МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Фи з и ч е с к и й ф а к ул ь т е т

Кафедра общей физики

ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ ПО ФИЗИКЕ

Измерительный практикум Часть 2

Новосибирск, 1999

Лабораторная работа 8

ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК

Цели работы: изучение гармонических и ангармонических колебаний и знакомство с точными методами измерения периода.

Оборудование: физический маятник; оптико-электронное устройство для отсчета периодов колебаний; электронный частотомер (типа 43-63); источник питания на 12 В; осциллограф.

Введение

Физический маятник - это твердое тело произвольной формы, совершающее колебания вокруг некоторой оси под действием механических сил. В нашем случае - это массивный диск, жестко соединенный со стержнем, совершающий колебания вокруг горизонтальной оси О под действием сил тяжести (рис. 1).

В первом приближении в качестве модели такого маятника можно принять математический маятник. Математический маятник - это материальная точка массы т, подвешенная на нерастяжимой невесомой нити длиной l (рис. 2). Если математический маятник выведен из равновесия (например, отведен на угол 0ϕ и отпущен с нулевой начальной скоростью), то он будет совершать незатухающие колебания.

В нулевом приближении для малых углов можно считать, что маятник совершает гармонические колебания

( ) ( )tTtt 000 2cos ωϕπϕϕ =

= (1)

с периодом и угловой частотой

000 2,2 TglT πωπ == (2)

В уравнениях (1,2) период колебаний не зависит от амплитуды. В работе можно убедиться, что при углах 0

0 7...6<ϕ и точности измерения, не превышающей 0,1 %, это действительно так. Более точное решение уравнения колебаний и более точные измерения показывают, что период зависит от начального угла отклонения:

+

+= ...sin

211 0

22

0 ϕTT (3)

Разложив 0sinϕ в ряд Тейлора и воспользовавшись лишь двумя первыми членами разложения, можно получить следующие формулы для частоты и периода:

+≈

−= 2

00200 16

11,1611 ϕϕωω TT (4)

Таким образом, в первом приближении физический маятник можно представить как математический, колебания которого описываются формулами (1 - 4). В эти формулы должна быть подставлена приведенная длина физического маятника, учитывающая момент инерции стержня и диска относительно оси колебаний

MLJ

lg

lT m

прпр == ,20 π (5)

где: Jm - момент инерции; L - расстояние от оси подвеса до центра тяжести (центра масс); M -сумма масс диска и стержня. Расчетные формулы для них приведены в Приложении.

Во втором приближении мы должны учесть, что свободные колебания любого реального маятника являются затухающими. Причина этого заключается в потерях энергии на трение в точке подвеса, сопротивление воздуха и т.д. Затухание проявляется в зависимости амплитуды колебаний от времени. Конкретный вид зависимости определяется характером потерь. При малом трении в оси подвеса и лобовом сопротивлении (плоский маятник) основной вклад в сопротивление вносит сила вязкости (сила Стокса). Ее величина пропорциональна скорости движения. В этом случае амплитуда колебаний маятника ( )taϕ уменьшается со временем по экспоненциальному закону

( ) tett ta ωϕωϕϕ δ coscos 0

−== (6)

с постоянным коэффициентом δ , называемым коэффициентом затухания. Количественно он обратно пропорционален времени, в течении которого амплитуда колебания уменьшается в е раз. Кроме этой величины вводят логарифмический декремент затухания Td δ= . Величина d показывает, наколько уменьшается амплитуда колебаний за один период. Наличие затухания прииводиг к уменьшению

частоты колебаний и увеличению периода

+≈−= 2

2

022

0 81,

πδωω dTT (7)

В уравнениях (6, 7) коэффициент затухания δ есть величина постоянная. Это объясняется прямой пропорциональностью между силой сопротивления и скоростью. Однако если вклад лобового сопротивления и трения в подшипниках достаточно велик по сравнению с вязкостным, то коэффициент затухания может зависеть от амплитуды и, соответственно, от времени. В нашей работе период колебаний может быть измерен с точностью до пятого знака. Такая точность измерения позволяет наблюдать зависимость коэффициента затухания δ от амплитуды. При компьютерной обработке результатов измерения можно легко определить характер этой зависимости, представив, например, его в виде полинома.

