Download pdf - επαλ γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Lisari) 31 12 2014

(Έκδοση: 31 – 12 -2014)

Η ομάδα του lisari

2

Οι απαντήσεις και οι λύσεις *

είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς

των συνεργατών του δικτυακού τόπου

http://lisari.blogspot.gr

1η έκδοση: 31 – 12 – 2014 (συνεχής ανανέωση)

* Το αρχείο στηρίζεται στις χειρόγραφες λύσεις που έδωσε ο αγαπητός μας

συνεργάτης Μιχάλης Γιαννόπουλος

Το βιβλίο διατίθεται αποκλειστικά

από το μαθηματικό blog

http://lisari.blogspot.gr

http://lisari.blogspot.gr/



3

Περιεχόμενα Σελίδες

Πρόλογος: ……………………………………………………………….…... 4

Η ομάδα εργασιών ………………………………………………………...... 6

Κεφάλαιο 7ο: Αναλογίες ………………………………………………..… 7

Κεφάλαιο 8ο: Ομοιότητα ….…………………..………….…………..…… 15

Κεφάλαιο 9ο: Μετρικές Σχέσεις ……..……………………………………. 20

Συνδυαστικές ασκήσεις ……..………………..……………………………. 30


4

Πρόλογος

Στο παρόν αρχείο δίνονται όλες οι ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων που αφορούν την

Γεωμετρία της Β΄ Λυκείου ΕΠΑΛ μαζί με τις λύσεις τους. Η παρουσίαση των λύσεων

είναι κατά το δυνατόν αναλυτική έτσι, ώστε το αρχείο να μπορεί να διαβαστεί και να

μελετηθεί εύκολα από τους μαθητές. Σε αρκετές περιπτώσεις οι λύσεις συνοδεύονται με

αναφορές σε παρόμοιες ασκήσεις του σχολικού βιβλίου ή της τράπεζας θεμάτων καθώς και

με κάποια στοιχεία θεωρίας ή ακόμα και μεθοδολογίας.

Η εργασία αυτή εκπονήθηκε από μια διαδικτυακή (και όχι μόνο) ομάδα μαθηματικών

από διάφορα μέρη της Ελλάδος. Η ομάδα συγκροτήθηκε από τους μαθηματικούς που

ανταποκρίθηκαν στο κάλεσμα που απεύθυνε μέσα από το blog http://lisari.blogspot.gr ο

ακούραστος Μάκης Χατζόπουλος. Εργάστηκε με μεράκι, κάτω από πίεση χρόνου, για να

προσφέρει στην εκπαιδευτική κοινότητα, μαθητές και καθηγητές, το συγκεκριμένο υλικό.

Επιθυμία όλων μας είναι να συμβάλλουμε, έστω και ελάχιστα, στην βελτίωση της

διδασκαλίας των μαθηματικών στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, μέσα από την παροχή

υποστηρικτικού υλικού στην ελληνική εκπαιδευτική κοινότητα.

Μετά την αρχική συγγραφή των λύσεων έγιναν ενδελεχείς έλεγχοι, διορθώσεις και

βελτιώσεις για την όσο το δυνατό ποιοτικότερη παρουσίαση. Ζητούμε συγνώμη για τυχόν

παραλείψεις, λάθη ή αστοχίες οι οποίες ενδεχομένως θα έχουν διαλάθει της προσοχής μας,

κάτι αναπόδραστο στην εκπόνηση μιας εργασίας τέτοιας έκτασης σε τόσο στενά περιθώρια

χρόνου. Θα ακολουθήσουν επόμενες εκδόσεις, όπου το υλικό θα βελτιωθεί. Οποιαδήποτε

σχόλια, παρατηρήσεις, διορθώσεις και βελτιώσεις των λύσεων είναι ευπρόσδεκτα στην

ηλεκτρονική διεύθυνση [email protected].

