47

ÝÊÎËÎÃÈ×ÅÑÊÎÅ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ

 ØÊÎËÅ

Êóäðÿâöåâà Ìàðèíà ÂàëåðüåâíàÑåííîâ Àíäðåé Ñâåòîçàðîâè÷

Ïðè èñïîëüçîâàíèè àïïàðàòà ìàòå-ìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äëÿ ðåøåíèÿêîíêðåòíûõ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ âîçíèêà-þò ïðîáëåìû, ñâÿçàííûå ñ îöåíêîé àäåê-âàòíîñòè èñïîëüçóåìîé ìîäåëè è îöåíêîéäîñòîâåðíîñòè ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ.Íàèáîëåå îáû÷íûìè ïðè÷èíàìè ýòèõ ïðî-áëåì ÿâëÿþòñÿ:· íåïîíèìàíèå ñïåöèàëèñòîì-ìàòåìàòè-êîì ñïåöèôèêè êîíêðåòíîé çàäà÷è;· íåçíàíèå ñïåöèàëèñòîì â êîíêðåòíîéîáëàñòè âîçìîæíîñòåé ñîâðåìåííîé âû-÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè è ïðîãðàììíîãîîáåñïå÷åíèÿ (ÏÎ).

Õàðàêòåðíûå ïðèìåðû ìîæíî íàé-òè â ñôåðå èñïîëüçîâàíèÿ èíôîðìàöèîí-íûõ òåõíîëîãèé â ýêîëîãèè è íàóêàõ îÇåìëå.

Îñîçíàíèå íåäîñòàòî÷íîñòè çíàíèéîá îêðóæàþùåé ñðåäå â ïîñëåäíåé ÷åò-âåðòè XX ñòîëåòèÿ ñîâïàëî ñ áóðíûì ðàç-âèòèåì èíôîðìàòèêè è âû÷èñëèòåëüíîéòåõíèêè.  ðåçóëüòàòå âîçíèêëà íîâàÿ ñôå-ðà äåÿòåëüíîñòè � ýêîèíôîðìàòèêà. Îä-íàêî ñïåöèàëèñòû, ðàáîòàþùèå â äàííîé

îáëàñòè, ÷àñòî íå èìåþò ñåðüåçíîé ìàòå-ìàòè÷åñêîé ïîäãîòîâêè. Âñëåäñòâèå ýòî-ãî, áîëüøîå êîëè÷åñòâî ñîâðåìåííîãî ÏÎîñòàåòñÿ íåâîñòðåáîâàííûì. Ñ äðóãîé ñòî-ðîíû, îãðîìíîå êîëè÷åñòâî ýòîãî ÏÎ ñòà-âèò ñïåöèàëèñòà â òóïèê � íåïîíÿòíî, ÷òîíàäî ïðèìåíÿòü â êàæäîì êîíêðåòíîì ñëó-÷àå. Íàïðàøèâàåòñÿ âûâîä, ÷òî èçó÷àòüêîíêðåòíûå ìîäåëèðóþùèå ïðîãðàììûáåññìûñëåííî � ãîðàçäî ëó÷øå íàó÷èòüñÿïîíèìàòü, êàê ðàáîòàåò òîò èëè èíîé âû-÷èñëèòåëüíûé ìåòîä. Òîãäà, ïðè íåîáõî-äèìîñòè, ìîæíî áóäåò ëèáî ñàìîìó ïîäî-áðàòü íóæíîå ÏÎ, ëèáî îáðàòèòüñÿ ê ñïå-öèàëèñòó, ðàçãîâàðèâàÿ ñ íèì íà îäíîìÿçûêå.

Íåáîëüøîé àâòîðñêèé îïûò ïðåïî-äàâàíèÿ â ñôåðå ñðåäíåãî îáðàçîâàíèÿ èáîëåå äîëãèé â ñôåðå âûñøåãî îáðàçîâà-íèÿ ïîäòàëêèâàåò ê ìûñëè, ÷òî óæå â øêî-ëå íàäî ïûòàòüñÿ îáúÿñíÿòü ïðèíöèï ðà-áîòû ñëîæíûõ âû÷èñëèòåëüíûõ àëãîðèò-ìîâ, èñïîëüçóåìûõ äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ. Âýòîì âîïðîñå ñðåäíåå îáðàçîâàíèå äîëæ-íî äàâàòü äîñòàòî÷íî øèðîêèå ïðåäñòàâ-ëåíèÿ î ïðåäìåòå, áåçóñëîâíî, ðàññìàò-ðèâàÿ ïðîñòûå çàäà÷è. Êîìïüþòåðíàÿïîääåðæêà òàêèõ îáúÿñíåíèé â íàñòîÿ-ùèé ìîìåíò âïîëíå ðåàëüíà, ïðè÷åì ñïîìîùüþ ñàìûõ îáû÷íûõ ïàêåòîâ ïðî-ãðàìì.

