Download doc - методичские указания для самостоятельного изучения предмета высшая математика

Министерство образования и науки ЛНРГОУ СПО ЛНР “Краснодонский промышленно-экономический колледж”

РАССМОТРЕНО на заседании

УТВЕРЖДАЮ

цикловой комиссии Заместитель директорагуманитарных и фундаментальных дисциплин

по учебной работе

«__»_________________г. _______________ О. Н. КарандаПротокол №_____________ «___»________________г.Председатель ЦК ______________Т. А. Матвеева

МЕТОДИЧСКИЕ УКАЗАНИЯ МЕТОДИЧСКИЕ УКАЗАНИЯ

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ ПРЕДМЕТАДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ ПРЕДМЕТА

В Ы С Ш А Я М А Т Е М А Т И К АВ Ы С Ш А Я М А Т Е М А Т И К А

Задание к домашней контрольной работе и вопросы к экзамену

для студентов заочной формы обученияпо специальностям

«Эксплуатация и ремонт горного электромеханического оборудования и автоматических устройств»«Экономика предприятия»

Составил преподаватель:

Прилипа А. С.

КраснодонЗМІСТ

1. Вступ с. 4

2. Теми для самопроробки с. 5

3. Література с. 6

4. Методичнi рекомендації до контрольної роботи с. 7

5. Загальні рекомендації студенту-заочнику по роботі над курсом

вищої математики. с. 23

6. Варіанти контрольних завдань с. 25

7. Завдання до контрольної роботи с. 26

8. Українсько-російський словник термінів з дисципліни „Вища

математика ” c.36

9. Питання до іспиту с. 38

3

ВступМета дисципліни - ознайомити студентів з основами математичного апарату,

необхідного для розв’язування теоретичних і практичних задач економіки; виробити

навички математичного дослідження прикладних задач, прищепити студентам

уміння самостійно вивчати навчальну літературу з математики та її прикладних

питань.

Курс “ Вища математика” повинен, перш за все, розвивати, поглиблювати,

розширювати деякі теми i питання, що вивчалися в основному курсі.

Зміст цього курсу i окремих його тем визначається шляхом вивчення потреб

спеціальної підготовки та професійної діяльності молодих спецiалiстiв для даної

групи спеціальностей.

Потреби спеціальної підготовки визначаються перед усім потребами базових

предметів, якi становлять теоретичну основу спеціальної підготовки студентів. Їх

особливістю є фундаментальність явищ i процесів, що розглядаються в них,

кількісний характер закономірностей, якi вивчаються.

Основними завданнями, що мають бути вирішені у процесі викладання

дисципліни, є надання студентам знань з основних розділів вищої математики;

визначень, теорем, правил; доведення основних теорем; та формування початкових

умінь:

- здійснення дій над векторами, матрицями, обчислення визначників;

- розв'язання систем лінійних рівнянь;

- дослідження форм і властивостей прямих та площин, кривих та

поверхонь другого порядку;

- знаходження границі ступенево-показникових функцій;

- дослідження функції за допомогою диференціальних числень;

- здійснювання інтегральних числень.

4

Теми для самопроробки.

Тема №1. Лінійна алгебра. Метод координат.

Матриці та дії над ними. Визначники матриць. Ранг матриці. Розвязання

систем n лінійних рівнянь з m невідомими. Вектори і лінійні дії з ними.

Скалярні і векторні величини . Декартова та прямокутна системи координат.

Лінійна залежність векторів. Вектори в системі координат. Скалярний,

мішаний добутки векторів.

Тема №2. Функції та обчислення. Застосування похідної.

Функції область визначення. Елементарні функції. Обернені функції. Границя

функції. Основні теореми про границі. Обчислення границь функцій.

Неперервність функції. Властивості неперервних функцій. Розриви функцій.

Похідна функції. Геометричний та механічний зміст похідної. Правила

диференціювання. Монотонність функції. Локальний екстремум функції.

Опуклість і вгнутість кривих. Точки перегину. Схема дослідження функції

та побудова її графіка.

Тема № 3. Застосування інтегралу. Диференційні рівняння. Елементи

математичної статистики.

Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла. Таблиця основних

інтегралів. Основні методи інтегрування. Інтегрування раціональних

функцій. Визначений інтеграл. Теорема Ньютона-Лейбніця. Методи

обчислення визначених інтегралів. Деякі застосування визначеного інтеграла.

Диференціальні рівнянь першого порядку. Задача Коші. Диференціальні

рівняння з відокремлюваними змінними. Лінійні та однорідні рівняння

першого порядку. Лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами.

Дискретний статистичний розподіл вибірки. Статистичні оцінки параметрів

розподілу. Статистичні оцінки параметрів генеральної сукупності .

5

Література з вищої математики, що є у бібліотеціколеджу.

№п/п ЛІТЕРАТУРА

ОСНОВНА ЛІТЕРАТУРА

1Сборник задач по математике для техникумов на базе средней школы: Учеб. пособие для техникумов/О.Н.Афанасьева и др.-М.: Наука, 1987- 208 с

2Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы – 2-е издание, перераб. и доп.-М.: Наука, 1989.

