Download pdf - λυγάτσικας ζήνων ασκήσεις άλγεβρας B΄λυκείου 2015-6

c 2015

Λυγάτσικ

αςΖ.

Ασκήσεις ΄Αλγεβρας Β Λυκείου

Λυγάτσικας Ζήνων

Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου ΣχολήςΣχολ. ΄Ετος 2015-2016

11 Ιουλίου 2015

Πρόλογος

Το εγχειρίδιο αυτό έχει γραφεί για τους µαθητές της Β Λυκείου του Προτύπου Πειραµατικού Λυκείου

της Βαρβακείου Σχολής. Είναι µια συλλογή ασκήσεων που ϑα χρησιµοποιηθούν στο καθηµερινό

µάθηµα και στις επαναλήψεις. Επίσης, ασκήσεις από την παρούσα συλλογή ϑα µας απασχολήσουν

και στην Γ Λυκείου.

Λυγάτσικας Ζήνων

email: [email protected]

Μαθηµατικός

Καθηγητής του Προτύπου Λυκείου της Βαρβακείου Σχολής

Αθήνα, 11 Ιουλίου 2015

i

Λυγάτσικας Ζ. ii

Περιεχόµενα

1 Επανάληψη από Α τάξη 31.1 Συναρτήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Η συνάρτηση f(x) = αx2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Η συνάρτηση f(x) = αx2 + βx+ γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3 Παραδείγµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.4 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Συστήµατα 112.1 Γραµµικά . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Μη γραµµικά . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Ιδιότητες Συναρτήσεων 153.1 Μονοτονία-Ακρότατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Μετατοπίσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Τριγωνοµετρία 194.1 Ταυτότητες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2 Αναγωγή & Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.3 Τριγωνοµετρικοί αριθµοί αθροίσµατος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.4 Εξισώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.5 ∆ραστηριότητες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5 Πολυώνυµα 375.1 Ορισµοί & ∆ιαίρεση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.2 Εξισώσεις και Ανισώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.3 ∆ραστηριότητα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6 Εκθετική & Λογαριθµική 516.1 Εκθετική Συνάρτηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.2 Λογαριθµική Συνάρτηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7 Επανάληψη 55

1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Λυγάτσικας Ζ. 2

c 2015

Λυγάτσικ

αςΖ.

Κεφάλαιο 1

Επανάληψη από Α τάξη

1.1 Συναρτήσεις

1.1.1 Η συνάρτηση f(x) = αx2

Την συνάρτηση f(x) = αx2, α ∈ R∗, την είδατε στην Γ Γυµνασίου (κεφ. 4.1). Πρόκειται για την

γνωστή παραβολή. Ας δούµε τα κυριότερα σηµεία από το ϐιβλίο του Γυµνασίου.

Σχήµα 1.1: Η συνάρτηση f(x) = αx2.

΄Αξονας Μεγίστη ΕλαχίστηΣυµµετρίας Τιµή Τιµή

Κορυφή Κορυφή

α > 0 (τ) (x, y) = (0, 0)

α < 0 (τ) (x, y) = (0, 0)

Λέµε ότι η συνάρτηση y = αx2 εφάπτεται τον οριζόντιο άξονα. Προφανώς έχει διπλή ϱίζα την

(0, 0).

3

1.1. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΠΟ Α ΤΑΞΗ

Παράδειγµα 1 Να µεταφέρετε στο Geogebra τα γραφήµατα των συναρτήσεων y = x2, y = 1000x2 και

y = 10−4x2.

1.1.2 Η συνάρτηση f(x) = αx2 + βx+ γ

Σχήµα 1.2: Η συνάρτηση αx2 + βx+ γ = 0, α > 0.Με δύο λόγια η συνάρτηση f(x) = αx2 + βx+ γ

όταν α > 0 έχει ελάχιστη τιµή έχει κορυφή το σηµείο

(− β

2α,− ∆

4α

)

Σχήµα 1.3: Η συνάρτηση αx2 + βx+ γ = 0, α < 0.Με δύο λόγια η συνάρτηση f(x) = αx2 + βx+ γ

όταν α < 0 έχει µεγίστη τιµή και κορυφή το σηµείο

(− β

2α,− ∆

4α

)


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΠΟ Α ΤΑΞΗ 1.1. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

1.1.3 Παραδείγµατα

Παράδειγµα 2 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις µε Σωστό ή Λάθος. ΄Εστω η συνάρτηση

f(x) = αx2 + βx+ γ, α 6= 0:

1. Αν το τριώνυµο f(x) γράφεται σαν τέλειο τετράγωνο τότε η Cf εφάπτεται στον άξονα των τετµηµέ-

νων.

2. Αν ∆ < 0 και α < 0 η Cf ϐρίσκεται κάτω από τον άξονα των τετµηµένων.

3. Η κορυφή της Cf είναι το σηµείο

(− β

2α,

∆

4α

).

4. Αν αγ < 0, η Cf τέµνει τον ϑετικό ηµιάξονα Ox και τον αρνητικό ηµιάξονα Oy′.

5. Η Cf έχει άξονα συµµετρίας την ευθεία x =β

2α.

Παράδειγµα 3 ∆ίνεται η παραβολή y = x2 − x− 2. Να ϐρείτε :

1. την κορυφή της παραβολής,

2. τον άξονα συµµετρίας,

3. τα σηµεία τοµής της παραβολής µε τους δύο άξονες συντεταγµένων.

Παράδειγµα 4 Αν για τη συ-

νάρτηση f(x) = αx2 + βx+ γ,ισχύει α · γ < 0 να ϐρείτε ποια

από τις διπλανές γραφικές πα-

ϱαστάσεις ϑα µπορούσε να αν-

τιπροσωπεύσει την f(x).

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4

1.1.4 Ασκήσεις

1. Να ϐρείτε την µεγίστη τιµή της ελάχιστης τιµής της συνάρτησης : f(x) = x2 + (λ + 2)x − 3.∆ουλέψτε στο Geogebra για να κατανοήσετε την µεταβολή του ελαχίστου της συνάρτησης f(x),δες σχήµα 4.7.

2. ∆ίνεται η συνάρτηση f(x) = λx2 + 2(2 − λ2)x − 1. Να ϐρείτε το λ ώστε η f να είναι γνησίως

αύξουσα στο (−∞,−1] και γνησίως ϕθίνουσα στο [−1,∞).

3. Να ϐρεθεί η καµπύλη στην οποία ανήκουν οι κορυφές των παραβολών y = x2− 2λx− 2 για τις

διάφορες τιµές του λ.

5 Λυγάτσικας Ζ.


Σχήµα 1.4: Το µέγιστο του ελαχίστου A της συνάρτησης f(x).

4. Αν η συνάρτηση f(x) = (λ3 − 1)x2 + 2λx− 8 είναι γνησίως ϕθίνουσα στο R να ϐρείτε το λ.

5. Σε ένα ορθοκανονικό σύστηµα αξόνων ϑεωρούµε σηµείο A = (2, 0) και σηµείο B(x, 0), x > 0.΄Εστω ε η κάθετος από το A στον άξονα των τετµηµένων και σηµεία M1 και M2 σηµεία της ε έτσιώστε : AM1 = AM2 = OB = µ. Η εύθεια η κάθετος στον άξονα των τετµηµένων στο σηµείο B,

τέµνει τις OM1 και OM2 στα σηµεία N1 και N2 αντίστοιχα, δες σχήµα 4.7.

Σχήµα 1.5: ΄Ασκηση 5.

Υπολογίστε τις συντεταγµένες των σηµείων N1 και N2 συναρτήσει του x και δείξτε ότι τα σηµεία

αυτά ανήκουν στις παραβολές y =1

2x2 και y = −1

2x2.



6. ΄Εστω τρίγωνο4ABΓ ισοσκελές µε κορυφή Γ, AB = 8cm και ΓH = 6cm. ΄Εστω M σηµείο

της πλαυράς AB, σηµειώνουµε µε x = AM και f(x) το εµβαδόν του γραµµοσκιασµένου

πολυγώνου, δες σχήµα 4.9. ∆είξτε ότι η συνάρτηση ορίζεται στο διάστηµα [0, 8] και είναι η :

f(x) =

3

4x2 αν 0 ≤ x ≤ 4

24− 3

4(8− x)2 αν 4 < x ≤ 8


7. Σκοπός της άσκησης είναι να συγκρίνουµε τη ϑέση ενός αριθµού ξ ως προς τις δύο πραγµατικές

ϱίζες ενός τριωνύµου.

(α΄) ΄Εστω τριώνυµο µε πραγµατικούς συντελεστές p(x) = αx2 + βx+ γ, (α 6= 0).

i. ∆είξτε ότι η ικανή και αναγκαία συνθήκη για να έχει το τριώνυµο δύο πραγµατικές

ϱίζες έτσι ώστε ο ξ να είναι ανάµεσα στις ϱίζες του, είναι

αp(ξ) < 0 (1.1)

ii. ∆είξτε ότι αν το ξ είναι ίσο µε µια εκ των δύο ϱιζών της p(x) = 0, τότε : p(ξ) = 0.

iii. Αν ρ1 < ρ2 οι δύο πραγµατικές ϱίζες της p(x) = 0, η αναγκαία και ικανή συνθήκη για

να είναι ξ < ρ1 < ρ2,(ρ1 < ρ2 < ξ

), είναι :

∆ > 0, αp(ξ) > 0, ξ < − β

2α,

(ξ > − β

2α

)(1.2)

(ϐ΄) Στη συνέχεια ϑα κάνουµε µια εφαρµογή του αποτελέσµατος που ϐρήκαµε παραπάνω. Θα

ϐρούµε τις τιµές της παραµέτρου λ έτσι ώστε ο αριθµός 2 να ϐρίσκεται µεταξύ των ϱιζών

της εξίσωσης :

p(x) = λx2 − (λ+ 1)x+ 3− λ = 0 (1.3)



i. Γράψτε στο Geogebra το γράφηµα του τριωνύµου p(x) µε την παράµετρο λ.

ii. Καταγράψτε τις τιµές της παραµέτρου λ που ικανοποιούν την συνθήκη του προβλή-

µατος.

iii. Επαληθεύστε τον ισχυριµσµό σας µε τα ϑεωρητικά αποτελέσµατα που αποδείξατε στο

πρώτο ερώτηµα 7α΄.

8. ∆ίδεται πραγµατική παράµετρος λ και το τριώνυµο

p(x) = (λ+ 1)x2 − 4λx+ 2λ+ 3 (1.4)

(α΄) ∆ώστε τη µορφή του τριωνύµου στο Geogebra.

(ϐ΄) Καταγράψτε τη ϑέση του αριθµού −1 ως προς τις ϱίζες του τριωνύµου p(x) για τις διάφορες

τιµές του λ.

(γ΄) Επαληθεύστε αλγεβρικά τις πειραµατικές διαπυστώσεις σας.

9. Σκοπός της άσκησης είναι να παρουσιάσουµε έναν αλγόριθµο που ϑα καθορίζει τη ϑέση δύο

αριθµών ξ1 < ξ2 ως προς τις ϱίζες µιας εξίσωσης δευτέρου ϐαθµού.

(α΄) ΄Εστω τριώνυµο µε πραγµατικούς συντελεστές :

p(x) = αx2 + βx+ γ, (a 6= 0) (1.5)

∆είξτε ότι η ϑέση των αριθµών ξ1 και ξ2 είναι αυτή που περιγράφεται από τον παρακάτων

πίνακα:

αp(ξ1) < 0 και αp(ξ2) < 0 ρ1 < ξ1 < ξ2 < ρ2

αp(ξ1) < 0 και αp(ξ2) > 0 ρ1 < ξ1 < ρ2 < ξ2

αp(ξ1) > 0 και αp(ξ2) < 0 ξ1 < ρ1 < ξ2 < ρ2

ή

p(ξ1)p(ξ2) < 0

ξ1 < ρ1 < ξ2 < ρ2ή

ρ1 < ξ1 < ρ2 < ξ2

β2 − 4αγ > 0αp(ξ1) > 0αp(ξ2) > 0

και

ξ1 < −

β

2α, ξ2 > −

β

2α

ξ2 < −β

2α

ξ1 > −β

2α

ξ1 < ρ1 < ρ2 < ξ2

ξ1 < ξ2 < ρ1 < ρ2

ρ1 < ρ2 < ξ1 < ξ2



(ϐ΄) i. ∆ώστε το παραµετρικό τριώνυµο

p(x) = (λ− 1)x2 − 2(3λ+ 1)x+ 9λ, λ 6= 1 (1.6)

στο Geogebra.

ii. Καταγράψτε, µετακινώντας την παράµετρο λ στην αντίστοιχη ϱάµβδο, τις τιµές της

παραµέτρου που χαρακτηρίζουν τη ϑέση των αριθµών −1 και 0 ως προς τις ϱίζες της

p(x) = 0.

iii. Επαληθεύστε την καταγραφή σας µε τον πίνακα που κατασκευάσαµε στο ερώτηµα

9α΄.

10. Να αποδειχθεί, χωρίς να χρησιµοποιήσουµε την διακρίνουσα, ότι :

(α΄) η εξίσωση

(x− 1)(x+ 2) + (x+ 1)(x− 2)− (x− 1)(x− 2) = 0

έχει δύο ϱίζες πραγµατικές εκ των οποίων η µια ανήκει στο διάστηµα (1, 2).

(ϐ΄) η εξίσωση

A2

x− a+

B2

x− β= Γ2, (x 6= α, β)

έχει δύο πραγµατικές ϱίζες.

11. Να ευρεθεί το µέγιστο και το ελάχιστο του κλάσµατος

x− 4

x2 − 3x− 3

Υπόδειξη : Θέσεx− 4

x2 − 3x− 3= µ και δουλέψτε για το τριώνυµο

µx2 − (3µ+ 1)x− 3µ+ 4




c 2015

Λυγάτσικ

αςΖ.

Κεφάλαιο 2

Συστήµατα

2.1 Γραµµικά

12. ΄Εστω το σύστηµα

2x− y = λ− 17x− 4y = λ

.

(α΄) Να δείξετε ότι έχει µοναδική λύση, (x0, y0), για κάθε λ ∈ R.

(ϐ΄) Να ϐρείτε τις τιµές του λ ώστε 2x0 − y0 < 1.

13. Αν D είναι η ορίζουσα του συστήµατος

(D − 1)x+ y = 1D · x+ 3y = 2

, να λύσετε το σύστηµα.

14. Αν για το σύστηµα

αx+ βy = γα′x+ β′y = γ′

ισχύουν D 6= 0, Dx + 2Dy = 3D και x− 2y = −1, να

ϐρείτε τα x και y.

15. Αν ένα γραµµικό σύστηµα µε αγνώστους x και y έχει µοναδική λύση και ισχύει :

D2x +D2

y + 5D2 − 2D ·Dx + 4D ·Dy = 0

να ϐρείτε τα x και y.

16. Να ϐρείτε τα λ, µ έτσι ώστε τα συστήµαταx− λ · y = −2x+ 3y = 1

,

λ · x+ y = 0

(λ− 1) · x− µ · y = 2

να είναι συγχρόνως αδύνατα.

17. Επαληθεύσατε ότι το (3, 2) είναι λύση των συστηµάτων4x− 5y = 2−x+ 3y = 3

,

2x− 3y = 0

x = 1, 5y

11

2.1. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

18. Βρείτε τις τιµές των παραµέτρων a, b, c, a′, b′c′ του συστήµατος(ε) : ax+ by = c(ε′) : a′x+ b′y = c′

όταν η ευθεία (ε) διέρχεται απο τα σηµεία A(−2, 1) και B(2,−1) και η ευθεία (ε′) απο τα σηµεία

C(1,−3) και D(−1,−2).

19. ΄Εστω το παρακάτω σύστηµα µε 0o < ω < 90o:(ηµ (ω)− συν (ω))x+ (ηµ (ω) + συν (ω)) y = 1(ηµ (ω) + συν (ω))x− (ηµ (ω)− συν (ω)) y = 1

∆είξτε ότι το σύστηµα έχει µία λύση. Στη συνέχεια δείξτε ότι αν (a, b) η λύση του συστήµατος, τα aκαι b µπορεί να είναι τα µέτρα των καθέτων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου µε υποτείνουσα

ίση µε 1 µονάδα και µία οξεία γωνία ίση µε ω.

