Download pdf - Σχολικο Βοήθημα Άλγεβρας Α΄ Λυκείου - Χρήστος Κουστέρης

Μια αποκλειστικότητα από το διαδικτυακό τόπο http://lisari.blogspot.gr/

ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ ΆΛΓΕΒΡΑΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Επιμέλεια: Χρήστος Κουστέρης

ΠΕΡΙΣΤΕΡΙ 2015 - 16

http://lisari.blogspot.gr/

2

Πρόλογος

Το βιβλίο που κρατάτε στα χέρια σας περιλαμβάνει την ύλη της Άλγεβρας και των

Πιθανοτήτων που προβλέπεται από το πρόγραμμα σπουδών της Α’ τάξης του Γενικού

Λυκείου.

Το περιεχόμενο του βιβλίου περιλαμβάνει σε γενικές γραμμές τα εξής:

Στο 1° Κεφάλαιο γίνεται μια εισαγωγή στη Θεωρία των Πιθανοτήτων. Η απόδειξη των

ιδιοτήτων της πιθανότητας ενός ενδεχομένου γίνεται μόνο στην περίπτωση που τα απλά

ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα. Η Θεωρία των Πιθανοτήτων ασχολείται με καταστάσεις

όπου υπάρχει αβεβαιότητα, και αυτό την κάνει ιδιαίτερα σημαντική στις εφαρμογές της

καθημερινής ζωής.

Στο 2° Κεφάλαιο επαναλαμβάνονται, συμπληρώνονται και επεκτείνονται οι βασικές

ιδιότητες των πραγματικών αριθμών.

Στο 3° Κεφάλαιο επαναλαμβάνονται, επεκτείνονται και

εξετάζονται συστηματικά όσα είναι γνωστά από το

Γυμνάσιο για τις εξισώσεις 1ου και 2ου βαθμού. Επίσης

εξετάζονται εξισώσεις που, για να επιλυθούν, ανάγονται

σε 1ου και 2ου βαθμού.

Στο 4° Κεφάλαιο παρουσιάζονται ανισώσεις 1ου και 2ου

βαθμού καθώς και ανισώσεις που, για να επιλυθούν,

ανάγονται σε 1ου και 2ου βαθμού.

Στο 5° Κεφάλαιο γίνεται εισαγωγή στην έννοια της

ακολουθίας πραγματικών αριθμών, και εξετάζονται η

αριθμητική και η γεωμετρική πρόοδος ως ειδικές

περιπτώσεις κανονικότητας (pattern) σε ακολουθίες.

Στο 6° Κεφάλαιο εισάγεται η έννοια της συνάρτησης. Η

συνάρτηση είναι μια θεμελιώδης έννοια που διαπερνά

όλους τους κλάδους των Μαθηματικών και έχει κεντρική

σημασία για την περαιτέρω ανάπτυξη και εφαρμογή τους.

3

Σχολικό βιβλίο Α΄ Λυκείου Άλγεβρας

ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ

Ανδρεαδάκης Στυλιανός

Κατσαργύρης Βασίλειος

Παπασταυρίδης Σταύρος

Πολύζος Γεώργιος

Σβέρκος Ανδρέας

ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ

Ανδρεαδάκης Στυλιανός Ομοτ. Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών

Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής Βαρβακείου Πειραματικού Λυκείου

Παπασταυρίδης Σταύρος Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών

Πολύζος Γεώργιος Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι.

Σβέρκος Ανδρέας Καθηγητής 2ου Πειραματικού Λυκείου Αθηνών

ΕΠΟΠΤΕΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΟΥ Π.Ι.

Σκούρας Αθανάσιος Σύμβουλος του Π.Ι.

Πολύζος Γεώργιος Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΜΟΡΦΩΜΕΝΗΣ ΕΚΔΟΣΗΣ

Ελευθερόπουλος Ιωάννης Καθηγητής Μαθηματικών, Αποσπασμένος στο Π.Ι.

Ζώτος Ιωάννης Καθηγητής Μαθηματικών, Αποσπασμένος στο Π.Ι.

Καλλιπολίτου Ευρυδίκη Καθηγήτρια Μαθηματικών, Αποσπασμένη στο Π.Ι.

Α΄ ΕΚΔΟΣΗ: 1991

ΕΠΑΝΕΚΔΟΣΕΙΣ ΜΕ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ: 1992, 1993, 1994, 1995, 1996, 1997, 1998

Η προσαρμογή του βιβλίου στο νέο αναλυτικό πρόγραμμα έγινε από το Παιδαγωγικό

Ινστιτούτο.

Επιμέλεια: Κουστέρης Χρήστος

Ε1. Το λεξικό της λογικής ......................................................................................... 7 Ε2. Σύνολα ................................................................................................................ 15

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

1.1. Δειγματικός Χώρος – Ενδεχόμενα ..................................................................... 23

Ασκήσεις .............................................................................................................. 26

1.2. Έννοια της πιθανότητας ...................................................................................... 33 Ασκήσεις .............................................................................................................. 36

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητες τους ........................................................................ 53

Ασκήσεις .............................................................................................................. 60

2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών ......................................................................... 67

Ασκήσεις .............................................................................................................. 72

2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικών Αριθμών ............................................................... 81

Ασκήσεις .............................................................................................................. 89

2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών .............................................................................. 96 Ασκήσεις .............................................................................................................. 98

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

3.1. Εξισώσεις 1ου

Βαθμού ......................................................................................... 109

3.2. Η Εξίσωση xν = α ................................................................................................ 126


Βαθμού ......................................................................................... 129 Ασκήσεις .............................................................................................................. 133

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

4.1. Ανισώσεις 1ου

Βαθμού ........................................................................................ 148

Ασκήσεις .............................................................................................................. 151


Βαθμού ......................................................................................... 162

Ασκήσεις .............................................................................................................. 164

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: ΠΡΟΟΔΟΙ

5.1. Ακολουθίες .......................................................................................................... 175

5.2. Αριθμητική Πρόοδος .......................................................................................... 178

Ασκήσεις .............................................................................................................. 183

5.3. Γεωμετρική Πρόοδος .......................................................................................... 187

Ασκήσεις .............................................................................................................. 191

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6ο: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης .................................................................................. 204

6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης ...................................................................... 216

6.3. Η Συνάρτηση f(x) = αx + β ................................................................................. 231

Επαναληπτικά θέματα………………………………………………………………….248

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ


Μια αποκλειστικότητα από το διαδικτυακό τόπο lisari.blogspot.gr


Απαγορεύεται η αναπαραγωγή και η αναδιατύπωση του παρόντος συγγράμματος με σκοπό την εμπορική

εκμετάλλευση χωρίς την έγγραφη έγκριση του συγγραφέα


7

Ε1. Το λεξιλόγιο της λογικής

Μαθηματική πρόταση ή ισχυρισμός ονομάζεται κάθε έκφραση η οποία

μπορεί να χαρακτηριστεί αποκλειστικά ως αληθής (Α) ή ψευδής (Ψ).

Παράδειγμα

Πρόταση 1

Ο αριθμός 14 είναι άρτιος. →Αληθής

Πρόταση 2

Το 3 είναι διαιρέτης του 10. →Ψευδής

Πρόταση 3

Σήμερα είναι ωραία μέρα για μπάνιο. →Δεν είναι μαθηματική πρόταση

Παρατηρήσεις – Επισημάνσεις

1. Μία μαθηματική πρόταση θα πρέπει να δέχεται ή να αρνείται κάτι το ο-

ποίο απορρέει από κάποιο νόμο ,από μια φυσική αναγκαιότητα και όχι

κάτι που εκφράζει επιθυμία, διάθεση και γενικά ότι έχει να κάνει με συ-

ναισθήματα και απόψεις

2. Μία πρόταση λέγεται απλή αν δε μπορεί να χωριστεί σε δύο ή περισσό-

τερες άλλες προτάσεις.

3. Μία πρόταση λέγεται σύνθετη αν μπορεί να χωρισθεί σε δύο ή και πε-

ρισσότερες απλές προτάσεις.

4. Προτασιακός τύπος είναι μία μαθηματική έκφραση που περιέχει μία με-

ταβλητή και η οποία γίνεται λογική πρόταση για κάθε τιμή της μεταβλη-

τής.

Προτασιακός τύπος (1)

p(x): «για το πραγματικό αριθμό x ισχύει: x 2 0»

Ο p(x) γίνεται αληθής για οποιαδήποτε τιμή του πραγματικού αριθμού x.

Άρα ο p(x) είναι μία καθολική πρόταση.

Χρησιμοποιούμε το σύμβολο για να δηλώσουμε ότι η p(x) είναι αλη-

θής για κάθε τιμή της μεταβλητής.

Το σύμβολο λέγεται καθολικός ποσοδείκτης.


8

Προτασιακός τύπος (2)

q(x): «για τον πραγματικό αριθμό x ισχύει x 1 7»

Ο q(x) γίνεται αληθής μόνο για x 6 ενώ για οποιαδήποτε άλλη τιμή του

x γίνεται ψευδής πρόταση.

Χρησιμοποιούμε το σύμβολο για να δηλώσουμε ότι η q(x) είναι αλη-

θής για συγκεκριμένη τιμή της μεταβλητής.

= υπάρχει

Το σύμβολο λέγεται υπαρξιακός ποσοδείκτης.

Η συνεπαγωγή

Παράδειγμα 1:

Έστω οι προτάσεις

Ρ: Ο Γιάννης είναι κάτοικος Περιστερίου

Q: Ο Γιάννης είναι κάτοικος του νομού Αττικής

Αν η πρόταση Ρ είναι αληθής τότε και η πρόταση Q θα είναι αληθής.

Άρα η πρόταση: «Αν ο Γιάννης είναι κάτοικος Περιστερίου τότε είναι κάτοικος

και του νομού Αττικής» είναι αληθής.

Μπορεί ο Γιάννης να μην είναι κάτοικος Περιστερίου αλλά να μένει στο νο-

μό Αττικής δηλαδή μπορεί από μια ψευδή υπόθεση να καταλήξω σε ένα α-

ληθές συμπέρασμα οπότε η συνεπαγωγή είναι αληθής.

Παράδειγμα 2:

Έστω οι προτάσεις

Ρ: Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι ίσα

Q: Οι γωνίες των τριγώνων ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι μία προς μία ίσες

Αν η πρόταση Ρ είναι αληθής τότε και η πρόταση Q θα είναι αληθής.

Άρα η πρόταση: «Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι ίσα τότε και οι γωνίες τους

είναι μία προς μία ίσες» είναι αληθής.

Γενικά

Αν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί (προτάσεις) τέτοιοι ώστε όταν αληθεύει και ο

Ρ να αληθεύει και ο Q τότε λέμε ότι ο Ρ συνεπάγεται τον Q και γράφουμε P Q

Ο ισχυρισμός “ P Q ” λέγεται συνεπαγωγής και πολλές φορές διαβάζεται: «αν

P τότε Q».

Η πρόταση Ρ λέγεται υπόθεση της συνεπαγωγής ενώ ο Q λέγεται συμπέρασμα.

Πίνακας αλήθειας

P Q P Q

A Α Α

A Ψ Ψ

Ψ Α Α

Ψ Ψ Α


9

Παραδείγματα:

i. P : 5 3 (A) p q (A)

Q: 10 6 (Α)

ii. P : 5 3 (A) p q (Ψ)

Q: 10 6 (Ψ)

iii. P : 2 3 (Ψ) p q (A)

Q: 4 6 (Ψ)

iv. P : 3 3 και 2 2 (Ψ) p q (A)

Q: 6 6 (Α)

Θεωρούμε ότι η συνεπαγωγή p q είναι ψευδής μόνο στην περίπτωση

που η υπόθεση p είναι αληθής και το συμπέρασμα q είναι ψευδής πρότα-

ση.

Η ισοδυναμία ή διπλή συνεπαγωγή


Έστω οι προτάσεις:

P: Το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφή του Α είναι ισοσκελές.

Q: Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ΑΒ=ΑΓ

Αν η πρόταση Ρ είναι αληθής τότε και η πρόταση Q είναι αληθής.

Αν η πρόταση Q είναι αληθής τότε και η πρόταση P είναι αληθής.

Δηλαδή ισχύει P Q και Q P τότε ισχυρισμοί p και q είναι ισοδύναμοι και

γράφουμε p q

Γενικά: Αν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί (προτάσεις) τέτοιοι ώστε όταν αληθεύει ο Ρ

να αληθεύει ο Ρ να αληθεύει και ο Q και όταν αληθεύει ο Q να αληθεύει και ο

Ρ τότε λέμε ότι ο Ρ συνεπάγεται τον Q και αντιστρόφως ή ο Ρ είναι ισοδύναμος

με τον Q και γράφουμε P Q

Ο ισχυρισμός « P Q » λέγεται ισοδυναμία και αρκετές φορές διαβάζεται «Ρ

αν και μόνο αν Q»


P Q P Q

A Α Α

A Ψ Ψ

Ψ Α Α

Ψ Ψ Α


10

Ο σύνδεσμος (ή)

«Αν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί τότε ο ισχυρισμός P ή Q αληθεύει μό-

νο στην περίπτωση που τουλάχιστον από τους ισχυρισμούς αληθεύει»

Ο ισχυρισμός « P ή Q» λέγεται διάζευξη των P και Q.


P Q P ή Q

A Α Α

A Ψ Α

Ψ Α Α

Ψ Ψ Ψ

Παράδειγμα:

2

2

2 2

P : x 3x 0

Q : x 9 0

P ή Q : x 3x x 9 0

Η πρόταση Ρ αληθεύει για x= 0, x = 3

Η πρόταση Q αληθεύει για x = 3, x = -3

Η πρόταση P ή Q αληθεύει για x = 0, x = 3, x= -3

Ο σύνδεσμος και

Γενικά: Αν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί τότε ο ισχυρισμός Ρ και Q αλη-

θεύει μόνο στην περίπτωση που και οι δύο ισχυρισμοί αληθεύουν.

Ο ισχυρισμός «Ρ και Q» λέγεται σύζευξη των Ρ και Q


P Q P και Q

A Α Α

A Ψ Ψ

Ψ Α Ψ

Ψ Ψ Ψ

Η άρνηση

Από τη μαθηματική πρόταση ρ μπορούμε να δημιουργήσουμε την άρνη-

ση της ρ η οποία συμβολίζεται: « ρ » ή «ρ΄» ή « ρ » ή «όχι ρ»

Η πρόταση ρ είναι αληθής όταν η ρ είναι ψευδής.


ρ ρ

Α Ψ

Ψ Α

Παράδειγμα 1: ρ: x 5

ρ : x 5

Παράδειγμα 2: ρ: x 5

ρ : x 5


11

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1

Να γράψετε με λόγια τη σύζευξη “P και Q” και τη διάζευξη “P ή Q” και

να τις χαρακτηρίσετε ως αληθείς ή ψευδείς.

i. P: Το έτος έχει 12 μήνες

Q: Η εβδομάδα έχει 7 μέρες

ii. P: Το Βερολίνο βρίσκεται στη Γαλλία

Q: Το Λονδίνο βρίσκεται στην Ιταλία

iii. P: Το 2 είναι μεγαλύτερο του 1

Q: Το 4 είναι μικρότερο του 3

iv. P: Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 141

Q: Στο ισόπλευρο τρίγωνο όλες οι πλευρές είναι ίσες μεταξύ τους.

v. P: Ο αριθμός 12 είναι ακέραιος.

Q: Ο αριθμός 16 είναι πολλαπλάσιο του 4

vi. P: Ο αριθμός - 4 είναι φυσικός

Q: Ο αριθμός 3

5 είναι ρητός


12


Α) Να χαρακτηρίσετε τις παραπάνω προτάσεις αληθείς ή ψευδείς

1Π : 2 > 3

2Π : Ο πρώτος παγκόσμιος πόλεμος έγινε τον 20ο αιώνα

3Π : To 3 είναι διαιρέτης του 12

4Π : Στο ισόπλευρο τρίγωνο όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους

5Π : 2 2 2α +β = α + 2αβ +β ,α, β πραγματικοί αριθμοί

6Π : 2= 4

B) Να χαρα-

κτηρίσετε τις

παρακάτω συνε-

παγωγές αληθείς

ή ψευδείς

1) 1 2Π Π

2) 2 3Π Π

3) 3 4Π Π

4) 4 5Π Π

5) 5 6Π Π

6) 6 3Π Π

7) 1 3Π Π

8) 1 4Π Π

9) 3 6Π Π

Γ) Να χαρα-


παρακάτω ισο-

δυναμίες αλη-

θείς ή ψευδείς

1) 1 2Π Π

2) 2 3Π Π

3) 3 4Π Π

4) 4 5Π Π

5) 5 6Π Π

6) 6 3Π Π

7) 1 3Π Π

8) 1 4Π Π

9) 3 6Π Π

Δ) Να χαρα-


παρακάτω δια-

ζεύξεις αληθείς

ή ψευδείς

1) 1 2Π ή Π

2) 2 3Π ή Π

3) 3 4Π ή Π

4) 4 5Π ή Π

5) 5 6Π ή Π

6) 6 3Π ή Π

7) 1 3Π ή Π

8) 1 4Π ή Π

9) 3 6Π ή Π

Ε) Να χαρα-


παρακάτω συ-

ζεύξεις αληθείς

ή ψευδείς

1) 1 2Π και Π

2) 2 3Π και Π

3) 3 4Π και Π

4) 4 5Π και Π

5) 5 6Π και Π

6) 6 3Π και Π

7) 1 3Π και Π

8) 1 4Π και Π

9) 3 6Π και Π


13


Α) Να αντιστοιχίσετε κάθε ένα από τους ισχυρισμούς της Α ομάδας στον

ισοδύναμο του ισχυρισμό της Β ομάδας

Α ΟΜΑΔΑ Β ΟΜΑΔΑ

1. x 1 x 3 0 α. x 4

2. 2x 2x β. x 3 και x 3

3. 2x 16 γ. x 1 ή x 3

4. 2x 4 και x 0 δ. x 4 και x 4

5. x 6 x 2 0 ε. x 0 ή x 2

6. 2x 9 στ. x 4

7. 2x 16 και 2x 4x 0

ζ. x 4 ή x 4

η. x 2

θ. x 6 και x 2

Β) Να βρείτε για ποιες τιμές του x αληθεύουν οι ισχυρισμοί

i) 2x 4 x 3 0

ii) 1

x 5 x 02

iii) x 4 x x 6 0

iv) 4x x 1 2 x 9 3x 0

Γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του x αληθεύουν συγχρόνως οι ισχυρισμοί

i) 5

x 1 x 3 x 03

και 2x x 6 x 1 0

ii) x x 2 x 1 x 5 0 και x 2 x x 4 x 5 0


14


Α) Να γράψετε με λόγια την σύζευξη “P και Q” και την διάζευξη “P ή

Q” και να τις χαρακτηρίσετε αληθείς ή ψευδείς

i. P: Ο αριθμός 12 είναι ακέραιος

Q: Ο αριθμός 12 είναι πολλαπλάσιο του 3

ii. P: Ο αριθμός 3 είναι μικρότερος του 6

Q: Ο αριθμός 6 είναι μικρότερος του 5

iii. P: Ο αριθμός -2 είναι φυσικός

Q: Ο αριθμός -5 είναι μεγαλύτερος του- 3

Β) Θεωρούμε τις προτάσεις

1P : ο αριθμός 3 είναι περιττός

2P : ο αριθμός 8 είναι άρτιος

3P : Ο αριθμός 5 είναι άρτιος

4P : ο αριθμός 4 είναι περιττός

Να συμπληρωθεί ο πίνακας με Ψ (αν είναι ψευδής) ή Α (αν είναι αληθής )

1 2P και P 1 3P και P 3 4P και P 1 2P ή P 2 3P ή P 3 4P ή P


15

Ε2. Σύνολα

Η έννοια του συνόλου στα μαθηματικά είναι ΑΡΧΙΚΗ οπότε δεν υπάρχει ορι-

σμός, αλλά θα προσπαθήσουμε να εξηγήσουμε την έννοια αυτή περιγραφικά

Σύνολο στα μαθηματικά εννοούμε μια ομάδα αντικειμένων τα οποία είναι

αυστηρώς καθορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.(Cantor)

Τα αντικείμενα που αποτελούν το σύνολο λέγονται στοιχεία ή μέλη του συ-

νόλου.

Λέγοντας αυστηρώς καθορισμένα εννοούμε ότι τα στοιχεία μπορούμε να τα

αναγνωρίσουμε ενώ να διακρίνονται το ένα από το άλλο εννοούμε να μην είναι

ακριβώς τα ίδια .

Για παράδειγμα αν πούμε το σύνολο των μεγάλων συγγραφέων του 20ου αιώνα

είναι λάθος να το θεωρήσουμε ως σύνολο στα μαθηματικά διότι δεν είναι πλή-

ρως καθορισμένη η έκφραση “μεγάλος συγγραφέας”, ενώ αν θεωρήσουμε το

σύνολο των πρωτευουσών όλων των χωρών της Ευρώπης αυτό αποτελεί σύνο-

λο με τη μαθηματική έννοια του όρου διότι οι πρωτεύουσες της Ευρώπης είναι

συγκεκριμένες και διακρίνονται η μία από την άλλη.

Για να συμβολίσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε κεφαλαία γράμματα του ελ-

ληνικού ή του λατινικού αλφάβητου ενώ για τα στοιχεία του συνόλου χρησι-

μοποιούμε τα μικρά γράμματα

Για να δηλώσουμε ότι το στοιχείο κ είναι στοιχείο του συνόλου Α γράφουμε

κ Α και το διαβάζουμε «το κ ανήκει στο Α» ενώ για να δηλώσουμε ότι το

στοιχείο κ δεν είναι στοιχείο του συνόλου Α γράφουμε κ Α και διαβάζουμε

«το κ δεν ανήκει στο Α»

ΓΝΩΣΤΑ ΣΥΝΟΛΑ

Το σύνολο των φυσικών αριθμών συμβολίζεται με

Το σύνολο των ακεραίων αριθμών συμβολίζεται με

Το σύνολο των ρητών αριθμών συμβολίζεται με

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών συμβολίζεται με


16

Παράσταση Συνόλου

Για να παραστήσουμε ένα σύνολο υπάρχουν οι παρακάτω τρόποι:

1. Με αναγραφή των στοιχείων του

i. Αν το πλήθος των στοιχείων του συνόλου είναι λίγα σε πλήθος τότε

μεταξύ δύο αγκίστρων γράφουμε τα στοιχεία του από μία φορά το

καθένα με όποια σειρά θέλουμε διαχωρίζοντάς τα με κόμμα.


Το σύνολο των φωνήεντων του ελληνικού αλφαβήτου είναι

A = α, ο, ω, η, ι, υ

Το σύνολο των φυσικών από το 1 έως το 7 είναι: Β = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

ii. Αν το πλήθος των στοιχείων του συνόλου είναι “πολλά” ή και άπει-

ρα ακόμη αλλά ακολουθούν μία λογική σειρά τότε γράφουμε μερικά

από αυτά –συνήθως τα πρώτα παραλείποντας τα υπόλοιπα αρκεί να

είναι σαφές ποια στοιχεία παραλείπονται.


Το σύνολο των ακεραίων από το 20 έως το 80 είναι C : -20,-19,-18,...,80

Το σύνολο των φυσικών είναι: = 0,1,2,3,...

2. Με περιγραφή των στοιχείων του

Όταν είναι δύσκολο να αναγράψουμε τα στοιχεία ενός συνόλου τότε τα

περιγράφουμε αναφέροντας μία κοινή χαρακτηριστική ιδιότητα που έ-

χουν τα στοιχεία του.

Βέβαια μπορεί ένα σύνολο να παρασταθεί και με περιγραφή αλλά και με

αναγραφή των στοιχείων του.

Αν από ένα σύνολο Ω επιλέγουμε εκείνα τα στοιχεία του που έχουν μία

ορισμένη ιδιότητα Ι τότε γράφουμε:

x Ω / x έχει την ιδιότητα Ι

και διαβάζεται: Το σύνολο των x που ανήκουν στο Ω έτσι ώστε τα x να

έχουν την ιδιότητα Ι


Αν θέλουμε το σύνολο των θετικών ρητών τότε γράφουμε: Α = x / x > 0

Το σύνολο Α είναι αδύνατο να παρασταθεί με αναγραφή διότι δεν είναι δυνατόν

να καταστεί σαφές ποια στοιχεία παραλείπονται. Εξάλλου δεν μπορούμε να απα-

ντήσουμε στην ερώτηση: Ποιος είναι ο επόμενος ρητός μετά το 2;


17

3. Διάγραμμα Venn

Το διάγραμμα Venn αποτελείται:

α. Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο το οποίο παριστάνει το βασικό σύ-

νολο Ω.

β. Κλειστές καμπύλες οι οποίες βρίσκονται μέσα στο παραλληλό-

γραμμο και παριστάνουν τα σύνολα στα εσωτερικά των οποίων

γράφουμε τα στοιχεία του με τελείες.


/A x x 7 1 περιγραφή

A 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 αναγραφή

Ίσα σύνολα

Δύο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα αν και μόνο αν έχουν ακριβώς τα ίδια στοι-

χεία και γράφουμε Α=Β.

Δηλαδή κάθε στοιχείο x A είναι και στοιχείο του Β και κάθε στοιχείο x B

είναι και στοιχείο του Α.


A = 0, 2, - 2

2B = x R/x x - 4 = 0

Το σύνολο Β αποτελείται από τα στοιχεία 0, -2, 2 και ο τα οποία είναι λύσεις της

εξίσωσης 2x x - 4 .

Δηλαδή B = -2, 0, 2 . Άρα Α = Β

Υποσύνολα συνόλου

Ένα σύνολο Α λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου Β όταν κάθε στοιχείο του Α

είναι και στοιχείο του Β και γράφουμε A B

Ισχύει: A A για κάθε σύνολο Α

Αν A B και B Γ τότε Α Γ

Αν A B και B Α τότε Α Β

Α

1

2

3

4 5

6 7


18

Κενό σύνολο

Κενό είναι το σύνολο το οποίο δεν έχει στοιχεία και συμβολίζεται: ή

Ισχύει: Α για κάθε σύνολο Α

Πράξεις με σύνολα

1. Ένωση δύο υποσυνόλων Α, Β ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνο-

λο των στοιχείων του Ω που ανήκουν τουλάχιστον σε ένα από τα σύνολα

Α και Β και συμβολίζεται Α Β

* Το Α Β περιέχει τα κοινά και

μη κοινά στοιχεία των συνόλων Α, Β

Α Β x Ω / x A ή x B

2. Τομή δύο υποσυνόλων Α, Β ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο

των στοιχείων του Ω που ανήκουν και στα δύο Σύνολα Α,Β και συμβολί-

ζεται: A B

* Το A B περιέχει τα κοινά στοι-

χεία των συνόλων Α,Β

Α Β x Ω / x A και x B

Αν A B τότε τα δύο σύνολα λέγονται ξένα μεταξύ τους και

αντίστροφα.

3. Συμπλήρωμα ενός υποσυνόλου Α ενός

βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο

των στοιχείων του Ω που δεν ανήκουν στο

Α και συμβολίζεται με Α’

Α x Ω / x A

4. Διαφορά δύο μη κενών συνόλων

Α,Β δηλαδή:

Α-Β ονομάζουμε το σύνολο που έχει

στοιχεία τα στοιχεία του συνόλου Α

που δεν ανήκουν στο Β

A B x Ω / x A και x B


19

Ιδιότητες συνόλων

1. Ένωση

α. A B B A

β. A A

γ. A B Γ Α Β Γ

δ. Α Ω Ω

ε. Α Α Α

στ. Αν Α Β τότε Α Β Β

ζ. Α Α Β και Β Α Β

2. Τομή

α. Α Β Β Α

β. A

γ. Α Ω Α

δ. Α Β Γ Α Β Γ

ε. Α Α Α

στ. Αν Α Β τότε Α Β Α

ζ. Α Β Α ΚΑΙ Β Α Β

3. Συμπλήρωμα

α. Α Α

β. Α Α Ω

γ. Α Α

δ. Ω

ε. Ω

4. Διαφορά

α. Α Β Α Β

β. Ω Α Α

γ. Α Β Α Β Α

δ. Α Β Α Β

Να χαρακτηρίσετε με ΣΩΣΤΟ (Σ) ή ΛΑΘΟΣ (Λ) τις παρακάτω προτάσεις:

1. Το σύνολο Α 0 είναι το κενό σύνολο Σ Λ

2. Το σύνολο Α είναι το κενό σύνολο Σ Λ

3. Αν Α , , 0 3 5 και Β , , , , 0 1 5 6 3 τότε Α Β Σ Λ

4. Αν Α , 1 3 και Β x / x περιττός τότε Α Β , 1 3

Σ Λ

5. Αν Α x / x 3 0 τότε A Σ Λ

6. Αν A x / x 2 16 και B , 4 4 τότε A B Σ Λ

7. Αν A κ,λ και B κ, λ 2 2 τότε Α Β Σ Λ

8. Ισχύει: Ω Σ Λ


20

Ασκήσεις κατανόησης στα σύνολα

1. Ποια από τα παρακάτω σύνολα είναι καλώς ορισμένα

α) Το σύνολο των ψηλών μιας ομάδας μπάσκετ

β) Το σύνολο των ρητών από το 3 έως το 25

γ) Το σύνολο των ημερήσιων εφημερίδων

δ) Το σύνολο των μικρών ομάδων της Γ εθνικής

2. Να γράψετε το σύνολο των ψηφίων των παρακάτω αριθμών

α) 1625

β) 313

γ) 22200

δ) 2525

ε) 0,0066655

στ) 121

3. Να παραστήσετε με αναγραφή των στοιχείων τους τα παρακάτω σύνολα

α) Το σύνολο των ακεραίων από το -4 έως και το 2

β) Το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης x x 1 x 4 0

γ) Το σύνολο των θετικών ακεραίων

4. Να γράψετε το σύνολο των γραμμάτων που χρησιμοποιούμε για τις ακό-

λουθες λέξεις

α) ΠΑΠΠΑΣ

β) ΘΕΣΑΛΛΟΝΙΚΗ

γ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

δ) ΚΛΑΣΜΑ

5. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα

2,6

6π

0,325

14

2

2 π

13

4

6. Να γράψετε με αναγραφή τα ακόλουθα σύνολα

2A x Z / x 81 2x 5 0

2B x R / x 6 0

2Γ x N / x 16 0


21

7. Να γράψετε με περιγραφή τα παρακάτω σύνολα

α) A 1,2,3,4,5,6,7,8,9

β) B 3,6,9,12,15,...

γ) Γ 4, 8, 12, 16,...

8. Σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις έχουμε A B

α) A 2, 1,1,2 και B x Z/ 3 x 4

β) A 5,7,9 και B x N/ x διαιρέτης του 4

9. Να γράψετε όλα τα υποσύνολα του συνόλου A 1,2,3

10. Αν Ω 1,2,3,4,...,10 , A x Ω / x άρτιος και

B x Ω / x διαιρέτης του 8 τότε να βρείτε τα ακόλουθα σύνολα :

A B,A B,A ,B ,A B,B A

11. Αν Ω 1,2,3,4,...,20 , A x Ω / x άρτιος και

B x Ω / x πολλαπλάσιο του 3 τότε να βρείτε τα ακόλουθα σύνολα :

A B,A B,A ,B ,A B,B A και να κάνετε το διάγραμμα του Venn

12. Α) Να παραστήσετε με αναγραφή τα στοιχεία του συνόλου

3A x Z / x 64x 0

Β) Να βρείτε ποια από τα παρακάτω σύνολα είναι υποσύνολα του

συνόλου Α.

B 2 ,Γ 8,8 ,Δ 3,4 ,Ε 0,8, 8 ,Κ 0,64

13. Έστω τα σύνολα A 3,4,5,6,9 ,B 3,4,7,9 , Γ 7,6,5,4 . Να βρείτε τα

σύνολα

A B, A Γ, Β Γ, Α Β, Α Γ, Β Γ, Α Β Γ, (Α Β) Γ

14. Με τη βοήθεια του επόμενου διαγράμματος Venn

Να βρείτε τα σύνολα A,B,A B,A B,A ,B ,A B,B A

.4

.3 .1 .2 .7 .8

.9 .5 . 6

.10

.11

.7

.8

.9

A

B Ω


22

15. Θεωρούμε το βασικό σύνολο Ω α,β, γ,δ,ε,ζ,η,θ και τα υποσύνολά του

A α,β,δ,ζ ,Β β,γ,ε,η ,Γ β,δ,η,θ .

α) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα σύνολα Ω,Α,Β,Γ

β) Να παραστήσετε με αναγραφή των στοιχείων τους τα παρακάτω

σύνολα A Γ,Β Γ,(Α Β) Γ,Α Β Γ

16. Σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις ισχύει A B

α) A 1,2,3 και B 3,1,2

β) A x R / x 3 0 και 2B x N / x 9 0

γ) A x R / x 5 0 και B x R / x 5 0

17. Θεωρούμε το βασικό σύνολο Ω 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 και τα υποσύνολά

του A 1,2,3,4 ,B 3,4,5,6,8 , Γ 3,4,7,9,10 . Να παραστήσετε με

αναγραφή των στοιχείων τους και με διάγραμμα του Venn τα επόμενα

σύνολα A ,A B,A B,A Γ,Α Γ,Α Β,Α Β, Α Β Β Α

18. Αν Ω 1,2,3,4 ,Α 1,4 ,Β 1,3 να αποδείξετε ότι A B A B


23

1.1. Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα

Πειράματα

Ορισμός:

Πείραμα καλείται κάθε διαδικασία που καταλήγει σε ένα ή περισσότερα

αποτελέσματα ή όπως αλλιώς λέγονται παρατηρήσεις ή εξαγόμενα.

Τα πειράματα διακρίνονται σε δύο βασικές κατηγορίες:

α) Αιτιοκρατικά πειράματα: είναι εκείνα τα πειράματα στα οποία οι

συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιούνται προκαθορίζουν το

αποτέλεσμα.

Π.χ. αν θερμάνουμε αποσταγμένο νερό σε 100C στην επιφάνεια της

θάλασσας δηλαδή σε ατμοσφαιρική πίεση 760mm Hg το νερό θα βράσει.

β) Πειράματα τύχης: είναι εκείνα τα πειράματα τα οποία όσες φορές και

αν τα επαναλάβουμε κάτω από τις ίδιες (φαινομενικά) συνθήκες, δεν

μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα.

Π.χ. η ρίψη ενός αμερόληπτου ζαριού ή νομίσματος, η κλήρωση του

ΤΖΟΚΕΡ κλπ.

Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα

Δυνατά αποτελέσματα ή δυνατές περιπτώσεις ενός πειράματος τύ-

χης καλούνται όλα τα αποτελέσματα που μπορούν να εμφανιστούν σε

ένα πείραμα τύχης.

Δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης καλείται το σύνολο όλων

των δυνατών αποτελεσμάτων του και συμβολίζεται με Ω.

Π.χ. στο πείραμα τύχης «ρίψη ζαριού» ο δειγματικός χώρος είναι: Ω =

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

Αν ω1, ω2, ω3, ..., ων είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος

τύχης τότε ο δειγματικός του χώρος είναι: Ω = {ω1, ω2, ..., ων}.

Ενδεχόμενο ή γεγονός ενός πειράματος τύχης καλείται κάθε υποσύ-

νολο του δειγματικού χώρου Ω του πειράματος.

Π.χ. στο πείραμα ρίψης ζαριού το σύνολο Α = {2, 4, 6} είναι το ενδε-

χόμενο το αποτέλεσμα της ρίψης να είναι άρτιος.

Απλό ενδεχόμενο καλείται κάθε ενδεχόμενο που περιέχει ένα μόνο

στοιχείο.

Σύνθετο ενδεχόμενο καλείται κάθε ενδεχόμενο που περιέχει περισσό-

τερα από ένα στοιχεία.


24

Όταν το αποτέλεσμα ενός πειράματος σε μια συγκεκριμένη εκτέλεσή

του είναι στοιχείο ενός ενδεχομένου, τότε λέμε ότι το ενδεχόμενο

πραγματοποιείται ή συμβαίνει. Γι’ αυτό και τα στοιχεία ενός ενδεχο-

μένου λέγονται ευνοϊκές περιπτώσεις των ενδεχομένων.

- Ο ίδιος ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος είναι ένα ενδεχό-

μενο αφού Ω Ω. Το ενδεχόμενο Ω πραγματοποιείται πάντα α-

φού όποιο κι αν είναι το αποτέλεσμα του πειράματος θα ανήκει

στο Ω. Γι’ αυτό το Ω καλείται βέβαιο ενδεχόμενο.

- Το κενό σύνολο είναι ένα ενδεχόμενο αφού Ω. Το δεν

πραγματοποιείται ποτέ αφού δεν υπάρχει περίπτωση σε ένα πεί-

ραμα να μην έχουμε αποτέλεσμα. Γι’ αυτό το καλείται αδύ-

νατο ενδεχόμενο.

Το πλήθος των στοιχείων ενός ενδεχομένου Α συμβολίζεται με Ν(Α).

Π.χ. αν Α = {2, 4, 6} τότε Ν(Α) = 3.

Πράξεις με ενδεχόμενα

Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Μεταξύ των εν-

δεχομένων αυτών ορίζονται οι ακόλουθες πράξεις:

1. Το ενδεχόμενο ΑΒ. Με διάγραμμα Venn παριστάνεται στο

διπλανό σχήμα. Το ενδεχόμενο αυτό διαβάζεται ως εξής:

ΑΒ = πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα δύο εν-

δεχόμενα.

2. Το ενδεχόμενο ΑΒ. Με διάγραμμα Venn παριστάνεται στο

διπλανό σχήμα. Το ενδεχόμενο αυτό διαβάζεται ως εξής:

ΑΒ = πραγματοποιούνται συγχρόνως και τα δύο ενδεχό-

μενα.

3. Το ενδεχόμενο Α΄. Με διάγραμμα Venn παριστάνεται στο δι

πλανό σχήμα. Το ενδεχόμενο αυτό διαβάζεται ως εξής:

Α΄ = δεν πραγματοποιείται το ενδεχόμενο.

4. Το ενδεχόμενο (ΑΒ)΄. Με διάγραμμα Venn παριστάνεται

στο διπλανό σχήμα. Το ενδεχόμενο αυτό διαβάζεται ως εξής:

(ΑΒ)΄ = δεν πραγματοποιείται κανένα από τα δύο ενδεχό-

μενα.

Α Β

Ω

Α Β

Ω

Ω

Α

α Ω

Α Β


25

5. Το ενδεχόμενο Α - Β ή ΑΒ΄. Με διάγραμμα Venn παριστά

νεται στο διπλανό σχήμα. Το ενδεχόμενο αυτό διαβάζεται ως

εξής:

Α - Β = πραγματοποιείται μόνο το ενδεχόμενο Α.

6. Το ενδεχόμενο (Α - Β) (Β - Α). Με διάγραμμα Venn

παριστάνεται στο διπλανό σχήμα. Το ενδεχόμενο αυτό διαβά-

ζεται ως εξής:

(Α - Β)(Β - Α) = πραγματοποιείται ακριβώς ένα από τα

δύο ενδεχόμενα.

7. Το ενδεχόμενο (Α - Β) (Β - Α). Με διάγραμμα Venn

παριστάνεται στο διπλανό σχήμα. Το ενδεχόμενο αυτό διαβά-

ζεται ως εξής:

(Α - Β)(Β - Α) = πραγματοποιείται ακριβώς ένα από τα

δύο ενδεχόμενα.

8. Δύο ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω καλούνται α-

συμβίβαστα όταν δεν έχουν κανένα κοινό στοιχείο, δηλαδή ό-

ταν ΑΒ = . Αλλιώς καλούνται ξένα μεταξύ τους ή αμοι-

βαίως αποκλειόμενα. Με διάγραμμα Venn παριστάνονται ό-

πως στο διπλανό σχήμα.

Α

Β

Ω

Ω

Β

Α

Α Β

Ω

Α

Β

Ω


26

Ασκήσεις κατανόησης

1. Αν ΑΒ = Ω τότε ΑΒ = Σ Λ

2. Αν ΑΒ = τότε ΑΒ = Ω Σ Λ

3. Αν ΑΒ, τότε Β - Α = Σ Λ

4. Τα αντίθετα ενδεχόμενα είναι ασυμβίβαστα. Σ Λ

5. Τα ασυμβίβαστα ενδεχόμενα είναι αντίθετα. Σ Λ

6. Όταν οι συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται ένα πείραμα

προκαθορίζουν το αποτέλεσμα τότε το πείραμα λέγεται πείραμα τύχης.

Σ Λ

7. Πείραμα τύχης λέγεται κάθε πείραμα, που είναι δυνατό να επαναληφ-

θεί πολλές φορές κάτω από τις ίδιες συνθήκες (φαινομενικά), και του

οποίου δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα.

Σ Λ

8. Η καταγραφή του αριθμού των τροχαίων ατυχημάτων που συμβαίνουν

κάθε Κυριακή σε όλη τη χώρα είναι πείραμα τύχης. Σ Λ

9. Η καταγραφή της θερμοκρασίας βρασμού του νερού είναι πείραμα τύ-

χης. Σ Λ

10. Η καταγραφή του διαστήματος, που διανύει ένα κινητό σε χρόνο t κι-

νούμενο σε ευθεία με σταθερή ταχύτητα υ, είναι πείραμα τύχης.

Σ Λ

11. Η καταγραφή της θερμοκρασίας στην οποία τήκεται ο πάγος είναι

πείραμα αιτιοκρατικό.

Σ Λ

12. Η καταγραφή της ώρας ανατολής του ηλίου στις 14 Ιουλίου κάθε χρό-

νου είναι πείραμα τύχης. Σ Λ

13. Το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης

λέγεται δειγματικός χώρος του πειράματος. Σ Λ

14. Κάθε υποσύνολο του δειγματικού χώρου ενός πειράματος τύχης ονο-

μάζεται δυνατό αποτέλεσμα του πειράματος. Σ Λ


27

15. Κάθε υποσύνολο του δειγματικού χώρου ενός πειράματος τύχης ονο-

μάζεται ενδεχόμενο του πειράματος. Σ Λ

16. Κατά τη ρίψη ενός ζαριού, το ενδεχόμενο η ένδειξη της άνω έδρας να

είναι αριθμός μικρότερος του 4 είναι σύνθετο ενδεχόμενο.

Σ Λ

17. Κατά τη ρίψη ενός ζαριού το ενδεχόμενο η ένδειξη της άνω έδρας να

είναι αριθμός μεγαλύτερος του 5 είναι απλό ενδεχόμενο. Σ Λ

18. Βέβαιο ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης είναι το ενδεχόμενο που πε-

ριέχει όλα τα δυνατά αποτελέσματα του πειράματος. Σ Λ

19. Όταν ένα ενδεχόμενο πραγματοποιείται σε κάθε εκτέλεση ενός πειρά-

ματος τύχης, τότε είναι ίσο με το δειγματικό χώρου του πειράματος

Σ Λ

20. Αδύνατο ενδεχόμενο είναι το ενδεχόμενο που δεν πραγματοποιείται σε

καμιά εκτέλεση του πειράματος. Σ Λ

21. Το σύνολο των δυνατών περιπτώσεων ενός πειράματος τύχης είναι υ-

ποσύνολο του δειγματικού χώρου. Σ Λ

22. Αν ω είναι το αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης και Α, Β είναι δύο

ενδεχόμενα του πειράματος τύχης, τότε ισχύει η παρακάτω ισοδυνα-

μία: Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β ω(ΑΒ)΄ (ή

ωΑ΄Β΄)

Σ Λ

23. Η πραγματοποίηση του ενδεχομένου Α συνεπάγεται και την πραγματο-

ποίηση του ενδεχομένου Β ΒΑ. Σ Λ

24. Πραγματοποιείται μόνο το ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β πραγ-

ματοποιείται μόνο το Α ή μόνο το Β ω(Α - Β)(Β - Α) (ή

ω(ΑΒ΄)(Α΄Β).

Σ Λ

25. Δύο ενδεχόμενα Α και Β λέγονται ασυμβίβαστα ή αμοιβαίως απο-

κλειόμενα ή ξένα μεταξύ τους, όταν δεν έχουν κοινά στοιχεία δηλαδή

όταν ΑΒ = . Σ Λ


28

26. Όταν σε ένα πείραμα τύχης με δειγματικό χώρο Ω, δύο ενδεχόμενα Α

και Β είναι αντίθετα, τότε ισχύουν ΑΒ = Ω και ΑΒ = .

Σ Λ

27. Αν Ω είναι δειγματικός χώρος και Α ένα ενδεχόμενο τότε

Α΄Ω. Σ Λ

28. Το ενδεχόμενο ΑΒ πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται το ενδε-

χόμενο Α και το ενδεχόμενο Β. Σ Λ

29. Αν Ω είναι δειγματικός χώρος και Α ένα ενδεχόμενό του τότε το ενδε-

χόμενο ΑΑ΄ είναι βέβαιο. Σ Λ

30. Όταν η πραγματοποίηση του ενδεχομένου Α συνεπάγεται την πραγμα-

τοποίηση του Β τότε Α Β. Σ Λ

31. Το ενδεχόμενο (ΑΒ)΄ σημαίνει ότι δεν πραγματοποιείται ούτε το εν-

δεχόμενο Α ούτε το ενδεχόμενο Β. Σ Λ

32. Το ενδεχόμενο ΑΒ σημαίνει ότι πραγματοποιείται μόνο το ένα από

τα ενδεχόμενα Α και Β. Σ Λ

33. Τα ενδεχόμενα: Α: ο Γιάννης θα ταξιδέψει στη Φλώρινα, Β: ο Γιάννης

θα ταξιδέψει με πλοίο, είναι ασυμβίβαστα. Σ Λ

34. Τα ενδεχόμενα {1}, {2} κατά τη ρίψη ενός ζαριού είναι

ασυμβίβαστα. Σ Λ

35. Αν Α, Β ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης με δειγματικό χώρο Ω,

τότε ισχύει η ισότητα Α - Β = ΑΒ΄. Σ

Λ


29

36. Στη στήλη Α του παρακάτω πίνακα γράφονται διάφορες σχέσεις για τα

ενδεχόμενα Α και Β ενός πειράματος. Στη στήλη Β απεικονίζονται

γραφικά οι σχέσεις αυτές. Να αντιστοιχίσετε κατάλληλα τα στοιχεία

της στήλης Α με στοιχεία της στήλης Β.

Α στήλη Β στήλη

α. ΑΒ

1.

β. ΑΒ

2.

γ. Α΄

3.

δ. Α - Β

4.

ε. (Α - Β)(Β - Α)

5.


30

37. Να αντιστοιχίσετε κάθε έκφραση της στήλης Α με την ισοδύναμή της

στην γλώσσα των συνόλων, που βρίσκεται στη στήλη Β.

Στήλη Α Στήλη Β

α. Το Α δεν πραγματοποιείται

β. Ένα τουλάχιστον από τα Α και

Β πραγματοποιείται

γ. Η πραγματοποίηση του Α συνε-

πάγεται την πραγματοποί-

ηση του Β

δ. Πραγματοποιείται μόνο το Α

ε. Τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβα-

στα.

1. ΑΒ

2. ΑΒ

3. ωΑ

4. Ν(ΑΒ) 0

5. Α - Β

6. ωΑ

38. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Να αντι-

στοιχίσετε κάθε σκιασμένη επιφάνεια των διαγραμμάτων Venn της

στήλης Α στο ενδεχόμενο που την παριστάνει της στήλης Β.

Α στήλη Β στήλη

α.

1. (ΑΒ΄)(Α΄Β)

β.

2. (ΑΒ)΄

γ.

3. Α΄

δ.

4. ΑΒ

Ω

Α Β

Α

Ω

Β

Α

Ω

Α

Β

Ω


- 31 -

ε.

5. Α – Β Α

Ω

Β


32

Ασκήσεις

Ασκήσεις στην εύρεση δειγματικού χώρου

1) Σε μια κάλπη βρίσκονται 4 σφαίρες, μια λευκή, μια κόκκινη και 2 μαύρες.

Ανασύρουμε από την κάλπη δύο σφαίρες συγχρόνως και καταγράφουμε

το χρώμα τους.

α) Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος

β) Να βρεθούν τα ενδεχόμενα:

Α : «καμία σφαίρα δεν είναι μαύρη»

Β : «ακριβώς μια σφαίρα είναι μαύρη ή κόκκινη».

2) Κατά την κατάταξη στο στρατό, οι νεοσύλλεκτοι εξετάζονται με βάση τις

γραμματικές τους γνώσεις, τη σωματική τους διάπλαση και τη διανοητική

τους κατάσταση και χαρακτηρίζονται αντίστοιχα:

Α. Για τις γραμματικές γνώσεις Λ (απολυτήριο Λυκείου), Π (απόφοιτοι

Πανεπιστημίου).

Β. Για τη σωματική διάπλαση Ι (ικανός), Β (βοηθητικός), Α (ανίκανος).

Γ. Για τη νοημοσύνη τους Ε (έξυπνος), Ο (όχι έξυπνος).

Επιλέγουμε τυχαία ένα στρατιώτη και σημειώνουμε τα χαρακτηριστικά

του.Να βρεθούν:

α) Ο δειγματικός χώρος του πειράματος.

β) Το ενδεχόμενο Α: «ο στρατιώτης είναι έξυπνος, ικανός»

γ) Το ενδεχόμενο Β: «ο στρατιώτης έχει απολυτήριο λυκείου»

δ) Το ενδεχόμενο Γ: «ο στρατιώτης έχει απολυτήριο λυκείου ή είναι έ-

ξυπνος»

3) Σε ένα κουτί έχουμε τρεις μπάλες διαφορετικού χρώματος (άσπρο -

μαύρο - κόκκινο) και επιλέγουμε τυχαία δύο απ’ αυτές:

Α. χωρίς επανατοποθέτηση

Β. με επανατοποθέτηση

Γ. ταυτόχρονα.

Να βρεθεί σε κάθε περίπτωση ο δειγματικός χώρος και το πλήθος των

στοιχείων του.

4) Ρίχνουμε ένα άσπρο ζάρι και ένα κόκκινο ζάρι. Να βρεθούν:

α) Το ενδεχόμενο Α: «το άθροισμα των ενδείξεων των δύο ζαριών εί-

ναι άρτιος».

β) Το ενδεχόμενο Β: «η ένδειξη του κόκκινου ζαριού είναι άρτιος»

γ) Το πλήθος των στοιχείων των συνόλων ΑΒ, ΑΒ.

5) Επιλέγουμε τυχαία έναν αριθμό από το σύνολο 3620 xZxA : .

Να βρεθεί το ενδεχόμενο Β: «ο x είναι πρώτος ή διαιρείται με το 5».


33

6) Δύο παίκτες θα παίζουν τάβλι και συμφωνούν νικητής να είναι αυτός που

θα κερδίσει τρία παιχνίδια. Αν α είναι το αποτέλεσμα να κερδίσει ο πρώ-

τος παίκτης και β είναι το αποτέλεσμα να κερδίσει ο δεύτερος παίκτης, να

γράψετε το δειγματικό χώρο του πειράματος. Να βρείτε το ενδεχόμενο Α:

«ο πρώτος παίκτης κερδίζει σε 4 παιχνίδια».

7) Δύο παίκτες θα παίξουν σκάκι και συμφωνούν νικητής να είναι εκείνος

που θα κερδίσει δύο παιχνίδια περισσότερα από τον άλλον. Αν α είναι το

αποτέλεσμα να κερδίσει ο πρώτος παίκτης και β το αποτέλεσμα να κερδί-

σει ο δεύτερος παίκτης, να γραφεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος.