3 Алгебра и начала анализа ч.I,II. учебник для техникумов/ под ред. Г.Н.Яковлева.-М.:Наука,1978

4

Міхайленко В.М., Федоренко Н.Д. алгебра та геометрія для економістів: Навчальний посібник. Вид.3-є.-К.:Вид-во Європ.ун-ту фінансів, інформ. систем, менеджм. і бізнесу,2000

5Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів. Вища математика.-К.:Національна академія управління,1999

6 Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика:Підручник.-К.:Либідь, 1996

7

Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/Н.Ш.Кремер, Б.А. Путко, И.М.Тришин, М.Н.Фридман; Под ред.проф.Н.Ш.Кремера.-2-е изд., перераб. и доп.-М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1998

8Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч.: Учебное пособие для втузов- 5-е изд.,испр.-М.: Высш.шк.,1999

9 Вища математика: основні розділи:Підручник:У двох книгах. Книга 1/ за ред. Г.Л.Кулініча.-К.:Либідь,1995

ДОВІДНИКИ

1 Куринной Г.Ч. Математика:Справочник.-Харьков: Фолио; Ростов н/Д: Феникс,1997

2Цыпкин А.Г. Справочник по математике для средних учебных заведений.- 4-е изд., испр. и доп.-М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит., 1988

6

7

Методичні рекомендації до контрольної роботи. Перш ніж приступити до виконання контрольної роботи, потрібно проробити презентацію “Математика з нуля”, в якій ви повторите тему 1 “Функції i обчислення” i придбаєте навички в роботі на мікрокалькуляторі.

Зразок рішення завдання № 1 Вирішити систему лінійних рівнянь алгебри: методом Крамера;

методом Гауса; матричним методом.Вирішити систему рівнянь за правилом Крамера:

а) Обчислюємо визначника матриці системи, розкладаючи його по першому рядку

Оскільки він не рівний нулю, то система рівнянь має єдине рішення.б) Обчислюємо визначників

в) По формулах Крамера знаходимо рішення системи рівнянь

Відповідь: (1; 1; 1)

Вирішити методом Гауса систему:

Перехід від однієї матриці до іншої записуватимемо за допомогою знаку еквівалентності ~:

8

По одержаній матриці виписуємо перетворену систему:

Тоді;

; .

Відповідь: (-1; 0; 1).

Вирішити систему рівнянь матричним способом:

Позначимо матриці:

– коефіцієнти при невідомих;

– стовпець невідомих;

– стовпець вільних членів.Тоді систему можна записати матричним способом: АХ = У, де .

Знайдемо зворотну матрицю .а) обчислимо визначника матриці:

б) знайдемо доповнення, алгебри елементів матриць:

Тоді зворотна матриця має вигляд

,

отже

9

Звідки:

Відповідь: (-1; 0; 1).

Зразок рішення завдання № 2 Обчислити границі функцій.

а) Знайти .

Рішення. Насамперед, перевіримо, чи застосовні до даного дробу теореми про межі, або ми маємо справу з невизначеністю. Для цього знайдемо межі чисельника й знаменника дробу. Функції і є нескінченно більшими. Тому, , .Отже, маємо справа з невизначеністю виду .

Для розкриття цієї невизначеності й використанні теореми про межу відносини двох функцій виділимо в чисельнику й у знаменнику в старшій для чисельника й знаменника ступеня як співмножник і скоротимо дріб.

Відповідь. 0.

б) Знайти .

Рішення. Для розкриття невизначеності в цьому випадку, потрібно

розкласти чисельник і знаменник на множники й скоротити дріб на загальний множник.

Відповідь. -9.

Знайти .

Рішення. Для обчислення даної межі підставимо значення у функцію, що коштує під знаком межі. Одержимо,

.

Відповідь. -3.

10

в) Знайти .


помножити чисельник і знаменник на вираження, сполучене чисельнику, а потім скоротити дріб на загальний множник.

Відповідь. .

г) Знайти .


виділити першу чудову межу:

Відповідь. kд) Знайти .

Рішення. Для розкриття невизначеності в цьому випадку, потрібно добуток перетворити в частку, тобто невизначеність звести до

невизначеності або .

Виділяємо першу чудову межу, тобто, множимо чисельник і знаменник на . Одержуємо,

.


е) Знайти .

11


виділити другу чудову межу: .


ж) Знайти


виділити другу чудову межу: .


Знайти

Рішення. Підставимо значення у функцію, що коштує під знаком межі. Одержимо,


Зразок рішення завдання № 3 (ЕРГО)Дані координати вершин піраміди А1(1, 2, 3), А2(-2, 4, 1), А3(7, 6, 5), А4(4, -3, -1). Треба знайти:

а) довжину ребра А1А2 та А1А4; б) кут між ребрами А1А2 та А1А4;в) площу грані А1А2А3; г) рівняння прямої А1А2; д) рівняння площини А1А2А3.

Використаємо додатки Б і В. Розв’язувати задачу будемо засобами векторної алгебри. Використаємо формулу розкладення вектора по ортонормованому базису або по ортам: kzjyixa , де k,j,i - одиничні взаємно перпендикулярні вектори, які визначають напрямки координатних осей – орти, та x, y, z – проекції вектора a на відповідні координатні осі. Якщо початок вектора a співпадає з початком координат, то x,y,z трактуються як координати кінця вектора.

12

а) Довжину ребра А1А2 знайдемо як довжину вектора 21 AA за формулою 222 zyxa ,

але допоміжні вектори, які мають початок в початку координат, а кінець в заданих точках А1(1,2,3) та А2(-2,4,1) розкладаються по ортам

k1j4i2OA

k3j2i1OA

2

1

Тепер знайдемо розкладання вектора 21AA

)k3j2i()kj4i2(AA 21 , абоk2j2i3AA 21 .

Значить 172)(23)(AA 22221 .

