
Из (22) следует, что для изменения сдвига фаз между силой тока I в цепи и входным напряжением U0 достаточно измерить сдвиг фаз меж-ду напряжениями U1 и U0.
Для схем, изображенных на рис. 3, найдем аналитический вид выражений для коэффициента передачи К и угла сдвига фаз φ. Для это-го воспользуемся формулами (11), (18) и (22), подставляя в них соответ-ствующие каждой схеме сопротивления, напряжения и силы токов.
а б в
Рис. 3 1. Цепь RR (R=R1+R2, XL=XC=0):
)( 21
00 RR
UI+
= , (23)
0=ϕ , (24)
)( 21
2
RRRK+
= . (25)
2. Цепь RC (R=R2, XL=0, XC=1/ωC):
222
00
1 )( CR
UIω+
= , (26)
8
CRtg
ωϕ
⋅−=
2
1 , (27)
222
2
1 )( CR
RKω+
= . (28)
3. Цепь RL (R=R2, XL=ωC, XC=0):
222
00
)( LR
UIω+
= , (29)
2RLtg ωϕ = , (30)
222
2
)( LR
RKω+
= . (31)
Описание установки
Принципиальная схема установки представлена на рис. 4.
Рис. 4
Установка состоит из кассеты ФПЭ-09, генератора PQ, осцилло-
графа PO, источника питания ИП. В кассете ФПЭ-09 собраны элементы цепей, входящие в состав
изучаемых электрических схем (рис. 5). В ней находится также комму-татор А. Напряжение U0 со входа изучаемой цепи подается на вход ВХ.1 коммутатора, а напряжение U1 с выхода изучаемой цепи – на вход ВХ.2 коммутатора. С выхода коммутатора исследуемые напряжения подают-ся на вход Y осциллографа. Коммутатор с достаточно высокой частотой подает на вход осциллографа то напряжение U0, то U1. Поэтому на эк-
9
ране однолучевого осциллографа можно одновременно наблюдать оба сигнала. Для получения устойчивого изображения осуществляется син-хронизация изучаемых сигналов входным напряжением, для чего с гнезда Х кассеты ФПЭ-09 подается сигнал на гнездо синхронизации осциллографа. Генератор PQ является источником гармонической ЭДС. Осциллограф PO служит для измерения амплитуды напряжения на вхо-де цепи и амплитуды напряжения на ее выходе, а также для измерения угла сдвига фаз между силой тока в цепи и входным напряжением. Ис-точник питания ИП предназначен для питания схемы коммутатора. Пи-тание генератора PQ, осциллографа PO и источника питания ИП осуще-ствляется от цепи переменного тока 220 В; питание коммутатора А осу-ществляется от источника питания ИП 12 В.
Рис. 5 Задание 1. Изучение электрических процессов в цепи, содержа-
щей два резистора. 1. Замкните с помощью кнопочного переключателя R на панели
кассеты ФПЭ-09 ветвь, содержащую резистор R1. 2. Зарисуйте колебания, наблюдаемые на экране осциллографа
при частоте 20 кГц. Убедитесь, что угол сдвига фаз между силой тока в цепи и входным напряжением равен нулю.
3. Произведите измерения амплитуд напряжений на входе и вы-ходе цепи. Для этого измерьте амплитуду каждого сигнала в делениях шкалы и умножьте полученные значения на цифровую отметку показа-теля переключателя «Вольт/дел».
10
4. Рассчитайте коэффициент передачи по формуле (20). 5. Определите сопротивление резистора R1, используя формулу
(25). (R2=100 Ом). 6. Данные измерений и вычислений занесите в таблицу 1.
Таблица 1 U0, В U1, В К R1, Ом
Задание 2. Изучение электрических процессов в цепи, содержа-
щей резистор и конденсатор. 1. Замкните с помощью кнопочного переключателя С на панели
кассеты ФПЭ-09 ветвь, содержащую резистор С. 2. Зарисуйте колебания, наблюдаемые на экране осциллографа
при частоте 20 кГц. 3. Определите угол сдвига фаз между силой тока в цепи и вход-
ным напряжением. Для этого измерьте в делениях шкалы экрана осцил-лографа сдвиг фаз по времени между изображениями двух исследуемых сигналов (а) и период колебаний входного сигнала (б) (рис. 6). Разность фаз рассчитайте по формуле
0360 ⋅=baϕ (32)
4. Повторите задания п. 2, 3 при частоте 100 кГц.
Рис. 6
11
5. По методике, описанной в п. 3 задания 1, произведите измере-ния амплитуд напряжений на входе и выходе цепи при значениях часто-ты генератора PQ от 20 до 100 кГц.
6. Рассчитайте коэффициент передачи К цепи по формуле (20) для всего исследуемого диапазона частот. Постройте график зависимос-ти K=f(ν).