ÏÐÈÌÅÐ ÇÀÄÀ×È

Ðàññìîòðèì îäíó èç òàêèõ âîçìîæ-íîñòåé íà ïðèìåðå ìåòîäà ïðîñòûõ èòå-ðàöèé. Ïåðâàÿ çàäà÷à � ïîäîáðàòü ïîíÿò-íîå óðàâíåíèå, â òî æå âðåìÿ äîñòàòî÷íîñëîæíîå äëÿ ðåøåíèÿ ïðèâû÷íûìè ìåòî-äàìè, íàïðèìåð, àëãåáðàè÷åñêèìè ïðåîá-ðàçîâàíèÿìè. Ðàññìîòðèì ðåøåíèå óðàâ-

...ñïåöèàëèñòû, ðàáîòàþùèå â äàííîé îáëàñòè,÷àñòî íå èìåþò ñåðüåçíîé ìàòåìàòè÷åñêîéïîäãîòîâêè...

48

íåíèÿ, îïèñûâàþùåãî çàâèñèìîñòü äëèíûâîëíû îò ãëóáèíû âîäû íà ìåëêîâîäüå.Îíî èìååò ñëåäóþùèé âèä:

l = L th(2ph/l)ãäå l � äëèíà âîëíû íà ìåëêîâîäüå, L �äëèíà âîëíû íà áîëüøîé ãëóáèíå, th � ãè-ïåðáîëè÷åñêèé òàíãåíñ1, h � ãëóáèíà âîäû.Íåñìîòðÿ íà âíåøíþþ ïðîñòîòó, àíàëè-òè÷åñêîå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ íåâîç-ìîæíî. Ïðè îáúÿñíåíèè ìîæíî îòìåòèòü,÷òî òàêèå óðàâíåíèÿ íàçûâàþòñÿ òðàíñöåí-äåíòíûìè. Îäíàêî îíî ëåãêî ðåøàåòñÿ îä-íèì èç ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ � ìåòîäîì èòå-ðàöèé.

ÎÑÍÎÂÛ ÌÅÒÎÄÀ

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì èçâåñòíà äëè-íà âîëíû íà áîëüøîé ãëóáèíå L, è ìûõîòèì ðàññ÷èòàòü, êàêîé îíà áóäåò íà ìåë-êîâîäüå ñ ãëóáèíîé h (çäåñü ìîæíî îòìå-òèòü, ÷òî íàñ áîëüøå èíòåðåñóåò âûñîòàãðåáíÿ âîëíû, íî ýòî ÿâëÿåòñÿ áîëåå ñëîæ-íîé çàäà÷åé). Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå íà÷àëü-íîå çíà÷åíèå l, êîòîðîå îáîçíà÷èì l

0, ïîä-

ñòàâèì åãî â ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ è âû-÷èñëèì çíà÷åíèå äëèíû âîëíû l

1, òî åñòü

l1= L th(2ph/l

0)

Ïîñëå ýòîãî âû÷èñëèìñëåäóþùåå çíà÷åíèå l

2 ïî ôîð-

ìóëål2= L th(2ph/l

1)

è òàê äàëåå. Òåîðåòè÷åñêè, ïó-òåì ïîâòîðåíèÿ ýòîãî ïðîöåññàìîæíî äîñòèãíóòü ëþáîé òî÷íî-ñòè, ïðîâåäÿ äîñòàòî÷íîå êîëè-÷åñòâî èòåðàöèé. Ïðàêòè÷åñêè,îíà îãðàíè÷èâàåòñÿ ïîãðåøíî-ñòÿìè îêðóãëåíèÿ.

Ïóñòü, íàïðèìåð, L = 10 ì,h = 0.5 ì. Ïðèìåì l

0= L â êà÷å-

ñòâå íà÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ. Ðåçóëüòàòûâû÷èñëåíèé l

i ïðèâåäåíû â òàáëèöå 1.

Ïîñëå 30-é èòåðàöèè ðåçóëüòàòû âû-÷èñëåíèé îòëè÷àþòñÿ ìåíåå ÷åì íà 1 ñì, òîåñòü äîñòèãíóòà òî÷íîñòü, âïîëíå äîñòà-òî÷íàÿ äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé.

