1. Een blok-schema van een DC motor is gegeven in figuur 1.
Vis) 1 m 1 Ls+R Js+b
(0(5)
K,
Figuur 1: Blok-schema van een DC motor,
a) Geef de overdrachtsfuntie G(s) = T(s)/V(s). Schrijf G(s) in de vorm K B(s) A ( s y
met K een constante en A(s), B(s) polynomen in aflopende machten van s. (12 p)
G(s) T(s) V(s)
14 (-J£+lo)
Berekening / motivering: Ki
^ - Ces:) w Ls> -t-R ^ - Ces:) w
x + x +
K fas*. 41
b) Stel nu dat de input van de motor kortgesloten is, dwz V(s) = 0. Geef de overdrachtsfuntie H(s) van een extern koppel Te(s) naar de stroom I(s). Het externe koppel Te(s) wordt opgeteld bij T(s). (12 p)
H(s) m Te(s)
Berekening / motivering:
- K
4 -t * 4 '
z.o.z. 1
2. Gegeven is het volgende open-lus systeem:
G W 8 0
(s + 2)(s + 3 ) 2
Ontwerp een PD regelaar D(s) = Kp(l + Tds) zodat het geregelde systeem aan de volgende eisen voldoet:
• een cross-over frequentie van uc = 3 rad/s
• een fase marge van P M = 65°
Laat alle stappen uit uw berekening zien. (30 p)
Kp = O. 6 3 ^ 2
Berekening / motivering: p
C ( i ^ A -
PM - -4l\ZrC+ ^ 0 0 « 31 , V°
Z
A
A
| - 0X021 ' I j
— =
Schriftelijk tentamen Systeem- en Regeltechniek, 3 november 2011
3. Een lasrobot met overdrachtsfunctie G(s) wordt geregeld door een proportionele regelaar Kp in de gesloten-lus configuratie zoals aangegeven in figuur 2.
r + •
u ik G(s) w G(s) y
Figuur 2: Blok-schema van de gesloten lus.
De overdrachtsfunctie G(s) heeft de volgende vorm:
K J s(s + 10)(s + 20)
waarbij de exacte waarde van de parameter K onbekend is. Om K te bepalen, wordt een gesloten-lus experiment uitgevoerd met de proportionele regelaar Kp = 1000 (de gesloten lus is asymptotisch stabiel met deze regelaar). Op de referentie input r(t) wordt een ramp signaal r(t) = O.lt gezet en de bijbehorende output y(t) wordt gemeten. Het foutsignaal e(t) =r{t) - y(t) is weergegeven in figuur 3.
0 1 2 3 4 5 Ti jd [s]
Figuur 3: Gemeten foutsignaal e(t).
a) Bereken de constante K in de overdrachtsfuntie G(s). Tip: maak gebruik van de eindwaardestelling (final value theorem). (18 p)
K =
z.o.z. 3
Berekening / motivering:
e S £ - ^ • •
S (s4*oJ(S+2o)
0-Y
^-^>0 S ( C+fo) (s+2o) f / < /<,o
b) Gebruik dezelfde proportionele regelaar i f p = 1000 en veronderstel dat de constante K in G(s) niet bekend is. Geef de gesloten-lus karakteristieke vergelijking in de root-locus vorm en schets de bijbehorende root locus voor K > 0. Geef de richting van stijgende K aan. (12 p)
Karakteristieke vergelijking:
Schriftelijk tentamen Systeem- en Regeltechniek, 3 november 2011
c) Geef het interval van versterkingen K > O in G(s) voor welke het gesloten-lus systeem asymptotisch stabiel is. (20 p)
Berekening / motivering: / f -/ /<(
- > s , J w
co
= • 0 UJ = f200
d) Om de steady-state fout te elimineren, wordt het regelschema uitgebreid met de zgn. velocity feedforward versterking K g , zie figuur 4.
Figuur 4: Blok-schema met velocity feedforward (s is de Laplace operator).
Neem K = 2, Kv = 1000 en bereken de waarde van Kg zodanig dat de steady-state fout ess = 0 voor de ramp referentie input (de steady-state waarde is gedefinieerd als e s s == l im^oo e(t)). (18 p)
z.o.z. 5
Ks= /lOO
Berekening / motivering: 4
2.
/f -4-
($+(o) (s-+2o) 20o -2l<ff
> 4 "7
F-f y
4. Gegeven is de onderstaande asymptotenbenadering van de magnitude van een Bode diagram:
20
03 a 0
1-20 I -40
10 10 10 Frequentie [rad/s]
10J
0
10 10 10 Frequentie [rad/s]
10J
Figuur 5: Asymptotenbenadering van een Bode diagram.
Dit Bode diagram is getekend voor een stabiel, minimum-fase systeem met de onder-
Schriftelijk tentamen Systeem- en Regeltechniek, 3 november 2011
staande overdrachtsfunctie G(s):
G(s) = K{s + a)1
sn(rs + 1)p
a) Bepaal de constanten K, m, n, p,aenT in de overdracht functie G(s): (20 p)
K = 0 /
V = 4
ra
a= 40
n _ f
T =
Berekening /motivering: ^ e l ^ V a vo&\- u j - ^ O = - liOd % l&c^
B i j ' \x>^4o ^Ajs 2x h^Cf^t ~ > /»» * 2 , & •
K- 1°<> ( / o c > '
ï ; ( G. < - - ' (
\/foo
2
b) Bepaal aan de hand van het Bode diagram het systeem type (3p)
Systeem type: 2.
Motivering: i/ooir- Co ->• O \r *0\ j £ \
c) Teken in figuur 5 nauwkeurig de asymptoten van de bijbehorende fase plot. Geef de fase in graden langs de verticale as. (5 p)
5. Gegeven is het volgende model in toestandsvorm:
x(t) = [Z\ _4! )*(*)+( J ) «(*)
y(t) = ( 2 l ) x ( t )
a) Toon aan dat voor de open-lus overdrachtsfunctie G(s) = Y(s)/U(s) geldt
s + 9 G(s) =
s2 + 2s + 9
z.o.z. 7
(10 p)
Berekening / motivering:
<T O \
2 - 2 4 - f /
(g 1
+ 1 \ f O
b) Het systeem wordt geregeld door middel van een toestandsregelaar u(t) = —Kx{t) met K = [ h\ k2 ] de state feedback versterking. Bereken . f f zodanig dat de gesloten-lus karakteristieke polynoom een relatieve demping £ = 0.8 heeft en een natuurlijke frequentie un = 20 rad/s. (20 p)
K = ( $0.7S
Berekening / motivering: Q -j- ^ ^ ^ v , + Co,,
- 32 f LlOO ér- o o k
- 1 L
-7 -
- < r \
S-*f-f& 2 /
Einde tentamen
Schriftelijk tentamen Systeem- en Regeltechniek, 3 november 2011