20. ΄Εστω το σύστηµα

(λ+ 3)x+ y = 5λλx+ y = −1

µε 3 < λ < 5. ∆είξτε ότι αν x0 και y0 οι λύσεις του

συστήµατος, τότε16

3< x0 < 9 και y0 < 0.


c 2015

Λυγάτσικ

αςΖ.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 2.2. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ

2.2 Μη γραµµικά

21. Να λυθεί το σύστηµα:

2√x− 3

√y = 5

3√x− 5

√y = 7

(Θέσε X =√x και Y =

√y.)

22. Λύσε τα συστήµατα:

(Σ) :

x− y = 8

x2 − y2 = 384, (Σ′) :

2x+ 5y = 34

4x2 − 25y2 = −952

23. Αν x ϑετικός ακέραιος, δείξτε ότι δεν υπάρχει ακέραιος y έτσι ώστε :(4x+ 3y)2 − (3x− 4y)2 = 6

(x− y)3 + (x+ y)3 + 3(x− y)2(x+ y) + 3(x− y)(x+ y)2 = 64

Υπόδειξη : Αφού παραγοντοποιήσετε τις αλγεβρικές παραστάσεις στα πρώτα µέλη των δύο εξισώσεων λύστε το

σύστηµα.

24. ∆είξτε ότι το παρακάτω σύστηµα δεν έχει λύση:4

x− y− y

(x− y)2= 0

1− x2 + y2

x2 − y2= 0

Υπόδειξη : Πρώτα, εκτελέστε τις πράξεις στο πρώτο µέλος των εξισώσεων. Να έχετε υπόψη ότι ένα κλάσµα είναι ίσο

µε 0 αν ο αριθµητής του είναι 0. Αφού ϐρείτε την λύση του συστήµατος των αριθµητών, δείξτε ότι αυτή δεν µπορεί

να είναι λύση του αρχικού συστήµατος.

25. ∆ίνονται οι δύο εξισώσεις :

x2 − (2λ− 1)x− 3 = 0 (1) και x2 − (λ− 2)x+ 3λ = 0 (2)

µε λ 6= −1. Αν οι δύο εξισώσεις έχουν κοινή ϱίζα, να ϐρείτε :

(α΄) την κοινή ϱίζα,

(ϐ΄) την τιµή του λ ώστε να έχουν κοινή ϱίζα.

Υπόδειξη : Μας δίνει δύο παραµετρικές εξισώσεις παραβολής και µας Ϲητάει να εντοπίσουµε την κοινή ϱίζα και την

αντίστοιχη τιµή της παραµέτρου λ.Σχεδιάζοντας το πρόβληµα στο Geogebra παρατηρούµε ότι, για τις διάφορες τιµές του λ, οι δύο καµπύλες έχουν

ένα κοινό σηµείο, δες σχήµα.

Πράγµατι, αν λύσουµε το σύστηµα:x2 − (2λ− 1)x− 3 = yx2 − (λ− 2)x+ 3λ = y

⇔x = −3y = 3 + 6λ

΄Οπως ϐλέπουµε στο σχήµα, το σηµείο A έχει σταθερή τετµηµένη. Το πρόβληµα Ϲητάει για ποιά τιµή του λ το

σηµείο A έχει τεταγµένη 0, είναι δηλαδή σηµείο του άξονα x′x. Απο την λύση του συστήµατος αυτό ϕαίνεται ότι

γίνεται για λ = −1

2.


2.2. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Για να κατανοήσουµε τον περιορισµό λ 6= −1, αρκεί να µετακινήσουµε τον δείκτη στο Geogebra, και ϑα δούµε ότι

για λ = −1 οι παραβολές ταυτίζονται.


5x− y = −1x2 + 4xy − 2y2 + 8x+ 39 = 0

.

Υπόδειξη : Με αντικατάσταση του y από την πρώτη στην δεύτερη.


x+ y + xy = 41xy(x+ y) = 330

Υπόδειξη : Το σύστηµα λέγεται συµµετρικό ως προς τις µεταβλητές του γιατί κάθε εναλλαγή των µεταβλητών αφήνει

το σύστηµα αναλλοίωτο. Θέτουµε

x+ y = φxy = ω

. Τότε το αρχικό σύστηµα γίνεται

φ+ ω = 41φω = 330

. Θα

ϐρείτε τα φ και ω. Τελικά οι λύσεις είναι (x, y) = (5, 6), (15−√

214, 15 +√

214)


c 2015

Λυγάτσικ

αςΖ.

Κεφάλαιο 3

Ιδιότητες Συναρτήσεων

3.1 Μονοτονία-Ακρότατα

28. Να εξετάσετε ως προς τη µονοτονία τη συνάρτηση: f(x) = x7 −√

3− 6x.

29. ∆ίδεται η συνάρτηση f(x) = |λ|x− 3(x+ 1).

(α΄) Να κατασκευάσετε στο Geogebra ένα µοντέλο της συνάρτησης παραµετρικό ως προς λ. Για

ποιές τιµές του λ αλλάζει µονοτονία ;

(ϐ΄) Να εξετάσετε αλγεβρικά τη µονοτονία της συνάρτησης f(x) επαληθεύοντας τους προηγού-

µενους ισχυρισµούς.

30. Αν η συνάρτηση h είναι γνησίως µονότονη στο σύνολο R, να λύσετε τις εξισώσεις : h(x) =h(2x− 3) και h(x3)− h(27) = 0.

Υπόδειξη : Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως µονότονη ισχύει ότι :

f(x1) = f(x2)⇐⇒ x1 = x2

31. ΄Εστω δυο συναρτήσεις f, g : R −→ R µε το ίδιο είδος µονοτονίας. Να δείξετε ότι η συνάρτηση:

h(x) = f(g(x)

)είναι γνησίως αύξουσα.

32. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R να δείξετε ότι :

f

(2

π

)< f

( π

3

), f(2α) ≤ f(α2 + 1)

33. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως ϕθίνουσα στο R να δείξετε ότι :

i. f(√

6− 3) > f(√

3−√

2)

ii. f(

4√

34)> f(

√6)

iii. f(2x2 + 2013) < f(2012) iv. f(−α2 + α) > f(−α + 2)

15

3.1. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

34. ∆ίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 +√x− 1.

(α΄) Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της f .

(ϐ΄) Να εξετάσετε την µονοτονία της f .

(γ΄) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο.

(δ΄) Να ϐρείτε το f(10) και να λύσετε :

i. την εξίσωση f(x) = 103

ii. την ανίσωση f(x) < 103

(ε΄) Να δείξετε ότι f(2012

2011

)− 1 > 0.

35. ∆ίνεται η συνάρτηση f(x) =

√4− x2 + 2

x.

(α΄) Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της f .

(ϐ΄) Σχεδιάστε την συνάρτηση στο Geogebra.

(γ΄) Μπορείτε να δικαιολογήσετε τη µορφολογία της συνάρτησης ;

(δ΄) Γιατί το γράφηµα Cf έχει κέντρο συµµετρίας το O(0, 0);

36. ∆ίνεται η συνάρτηση f(x) =

−x2013, αν x < 0

x2013, αν x ≥ 0. Να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συµµετρίας

τον άξονα y′y.

37. Αν µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού όλο το σύνολο των πραγµατικών αριθµών, R είναι περιττή,

τότε η συνάρτηση g(x) = |f(x)| είναι άρτια.

38. ∆ίνονται οι συναρτήσεις f, g : A −→ R όπου η f είναι περιττή και η g άρτια. Να δείξετε ότι η

συνάρτηση h(x) = f(x) · g(x) είναι περιττή.

39. ΄Εστω η συνάρτηση f : R −→ R για την οποία ισχύει : f(x+y) = f(x)+f(y), για κάθε x, y ∈ R.

(α΄) Να ϐρείτε το f(0).

(ϐ΄) Να δείξετε ότι η f είναι περιττή.

40. ΄Εστω η συνάρτηση f : R −→ R η οποία είναι περιττή. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) =f(|x|) · |f(x)|, είναι άρτια.

41. ΄Εστω η συνάρτηση f : R −→ R. Να δείξετε ότι :

(α΄) η συνάρτηση g(x) = f(a+ x)− f(a− x) είναι περιττή,

(ϐ΄) η συνάρτηση h(x) = f(b− x) + f(b+ x) είναι άρτια.

42. ΄Εστω η συνάρτηση f : R −→ R για την οποία ισχύει :

f(x) · f(−x) = [f(x)]2

για κάθε x ∈ R. Να δείξετε ότι η f είνα άρτια.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 3.1. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ

43. Σκοπός είναι να ϐρούµε µια συνάρτηση f : N −→ N που επαληθεύει τις δύο παρακάτω συνθή-

κες :

• f(1) = 1

• για κάθε ϕυσικό m και n,

f(m+ n) = f(m)× f(n) + f(n) + f(m)

(α΄) Υποθέτουµε ότι µια τέτοια συνάρτηση f υπάρχει.

i. Υπολογίστε το f(0).

ii. Υπολογίστε τα f(2), f(3), f(6).

(ϐ΄) ∆είξτε ότι για κάθε ϕυσικό n f(n+ 1) = 2f(n) + 1.

(γ΄) Θέτω για κάθε ϕυσικό n: g(n) = f(n) + 1.∆είξτε ότι για κάθε ϕυσικό m και n: g(n+m) = g(n)× g(m).

(δ΄) Να ϐρείτε την συνάρτηση f που ανταποκρίνεται στο πρόβληµα.

44. ΄Εστω η συνάρτηση f που πάει Ϲέυγη ϕυσικών αριθµών σε ϕυσικούς αριθµούς σύµφωνα µε τους

κανονες :

f(0, y) = y + 1, f(x, 0) = f(x− 1, 1), f(x+ 1, y + 1) = f(x, f(x+ 1, y))

Να ϐρείτε τις τιµές f(2, 1) και f(2, 2).

45. ΄Εστω µια πραγµατική συνάρτηση f ορισµένη στο (0,+∞), όπως ο παρακάτω πίνακας :

Πίνακας Τιµών

x f(x)2 3, 01033 4, 771245 6, 98976 7, 78157 8, 451089101001000

1000000109

Η συνάρτηση αυτή έχει την εξής ιδιότητα :

Για κάθε πραγµατικούς αριθµούς x > 0 και y > 0 ισχύει :

f(x× y) = f(x) + f(y)

(α΄) Βρείτε το f(4) και συµπληρώστε τον διπλανό πίνα-

κα.

(ϐ΄) Υπολογίστε το f(245).

(γ΄) Υπολογίστε το f(1).

(δ΄) ∆είξτε ότι για κάθε x > 0:

f

(1

x

)= −f(x)

46. ∆ίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει f(x + y) = f(x) + f(y), για κάθε πραγµατικό

αριθµό x, y. Να αποδείξετε ότι :


3.2. ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

(α΄) f(0) = 0

(ϐ΄) Η f είναι περιττή.

(γ΄) f(νx) = νf(x), ∀ν ∈ N∗

47. Αν η συνάρτηση f(x) έχει ελάχιστη τιµή το −1 και µεγίστη το 4, να ϐρεθούν οι σταθερές α και

β, όταν f(x) =2αx+ β

x2 + 1.

3.2 Μετατοπίσεις

48. Μετατοπίζοντας κατάλληλα το γράφηµα της συνάρτησης f(x) = x2 να σχεδιάσετε και να λύσετε

γραφικά την εξίσωση x2 − x− 2 = 0.

49. Στο Σχήµα 3.1 ϐλέπετε το διάγραµµα δύο συναρτήσεων f(x) = ηµ (x) και g(x) = συν (x).Μπορείτε να γράψετε τον µετασχηµατισµό που οδηγεί την µία καµπύλη πάνω στην άλλη ;

Σχήµα 3.1: Το γράφηµα του συν µπορεί να µετατοπισθεί και να συµπέσει µε το γράφηµα του ηµ .


c 2015

Λυγάτσικ

αςΖ.

Κεφάλαιο 4

Τριγωνοµετρία

4.1 Ταυτότητες

50. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις :

συν2α(1 + εφ

2α), ηµ2α(1 + σφ

2α), εφ2α · συν 2α + σφ

2α · ηµ 2α

51. Οµοίως τις παραστάσεις :

εφ α +συν α

1 + ηµ ακαι σφ α +

ηµ α

1 + συν α

52. Αν στεµ α :=1

ηµ ακαι τεµ α :=

1

συν α, να δείξετε ότι :

(α΄) συν2α− ηµ

2α = 1− 2ηµ 2α = 2συν 2α− 1

(ϐ΄)1− ηµ α

συν α=

συν α

1 + ηµ ακαι

1− συν α

ηµ α=

ηµ α

1 + συν α

(γ΄)

(ηµ α + συν α

)2= 1 + 2ηµ α · συν α και

(ηµ α− συν α

)2= 1− 2ηµ α · συν α

(δ΄) ηµ3α + συν

3α = (ηµ α + συν α)(1− ηµ α · συν α)

(ε΄) ηµ4α + συν

4α = 1− 2ηµ 2α · συν 2α και ηµ4α− συν

4α = 1− 2ηµ 2α

(ϝ΄)1− 2ηµ α · συν αηµ 2α− συν 2α

=ηµ α− συν α

ηµ α + συν α

(Ϲ΄)

(συν α + ηµ α + 1

)(συν α + ηµ α− 1

)= 2ηµ α · συν α

(η΄)

(1 + ηµ α + συν α

)2= 2(1 + ηµ α)(1 + συν α)

(ϑ΄) 1− συν2α

1 + ηµ α= ηµ α

(ι΄) ηµ α · συν α · (εφ α + σφ α) = 1

19

4.1. ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

(ια΄)εφ α

1− σφ α+

σφ α

1− εφ α= τεµ α · στεµ α + 1

(ιϐ΄) 3συν 2α + 2ηµ 2α =3 + 2εφ 2α

1 + εφ 2α

(ιγ΄) συν2α− ηµ

2α =1− εφ

2α

1 + εφ 2ακαι

τεµ α

τεµ α + 1+

τεµ α

τεµ α− 1= 2στεµ 2α

(ιδ΄) συν2α− συν

2β = ηµ2β − ηµ

2α =1

1 + εφ 2α− 1

1 + εφ 2β

(ιε΄) ηµ2α · συν 2β − ηµ

2β − συν2α = ηµ

2α− ηµ2β

(ιϝ΄)ηµ α + συν β

συν α + ηµ β+

συν α− ηµ β

ηµ α− συν β= 0


c 2015

Λυγάτσικ

αςΖ.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 4.2. ΑΝΑΓΩΓΗ & ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

4.2 Αναγωγή & Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις

53. Να δείξετε ότι :

(α΄) συν α + ηµ (270o + α) + συν (180o + α)− ηµ (270o − α) = 0

(ϐ΄) ηµ (171o + α− β)− ηµ (9o + β − α) = 0

(γ΄) ηµ (203o + α− β) + ηµ (23o + α− β) = 0

(δ΄) εφ (138o + 2α− β) + σφ (48o + 2α− β) = 0

(ε΄) ηµ (280o + α− β) + συν (10o + α− β) = 0

(ϝ΄) ηµ

(3π

2− α

)· εφ (π − α)

(Ϲ΄)

ηµ (π − α) · εφ(3π

2+ α

)ηµ

(π2

)· εφ (π + α)

(η΄)

ηµ (π + α) · συν(3π

2− α

)· εφ

(3π

2+ α

)ηµ (2π + α)

(ϑ΄) Αν α + β + γ = 180o ⇒ συν (α + γ) = −συν (β)

(ι΄) Αν α + β + γ = 180o ⇒ σφ (α + β) = −σφ (γ)

(ια΄) Αν α + β + γ = 180o ⇒ ηµ (α) = −ηµ (2α + β + γ)

(ιϐ΄) Αν α + β + γ = 180o ⇒ συν (β) = −συν (2β + α + γ)

(ιγ΄) Αν α + β + γ = 180o ⇒ εφα + β

2= σφ

γ

2

(ιδ΄) Αν α + β + γ = 180o ⇒ συνα− γ

2= ηµ

β + 2α

2= ηµ

β + 2γ

2

(ιε΄) Αν α + β + γ = 180o ⇒ εφα + β − γ

2= σφ (γ)

54. Αν ηµ α =µ2 − ν2

µ2 + ν2, να ευρεθεί η εφ α όταν µ, ν ∈ R∗.