Με εκτίμηση


30 – 11 – 2014


mailto:[email protected]


5

lisari team

Αντωνόπουλος Νίκος (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίου Κατεύθυνση - Άργος)

Αυγερινός Βασίλης (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίου ΔΙΑΤΑΞΗ - Ν. Σμύρνη και Νίκαια)

Βελαώρας Γιάννης (Φροντιστήριο ΒΕΛΑΩΡΑΣ - Λιβαδειά Βοιωτίας)

Βοσκάκης Σήφης (Φροντιστήριο Ευθύνη - Ρέθυμνο)

Γιαννόπουλος Μιχάλης (Αμερικάνικη Γεωργική Σχολή)

Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης (Φροντιστήριο Αστρολάβος - Άρτα)

Δούδης Δημήτρης (3ο Λύκειο Αλεξανδρούπολης)

Ζαμπέλης Γιάννης (Φροντιστήρια Πουκαμισάς Γλυφάδας)

Κακαβάς Βασίλης (Φροντιστήριο Ώθηση - Αργυρούπολη)

Κάκανος Γιάννης (Φροντιστήριο Παπαπαναγιώτου – Παπαπαύλου - Σέρρες)

Κανάβης Χρήστος (Διδακτορικό στο ΕΜΠ – 2ο ΣΔΕ φυλακών Κορυδαλλού)

Καρδαμίτσης Σπύρος (Πρότυπο Λύκειο Αναβρύτων)

Κοπάδης Θανάσης (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίων 19+ - Πολύγωνο)

Κουλούρης Αντρέας (3ο Λύκειο Γαλατσίου)

Κουστέρης Χρήστος (Φροντιστήριο Στόχος - Περιστέρι)

Μανώλης Ανδρέας (Φροντιστήριο Ρηγάκης - Κοζάνη)

Μαρούγκας Χρήστος (3ο ΓΕΛ Κηφισιάς)

Νάννος Μιχάλης (1ο Γυμνάσιο Σαλαμίνας)

Νικολόπουλος Θανάσης (Λύκειο Κατασταρίου, Ζάκυνθος)

Παγώνης Θεόδωρος (Φροντιστήριο Φάσμα - Αγρίνιο)

Παντούλας Περικλής (Φροντιστήρια Γούλα-Δημολένη - Ιωάννινα)

Παπαδομανωλάκη Μαρία (Ιδιοκτήτρια Πρότυπου Κέντρου Μάθησης ΔΙΑΚΡΙΣΙΣ - Ρέθυμνο)

Παπαμικρούλης Δημήτρης (Εκπαιδευτικός Οργανισμός Ρόμβος)

Πορίχης Λευτέρης (Γυμνάσιο Λιθακιάς – Ζάκυνθος)

Ράπτης Γιώργος (6ο ΓΕΛ Βόλου)

Σίσκας Χρήστος (Φροντιστήριο Μπαχαράκης - Θεσσαλονίκη)

Σκομπρής Νίκος (Συγγραφέας – 1ο Λύκειο Χαλκίδας)

Σπλήνης Νίκος (Φροντιστήριο ΟΡΙΖΟΝΤΕΣ - Ηράκλειο Κρήτης)

Σπυριδάκης Αντώνης (Γυμνάσιο Βιάννου - Λασίθι)

Σταυρόπουλος Παύλος (Ιδιωτικά Εκπαιδευτήρια Δούκα)

Σταυρόπουλος Σταύρος (Γραμματέας Ε.Μ.Ε Κορινθίας - Γυμνάσιο Λ.Τ. Λέχαιου Κορινθίας)

Τηλέγραφος Κώστας (Φροντιστήριο Θεμέλιο - Αλεξανδρούπολη)

Τρύφων Παύλος (1ο Εσπερινό ΕΠΑΛ Περιστερίου)

Φιλιππίδης Χαράλαμπος (Ελληνογαλλική Σχολή Καλαμαρί)

Χαραλάμπους Σταύρος (Μουσικό Σχολείο Λαμίας)

Χατζόπουλος Μάκης (Υπουργείο Παιδείας και Θρησκευμάτων)

Αυγερινός Βασίλης

Δούδης Δημήτρης

Κουστέρης Χρήστος

Φιλιππίδης Χαράλαμπος

Χατζόπουλος Μάκης

Λύτες

Μιχάλης

Γιαννόπουλος

Μάκης

Χατζόπουλος

Έλεγχος

Συντονιστής

Μιχάλης Νάννος

Πρόλογος

Ανδρέας Κουλούρης

Εξώφυλλο

Μάκης

Χατζόπουλος

Επιμελητής

Μιχάλης

Γιαννόπουλος

lisari team

η καλύτερη ομάδα λόγω teαm_ής!