7. С помощью графика зависимости K=f(ν) оцените емкость кон-денсатора. Для этого нужно воспользоваться линейным участком графика, который в соответствии с формулой (28) при относительно низких часто-тах (R2«1/ωC)2 хорошо описывается зависимостью: CRK νπ ⋅⋅= 22 .
Определив тангенс угла наклона α линейного участка к оси ν, оцените емкость С по формуле )/( 22 RtgC ⋅= πα .
8. По формуле (27) рассчитайте разность фаз φ при двух значени-ях частоты генератора: 20 и 100 кГц. Сравните результаты расчета с ре-зультатами непосредственного измерения угла φ (п. 3, 4).
9. Данные измерений и вычислений занесите в таблицу 2.
Таблица 2
ν, Гц U0, В U1, В К С, Ф а, дел b, дел φизм, град φрасч, град
Задание 3. Изучение электрических процессов в цепи, содержа-
щей резистор и конденсатор. 1. Замкните с помощью кнопочного переключателя L на панели
кассеты ФПЭ-09 ветвь, содержащую резистор L. 2. Зарисуйте колебания, наблюдаемые на экране осциллографа
при частоте 20 кГц. 3. Определите угол сдвига фаз между силой тока в цепи и вход-
ным напряжением. Для этого измерьте в делениях шкалы экрана осцил-лографа сдвиг фаз по времени между изображениями двух исследуемых сигналов (а) и период колебаний входного сигнала (б) (рис. 6). Разность фаз рассчитайте по формуле (32).
4. Повторите задания п. 2, 3 при частоте 100 кГц.
12
5. По методике, описанной в п. 3 задания 1, произведите измере-ния амплитуд напряжений на входе и выходе цепи при значениях часто-ты генератора PQ от 20 до 100 кГц. Частоту генератора менять с интер-валом 10 кГц.
6. Рассчитайте коэффициент передачи К цепи по формуле (20) для всего исследуемого диапазона частот. Постройте график зависимо-сти K=f(1/ν).
7. С помощью графика зависимости K=f(1/ν) оцените индуктив-ность катушки. Для этого нужно воспользоваться линейным участком графика, который в соответствии с формулой (31) при относительно вы-
соких частотах (R2«ωL)2 хорошо описывается зависимостью: L
RKπν2
2= .
Определив тангенс угла наклона α линейного участка к оси 1/ν,
оцените индуктивность катушки L по формуле απ tg
RL⋅
=2
2 .
8. По формуле (30) рассчитайте разность фаз φ при двух значени-ях частоты генератора: 20 и 100 кГц. Сравните результаты расчета с ре-зультатами непосредственного измерения угла φ (п. 3, 4).
9. Данные измерений и вычислений занесите в таблицу 3.
Таблица 3
ν, кГц 1/ν, кГц U0, В U1, В К С, Ф а, дел b, дел φизм, град
φрасч, град
Контрольные вопросы
1. Дайте определение простых линейных цепей. Какие типы со-противлений встречаются в цепях переменного тока? Как зависят реак-тивные сопротивления от частоты протекающего через них тока?
2. Линейная электрическая цепь состоит из последовательно включенных R, L, C и источника напряжения. Выведите выражения для силы тока в контуре, сдвига фаз между током и напряжением, импедан-са цепи. Рассмотрите частные случаи, когда цепь содержит: а) только реактивное сопротивление, б) только емкостное сопротивление, в) толь-ко индуктивное сопротивление.
13
3. Дайте определение коэффициента передачи цепи по напряже-нию. Получите выражения для силы тока в контуре, сдвига фаз между током и напряжением, коэффициента передачи для случаев. Когда ли-нейная цепь состоит из: а) двух резисторов, б) емкости и резистора, в) ин-дуктивности и резистора.
4. Как следует определять tgα в п. 7 задания 2 и п. 7 задания 3? Можно ли для этих целей использовать транспортир?
Литература
1. Практикум по физике: Электричество и магнетизм / Под ред. Ф.А. Николаева. М.: Высш. шк., 1991.
2. Савельев И.В. Курс общей физики: Электричество и магнетизм. М.: Наука, 1982. Т. 2. П. 31, 33, 34, 35, 91, 92.
3. Сивухин Д.В. Общий курс физики: Электричество. М.: Наука, 1977. Т. 3. П. 40–43, 129.
Лабораторная работа № 2
Изучение распространения электромагнитных волн вдоль проводов. Определение длины и частоты электромагнитной волны с помощью электрической двухпроводной линии
Цель работы: изучить механизм распространения электромагнит-
ных волн вдоль проводов, провести экспериментальное исследование двухпроводной линии (линии Лехера) и с ее помощью определить дли-ну и частоту электромагнитной волны.
Приборы и материалы: генератор УКВ незатухающих колебаний, источник питания (УИП), двухпроводная линия с индуктивной связью, контактный мостик с неоновой лампой, контактный мостик с лампой накаливания.