Να γραφούν τα ενδεχόμενα: Α: «νικητής είναι ο πρώτος παίκτης», Β: «νι-

κητής δεν είναι ο πρώτος παίκτης».

8) Μια δισκογραφική εταιρεία παραγωγής CD ελέγχει την παραγωγή της ως

εξής: Ανά δέκα CD από τη γραμμή παραγωγής επιλέγει τυχαία τρία και

ελέγχει αν έχουν ελάττωμα εμφάνισης (Ε) ή ελάττωμα ποιότητας ήχου

(Η) ή αν δεν έχουν κανένα ελάττωμα (Κ). Αν δύο CD έχουν ελάττωμα

εμφάνισης ή ένα έχει ελάττωμα ποιότητας ήχου τότε σταματάει ο έλεγχος

και η παρτίδα των 10 CD δεν κυκλοφορεί στην αγορά.

α) Να γράψετε το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος για μια συγκε-

κριμένη «παρτίδα» και να βρείτε το πλήθος των στοιχείων του.

β) Να βρεθεί το ενδεχόμενο Α: «η παρτίδα κυκλοφορεί στην αγορά»

και το πλήθος των στοιχείων του.

9) Έστω Ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και Α, Β δύο ενδεχό-

μενα. Να παραστήσετε με διαγράμματα Venn και να εκφράσετε με τη βο-

ήθεια της γλώσσας των συνόλων τα ενδεχόμενα που ορίζονται από τις εκ-

φράσεις:

α) πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β,

β) δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β.

10) Μια αυτόματη μηχανή παράγει βίδες. Ελέγχουμε στη γραμμή παραγωγής

τις βίδες. Οι βίδες ταξινομούνται σε καλές (Κ) και ελαττωματικές (Ε). Ο

έλεγχος σταματάει αν βρεθούν 2 ελαττωματικές ή 3 καλές. Να βρείτε το

δειγματικό χώρο του πειράματος.


33

1.2. Η έννοια της πιθανότητας

Σχετική συχνότητα

Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος τύχης το ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται

κ φορές με κ ν τότε ο λόγος ν

κ καλείται σχετική συχνότητα του ενδεχομέ-

νου Α και συμβολίζεται με fA, δηλαδή ν

κfA .

Έστω ένα πείραμα τύχης με δειγματικό χώρο Ω = {ω1, ω2, ..., ωλ}. Αν σε ν ε-

κτελέσεις του πειράματος αυτού, τα απλά ενδεχόμενα {ω1}, {ω2}, ..., {ωλ}

πραγματοποιούνται αντίστοιχα κ1, κ2, κλ φορές τότε ορίζονται οι σχετικές συ-

χνότητες των ενδεχομένων αυτών από τους τύπους:

ν

κf...,,

ν

κf,

ν

κf λ

λ2

21

1 .

Γι’ αυτές ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:

α. 0 fi 1 για κάθε i = 1, 2, ..., λ.

β. f 1 + f 2 + …+ f λ = 1

Όταν σε ένα πείραμα τύχης ο αριθμός των δοκιμών αυξάνει απεριόριστα τότε η

σχετική συχνότητα ενός ενδεχομένου σταθεροποιείται γύρω από μια συγκεκρι-

μένη αριθμητική τιμή. Το συμπέρασμα αυτό επιβεβαιώνεται και θεωρητικά και

ονομάζεται νόμος των μεγάλων αριθμών.

Πιθανότητα ενδεχομένου

Σε πολλές περιπτώσεις καθορίζουμε την ίδια σχετική συχνότητα εμφάνισης

όλων των δυνατών αποτελεσμάτων του δειγματικού χώρου. Τέτοια αποτελέ-

σματα ονομάζονται ισοπίθανα δυνατά αποτελέσματα.

Κλασσικός ορισμός πιθανότητας: Αν Ω είναι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης, με ισοπίθανα αποτελέ-

σματα, τότε ορίζουμε ως πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α τον αριθμό που εκ-

φράζεται από το πηλίκο του πλήθους των ευνοϊκών περιπτώσεων προς το πλή-

θος των δυνατών περιπτώσεων του πειράματος και συμβολίζεται Ρ(Α).

Δηλαδή: )Ω(Ν

)Α(Ν

σεωνώπεριπτνώδυνατθοςήπλ

σεωνώπεριπτνώκϊευνοθοςήπλ)A(P

Από τον κλασικό ορισμό προκύπτουν οι παρακάτω ιδιότητες:

1. 1)Ω(Ρ)Ω(Ν

)Ω(Ν)Ω(Ρ

2. Ρ() = 0)(Ρ)Ω(Ν

0)(Ρ

)Ω(N

)(N

3. Για κάθε ενδεχόμενο Α ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: 0 Ρ(Α) 1.


34

Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων

Για τις πιθανότητες των ενδεχομένων ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν οι

παρακάτω ιδιότητες, που είναι γνωστές ως κανόνες λογισμού πιθανοτήτων.

1. Για οποιαδήποτε ΑΣΥΜΒΙΒΑΣΤΑ ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού

χώρου Ω ισχύει:

Ρ(ΑΒ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) απλός προσθετικός νόμος

2. Για δύο οποιαδήποτε συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α΄ ενός δείγμα

τικού χώρου Ω ισχύει:

Ρ(Α΄) = 1 - Ρ(Α)

3. Για δύο οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω

ισχύει:

Ρ(ΑΒ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(ΑΒ) προσθετικός νόμος


ισχύει: Αν Α Β τότε Ρ(Α) Ρ(Β)


ισχύει: Ρ(Α - Β) = Ρ(Α) - Ρ(ΑΒ)

Αποδείξεις των κανόνων λογισμού πιθανοτήτων

1. Έστω τα ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Α, Β ενός

δειγματικού χώρου Ω όπως φαίνεται στο α-

κόλουθο διάγραμμα Venn.

Αν Ν(Α) = κ και Ν(Β) = λ τότε

λκBAN γιατί αλλιώς τα Α, Β δεν θα

ήταν ασυμβίβαστα.

Τότε:

)Β(Ρ)Α(Ρ)Ω(Ν

)Β(Ν

)Ω(Ν

)Α(Ν

)Ω(Ν

λ

)Ω(Ν

κ

)Ω(Ν

λκ

ΩN

BANBAP

2. Έστω τα συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α, Α΄

ενός δειγματικού χώρου Ω όπως φαίνεται στο

ακόλουθο διάγραμμα Venn.

Αφού τα Α, Α΄ είναι συμπληρωματικά θα

ισχύει: AA Ø δηλαδή τα Α, Α΄ είναι α-

συμβίβαστα.

Επίσης: )Α(Ρ1)Α(Ρ1)Α(Ρ)Α(Ρ)Ω(ΡΑΑΡΩAA)1(

3. Έστω τα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώ-

ρου Ω όπως φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα

Venn.

Τότε BAN)B(N)A(NBAN αφού τα

στοιχεία του BA έχουν υπολογιστεί διπλή φορά.

Α Β

Ω

Ω

Α΄

Α

Α Β

Ω


35

Άρα:

ΒΑΡ)Β(Ρ)Α(Ρ

ΩΝ

ΒΑΝ

ΩΝ

ΒΝ

ΩΝ

ΑΝ

ΩΝ

ΒΑΝΒΝΑΝ

ΩN

BANBAP

4. Έστω τα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω με

ΒΑ όπως φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα Venn.

Αφού:

)Ω(Ν

)Β(Ν

)Ω(Ν

)Α(Ν)B(N)A(NBA

0)Ω(N

)Β(Ρ)Α(Ρ

5. Έστω τα ενδεχόμενα Α – Β και BA ενός δειγματικού

χώρου Ω όπως φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα Venn.

Για τα ενδεχόμενα Α – Β, BA ισχύει BABA Ø.

Δηλαδή τα Α – Β, BA είναι ασυμβίβαστα.

Επίσης :

A B,A B ασυμβ.

A B A B A P A B A B P(A)

P(A B) P(A B) P A P(A B) P(A) P(A B)

Α Β

Ω

Α Β

Ω

Α-Β


36


1. Αν Ω είναι δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης τότε, Ρ(Ω) = 1.

Σ Λ

2. Αν Α είναι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης τότε 0 Ρ(Α) 1.

Σ Λ

3. Για το αδύνατο ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης ισχύει Ρ() = 0.

Σ Λ

4. Σε ένα πείραμα τύχης με ισοπίθανα αποτελέσματα και δειγματικό

χώρο Ω, η πιθανότητα του ενδεχομένου Α είναι ο αριθμός )Ω(N

)A(N)A(P .

Σ Λ

5. Αν ΑΒ τότε Ρ(Α) Ρ(Β). Σ Λ

6. Αν τα ενδεχόμενα Α και Β του ίδιου πραγματικού χώρου Ω είναι ξένα

μεταξύ τους, τότε Ρ(ΑΒ) = 0. Σ Λ

7. Ισοπίθανα είναι τα ενδεχόμενα που έχουν ίσες πιθανότητες

πραγματοποίησης. Σ Λ

8. Αν Α και Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω, τότε:

Ρ(ΑΒ)=Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(ΑΒ) Σ Λ

9. Για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει

Ρ(ΑΒ)=Ρ(Α)+Ρ(Β). Σ Λ

10. Πραγματοποιείται το Α ή το Β πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον

από τα Α και Β. Σ Λ

11. Πραγματοποιείται το Α ή το Β, όχι όμως και τα δύο ταυτόχρονα

πραγματοποιείται το (ΑΒ΄)(ΒΑ΄). Σ Λ

12. Δεν πραγματοποιείται το Α (και) ούτε το Β πραγματοποιείται

το (ΑΒ)΄. Σ Λ

13. Αν Α και Β ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω, Α΄ το αντίθετο

του ενδεχομένου Α και Α΄Β, τότε: Ρ(Α) + Ρ(Β) < 1. Σ Λ

14. Αν Α και Β ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω, Α΄ το αντίθετο

του ενδεχομένου Α και Ρ(Α) = Ρ(Α΄), τότε 2Ρ(Α) = Ρ(Ω).

Σ Λ


37

15. Αν Ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και Α ένα ενδεχόμενό

του, για το οποίο ισχύει Ρ(Α) = 1, τότε Α = Ω. Σ Λ

16. Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου

Ω, τότε Ν(ΑΒ) = Ν(Α) + Ν(Β). Σ Λ

17. Για δύο οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός πειράματος τύχης ισχύει:

Ρ(ΑΒ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(ΑΒ). Σ Λ

18. Αν για τα ενδεχόμενα Α, Β δειγματικού χώρου Ω ισχύει Ν(Α) = Ν(Β)

τότε Ρ(Α) = Ρ(Β). Σ Λ

19. Η πιθανότητα ότι θα βρέξει αύριο είναι 0,40 και η πιθανότητα ότι δεν θα

βρέξει αύριο είναι 0,52. Σ Λ

20. Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος τύχης ένα ενδεχόμενο Α

πραγματοποιείται κ φορές τότε ο λόγος ν

κfA λέγεται σχετική

συχνότητα του ενδεχομένου. Σ Λ

21. Αν για τα ενδεχόμενα Α, Β του δειγματικού χώρου Ω ισχύει Ρ(Α) =

Ρ(ΑΒ), τότε θα είναι και Ρ(Α - Β) = 0. Σ Λ

22. Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω, τότε ισχύει πάντοτε

Ρ(Α) Ρ(Α-Β) = Ρ(Α) - Ρ(Β). Σ Λ

23. Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α) = 0,7 και Ρ(Β) =

0,6 τότε τα Α, Β είναι ασυμβίβαστα. Σ Λ

24. Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α) = 0,4 και

Ρ(Β)=0,6 τότε τα Α, Β μπορεί να είναι ασυμβίβαστα. Σ Λ

25. Αν ΑΒ τότε Ρ(ΑΒ) = Ρ(Α) + Ρ(Β). Σ Λ

26. Αν Ρ(Α) = Ρ(Β), τότε Α = Β. Σ Λ

27. Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου, οι εκφράσεις

«να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α και Β» και «να πραγματο-

ποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β» ορίζουν το ίδιο ενδεχόμενο.

Σ Λ


38

Ασκήσεις

1. Από μία τράπουλα με 52 φύλλα παίρνουμε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις

πιθανότητες των ενδεχομένων:

α) το χαρτί να είναι οχτώ ή δέκα

β) το χαρτί να μην είναι ούτε οχτώ ούτε δέκα

2. Σε μια φρουτιέρα βρίσκονται 4 μήλα, 2 πορτοκάλια, 3 αχλάδια και 5 μα-

νταρίνια. Παίρνουμε τυχαία ένα φρούτο. Να βρείτε τις πιθανότητες των

ενδεχομένων το φρούτο να είναι:

α) μανταρίνι

β) πορτοκάλι ή μανταρίνι

γ) ούτε αχλάδι ούτε μήλο

3. Σε μια έρευνα που έγινε ρωτήθηκαν 50 οικογένειες πόσα παιδιά έχουν

και οι απαντήσεις που δόθηκαν φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:

Αριθμός οικογενειών 5 12 18 7 4 3 1

Αριθμός παιδιών 0 1 2 3 4 5 6

Να βρεθεί η πιθανότητα, αν διαλέξουμε τυχαία μια οικογένεια να έχει:

α) το πολύ 2 παιδιά

β) περισσότερα από 4 παιδιά

4. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω. Αν

Ρ(Α)=0,8, Ρ(Β) = 0,3 και Ρ(ΑΒ) = 0,1, να βρείτε τις πιθανότητες των

ενδεχομένων:

α) «Να πραγματοποιηθεί μόνο το Α»

β) «Να πραγματοποιηθεί μόνο το Β»

γ) «Να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β»

δ) «Να πραγματοποιηθεί το Α ή το Β»

ε) «Να πραγματοποιηθεί το Α και το Β»

στ) «Να μην πραγματοποιηθεί το Α»

ζ) «Να μην πραγματοποιηθεί το Β»

η) «Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από Α και Β»

5. Μια έρευνα με σκοπό να δείξει τις προτιμήσεις των αυτοκινητιστών όσον

αφορά τα αξεσουάρ του αυτοκινήτου έδωσε τα παρακάτω αποτελέσματα:

80% των αυτοκινητιστών θέλουν το αυτοκίνητό τους να έχει στερεοφω-

νικό, 30% θέλουν κλιματισμό και 15% και τα δύο. Διαλέγουμε τυχαία

ένα άτομο που πήρε μέρος στην έρευνα. Να βρείτε την πιθανότητα:

α) Να μη θέλει στερεοφωνικό.

β) Να θέλει το λιγότερο ένα από τα δύο αξεσουάρ (στερεοφωνικό,

κλιματισμό).

6. Σε ένα σχολείο 150 μαθητές ρωτήθηκαν κατά πόσον ασχολούνται με κά-

ποιο από τα δύο σπορ: μπάσκετ και ποδόσφαιρο. Η έρευνα έδειξε ότι 120

ασχολούνται με το ποδόσφαιρο, 105 με το μπάσκετ και 80 και με τα δύο


39

σπορ. Να βρεθεί η πιθανότητα, αν επιλέξουμε τυχαία έναν μαθητή του

σχολείου, να ασχολείται τουλάχιστον με ένα από τα δύο σπορ.

7. Σε έναν κινηματογράφο στον οποίο βρίσκονται 400 θεατές το 50% των

θεατών τρώει ποπ-κορν, το 30% πίνει αναψυκτικό και το 10% τρώει ποπ-

κορν και πίνει αναψυκτικό. Ποια η πιθανότητα ένας θεατής που επιλέγε-

ται τυχαία

α) να τρώει ποπ - κορν ή να πίνει αναψυκτικό

β) να μην τρώει ποπ-κορν και να μην πίνει αναψυκτικό.

8. Για τα ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ι-

σχύουν:

17

14)ΒΑ(Ρ και

4

3

)Β(Ρ

)Α(Ρ . Να βρεθούν οι πιθανότητες Ρ(Β), Ρ(Α).

9. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν:

15

8)Β(Ρ,

15

4)Α(Ρ και . Να βρείτε την Ρ(ΑΒ).

10. Για τα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν:

5

2)ΒΑ(Ρ και

10

9)ΒΑ(Ρ και Ρ(Α) = 2Ρ(Β΄). Να βρεθεί η Ρ(Β).

11. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου ισχύουν:

8

7 )( και

8

3)ΒΑ(Ρ και Ρ(Α΄) = 3Ρ(Β΄). Να βρεθούν οι πιθα-

νότητες Ρ(Α), Ρ(Β).

12. Δίνεται ένα πρόβλημα σε δύο μαθητές Α και Β. Η πιθανότητα να το λύσει

ο Α είναι 15%, ενώ η πιθανότητα να το λύσει ο Β είναι 20%. Η πιθανότη-

τα να το λύσουν και οι δύο είναι 10%. Να βρείτε την πιθανότητα:

α) Να το λύσει ένας τουλάχιστον από τους δύο.

β) Να το λύσει μόνο ένας από τους δύο.

13. Στην εκδρομή των μαθητών της Γ΄ Λυκείου ενός σχολείου, που έγινε οδι-

κώς, συμμετείχαν 60 μαθητές. Στον πρώτο σταθμό γευμάτισαν 30 μαθητές,

στο δεύτερο σταθμό 40 μαθητές, ενώ 20 μαθητές γευμάτισαν και στους δύο

σταθμούς. Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή. Ποια είναι η πιθανότητα ο μα-

θητής:

α) να γευμάτισε σε τουλάχιστον έναν από τους δύο σταθμούς

β) να γευμάτισε σε έναν μόνο από τους δύο σταθμούς

γ) να μη γευμάτισε σε κανέναν από τους δύο σταθμούς.

5

4)ΒΑ(Ρ


40

14. Σε μια έρευνα μεταξύ μαθητών μιας τάξης διαπιστώθηκε ότι:

Το 40% δεν είχε διαβάσει αρχαία, το 80% δεν είχε διαβάσει μαθηματικά

και το 40% δεν είχε διαβάσει και τα δύο μαθήματα. Να βρείτε την πιθα-

νότητα ένας μαθητής να έχει διαβάσει και τα δύο μαθήματα.

15. Σε μια έκθεση μεταχειρισμένων αυτοκινήτων, το 20% των αυτοκινήτων

δεν έχει μηχανή, το 40% δεν έχει λάστιχα και το 15% δεν έχει ούτε μηχα-

νή ούτε λάστιχα. Αν Α και Β είναι τα ενδεχόμενα:

Α: «το αυτοκίνητο δεν έχει μηχανή»

Β: «το αυτοκίνητο δεν έχει λάστιχα»,

να βρείτε την πιθανότητα ένα τυχαία επιλεγμένο αυτοκίνητο να έχει λά-

στιχα και μηχανή.

16. Από 120 μαθητές ενός Λυκείου, 24 μαθητές συμμετέχουν στο διαγωνι-

σμό της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, 20 μαθητές συμμετέχουν

στον διαγωνισμό της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών και 12 μαθητές συμμε-

τέχουν και στους δύο διαγωνισμούς. Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή. Να

βρείτε την πιθανότητα που έχει ο μαθητής:

α) να συμμετέχει σε έναν τουλάχιστον από τους δύο διαγωνισμούς

β) να συμμετέχει μόνο σε έναν από τους δύο διαγωνισμούς

γ) να μη συμμετέχει σε κανέναν από τους δύο διαγωνισμούς.

17. Μια ομάδα έχει πιθανότητα 40% να κερδίσει το πρωτάθλημα, 15% να

κερδίσει το κύπελλο και 8% να κερδίσει και τα δύο. Να βρείτε τις πιθα-

νότητες:

α) να κερδίσει τουλάχιστον έναν τίτλο

β) να κερδίσει μόνο το πρωτάθλημα

γ) να κερδίσει ακριβώς έναν τίτλο

18. Αν τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω είναι ασυμβίβαστα

και ισχύουν 5

3

)Β(Ρ

)Α(Ρ και Ρ(ΑΒ) = 0,8, να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α)

και Ρ(Β).

19. Αν για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω έχουμε Ρ(Α-Β)

= κ, Ρ(Β-Α) = λ και Ρ(ΑΒ) = μ, να βρείτε τις πιθανότητες:

α) Να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα από τα Α και Β.

β) Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β.

γ) Να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β.

20. Σε ένα Λύκειο οι μαθητές που παρακολουθούν το μάθημα της γυμναστι-

κής είναι υποχρεωμένοι να επιλέξουν τουλάχιστον ένα από τα αθλήματα

μπάσκετ ή βόλεϊ. Αν επιλέξουμε έναν μαθητή στην τύχη, η πιθανότητα να

επιλέξει το μπάσκετ είναι 70%, ενώ η πιθανότητα να μην έχει επιλέξει το

βόλεϊ είναι 60%.

α) να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα είναι ασυμβίβαστα


41

β) να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής που επιλέγεται τυχαία να συμ-

μετέχει και στα δύο αθλήματα.

γ) να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής που επιλέγεται τυχαία να συμ-

μετέχει μόνο σε ένα από τα δύο αθλήματα.

21. Σε μια τάξη 30 μαθητών οι 20 δεν συμπαθούν τα μαθηματικά, οι 14 δεν

συμπαθούν τα φιλολογικά και 5 δεν συμπαθούν ούτε τα μαθηματικά ούτε

τα φιλολογικά. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή της τάξης να βρείτε την

πιθανότητα να συμπαθεί τα μαθηματικά και τα φιλολογικά.

22. Σε ένα σχολείο στο μάθημα της Γυμναστικής κάθε μαθητής μπορεί να διαλέ-

ξει μέχρι τρία αθλήματα. Το ποδόσφαιρο το διάλεξαν όλοι. Το 70% δεν διά-

λεξαν μπάσκετ. Το 40% διάλεξε και στίβο. Το 65% δεν διάλεξε ούτε στίβο

ούτε μπάσκετ. Αν εκλέξουμε αν μαθητή στην τύχη να βρεθούν οι πιθανότη-

τες των ενδεχομένων:

α) Να έχει διαλέξει τουλάχιστον ένα άθλημα.

β) Να έχει διαλέξει και τα τρία αθλήματα.

23. Στο σύλλογο καθηγητών ενός Λυκείου το 55% είναι γυναίκες, το 40%

των καθηγητών είναι φιλόλογοι και το 30% είναι γυναίκες φιλόλογοι. Ε-

πιλέγουμε τυχαία έναν καθηγητή για να εκπροσωπήσει το σύλλογο σε

κάποια επιτροπή. Να υπολογίστε τις πιθανότητες ο καθηγητής να είναι:

α) γυναίκα ή φιλόλογος β) γυναίκα και όχι φιλόλογος

γ) άνδρας και φιλόλογος δ) άνδρας ή φιλόλογος

24. Σε ένα χωριό 90 κατοίκων μετά από έρευνα βρέθηκε ότι:

α) Οι 50 είναι άνδρες από τους οποίους οι μισοί είναι ηλικιωμένοι

β) Οι 60 είναι ηλικιωμένοι.

Αν επιλέξουμε έναν κάτοικο τυχαία να βρείτε την πιθανότητα:

α) Να είναι άνδρας ή ηλικιωμένος.

β) Να μην είναι ούτε άνδρας ούτε ηλικιωμένος.

γ) Να είναι μόνο άνδρας ή μόνο ηλικιωμένος.

25. Από δύο Λύκεια μιας πόλης συμμετείχαν στις πανελλήνιες εξετάσεις, 120

μαθητές από το 1ο Λύκειο και 240 από το 2ο. Από το 1ο Λύκειο πέτυχαν

30 μαθητές και 80 από το δεύτερο.

Επιλέγουμε τυχαία έναν από τους μαθητές που συμμετείχαν στις εξετά-

σεις:

α) Να βρεθεί η πιθανότητα να έχει πετύχει.

β) Να ανήκει στο 1ο Λύκειο και να έχει αποτύχει.

γ) Να ανήκει στο 1ο Λύκειο και να έχει πετύχει.

δ) Να έχει πετύχει ή να ανήκει στο 1ο Λύκειο.

26. Από τους 5000 μαθητές μιας πόλης που φοίτησαν στο γυμνάσιο, το 80%

πήρε απολυτήριο, οι υπόλοιποι διέκοψαν. Όσοι πήραν απολυτήριο γρά-


42

φτηκαν στο Λύκειο και απ’ αυτούς το 80% πήρε απολυτήριο, οι υπόλοι-

ποι διέκοψαν. Από τους μαθητές που αποφοίτησαν από το Λύκειο το 40%

πέρασε σε ανώτατες σχολές. Για ένα μαθητή που γράφτηκε στο Γυμνά-

σιο:

α) Ποια είναι η πιθανότητα να μην τελειώσει το Γυμνάσιο;

β) Ποια είναι η πιθανότητα να τελειώσει το Λύκειο;

γ) Ποια είναι η πιθανότητα να έχει περάσει σε ανώτατη σχολή;

δ) Ποια είναι η πιθανότητα για ένα μαθητή, που γράφτηκε στο Λύκειο,

να έχει περάσει σε ανώτατη σχολή;

27. Όλα τα αγόρια μιας τάξης παίζουν ποδόσφαιρο ή μπάσκετ. Το 80% παί-

ζει ποδόσφαιρο και το 60% παίζει μπάσκετ.

α) Να εξετάσετε, αν κάποιος μαθητής παίζει ποδόσφαιρο ή μπάσκετ

β) Να βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχομένου: «Ο μαθητής να παίζει

ποδόσφαιρο ή μπάσκετ».

γ) Να βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχομένου: «Ο μαθητής να παίζει

ποδόσφαιρο και μπάσκετ».

28. Αν η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενα Α είναι διπλάσια της πιθανό-

τητας να μην συμβεί, να βρείτε τις Ρ(Α) και Ρ(Α΄).

29. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: Ρ(Α) =

2Ρ(Β) και )A(P2

3)BA(P . Να βρείτε την Ρ(ΑΒ). Τι συμπεραίνετε

για τα ενδεχόμενα Α, Β;

30. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: Ρ(ΑΒ)=

0,1 και .4

)ΒΑ(Ρ

3

)Β(Ρ

2

)Α(Ρ Να βρείτε τις Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(ΑΒ).

31. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν:

4

1)ΒΑ(Ρ,

5

2)ΒΑ(Ρ και

2

1)Α(Ρ . Να βρείτε τις πιθανότητες

Ρ(Β) και Ρ(ΑΒ΄).

32. Για τα ενδεχόμενα Α και Β του ίδιου δειγματικού χώρου Ω δίνεται ότι:

4

1)Β(Ρ,

3

1)Α(Ρ και Ρ(ΑΒ)= 0,5. Να βρείτε την πιθανότητα να μη

συμβεί κανένα από τα Α και Β.

33. Αν Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., 20} να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδε-

χομένων:

Α: τα στοιχεία του Ω που διαιρούνται με το 2

Β: τα στοιχεία του Ω που διαιρούνται με το 5

Γ: τα στοιχεία του Ω που διαιρούνται με το 5 και το 2


43

34. Η πιθανότητα να επιλεγεί ένας μαθητής για την ομάδα ποδοσφαίρου του

σχολείου είναι 1/6 ενώ για την ομάδα μπάσκετ 1/5. Η πιθανότητα να ε-

κλεγεί και στις δύο ομάδες είναι 1/10. Ποια η πιθανότητα των ενδεχομέ-

νων:

α) Να επιλεγεί τουλάχιστον σε μία από τις δύο ομάδες;

β) Να επιλεγεί μόνο στην ομάδα ποδοσφαίρου;

γ) Να επιλεγεί μόνο σε μια από τις δύο ομάδες;

35. Δύο μαθητές ο α και ο β λύνουν μια άσκηση πιθανοτήτων. Η πιθανότητα

να τη λύσει τουλάχιστον ένας από τους δύο είναι 3/4 ενώ η πιθανότητα

να τη λύσουν και οι δύο είναι 1/4. Αν γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα να μη

λύσει την άσκηση ο α μαθητής είναι 2/3 να υπολογιστούν:

α) Η πιθανότητα να λύσει την άσκηση ο μαθητής α

β) Η πιθανότητα να λύσει την άσκηση ο μαθητής β

γ) Η πιθανότητα να λύσει την άσκηση μόνο ο μαθητής α.

36. Εξετάστε αν υπάρχουν ενδεχόμενα Α, Β δειγματικού χώρου Ω ώστε να

ισχύει: Ρ(Α) = 5/6, Ρ(Β) = 3/4 και Ρ(Α΄Β΄) = 5/8.

37. Αν Α και Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, με 3

1)Α(Ρ και

4

3)ΒΑ(Ρ , να αποδειχθεί ότι

4

3)Β(Ρ

12

5

38. Από 100 μαθητές που συμμετείχαν στις εξετάσεις της Γ΄ τάξης ενός Λυ-

κείου, διαπιστώθηκε ότι οι 30 δεν έγραψαν καλά στα Μαθηματικά, 25

δεν έγραψαν καλά στη Φυσική και 21 δεν έγραψαν καλά και στα δύο μα-

θήματα. Αν επιλέξουμε τυχαία έναν μαθητή, ποια είναι η πιθανότητα να

έχει γράψει καλά σε ένα μόνο από τα δύο μαθήματα;

39. Η πιθανότητα να επιλεγεί ένας μαθητής για την ομάδα μπάσκετ του σχο-

λείου του είναι 5

1, ενώ για την ομάδα του ποδοσφαίρου είναι

6

1. Η πιθα-

νότητα να επιλεγεί και για τις δύο ομάδες είναι 10

1. Να υπολογίσετε τις

πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων:

α) Α1: Να επιλεγεί σε μία τουλάχιστον από τις δύο ομάδες.

β) Α2: Να επιλεγεί μόνο στην ποδοσφαιρική ομάδα.

γ) Α3: Να επιλεγεί μόνο σε μία από τις δύο ομάδες.

40. Η πιθανότητα να επιλεγεί ένας μαθητής για την ομάδα ποδοσφαίρου του

σχολείου του είναι 8

1, ενώ για την ομάδα μπάσκετ

6

1. Η πιθανότητα να


44

επιλεγεί και στις δύο ομάδες είναι 12

1. Ποια είναι η πιθανότητα των ενδε-

χομένων:

Α: Να επιλεγεί τουλάχιστον σε μια από τις δύο ομάδες.

Β: Να επιλεγεί μόνο στην ομάδα ποδοσφαίρου.

Γ: Να επιλεγεί μόνο σε μία από τις δύο ομάδες.

41. Αν Α και Β είναι ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω, με 3

1)Α(Ρ ,

2

1)Β(Ρ και

4

1)ΒΑ(Ρ , να βρεθούν οι πιθανότητες:

α) Ρ(ΑΒ) β) Ρ(Α΄) γ) Ρ(Α΄Β΄)

δ) Ρ(Α΄Β΄) ε)Ρ(Α΄Β)

42. Αν για τα ενδεχόμενα Α, Β ισχύει 5

4)ΒΑ(Ρ ,

5

3)Β(Ρ και

5

1)ΒΑ(Ρ , τότε να βρεθούν τα:

α) Ρ(Β) β) Ρ(Α) γ) Ρ(ΑΒ΄)

43. Έστω δειγματικός χώρος Ω με 30 ισοπίθανα στοιχεία και Α, Β, Γ, Δ ενδε-

χόμενα του Ω, που ανά δύο είναι ξένα και η ένωσή τους είναι το Ω. Δίνε-

ται επιπλέον ότι: 2

4x)A(N

2 , 1x)Γ(N και 1x)Δ(Ν

και Ρ(Β) = 0,4.

Να βρεθούν:

α) Ρ(Α), Ρ(Γ), Ρ(Δ) β) Ρ[(ΑΒ)΄], Ρ(ΑΒ)

44. Σ’ έναν αγώνα η πιθανότητα να κερδίσει ο παίκτης Α είναι 25%, η πιθα-

νότητα να κερδίσει ο παίκτης Β είναι 15% και η πιθανότητα να κερδίσει ο

παίκτης Γ είναι 30%. Να βρείτε την πιθανότητα:

α) να κερδίσει ο παίκτης Α ή ο παίκτης Β,

β) να μην κερδίσει ο παίκτης Α ή ο παίκτης Γ.

45. Το 20% των ατόμων ενός πληθυσμού έχει διαβήτη, το 5% έχει καρδιακή

ασθένεια και το 3% έχει και τα δύο. Επιλέγουμε τυχαία ένα άτομο του

πληθυσμού. Να βρείτε την πιθανότητα το άτομο να έχει:

α) τουλάχιστον μια ασθένεια,

β) μόνο μια ασθένεια

46. Από μία έρευνα προέκυψε ότι το 40% των μαθητών ενός λυκείου γνωρί-

ζει Αγγλικά ,το 20% γνωρίζει Γερμανικά αλλά όχι Αγγλικά και το 90%

δεν γνωρίζει ταυτόχρονα και τις δυο γλώσσες .Επιλέγουμε τυχαία έναν

μαθητή. Να βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων


45

α) Ο μαθητής γνωρίζει και τις δύο γλώσσες

β) Ο μαθητής γνωρίζει μια μόνο από τις δυο γλώσσες

γ) Ο μαθητής γνωρίζει Αγγλικά αλλά όχι Γερμανικά

47. Από μια δημοσκόπηση προκύπτει ότι το 15% των ανδρόγυνων μιας πόλης,

το 21% των ανδρών και το 28% των γυναικών ψηφίζουν το κόμμα Α. Να

βρείτε την πιθανότητα τουλάχιστον ένας άνδρας ή μία γυναίκα να ψηφίζει

το κόμμα Α.

48. Μια τσάντα του γκολφ περιέχει 2 κόκκινα μπαστούνια, 4 μπλε και 5 ά-

σπρα. Τραβάμε ένα μπαστούνι στην τύχη. Υπολογίστε τις πιθανότητες

των ενδεχομένων:

Α: «το μπαστούνι είναι κόκκινο»

Β: «το μπαστούνι δεν είναι κόκκινο»

Γ: «το μπαστούνι είναι άσπρο»

Δ: «το μπαστούνι είναι κόκκινο ή άσπρο»

49. Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με 10

7)Α(Ρ ,

2

1)Β(Ρ και

5

2)ΒΑ(Ρ . Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων:

Γ: «να πραγματοποιηθεί μόνο το Α»

Δ: «να πραγματοποιηθεί μόνο το Β»

Ε: «να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β»

50. Για τα ενδεχόμενα Α και Β του δειγματικού χώρου Ω ισχύουν 2

1)Α(Ρ ,

5

2)Β(Ρ και

5

4)ΒΑ(Ρ . Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων:

Γ: «να μην πραγματοποιηθεί το Α»

Δ: «να πραγματοποιηθεί το Α και το Β»

Ε: «να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β»

Ζ: «να πραγματοποιηθεί μόνο το Β»

Θ: «να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α και Β»

51. Για τα ενδεχόμενα Α, Β του δειγματικού χώρου Ω ισχύουν:

5

4)ΒΑ(Ρ ,

3

1)Β(Ρ και

5

2)ΒΑ(Ρ . Να βρείτε τις πιθανότητες:

Ρ(Β), Ρ(Α), Ρ(Α - Β), Ρ(Β - Α) και Ρ[(Α-Β)(Β-Α)]

52. Μια τάξη έχει 12 αγόρια και 16 κορίτσια. Τα μισά αγόρια και τα μισά

κορίτσια έχουν μαύρα μάτια. Επιλέγουμε τυχαίως ένα άτομο. Να βρείτε

την πιθανότητα να είναι αγόρι ή να έχει μαύρα μάτια.


46

53. Ένα κουτί περιέχει 12 άσπρες, x κόκκινες και ψ μαύρες. Παίρνουμε τυ-

χαία μια μπάλα. Η πιθανότητα να πάρουμε κόκκινη μπάλα είναι 2

1 και η

πιθανότητα να πάρουμε μαύρη μπάλα είναι 3

1. Να βρείτε πόσες μπάλες

είναι στο κουτί.

54. Σε μια τάξη από 20 παιδιά, τα 10 παιδιά πηγαίνουν στο σχολείο τους με

το λεωφορείο, 8 παιδιά με ποδήλατο και 6 με λεωφορείο ή ποδήλατο.

Παίρνουμε στην τύχη ένα παιδί. Ποια η πιθανότητα των ενδεχομένων:

Α: «το παιδί χρησιμοποιεί λεωφορείο»

Β: «το παιδί χρησιμοποιεί ποδήλατο»

Γ: «το παιδί χρησιμοποιεί λεωφορείο ή ποδήλατο ή και τα δύο»

Δ: «να μην χρησιμοποιεί λεωφορείο ή ποδήλατο»

Ε: «να χρησιμοποιεί λεωφορείο αλλά όχι ποδήλατο»

55. Για τα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: 10

3)Α(Ρ ,

5

1)Β(Ρ και . Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομέ-

νων:

Γ: «να μην πραγματοποιηθεί το Α»

Δ: «να πραγματοποιηθεί το Α αλλά όχι το Β»

Ε: «να πραγματοποιηθεί το Β αλλά όχι το Α»

Ζ: «να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β»

56. Η πιθανότητα να επιλέξει ένας φοιτητής στο 1ο έτος σπουδών το μάθημα

Φυσικής είναι , ενώ η πιθανότητα να μην επιλέξει το μάθημα της Χη-

μείας είναι και η πιθανότητα να επιλέξει ένα από τα δύο είναι . Να

βρείτε την πιθανότητα ο φοιτητής να επιλέξει και τα δύο μαθήματα.

57. Από 200 μαθητές ενός Λυκείου έχει παρατηρηθεί ότι το 85% προάγεται

τον Ιούνιο και το 10% παραπέμπεται το Σεπτέμβριο. Από τους μαθητές

που παραπέμπονται το Σεπτέμβριο το 90% προάγεται. Επιλέγουμε τυχαία

ένα μαθητή. Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων:

Α: «ο μαθητής να μην προαχθεί τον Ιούνιο»

Β: «ο μαθητής να προαχθεί το Σεπτέμβριο»

Γ: «ο μαθητής να απορριφθεί»

58. Για τα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν και

. Να αποδείξετε ότι:

30

1)ΒΑ(Ρ

5

2

4

3

9

2

4

3 )(

3

1)Β(Ρ


47

α) Τα ενδεχόμενα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα.

β)

59. Σε μια τάξης της Β΄ Λυκείου υπάρχουν 20 αγόρια και 9 κορίτσια. Από τα

αγόρια το και από τα κορίτσια το είναι άριστοι στα Μαθηματικά.

Καλούμε τυχαία ένα άτομο για εξέταση. Ποια η πιθανότητα:

Α: «να μην είναι άριστο στα μαθηματικά»

Β: «να είναι κορίτσι»

Γ: «να είναι κορίτσι άριστο στα μαθηματικά»

Δ: «να είναι κορίτσι ή να μην είναι άριστο στα μαθηματικά»

60. Ένα αυτοκίνητο χαλάει κατά 40% από βλάβη μηχανής, 30% από αμέλεια

του οδηγού, 15% από βλάβη μηχανής και αμέλεια του οδηγού και ακόμη

χαλάει από διάφορες άλλες αιτίες. Να υπολογίστε τις πιθανότητες των

ενδεχομένων:

α) το αυτοκίνητο χαλάει από βλάβη μηχανής ή από αμέλεια του οδη-

γού.

β) το αυτοκίνητο χαλάει μόνο από βλάβη μηχανής.

γ) το αυτοκίνητο χαλάει μόνο από βλάβη μηχανής ή μόνο από αμέλεια

του οδηγού.

Ασκήσεις από την Τράπεζα Θεμάτων

1. Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων.

Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο

Μιχάλης (Μ) και 2 γυναίκες: η Ειρήνη (Ε) και η Ζωή (Ζ). Επιλέγονται

στην τύχη ένας άντρας και μια γυναίκα για να διαγωνιστούν και κατα-

γράφονται τα ονόματά τους.

α) Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος.

β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων

Α : Να διαγωνίστηκαν ο Κώστας ή ο Μιχάλης .

Β : Να διαγωνίστηκε η Ζωή.

Γ : Να μη διαγωνίστηκε ούτε ο Κώστας ούτε ο Δημήτρης.

2. Από τους μαθητές ενός Λυκείου, το 25% συμμετέχει στη θεατρική ομά-

δα, το 30% συμμετέχει στην ομάδα ποδοσφαίρου και το 15% των μαθη-

τών συμμετέχει και στις δύο ομάδες. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή. Αν

ονομάσουμε τα ενδεχόμενα:

Α: «ο μαθητής να συμμετέχει στη θεατρική ομάδα» και

3

1 )(

4

1

3

1


48

Β: «ο μαθητής να συμμετέχει στην ομάδα ποδοσφαίρου»,

α) Να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόμενα:

i) A B ii) A B iii) B A iv) Α΄

β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες πραγματοποίησης των ενδεχομένων

i) Ο μαθητής που επιλέχθηκε να συμμετέχει μόνο στην ομάδα

ποδοσφαίρου.

ii) Ο μαθητής που επιλέχθηκε να μη συμμετέχει σε καμία ομάδα.

3. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι

άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί

είναι 16. Επιλέγουμε μια μπάλα στην τύχη. Δίνονται τα παρακάτω ενδε-

χόμενα:

Α: η μπάλα που επιλέγουμε είναι ΑΣΠΡΗ

K: η μπάλα που επιλέγουμε είναι KOKKINH

Π: η μπάλα που επιλέγουμε είναι ΠΡΑΣΙΝΗ

α. Χρησιμοποιώντας τα Α, Κ και Π να γράψετε στη γλώσσα των

συνόλων τα ενδεχόμενα:

i. Η μπάλα που επιλέγουμε δεν είναι άσπρη,

ii. Η μπάλα που επιλέγουμε είναι κόκκινη ή πράσινη.

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο

ενδεχόμενα του ερωτήματος (α).

4. Δίνονται δύο ενδεχόμενα A , B ενός δειγματικού χώρου Ω και οι πιθανό-

τητες: 3 5

,4 8

και 1

4

α) Να υπολογίσετε την

β) i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και να γράψετε στη

γλώσσα των συνόλων το ενδεχόμενο: «Α ή Β» .

ii) Να υπολογίσετε την πιθανότητα πραγματοποίησης του παρα

πάνω ενδεχομένου.

5. Δίνεται ο πίνακας:

1 2 3

1 11 12 13

2 21 22 23

3 31 32 33

Επιλέγουμε τυχαία έναν από τους εννέα διψήφιους αριθμούς του παρα-

πάνω πίνακα.

Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης των παρακάτω ενδεχομέ-

νων:


49

Α: ο διψήφιος να είναι άρτιος

Β: ο διψήφιος να είναι άρτιος και πολλαπλάσιο του 3

Γ: ο διψήφιος να είναι άρτιος ή πολλαπλάσιο του 3

6. Δίνεται το σύνολο 1,2,3,4,5,6 και τα υποσύνολά του

1,2,4,5 και 2,4,6

α) Nα παραστήσετε στο ίδιο διάγραμμα Venn, με βασικό σύνολο το Ω,

τα σύνολα Α και Β.

Κατόπιν, να προσδιορίσετε τα σύνολα , , και .

β) Επιλέγουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω. Να βρείτε τις πιθανότητες

των ενδεχομένων:

i) Να μην πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο A.

ii) Να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα ενδεχόμενα A και Β.

iii) Να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από

τα ενδεχόμενα A, B.

7. Από τους σπουδαστές ενός Ωδείου, το 50% μαθαίνει πιάνο, το 40% μα-

θαίνει κιθάρα, ενώ το 10% των σπουδαστών μαθαίνει και τα δύο αυτά

όργανα. Επιλέγουμε τυχαία ένα σπουδαστή του Ωδείου.

Ορίζουμε τα ενδεχόμενα:

Α: ο σπουδαστής αυτός μαθαίνει πιάνο

Β: ο σπουδαστής αυτός μαθαίνει κιθάρα

Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης του ενδεχομένου:

α) Ο σπουδαστής αυτός να μαθαίνει ένα τουλάχιστον από τα δύο

παραπάνω όργανα.

β) Ο σπουδαστής αυτός να μην μαθαίνει κανένα από τα δύο παραπάνω

όργανα.

8. Το 70% των κατοίκων μιας πόλης έχει αυτοκίνητο, το 40% έχει μηχανάκι

και το 20% έχει και αυτοκίνητο και μηχανάκι. Επιλέγουμε τυχαία έναν

κάτοικο αυτής της πόλης. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα:

Α: ο κάτοικος να έχει αυτοκίνητο

Μ: ο κάτοικος να έχει μηχανάκι.

α) να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόμενα:

i) A M ii) MA iii) M΄

β) Να βρείτε την πιθανότητα ο κάτοικος που επιλέχθηκε:

i) Να μην έχει μηχανάκι.

ii) Να μην έχει ούτε μηχανάκι ούτε αυτοκίνητο.


50

9. Από τους 180 μαθητές ενός λυκείου, 20 μαθητές συμμετέχουν στη θεα-

τρική ομάδα, 30 μαθητές συμμετέχουν στην ομάδα στίβου, ενώ 10 μαθη-

τές συμμετέχουν και στις δύο ομάδες. Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή

του λυκείου. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα:

Α: ο μαθητής συμμετέχει στη θεατρική ομάδα

Β: ο μαθητής συμμετέχει στην ομάδα στίβου

α) Να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόμενα:

i) Α Β ii) BA iii) A΄

β) Να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής που επιλέχθηκε:

i) Nα μη συμμετέχει σε καμία ομάδα.

ii) Nα συμμετέχει μόνο στην ομάδα στίβου.

10. Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 200 είναι μαθητές της

Α΄ τάξης. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μα-

θητής της Γ΄ τάξης είναι 20%. Να βρείτε:

α) Το πλήθος των μαθητών της Γ΄ τάξης

β) Το πλήθος των μαθητών της Β΄ τάξης.

γ) Την πιθανότητα ο μαθητής που επιλέξαμε να είναι της Β΄ τάξης.

11. Σε ενα τμημα της Α’ Λυκειου καποιοι μαθητες παρακολουθουν μα-

θηματα Αγγλικων και καποιοι Γαλλικων.

Η πιθανοτητα ενας μαθητης να μην παρακολουθει Γαλλικα ειναι 0,8.

Η πιθανοτητα ενας μαθητης να παρακολουθει Αγγλικα ειναι τετραπλασια

απο την πιθανοτητα να παρακολουθει Γαλλικα.

Τελος, η πιθανοτητα ενας μαθητης να παρακολουθει μαθηματα του-

λαχιστον μιας απο τις δυο γλωσσες ειναι 0,9.

α. Επιλεγουμε ενα μαθητη στην τυχη.

i. Ποια ειναι η πιθανοτητα αυτος να παρακολουθει μαθηματα και

των δυο γλωσσων;

ii. Ποια ειναι η πιθανοτητα αυτος να παρακολουθει μαθηματα

μονο μιας απο τις δυο γλωσσες;

β. Αν 14 μαθητες παρακολουθουν μονο Αγγλικα, ποσοι ειναι οι

μαθητες του τμηματος;

12. Η εξεταση σε ενα διαγωνισμο των Μαθηματικων περιλαμβανε δυο

θεματα τα οποια επρεπε να απαντησουν οι εξεταζομενοι. Για να βαθμο-

λογηθουν με αριστα επρεπε να απαντησουν και στα δυο θεματα, ενω για

να περασουν την εξεταση επρεπε να απαντησουν σε ενα τουλαχιστον απο

τα δυο θεματα. Στο διαγωνισμο εξετασθηκαν 100 μαθητες.

Στο πρωτο θεμα απαντησαν σωστα 60 μαθητες. Στο δευτερο θεμα α-

παντησαν σωστα 50 μαθητες, ενω και στα δυο θεματα απαντησαν σωστα


51

30 μαθητες. Επιλεγουμε τυχαια ενα μαθητη.

α) Να παραστησετε με διαγραμμα Venn και με χρηση της γλωσσας

των συνολων (οριζοντας τα καταλληλα ενδεχομενα) τα παραπανω

δεδομενα.

β) Να υπολογισετε την πιθανοτητα ο μαθητης:

i) Να απαντησε σωστα μονο στο δευτερο θεμα.

ii) Να βαθμολογηθει με αριστα.

iii) Να μην απαντησε σωστα σε κανενα θεμα.

iv) Να περασε την εξεταση.

13. Σε μια ομάδα που αποτελείται από 7 ανδρες και 13 γυναικες, 4 απο τους

ανδρες και 2 απο τις γυναικες παιζουν σκακι. Επιλεγουμε τυχαια ενα απο

τα ατομα αυτα.

α) Να παραστησετε με διαγραμμα Venn και με χρηση της γλωσσας

των συνολων το ενδεχομενο το ατομο που επιλεχθηκε:

i) να ειναι ανδρας η να παιζει σκακι.

ii) να μην ειναι ανδρας και να παιζει σκακι.

β) Να υπολογισετε την πιθανοτητα το ατομο που επιλεχθηκε να ειναι

γυναικα και να παιζει σκακι.

14. Οι δραστες μιας κλοπης διεφυγαν μ’ ενα αυτοκινητο και μετα απο την

καταθεση διαφορων μαρτυρων εγινε γνωστο οτι ο τετραψηφιος αριθμος

της πινακιδας του αυτοκινητου ειχε πρωτο και τεταρτο ψηφιο το 2 . Το

δευτερο ψηφιο ηταν 6 η 8 η 9 και το τριτο ψηφιο του ηταν 4 η 7.

α) Με χρηση δενδροδιαγραμματος, να προσδιορισετε το συνολο των

δυνατων αριθμων της πινακιδας του αυτοκινητου.

β) Να υπολογισετε τις πιθανοτητες των παρακατω ενδεχομενων

Α: Το τριτο ψηφιο του αριθμου της πινακιδας ειναι το 7.

Β: Το δευτερο ψηφιο του αριθμου της πινακιδας ειναι 6 η 8.

Γ: Το δευτερο ψηφιο του αριθμου της πινακιδας δεν ειναι ουτε 8

ουτε 9.

15. α) Αν Α,Β,Γείναι 3 ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ενός

πειράματος τύχης να διατυπώσετε λεκτικά τα παρακάτω ενδεχόμενα

(i)A B (ii) B Γ (iii) Α Β Γ (iv) A΄

β) Στο παρακάτω σχήμα παριστάνονται με διάγραμμα του Venn ο

πα ραπάνω δειγματικός χώρος και τα τρία ενδεχόομενα Α,Β,Γ αυ-

τού. Να υπολογίσετε την πιθανότητα πραγματοποιήσης των ενδεχο-

μένων του (α) ερωτήματος


52

16. Απο μια ερευνα μεταξυ μαθητων ενος Λυκειου της χωρας, προεκυψε οτι

το 80% των μαθητων πινει γαλα η τρωει δυο φετες ψωμι με βουτυρο και

μελι στο σπιτι το πρωι.

Επιλέγουμε ενα μαθητη στην τυχη και οριζουμε τα ενδεχομενα:

Α: ο μαθητης πινει γαλα

Β: ο μαθητης τρώει δυο φετες ψωμι με βουτυρο και μελι

Αν απο το συνολο των μαθητων το 60% πινει γαλα και το 45% τρωει δυο

φετες ψωμι με βουτυρο και μελι,

α) Να ορισετε με χρηση της γλωσσας των συνολων τα ενδεχομενα:

i) ο μαθητης ουτε να πινει γαλα ουτε να τρωει δυο φετες ψωμι με

βουτυρο και μελι

ii) ο μαθητης να πινει γαλα και να τρωει δυο φετες ψωμι με

βουτυρο και μελι

iii) ο μαθητης να πινει μονο γαλα.