Τράπεζα Θεμάτων

Γεωμετρία B΄ τάξης ΕΠΑΛ 31 Δεκεμβρίου 2014

Γεωμετρία Β΄ Λυκείου ΕΠΑΛ Τράπεζα Θεμάτων

Η ομάδα του lisari 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο : Αναλογίες

§ 7.6 – Διαίρεση Τμημάτων Εσωτερικά και Εξωτερικά ως προς δοσμένο λόγο

ΑΣΚΗΣΗ (2_20863)

Στο παρακάτω σχήμα είναι 12 και 8 .

α) Να υπολογίσετε του λόγους

και

.

Μονάδες 6

β) Να υπολογίσετε το ΑΓ συναρτήσει του κ.

Μονάδες 5

γ) Να υπολογίσετε τον λόγο

. Σε τι λόγο λ διαιρείται εσωτερικά το ευθύγραμμο

τμήμα ΑΒ από το σημείο Γ;

Μονάδες 14

ΛΥΣΗ

α) Έχουμε,

12 3

8 2

και

8 2

12 3

β) Έχουμε,

12 8 4

γ) Έχουμε,

4 1

8 2

Το σημείο Γ διαιρεί το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε λόγο 1

2, εφόσον

1

2



ΑΣΚΗΣΗ (2_20864)

Στο παρακάτω σχήμα είναι 8 και 2 .

α) Να υπολογίσετε τον λόγο

Μονάδες 5

β) Να υπολογίσετε το ΓΒ συναρτήσει του κ.

Μονάδες 5

γ) Να υπολογίσετε τον λόγο

. Σε τι λόγο λ διαιρείται εσωτερικά το ευθύγραμμο


Μονάδες 15

ΛΥΣΗ

α) Έχουμε,

2 1

8 4

β) Έχουμε,

8 2 6

γ) Έχουμε,

2 1

6 3

Το σημείο Γ διαιρεί το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε λόγο 1

3 εφόσον

1

3

ΑΣΚΗΣΗ (2_20865)

Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ότι ΑΓ 1

ΓΒ 3



α) Να αποδείξετε ότι το ΓΒ είναι τριπλάσιο του ΑΓ.

Μονάδες 5

β) Πόσες φορές μεγαλύτερο είναι το ΑΒ από το ΑΓ;

Μονάδες 5

γ) Να υπολογίσετε τον λόγο ΑΓ

ΑΒ. Σε τι λόγο λ διαιρείται εσωτερικά το ευθύγραμμο


Μονάδες 15

ΛΥΣΗ

α) Έχουμε

ΑΓ 1

3ΑΓ ΓΒ ΓΒ 3ΑΓ 1ΓΒ 3

άρα το ΓΒ είναι τριπλάσιο του ΑΓ.

β) Είναι

ΑΒ ΑΓ ΓΒ ΑΓ 3ΑΓ 4ΑΓ

οπότε

ΑΒ 4ΑΓ 2

Συνεπώς το ΑΒ είναι 4 φορές μεγαλύτερο από το ΑΓ.

γ) Είναι 2ΑΓ ΑΓ 1

ΑΒ 4ΑΓ 4

Επειδή ΑΓ 1

ΓΒ 3 το Γ διαιρεί εσωτερικά το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε λόγο

1

3.

ΑΣΚΗΣΗ (2_20866)

Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ότι ΑΓ

4ΒΓ



α) Πόσες φορές μεγαλύτερο είναι το ΑΓ από το ΒΓ;

Μονάδες 5

β) Να αποδείξετε ότι το ΑΒ είναι πενταπλάσιο του ΒΓ

Μονάδες 5

γ) Να υπολογίσετε τον λόγο ΑΓ

ΑΒ. Σε τι λόγο λ διαιρείται εσωτερικά το ευθύγραμμο


Μονάδες 15

ΛΥΣΗ

α) Έχουμε

ΑΓ

4 ΑΓ 4ΒΓ 1ΒΓ

άρα το ΑΓ είναι 4 φορές μεγαλύτερο από το ΒΓ.