1. Распределенные системы
Рассмотрим системы, в которых емкость и индуктивность рас-пределены непрерывно. Распределенные системы можно рассматривать как предельный случай системы с сосредоточенными емкостями и ин-дуктивностями (рис. 1).
14
С С С С
L L L L
Рис. 1
Действительно, представим себе, что в контуре, изображенном на
рис. 1, неограниченно увеличивается число звеньев и, соответственно, уменьшается величина индуктивности (L) и емкости (С) каждого звена. Тогда в пределе получается двухпроводная линия, в которой индуктив-ность и емкость непрерывно распределены по всей длине. В механике ей соответствует резиновый шнур или струна с непрерывно распределен-ными массой и упругостью. Число степеней свободы струны равно бес-конечности, и поэтому в ней возможно бесконечное количество собст-венных колебаний. То же самое и в электрических распределенных сис-темах: количество различных собственных колебаний в таких системах равно бесконечности.
Из механики известно, что колебательные движения струны (как и всякой механической распределенной системы) представляют собой механические волны. Различные собственные колебания ограниченной струны – это возможные в струне стоячие волны. Аналогично электри-ческие колебания в распределенных электрических системах представ-ляют собой электромагнитные волны, а собственные колебания в таких системах – это возможные в двухпроводной линии стоячие волны.
2. Механизм распространения электромагнитного импульса
вдоль проводов
Представим двухпроводную линию, неограниченно простираю-щуюся в обе стороны, и предположим, что источник переменного тока создает в какой-либо точке линии 0 (рис. 2) электрическое поле Е. Опыт показывает, что электрическое поле распространяется вдоль линии. Ка-ков же механизм распространения поля?
15
i i i
+ +
Е Е1
B B1
0 Рис. 2
Способ передачи электрического поля заключается в возникнове-
нии токов проводимости. Однако наряду с этим существует и другой процесс передачи поля, который в очень многих явлениях играет глав-ную роль. Он был открыт Максвеллом и состоит в распространении электромагнитных волн.
Рассмотрим это явление качественно. По теории Максвелла, из-меняющееся электрическое поле вызывает появление магнитного поля. Величина и направление этого магнитного поля соответствуют полю, созданному током с плотностью
dtEd
dtDdjсм 0ε==
(принято ε=1). Так как вектор D иногда называют электрическим сме-щением, то величина смj названа плотностью тока смещения. Несмот-ря на то что смj не связана с движением электрических зарядов, ее на-зывают плотностью тока, так как она имеет характерное свойство тока – способность порождать магнитное поле.
Пусть поле E увеличивается, то есть 0>dtEd и направление тока
смещения i совпадает с направлением E . Применяя правило буравчика, находим, что магнитное поле B направлено так, как показано на рис. 2.
Согласно теории Максвелла, изменяющееся магнитное поле вы-зывает появление вихревого электрического поля. Поэтому в следую-щий момент времени возникает электрическое поле 1E . Оно будет на-правлено так же, как индукционный ток, который возник бы в замкну-том проводнике под действием возрастающего поля B (рис. 2). Возрас-
16
тающее электрическое поле 1E вызовет появление магнитного поля 1B . Из рис. 2 видно, что поле 1E в точке 0 направлено противоположно по-лю E , а значит, будет уничтожать это поле, a 1B будет уничтожать поле B . Поэтому первоначальное поле E и вызванное им поле B исчезнут, но зато появятся поля 1E и 1B в соседней точке линии I (рис. 3). Дальше аналогично. Возрастающее поле 1B вызовет появление вихревого элек-трического поля 2Е , а оно, увеличиваясь, приведет к возникновению магнитного поля 2B . Поля 2Е и 2B уничтожают поля 1E и 1B в точке 1 и появляются в соседней точке 2, еще более удаленной от первоначаль-ного возмущения (рис. 3).
Поэтому электрические и магнитные поля, взаимно превращаясь и поддерживая друг друга, будут распространяться вдоль линии. Этот процесс подобен распространению механического импульса вдоль ре-зинового шнура или струны и поэтому называется распространением электромагнитного импульса.
i
+
Е1 Е2
B1 B2
1
Е2
υ
Рис. 3
Из рис. 2 видно, что направления полей E и B перпендикулярны друг другу и скорости распространения волны υ . E ⊥ B ⊥υ , т. е. эти три вектора связаны правилом буравчика.
Таким образом, существуют два различных способа передачи по-ля: с помощью токов проводимости и при помощи токов смещения (электромагнитных волн). Если быстрота изменения полей мала (малые частоты), то токами смещения можно пренебречь по сравнению с тока-ми проводимости. В этом случае электрические явления существенно зависят от сопротивления линии. Если же поля изменяются быстро
17
(большие частоты), то основную роль играют токи смещения. При этом основные процессы происходят между проводами в окружающей среде, и электрические явления практически не зависят от свойств материала проводов.