55. Πόσες διαφορετικές τιµές µπορεί να πάρει η παράσταση ηµκπ

7όταν κ ∈ R.

Υπόδειξη : Υπάρχουν 13 υποψήφιες τιµές :

ηµ 0o, ±ηµπ

7, ±ηµ

2π

7, ±ηµ

3π

7, ±ηµ

4π

7, ±ηµ

5π

7, ±ηµ

6π

7

εκ των οποίων µερικές είναι οι ίδιες. Τελικά οι τιµές είναι 7.

56. Να ευρεθούν οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί του τόξου 1050o.Υπόδειξη : Παρατηρείστε ότι 1050o = 2 · 3600 + 3300 = 2 · 360o + 3600 − 30o.

57. Να δείξετε ότι 2(ηµ 6x+ συν6x)− 3(ηµ 4x+ συν

4x).


4.2. ΑΝΑΓΩΓΗ & ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

58. ∆είξτε ότι : |2ηµ x+ 3συν y| ≤ 5.Υπόδειξη : |2ηµ x+ 3συν y| ≤ |2ηµ x|+ |3συν y| ≤ 2 + 3 = 5.

59. Να αποδείξτε ότι ηµ θ · συν θ ≤ 1

2.

Υπόδειξη :

(ηµ θ + συν θ

)2

≥ 0⇔ ηµ2θ + συν

2θ ≥ 2ηµ θ · συν θ ⇔ 1

2≥ ηµ θ · συν θ.

60. Να δείξετε ότι |εφ θ|+ |σφ θ| = |εφ θ + σφ θ|.Υπόδειξη : Επειδή εφ θ · σφ θ = 1 > 0 το συµπέρασµα έπεται απο την |a+ b| = |a|+ |b| ανν a · b > 0.

61. Αν −π2< x <

π

2να δείξετε ότι : συν |x| = |συν (−2kπ + x)|, k ∈ N.

Υπόδειξη : συν (−2kπ + x) = συν (2kπ − x) = συν (x).

62. Να δείξτε ότι : ηµ226o + ηµ

234o + ηµ264o + ηµ

256o = 2.Υπόδειξη : ηµ 26o = ηµ (90o−64o) = συν 64o και ηµ 34o = ηµ (90o−34o) = συν 56o. ΄Αρα, συν

2640 +ηµ264o+

συν256o + ηµ

256o = 2.

63. Να απλοποιηθεί η παράσταση

B =

ηµ

(3π

2− θ

)· συν

(π

2+ θ

)· εφ (2π − θ)

συν

(5π

2+ θ

)· σφ (−θ) · σφ

(π

2+ θ

)

Υπόδειξη : Είναι :

ηµ

(3π

2− θ

)= −συν θ, συν

(π

2 + θ

)= −ηµ θ

συν

(π

2+(

2π + θ))

= −ηµ θ, σφ (−θ) = −σφ (θ)

σφ

(π2

+ θ)

= −εφ θ

64. Να δείξτε ότι : σφ 1o + σφ 2o + σφ 3o + · · ·+ σφ 179o = 0.Υπόδειξη : Παρατηρείστε ότι σφ 1o + σφ 179o = σφ 2o + σφ 178o = · · · = 0 και ότι το άθροισµα των προσθετέων

είναι άρτιο, άρα, είναι ίσο µε 0.

65. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση y = εφ7x

10+ ηµ

2x

5είναι περιοδική και να ϐρεθεί η περίοδος της.

Υπόδειξη : Από το σχήµα 4.1 ϐλέπουµε ότι η συνάρτηση είναι περιοδική µε περίοδο 10π. Ζητάτε να ϐρείτε ένε Tτέτοιο ώστε :

εφ7(x+ T )

10+ ηµ

2(x+ T )

5= εφ

7x

10+ ηµ

2x

5

Αν T1 είναι ένα πολλαπλάσιο της περιόδου της εφ7x

10τότε

T1 =κ1π710

=κ1 · 10π

7(4.1)



Σχήµα 4.1: y = εφ7x

10+ ηµ

2x

5

Αν T2 είναι ένα πολλαπλάσιο της περιόδου της ηµ2x

5τότε

T2 =κ22π

25

= κ2 · 5π (4.2)

µε κ1, κ2 ∈ Z. Τότε όµως T = T1 = T2, άρα

κ1 · 10π

7= κ2 · 5π = T ⇔ 10κ1π = 35κ2π = 7T

Τέτοιοι κ1 και κ2 υπάρχουν, άρα η συνάρτηση είναι περιοδική. Η περίοδος µιας συνάρτησης είναι ο µικρότερος1

αριθµός T έτσι ώστε f(x) = f(x± T ). ΄Αρα, κ1 = 7 και κ2 = 2. Εποµένως 7T = 70π ⇔ T = 10π .

66. ∆ίνεται η συνάρτηση f(x) = λ− 3συν (4x), λ ∈ R της οποίας η ελαχίστη τιµή είναι −5.

(α΄) Να ϐρείτε το λ.

(ϐ΄) Για τη τιµή του λ που ϐρήκατε παραπάνω, να ϐρείτε τον τύπο και στη συνέχεια την περίοδο

της συνάρτησης g(x) = f(3x

8

).

(γ΄) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση h(x) = f(3π

4− x)

στο διάστηµα

[− π

2, π].

Υπόδειξη :

(α΄) λ− 3 = −5⇔ λ = −2, δες σχήµα 4.2.


1Προσοχή: Το ϐιβλίο δεν ϑεωρεί ϱητά ότι το T είναι ο µικρότερος αριθµός T που ισχύει f(x) = f(x ± T ). ΄Ετσι για

παράδειγµα, ηµ x = ηµ (x+ 4π).


4.2. ΑΝΑΓΩΓΗ & ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

(ϐ΄) f(3x

8

)= −2− 3συν

(3x

2

)µε περίοδο T =

4π

3.

(γ΄) f(3π

4− x)

= −2 + 3συν (4x) µε διάγραµµα, σχήµα 4.3:


67. ∆ίνεται η συνάρτηση µε τύπο:

f(x) = α1 + συν (2βx)

2− 2, x ∈ [0, 2π], α > 0

Αν η περίοδος της είναι T = π και έχει µέγιστο στο 3, τότε :

(α΄) Να ϐρείτε τους αριθµούς α και β.

(ϐ΄) Να ϐρείτε το ελάχιστο της f καθώς και τις τιµές του x για τις οποίες η f παίρνει την

ελάχιστη τιµή της.

(γ΄) Για τις παραπάνω τιµές των α και β να ϐρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης

της f µε τον άξονα y′y.

Υπόδειξη :




(α΄) Πρέπει2π

2β= π ⇔ β = 1 και

α

2− 2 +

α

2= 3⇔ α = 5.

(ϐ΄) 0 ≤ 1 + συν (2x) ⇔ −2 ≤ 5(1 + συν (2x)

2− 2. ΄Αρα, το ελάχιστο είναι ίσο µε −2 και οι τιµές του x µε για

τις οποίες η τιµή της συνάρτησης είναι η ελαχίστη, είναι έτσι ώστε −1 = συν (2x). ∆ηλαδή, x = ±kπ2

µε k

περιττός, δες σχήµα 4.4.

(γ΄) Για x = 0 η συνάρτηση γίνεται5(1 + συν (2 · 0))

2− 2 = 3. ΄Αρα, το σηµείο τοµής µε τον άξονα y′y είναι το

σηµείο (0, 3), δες σχήµα 4.4.


c 2015

Λυγάτσικ

αςΖ.

4.3. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

4.3 Τριγωνοµετρικοί αριθµοί αθροίσµατος

68. Να δείξετε ότι : συν2(α + β) + συν

2β − 2συν (α + β) · συν α · συν β = ηµ2α.

69. Να δείξετε ότι : ηµ2α + ηµ

2β + 2ηµ α · ηµ β · συν (α + β) = ηµ2(α + β).

70. Να δείξετε ότι : ηµ (α+ β) · ηµ (α− β) + ηµ (γ +α) · ηµ (γ −α) + ηµ (β + γ) · ηµ (β − γ) = 0.

71. Να δείξετε ότι : ηµ (α + β) · συν (α− β) + ηµ (α− β) · συν (α + β) = ηµ 2α.

72. Να αποδείξετε την πρόταση: (α + β + γ = π) ∧ (ηµ α = 2ηµ β · συν γ)⇒ β = γ

73. Να δείξετε ότι :

(α΄) εφ (45o + α)− εφ (45o − α) = 2εφ 2α

(ϐ΄) συν 2α =1

1 + εφ α · εφ 2α

(γ΄) εφ α = σφ α− 2σφ 2α

(δ΄) εφ 78o = εφ 12o + 2εφ 24o + 4εφ 42o

74. ∆είξτε ότι −√

2 ≤ ηµ x+ συν x ≤√

2.Υπόδειξη : Παρατηρήστε ότι : ηµ x+ συν x =

√2ηµ

(x+

π

4

).

75. Να αποδειχθεί ότι το ηµίτονο του αθροίσµατος δύο τόξων ϑετικών και µικρότερων του 90o, είναιµικρότερο του αθροίσµατος των ηµιτόνων αυτών.

76. Από την ισότηταεφ (α− β)

εφ α+

ηµ2γ

ηµ 2α= 1 να εξαχθεί ότι εφ

2γ = εφ α · εφ β.

77. Να δειχθεί ότι η παράσταση

συν2x− 2συν x · συν α · συν (x+ α) + συν

2(x+ α)

είναι ανεξάρτητη του x.

78. Να δειχθεί ότι αν α + β = γ, τότε συν2α + συν

2β − 2συν α · συν β · συν γ = ηµ2γ

79. Να δειχθεί ότι η παράσταση συν2x + συν

2(120o + x) + συν2(120o − x) είναι ανεξάρτητη της

µεταβλητής x.

80. Να απλοποιηθεί η παράσταση 3− 4συν 2x+ συν 4x.

81. Να επαληθευθεί η ισότητα

(σφ

α

2− εφ

α

2

)2=

1

1− 2εφ α · σφ 2α

82. (∗∗) Αν x+ y είναι σταθερό, να ϐρείτε την µέγιστη και ελάχιστη τιµή της παράστασης :

1− ηµ2x− ηµ

2y

Υπόδειξη : ∆ουλέψτε στην ισοδύναµη παράστασησυν 2x+ συν 2y

2.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 4.3. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ

83. (∗) Να ευρεθεί η τιµή της παράστασης : εφ 2α · (1− ηµ 2α), όταν α = 45o.Υπόδειξη : Εκφράστε την παράσταση συναρτήσει του εφ α, δηλαδή,

εφ 2α · (1− ηµ 2α) = · · · = 2εφ α · (1− εφ α)

(1 + εφ α) · (1 + εφ 2α)


c 2015

Λυγάτσικ

αςΖ.

4.4. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

4.4 Εξισώσεις

84. Να λυθεί η εξίσωση: συν x =

√2

2.

Υπόδειξη :x = 2kπ ± π

4.

85. Να λυθεί η εξίσωση: ηµ x = −√

6

2.

Υπόδειξη : Αδύνατη, αφού −√

6

2= −1.224744872 < −1.

86. Να λυθεί η εξίσωση: (1− ηµ x)(2ηµ x−√

3) = 0.

Υπόδειξη : ηµ x = 1 ή ηµ x =

√3

2= ηµ

π

3.

87. Να λυθεί η εξίσωση: (1− ηµ x)(2ηµ x−√

2 +√

2

4) = 0.

Υπόδειξη : Οµοίως : ηµ x = 1 = ηµπ

2ή ηµ x =

√2 +√

2

4⇔ ηµ x = ηµ 0.480181 ή ηµ

(86.4326

π

)o. Για το

τελευταίο ήταν απαραίτητος ο Η/Υ.

88. Να λυθεί η εξίσωση: ηµ (5x+ 80o) = ηµ (3x− 40o).Υπόδειξη : x = −60o + κ1 · 180o και x = 17o30′ + κ1 · 45o.

89. Να λυθούν οι εξισώσεις :

(α΄) ηµ (2x+ 12o) + συν 5x = 0.

(ϐ΄) εφ

(3x− π

3

)+ σφ

(x− π

6

).

(γ΄) 2συν 2x+√

3 · ηµ x+ 1 = 0.

90. Να λυθεί η εξίσωση: 4ηµ 2x− 2(1 +√

3)ηµ x+√

3 = 0.

Υπόδειξη : ηµ x =1

2και ηµ x =

√3

2, µένει να ϐρείτε το x.

91. Να λυθεί η εξίσωση:1

1 + εφ 2x+ ηµ

2x− 2συν x = 0.

Υπόδειξη : x = ±π3

+ 2κπ.

92. Να λυθεί η εξίσωση: (√

3− 1)συν 2x− (1 +√

3)ηµ x · συν x+ 1 = 0.

Υπόδειξη : · · · ⇔ συν2x ·

[√3− (1 +

√3)εφ x+ εφ

2x]

= 0⇔ x =π

4+ κ1π, x =

π

3+ κ2π.

93. Να ϐρεθεί η συνθήκη που πρέπει να ικανοποιούν τα α, β και γ έτσι ώστε η εξίσωση αηµ x +βσυν x = γ να έχει λύση.

Υπόδειξη :

αηµ x+ βσυν x = γ ⇔ α(±√

1− συν 2x)

= γ − βσυν x

⇔ α2(±√

1− συν 2x)2

= (γ − βσυν x)2

⇔ (α2 + β2)συν 2x− 2βγσυν x+ γ2 − α2 = 0


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 4.4. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Η τελεταία είναι µια εξίσωση δευτέρου ϐαθµού µε λύσεις αν και µόνο αν

∆ ≥ 0⇒ α2(α2 + β2 − γ2) ≥ 0⇒ α2 + β2 ≥ γ2

94. Να λυθεί η εξίσωση:

√3 · ηµ x+ συν x = 1.

Υπόδειξη : · · · ⇔ ηµ x+1√3συν x =

1√3⇔ ηµ x+ εφ 30o · συν x =

1√3⇔ ηµ (x+ 30o) = ηµ 30o ⇔ . . . .

Μπορείτε επίσης να κάνετε τον µεταγχηµατισµό εφx

2= y µε ηµ x =

2y

1 + y2και συν x =

1− y2

1 + y2. Τότε :

√3 · ηµ x+ συν x = 1⇔

√3

2y

1 + y2+

1− y2

1 + y2= 1

Η τελευταία δίνει λύσεις : y = 0,√

3. Βρίσκουµε τώρα από την y = εφx

2το x...


(α΄) −ηµ x+ συν x = 1.

(ϐ΄) ληµ x− (λ+ 1)συν x = λ, διερεύνηση ως προς λ.

96. (♣) Να λυθεί η εξίσωση: ηµ3x+ συν

3x = 1.Υπόδειξη :

ηµ3x+ συν

3x = 1 ⇔ (ηµ x+ συν x)(ηµ 2x− ηµ x · συν x+ συν2x) = 1

⇔ (ηµ x+ συν x)(1− ηµ x · συν x) = 1

⇔

λ = ηµ x+ συν x

λ(

1− λ2 − 1

2

)= 1

−√

2 ≤ λ ≤√

2 ∆ες άσκηση 74, σελ. 26

⇔λ = ηµ x+ συν xλ = 1(διπλή),−2(απορρίπτεται)

⇔ ηµ

(x+

π

4

)=

1√2

⇔

x = 2κ1π, κ1 ∈ Zx =

π

2+ 2κ2π, κ2 ∈ Z

97. Να λυθούν οι εξοσώσεις :

(α΄) ηµ x+ συν x+ ηµ x · συν x+ 1 = 0.

(ϐ΄) λ(ηµ x+ συν x) = ηµ x · συν x, διερεύνηση ως προς λ.

(γ΄) ηµ x · συν x− ηµ x+ συν x− 1 = 0

98. Να λυθεί η εξίσωση: 3ηµ x− x = 0.Υπόδειξη : Αν σε καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων αναπαραστήσουµε τις δύο συναρτήσεις y = ηµ x και y =

x

3,

οι λύσεις είναι τα κοινά σηµεία των δύο γραφηµάτων. Υπάρχουν τρία κοινά σηµεία, το µόνο εύκολα αναγνωρίσιµο

είναι το (0, 0).


