例 6. 某人射击的命中率为 0.02 ,他独立射击 400 次,试求其命中次数不少于 2 的概率。
泊松定理 设随机变量 Xn~B(n, p), (n = 0, 1, 2,…),
且 n 很大, p 很小,记 =np ,则
,...2,1,0,!
}{ kek
kXPk
解 设 X 表示 400 次独立射击中命中的次数,则 X ~ B(400, 0.02) ,故
P{X2} = 1 - P{X = 0} - P{X = 1}= 1 - 0.98400 - (400)(0.02)(0.98399)=…
Poisson 定理的应用
由 Poisson 定理,可知
,,若随机变量 pnBX ~
比较小时,比较大,则当 pn
np令:
knkkn ppCkXP 1则有
ek
k
!
上题用泊松定理 取 =np = (400)(0.02) = 8, 故近似地有
P{X2} = 1 - P{X = 0} - P {X = 1}
= 1 - (1 + 8)e - 8 = 0.996981.
3 泊松 (Poisson) 分布 P()
X ~ P{X = k} = , k= 0, 1, 2, … (0)
e
!k
k
泊松定理表明,泊松分布是二项分布的极限分布,
当 n 很大, p 很小时,二项分布就可近似地
看成是参数 =np 的泊松分布
二项分布 泊松分布
)( nnp
例 7 设某国每对夫妇的子女数 X 服从参数为的泊松分布 , 且知一对夫妇有不超过 1 个孩子的概率为 3e-
2. 求任选一对夫妇 , 至少有 3 个孩子的概率。
23}1{}0{1),(~ eXPXPXPpX 且
}2{}1{}0{1}3{ XPXPXPXP
323.051!2
2
!1
21 22
22
12 eeee
解 : 由题意 ,
23 2 eee
例 8. 进行独立重复试验,每次成功的概率为 p ,令 X 表示直到出现第 m 次成功为止所进行的试验次数,求 X 的分布律。解 :m=1 时 , ,...2,1,)1(}{ 1 kppkXP k
m>1 时 ,X 的全部取值为 :m,m+1,m+2,…mpmXP }{
P{X=m+1}=P{ 第 m+1 次试验时成功并且
在前 m 次试验中成功了 m-1 次 }
,...2,1,)1(}{ 111
mmmkpppCkXP mkmmk
pppC mmm )1(11
例 9 为了保证设备正常工作,需配备适量的维修工人 ,现有同类型设备 300 台,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是 0.01. 在通常情况下,一台设备的故障可有一人来处理 . 问至少需配备多少工人,才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于 0.01 ? 解:设需配备 N 人,记同一时刻发生故障的设备台数为 X ,则 X~ b(300 , 0.01 ),需要确定最小的 N 的取值,使得: .01.0}{ NXP
.99.0!
3}{
0
3
N
k
k
k
eNXP
.01.0!
3
!
31
0 1
33
N
k Nk
kk
k
e
k
e
.01.0}{ NXP
查表可知,满足上式的最小的 N 是 8 , 因此至少需配备 8 个工人。