3. Электромагнитные волны
Для количественного описания распространения волны предполо-жим, что в точке 0 (рис. 4) безграничной линии электрическое поле из-меняется по гармоническому закону: tEE ωsin0= .
+
–
+
–+
– λ
x0
Рис. 4
Учитывая, что электромагнитные колебания распространяются со
скоростью υ , в точке x колебания будут запаздывать относительно ко-лебаний в 0 на время распространения импульса υτ x= . Следовательно,
колебания электрического поля в точке x будут:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
υω
xtEE sin0 . (1)
Поскольку максимумы электрического поля при распространении электромагнитного импульса совпадают с максимумами магнитного по-ля, колебания магнитного поля в точке 0 будут tBB ωsin0= , а в точке x
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
υω xtBB sin0 . (2)
18
Формулы (1) и (2) называются уравнениями волны. Мгновенное распределение электрических и магнитных полей в электромагнитной волне изображено на рис. 4.
Расстояние между двумя точками, колебания которых отличаются по фазе на 2π (например, между соседними максимумами рис. 4), есть длина электромагнитной волны λ. Она равна расстоянию, на которое распространяется волна за время одного периода колебания Т, то есть
Tυλ = . (3) Пользуясь соотношением (3) и учитывая, что Tπω 2= , уравне-
ния волны (1) и (2) можно записать в следующем виде
( )xktExTtEE ∓∓ ω
λπ sinsin 00 2 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= , (4)
где λπ2=k (волновое число). Знак «–» соответствует волне, распро-страняющейся в положительном направлении оси Х, а знак «+» – в от-рицательном направлении оси Х. подобная формула будет справедлива и для магнитного поля.
Написанные формулы верны при условии, что сопротивление ли-нии равно нулю. Их можно приближенно применять и для реальной ли-нии, если рассматривать лишь участок линии такой длины, что затуха-ние волны на нем незначительно.
4. Стоячие электромагнитные волны
Распространяющиеся электромагнитные волны возникают в очень длинных линиях, которые можно рассматривать как неограниченные. Во многих случаях, однако, приходится иметь дело с короткими линия-ми, на длине которых укладывается сравнительно небольшое число длин волн. В этих случаях существенно отражение электромагнитных волн от концов линии. Отраженные волны складываются между собой и с первоначальной волной, в результате чего возникают более сложные формы электромагнитных колебаний – стоячие электромагнитные вол-ны, подобные стоячим механическим волнам в упругом шнуре или струне.
19
l
x0
Рис. 5
Пусть в точке 0 (рис. 5) возбуждается электромагнитная волна
( )kxtEE −= ωsin01 . (5) Считая, что волна отражается полностью, колебания поля отра-
женной волны в той же точке х можно представить формулой ( )ϕω −+= kxtEE sin02 . (6)
Введение сдвига фазы ϕ вызвано двумя причинами. Во-первых, до возвращения в точку 0 волна должна дважды пройти всю длину l, отчего возникает отставание по фазе на λπ l22 ⋅ . Во-вторых, возможно изменение фазы колебаний при самом отражении.
Складываясь, обе волны дают результирующее поле:
( ) ( )[ ] ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=−++−=+=
222 0021
ϕωϕϕωω tkxEkxtkxtEEEE sincossinsin . (7)
Формула (7) показывает, что в линии будут происходить гармо-нические колебания поля с частотой ω и начальной фазой – 2ϕ . Одна-ко амплитуда этих колебаний
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
22 0
ϕkxEEa cos (8)
зависит от координаты х и поэтому различна в разных точках линии. Точки, где aЕ максимальна, называются пучностями электрического поля. При этом
πππϕ nkxn ,,,, …202=− (9)
или π=∆xk , где x∆ – расстояние между двумя соседними пучностями. Так как
λπ2=k , то 2λ=∆x . (10)
20
Точки, где aЕ обращается в нуль, называют узлами электрическо-го поля. При этом
( )22
122
322
λππππϕ==∆+=−
kxnkxn ;,,, . (11)
Расстояние между соседними узлами такое же, как и между пуч-ностями, и равно половине длины волны 2λ . Рис. 6 поясняет характер колебаний поля в стоячей электромагнитной волне.
λ/2
2Ea
λ/2
x
Пучность
Узел
Рис. 6 Теперь рассмотрим магнитное поле. В распространяющихся элек-
тромагнитных волнах фазы колебаний E и B совпадают (рис. 4). В стоячей волне это уже не имеет места (пучности E не совпадают с пуч-ностями B ).
Причина этого несовпадения в том, что при отражении электро-магнитной волны от конца линии происходит изменение фазы колеба-ний одного из векторов E или B (рис. 7 поясняет этот процесс: а – па-дающая волна, б и в – разные случаи отраженной волны).