б) Кут між ребрами А1А2 та А1А4 знайдемо як кут між вектором 2224111121 z;y;xAA,z;y;xAA за формулою

22

22

22

21

21

21

212121

4121

4121

zyxzyx

zzyyxxAAAAAAAA

cosα

.

Проекції вектора 21 AA вже знайдено в попередньому пункті: 21 AA =(-3,2,-2) Аналогічно знайдемо 41 AA =(3,-5,-4). Тоді

34511

501711

16259449245533

))(()()(соs

345

11arccosα

в) Площа грані А1А2А3 знаходиться як площа трикутника, побудованого на векторах 21 AA =(3,2,-2) та 31 AA =(6,4,2), за допомогою векторного добутку цих векторів за формулою

312121 AAAAS .

Векторний добуток 21 AA =(x1,y1,z1) та 31 AA =(x3,y3,z3) за формулою

kyxyxjzxzxizyzyzyxzyxkji

AAAA 11 133131131331

333

11132

Проекції вектора 22321 ,,AA вже знайдені в першому пункті. Аналогічно знаходимо проекції вектора 31 AA =(6,4,2). Тоді

kjjkji

AAAA 11 2461224622332

2132461221 222 )()(S (кв. од.)

г) Рівняння прямої А1А2 знайдемо за формулою

13

12

1

12

1

12

1

zzzz

yyyy

xxxx

Це рівняння прямої, що проходить через дві задані точки А1(1,2,3) та А2(-2,4,1). Підставимо в приведену формулу замість x1,y1,z1 та x2,y2,z2 координати точок A1 та A2

23

242

121

zух.

Звідки отримуємо канонічне рівняння прямої А1А2.

23

22

31

zyx

Тут x,y,z – змінні координати прямої; (1,2,3) – координати точки, через яку проходить пряма; (-3,2,-2) – направляючі коефіцієнти прямої, тобто проекції вектора, який визначає напрям прямої.

д) Складемо рівняння площини А1,А2,А3, яка проходить через три задані точки, за формулою:

0

131313

121212

111

zzyyxxzzyyxxzzyyxx

0151617312412321

zyx

Одержимо12(x-1)-6(y-2)-24(z-3)=0;

або після спрощення 2х-y-4z+12=0

Зразок рішення завдання № 3 (ЕП)Спочатку побудуємо креслення. Побудуємо в прямокутної декартовой

системі координат крапки )3;2( А , )1;5(B , )4;3( C . Побудуємо відрізки AB й BC.

14

Рис. 1

Добудуємо отриманий малюнок до паралелограма й нанесемо на креслення висоту BK.

Рис. 2

1) Складемо рівняння прямій AD. а) Попередньо знайдемо рівняння прямій BС. Рівняння прямої, що

проходить через крапки );( 111 yxM й );( 222 yxM , має вигляд

12

1

12

1

yyyy

xxxx

(1)

15

x

O

B

A

C

y

E

x

O

K

B

A

C

D

y

За умовою )1;5(В , )4;3( С . Підставимо координати крапок В й С у

рівняння (1): 14

1535

yx

, тобто 51

25

yx

.

Запишемо отримане рівняння в загальному виді, тобто у вигляді 0 CByAx . Для цього в останнім рівнянні позбудемося від знаменників

)1(2)5(5 yx і проведемо перетворення, переносячи всі рівності, що складають 02325 yx у 02325 yx ліву частину: або .

З цього рівняння виразимо y : 2352 xy ; 223

25

xy . Одержали

рівняння виду bkxy - рівняння з кутовим коефіцієнтом.б) Скористаємося тим фактом, що протилежні сторони

паралелограма паралельні. Складемо шукане рівняння прямій AD як рівняння прямої, що проходить через крапку А паралельно прямої ВС .

Рівняння прямої, що проходить через дану крапку );( 00 yxМ в даному напрямку, має вигляд

)( 00 xxkyy (2)де напрямок визначається кутовим коефіцієнтом k .

Умова паралельності двох прямих bkxy і 11 bxky має вигляд1kk (.3)

За умовою задачі )3;2( А , пряма 223

25: xyВС . Підставимо

координати крапки А в рівняння (2): )2(3 xky . Тому що пряма AD паралельна прямій BC , то в силу формули (3) їхні кутові коефіцієнти

збігаються. Кутовий коефіцієнт прямої BC дорівнює 25

, отже, рівняння

прямої AD має вигляд )2(253 xy .

Запишемо рівняння прямої AD в загальному виді. Для цього розкроєм

дужки й всіх доданків перенесемо в ліву частину рівності: 0825

yx .

Помножимо обидві частину рівності на (-2) і одержимо загальне рівняння прямої AD : 01625 yx .

Запишемо рівняння прямої AD у вигляді з кутовим коефіцієнтом. Для

цього виразимо y із загального рівняння: 825

xy .

2) Складемо рівняння висоти BK , проведеної з вершини B на сторону AD як рівняння прямої, що проходить через крапку B перпендикулярно прямої AD .

Умова перпендикулярності двох прямих bkxy і 11 bxky має вигляд

1

1k

k (4)

Підставимо координати крапки В в рівняння (3.2): )5(1 xky . Тому що висота BK перпендикулярна прямій AD , той їхній кутовий коефіцієнти

16

зв'язані співвідношенням (4). Кутовий коефіцієнт прямої AD дорівнює 25

,

отже, кутовий коефіцієнт висоти BK дорівнює 52

й рівняння прямої BK

має вигляд )5(521 xy . Запишемо рівняння висоти BK в загальному

виді: 01552 yx . Запишемо це ж рівняння у вигляді з кутовим

коефіцієнтом: 352

xy .