β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα πραγματοποίησης των

ενδεχομένων του α) ερωτήματος.


53

2.1. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους

Σύνολα αριθμών

Α. Φυσικοί αριθμοί

Το σύνολο των φυσικών αριθμών αποτελείται από τους αριθμούς : 0, 1, 2, 3,

4,… και συμβολίζεται με το γράμμα το οποίο είναι αρχικό της λέξης Natu-

ral.Δηλαδή:

, , , ,... 0 1 2 3 ενώ ορίζουμε το σύνολο * 0 ή * , , ,... 1 2 3

Το σύνολο των φυσικών χωρίζεται σε 2 υποσύνολα.

i. Άρτιοι αριθμοί: , , , , , ,...0 2 4 6 8 10 ή αλλιώς ζυγοί αριθμοί

Η χαρακτηριστική ιδιότητα που έχουν οι άρτιοι αριθμοί είναι ότι διαιρού-

νται ακριβώς με το 2.

Γι’ αυτό και ο συμβολισμός ενός άρτιου αριθμού είναι: κ, κ2

ii. Περιττοί αριθμοί: 1,3,5,7,… ή αλλιώς μονοί αριθμοί.

Τους περιττούς τους συμβολίζουμε ως κ 2 1 με κ .

Β. Ακέραιοι αριθμοί

Το σύνολο των ακέραιων αριθμών συμβολίζεται με το γράμμα το οποίο εί-

ναι το αρχικό γράμμα της λήξης Zahlen που στα γερμανικά σημαίνει αριθμός.

Ορίζεται ως εξής: ..., , , , , , , ,... 3 2 1 0 1 2 3

Επίσης:

* 0

, , , ,... 0 1 2 3 θετικοί ακέραιοι

* *, , ,... 1 2 3 θετικοί ακέραιοι χωρίς το μηδέν

, , , ,... 0 1 2 3 αρνητικοί ακέραιοι

* , , ,... 1 2 3 αρνητικοί ακέραιοι χωρίς το μηδέν

Γ. Ρητοί αριθμοί

Το σύνολο των ρητών αριθμών συμβολίζεται με το γράμμα το οποίο είναι

το αρχικό της λέξης Quotient που στα αγγλικά σημαίνει πηλίκο.

Ορίζεται ως εξής: *α,α,β με β 0 ή β

β

Το σύνολο των ρητών περιέχει όλους τους αριθμούς που έχουν ή μπορούν να

γραφούν ως κλάσματα όπου οι όροι τους είναι ακέραιοι αριθμοί.


54

Το σύνολο των ρητών περιέχει όλους τους ακέραιους (άρα και τους φυσικούς),

τους δεκαδικούς αλλά και τους περιοδικούς (δηλαδή εκείνους που έχουν άπει-

ρο πλήθος δεκαδικών ψηφίων τα οποία παρουσιάζουν περιοδικότητα).

Παραδείγματα

α) Ο αριθμός 5 γράφεται 5

1 άρα είναι ρητός

β) Ο αριθμός -3 γράφεται 3

1 άρα είναι ρητός

γ) Ο αριθμός 2,5 γράφεται 25

10 άρα είναι ρητός.

δ) Ο αριθμός 2,1325252525… είναι δεκαδικός με άπειρα δεκαδικά ψηφία

που παρουσιάζουν περιοδικότητα. Η περίοδός του είναι το διψήφιο τμήμα

25. Και γράφεται: ,2 1325

Έστω ο αριθμός α = 2,33333...δηλ. α = 2,3

Το 1ο μέρος της περιόδου είναι: α = 2, 3 3333

Το 2ο μέρος της περιόδου είναι: α = 2,3 3 333

α = 2,33333... 10α = 23,3333...

Αφαιρώ: 9α = 21 ή 21

α =9

Έστω ο αριθμός α = 2,13252525 ή

Το 1ο μέρος της περιόδου είναι : α = 2,13 25 2525

Το 2ο μέρος της περιόδου είναι: α = 2,1325 25 2525

100α = 213,252525 1000α = 21325,252525

Αφαιρώ: 9900α = 21112 ή 21112

α =9900

Δ. Άρρητοι αριθμοί

Άρρητοι ονομάζονται οι αριθμοί που δεν είναι ρητοί.

Δηλαδή άρρητοι είναι όλες οι ρίζες των φυσικών αριθμών που δεν υπολογίζο-

νται ακριβώς.

Οι άρρητοι αριθμοί είναι δεκαδικοί που μετά την υποδιαστολή έχουν άπειρο

πλήθος δεκαδικών ψηφίων τα οποία δεν παρουσιάζουν καμία περιοδικότητα.

Συμβολίζονται: Α ή

Ισχύει: Α


55

Ε. Πραγματικοί αριθμοί (real)

Είναι οι ρητοί και οι άρρητοι μαζί δηλαδή: Α

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών αντιπροσωπεύει κάθε ποσότητα που

μπορεί να μετρηθεί.

Σημείωση

Οι άρρητοι χωρίζονται σε δύο κατηγορίες.

Αλγεβρικοί άρρητοι είναι λύσεις αλγεβρικών εξισώσεων

Υπερβατικού άρρητοι δεν είναι λύσεις αλγεβρικών εξισώσεων

Άξονας των πραγματικών αριθμών

Πάνω σε μία ευθεία αντιστοιχίζουμε σε κάθε σημείο της και έναν πραγματικό

αριθμό αλλά και αντιστρόφως κάθε σημείο αυτής της ευθείας παριστάνει και

έναν πραγματικό αριθμό.

Πράξεις

Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης

και του πολλαπλασιασμού και με τη βοήθεια τους οι πράξεις της αφαίρεσης

και της διαίρεσης.

Για την πρόσθεση ισχύουν:

1. Αντιμεταθετική ιδιότητα: α β β α

2. Προσεταιριστική ιδιότητα: α β γ α β γ

Με βάση τις δύο παραπάνω ιδιότητες κάθε άθροισμα με περισσότερους από

δύο προσθετέους ισούται με οποιοδήποτε άλλο άθροισμα που σχηματίζεται

από τους ίδιους αριθμούς με οποιαδήποτε σειρά και αν τους πάρουμε.

3. Ύπαρξη ουδέτερου στοιχείου: α α 0

4. Ύπαρξη αντίθετων: α α 0

Για τον πολλαπλασιασμό ισχύουν:

1. Αντιμεταθετική ιδιότητα: α β β α

2. Προσεταιριστικη ιδιότητα: α β γ α β γ

Με βάση τις δύο αυτές ιδιότητες ένα γινόμενο με περισσότερους από δύο πα-

ράγοντες ισούται με οποιοδήποτε άλλο γινόμενο που σχηματίζεται από τους

ίδιους παράγοντες με οποιαδήποτε σειρά και αν τους πάρουμε.

3. Ύπαρξη ουδέτερου στοιχείου: α α 1

4. Ύπαρξη αντιστρόφου: α ,αα 1

1 0

Επιμεριστική ιδιότητα:

α β γ α β α γ , α,β, γ

Αφαίρεση:

α β α β


56

Διαίρεση: α

α :β α ,ββ β

1

0

Βασικές Ιδιότητες 1. Αν α β και γ δ τότε: α γ β δ δηλαδή μπορούμε να προσθέσουμε

δύο ισότητες κατά μέλη.

2. Αν α β και γ δ τότε: α γ β δ δηλαδή μπορούμε να πολλαπλασιά-

σουμε δύο ισότητες κατά μέλη.

3. Αν α β τότε α γ β γ . Αν α γ β γ τότε α β

4. Έστω *γ τότε α β α γ β γ

Όταν διαιρούμε ή πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη μιας ισότητας με

έναν αριθμό θα πρέπει να εξασφαλίσουμε ότι δεν είναι μηδέν.

5. α β α 0 0 ή β 0

Η ιδιότητα αυτή ισχύει και για περισσότερους παράγοντες

να α ... α α 1 2 1 0 ή α 2 0 ή …. ή να 0

6. α β α 0 0 και β 0

Η ιδιότητα αυτή ισχύει και για περισσότερους παράγοντες

να α ... α α 1 2 10 0 και α 2 0 και … και να 0

7. i. α α 1

ii. α β α β

iii. α β α β

iv. α β α β

v. α β α β

vi. α β α β

1 1 1 α β 0

Αναλογία

Έστω α,β με β 0 το πηλίκο α

β λέγεται λόγος του α προς το β

Η ισότητα δύο λόγων ονομάζεται αναλογία, δηλαδή μία ισότητα της μορφής: α γ

β δ με β δ 0

α γ

β δ

μέσοι όροι

άκροι όροι


57

Ιδιότητες:

1. α γ

α δ β γβ δ β δ 0

2. α γ α β

β δ γ δ β γ δ 0 εναλλαγή των μέσων

3. α γ α β γ δ

β δ β δ

β δ 0

4. α γ α γ α γ

β δ β δ β δ

, β δ β δ 0

Α. Δυνάμεις

Έστω α και ν με ν 2 ορίζουμε: ν

ν-παράγοντες

α α α ... α

Αν ν = 0 τότε α 0 1

Αν ν = 1 τότε α α1

Αν α 0 τότε ν

να

α

1

(επέκταση του εκθέτη στο σύνολο των ακεραίων)

Ιδιότητες

Έστω α,β και κ,λ τότε ισχύει:

1. κ λ κ λα α α

2. κ

κ λ

λ

αα

α

, α 0

3. λ

κ κ λα α

4.

κκ

κ

α α

β β

5. κκ κα β α β

Β. Ταυτότητες

Ταυτότητα ονομάζεται η ισότητα δύο αλγεβρικών παραστάσεων που είναι α-

ληθής για όλες τις τιμές* των μεταβλητών που παρουσιάζονται στις παραστά-

σεις.

*εννοούμε τις τιμές για τις οποίες έχουν νόημα πραγματικού αριθμού οι πα-

ραστάσεις.

Βασικές Ταυτότητες

1. α β α αβ β 2 2 22

2. α β α αβ β 2 2 22


58

3. α β α β α β 2 2

4. α β α α β αβ β 3 3 2 2 33 3

5. α β α α β αβ β 3 3 2 2 33 3

6. α β α β α αβ β 3 3 2 2

7. α β α β α αβ β 3 3 2 2

8. α β γ α β γ αβ βγ αγ 2 2 2 2 2 2 2

9. 22 2α β α β 2 α β

Γ. Μέθοδοι απόδειξης

1η Ευθεία Απόδειξη

Ξεκινάμε από τα δεδομένα και εφαρμόζοντας μια σειρά λογικών βημάτων

φτάνουμε στο συμπέρασμα

Λέγοντας λογικά βήματα εννοούμε:

i. Να κάνουμε πράξεις (παραγοντοποίηση, ταυτότητες κλπ)

ii. Να εφαρμόσουμε γνωστά θεωρήματα, ορισμούς και αξιώματα


Αν α β+ = 2

β α να αποδείξετε ότι α = β α β 0

Λύση

2 2 2 22 2 2 2

2

α β α β α +β+ = 2 + = 2 = 2 α +β = 2αβ α +β - 2αβ = 0

β α αβ αβ αβ

α -β = 0 α -β = 0 α = β

2η Απόδειξη με το «αρκεί»

Ξεκινάμε από τον ισχυρισμό που θέλουμε να αποδείξουμε και χρησιμοποιώ-

ντας τη λέξη αρκεί καταλήγουμε σε έναν ισχυρισμό ο οποίος ισχύει είτε α-

ξιωματικά είτε από θεώρημα είτε από την υπόθεση.


Αν 0 < x < y να αποδείξετε ότι: x y

<1+ x 1+ y

Λύση


59

x y

< αρκεί1+ x 1+ y

x 1+ y < y 1+ x αρκεί

x + xy < y + yx αρκεί

x < y

Ο τελευταίος ισχυρισμός ισχύει από την υπόθεση άρα ισχύει και η αρχική.

3η Απαγωγή σε άτοπο

Έστω ότι θέλουμε να αποδείξουμε τη συνεπαγωγή p d

Υποθέτουμε ότι δεν ισχύει το συμπέρασμα. Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα κα-

ταλήγουμε σε κάτι που δεν ισχύει*

* είτε έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση * είτε έρχεται σε αντίθεση με αξιωματικά θεμελιωμένους ισχυρισμούς


Αποδείξετε ότι η εξίσωση 4x + x+ 2 = 7 δεν έχει λύση τον αριθμό 1

Λύση

Έστω ότι η εξίσωση έχει λύση τον αριθμό 1, τότε θα την επαληθεύει: 41 + 1+ 2 = 7 4 = 7 ΑΤΟΠΟ

Άρα ο 1 δεν είναι λύση της εξίσωσης

4η Μέθοδος αντιπαραδείγματος

Για να αποδείξουμε ότι ένας ισχυρισμός δεν είναι πάντα αληθής αρκεί να

βρούμε ένα παράδειγμα για το οποίο ο συγκεκριμένος ισχυρισμός δεν ισχύει.


Έστω ο ισχυρισμός: Αν v τότε 2ν +1

7

Ο ισχυρισμός δεν είναι αληθής διότι για ν = 4 έχω: 9

7


60

Ασκήσεις

Α. Ασκήσεις στις ιδιότητες των δυνάμεων

1) Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις

2 332x 4x 2yA ,α, x, y 0

3α 2αy 5α

02 200 30 2

2 3 20000 5

3αxy 300x y 6αyB : ,α, x, y 0

α y 18α 2x

11 4

1

9 3 81 3,

3 2 2 2

2) Αν ωΒωΑ 34342 yx2

1,yx2 να βρείτε τα:

α) Α2Β2

β) Α2 : Β2

3) Αν για τους μη μηδενικούς αριθμούς x,y ισχύει x y 2 να υπολογίσετε

την αριθμητική τιμή της παράστασης

1 52 3 3 2 9

8 52 2

32 x y x y yA

xy x y

4) Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις και να τις γράψετε χρησι-

μοποιώντας θετικούς εκθέτες

22

3 1 2

2 2

x y zA

x y z

1 23 0 2 3 1

3 3 5 2 2 2

3 x y 3 x yB

2 x y 2 x y

5) Αν 223423432474 ,)(A δγβαΓκαιγβαΒδγαβ να υπολογίσετε το

κλάσμα 2

xΒ

ΓΑ .

6) Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις και να τις γράψετε χρησι-

μοποιώντας θετικούς εκθέτες:

α)

22

22

213

zyx

zyx

β)

2

222

131

533

203

yx2

yx3

yx2

yx3


61

7) Να βρείτε την τιμή της παράστασης 3

4

21231212

x

y:yxyx

Α

για x = 0,01 και y = 10-1.

8) Να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης

21 22 3

23 1 2

32 4 2:

αν ισχύει 2 15 , , 0,2

10

Β. Ασκήσεις στις ταυτότητες

1) Να αποδείξετε ότι :

α) 2 2 2 2x y x y 2 x y

β) 2 2

x y x y 4xy

γ)

2 2x y x y

xy2 2


α) 2 2 2x y 2 x y x y x y 4y

β) 3 3 2 2x y x y 2y y 3x

γ) 2 22 2 2 2x y α β αx βy αy βx

3) Να αποδείξετε ότι

α) 33 3α β α β 3αβ α β

β) 3 2 22α 2 4 α 1 α α 1 α 2

γ) 3 3 2 22α β 2α β 4α 4α 3β

4) Αν α β 2 ,να αποδείξετε ότι : 22 3 3α β β α 4 1 β α 2 β

5) Να αποδείξετε ότι 2 2

x 2y x 2y 8xy και στη συνέχεια να υπολογί-

σετε την τιμή της παράστασης

2 2555 220 555 220

110 555 110 555

6) α) Nα αποδείξετε την ταυτότητα 2 2

α β α β 4αβ

β) Να υπολογίσετε την παράσταση

2 22015 11888 2015 11888

Α11888 2015 11888 2015


62

7) Αν 1

α 3α

,να αποδείξετε ότι 3

3

1α 18

α

8) Αν α β 0 και 2 2x α β ,y 2αβ και 2 2w α β είναι τα μήκη των πλευ-

ρών ενός τριγώνου να αποδείξετε ότι αυτό είναι ορθογώνιο με υποτεί-

νουσα την w.

9) Αν και να υπολογιστούν τα:

α) β)

10) Αν να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων:

α) β) γ)

11) Αν α = 7x + 3y + 6ω, β = 6x + 2y + 6ω, γ = 3x + 3y + 2ω και x2 = y2 + ω2

να αποδείξετε ότι α2 = β2 + γ2.

12) Αν x + y + z = α και x2 + y2 + z2 = β να βρείτε την τιμή της παράστασης xy

+ yz + zx

Γ. Ασκήσεις στην παραγοντοποίηση –απλοποίηση –πράξεις

1) Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις

α) 34223 x18x6x9 ααα β) 22253452 yx4yx8yx16yx12

γ) 324332234 31854 γβαγβαγβα δ) y3x72 22223 βγαβγαγβα

ε) 1x31x3 αβα στ) x3x2x391x3x2 2


α) y3xyx3x 2 β) βαβα 22 xx

γ) 10x2x5x 23 δ) 2222 y5x5yx ββαα

ε) 2137 23 ωωω στ) γβγαβα 22


α) 123 ααα β) 22 y1y αα

γ) zz 23 ωωω δ) ααα 3515 23

ε) 22 y1y αα στ) 2222 xy1yx

ζ) μλμλ 22 xx η) ωω 2222 xzyyzx


α) 2x 25 β) 21 x γ) 2x 36

5 βα 2βα

22 βα 33

11

βα

5x

1x

2

2

x

1x

3

3

x

1x

4

4

x

1x


63

δ) 4x 1 ε) 2 2x 36y στ) 24 9x


α) 2 29x 25α β) 2 2 2α x 81y

γ) 22 y9)y3x2( δ) 222 49yx16 α

ε) 16

9

9

46

4 βα στ) 16)3x( 2

ζ) 224 )y3x(yx64 η) 44 1681 βα


α) 22 )yx(16)yx(25 β) βααβ 55 182

γ) 23 x55 αα δ) 22 )yx2()y5x3(

ε) 4x4001

7) Nα παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις

α) 22 y4xy12x9 β) 122 αα

γ) xx2x 23 δ) 2xy100xy20x

ε) 23 2ωωω στ) 12624 yyx2x


α) 8x3 β) 27x 3

γ) αα 542 4 δ) 273 α

ε) 64x 3 στ) 33 y27x8

ζ) 44 x5x5 αα η) 163 βα


α) 4 2 2 4α 3α β 4β β) 4 2 2 4ω ω y y

γ) 4 2 2 416x 4x y 25y δ) 4 2 2 4x 5x y 4y

ε) 223 168 αββαα στ) 22 y16xy24x9 βββ

ζ) 12 22 βαβα η) 22 y1x2x


α) 222 x812 βαβα β) 222 xx44 ααβ

γ) 22 yx1xy2 δ) 169x4 22 αα


α) 2

3

x x

x 1

β)

3012

254 2

α

α γ)

2

2

x 9

x 6x 9

δ) 4 4

3 3

x y

x y xy

ε)

2

2

3x 3x

2x 4x 2

στ) 3

2

x 1

5x 10x 5


64


α) 2 2

2 2

α 2αβ β

α β

β)

3 2

2 2

α 3α β

α 9β

γ)

3

2

4x x

x 4x 4


α) 2

2

x 3x

36x 12x

β)

2

2

3x 12

x 4x 4

γ)

2 2

2 2

x 3x 2 x 2x

x x x x 2

14) Να κάνετε τις πράξεις

α)

2

22

2α 3 1 α 3α 4:

α 3 α 3 α 9 α 3

β) 2 2

3

x x 1 x 1

x 1 x 1

γ) 2 2

2 2

x 3x 2 x 2x

x x x x 2

δ)

22 3

3

x x 1x

xx 1

ε) 2 2

2 2

α β α β:

γ δ γ δ

15) Να κάνετε τις πράξεις και να απλοποιήσετε την παράσταση:

α) 2 2 3 3

2 2

α β α β

α β α β

β)

2

1 1 6

α 3 α 3 α 9

γ) 2

2 2 4 4

x y(x y)

x y x y

δ)

2x α x β (α β)

x β x α (x α)(x β)

ε) 2 2 2

1 1 3

α 3α 2 α 4 α α 2

ζ)

2α 3β7

α β α β

16) Να απλοποιήσετε την παράσταση :

2

2 2

α β α α β α βA ,α β,α

α β α β 2α β β α 2

17) Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις

α) 2

1 1 6

α 3 α 3 α 9

β)

2

2 2 4 4

x y(x y)

x y x y


65

γ) 2x α x β (α β)

x β x α (x α)(x β)

δ)

2 2 2 2

3 3

x y 1 1 x yx :

y y x x y

Δ. Αναλογίες

1. Αν δ

γ

β

α να αποδείξετε ότι:

δγ

δγ

βα

βα

2. Αν δ

γ

β

α να δειχθεί ότι:

δγ

γ

βα

α

3. Αν βα

yx να δείξετε ότι:

2

2

22

22 yxyx

βαβα

4. Αν δ

γ

β

α να δείξετε ότι:

2

2

22

222

843

843

β

α

δβδβ

γαγβα

5. Αν δ

γ

β

α να αποδείξετε ότι:

2

2

32

2

δβ

γα

δδβ

δγαβγ

6. α) Αν 4

3

y

x να υπολογίσετε τον λόγο

yx2

y3x5

β) Αν 7

5

y


xy

yx

γ) Αν 2

7

y


y5x2

y3x

δ) Αν 5

2

y


xy3

y3x2

7. Αν οι αριθμοί α, β, γ είναι ανάλογοι των αριθμών 4, 2 και 3 αντίστοιχα

και ισχύει α + 3β - 2γ = 4 να βρεθούν οι α, β, γ.

8. Αν γκ

ω

γλλκ

yx τότε x + y = ω.

9. Να βρεθούν τα ω,y,x όταν 97

y

5

x ω και x + y = 24.


66

Ε. Ασκήσεις Αποδεικτικές

1) Να αποδείξετε ότι:

α) Το άθροισμα ενός άρτιου και ενός περιττού είναι περιττός αριθμός.

β) Η διαφορά δύο περιττών αριθμών είναι άρτιος.

2) Να αποδείξετε ότι το τετράγωνο ενός περιττού αριθμού είναι επίσης πε-

ριττός αριθμός

3) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των τετραγώνων δύο περιττών ακεραίων

είναι άρτιος.

4) Να αποδείξετε ότι η διαφορά των κύβων δύο διαδοχικών φυσικών αριθ-

μών είναι περιττός αριθμός.

5) Έστω 2 2 2

α β β γ γ α 4 αβ βγ γα να αποδείξετε ότι το τρί-

γωνο είναι ισόπλευρο.

6) α) Αν α + β + γ = 0 να αποδείξετε ότι:

2

2 2 2

1 1 1 1 1 1

α β γ α β γ

.

β) Να αποδείξετε ότι:

2

2 2 2

1 1 1 1 1 1

x y y z z xx y y z z x

Τράπεζα θεμάτων

1) Δίνονται οι μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί α, β με α β για τους

οποίους ισχύει 2

2

α 1 α

β 1 β

Α) να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α και β είναι αντίστροφοι.

Μονάδες 13

Β) να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

822 3

252

α βΚ

α αβ

Μονάδες 12


67

2.2. Διάταξη πραγματικών αριθμών

Ορισμός:

Θα λέμε ότι ένας αριθμός α είναι μεγαλύτερος από έναν αριθμό β και θα

γράφουμε α > β όταν η διαφορά α β είναι θετικός αριθμός.

Οπότε: α > β α - β > 0

Ορισμός:

Θα λέμε ότι ένας αριθμός α είναι μικρότερος από έναν αριθμό β και θα

γράφουμε α < β όταν η διαφορά α β είναι αρνητικός αριθμός.

Οπότε: α < β α - β < 0


1. Κάθε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από το μηδέν

2. Κάθε αρνητικός αριθμός είναι μικρότερος από το μηδέν

3. Γεωμετρικά η ανισότητα α β σημαίνει ότι πάνω στον άξονα των πραγ-

ματικών αριθμών ο αριθμός α είναι δεξιότερα από το β

Κανόνες

1. Αν α 0 και β 0 τότε α β 0

α και β α β 0 0 0

2. Αν α 0 και β 0 τότε α β 0

α και β α β 0 0 0

3. α,β ομόσημοι α

α ββ

0 0

4. α,β ετερόσημοι α

α ββ

0 0

5. Ισχύει: α 2 0 για κάθε α . Η ισότητα ισχύει για κάθε α 0

6. α β α 2 2 0 0 και β 0

7. α β α 2 2 0 0 ή β 0


68

Ιδιότητες

1. α > β και β > γ α > γ

Απόδειξη

Εφόσον α β α β 0 (Ορισμός της διάταξης)

και β γ β γ 0 (Ορισμός της διάταξης)

(κανόνας 1) Άρα α β (β γ) 0 α γ 0 α γ

2. α > β α + γ > β + γ

Απόδειξη α β α β 0 α γ γ β 0

(α γ) (β γ) 0 α γ β γ

3. Αν γ > 0 τότε α > β α γ > β γ

Απόδειξη

Εφόσον α β τότε α β 0 και επειδή γ 0 τότε

(κανόνας 3): (α β) γ 0 α γ β γ 0 α γ β γ

4. Αν γ < 0 τότε α > β α γ < β γ

Απόδειξη

Εφόσον α β τότε α β 0 και επειδή γ 0 τότε

(Κανόνας 4) (α β) γ 0 α γ β γ 0 α γ β γ

5. Αν α > β και γ > δ τότε: α + γ > β + δ (α > β και γ > δ α + γ > β + δ )

Απόδειξη

α β α β 0 και γ δ γ δ 0

Άρα (κανόνας 1) α β γ δ 0 α β γ δ 0 α γ β δ

6. Για τους θετικούς αριθμούς α, β, γ, δ ισχύει: α > β και γ > δ α γ > β δ

Απόδειξη

Εφόσον α β και γ 0 τότε αγ βγ (1)


69

Επίσης γ δ και β 0 τότε βγ βδ (2)

Από (1),(2) ισχύει αγ βδ

Οι ιδιότητες 5, 6 ισχύουν για περισσότερες ανισότητες. Δηλαδή μπορώ να προ-

σθέσω ανισότητες της ίδιας φοράς, όπως και να πολλαπλασιάσω ανισότητες της

ίδιας φοράς αρκεί όλοι οι όροι να είναι θετικοί.

7. Αν α, β > 0 και *ν ισχύει: ν να > β α > β

Σημαντικά σχόλια: 1. Ανισότητα ονομάζεται η σχέση εκείνη που συνδέει δύο πραγματικούς

αριθμούς ή δύο αλγεβρικές παραστάσεις με τα σύμβολα ή

σημαίνει μεγαλύτερο ή ίσο

σημαίνει μικρότερο ή ίσο

2. Ποτέ δεν αφαιρούμε ούτε διαιρούμε ανισότητες κατά μέλη

3. Ποτέ δεν αντιστρέφουμε τους όρους μιας ανισότητας αν δεν γνωρίζουμε

το πρόσημο τους .

Διάσημες ανισότητες

1. Ισχύει: ,

2. Ισχύει:

3. Ισχύει: και

4. Ισχύει: και

5. ,

6. με και


70

Πως αποδεικνύω ανισότητες

Έστω ότι θέλαμε να αποδείξουμε ανισότητες της μορφής: Α Β ή Α Β ή

Α Β ή Α Β

Μέθοδος 1:

Προσπαθούμε την σχέση που θέλουμε να αποδείξουμε να την μετασχηματί-

σουμε (κάνοντας πράξεις – παραγοντοποίηση - απαλοιφές παρανομαστών

κλπ.) χρησιμοποιώντας το αρκεί σε μία προφανώς αληθής σχέση.

Παράδειγμα 1

Να αποδείξετε ότι: 2 2α +β 2αβ

Απόδειξη

22 2 2 2α + β 2αβ αρκεί α + β - 2αβ 0 αρκεί α - β 0 που ισχύει.

Το ίσον ισχύει αν α = β

Στην ουσία κάναμε το παρακάτω :

22 2 2 2α + β 2αβ α + β - 2αβ 0 α - β 0

Γενικά : Θέλω να αποδείξω: Α Β αρκεί να δείξω Α Β 0

Α Β αρκεί να δείξω Α Β 0




Αν α < 2 < β να αποδείξετε ότι αβ+ 4 < 2 α+β

Απόδειξη

Αρκεί να δείξω ότι: αβ+ 4 - 2 α + β < 0

Παίρνω το 1ο μέλος αβ+ 4 - 2α - 2β = α β- 2 - 2 β- 2 = β- 2 α - 2 < 0 διότι:

υπόθεση

α < 2 α - 2 < 0

υπόθεση

β > 2 β - 2 > 0

Μέθοδος2: Ευθεία απόδειξη


Αν α < β τότε α+ β

α < < β2

Ευθεία απόδειξη


71

Ξεκινάμε από την υπόθεση και χρησιμοποιώντας τα θεωρήματα της θεωρίας,

τους διάφορους ορισμούς και τα πορίσματα θα καταλήξουμε στο συμπέρασμα:

α < β α + α < α + β 2α < α + β (1)

α < β α + β < β + β α + β < 2βα (2)

Από (1) ,(2) (μεταβατική ιδιότητα) προκύπτει α + β

2α < α + β < 2β α < < β2

Διαστήματα

Έστω οι πραγματικοί αριθμοί x για τους οποίους ισχύει α x β

Το παραπάνω σύνολο λέγεται κλειστό διάστημα από το α μέχρι το β και συμ-

βολίζεται α,β

Έστω οι πραγματικοί αριθμοί x για τους οποίους ισχύει α x β

Το παραπάνω σύνολο λέγεται ανοιχτό διάστημα από α μέχρι β και συμβολίζε-

ται α,β .

Οι αριθμοί α, β λέγονται άκρα του διαστήματος και κάθε αριθμός μεταξύ των α

και β λέγεται εσωτερικό σημείο αυτών.

Άλλες μορφές:

x α,β α x β

x α,β α x β

Επίσης:

x α x α,

x α x α,

x α x ,α

x α x ,α


72


1. Να εξετάσετε αν είναι σωστοί ή λάθος οι παρακάτω ισχυρισμοί:

Σωστό Λάθος

1) Αν x 0 και y 0 τότε x y 0


3) Αν x 0 και y 0 τότε y

0x

4) Αν x 0 και y 0 τότε xy 0

5) 2

χ 1 0

6) 2 2x y 0 x 0 και y 0

7) 2 2x y 0 x 0 ή y 0

8) Αν α β και γ δ τότε α γ β δ


10) Αν α β , γ δ τότε α γ β δ

11) Αν α β , γ δ και α,β,γ,δ 0, τότεα β

γ δ

12) Αν α β και γ 0 τότε αγ βγ

13) Αν α β και γ 0 τότε α β

γ γ

14) Αν ν να β και α,β 0, τότε α β

15) Αν α β τότε ν να β

16) Αν x 3, τότε x 3

17) Αν *x τότε x 0

18) Αν 3 x 4 τότε x 3,4

19) Αν x ,0 0, τότε *x


73

20) Αν x α τότε x ,α

2. Να εξετάσετε αν είναι σωστοί ή λάθος οι παρακάτω ισχυρισμοί:




3) Αν x 0 και y 0 τότε y

0x

4) Αν x 0 και y 0 τότε xy 0

5) 2

χ 1 0

6) 2 2x y 0 x 0 και y 0

7) 2 2x y 0 x 0 ή y 0



10) Αν α β , γ δ και α,β,γ,δ 0, τότε

α γ β δ

11) Αν α β , γ δ τότε α β

γ δ

12) Αν α β και γ 0 τότε αγ βγ

13) Αν α β και γ 0 τότε α β

γ γ

14) Αν ν να β και α,β 0, τότε α β

15) Αν α β τότε ν να β

16) Αν x 3, τότε x 3

17) Αν *x τότε x ,0 0,

18) Αν 3 x 4 τότε x 3,4


74

19) Αν x ,0 0, τότε *x

20) Αν x α τότε x ,α

3. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λάθος καθεμία από τις παρακάτω

προτάσεις


1) Αν α 2 τότε α 2 0

2) Αν α β και α β 0 τότε β 0

3) Αν α β 0 τότε 1 1

α β

4) Αν α 1 και 0 β 1 τότε αβ 1


6) Ισχύει α α για κάθε α 0,

7) Αν 3 α 3 και 3 β 3 τότε 0 α β 3

8) Ισχύει 1 1

α βα β

όταν α β 0

9) Έστω 1

0 2α

τότε 1

α2

4. Να μεταφέρετε συμπληρωμένους στο τετράδιο σας τους παρακάτω

πίνακες

Πίνακας - 1

Ανίσωση που ικανοποιεί ο

x Διάστημα που ανήκει ο x

1 3 x 5

2 10 x 3

3 4 x 12

4 x 2

5 x 5

6 x 3


75

7 x 7

8 2 x 8

Πίνακας - 2

Ανίσωση που ικανοποιεί ο

x Διάστημα που ανήκει ο x

1 x ,8

2 x 3,8

3 x 4,

4 x , 5

5 x 4,12

6 x 3,1

7 x 2,6

8 x 3,

Ασκήσεις


α) 2α 2α 1 β) 24x 1 4x γ) 2 2x 2y 12y 4xy

2) Αν x, y πραγματικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι :

α) 2x 1 2x β) 2 2x 4y 4xy γ) 2

x y 4xy


α) Αν x 4 τότε 5(x 1) 15

β) Αν α 3 και β 1 ,τότε αβ 3 α 3β

γ) Αν κ 4 και λ 3 τότε κ(λ 3) 4λ 12

4) Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α, β να αποδείξετε ότι :

α) 2α αβ β(3α β)

β) 2 21 α 1 β 4αβ

γ) 22 2α 4 β 4 4 α β

5) Αν α, β ομόσημοι να αποδείξετε ότι: α 1 β 1 α β 1


76

6) Αν α 2 β να αποδείξετε ότι αβ 4 2(α β)

7) Αν x 3 να αποδείξετε ότι 3 2x 3x 2x 6

8) Αν α 2 και β > 1 να αποδείξετε ότι α β β(α 1) 2

9) Αν α β 2 και α β να αποδείξετε ότι 2 2α β 2α 2β

10) Αν x 2 να αποδείξετε ότι : 3 2x x 2x 2

11) Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς να αποδείξετε ότι

α) 2 2x 2xy 2y 0

β) 2 29x 3xy y 0

12) Να αποδείξετε ότι 2 216x 16xy 4y

13) Να αποδείξετε ότι 29x 30x 26

14) Να αποδείξετε ότι 24y 16y 18 0

15) Να λύσετε την εξίσωση 2 2x 4x 6y y 13 0

16) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x, y για τους οποίους ισχύει:

α) 2 2x 4 y 0

β) 2 2x y 2 2(x y)

γ) 2 2 19x 3x y y

2

17) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β που επαληθεύουν τις

ισότητες

α) 2 24α 9β 4α 6β 2 0

β) 2 2α 25β 6α 20β 13 0

18) Αν α β 2 , να αποδείξετε ότι : α) αβ 1 β) 2 2α β 2

19) Να συγκρίνετε τους αριθμούς 1502 και 1005

20) Να συγκρίνετε τους αριθμούς 2

α 3 3α και 3(3α 2)

21) Να συγκρίνετε τους αριθμούς 2β(α γ) και 2 2 2α β γ


77

22) Να συγκρίνετε τους αριθμούς 24ρ 2ρ 1 και

22ρ 1

2

23) Αν α,β, γ θετικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι 2 2 2α 1 β 1 γ 1 8αβγ

24) Να δείξετε ότι για τους θετικούς αριθμούς x, y, z ισχύει:

2 2 2x 4 y 4 z 4 64xyz

25) Να συγκρίνετε τους αριθμούς 1602 και 1203

26) Αν 2 x 3 και 1 y 2 , να βρεθεί μεταξύ ποιών αριθμών βρίσκεται η

τιμή των παραστάσεων :

α) x y β) 2x 3y γ) xy δ) 2y

27) Αν ισχύει 5 x 3 και 1 y 7 να βρείτε μεταξύ ποιών αριθμών

βρίσκονται οι παραστάσεις

α) x y β) x y γ) 2x 5y

28) Αν είναι 2 x 3 και 3 y 5 να αποδείξετε ότι :

α) 12 3x 2y 19

β) 8 x y 5

γ) 0 x y 3 3

δ) 2 x

15 y


78


1. Αν 0 1 , τότε

α) να αποδείξετε ότι: 3

Μονάδες 13

β) να διατάξετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους αριθμούς:

0, 3 , 1, , 1

Μονάδες 12

2. α) Αν 0 , να αποδειχθεί ότι: 1

2

Μονάδες 15

β) Αν 0 , να αποδειχθεί ότι: 1

2

Μονάδες 10

3. Αν 2 x 3 και 1 y 2 , να βρείτε μεταξύ ποιών ορίων βρίσκεται η

τιμή καθεμιάς από τις παρακάτω παραστάσεις:

α) x y

Μονάδες 5

β) 2x 3y

Μονάδες 10

γ) x

y

Μονάδες 10

4. Από το ορθογώνιο ΑΒΖΗ αφαιρέθηκε το τετράγωνο ΓΔΕΗ πλευράς y.

α) Να αποδείξετε ότι η περίμετρος του γραμμοσκιασμένου σχήματος

ΖΒΑΓΔ που απέμεινε δίνεται από τη σχέση: 2x 4y

Μονάδες 10

β) Αν ισχύει 5 x 8 και 1 y 2 να βρείτε μεταξύ ποιών αριθμών

βρίσκεται η τιμή της περιμέτρου του παραπάνω γραμμοσκιασμένου

σχήματος.

Μονάδες 15


79

5. Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει μήκος x εκατοστά και πλάτος y

εκατοστά, αντίστοιχα. Αν για τα μήκη x και y ισχύει: 4 x 7 και

2 y 3 τότε:

α) Να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή της

περιμέτρου του ορθογωνίου παραλληλογράμμου.

Μονάδες 10

β) Αν το x μειωθεί κατά 1 και το y τριπλασιαστεί, να βρείτε τα όρια

μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή της περιμέτρου του νέου

ορθογωνίου παραλληλογράμμου.

Μονάδες 15

6. Για τους πραγματικούς αριθμούς α , β ισχύουν:

2 4 και 4 3

Να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή καθεμιάς από τις

παραστάσεις:

α) α2β

Μονάδες 12

β) a

2 - 2ab Μονάδες 13

7. Δίνονται οι παραστάσεις:

K = 2a2 +b2 + 9 και Λ = 2α(3β), όπου α, βεℝ

α) Να δείξετε ότι:

K - L = (a2 + 2ab +b2 ) + (a2 - 6a + 9) Μονάδες 3

β) Να δείξετε ότι: ΚΛ, για κάθε τιμή των α, β.

Μονάδες 10

γ) Για ποιες τιμές των α, β ισχύει η ισότητα Κ=Λ; Να αιτιολογήσετε

την απάντησή σας.

Μονάδες 12

8. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς x και y ισχύουν:

3£ x £ 5 και -2 £ y £ -1,,

να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων βρίσκονται οι τιμές των

παραστάσεων:

α) y - x

Mονάδες 12

β) x

2 + y2

Mονάδες 13

9. Δίνονται πραγματικοί αριθμοί α, β, με α>0 και β>0. Να αποδείξετε ότι:

α. 4

4

Μονάδες 12


80

β. 4 4

( )( ) 16

Μονάδες 13

10. Δίνονται οι παραστάσεις: K = 2a2 +b2 και Λ = 2αβ, όπου α,β R

α. Να δείξετε ότι: Κ Λ, για κάθε τιμή των α, β.

Μονάδες 12

β. Για ποιες τιμές των α, β ισχύει η ισότητα Κ=Λ. Να αιτιολογήσετε

την απάντησή σας

Μονάδες 13

11. α) Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x, y

ισχύει:

Μονάδες 12

β) Να βρείτε τους αριθμούς x, y ώστε:

Μονάδες 13

(x -1)2 + (y+ 3)2 = x2 + y2 - 2x + 6y+10

x2 + y2 - 2x + 6y+10 = 0


81

2.3. Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού

Έστω α ένας αριθμός ο οποίος παριστάνεται με το σημείο Α πάνω στον άξονα

των πραγματικών αριθμών. Είναι γνωστό ότι η απόσταση του Α από την αρχή

Ο ονομάζεται απόλυτη τιμή του αριθμού α και συμβολίζεται α

Δηλαδή η απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι ο ίδιος ο αριθμός αν αυτός είναι

θετικός ενώ είναι ο αντίθετος του αν ο αριθμός είναι αρνητικός . Φυσικά το

απόλυτο του μηδέν είναι μηδέν

Γενικεύοντας τα παραπάνω καταλήγουμε στον παρακάτω ορισμό.

Ορισμός

Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α και συμβολίζεται με α και

ορίζεται από τον τύπο:

α, αν α 0α

α, αν α 0

Συνέπειες του ορισμού

1. Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει: α 0

2. α 0 α 0

3. Ισχύει α α και α α

α α διότι: αν α 0 τότε α α α (ισχύει το “=”

αν α 0 τότε α α α (ισχύει το “>”) διότι ο αριθμός α είναι θετικός

και ο α είναι αρνητικός.

α α διότι: αν α 0 τότε α α α (ισχύει το “>”)

αν α 0 τότε α α α (ισχύει το “=”)

4. 2 2α α για κάθε πραγματικό αριθμό α

5. Οι αντίθετοι αριθμοί έχουν την ίδια απόλυτη τιμή α α

6. Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει: α α α

7. Αν α 0 τότε: x α x α ή x α

8. Αν α τότε x α x α ή x α


82

Ιδιότητες απόλυτων τιμών

1. Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει: α β = α β

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

α β α β (και τα δύο μέλη είναι μη αρνητικοί)

22

α β α β (4η συνέπεια)

2 22

α β α β (4η συνέπεια) 2 2 2 2α β α β ισχύει

H παραπάνω ιδιότητα ισχύει και για περισσότερους από 2 παράγοντες, δηλαδή:

1 2 ν 1 2 να α ... α α α ... α , ν

2. Για α, β και β 0 ισχύει: αα

=β β

ΑΠΟΔΕΙΞΗ 22 2 2 2 2

2 2 2

α α αα α α α α

β β β β β β ββ

που ισχύει

3. α + β α + β α, β

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

22 2 22

2 2 2 2

α β α β α β α β α β α 2 α β β

α 2αβ β α 2 α β β α β α β α β α β

Αν θέσουμε λ α β τότε λ λ το οποίο ισχύει:

α β α β το “=” ισχύει αν α, β ομόσημοι

Επίσης α β γ α β γ και μπορούμε να το γενικεύσουμε για περισσότε-

ρους προσθετέους.

1 2 ν 1 2 να α ... α α α ... α

Επίσης η ιδιότητα (1) γενικεύεται και για ν-παράγοντες

1 2 ν 1 2 να α ... α α α ... α

Αν 1 2 να α ... α τότε ννα α

Να θυμάσαι!! To μείον μπροστά από μία μεταβλητή δεν μας δείχνει ότι ο αριθμός είναι ο-

πωσδήποτε αρνητικός.


83

x΄ x Α(α) Μ(x0) Β(β)

Απόσταση δύο αριθμών

Έστω α, β δύο πραγματικού αριθμοί οι οποίοι παριστάνονται με τα σημεία Α,

Β αντίστοιχα στον άξονα των πραγματικών αριθμών.

Απόσταση των αριθμών α, β λέγεται το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ

και συμβολίζεται με d α,β

Ισχύει: d α,β β α α β

Έστω α,β ένα διάστημα πραγματικών αριθμών τότε 0

α βx

2

όπου 0x το

μέσο του διαστήματος α,β

Το ίδιο ισχύει και για διαστήματος της μορφής: α,β , α,β και α,β

Δηλαδή:

0 0 0 0 0 0

α βΜΑ ΜΒ x α x β x α β x 2x α β x

2

Ορίζουμε ως ακτίνα του διαστήματος α,β τον αριθμό β α

ρ2

Πρόβλημα 1

Αναζητάμε να βρούμε τους πραγματικούς αριθμούς x για τους οποίους ισχύει:

0x x ρ με ρ 0 και 0x

0 0x x ρ d x,x ρ

Άρα 0 0x x ρ,x ρ δηλαδή 0 0x ρ x x ρ

Πρόβλημα 2

Αναζητάμε να βρούμε τους πραγματικούς αριθμούς x για τους οποίους ισχύει:

0x x ρ με ρ 0 και 0x

0 0x x ρ d x,x ρ

Άρα 0 0x ,x ρ, x ρ, δηλαδή 0 0x x ρ ή x x ρ

x0

-ρ ρ

x0

-ρ ρ


84


Να ελέγξετε αν καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή (Σ) ή λάθος (Λ)

1) Οι αντίθετοι πραγματικοί αριθμοί έχουν ίσες απόλυτες τιμές. Σ Λ

2) Αν α 0 τότε α β α β Σ Λ

3) α β 0 α β 0 Σ Λ

4) 2 2α β α β Σ Λ

5) 2 2α β α β , α,β Σ Λ

6) α α α για κάθε α Σ Λ

7) α β α β Σ Λ

8) α β α β , α,β Σ Λ

9) α 4 4 α , α Σ Λ

10) Αν α,β ετερόσημοι τότε: 2013 2015 2013 2015α β α β Σ Λ

11) 2 2α β α β Σ Λ

12) Αν x x τότε ο x είναι αρνητικός αριθμός Σ Λ

13) Αν x y z 0 τότε x y z 0 Σ Λ

14) Ισχύει: 2 2

α β β α , α,β Σ Λ

15) Αν α α τότε α 0 Σ Λ

16) Αν x 0 τότε x 0 Σ Λ

17) Ισχύει 2 2x 1 x 1 για κάθε x Σ Λ

18) Η σχέση 2 2x x ισχύει μόνο όταν x 0 Σ Λ


85

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΤΑ ΑΠΟΛΥΤΑ

1) Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί x, y .

α) Τι συμπεραίνετε για τους x και y αν x y 1 0

β) Τι συμπεραίνετε για τους x και y αν x 1 y 2 0

γ) Τι συμπεραίνετε για τους x και y αν xy xy

δ) Τι συμπεραίνετε για τους x και y αν x y 0

ε) Τι συμπεραίνετε για τους x και y αν x y 0

2) Τι προκύπτει για τους πραγματικούς αριθμούς α και β αν ισχύει:

α β α β

3) Τι προκύπτει για τους α και β αν ισχύει α β β α 0

4) Πότε ισχύει η ισότητα x y x y


86

Μεθοδολογίες

Μέθοδος 1

Πως απλοποιώ μία παράσταση η οποία περιέχει ένα απόλυτο

Αν η παράσταση που βρίσκεται μέσα στο απόλυτο είναι πάντα θετική τό-

τε γράφω την παράσταση που βρίσκεται μέσα στο απόλυτο χωρίς την ύπαρξη

του απολύτου

Δηλαδή 2 2x 1 x 1, εφόσον το 2x 1 0 για κάθε x R

Αν η παράσταση που βρίσκεται μέσα στο απόλυτο είναι πάντα αρνητική

τότε γράφω την παράσταση που βρίσκεται μέσα στο απόλυτο με αλλαγμένα τα

πρόσημα της χωρίς την ύπαρξη του απολύτου

Δηλαδή 2 5 2 5, εφόσον το 2 5 0

Αν η παράσταση που βρίσκεται μέσα στο απόλυτο δεν διατηρεί σταθερό

το πρόσημο της τότε με τη βοήθεια του ορισμού θα απαλλαγούμε από το από-

λυτο παίρνοντας 2 περιπτώσεις


Η παράσταση x 4 χωρίς την ύπαρξη απολύτου γίνεται

Αν x 4³0 x 4 τότε x 4 = x 4

Αν x 4 < 0 x < 4 τότε x 4 = x + 4

Επομένως

x 4, αν x 4x 4 =

4 x, αν x 4

Σε πολλές περιπτώσεις μία συνθήκη που μας δίνει η άσκηση μα καθορίζει

το πρόσημο της παράστασης η οποία βρίσκεται μέσα στο απόλυτο


Να απλοποιηθεί η παράσταση A = x 4 + 6x 7, 0 < x < 4

Εφόσον x 4 < 0 x < 4 άρα x 4 = (x 4) = 4 x επομένως:

A = x 4 + 6x 7 = 4 x + 6x 7 = 5x 3

Μέθοδος 2


87

Πως απλοποιώ μία παράσταση η οποία περιέχει απόλυτα

Αν όλες οι παραστάσεις οι οποίες βρίσκονται μέσα στο απόλυτο διατη-

ρούν σταθερό πρόσημο τότε με τη βοήθεια του ορισμού της απόλυτης τιμής

«βγάζω» τα απόλυτα


Να απλοποιηθεί η παράσταση 2 2A = x + 2x + 1 x + 1

Λύση

Η παράσταση , 22x + 2x + 1 = x + 1 0 x , επίσης , 2x + 1 > 0 x

Άρα 2 2 2 2A = x + 2x + 1 x + 1 = x + 2x + 1 (x + 1) = 2x

Ενδεχομένως η άσκηση να μου δίνει κάποιες συνθήκες οπότε προσδιορί-

ζω από τις συνθήκες το πρόσημο των παραστάσεων που βρίσκονται μέσα στο

απόλυτο και με την βοήθεια του ορισμού της απόλυτης τιμής «βγάζω» τα από-

λυτα.


Αν ισχύει : α > β > γ ,να απλοποιήσετε την παράσταση:

A = α β + β γ + γ α

Λύση

Ισχύει α > β α β > 0, οπότε α β = α β

Ισχύει β > γ β γ > 0, οπότε β γ = β γ

Ισχύει γ < α γ α < 0, οπότε γ α = γ + α

Άρα η παράσταση γίνεται:

A = α β + β γ + γ α = α β+ β γ +( γ + α) = 2α 2γ

Αν υπάρχουν περισσότερα από ένα απόλυτα όπου οι παραστάσεις οι ο-

ποίες βρίσκονται μέσα σε αυτά δεν διατηρούν σταθερό πρόσημο τότε εφαρμό-

ζω πίνακα προσήμων για τις παραστάσεις που βρίσκονται μέσα σε αυτά


Να απλοποιηθεί η παράσταση A = x 2 + 2 x 1

Λύση

Το πρόσημο του x 2 είναι : x 2 0 x 2 ενώ το πρόσημο του x 1 είναι

x 1 0 x 1


88

Γενικά ο παρακάτω πίνακας μας βοηθάει να απλοποιήσουμε την

παράσταση.

x 1 2

x 2 +

x 1 + +

x 1 x + 1 x 1 x 1

x 2 x + 2 x + 2 x 2

Άρα για την παράσταση A = x 2 + 2 x 1 έχουμε

α) Αν , x 1 τότε Α = x + 2+ 2( x + 1) = x + 2 2x + 2 = 4 3x

β) Αν x 1,2 τότε Α = x + 2+ 2(x 1) = x + 2+ 2x 2 = x

γ) Αν x 2 τότε Α = x 2+ 2(x 1) = x 2+ 2x 2 = 3x 4


89

Ασκήσεις

1) Να γράψετε χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής τις παρακάτω παρα

στάσεις:

α) 6 3 β) 3 5 γ) 5 π δ) 11 11

2) Να γράψετε χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής τις παραστάσεις:

2 2

A 6 5 5 6

B π 3 8 π 8 6

Γ 1 2 5 2 x 2 x 4 , x R

3) Να γράψετε χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής τις παρακάτω


α) 2x β) 2x 5 γ) Α= 2 4 22 x x 20 4x 5

4) Αν ισχύει 0 α β γ να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:

A α β 3α 3γ 2α 2γ β γ

Β 3 β α 2α 2β 5β α

5) Αν 0 x 2 τότε να δείξετε ότι οι παρακάτω παραστάσεις είναι

σταθερές.