Е
B υ B
Е
υ Е
υ
B
a б в
Рис. 7
21
Изменение фазы E или B при отражении можно строго обосно-вать при помощи уравнений Максвелла. Однако мы ограничимся более простыми качественными рассуждениями.
А. Пусть линия на конце разомкнута. В этом случае провода гра-ничат с диэлектриком, амплитуда тока будет равна нулю. То есть здесь будет узел тока, а значит, и узел магнитного поля B . Следовательно, магнитное поле в отраженной волне противоположно полю падающей волны, т. е. оно изменяет фазу на π. При этом электрическое поле E в отраженной волне направлено так же, как и в падающей.
Б. Если линия замкнута на конце проводящим мостиком, то бу-дет происходить обратное. Так как концы проводов замкнуты, то на-пряжение между ними будет всегда равно нулю и на конце линии будет расположен узел напряжения и электрического поля E . Напротив, ам-плитуда тока в проводящем мостике будет наибольшая, и на конце ли-нии образуется пучность тока, а следовательно, и поля B .
Таким образом, в стоячей электромагнитной волне узлы электри-ческого поля (напряжения) совпадают с пучностями магнитного поля (тока) и наоборот (рис. 8).
Рис. 8
Для того, чтобы в двухпроводной линии могли возникнуть стоя-
чие волны, длина электромагнитной волны должна иметь определенные значения, зависящие от длины линии.
1) Рассмотрим линию длиной l и предположим, что она разомк-нута на обоих концах. Из пункта 4 известно, что на концах такой линии всегда должны быть расположены пучности напряжения (электрическо-го поля) и узлы тока (магнитного поля). Поэтому в линии будут воз-можны только такие стоячие волны, которые удовлетворяют этим усло-виям на границе. А для этого необходимо, чтобы длина волны λ удовле-творяла соотношению:
22
( )…,,, 3212
== nnl λ . (12)
Или поскольку λνυ n= , то из выражения (11) можно найти часто-ты nν различных стоячих волн:
( )…,,, 3212
== nnlnυν (13)
Формулы (11) и (12) мы получим и в том случае, если оба конца линии будут замкнуты проводящим мостиком. Различие будет заклю-чаться лишь в том, что во втором случае на концах линии будут нахо-диться узлы напряжения (а не пучности) и пучности тока (вместо узлов).
2) Пусть линия замкнута мостиком на одном из концов. В этом случае на разомкнутом конце линии всегда будет находиться пучность напряжения (и узел тока), а на замкнутом – узел напряжения (и пуч-ность тока). Следовательно, стоячие волны, возможные в такой линии, должны удовлетворять условию:
( ) ( )…3214
12 ,,=−= nnl λ (14)
Так как νυλ = , то частота этих стоячих волн равна
( ) ( )…,,, 321124
=−= nnlтυν (15)
Сравнивая (12) и (14), видим, что при замыкании одного из концов линии частота основного колебания (при n=1) уменьшается в два раза.
Таким образом, в ограниченной двухпроводной линии возможны только определенные стоячие волны, которые удовлетворяют условию на границах линии. Эти стоячие волны и есть собственные колебания линии, иначе называемые нормальными колебаниями. Чтобы возбудить в линии одно из собственных колебаний, генератор, питающий линию, должен иметь частоту, совпадающую с одной из собственных частот линии nν . Если же это условие не будет выполнено, то различные вол-ны, отраженные от концов линии, складываясь друг с другом (интерфе-рируя), дадут изменяющиеся сложные колебания, а устойчивой стоячей волны не получится.
Порядок выполнения работы
1. Включить источник питания. 2. Настроить двухпроводную линию на образование стоячих волн.
Для этого наложить на провода в конец линии мостик с лампочкой на-
23
каливания и медленно вести его вдоль линии. Свечение лампочки ука-жет, что стоячие волны установились. Добиться наиболее яркого горе-ния лампочки и заметить положение мостика в этом случае. Таким же образом найти место нахождения 2-й, 3-й и т. д. пучностей поля.
3. Измерить расстояние между соседними пучностями поля, т. е. точками наибольшей яркости свечения индикатора. Измерение повто-рить несколько раз.
4. Определить длину стоячей электромагнитной волны. 5. Полагая, что скорость распространения электромагнитных волн
в вакууме равна скорости света, рассчитать частоту электромагнитных волн.
6. Данные записать в таблицу, рассчитать погрешности.
№ l1-2 l2-3 l3-4 lсред. λ, м ν, кГц ∆λ ∆ν 1 2 3
7. Повторить пункты 2–6 для мостика с неоновой лампой.
Контрольные вопросы
1. Что такое распределение системы? 2. Чему равно число нормальных колебаний распределенной си-
стемы? 3. Каков механизм распространения электромагнитных волн в
двухпроводной линии? 4. Каков механизм возникновения стоячих волн в линии Лехера? 5. В каком случае изменяют фазу при отражении векторы E и B ? 6. Какая картина будет наблюдаться, если в линию Лехера подать
колебания различных частот? 7. Пучности какого поля (электрического или магнитного) указы-
вает лампа накаливания; неоновая лампа?
