Download pdf - καλαθάκης γιώργης συλλογή ασκήσεων άλγεβρας β' λυκείου (Mathematica.gr)

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: .

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1.

1. : 2

(k 1)x my 2012, k,m,x,y R

k x (k m)y 2013

m R , k R ,

x,y

2. 2x2 x,y x yD,D ,D D Z

:

3D 1 (5 3D) 0 2 2x x y yD 8D D 4D 19D 1 0 .

. .

.

2x 5y 4 6

2 x 1 y 3 2

, , , .

3. :

5 x 2 y 2

7 x 2y

x,y R .

, R .

4. 2x2 x , y x yD,D ,D D Z .

4 3D 3D 7 0 2 2x x y yD 8D 4D D 5D 30 0 .

5. , :

(1 )x ( 1)y 5

(3 1)x 3y 10

6. a, , : 2x y a 1

x 8y a 1

7. 2( 1) x (3 2)y 3

(1 )x (3 )y 1

, (x,y) (1,1) ;

8. : ( 2)x ( 7)y 0

x ( 1)y 0

.

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1. : 2 2 2

3 3 3

x y z 2

x y z 4

x y z 5

2. : 2 2

2

x xy y 21

y 2xy 15

3. :

2 2

2

2 2

2

2 2

2

1x 2 (y z)

y

1y 2 (z x)

z1

z 2 (x y)x

4.. x y x y 72

x y x y 30

5. R x y x 1

y x y 1

6. 2 2

3 2

2x 5xy 5y x 10y 35 0

x 5xy 42 0

7. : 2 2

2 2

4x x y y 3

x xy y 3

8. : 2 2

2 2

x y 4x 2y 15 0

3x 7xy 9x 2y 2y 12

9. x y 3 2

y y x 10 1

10. : x(x y) 9

y(x y) 16

11.

2

2

4 2

2x xy 1

9x 3xy1

2(1 x) 2(1 x)

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2.

1. f : f(x) 0,1 x 1

f(x 1) x1 f(x)

. f

T 3 .

2. , , :

3 2f(x) x 4x 4x, x *9

g(x) , xx

.

3. : 5f(x) 2x 4 .

5 : 2 3 4625 125 25 5 0.

3.

1. 90 x 180 2

sinx cosx3

, sinx cosx .

1. f : f(x) x x ,

x [0,2] .

2.

1 3 7

, , , , , 7 2 2 2 8

3. .

i)2x

f(x) cos3

ii)

3xf(x) tan

iii) f(x) sin x iv)

3xf(x) sin 5

4

1. *x,y R , : 2x 2xsin(xy) 1 0

2. : sin(cos2x) 1

3.

x x 0,x 0,4 4

4. 4 3 2x cos sin x cos 2 x sin x 2 0

x 1

5. :

cos cosx sin sinx2 2

6. : 2 2 2cos (x)+x 2x 16 4 sin (x)

7. : 5x

cos4x sin 2 ,x R3

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8. 2 21

cos x sinx tan x 21 sinx

.

9. : sin2x sinx cosx 2

10. : 2013 2014cos x sin x 1

11. *x,y R , 2x 2xsin(xy) 1 0

12. : sin(cos2x) 1

13. : 11

x x6 6

4.

1. P P(P(x))=9x+8, x .

2. P(x) , Q(x) P(a) a P( a) ,

P(0) 0 Q(x) P P(x) P(x) , x . Q(x) 1 .

3. 3 2P(x) x x x .

,,, : 4P(1) P(2) P(3) ... P() .

4. P 3 P(0) 0 : 2P(x 1) P(x) x .

: 2 2S 1 2 ... n , n .

5. p(x) :2p(x) p(1 x) 3x 3x 1, x .

6. P : P(P(x))=9x+8, x .

7. f,g f(x)+g(x)=f(x)g(x), x ,

.

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=38539http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=17024http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34213http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=33912http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=33552http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=33341http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34595http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=43528http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=42007http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=39421http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=39144http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34595http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34596


1. 3 2 2P(x) x a x a b , a,b b


12. a 4 3 2 2P(x) x 2ax 2a x 2ax 1 , .

13. 5 4 3 2 2013P(x) (8x 4x 10x 17x 13x 3) .

3 2 1

P .2

1. P(x) 1

P(2) P( )2

.

1Q (x) 2Q (x) P(x) x 2 2x 1

, :

) x 2 2Q (x)

) x 1 1 2Q (x) Q (x)

2. 81 49 25 9 3x x x x x : x x

3. 3 2P(x) x ax bx c a,b,c .

2Q(x) x 2x 1 P(x) : |a| |b| |c| 3

4. 4 3 2P(x) x (k m)x 2kx 5x 4 , x ,k ,m R .

k ,m ,

x 1 .

5. 2 2010 2 2011P(x) (x 4x 4) (x 5x 5) .

i) .

ii) x 3 .

iii) 2010 20119 11 4.