ÄÂÀ ÑËÎÂÀ Î ÒÅÐÌÈÍÀÕ

Ðàçíîñòü çíà÷åíèé, ïîëó÷åííûõ íàäâóõ ïîñëåäóþùèõ èòåðàöèÿõ, íàçûâàåò-ñÿ îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ. Êîãäàîíà óìåíüøàåòñÿ, êàê â íàøåì ïðèìåðå,ãîâîðÿò î ñõîäèìîñòè ðàñ÷åòíîãî ìåòîäà.Äîáèòüñÿ ýòîãî óäàåòñÿ íå âñåãäà � â ýòîìñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ðàñ÷åòíàÿ ñõåìà ðàñ-õîäèòñÿ. Òîãäà íàäî ìåíÿòü ïàðàìåòðû ìà-òåìàòè÷åñêîé ìîäåëè èëè èñïîëüçîâàòüäðóãîé ÷èñëåííûé ìåòîä. ×òîáû è â ýòîìñëó÷àå êîìïüþòåð òàêæå ìîã çàêîí÷èòü âû-÷èñëåíèÿ, êàê ïðàâèëî, îãðàíè÷èâàþò ÷èñ-ëî èòåðàöèé. Îòìåòèì, ÷òî èíîãäà, äàæååñëè âîçìîæíî ðåøèòü çàäà÷ó àíàëèòè÷åñ-êè, ÷èñëåííûå ìåòîäû îêàçûâàþòñÿ áîëååýôôåêòèâíûìè.

 êà÷åñòâå èíñòðóìåíòà êîìïüþòåð-íîé ïîääåðæêè ìîæíî èñïîëüçîâàòü âñåìèçâåñòíûé ïàêåò MS Excel. Íà ðèñóíêå 1

Ðàññìîòðèì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùåãî çàâèñèìîñòüäëèíû âîëíû îò ãëóáèíû âîäû íà ìåëêîâîäüå...

1Ôóíêöèÿ th x îïðåäåëÿåòñÿ êàê sh ch

xx

, ãäå sh x è ch x � ãèïåðáîëè÷åñêèå ñèíóñ è êîñèíóñ,

êîòîðûå â ñâîþ î÷åðåäü îïðåäåëÿþòñÿ òàê: sh x e ex x

= − −

2, ch x e ex x

= + −

2, e = 2,71828...

Ëþáîïûòíî, ÷òî ñâîéñòâà ýòèõ ôóíêöèé íàïîìèíàþò ñâîéñòâà ñîîòâåòñòâóþùèõ òðèãîíî-ìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé (÷òî îòðàæàåòñÿ â èõ íàçâàíèÿõ). Íàïðèìåð, ïðîâåðüòå ïðàâèëüíîñòü ðàâåí-

ñòâà 1 122

− =thch

xx

è ñðàâíèòå ñ ðàâåíñòâîì 1 122

+ =tgcos

xx

.

49

äåìîíñòðèðóåòñÿ âîçìîæíûé âàðèàíò ðå-øåíèÿ çàäà÷è î äëèíå âîëíû ïðè èçâåñò-íîé ãëóáèíå. Âåðõíèå ïîëÿ � ýòî ïàðà-ìåòðû çàäà÷è, êîòîðûå ìîæíî èçìåíÿòü(h, L è íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå â ÿ÷åéêåA7).  ñòðîêå 5 âû÷èñëÿåòñÿ íîìåð òåêó-ùåé èòåðàöèè ïî ïðîñòîìó ïðàâèëó:

¹ òåêóùåé = ¹ ïðåäûäóùåé + 1

èòåðàöèè èòåðàöèè

 ñòðîêå 7 îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîñëå-äîâàòåëüíûé ðàñ÷åò äëèíû âîëíû l

i. Â ñòîë-

áöå A ñòðîêè çàïèñàíî íà÷àëüíîå ïðèáëè-æåíèå. Âîïðîñ î òîì, êàê åãî îïðåäåëèòü,ÿâëÿåòñÿ ïðåäìåòîì îòäåëüíîãî èññëåäî-âàíèÿ, è ÷àñòî îò ýòîãî ñåðüåçíî çàâèñèòñêîðîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è.  íàøåì ñëó-÷àå íàèáîëåå ïðîñòî è åñòåñòâåííî èñïîëü-çîâàòü â êà÷åñòâå íà÷àëüíîãî ïðèáëèæå-íèÿ L. Ïîäñòàâëÿÿ ðàçëè÷íûå íà÷àëüíûåïðèáëèæåíèÿ, ìîæíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òîðåçóëüòàò ðåøåíèÿ ïðè 25 èòåðàöèÿõ èç-ìåíÿåòñÿ ìàëî. Ïðè íåîáõîäèìîñòè ÷èñ-ëî èòåðàöèé ìîæíî óâåëè÷èòü ïðîñòûì êî-

Ðèñóíîê 1.