Литература
1. Калашников С.Г. Электричество. М.: Наука, 1977. § 229–234. 2. Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм. М.: Высш. шк.,
1983. § 57. 3. Сивухин Д.В. Электричество. М.: Наука, 1977. § 143.
24
Лабораторная работа № 3
Изучение законов электролиза Фарадея Цель работы: изучить процессы, протекающие при электролизе
растворов солей, получить практические результаты и сравнить с вы-численными по законам Фарадея, сделать выводы.
Приборы и материалы: электролизная ячейка из химически стой-кого полимера, медный катод и анод, соединительные провода, ампер-метр, секундомер, технохимические весы.
Сущность процессов электролиза
Пусть в цепь электрического тока включен сосуд с раствором ка-кого-либо электролита, например HCl. Тогда произойдет явление, назы-ваемое электролизом (см. рис. 1). Вследствие работы источника тока электроны с одного электрода (анода) будут «выкачиваться», а на дру-гой (катод) – «накачиваться». Поэтому на аноде создается недостаток электронов, а на катоде – их избыток. Находящиеся в растворе ионы Cl–
отталкиваются отрицательным электродом и притягиваются к положи-тельному, а ионы H+ – наоборот.
катод анод Н2
Н
Н+ Н+CL CL–
CL
CL2 + –
H CL
Рис. 1
Таким образом, первые будут двигаться к аноду, вторые – к като-
ду. В связи с этим отрицательно заряженные ионы называют анионами (движущимися к аноду), а положительно заряженные – катионами (движущимися к катоду). При подходе к аноду ионов Cl
–от них отнима-
ется по одному электрону и они превращаются в нейтральные атомы.
25
Два таких атома соединяются затем в молекулу и выделяются в виде газообразного хлора. Одновременно катод, содержащий избыток элек-тронов, отдает подошедшим ионам водорода H+ электроны и переводит их в нейтральные атомы. Два таких атома образуют молекулу, и газооб-разный водород улетучивается из сосуда.
Таким образом, при пропускании электрического тока сквозь рас-твор или расплав электролита у электродов протекают следующие про-цессы:
а) у анода – превращение анионов в нейтральные атомы (или группы атомов) с отдачей электронов;
б) у катода – превращение катионов в нейтральные атомы (или группы атомов) с отдачей электронов.
И то, и другое прекращается лишь тогда, когда израсходуется весь электролит. Таким образом, сущность процесса электролиза состо-ит в осуществлении химических реакций за счет электрического тока.
Если вместо раствора HCl взять, например, раствор CuCl2, то про-цесс у анода останется тем же, тогда как на катоде будет выделяться уже не водород, а металлическая медь. На этом основан метод электро-литического покрытия одного металла слоем другого (для никелирова-ния, золочения, хромирования и т. д.).
Несколько иначе пойдет процесс, если электролиз CuCl2 проводить с медным анодом. Так как атомы меди теряют электроны легче, чем ио-ны хлора Cl
–, в этом случае вместо выделения хлора будет происходить
переход с анода в раствор ионов Cu2+. Электролиз сведется, следова-тельно, к растворению меди на аноде и ее выделению на катоде. Такой процесс позволяет путем электролиза производить очистку металлов.
Процессы электролиза расплавов и растворов различных веществ очень широко используются в промышленности для получения самых различных соединений: металлов, газов, солей. Электролиз использует-ся и в аналитической химии, как один из самых мощных методов разде-ления анализируемых элементов.
В зависимости от химической активности того или иного элемен-та переход его из атомного состояния в ионное происходит с различной легкостью. Следовательно, и наоборот – необходимые напряжения для перевода различных ионов в нейтральные атомы напряжения электри-ческого тока должны быть различными. Например, сравнительная ак-тивность металлов очень хорошо иллюстрируется рядом напряжений. Последний в основных чертах имеет следующий вид:
.....K.....Ca.....Mg.....Zn.....Fe.....Sn.....H.....Cu.....Ag.....Au.....
26
Ниже приводятся важнейшие следствия из ряда напряжений: 1) каждый металл способен вытеснять из солей все другие, распо-
ложенные в ряду напряжений правее него; 2) все металлы, расположенные левее водорода, могут вытеснять
его из кислот, расположенные правее – не вытесняют; 3) чем дальше друг от друга расположены два металла, тем боль-
шее напряжение может давать построенный из них гальванический эле-мент.
Чем левее стоит в ряду напряжений металл, тем труднее выделить его из раствора при электролизе.