6. 3 2P(x) ax bx x 2 . a,b R , P(x) :

) x 1 x 2 ) 2x 3x 2

) 2(x 1) ) 2x x 1

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=35520http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34803http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=42430http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=42547http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=41813http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=41200http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=38885http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=35975


1. : 4 3 2(a 1)x 3ax x 3ax (a 1) 0

2. : 3

2 3 2a 3a x x , a9

.

3. x 3 2 26x (4a 3)x 4ax 4a 0 , x R ,

a R .

4. 3 2(1 x)(x 1) x

5. : (x 2)(x 4)(x 3)(x 5) 360

6. R : 10 8 6 4 2x x 8x 24x 32x 48 0

7. : 4 3 2(a 1)x 3ax x 3ax (a 1) 0

1. R : 3 2 3 2

3 2 3 2

3x 2x x 1 3x 2x 5x 13

3x 2x x 1 3x 2x 5x 13

2. : 23 5 17 19

x -11x-4 = + + + .x-3 x-5 x-17 x-19

3. 2

2

x 25 100 2x 3 x 6

2x 20x 50 x 5 2x 10

, .

4. R : 3 2 3 2

3 2 3 2

3x 2x x 1 3x 2x 5x 13

3x 2x x 1 3x 2x 5x 13

1. R : 3 3 32 x 1 2 x 1 7

2. : 3 33x 1 3x 6 3

3. : 332 2x 1 x 1

4. : 68x 3x x 1 0

5. 32x 1 5 x 2 .

6. 2 2(x 2) x x 1 (x 1) x 3x 3 3 .

7. 2

3x 3 x 14

x x x 1

.

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34381http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=42433http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=40473http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=39912http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=39418http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=38704http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34381http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34606http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=43958http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=41892http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34606http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34193http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=43406http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=43825http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=44143http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=45434http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=42130http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=40127


8. : 2x 4x 1 x 1 , ?

9. : x 2x 1 x 2x 1 10

10. : y 1x 1

1x y

11. : 2 2 2x 2x 15 2x 4x 7 3x 6x 10

12. 2x 2x 3 2 x x 1

1. :

4 3x x x 1 0 [ 1,1].

2. 4 3 2P(x) x kx mx nx 2,k,m,n Z

k, n, m :

P(x) 0 x 1 x>2.

1. 3 3

2

x 1 23 0.

x 2

1. : x 2 x 1 x x 2 x 1 2 ,x R

1. , t 0 8km (

) ,

y t t t3 24 9 6 8 , t (min) y (km).

. ,

. (t=0)

. ,

8km.

. 7km ;

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=40026http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=39120http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=37023http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=35947http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=35562http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=42974http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=43017http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=36462http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=44018http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=42415


5. -

1. : x x

x x

8 27 7

12 18 6

2. R 2x x 1 2x153 3415 5 0

3. x x x x34 25 43 52

4. k R , x x4 k2 k 3 0 ,

x R .

5. : x x 2014 2014 2014 x(2 3 ) (2 3 )

6. : 2014

12014 x x x xa) x x , x R b) 2014 2014 4028 , x R

7. : x 1

3x 44x

3 4 1 3

4 3 2

8. ) x2 6x 40 0 b) x7(11 6 2) 3 2

9. a 0 , a 1 , x R , : 2

(x 1)(x 2) (x 1)(x 3) (x 2)(x 3)

1 1 2a

a a a

10. : x x

5 57 4 3 7 4 3 194

11. : x x

7 48 7 48 14 , x R

12. : x2 x2 2 6 .

13. : x2 x 3x 1033 4 2

8 .

2.

1. a,b,c 1


3. :

x y

11yx

4 25 100

2 5 10

4. : 1) x y

x y

2 3 7

4 9 25

2)

x y

x y

x y 12

x y3

2

5. : y 5

y 2

x 3

9 10 4x

4.

1. k ,

2ln(x 3) ln(kx) .

2. : 2X x x2 3 logx 2 3 logx 3

10 .

3. 4 22 2log 2log xlog x log x 6

4. R : 3 3 33 2logx 1 logx 1 logx 2

5. x 2 2x 1 x 1e ln x 2x 2 e 2e e .

5.

1. 3 25

log loglog5 32A 2 3 5

A x x3log (16 212 ) 2x A

2. a,b , a


6.

1. f(x) ln(x a) 5

f( ) f( ) ln26 3

1) N a

2) To

3) [0,2]

ln(cos ) f( ) f( )12 24

4) N

f(x ) f(x )6 6

1sin(e )cos(e )

2

2. tanx cotx

f(x) 1tanx cotx

.

. f .

. :

i. f(x) tanx . ii.

f(x) f x2

. iii. f(x) f( x) .

. f .

.

f(x)tan x 12

, fx D .

3. : x x9 1 23 cosx

4. 3 2 2P(x) x x x 2a a 1

1) N x 1

2) (a) , a (a)

(a)

3) a :

i) x 2a x 2a 8ax425 16 4 ii) 1

ln2lnx 2a

1( ) 4 5x2a

4) N 8ax 4ax 4ax 1 4ax 13 9 114 4

5.

sinxx 0

f(x) x1 x 0

.