A x 1 x 2 2 x 2

B x 2 2x 5 3x

6) Να γράψετε χωρίς τις απόλυτες τιμές τις παρακάτω παραστάσεις:

A 3 x , αν x>3 B= 3x 12 , αν x>4

Γ= 5x 5 , αν x<-1 Δ= 2 x , αν x>7

Ε= 2x 12 ,αν x<0 Z= x 1 x 3 ,αν 1<x<3

7) Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις:

2 6 3

4 2 2

A x 2x 1 B= x 6x 13

Γ x x 3 Δ= x 2x 5

8) Να γράψετε χωρίς τις απόλυτες τιμές τις παραστάσεις:

A x 1 B x 3 6

Γ x 4 x Δ 3x 2 2 E x x


90

9) Να γράψετε χωρίς τις απόλυτες τιμές τις παραστάσεις:

A x 7 2, x R B 2x 2 x 1 , x R

Γ x 2 3x 1, x R Δ 2 x x 1 , x R

10) Να απλοποιηθεί η παράσταση 2 2A 4 x 2x 1 x 4 4x

11) Αν α β γ α απλοποιηθεί η παράσταση:

α β

A α β 2γ 2β β γ 2α α2

12) Να απλοποιηθεί η παράσταση 4 7 5

5 3

x 8x x xA , x 0, x 2

x 2 x x

13) α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

Απόλυτη

τιμή Απόσταση

Διάστημα ή Ένωση

διαστημάτων

x 4 1

x 5 2

d(x,4) 3

1,3

, 5 1,

d(x,5) 6

d(x, 1) 2

4,4

β) Να συμπληρωθεί ο πίνακας όπως δείχνει η πρώτη γραμμή:

Απόσταση Απόλυτη τιμή Ανίσωση

d(x,1) < 2 x - 1< 2 -1 < x < 3

x + 2>1

1 < x < 3

14) Να συμπληρωθεί ο πίνακας όπως δείχνει η πρώτη γραμμή.

Απόσταση Απόλυτη τιμή Ανίσωση Διάστημα

d(x, 1) < 3 x - 1< 3 -2 < x < 4 x(-2, 4)

d(x, -1) < 2

x - 2≥ 3

-3 < x < 3

x(-1, 5)


91

15) Αν ισχύει d(x,3) 5 να βρείτε το x.

16) Αν ισχύει d(x,5) d(x, 2) να βρείτε το x.

17) Αν ισχύει d(α,2β) d(2α,β) , να δείξετε ότι α β .

18) Να αποδείξετε ότι : x y z

3, x y z 0x y z

19) Αν α β 0 και α β να αποδείξετε ότι α β


α) x 1 x 1

x,αν -1<x<1x 1 x 1

β) x x x x 2x

21) Να αποδείξετε ότι

α) 2 2 2 2

α β α β 2 α 2 β β) α β

2,α,β 0β α

22) Να απλοποιήσετε την παράσταση 2x 1

Ax 1


α) 2 2x x , x R β)

x1 x x 0, x 0

x

24) Αν x 2 και y 4 να αποδείξετε ότι 11 x 2y 11

25) Αν α 3, β 7, γ 5 να αποδείξετε ότι α β γ 5

26) Αν α 0 να δείξετε ότι 1

α 2α

27) Αν α 4

2α 1

να δείξετε ότι α 2

28) Αν β 0 και ισχύει: α β α β να αποδείξετε ότι α 0

29) Να αποδείξετε ότι 2 2 2α 3β 3α β 10 α β


92

30) Αν x y ,να δείξετε ότι 1 1

x y x y x y x y2 2

31) Να αποδείξετε ότι : α β α γ γ β

32) Αν θ μη αρνητικός αριθμός να αποδειχτούν οι ισοδυναμίες:

(α) x θ x θ ή x θ

(β) x θ θ x θ

(γ) x θ x θ ή x θ

33) Να αποδεικτή ότι : x y x y . Πότε ισχύει η ισότητα;

34) Αν α β β α

2αβ

(αβ ≠ 0) να δείξετε ότι α, β ομόσημοι.

35) Αν β

α1 β

να δείξετε ότι:

α) α< 1 β) α

β1 α

36) Αν α

β1 α

και α> 1 να δείξετε ότι:

α) β> 1 β) β

α1 β

37) Αν x

αx y

και y

βx y

να δείξετε ότι x+y< 1.

38) Αν α β

x και y1 α β 1 α β

να δείξετε ότι x+y< 1

39) Αν α 2 α 2

βα 1

να δείξετε ότι β + 2<1

40) Αν xy ≠ 0 να αποδείξετε ότι x y

2y x

41) Αν x y

α και βx y x y

να δείξετε ότι 1 1

4α β


93

42) Αν α β

x και y1 α β 1 α β

να δείξετε ότι:

α) 1 x y 0 β) x

α1 x y

γ) y

β1 x y

43) Αν β α α β β β α α να δείξετε ότι α β

44) Να αποδειχθεί ότι αβ αβ α β α β

45) Αν α β 1 και β γ 2 να δείξετε ότι α γ 3

46) Αν x y α και y z β να δείξετε ότι: x z α β

47) Αν θ θ θ

α β , β γ και γ δ3 3 3

να δείξετε ότι α δ θ

48) Να αποδειχτούν οι παρακάτω ισοδυναμίες :

α) x y x y xy 0

β) x y x y xy 0


94


1. Δίνεται η παράσταση A x 1 y 3 με x, y πραγματικούς αριθμούς,

για τους οποίους ισχύει: 1 x 4 και 2 y 3 .

Να αποδείξετε ότι:

α) A x y 2 .

Μονάδες 12

β) 0 A 4 .

Μονάδες 13

2. Δίνεται η παράσταση Α x 1 x 2

α) Για1 x 2 , να δείξετε ότι: A 2x 3

Mονάδες 13

β) Για x 1 , να δείξετε ότι η παράσταση Α έχει σταθερή τιμή

(ανεξάρτητη του x), την οποία και να προσδιορίσετε.

Mονάδες 12

3. Δίνονται οι παραστάσεις Α 2x 4 και Β= x 3 όπου ο x είναι

πραγματικός αριθμός.

α) Για κάθε 2x<3 να αποδείξετε ότι A+B = x1.

Μονάδες 16

β) Υπάρχει x [2, 3) ώστε να ισχύει Α+Β=2 ; Να αιτιολογήσετε την

απάντησή σας.

Μονάδες 9

4. α) Αν α,β R 0 , να αποδειχθεί ότι α β

2β α

Μονάδες 15

β) Πότε ισχύει η ισότητα στην (1); Να αιτιολογήσετε την απάντησή

σας.

Μονάδες 10

5. Δίνεται η παράσταση A 3x 6 2 , όπου ο x είναι πραγματικός αριθμός.

α. Να αποδείξετε ότι:

i. για κάθε x 2 , A = 3x 4

ii. για κάθε x 2 , A 8 3x

Μονάδες 12

β. Αν για τον x ισχύει ότι x 2 να αποδείξετε ότι: 29x 16

3x 43x 6 2

Μονάδες 13


95

6. Δίνεται ένας πραγματικός αριθμός x που ικανοποίει τη σχέση d x,5 9

α) Να αποδώσετε την παραπάνω σχέση λεκτικά.

Μοναδες 5

β) Με χρήση του άξονα των πραγματικών αριθμών, να παραστήσετε

σε μορφή διαστήματος το σύνολο των δυνατών τιμών του x.

Μοναδες 5

γ) Να γράψετε τη σχέση με το σύμβολο της απόλυτης τιμής και να

επιβεβαιώσετε με αλγεβρικό τρόπο το συμπέρασμα του ερωτήματος

(β).

Μοναδες 10

δ) Να χρησιμοποιησετε το συμπερασμα του ερωτήματος (γ) για να

δειξετε οτι:

x 4 x 14 18

Μοναδες 5

7. Δίνονται τα σημεία Α, Β και Μ που παριστάνουν στον αξονα των

πραγματικών αριθμων τους αριθμους 2, 7 και x αντιστοιχα, με

2 x 7 .

α) Να διατυπώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία των παραστάσεων.

i) x 2

Μοναδες 4

ii) x 7

Μοναδες 4

β) Με τη βοηθεια του αξονα να δωσετε τη γεωμετρική ερμηνεια του

αθροίσματος:

x 2 x 7

Μοναδες 5

γ) Να βρειτε την τιμη της παράστασης Α x 2 x 7 γεωμετρικα.

Μοναδες 5

δ) Να επιβεβαιωσετε αλγεβρικα το προηγουμενο συμπερασμα.

Μοναδες 7

8. Σε εναν αξονα τα σημεια Α, Β και Μ αντιστοιχουν στους αριθμους 5, 9

και x αντιστοιχα.

α) Να διατυπωσετε τη γεωμετρικη ερμηνεια των παραστασεων x 5

και x 9

Μοναδες 10

β) Αν ισχυει x 5 x 9 ,

i) Ποια γεωμετρικη ιδιοτητα του σημειου Μ αναγνωριζετε;

Να αιτιολογησετε την απαντηση σας.

Μοναδες 7

ii) Με χρηση του αξονα, να προσδιορισετε τον πραγματικο αριθμο x

που παριστανει το σημειο Μ. Να επιβεβαιωσετε με αλγεβρικο

τροπο την απαντηση σας. Μοναδες 8


96

2.4. Ρίζες πραγματικών αριθμών

Τετραγωνική ρίζα μη αρνητικού αριθμού

Ορισμός

Τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α ονομάζουμε τον μη

αρνητικό αριθμό x που όταν υψωθεί στο τετράγωνο μας δίνει το α. Η

τετραγωνική ρίζα του α συμβολίζεται με α

Δηλαδή 2α = x x = α x 0 , α 0

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ:

2 ,

2 , 0

, , 0

, 0, 0

N-οστή ρίζα μη αρνητικού αριθμού

Η ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται και είναι ο μη

αρνητικός αριθμός που όταν υψωθεί στην ν μας δίνει τον α.

Ισχύει:

1 , 2

x x *, 0, 0 x

Αν 0 τότε η παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης

x

Ιδιότητες

1. Αν α 0 τότε ν

ν α α και νν α α

Αν α 0 και ν υποχρεωτικά άρτιος: νν α α

2. Αν α, β 0 τότε:

i. ν ν να β = α β

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

που ισχύει.


97

ii. ν

ν

ν

α α=

ββ , β 0

iii. μ μ νν α = α

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

που

ισχύει

iv. ν ρ μ ρ μνα = α

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

( )

iii

Σχόλιο

Η ιδιότητα (i) ισχύει για περισσότερους από δύο ή περισσότερους από μη

αρνητικούς αριθμούς 1 2, ,...,

1 2 3 1 2... ...

Επίσης:

και

Δυνάμεις με ρητό εκθέτη

Αν 0 , μ ακέραιος και ν θετικός τότε ορίζουμε:

* 0 0

Παρατήρηση

Θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση: 3 52x (1) 0x

Γνωρίζοντας την ιδιότητα τότε:

35 5

353 32 2 2

(2)

Άρα (1), (2) το 5

32 είναι η λύση της εξίσωσης 3 52x

Δηλαδή: 2

2553 3

Βασική εφαρμογή

Αν α, β είναι μη αρνητικοί αριθμοί τότε


98


Να ελέγξετε αν καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή (Σ) ή λάθος

(Λ)

1) Ισχύει , 0, 0 x y x y x y Σ Λ

2) Αν 0 τότε 2

Σ Λ

3) Αν 0 ,τότε

Σ Λ

4) Αν 0, 0 x y τότε

Σ Λ

5) Αν 0 τότε Σ Λ

6) Ισχύει 4

4 2 5 2 5 Σ Λ

7) Αν 2 x x τότε 0x Σ Λ

8) Αν 0x τότε

44

44

1x

x Σ Λ

9) Ο αριθμός

2

13

3

είναι ρητός Σ Λ

10) Για κάθε πραγματικό αριθμό x είναι 3 26 x x Σ Λ

11) Για κάθε πραγματικό αριθμό x είναι 1

48 2x x Σ Λ

12) Ισχύει 3 52 2 2 Σ Λ


99

Ασκήσεις

1) Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς τα ριζικά

α) 2

30 β) 2

2 1x γ) 2

2 3 δ) 2

3 x

2) Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς τα ριζικά

α) 2( 1) β) 2 2 1 x x γ) 2

5 3 δ) 6x

3) Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις

α) 4 10 3 10 7 10

β) 2

2 3 6 4

γ) 5 52 14 21

13 5 6

4) Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις

α) 50 32 18

β) 4 63 5 7 8 28

γ) 12 50 8 200 7 450 : 10

5) Να βρείτε τα παρακάτω εξαγόμενα:

α) 50 32 18 β) 4 63 5 7 8 28

γ) 4 6 3 2 5 3 δ) 12 50 8 200 7 450 : 10

ε) yx3yx2yx 222 στ) 2 24 25

στ) 3 8 7 18 9 72 12 50 ζ) 3 345 80 5 , 0

6) Αν 2 2 2 , 2 2 2 , 2 2 x y να δείξετε ότι xyω = 2.

7) Αν 2 2 3 , 2 2 3 , 2 3 x y να δείξετε ότι xyω= 1.

8) Να αποδείξετε ότι 24 54 6 150 96 60

9) Να αποδείξετε ότι : 2 2

6 41 7 41 1

10) Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων

45 4 5 125 A

11 8 7 32 128 9 18 B


100

11) Αν 4 2, 3 2 1 x y να υπολογίσετε την παράσταση 2 23 x xy y

12) Αν 24 2 10 2 6 40 x και 18 4 2 8 162 y τότε x y

13) Να αποδείξετε ότι : 21 13 7 4 5

14) Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων :

7 1 5 16 A και 256B

15) Aν 7 5 x και 7 5 y να υπολογίσετε την τιμή της

παράστασης 2 2 A x xy y


α) 2

3 3 2 3 3 2 3 2 2 3 1 3 10 2 3

β) 2 2 2

3 2 1 3 1 2 2

17) Aν 2 2 3 , 2 2 3 και 2 3 να αποδείξετε

ότι: 1

18) Να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης 2 26 όταν

6 2 και 6 2

19) Nα μετατρέψετε τας επόμενα κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό

παρανομαστή

α)4

3 β)

2

6 γ)

6

12 δ)

1

3 2 ε)

2

3 7

20) Να μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό

παρανομαστή

α) 1

2 3 5 β)

3

4 7 γ)

1

2 3 5 δ)

4

2 5 3 2

21) Να μετατρέψετε τις παρακάτω παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητούς

παρονομαστές:

α) 7 5

7 5

β)

2 2

5 2 2

γ)

3 2 4 3

3 2 2 3

δ)

1 2

8 5 3


101


α) 3 2

53 2 3 2

β) 7 7

67 5 7 5

γ) 3 2 3 2

103 2 3 2


α)

2 2

1 1 3 5

43 5 3 5

β)

3 3

1 176

2 5 2 5

24) Αν 24 2 10 2 6 40 x και 18 4 2 8 162 y να

αποδείξετε ότι x y

25) Να απλοποιήσετε την παράσταση 3 8 2 12 20

3 18 2 27 45

A

26) Να αποδείξετε ότι 8 3 11

58 3 8 3

27) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 12 5

8 2

5 25

5 125

28) Να γράψετε τις παραστάσεις με τη μορφή μιας ρίζας :

α) 3 45 5 β) 3 2 745 5 γ) 5 3 5 237 7 7

29) Να γράψετε τις παραστάσεις με τη μορφή μιας ρίζας:

α) 6 43 3 3 β) 7 83 107 2 3 3

γ) 4 7 85 3 103 3 3 δ) 4 234 64 4 4


α) 7 33 3 β) 3 45 5 5 γ)

7 381 27 9


α) 64 3 62 8 16 β) 7 1110 155 81 27 3 γ) 12 310 43 : 3


102

32) Αν , , 0 , να απλοποιήσετε τις παραστάσεις

α) 2 233 3 3 9 A

β) 2 3 3 1 1 3 1 v v v v v vv v vB

γ) 6 8 10

2 3 43 5418 , 0


α) 11 4 82 2 2 128 2

β) 4 3 82 2 2 32 2

γ) 4 3 552 2 2 2 2 2 2

34) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 3 33 3 7 2 10 7 2 10 A

35) Να απλοποιήσετε τη ν παράσταση 3 33

2 2 2 2 2

3 5 2 3 5

A

36) Να γράψετε τα ακόλουθα κλάσματα με ρητούς παρανομαστές

α)4

8

4 β)

3

15

25 γ)

45

3

2 2 δ)

43

15

5 ε)

3

3

4 5

40

37) Να βρείτε τον ακέραιο που εκφράζει καθεμία από τις επόμενες

παραστάσεις

5 3 108 8 8K 3 33 16 5 1 5 1

38) Να απλοποιήσετε την παράσταση 21 2 6 9, x>3 A x x

39) Να απλοποιήσετε την παράσταση 2 21 2 4 4

, -1<x<21 2

x x x xA

x x

40) Να απλοποιήσετε την παράσταση 2 2 10 25

, 0<x<55

x x xA

x x

41) Να απλοποιήσετε την παράσταση

2

2

2 1 4, -4<x<4,x -1

1 8 16

x x xA

x x x

42) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

2 2 2

4 3 27 6 7 48 A


103

43) Έστω η παράσταση 2 3 11

2 3 11

α) να απλοποιήσετε την παράσταση α

β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 16 4 33 A


53 2 3 2 2 3


11 2 3 2 3 2


α) 1 1

33 1 3 1

β) 5 2 5 2

8 55 2 5 2

γ) 2 2 2

37 1 7 1

47) Να βρείτε την τιμή της παράστασης 7 3 2 5

3 5 5 7 3 7

A

48) Να απλοποιήσετε την παράσταση 3 2 3 2

3 2 3 2

A

49) Αφού υπολογίσετε τις παραστάσεις 2 2

2 3 5 , 2 3 5 να

απλοποιήσετε την παράσταση 49 12 5 49 12 5 A

50) Αφού υπολογίσετε τις παραστάσεις 2 2

3 5 , 3 5 να απλοποιήσετε

την παράσταση 14 6 5 14 6 5 A

51) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 13 4 3 31 12 3 A

52) Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις

α) 8 2 15 β) 3 2 2 γ) 5 2 6 δ) 7 2 6


104

53) Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις

α) 18 8 2 β) 7 4 3 γ) 9 80 δ) 54 14 5

54) Να συγκριθούν οι παρακάτω αριθμοί

α) 2 3 και 3 2

β) 2 3 και 3 2

55) Να συγκριθούν οι παρακάτω αριθμοί

α) 3 2, 3 β) 26 6 και 13 17

56) Να αποδείξετε ότι αν , 0 τότε : 0

57) Αν είναι 6 5 και 6 5 να αποδείξετε ότι:

2 22 5 2 39

58) Αφού υπολογίσετε τις παραστάσεις 2

2 3 5 και 2

2 3 5 να

απλοποιήσετε την παράσταση 49 12 5 49 12 5

59) Να γίνουν οι πράξεις:

α) 3 6 43 9 81 27 β) 3 4 42 18 4 9 6 243 : 2 3

γ) 6 3 68 2 2 4 32 δ) 2 4 3 25 3 3: 3 x x x x x x

ε) 34 48 2 2 : 2 2 x x

στ) 5 5 26 6 32 3 : 2 x x x x x x

60) Να αποδειχθούν οι ακόλουθες ισότητες:

α) 7 5

67 5 7 5

β) 3 1

2 32

γ) 3223

1

23

1

δ) 2 2 2 2 2 2

ε) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

61) Να υπολογίσετε τα ριζικά:

α) 6 2 43 β) 2 2 2 2 γ) 6 4 9x x x

δ) 3 32 2 23x x x ε) 5 232 2 2 στ) 3

2 9 1

3 2 4


105

62) Να υπολογίσετε τα ριζικά:

α) 4 16 β) 3 3431

xy x yxy

γ) 3 5 42 2 2

δ) 3 32 3 2

3 2 3 ε)

3 43 3 3 στ) 2 3

3 42 3

x y y

y x x

στ) 5 35 5 ζ) 2 2

3 32 3

9 43 2

y x

x yx y

63) Να γίνουν οι παρακάτω πράξεις:

α) 3 42 4 16 β) 5 26 3 γ) 3 44 23

δ) 3 1 1 2 3 ε) 3 62 2 στ) 3 23 42 2 2

ζ) 4 65 15: η) 38 : 4 θ) 2 25 153 :x x x

ι) 11 312 42 : 2 ια) 3 1 24 12 :

2 3 ιβ) 3 6 75 104 :x x x

2.4: Ρίζες Πραγματικών Αριθμών

ΑΣΚΗΣΗ 1 (2_936)

Δίνεται η παράσταση: 4 1 4 1 A x x x x

α) Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση A ; Να αιτιολογήσετε την


Μονάδες 12

β) Να αποδείξετε ότι η παράσταση A είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη

του x .

Μονάδες 13

ΑΣΚΗΣΗ 2 (2_938)

α. Να δείξετε ότι: 33 30 4 .

Μονάδες 12

β. Να συγκρίνετε τους αριθμούς 3 30 και 36 30 .

Μονάδες 13


106

ΑΣΚΗΣΗ 3 (2_944)

Δίνεται η παράσταση: Α x 4 6 x .

α. Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Α; Να αιτιολογήσετε

την απάντηση σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιμών του

x σε μορφή διαστήματος.

Μονάδες 13

β. Για x 5 , να αποδείξετε ότι: 2Α Α 6 0 .

Μονάδες 12

ΑΣΚΗΣΗ 4 (2_947)

Δίνεται η παράσταση: 2Α x 4 x 4 .




Μονάδες 12

β. Αν x 4 , να αποδείξετε ότι: 2Α Α 2 10 5

Μονάδες 13

ΑΣΚΗΣΗ 5 (2_950)

Δίνεται η παράσταση: 4 4Α 1 x x .




Μονάδες 13

β. Αν x 3 , να αποδείξετε ότι: 3 2A Α Α 1 0

Μονάδες 12

ΑΣΚΗΣΗ 6 (2_952)

Δίνεται η παράσταση: 5

5 2 x

α. Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Β; Να αιτιολογήσετε



Μονάδες 13

β. Αν 4x , να αποδείξετε ότι: 2 46

Μονάδες 12


107

ΑΣΚΗΣΗ 7 (2_955)

Δίνονται οι αριθμοί: 6

2 και 6

3 2

α. Να δείξετε ότι: 4

Μονάδες 13

β. Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς: 32 ,1 , 2

Μονάδες 12

ΑΣΚΗΣΗ 8 (2_1276)

Δίνεται η παράσταση 2 24 4 6 9

2 3

x x x xK

x x

α) Να βρεθούν οι τιμές που πρέπει να πάρει το x, ώστε η παράσταση Κ να

έχει νόημα πραγματικού αριθμού

Μονάδες 12

β) Αν 2 3 x , να αποδείξετε ότι η παράσταση Κ είναι σταθερή, δηλαδή

ανεξάρτητη του x

Μονάδες 13

ΑΣΚΗΣΗ 9 (2_1300)

Δίνονται οι αριθμητικές παραστάσεις:

6 6 6

3 62 , 3 , 6


23

Μονάδες 13

β) Να συγκρίνετε τους αριθμούς: 3 63 6

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Μονάδες 12

ΑΣΚΗΣΗ 10 (2_4311)


108

Δίνονται οι παραστάσεις 2

2 x . και 3

3 2 B x , όπου x

πραγματικός αριθμός.

α. Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση A;

(Μονάδες 7)

β. Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση B;

(Μονάδες 8)

γ. Να δείξετε ότι, για κάθε 2x , ισχύει

(Μονάδες 10)

ΑΣΚΗΣΗ 11 (2_4314)

Αν είναι 3 65, 3, 5 A B τότε:

α. Να αποδείξετε ότι 15 B .

(Μονάδες 15)

β. Να συγκρίνετε τους αριθμούς ,A B .

(Μονάδες 10)

ΑΣΚΗΣΗ 12 (2_4316)

Αν είναι 2 3 , 2 3 A B τότε:

α. Να αποδείξετε ότι 1 A B .

(Μονάδες 12)

β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 2 2 .

(Μονάδες 13)

ΑΣΚΗΣΗ 13 (2_8173)

Στον πίνακα της τάξης σας είναι γραμμένες οι παρακάτω πληροφορίες

(προσεγγίσεις):

2 1,41 3 1,73 5 2,24 7 2,64

α. Να επιλέξετε έναν τρόπο, ώστε να αξιοποιήσετε τα παραπάνω δεδομένα

(όποια θεωρείτε κατάλληλα) και να υπολογίσετε με προσέγγιση εκατοστού

τους αριθμούς 20, 45 και 80 .

(Μονάδες 12)

β. Αν δεν υπήρχαν στον πίνακα οι προσεγγιστικές τιμές των ριζών πώς θα

μπορούσατε να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

3 20 80

45 5

(Μονάδες 13)


109

3.1. Εξισώσεις 1ου βαθμού

Ορισμός:

Κάθε εξίσωση της μορφής αx+β = 0 λέγεται εξίσωση 1ου βαθμού με άγνωστο

το x. Κάθε αριθμός που την επαληθεύει λέγεται ρίζα ή λύση της εξίσωσης

αυτής.

Επίλυση της εξίσωσης αx+β = 0

αx+β= 0 αx β

(Το πιο κρίσιμο σημείο , η διαίρεση με έναν άγνωστο αριθμό)

Αν α 0 τότε : η εξίσωση έχει μία μόνο λύση : αx β β

xα α α

Αν α 0τότε 0 x β

i. Αν β 0 τότε 0 x 0 η οποία είναι ταυτότητα δηλαδή αληθεύει για

κάθε πραγματικό αριθμό x .

ii. Αν β 0 τότε 0 x =β η οποία είναι αδύνατη


Να λυθεί η εξίσωση : x + 2 x + 3 x + 4 x + 5

+ = +3 4 5 6

Λύση

Βήμα 1: Βρίσκω το Ε.Κ.Π των παρονομαστών, πολλαπλασιάζοντας όλους τους

όρους της εξίσωσης με αυτό.

Βήμα 2: Κάνω απαλοιφή παρονομαστών και εκτελώ όλες τις επιμεριστικές ιδιό-

τητες

Βήμα 3: Κάνω αναγωγή ομοίων όρων , χωρίζω γνωστούς από αγνώστους και

εξετάζω αν μπορώ να διαιρέσω με τον συντελεστή του αγνώστου

Άρα η εξίσωση γίνεται :

x + 2 x + 3 x + 4 x + 560 + 60 = 60 + 60

3 4 5 6

20 (x + 2)+ 15 (x + 3) = 12 (x + 4)+ 10 (x + 5)

20x + 40+ 15x + 45 = 12x + 48+ 10x + 50

35x + 85 = 22x + 98 35x 22x = 98 85 13x = 13 x = 1


110

Ασκήσεις σε εξισώσεις 1ου βαθμού

Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις:

1) 5 x 3 10 2 5x 10x 15 10x

2) 9 8 x 10 9 x 4 x 1 1 8x

3) 3 1 2x 4 2 x 4 x

4) x 1 2x 3

42 4

5) x 5 x 2

4 7

6) 6x 1 3x 13 5x 4

53 3 5

7) 1 x 1 2x 1 1

(2x )6 3 3 2 3

8) x 1 3 2(x 2)

3x 3x 72 4

9) 3x 2 4x 1 5x 2 x 1

5 10 8 4

10) 7x 4 3x 5

x5 2

11) x 2 x 3 x 4 x 5

3 4 5 6

12) x 1 x 10

33 6

13) 3x 1 x 1

14 4

14) 1 2x 3 x 2x 5 1 10x

8 2 4 24

15) 1 2x 3 x 2x 5 1 10x

8 2 4 24

16) 1 2x 3 x 2x 5 1 10x

8 2 4 24

Εξισώσεις ανώτερου βαθμού που ανάγονται σε εξισώσεις 1ου βαθμού

Τέτοιες εξισώσεις συνήθως λύνονται ακολουθώντας τα παρακάτω βήματα:

Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο 1ο μέλος

Παραγοντοποιούμε το 1ο μέλος

Χρησιμοποιούμε την ισοδυναμία α β 0 α 0 ή β=0 η οποία ισχύει και

για περισσότερους από 2 παράγοντες .


111


22 2x x 4 + 2x x 4 + x 4 = 0 x 4 x + 2x+1 = 0 x 4 x+1 = 0

2x 4 = 0 ή x 1 = 0

x 4 ή x 1 = 0

x 4 ή x 1

2 22x +1 + x 1= 0 x+1 + x 1 x+1 = 0 x+1 x+1 + x 1 = 0

x +1 2x +1 1 = 0 x +1 2x = 0 x +1= 0 ή 2x = 0 x 1 ή x 0

Ασκήσεις σε εξισώσεις ανώτερου βαθμού που ανάγονται σε εξισώσεις

1ου βαθμού

Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις:

1) 2x x 2 2x x 2 x 2 0

2) 2

x 4 x 4 x 6 0

3) 2x x 3 9 x 3 0

4) 2 2x x 6 3 x 6 0

5) 2

x 5 5 x 7 x 0

6) 3 2x 2x x 2 0

7) 3 2x x 6x 6 0

8) 4 3x 2x 2x 1 0

9) 3x 7x 6 0

10) 3 25x 5x 7 1 x

11) 2 25 x 2x 1 4 x 1

12) 2 23 x 4 x 1 x 1 x 2

13) 2 23x 5 9x 25 6x 10 0

14) 2 2x 3 2x 1 x 9 x 3 0

15) 2 2x 1 x 2 x 1 2x 4 0

16) 2 2

2x 1 x 3 0

17) 2 2x 1 x 3 x 9 x 1

18) 2

2x 1 x 1 0

19) 3 3 3

x 4 2x 3 7 3x 0

20) 3 2 2x 5x 15x 27 x 9

21) 2 2x 64 x 2 x 4 x 8

22) 2 3 2x x 25 x 5x 0

23) x 2 x 3 3x 1 x 2


112

24) 2 2x 10 x 100 0

25) 2 2x 4 x 16 0

26) 2 23x x 1 x 2x 1

27) 2 2x 2 x 2x 1 2x x 1

28) 4 2 2x x 4 x 1

29) 2

2 2x 2x 1 4x 8x 4

Κλασματικές εξισώσεις

Παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές

Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών και απαιτούμε κάθε

παράγοντας να είναι διαφορετικός του μηδενός.

Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών και λύνουμε την εξίσωση που

προκύπτει.

Ελέγχω αν οι λύσεις ικανοποιούν τους περιορισμούς αν όχι απορρίπτω τις

λύσεις που έρχονται σε αντίθεση με αυτούς


2

2 1 x x 2 1 x x 2 1 x x+ = + = + =

x x x 1 x x x 1 x 1 x x x 1 x x 1

2 1 x x

x x 1 x x 1 x x 1x x 1 x x 1

2 x 1 1 x x x 2 2 1

2 x x 1 x x 1 2x 0 x2

δε-

κτή

Ε.Κ.Π. x(x 1)

Πρέπει: x x 1 0 x 0 και

x 1 0 x 0 και x 1


113

Ασκήσεις στις κλασματικές εξισώσεις Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις

1)

x 1 4 x 2

x 1 x 1 x 3 x 3

2) 2

2 1 1

x 3x 3 x x

3) 2

x 1 5 3x x 2

x 1 x 2x 3 x 3

4) 2

x 2 4 8

x 2 x x 2x

5) 2

x 1

x 1 x x

6) 2

2

2x 1 7x 1 2x 3x 45

3x 3 6x 6 4x 4

7) 2 2 2

2 2x x 2 x 4

9x 4 9x 12x 4 9x 4

8) 2

3 4 x 1

x 2 5x 15 x 5x 6

9) 2 2 2

x 2 2 1

x 1 x 2x 1 x 1

10) 2

1 1

x 2 x 4

11) x 1 x 6

2x 1 x 2

12) 1

1x

x1 x

13)

12

x 3 01

2x 3

14) 2

x 12

x 1 0(x 1)

xx 1

15) 1

31 x

11

xx

16) 1 1 2

23 x x 3

1 1x 3 3 x

17) 2 2

x 1 20

x 1 x 2x 1


114

Παραμετρικές εξισώσεις 1ου βαθμού

Για να λύσουμε - διερευνήσουμε μία παραμετρική εξίσωση 1ου βαθμού ακλου-

θούμε την ίδια ακριβώς διαδικασία για την επίλυση μιας εξίσωσης 1ου βαθμού

φέρνοντας την στην μορφή A x B 1

Στο στάδιο αυτό (μορφή 1) εξετάζουμε 2 περιπτώσεις αφού πρώτα παραγοντο-

ποιήσουμε τις παραστάσεις Α και Β

1η περίπτωση: Αν A 0 τότε η (1) έχει μοναδική λύση την B

xA

2η περίπτωση: Αν A 0 τότε η (1) παίρνει τη μορφή A x B όπου αν B 0

είναι ΑΟΡΙΣΤΗ ενώ αν B 0 είναι ΑΔΥΝΑΤΗ


Να λύσετε την εξίσωση 2λ x 1 2x + 5λ = 2 x + 3 για τις διάφορες τιμές

του λ

Λύση

2λ x 1 2x + 5λ = 2 x + 3 (κάνουμε επιμεριστική ιδιότητα)

2 2λ x λ 2x + 5λ = 2x + 6 (χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους - δεν

ξεχνάμε ο x είναι ο άγνωστος)

2 2λ x 2x 2x = λ 5λ+ 6

2 2λ x 4x = λ 5λ+ 6

2 2λ 4 x = λ 5λ + 6 (παραγοντοποιούμε τον συντελεστή του x και

το β΄ μέλος)

λ 2 λ+ 2 x = λ 2 λ 3 1

Διακρίνουμε περιπτώσεις:

1η περίπτωση:

Αν λ 2 λ+ 2 0 λ 2 0 και λ + 2 0 λ 2 και λ 2 τότε η

εξίσωση (1) έχει μοναδική λύση

λ 2 λ 3x =

λ 2 λ + 2

(Διαιρέσαμε και τα δύο μέλη της (1) με τον συντελεστή του x (άγνωστος))

λ 3

x =λ+ 2

(Απλοποιήσουμε διότι το λ-2 είναι διαφορετικό του μηδέν)

2η περίπτωση:

Αν λ 2 λ 2 = 0 λ 2 = 0 ή λ + 2 = 0 λ = 2 ή λ = 2

Αν λ = 2 αντικαθιστώντας στην (1) παίρνουμε 0 x = 0 ΑΟΡΙΣΤΗ

Αν λ = 2 αντικαθιστώντας στην (1) παίρνουμε 0 x = 20 ΑΔΥΝΑΤΗ


115

Ασκήσεις στις παραμετρικές εξισώσεις 1ου βαθμού

1) Να λύσετε για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ τις

ακόλουθες παραμετρικές εξισώσεις:

α. λ x 4

β. λ 2 x 1

γ. 2λ 4 x 7

δ. λ 4 x 0


ακόλουθες παραμετρικές εξισώσεις

α. λ 1 x λ 1

β. λ 1 x λ

γ. λx λ x 1

δ. λ 1 x λ 1


ακόλουθες παραμετρικές εξισώσεις

α. 2(λ 2)x λ 4

β. 4 2(λ 16)x λ 4

γ. 3 2(λ λ 9λ 9)x (λ 1)(λ 3)

δ. 2 2(λ 1) x λ 5λ 4

4) Να λύσετε τις εξισώσεις:

α. 2 2κ x κ x 4κ 3

β. μ 1 x 9 2 μ 2x μ μ 2

γ. 3λ x λ 4λx 2

δ. 2λ x λ λx 1

5) Να λύσετε τις εξισώσεις

α. 2 2λ x λ 3λx 9

β. 2 2λ x 4 16 λ 4 x 2λx

γ. 2λ 2 x λ 4λ 4

δ. 2

λx 2 x λ λ 1 3


α. 29λ x 4x 3λ 2

β. 2λ x 1 6x 2 λ 5x 1

γ. 2μ x 1 4 4x 1 5μ

δ. κ κ 3 x 1 3κ 4 2x


116


α. 2μ 2x μ μ μ

β. 2λ x 1 x 2λ 1 3λ 2

γ. 2 2λ x 1 4x 2λ λ 6

δ. 2μ x 2 3μ x 1


α. 2μ x 2 3μ x 1

β. 24α x 1 x 2α

γ. μx 8x 2 μ 1 x 10

δ. 2μ x 2 3μ x 1

9) Θεωρούμε την εξίσωση 2 2 2λ x(x 1) 5λ 6 λ (x 1) 4x,λ .

Να βρεθεί το λ ώστε:

α) η εξίσωση να είναι αδύνατη

β) η εξίσωση να είναι ταυτότητα

γ) η εξίσωση να έχει μοναδική λύση

10) Θεωρούμε την εξίσωση 22λx 4 λ (1 x), λ . Να βρεθεί το λ ώστε:

α) η εξίσωση να είναι αδύνατη

β) η εξίσωση να έχει μοναδική λύση την x = 2

11) Αν η εξίσωση 2λ x λ 2 1 2x έχει άπειρες λύσεις ,να αποδείξετε ότι η

εξίσωση λx 6 5x 3λ έχει μοναδική λύση την οποία και να βρείτε.

12) Δίνεται η εξίσωση 3 α x 1 2α . Να βρείτε για ποιες τιμές του α η

εξίσωση είναι αδύνατη.

13) Αν η εξίσωση λ μ 3 x 2λ μ 4 είναι αόριστη να βρείτε τις τιμές

των λ και μ.

14) Να προσδιοριστούν τα α,β , ώστε η εξίσωση 2α(x 1) 2x α β να

αληθεύει για κάθε x

15) α) Να λύσετε την εξίσωση 3 3 3(x 1) (3 2x) (x 2) 0 (1)

β) Αν β είναι η μικρότερη ρίζα της (1) να λύσετε την εξίσωση α x α (α 1) β (x 2)

16) Να αποδείξετε ότι αν η εξίσωση 2α (x 1) x(2 α) 1 είναι ταυτότητα

τότε η εξίσωση 2α x 1 α(x 1) είναι αδύνατη.

17) Να βρεθούν οι τιμές του λ, ώστε η εξίσωση 2λx 5λ λ 2x 6 :

α) να έχει μοναδική ρίζα το 1

β) να έχει ρίζα το 1


117

Εξισώσεις στα απόλυτα

1η κατηγορία:

Εξισώσεις της μορφής Α x α όπου Α(x) μία αλγεβρική παράσταση με με-

ταβλητή το x και α

Αν α > 0 τότε: A x α Α x α ή Α x α

Αν α = 0 τότε Α x 0

Αν α < 0 τότε η εξίσωση A x α είναι αδύνατη


α. 3x 6 = 3 3x 6 = 3 3x = 9 x = 3 ή 3x 6 = 3 3x = 3 x = 1

β. 2x 10 = 0 2x 10 = 0 2x = 10 x = 5

γ. 4x 7 = 2 Αδύνατη


A x B x

A x B x ή

A x B x


2x 6 = x 10 2x 6 = x 10 x = 4

ή

16

2x 6 = x 10 2x 6 = -x +10 x =3


A x B x Περιορισμός B x 0 1

A x B x 2

A x B x ή

A x B x 3

Λύνουμε τις εξισώσεις (2), (3) και οι λύσεις γίνονται δεκτές μόνο εάν ικανο-

ποιούν τον περιορισμό (1)


2x 10 = x 3

Πρέπει: x 3 0 x 3 1

Άρα 2x 10 = x 3

2x 10 = x 3 2x 10 = x + 3

2x x = 10 3 ή 3x = 10 + 3

x =7 δεκτή 7 3 13 13x = δεκτή 3

3 3


118


Α x B x 0 A x 0 και B x 0

Οι δύο τελευταίες εξισώσεις πρέπει να έχουν κοινή ή κοινές λύσεις έτσι ώστε η

αρχική να έχει λύση

2

2

x x 6 0x 6x 0 x 0 ή x 6

x 6x x 1 0 και και και

x 1 0 x 1 x 1

Δεν υπάρχουν κοινές λύσεις άρα η αρχική εξίσωση είναι αδύνατη

Η 4η κατηγορία μπορεί να γενικευτεί:

1 2 ν 1A x A x ... A x 0 A x 0 και 2A x 0 και …. και

νA x 0


Εξισώσεις όπου ο άγνωστος εμφανίζεται μόνο μέσα στα απόλυτα και όλες οι

προτάσεις μέσα στα απόλυτα είναι ίδιες ή μπορούν να γίνουν ίδιες


i. Να λυθεί η εξίσωση: 3 x 1 6 x 1 2 x 1 8 (1)

Λύση

Για να μην «κουβαλάμε» το x 1 σε όλη τη διαδικασία επίλυσης μας συμφέ-

ρει να θέσουμε το x 1 με μια άλλη μεταβλητή, δηλαδή με ένα γράμμα και

αφού βρούμε την τιμή της να το αντικαταστήσουμε στο τέλος.

Θέτω: x 1 y 0 άρα η (1) γίνεται:

3y 5 y 2 y 8 3y 6 y 2 y 8 y 4

Άρα 1η κατηγ.

x 1 4 x 5

x 1 4 ή

x 1 4 x 3

ii. Να λυθεί η εξίσωση : 3 x x

1 1 x 3 12 3

Μοιάζει να είναι διαφορετικές οι παραστάσεις μέσα στο απόλυτο

όμως:

α β β α

Άρα 3 x x 3 διότι:

3 x x 3 1 x 3 1 x 3 x 3

x 3x x 3

13 3 3

Άρα η (1) γράφεται: x 3 x 3

1 x 32 3


119

Θέτω x 3 κ 0 άρα κ κ

1 κ 3κ 2κ 1 6κ κ 12 3 αδύνατη διότι

κ 0 ή x 3 1 αδύνατη


Εξισώσεις όπου ο άγνωστος κυκλοφορεί έξω από το απόλυτο


Σε αυτή την περίπτωση πρέπει να “βγάλουμε” το απόλυτο.

Αν x 0 τότε x x άρα η (1) γίνεται: x x 8 x 4 Δεκτή εφόσον

x 0

Αν x 0 τότε άρα η (1) γίνεται: x x 8 0 x 8 ΑΔΥΝΑΤΗ


Εξισώσεις όπου οι παραστάσεις μέσα στα απόλυτα είναι διαφορετικές (και ας

κυκλοφορεί έξω από αυτές)

Σ’ αυτή την περίπτωση πρέπει υποχρεωτικά να βγάλουμε τα απόλυτα εξετάζο-

ντας τις παραστάσεις


Απόλυτα με απόλυτα

Παράδειγμα :

Να λυθεί η εξίσωση

x 1 1 3 x 1 4 x 1 4 ή x-1=-4x 4

x 2 1 3 ή ήx 3

x 1 1 3 x 1 2 αδύνατη


120

Ασκήσεις σε εξισώσεις στα απόλυτα 1) Να λυθούν οι εξισώσεις:

α. x 2 7

β. 2x 6 10

γ. 4 x 8

δ. 1092x 4 7

2) Να λυθούν οι εξισώσεις:

α. x 9

β. 2x 4 6

γ. x 4 0

δ. 3x 6 0


α. x 3

β. 2 x 4

γ. 3x 4 5

δ. 10x 5 45


α. x 9

β. 2x 4 6

γ. x 4 0

δ. 3x 6 0


α. 2 x 3 10

β. 2x 9 0

γ. 3x 1 1

δ. 1 2x 7


α. 2x 7 5 x

β. 3x 1 2x 5

γ. 4 x 5x 6

δ. x 2 x 1


121


α. x 2 x 3

β. x 1

2x 2

γ. 2 x 2 3 x 2

δ. 11 3x

13x 2


α. 3 2 x 2 x 1 0

β. 2x 1 3 x

3 2

γ. 2 x 3 x 5

δ. x 1 3x 2

04 6


α. x 3 2x 7

β. x 5 3x 1

γ. 2x 5 4 x

δ. 2 4 x x 3 0


α. x 3 1

β. x 2 4

γ. 5 2x 1 4

δ. 1 3 2x 6

ε. 3 2 x 5

στ. x 3 5 1

ζ. 7 2x 3 6 4

11) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις:

α. x 1

x 12

β. 2 x 3 x 2 1 x

4 2 2

γ. x 3 x 3

52 3

δ. 2 x 3 5 x 3 3 x 1

3 2 3


122


α. 3x 4 1 3x 4

2 33 3

β. x 1 2 1 x x 1 3

3 4 4

γ. 6 2x x 37

3 x3 2 4

δ. x 2 6 3x11

2 20 5

ε. 3 3x 9 31 3 x

13) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις

α. x 1

x 12

β. x 2 1 x x 4 x 2 1 x 3 2 x x 2 x 1

γ. 22x 3 x 14 2 x 4 x 4 2 x 4

δ. 2

x 2 x 2 2 x 3 2 x x 5


α. 4 x 1 1

75

β. 3 5 1 2x

36

γ. x 1 x 1

42 3

δ. x 24 x 24 x 24

242 3 6

ε. x 8

2 x 8 53


α. x 2

1 2 x5

β. 3 2x 5 1 6 2x 5 4

2x 52 7

γ. 3x 1 4 3x 1 15

δ. 6 2x 1 2 4x 2 8

ε. x 2 4 2x

12 3


123


α. x 2 2x 4 0

β. x 1 x 2 0

γ. 3x 3 x 1 x 1

δ. 2x 3 x 3x 0


α. x 2 1

β. 6 3x 1 4

γ. x 3 5

δ. x 1 2 3

ε. x 1 2 2


α. x 7 2 2x 5 8

β. 2 5x 5 2x 7

γ. x 2 x 1 1 1 x

δ. x 2 x 2 3x 1


α. 3 x 1 2

β. 2 2x 4 x 16 0

γ. x 2 2x

δ. x 1 3 7

20) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις

α. x 2 5 6

β. 12 x 3 x 4

γ. 2 2x 2x 1 x 1 0


α. 2

2

9 x 5 12 x 1 9 108 x 36x

3 x 1 2 6 x 4(9x 1)

β. 1

21

1x 1

γ. 2

x 1 3 4

x 3 x 1 x 3 x 4 x 3

δ. 2

x 63 2

x x 2 x 2 x


124

Επίλυση προβλημάτων με εξισώσεις

1) Ένας αγρότης θέλει να αυξήσει κατά 1

2 το εμβαδό του χωραφιού του,

χωρίς να αλλάξει το σχήμα του που είναι ορθογώνιο με πλευρές 20m και

15m. Αν διπλασιάσει τη μεγάλη πλευρά πόσο πρέπει να μεταβάλλει τη

μικρή πλευρά ώστε να πετύχει το σκοπό του;

2) Ένας χυμός έχει περιεκτικότητα σε πορτοκάλι 60%. Προσθέτουμε στο

χυμό 50ml καθαρό χυμό πορτοκάλι και η περιεκτικότητα του χυμού γίνε-

ται 70%. Να βρεθεί πόσα ml αρχικού χυμού είχαμε.

3) Σε μια δεξαμενή υπάρχουν τρείς βρύσες Α, Β και Γ. Όταν λειτουργεί η

κάθε μια μόνη της, τότε η βρύση Α γεμίζει τη δεξαμενή σε 10 ώρες, η Β

σε 5 ώρες ενώ η Γ αδειάζει τη δεξαμενή σε 20 ώρες. Να βρεθεί σε πόσο

χρόνο θα γεμίσει η δεξαμενή όταν λειτουργούν και οι τρεις μαζί.

4) Σε μείγμα 200ml υπάρχει μια χημική ουσία Α με περιεκτικότητα 18%.

Πόσα ml νερού πρέπει να ρίξουμε στο μείγμα ώστε η περιεκτικότητα της

ουσίας Α να γίνει 10%;

5) Τρεις μαθητές Α, Β, Γ ρωτούν τον καθηγητή τους για το βαθμό που προ-

τίθεται να τους βάλει στο τέλος του τετραμήνου και αυτός απαντά ως ε-

ξής: ο Β έχει το ½ του βαθμού που έχει ο Α και 2 βαθμούς παραπάνω, ο Γ

έχει τα 5/4 του βαθμού του Α, ενώ το άθροισμα των βαθμολογιών είναι

46. Να βρεθεί ο βαθμός του κάθε μαθητή.

6) Ένας πατέρας είναι 34 ετών και ο γιος του 7 ετών. Μετά από πόσα χρόνια

ο πατέρας θα έχει:

α) τετραπλάσια και

β) τριπλάσια ηλικία από το γιο του;

7) Να βρεθεί ο αριθμός του οποίου το μισό, αυξημένο κατά 20 ισούται με

το διπλάσιο του ελαττωμένο κατά 40.

8) Ένας πατέρας είναι μεγαλύτερος από το γιο του κατά 30 χρόνια και πριν

τρία χρόνια το άθροισμα των ηλικιών τους ήταν 32. Να βρεθούν οι ηλικί-

ες τους.

9) Να βρείτε τρεις διαδοχικούς ακεραίους ώστε το άθροισμα των κύβων

τους ελαττωμένο κατά 18 να ισούται με το τριπλάσιο του κύβου του με-

σαίου από αυτούς.

10) Να χωρίσετε τον αριθμό 317 σε δύο μέρη ώστε το μεγαλύτερο όταν διαι-

ρεθεί με το μικρότερο να δίνει πηλίκο 2 και υπόλοιπο 68.


125

11) Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού είναι 7. Αν εναλλάξου-

με τη θέση των ψηφίων του προκύπτει αριθμός κατά 9 μεγαλύτερος. Να

βρείτε τον αριθμό.

12) Τρία άτομα μοιράζονται το ποσό των 234 € σε μέρη ανάλογα με τις ηλι-

κίες τους που είναι 10, 12 και 14 ετών. Τι ποσό θα πάρει ο καθένας;

13) Το ύψος ορθογωνίου είναι τα 2/3 της βάσης. Αν αυξήσουμε τη βάση κατά

1, τότε η περίμετρος του γίνεται 22. Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθο-

γωνίου.

14) Κάποιος δανείζει 1000€ σε δύο άτομα Α και Β με επιτόκιο 20% και 25%

αντίστοιχα. Μετά από ένα χρόνο παίρνει συνολικό τόκο 230€. Πόσα χρή-

ματα δάνεισε στους Α και Β;

15) Δύο αυτοκίνητα ξεκινούν από το ίδιο σημείο ταυτόχρονα και κινούνται

προς αντίθετες κατευθύνσεις. Το ένα κινείται με σταθερή ταχύτητα

90km/h και το άλλο με 110km/h.

α) Πότε τα δύο αυτοκίνητα θα απέχουν μεταξύ τους 1200km;

β) Πόσο θα απέχει το καθένα από το σημείο εκκίνησης;

16) Ένας εργάτης όταν δουλεύει μόνος του χτίζει ένα γκαράζ σε 3 μέρες ενώ

ένας άλλος χτίζει το ίδιο γκαράζ σε 5 ημέρες. Σε πόσες μέρες θα χτίσουν

το γκαράζ αν εργαστούν οι δύο εργάτες ταυτόχρονα;

17) Μια ανθοδέσμη περιέχει 15 λουλούδια, τριαντάφυλλα και μαργαρίτες.