На различии напряжений, требующихся для осаждения отдель-ных металлов, основаны некоторые важные методы их разделения. Ес-ли, например, имеется раствор смеси солей Zn и Cu, то при соответст-вующем регулировании напряжения медь осядет на электроде, а цинк останется в растворе.
Итак, для перевода отдельных ионов в нейтральные атомы требу-ется различное напряжение тока, величина которого зависит от химиче-ской природы иона. Гораздо проще отношения, наблюдающиеся для затрачиваемого при электролизе количества электричества. Каждый однозарядный ион, независимо от его химической природы, получает или отдает при этом один электрон, двухзарядный – два и т. д. Следова-тельно, для разложения и выделения в элементарном состоянии одного грамм-иона любого одновалентного элемента нужно затратить одинако-вое количество электричества, для грамм-иона двухвалентного – вдвое большее и т. д. Соотношение становится еще более общим, если перейти к эквивалентным весам, так как в этом случае отпадают различия, свя-занные с зарядами ионов.
Законы электролитической проводимости были эксперименталь-но установлены Фарадеем в 1836 г. Этих законов два.
Первый закон Фарадея относится к связи между количеством вы-делившегося на электроде вещества, силой тока и временем прохожде-ния тока через электролит. Этот закон имеет следующий простой смысл: масса выделившегося на электроде вещества M пропорциональ-на силе тока I и времени его прохождения t:
M=kIt, (1) где k – коэффициент пропорциональности, зависящий только от рода выделившегося вещества и состава электролита.
Произведение силы тока I на время t представляет собой количе-ство электричества Q, прошедшее через электролит: QtI =⋅ ,
27
откуда первому закону Фарадея можно придать вид: kQM = , то есть масса выделившегося вещества M пропорциональна прошедшему через электролит количеству электричества Q. Коэффициент k называется электрохимическим эквивалентом выделяемого вещества.
При Q =1 численно имеем M = k, то есть электрохимический эк-вивалент численно равен массе вещества, выделившегося при прохож-дении через электролит единицы количества электричества.
Второй закон Фарадея определяет величину электрохимического эквивалента k. Прежде чем формулировать второй закон Фарадея, на-помним некоторые химические характеристики вещества.
Химическим эквивалентом элемента называется безразмерная ве-личина, численно равная массе данного элемента, выраженной в грам-мах, которая замещает в химических соединениях 1,0078 г водорода.
Валентностью элемента называется число атомов водорода, ко-торое замещается в химическом соединении одним атомом данного эле-мента. Обозначив через A атомный вес элемента, через n – его валент-ность, получим, что химический эквивалент равен A/n. Если взять A/n граммов элемента, то такое количество этого элемента составит грамм-эквивалент.
Второй закон Фарадея состоит в том, что электрохимические эк-виваленты элементов k пропорциональны их химическим эквивалентам:
nACk ⋅= , (2)
где C – коэффициент пропорциональности, одинаковый для всех эле-ментов.
Обычно вместо коэффициента C вводят величину, ему обратную:
CF=
1 . Тогда второй закон Фарадея принимает вид: nA
Fk ⋅=
1 .
Величина F называется числом Фарадея. Подставляя значение электрохимического эквивалента k из (2) в выражение для первого зако-на Фарадея (1), получим формулу, объединяющую оба закона Фарадея:
QFnAM ⋅= .
Отсюда следует, что если выделяется один грамм-эквивалент ве-щества, то есть масса M, численно равная A/n, то Q должно численно равняться F.
Таким образом, число Фарадея F численно равно количеству элек-тричества Q, при прохождении которого через электролит на элек-троде выделяется один грамм-эквивалент вещества.
28
Измерения электрохимических эквивалентов дают для числа Фа-радея F следующее значение:
эквивалент-граммкулонF 96494= (3)
Особое значение законы Фарадея сыграли в установлении элек-тронной теории. Из формулы (3) следует, что для выделения одного грамм-эквивалента любого вещества требуется прохождение через элек-тролит вполне определенного количества электричества, численно рав-ного числу Фарадея F. Количество атомов в грамм-эквиваленте 'N за-
висит от валентности элемента n и, очевидно, равно nNN =' , где N – чис-
ло Авогадро. Таким образом, выделение каждого атома связано с про-хождением через электролит количества электричества
nNF
NFq ⋅==
'. (4)
По ионной теории проводимости электролитов прохождение тока сводится к передвижению ионов, отсюда из формулы (4) вытекает, что ион каждого элемента несет заряд q, пропорциональный валентности элемента n.
Наименьший заряд иона e соответствует заряду одновалентного иона (n=1), откуда
NFe = . (5)
Так как валентность элемента выражается целым числом n, то за-ряд q, переносимый любым ионом, enq ⋅= , оказывается целым крат-ным от наименьшего заряда e. Таким образом, закон Фарадея в сово-купности с атомной теорией вещества приводит к представлению об атомном строении электричества. Этот вывод был сделан одновременно и независимо друг от друга Гельмгольцем и Стонеем в 1881 г. Каждый атом вещества может терять или присоединять к себе заряд, кратный элементарному заряду e. Очевидно, этот элементарный заряд e пред-ставляет собой заряд электрона. Положительный ион образуется, если атом или молекула теряет один или несколько электронов. Отрицатель-ный ион образуется, если атом или молекула присоединяет к себе один или несколько электронов.
