Transcript
Page 1: Методические указания к лабораторной работе №104 по механике ''Изучение движения тел, брошенных под

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра физики

Т.М. Чмерева М.Р. Ишмеев

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к лабораторной работе №104 по механике «Изучение движения тел, брошенных под углом к горизонту»

Оренбург 1999

Page 2: Методические указания к лабораторной работе №104 по механике ''Изучение движения тел, брошенных под

ББК 22.2я7 Ч 42

УДК 531.13(07)

Лабораторная работа №104

Изучение движения тел, брошенных под углом к горизонту

Цель работы: 1. Изучить основные понятия раздела кинематики. 2. Познакомиться с методами определения скорости скатывающихся

тел в момент отрыва от наклонной плоскости. 3. Измерить скорости в момент отрыва для двух разных тел.

1 Введение Раздел механики, изучающий движение тела относительно других тел

независимо от причин, вызывающих это движение, называется кинематикой. Материальная точка – тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь. При своем движении материальная точка описывает не-которую кривую, называемую траекторией. Пусть материальная точка пе-реместилась из положения 1, характеризуемого радиус-вектором

1rρ (радиус-

вектор – вектор, проведенный из начала координат в данную точку), в поло-жение 2, характеризуемое радиус-вектором 2r

ρ , как показано на рисунке 1. Расстояние между точками 1 и 2, отсчи-танное вдоль траектории, называется путем, обозначим его ∆S. А вектор, про-веденный из точки 1 в точку 2, называ-ется перемещением ∆ (перемещение есть приращение радиус-вектора, см. ри-сунок 1).

1 Vρ

1rρ

2rρ

rρ∆

xРисунок 1

траектория

2

y

Под средней скоростью матери-альной точки онимают отношение пе-ремещения

пrρ∆ к промежутку времени

∆t, за который произошло это переме-щение:

trVср ∆

∆=

ρρ. (1)

Мгновенной скоростью V

ρ материальной точки называется векторная

величина, равная пределу отношения перемещения rρ∆ к промежутку време-

ни ∆t, за который это перемещение произошло, когда промежуток времени 2

Page 3: Методические указания к лабораторной работе №104 по механике ''Изучение движения тел, брошенных под

стремится к нулю. Т.е. скорость есть производная радиус-вектора по време-ни:

dtrd

trlimV

t

ρρρ=

∆∆

=→∆ 0

. (2)

Поскольку в пределе, при 0→∆t , перемещение совпадает с касатель-

ной к траектории, то вектор скорости направлен по касательной к траекто-рии.

Вычислим модуль скорости (2), учтя, что в пределе бесконечно алого промежутка времени модуль вектора перемещения равен пути

мrS ρ

∆=∆ :

tSlim

tr

limVVtt ∆

∆=

∆∆

==→∆→∆ 00

ρρ. (3)

Таким образом, модуль скорости равен производной пути по времени.

Если модуль скорости при движении материальной точки не изменяет-ся, то движение будет равномерным, причем направление скорости может изменяться. Когда направление вектора скорости неизменно, то движение – прямолинейное, в противном случае – криволинейное.

Скорость материальной точки может изменяться по величине и по на-правлению. Предел отношения изменения вектора скорости V

ρ∆ к промежут-

ку времени ∆t, за который произошло это изменение, когда промежуток вре-мени стремится к нулю, называется ускорением; или ускорение есть произ-водная скорости по времени:

dtVd

tVlima

t

ρρρ

=∆∆

=→∆ 0

τρ

Рисунок 2

. (4)

Вектор скорости можно представить в виде

произведения модуля скорости V на единичный вектор τρ, направленный вдоль вектора V

ρ (см. ри-

сунок 2):

τ⋅=ρρ

VV . (5)

Подставив в формулу (4) выражение (5), получим:

( )naa

dtdV

dtdV

dtVda ρρ

ρρ

ρρ

+=τ

⋅+τ⋅=τ⋅

= τ . (6)

3

Page 4: Методические указания к лабораторной работе №104 по механике ''Изучение движения тел, брошенных под

Т.е. вектор ускорения представим в виде суммы двух векторов. Один из них коллинеарен с вектором τρ и соответственно с вектором V

ρ, и носит на-

звание тангенциального ускорения τaρ . Тангенциальное ускорение равно

τ=τρρ

dtdVa , (7)

а его модуль равен dtdV , т.е. характеризует быстроту изменения величины

скорости. Если 0<dtdV , то движение является замедленным и вектор τaρ на-

правлен противоположно вектору Vρ

; если 0>dtdV , движение – ускоренное и

вектора aτρ и V

ρ сонаправлены.