Κάθε τριαντάφυλλο κοστίζει 2€ και κάθε μαργαρίτα 1,4€. Πόσα λουλού-

δια απ’ το κάθε είδος περιέχει η ανθοδέσμη αν κοστίζει 27€;


126

Ασκήσεις από τράπεζα θεμάτων

ΑΣΚΗΣΗ 1 (2_485)

Δίνεται η εξίσωση 2λ x x λ 1 , με παράμετρο λ .

i. Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:

( ) (λ 1 x λ 1 ,λ1) λ

ii. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση έχει

ακριβώς μία λύση την οποία και να βρείτε.

iii. Για ποια τιμή του λ η παραπάνω εξίσωση είναι ταυτότητα στο σύνολο

των πραγματικών αριθμών; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(Μονάδες 9)

ΑΣΚΗΣΗ 2 (2_507)

Δίνεται η εξίσωση: 2 2λ 9 x λ 3λ , με παράμετρο λ 1

α) Επιλέγοντας τρεις διαφορετικές πραγματικές τιμές για το λ , να γράψετε

τρεις εξισώσεις.

Μονάδες 6

β) Να προσδιορίσετε τις τιμές του λ , ώστε η 1 να έχει μία και

μοναδική λύση.

Μονάδες 9

γ) Να βρείτε την τιμή του λ ,ώστε η μοναδική λύση της 1

να ισούται με 4

Μονάδες 10

ΑΣΚΗΣΗ 3 (2_1055)

Δίνεται η εξίσωση : 2λ 1 x λ 1 λ 2 , με παράμετρο λ R

α) Να λύσετε την εξίσωση για λ 1 και για λ 1 .

(Μονάδες 12)

β) Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει μοναδική λύση; Να αιτιολογήσετε

την απάντηση σας.

(Μονάδες 13)


127

ΑΣΚΗΣΗ 4 (2_3382)

Δίνεται η παράσταση 3 5

A5 3 5 3

α. Να δείξετε ότι A 4

Μονάδες 12

β. Να λύσετε την εξίσωση x A 1

Μονάδες 13

ΑΣΚΗΣΗ 5 (2_4302)

Δίνεται η εξίσωση 2α 3 x α 9 , με παράμετρο α .

α. Να λύσετε την εξίσωση στις παρακάτω περιπτώσεις:

i) όταν α 1 .

(Μονάδες 5)

ii) όταν α 3 .

(Μονάδες 8)

β. Να βρείτε τις τιμές του α , για τις οποίες η εξίσωση έχει μοναδική λύση

και να προσδιορίσετε την λύση αυτή.

(Μονάδες 12)

ΑΣΚΗΣΗ 6 (4_2084)

Για την κάλυψη, με τετράγωνα πλακάκια, μέρους ενός τοίχου, μπορούμε να

χρησιμοποιήσουμε πλακάκια τύπου Α με πλευρά d cm ή πλακάκια τύπου Β με

πλευρά (d+1)cm.

α) Να βρείτε, ως συνάρτηση του d, το εμβαδόν που καλύπτει κάθε πλακάκι

τύπου Α και κάθε πλακάκι τύπου Β.

Μονάδες 6

β) Αν η επιφάνεια μπορεί να καλυφθεί είτε με 200 πλακάκια τύπου Α είτε με

128 τύπου Β, να βρείτε:

i) Τη διάσταση που έχει το πλακάκι κάθε τύπου.

Μονάδες 12

ii) Το εμβαδόν της επιφάνειας που καλύπτουν.

Μονάδες 7


128

1) Δίνεται η παράσταση 3 5

Α5 3 5 3

(α) να δείξετε ότι Α=4

(μονάδες 12)

(β) Να λύσετε την εξίσωση x A 1

(μονάδες 13)

2) Δίνεται η εξίσωση 2 2α 3 x α 9 με παράμετρο α

(α) Να λύσετε την εξίσωση στις παρακάτω περιπτώσεις

i) Όταν α 1

(μονάδες 5)

ii) Όταν α 3

(μονάδες 8)

(β) να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες η εξίσωση έχει μοναδική

λύση και να προσδιορίσετε την λύση αυτή

(μονάδες 12)


126

3.2. Η εξίσωση xν = α

Η εξίσωση νx = α , με α > 0 και ν περιττό φυσικό αριθμό έχει ακριβώς μία λύση

την ν α

Η εξίσωση , νx = α με α > 0 και ν άρτιο φυσικό αριθμό έχει ακριβώς δύο λύσεις

τις ν α και ν α

Η εξίσωση νx = α , με α < 0 και ν περιττό φυσικό αριθμό έχει ακριβώς μία λύση την

ν α

Η εξίσωση νx = α , με α < 0 και ν άρτιο φυσικό αριθμό είναι αδύνατη.


4 4 4x = 10 x = 10 ή x = 10

4x = 10 Αδύνατη

3 3x = 10 x = 10

103 33x = 10 x = 10 ή x =


127

Ασκήσεις

1) Να λυθούν οι εξισώσεις

α) 99x 0 β) 8x 2 γ) 3x 7

δ) 7x 9 ε) 12x 3


α) 5x 0 β) 5x 2 γ) 4x 4

δ) 11x 1 ε) 20x 1


α) 3x 8 0 β) 3x 8 0 γ) 2x 8 0 δ) 2x 8 0


α) 3x 27 0 β) 38x 1 0 γ) 416x 81 0 δ) 64x 12 0


α) 6x 4 β) 12x 10 0 γ) 5x 7 δ) 5x 5


α) 216x 1 0 β) 38x 27 0 γ) 532x 243 0 δ) 327x 8 0


α) 4

2x 1 3 β) 4

2x 1 81 γ) 3

x 2 27 δ) 3

x 4 8


α) 5

2 x 32 β) 33 x 125 γ) 4

4 x 8 δ) 3

x 3 1


α) 7 8x 1 x 1 0 β) 5 4x 32 x 81 0


α) 3 2 3x x 9 x 125 0 β) 2 6 5 5x 5 x 3 x 2 x 1 0


α) 7 37x 7x 0 β) 10 58x 32x

γ) 8 481x 16x δ) 9 364x 27x 0


α) 2 58x x 0 β) 3 x2x

2

γ) 5x x 0 δ) 3

x 1 8 0

ε) 7 48x x 0 στ) 4

x 1 16


128

ζ) 336x x η) 23x 5 x 0

θ) 4 2x 8x 0 ι) 4

x 1 5 x 1 0


α) 2

3x 4 β) 1 1

2 3x 1 x 1

γ) 3

4x 27

δ) 1

32x 1 x


α) 5 2x x 0 β)

7 22x 64x 0 γ) 6 42x 5x 0


α) 8 3x x 0 β) 13 9x x 0

γ) 14 122x 4x 0 δ) 12 5x 8x 0 16) Να λυθούν οι εξισώσεις

α) 2 58x x 0 β) 5x 2x 0

γ) 52x 4x 0 δ) 4x 8x 0


α) 4

2x 1 1 β) 3

2x 3 27

γ) 3

11 125 0

x

δ)

182

2 9 0x

18) Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ , Να λύσετε τις εξισώσεις :

α) 4x 16λ β) 6 2x λ

γ) 5 10x λ δ)

3 6x λ


129

3.3. Εξισώσεις 2ου βαθμού

Κάθε εξίσωση της μορφής 2αx + βx + γ = 0 με *α και β, γ λέγεται εξίσωση

2ου βαθμού με άγνωστο το x ενώ τα α, β, γ λέγονται συντελεστές της εξίσωσης

και ο γ λέγεται σταθερός όρος.

Επίλυση της εξίσωσης 2 ,αx +βx + γ = 0 α 0

Μέθοδος συμπλήρωσης τετραγώνου 2 0 x x (Διαιρώ όλους τους όρους με 0 )

2 0 x x

2 22

x x

(εμφανίζω το διπλάσιο γινόμενο)

2 2

2

2 22

2 4 4 x x

(προσθέτω τον όρο για να σχηματιστεί η ταυτότητα 2

Α +Β ) 2 2

2

4

2 4

x

Στην τελευταία ισότητα παρατηρούμε ότι: 2

02

x

και 24 0 άρα η παράσταση 2 4 καθορίζει τελικά αν θα έχει

λύση η εξίσωση.

Την παράσταση 2 4 την ονομάζουμε Δ, αρχικό της λέξης Διακρίνουσα.

Επομένως η εξίσωση γίνεται: 2

21

2 4

x

Αν 0 τότε η (1) έχει δύο λύσεις:

22 4

x

ή

22 4

x

δηλαδή

2

x

ή

2

x

Αν 0 τότε η (1) γίνεται:

2

0 02 2 2

x x x

02

x

ή 0

2 x

2 x

ή

2 x

Δηλαδή η εξίσωση έχει διπλή ρίζα (λύση) την 2

Αν 0 τότε η (1) είναι αδύνατη δηλαδή δεν έχει λύσεις στο σύνολο των

πραγματικών αριθμών!!! (υπομονή κάτι θα κάνουμε γι’ αυτό)

Συνοψίζοντας τα παραπάνω προκύπτει:


130

Η εξίσωση 2 0 x x , 0 έχει:

i. Δύο ρίζες πραγματικές και άνισες τις 1

2

x

και

22

x

αν

και μόνο αν 0

ii. Μία ρίζα διπλή την 2

x

αν και μόνο αν 0

iii. Καμία πραγματική ρίζα αν και μόνο αν 0

Ειδική περίπτωση 1

Αν γ = 0 τότε η εξίσωση 2αx + βx + γ = 0 , α 0 λύνεται ευκολότερα - γρηγορότερα

με παραγοντοποίηση.


26x + x = 0 x 6x +1 = 0 x = 0 ή 6x +1 = 0 x = 0 ή 1

x6

Βέβαια μπορεί να λυθεί και με την διακρίνουσα αν θεωρήσουμε γ = 0 26x + x+0 = 0 , α = 6, β = 1, γ = 0

2 2Δ = β 4αγ = 1 4 6 0 = 1 > 0

1

1,2

2

x = 01± 1 1± 1

x = = = ή2×6 12

1x =

6

Ειδική Περίπτωση 2

Αν β = 0 τότε η εξίσωση γίνεται 2αx + γ = 0 ,α 0 και λύνεται μόνο αν τα α, γ

είναι ετερόσημα διαφορετικά είναι αδύνατη


2x 9 = 0

x = 3

x 3 x + 3 = 0 και

x = 3

ή

2 2 2x 9 = 0 x = 9 x = 9 x = 3 x = ± 9 x = 3 ή x = 3

Παράδειγμα: 22x +4 = 0 αδύνατη διότι: 2 22x = 4 x = 2 αδύνατη

Κανένας πραγματικός αριθμός υψωμένος στο τετράγωνο και γενικότερα σε άρτια

δύναμη δεν ισούται με αρνητικό αριθμό.


131

Γενική Περίπτωση

Η εξίσωση 2αx + βx + γ = 0 ,α 0


2x 5x+6 = 0 , 2

Δ = 5 4 1 6 = 25 24 = 1 > 0

Άρα 1,2 1

5 ± 1x = x = 2

2× 1 ή 2

x = 3


24x 4x+1= 0 , 2

Δ = 4 4 4 1 = 16 16 = 0

Άρα

4 1x = x =

2 4 2

Παράδειγμα 3 2x +2x+5 = 0 , 2Δ= 2 4 1 5 = 4 20 = 16 < 0

Άρα η εξίσωση 2x +2x+5 = 0 δεν έχει λύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Τύποι Vietta

Θεώρημα

Έστω ότι η εξίσωση 2αx + βx + γ = 0 ,α 0 έχει πραγματικές ρίζες x1, x2 άνισες.

Αν συμβολίσουμε με S το άθροισμα 1 2x + x και με P το γινόμενο

1 2x x τότε:

1 2

βS = x + x =

α και

1 2

γΡ = x x =

α

Απόδειξη

Εφόσον η εξίσωση 2 0 , 0 x x έχει δύο πραγματικές ρίζες τότε:

12

x

και

22

x

1 2

2

2 2 2 2

S x x

2 2 22 2

1 2 2 2 2

2 2

2 2

4

2 2 4 4 4

4 4

4 4

x x


132

Θεώρημα

Αν μια εξίσωση της μορφής 2αx + βx + γ = 0 ,α 0 έχει δύο ρίζες πραγματικές x1,

x2 τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή 2x Sx+P= 0 όπου S, P το άθροισμα και το

γινόμενο των ριζών τους.

Απόδειξη

Έχουμε 2 0, 0 x x άρα

2 2 20 0 0

x x x x x Sx P

όπου 1 2

S x x

και

1 2 x x


133

Ασκήσεις στην επίλυση εξισώσεων 2ου βαθμού 1) Να λύσετε τις εξισώσεις

α) 2 0 x x β) 22 8x x γ) 22 7 0 x x

δ) 2 23 2( 7 ) x x x x ε) 24 25 0 x στ) 23 7 0 x x

ζ) 22 8 0 x η) 2 8 x x


α) 29 4 0 x β) 27 21x x γ) 26 36 0 x x

δ) 2 5 0 x ε) 23 5 0 x x στ) 2

2 16 x

ζ) 22 7 0 x η) 2 2 0 x


α) 23 4 0 x β) 22 12 0 x x γ) 2

1 3 x

δ) 2

3 6 4 0 x


α) 24 25 0 x β) 23 7 0 x x

γ) 22 3 0 x x δ) 2 9x

ε) 2 4 0 x στ) 2 4x x

ζ) 2 15y η) 2 8 x x

θ) 22 8 0 x ι) 2 9 0 x


α) 2 9 0 x β) 2 16 0 x γ) 2 3 0 x δ) 2 6x

ε) 24 5 0 x x ζ) 24 15 0 x x η) 2 6x θ) 2 8 0 x x


α) 2 4 3 0 x x β) 2 2 3 0 x x

γ) 26 13 6 x x δ) 23 5 0 x x

ε) 22 5 3 0 x x στ) 225 30 9 x x


α) 22 12 18 0 x x β) 22 5 1 0 x x

γ) 2 4 9 0 x x δ) 2 4 3 0 x x

ε) 2 2 3 0 x x στ) 23 5 0 x x


α) 23 5 8 0 x x β) 2 1 0 x x γ) 29 30 25 0 x x

δ) 218 15 18 0 x x ε) 26 12 0 x x στ) 24 4 1 0 x x


α) 22 ( 3) 5 x x x β) 23 2 1 7 x x x x γ) 2(7 3) 5 2 2 x x x x


134


α) 2

2 2 (6 ) 2(3 10) x x x x

β) 2 2

4 1 9 1 x x

γ) 3 6 1 5 10 1 x x x x


α) 1 3 2 6 x x x

β) 2 1 1 2 0 x x x

γ) 2 3 5 2 1 3 x x x x

δ) 2

2 3 1 1 2 x x x x x


α) 2 2 2 3 3 0 x x β) 25 3 1 0 x x


α) 2 3 1 3 0 x x β) 2 2 1 2 0 x x


α) 2 6 5 30 0 x x β) 2 6 2 12 0 x x


α) 23 5 12 0 x x β) 2 4 3 9 0 x x

γ) 22 2 2 1 0 x x


α) 213 (1 ) (1 2 ) 1

2

x x x β) 2 2 2 1 x x

γ) 23 2 0,5 0 x x δ) 2 52 5 1 0

2 x x

ε) 2 12

2 x x στ) 2 18

2 2 2 03

x x


α) 22 ( 3) 5 x x x

β) 2(7 3) 5 2 2 x x x x

γ) 2( 2) 2 (6 ) 2(3 10) x x x x

δ) 2 2(4 1) 9 ( 1) x x

ε) (4 6) ( 1) (5x 10) ( 1) x x x


135


α) ( 1) 3(2 ) 6 x x x

β) (2 1)( 1) 1 0 x x x

γ) ( 2)(3 5) (2 1)( 3) x x x x

δ) 22 ( 3) ( 1) ( 1)( 2) x x x x x

ε) (5 1)(3 2) (1 5 )(3 7) (2 15 )(1 5 ) x x x x x x


α) 2 22 0 x x β) 2 23 10 0 x x γ) 2 2 6 0 x x


α) 2 27 10 0 x x β) 2 22 0 x x


α) 2 ( ) 0 x x

β) 2 2 22 0 x x

γ) 2 2 2( ) x 0, , 0 x


136

Ασκήσεις στις εξισώσεις 2ου βαθμού υπό συνθήκη 1) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού κ για τις οποίες η εξίσωση

2 4 6 ( 1) x x έχει μια ρίζα διπλή

2) Δίνεται η εξίσωση 22 2 3 0 x x . Να βρεθεί για ποιες τιμές του λ η

εξίσωση:

α) έχει 2 διαφορετικές ρίζες

β) έχει μία διπλή ρίζα

γ) δεν έχει ρίζες

3) Δίνεται η εξίσωση 2 6 4 1 0 x x . Να βρεθεί για ποιες τιμές του λ η

εξίσωση:

α) έχει 2 διαφορετικές ρίζες

β) έχει μία διπλή ρίζα

γ) δεν έχει ρίζες

4) Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού κ ώστε η εξίσωση

2 3 ( 3) 0 x x να έχει ρίζα τον αριθμό -1 και στη συνέχεια για την τιμή

του κ που θα βρείτε να λύσετε την εξίσωση που θα προκύψει

5) Να βρείτε για ποιες τιμές του η εξίσωση 22 2 1 x x έχει :

α) μία μόνο ρίζα

β) μία διπλή ρίζα

γ) καμία ρίζα

6) Δίνεται η εξίσωση 23 5 3 0 x x .

Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση :

α) Να έχει 2 πραγματικές ρίζες και άνισες

β) Να είναι αδύνατη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών

γ) Να έχει μία διπλή ρίζα την οποία να βρείτε

δ) Για 305 πόσες ρίζες έχει η εξίσωση; Δικαιολογήστε την απάντηση

σας

7) Δίνεται η εξίσωση 2 3 2 0 x x .Αν η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό 5 να

βρεθεί η άλλη ρίζα της εξίσωσης

8) Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις

α) 2 ( 1) 0 x x

β) 2( 1) 1 0, 1 x x

γ) 21 1 0, x x

9) Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν δύο ρίζες άνισες

α) 2 1 0 x kx β) 22 2( 1) 0 x k x k


137

10) Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν τουλάχιστον μία λύση

α) 2 ( 1) 0 x x β) 2 ( 1) 0 x x

11) Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις είναι αδύνατες

α) 2 2 1 0 x x β) 2 22 3 2 0 x x

12) Δίνεται η εξίσωση 28 2 2 8 0 x x . Να βρείτε τις τιμές του λ

ώστε η εξίσωση : (α) να έχει 2 ρίζες άνισες (β) να έχει μια ρίζα διπλή (γ) να

είναι αδύνατη


138

Ασκήσεις στις εξισώσεις που ανάγονται σε 2ου βαθμού με

κατάλληλη αντικατάσταση και στις κλασματικές εξισώσεις 1) Να λυθούν οι εξισώσεις

α) 4 24 11 3 0 x x β) 4 29 35 4 0 x x γ) 4 23 2 0 x x


α) 4 25 6 0 x x β) 4 23 54 0 x x γ) 4 24 8 0 x x


α) 4 26 8 0 x x β) 4 23 4 0 x x γ) 4 26 17 12 0 x x


α) 6 3 2 0 x x β) 8 4 12 0 x x γ) 6 32 5 3 0 x x


α) 2 5 6 0 x x β) 2 4 21 0 x x γ) 2

1 4 1 45 0 x x


α) 2

3 2 0 x x β) 23 2 5 0 x x

γ) 2( 3) 3 3 4 0 x x δ) 2 3 3 0 x x x

ε) 2 6 0 x x στ) 23 2 1 3 0 x x


α) 2 3 2 0 x x β) 4 22 8 0 x x

γ) 2

2 3 0 x x δ) 11 30 0 x x

ε) 22 4 3 4 x x x στ) 23 32 1 x x


α) 4 23 3 0 x x β) 5 4 3 28 10 4 5 x x x x

γ) 4 25 4 0 x x δ) 6 37 8 0 x x


α) 2

2 1 2 1 6 0 x x β) 2

1 1 2 0 x x


α) 2( 3) 3 2 x x β) 4 24 3 1 0 x x

γ) 2(2 1) 5 2 1 6 0 x x δ) 4 24 4 1 0 x x

ε) 2 2 11 10 0 x x x x στ) 4 25 2 3 0 x x


139


α) 22( 1) 3( 1) 1 0 x x β) 4 2 6 0 x x

γ) 2 3 2 x x δ) 4 25 4 0 x x

ε) 4 22 5 3 0 x x στ) 4 26 9 0 x x


α) 2

3 2 0 x x β) 23 2 5 0 x x

γ) 2( 3) 3 3 4 0 x x δ) 2 3 3 0 x x x

ε) 2 6 0 x x στ) 23 2 1 3 0 x x


α) 2 8 7 0 x x β) 2 3 4 0 x x

γ) 2

1 4 3 1 x x


α) 2

3 5 2 5 5 0 x x β)

2

52 1 5 2 0

2 2

x x


α) 2

2 25 7 5 7 2 0 x x x x

β) 2

2 22 28 5 28 3 0 x x


α)2 1 3 9 6 3

2 2 4 3 6

x x x

x x x β)

2

2 1 2

1

x x x x

γ) 2 2 2

1 1 2 1

2 2 4

x x x

x x x x x


α) 1 11

1 2 4

x x

x x β)

1 1 5 1

2 6 1

x x x x

γ) 2 2 3

2

1 2 3 3 1

1

x x x

x x x x


α)2

2

3 1 2 1 2

1

x x x

x x x x β)

2

2 1 4

2 2 2

x x x

γ) 2 3 2

30 7 18 13

1 1 1

x

x x x x


140

Ασκήσεις στο άθροισμα και το γινόμενο ριζών 1) Να βρείτε χωρίς να τις λύσετε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών των

παρακάτω εξισώσεων :

α) 2 6 8 0 x x β) 2 8 15 0 x x γ) 2 12 0 x x δ) 23 7 2 0 x x

2) Χωρίς να λύσετε τις εξισώσεις να βρείτε το άθροισμα και το γινόμενο των

ριζών τους:

(α) 2 6 5 0 x x (β) 26 17 5 0 x x

(γ) 2 6 0 x x (δ) 22 5 8 0 x x

(ε) 22 5 12 0 x x (στ) 2 2 5 3 0 x x

(ζ) 22 11 15 0 x x (η) 25 2 3 2 5 3 0 x x

3) Να σχηματίσετε μία εξίσωση 2ου βαθμού που να έχει ρίζες τους αριθμούς

α) 1

4x και 2

3x β) 1

4x και 2

1

4x γ)

16 x και

28x

4) Δίνεται η εξίσωση 2 2 2 0 x x με ρίζες 1 2,x x . Να υπολογίσετε τις παρακάτω


1 2

A x x 1 2

B x x 2 2

1 2 x x 3 3

21

x x

5) Αν x1, x2 οι ρίζες της εξίσωσης 2 5 3 0 x x , χωρίς να τις βρείτε, να

υπολογίσετε τις παραστάσεις:

1 2

x x 1 2

x x 2 2

1 2 x x

1 2

1 1

x x

6) Έστω η εξίσωση 2 ( 1) 0 x x . Αν x1, x2 είναι ρίζες της εξίσωσης να

υπολογίσετε το λ έτσι ώστε να ισχύει: 2 2 2 2

1 1 2 1 2 23 7 7 3 2 x x x x x x .

7) Δίνεται η εξίσωση 2 22 7 0, x x με ρίζες 1 2,x x . Να βρείτε την τιμή του α

ώστε 2 2

1 218 x x

8) Να βρείτε εξισώσεις 2ου βαθμού οι οποίες έχουν ρίζες τους αριθμούς

α) -2 και 3 β) 0,6 και 0,8 γ) 1

2 και -3

9) Αν x1, x2 οι ρίζες της εξίσωσης 2 0 x x να υπολογιστούν οι


α) 2 2

1 2x x β) 3 3

1 2x x γ) 1 2

2 1

x x

x x

10) Χωρίς να βρείτε τις ρίζες x1, x2 της εξίσωσης 2 5 3 0 x x να υπολογίσετε τις


α) 2 2

1 2x x β) 3 3

1 2x x γ) 4 4

1 2x x

δ) 1 2

2 1

x x

x x ε)

1 2

2 2

1 3 1 3

x x στ) 3 2 3 2

1 1 2 2 1 22 3 2 3 x x x x x x


141

11) Να βρείτε μια εξίσωση 2ου βαθμού που να έχει ρίζες 3 2 3 , 3 2 3 .

12) Αν μια ρίζα της 2 0 x x είναι διπλάσια της άλλης, να δειχθεί ότι

22 9 .

13) Αν μια ρίζα της 2 0 x x είναι τριπλάσια της άλλης, να δειχθεί ότι

23 16


142


1) Δίνεται η εξίσωση 2 2 1 0 x x (1) , με παράμετρο R .

α) Να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό λ, ώστε η εξίσωση (1) να έχει

ρίζες πραγματικές.

Μονάδες 12

β) Να λύσετε την ανίσωση: 2 2 0 S P , όπου S και P είναι αντίστοιχα το

άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της (1).

Μονάδες 13

2) Δίνεται η εξίσωση 2 2 4 1 0 x x , με παράμετρο R .

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης.

Μονάδες 8

β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε

R .

Μονάδες 8

γ) Αν 1 2,x x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια

τιμή του λ ισχύει: 1 2 1 2 x x x x .

Μονάδες 9

3) α) Να λύσετε την εξίσωση 2 1 3 x

Μονάδες 12

β) Αν α, β με είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (α), τότε

να λύσετε την εξίσωση 2 3 0 x x .

Μονάδες 13

4) Δίνεται η εξίσωση 2 2 4 1 0 x x , με παράμετρο R .

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης.

Μονάδες 8

β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε

R .

Μονάδες 8

γ) Αν 1 2,x x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια

τιμή του λ ισχύει 2

1 2 1 25 0 x x x x

Μονάδες 9

5) α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης 22 10 12 x x

Μονάδες 15

β) Να λύσετε την εξίσωση 22 10 12

02

x x

x

Μονάδες 10


143

6) Δίνεται η εξίσωση: 2 1 1 2 x με παράμετρο R

α) Να λύσετε την εξίσωση για 1 και για 1 .

Μονάδες 12

β) Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει μοναδική λύση; Να αιτιολογήσετε

την απάντησή σας.

Μονάδες 13

7) Δίνεται το τριώνυμο 2 5 x x , όπου R .

α) Αν μια ρίζα του τριωνύμου είναι ο αριθμός 0

1x , να προσδιορίσετε την

τιμή του λ.

Μονάδες 12

β) Για 3 , να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο.

Μονάδες 13

8) Δίνεται το τριώνυμο: 22 5 1 x x

α) Να δείξετε ότι το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες, 1

x και 2

x

Mονάδες 6

β) Να βρείτε την τιμή των παραστάσεων 1 2x x ,

1 2x x και

1 2

1 1

x x

Mονάδες 9

γ) Να προσδιορίσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς:

1

1

xκαι

2

1

x

Μονάδες 10

9) Δίνεται το τριώνυμο 2 3 1 3 x x

α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι:

2

3 1

Μονάδες 12

β) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο.

Μονάδες 13

10) Δίνεται η εξίσωση 2 1 6 0 x x , (1) με παράμετρο R .

α) Αν η παραπάνω εξίσωση έχει λύση το 1,να βρείτε το λ.

Μονάδες 13

β) Για 1 να λύσετε την εξίσωση (1)

Μονάδες 12

11) Θεωρούμε την εξίσωση 2 2 2 0 x x , με παράμετρο R .

α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες.

Μονάδες 10

β) Στην περίπτωση που η εξίσωση έχει δυο ρίζες1 2,x x , να προσδιορίσετε το λ

ώστε να ισχύει: 1 2 1 22 1 x x x x

Μονάδες 15


144

12) Δίνεται η εξίσωση: 2 ( 1) 1 0, x x με παράμετρο λ≠ 0 .

α) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό

2.

Μονάδες 12

β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε λ≠ 0.

Μονάδες 13

13) Δίνεται η εξίσωση 2( 2) 2 1 0, x x με παράμετρο λ 2.

Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγματικές

και άνισες.

Μονάδες 13

14) Δίνεται η εξίσωση 2( 2) 2 1 0, x x με παράμετρο λ 2.

α. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει δυο ρίζες

πραγματικές και άνισες.

Μονάδες 12

β. Αν 1,x

2x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης να βρείτε το λ ώστε

1x

23 x

Μονάδες 13

15) α) Να λύσετε την εξίσωση 2 3 x

Μονάδες 10

β) Να σχηματίσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες, τις ρίζες της

εξίσωσης του α) ερωτήματος.

Μονάδες 15

16) Δίνεται η παράσταση 2

2

4 4

2 3 2

x x

x x

α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο 22 3 2 x x .

Μονάδες 10

β) Για ποιες τιμές του x R ορίζεται η παράσταση K; Να αιτιολογήσετε την


Mονάδες 7

γ) Να απλοποιήσετε την παράσταση K.

Μονάδες 8

17) Δίνεται η εξίσωση: 2 22 5 2 0 x x (1) , με παράμετρο 0 .

α) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει ρίζες τις: 1

2x και 2

2x

.

Μονάδες 12

β) Αν 1 2,x x είναι οι ρίζες της (1), να εξετάσετε αν οι αριθμοί

1 2, ,x x με τη

σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και να

αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας.

Μονάδες 13


145

18) Δίνεται η εξίσωση 2 22 ( 4) 0 x x , (1) με παράμετρο R .

α) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει ρίζες τις: 1

2 x και 2

2 x

Μονάδες 12

β) Αν 1 2,x x είναι οι ρίζες της (1), να εξετάσετε αν οι αριθμοί

1 2, ,x x με τη

σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και να


Μονάδες 13

19) α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο 23 2 1 x x .

Μονάδες 8

β) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες έχει νόημα η παράσταση

2

1

3 2 1

xA x

x xκαι στη συνέχεια να την απλοποιήσετε.

Μονάδες 9

γ) Να λύσετε την εξίσωση 1A x

Μονάδες 8

20) α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο 2 2 3 x x

Μονάδες 8

β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2 2 3

1

x xf x

xκαι στη

συνέχεια να απλοποιήσετε τον τύπο της.

Μονάδες 9

γ) Να παραστήσετε γραφικά την παραπάνω συνάρτηση.

Μονάδες 8

21) Έστω , πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν:

2 και 2 2 30

α) Να αποδείξετε ότι: 15 .

Μονάδες 10

β) Να κατασκευάσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς

, και να τους βρείτε.

Μονάδες 15

22) Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν:

αβ = 4 και 2 2 20.

α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5.

Μονάδες 10

β) Να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς α, β, και

να τους βρείτε.

Μονάδες 15


146

23) Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν:

α +β = 1 και 3 2 2 32 12

α) Να αποδείξετε ότι: = 12.

Μονάδες 10

β) Να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς α, β και

να τους βρείτε.

Μονάδες 15

24) α) Να λύσετε την εξίσωση 22 6 0 x x (1)

Μονάδες 9

β) Να λύσετε την ανίσωση 1 2 x (2)

Μονάδες 9

γ) Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές του x που ικανοποιούν ταυτόχρονα τις

σχέσεις (1) και (2).

Μονάδες 7

25) Δίνονται οι αριθμοί: 1

5 5

A και

1

5 5

B


i) 1

2 A B

Μονάδες 8

ii) 1

20 A B

Μονάδες 8

β) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς Α και

Β.

Μονάδες 9

26) Δίνεται ορθογώνιο με περίμετρο Π = 20cm και εμβαδόν 224 .E cm

α) Να κατασκευάσετε μία εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ως ρίζες τα μήκη

των πλευρών αυτού του ορθογωνίου.

Μονάδες 15

β) Να βρείτε τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου.

Μονάδες 10

27) Δίνονται δύο πραγματικοί αριθμοί α ,β, τέτοιοι ώστε α + β =12 2 2 272.

α) Με τη βοήθεια της ταυτότητας 2 2 2( ) 2 , να δείξετε ότι

αβ = 64.

Μονάδες 8

β) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους

αριθμούς α, β .

Μονάδες 10

γ) Να προσδιορίσετε τους αριθμούς α ,β.

Μονάδες 7


147

28) Δίνονται οι αριθμοί 1

3 7

,

1

3 7

α) Να δείξετε ότι A + B = 3 και A B = 1

2

Μονάδες 12

β) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους

αριθμούς Α, Β.

Μονάδες 13

29) α) Να βρείτε για ποιες τιμές του x η παράσταση 2

2

2 1 1

1

x

x x x

έχει νόημα πραγματικού αριθμού.

Μονάδες 10

β) Για τις τιμές του x που βρήκατε στο α) ερώτημα, να λύσετε την εξίσωση: 2

2

2 1 10

1

x

x x x

Μονάδες 15

30) Δίνονται οι παραστάσεις 1

1

xA

xκαι

2

2

B

x x, όπου ο x είναι πραγματικός

αριθμός.

α) Να αποδείξετε ότι για να ορίζονται ταυτόχρονα οι παραστάσεις Α, Β

πρέπει: 1x και 0x

Μονάδες 12

β) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει A = B.

Μονάδες 13


148

4.1. Ανισώσεις 1ου βαθμού

Για να λύσουμε μία ανίσωση 1ου βαθμού ακολουθούμε την ίδια διαδικασία

που ακολουθούμε και σε μία εξίσωση με κρίσιμο σημείο το τελικό της στάδιο

που είναι η διαίρεση με τον συντελεστή του αγνώστου.

Αν είναι θετικός αριθμός τότε διαιρούμε και τα 2 μέλη με αυτόν διατηρώντας

τη φορά της ανίσωσης , ενώ αν είναι αρνητικός αριθμός διαιρούμε αλλά αλλά-

ζουμε τη φορά.


Να λυθεί η ανίσωση

3x 1 18x 2

< + 2x5 5 3

Βήμα 1

Κάνουμε απαλοιφή παρανομαστών πολλαπλασιάζοντας όλους τους όρους με το

Ε.Κ.Π αυτών.

3x 1 18x 2 3x 1 18x 2< + 2x 15 15 < 15 +15 2x

5 5 3 5 5 3

3(3x 1) 3 18x < 5 2+ 30x

Βήμα 2

Κάνουμε πράξεις –απαλοιφή παρενθέσεων - αναγωγή ομοίων όρων- χωρίζουμε

γνωστούς από αγνώστους

9x 3 54x < 10+ 30x 9x 54x 30x < 10+ 3

75x < 13

Βήμα 3. Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου

75 13 13

75x < 13 x > x >75 75 75

Προσοχή!!!

Όταν διαιρούμε και τα δύο μέλη μίας ανίσωσης με αρνητικό αριθμό

η φορά αλλάζει .


149

Αν μας ζητάνε να συναληθεύσουμε 2 ανισώσεις ,δηλαδή να βρούμε τις κοινές

τους λύσεις (αν υπάρχουν) ή να λύσουμε μία διπλή ανίσωση τότε λύνουμε την

κάθε μία ξεχωριστά και μετά με τη βοήθεια του άξονα των πραγματικών α-

ριθμών βρίσκουμε τις κοινές τους λύσεις .

Μορφή :

A(x) B(x)A(x) B(x) G(x)

B(x) G(x)


Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις

x + 1 x 2 x + 3< x x 3+

2 3 4

Λύση

Λύνουμε τη κάθε μία ανίσωση ξεχωριστά : x +1 x 2

< x2 3

και

x 2 x + 3x x 3+

3 4

x + 1 x 2< x 3(x + 1) < 6x 2(x 2) 3x + 3 < 6x 2x + 4

2 3

x < 1 x > 1

x 2 x + 3x x 3+ 12x 4(x 2) 12x 36 + 3(x + 3)

3 4

7x 3512x 4x + 8 12x 36 + 3x + 9 7x 35 x 5

7 7

Άρα οι κοινές τους λύσεις βρίσκονται στο διάστημα 5,

Γενικότερα

Κάθε ανίσωση που έχει την μορφή αx +β > 0 ή αx +β < 0 με α 0 λέγεται ανίσω-

ση 1ου βαθμού .

Η διαδικασία επίλυσης γενικά είναι η παρακάτω

αx +β > 0 αx +β β > β αx > β (1)

-1 5


150

Διακρίνουμε περιπτώσεις για τον συντελεστή του αγνώστου

Αν α 0 τότε η (1) γίνεται αx β β

αx β xα α α

Αν α 0 τότε η (1) γίνεται αx β β

αx β xα α α

Αν α 0 τότε η (1) γίνεται 0x β η οποία

α) αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό x αν ο αριθμός β είναι θετικός

(άρα ο –β αρνητικός)

β) είναι αδύνατη αν ο β είναι αρνητικός (άρα ο –β θετικός )


i. Η ανίσωση 0x > 5 είναι αδύνατη

ii. Η ανίσωση 0x < 2 αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό x

iii. H ανίσωση 0x < -2 είναι αδύνατη

iv. Η ανίσωση 0x > 6 αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό x


151

Ασκήσεις στις Ανισώσεις 1ου βαθμού–Κοινές λύσεις ανισώσεων 1) Να λυθούν οι ανισώσεις και να γράψετε και τα διαστήματα που έχουν ως

στοιχεία τις λύσεις των ανισώσεων:

α) 3 1 x 2 3 2x 1 x β) 2 x 1 3 x 2 x

γ) 2x 1 3 x 2 5 x 4 3x δ) 3 x 3 2 2x x 2

2) Να λυθούν οι ανισώσεις και να γράψετε και τα διαστήματα που έχουν ως


α) 2 x 3 10 1 3 x 5

β) 2 4x 5 3 x 3 5x 9(1 x)

γ) 6 x 2 5 3x 9 x 3 2x

δ) 3 x 3 2 x 7 4x x 1

ε) 2 2

x x 4 2 x 2 21 x 1

στ) 2

x 2x 1 2 2x 1 2x 1 4x



α)x 2

x 3 4x3

β)

3x 1 18x 22x

5 5 3

γ) 3x 2 5x 1 x

4 2 3

δ)

3x 2 2x 0,5 3

4 2 2



α) x 3 x 1 x 19

3 2 6

β)

2x 6 10x6x 2

3 3

γ) x 1 x 1 x 4 55

2 3 6 6

δ)

x 3 1x x x 1

2 10 5



α) 2x 3 x 2 1

3x 2x4 2 2

β) 7x 4 5

2 x 2 3x 5 x5 2

γ) x 4 2x 1

1 x3 3

δ) x 3 x 2 x 1

13 4 2


152

6) Να λύσετε τις ανισώσεις

α) 0 x 3 β) 0 x 2 γ) 0 x 3 δ) 0 x 2 ε) 0 x 0

στ) 0 x 0 ζ) 0 x 1 η) 0 x 1 θ) 0 x 6 ι) 0 x 5

7) Να βρείτε (αν υπάρχουν) οι κοινές λύσεις των ανισώσεων

α) 7x 18 2x 5

4 15 5

και

3 2x 27 6x 1x

2 5 5 20

β) 2 x x 2 x

14 3 6

και

2 x x1 x 1

2 2

γ) 3x 2 2(2x 4) 5x (x 3) 5(3 x) και 6x 8 2(3x 4)

δ) 7(x 2) 3(2x 4) 2(14x 4) 27x 5 και 5 x 3x 1 x 2

3 3 33 4 4

8) Να βρείτε (αν υπάρχουν) οι κοινές λύσεις των ανισώσεων

α) 6 8 2 x 2 x 3 και x 1 5x 4 2x 73

8x3 2 6

β) 3 x 2 2(x 1) x και x 3 7x 3 7 x

5 2 2

γ) 3x 1 2x 1

2 3

και 2 3x 1 x 2(x 5) 1

9) Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις και να γράψετε τα διαστήματα στα ο

ποία ανήκουν οι λύσεις τους:

α) 4 3x 2 7 β) 2 4 2x 6 γ) 3 2 x 3 9 6

10) Να βρείτε τα x για τα οποία ισχύει

3x 2 x 1 x 1 (4x 5) και 2(x 4) 5(x 1) 3x x 2

11) Να λυθεί η ανίσωση 2λ 2 x 4 λ για τις διάφορες τιμές του λ

12) Να λυθεί η ανίσωση λ(x 4) x(λ 2) 2x(λ 1) λ(x λ) για κάθε λ


153

Ανισώσεις με απόλυτα

Θυμάμαι τις 2 βασικές ιδιότητες

1η) A(x) <θ θ < A(x) < θ , όπου θ > 0 και Α(x) μία παράσταση που περιέχει

Την μεταβλητή x .


(i) x 1 < 7 7 < x 1< 7 7 +1< x 1+1< 7 +1 6 < x < 8

Δηλαδή x 6, 8

(ii) 2x 3 < 5 5 < 2x 3 < 5 5+ 3 < 2x 3+ 3 < 5+ 3

2 2x 8

2 < 2x < 8 < < 1< x < 4 x 1,42 2 2

2η) A(x) > θ A(x) > θ ή A(x) < θ , όπου θ > 0 και Α(x) μία παράσταση που

περιέχει την μεταβλητή x.


x + 3 > 3 x > 0

x + 3 > 3 ή ή x , 6 0, +

x + 3 < 3 x < 6

(i)

x + 3 2 x 1

x + 3 2 ή ή x , 5 1,+

x + 3 2 x 5


154

Ασκήσεις στις ανισώσεις με απόλυτα

1) Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις

α) x 5 β) x 8 γ) x 3 δ) x 6

ε) x 0


α) x 3 1 β) 6 7x 3 γ) 1 2x 11 δ) 3x 1 2

3) Να λύσετε τις ανισώσεις:

α) x 10 β) 4x γ) 3x δ) 0x

ε) 7x

4) Να λυθούν οι ανισώσεις:

α) 13x2 β) 53x

γ) 3

711x3 δ) 55x

ε) 03x5 στ) 72x5


α) 31x β) 21x

γ) 22x δ) 13x

ε) 07x στ) 21x

6) Να λυθούν οι ανισώσεις

α) 64x2 β) 32x γ) 64x2

δ) 22

5x3 ε) 3x25 στ) 4x31


α) x 2 4 β) 3x 6 3 γ) 1 3x 8 δ) 2x 7 5


α) x 8 β) x 2 γ) x 4

δ) x 5 ε) x 0 (στ) x 0


α) x 3 7 β) 3x 5 3 γ) 2x 9 3 δ) 1 3x 5


155


α) x 2 5 β) 2 x 9 γ) 5x 10 100 δ) 2x 1 7


α) x x1 2

6 3 2 3

β) 5 x 1 7 3 x 1 1

x 1 52 4

γ) 2 x 3 5 x 3 2 x 3 1

3 2 3

δ) 3x 2 2 6 3x 2 2 3x

22 2 3


α) 1x231x2 β) 13

2x11x

3

x12

γ) x314

11x3

2

31x32

δ) 5x

4

1x3

2

7x5

13) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει

α) 2 x 4 β) 2 x 3 5

γ) 3 x 1 5 δ) 1 3 2x 3

14) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων

α) x 1 5 και x 3 4

β) x 1 2 και 3x 3 12

γ) x 3 1 και 5x 10 10


α) 4 3 2x 3 2x 3 2 β) x 11 2 22 2x 23

6 5 12

γ) x 5 2 3x 15 63

4 5 12

δ) 1

3

2x11x

3

x12

16) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις

1 x 2 x 2

2 x 27 2

και

4 2x 2 x 22x 4 11

2 3


α) 1x1 β) 41x0 γ) 32x1

δ) 41x2 ε) 31x2 στ) 31x21


156

18) Να λυθούν οι ανισώσεις

α) 23

x32

2

2x36

4

42x32

β) 6

11x

6

1

3

1x

γ)

20

x163

3

10x

4

6x7

10

x33

2

3x

δ) 2x55

3xx213

4

x313x3


α) 115x31 β) 462x2

γ) 35x21 δ) 13x

ε) 84x2 στ) 2xx4xx 22

ζ) 231x2 η) 5x1x2

θ) 362x ι) 1x23x


α) 2x51x3x2 β) 12x1x

γ) xx21x δ) 2x3x

ε) 41x2x


157


1. Δίνεται η παράσταση x 4 x 1 x 4 x 1

α) Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Α; Να αιτιολογήσετε την


Μονάδες 12

β) Να αποδείξετε ότι η παράσταση Α είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη

του x.

Μονάδες 13

2. Δίνονται οι ανισώσεις 3x 1 x 9 και x 1

2 x2 2

.

α) Να βρείτε τις λύσεις τους.

Μονάδες 15

β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων.

Μονάδες 10

3. α) Να λύσετε την ανίσωση x 5 4 .

Μονάδες 10

β) Αν κάποιος αριθμός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδεί

ξετε ότι: 1 1

19 α

.

Μονάδες 15

4. α) Να λύσετε την ανίσωση x 5 2

Μονάδες 8

β) Να λύσετε την ανίσωση 2 3x 5 .

Μονάδες 8

γ) Να παραστήσετε τις λύσεις των δυο προηγούμενων ανισώσεων στον

ίδιο άξονα των πραγματικών αριθμών. Με τη βοήθεια του άξονα, να

προσδιορίσετε το σύνολο των κοινών τους λύσεων και να το

αναπαραστήσετε με διάστημα ή ένωση διαστημάτων.

Μονάδες 9

5. α) Να λύσετε την ανίσωση: 1

x 42

.

Μονάδες 9

β) Να λύσετε την ανίσωση: x 5 3 .

Μονάδες 9

γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτημάτων (α) και (β)

με χρήση του άξονα των πραγματικών αριθμών και να τις γράψετε με

τη μορφή διαστήματος.

Μονάδες 7


158

6. α) Να λύσετε την εξίσωση: 2x 4 3 x 1

Μονάδες 9

β) Να λύσετε την ανίσωση: 3x 5 1

Μονάδες 9

γ) Είναι οι λύσεις της εξίσωσης του (α) ερωτήματος και λύσεις της

ανίσωσης του (β) ερωτήματος; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Μονάδες 7

7. Αν ο πραγματικός αριθμός x ικανοποιεί τη σχέση:

x 1 2 ,

α) να δείξετε ότι x 3,1

Μονάδες 12

β) να δείξετε ότι η τιμή της παράστασης x 3 x 1

K4

είναι αριθμός

ανεξάρτητος του x.

Μονάδες 13


Μονάδες 8

β) Να βρείτε τους αριθμούς x που απέχουν από το 5 απόσταση μικρότερη

του 3.

Μονάδες 9

γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των (α) και (β).

Μονάδες 8

9. α) Να βρείτε για ποιες πραγματικές τιμές του y ισχύει y 3 1

Μονάδες 12

β) Αν x, y είναι τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράμ

μου, με

1 x 3 και 2 y 4 ,

τότε να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή του

εμβαδού Ε του ορθογωνίου.

Μονάδες 13

10. Για κάθε πραγματικό αριθμό x με την ιδιότητα 5 x 10 ,

α) να γράψετε τις παραστάσεις x 5 και x 10 χωρίς απόλυτες τιμές.

Μονάδες 10

β) να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

x 5 x 10A

x 5 x 10

Μονάδες 15


159

11. Δίνονται δύο τμήματα με μήκη x και y, για τα οποία ισχύουν x 3 2 και

y 6 4

α) Να δείξετε ότι: 1 x 5 και 2 y 10 .

Μονάδες 12

β) Να βρεθεί η μικρότερη και η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει η

περίμετρος ενός ορθογωνίου με διαστάσεις 2x και y.

Mονάδες 13


Μονάδες 12

β) Αν 1 α , να γράψετε την παράσταση 4 3 α χωρίς απόλυτες

τιμές. Να αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας.

Μονάδες 13

13. Δίνεται πραγματικός αριθμός x για τον οποίο ισχύει:

x - 2 < 3

α) Να αποδείξετε ότι: -1< x < 5 Μονάδες 12

β) Να απλοποιήσετε την παράσταση: x 1 x 5

3

Μονάδες 13

14. Δίνονται πραγματικοί αριθμοί y, για τους οποίους ισχύει: y - 2 <1.

α) Να αποδείξετε ότι: y ∈ (1, 3)

Μονάδες 12

β) Να απλοποιήσετε την παράσταση: y 1 y 3

2

Μονάδες 13

15. α) Να λύσετε τις ανισώσεις και να παραστήσετε τις λύσεις τους στον

άξονα των πραγματικών αριθμών:

i) 2x - 3 £ 5

Μονάδες 9

ii) 2x - 3 ³1

Μονάδες 9

β) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι παραπάνω

ανισώσεις.

Μονάδες 7

16. Αν για τον πραγματικό αριθμό x ισχύει 2x 1 1 , τότε:

α. Να αποδείξετε ότι 0 <x < 1

Μονάδες 15

β. Να διατάξετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους αριθμούς 1, x, x2

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 10


160

17. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις και να παραστήσετε τις λύσεις τους στον

άξονα των πραγματικών αριθμών:

i. 1 2x 5 και

Μονάδες 12

ii. 1 2x 1

Μονάδες 13

18. Για τον πραγματικό αριθμό x ισχύει d(2x, 3) = 32x

α) Να αποδείξετε ότι: x £

3

2.

Μονάδες 12

β) Αν x £

3

2, να αποδείξετε ότι η παράσταση K 2x 3 2 3 x

είναι ανεξάρτητη του x.

Μονάδες 13

19. α) Να βρείτε για ποιες πραγματικές τιμές του y ισχύει y 3 1

Μονάδες 12

β) Αν x, y είναι τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράμ

μου, με

1 x 3 και 2 y 4 ,

τότε να αποδείξετε ότι 6 14 , όπου Π είναι η περίμετρος του ορθο

γωνίου.

Μονάδες 13

20. Δίνεται η παράσταση 2A x 4 x 4


απάντησή σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιμών του x σε

μορφή διαστήματος.

Μονάδες 12

β) Αν x 4 , να αποδείξετε ότι: 2A A 2 10 5

Μονάδες 13

21. Δίνεται η παράσταση 4 4A 1 x x


απάντησή σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιμών του x σε

μορφή διαστήματος.

Μονάδες 13

β) Αν x 3 , να αποδείξετε ότι: 3 2A A A 1 0

Μονάδες 12


161

22. Δίνεται το τριώνυμο 2x 2x 8

α) Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου για τις διάφορες τιμές του

πραγματικού αριθμού x.

Μονάδες 9

β) Αν 8889

κ ,4444

είναι τιμή της παράστασης 2κ 2κ 8 τότε να βρείτε το

πρόσημο της για την τιμή αυτή του κ

Μονάδες 8

γ) Αν ισχύει 4 μ 4 τι μπορείτε να πείτε για το πρόσημο της

παράστασης 2μ 2 μ 8 . Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.

Μονάδες 8


162

4.2. Ανισώσεις 2ου βαθμού

Παραγοντοποίηση τριωνύμου

Κάθε παράσταση της μορφής 2αx + βx + γ, α 0 λέγεται τριώνυμο 2ου βαθμού

ή απλά τριώνυμο.

Διακρίνουσα του τριωνύμου λέγεται η ποσότητα 2Δ = β 4 α γ της αντίστοι-

χης εξίσωσης 2αx + βx + γ = 0, α 0 .