Èòåðàöèÿ li

Èòåðàöèÿ li

Èòåðàöèÿ li

¹ ¹ ¹

1 3.0421619 11 5.0494950 28 5.3163677

2 7.7498265 12 5.5262999 29 5.3056299

3 3.8453934 20 5.3460951 30 5.3142174

4 6.7342040 21 5.2819794 31 5.3073477

5 4.3537745 22 5.3332159 32 5.3128420

10 5.6510840 27 5.3029458 33 5.3084469

Òàáëèöà 1.

50

ïèðîâàíèåì ôîðìóëû â ñòðîêå 7. Ó÷àùèì-ñÿ, íàïðèìåð, ìîæíî ïðåäëîæèòü ïîñòðî-èòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè êîëè÷åñòâà èòå-ðàöèé, êîòîðûå ïîòðåáîâàëèñü äëÿ äîñòè-æåíèÿ òî÷íîñòè â 1 ñì, îò îòíîñèòåëüíîéîøèáêè íà÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ è ñäå-ëàòü âûâîä î òîì, ÷òî îíî íå ñèëüíî âëèÿ-åò íà ðåçóëüòàò.

Ïðèâåäåííûé ïðèìåð èëëþñòðèðóåòòåõíèêó âû÷èñëåíèé ìåòîäîì èòåðàöèé.Ðåàëüíî èíòåðåñíî áûëî áû ïîëó÷èòü ðå-çóëüòàò ñðàçó. Òàêîå âû÷èñëåíèå âûïîë-íåíî â ÿ÷åéêå D9 (ðèñóíîê 1). Ôîðìóëàèìååò âèä:=$B$2*TANH(2*ÏÈ()*$B$3/(D9+0,00001))

Î÷åâèäíî, ÷òî â çíàìåíàòåëå äðîáèïðèñóòñòâóåò ññûëêà íà òåêóùóþ ÿ÷åéêó,÷òî â òåðìèíîëîãèè ýëåêòðîííûõ òàáëèöíàçûâàåòñÿ öèêëè÷åñêîé ññûëêîé. Äëÿ òîãî÷òîáû âû÷èñëåíèå ïî ôîðìóëå ñòàëî âîç-ìîæíûì, ñëåäóåò ðàçðåøèòü èòåðàöèè(Ñåðâèñ � Ïàðàìåòðû � Âû÷èñëåíèÿ).Çäåñü æå ìîæíî óñòàíîâèòü ïàðàìåòðûàëãîðèòìà � ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî èòåðà-

öèé è îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòü. Ìîæ-íî îòäåëüíî îáñóäèòü ñ ó÷åíèêàìè òîò ôàêò,÷òî îãðàíè÷åíèå ÷èñëà èòåðàöèé ìîæåò íåïîçâîëèòü ïðîãðàììå âûïîëíèòü âû÷èñëå-íèÿ ñ çàäàííîé ïîãðåøíîñòüþ, òî åñòüïðàâèëüíûé àëãîðèòì ìîæåò ïðèâåñòè êíåâåðíûì ðåçóëüòàòàì.

Òàê êàê èçíà÷àëüíî â ÿ÷åéêó D9íè÷åãî íå ââîäèëîñü, ñî ñòîðîíû êîìïüþ-òåðà âîçìîæíà òàêæå ðåïëèêà «äåë/0» (äå-ëåíèå íà íîëü), êîòîðîå ïðîèñõîäèò â ðå-çóëüòàòå ïåðâîé æå èòåðàöèè. Èçáåæàòüýòîãî ëåãêî.  çíàìåíàòåëü äðîáè âìåñòîA3 ñëåäóåò âïèñàòü (D9+0.00001), òî åñòüìàëóþ âåëè÷èíó. Íà òî÷íîñòè íàøèõ ðàñ-÷åòîâ ýòî ïðàêòè÷åñêè íå îòðàçèòñÿ, à äëÿêîìïüþòåðà çíàìåíàòåëü ïåðåñòàíåò áûòüðàâíûì íóëþ. Çäåñü ìîæíî îáñóäèòü èç-âåñòíîå ìíîãèì îáñòîÿòåëüñòâî � âû÷èñ-ëèòåëüíûé àëãîðèòì ÷àñòî èñïîëüçóåò íåî-æèäàííûå ìåëî÷è, è îò ýòîãî çàâèñèò åãîýôôåêòèâíîñòü.