Другое слагаемое в выражении (6), равное

dtdVanτ

ρ , (8)

называется нормальным ускорением naρ . Нормальное ускорение характеризу-ет быстроту изменения скорости по направлению. Можно показать, что век-тор naρ перпендикулярен вектору скорости V

ρ (см. главу 1 учебников /1/, /2/,

/3/). Расположение векторов aρ, τaρ и naρ показано на рисунке 3. Если τaρ =0, то naa ρρ

= , движение бу-дет равномерным по окружности. Величи-на нормального ускорения определяется формулой:

RVan

2=

у

, (9)

naρ

τaρ

aρРисунок 3 где V – величина скорости точки, R – радиус окружности.

Формула (9) справедлива при любом криволинейном движении, в этом случае R является радиусом кривизны траектории. Радиус кривизны пред-ставляет собой радиус окружности, которая сливается в данном месте с кри-вой на бесконечно малом ее частке.

В случае 0=naρ , τ= aa ρρ и величина τaρ не изменяется, движение будет прямолинейным равноускоренным. При этом зависимость скорости матери-альной точки и пути, пройденного ею, от времени выражается следующими формулами:

4

Page 5: Методические указания к лабораторной работе №104 по механике ''Изучение движения тел, брошенных под

atVV += 0 , (10)

2

2

0attVS += , (11)

где V0 – скорость материальной точки в начальный момент времени.

В качестве примера рассмотрим движение тела, брошенного под углом α к горизонту с начальной скоростью V0

ρ (рисунок 4). Движение тела проис-

ходит с ускорением свободного падения gρ, поэтому полное ускорение тела во время движения остается по-стоянным по величине и направ-лению. А нормальное и тангенци-альное ускорения в каждой точке траектории различны. В частно-сти, в верхней точке траектория перпендикулярна вектору , сле-довательно, в ней существует

только нормальное ускорение ganρρ

= .

Рисунок 4 gρ

2 Методы определения скорости скатывающегося тела в момент отрыва от наклонной плоскости

После отрыва от наклонной плоскости движение тела является свобод-

ным падением, т.к. происходит только под действием силы тяжести. Ско-рость в момент отрыва будет начальной скоростью тела V0

ρ. Свяжем с точкой

В на рисунке 5 систему координат. вижение тела происходит с постоянным ускорением свободного падения

Дgρ, направленным вдоль оси y. Поэтому вдоль оси y движение будет равноуско-ренным, а вдоль оси x – равномерным.

Рисунок 5

Разложим начальную скорость на две составляющие α= cosVV x 00 и

α= sinVV y 00 . Тогда высота, с которой падает тело, равна:

( )22

2

0

2

0gttsinVgttVH y +⋅α=+= , (12)

а дальность полета S

( ) tcosVtVS x ⋅α== 00 . (13)

5

Page 6: Методические указания к лабораторной работе №104 по механике ''Изучение движения тел, брошенных под

Выражая из уравнения (13) время t и подставляя его в (12), получим формулу для вычисления начальной скорости тела:

( )α⋅−α=

tgSHg

cosSV

20 (14)

Таким образом, зная угол наклона плоскости α, высоту падения H и

дальность полета S, можно найти скорость тела в момент отрыва от наклон-ной плоскости.

AСкорость в момент отры-ва также можно определить, используя закон сохранения энергии. В верхней точке на-клонной плоскости (в точке А на рисунке 6) тело обладает за-пасом потенциальной энергии

l B

h

Рисунок 6

mghEпот = , (15)

где m – масса тела, h – высота наклонной плоскости, g – ускорение свободного падения.

В точке В скатывающееся тело обладает кинетической энергией посту-пательного и вращательного движений

22

22 ω+=

ImVEкин , (16)

где ω - угловая скорость тела,

I – момент инерции тела. Если качение происходит без проскальзывания, то

RV ω= , (17)

где R – радиус тела. Моменты инерции сплошного цилиндра, шара и полого цилиндра

можно найти по следующим формулам:

2

52 mRIшара = , (18)

2

21 mRI .цил.спл = , (19)

6

Page 7: Методические указания к лабораторной работе №104 по механике ''Изучение движения тел, брошенных под

( )2202

1 RRmI .цил.пол += , (20)

где R0 – внутренний радиус полого цилиндра.