Οι ρίζες αν υπάρχουν της εξίσωσης 2αx + βx + γ, α 0 ονομάζονται και ρίζες

του τριωνύμου και είναι 1

β + Δx =

2α

και 2

β Δx =

2α

Μέθοδος συμπλήρωσης τετραγώνου

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2

β γαx βx γ α(x x )

α α

β γ =α(x 2 x )

2α α

β β β γ =α x 2 x

2α 2α 2α α

β β 4αγ =α x

2α 4α

β Δ =α x

2α 4α

2

Στην τελευταία μορφή διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις

(i) Αν Δ 0 τότε 2

Δ Δ οπότε

22

1 2

β Δ β Δ β Δα x α x x

2α 2α 2α 2α 2α 2α

β Δ β Δα x x α x x x x

2α 2α

Όπου 1 2x , x οι ρίζες του τριωνύμου

(ii) Αν Δ 0 τότε 2

2 βαx βx γ α x

2α

(iii) Αν Δ 0 τότε Δ Δ επομένως

2

2

2

Δβαx βx γ α x

2α 4α


163

και επειδή

2

2

Δβx 0

2α 4α

το τριώνυμο δεν αναλύεται σε γινόμενο

πρώτων παραγόντων .

Άρα συνοψίζοντας τα παραπάνω έχουμε στον επόμενο πίνακα φαίνεται ο τρόπος

που ένα τριώνυμο αναλύεται (αν αναλύεται) σε γινόμενο παραγόντων.

Αν Δ 0 2

1 2αx βx γ α x x x x

Αν Δ 0 2

2 βαx βx γ α x

2α

Αν Δ 0 Δεν παραγοντοποιείται


1) Το τριώνυμο 2x + 4x 5 έχει διακρίνουσα 2Δ= 4 4 1 -5 = 16+20 = 36 > 0 ,

επομένως έχει ρίζες 1

4+ 6x = = 1

2

και 1

4 6x = = 5

2

Επομένως 2x + 4x 5 = 1 x 1 x + 5

2) Το τριώνυμο 2x 6x + 9 έχει διακρίνουσα 2Δ= 6 4 1 9 = 36 36 = 0 άρα

β 6

= = 32α 2

οπότε

22x 6x + 9 = x 3

3) To τριώνυμο 23x 7x + 2 έχει διακρίνουσα 2Δ = ( 7) 4 3 2 = 49 24 = 25 > 0

και οι ρίζες του τριωνύμου είναι 1

7 + 5x = = 2

6 και 2

7 5 1x = =

6 3

άρα το

τριώνυμο αναλύεται ως γινόμενο πρωτοβάθμιών παραγόντων ως εξής

2 13x 7x + 2 = 3 x 3 x

3


164

Ασκήσεις στις ανισώσεις 2ου βαθμού

Παραγοντοποίηση τριωνύμου 1) Να παραγοντοποιήσετε όσα από τα παρακάτω τριώνυμα μπορούν να

παραγοντοποιηθούν.

α) 2x x 2 β) 22x x 1 γ) 2x x 6

δ) 2x 8x 16 ε) 29x 6x 1 στ) 21x 2x 5

5

ζ) 24x x 1 η) 2x 5x 6

2) Να παραγοντοποιηθούν όσα από τα παρακάτω τριώνυμα μπορούν να

παραγοντοποιηθούν

α) 225x 10x 1 β) 22x x 6

γ) 2x 7x 10 δ) 29x 9x 2

ε) 218x 12x 2 στ) 212x 60x 75

ζ) 28x 56x 98 η) 220x 60x 45

3) Να παραγοντοποιήσετε αν είναι δυνατόν τα τριώνυμα:

α) 10x3x)x(f 2 β) 7x6x)x(f 2

γ) 12xx)x(f 2 δ) 12x8x4)x(f 2

ε) 8x2x3)x(f 2 στ) 5x9x2)x(f 2

ζ) 52

7xx2)x(f

η) 5x18x8)x(f 2

4) Να γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις:

α) 322 β2αββα β) α2β3,6)β3α2(5)α2β3( 2

γ) αx)1α(x2 δ) 222 βα9xα6x

ε) 22 β3αβ2α στ) 0αβ,1x)βα(xαβ 2

ζ) 222 βαxα2x η) β2α,12)αβ2(7)β2α( 2

θ) 22 β20αβα ι) 01xβx)βα(α 2 με α 0, α -β

5) Να παραγοντοποιηθούν τα τριώνυμα:

α) 22 βαβ3xα3x)x(f

β) αβx)βα(x)x(f 2

γ) 4433222 βαx)βα(4x)βα(4)x(f

6) Να απλοποιηθούν τα παρακάτω κλάσματα εφόσον πρώτα βρείτε για ποιες

τιμές του x ορίζονται .

α) 2

2

x 7x 12

x x 12

β)

2

2

x 3x 18

3x 3x 18

γ)

2

2

x 16

x 5x 4

δ) 2

2

x 6x 5

6x 9x 3

ε)

2

3 2

x 1

x x 2x

στ)

2

2

2x 7x 3

x 2x 3


165

7) Να απλοποιηθούν τα κλάσματα εφόσον πρώτα βρείτε για ποιες τιμές του x

ορίζονται .

α) 2

2

x x 2

x 5x 6

β)

2

2

3x x 2

3x 8x 4

γ)

2

2

10x 7x 1

5x 9x 2

δ) 2

2

3x 11x 6

6x 13x 6

8) Να απλοποιηθούν τα κλάσματα εφόσον πρώτα βρείτε για ποιες τιμές του x


α) 2

2

6x 5x 1

6x x 1

β)

2

2

3x 5x 8

2x 3x 1

γ)

3 2

2

3x 19x 14x

6x x 1

δ) 2 2

2 2

x 3yx 2y

x 2xy 8y

9) Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις εφόσον πρώτα βρείτε για ποιες τιμές του x


24x14x2

20x9xA

2

2

1x4x4

xxx6Z

2

23

1x3x2

2x3xB

2

2

1xx2

2xx6H

2

2

2xx

1xΓ

2

2

12x3

4x2x2Θ

2

2

10) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις

α) 4 2x 10x 9 β) 4 2x 3x 4

γ) 2x 1 3 x 3 δ) 2x 2 5 x 10

11) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις

α) 2 2x 3αx 2α β) 2 2 2x 2αx α β

γ) 24x (α 2)x 2 δ) 2α 1 x x α

12) Να απλοποιηθούν οι παρακάτω παραστάσεις

2

2

x α 2β x 2αβA

2x (2α 1)x α

2 2

2

x 2αx α x αB

αx (α 1)x 2α 1

13) Να απλοποιηθούν οι παρακάτω παραστάσεις

2x 6x 5

Ax 5

2

2

6x x 1B

10x x 2

14) Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις:

1α

4αα5A

3

2

6α3α3

6α7α2Β

24

24


166

α2x)2α(x

αβx)βα(xΓ

2

2

22

2222

α3xαx2

)αx)(αx(Δ

22

22

αxαx2

αxα2xE

)βα(βxαx

)β2αβα(x)βα2(xΖ

2

222

22

22

yxyx2

y5xy7x6Η

)β1(β2)1β(αα

2)βα(3)βα(Θ

2

2

22

22

y6xy5x

y2xy3xΙ

)β3α2(3x)3β3α2(x

)βα(3x)3βα(xΚ

2

2


167

Πρόσημο τριωνύμου

O τρόπος που παραγοντοποιείται ή όχι ένα τριώνυμο μας βοηθάει να βρούμε ένα

κανόνα για να μπορούμε να βρίσκουμε τα διαστήματα που το τριώνυμο παίρνει

θετικές ή αρνητικές τιμές.

Για παράδειγμα στην πρώτη περίπτωση όπου Δ 0 το τριώνυμο παραγοντοποιεί-

ται ως εξής: 2

1 2αx βx γ α x x x x (1)

Ας υποθέσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι 1 2x x τότε:

Αν 1 2x x x ισχύει 1x x 0 και 2x x 0 οπότε το

1 2x x x x 0 άρα το πρόσημο του τριωνύμου με βάση την (1) καθορίζεται

από το α ,τον συντελεστή του 2x ,επομένως αν α 0 τότε 2αx βx γ 0 ενώ αν

α 0 τότε 2αx βx γ 0


1 2x x x x 0 άρα το πρόσημο του τριωνύμου με βάση την (1) καθορίζεται

από το α ,τον συντελεστή του 2x ,επομένως αν α 0 τότε 2αx βx γ 0 ενώ αν

α 0 τότε 2αx βx γ 0

Παρατηρούμε ότι στα διαστήματα 1 2, x x , το πρόσημο του τριωνύμου

είναι ΟΜΟΣΗΜΟ του α


1 2x x x x 0 επομένως το γινόμενο 1 2α x x x x θα έχει πρόσημο

ετερόσημο του α .

Άρα στο διάστημα 1 2x , x το πρόσημο του τριωνύμου είναι ΕΤΕΡΟΣΗΜΟ του α

Αν Δ 0 τότε 2

2 βαx βx γ α x

2α

Ισχύει 2

βx 0

2α

για κάθε

βx

α άρα αν α 0 τότε

2αx βx γ 0 ενώ αν

α 0 τότε 2αx βx γ 0 ,δηλαδή το πρόσημο του τριωνύμου στη περίπτωση ό-

που Δ 0 είναι παντού ΟΜΟΣΗΜΟ του α

x β

2α

αx2 + βx+ γ Ομόσημο του α Ομόσημο του α

x x1 x2

αx2 + βx +γ Ομόσημο του α Ετερόσημο του

α Ομόσημο του α


168

Αν Δ 0 τότε

2

2

2

Δβαx βx γ α x

2α 4α

και επειδή

2

2

Δβx 0, x

2α 4α

τότε το πρόσημο του τριωνύμου είναι και πάλι

ΟΜΟΣΗΜΟ του α


Να βρεθεί το πρόσημο των παρακάτω τριωνύμων για τις διάφορες τιμές του

x

(α) 2x 2x 15 (β) 24x + 4x+ 1 γ) 2x + x + 3

Απάντηση

(α) Για το 2x 2x 15 ισχύει Δ = 64 > 0 άρα το τριώνυμο έχει 2 ρίζες τις 1x = 5

και 1x = 3 επομένως το πρόσημό του φαίνεται στον παρακάτω πίνακα

x – 3 5

x2 – 2x – 15 + - +

Παρατηρώντας τον παραπάνω πίνακα προκύπτει :

2x 2x 15 > 0 για κάθε x , 3 3, +

2x 2x 15 < 0 για κάθε x 3,5

2x 2x 15 = 0 όταν x = 5 ή x = –3

(β) Για το 24x + 4x + 1 ισχύει ότι 224x + 4x + 1 = 2x + 1 0, x

Άρα 24x + 4x + 1 > 0 για κάθε

1 1x , ,

2 2 ενώ

2 14x + 4x + 1 = 0 x =

2 , σχηματικά φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

x

1

2

24x + 4x + 1 + +

(γ) Για το 2x + x + 3 ισχύει Δ= 11< 0 άρα 2x + x + 3 > 0, x


169

Ασκήσεις στις ανισώσεις 2ου βαθμού – Πρόσημο τριωνύμου 1) Να βρείτε το πρόσημο των παρακάτω τριωνύμων:

α) 2

1f (x) x 4x 5 β) 2

2f (x) 2x x 1

γ) 2

3f (x) x 6x 9 δ) 2

4f (x) x 3x 4

ε) 2

5f (x) x 4x 5 στ) 2

6f (x) x 3x 4

2) Να βρείτε το πρόσημο των παρακάτω τριωνύμων:

α) 2

1f (x) x 3x 2 β) 2

2f (x) 2x 4x

γ) 2

3f (x) x 4x 4 δ) 2

4f (x) x x 2

ε) 2

5f (x) x 5x 6 στ) 2

6f (x) x 5x 13

3) Να βρείτε το πρόσημο των παρακάτω τριωνύμων:

α) 1xx2 2 β) αβx)βα(x2 γ) 9x6x2

δ) 2

1xx3 2 ε) 5x

2

1x2

4) Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις:

α) 2x 25 β) 29x 1 0 γ) 2x 3 0

δ) 22x 4 0 ε) 2x 16 0


α) 4x2 β) 03x5x2 2

γ) x6x2 δ) )2x(2x)5x( 2

ε) 04x5x2 στ) 55)5x)(4x(

ζ) 0x4x2 θ) x129x4 2

ι) 09x6x2 ια 2x35x4


α) 25x 10x 0 β) 2x x 0 γ) 22x 7x 0

δ) 27x 6x 0


α) 2x 9 β) 24x 1 0 γ) 2x 4 0

δ) 26x 10 0 ε) 2x 49 0


α) 2x 4x 0 β) 22x x 0 γ) 2x 10x 0

δ) 25x 4x 0


α) 2x 9x 14 0 β) 2x x 9 0

γ) 2x 4 0 δ) 2x 9x 18 0


170


α) 2x 3x 2 0 β) 2x 4x 4 0

γ) 2x 6x 9 0 δ) 2x 10x 25 0


α) 23x 5x 2 0 β) 2x x 1 0

γ) 2x 2x 1 0 δ) 2x x 2 0


α) 0βαβα 22 β) 0βγαγαβγβα 222

13) Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου 22 α3xαx7)x(f (αR).

14) Να βρείτε για ποιες τιμές του x το τριώνυμο 3x5x2)x(f 2 έχει τιμές

θετικές και για ποιες αρνητικές.

15) Να αποδείξετε ότι )xκ2(xκ3x2 για κάθε κ, xR.

16) Δίνεται η εξίσωση 2x 2α 1 x 1 2α 0,α

α) Να βρεθεί η διακρίνουσα και να μελετηθεί το πρόσημο της

β) Για ποιες τιμές του α η εξίσωση :

i. έχει δύο άνισες ρίζες

ii. έχει διπλή ρίζα

iii. είναι αδύνατη στο

17) Δίνεται η εξίσωση 4x(x λ) λ 8(x 1) (1)

α) Να βρεθεί το πρόσημο της διακρίνουσας της παραπάνω εξίσωσης

β) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης (1) για τις διάφορες τιμές

του λ .

18) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2 2λ 1 x λ 1 x 1 0 είναι αδύνατη για

κάθε λ

19) Να βρεθούν οι τιμές του λ ,ώστε η εξίσωση

2λ 1 x 3(λ 1)x λ 4 0,λ 1 να έχει άνισες ρίζες στο

20) Να βρεθούν οι τιμές του λ ,ώστε η ανίσωση 24x 3(λ 2)x 1 0 να

αληθεύει για όλες τις πραγματικές τιμές του x

21) Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 2x λx 2λ 3 0 για τις διά

φορες τιμές του λ


171

22) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η ανίσωση 22x 3x λ 1 0 να

αληθεύει για κάθε x

23) Να αποδείξετε ότι 2x 3 κx(2 κx) για κάθε κ,x

24) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες είναι αρνητικά τα τριώνυμα:

α) 1λx3x2)x(f 2 β) 2λx)1λ(2x)1λ()x(f 2

25) Για ποιες τιμές του μ το τριώνυμο )μ25(x3x2 2 παίρνει μη αρνητικές

τιμές;

26) Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν ρίζες άνισες:

α) 0)1α(xα2x2 β) λ71xλ10x2 2

γ) 1μx4xμ 2 , (μ 0)

27) Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού λ το τριώνυμο

2λx 2(λ 2)x λ 2 0 έχει σταθερό πρόσημο

28) Αν α 1 ,να αποδείξετε ότι το τριώνυμο 2 2x (α 1)x α α 2 παίρνει

θετικές τιμές για κάθε x

29) Να βρεθεί το πρόσημο του γινομένου 2P(x) 3 x x 4x 3

30) Να βρεθεί το πρόσημο του γινομένου 2 2P(x) x 1 x x 2 2 x

31) Να βρεθεί το πρόσημο του γινομένου 2P(x) x 2 2x 1 x 6x


α) 0)1x3)(2x)(1x)(1x(

β) 0)6x5x)(2x3x( 22

γ) 0)5x3x2)(1xx)(x2( 22


α) 0)9x)(2x)(1x( 22 β) 0)3x)(x6x2)(x4( 22

γ) 0)12x7x)(x3()2x( 22


α) 0)15x2x)(2x( 2 β) 0)12x7x)(x1( 2

γ) 0)6xx)(x4x( 22 δ) 0)8x2x)(9x( 22

ε) 0)x1)(6x5x)(2x3x( 222 στ) 0)10x)(4xx5)(1x( 23


172


1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις 2x 5 3 και 22x x 1 0 .

Μονάδες 16

β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήματος α).

Μονάδες 9

2. Δίνεται το τριώνυμο 22x 3x 1 .

α) Να βρείτε τις ρίζες του.

Μονάδες 10

β) Να βρείτε τις τιμές του x R για τις οποίες 22x 3x 1 0 .

Μονάδες 5

γ) Να εξετάσετε αν οι αριθμοί 3

2 και

1

2είναι λύσεις της ανίσωσης

22x 3x 1 0

Μονάδες 10

3. α) Να λύσετε την εξίσωση x 1 x 1 4 2

3 5 3

Μονάδες 9

β) Nα λύσετε την ανίσωση 2x 2x 3 0 Μονάδες 9

γ) Να εξετάσετε αν οι λύσεις της εξίσωσης του (α) ερωτήματος είναι και

λύσεις της ανίσωσης του (β) ερωτήματος.

Μονάδες 7

4. Δίνονται οι ανισώσεις 2x 5x 6 0 (1) και 2x 16 0 (2)

α) Να βρεθούν οι λύσεις των ανισώσεων (1), (2).

Μονάδες 12

β) Να παρασταθούν οι λύσεις των ανισώσεων (1) και (2) πάνω στον άξονα

των πραγματικών αριθμών και να βρεθούν οι κοινές λύσεις των παρα

πάνω ανισώσεων.

Μονάδες 13

5. Δίνεται πραγματικός αριθμός x, για τον οποίο ισχύει: d x, 2 1 .

Να δείξετε ότι:

α) 3 x 1

Mονάδες 10

β) 2x 4x 3 0

Mονάδες 15

6. α) Να λύσετε την ανίσωση: 2x 10x 21 0

Μονάδες 12

β) Δίνεται η παράσταση 2A x 3 x 10x 21


173

i) Για 3 x 7 , να δείξετε ότι 2A x 11 24

Μονάδες 8

ii) Να βρείτε τις τιμές του x 3,7 ,για τις οποίες ισχύει A 6

Μονάδες 5

7. α) Να λύσετε την ανίσωση 23x 4x 1 0

Μονάδες 12

β) Αν ,αβδυο αριθμοί που είναι λύσεις της παραπάνω ανίσωσης, να από

δείξετε ότι ο αριθμός 3 6

9

είναι επίσης λύση της ανίσωσης.

Μονάδες 13

8. α) Να λυθεί η εξίσωση 2x x 2 0

Μονάδες 8

β) Να λυθεί η ανίσωση 2x x 2 0 και να παραστήσετε το σύνολο

λύσεών της στον άξονα των πραγματικών αριθμών.

Μονάδες 12

γ) Να τοποθετήσετε το 4

3 στον άξονα των πραγματικών αριθμών. Είναι

το 4

3 λύση της ανίσωσης του ερωτήματος (β); Να αιτιολογήσετε την


Μονάδες 5

9. α) Να αποδείξετε ότι 2x 4x 5 0 , για κάθε πραγματικό αριθμό x.

Μονάδες 10

β) Να γράψετε χωρίς απόλυτες τιμές την παράσταση

2 2B x 4x 5 x 4x 4

Μονάδες 15

10. Δίνεται το τριώνυμο: f (x) = 3x2 + 9x -12 , x∈ℝ

α) Να λύσετε την ανίσωση f (x) 0 και να παραστήσετε το σύνολο των

λύσεών της στον άξονα των πραγματικών αριθμών.

Μονάδες 13

β) Να ελέγξετε αν ο αριθμός 23 είναι λύση της ανίσωσης του

ερωτήματος (α). Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Μονάδες 12

11. Δίνεται το τριώνυμο: x2 - kx - 2, με κ R

α) Να αποδείξετε ότι Δ ≥ 0 για κάθε κ R , όπου Δ η διακρίνουσα του

τριωνύμου.

Μονάδες 13

β) Αν x

1,

x

2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης x

2 - 3x - 2 = 0 (1):

i. Να βρείτε το άθροισμα S = x

1+ x

2 και το γινόμενο

P = x

1 x

2 των


174

ριζών της (1).

ii. Να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθμού που να έχει ρίζες r

1,

r

2,

όπου r

1= 2x

1 και

r

2= 2x

2.

Μονάδες 12

12. Δίνονται οι παραστάσεις A = x - 2( )

2

και 33Β (2 x) , όπου x

πραγματικός αριθμός

α) Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση A;

Μονάδες 7

β) Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση B;

Μονάδες 8

γ) Nα δείξετε ότι, για κάθε x £ 2, ισχύει A=B.

Μονάδες 10

13. Δίνεται η παράσταση 2 2x 4x 4 x 6x 9

Kx 2 x 3

α) Να βρεθούν οι τιμές που πρέπει να πάρει το x, ώστε η παράσταση K να

έχει νόημα πραγματικού αριθμού.

Μονάδες 12

β) Αν 2 x 3 , να αποδείξετε ότι η παράσταση K σταθερή, δηλαδή

ανεξάρτητη του x.

Mονάδες 13

14. Δινεται η εξισωση x2 - 2 l -1( )x + l + 5 = 0 (1), με παράμετρο R

α. Να δείξετε οτι η διακρινουσα της εξίσωσης (1) είναι D = 4l2 -12l -16

Μοναδες 7

β. Να βρειτε τις τιμες του R , ώστε η εξίσωση να έχει δυο ρίζες

πραγματικές και άνισες.

Μοναδες 10

γ. Αν η εξισωση (1) εχει ριζες τους αριθμους 1x , 2x και 1 2d x ,x ειναι η

απόσταση των 1x , 2x στον αξονα των πραγματικών αριθμων, να βρειτε

για ποιες τιμες του λ ισχυει d x1,x2( ) = 24

Μοναδες 8

15. Δινεται η εξισωση l + 2( )x2 + 2l + 3( )x + l - 2 = 0 (1) , με παραμετρο 2

α. Να δειξετε οτι η διακρινουσα της εξισωσης (1) ειναι D =12l + 25

Μοναδες 6

β. Να βρειτε τις τιμες του 2 , ωστε η εξισωση (1) να εχει δυο ριζες

πραγματικες και ανισες.

Μοναδες 7

γ. Να εκφράσετε ως συνάρτηση του λ το άθροισμα των ριζων S = x1 + x2

και το γινομενο των ριζων 1 2P x x .

Μοναδες 4

δ. Να εξετασετε αν υπαρχει τιμη του λ ωστε για τις ριζες 1 2x , x της

εξισωσης (1) να ισχυει η σχεση 2 2

1 2 1 2x x 1 x x 3 0

Μοναδες 8


175

5.1. Ακολουθίες

Η έννοια της ακολουθίας

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να διανύσουμε μια απόσταση 10 μέτρων έχοντας

τον εξής περιορισμό: «κάθε μέρα θα διανύουμε το μισό της απόστασης που

μας έχει μείνει»

Έτσι την 1η μέρα θα κάνουμε 1

10 5 m2

2η μέρα θα κάνουμε 2

1 1 110 10

2 2 2

3η μέρα θα κάνουμε 2 3

1 1 110 10

2 2 2

Γενικά τη νιοστή μέρα θα κάνουμε ν

110

2

Δηλαδή κάθε θετικός ακέραιος ν αντιστοιχίζεται στον πραγματικό αριθμό ν

110

2

Μια τέτοια αντιστοίχιση ονομάζεται ακολουθία πραγματικών αριθμών.

Γενικά ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών

αριθμών 1, 2, 3, …, ν στους πραγματικούς αριθμούς.

Ο πραγματικός αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 1, ονομάζεται πρώτος όρος

της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως α1 και ο πραγματικός αριθμός

στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 ονομάζεται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον

συμβολίζουμε συνήθως α2.

Έτσι ο πραγματικός αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ένας φυσικός αριθμός ν

λέγεται ν-οστός ή γενικός όρος της ακολουθίας και συμβολίζεται συνήθως με

αν.

Έτσι: 11 α

22 α

3

ν

3 α

ν α

Την ακολουθία τη συμβολίζουμε (αν).


176


Η ακολουθία με γενικό όρο αν = 3ν + 2 έχει

1ο όρο 1α = 3 1+ 2 = 5

2ο όρο 2α = 3 2+ 2 = 8

3ο όρο 3α = 3 3+ 2 = 1 ....

Το ν μας «λέει» ποιος όρος είναι, ενώ ο (αν) μας «λέει» πόσο κάνει ο ν-όρος.


Η ακολουθία με γενικό όρο αν = -3ν2 + 2ν έχει

1ο όρο 1α = -3 1+ 2 1 = -1

2ο όρο 22α = -3 2 +2 2 = -8

3ο όρο 21α = -3 3 +2 3 = -21 ....

Το ν μας «λέει» ποιος όρος είναι, ενώ ο (αν) μας «λέει» πόσο κάνει ο ν-όρος.

Υπάρχουν ακολουθίες όπου ο γενικός τους όρος μπορεί να βρεθεί.

Π.χ. 1, 4, 9, 16, 25, …

25

ο

ο 2

ο 2

ο 2

ο 2

1 1

2 4 = 2

3 9 = 3

4 16 = 4

2 = 5

Άρα 2να = ν

Υπάρχουν όμως ακολουθίες όπου ο γενικός τους όρος είναι δύσκολο να βρεθεί

με κάποιο μαθηματικό τύπο.

Π.χ. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,33, …

1

2

3 1 2

4 2 3

α = 1

α = 1Δηλαδή κάθε όρος της με εξαίρεση τους 2 πρώτους

α = α +απροκύπτει από το άθροισμα των 2 προηγούμενων.

α = α +α

Έτσι ν+2 ν+1 να = α + α

Για την παραπάνω ακολουθία δεν γνωρίζουμε τον γενικό της όρο, γνωρίζουμε

όμως έναν τύπο ο οποίος ονομάζεται ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ

Γενικά αναδρομικός τύπος είναι κάθε τύπος που συνδέει το νιοστό όρο της

ακολουθίας με προηγούμενους ή επόμενους όρους.


177

Σημαντική παρατήρηση

Για να ορίζεται μια ακολουθία αν αναδρομικά πρέπει να γνωρίζουμε:

Τον αναδρομικό τύπο της.

Όσους αρχικούς όρους χρειαζόμαστε ώστε ο αναδρομικός τύπος να αρχί-

σει να δίνει τους επόμενους όρους.

Πώς ορίζεται αναδρομικά μια ακολουθία

όταν γνωρίζουμε τον γενικό της όρο


Να ορίσετε αναδρομικά την ακολουθία αν = 6ν - 10

Λύση

Βρίσκουμε τον 1ο όρο:

Για ν = 1 έχουμε α1 = 6 – 10 1α 4

ν+1 ν+1 ν+1α = 6 ν + 1 10 α = 6ν + 6 10 α = 6ν 4

Βρίσκω τη διαφορά αν + 1 – αν

Επομένως έχουμε:

ν+1 να α = 6ν 4 6ν 10

= 6ν 4 6ν + 10 =

= 6ν + 6 6ν =

= 6

Άρα ν+1 να α = 6

ν+1 ν 1α α + 6 με α 4

Πώς βρίσκουμε τον νιοστό όρο μιας ακολουθίας

η οποία ορίζεται αναδρομικά


Να βρείτε τον νιοστό όρο των ακολουθιών α1 = 3 και αν + 1 = αν + 8

Λύση

1

2 1

3 2

ν ν-1

α = 3

α = α + 8

α = α + 8

α = α + 8

Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε:

να = 3+ ν -1 8

να = 8ν 5


178

5.2. Αριθμητική πρόοδος

Ορισμός

Μια ακολουθία (αν) λέγεται αριθμητική πρόοδος (Α.Π.) αν κάθε όρος της,

με εξαίρεση τον πρώτο, προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση

του ίδιου αριθμού.

Ο αριθμός αυτός ονομάζεται διαφορά της προόδου και συμβολίζεται με ω.

Δηλαδή:

Η (αν) είναι Α.Π. αν και μόνο αν ν 1 να α ω ή ν 1 να α ω


Αν ω = 0 τότε η Α.Π. λέγεται σταθερή.

Γενικός όρος μιας Α.Π.

Ισχύει: 1 1α α

2 1α α ω

3 2α α ω

4 3

ν ν 1

α α ω

α α ω

Προσθέτω κατά μέλη

1 2 3 ν 1 2 3 ν 1α α α ... α 2α α α ... α ν 1 ω , άρα

ν 1α α ν 1 ω

Ο τύπος ν 1α α ν 1 ω μας βοηθάει:

α. Να βρίσκουμε οποιονδήποτε όρο μιας Α.Π. αν είναι γνωστό ο πρώτος

όρος και η διαφορά ω.

β. Να βρίσκουμε τον 1ο όρο και τη διαφορά ω αν είναι γνωστοί δύο

οποιοιδήποτε όροι της.

γ. Να βρίσκουμε αν υπάρχει όρος της, ο οποίος αντιστοιχεί σε κάποιον

δοσμένο αριθμό, και αν ναι να τον βρίσκουμε.


Δίνεται η Α.Π. 2, 7, 12, …

α. Να βρείτε τον α15.

β. Να εξετάσετε αν υπάρχει όρος της που να ισούται με 209.

Λύση

α. 1α 2 και 2 1ω α α ω 7 2 ω 5

ν 1 15 15 15α α ν 1 ω α 2 15 1 5 α 2 14 5 α 72

β. Έστω ότι υπάρχει ν τέτοιος ώστε αν = 209

Τότε 1α ν 1 ω 209 2 ν 1 5 209


179

212

2 5ν 5 209 5ν 212 ν5

Από τον ορισμό της ακολουθίας πρέπει *ν , όμως το *212

5 , άρα δεν

υπάρχει όρος της Α.Π. που να ισούται με 209.

Αριθμητικός μέσος

Θεώρημα

Αν α, β, γ διαδοχικοί όροι μιας Α.Π. τότε α+ γ

β=2

και αντιστρόφως αν για

οποιουσδήποτε τρεις αριθμούς α, β, γ ισχύει α+ γ

β=2

τότε οι αριθμοί αυτοί

αποτελούν διαδοχικούς όρους μιας Α.Π.

Απόδειξη

Αν α, β, γ διαδοχικοί όροι μιας Α.Π. τότε ισχύει β – α = ω (1) και γ – β =

ω (2), όπου ω η διαφορά της προόδου.

Από (1), (2) συμπεραίνουμε ότι:

α+γ

β α= γ β 2β=α+γ β=2

Αν για τρεις αριθμούς α, β, γ ισχύει α+ γ

β=2

τότε:

2β=α+γ β α= γ β

Θέτω β α=κ και γ β=κ

Τότε

β α+κ και γ = β + κ ή γ = α +κ κ =α +2κ

Δηλαδή:

α, β, γ ή α, α + κ, α + 2κ

Οπότε οι α, β, γ αποτελούν διαδοχικούς όρους μιας Α.Π.


Για ποιες τιμές του αρνητικού αριθμού x οι αριθμοί: 5, (x + 1), 3 αποτελούν

διαδοχικούς όρους Α.Π.

Λύση

Αν α = 5, β = x + 1 και γ = 3, τότε θα ισχύει:

α γ 5 3β x 1 x 3

2 2


180

Άθροισμα ν- πρώτων όρων μίας αριθμητικής προόδου

Έστω 1 2 3 να ,α ,α ,...,α οι ν πρώτοι όροι μιας Α.Π. Το άθροισμά τους υπολογίζε-

ται από τον τύπο ν 1 ν

νS α α

2 ή ν 1

νS 2α ν 1 ω

2


1. Δίνεται η ακολουθία (αν) με ννα = 5 2 + 5ν 3 και η ακολουθία (βν) που

είναι αριθμητική πρόοδος με πρώτο όρο β1 = 2 και διαφορά ω = 5 τότε:

Α. Να βρεθεί ο νιοστός όρος της ακολουθίας (βν).

Β. Να υπολογιστεί το άθροισμα των 20 πρώτων όρων της ακολουθίας βν.

Γ. Να δείξετε ότι η ακολουθία γν = αν – βν, νΝ* είναι γεωμετρική

πρόοδος και να βρεθεί ο πρώτος όρος και ο λόγος της προόδου.

Δ. Να υπολογίσετε το άθροισμα των όρων που βρίσκονται ανάμεσα στον

4ο και 10ο όρο της βν.

Απάντηση

Α. Η ακολουθία βν είναι αριθμητική πρόοδος με β1 = 2 και ω = 5.

Από το γενικό τύπο: έχω .

Β. Από τον τύπο έχω:

.

Γ. Η ακολουθία

Βρίσκω το πηλίκο σταθερό για κάθε νΝ*.

Άρα η γν είναι γεωμετρική πρόοδος με και λ = 2.

Δ. Ζητάμε το άθροισμα .

Δηλαδή

Άρα

ω)1ν(ββ 1ν 3ν5β51ν2β νν

ω1νβ22

νS 1ν

990S519410S5120222

20S 202020

νν

νννν 25γ3ν53ν555βαγ

225

225

25

25

γ

γν

1ν

ν

1ν

ν

1ν

10γ25γ 11

1

98765 βββββ

9

494

S

9

SS

8765

S

4321 βββββββββ

198229442

951922

2

9S9

48242514222

4S4

15048198SS 49


181

2. Το άθροισμα των ν πρώτων ακολουθίας αν, για κάθε νΝ* είναι

Α. Να δείξετε ότι η ακολουθία αν είναι αριθμητική πρόοδος.

Β. Ποιος όρος της παραπάνω αριθμητικής προόδου είναι ίσος με 32.

Γ. Να βρείτε το άθροισμα των όρων της από τον 61ο μέχρι τον 120ο

όρο.

Απάντηση

Α. Πρώτα θα βρούμε το νιοστό όρο της ακολουθίας ως εξής:

Είναι προφανές ότι

Από τον τύπο έχω:

Άρα

Για να παριστάνει η ακολουθία αν αριθμητική πρόοδο θα πρέπει η

διαφορά να είναι σταθερή, ανεξάρτητη του νΝ*.

Άρα σταθερό.

Επομένως η παριστάνει αριθμητική πρόοδο με 1ο όρο

και ω = 4.

Β. Ισχύει:

Άρα α10 = 32.

Γ. Ζητάμε το άθροισμα:

3. Α. Μεταξύ των αριθμών 3 και 80 να βρεθούν άλλοι 10 φυσικοί που

όλοι μαζί να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

Β. Να προσδιοριστεί ο x ώστε ο αριθμός 11 να είναι αριθμητικός

μέσος των αριθμών 1 – 5x και 2x + 3.

Γ. Να υπολογίσετε το άθροισμα: S = – 6 – 2 + 2 + 6 + 10 + ... + 190

2

νS = 2ν - 6ν

1ν211ν

ν1ν21ν

α...ααS

αα...ααS1ννν SSα

ν6ν2S 2ν

8ν10ν2S6ν62ν4ν2S

6ν6)1ν2ν(2S)1ν(6)1ν(2S

21ν

21ν

21ν

21ν

8ν48ν10ν2ν6ν2SS 221νν

8ν4α ν

ν1ν αα

4ν48)1ν(4α 1ν

4)8ν4(44αα ν1ν

8ν4α ν

4α1

324)1ν(432ω)1ν(α32α 1ν

10ν40ν4324ν44

601201206261 SSα...αα

600.214598304119860

4160422

604112042

2

120


182

Απάντηση

Α. Έστω οι ζητούμενοι φυσικοί αριθμοί. Λαμβάνοντας

υπόψη το 3 και το 80 έχω 12 διαδοχικούς όρους μιας αριθμητικής

προόδου με πρώτο όρο α1 = 3 και 12ο όρο α12 = 80 δηλαδή

.

Ισχύει:

Άρα:

Β. Τρεις αριθμοί α, β, γ αποτελούν διαδοχικούς όρους μιας αριθμητικής

προόδου αν και μόνο αν .

Επομένως: Οι αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι της

αριθμητικής προόδου αν:

Για x = -6 οι 3 αριθμοί είναι: 31, 11, -9 ή -9, 11, 31.

Γ. Το άθροισμα αποτελείται από ν

(το ψάχνω)πρώτους όρους μιας αριθμητικής προόδου (παρατηρώ ότι

οι διαδοχικοί προσθετέοι διαφέρουν κατά 4).

Άρα

1021 x,...,x,x

ροιό12

1021 80,x,...,x,x,3

ω)1ν(αα 1ν

7ωω1177ω11380

ω)112(αα 112

80,73,66,59,52,45,38,31,24,17,10,3

ροιόμενοιύζητοκαέδιΟ

γαβ2

3x2,11,x51

6x18x33x2x5122

)3x2()x51(112

190...106226

4ωκαι190α,6α ν1

50νν4200

4ν461904)1ν(6190ω)1ν(αα 1ν

460018425)1906(2

50Sή)αα(

2

νS 50ν1ν


183

Ασκήσεις

1. Στις παρακάτω αριθμητικές προόδους να βρείτε τον ζητούμενο όρο:

α. Τον 31ο όρο της: 1, 4, 7, …

β. Τον 12ο όρο της: -2, -7, -12, …

γ. Τον 23ο όρο της: 7, 5, 3, …

2. Στις παρακάτω αριθμητικές προόδους να βρείτε τον ζητούμενο όρο:

α. Τον 54ο όρο της: 2, 8, 14, 20, …

β. Τον 16ο όρο της: 9, 1, -7, -15, …

γ. Τον 33ο όρο της 3, 1, -1, -3, …

3. Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) ισχύει α1 = -15 και α7 = 9.

Να βρείτε:

α. Την διαφορά ω της προόδου.

β. Τον 11ο όρο της προόδου.

γ. Ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με 41

4. Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) ισχύει α8 = -3 και ω = -2

Να βρείτε:

α. Τον πρώτο όρο της προόδου.

β. Τον 19ο όρο της προόδου.

γ. Ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με -40

5. Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) είναι α5 = 11 και α9 = 31

Να βρείτε:

α. Τον πρώτο όρο και τη διαφορά ω της προόδου.

β. Τον 14ο όρο της προόδου

γ. Ποιος όρος της προόδου ισούται με 86

6. Σε μια Α.Π. το άθροισμα του 3ου και του 5ου όρου είναι -30 ενώ το

άθροισμα του 2ου και του 7ου είναι -34

Να βρείτε:

α. Τον πρώτο όρο της προόδου και τη διαφορά ω.

β. Υπάρχει όρος της ακολουθίας που να ισούται με -75;

7. Σε μια Α.Π. (αν) ισχύει 5 8α α 97 και 2 3α α 408 να βρείτε:

α. Τον πρώτο όρο της προόδου και τη διαφορά ω.

β. Ποιος όρος της παραπάνω Α.Π. ισούται με

8. Σε μια Α.Π. (αν) ισχύει 4 12α α 0 και 7 19α α 30 .

α. Τον πρώτο όρο α1 και τη διαφορά ω της προόδου.

β. Τον όρο αν για τον οποίο ισχύει αν = ν


184

9. Ο τέταρτος όρος μιας Α.Π. είναι 15 και ο 15ος όρος της είναι 59.

Να βρεθεί η πρόοδος.

10. Ο τρίτος όρος μιας Α.Π. είναι 20 και ο 7ος όρος είναι 32 να βρείτε τον 1ο

όρος και τη διαφορά ω.

11. Να βρείτε τον αριθμητικό μέσο των αριθμών:

α. 3 και 33

β. -5 και 67

γ. -3 και -31

δ. -12 και 7

ε. -21 και 21

12. Να βρείτε για ποιες τιμές του x ο αριθμός 15 είναι ο πραγματικός

μέσος των αριθμών 2x + 1 και 7x + 2

13. Οι αριθμοί x 1, 2x 4, 15 x είναι διαδοχικοί όροι μιας Α.Π.

α. Τους αριθμούς

β. Αν οι αριθμοί αυτοί είναι ο 6ος, ο 7ος και ο 8ος όρος της Α.Π. τότε να

βρείτε τη διαφορά ω και τον πρώτο όρο τους.

14. Αν οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου να

αποδείξετε ότι και οι αριθμοί 2x α βγ , 2y β αγ , 2z γ αβ είναι

επίσης διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

15. Δίνονται δύο αριθμοί που ο ένας είναι διπλάσιος του άλλου και έχουν

αριθμητικό μέσο 16. Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς.

16. Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος (αν). Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί

4 5 7 9 10 13α α , α α , α α είναι διαδοχικοί όροι Α.Π.

17. Δίνεται η Α.Π. : 21, 17, 13, 9, ...να βρείτε το άθροισμα των 35 πρώτων

όρων.

18. Να βρεθεί το άθροισμα των 20 πρώτων όρων της Α.Π. ...,2

3,1,

2

1

19. Να υπολογίσετε τα αθροίσματα:

α. -3 + 0 + 3 + ... + 60 β. 5 + 1 - 3 + ... – 67

20. Να βρεθεί το άθροισμα των 55 πρώτων όρων της Α.Π: 1,12,23,34,...

21. Να βρεθεί το άθροισμα των 24 πρώτων όρων της Α.Π: 95,89,83,…

22. Να υπολογίσετε τα παρακάτω αθροίσματα:

α) -4-9-14-…-99 β) 1+5+9+…+197 γ) 5+2-1-4-7-…-175


185

23. Να βρεθεί το άθροισμα όλων των πολλαπλασίων του 3 που βρίσκονται

ανάμεσα στους αριθμούς 95 και 400

24. Να βρείτε πόσα πολλαπλάσια του 7 υπάρχουν ανάμεσα στο 235 και στο

458

25. Να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής

προόδου 1,3,5,7,… που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει

το 625

26. Σε μία Α.Π ισχύουν : 2 7α α 20 και 3α 11 .Πόσους πρώτους όρους

πρέπει να πάρουμε ώστε το άθροισμά τους να είναι 105

27. O νιοστός όρος μιας ακολουθίας είναινα 5ν 12 . Να αποδείξετε ότι η

ακολουθία αυτή είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον πρώτο όρο

και τη διαφορά της .

28. Το άθροισμα των 10 πρώτων όρων μιας Α.Π είναι 110,και το άθροισμα

των 10 επόμενων όρων είναι 310. Να βρεθεί ο πρώτος όρος της και η

διαφορά της ω

29. Ο νιοστός όρος μιας ακολουθίας είναι να 6 2ν .Να αποδείξετε ότι η

ακολουθία αυτή είναι Α.Π και να βρείτε το άθροισμα των 40 πρώτων ό-

ρων της

30. Ο νιοστός όρος μιας ακολουθίας είναι να 4ν 15

(α) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι Α.Π

(β) Να βρείτε το άθροισμα 20 21 30S α α ... α

31. Ο νιοστός όρος μιας ακολουθίας είναι να 3ν 1

(α) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι Α.Π

(β) Να βρείτε το άθροισμα 1 3 25S α α ... α

32. Το άθροισμα των ν-πρώτων όρων μιας ακολουθίας είναι 2

νS ν 4ν,ν

Να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι Α.Π και να βρείτε τον πρώτο

όρος της και την διαφορά ω.

33. Το άθροισμα των ν-πρώτων όρων μιας ακολουθίας είναι

2

νS 2ν 3ν,ν .

Να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι Α.Π και να βρείτε τον πρώτο

όρος της και την διαφορά ω.

34. Μεταξύ των αριθμών 9 και 34 παρεμβάλλουμε άλλους αριθμούς ώστε να

προκύψουν 11 διαδοχικοί όροι Α.Π


186

35. Μεταξύ των αριθμών 5 και 49 παρεμβάλλονται ορισμένοι αριθμοί ώστε

όλοι μαζί να είναι διαδοχικοί όροι μιας Α.Π. Επιπλέον ο τελευταίος

αριθμός που παρεμβάλλεται είναι πενταπλάσιος από τον πρώτο αριθμό

που παρεμβάλλεται .Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς.

36. Δίνονται πέντε διαδοχικοί όροι μιας Α.Π που έχουν άθροισμα 55 ,ενώ το

άθροισμα των τετραγώνων τους είναι 695. Να βρείτε τους αριθμούς αυ

τούς.


187

5.2. Γεωμετρική πρόοδος

Ορισμός

Μια ακολουθία (αν) λέγεται γεωμετρική πρόοδος (Γ.Π.) αν κάθε όρος της, με

εξαίρεση τον πρώτο, προκύπτει από τον προηγούμενό του με πολλαπλασιασμό

του ίδιου πάντοτε μη μηδενικού αριθμού.

Ο αριθμός αυτός ονομάζεται λόγος της προόδου και συμβολίζεται με λ.

Δηλαδή:

Η (αν) είναι Γ.Π. αν και μόνο αν ν 1 να α λ ή ν 1

ν

αλ

α


Αν λ = 1 τότε η Γ.Π. λέγεται σταθερή. Ενώ αν 1α 0 τότε η Γ.Π είναι μηδενική

Γενικός όρος μιας Α.Π.

Ισχύει: 1 1α α

2 1α α λ

3 2α α λ

4 3

ν ν 1

α α λ

α α λ

Πολλαπλασιάζω κατά μέλη ν 11 2 3 ν 1 1 2 3 ν 1α α α ... α α α α α ... α λ

, άρα

ν 1ν 1α α λ

Ο τύπος ν 1ν 1α α λ μας βοηθάει:

α. Να βρίσκουμε οποιονδήποτε όρο μιας Γ.Π. αν είναι γνωστό ο πρώτος όρος

και η διαφορά λ.

β. Να βρίσκουμε τον 1ο όρο και το λόγο λ αν είναι γνωστοί δύο οποιοιδήποτε

όροι της.

γ. Να βρίσκουμε αν υπάρχει όρος της, ο οποίος αντιστοιχεί σε κάποιον δοσμένο

αριθμό, και αν ναι να τον βρίσκουμε.


Δίνεται η Γ.Π. 3, 6, 12, …

α. Να βρείτε τον α8.

β. Να εξετάσετε αν υπάρχει όρος της που να ισούται με 3072.

Λύση

α. 1α 3 και 2

1

αλ λ 2

α

ν 1 8 1 7ν 1 8 8 8α α λ α 3 λ α 3 2 α 384


188

β. Έστω ότι υπάρχει ν τέτοιος ώστε αν = 3072

Τότε ν 1 ν 1 ν 11α λ 3072 3 2 3072 2 1024

ν 1 102 2 ν 1 10 ν 11

άρα ο 11ος ι όρος της Γ.Π. ισούται με 3072.

Γεωμετρικός μέσος

Θεώρημα

Αν α, β, γ διαδοχικοί όροι μιας Γ.Π. τότε 2β = α γ και αντιστρόφως αν για ο-

ποιουσδήποτε τρεις αριθμούς α, β, γ ισχύει 2β = α γ τότε οι αριθμοί αυτοί α-

ποτελούν διαδοχικούς όρους μιας Γ.Π.

Απόδειξη

Αν α, β, γ διαδοχικοί όροι μιας Γ.Π. τότε ισχύει β

λα (1) και

γλ

β (2), όπου

λ ο λόγος της προόδου.

Από (1), (2) συμπεραίνουμε ότι:

2β γ= β =α γ

α β

Αν για τρεις αριθμούς α, β, γ ισχύει 2β α γ τότε: 2 β γβ =α γ =

α β

Που σημαίνει ότι οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου.

Ο θετικός αριθμός αγ λέγεται γεωμετρικός μέσος των α και γ .


Για ποια τιμή του θετικού αριθμού x οι αριθμοί:x-2, 2x,7x+4 αποτελούν διαδο-

χικούς όρους Γ.Π.

Λύση

Αν α =x-2, β =2 x και γ =7x+43, τότε θα ισχύει:

2 2 2 2β α γ 4x x 2 7x 4 3x 10x 8 0 x 4 ή x=-

3, δεκτή η x 4


189

Άθροισμα ν πρώτων όρων μιας Γεωμετρικής προόδου

Το άθροισμα των ν πρώτων όρων μίας γεωμετρικής προόδου ν(α ) με λόγο

λ 1 δίνεται από τον τύπο ν

ν 1

λ 1S =α

λ 1

Απόδειξη

2 ν 1

ν 1 2 3 ν ν 1 1 2 νS α α α ... α S α λ α λ α ... λ α (1)

Πολλαπλασιάζω και τα δύο μέλη της (1) με λ.

Οπότε η (1) γίνεται : 2 3 ν

ν 1 1 2 νλ S λ α λ α λ α ... λ α (2)

Αφαιρώ την (1) από την (2) επομένως ν

ν

ν v 1 ν 1

λ 1λS S α (λ 1) S α ,λ 1

λ 1

Αν λ 1 τότε v 1S v α


1) Το άθροισμα των ν - πρώτων όρων μιας ακολουθίας (αν) είναι

για κάθε νΝ*.Να αποδείξετε ότι η ακολουθία (αν) είναι γεωμετρική

πρόοδος και να βρείτε τους α1 και λ. Ποιος όρος της ισούται με 972.

Λύση

Ισχύει: ν 1 2 ν 1 ν ν 1 2 ν 1 νS =α + α + ...+ α + α S = α + α + ...+ α + α

2

ν ν 1ν ν 1 ν ν ν ν 1 ν

ν ν 1 ν ν 1ν

ν 1 ν 1 ν 1ν ν ν

S = S +α α = S S α = 2 3 1 2 3 1

α = 2 3 2 2 3 + 2 2 3 2 3

α = 2 3 3 α 2 3 α 4 3

Για να δείξω ότι είναι γεωμετρική πρόοδος θα πρέπει το πηλίκο ν 1

ν

α

α να είναι

σταθερό δηλαδή ανεξάρτητο του ν.

ν+1 1 νν 1

ν 1 ν 1ν

α 4 3 3= = 3

α 4 3 3

Άρα παριστάνει γεωμετρική πρόοδο με λ = 3 και 1 1 1 1α = 4 3 α = 4

Ισχύει: αν = 972 (ψάχνω το ν)

5

ν-1 ν 1 ν 1 ν 11α λ 972 4 3 972 3 243 3 3

ν 1 = 5 ν 6

Άρα ο 6ος όρος της δηλαδή a6 = 972.

ν

νS = 2 3 - 1


190

2) Να βρεθούν τρεις αριθμοί για τους οποίους ισχύουν τα εξής:

Είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

Έχουν άθροισμα 15.

Αν σε αυτούς προσθέσουμε τους αριθμούς 1, 4, 19 αντίστοιχα θα γίνουν

διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.

Απάντηση

Έστω οι 3 διαδοχικοί όροι της αριθμητικής προόδου. Ισχύει:

Άρα οι 3 αριθμοί γίνονται: .

Προσθέτω τους 1, 4, 19 αντίστοιχα άρα οι 3 αριθμοί: οι οποίοι

είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.

Αν α, β, γ διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου τότε

Ισχύει:

Για ω = 3 οι αριθμοί είναι: 2, 5, 8

Για ω = -21 οι αριθμοί είναι 26, 5, -16

ωx,x,ωx

5x15x315)ωx(x)ωx(

ω5,5,ω5

ω24,9,ω6

γαβ2

3ωή21ω063ω18ω

ωω24ω614481)ω24()ω6(9

2

22


191


Να ελέγξετε αν καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή (Σ) ή λάθος (Λ)

1) Η ακολουθία 3, 6, 24, 12, ... είναι Γ.Π. Σ Λ

2) Οι διαδοχικοί όροι μιας Γ. Π. έχουν σταθερή διαφορά. Σ Λ

3) Αν λ < 0 τότε δύο διαδοχικοί όροι Γ.Π. είναι ετερόσημοι. Σ Λ

4) Έστω α, β, γ, δ διαδοχικοί όροι Γ.Π.

α) α. αγ = β2. Σ Λ

β) β. αδ = βγ Σ Λ

γ) γ. α + δ = β + γ Σ Λ

δ) δ. γ

δ

β

α Σ Λ

ε) ε. γ2 = αδ Σ Λ

5) Δίνεται η ακολουθία αν = 2‧ 3ν.