Описание установки

Экспериментальная установка состоит из:

• физического маятника со шкалой, позволяющей фиксировать углы отклонения;

• электронно-оптического устройства для фиксации моментов прохождения маятником нижней точки равновесия («фотофиниш»);

• частотомера, позволяющего измерять период колебаний;

• источника питания электронно-оптического устройства.

Устройство «фотофиниш» состоит из направленных друг на друга источника (светодиод) и приемника света (фотодиод). При пересечении маятником пространства между ними на фотодиоде образуются импульсы тока, поступающие далее на пересчетное устройство. На разъемах 1 и 2 пересчетного устройства возникают импульсы. При первом пересечении (например, справа налево) гаснет сигнальная лампочка «готов» и на выходе 1 появляется сигнал 5 В (уровень логической единицы). При втором пересечении (возврат маятника слева направо) на выходе 1 возвращается уровень логического нуля. При третьем пересечении логическая единица появляется на выходе 2, которая выключается при четвертом пересечении. При пятом и шестом пере-сечениях сигналы на выходах 1 и 2 остаются на уровне логического нуля, причем при шестом пересечении загорается сигнальная лампочка «готов» и «фотофиниш» возвращается в исходное состояние.

Полупериоды 0 1 2 3 4 5 6 7

Выход 1 _| |_ _ _ _ _ _|

Выход 2 _ _ _| |_ _ +

"Готов" Горит Нет Нет Нет Нет Нет Горит Нет

Таким образом, полный цикл работы «фотофиниша» занимает время, равное трем периодам колебания маятника. Устройство фотофиниша можно использовать в

двух режимах:

1) для измерения времени между фронтами импульсов на выходах 1 и 2, которое соответствует одному периоду колебания маятника Т;

2) для измерения времени между фронтами двух последовательных импульсов на любом из выходов 1 или 2, что соответствует трем периодам колебания маятника 3Т.

Задание

Получение экспериментальных данных

1. Включить установку (подключить источник питания к фотофинишу) и ознакомиться с работой «фотофиниша» и различными режимами измерения периода колебаний маятника частотомером.

а. Подключив выходы 1 и 2 «фотофиниша» на вход осциллографа, пронаблюдать полный цикл его работы.

б. Подключить выход 1 к входу канала Б частотомера. Познакомиться с инструкцией по эксплуатации частотомера Ч3-63 (пп. 2.7, 2.8, 4.6, 4.10.3, 10.1, 10.4). Измерения периода лучше проводить в режиме измерения длительности (нажата кнопка «длительность» частотомера). Рекомендуемый режим: 1) ручка «Метки времени» в положении 10-4 с., что соответствует измерению периода с точностью до пятого знака; 2) положение переключателей блока канала Б « = » ,«1:10», «Π » соответственно;

3) установить ручку «Время индикации» в крайнее левое положение и, поворачивая ее по часовой стрелке, добиться, чтобы время счета и индикации занимало примерно 2-3 импульса (т.е. 6...9 периодов Т). В этом случае легко успеть записать не только результаты последовательных измерений периода, но и отметить времена, при которых амплитуда колебаний маятника уменьшается на очередной градус.

2. Измерить зависимость периода и амплитуды колебаний маятника от времени для начального угла отклонения 30°. Измерения провести в диапазоне амплитуды от 30° до 2-3°.

Примечания:

1) в процессе измерения понадобится записать не менее 300 показаний частотомера при изменении ( )tω от 30 до 2 градусов. Поскольку каждое показание - пятизначная цифра, две первые из которых не изменяются, а третья изменяется достаточно редко, то можно записывать лишь две последние, добавляя к ним третью по мере ее изменения;

2) если какое-то из очередных показаний не успели записать, то в таблице должно быть оставлено пустое место, поскольку общее время t далее придется определять по числу прошедших циклов колебаний;

3) уменьшение амплитуды на каждый градус достаточно отмечать крыжиком в соответствующем месте таблицы результатов;

4) полученные экспериментальные данные предназначены как для ручной, так и для компьютерной обработки результатов. Дальнейшее задание предполагает ручную обработку.

Обработка результатов

1. Рассчитайте теоретические значения периода колебаний физического маятника T0

а) как математического T0М (по формуле (2));

б) как физического T0Ф (по формуле (5)).

Сравните расчетные теоретические значения T0 с экспериментальными при малых и больших углах.