По закону сохранения энергии (без учета потерь на трение) имеем Eпот=Екин или

22

22 ω+=

ImVmgh , (21)

Отсюда, используя формулу (17), можно найти скорость V в момент

отрыва от наклонной плоскости

21

2

mRI

ghV+

= . (22)

В случае скатывания сплошного цилиндра и шара формулу (22) можно

упростить, подставив в нее выражения для моментов инерции (18) и (19)

ghVшара 710

= , (23)

ghV .цил.спл 34

= . (24)

3 Экспериментальная часть 3.1 Установить по заданию преподавателя наклонную плоскость в

одно из трех положений и измерить ее высоту h . 3.2 Измерить длину основания наклонной плоскости l . 3.3 Вычислить угол наклона α по формуле ( )l

harctg=α .

3.4 На откидной столик положить чистый лист бумаги и накрыть сверху копировальной бумагой.

3.5 Пустить с вершины наклонной плоскости сплошной цилиндр и по следу, оставленному на листе бумаги, определить дальность полета S. Это задание проделать 7 раз.

3.6 Вычислить среднее значение S , абсолютную ошибку S∆ и отно-сительную ошибку по формулам: ε

7

Page 8: Методические указания к лабораторной работе №104 по механике ''Изучение движения тел, брошенных под

7721 S...SSS +++

= ,

( ) ( ) ( )67

32

72

22

12

⋅−++−+−

+σ⋅=∆SS...SSSSS пр ,

За принять половину цены деления линейки, прσ

SS∆

Результаты измерений S и вычислений ε∆ и S,S занести в таблицу 1.

Таблица 1 № опыта 1 2 3 4 5 6 7

Si (м)

(м), (м), =ε , ......SSS ±=∆±= (м) ...S = ...S =∆ ...

3.7 Измерить высоту падения цилиндра H и найти скорость 0V в момент отрыва по формуле

( )α−α=

tgSHg

cosSV

20 .

3.8 Принять относительную ошибку измерения скорости равной от-

носительной ошибке измерения дальности полета, т.к. другие величины, вхо-дящие в формулу для 0V , измерены с большей точностью. Вычислить абсо-лютную ошибку ε⋅∆ 0V = 0V и записать результат в виде доверительного ин-тервала 0V∆00 V ±=V .

3.9 Вычислить скорость цилиндра в момент отрыва от наклонной плоскости по формуле

hgV34

= .

3.10 Вычислить абсолютную ошибку V∆

hhVV ∆

=∆21 ,

8

Page 9: Методические указания к лабораторной работе №104 по механике ''Изучение движения тел, брошенных под

абсолютную ошибку измерения высоты наклонной плоскости принять равной 0,5 см. Результат записать в виде доверительного интервала

h∆

VVV ∆±= . 3.11 Сравнить полученные результаты измерений V0 и V и сделать

вывод. 3.12 Повторить пункты 3.5-3.11 для шара (в пункте 3.9 для вычисле-

ния скорости V использовать формулу hg7

10=V ).

4 Контрольные вопросы

Вопрос 1. Дать определения траектории, пути и перемещения. Вопрос 2. Что называется средней скоростью материальной точки? Вопрос 3. Что называется мгновенной скоростью, как она направле-

на? Вопрос 4. Что такое ускорение? Вопрос 5. Какое ускорение называется тангенциальным, а какое нор-

мальным? Как они направлены? Вопрос 6. В каком случае движение будет равномерным по окружно-

сти, а в каком случае – прямолинейным равноускоренным? Вопрос 7. Написать формулы зависимости скорости и пути от време-

ни при прямолинейном равноускоренном движении. Вопрос 8. Написать формулу для величины нормального ускорения. Вопрос 9. Рассказать о двух способах определения скорости скаты-

вающегося тела в момент отрыва от наклонной плоскости.

9

Page 10: Методические указания к лабораторной работе №104 по механике ''Изучение движения тел, брошенных под

Список использованных источников

1 А.А.Детлаф, Б.М.Яворский. Курс физики.-М.:Высш.шк.,1989 - 608 с. 2 И.В.Савельев. Курс общей физики. т.1.-М.:Наука,1988-432 с. 3 Г.А.Зисман, О.М.Тодес. Курс общей физики. т.1.-М.:Наука,1972 - 340 с.

10


Recommended