(α΄) 4συν 2x− 3x− 2 = 0.



Σχήµα 4.5: Σηµεία τοµής των y = ηµ x και y =x

3.

(ϐ΄) συν x = x(ηµ x+ συν x).

Υπόδειξη : συν x = x(ηµ x+ συν x)⇔ 1

x=

ηµ x+ συν x

συν x⇔ . . . .

100. Να λυθεί η ανίσωση: ηµ x > ηµ α.Υπόδειξη : Από το σχήµα η ανισότητα αληθεύει αν

α < x < π − a

Γενικά: α+ 2κπ < x < π − α+ 2κπ, κ ∈ Z.


101. (♣) Να λυθεί η εξίσωση: ηµ

(π · συν x

)= συν

(π · ηµ x

).

Υπόδειξη : Βάση των τύπων η εξίσωση είναι ισοδύναµη µε:

πσυν x = 2κ1π +π

2− πηµ x (4.3)

πσυν x = (2κ2 + 1)π − π

2− πηµ x (4.4)

µε κ1, κ2 ∈ Z. Από την 4.3 έχουµε:

συν x+ ηµ x = 2κ1 +1

2(4.5)

Η εξίσωση 4.5 για να έχει λύση πρέπει, δες άσκηση 93, σελίδα 28:

12 + 12 ≥(

2κ1 + 12

)2⇔ 16κ21 + 8κ1 − 7 ≤ 0

⇔ −0.9571067810,≤ κ1 ≤ 0.4571067810

⇔ κ1 = 0



΄Αρα, η 4.5 γίνεται

συν x+ ηµ x =1

2(4.6)

Με την ίδια διαδικασία, η 4.4 γίνεται τελικά:

συν x− ηµ x =1

2(4.7)

Από τις 4.6 και 4.7.

102. (α΄) Να λυθεί η εξίσωση: 2y2 + y − 1 = 0

(ϐ΄) Να λυθεί η εξίσωση: 2ηµ 2x+ ηµ x− 1 = 0.

Υπόδειξη : Για το πρώτο ερώτηµα: y = −1,1

2. Για το δεύτερο : ηµ x = ηµ − π

2∨ ηµ

π

6.

103. (♣♣)

(α΄) ΄Εστω p(x) = αx2 + βx + γ. Υποθέστε ότι ∆ = β2 − 4αγ ≥ 0. Τότε δείξτε ότι η εξίσωση

p(x) = 0:

i. έχει µόνο µια ϱίζα στο διάστηµα [−1, 1], αν p(−1)p(1) < 0.

ii. έχει ϱίζα το −1 και η άλλη είναι µέσα στο (−1, 1], η οποία ϕυσικά είναι ίση µε −γα,

αν α− β + γ = 0 και γ2 < α2.

iii. έχει ϱίζα το −1 και η άλλη είναι εκτός του διαστήµατος (−1, 1], αν α− β + γ = 0 και

γ2 > α2.

iv. έχει δύο ϱιζές µέσα στο [−1, 1] αν α · p(1) > 0 και α · p(−1) > 0.

v. έχει µια ϱίζα στο [−1, 1] και η άλλη εκτός, αν ή α · p(−1) > 0 και α · p(1) < 0 ή

α · p(−1) < 0 και α · p(1) > 0.

(ϐ΄) Να λυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση:

µηµ 2x− 2(µ− 2)ηµ x+ µ+ 2 = 0

Υπόδειξη :

(α΄) i. Είναι προφανές ότι αν ρ1 < ρ2 οι δύο ϱίζες τότε αν −1 < ρ1 < 1 < ρ2 ή ρ1 < −1 < ρ2 < 1, το p(−1)και p(1) έχουν αντίθετα πρόσηµα, p(−1)p(1) < 0.

ii. Αν p(−1) = 0, τότε α − β + γ = 0. Για την άλλη ϱίζα ρ ισχύει ότι ρ =γ

ακαι −1 <

γ

α< 1 ⇔

∣∣∣∣∣γα∣∣∣∣∣ <

1⇔ γ2 < α2.

iii. ΄Οπως και η προηγούµενη ερώτηση.

iv. Αν έχει δύο ϱίζες ρ1 < ρ2 µέσα στο [−1, 1] ή [−1, 1] ∩ (ρ1, ρ2) = ∅ τότε p(1) και p(−1) είναι οµόσηµα

του α.

(ϐ΄) ΄Εστω p(x) = µx2 − 2(µ− 2)x+ µ+ 2

- Η διακρίνουσα είναι −3µ+ 2 µε −3µ+ 2 > 0 για µ ∈(−∞, 23

).

- p(1) = 6 > 0, p(−1) = 4µ− 2 > 0 για µ ∈(

12 ,∞

). Επίσης, p(−1) = 4µ− 2 = 0⇔ µ = 1

2 .

- αp(1) > 0 αν µ ∈ (0,∞).



Σχήµα 4.7: ΄Ασκηση 103β΄.

- αp(−1) > 0 αν (−∞, 0)⋃(

12 ,∞

)- p(1)p(−1) > 0 αν µ ∈

(12 ,∞

).

΄Αρα, η αρχική εξίσωση έχει µια ϱίζα ηµ x = −1 αν µ = 12 µε την άλλη του ϱίζα εκτός, αφού η άλλη ϱίζα του

p(x) = 0 για µ = 12 ικανοποιεί την γ2 − α2 > 0.

Για µ < 12 το p(x) = 0 έχει µια ϱίζα στο [−1, 1] αφού p(1)p(−1) < 0. Και συνεπώς και η αρχική εξίσωση.

Για12 < µ < 2

3 το p(x) = 0 πιθανόν να έχει δύο ϱίζες στο (−1, 1) ή καµµία, αφού αp(1) > 0 και αp(−1) > 0.Για να το δούµε ας υπολογίσουµε τη διαφορά του µέσου του διαστήµατος των δύο πραγµατικών ϱιζών µε το

−1, που είναι το (ρ1 + ρ2)− (−1) =µ− 2 + µ

µ=

2(µ− 1)

µ, το οποίο είναι αρνητικό για

12 < µ < 2

3 . ΄Αρα, η

αρχική εξίσωση δεν έχει ϱίζες στο διάστηµα αυτό.


Συµπέρασµα, η αρχική εξίσωση έχει µια ϱίζα για µ ≤ 1

2.

104. Να λυθεί η οµογενής εξίσωση:

2ηµ 2x+ 2√

3(ηµ x · συν x

)= 3



Υπόδειξη : 2ηµ 2x+ 2√


)= 3⇔ ηµ

2x+ 2√


)= 3(ηµ 2x+ συν

2x). ΄Αρα,

(ηµ x−

√3συν x

)2

= 0.

105. (♣) Να δειχθεί ότι το σύστηµα των δύο εξισώσεων:

b(b2 − a2 − 1)συν (x) + a(2b2 − 1)ηµ (x) = ab (1)

b(2a2 − 1)συν (x) + a(a2 − b2 − 1)ηµ (x) = ab (2)

έχει λύση όταν a και b είναι τα ηµ και συν της ίδιας γωνίας ω αντίστοιχα. Να ορισθούν οι

λύσεις αυτές.

Υπόδειξη : Αν είναι ισοδύναµες πρέπει οι λύσεις της µιας να είναι λύσεις και της άλλης. Λύνοντας το σύστηµα των

δύο εξισώσεων λοιπόν ϑα πάρουµε: συν x =

a(a2 − 3b2)

(a2 + b2)(2− a2 − b2)

ηµ x =b(b2 − 3a2)

(a2 + b2)(2− a2 − b2)

(4.8)

Αλλά, ηµ2x+συν

2x = 1⇔ a(a2 − 3b2)2 + b2(b2 − 3a2)2

(a2 + b2)2(2− a2 − b2)2= 1 ή ισοδύναµα µετά απο πράξεις : (a2 + b2−1)(a2 +

b2 − 4) = 0. Αν λοιπόν είναι a2 + b2 = 1 τότε οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναµες. ΄Αρα, τα a και b µπορεί να είναι

τα ηµ και συν µιας γωνίας ω. Τότε οι λύσεις στο σύστηµα 4.8 είναι :συν x =

a(a2 − 3(1− a2))

1(2− 1)= a(4a2 − 3)

ηµ x =b(b2 − 3(1− b2))

1(2− 1)= b(4b2 − 3)

106. (♣♣♣) ∆είξτε ότι δεν υπάρχει τόξο x έτσι ώστε :

συν

(ηµ (x)

)= ηµ

(συν (x)

).

Υπόδειξη : Επειδή −π2 < −1 ≤ ηµ x ≤ 1 < π2 , και συν x > 0 στο

(− π

2 ,π2

), µπορούµε να περιορίσουµε την έρευνά

µας στο

(− π

2 ,π2

).

Επίσης, οι συναρτήσεις ηµ (συν x) και συν (ηµ x) είναι άρτιες, άρα έχουν άξονα συµµετρίας τον y′y, µπορούµε

ακόµα να περιορισθούµε στο

(0, π2

).

Αλλά, ηµ (συν x) = συν (ηµ x)⇔ ηµ (συν x) = ηµ

(π2 − ηµ x

)⇔ συν x+ ηµ x = π

2 στο

(0, π2

).

Τότε συν x · ηµ x = − 12 + π2

8 . Επειδή συν x+ ηµ x είναι σταθερό, το γινόµενο συν x · ηµ x παίρνει τη µεγαλύτερη

τιµή του όταν συν x = ηµ x = ηµ 45o =√22 και είναι ίση µε

12 . Τότε όµως:

συν x · ηµ x < −1

2+π2

8

΄Αρα, δεν υπάρχει τόξο x έτσι ώστε : ηµ (συν x) = συν (ηµ x).

Μια άλλη απόδειξη της άσκησης έδωσε ο καθ. Απόστολος ∆έµης στο ϐιβλίο του Μαθηµατικοί Μέθοδοι Γ΄ Λυκείου,

σελ. 6. ΄Οπως και προηγουµένως µπορούµε να περιοριστούµε στο I =(0, π2

). Εικάζουµε ότι

ηµ (συν x) < συν (ηµ x)



Σχήµα 4.9: Η εξίσωση ηµ (συν x) = συν (ηµ x).

Πρώτα ϑα αποδείξουµε ότι ∀x ∈ I |ηµ x| < |x| το οποίο είναι προφανές αφού το ηµ x είναι µικρότερο, σαν το

κάθετο τµήµα, απο το το τόξο µήκους x. ΄Αρα,

ηµ x < x, ∀x ∈ I (4.9)

Επίσης ηµ x, συν x ∈ (0, 1) ⊆ I. Αλλά η συνάρτηση συν x είναι ϕθίνουσα στο I, άρα:

ηµ x < x⇒ συν (ηµ x) > συν x (4.10)

Επίσης, τοποθετώντας στη ϑέση του x το συν x στην εξίσωση 4.9, ϑα πάρουµε

ηµ (συν x) < συν x (4.11)

΄Ετσι, απο 4.10 και 4.11, συµπεραίνουµε ότι : ηµ (συν x) < συν x < συν (ηµ x).

Εποµένως η εξίσωση δεν έχει λύση.


c 2015

Λυγάτσικ

αςΖ.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 4.5. ∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ

4.5 ∆ραστηριότητες

107. ΄Ενα αεροπλάνο ϐρίσκεται στη ϑέση A, δες σχήµα 4.10, και σε ύψος d απο το έδαφος και

ϕαίνεται απο το αεροδρόµιο E υπό γωνία 15o. Αν στη ϑέση B, η οποία απέχει απο την Aαπόσταση 1 km, το αεροπλάνο ϕαίνεται υπό γωνία 30o, να υπολογίσετε το ύψος d.

Υπόδειξη : Υπολογίστε το EA1 − EB1 = 1 km, όπου EA1 =d

εφ 15oκαι EB1 =

d

εφ 30o. Για τον

λόγο αυτό υπολογίστε του τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας 15o.

Σχήµα 4.10: ΄Ασκηση 107

108. ∆ίδοντε τρία τετράγωνα όπως ακριβώς στο σχήµα 4.11.

(α΄) Να υπολογίσετε το άθροισµα των γωνιών ω1 + ω2 + ω3.

Σχήµα 4.11: ΄Ασκηση 108

(ϐ΄) Να δείξετε ότι αν συνεχίσουµε την κατασκευή προσθέτοντας τετράγωνα δεξιά του τελευταίου

τετραγώνου στο σχήµα 4.11, δεν είναι δυνατόν καµµία γωνία ωn να έχει µέτρο 3o!

Υπόδειξη : Για το πρώτο, αφού ω1 = 45o, υπολογίστε την εφ (ω2+ ω3). Θα ϐρείτε ότι ω2+ ω3 = 45o,οπότε το άθροισµα είναι 90o. Για το δεύτερο . . .


4.5. ∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ


c 2015

Λυγάτσικ

αςΖ.

Κεφάλαιο 5

Πολυώνυµα

5.1 Ορισµοί & ∆ιαίρεση

109. Αν το πολυώνυµο g(x) 6= 0 διαιρεί ακριβώς κάθε ένα από τα πολυώνυµα p1(x), p2(x), . . . , pn(x),n ∈ N, τότε ϑα διαρεί και τα πολυώνυµα:

F (x) = c1p1(x) + c2p2(x) + · · ·+ γnpn(x) (5.1)

G(x) = p1(x) · p2(x) · · · · · pn(x) (5.2)

110. Αν g(x)/p(x) και p(x)/g(x) τότε δείξτε ότι ισχύει p(x) = c · g(x), c ∈ R.

111. Να ορισθεί πολυώνυµο δευτέρου ϐαθµού, p(x), το οποίον να ικανοποιεί τη σχέση:

p(p(x)

)= x2p(x)− xp(x) + 1

Υπόδειξη : Αν p(x) = αx2 + βx+ γ, α 6= 0, τότε :

α(αx2 + βx+ γ)2 + β(αx2 + βx+ γ) + γ = x2(αx2 + βx+ γ)− x(αx2 + βx+ γ) + 1⇔ . . .

Συνεχίζουµε µε την εύρεση των παραµέτρων από την δηµιουργία ενός συστήµατος ίσων συντελεστών των πολυωνύ-

µων της προηγουµένης ισότητας. Θα ϐρείτε p(x) = −x2 + x+ 1.

112. Να δείξετε ότι ικανή και αναγκαία συνθήκη έτσι ώστε το πολυώνυµο p(x) = αx3 + βx2 + γx+ δ

να είναι κύβος πρωτοβάθµιου πολυωνύµου είναι

β2 = 3αγβ3 = 27α2δ

.

Υπόδειξη : Αναζητήστε την ισότητα που υποθέτει η υπόθεση. Αυτή µπορεί να είναι πρακτικά η p(x) =α

κ3(κx +

λ)3, γιατί άρα έχουν επιλεχθεί σε αυτήν την µορφή οι συντελστές ; Προχωρήστε µε την σύνηθη διαδικασία έως

ότου καταλήξετε στο επιθυµητό αποτέλεσµα. Μην ξεχνάτε ότι ϐρήκατε την ικανή συνθήκη, τι ϑα κάνετε για την

αναγκαία ;

37

5.1. ΟΡΙΣΜΟΙ & ∆ΙΑΙΡΕΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

113. ΄Εστω η συνάρτηση µε τύπο f(x) =p(x)

q(x), q(x) 6≡ 0, όπου

p(x) = ανxν + αν−1x

ν−1 + · · ·+ α0 (5.3)

q(x) = βνxν + βν−1x

ν−1 + · · ·+ β0 (5.4)

βi 6= 0. Να ευρεθεί η ικανή και αναγκαία συνθήκη έτσι ώστε η συνάρτηση να είναι σταθερή.

Υπόδειξη : Αν f(x) = c ∈ R, δείξτε ότι η Ϲητουµένη συνθήκη είναι η :

α0

β0=α1

β1= · · · = αν−1

βν−1=ανβν

= c

114. Να ορισθεί πολυώνυµο p(x), τετάρτου ϐαθµού, για το οποίο : p(x)− p(x− 1) = x3 µε p(0) = 0.Στην συνέχεια να υπολογίσετε το άθροισµα S3 = 13 + 23 + · · ·+ ν3.