3) Знайдемо довжину висоти BK як відстань від крапки В до прямої AD .Відстань d від крапки );( 000 yxM до прямої 0 CByAx являє собою

довжину перпендикуляра, опущеного із крапки на пряму й визначається формулою

22

00

BA

CByAxd

(5)

Тому що BK перпендикулярно AD , то довжина BK може бути знайдена за допомогою формули (5). За умовою )1;5(B , пряма AD визначається рівнянням 01625 yx . У силу формули (5) довжина висоти

BK дорівнює 4257

)2(5

16125522

d = 29

7 .

4) Знайдемо рівняння діагоналі BD як рівняння прямій, що проходить через крапки B й E , де E - середина відрізка AC .а) Якщо );( 11 yxА й );( 22 yxC , те координати крапки );( 00 yxЕ - середини відрізка AC , визначаються формулами

221

0xx

x

2

210

yyy

(6)

За умовою )3;2( A , )4;3( C . У силу формул (6) маємо: 25

232

0

x ,

27

243

0

y . Отже )27;

25( E .

б) Тому що крапка перетинання діагоналей є їхньою серединою, то крапка E (середина відрізка АС ) є крапкою перетинання діагоналей і діагональ BD проходить через крапку E .

Скористаємося рівнянням (1). За умовою )1;5(B , )27;

25( E . У силу

формули (1) рівняння прямій BE (діагоналі BD ) має вигляд: 127

1

525

5

yx

або 291

255

yx. Запишемо це рівняння в загальному виді: 04059 yx .

Запишемо це ж рівняння у вигляді з кутовим коефіцієнтом: 859

xy .

5) Знайдемо тангенс кута між діагоналями BD й AC .

17

а) Знайдемо рівняння діагоналі AC як рівняння прямій, що проходить через дві дані крапки.

Скористаємося рівнянням (1). За умовою )3;2( A , )4;3( C . Отже,

343

232

yx

. Загальне рівняння діагоналі AC має вигляд 01 yx ,

рівняння з кутовим коефіцієнтом – вид 1 xy , кутовий коефіцієнт 1k прямої AC дорівнює 1 .

б) Рівняння діагоналі BD має вигляд 859

xy , її кутовий коефіцієнт

59

2 k .

в) Тангенс кута між прямими 11 bxky й 22 bxky визначається формулою

21

12

1 kkkk

tg

Отже, 27

54

514

)1(591

)1(59

tg . Звідси

27arctg .

Зразок рішення завдання №4

Обчислити похідні даних функцій:1). .Рішення.

.

2). .Рішення. Прологарифмуємо обидві частини рівності

.

.

.

3). .

Рішення.

18

.

4). Знайти похідну функції, заданій неявно .

Рішення. Диференціюючи, маємо

Зразок рішення завдання №5 Дослідити функцію та побудувати її графік.

Розв’язання. 1. Область існування функції:, або .

2. Точки перетину графіка з осями координат:а) , тобто ;

б) , тобто .

3. Періодичність функції: Функція неперіодична.Парність, непарність функції: Функція загального вигляду.4. Точки розриву функції, характер їх розриву: точкою розриву є точка

.Дослідимо характер розриву, знайдемо односторонні границі:

.

Отже, є точкою розриву другого роду.Пряма є вертикальна асимптота.

5. Дослідження функції за допомогою першої похідної (монотонність, екстремальні точки):

а) .

б) Знайдемо екстремальні точки, розв’язавши рівняння:

,

де — стаціонарні точки.в) Знайдемо проміжки зростання, спадання функції, розв’язавши

нерівність:

19

max min+ +– –

521

Отже, при функція зростає, а при функція спадає.

- точка ; - точка 6. Дослідження функції за допомогою другої похідної (опуклість, угнутість, точки перегину)

а) Знайдемо :

.

б) Знайдемо проміжки угнутості, опуклості, розв’язавши нерівність :

.

Отже, при крива опукла, а при крива угнута.

7. Знаходимо асимптоти графіка функції:а) — вертикальна асимптота;б) Для визначення похилої асимптоти знайдемо:

;

.

Отже, — похила асимптота.8. Для наочності заповнюємо таблицю:

х (–∞;–1) –1 (–1;2) 2 (2;5) 5 (5;+∞)у’ + 0 – не існує 0 +у 0 12у’’ – – не існує + +у max min

9. За допомогою таблиці будуємо графік функції:

20

О

12

2 5

х

у

-44-1

– +

2

21


Невизначені інтеграли обчислюються за допомогою таблиці інтегралів, властивостей, методу заміни змінної та формули інтегрування за частинами (

duvvudvu ) (Додаток Д).а) івластивост та інтегралів таблицю уємовикористовdxxxx 4532 23

CxxxxCxxxx 4

45

24

25

33

42

23

4234

б)

CxlnCtlnінтегралів таблицю уємовикористов

dtt

dtdx

dtdxtx

tx:Заміна

xdx ''

4551

51

151

51

54545

45

в)

частинами няінтегруванформулу застосуємо

vxsin,dxduТоді

dvxdxcos,xuПокладемо

xdxcosx

CxcosxsinxxdxsinxsinxДля обчислення визначених інтегралів використовуються методи

обчислення невизначеного інтегралу і формула Ньютона-Лейбниця,

)a(F)b(F)x(Fdx)x(f ba

b

a

,

де xF первісна функції xf (Додаток Д).