Ðåàëüíàÿ çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òî-áû èññëåäîâàòü çàâèñèìîñòü äëèíû âîëíû

Ðèñóíîê 2.

51

ÍÀØÈ À Â ÒÎ ÐÛ

Êóäðÿâöåâà Ìàðèíà Âàëåðüåâíà,ñòàðøèé ïðåïîäàâàòåëü Öåíòðàïåðåïîäãîòîâêè è ïîâûøåíèÿêâàëèôèêàöèè íàó÷íî-ïåäàãî-ãè÷åñêèõ êàäðîâ ïî åñòåñòâåííî-íàó÷íûì íàïðàâëåíèÿì ÑÏáÃÓ.

Ñåííîâ Àíäðåé Ñâåòîçàðîâè÷,äîöåíò Öåíòðà ïåðåïîäãîòîâêè èïîâûøåíèÿ êâàëèôèêàöèèíàó÷íî-ïåäàãîãè÷åñêèõ êàäðîâ ïîåñòåñòâåííî-íàó÷íûì íàïðàâëåíèÿìÑÏáÃÓ.

îò ãëóáèíû âîäû íà ìåëêîâîäüå, è òåïåðüìû ïîëíîñòüþ ãîòîâû ê åå ðåøåíèþ. Âà-ðèàíò òàêîãî ðåøåíèÿ ïðèâåäåí íà ðè-ñóíêå 2.  âåðõíèå ïîëÿ äëÿ ïàðàìåòðîâââîäèì èñõîäíóþ äëèíó âîëíû íà áîëü-øîé ãëóáèíå è øàã ïî îñè Õ � ãëóáèíà äîäíà. Íà äèàãðàììå õîðîøî âèäíî, ÷òî ïðèóìåíüøåíèè ãëóáèíû (ñïðàâà íàëåâî) äëèíàâîëíû ñíà÷àëà îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé, àïîòîì ðåçêî óìåíüøàåòñÿ, òî åñòü âûñîòàãðåáíÿ ñòðåìèòåëüíî óâåëè÷èâàåòñÿ. Òàêèìîáðàçîì, çíàÿ èñõîäíóþ äëèíó âîëíû èãëóáèíó ìåëêîâîäüÿ ìîæíî ïðåäñêàçûâàòü,íàïðèìåð, ïîñëåäñòâèÿ îò öóíàìè. Åñòå-ñòâåííî, çíà÷åíèÿ, âû÷èñëåííûå ïðè îò-ðèöàòåëüíîé ãëóáèíå, ôèçè÷åñêîãî ñìûñ-ëà íå èìåþò.

ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ

Ïðèâåäåííûé ïðèìåð ÿâëÿåòñÿ òîëü-êî îäíèì èç âîçìîæíûõ äëÿ èëëþñòðàöèèïîíÿòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ,â òîì ÷èñëå è ñ èñïîëüçîâàíèåì ïàêåòàMS Excel. Íåêîòîðûå ïðèìåðû ìîæíîíàéòè íà íàøåì ñàéòå www.ecosafe.nw.ru.Ìîæåò áûòü, èìååò ñìûñë îáñóæäàòü èâîïðîñû èñïîëüçîâàíèÿ ðàçëè÷íûõ ìåòî-äîâ ìîäåëèðîâàíèÿ äëÿ ðàçíûõ îáëàñòåéçíàíèÿ. Íàïðèìåð, â âû÷èñëèòåëüíîé ôè-çèêå ÷àñòî èñïîëüçóþò äèôôåðåíöèàëüíûåóðàâíåíèÿ, à ïðè ìîäåëèðîâàíèè â îáëàñ-òè ýêîëîãèè è íàóê î Çåìëå ÷àùå ïðèìå-íÿþò âåðîÿòíîñòíûå ìåòîäû. Ñîçíàâàÿíåîáúÿòíîñòü òåìû, àâòîðû ïîïûòàëèñüñäåëàòü ïåðâûé øàã â ýòîì íàïðàâëåíèè.