. f .

. f 1 .

. fC 1 1

y , yx x

. 1 1

f(x) , x 0x x

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6. 1) a fC 431((tan ) , ln2)

6

2) a 1 : i)

ii) f(x) ln(x 1 2 x) ln(1 x)

iii) 1

f( )4

3 1 sinx 1 ( ) ( ) x (0, )

2 tanx 1 cosx e 2

iv) 2f(x ) 0,5

7. f x k

x k

ef x ,k R

e 1

, x R ,

e

A 1,e 1

: A.k 0 . B. f R

. f x f x 1 , x R : 2 4

2 f f 5 5

8. 3 2P x x 2x 5x 2 4 x xf x ln e e f R .

A. P x 0 .

B. f 0x 0 .

. g g R , :

xln g x 2e 1 f x x R . x xg(x) e e , x R g R .

. : 6 4 2 2 5 6 0

. : 1 2

lnx 10.

x x

1 2 , P x .

9. : x

xf(x)

ln(e 1)

) ) : f(x) 2

) : f(x) x

10. 2 3 2 2 2

P x 3 4 x 2 x a 2 x 12

0,2 . P x x 1 , :

. ,, R

. ,, . :

i. P(x) 0

ii. 0, , : P 0



11. 2 3f(x) 3sin ax cosax 5 ,

a 2 .

) f

) 2f(x 2x 3) 5

) 8

f(1)3

, :

i) cosa ii) : cos a sin a

Atan a cot a2 2

373 (49 ) 9 ( )

24 (51 ) 5 (2 )

11. 1) : 4 4

x y 4

x y 82

2) : 4 441 x 41 x 4

12. :

1) y x xe

y

log x y log x y

2 22

2

3 2

1

1

3 ( 2 6) 2 ( 2) 1

2) 2 3

2 3

log 1 sinx log (3cosy)

log 1 3cosy log (3sinx)

3)

2012

2012

3 3 3

x 2

log (x 1) log (x 1) log 4

(2012 1)(x 3x 2) 0

4) 2 2

2 22 2

x xy y

log (x y ) 1 log xy

3 81

5)

2012 83 9

3 2

1 1log x log y 0

2012 4

|x| y 2y 0

13. f , , 2 2f (0) f (7) 10f(0) 6f(7) 34 g 3g(x) ax bx a,b

3 24

1g(1) g(2)

3g(2) 4g(1) 4

g(1)g(2) 3

.

) f(0),f(7),g(1) g(2)

) a 1 b 2 ) g

) g

) g f

) 2f(f(x 6x) 3) 5

14. (1) mx 1

x (2m 1) m

xD,D D .



) (1)

) 0 0(x , ) (1),

0 0A 2 x

) , , (2) x, x D ,D ,D

:

x

D D0

D D

x

D A2D

D A

, A ().

(2) , . ) m 1

i) (x,) (1) 2 2x 2 1

ii)

mx 2 3z 1

2x m 4z 2

3x 4 (m 4)z 15

15.

x (0, )2

cotx tanxsinx cosx 2 2 .

16. x 1 x2 4 x 1 . 17. f,g :

x xf(x) 25 25 1 g(x) 2 3x

) ) f(x) g(x)

18. 3 2P(x) x (3 log)x (5 log)x log4

3 2 6 2 26

Q(x) x (log log 3)x ( log log )x log4

10 , , 0 .

) P(x) Q(x) , ,

) P(x) (x 1)(x 2)

i) N 2, 125

ii) P(x) 0

iii) A P(x) 0 , x 1 x 23 3 10

) 2 Q(0)sin x 10

) P(1) 0

P(2) 2 0

, , 0 .

19. f,g 1 x

f(x) ln , g(x) f(x)1 x

.

) f, g ) g(x) ln3 .

) f(x) ln7 .

) f(x)2

x 1e

2(x 1) x 1



20. x

3 f x

1

.

. R f x R . . R f . . 0 , :

i. 3 2

2 f x 5 f x 6f x 9 0 ii. 3

f x3

21. : 2log x 80 x x 2x 80 x x 21

22. ln(3x 11)

f(x)ln(x 5)

) . ) f(x) 2

) x>6 f(x) 1

23. 4 3 2P(x) 16x 32x ax bx c a,b,c ,

24x dx 3 . 1) a,b,c,d 2) P x( ) 0

3) : 4 3 21

32cos x 4cos x sin x 3cosx8

24. f(x) ln(x a) 5

f( ) f( ) ln26 3

1) N a 2) To

3) [0,2]

ln(cos ) f( ) f( )12 24

4) N

f(x ) f(x )6 6

1sin(e )cos(e )

2

25. x 2x

1e lne

e , R .

26. 1) : 4 4

x y 4

x y 82

2) : 4 441 x 41 x 4

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