β) Είναι 1

ΑΒ ΑΓ ΓΒ 4ΒΓ ΓΒ 4ΒΓ ΒΓ 5ΒΓ

οπότε

ΑΒ 5ΒΓ 2

Συνεπώς το ΑΒ είναι πενταπλάσιο του ΒΓ.

γ) Είναι 1 2ΑΓ 4ΒΓ 4ΒΓ 4

ΑΒ ΑΒ 5ΒΓ 5

Επειδή ΑΓ

4ΒΓ

το Γ διαιρεί εσωτερικά το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε λόγο 4.



§ 7.7 – Θεώρημα του Θαλή

ΑΣΚΗΣΗ (2_19656)

Στο σχήμα που ακολουθεί οι ευθείες 1 2, και 3 είναι μεταξύ τους παράλληλες.

Επίσης, ισχύουν: 2, 4 και 6

α) i) Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Θαλή να συμπληρώσετε τα κενά στην παρακάτω

αναλογία:

ii) Να υπολογίσετε το ΕΖ.

Μονάδες 13

β) i) Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Θαλή να συμπληρώσετε τα κενά στην παρακάτω

αναλογία:

ii) Αν, επιπλέον, 9 , να υπολογίσετε το ΗΘ.

Μονάδες 12

ΛΥΣΗ

α) i) Έχουμε,

ii) Έχουμε,

2 422

63

2 3 3



β) i) Για να εφαρμόσουμε Θεώρημα Θαλή πρέπει και η τέταρτη ευθεία ε4 να είναι

παράλληλη με τις ευθείες ε1, ε2, ε3, άρα

ii) Έχουμε,

9 2 4 9 6

ZH E 3 6

2

9

92 3 9

3

272 27

2

Άρα

27 99

2 2

Παρατήρηση: Στην εκφώνηση λείπει ένα δεδομένο. Θα έπρεπε να αναφέρει ότι και η

ε4 είναι παράλληλη στις άλλες τρεις ευθείες. Διαφορετικά δεν μπορεί να εφαρμοστεί

το Θ. Θαλή στην ερώτηση β).

ΑΣΚΗΣΗ (2_19657)

Στο παρακάτω σχήμα οι ευθείες ΔΖ, ΕΗ και ΒΓ είναι μεταξύ τους παράλληλες.

Επίσης ισχύουν: ΑΔ = 1, ΔΕ = 3 και ΖΗ = 6.

α) i) Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Θαλή να συμπληρώσετε τα κενά στην

παρακάτω αναλογία: ΑΔ

ΖΗ

ii) Να υπολογίσετε το ΑΖ.

Μονάδες 13

β) i) Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Θαλή να συμπληρώσετε τα κενά στην

παρακάτω αναλογία: ΑΒ

ΑΗ



ii) Αν, επιπλέον, ΑΓ = 12, να υπολογίσετε το ΕΒ.

Μονάδες 12

ΛΥΣΗ

α)

i) Αφού ΔΖ║ΕΗ και αυτές τέμνονται από τις ΑΕ και ΑΗ τότε από τα θεώρημα Θαλή

προκύπτει ότι :

ΑΔ ΑΖ

ΔΕ ΖΗ

ii) Από i) έχουμε ότι :

ΑΔ ΑΖ 1 ΑΖ3ΑΖ 6 ΑΖ 2

ΔΕ ΖΗ 3 6

β)

i) Αφού ΕΗ║ΒΓ και αυτές τέμνονται από τις ΑΒ και ΑΓ τότε από τα θεώρημα

Θαλή προκύπτει ότι

ΑΓ ΑΒ

ΑΗ ΑΕ

ii) Από i) έχουμε ότι :

ΑΓ ΑΒ ΑΓ ΑΔ ΔΕ ΕΒ ΑΗ ΑΕ ΑΖ ΖΗ ΑΔ ΔΕ

12 1 3 ΕΒ

2 6 1 3

12 4 ΕΒ

8 4

8∙(4+ΕΒ)=4∙12

32+8∙ΕΒ=488∙ΕΒ=48-32 8ΕΒ 16 ΕΒ 2





ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8ο : Ομοιότητα

§ 8.2 – Κριτήρια Ομοιότητας

ΑΣΚΗΣΗ (2_19659)

Στο παρακάτω σχήμα, οι γωνίες Β , Δ είναι ίσες.