Υπόδειξη : Θα ϐρείτε p(x) =x4

4+x3

3+x2

2. Για το δεύτερο ερώτηµα παρατηρείστε ότι

p(1)− p(0) = 13

p(2)− p(1) = 23

p(3)− p(2) = 33

. . . = . . .p(ν)− p(ν − 1) = ν3

(+)

S3 = p(ν)− p(0) =

(ν(ν + 1)

2

)3

115. Να ορισθούν οι πραγµατικοί α, β, γ, δ έτσι ώστε :

(α΄)6(x2 − 2)

(x2 − 1)(x2 − 4)=

α

x− 1+

β

x+ 1+

γ

x− 2+

δ

x− 2.

(ϐ΄)3x2 − 4x+ 2

(x− 1)3=

α

x− 1+

β

(x− 1)2+

γ

(x− 1)3.

Υπόδειξη :

(α΄) α = 1, β = −1, γ = 1, δ = −1.

(ϐ΄) α = 3, β = 2, γ = 1.

116. Αν π1(x) και υ1(x) είναι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου p(x) δια

του πολυωνύµου q(x) 6≡ 0 και π2(x), υ2(x) είναι το πηλίκο το υπόλοιπο της διαίρεσης του

πολυωνύµου π1(x) δια του h(x) 6≡ 0. Να ϐρεθούν το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του

πολυωνύµου p(x) δια του q(x) · h(x). ∆είξτε επίσης ότι, ικανή και αναγκαία συνθήκη για να

είναι η διαίρεση p(x) δια του q(x) · h(x) τέλεια είναι η υ1(x) ≡ υ2(x) ≡ 0.Υπόδειξη : Χρησιµοποιήστε την ταυτότητα της διαίρεσης. Προσοχή στην τελική ταυτότητα που ϑα προκύψει µετά

από τις κατάλληλες αντικαταστάσεις, ϑα πρέπει να ελεγχθεί αν είναι ταυτότητα διαίρεσης του p(x) δια του q(x)·h(x).Το δεύτερο ερώτηµα είναι εύκολο και ακολουθεί από το πρώτο.

117. Το πολυώνυµο p(x) διαιρούµενο µε τα q(x) = x2 + x+ 1 και h(x) = x2− x+ 1 δίδει αντίστοιχα

υπόλοιπα υ1(x) = x − 1 και υ2(x) = 2x + 5. Να ϐρεθεί το υπόλοιπο υ(x) της διαίρεσης του


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5.1. ΟΡΙΣΜΟΙ & ∆ΙΑΙΡΕΣΗ

πολυωνύµου p(x) δια του q(x) · h(x) = x4 + x2 + 1.Υπόδειξη :

f(x) = q(x)π1(x) + x− 1 (1) f(x) = h(x)π3(x) + 2x+ 5 (3)π1(x) = h(x)π2(x) + αx+ β (2) π3(x) = h(x)π4(x) + γx+ δ (4)

΄Αρα:

f(x) =[q(x) · h(x)

]π2(x) +

[q(x) · (αx+ β) + x− 1

](5.5)

f(x) =[q(x) · h(x)

]π4(x) +

[h(x) · (γx+ δ) + 2x+ 5

](5.6)

∆είξτε ότι και οι δύο ταυτότητες 5.5 και 5.6, είναι ταυτότητες διαίρεσης του p(x) δια του q(x) · h(x) = x4 + x2 + 1.Στη συνέχεια, λόγω του µοοσήµαντου του πηλίκου και του υπολοίπου της διαίρεσης πρέπει τα υπόλοιπα να είναι

ίσα εκ ταυτότητας, δηλαδή:

q(x) · (αx+ β) + x− 1 ≡ h(x) · (γx+ δ) + 2x+ 5 (5.7)

Αντικαθίστε τα q(x) και h(x) µε τα ίσα τους, και από την ισότητα 5.7 ϑα ϐρείτε α = −3, β =7

2, γ = −3, δ = −5

2.

118. ∆είξτε ότι αν ένα πολυώνυµο p(x) ϐαθµού κ δέχεται κ+1 ϱίζες πραγµατικές απλές και διάφορες

µεταξύ τους, τότε αυτό είναι το µηδενικό πολυώνυµο.

Υπόδειξη : Αν ρ1, ρ2, . . . , ρκ+1 οι πραγµατικές ϱίζες της p(x) = 0, µε τις συνθήκες τις υπόθεσης. Αν p(x) 6= 0υπάρχει µη µηδενικός συντελεστής. ΄Εστω ο αν 6= 0 τότε :

p(x) = αν(x− ρ1)(x− ρ2) · · · (x− ρκ+1)

Τότε όµως do(p(x)) = κ+ 1, αντίφαση.

119. ∆ίδεται το πολυώνυµο:

p(x) =(x− α)(x− β)

(γ − α)(γ − β)+

(x− β)(x− γ)

(α− β)(α− γ)+

(x− γ)(x− α)

(β − γ)(β − α)

µε α 6= β 6= γ 6= α. Να δειχθεί ότι p(x) ≡ 1.Υπόδειξη : ΄Εστω το πολυώνυµο P (x) = p(x) − 1. Τότε P (α) = P (β) = P (γ) = 0 µε do(P(x)) = 2. Από την

άσκηση 118, P (x) = 0⇔ p(x) = 1.

120. ∆είξτε οτι το πολυώνυµο p(x) = (x − α)2(β − γ) + (x − β)2(γ − α) + (x − γ)2(α − β) + (α −β)(β − γ)(γ − α), α 6= β 6= γ 6= α, είναι το µηδενικό πολυώνυµο.

121. Αναγκαία και ικανή συνθήκη ώστε το p(x) = xn − αn να διαιρεί το q(x) = xm − αm, α 6= 0,είναι m = πολ.n.Υπόδειξη : Αν m = n · π + v, 0 ≤ v < n, τότε q(x) = xm − αm = (xn)πxv − (αn)παv. Θα δείξω ότι v = 0.Ας δούµε λίγο το υπόλοιπο της διαίρεσης του q(x) δια του p(x). ΄Εστω y = xn, τότε p(x) = y − αn και p(x) =yπxv − (αn)παv. Το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι U(x) = (αn)πxv − (αn)παv. Αφού η διαίρεση είναι τέλεια,

U(x) = 0 ή (αn)πxv − (αn)παv = 0 ⇒ xv − αv = 0 ⇒(xα

)v= 1 ⇒ v = 0. ΄Αρα, m = πολ.n. Αντιστρόφως, αν

m = kn τότε προφανώς p(x)/q(x).

122. Αν το πολυώνυµο p(x) = αnxn + αn−1x

n−1 + · · · + α1x + α0, αn 6= 0, µε ϱητούς συντελεστές

δέχεται τον αριθµό ρ1 = κ+√λ, κ, λ ∈ Q και

√λ ∈ Qa, ως ϱίζα, τότε ϑα δέχεται και τον αριθµό

ρ2 = κ−√λ.

Υπόδειξη : ΄Εστω q(x) = (x − ρ1)(x − ρ2) = x2 − 2κλx + κ2 − λ µε ϱητούς συνελεστές. ΄Εστω η ταυτότητα της

διαίρεσης p(x) = q(x)π(x) + βx + γ. Αφού ρ1 είναι ϱίζα της q(x) = 0, τότε p(ρ1) = q(ρ1) = 0. Εποµένως το



υπόλοιπο είναι (βκ+ γ) + β√λ = 0⇒

βκ+ γ = 0

β√λ = 0

⇒β = 0γ = 0

. ΄Αρα, p(x) = q(x)π(x). Από την τελευταία

το ρ2 είναι ϱίζα της p(x) = 0 αφού q(ρ2) = 0 = p(ρ2).

123. Να προσδιορισθούν οι πραγµατικοί αριθµοί α και β ώστε το πολυώνυµο p(x) = x3 − x2 − (3 +α)x+ β + 10 να έχει παράγοντα το (x− 2)2.Υπόδειξη : α = 5, β = 2.

124. Θεωρούµε το πολυώνυµο p(x) = x3− 3αx+ 2β, α, β ∈ R∗. ΄Εστω, ρ ∈ R µε (x−ρ)2 παράγοντα

του p(x). ∆είξτε ότι α3 = β2.

Υπόδειξη : Με Horner για την διαίρεση p(x)/(x− ρ), ϑα πάρουµε

p(x) = (x− ρ)(x2 + ρx+ ρ2 − 3α︸︷︷︸π(x)

) + ρ3 − 3αρ+ 2β

Τότε : p(ρ) = 0 ⇒ ρ3 − 3αρ + 2β = 0 και π(ρ) = 0 ⇒ 3ρ2 − 3α = 0. Από τις δύο αυτές σχέσεις ϑα πάρουµε

α3 = β2.

125. Αν για το πολυώνυµο p(x) ισχύει 2p(x) + p(2− x) = −x2 − 1, να ϐρείτε

(α΄) p(0) και p(2),

(ϐ΄) το υπόλοιπο της διαίρεσης του p(x) µε το x2 − 2x

Υπόδειξη :

(α΄) p(0) = 1, p(2) = −3.

(ϐ΄) υ(x) = −2x+ 1.

126. ∆ίδεται το πολυώνυµο p(x) = x5− 2αx3 + βx+ 3γ− 6. Να ϐρεθούν οι πραγµατικοί α, β, γ ώστε

το p(x) να έχει παράγοντα το x3 − x. Να ϐρείτε επίσης το πηλίκο της διαίρεσης αυτής.

Υπόδειξη : α = 12 , β = 0, γ = 2. Πηλίκο x2.

127. Να δείξετε ότι αν α 6= β τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου p(x) δια του γινοµένου

(x− α)(x− β) είναι :

υ(x) =p(α)− p(β)

α− βx+

βp(α)− αp(β)

β − α

128. Αν το πολυώνυµο p(x) = ανxν + αν−1x

ν−1 + · · ·+ α1x + a0 δέχεται τον πραγµατικό % σαν ϱίζα

και p(α0) = 0, τότε ο αριθµός % είναι ϱίζα του p(p(p(x)

)).

129. (♣♣) Θεωρήστε γνωστό το εξής ϑεώρηµα1που ισχύει για πολυώνυµα µε πραγµατικούς συντε-

λεστές : Κάθε πολυώνυµο περιττού ϐαθµού έχει τουλάχιστον µια πραγµατική ϱίζα.

Αν οι πραγµατικοί συντελεστές του πολυωνύµου p(x) = αx3 +βx2 +γx+δ, γ 6= 0, ικανοποιούντην σχέση β2 − αγ < 0, η εξίσωση p(x) = 0 έχει µία και µόνο µια πραγµατική ϱίζα.

1Είναι συνέπεια του Θεµελιώδους ϑεωρήµατος της ΄Αλγεβρας ή του ϑεωρήµατος Bolzano στην Ανάλυση. Την άσκηση

ϑα την ξανασυναντήσουµε στην Ανάλυση των Μαθηµατικών Κατευθυνσης της Γ Λυκείου.



Υπόδειξη : Αφού είναι περιττού ϐαθµού έχει τουλάχιστον µια ϱίζα πραγµατική, υποθέστε την ρ ∈ R. Τότε

(x− ρ)/p(x). Εκτελώντας την διαίρεση, µε Horner για παράδειγµα, ϑα πάρουµε σαν πηλίκο το πολυώνυµο:

π(x) = αx2 + (αρ+ β)x+ αρ2 + βρ+ γ (5.8)

Αρκεί να δείξουµε ότι το πολυώνυµο αυτό 5.8 δεν έχει πραγµατικές ϱίζες. Η διακρίνουσά του ως προς x είναι

d(x) = −3α2ρ2 − 2αβρ− 4αγ + β2(5.9)

Αν ϑεωρήσουµε το d(x) σαν πολυώνυµο ως προς ρ, είναι δευτέρου ϐαθµού µε διακρίνουσα

d1(x) = −16α2(3αγ − β2) (5.10)

Το πολυώνυµο d1(x) εξ αιτίας της υπόθεσης β2 − αγ < 0, είναι πάντα αρνητικό (απόδειξη), άρα το πρόσηµο του

d(x) είναι αρνητικό, αφού −3α2 < 0. Εποµένως, το τριώνυµο π(x), εξίσωση 5.8, δεν έχει πραγµατικές ϱίζες.

∆είξαµε λοιπόν ότι το p(x) έχει µόνο το ρ σαν πραγµατική ϱίζα.

130. (♣) Αν οι συντελεστές του πολυωνύµου p(x) (τουλάχιστον πρώτου ϐαθµού) είναι πραγµατικοί

και οι τιµές p(0) και p(1) είναι περιττοί αριθµοί, να δείξετε ότι η εξίσωση p(x) = 0 δεν έχει

ακέραια ϱίζα.

Υπόδειξη : Ας δεχθούµε ότι έχει µια ϱίζα ρ ∈ Z, τότε (x − ρ)/p(x) και εποµένως υπάρχει πολυώνυµο π(x) έτσι

ώστε :

p(x) = π(x) · (x− ρ) (5.11)

x = 05.11−→ p(0) = −ρπ(0) (5.12)

x = 15.11−→ p(1) = (1− ρ)π(1) (5.13)

Από υπόθεση οι αριθµοί −ρπ(0) και (1 − ρ)π(1) είναι περιττοί. Αλλά τότε, κάθε ένας εκ των αριθµών −ρ, 1 − ρ,π(0), π(1) είναι περιττός (απόδειξη). Αυτό δεν είναι αληθές επειδή οι διαδοχικοί −ρ και 1− ρ δεν µπορεί να είναι

περιττοί αµφότεροι (απόδειξη). ΄Αρα, δεν έχει ακέραια ϱίζα η εξίσωση p(x) = 0.

131. (♣) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν ακέραιοι αριθµοί α, β, γ, δ τέτοιοι ώστε το πολυώνυµο

p(x) = αx3 + βx2 + γx+ δ να λαµβάνει τιµή ίση µε 1 για x = 19 και την τιµή 2 για x = 62.Υπόδειξη : ∆είξτε ότι µέσα στους ακεραίους η ισότητα

α623 + β622 + γ62 + δ − (α193 + β192 + γ19 + δ) = 2− 1 = 1

είναι αδύνατη.

132. (♣)Υπάρχουν περιοδικά πολυώνυµα ;

Υπόδειξη : ΄Εστω p(x) = αnxn + αn−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0, n ∈ N∗ ένα περιοδικό πολυώνυµο µε περίοδο T 6= 0.Θα δείξουµε ότι τότε p(x) ≡ 0.Αφού p(x) περιοδική συνάρτηση, τότε p(x) = p(x + T ). ∆ίνουµε στο x τις τιµές x = 0, T, 2T, 3T, . . . , kT, . . . ,k > n, και τότε ϑα έχουµε p(0) = p(T ) = p(2T ) = · · · = p(kT ) = . . . , εξ αιτίας της περιοδικότητας. Θεωρώ την

συνάρτηση f(x) = p(x)− p(0). Θα έχουµε:

f(0) = p(0)− p(0) = 0

f(T ) = p(T )− p(0) = 0

. . .

f(kT ) = p(kT )− p(0) = 0

. . .

΄Αρα, το πολυώνυµο f(x) είναι n0υ ϐαθµού µε άπειρες ϱίζες. Από την άσκηση 118 ϑα είναι f(x) ≡ 0⇒ p(x) = p(0).Το p(x) είναι λοιπόν ένα σταθερό πολυώνυµο.