а)

211

2110101

23

23131313 221

0

1

0

21

0

1

0

1

0

1

0

1

0

)()(xxdxxdxdxxdxdx)x(

22

б)

1582827

15249

152

51

51

51

9241

51

51515

15

23

23

9

42

3

239

4

9

4

212

1

tdttdtt

txtx

dtdx

dtdxt)x(

tx:Заміна

dxx

''

в)

5826255821102512546211

522

32115230112

523523

5

523523

2

1

22

1

2

1

22

12

23

22

1

2

.)ln()ln(.)ln().ln()ln(

xlnxx)ln(dxx

x)ln(

xdx)xx()xx()xln(

частинами няінтегруванформулу застосуємо

xxxv,x

dxdu

Тодіxxdv),xln(u

Покладемо

dx)xln()xx(


7.1 Обчислити площу фігури, обмеженої кривими xy

2

і xsiny

20 x За формулою

кв.од.

xxcosdxxxsin

dxxgxfS

|

b

a

41

2 2

0

2

0

2

23

7.2 Обчислити об’єм тіла, утвореного прямими і при їх

обертанні навколо осі абсцис.

куб. од.

Зразок рішення завдання №8Знайти загальний розв’язок диференціальних рівнянь

а)1

4

xyy

Це рівняння з відокремленими змінними. Замінимо похідну часткою диференціалів, відокремимо змінні та обчислимо з обох сторін рівняння інтеграли:

1

4

xy

dxdy ,

14

xdx

ydy

,

14 xdx

ydy

,

Cxlny

114

14.

Загальний розв‘язок диференціального рівняння має вигляд

Cxlny

13

3

, де C – довільна стала.

б) .)x(yx

y 311

2

Це лінійне диференціальне рівняння. Покладемо ;uvy тоді vuvuy . Підставляючи ці вирази в початкове рівняння, маємо:

.)x(vx

vuvu,)x(uvx

vuvu 33 11

211

2

Для визначення v одержимо рівняння

,vx

v 01

2

,

xv

dxdv

12

після відокремлення змінних маємо

12

x

dxvdv

, відкіля ),xln(vln 12 чи 21)x(v

Для визначення u отримаємо рівняння

24

30

у

х

у = х

32 11 )x()x(u , ),x(dxdu 1 відкіля .C)x(u

21 2

Отже, загальний інтеграл заданого рівняння буде мати вид

.)x(C)x(y 24

121

в) .xyyy 222 Як відомо, загальний розв‘язок даного рівняння находять у вигляді суми

загального розв‘язку відповідного однорідного рівняння y і часткового розв‘язку неоднорідного рівняння y~ , тобто

.yy~y Знайдемо загальний розв’язок відповідного однорідного

диференціального рівняння. Характеристичне рівняння: 022 kk має дійсні та різні корені 11 k та 22 k , тому загальний розв’язок має вид

xx ececy 221

.Частковий розв‘язок y~ будемо шукати у вигляді

CBxAxy~ 2 ,Тоді BAxy~ 2 , Ay~ 2 . Підставимо отримані вирази в задане

рівняння та прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях x , отримаємо систему

.CBA;BA

;A

022022

22

Розв‘язав її, знайдемо ,A 1 ,B 1 .C23

Частинний розв’язок має

вигляд 232 xxy~ .

Загальний розв‘язок диференціального рівняння має вигляд

2322

21 xxececy xx

25

ЗАГАЛЬНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ ПО РОБОТІ НАД КУРСОМ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ.

Посібник є методичним керівництвом для вивчення загального курсу

вищої математики студентами-заочниками інженерно-технічних

спеціальностей. Навчальний матеріал містить список літератури по кожній

темі, розбір типового варіанта контрольної роботи й двадцять варіантів

контрольної роботи з кожної теми.

Основною формою навчання студента-заочника є самостійна робота над

навчальним матеріалом, що складається з наступних елементів: вивчення

матеріалу по підручниках, рішення задач, самоперевірка, виконання

контрольних робіт. У допомогу заочникам коледж організує читання лекцій,

практичні заняття й лабораторні роботи. Крім того, студент може звертатися

до викладача з питаннями для одержання усної або письмової консультації.

Вказівки студентові по поточній роботі даються також у процесі

рецензування контрольних робіт. Однак студент повинен пам'ятати, що тільки

при систематичній і завзятій самостійній роботі допомога коледжу виявиться

досить ефективною. Завершальним етапом вивчення курсу вищої математики

є здача іспиту відповідно до навчального плану.

У процесі вивчення курсу математики студент повинен виконати

контрольну роботу, головна мета якої - надати студентові допомогу в його

роботі. Рецензія на цю роботу дозволяє студентові судити про ступінь

засвоєння їм відповідного курсу; указує на наявні в нього пробіли, на бажаний

напрямок подальшої роботи; допомагає сформулювати питання для

постановки перед викладачем.

Не слід приступати до виконання контрольного завдання, не вирішивши

достатньої кількості задач по матеріалі, що відповідає завданню. Досвід

показує, що найчастіше невміння вирішити ту або іншу задачу контрольного

завдання викликається тим, що студент не виконав цю вимогу.

Контрольні роботи повинні виконуватися самостійно. Несамостійне

виконання роботи не дає можливості викладачеві вказати недоліки в його 26

роботі, у засвоєнні матеріалу, у результаті чого студент не здобуває

необхідних знань і може виявитися непідготовленим до іспиту.