α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΒΓ είναι όμοια.

Μονάδες 10

β) Να συμπληρώσετε τους παρακάτω ίσους λόγους που προκύπτουν

από την ομοιότητα των παραπάνω τριγώνων: ΑΔ ΔΕ

ΑΒ

Μονάδες 7

γ) Αν ΑΔ = 2, ΔΒ = 3 και ΒΓ = 10, να βρείτε το μήκος του ΔΕ.

Μονάδες 8

ΛΥΣΗ

α) Από τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΒΓ έχουμε, Α Α ( κοινή γωνία ) Β Δ (από υπόθεση)

Επομένως, τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΒΓ είναι όμοια.

β) Από την ομοιότητα των τριγώνων ΑΔΕ και ΑΒΓ έχουμε ΑΔ ΔΕ

ΑΒ ΒΓ

γ) Από το β) έχουμε ότι

ΑΔ ΔΕ ΑΒ ΒΓ

ΑΔ ΔΕ

ΑΔ ΔΒ ΒΓ

2 ΔΕ

2 3 10

2 ΔΕ

5 10 5ΔΕ 2 10

ΔΕ 20

5ΔΕ 4



ΑΣΚΗΣΗ (2_19660)

Στο διπλανό σχήμα, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και το ΑΔ είναι το ύψος του

προς την πλευρά ΒΓ.

α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΓ είναι όμοια.

Μονάδες 8

β) Να συμπληρώσετε την παρακάτω αναλογία που προκύπτει από την ομοιότητα των

τριγώνων ΑΒΓ και ΑΔΓ: ΒΓ ΑΒ

ΑΓ .

Μονάδες 7

γ) Αν ΑΒ = 20 , ΑΓ = 15 και ΒΓ = 25, να υπολογίσετε το ΑΔ.

Μονάδες 10

ΛΥΣΗ

α) Από τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΓ έχουμε,

Γ Γ ( κοινή γωνία )

οΒΑΓ ΑΔΓ 90 (από υπόθεση)

Επομένως, τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΓ είναι όμοια .



β) Από την ομοιότητα των τριγώνων ΑΒΓ και ΑΔΓ έχουμε :

ΒΓ ΑΒ

ΑΓ ΑΔ

γ) Από το β) έχουμε,

ΒΓ ΑΒ ΑΔ 20 25ΑΔ 20 15 ΑΔ 12ΑΓ ΑΔ 15 25

Σημείωση: Η άσκηση στο υποερώτημα (γ) έχει περιττό δεδομένο, αφού δίνονται και οι

τρεις πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου! Γνωρίζουμε από Πυθαγόρειο Θεώρημα, αν

είναι γνωστές οι δύο πλευρές του, τότε μπορούμε να βρούμε και την τρίτη.

ΑΣΚΗΣΗ (2_19661)

Στο διπλανό σχήμα, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και το ΑΔ είναι το ύψος του

προς την πλευρά ΒΓ.

α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑBΔ είναι όμοια.

Μονάδες 8

β) Να συμπληρώσετε την παρακάτω αναλογία που προκύπτει από την ομοιότητα των

τριγώνων ΑΒΓ και ΑBΔ:ΑΓ ΒΓ

ΑΒ

Μονάδες 7

γ) Αν ΑΒ = 12 , ΑΓ = 5 και ΒΓ = 13, να υπολογίσετε το ΑΔ.

Μονάδες 10



ΛΥΣΗ

α) Από τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΒΔ έχουμε,

Β Β ( κοινή γωνία )

οΒΑΓ ΑΔΒ 90 (από υπόθεση)

Επομένως, τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΒΔ είναι όμοια .