2. По экспериментальным данным постройте зависимость логарифма амплитуды )ln( 0ϕϕ от времени. Проверьте правильность предположения о вязкостном характере затухания колебаний (формула 6).

Примечания:

1) точный отсчет времени колебаний маятника при компьютерной обработке проводится путем последовательного суммирования измеренных значений длительности циклов. При ручной обработке для большинства данных (для углов меньше 15°) достаточно умножать число циклов, пришедшихся на очередной градус уменьшения амплитуды, на некоторый средний для данной амплитуды период Ti определить который предлагается самостоятельно;

2) при справедливости формулы (6) коэффициент затухания 5 не зависит от времени, и график )ln( 0ϕϕ должен представлять собой прямую линию с тангенсом угла наклона равным 5.

3. По экспериментальным данным постройте зависимость ( )2ϕfT = . По углу наклона определите период T0Э полагая, что его зависимость от амплитуды определяется лишь формулой (4). Оцените величину поправки к периоду в соответствии с формулой (4). Сравните полученное значение T0Э с теоретическими T0М и T0Ф а также с измеренными при малых и больших углах ϕ .

4. Для малых углов ( 010<ϕ ) оцените величину поправки к периоду колебаний, вносимой затуханием (формула 7) и сравните эти данные с экспериментальными результатами.

Приложение

Математический маятник

Уравнение движения математического маятника (см. Рис. 2) можно получить, приравняв кинетическую энергию маятника в нижней точке (угол ϕ = 0) потенциальной энергии массы т, поднятой на высоту h (угол ϕ = 0ϕ ). Выразив h через l и ϕ , получим:

ϕϕ sinmgml −=!!

Функцию sinj можно разложить в ряд Тейлора

...!5!3

sin 53

−+−=ϕϕϕϕ

Для малых углов можно принять ϕϕ ≈sin и уравнение движения примет вид

020 =+ ϕωϕ!! (1П)

где lg=2

0ω (2П)

и glT π

ωπ 22

00 == (3П)

Уравнение (1П) называется линейным, поскольку переменная и все ее производные ( ϕϕϕ !!! ,, ) входят в него лишь в первой степени. Его решением при начальном угле отклонения ϕ = 0ϕ и нулевой начальной скорости является строго периодическое гармоническое колебание

( ) ( )αωϕϕ += tt 00 sin (4П)

Учет второго члена разложения функции ϕsin делает уравнение движения нелинейным

06

3302

0 =−+ ϕωϕωϕ!! (5П)

Его приближенным решением будет

( ) ( ) ( ) ...3sin192

sin 000 ++++= αωϕαωϕϕ ttt , где

−≈ 2

00 1611 ϕωω (6П)

Физический маятник

Уравнение движения для физического маятника (рис. 1)

0sin =+ ϕϕ MgLJ !!

где: J - момент инерции; L - расстояние от оси тяжести маятника; mМ - масса маятника; mC - масса стержня; mД - масса диска.

В приближении малых углов ( ϕϕ ≈sin ) период колебания физического маятника равен

MgLJT π20 = . (7П)

Момент инерции маятника J равен сумме моментов инерции диска JД и стержня JС : J= JД + JС

Момент инерции стержня, закрепленного одним концом, равен

2

31

CCC lmJ = . (8П)

Момент инерции диска относительно оси колебаний О равен (см. рис. 1)

( )22

21 RlmRmJ CДДД ++= , (9П)

Расстояние L можно определить из условия равновесия системы стержень - диск:

( ) 02

=+−−

− ДCC

C mRLlmlL ,

ДC

ДДCCC

mm

Rmmlml

L+

++≈ 2

и ( )

( )

++

+++

=Rlm

lmg

RlRmlmT

CДCC

CДCC

2

231

2

22

2

0 π

При lC>>R

+

+=

2

320C

Д

CД

C

mm

mm

glT π

Внимание! Все измерения должны быть представлены в форме AAср ∆± с указанием размерности.

Интернет версия подготовлена на основе издания: Описание лабораторных работ по физике. Измерительный практикум. Часть2. Новосибирск: Изд-во, НГУ, 1999

Физический факультет НГУ, 2001

Лаборатория методов измерений НГУ, 2001, http://www.phys.nsu.ru/measuring/