При виконанні й оформленні контрольних робіт необхідно дотримувати

наступні вказівки:

1. Номер варіанта дорівнює номеру шифру студента.

1. Заповніть титульний лист.

2. Контрольна робота виконується чорною пастою на форматі паперу А4.

3. Кожне завдання слід виконувати з нового листа.

4. Завдання слід виконувати тільки з одного боку кожного листа

5. Умови завдань записувати повністю.

6. Рішення задач слід розташувати у порядку номерів, указаних у завданні,

номера задач указуються перед умовами.

7. Якщо необхідно, креслення виконувати олівцем за допомогою

інструментів для креслення.

8. Всі розрахунки мають бути приведені в контрольній роботі.

9. Рішення кожної задачі повинне доводити до відповіді, необхідного

умовою. У проміжних обчисленнях не слід уводити наближені значення

корінь, числа й т.п.

10.Отримана відповідь варто перевіряти способами, що випливають із

умови даної задачі.

11. Якщо роботу відправлено на доробку, необхідно виконати роботу над

помилками на окремих листах, які прикріпити до роботи.

12. В кінці роботи навести список використаної літератури.

27

ВАРІАНТИ КОНТРОЛЬНИХ ЗАВДАНЬ

№ шифру

Номера задач контрольної роботи

1 1 21 41 61 81 101 121 1412 2 22 42 62 82 102 122 1423 3 23 43 63 83 103 123 1434 4 24 44 64 84 104 124 1445 5 25 45 65 85 105 125 1456 6 26 46 66 86 106 126 1467 7 27 47 67 87 107 127 1478 8 28 48 68 88 108 128 1489 9 29 49 69 89 109 129 14910 10 30 50 70 90 110 130 15011 11 31 51 71 91 111 131 15112 12 32 52 72 92 112 132 15213 13 33 53 73 93 113 133 15314 14 34 54 74 94 114 134 15415 15 35 55 75 95 115 135 15516 16 36 56 76 96 116 136 15617 17 37 57 77 97 117 137 15718 18 38 58 78 98 118 138 15819 19 39 59 79 98 119 139 15920 20 40 60 80 100 120 140 16021 2 24 46 68 90 112 134 16122 4 26 48 70 92 114 136 15123 6 28 50 72 94 116 138 15224 8 30 52 74 96 118 140 14825 10 32 54 76 98 120 122 14226 12 34 56 78 100 102 124 14727 14 36 58 80 82 104 126 15328 16 38 60 62 84 106 128 15629 18 40 42 64 86 108 130 15830 20 22 44 66 88 110 132 14931 1 21 41 61 81 101 121 14132 2 22 42 62 82 102 122 14233 3 23 43 63 83 103 123 14334 4 24 44 64 84 104 124 14435 5 25 45 65 85 105 125 14536 6 26 46 66 86 106 126 14637 7 27 47 67 87 107 127 14738 8 28 48 68 88 108 128 14839 9 29 49 69 89 109 129 14940 10 30 50 70 90 110 130 15041 11 31 51 71 91 111 131 15042 12 32 52 72 92 112 132 15143 13 33 53 73 93 113 133 15244 14 34 54 74 94 114 134 15345 15 35 55 75 95 115 135 154

28

ЗАВДАННЯ ДО КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ.

Завдання 1.Розв’язати систему лінійних рівнянь матричним методом, за формулами Крамера та методом Гауса.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

29

Завдання 2.

Обчислити границі функцій.

21.а)123249lim

5

45

xx

xxx

; б) 107

5112lim2

2

2

xx

xxx

; в) 112345lim

1

xx

x; г) 2

3

25lim2

xx

x.

22.а) xxx

xxx 5103

647lim 23

23

; б) 149

7132lim 2

2

2

xx

xxx

;в) 314

2lim2

x

xx

; г)

23

2

2

1 141lim

x

x xxxx

.

23.а) 23523lim

4

24

xx

xxx

б) 8

128403lim2

2

xxx

x; в)

2321lim

4

xx

x; г)

x

x xx 5

1 110310lim

.

24.а) xxx

xxx 5102

64lim 23

23

;б) 4312lim 2

2

1

xx

xxx

; в) 38 231lim

xx

x

; г) 3

5

114lim4

xx

xx

.

25.а) 68523lim

4

23

xx

xxx

; б) 10

10515lim2

0

xxx

x; в)

xxx

x

20

39lim ; г) 11

32lim0

xx

x.

26.а) 323136lim 5

25

xx

xxx

; б) 65352lim 2

2

2

xx

xxx

;в) 312

21lim5

x

xx

;г)x

x xxxx

1

2

2

1 1203763lim .

27.а) xxx

xxx 4103

64lim 23

23

; б) 565143lim

2

2

5

xx

xxx

; в) 8

26lim3

3

2

x

xx

;г)7

1 1513213lim

x

x xx .

28.а) 135

24lim 23

3

xx

xxx

; б) 3165372lim 2

2

51

xx

xxx

;в) 12332lim

3

xx

x; г)

14

2

2

1 335285lim

x

x xxxx .

29.а) 1

11lim 3

33

x

xxx

;б) 232253lim 2

2

5,0

xx

xxx

;в) x

xx

121lim0

; г) 124

32lim1

xx

xx

.

30.а) 43

23lim8

4

xx

xx

; б) 428lim

3

2

xx

x;в)

25132lim

1

xx

x; г)

2/

1 4512lim

x

x xx

.