β) Από την ομοιότητα των τριγώνων ΑΒΓ και ΑΒΔ έχουμε,

ΑΓ ΒΓ

ΑΔ ΑΒ

γ) Από το β) έχουμε,

ΑΓ ΒΓ 5 13 60 13ΑΔ 5 12 13ΑΔ 60 ΑΔΑΔ ΑΒ ΑΔ 12 13



Σημείωση: Η άσκηση στο υποερώτημα (γ) έχει περιττό δεδομένο, αφού δίνονται και οι

τρεις πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου! Γνωρίζουμε από Πυθαγόρειο Θεώρημα, αν

είναι γνωστές οι δύο πλευρές του, τότε μπορούμε να βρούμε και την τρίτη.



ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9ο : Μετρικές Σχέσεις

§ 9.2 – Το Πυθαγόρειο Θεώρημα

ΑΣΚΗΣΗ (4_19680)

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, που φαίνεται στο διπλανό σχήμα, ισχύουν ότι

ΑΒ = 6, BΓ = 10 και το ΑΔ είναι το ύψος του προς την υποτείνουσα ΒΓ.

α) Να αποδείξετε ότι AΓ = 8.

Μονάδες 6

β) Να αποδείξετε ότι ΓΔ = 6,4.

Μονάδες 6

γ) Να υπολογίσετε το μήκος του ΔΒ.

Μονάδες 6

δ) Να υπολογίσετε το μήκος του ΑΔ.

Μονάδες 7

ΛΥΣΗ

α) Εφαρμόζουμε πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (με 0A 90 )

: 22 2 22Α 36 ΑΓ 100 ΑΓΒ ΑΓ 6 Γ 8Β 4 ΑΓ

β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ από μετρικές σχέσεις , αφού 0Α 90 και ΑΔ ύψος

έχουμε ότι :

2 2 64ΑΓ ΓΔ ΒΓ 8 ΓΔ 10 64 ΓΔ 10 ΓΔ 6, 4

10

γ) Έχουμε,

ΔΒ ΒΓ ΔΓ 10 6, 4 3,6

δ) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ από μετρικές σχέσεις , αφού 0Α 90 και ΑΔ ύψος


2 2 2 64 36 64 36 8 6ΑΔ ΓΔ ΒΔ ΑΔ 6,4 3,6 ΑΔ ΑΔ 4,8

10 10 100 10



ΑΣΚΗΣΗ (4_19681)

Στο παρακάτω σχήμα δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ με πλευρά 12 cm. Το σημείο Μ είναι

το μέσο της πλευράς του ΑΒ και το Ζ είναι σημείο της πλευράς του ΒΓ με ΒΖ = 3

cm.

α) Με τη βοήθεια του Πυθαγορείου Θεωρήματος στο τρίγωνο ΑΜΔ να αποδείξετε

ότι 2ΜΔ 180

Μονάδες 6

β) Να βρείτε τα 2ΜΖ και 2ΔΖ

Μονάδες 6

γ) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΜΔΖ είναι ορθογώνιο.

Μονάδες 13

ΛΥΣΗ



α) Αφού από υπόθεση ΑΒΓΔ τετράγωνο πλευράς 12 cm , άρα ΑΒ=12 cm και αφού

από υπόθεση Μ μέσο ΑΒ άρα ΑΒ 12

ΑΜ ΜΒ 62 2

cm

Εφαρμόζουμε πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΜΔ (με 0Α 90 ) : 2 2 2 2 26 12 36 14ΜΔ Α 8Μ Δ 1 0Α 4

β) Εφαρμόζουμε Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΜΖ (με 0Β 90 ) 2 22 22 6 3ΜΖ 36 9Β 5ΒΜ 4Ζ

Έχουμε,

ΖΓ ΒΓ ΒΖ 12 3 9 cm

Εφαρμόζουμε Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΜΖ (με 0Β 90 ) : 2 2 2 2 29 12 81 14ΔΖ Ζ 2Γ Δ 2 5Γ 4

γ) Έχουμε, 2 2 2225 180 45 ΔΖ ΜΔ ΜΖ

τότε από το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος έχουμε ότι ΜΔΖ είναι

ορθογώνιο τρίγωνο με 0ΔΜΖ 90 .