α) α. είναι Γ.Π. Σ Λ

β) β. ισχύει α1 = 6 Σ Λ

γ) γ. ισχύει 3

1λ Σ Λ

δ) δ. η αν είναι γνησίως αύξουσα Σ Λ

6) Στη Γ.Π. ,...6

1,

2

1,

2

3 ισχύει

162

1α6 . Σ Λ

7) Ο γεωμετρικός μέσος των 22 και 24 είναι το 4. Σ Λ

8) Το άθροισμα των ν πρώτων όρων Γ.Π. δίνεται πάντα από τον

τύπο 1λ

1λαS

ν

iν

Σ Λ

9) Η ακολουθία με γενικό όρο αν = 3‧ 0,5ν-1 είναι Γ.Π. με

α1 = 3 και 2

1λ . Σ Λ

10) Οι αριθμοί 3, 6, 12 είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Σ Λ

11) Το 25 είναι γεωμετρικός μέσος των αριθμών 5 και 45. Σ Λ


192

Στις παρακάτω προτάσεις να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχείς τη σωστή

απάντηση

1) Αν α, β, γ διαδοχικοί όροι Γ.Π. με λ < 0 και α > 0, β =

(α) αγ (β) α‧γ

(γ) αγ (δ) κανένα από τα προηγούμενα

2) Ο αναδρομικός τύπος της Γ.Π. δίνεται από τον τύπο:

(α) λαα ν1ν (β) ωαα ν1ν

(γ) 1ν

1ν λαα (δ) λναα 1ν

3) Ο λόγος της γεωμετρικής προόδου ,...αβ,βα 22 είναι:

(α) β

1λ (β)

α

βλ (γ)

βα

1λ

2 (δ)

α

1λ

4) Ο ν-οστός όρος της Γ.Π. ,...216,8,22 είναι:

(α) 22ν (β) (γ) (δ) 1ν

22

5) Σε μια Γ.Π. α1 = 2 και λ = 3 τότε αν =

(α) ν23 (β) 1ν32 (γ) 1ν23 (δ) 1ν32

6) Μια Γ.Π. είναι αύξουσα αν:

(α) λ > 0 (β) λ > 1 (γ) λ < 1 (δ) λ < 0

7) Αν οι αριθμοί 19x,1x,4x είναι διαδοχικοί όροι Γ.Π. τότε:

(α) x = 1 (β) x = 2 (γ) x = 3 (δ) x = 4

8) Στη Γ.Π. 3, 6, 12,... ο όρος που έχει τιμή 96 είναι:

(α) α5 (β) α6 (γ) α4 (δ) α7

9) Αν μια Γ.Π. έχει α1 = 2 και α4 = 432 τότε λ =

(α) 430 (β) 12 (γ) 6 (δ) -6

10) Αν (αν) είναι Γ.Π. με 3

32α5 και λ = 2 τότε:

(α) α1 = 3 (β) 3

1α1 (γ)

3

2α1 (δ)

3

4α1

11) Έστω οι αριθμοί 2

5 και

2

45. Αν συμβολίσουμε Α τον αριθμητικό τους μέσο

και Γ των γεωμετρικό τους μέσο τότε:

(α) Α = Γ (β) Α > Γ

(γ) Γ > Α (δ) τίποτα από αυτά

ν22 1ν

22


193

12) Αν α1, α2, α3, α4, α5 είναι διαδοχικοί όροι Γ.Π. τότε ποια από τις παρακάτω

είναι η λανθασμένη σχέση:

(α) 4251 αααα (β) 5241 αααα (γ) 51

2

3 ααα

(δ) 42

2

3 ααα

13) Το άθροισμα 000.000.1000.100000.10000.110010 είναι ίσο με:

(α) 9

1106 (β)

9

1107 (γ) 1

9

1107

(δ) 9

11010

6

14) Αν οι αριθμοί α, βγ3, βγ είναι διαδοχικοί όροι Γ.Π. τότε:

(α) 42 βγα (β) αβ2 (γ) 2βγα

(δ) 5αβγ (ε) 5βγα

15) Αν οι αριθμοί 2x,x,1x είναι διαδοχικοί όροι Γ.Π. τότε:

(α) x = 2 (β) 3

2x (γ) x = 1 (δ) x = -2


194

Ασκήσεις 1. Να βρείτε το ν-οστό των γεωμετρικών προόδων

α. 3, 6, 12,... β. -1, 3, -9,...

γ. 4, 2, 1 δ. ...,9

1,

3

1,1

2. Σε κάθε μία από τις παρακάτω Γ.Π. να βρείτε τον εκάστοτε ζητούμενο όρο:

α. Το α6 της 5, 25, 75,...

β. Το α10 της ...,45

1,

15

1,

5

1,

5

3

γ. Το α9 της ...,8,2,2

1

3. Να βρείτε την Γ.Π. (αν) αν α3 = 12 και α6 = 96

4. Να βρείτε την Γ.Π. (αν) αν α3 = 1 και 243

1α8

5. Να βρείτε την Γ.Π. (αν) αν α5 = 64 και α2 = 8

6. Έστω η Γ.Π. 13, 30, 60,...

α. Να βρείτε το πλήθος των όρων μέχρι του όρου που ισούται με 960

β. Να βρεθεί ο πρώτος όρος που υπερβαίνει το 3.000

7. Να βρεθεί το πλήθος των όρων της Γ.Π. αν ο 5ος όρος είναι 15, ο 7ος όρος

είναι 60 και ο τελευταίος είναι 120

8. Να βρεθεί η Γ.Π. που ο α1 και ο λ είναι ρίζες της εξίσωσης 012x7x2

9. Δίνεται η εξίσωση 06x5x2

α. Να βρείτε Γ.Π. με πρώτο όρο τη μικρότερη ρίζα της εξίσωσης και

λόγο μεγαλύτερή της.

β. Να βρείτε το άθροισμα των 7 πρώτων όρων της προόδου.

10. Ποιον αριθμό πρέπει να προσθέσουμε στους 2, 14, 50 ώστε να γίνουν

διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου;

11. Βρείτε το άθροισμα των 10 πρώτων όρων μιας Γ.Π. αν ισχύει 34αα 62

και 68αα 73

12. Να βρεθεί ο x ώστε οι ποιο κάτω αριθμοί να αποτελούν διαδοχικούς όρους

Γ.Π.

α. 3x30,5x8,3x5 β. 1x

3x3,

x

x21,

x2

1x


195

13. Να υπολογίσετε τα αθροίσματα:

α. 1024...1684 β. 2187...9

1

27

1

81

1

14. Να βρεθούν τρεις διαδοχικοί όροι Γ.Π. αν είναι γνωστό ότι το άθροισμα των

δύο πρώτων είναι 10 και το άθροισμα των δύο τελευταίων είναι 15.

15. Δίνεται η ακολουθία ν

ν 32α :

α. Να αποδείξετε ότι παριστάνει Γ.Π.

β. Ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με 1458

16. Να βρεθούν τρεις ακέραιοι αριθμοί που αποτελούν Γ.Π. αν το άθροισμά τους

είναι 65 και η διαφορά των άκρων είναι 40

17. Δίνεται η ακολουθία: 1ν

ν

ν3

12α

. Δείξτε ότι παριστάνει Γ.Π. και να

υπολογίσετε το S10

18. Αν 2ν

ν

ν5

13α

, να δείξετε ότι η ακολουθία είναι Γ.Π. και να βρείτε τα α1

και λ.

19. Αν 1032S ν

ν είναι το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας ακολουθίας να

δείξετε ότι αυτή είναι Γ.Π.

20. Μεταξύ των ριζών της 02x33x16 2 να παρεμβάλετε 4 αριθμούς οι ο

ποίοι να αποτελούν διαδοχικούς όρους Γ.Π.

21. Μεταξύ των αριθμών 5 και 160 να παρεμβληθούν τέσσερις γεωμετρικοί διά

μεσοι.

22. Να βρεθούν τρεις αριθμοί οι οποίοι είναι διαδοχικοί όροι Γ.Π. αν το γινόμενό

τους είναι 216 και ο τρίτος είναι εννιαπλάσιος του πρώτου.

23. Να βρείτε το πλήθος ν όρων που πρέπει να πάρουμε από μια Γ.Π. αν ξέρουμε

ότι:

α. 5460S,4λ,4α ν1

β. 3

2186S,2α,

3

2α ν21

24. Αν 123S ν

ν είναι το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας ακολουθίας να

δείξετε ότι αυτή είναι Γ.Π.

25. Σε Γ.Π. είναι α1 = 3λ (λ ο λόγος της) και α1 + α2 = 18. Να βρεθεί η πρόοδος

και το άθροισμα των 4 πρώτων όρων της.


196

Προβλήματα

1. Αν ένα άτομο που γνωρίζει ένα μυστικό το πει σε 2 φίλους του την πρώτη

ημέρα οι οποίοι, στη συνέχεια, το πουν σε δύο φίλους τους ο καθένας την

επόμενη μέρα κ.ο.κ, πόσοι θα μάθουν το μυστικό μέσα σε 10 μέρες;

2. Ένας παππούς αποταμιεύει 1ευρώ τον 1ο χρόνο γέννησης του εγγονού του, 3

ευρώ τον 2ο, 9 ευρώ τον 3ο κ.ο.κ. Αν συνεχίσει με τον ίδιο ρυθμό

να βρεθούν:

α. Πόσα ευρώθα αποταμιεύσει τον 8ο χρόνο

β. Πόσα ευρώ συνολικά θα έχει αποταμιεύσει μέχρι και τον 8ο χρόνο.

3. Ο χαμηλότερος ουρανοξύστης στο Manhattan της Νέας Υόρκης έχει 20

ορόφους. Οι 2 ψηλότεροι ήταν οι «δύο πύργοι» που καταστράφηκαν στις 11

Σεπτεμβρίου 2001 και είχαν ο καθένας 112 ορόφους. Έχει παρατηρηθεί ότι ο

αριθμός των ουρανοξυστών με ν-ορόφους είναι κατά 6% μεγαλύτερος των

ουρανοξυστών με (ν + 1)- ορόφους. Να βρεθεί το πλήθος των ουρανοξυστών

του Manhattan.


197


1) Θεωρούμε την ακολουθία ( ) των θετικών περιττών αριθμών 1, 3, 5, 7, …

α) Να αιτιολογήσετε γιατί η ( ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε

τον εκατοστό όρο της.

Μονάδες 15

β) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των ν πρώτων περιττών θετικών αριθμών

είναι ίσο με το τετράγωνο του πλήθους τους.

Μονάδες 10

2) Ένα μικρό γήπεδο μπάσκετ έχει δέκα σειρές καθισμάτων και κάθε σειρά έχει

α καθίσματα περισσότερα από την προηγούμενη. Η 7η σειρά έχει 36

καθίσματα και το πλήθος των καθισμάτων του σταδίου είναι 300.

α) Αποτελούν τα καθίσματα του γηπέδου όρους αριθμητικής προόδου; Να


Μονάδες 12

β) Πόσα καθίσματα έχει κάθε σειρά;

Μονάδες 13

3) Σε γεωμετρική πρόοδο ( ) με θετικό λόγο λ, ισχύει 3 1 και 5 4 .

α) Να βρείτε το λόγο λ της προόδου και τον πρώτο όρο της.

Μονάδες 13

β) Να αποδείξετε ότι ο ν-οστός όρος της προόδου είναι: 32

Μονάδες 12

4) Δίνεται η αριθμητική πρόοδος ν(α ) με 3α 10 και 20α 61

α) Να βρεθεί ο πρώτος όρος και η διαφορά της προόδου

β) Να εξετάσετε αν ο αριθμός 333 είναι όρος της προόδου

γ) Να εξετάσετε αν υπάρχουν διαδοχικοί όροι x,y της παραπάνω προόδου

τέτοιοι ώστε να ισχύει x y

2 3

5) α) Να βρείτε το άθροισμα των ν πρώτων διαδοχικών θετικών ακεραίων

1, 2, 3,…,ν.

Μονάδες 12

β) Να βρείτε πόσους από τους πρώτους διαδοχικούς θετικούς ακέραιους πρέπει

να χρησιμοποιήσουμε για να πάρουμε άθροισμα τον αριθμό 45.

Μονάδες 13

6) Δίνεται η αριθμητική πρόοδος να με όρους 2 0α , 4 4α .

α. Να αποδείξετε ότι 2ω και 1 2 α , όπου ω είναι η διαφορά της

προόδου και 1α ο πρώτος όρος της.

Μονάδες 10

β. Να αποδείξετε ότι ο ν-οστός όρος της προόδου είναι ίσος με

2 4 να ν , *ν και να βρείτε ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με

98.

Μονάδες 15

an


198

7) α) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό x ώστε οι αριθμοί: x , 2x 1 , 5x 4 ,

με τη σειρά που δίνονται, να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής

προόδου.

Μονάδες 13

β) Να βρείτε το λόγο λ της παραπάνω γεωμετρικής προόδου, όταν:

i) x 1

ii) x 1

Μονάδες 12

8) α) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό x ώστε οι αριθμοί

2

x 2, x 1 , 3x 2 με τη σειρά που δίνονται να είναι διαδοχικοί

όροι αριθμητικής προόδου.

Μονάδες 13

β) Να βρείτε τη διαφορά ω της παραπάνω αριθμητικής προόδου, όταν

i) x 1 ii) x 1 .

Μονάδες 12

9) Σε ένα γυμναστήριο με 10 σειρές καθισμάτων, η πρώτη σειρά έχει 120

καθίσματα και κάθε σειρά έχει 20 καθίσματα περισσότερα από την

προηγούμενη της.

α) Να εκφράσετε με μια αριθμητική πρόοδο το πλήθος των καθισμάτων

της ν-οστής σειράς.

Μονάδες 9

β) Πόσα καθίσματα έχει η τελευταία σειρά;

Μονάδες 8

γ) Πόσα καθίσματα έχει το γυμναστήριο;

Μονάδες 8

10) Δίνεται αριθμητική πρόοδος να για την οποία ισχύει ότι 1 19α και

10 6 24 α α

α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά της προόδου είναι 6ω .

Μονάδες 9

β) Να βρείτε τον 20α .

Μονάδες 8

γ) Να βρείτε το άθροισμα των 20 πρώτων όρων της προόδου.

Μονάδες 8

11) Οι αριθμοί A 1 , B x 4 , x 8 είναι, με τη σειρά που δίνονται,

διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου να .

α) Να βρείτε τη τιμή του x .

Μονάδες 10

β) Αν x 1 και ο αριθμός A είναι ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου να ,

i) να υπολογίσετε τη διαφορά ω.

Μονάδες 7


199

ii) να υπολογίσετε τον εικοστό όρο της αριθμητικής προόδου.

Μονάδες 8

12) α) Αν οι αριθμοί 4 x, x, 2 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να

προς διορίσετε τον αριθμό x.

Μονάδες 9

β) Αν οι αριθμοί 4 x, x, 2 είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να

προσδιορίσετε τον αριθμό x.

Μονάδες 9

γ) Να βρεθεί ο αριθμός x ώστε οι αριθμοί 4 x, x, 2 να είναι διαδοχικοί

όροι αριθμητικής και γεωμετρικής προόδου.

Μονάδες 7

13) Δίνεται αριθμητική πρόοδος να για την οποία ισχύει 4 2 10 α α

α) Να δείξετε ότι η διαφορά της προόδου είναι 5ω .

Μονάδες 12

β) Αν το άθροισμα των τριών πρώτων όρων της προόδου είναι 33, να

βρείτε τον πρώτο όρο της προόδου.

Μονάδες 13

14) Δίνεται η αριθμητική πρόοδος να με 1 1α και 3 9α

α) Να βρείτε τη διαφορά ω της αριθμητικής προόδου.

Μονάδες 12

β) Να βρείτε το μικρότερο θετικό ακέραιο ν, ώστε να ισχύει 30να .

Μονάδες 13

15) Οι αριθμοί κ2, 2κ και 7κ+4, κ είναι, με τη σειρά που δίνονται,

διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου (αν).

α) Να αποδείξετε ότι κ=4 και να βρείτε το λόγο λ της προόδου.

Μονάδες 12

β) i) Να εκφράσετε το 2ο όρο, τον 5ο και τον 4ο όρο της παραπάνω

γεωμετρικής προόδου ως συνάρτηση του a

1.

Μονάδες 6

ii) Να αποδείξετε ότι a

2+ a

5= 4(a

1+ a

4).

Μονάδες 7

16) α) Να βρείτε, για ποιες τιμές του x, οι αριθμοί x+4, 2x, 6x με τη σειρά

που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.

Μονάδες 13

β) Αν x = 5 και ο 6x είναι ο τέταρτος όρος της παραπάνω γεωμετρική

προόδου, να βρείτε

i) το λόγο λ της γεωμετρικής προόδου.

Μονάδες 6

ii) τον πρώτο όρο α1 της προόδου.

Μονάδες 6


200

17) Σε μία αριθμητική πρόοδο ( ) ισχύουν: 1 2 και 25 12 39.

α) Να δείξετε ότι η διαφορά της προόδου είναι ω = 3

Μονάδες 12

β) Να βρείτε ποιός όρος της προόδου είναι ίσος με 152.

Μονάδες 13

18) Δίνεται αριθμητική πρόοδος (a

n)

με διαφορά ω.

α) Να δείξετε ότι: 15 9

10 7

2

Μονάδες 13

β) Αν a

15- a

9=18, να βρείτε τη διαφορά ω της προόδου.

Μονάδες 12

19) Οι αριθμοί x+6, 5x+2, 11x6 είναι, με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί

όροι αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο α1 και διαφορά ω.

α) Να βρείτε την τιμή του x και να αποδείξετε ότι ω=4.

Μονάδες 12

β) Αν ο πρώτος όρος της προόδου είναι a

1= 0 , να υπολογίσετε το

άθροισμα S

8 των 8 πρώτων όρων.

Μονάδες 13

20) Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος (a

n), για την οποία ισχύει 5

2

27

α) Να δείξετε ότι ο λόγος της προόδου είναι λ = 3.

Μονάδες 10

β) Αν το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων της προόδου είναι 200, να

βρείτε τον πρώτο όρο a

1.

Μονάδες 15

21) Σε αριθμητική πρόοδο ( ) είναι 1 2 και 5 14. .

α. Να αποδείξετε ότι ω = 3.

Μονάδες 12

β. Να βρείτε πόσους αρχικούς (πρώτους) όρους πρέπει να προσθέσουμε,

ώστε το άθροισμά τους να είναι ίσο με 77.

Μονάδες 13

(Δίνεται: 1849 = 43)

22) Σε αριθμητική πρόοδο ( ) ισχύουν: 4 9 15 και 1 41.

α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά ω της προόδου είναι ίση με 3.

Μονάδες 12

β) Να βρείτε το θετικό ακέραιο ν, ώστε a

n= n.

Μονάδες 13


201

23) Σε αριθμητική πρόοδο (a

n) με διαφορά ω = 4, ισχύει

a

6+ a

11= 40

α) Να βρείτε τον πρώτο όρο a

1 της προόδου.

Μονάδες 12

β) Πόσους πρώτους όρους της προόδου πρέπει να προσθέσουμε ώστε το

άθροισμά τους να είναι ίσο με το μηδέν; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Μονάδες 13

24) Ένας μελισσοκόμος έχει τοποθετήσει 20 κυψέλες σε μια ευθεία η όποια

διέρχεται από την αποθήκη του Α. Η πρώτη κυψέλη απέχει 1 μέτρο από την

αποθήκη Α, η δεύτερη 4 μέτρα από το Α, η τρίτη 7 μέτρα από το Α και

γενικά κάθε επόμενη κυψέλη απέχει από την αποθήκη Α, 3 επιπλέον μέτρα,

σε σχέση με την προηγούμενη κυψέλη.

α) Να δείξετε ότι οι αποστάσεις των κυψελών από την αποθήκη Α

αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου και να βρείτε το

ν-οστό όρο αυτής της προόδου. Τι εκφράζει ο πρώτος όρος της

αριθμητικής προόδου και τι η διαφορά της;

Μονάδες 6

β) Σε πόση απόσταση από την αποθήκη Α είναι η 20η κυψέλη;

Μονάδες 6

γ) Ο μελισσοκόμος ξεκινώντας από την αποθήκη Α συλλέγει το μέλι, από

μια κυψέλη κάθε φορά, και το μεταφέρει πάλι πίσω στην αποθήκη Α.

i) Ποια είναι απόσταση που θα διανύσει ο μελισσοκόμος για να

συλλέξει το μέλι από την 3η κυψέλη;

Μονάδες 6

ii) Ποια είναι η συνολική απόσταση που θα διανύσει ο μελισσοκόμος

για να συλλέξει το μέλι και από τις 20 κυψέλες;

Μονάδες 7

25) Ένα κλειστό στάδιο έχει 25 σειρές καθισμάτων. Στην πρώτη σειρά έχει 12

καθίσματα και καθεμία από τις επόμενες σειρές έχει δυο καθίσματα

παραπάνω από την προηγούμενη.

α) Να βρείτε πόσα καθίσματα έχει η μεσαία και πόσα η τελευταία σειρά.

Μονάδες 10

β) Να υπολογίσετε την χωρητικότητα του σταδίου.

Μονάδες 5

γ) Οι μαθητές ενός Λυκείου προκειμένου να παρακολουθήσουν μια

εκδήλωση, κατέλαβαν όλα τα καθίσματα από την 7η μέχρι και την 14η

σειρά. Να βρείτε το πλήθος των μαθητών του Λυκείου.

Μονάδες 10

26) Ο Διονύσης γράφει στο τετράδιο του τους αριθμούς 3, 7, 11, 15,...

και συνεχίζει προσθέτοντας κάθε φορά το 4. Σταματάει όταν έχει γράψει

τους 40 πρώτους από τους αριθμούς αυτούς.

α) Είναι οι παραπάνω αριθμοί διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου;

Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.

Μονάδες 4


202

β) Να βρείτε το άθροισμα των 40 αυτών αριθμών.

Μονάδες 7

γ) Είναι ο αριθμός 120 ένας από αυτούς τους 40 αριθμούς;

Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.

Μονάδες 7

δ) Ο Γιώργος πηρέ το τετράδιο του Διονύση και συνέχισε να γράφει

διαδοχικούς όρους της ίδιας αριθμητικής προόδου, από εκει που ειχε

σταματησει ο Διονυσης μεχρι να εμφανιστει ο αριθμος 235. Να βρείτε το

αθροισμα των αριθμων που εγραψε ο Γιωργος.

Μονάδες 7

27) Μια οικογενεια, προκειμενου να χρηματοδοτησει τις σπουδες του παιδιου

της, εχει να επιλεξει μεταξυ δυο προγραμματων που της προτεινονται:

Για το προγραμμα Α πρεπει να καταθεσει τον 1o μηνα 1 ευρω, το 2o μηνα 2

ευρω, τον 3o μηνα 4 ευρω και γενικά, κάθε μηνα που περναει, πρεπει να

καταθετει ποσο διπλασιο από αυτο που κατεθεσε τον προηγουμενο μηνα.

Για το προγραμμα Β πρεπει να καταθεσει τον 1o μηνα 100 ευρω, το 2o μηνα

110 ευρω, τον 3o μηνα 120 ευρω και γενικά, κάθε μηνα που περναει πρεπει

να καταθετει ποσο κατα 10 ευρω μεγαλυτερο από εκεινο που κατεθεσε τον

προηγουμενο μηνα.

α) i) Να βρείτε το ποσο an που πρεπει να κατατεθει στο λογαριασμο το

no μηνα συμφωνα με το προγραμμα Α.

Μονάδες 4

ii) Να βρείτε το ποσο bn που πρεπει να κατατεθει στο λογαριασμο το

no μηνα συμφωνα με το προγραμμα Β.

Μονάδες 4

iii) Να βρείτε το ποσο An που θα υπαρχει στο λογαριασμο μετα από ν

μηνες συμφωνα με το προγραμμα Α.

Μονάδες 5

iv) Να βρείτε το ποσο Bn που θα υπαρχει στο λογαριασμο μετα από ν

μηνες συμφωνα με το προγραμμα Β.

Μονάδες 5

β) i) Τι ποσο θα υπαρχει στο λογαριασμο μετα τους πρωτους 6 μηνες,

συμφωνα με κάθε προγραμμα;

Μονάδες 3

ii) Αν κάθε προγραμμα ολοκληρωνεται σε 12 μηνες, με ποιο από τα δυο

προγραμματα το συνολικο ποσο που θα συγκεντρωθει θα είναι

μεγαλυτερο;

Μονάδες 4

28) Ενα μυρμηγκι περπαταει πανω σε ενα ευθυγραμμο κλαδι μηκους 1 m, με τον

ακολουθο τροπο:

Ξεκιναει από το ενα ακρο του κλαδιου και το 1o

λεπτο προχωραει 1 cm, το

2o λεπτο προχωραει 3cm και, γενικά, κάθε λεπτο διανυει απόσταση κατα


203

2cm μεγαλυτερη από αυτην που διηνυσε το προηγουμενο λεπτο.

α) Να δείξετε ότι οι αποστάσεις που διανυει το μυρμηγκι κάθε λεπτο της

κινησης του, είναι διαδοχικοι οροι αριθμητικής προόδου και να βρείτε

τον v-οστο όρο an αυτής της προόδου.

Μονάδες 5

β) Να βρείτε τη συνολικη απόσταση που καλυψε το μυρμηγκι τα πρωτα 5

λεπτα της κινησης του.

Μονάδες 4

γ) Να βρείτε σε ποσα λεπτα το μυρμηγκι θα φτασει στο αλλο ακρο του

κλαδιου.

Μονάδες 4

δ) Υποθετουμε τωρα ότι, την ιδια στιγμη που το μυρμηγκι ξεκιναει την

πορεια του, από το αλλο ακρο του κλαδιου μια αραχνη ξεκιναει και

αυτη προς την αντιθετη κατευθυνση και με τον ακολουθο τροπο: Το 1o

λεπτο προχωραει 1 cm, το 2o λεπτο προχωραει 2 cm, το 3o λεπτο προ

χωραει 4 cm και, γενικά, κάθε λεπτο διανυει απόσταση διπλασια από

αυτην που διηνυσε το προηγουμενο λεπτο.

(i) Να δείξετε ότι οι αποστάσεις που διανυει η αραχνη κάθε λεπτο της

κινησης της, είναι διαδοχικοι οροι γεωμετρικης προόδου και να

βρείτε τον v-οστο όρο bn αυτής της προόδου.

Μονάδες 7

(ii) Να βρείτε σε ποσα λεπτα το μυρμηγκι και η αραχνη θα βρεθουν

αντιμετωπα σε απόσταση 1 cm.

Μονάδες 5


204

6.1. Η έννοια της συνάρτησης

Ορισμός

Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κα-

νόνας) με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα

ακριβώς στοιχείο του συνόλου Β


1. Το σύνολο Α λέγεται πεδίο ορισμού ή σύνολο ορισμού της συνάρτησης

ενώ το σύνολο Β λέγεται σύνολο αφίξεως.

2. Η διαδικασία εκφράζεται συνήθως μέσω ενός αλγεβρικού τύπου ο οποίος

μας δείχνει τον «τρόπο» που τα στοιχεία του συνόλου Α αντιστοιχίζονται

στο Β.

3. Οι συναρτήσεις συμβολίζονται με τα γράμματα συνήθως f, g, h κτλ. του

λατινικού αλφάβητου.

Έτσι αν x τυχαίο στοιχείο του Α το οποίο μέσω της διαδικασίας f αντι

στοιχίζεται στο y B τότε γράφουμε y f x και διαβάζεται y ίσον f του

x.

4. To f x λέγεται τιμή της συνάρτησης f στο x. Αξίζει να σημειωθεί ότι: το

γράμμα x το οποίο παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του πεδίου ορισμού

της f ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή ενώ το y, που παριστάνει την

τιμή της συνάρτησης στο x ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή.

5. Σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού Α ονομάζεται το

σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f x για όλα τα x A και

συμβολίζεται f A .

6. Για να οριστεί μια συνάρτηση f πρέπει να μας δοθούν ή πρέπει να βρούμε

τα παρακάτω 3 στοιχεία.

α. Το πεδίο ορισμού της Α

β. Το σύνολο Β

γ. Το f x για κάθε x A δηλαδή ο τύπο της

Θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις της μορφής f : A B όπου Α και

Β οι οποίες ονομάζονται πραγματικές συναρτήσεις μιας πραγματικής

μεταβλητής.

7. Αν μας δίνεται ο τύπος της f x και όχι το πεδίο ορισμού της τότε θα

πρέπει εμείς να το ορίσουμε λαμβάνοντας υπόψη ότι:

α. Δεν ορίζεται κλάσμα με παρονομαστή το μηδέν

β. Δεν ορίζεται στο σύνολο των πραγματικών αριθμών ρίζα αρνητικού

αριθμού.


205

Επομένως:

i. Αν ο τύπος της f έχει κλάσμα όπου στον παρονομαστή βρίσκεται παρά-

σταση η οποία περιέχει την ανεξάρτητη μεταβλητή x τότε εξαιρούμε από

το σύνολο εκείνες τις τιμές του x (αν υπάρχουν) που μηδενίζουν τον

παρονομαστή.


Η συνάρτηση 2

5x - 9f x = +10x

4- x ορίζεται για / 2x 4 x 0 δηλαδή

24 x 0 x 2 και x 2 επομένως το σύνολο Α είναι το 2, 2 ή ως

ένωση διαστημάτων , , Α 2 2

ii. Αν ο τύπος της f έχει ρίζα όπου στην υπόριζο ποσότητα υπάρχει η ανε-

ξάρτητη μεταβλητή xτότε το πεδίο ορισμού Α της f είναι εκείνο το υπο-

σύνολο του (μπορεί να είναι και το ίδιο το ) για το οποίο η υπόριζος

ποσότητα είναι μη αρνητική, δηλαδή μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός.


f x 3 6 x

Για να ορίζεται ο τύπος της f πρέπει και αρκεί 6 x 0 x 6

Επομένως Α

iii. Αν ο τύπος της f έχει και τις 2 προηγούμενες περιπτώσεις, τότε παίρνου-

με ξεχωριστά τους δύο περιορισμούς συναληθεύοντάς τους.


Πρέπει x 0 και x 1 0

Άρα x 0 και x 1

Α 0, 1 1,

iv. Σε περίπτωση όπου δεν ισχύει τίποτα από τα προηγούμενα τότε Α = .

v. Αν το πεδίο ορισμού της f μας δίνεται τότε ανεξάρτητα από το αν είναι το

ευρύτερο υποσύνολο του ή απλά ένα υποσύνολο του, τότε ακολου-

θούμε την υπόθεση της άσκησης.


Δίνεται η συνάρτηση 2f x x με x 0

Αν είχαμε μόνο τον τύπο της f τότε θα γράφαμε Α όμως τώρα βάσει των δε-

δομένων δεχόμαστε Α 0,

x΄ x 0 1


206

vi. Σε συναρτήσεις όπου ο τύπος της περιγράφεται σε κλάδους.


2

2x 4 αν x 1f x

x 9 αν x 1

Τότε ως πεδίο ορισμού της f λαμβάνουμε την ένωση των διαστημάτων που ορίζει

ο κάθε κλάδος, δηλαδή:

1 2Α Α Α 1,

8. Σε κάθε περίπτωση το σύνολο Β είναι ολόκληρο το σύνολο των

πραγματικών αριθμών ενώ το σύνολο τιμών της f δεν

(θα βρίσκεται ακόμα) θα μας απασχολήσει.

9. Για να βρω την τιμή μιας συνάρτησης στη θέση x = α αντικαθιστώ στον

τύπο της f στην θέση του x το α και κάνω τις απαραίτητες πράξεις.

Αν έχω συνάρτηση με πολλούς κλάδους τότε επιλέγω εκείνον τον τύπο

στον οποίο ορίζεται το x του οποίου θέλω να βρω την τιμή.


2x , x 2

f x 4, x 2

2x 6 , x 2

Το πεδίο ορισμού της f είναι Α: 2 2 2, .

Έστω ότι ζητάμε τα f 2 , f 2 , f 4

Το f 2 θα υπολογιστεί σε εκείνον τον κλάδο της f όπου το x μπορεί να πάρει

την τιμή 2 δηλαδή στον κλάδο όπου x 2

Άρα 2

f 2 2 4

Ομοίως:

f 2 4 και f 4 2 4 6 2

10. Όταν δίνεται ο τύπος της f τότε το πρώτο που πρέπει να κάνουμε είτε το

ζητάει και πολύ περισσότερο όταν δεν το ζητάει είναι να βρίσκουμε το

πεδίο ορισμού της.

11. Δίνεται η συνάρτηση f με 2f x =x 10x+3

Η παραπάνω έκφραση μπορεί να αντικατασταθεί από τις εκφράσεις:

Δίνεται η συνάρτηση g με 2g α =α 10α+3

Δίνεται η συνάρτηση h με 2h t = t 10t+3

Δηλαδή το x στον τύπο μιας συνάρτησης θα παίζει τον ρόλο μιας κενής

θέσης η οποία περιμένει κάποιον αριθμό για να ξεκινήσει να λειτουργεί η

διαδικασία.


207

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1. Δίνεται η συνάρτηση 2

2

x 5x + 6f x =

x 9

α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.

β. Να απλοποιηθεί ο τύπος της.

γ. Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 0

δ. Να βρεθούν τα f(0), f(1), f(5)

Λύση

α. Πρέπει 2 2x 9 0 x 9 x 3 και x 3

A 3, 3 ή Α 3, 3 3,

β.

2

2

x 2 x 3x 5x 6 x 2f x

x 9 x 3 x 3 x 3

γ.

x 2f x 0 0 x 2 0 x 2

x 3

δ.

0 2 2 1 2 1 5 2 3f 0 , f 1 , f 5

0 3 3 1 3 4 5 3 8

Παρατήρηση:

Όταν απλοποιούμε τον τύπο μιας συνάρτησης τότε στα επόμενα ερωτήματα μας

βολεύει να χρησιμοποιούμε τον απλοποιημένο της τύπο όμως το πεδίο ορισμού

της εξακολουθεί και παραμένει αυτό που αρχικά υπολογίσαμε.

2. Δίνεται η συνάρτηση 2f x = x 3x, x .

α. Να εξετάσετε αν οι αριθμοί -2 και -10 ανήκουν στο σύνολο τιμών

της f.

β. Να λύσετε την ανίσωση 2f 2x f x + 1 < 3x

Λύση

α. Για να ανήκει ο αριθμός -2 στο σύνολο τιμών της f αρκεί να υπάρχει

τουλάχιστον ένας x ώστε η εξίσωση f x 2 να έχει λύση.

2 2f x 2 x 3x 2 x 3x 2 0 x 1 ή x 2

Δηλαδή f 1 2, f 2 2 άρα το 2 f A

Ομοίως 2 2f x 10 x 3x 10 x 3x 10 0 Αδύνατη διότι

Δ 31 0 . Άρα το 10 f Α

β. 22 2 2f 2x f x 1 3x 4x 6x x 1 3 x 1 3x 0

2 2 2 24x 6x x 2x 1 3x 3 3x 0 5x 2 0 5x 2 x

5


208

Ασκήσεις

1) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 6x 9

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τους αριθμούς f ( 1),f (4),f (0)

γ) Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές του x ώστε f (x) 2

2) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 4x 3

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τους αριθμούς f (1),f ( 1),f (3)

γ) Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές του x ώστε f (x) 3

3) Δίνεται η συνάρτηση 29 x , x 1

f (x)4 2x, x>1

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να λύσετε την εξίσωση f (x) 0

4) Δίνεται η συνάρτηση 2

2

x x, x 2f (x)

x 5x 7, x> 2


β) Να λύσετε την εξίσωση f (x) 0

5) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων

α) 2x 4

f (x)x 2

β)

2

2

x 2xf (x)

x 2x 1

γ)

1f (x)

4 8x


α) 2

1f (x)

x 16

β)

2

2x 6f (x)

4 x

γ)

2

5

4x 9f (x)

x x

δ) 1

f (x)x x

ε) 2x

f (x)1 x 2

στ) 4

f (x) xx


α) f (x) 3 x β) 2g(x) 3 x γ) 2h(x) x 4x 4

δ) 2f (x) x 6x 7 ε) f (x) x 1 στ) 2h(x) x x


α) f (x) x 3 10 x β) 2

f (x) x 3x 4

γ) f (x) 7 x 2x 6 δ) 2

2

2f (x) 81 x

x 4


209


α) 2f (x) x 20 β) 2f(x) x 16 γ) f(x) x x

δ) 2f(x) x 5x 6 ε) f(x) 3 x στ) f(x) x 9

10) Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων

α) f (x) 4 x 5 x 1 β) 2

f(x) 3x 17 x 1

γ) 2

2

1f(x) x 5x 6

x δ)

2

2

2x 7x 9f(x)

x 4x


f(x)x 2 1


β) Να βρείτε τις τιμές f( 1),f(5)

γ) Να εξετάσετε αν ο αριθμός 4 ανήκει στο σύνολο τιμών της.

12) Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x) 4x 1,x . Να βρείτε τον αριθμό α αν

ισχύει

α) f(1) α 4 β) f(α 2) 8

13) Δίνεται η συνάρτηση 2f(x) x 3x 2,x

α) Να υπολογιστούν f(0),f( 2),f( 3),f(2x),f(x 1)

β) Να αποδείξετε ότι η ισότητα f(α β) f(α) f(β) ισχύει μόνο όταν

α β 1

14) Αν f(1 x) 2x 1 για κάθε x να βρείτε το f(1) και τον τύπο της f

15) Αν x 3

f(x)x 1

,να αποδείξετε ότι f(f(x)) x για κάθε x 1

16) Δίνεται η συνάρτηση 2f(x) x 4x . Να λύσετε τις εξισώσεις

α) f(x) f( 1) β) f(x) f(x 1)

17) Δίνεται η συνάρτηση 2f(x) x .Για κάθε α,β να αποδείξετε ότι

α β f(α) f(β)

f( )2 2

18) Δίνεται η συνάρτηση f : τέτοια ώστε για κάθε x να ισχύει ότι:

f(4 x) 3x 2 f(2004) .Να βρείτε

α) Το f(2004)

β) Τον τύπο της f


210

19) Δίνεται η συνάρτηση f(x) α x β x 1 2 τέτοια ώστε f(0) f(1) και

f( 1) 8 α) Nα βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β

β) Για τις τιμές των α και β του προηγούμενου ερωτήματος να βρείτε

τον τύπο της συνάρτησης χωρίς τα απόλυτα

20) Δίνεται η συνάρτηση 2 2f(x) α 6α 10 x β 2β για την οποία ισχύει

f(1) 0 Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β.

ΘΕΜΑ 1

Δίνεται η συνάρτηση f , με 2

2

2x 5x 3f x

x 1

i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της Α .

(Μονάδες 5)

ii. Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο 22x 5x 3

(Μονάδες 10)

iii. Να αποδείξετε ότι για κάθε x A ισχύει: 2x 3

f xx 1

(Μονάδες 10)

ΘΕΜΑ 2

Δίνεται η συνάρτηση f , με: 2

2x 5, x 3f (x)

x , 3 x 10

α) Να γράψετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f σε μορφή διαστήματος.

Μονάδες 8

β) Να υπολογίσετε τις τιμές: f 1 ,f 3 και f 5 .

Μονάδες 8

γ) Να λύσετε την εξίσωση: f x 25

Μονάδες 9

ΘΕΜΑ 3

α. Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο 2x 5x 6

Μονάδες 12

β. Δίνεται η συνάρτηση 2

x 2f x

x 5x 6

1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης.

Μονάδες 5

2. Να αποδείξετε ότι για κάθε x A ισχύει 1

f xx 3

.

Μονάδες 8


211

ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η συνάρτηση : 2x 4, x 0

f xx 1, x 0

α) Να δείξετε ότι : f 1 f 3

(Μονάδες 13)

β) Να προσδιορίσετε τις τιμές του x R , ώστε : f x 0

(Μονάδες 12)

ΘΕΜΑ 5

Δίνεται η συνάρτηση : 2

x 2f x

x x 6

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.

(Μονάδες 15)

β) Να δείξετε ότι : f 2 f 4 0

(Μονάδες 10)

ΘΕΜΑ 6

Δίνεται η συνάρτηση f, με 8 x, αν x 0

f (x)2x 5, αν x 0

α) Να δείξετε ότι: f ( 5) f (4)

Μονάδες 13

β) Να βρείτε τις τιμές του x R , ώστε f (x) 9

Μονάδες 12

ΘΕΜΑ 7

Δίνεται η συνάρτηση 3x 16x

f xx 4

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f και να αποδείξετε ότι, για

τα

x που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της, ισχύει 2f x x 4x .

Μονάδες 15

β) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει f x 32 .

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 8

Δίνεται η συνάρτηση 1

f x x , x 0x

.

α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

1

Α f f 1 f 22

Μονάδες 10


212

β) Να λύσετε την εξίσωση 5

f x2

.

Μονάδες 15

ΘΕΜΑ 9

Μια μπάλα που εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω, αφού διαγράψει μια

τροχιά, μετά από κάποιο χρόνο θα πέσει στο έδαφος. Το ύψος h (σε m) από το

έδαφος, στο οποίο βρίσκεται η μπάλα κάθε χρονική στιγμή t (σε sec) κατά την

κίνησή της, προσδιορίζεται από τη συνάρτηση:

2h t 5t 10t 1,05

α) Να βρείτε τις τιμές h(0), h(1) και h(2), και να εξηγήσετε τι παριστάνουν

στο πλαίσιο του προβλήματος.

Μονάδες 6

β) Να βρείτε μετά από πόσο χρόνο η μπάλα θα φτάσει στο έδαφος.

Μονάδες 8

γ) Να δείξετε ότι το ύψος στο οποίο βρίσκεται η μπάλα κάθε χρονική στιγμή

t μπορεί να προσδιοριστεί και από τον τύπο:

2

h t 5 1,21 t 1

Μονάδες 5

δ) Να εξετάσετε αν υπάρχει χρονική στιγμή 1t (σε sec) που το ύψος h της

μπάλας από το έδαφος θα είναι πάνω από 6,05 m.

Μονάδες 6

ΘΕΜΑ 10

Για την τύπωση επαγγελματικής κάρτας επιλέγεται τετράγωνο χαρτόνι πλευ-

ράς x cm (5 x 0)1 στο οποίο η περιοχή τύπωσης περιβάλλεται από περιθώ-

ρια 2 cm στο πάνω και στο κάτω μέρος της και 1 cm δεξιά και αριστερά (όπως

στο σχήμα).

α) Να δείξετε ότι το εμβαδόν Ε της περιοχής τύπωσης των επαγγελματικών

στοιχείων εκφράζεται από τη συνάρτηση: E(x)=(x-2)(x-4)

Μονάδες 8


213

β) Να βρεθεί η τιμή του x ώστε το εμβαδόν της περιοχής τύπωσης των

επαγγελματικών στοιχείων να είναι 35 2cm .

Μονάδες 7

γ) Να βρεθούν οι τιμές που μπορεί να πάρει η πλευρά x του τετραγώνου, αν

η περιοχή τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων έχει εμβαδόν

τουλάχιστον 24 2cm .

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 11

Για την τύπωση επαγγελματικής κάρτας επιλέγεται τετράγωνο χαρτόνι πλευ-

ράς x cm 5 x 10 , στο οποίο η περιοχή τύπωσης περιβάλλεται από περιθώ-

ρια 2 cm στο πάνω και στο κάτω μέρος της και 1 cm δεξιά και αριστερά (όπως

στο σχήμα).

α) Να δείξετε ότι το εμβαδόν Ε της περιοχής τύπωσης των επαγγελματικών

στοιχείων εκφράζεται από τη συνάρτηση:

2E x x 6x 8

Μονάδες 8

β) Να βρεθεί η τιμή του x ώστε το εμβαδόν της περιοχής τύπωσης των

επαγγελματικών στοιχείων να είναι 24 2cm .

Μονάδες 7

γ) Αν το εμβαδόν της περιοχής τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων

είναι το πολύ 35 2cm , να βρεθούν οι τιμές που μπορεί να πάρει η πλευρά

x του τετραγώνου.

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 12

Για τη μέτρηση θερμοκρασιών χρησιμοποιούνται οι κλίμακες βαθμών Κελσίου

(Celsius), Φαρενάιτ (Fahrenheit) και Κέλβιν (Kelvin). Οι μετατροπές της θερ-

μοκρασίας από Κελσίου σε Φαρενάιτ και από Κελσίου σε Κέλβιν, περιγράφο-

νται από τις προτάσεις Π1 και Π2:

Π1: Για να μετατρέψουμε τη θερμοκρασία από βαθμούς Κελσίου (0C) σε βαθ-

μούς Φαρενάιτ (0F), πολλαπλασιάζουμε τους βαθμούς Κελσίου με 1,8 και προ-

σθέτουμε 32.


214

Π2: Για να μετατρέψουμε τη θερμοκρασία από βαθμούς Κελσίου (0C) σε βαθ-

μούς Κέλβιν (0K), προσθέτουμε στους βαθμούς Κελσίου (0C) το 273.

α) Να εκφράσετε συμβολικά τη σχέση που περιγράφει η κάθε πρόταση.

Μονάδες 8

β) Να δείξετε ότι η εξίσωση που παριστάνει τη σχέση μεταξύ της

θερμοκρασίας σε βαθμούς Κέλβιν (0K) και της θερμοκρασίας σε βαθμούς

Φαρενάιτ (0F) είναι η: F 32

K 2731,8

Μονάδες 7

γ) Στη διάρκεια μιας νύχτας η θερμοκρασία σε μια πόλη κυμάνθηκε από

278 0Κ μέχρι 283 0Κ. Να βρείτε το διάστημα μεταβολής της

θερμοκρασίας σε 0F.

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 13

Δίνεται η εξίσωση: 2 2x x λ λ 0 με παράμετρο λ R (1)

1. Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η

εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ R

(Μονάδες 10)

2. Για ποια τιμή του λ η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες ίσες;

(Μονάδες 6)

3. Να βρείτε το λ , ώστε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

2 2f (x) x x λ λ να είναι το σύνολο R . (Μονάδες 9)

ΘΕΜΑ 14

Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ABΓ ( οΑ 90 ) με κάθετες πλευρές που έχουν

μήκη x, y τέτοια, ώστε: x y 10 .

α) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ABΓ συναρτήσει του x

δίνεται από τον τύπο: 21E(x) x 10x , x 0,10

2 .

(Μονάδες 9)

β) Να αποδείξετε ότι 25

E(x)2

για κάθε x 0,10 .

(Μονάδες 8)

γ) Για ποια τιμή του x 0,10 το εμβαδόν E x γίνεται μέγιστο, δηλαδή

ίσο με 25

2; Τι παρατηρείτε τότε για το τρίγωνο ABΓ ;

(Μονάδες 8)


215

ΘΕΜΑ 15

Δίνεται η συνάρτηση 2 2

2

(x 1)(x 4)g(x)

x κx λ

η οποία έχει πεδίο ορισμού το

{ 2,1}

α) Να βρείτε τις τιμές των κ και λ

Μονάδες 9

β) Για κ 1 και λ 2

i) να απλοποιήσετε τον τύπο της g

Μονάδες 9

ii) να δείξετε ότι g(α 3) g(α) όταν α ( 1,1) (1,2)

Μονάδες 7

ΘΕΜΑ 16

Δίνεται η συνάρτηση 2 2

2

(x 1)(x 4)g(x)

x κx λ

η οποία έχει πεδίο ορισμού το

{ 2,1}

α) Να βρείτε τις τιμές των κ και λ

Μονάδες 9

β) Για κ 1 και λ 2

i) να απλοποιήσετε τον τύπο της g

Μονάδες 9

ii) να δείξετε ότι g(α)g(β) 0 όταν α,β ( 1,1) (1,2)

Μονάδες 7


216

6.2. Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες

Πάνω σε ένα επίπεδο σχεδιάζουμε δύο κάθετους άξονες x΄x και y΄y με κοινή

αρχή ένα σημείο Ο.

Ο οριζόντιος άξονας x΄x λέγεται άξονας των τετμημένων ή άξονας των x ενώ

ο κατακόρυφος άξονας λέγεται άξονας των τεταγμένων ή άξονας των y .

Σε κάθε σημείο Μ του παραπάνω επιπέδου των αξόνων μπορούμε να αντιστοι-

χίσουμε ένα μοναδικό ζευγάρι αριθμών το οποίο το γράφουμε στη μορφή

α,β όπου α είναι η τετμημένη του σημείου Μ δηλαδή η προβολή του στον

άξονα των x ενώ το β είναι η τεταγμένη του σημείου μ δηλαδή η προβολή του

στον άξονα των y.

Αντιστρόφως σε κάθε ζευγάρι πραγματικών αριθμών μπορούμε να

αντιστοιχίσουμε ένα μοναδικό σημείο του παραπάνω επιπέδου το οποίο

ονομάζεται καρτεσιανό επίπεδο χάρη στον καρτέσιο ο οποίος και το

ανακάλυψε.


1. Όλα τα σημεία του άξονα x΄x έχουν οι συντεταγμένες του μορφή Α(α,0)

2. Όλα τα σημεία του άξονα y΄y έχουν οι συντεταγμένες του μορφή Α(0,β)

3. Οι άξονες χωρίζουν το επίπεδο σε τέσσερα τεταρτημόρια για τα οποία

ισχύει:

α. όλα τα σημεία του πρώτου τεταρτημορίου έχουν θετική τετμημένη

και θετική τεταγμένη

β. όλα τα σημεία του δεύτερου τεταρτημορίου έχουν αρνητική τετμη-

μένη και θετική τεταγμένη

γ. όλα τα σημεία του τρίτου τεταρτημορίου έχουν αρνητική τετμημένη

και αρνητική τεταγμένη

δ. όλα τα σημεία του τέταρτου τεταρτημορίου έχουν θετική τετμημένη

και αρνητική τεταγμένη


217

4. Συμμετρίες

Α. Δύο σημεία λέγονται συμμετρικά ως προς τον άξονα x΄x όταν έ-

χουν ίδια τετμημένη και αντίθετη τεταγμένη

Β. Δύο σημεία λέγονται συμμετρικά ως προς τον άξονα y΄y όταν έχουν

ίδια τεταγμένη και αντίθετη τετμημένη

Γ. Δύο σημεία λέγονται συμμετρικά ως προς την αρχή Ο των αξόνων

όταν έχουν αντίθετη τετμημένη και αντίθετη τεταγμένη

Δ. Δύο σημεία είναι συμμετρικά ως προς την διχοτόμο της 1ης και 3ης

γωνίας των αξόνων όταν η τετμημένη του ενός ισούται με την τε-

ταγμένη του άλλου.

Παρακάτω, στο αριστερό σχήμα τα σημεία Α και Δ είναι συμμετρικά ως

προς τον άξονα x΄x, τα Α και Β ως προς τον άξονα y΄y, ενώ τα Α και Γ

ως προς την αρχή Ο των αξόνων.

Στο δεξιό σχήμα τα Α και Α΄ είναι συμμετρικά ως προς την διχοτόμο.

5. Απόσταση 2 σημείων

Έστω Οxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και

1 1 2 2Α(x ,y ), B(x ,y ) δύο σημεία του .Η απόστασή τους δίνεται από τον

τύπο: 2 2

2 1 2 1(ΑΒ)= x x + y y

Απόδειξη Με βάση το διπλανό σχήμα εφαρμόζοντας πυθαγό-

ρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΚΑΒ παίρνουμε:

2 2 2

2 2

2 1 2 1

2 2

2 1 2 1

AB KA KB

= x x y y

= x x + y y

Στην περίπτωση που τα σημεία έχουν την ίδια τετμημένη τότε η

απόστασή τους ισούται με την απόλυτη τιμή της διαφοράς των

τεταγμένων τους ενώ αν τα σημεία έχουν την ίδια τεταγμένη τότε η

απόστασή τους ισούται με την απόλυτη τιμή της διαφοράς των

τετμημένων τους .