31.а)

2143lim

23

xx

xxx

; б) 372384lim 2

2

3

xx

xxx

; в) 1

23lim2

1

xxx

x; г) 1

54

2lim0

xx

xx

.

32.а) 2

22lim22

xxx

x; б)

1523925lim 2

2

5

xx

xxx

;в) x

xxx

11lim2

0

; г)63

2 5676lim

x

x xx .

33.а) 532

36lim2

2

xx

xxx

; б) 93

12lim2

1

xxx

x;в)

25

3lim23

x

xx ; г) 1

34lim0

xx

xx

.

34.а)

2

22

233lim

xxx

x; б)

48lim 2

3

2

x

xx

;в) 314

2lim2

x

xx

; г) 134lim

0

xx

xx

.

30

35.а) 162

37lim2

2

xx

xxx

; б) 331lim

3

1

xx

x; в) 26 36

15limx

xx

; г) 225

76lim0

xx

xx

.

36.а)

2

2

4

2lim x

x

xx

; б) 7612lim

2

2

7

xx

xxx

;;в) 49

23lim27

x

xx

; г) 422

53lim3

x

x

xx

.

37.а) 43132lim 2

2

xxxx

x; б)

8212lim 2

2

2

xx

xxx

; ;в) 38 231lim

xx

x

; г)

x

x xxxx

2

13lim 2

2

3.

38.а) 32125lim 2

3

xxxx

x; б)

223lim

2

2

xxx

x;в) 30 11

11limxx

x

; г) 63

26

25lim0

xx

xx

.

39.а) 14

23lim 2

2

xxxx

x; б)

265lim 2

2

2

xx

xxx

; в) 3

14lim3

x

xx

; г) 24

3lim1

xx

xx

.

40.а)5212lim 4

3

xxxx

x; б)

25103lim 2

2

2

x

xxx

;в)4

31lim2

22

2

x

xxxx

;г)x

x xxxx

23

12lim2

2

3.

Завдання 3 (ЕРГО).Дані координати вершин піраміди. Треба знайти: а) довжину ребра А1А2 та А1А4; б)кут між ребрами А1А2 та А1А4; в) площу грані А1А2А3; г) об’єм піраміди А1А2А3 А4.

№ 1A 2A 3A 4A

41. (1;2;3) (2;0;0) (3;2;5) (4;0;0)

42. (3;0;6) (1;-3;2) (-3;2;5) (2;2;5)

43. (-2;0;-1) (0;0;4) (1;2;3) (3;2;7)

44. (1;-2;1) (1;0;2) (1;4;2) (2;0;0)

45. (-2;1;0) (3;2;7) (2;2;7) (6;1;5)

46. (-1;3;0) (2;0;0) (4;-2;1) (3;2;7)

47. (6;1;5) (5;1;0) (-4;1;-2) (-6;0;5)

48. (1;-1;6) (-5;-1;0) (4;0;0) (2;2;5)

49. (1;2;3) (-1;2;3) (7;-3;5) (6;10;17)

50. (4;7;8) (9;1;3) (2;-4;1) (1;-13;-13)

31

№ 1A 2A 3A 4A

51. (8;2;3) (4;6;10) (3;2;5) (3;-2;1)

52. (2;4;1) (1;3;6) (5;3;1) (4;0;6)

53. (1;7;3) (3;4;2) (4;8;5) (7;2;4)

54. (1;-2;3) (4;7;2) (6;4;2) (4;8;6)

55. (2;7;3) (3;1;8) (2;-7;4) (6;4;7)

56. (4;2;5) (3;-1;8) (2;-7;4) (6;-4;7)

57. (4;8;5) (-1;2;3) (6;10;17) (1;7;3)

58. (1;0;2) (-2;0;-1) (3;4;2) (2;0;0)

59. (3;2;7) (7;2;4) (-5;-1;0) (7;-3;5)

60. (1;-2;1) (6;-4;7) (6;4;2) (4;7;2)

Завдання 3 (ЕП). Дані три послідовні вершини паралелограму. Не знаходячи координати вершини D, знайти:

1) рівняння сторони AD;2) рівняння висоти BK, опущеної з вершини В на сторону AD;3) довжину висоти BK;4) рівняння діагоналі BD;5) тангенс кута між діагоналями паралелограму.

Записати загальні рівняння знайдених прямих. Побудувати малюнок.

41) А(1;2), В(-1;3),С(-4;-2) 42) А(-1;2), В(1;-3),С(4;0)43) А(-3;2), В(2;3),С(-1;-2) 44) А(3;-2), В(-4;3),С(-1;6)45) А(-3;-2), В(1;0),С(-1;5) 46) А(-2;2), В(1;-3),С(5;0) 47) А(1;2), В(-2;1),С(-4;-5) 48) А(1;-2), В(-2;3),С(5;7) 49) А(1;-2), В(3;-3),С(7;2) 50) А(-1;-2), В(5;3),С(0;6) 51) А(5;3), В(2;1),С(3;-5) 52) А(2;-2), В(1;4),С(-3;-2) 53) А(-3;1), В(4;-2),С(0;-5) 54) А(-3;0), В(1;-2),С(4;5) 55) А(3;-3), В(-4;3),С(1;6) 56) А(3;-2), В(1;-1),С(0;5) 57) А(-1;1), В(1;3),С(5;-2) 58) А(-1;-1), В(-2;1),С(3;2) 59) А(1;-2), В(-2;3),С(3;1) 60) А(2;-2), В(3;1),С(-1;2)

Завдання 4. Знайти першу похідну функцій.