Соотношение (5) позволяет определить заряд электрона по числу Фарадея F и числу Авогадро N. Зная, что число Авогадро
29
123100236 −⋅= мольN . , получим, что представляет собой ныне принимае-мое значение заряда электрона.
CGSENFe 10
23 108034100236
96494 −⋅=⋅
== ,,
.
Порядок выполнения работы
1. Собрать схему, приведенную на рис. 2, соблюдая полярность подключения приборов.
A
+ A
1 2
3 4 567 V
CuSO4
K
–
Рис. 2
2. Возьмите сухую медную пластину и взвесьте ее на технохими-
чеких весах с точностью до 0,01 г. Взвешивание проведите два раза: сначала на правой чашке весов, потом на левой. Это необходимо, чтобы исключить ошибку, связанную с неравноплечностью весов. Массу най-
дите как среднее арифметическое от двух взвешиваний: 2
21 MMMcp+
= .
Запишите полученный результат. 3. Вставьте взвешенную медную пластину в зажим на крышке
электролизной ячейки, присоедините к ней положительный провод ис-точника постоянного тока и погрузите электроды в раствор медного купороса (CuSO4.5Н2О). Включите источник постоянного тока, выставь-те значение тока в пределах от 250 до 500 мА и засеките время.
4. Фиксируйте значение тока электролиза каждые 5 минут, начи-ная с момента включения, и стройте при этом кривую зависимости силы тока I от времени электролиза t.
30
5. По истечении 30–40 минут выключите источник постоянного то-ка. Аккуратно достаньте медную пластину, погрузите ее на несколько се-кунд в сосуд с чистой водой, после чего извлеките и высушите на воздухе.
6. Снова взвесьте высушенную медную пластину на технохими-ческих весах 2 раза (попеременно на левой и правой чашке) и оцените массу растворенной меди (MCu).
Повторите пункты 2–6 еще 2 раза для того, чтобы вычислить ошибку эксперимента по 3 измерениям.
7. Вычисляйте атомный вес меди по формуле после каждых двух
взвешиваний (до и после электролиза): tInFMA CuCu ⋅⋅
⋅= , где n – валент-
ность меди, равная 2, F – постоянная Фарадея, tI ⋅ – количество элек-тричества, пропущенного через электролит (площадь под кривой I от t на экспериментальном графике).
8. Из трех найденных значений атомного веса меди найдите сред-нее и оцените ошибку эксперимента.
9. Найдите значение атомного веса меди по таблице Менделеева или в справочнике и сравните с полученным. При правильном расчете ошибка эксперимента должна быть такой, чтобы экспериментальное значение в пределах ошибки заключало в себе истинное значение атом-ного веса меди.
10. Сделайте выводы по проведенной лабораторной работе.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте законы электролиза. 2. Что такое ряд напряжений металлов? 3. Дайте объяснение грамм-эквиваленту вещества. 4. Почему взвешивание производится сначала на левой, а потом
на правой чашке весов? 5. Что будет, если медную пластину присоединить к отрицатель-
ному полюсу источника питания? 6. Куда девалась растворенная медь? Напишите уравнения реак-
ций при электролизе раствора медного купороса.
Литература
1. Некрасов Б.В. Основы общей химии. М.: Химия, 1973. Т. 1. С. 200–205.
2. Фриш С.Э., Тиморева А.В. Курс общей физики. М., 1958. Ч. 2. С. 201–207.
31
Содержание
Лабораторная работа № 1. Изучение электрических процес-сов в простых линейных цепях...............................................................3 Лабораторная работа № 2. Изучение распространения элек-
тромагнитных волн вдоль проводов. Определение длины и часто-ты электромагнитной волны с помощью электрической двухпро-водной линии..........................................................................................13 Лабораторная работа № 3. Изучение законов электролиза Фа-
радея ........................................................................................................24
32
Составители М.П. Ланкина, С.А. Сычев, А.Б. Муравьев,
Е.А. Белоусова, И.С. Позыгун
Электричество и магнетизм Лабораторный практикум
Часть II (для студентов физического факультета)
Технический редактор Н.В. Москвичёва
Редактор О.А. Сафонова
Подписано в печать 25.02.04. Формат бумаги 60х84 1/16. Печ. л. 2,0. Уч.-изд. л. 2,0. Тираж 200 экз. Заказ 100.
Издательско-полиграфический отдел ОмГУ 644077, г. Омск-77, пр. Мира, 55а, госуниверситет
Recommended