6. Εξίσωση κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ δίνεται

από τον τύπο 2 2 2x y ρ


218

Γραφική παράσταση συνάρτησης

Ορισμός

Γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού Α, λέμε το σύνο-

λο των σημείων του επιπέδου Μ(x, f(x)) για όλα τα x A

H γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f συμβολίζεται μεfC

Βασικές προτάσεις

1. Ένα γράφημα (σχήμα) αποτελεί γραφική παράσταση μιας συνάρτησης αν

κάθε κατακόρυφη ευθεία το τέμνει το πολύ σε ένα σημείο.

2. Ένα σημείο 0 0M(x ,y ) του επιπέδου ανήκει στην γραφική παράσταση μιας

συνάρτησης f με πεδίο ορισμού Α αν και μόνο αν 0x A και 0 0f(x ) y

3. Οι τετμημένες των σημείων τομής (αν υπάρχουν) της γραφικής

παράστασης της συνάρτησης f με τον άξονα x΄x δίνονται από τις ρίζες

της εξίσωσης f(x) 0

4. H τεταγμένη του σημείου τομής της γραφικής παράστασης μιας

συνάρτησης f με τον άξονα y΄y βρίσκεται υπολογίζοντας το f(0) , εφόσον

το 0 Α

5. Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξο

να x΄x στα διαστήματα του x είναι λύσεις της ανίσωσης f(x) 0

6. Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από τον άξο

να x΄x στα διαστήματα του x είναι λύσεις της ανίσωσης f(x) 0

7. Για να βρω τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων δυο

συναρτήσεων f ,γ κάνω τα εξής

Α) Βρίσκω το πεδίο ορισμού τους και περιορίζομαι στο κοινό τους

Β) Λύνω την εξίσωση f(x) g(x) και οι λύσεις που βρίσκω (αν βρω)

είναι οι τετμημένες των σημείων τομής τους

Γ) Αντικαθιστώ τα αντίστοιχα x που βρήκα σε όποιον από τους δύο

τύπους συνάρτησης επιθυμώ και βρίσκω τις τεταγμένες τους

8. Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από την

γραφική παράσταση της συνάρτησης g στα διαστήματα του x είναι

λύσεις της ανίσωσης f(x) g(x)

9. Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από την

γραφική παράσταση της συνάρτησης g στα διαστήματα του x

είναι λύσεις της ανίσωσης f(x) g(x)


219

Ασκήσεις στη γραφική παράσταση συνάρτησης

1. Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Α(3,-2) ως προς :

α. τον άξονα x΄x.

β. τον άξονα y΄y

γ. το σημείο Ο(0,0)

δ. τη διχοτόμο της πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων

2. Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Α(4,-2) ως προς :

α. τον άξονα x΄x.

β. τον άξονα y΄y

γ. το σημείο Ο(0,0)

δ. τη διχοτόμο της πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων

3. Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ ώστε τα σημεία Α(2 λ,9) και 2Β(1,λ )

να είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα y΄y

4. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ σε κάθε μία από τις παρακάτω

περιπτώσεις

α. Το σημείο 2Α(λ ,5λ 10) ανήκει στον άξονα x΄x .

β. Το σημείο 2Α(2λ 4,λ 1) ανήκει στον άξονα y΄y.

5. Δίνεται το σημείο 2A 4 α , β 9

α. Να βρεθούν οι τιμές του β ώστε το σημείο Α να βρίσκεται στον

άξονα x΄x.

β. Να βρεθούν οι τιμές του α ώστε το σημείο Α να βρίσκεται στον

άξονα y΄y.

6. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x, y ώστε τα σημεία

A 2 x, y 3 και 2B(x , 7) , να είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα x΄x.

7. Nα βρείτε το λ, ώστε το σημείο Μ να ανήκει στην γραφική παράσταση

της συνάρτησης f όταν

α. 2f(x) x 2x λ και Μ(1,3)

β. f(x) x 2λ και Μ(6,2)

γ. x 3 λ

f(x)x λ

και Μ(0,-2)

8. Έστω η συνάρτηση 3 2f(x) αx (α 1)x βx 2. Αν η γραφική παράσταση

της συνάρτησης f διέρχεται από τα σημεία Α(1, 2) και Β( 1,3) να βρείτε

τις τιμές των α, β και να γράψετε τον τύπο της f


220

9. Να βρείτε τα σημεία τομής με τους άξονες των παρακάτω συναρτήσεων

α. f(x) 2x 12 β. 2f(x) 2x 6x 4

γ. f(x) x 2 3 δ.x 6

f(x)x 1

10. Δίνεται η συνάρτηση 2

4x 3f x

8 2x

.

α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β. Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με τους άξονες

γ. Να εξετάσετε αν τα σημεία A 0, 3 και 7

B 1,6

είναι σημεία

της γραφικής παράστασης της συνάρτησης.

11. Να βρείτε το κοινό σημείο των γραφικών παραστάσεων των

συναρτήσεων f x 3 4x και g x 7x 6 .

12. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των

συναρτήσεων 3 2f x 3x x και 2g x x x

13. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω

συναρτήσεων με τους άξονες x΄x και y΄y.

α. 2f x x 3 β. 2g x x 3x 10

γ. 2

2

x 3x 2h x

x 1

δ. φ x x 4 6

ε. t x x 1 x 4

14. Η γραφική παράσταση Cf της συνάρτησης 2f x x αx 2 διέρχεται από

το σημείο A 3, 4 .

α. Να βρεθεί η τιμή του α

β. Να εξετάσετε αν η Cf διέρχεται από τα σημεία Β 5, 18 και

Γ 3, 11 .

γ. Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με τους άξονες.

15. Δίνεται η συνάρτηση

2

2

x 8x 7f x

x 1 1 x 2x 3

α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμό της f

β. Να απλοποιηθεί ο τύπος της

γ. Να βρείτε τα σημεία τομής με τους άξονες της Cf

δ. Να λυθεί η εξίσωση f x 6


221

16. Έστω η συνάρτηση 2

2x 5, x 0

f x αx 5, 0 x 1

βx 4,x 1

α. Να βρεθούν τα α, β ώστε η Cf να διέρχεται από τα σημεία Α(1, 6)

και 1 7

Β ,2 2

.

β. Να βρεθούν τα σημεία τομής της Cf με τους άξονες.

17. Δίνεται η συνάρτηση λ 6

f x , λx 2 x 1

.

α. Βρείτε το πεδίο ορισμού της f.

β. Αν το σημείο Λ 3, 1 ανήκει στη Cf να βρείτε την τιμή του λ.

γ. Για λ =10 να προσδιορίσετε τα σημεία τομής της Cf με τους άξονες.

18. Δίνονται οι συναρτήσεις 2f x 2x 1 και 2g x x 5x 5

α. Να βρείτε τα κοινά σημεία των Cf, Cg

β. Να βρείτε τα x για τα οποία η Cf είναι πάνω από την Cg.

19. Δίνονται οι συναρτήσεις 3f x x x και 2g x x 1 :

α. Να λύσετε την εξίσωση f x g x και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά

το αποτέλεσμα που βρήκατε.

β. Να λύσετε την ανίσωση f x g x και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά

το αποτέλεσμα που βρήκατε.

20. Δίνεται η συνάρτηση αx 10

f xx 3

, της οποίας η γραφική παράσταση

διέρχεται από το σημείο Α(-2,4).

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f.

β. Να βρείτε την τιμή του α.

γ. Να εξετάσετε αν η Cf διέρχεται από τα σημεία: Β(3, 1) και Γ(-1, 9).

21. Δίνεται η συνάρτηση 2f(x) x 5x 4

α. Να βρείτε τα σημεία τομής με τους άξονες

β. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές τα σημεία

τομής της fC με τους άξονες

22. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: 2x x 2

f xx 3

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f.

β. Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της Cf διέρχεται από τα

σημεία Α(-2, 4) και Β(-4, 18).

γ. Σε ποιο σημείο τέμνει η Cf τον άξονα y΄y .

δ. Να βρείτε τα κοινά σημεία της Cf με τον άξονα x΄x.


222

23. Δίνεται η συνάρτηση 2x 2λ

f(x)x 1

της οποίας η γραφική παράσταση

διέρχεται από το σημείο Α(0,4).Να βρείτε :

α. Το πεδίο ορισμού της

β. Το λ

γ. Τα κοινά σημεία της fC με τους άξονες

δ. Το εμβαδόν και την περίμετρο του τριγώνου με κορυφές τα κοινά

σημεία της fC με τους άξονες

24. Δίνεται η συνάρτηση 2f x αx β, α,β . Η γραφική παράσταση της Cf

διέρχεται από τα σημεία: Α(-2, 0) και Β(0, -4).

α. Να αποδείξετε ότι α 1 και β 4 .

β. Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό σημείο του Α ως προς τον άξονα

y΄y ανήκει στη γραφική παράσταση της f.

γ. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει

τον άξονα x΄x.

δ. Για ποια x η γραφική παράσταση της f βρίσκεται:

Κάτω από τον άξονα x΄x.

Πάνω από τον άξονα x΄x.

ε. Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της

γραφικής παράστασης της g, όπου: g x 5x 10

25. Δίνεται η συνάρτηση

2α x αν x 1

f x

6 βx αν x 1

, της οποίας η γραφική

παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(1, 3) και Β(2, 0).

α. Να βρείτε τα α, β.

β. Να βρείτε τις τιμές f 0 , f 1 , f 3 .

γ. Να λύσετε την εξίσωση f x 0 .

δ. Να λύσετε την ανίσωση f x 0 .


223

6.2: Γραφική Παράσταση Συνάρτησης

ΑΣΚΗΣΗ 1 (2_477)

Δίνεται η συνάρτηση f , με 2x 5x 6

f xx 3

i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f .

(Μονάδες 7)

ii. Να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης α,β R {0} .

(Μονάδες 9)

iii. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους

άξονες x x και y y

(Μονάδες 9)

ΑΣΚΗΣΗ 2 (2_492)

Δίνεται η συνάρτηση 2f x x 2 x 15, x .

i. Να υπολογίσετε το άθροισμα f 1 f 0 f 1 .

(Μονάδες 10)

ii. Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής της παράστασης της f με τους

άξονες.

(Μονάδες 15)

ΑΣΚΗΣΗ 3 (2_1090)

Δίνεται η συνάρτηση f, με τύπο 2

1f (x)

x 1

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

Μονάδες 13

β) Να βρείτε τις δυνατές τιμές του πραγματικού αριθμού α, ώστε το σημείο

να ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f

Μονάδες 13

1M α,

8


224

ΑΣΚΗΣΗ 4 (2_1542)

α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση:

3 2Α x x 3x 3

Μονάδες 13

β) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων 3

f xx

και

2g x x x 3 έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, το Α 1,3 .

Μονάδες 12

ΑΣΚΗΣΗ 5 (2_1553)

Δίνονται οι συναρτήσεις 3f x x και g x x,x

α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g τέμνονται

σε τρία σημεία τα οποία και να βρείτε.

Μονάδες 13

β) Αν Α, Ο, Β είναι τα σημεία τομής των παραπάνω γραφικών

παραστάσεων, όπου Ο 0,0 , να αποδείξετε ότι Α, Β είναι συμμετρικά ως

προς το Ο.

Μονάδες 12

ΑΣΚΗΣΗ 6 (2_3378)

Στο παρακάτω σύστημα συντεταγμένων δίνεται η γραφική παράσταση μίας

συνάρτησης f.

α) Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

Μονάδες 6

β) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών:

x 2 1 1 2

y 1 3

Μονάδες 6

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες.

Μονάδες 6

δ) Να προσδιορίσετε τα διαστήματα του πεδίου ορισμού στα οποία η

συνάρτηση παίρνει αρνητικές τιμές.

Μονάδες 7


225

ΑΣΚΗΣΗ 7 (2_3379)

Στο παραπάνω σύστημα συντεταγμένων δίνεται η γραφική παράσταση μίας


α) Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

Μονάδες 6


x 3 1 0 3

y 2 4

Μονάδες 6

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες.

Μονάδες 6

δ) Να προσδιορίσετε το διάστημα του πεδίου ορισμού στο οποίο η

συνάρτηση παίρνει θετικές τιμές.

Μονάδες 7

ΑΣΚΗΣΗ 8 (2_3381)

Δίνεται η συνάρτηση g , με 22x 4x μ

g xx 1

. Αν η γραφική παράσταση της

συνάρτησης g διέρχεται από το σημείο A 1, 4

α. να δείξετε ότι μ 6

Μονάδες 9

β. να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

Μονάδες 9

γ. για μ 6 , να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης.

Μονάδες 7

ΑΣΚΗΣΗ (4_1963) 6.2

Δίνονται οι συναρτήσεις: 2f x x και g x x 1 , x και παρά-

μετρος με 0 .

α. Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις fC και gC έχουν για κάθε τιμή

της παραμέτρου ένα τουλάχιστον κοινό σημείο.

(Μονάδες 8)

β. Για ποια τιμή της παραμέτρου οι fC και gC έχουν ένα κοινό σημείο;

Ποιο είναι το σημείο αυτό;

(Μονάδες 8)


226

γ. Αν 2 και 1 2x , x είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων των fC και

gC , να βρεθεί η παράμετρος ώστε να ισχύει:

2

1 2 1 2x x x x 2 .

(Μονάδες 9)

ΑΣΚΗΣΗ 9 (4_2046)

Ένας αθλητής κολυμπάει ύπτιο και καίει 9 θερμίδες το λεπτό, ενώ όταν κολυ-

μπάει πεταλούδα καίει 12 θερμίδες το λεπτό. Ο αθλητής θέλει, κολυμπώντας,

να κάψει 360 θερμίδες.

α. Αν ο αθλητής θέλει να κολυμπήσει ύπτιο 32 λεπτά, πόσα λεπτά πρέπει να

κολυμπήσει πεταλούδα για να κάψει συνολικά 360 θερμίδες.

(Μονάδες 5)

β. Ο αθλητής αποφασίζει πόσο χρόνο θα κολυμπήσει ύπτιο και στη

συνέχεια υπολογίζει πόσο χρόνο πρέπει να κολυμπήσει πεταλούδα για να

κάψει 360 θερμίδες.

i) Αν x είναι ο χρόνος (σε λεπτά) που ο αθλητής κολυμπάει ύπτιο, να

αποδείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης που εκφράζει το χρόνο που

πρέπει να κολυμπήσει πεταλούδα για να κάψει 360 θερμίδες είναι:

3

f x 30 x4

.

(Μονάδες 7)

ii) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης του ερωτήματος β(i),

στο πλαίσιο του συγκεκριμένου προβλήματος.

(Μονάδες 4)

γ. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης του ερωτήματος

(β), να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες και να ερμηνεύσετε τη

σημασία τους στο πλαίσιο του προβλήματος.

(Μονάδες 9)

ΑΣΚΗΣΗ 10 (4_2338)

Δίνονται οι συναρτήσεις f x αx α 2 και 2g(x) x α 3 με α .

1. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο

1, 2 για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού α .

(Μονάδες 7)

2. Αν οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέμνονται σε σημείο με


227

τετμημένη 1, τότε:

i) Να βρείτε την τιμή του α .

(Μονάδες 4)

ii) Για την τιμή του α που βρήκατε υπάρχει άλλο σημείο τομής των

γραφικών παραστάσεων των f και g ; Αιτιολογήστε την απάντησή

σας.

(Μονάδες 4)

3. Να βρείτε για ποιες τιμές του α οι γραφικές παραστάσεις των f και g

έχουν δύο σημεία τομής.

(Μονάδες 10)

ΑΣΚΗΣΗ 11 (4_4660)

Δίνονται οι συναρτήσεις f και g , με 2f x x 2x και

g x 3x 4, x R .

1. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των

συναρτήσεων f και g .

(Μονάδες 5)

2. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f είναι

κάτω από εκείνη της g .

(Μονάδες 10)

3. Να αποδείξετε ότι κάθε ευθεία της μορφής y α , α 1 , βρίσκεται κάτω

από τη γραφική παράσταση της f .

(Μονάδες 10)

ΑΣΚΗΣΗ 12 (4_5879)

Ο αγώνας δρόμου ανάμεσα στη χελώνα και το λαγό γίνεται σύμφωνα μα τους

ακόλουθους κανόνες:

Η διαδρομή είναι τμήμα ενός ευθυγράμμου τμήματος.

Ο λαγός ξεκινάει τη χρονική στιγμή t 0 από ένα σημείο Ο.

Το τέρμα βρίσκεται σε σημείο Μ με OM 600 μέτρα.

Η χελώνα ξεκινάει τη στιγμή t 0 με προβάδισμα, δηλαδή από ένα

σημείο Α που βρίσκεται μεταξύ του Ο και του Μ με ΟΑ 600 μέτρα.


228

Υποθέτουμε ότι, για t 0 η απόσταση του λαγού από το Ο τη χρονική στιγμή

t min δίνεται από τον τύπο 2

ΛS (t) 10t μέτρα, ενώ η απόσταση χελώνας από το

Ο τη χρονική στιγμή t min δίνεται από τον τύπο ΧS (t) 600 40t μέτρα.

α) Να βρείτε σε πόση απόσταση από το Ο θα πρέπει να βρίσκεται το σημείο

Μ, ώστε η χελώνα να κερδίσει τον αγώνα.

Μονάδες 10

β) Υποθέτουμε τώρα ότι η απόσταση του τέρματος Μ από το Ο είναι

ΟΜ 2250 μέτρα.

Να βρείτε:

i) Ποια χρονική στιγμή ο λαγός φτάνει τη χελώνα;

Μονάδες 5

ii) Ποιος τους δύο δρομείς προηγείται τη χρονική στιγμή t 12min και

ποια είναι τότε η μεταξύ τους απόσταση;

Μονάδες 5

iii) Ποια χρονική στιγμή τερματίζει ο νικητής τον αγώνα;

Μονάδες 5

ΑΣΚΗΣΗ 13 (4_5882)

Δίνονται οι συναρτήσεις 2f (x) (x 1) 4 και g(x) x 1 2 με x .

α) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της

συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x

Μονάδες 9

β) Να δείξετε ότι για κάθε τιμή του x η γραφική παράσταση της

συνάρτησης g βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x

Μονάδες 4

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των

συναρτήσεων f και g

Μονάδες 12

ΑΣΚΗΣΗ 14 (4_6146)


229

Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης

f : και της συνάρτησης g(x) 2x 2

Με τη βοήθεια του σχήματος, να βρείτε:

α) Τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει f (x) 2x 2

Μονάδες 6

β) Τις τιμές f ( 1) , f (0) , f (1)

Μονάδες 6

γ) Τις τιμές του x , για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται

πάνω από τη γραφική παράσταση της g

Μονάδες 6

δ) Τις τιμές του x , για τις οποίες η παράσταση Α f (x) 2x 2 έχει

νόημα πραγματικού αριθμού.

Μονάδες 7


230

ΑΣΚΗΣΗ 15 (4_8451)

Δίνεται η συνάρτηση 24x 2 α 3 x 3α

f x2x 3

, όπου α .

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f .

Μονάδες 5

β) Να αποδειχθεί ότι f x 2x α για κάθε x που ανήκει στο πεδίο

ορισμού της f

Μονάδες 8

γ) Να βρεθεί η τιμή του α αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το

σημείο 1,1

Μονάδες 7

δ) Να βρεθούν (αν υπάρχουν) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης

της f με τους άξονες x x και y y

Μονάδες 5

Άσκηση 16 (4_13090)

Δίνονται οι συναρτήσεις 2f (x) x 3x 2 και g(x) x 1 , x

α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g έχουν ένα

μόνο κοινό σημείο, το οποίο στη συνέχεια να προσδιορίσετε.

Μονάδες 10

β) Δίνεται η συνάρτηση h(x) = x + α. Να δείξετε ότι :

i) αν α > 1, τότε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, h έχουν

δύο κοινά σημεία.

ii) αν α < 1, τότε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, h δεν

έχουν κοινά σημεία.


231

6.3. Η συνάρτηση f(x) = αx + β

Θεωρούμε Οxy ένα σύστημα συντεταγμένων και (ε) μια ευθεία που τέμνει x΄x

στο σημείο Α.

Η ημιευθεία Αx κινούμενη κατά τη θετική φορά (την αντίθετη της φοράς

των δεικτών του ρολογιού) μέχρι να ταυτιστεί με την ευθεία (ε)

διαγράφει μια γωνία ω.

Τη γωνία αυτή τη λέμε γωνία που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα

x΄x.

Στην περίπτωση όπου η (ε) ταυτίζεται με τον x΄x ή είναι παράλληλη σε

αυτόν τότε λέμε ότι η ευθεία σχηματίζει γωνία.

Σε κάθε περίπτωση 0 ω 180

Ως συντελεστή διεύθυνσης ή κλίση μιας ευθείας (ε) ορίζουμε την

εφαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζει η (ε) με τον άξονα x΄x

Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) συμβολίζεται με λε ή απλά με

λ.

Ισχύουν: ελ 0 0 ω 90 (γωνία οξεία)

ελ 0 90 ω 180 (γωνία αμβλεία)

Αν ω 90 (η ευθεία ε x x ) τότε ΔΕΝ ΟΡΙΖΕΤΑΙ συντελεστής

διεύθυνση για την (ε).

Γραφική παράσταση της f(x) = αx + β

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = αx + β είναι μια ευθεία με

εξίσωση y αx β η οποία τέμνει τον y΄y στο σημείο Β(0, β) και έχει κλίση

λ = α.

Ισχύουν: α. Αν α 0 τότε 0 ω 90

β. Αν α 0 τότε 90 ω 180

γ. Αν α 0 τότε ω 0


232

Αν α = 0 τότε η συνάρτηση παίρνει τη μορφή f(x) = β και λέγεται

σταθερή συνάρτηση δηλαδή παίρνει την ίδια τιμή για κάθε x

Κλίση ευθείας αν γνωρίζουμε δύο σημεία της.

2 1

2 1

y yα

x x

με 1 2x x όπου Α.

Η συνάρτηση f(x) = αx

Στην ειδική περίπτωση όπου β = 0 η f(x) = αx + β παίρνω την μορφή

όπου f(x) αx , όποτε η γραφική παράσταση είναι η ευθεία y = αx και

περνάει από την αρχή των αξόνων.

Αν α = 1 έχουμε την ευθεία y = x η οποία σχηματίζει γωνία ω 45 με

τον x΄x άρα διχοτομεί τις γωνίες ˆxOy και ˆx Oy

Σχετικές θέσεις 2 ευθειών

Θεωρούμε 2 ευθείες 1 2(ε ),(ε ) με εξισώσεις

1 1y α x β και 2 2y α x β

Τότε ισχύουν τα παρακάτω

α. Αν 1 2α α και

1 2β β τότε οι ευθείες είναι παράλληλες

β. Αν 1 2α α και

1 2β β τότε οι ευθείες ταυτίζονται

γ. Αν 1 2α α τότε οι ευθείες τέμνονται

Η συνάρτηση f(x) x

x, x 0f(x)

x, x 0


233

Ασκήσεις

1) Για ποιες τιμές του κ η ευθεία 2y 3x κ 9 διέρχεται από την αρχή

των αξόνων.

2) Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα x΄x στις

παρακάτω περιπτώσεις.

α. y x 9 β. y x 7

γ. y 3x 6 δ. 1

y x 23

ε. y 3x 5 στ. 3

y x 93

3) Να βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας (ε) με τους άξονες x΄x και y΄y

στις παρακάτω περιπτώσεις:

α. y 2x 3 β. 1

y x 53

γ. 4x 6y 12 0 δ. 6x 8y 24 0

4) Να βρείτε την εξίσωση ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Α(3, 1)

και:

α. Είναι παράλληλη στην ευθεία y 2x 2

β. Σχηματίζει γωνία 60 με τον άξονα x΄x

γ. Είναι κάθετη στον x΄x

δ. Είναι παράλληλη στον x΄x

5) Να βρείτε την εξίσωση ευθείας η οποία διέρχεται από τα σημεία:

α. A 2, 8 και Β 1, 1

β. A 1, 4 και Β 1, 7

6) Δίνεται η συνάρτηση 2x αx 12

f xx 4

, της οποίας η γραφική

παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(5, 2).

α. Να αποδείξετε ότι α 7 .

β. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.

γ. Να απλοποιήσετε τον τύπο της.

δ. Να κάνετε την γραφική της παράσταση.

7) Nα βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ ώστε οι ευθείες

2y (λ 2λ)x 7 και y 2 να είναι παράλληλες.

8) Nα βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ ώστε οι ευθείες

2y (λ 3λ)x 14 και 2y (λ 3)x 14 να είναι παράλληλες.


234

9) Να παραστήσετε γραφικά τις παρακάτω συναρτήσεις

α. 2x 1 ,x 3

f(x) 5 , x 3

β.

x 4 ,x 1f(x)

-x+5 , x 1

10) Να παραστήσετε γραφικά τις παρακάτω συναρτήσεις

α. 2x 3 ,x 2

f(x) -4x+7 , x 2

β. f(x) 2x 4 x x 5

11) α. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των

συναρτήσεων: f x x , g x 2, h x 4 .

β. Να λύσετε με την βοήθεια των παραπάνω γραφικών παραστάσεων:

Τις εξισώσεις x 2 και x 4 .

Τις ανισώσεις x 2 και x 4 .

Την ανίσωση 2 x 4 .

12) Να λύσετε γραφικά τις ανισώσεις

α. 2x 4 0 β. 2x 4 0 γ. x 2

13) Δίνεται η ευθεία 2ε: y α 4α x 8 , η οποία είναι παράλληλη με την

ευθεία η: y 4x 16

α. Να βρείτε την τιμή του α .

β. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της ευθείας (ε).

γ. Αν η ευθεία (ε) τέμνει τους άξονες x΄x και y΄y στα σημεία Α και Β

αντίστοιχα και η ευθεία (η) στα Γ και Δ αντίστοιχα, να βρείτε:

Της συντεταγμένες των σημείων Α, Β, Γ, Δ.

Το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΓΔΒ.

δ. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη με την (ε)

και διέρχεται από το σημείο Ε(1, -1)

14) Δίνονται οι παράλληλες ευθείες : 2ε: y λ x 4 και η: y λ 2 x 5 .

α. Να βρείτε τις τιμές του λ.

β. Για την μικρότερη τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα (α) να

σχεδιάσετε τις (ε) και (η), να βρείτε τα σημεία που αυτές τέμνουν

τους άξονες, καθώς και τη γωνία που σχηματίζουν με τον άξονα

x΄x.

γ. Για λ 2 και λ 1 προκύπτουν τέσσερις ευθείες, οποίες

τεμνόμενες σχηματίζουν ένα τετράπλευρο. Τι είδους τετράπλευρο

είναι αυτό και ποιες είναι οι συντεταγμένες των κορυφών του;

15) Έστω η ευθεία (ε) y αx β η οποία έχει κλίση 3 και τέμνει τον άξονα

y΄y στο σημείο με τεταγμένη -1.

α. Να βρείτε τις τιμές των α και β .


235

β. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της ευθείας (ε)

γ. Να υπολογιστεί το λ έτσι ώστε η ευθεία (ε) να είναι παράλληλη με

την ευθεία (ζ) που έχει εξίσωση y λ 2 x λ

16) Δίνεται η συνάρτηση: 2 2x 6x 9 x 10x 25

f xx 3 x 5

.

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f .

β. Να γράψετε τον τύπο της χωρίς τα ριζικά.

γ. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f.

δ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.


236

Ασκήσεις από την τράπεζα θεμάτων

1) Δίνεται η συνάρτηση f , με 2x 5x 6

f x .x 3

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

Μονάδες 7

β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης f

Μονάδες 9

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με

τους άξονες x΄x και y΄y .

Μονάδες 9

2) Δίνεται η συνάρτηση f, με 2

2

2x 5x 3f x

x 1

.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της Α.

Μονάδες 5

β) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο 22x 5x 3

Μονάδες 10

γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε x∈A ισχύει : 2x 3

f x .x 1

Μονάδες 10

3) Δίνεται η συνάρτηση 2f x x 2x 15, x R .

α) Να υπολογίσετε το άθροισμα f 1 f 0 f 1 .

Μονάδες 10

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με

τους άξονες.

Μονάδες 15

4) Δίνεται η συνάρτηση f, με: 2

2x 5, x 3f x

x , 3 x 10

α) Να γράψετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f σε μορφή

διαστήματος.

Μονάδες 8

β) Να υπολογίσετε τις τιμές f 1 , f 3 και f 5 .

Μονάδες 8

γ) Να λύσετε την εξίσωση f x 25 .

Μονάδες 9

5) Δίνεται η παράσταση 5

5B x 2

α) Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Β; Να αιτιολογήσετε

την απάντησή σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιμών

του x υπό μορφή διαστήματος.

Μονάδες 13

β) Για x 4 , να αποδείξετε ότι 2 4B 6B B

Μονάδες 12


237

6) α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο 2x 5x 6 .

Μονάδες 12

β) Δίνεται η συνάρτηση 2

x 2f (x) .

x 5x 6

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης.

Μονάδες 5

ii) Nα αποδείξετε ότι για κάθε x A ισχύει f (x) =

1

x - 3.

Μονάδες 8

7) Δίνεται η συνάρτηση f x x α β, όπου ,αβ πραγματικοί αριθμοί.

α. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από τα

σημεία 1,6 , ( 1,4) να βρείτε τις τιμές των ,αβ.

Μονάδες 13

β. Αν 1α και 5β , να προσδιορίσετε τα σημεία τομής της

γραφικής

παράστασης της συνάρτησης f με τους άξονες x΄x και y΄y.

Μονάδες 12

8) Δίνεται η συνάρτηση:2x 4, x 0

f (x)x 1, x 0

α) Να δείξετε ότι f 1 f 3

Μονάδες 13

β) Να προσδιορίσετε τις τιμές του x R , ώστε: f x 0

Μονάδες 12


x 2f x

x x 6

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

Μονάδες 15

β) Να δείξετε ότι f 2 f 4 0

Μονάδες 10

10) Δίνεται η συνάρτηση f, με τύπο 2

1f x

x 1

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

Μονάδες 13

β) Να βρείτε τις δυνατές τιμές του πραγματικού αριθμού α, ώστε το

σημείo 1

M ,8

α να ανήκει στη γραφική παράσταση της


Μονάδες 12


238

11) Η απόσταση y (σε χιλιόμετρα) ενός αυτοκινήτου από μια πόλη Α, μετά

από x λεπτά, δίνεται από τη σχέση y 35 0,8x

α) Ποια θα είναι η απόσταση του αυτοκινήτου από την πόλη Α μετά

από 25 λεπτά;

Μονάδες 12

β) Πόσα λεπτά θα έχει κινηθεί το αυτοκίνητο, όταν θα απέχει 75

χιλιόμετρα από την πόλη Α;

Μονάδες 13

12) Η θερμοκρασία Τ σε βαθμούς Κελσίου (˚C), σε βάθος x χιλιομέτρων

κάτω από την επιφάνεια της Γης, δίνεται κατά προσέγγιση από τη σχέση:

T 15 25 x, όταν 0 x 200

α) Να βρείτε τη θερμοκρασία ενός σημείου που βρίσκεται 30

χιλιόμετρα κάτω από την επιφάνεια της Γης. Να αιτιολογήσετε την


Μονάδες 7

β) Να βρείτε το βάθος στο οποίο η θερμοκρασία είναι ίση με 290˚C.

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Μονάδες 10

γ) Σε ποιο βάθος μπορεί να βρίσκεται ένα σημείο, στο οποίο η

θερμοκρασία είναι μεγαλύτερη από 440˚C; Να αιτιολογήσετε την


Μονάδες 8

13) Δίνεται η συνάρτηση f, με 8 x, x 0

f (x)2x 5, x 0

α) Να δείξετε ότι f 5 f 4

Μονάδες 13

β) Να βρείτε τις τιμές του x R , ώστε f x 9

Μονάδες 12

14) Δίνεται η συνάρτηση f x x α β, με , Rαβ , για την οποία ισχύει:

f 0 5 και f 1 3

α) Να δείξετε ότι 2 α και 5β .

Μονάδες 10

β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει

τους άξονες x’x και y’y.

Mονάδες 7

γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f.

Mονάδες 8

15) Δίνεται η συνάρτηση 3x 16x

f xx 4

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f και να αποδείξετε

ότι, για τα x που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της, ισχύει


239

2f x x 4x . Μονάδες 15

β) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει f x 32 .

Μονάδες 10

16) Δίνεται η συνάρτηση: 1

f x x ,x 0x

α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 1

A f f 1 f 22

Μονάδες 10

β) Να λύσετε την εξίσωση 5

f x2

Μονάδες 15

17) Δίνονται οι συναρτήσεις 3f x x και g x x, x R .

α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g

τέμνονται σε τρία σημεία τα οποία και να βρείτε.

Μονάδες 13

β) Αν Α, Ο, Β είναι τα σημεία τομής των παραπάνω γραφικών

παραστάσεων, όπου O 0,0 , να αποδείξτε ότι Α, Β είναι

συμμετρικά ως προς το Ο.

Μονάδες 12

18) Δίνεται η συνάρτηση f, με

f (x) =2x2 - 6 x

2 x - 6

α) Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού A της συνάρτησης f.

Μονάδες 10

β) Να αποδείξετε ότι f (x) = x , για κάθε x∈A

Μονάδες 10

γ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f για x > 0.

Μονάδες 5

19) Στο παρακάτω σύστημα συντεταγμένων δίνεται η γραφική παράσταση

μιας συνάρτησης f.

α) Nα προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.


240

Μονάδες 6


x 2 1 1 2

y 1 3

Μονάδες 6

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους

άξονες.

Μονάδες 6

δ) Να προσδιορίσετε τα διαστήματα του πεδίου ορισμού στα οποία η

συνάρτηση παίρνει αρνητικές τιμές.

Μονάδες 7

20) Στο παρακάτω σύστημα συντεταγμένων δίνεται η γραφική παράσταση

μιας συνάρτησης f .

α) Nα προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. .

Μονάδες 6


x 3 1 0 3

y 2 4

Μονάδες 6

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους

άξονες.

Μονάδες 6

δ) Να προσδιορίσετε το διάστημα του πεδίου ορισμού στο οποίο η

συνάρτηση παίρνει θετικές τιμές.

Μονάδες 7

21) Δίνεται η συνάρτηση g, με 22x 4x

g(x)x 1

Αν η γραφική παράσταση

της συνάρτησης g διέρχεται από το σημείο Α(1, 4),

α) να δείξετε ότι μ = 6.

Μονάδες 9


241

β) να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

Μονάδες 9

γ) για μ=6 να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης.

Μονάδες 7

22) Δινεται η συναρτηση f, με f(x) =x + 2

9 - x2

α. Να βρειτε το πεδιο ορισμου της συναρτησης f.

Mοναδες 10

β. Να βρειτε τα σημεια τομης της γραφικης παραστασης της

συναρτησης f με τους αξονες.

Mοναδες 7

γ. Αν Α και Β ειναι τα σημεια τομης της γραφικης παραστασης της

συναρτησης f με τους αξονες x΄x και y΄y αντιστοιχα, να βρειτε την

εξισωση της ευθειας που οριζεται απο τα Α και Β.

Mοναδες 8

23) Δινονται οι συναρτησεις: f x( ) = x2 και g x( ) = lx + 1- l( ), x R και λ

παραμετρος με 0 .

α) Να δειξετε οτι οι γραφικες παραστασεις Cf και Cg εχουν για καθε

τιμη της παραμετρου λ ενα τουλαχιστον κοινο σημειο.

Μοναδες 8

β) Για ποια τιμη της παραμετρου λ οι Cf και Cg εχουν ενα μονο κοινο

σημειο; Ποιο ειναι το σημειο αυτο;

Μοναδες 8

γ) Αν 2 και 1 2x , x ειναι οι τετμημενες των κοινων σημειων των

Cf και Cg, να βρεθει η παραμετρος λ ωστε να ισχυει:

x1 + x2( )2

= x1 + x2 + 2.

Μοναδες 9

24) Ενας αθλητης κολυμπαει υπτιο και καιει 9 θερμιδες το λεπτο, ενω οταν

κολυμπαει πεταλουδα καιει 12 θερμιδες το λεπτο. Ο αθλητης θελει,

κολυμπωντας, να καψει 360 θερμιδες.

α) Αν ο αθλητης θελει να κολυμπησει υπτιο 32 λεπτα, ποσα λεπτα

πρεπει να κολυμπησει πεταλουδα για να καψει συνολικα 360

θερμιδες.

Μοναδες 5

β) Ο αθλητης αποφασιζει ποσο χρονο θα κολυμπησει υπτιο και στη

συνεχεια υπολογιζει ποσο χρονο πρεπει να κολυμπησει πεταλουδα

για να καψει 360 θερμιδες.

i) Αν x ειναι ο χρονος (σε λεπτα) που ο αθλητης κολυμπαει υπτιο,

να αποδειξετε οτι ο τυπος της συναρτησης που εκφραζει το

χρονο που πρεπει να κολυμπησει πεταλουδα για να καψει 360

θερμιδες ειναι: f x( ) = 30 -3

4x

Μοναδες 7


242

ii) Να βρειτε το πεδιο ορισμου της συναρτησης του ερωτηματος

β(i),στο πλαισιο του συγκεκριμενου προβληματος.

Μοναδες 4

γ) Να χαραξετε τη γραφικη παρασταση της συναρτησης του

ερωτηματος (β), να βρειτε τα σημεια τομης της με τους αξονες και

να ερμηνευσετε τη σημασια τους στο πλαισιο του προβληματος.

Μοναδες 9

25) Δυο φιλοι αποφασισαν να κανουν το χομπι τους δουλεια. Τους αρεσε να

ζωγραφιζουν μπλουζακια και εστησαν μια μικρη επιχειρηση για να τα

πουλησουν μεσω διαδικτυου. Τα εξοδα κατασκευης (σε ευρω) για x

μπλουζακια δινονται απο τη συναρτηση K x( ) =12,5x +120και τα εσοδα

απο την πωληση τους (σε ευρω), σε διαστημα ενος μηνος, απο τη

συναρτηση

E x( ) = 15,5x .

α) Ποια ειναι τα παγια εξοδα της επιχειρησης;

Μοναδες 6

β) Τι εκφραζει ο αριθμος 12,5 και τι ο αριθμος 15,5 στο πλαισιο του

προβληματος;

Μοναδες 4

γ) Να βρειτε ποσα μπλουζακια πρεπει να πουλησουν ωστε να εχουν

εσοδα οσα και εξοδα (δηλαδη να μην «μπαινει μεσα» η επιχειρηση)

Μοναδες 6

δ) Αν πουλησουν 60 μπλουζακια θα εχουν κερδος; Να αιτιολογησετε

την απαντηση σας.

Μοναδες 9

26) Για την καλυψη, με τετραγωνα πλακακια, μερους ενος τοιχου, μπορουμε

να χρησιμοποιησουμε πλακακια τυπου Α με πλευρα d cm η πλακακια

τυπου Β με πλευρα (d+1)cm.

α) Να βρειτε, ως συναρτηση του d, το εμβαδον που καλυπτει καθε

πλακακι τυπου Α και καθε πλακακι τυπου Β.

Μοναδες 6

β) Αν η επιφανεια μπορει να καλυφθει ειτε με 200 πλακακια τυπου Α

ειτε με 128 τυπου Β, να βρειτε:

i) Τη διασταση που εχει το πλακακι καθε τυπου.

Μοναδες 12

ii) Το εμβαδον της επιφανειας που καλυπτουν.

Μοναδες 7

27) Μια μπαλα που εκτοξευεται κατακορυφα προς τα πανω, αφου διαγραψει

μια τροχια, μετα απο καποιο χρονο θα πεσει στο εδαφος. Το υψος h

(σε m) απο το εδαφος, στο οποιο βρισκεται η μπαλα καθε χρονικη στιγμη

t (σε sec) κατα την κινηση της, προσδιοριζεται απο τη συναρτηση:

h t( ) = -5t2 +10t +1,05

α) Να βρειτε τις τιμες h(0), h(1) και h(2), και να εξηγησετε τι

παριστανουν στο πλαισιο του προβληματος.

Μοναδες 6


243

β) Να βρειτε μετα απο ποσο χρονο η μπαλα θα φτασει στο εδαφος.

Μοναδες 8

γ) Να δειξετε οτι το υψος στο οποιο βρισκεται η μπαλα καθε χρονικη

στιγμη t μπορει να προσδιοριστει και απο τον τυπο

2

h t 5 1,21 t 1

Μοναδες 5

δ) Να εξετασετε αν υπαρχει χρονικη στιγμη t1 (σε sec) που το υψος h της

μπαλας απο το εδαφος θα ειναι πανω απο 6,05m.

Μοναδες 6

28) Για την τυπωση επαγγελματικης καρτας επιλεγεται τετραγωνο χαρτονι

πλευρας x cm 5 £ x £10( ) στο οποιο η περιοχη τυπωσης περιβαλλεται

απο περιθωρια 2 cm στο πανω και στο κατω μερος της και 1 cm δεξια

και αριστερα (οπως στο σχημα).

α) Να δειξετε οτι το εμβαδον Ε της περιοχης τυπωσης των

επαγγελματικων στοιχειων εκφραζεται απο τη συναρτηση

E x( ) = x - 2( ) x - 4( ) Μοναδες 8

β) Να βρεθει η τιμη του x ωστε το εμβαδον της περιοχης τυπωσης των

επαγγελματικων στοιχειων να ειναι 35 cm2.

Μοναδες 7

γ) Να βρεθουν οι τιμες που μπορει να παρει η πλευρα x του

τετραγωνου, αν η περιοχη τυπωσης των επαγγελματικων στοιχειων

εχει εμβαδον τουλαχιστον 24 cm2.

Μοναδες 10

29) Για την τυπωση επαγγελματικης καρτας επιλεγεται τετραγωνο χαρτονι

πλευρας x cm 5 £ x £10( ), στο οποιο η περιοχη τυπωσης περιβαλλεται

απο περιθωρια 2 cm στο πανω και στο κατω μερος της και 1 cm δεξια

και αριστερα (οπως στο σχημα).


244

α) Να δειξετε οτι το εμβαδον Ε της περιοχης τυπωσης των

επαγγελματικων στοιχειων εκφραζεται απο τη συναρτηση

E x( ) = x2 - 6x + 8

Μοναδες 8

β) Να βρεθει το η τιμη του x ωστε το εμβαδον της περιοχης τυπωσης

των επαγγελματικων στοιχειων να ειναι 24 cm2.

Μοναδες 7

γ) Αν το εμβαδον της περιοχης τυπωσης των επαγγελματικων στοιχειων

ειναι το πολυ 35 cm2, να βρεθουν οι τιμες που μπορει να παρει η

πλευρα x του τετραγωνου.

Μοναδες 10

30) Για τη μετρηση θερμοκρασιων χρησιμοποιουνται οι κλιμακες βαθμων

Κελσιου (Celsius), Φαρεναιτ (Fahrenheit) και Κελβιν (Kelvin). Οι

μετατροπες της θερμοκρασιας απο Κελσιου σε Φαρεναιτ και απο

Κελσιου σε Κελβιν, περιγραφονται απο τις προτασεις Π1 και Π2:

Π1: Για να μετατρεψουμε τη θερμοκρασια απο βαθμους Κελσιου o C( )

σε βαθμους Φαρεναιτ o F( ), πολλαπλασιαζουμε τους βαθμους Κελσιου

με 1,8 και προσθετουμε 32.

Π2: Για να μετατρεψουμε τη θερμοκρασια απο βαθμους Κελσιου o C( )

σε βαθμους Κελβιν o K( ), προσθετουμε στους βαθμους Κελσιου o C( ) το

273.

α) Να εκφρασετε συμβολικα τη σχεση που περιγραφει η καθε

προταση.

Μοναδες 8

β) Να δειξετε οτι η εξισωση που παριστανει τη σχεση μεταξυ της

θερμοκρασιας σε βαθμους Κελβιν o K( ) και της θερμοκρασιας σε

βαθμους Φαρεναιτ o F( ) ειναι η K =F - 32

1,8+ 273

Μοναδες 7

γ) Στη διαρκεια μιας νυχτας η θερμοκρασια σε μια πολη κυμανθηκε απο

278 o K μεχρι 283

o K . Να βρειτε το διαστημα μεταβολης της

θερμοκρασιας σε o F .

Μοναδες 10

31) Δινονται οι συναρτησεις f x( ) = 4x + 2 και g x( ) = x2 - 9 με πεδίο


245

ορισμου το R .

α) Να βρειτε τα σημεια τομης της γραφικης παραστασης της

συναρτησης g με τον αξονα x'x.

Μοναδες 6

β) Να εξετασετε αν η γραφικη παρασταση της f τεμνει τους αξονες σε

καποιο απο τα σημεια (3,0) και (3,0).

Μοναδες 4

γ) Να αποδειξετε οτι δεν υπαρχει σημειο του αξονα x x που η

τετμημενη του να ικανοποιει τη σχεση f x( ) = g x( ). Μοναδες 8

δ) Να βρειτε συναρτηση h που η γραφικη της παρασταση να ειναι

ευθεια και να τεμνει τη γραφικη παρασταση της g σε σημειο του

αξονα x'x.

Μοναδες 7

32) Δινονται οι συναρτησεις f x( ) = ax - a + 2 και g x( ) = x2 - a + 3 με R .

α) Να αποδειξετε οτι η γραφικη παρασταση της f διερχεται απο το

σημειο (1, 2) για καθε τιμη του πραγματικου αριθμου α.

Μοναδες 7

β) Αν οι γραφικες παραστασεις των f και g τεμνονται σε σημειο με

τετμημενη 1, τοτε:

i) Να βρειτε την τιμη του α.

Μοναδες 4

ii) Για την τιμη του α που βρηκατε υπαρχει αλλο σημειο τομης των

γραφικων παραστασεων των f και g; Αιτιολογηστε την απαντηση

σας.

Μοναδες 4

γ) Να βρειτε για ποιες τιμες του α οι γραφικες παραστασεις των f και

g εχουν δυο σημεια τομης.

Μοναδες 10

33) Στο παρακατω συστημα συντεταγμενων το ευθυγραμμο τμημα ΑΒ με

Α(0,100) και Β(10,50) παριστανει τη γραφικη παρασταση της

συναρτησης δ(x) των ετησιων δαπανων μιας εταιρειας, σε χιλιαδες ευρω,

στα x χρονια της λειτουργιας της.

To ευθυγραμμο τμημα ΓΔ με Γ(0,50) και Δ(10,150) παριστανει τη

γραφικη παρασταση της συναρτησης των ετησιων εσοδων ε(x) της

εταιρειας, σε χιλιαδες ευρω, στα x χρονια της λειτουργιας της. Οι

γραφικες παραστασεις αναφερονται στα δεκα πρωτα χρονια λειτουργιας

της εταιρειας.


246

α) Με τη βοηθεια των γραφικων παραστασεων να εκτιμησετε τα

εσοδα και τα εξοδα τον πεμπτο χρονο λειτουργιας της εταιρειας.

Μοναδες 4

β) i) Να προσδιορισετε τους τυπους των συναρτησεων δ(x), ε(x) και

να ελεγξετε αν οι εκτιμησεις σας στο α) ερωτημα ηταν σωστες.

Μοναδες 15

ii) Να βρειτε τις συντεταγμενες του σημειου τομης των τμηματων

ΑΒ και ΓΔ και να τις ερμηνευσετε στο πλαισιο του

προβληματος.

Μοναδες 6

34) Δινονται οι συναρτησεις f x( ) = x2 - 4x + a και g x( ) = ax - 5 , με R .

α) Αν ισχυει f 2( ) = g 2( ), να βρειτε την τιμη του α.

Μοναδες 7

β) Για α = 1,

i) να λυσετε την εξισωση f x( ) = g x( ) Μοναδες 8

ii) να λυσετε την ανισωση: f x( ) ³ g x( ) και, με τη βοηθεια αυτης, να

λυσετε την εξισωση f x( )- g x( ) = f x( )- g x( )

Μοναδες 10

35) Δινεται η συναρτηση f x( ) = x2 + x +1, x R .

α) Να αποδειξετε οτι η γραφικη παρασταση Cf της συναρτησης f δεν

τεμνει τον αξονα x'x.

Μοναδες 5

β) Να βρειτε τις τετμημενες των σημειων της Cf που βρισκονται κατω

απο την ευθεια y = 2x + 3.

Μοναδες 10

γ) Εστω M(x,y) σημειο της Cf. Αν για την τετμημενη x του σημειου

Μ ισχυει: 2x -1 < 3, τοτε να δειξετε οτι το σημειο αυτο βρισκεται

κατω απο την ευθεια y = 2x + 3.

Μοναδες 10

36) Δινεται η συναρτηση f, με x 2, x 0

f x x 2, x 0

α) Να βρειτε το σημειο τομης της γραφικης παραστασης Cf της f με

τον αξονα y'y.


247

Μοναδες 3

β) i) Να χαραξετε τη Cf και την ευθεια y = 3 , και στη συνεχεια να

εκτιμησετε τις συντεταγμενες των σημειων τομης τους.

Μοναδες 5

ii) Nα εξετασετε αν τα σημεια αυτα ειναι συμμετρικα ως προς τον

αξονα y'y. Να αιτιολογησετε την απαντηση σας.

Μοναδες 4

γ) i) Για ποιες τιμες του πραγματικου αριθμου α , η ευθεια y = a

τεμνει τη Cf σε δυο σημεια; Να αιτιολογησετε την απαντηση

σας.

Μοναδες 5

ii) Για τις τιμες του α που βρηκατε στο ερωτημα (γi), να

προσδιορισετε αλγεβρικα τα σημεια τομης της Cf με την ευθεια

y = a και να εξετασετε αν ισχυουν τα συμπερασματα του

ερωτηματος (βii), αιτιολογωντας τον ισχυρισμο σας. Μοναδες 8

37) Δίνεται η συνάρτηση 2x 5x 6

f(x)2 x

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

Μοναδες 4

β) Να αποδειχθεί ότι x 3,x 2

f(x)x 3,x 2

Μοναδες 6

γ) Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης και να βρεθούν τα

σημεία τομής της με τους άξονες

Μοναδες 8

δ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) 0

Μοναδες 7

38) Δίνονται οι συναρτήσεις 2f(x) x 3x 2 και g(x) x 1,x

α) να δείξετε ότι οι γραφικές τους παραστάσεις έχουν ένα μόνο κοινό

σημείο το οποίο να προσδιορίσετε

Μοναδες 10

β) Δίνεται η συνάρτηση g(x) x α . Να δείξετε ότι :

i) αν α 1 τότε οι γραφικές παραστάσεις των f και g έχουν δύο

κοινά σημεία

ii) αν α 1 τότε οι γραφικές παραστάσεις των f και g δεν έχουν

κοινά σημεία

Μοναδες 15

39) Δίνεται η συνάρτηση 2x 5 x 6

f(x)x 3

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f

Μοναδες 7

β) Να αποδείξετε ότι για κάθε x A ισχύει f(x) x 2


248

Μοναδες 9

γ) Για x A , να λύσετε την εξίσωση 2

f(x) 2 4f(x) 5 0

Μοναδες 9