32

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71.

72.

73.

74.

33

75.

76.

77.

78.

79.

80.

Завдання 5.Дослідити функцію методами диференціального числення і побудувати її графік.

81. y=2 82.x

xy 163

83. 2

3

41

xxy

84. y=2

85. y= 86.x

xy 12

87. 88. y=2

89.1

43

2

xxy 90. 23 x

xy

91. 212

xxy

92.

xxy 33

93.x

xy 42 94.

1322

x

xxy

95.52

x

xy 96. y=2

34

97. y= 98. y=2

99.1

22

x

xy 100.4

16 2

xxy

Завдання 6.Знайти невизначені інтеграли

101. а) b) c)

102. a) b) c)

103. a) b) c)

104. a) b) c)

105. a) b) c)

106. a) b) c)

107. a) b) c)

108. a) b) c)

109. a) b) c)

110. a) b) c)

Обчислити визначені інтеграли

111. a) b)

112. a) b)

113. a) b)

114. a) b)

35

115. a) b)

116. a) b)

117. a) b)

118. a) b)

119. a) b)

120. a) b)

Завдання 7.Обчислити площу фігури, обмеженої лініями. Зробити креслення.

121. 22 2, xyxy ; 122. xyxxy 4,42 ;

123. 0,8,32 xyxy ; 124. xyxy 4,4 22 ;125. 22 8, xyxy ; 126. xyxy 2,2 23 ;127. xyxxy 2,22 ; 128. xxyxxy 4,4 22 ;129. 8,0,32 xyxy ; 130. xyxxy 3,32

Обчислити об’єм тіла, утвореного оберненням навколо осі Ох фігури, обмеженої указаними лініями. Зробити креслення.

131. xyxy 5,5 22 132. 3,2 yxxy

133. xyxy 4,4 22 . 134. 7,6 yxxy

135. xyxy 3,3 22

Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Оу фігури, обмеженої лініями. Зробити креслення.

136. .6,0,0,6 yyx

xy 137. .4,

41 2 yxy

138. .0,4,3 xxyxy 139. .14

22

yx

36

140. .0,9,3 xxyxy

Завдання 8.Знайти загальний розв’язок диференціальних рівнянь.

141. а) 011 22 xyyyx ;

б) 2xxyy ;

151. а) 08 dxyedye xx

б) tgxyxxy )2( 2

142. а) ydyxydydxy 224 ;б) xxyctgxy sin2 ;

152. а) 014 22 dyxydxyx ;б) 03sin2cos xxyy ;

143. а) ydyxydydxy 223

б) ctgxyxy 24 153.

а) dxxydyyxydyxdx 22 36 ;

б)x

ytgxycos

1'

144. а) 023 22 dyxydxyx

б) xyctgxy sin154. а)

43)8(

x

yyyy

б) xxxyy cossinsin

145. а) 05 22 dxyedye xx

б) 244

xx

yy

155. а) 015 22 xyyy

б) 01'2 xyyx

146. а) 045 22 dyxydxyx

б) 11

4

x

xyy

156. а) 0ln yxyy

б) 422' xyxy

147.а) 01

11

2

2

yxyy

б) xxyy 3sin3cos

157. а) xx yeye 1

б) xyyx

148. а) 04 dxedyey xx

б) ухху 324 2

158. а)

134

yyxyy

б) xyyx sin

37

149. а) 04 22 xxyyx

б) хуху 23

159. а)x

yyyy

5

52 2

б) 322 xyyx

150. а) dxxyydyxydyxdx 22 222

б) 22 хуху

160. а) 5342

yxy

б) 4)1(2)1( xyyx

38

Українсько-російський словниктермінів з дисципліни „Вища математика ”

„А”Аргумент функції - аргумент функцииАсимптота – асимптота

„В”Відрізок - отрезокВеличина – величина

„Г”Границя – предел

„Д”Диференціал - дифференциалДиференціальне числення - дифференциальное исчислениеДиференціювання - дифференцированиеДілення – делениеДобуток – произведениеДоповнення - дополнение Дотична – касательная

„Е”Екстремум – экстремум

„З”Зворотна - обратнаяЗростання функції - возрастание функции

„І”Інтеграл визначений - интеграл определённыйІнтеграл невизначений - интеграл неопределённыйІнтегрування - интегрирование

„К”Коло - окружностьКорінь - кореньКриволінійна трапеція - криволинейная трапецияКритична крапка - критическая точкаКутовий - угловой

39

„М”Матриця - матрицаМиттєва швидкість - мгновенная скоростьМетод інтервалів - метод интерваловМеханічний зміст - механический смыслМішаний – смешанныйМноження - умножение

„Н”Найбільше значення - наибольшее значениеНайменше значення - наименьшее значениеНерівність - неравенствоНескінченно мала - бесконечно малаяНепарний – нечетный.

„О”Область значень - область значенийОбчислити - вычислитьОдиничне коло - единичная окружностьОборотна - обратимаяОбласть визначення - область определения

„П”Парний - чётныйПоказова - показательная Площина - плоскостьПлоща - площадьПервісна - первообразнаяПеретворення - преобразованиеПриріст – приращениеПрискорення - ускорениеПохідна - производнаяПряма - прямая

„Р”Радіан - радианРівняння – уравнение

„С”Сума - суммаСпадання функції – убывание функции

«Т»Транспонована – транспонированнаяТочка перегину – точка перегиба

„Ф”Формула зведення - формула приведения

40

ЗАВДАННЯ ДО ІСПИТУ

41