133. (♣♣♣) ∆είξτε ότι για κάθε ϱίζα2 % του πολυωνύµου p(x) = xν+αν−1x

ν−1+· · ·+α1x+α0 ισχύει :

|%| < 1 + |aν−1|+ |aν−2|+ · · ·+ |α1|+ |α0|Υπόδειξη : Θέτω |α| = max|αi|i=0...ν−1, δηλαδή το |α| είναι το µεγαλύτερο µεταξύ των |αi|.Τότε, 1 + |α| < 1 + |aν−1|+ |aν−2|+ · · ·+ |α1|+ |α0|. ΄Αρα, ϑα δείξουµε κάτι ισχυρότερο :

|%| < 1 + |α| (5.14)

Εφαρµόζοντας την τριγωνική ανισότητα έχουµε

|p(%)| ≥ |%|ν − |α|(|%|ν−1 + · · ·+ |%|+ 1) = |%|ν − |α| |%|ν − 1

|%| − 1(5.15)

΄Εστω, δεν ισχύει η 5.14. Τότε |%| ≥ 1 + |α| ή ισοδύναµα

1 ≥ |α| 1

|%| − 1⇔ |%|ν ≥ |α| |%|

ν

|%| − 1

΄Αρα,

|p(%)| ≥ |%|ν − |α| |%|ν − 1

|%| − 1

≥ |%|ν − |α| |%|ν

|%| − 1+ |α| 1

|%| − 1

≥ |α| |%|ν

|%| − 1− |α| |%|

ν

|%| − 1+ |α| 1

|%| − 1

≥ |α| 1

|%| − 1> 0

Αδύνατο, αφού % είναι ϱίζα του p(x) = 0⇒ p(%) = 0. ΄Αρα,

|%| < 1 + |α| < 1 + |aν−1|+ |aν−2|+ · · ·+ |α1|+ |α0|

134. (♣♣)(Πανελλαδικές 2013 ϑέµα Β3) ∆είξτε ότι αν ένας πραγµατικός % ικανοποιεί τη σχέση

%3 + α2%2 + α1%+ α0 = 0

µε αi ∈ R και |αi| < 3, ικανοποιεί επίσης τη σχέση |%| < 4.Υπόδειξη :

%3 + α2%2 + α1%+ α0 = 0 ⇔ %3 = −α2%

2 − α1%− α0

⇔ %3 ≤ | − α2%2 − α1%− α0|

⇔ %3 ≤ |α2%2|+ |α1%|+ |α0|

⇔ %3 < 3(|%|2 + |%|+ 1

)⇔ %3 < 3

|%|3 − 1

|%| − 1

(α΄) Αν |%| ≤ 1 ισχύει αφού 1 < 4.

2Πρόκειται για ένα ϕράγµα, το 5.14 είναι καλύτερο, των ϱιζών πολυωνύµου µε την µορφή που δίνεται. ΄Ενα τέτοιο

πολυώνυµο στο οποίο ο συντελεστής του µεγιαστοβάθµιου όρου είναι 1, λέγεται µονικό. Κάθε πολυώνυµο µπορεί να γίνει

µονικό, απλά διαιρούµε µε τον συντελεστή του µεγιστοβάθµιου όρου ο οποίος λογίζεται πάντα να είναι 6= 0. ΄Ολα τα

πολυώνυµα στην ΄Αλγεβρα ϑεωρούνται µονικά.



(ϐ΄) Αν |%| ≥ 1,

|%|3 < 3|%|3

|%| − 1− 3

1

|%| − 1< 3

|%|3

|%| − 1΄Αρα, |%|3 < 3

|%|3

|%| − 1⇔ · · · ⇔ |%| < 4, µε άτοπο.

∆ιαφορετικά:

%3 + α1%2 + α2%+ α0 = 0 ⇒ |%|3 ≤ 3|%|2 + 3|%|+ 3 Τριγωνική ανισότητα

⇒ |%|3 < 3|%|2 + 3|%|+ 4 (3 < 4)⇒ |%|3 − 3|%|2 − 3|%| − 4 < 0⇒ (|%| − 4)(|%|2 + |%|+ 1) < 0

πράγµα που οδηγεί αναπόφευκτα στην σχέση: |%| < 4.

135. Αν % ϱίζα της εξίσωσης αx2 + βx+ c = 0, α 6= 0, α, β, γ ∈ R, τότε :

|%| < |α|+ |β|+ |γ||α|

Υπόδειξη : Μπορείτε για εξάσκηση να δουλέψετε µε τις τριγωνικές ανισότητες όπως κάναµε επιτυχώς προηγουµένως.

Θα σας προτείνω όµως κάτι διαφορετικό.

|α|+ |β|+ |γ||α|

= 1 +

∣∣∣∣βα∣∣∣∣+∣∣∣γα

∣∣∣ (5.16)

Στο δεύτερο µέλος της ισότητας 5.16 αναγνωρίζεται το άθροισµα και το γινόµενο των ϱιζών της αρχικής εξίσωσης

2ου ϐαθµού. ΄Αρα,

1 +

∣∣∣∣βα∣∣∣∣+∣∣∣γα

∣∣∣ = 1 + |%+ %′|+ |% · %′|

Αρκεί λοιπόν να δείξουµε ότι :

1 + |%+ %′|+ |% · %′| > |%| (5.17)

Εποµένως, αν

(α΄) |%| < 1, η 5.17 είναι προφανής.

(ϐ΄) |%| ≥ 1, τότε1 + |%+ %′|+ |% · %′| ≥ 1 + |%| − |%′|+ |% · %′|

= 1 + |%|+ |%′|(|%| − 1)≥ 1 + |%| αφού |%′|(|%| − 1) > 0> |%|

Αποδείχθηκε η 5.17.


c 2015

Λυγάτσικ

αςΖ.

5.2. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

5.2 Εξισώσεις και Ανισώσεις

136. Να λυθούν ως προς x οι εξισώσεις :

(α΄)√x− 3 = 5

(ϐ΄) x−√

25− x2 = 1

(γ΄)√x−√x+ 1 = 2

(δ΄) 2√

5− 4x = 5− 4x

(ε΄)

√x2 − x+ 5 = x− 3

137. Να λυθούν ως προς x οι ανισώσεις :

(α΄)√x− 2 <

√2x+ 1

(ϐ΄)√

4x+ 1 <√

1− 2x

138. Να σχηµατισθεί εξίσωση τετάρτου ϐαθµού η οποία έχει ϱίζες τους αριθµούς :

(α΄) −2,−3, 4, 5.

(ϐ΄)1

2,2

5,5

2, 3.

139. Να ϐρείτε τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των f(x) = x3 + 9 και g(x) = 5x2 − 3x.Υπόδειξη : f(x) = g(x)⇔ x = −1, 3, 3

140. Να ϐρείτε τα διαστήµατα του x στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = −x3 +3x2 είναι πάνω από την ευθεία y = 5x+ 9.Υπόδειξη : f(x) > 5x+ 9⇒ −(x+ 1)(x2 − 4x+ 9) > 0⇔ x < −1.

141. ΄Εστω p(x) = x3 + x2 − 2x.

(α΄) Να αναλύσετε το p(x) σε γινόµενο πρώτων µεταξύ τους παραγόντων.

(ϐ΄) Να λύθεί ως προς x η

√p(x) =

√x− 1.

(γ΄) Να λύθεί ως προς x η

√p(x) >

√x− 1.

Υπόδειξη :

(α΄) p(x) = x(x− 1)(x− 2)

(ϐ΄) x = 1, −1±√

2.

(γ΄) x ∈ (1,+∞).

142. (α΄) Να λυθεί ως προς x η εξίσωση x+√

2(x+ 1) = 11.

(ϐ΄) Να λυθεί ως προς x η ανίσωση x+√

2(x+ 1) < 11.

Υπόδειξη :


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5.2. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

(α΄) x = 7.

(ϐ΄) x ∈ (−1, 7).

143. Να λυθούν ως προς x οι εξισώσεις :

(α΄) (2ηµ x− 1)4 + 6(2ηµ x− 1)2 − 7 = 0

(ϐ΄) 2ηµ 3x+ 5ηµ 2x+ 5ηµ x+ 2 = 0

(γ΄) 2συν 4x− 5συν 3x+ 5συν x− 2 = 0

Υπόδειξη : Οι λύσεις είναι στο 1ο τεταρτηµόριο. Μένει να ολοκληρώσετε την απάντηση.

(α΄) x = 0,1

2π.

(ϐ΄) x = −1

2π.

(γ΄) x = 0, π,1

3π.

144. Αν η εξίσωση ως προς x: x3 − (λ + 2)x2 + 2λx − 1 = 0, έχει ακέραια ϱίζα, να ϐρεθεί το λ ∈ Rκαι στην συνέχεια να λυθεί ως προς x.Υπόδειξη : p(x) = x3 − (λ+ 2)x2 + 2λx− 1.

(α΄) Αν p(−1) = 0⇒ λ = −4

3το p(x) = x3 − 2

3x2 − 8

3x− 1 µε ϱίζες x = −1,

5 +√

61

6,

5−√

61

6.

(ϐ΄) Αν p(1) = 0⇒ λ = 2, το p(x) = x3 − 4x2 + 4x− 1 µε ϱίζες x = 1,3 +√

5

2,

3−√

5

2.

145. Να λυθεί ως προς x η εξίσωση: x3 − 2x2 + 22x+ 60 = 0.Υπόδειξη : x3 − 2x2 + 22x+ 60 = (x+ 2)(x2 − 4x+ 10). Λύση x = −2.

146. Να λυθεί ως προς x η ανίσωση 7x3 − 13x2 + 3x+ 3 < 0.

Υπόδειξη : 7x3− 13x2 + 3x+ 3 = (x− 1)(7x2− 6x− 3) = (x− 1)(x− 3 +

√30

7

)(x− 3−

√30

7

). ΄Αρα η ανίσωση

αληθεύει, µετά την κατασκευή του πίνακα προσήµου για :

x ∈(−∞, 3−

√30

7

)∪(

1,3 +√

30

7

)

147. Αν p(x) = x15−4x14+2x13+2015, να υπολογισθεί η τιµή της παράστασηςp(2 +

√2) + p(2−

√2)

2.

Υπόδειξη : Παρατηρείστε ότι p(x) = x13(x2 − 4x + 2) + 2015 µε ϱίζες του x2 − 4x + 2 = 0, x = 2 ±√

2. ΄Αρα,

p(2 +√

2) + p(2−√

2)

2= 2015.


5.2. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

148. Να λυθεί ως προς x η εξίσωση: (x− 1)4 + (x− 5)4 = 32.

Υπόδειξη : Θέτωx− 1 + x− 5

2= y, τότε : x− 1 = y + 2 και x− 5 = y − 2. ΄Αρα, η αρχική γίνεται

(y + 2)4 + (y − 2)4 = 32⇔ y4 + 12y2 = 0

Η τελευταία έχει διπλή ϱίζα : y = 0, εποµένως x = 3 διπλή.

149. Να λυθεί ως προς x και να διερευνηθεί η εξίσωση

√x2 + αx = x− α.

Υπόδειξη : Η εξίσωση είναι ισοδύναµη µε

√x2 + αx = x− α ⇔ x ≥ α & x2 + αx = (x− α)2

⇔ x ≥ α & 3αx = α2

(α΄) α 6= 0, τότε

x ≥ α & x =α

3⇒ α ≤ α

3& x =

α

3⇒ α < 0, x =

α

3

(ϐ΄) α = 0, τότε αληθεύει για x ≥ 0.

Συµπέρασµα:

Αν α = 0 η εξίσωση αληθεύει για κάθε x µε x ≥ 0Αν α > 0 η εξίσωση είναι αδύνατη

Αν α < 0 η εξίσωση έχει µια λύση x =α

3

150. Να λυθεί ως προς x η

√x2 − 3x+ 2−

√x2 + x− 6 = x− 2.

Υπόδειξη : Πρέπει :

x2 − 3x+ 2 ≥ 0 & x2 + x− 6 ≥ 0⇒ x ≤ −3 ή 2 ≤ x

Αλλά: x2 − 3x+ 2 = (x− 2)(x− 1) και x2 + x− 6 = (x− 2)(x+ 3). Τότε η αρχική για

(α΄) x ≥ 2 γίνεται :

√x− 2

[√x− 1−

√x+ 3−

√x− 2

]= 0 (5.18)

i. Η 5.18 έχει µία ϱίζα αν x = 2.

ii. Αν√x− 1−

√x+ 3−

√x− 2 = 0 (∗∗). Τότε, για x > 2 έχουµε:

√x− 1 =

√x+ 3 =

√x− 2 ⇔ −x+ 4 = 2

√(x− 3)(x− 2)

⇔x = 4 ⇒

√3 = 1 +

√2, αδύνατο

x < 4 (∗∗)⇒ (x− 4)2 = 4(x− 3)(x− 2)

⇔ x > 2 & x < 4 & x = 2± 2

3

√3 αδύνατο

(ϐ΄) για x ≤ −3 γίνεται : √2− x

[√1− x−

√−x− 3−

√2− x

]= 0 (5.19)

i. Η 5.19 µηδενίζεται για x = 2 αδύνατο αφού x ≤ −3.

ii. Αν√

1− x−√−x− 3−

√2− x = 0 (∗ ∗ ∗). Τότε,

√1− x =

√−x− 3 +

√2− x ⇔ 2 + x = 2

√(x− 2)(x+ 3)

⇔ αφού x ≤ −3, 2 + x < 0⇔ η (∗ ∗ ∗) αδύνατη


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5.2. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

Συµπέρασµα: η µοναδική ϱίζα της εξίσωσης είναι η x = 2.

151. Να λυθεί ως προς x η ανίσωσηx4 − 2x3 − 10x2 + 4x+ 16

x− 4> 2x+ 1.

Υπόδειξη : x ∈(− 1 +

√21

2,−1

)∪(−1 +

√21

2, 4)∪ (4,+∞).


c 2015

Λυγάτσικ

αςΖ.

5.3. ∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

5.3 ∆ραστηριότητα

Το πολυώνυµο Euler

Πρόβληµα 5.3.1 Μπορείτε να ϐρείτε ένα πολυώνυµο δευτέρου ϐαθµού µε ακέραιους συντελεστές

το οποίο για διαδοχικές ακέραιες τιµές της µεταβλητής x, να παράγει πρώτους αριθµούς ;

Για κοιτάξτε το αρχείο fung.ggb. Μετακινώντας τον δείκτη x ϐλέπουµε µια σειρά από πρώτους

αριθµούς στον άξονα των τεταγµένων.

Σχήµα 5.1: Το πολυώνυµο Fung

Το γνωστότερο σε όλους µας πολυώνυµο είναι το πολυώνυµο του Euler, p(n) = n2+n+41. Αυτό

δίνει για n = 0, . . . , 39 µια λίστα πρώτων αριθµών. Λέµε ότι το µήκος του πολυωνύµου είναι

40, γιατί 40 διαδοχικοί ακέραιοι παράγουν διαφορετικούς πρώτους αριθµούς. Με πρότυπο το

πολυώνυµο αυτό µπορούµε να κατασκευάσουµε έναν αριθµό πολυωνύµων και να ελέγξουµε το

µήκος αυτών των πολυωνύµων. Παρατηρείστε ότι το πολυώνυµο του Euler, µπορεί να γραφεί

στη µορφή p(n) = n2 +n+41 = n(n+1)+41. ∆ηλαδή, σαν γινόµενο δύο διαδοχικών ακεραίων

συν έναν πρώτο.

΄Εστω p(n) = n2 +αn+β ένα τέτοιο πολυώνυµο. Αν το πολυώνυµο αυτό παράγει πρώτους αριθ-

µούς για το σύνολο ακεραίων τιµών την µεταβλητής n = 0, 1, 2, . . . , απαντήστε στα παρακάτω

ερωτήµατα:

(α΄) Το β είναι ένας αριθµός πρώτος.

(ϐ΄) Ποιά συνθήκη πρέπει να ικανοποιούν τα α και β έτσι ώστε το p(1) να είναι πρώτος ;

Απόδειξη :

(α΄) Είναι προφανές, αφού p(0) = β πρέπει να είναι πρώτος.

(ϐ΄) Αφού β είναι πρώτος, είναι περιττός. p(1) = 1 + α+ β. Ισχυριζόµαστε ότι το α πρέπει να είναι περιττός .

Αν ήταν άρτιος, τότε 1 + α περιττός και 1 + α + β είναι άρτιος. Αν ϑέλουµε να είναι p(1) πρώτος, πρέπει

λοιπόν α να είναι άρτιος .


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5.3. ∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

∆οκιµάστε µε α = 3 β = 1. Μέθοδος κατασκευής δεν υπάρχει. Στο

http : //blog.lucaswillems.com/1144/project− euler − probleme− 27

υπάρχει ένας αλγόριθµος γραµµένος στο Python.

Μπορούµε να δώσουµε το πολυώνυµο του Euler και να Ϲητήσουµε, µε αυτό σαν πρότυπο,

την κατασκευή άλλων πολυωνύµων. Για παράδειγµα: p(x) = (x − 41)2 + (x − 41) + 41 =x2−81x+1681 που είναι µετατόπιση του αρχικού κατα 41 δεξιά, όπως ϕαίνεται στο σχήµα 5.2.

Σχήµα 5.2: Το πολυώνυµο Euler

Μπορούµε να προχωρήσουµε στην κατασκευή και στον έλεγχο των τιµών για την λίστα των δια-

δοχικών ακεραίων µε ένα λογισµικό. Προτείνω το Maple το οποίο διαθέτει και έτοιµο λογισµικό

για τον έλεγχο του πότε ένας αριθµός είναι πρώτος ή όχι.


5.3. ∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ


c 2015

Λυγάτσικ

αςΖ.

Κεφάλαιο 6

Εκθετική & Λογαριθµική

6.1 Εκθετική Συνάρτηση

152. Να λυθεί ως προς x η εξίσωση: 3 · 2x−4 − 2x−1 = 5x−2 − 6 · 5x−3.Υπόδειξη : x = 4.

153. Να λυθεί η εξίσωση: (x2 − 3x+ 2)x2−2x = 1.

Υπόδειξη : x2 − 3x+ 2 = 1 ή x2 − 2x = 0 και x2 − 3x+ 2 6= 0. Τότε, x = 0,3±√

5

2.

154. ∆ίνεται η συνάρτηση

f(x) = 6 · 91

x − 13 · 61

x + 6 · 41

x

Να δείξετε ότι :

(α΄) Η γραφική παράσταση της f δεν τέµνει τον άξονα yy′.

(ϐ΄) Η γραφική παράσταση της f τέµνει τον άξονα x′x σε δύο σηµεία.

Υπόδειξη :

(α΄) Επειδή Df = R∗, η γραφική παράσταση δεν τέµνει τον άξονα.

(ϐ΄) Η εξίσωση µετασχηµατίζεται στην

6 · 91

x − 13 · 61

x + 6 · 41

x ⇔ 6 · 9

1

x

6

1

x

= 13 + 6 · 4

1

x

6

1

x

= 0

⇔ 6 ·

(3

2

) 1

x+ 6 ·

(2

3

) 1

x− 13 = 0

⇔ 6v + 61

v− 13 = 0, v =

(3

2

) 1

x

⇔ 6v2 − 13v + 6 = 0

⇔ v1 =2

3, v2 =

3

2

51

6.2. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΕΚΘΕΤΙΚΗ & ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ

΄Αρα, x = 1,−1 και τα σηµεία τοµής της Gf µε τον x′x είναι τα (1, 0), (−1, 0).

155. ∆ίνεται η συνάρτηση µε τύπο f(x) = kαx, 0 < α 6= 1 και k ∈ R.

(α΄) Να ϐρείτε τους λόγους

f(x+ 1)

f(x),

f(x+ 2)

f(x+ 1),

f(x+ 7)

f(x+ 6)

(ϐ΄) Να ϐρείτε τους λόγους

f(x+ 3)

f(x),

f(x+ 6)

f(x+ 3),

f(x+ 16)

f(x+ 13)

(γ΄) Να αποδείξετε ότι ο λόγος των τιµών της f(x) που αντιστοιχούν σε Ϲεύγη τιµών της µετα-

ϐλητής x που ισαπέχουν είναι σταθερές. (Ζεύγη που ισαπέχουν είναι τα (x, x + 3), (x +3, x+ 6), (x+ 12, x+ 15) κλπ)

(δ΄) Στο σχήµα 6.1 δίνονται οι γραφικές παραστάσεις µιας εκθετικής συνάρτησης και µιας πα-

ϱαβολής.

Χρησιµοποιώντας το ερώηµα 155γ΄, να ϐρείτε ποια είναι η γραφική παράσταση της εκθε-

τικής.

Σχήµα 6.1: Εκθετική και Παραβολή

6.2 Λογαριθµική Συνάρτηση

156. Αν ln i = −R · tL

+ln I ⇒ i = I ·eR · tL . Υποθέστε ότι οι λογάριθµοι για τις δεδοµένες µεταβλητές

είναι καλά ορισµένοι.

157. Αν α > β > 0 και α2 + β2 = 11αβ, δείξτε ότι :

lnα− β

3=

1

2

(lnα + ln β

)Λυγάτσικας Ζ. 52

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΕΚΘΕΤΙΚΗ & ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 6.2. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Υπόδειξη : Παρατηρείστε ότι

α2 + β2 = 11αβ ⇒ α2 + β2 − 2αβ = 9αβ⇒ (α− β)2 = 9αβ⇒ α− β = 3

√αβ

⇒ α− β3

=√αβ

⇒ ln(α− β

3

)= ln

√αβ

⇒ . . .

158. Να δείξετε την ισότητα:

7

16log(3 + 2

√2)− 4 log(

√2 + 1) =

25

8log(√

2− 1)

Υπόδειξη : Παρατηρείστε ότι : 3 + 2√

2 = (√

2 + 1)2.

159. ∆είξτε ότι xlog y = ylog x. Υποθέστε ότι οι λογάριθµοι για τις δεδοµένες µεταβλητές είναι καλά

ορισµένοι.

160. ∆είξτε ότι : logα β · logβ γ · logγ α = 1 για κάθε α, β, γ ∈ R+ − 1.

161. Αν ισχύει logx y = logy z · logz x, για κάθε x, y, z ∈ R+ − 1, τότε ϑα ισχύει : x = y ή x =1

y.

162. Γνωρίζοντας ότι log 2 = α και log 15 = β, να υπολογισθούν συναρτήσει των α και β οι παραστά-

σεις :

(α΄) log 5√

7, 2

(ϐ΄) log 5

√5

34√

6

Υπόδειξη : Παρατηρώ ότι :

log 23 = 3 log 2 = 3α

log 3 = log15

5= log 15− log

10

2= β + α− 1

Τότε :

(α΄)

log 5√

7, 2 =1

5log

72

10=

1

5(log 72− 1) =

1

5(log 8 + log 9− 1)

=1

5(3 log 2 + 2 log 3− 1) =

1

5(5α+ 2β − 3)

(ϐ΄)

log 5

√5

34√

6 =1

5

(log 5− log 3 +

1

4log(2 · 3)

)=

4 log 5− 3 log 3 + log 2

20

=7− 6α− 3β

20


6.2. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΕΚΘΕΤΙΚΗ & ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ

163. Για ποιές τιµές του θ η εξίσωση x2 − 2(1 + log θ)x+ 1− (log θ)2 = 0.

Υπόδειξη : ∆ = 2 log θ(log θ + 1) = 0⇔ θ = 1,1

10.

164. ΄Εστω η εξίσωση

x2 − 2(1 + ln θ)x+ 1− ln2 θ = 0

όπου x ∈ R και θ > 0. Να ϐρεθούν οι τιµές του θ για τις οποίες η εξίσωση έχει ϱίζες

(α΄) πραγµατικές

(ϐ΄) οµόσηµες

Υπόδειξη :

(α΄) ∆ = ln θ(ln θ + 1) ≥ 0⇔ ln θ ≤ −1, Υθ ≥ 0.

(ϐ΄) ∆ ≥ 0 και P > 0, όταν 1 ≤ θ < e

.

165. Αν log(x2y2) = α και log x − log y = β να εκφρασθούν οι log x και log y συναρτήσει των α και

β. Υποθέστε ότι οι λογάριθµοι για τις δεδοµένες µεταβλητές είναι καλά ορισµένοι.

Υπόδειξη : log x =α+ 3β

5, log y =

α− 2β

5.

166. Να επιλυθεί ως προς x η εξίσωση:

√xlog

√x = 10.

Υπόδειξη : Πρέπει x > 0. Ισοδύναµα η αρχική γίνεται log x = ±4.

167. Να λυθεί η εξίσωση: log(2x + 2 · 3x) + log 81 = x · log 3 + log 178.Υπόδειξη : x = 4.


c 2015

Λυγάτσικ

αςΖ.

Κεφάλαιο 7

Επανάληψη

168. Για x > 0 και y > 0 να δείξετε ότι ισχύει η ανίσωση xx · yy ≥ xy · yx.Υπόδειξη : Αν x = y ισχύει η εξίσωση. Εξετάστε την περίπτωση όπου x 6= y. Στην περίπτωση αυτή η ανίσωση

γίνεται (x− y) · (log x− log y) ≥ 0 η οποία ισχύει εξ αιτίας της µονοτονίας της λογαριθµικής συνάρτησης.

169. ∆ίνεται η συνάρτηση: f(x) = log(11x2 − 7x+ 10)− log x2 − 1.

(α΄) Να ϐρεθούν τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της f µε τον άξονα x′x άξονα.

(ϐ΄) Αν A = (0, 4) και B,Γ είναι τα παραπάνω σηµεία τοµής µε τον άξονα x′x να ϐρεθεί το

εµβαδόν του τριγώνου ABΓ.

Υπόδειξη : Βρείτε, όπως πάντα, το πεδίο ορισµού. Τα σηµεία τοµής µε τον άξονα x′x είναι οι λύσεις x = 2 και 5της εξίσωσης f(x) = 0, δες Σχήµα 7.1. Το εµβαδόν του τριγώνου είναι 6 τ.µ..

x1 2 3 4 5 6 7 8

y

K0,01

0

0,01

0,02

0,03

Σχήµα 7.1: ΄Ασκηση 169α΄.

170. Να επιλυθεί η εξίσωση ως προς x: αβx

= γ, αν α, β, γ ∈ R+και α 6= 1, β 6= 1.

Υπόδειξη : Η αρχική εξίσωση είναι ισοδύναµη µε:

x · log β = log

(log γ

logα

)⇔ x =

1

log β· log

(log γ

logα

)(7.1)

Η τελευταία εξίσωση 7.1, έχει νόηµα ανlog γ

logα> 0 ή αν log γ και logα είναι οµόσηµοι, δηλαδή αν α, γ > 1 ή

α, γ < 1.

55

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

171. Να επιλυθεί το σύστηµα:

xlog y+1 = ylog x+2

y√x+2 = xy−2

Υπόδειξη : Προφανής λύση x = y = 1. ΄Εστω x, y 6= 1 και x, y > 0. Λογαριθµίζοντας την πρώτη εκ των δύο

εξισώσεων του συστήµατος ϑα ϕτάσετε στην ισοδύναµή της εξίσωση x = y2. Η δεύτερη γίνεται y√y2+2 = y2(y−2)

και επειδή y 6= 1,√y2 + 2 = 2(y− 2) µε y > 2. Τότε y =

8

3+

1

3

√22. ΄Αρα, x =

86 + 16√

22

9. Εποµένως οι λύσεις

είναι

(x, y) = (1, 1) ή

(86 + 16

√22

9,

8 +√

22

3

)

172. Να ϐρεθούν οι τιµές που λαµβάνει ο θ, θ ∈ R+, αν οι ϱίζες της εξίσωσης

log[

log(x2 + x log θ + 110)]

= 0

αποτελούν λύση του συστήµατος ylog z + zlog y = 20log√yz = 1

Υπόδειξη : Από άσκηση 159, σελίδα 53, γνωρίζω ότι ylog z = xlog y, άρα, ylog z + zlog y = 20 ⇔ 2zlog y = 20 ⇔log z · log y = 1. Αυτή η εξίσωση µε την δεύτερη δίνουν z = y = 10. Η εξίσωση είναι ισοδύναµη µε

log[

log(x2 + x log θ + 110)]

= 0 ⇔ log(x2 + x log θ + 110) = 1

⇔ x2 + x log θ + 110 = 10⇔ x2 + x log θ + 100 = 0

Για να είναι οι ϱίζες της x2 + x log θ + 100 = 0 οι ϱίζες z = y = 0, πρέπει

z + y = − log θ ⇔ log θ = −20⇔ θ = 10−20

173. ∆ίνεται η συνάρτηση f(x) = 3x + x.

(α΄) Να λύσετε την εξίσωση 3x2−3x + x2 + 5 = 33x−5 + 6x.

(ϐ΄) Να λύσετε την ανίσωση 3x2−3x + x2 + 5 < 33x−5 + 6x.

Υπόδειξη : Πρώτα αποδείξτε ότι η συνάρτηση f(x) είναι γνησία αύξουσα. Για την λύση της εξίσωσης, αποδέιξτε ότι

η εξίσωση είναι ισοδύναµη µε την f(x2 − 3x) = f(3x − 5) η οποία δίνει λύσεις x = 1 ή x = 5. Για την ανίσωση

ισχύει κάτι το ανάλογο. Αποδείξτε ότι η ανίσωση είναι ισοδύναµη µε την f(x2 − 3x) < f(3x − 5) και συνεπώς

1 < x < 5.

174. Να λύσετε την εξίσωση:

(2 +√

3)x2−2x+1

+(

2−√

3)x2−2x−1

=4

2−√

3

Υπόδειξη : Παρατηρήστε ότι

(2 −√

3)−1

= 2 +√

3. Θέτωντας x2 − 2x = y, δείξτε ότι η εξίσωση είναι ισοδύναµη

µε την (2 +√

3)y

+(

2 +√

3)−y

= 4⇐⇒(

2 +√

3)2y− 4(

2 +√

3)y

+ 1 = 0

Η τελευταία είναι µια εξίσωση που µπορεί να αναχθεί σε µια δευτέρου ϐαθµού ϑέτοντας

(2 +√

3)y

= ω. Τελικά,

οι λύσεις της αρχικής είναι x = 1 ή x = 1 +√

2 ή x = 1−√

2.



175. Αν α, β, γ πλευρές τριγώνου ABΓ, µε α, β, γ 6= 1 και

α(β + γ − α)

logα=β(α + γ − β)

log β=γ(β + α− γ)

log γ(1)

να αποδείξετε ότι : αβ · βα = γβ · βγ = αγ · γα.

Υπόδειξη : Γιατί Ϲητάει τα α, β, γ να είναι πλευρές τριγώνου ; Θέτοντας τα κλάσµατα στην (1) ίσα µε1

λ, ϑα καταλήξετε

στο σύστηµα: logα = λαβ + λαγ − λα2

log β = λβγ + λαβ − λβ2

log γ = λαγ + λβγ − λγ2

Με κατάλληλους συνδυασµούς των ισοτήτων στο σύστηµα δείξτε ότι :

log βα + logαβ = log γβ + log βγ = logαγ + log γα

Εύκολα απο την τελευταία ισότητα ϑα αποδείξετε την Ϲητουµένη σχέση.

176. ∆είξτε ότι για κάθε x ∈ R ισχύει e

5x20 + 7x12 + 4x2

3x14 + 9x10 + 7 − συν x ≥ 0.

Υπόδειξη : Πρέπει να λάβετε υπ’οψιν ότι |συν x| ≤ 1 και ότι5x20 + 7x12 + 4x2

3x14 + 9x10 + 7> 0⇔ e

5x20 + 7x12 + 4x2

3x14 + 9x10 + 7 > e0 =

1.

177. Αν x, y > 0 και 2x · 5y = 7 να αποδείξετε ότι :

(x+ 2)(y + 1) ≤ log2 140

log 4 log 25

Υπόδειξη : Η ισότητα 2x · 5y = 7 είναι ισοδύναµη µε την 2x+2 · 5y+1 = 140 ή ισοδύναµα[(x+ 2) log 2 + (y + 1) log 5

]2= log2 140 (1)

Απο την ταυτότητα (α+ β)2 ≥ 4αβ µε κατάλληλη επιλογή των α και β, αποδείξτε το Ϲητούµενο.

178. Να λυθεί η εξίσωση 10(x+1)(3x+4) − 2 · 10(x+1)(x+2) = 101−x−x2

.

Υπόδειξη : ∆ιαιρώντας και τα δύο µέλη της εξίσωσης µε 101−x−x2

ϑα γίνει

103 · 102(2x2+2x) − 20 · 102x

2+2x − 1 = 0. Η τελευταία ανάγεται στην επίλυση µιας εξίσωσης δευτέρου ϐαθµού, µε

αποδεκτή λύση µόνο την1 +√

11

100. Θα ϐρείτε τελικά x = −1±

√1

2log(

1 +√

11).

179. Να λυθεί στο N η εξίσωση:

2x2+x−2 − 2x

2−4 = 992 (1)

Υπόδειξη : Η εξίσωση (1) είναι ισοδύναµη µε την 2x2

(4 · 2x − 1) = 29 · 31. Η τελευταία αυτή εξίσωση όµως είναι

ισοδύναµη µε το σύστηµα: 2x

2

= 29

4 · 2x − 1 = 31

Γιατί ; Η τελική λύση είναι x = 3.

180. ∆ίνεται το πολυώνυµο p(x) = x3 + x2 + x+ α3 + 1. ΄Εστω υ(α) το υπόλοιπο της διαίρεσης p(x)÷ (x+ α).



(α΄) Να αποδείξετε ότι κάθε α ∈ R η διάιρεση p(x)÷ (x+ α) δεν είναι τέλεια.

(ϐ΄) Να ϐρείτε την τιµή του α έτσι ώστε το υ(α) να γίνει ελάχιστο.

(γ΄) Για την τιµή του α που κάνει ελάχιστο το υπόλοιπο, να λύσετε την εξίσωση:

4x+α − 9x−α = 34αx (7.2)

Υπόδειξη : Το υπόλοιπο είναι :υ(α) = α2 − α + 1, γίνεται ελάχιστο για α =1

2και η εξίσωση 7.2 γίνεται :

4x+12 − 9x−

12 = 32x ⇔ 6 · 22x − 32x = 3 · 32x

⇔ 6 · 22x = 4 · 32x

⇔(

2

3

)2x

=2

3

⇔ x =1

2

181. ∆ίδεται το πολυώνυµο p(x) = (2 lnα− 1)x3 + x2 − (e− 2)x− 2e.

(α΄) Αν το πολυώνυµο είναι 2ου ϐαθµού να ϐρεθεί το α ∈ R.

(ϐ΄) Να λυθεί η ανίσωση p(x) < 0.

(γ΄) Να ϐρείτε τις τιµές του x για τις οποίες το διάγραµµα της συνάρτησης f(x) = e2x− (e− 2)ex− 2e είναι κάτω

απο τον άξονα x′x.

(δ΄) Να ϐρείτε την ελαχίστη τιµή της f(x).


Υπόδειξη : Το α = e1/2. Το p(x) είναι < 0 για

x ∈(

1

2e− 1− 1

2

√e2 + 4e+ 4,

1

2e− 1 +

1

2

√e2 + 4e+ 4

)

Το διάγραµµα της συνάρτησης f(x) = e2x − (e− 2)ex − 2e είναι κάτω απο τον άξονα x′x για

x ∈(−∞, ln

(1

2e− 1 +

1

2

√e2 + 4e+ 4

))Η ελαχίστη τιµή της f(x) συµβαίνει για x = − ln(2) + ln(e− 2) και είναι ίση µε

−1

4e2 − e− 1



182. ∆ίνεται το πολυώνυµο p(x) =(1− e2συν θ+1

)x4 + x3 ln2 κ + x2 lnκ + x − 1. Γνωρίζουµε ότι θ ∈ (0, π), το

πολυώνυµο είναι 3ου ϐαθµού και ότι διαιρείται µε x− 1.

(α΄) Να αποδείξετε ότι θ =2π

3και κ =

1

e.

(ϐ΄) Να ϐρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης p(x)÷ x2.(γ΄) Να ϐρείτε τα κοινά σηµεία της γραφικής παράστασης της ευθείας (ε) : y = 5x− 5 και του p(x).

Υπόδειξη : Το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης p(x)÷x2 είναι ίσα µε x− 1. Το p(x)− (5x− 5) σαν

γινόµενο πρώτων παραγόντων είναι ίσο µε (x− 1)(x− 2)(x+ 2).

Σχήµα 7.3: ΄Ασκηση 182γ΄.

183. ∆ίνεται η συνάρτηση: f(x) = e2 ln x − x2 lnα + 2 lnα. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης f(x)÷ (x− 1) είναι 1,

(α΄) τότε f(x) = x2 − x+ 1, x > 0.

(ϐ΄) να αποδείξετε ότι συν 4θ = 2f(συν 2θ)− 4ηµ 2θ − 1 µε θ ∈(

0,π

4

).

(γ΄) να λύσετε την εξίσωση f(συν 2θ) = 1 +συν 4θ

2, για θ ∈

(0,π

4

).

Υπόδειξη : Τότε : f(1) = 1 ⇒ α =√e. ΄Αρα η νέα µορφή της f(x) για α =

√e είναι : f(x) = x2 − x + 1. Για το

184β΄, χρησιµοποιήστε τους τύπους της τριγωνοµετρίας του διπλασίου τόξου. Τέλος, η εξίσωση 184γ΄, έχει λύση:

θ =π

6.

184. ΄Εστω η συνάρτηση f(x) = log(2 · 25x − 5 · 4x) και η ευθεία (ε) : y = x+ log 3.

(α΄) Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της f(x).

(ϐ΄) Να ϐρείτε τα κοινά σηµεία της ευθείας (ε) και της συνάρτησης f(x).

(γ΄) Να ϐρείτε τη σχετική ϑέση των σηµείων A =

(3

2, f

(3

2

))µε το σηµείο της ευθείας (ε) µε τετµηµένη

3

2.

Υπόδειξη : Το πεδίο όρισµού είναι το

(1

2,+∞

).

Για να ϐρούµε τα κοινά σηµεία της συνάρτησης και της ευθείας, πρέπει να λύσουµε την εξίσωση:

log(2 · 25x − 5 · 4x) = x+ log(3) ⇔ log(2 · 52x − 5 · 22x) = x · log(10) + log(3)⇔ log(2 · 52x − 5 · 22x) = log((5− 2) · (2 · 5)x)⇔ 2 · 52x + 5x · 2x+1 = 2x · 5x+1 + 5 · 22x⇔ 2

5 =(25

)x⇔ x = 1




Για το 184γ΄, αρκεί να συγκρίνουµε το f

(3

2

)και

3

2+ log 3. ΄Οπως ϕαίνεται και απο το σχήµα 7.4, f

(3

2

)>

3

2+ log 3.

185. (α΄) Να δείξετε ότι : αlog β = βlogα.

(ϐ΄) Να λύσετε την ανίσωση 52 log x < 5 + 4xlog 5.

(γ΄) ∆ίνεται η συνάρτηση f(x) = 100log(x) + xlog(100) − x.Να λύσετε την εξίσωση: f(συν θ) = 2ηµ 2 θ

2, θ ∈

[0,π

2

).

(δ΄) Να λυθεί το σύστηµα: (2x)log(y) + ylog(2x) = 8x2y

4x2= ylog(2x)

Υπόδειξη : Το πρώτο είναι εύκολο. Πολύ χρήσιµο όµως. Καταχωρίστετο για την επόµενη τάξη. Το δεύτερο, αν

λάβετε υπ’οψιν τη πρώτη ιδιότητα, ανάγεται στην επίλυση της δευτοβάθµιας ανίσωσης : y2 < 4y+5⇔ −1 < y < 5,

όπου y = xlog 5. Τελικά, x < 10. Για το 185γ΄, δείξτε ότι : f(x) = 2x2 − x. Θα ϐρείτε θ =

π

4. Η πρώτη

απο τις δύο εξισώσεις του συστήµατος γίνεται ylog(2x) = 4x2. Αντικαθιστώντας στη δεύτερη εξίσωση έχουµε:y = y2 log(2x)

16x4 = y⇔ x =

1

2, y = 1 ∨ x =

1

2

√10, y = 100.

186. ΄Εστω η συνάρτηση f(x) = συν (lnx2).

(α΄) Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού.

(ϐ΄) Να ϐρεθεί το θ έτσι ώστε f(1) = 2εφ (θ).

(γ΄) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0.

Υπόδειξη : Η συνάρτηση f(x) είναι χαρακτηριστική για την συµπεριφορά της στο 0, δες σχήµα 7.5. Αν και είναι

πυκνή σε πολύ µικρή περιοχή του 0 δεν είναι συνεχής, δηλαδή σπάει. Περισσότερα στην επόµενη τάξη. Το πεδίο

ορισµού είναι Df = R∗. Για το 2ο ϑα ϐρείτε θ = κπ. Οι ϱίζες της εξίσωσης είναι x = ±√eκπ+

π2 .

187. ΄Εστω p(x) = αlnαx3 + 4x2 ln√α + 24 και q(x) = ex3 + x2 ln(α · e) + 24.




(α΄) Αν τα δύο πολυώνυµα είναι ίσα να ϐρείτε την τιµή του α.

(ϐ΄) Η γραφική παράσταση του p(x) τέµνει τον ϑετικό ηµιάξονα των τετµηµένων ;

(γ΄) Να ϐρείτε τα διαστήµατα του x που η γραφική παράσταση της συνάρτησης p(x) είναι κάτω

απο την ευθεία ε : y = −12ex.


Υπόδειξη : Απο p(x) ≡ q(x) ⇒ α = e, τότε το p(x) = ex3 + 2x2 + 24, δες σχήµα 7.6, γραµµή (3). Η ανίσωση

p(x) < −12ex έχει λύση x < −2

e. Στο σχήµα 7.6, ϐλέπετε την γραφική παράσταση της p(x)+(−12ex) της οποίας

οι τιµές του x που την κάνουν αρνητική είναι ακριβώς τα x που Ϲητάµε, ενώ το ίδιο αποτέλεσµα δίνη η τοµή της

γραµµής (3) και της ευθείας (2).

188. Να λυθούν οι ανισώσεις :

α) x < 11− log(x) β) 3x + log(x) ≥ 3

Υπόδειξη : α) ΄Εστω f(x) = x − 11 + log(x) για x ∈ R+. ∆είξτε ότι η συνάρτηση f(x) είναι αύξουσα, δείχνοντας

ότι αν x1 < x2 ⇔ f(x1) < f(x2). Αλλά f(10) = 10 − 11 + log(10) = 0. ΄Αρα, αν x < 10 ⇔ f(x) < f(10) ⇔x− 11 + log(x) < 0⇔ x < 11− log(x). Εποµένως 0 < x < 10. Οµοίως εργασθείτε για το β).

189. ΄Εστω f(x) = x3 + log(x).

(α΄) ∆είξτε ότι f(x) είναι αύξουσα.



(ϐ΄) Να λυθεί η ανίσωση:

(2x2 + 1)3 − (x2 + x+ 3)3 ≤ logx2 + x+ 3

2x2 + 1(7.3)

Υπόδειξη :

(α΄) ΄Εστω 0 < x1 < x2 ⇔ · · · ⇔ 0 < x31 + log(x1) < x32 + log(x2)⇔ f(x) ↑

(ϐ΄) Η ανίσωση 7.3 γράφεται :

(2x2 + 1)3 + log(2x2 + 1) ≤ (x2 + x+ 3)3 + log(x2 + x+ 3)⇔f(2x2 + 1) ≤ f(x2 + x+ 3)⇔2x2 ≤ x2 + x+ 3⇔x2 − x− 2 ≤ 0⇔−1 ≤ x ≤ 2

΄Αρα, x ∈ [−1, 2] ∪ x ∈ (0,+∞)→ x ∈ (0, 2].

190. Να συγκρίνετε τους log2 3 και log3 5.

Υπόδειξη : Είναι πρακτικότερο να συγκρίνουµε τους δύο λογαρίθµους µε τον3

2.

Πρώτα συγκρίνουµε τον log2 3 µε τον3

2. Οι συναρτήσεις 2x και x2 είναι µονότονες για x > 0. Χρησιµοποιούµε

λοιπόν τον συνδυασµό για αποφύγουµε τις παγίδες που κρύβουν οι δύο αυτοί αριθµοί.

(2log2 3

)2= 32 = 9 > 8 = 23 =

(2

32

)2∆εύτερον, συγκρίνουµε τον log3 5 µε τον

3

2. Οι συναρτήσεις 2x και x2 είναι µονότονες για x > 0

(3log3 5

)2= 52 = 25 < 27 = 33 =

(3

32

)2΄Ετσι, log2 3 > log3 5.

191. ∆ίνεται το πολυώνυµο p(x) = x3 − (α + 3)x2 + 8x− 2α, α ∈ R. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης

p(x)÷ (x = 1) είναι ίσο µε −18,

(α΄) Να ϐρείτε την τιµή του α,

(ϐ΄) Για α = 2

i. Να γράψετε την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης του p(x)÷ (x2 + 1).

ii. να λύσετε την p(x) ≥ 7x+ 1.

192. ∆ίνεται η παράσταση A = ln(x2 − 6x+ 9).

(α΄) Να ϐρεθούν οι τιµές του x ∈ R ώστε να ορίζεται η A.

(ϐ΄) Να λυθεί η εξίσωση A = 4 · ln2 |x− 3|.



(γ΄) Να ϐρεθούν οι τιµές του x ∈ R ώστε

(1

9

)1

4(A2 − A · ln 4)

<

(1

3

)1

2(A · ln 9− 4 · ln 3 · ln 2)

193. ∆ίνεται η πολυωνυµική περιττή συνάρτηση p(x). Αν p(1) = 3, να ϐρείτε το υπόλοιπο της

διαίρεσης p(x)÷ (x3 − x).

194. Να λυθεί η α

x

β + β

x

α =(αα + ββ

) xαβ , όπου α, β σταθεροί ϑετικοί αριθµοί.

195. Να αποδείξετε ότι αν το πολυώνυµο p(x) = αx3 + 3βx2 + 3γx+ δ έχει δύο µόνο ϱίζες ίσες τότε,

αυτές είναι ίσες µεβγ − αδ

2(αγ − β2).

196. (log2 3)(log3 4)(log4 5) · · · (log32 32) =?Υπόδειξη : Θα πρέπει να ϐρείτε 5.

197. Να λυθεί το σύστηµα

x2 + 4y = 5

4 2y√x(x+ 3) = 4 + (x2 + 3x)

1

y

Υπόδειξη : Πρέπει x(x+ 1) ≥ 0 ή x ≤ −3 ή x ≥ 0. Η δεύτερη εξίσωση µετασχηµατίζεται

y√x(x+ 3)− 4

√y√x(x+ 3) + 4 = 0 (7.4)

Αν ω = y√x(x+ 3), τότε η εξίσωση γίνεται (

√ω− 2)2 = 0 µε ϱίζα ω = 4. Τότε, 4y =

√x(x+ 3) και σε συνδυασµό

µε την πρώτη εξίσωση ϑα πάρετε x = 1 και y = 1.

198. ∆ίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(x3 − 7x2 + 16x− 12). Να ϐρεθούν :

(α΄) Το πεδίο ορισµού της f .

(ϐ΄) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισµού της.

(γ΄) Να λυθεί η εξίσωση:

ln(x3 − 7x2 + 16x− 12) = ln(x2 − 4) + ln 5 + ln

(x− 2

x+ 2

)

(δ΄) Να λυθεί η ανίσωση

ef(6)−2f(4) − ex > ex2

+ ex+1 + ln e2



(ε΄) Να λυθεί η ανίσωση

2ef(6)−2f(4) − ex < e2x

199. ∆ίνεται συνάρτηση µε τύπο f(x) =

x3 − αx2 − 5x+ 6 αν x < 1x− 1 + ln x αν x ≥ 1

.

(α΄) Αν είναι f(1) = f(−2) να ϐρεθεί ο πραγµατικός αριθµός α.

(ϐ΄) Για α = 2

i. Να δείξετε ότι f(x) ≥ 0 για κάθε x ≥ 1.

ii. Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 0.

iii. Να λυθεί η ανίσωση f(x) < 0 για x < 1.

iv. Να λυθεί η εξίσωση f

((1

2

)x)= −x ln 2 για x ≤ 0.

v. Να λυθεί η εξίσωση f(συν x)− συν x+ 1 = 0, για x ∈ [0, π].

200. ∆ίνεται η συνάρτηση f(x) = log(√

x2 + 1− x).

(α΄) Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού και το σύνολο τιµών της συνάρτησης.

(ϐ΄) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή.

(γ΄) Να ϐρεθούν τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης µε την ευθεία

y = 2.