ΑΣΚΗΣΗ (4_19683)

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( 0Α 90 ). Έστω Δ το μέσο της πλευράς ΑΒ και Ε η

προβολή του Δ στη ΒΓ.



α) Mε χρήση του Πυθαγορείου Θεωρήματος να εκφράσετε:

i) το 2ΕΓ συναρτήσει των τμημάτων ΓΔ και ΕΔ.

Μονάδες 4

ii) το 2ΕΒ συναρτήσει των τμημάτων ΔΒ και ΔΕ.

Μονάδες 4

β) Να αποδείξετε ότι:

i) 2ΓΔ = 2ΔΒ + 2ΑΓ

Μονάδες 4

ii) 2ΕΓ 2ΕΒ 2ΑΓ

Μονάδες 4

δ) Αν ΕΓ = 5 και ΕΒ = 2, να βρείτε το μήκος του ΑΒ.

Μονάδες 5

ΛΥΣΗ

α) i) Εφαρμόζουμε Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΓΕΔ (με

0ΔΕΓ 90 ) : 2 2 2ΓΔ ΓΕ ΕΔ 2 2 2ΕΓ ΓΔ ΕΔ (1)

ii) Εφαρμόζουμε Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΕΔ (με

0ΔΕΒ 90 ) : 2 2 2ΒΔ ΒΕ ΕΔ 2 2 2ΒΕ ΒΔ ΕΔ (2)

β) i) Επειδή το Δ μέσο του ΑΒ, έχουμε ΑΔ ΔΒ

Εφαρμόζουμε Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΓΑΔ (με 0Α 90 ) :

2 2 2ΓΔ ΑΔ ΑΓ ΑΔ ΔΒ

2 2 2ΓΔ ΒΔ ΑΓ (3)

ii) Από σχέση (3) έχουμε ότι: 2 2 2ΓΔ ΒΔ ΑΓ άρα 2 2 2ΑΓ ΓΔ ΒΔ (4)



Από τις σχέσεις (1) και (2) έχουμε ότι:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2ΕΓ ΕΒ (ΓΔ ΕΔ ) (ΒΔ ΕΔ ) ΓΔ ΕΔ ΒΔ ΕΔ ΓΔ ΒΔ

άρα

2 2 2 24

2 2 2ΕΓ ΕΒ ΓΔ ΒΔ ΕΓ ΕΒ ΑΓ (5)

γ) Έχουμε,

ΒΓ=ΒΕ+ΕΓ=2+5=7

Από σχέση (5) έχουμε ότι : 2 2 2ΑΓ ΕΓ ΕΒ 2 25 2 25 4 21

άρα 2ΑΓ 21

Εφαρμόζουμε Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (με 0Α 90 ) :

2 2 2 2 2 2ΒΓ ΑΓ ΑΒ ΑΒ ΒΓ ΑΓ

άρα 2 2ΑΒ 7 21 49 21 28 ΑΒ 28 ΑΒ 2 7

ΑΣΚΗΣΗ (4_19684)

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, ισχύουν ότι

ΑΒ = 6, ΑΓ = 8 και το ΑΔ είναι το ύψος του προς την υποτείνουσα ΒΓ.

α) Να αποδείξετε ότι ΒΓ = 10.

Μονάδες 6

β) Να αποδείξετε ότι ΒΔ = 3,6.

Μονάδες 6

γ) Να υπολογίσετε το μήκος του ΓΔ.



Μονάδες 6

δ) Να υπολογίσετε το μήκος του ΑΔ.

Μονάδες 7

ΛΥΣΗ

α) ) Εφαρμόζουμε πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (με 0Α 90 )

: 22 2 2 26Β 8 36 64 100Γ ΑΒ ΑΓ

άρα

ΒΓ 10

β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ από μετρικές σχέσεις , αφού 0Α 90 και ΑΔ ύψος


2 2 36ΑΒ ΒΔ ΒΓ 6 ΒΔ 10 36 ΒΔ 10 ΒΔ 3,6

10

γ) Έχουμε,

ΓΔ ΒΓ ΒΔ 10 3,6 6, 4



δ) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ από μετρικές σχέσεις , αφού 0Α 90 και ΑΔ ύψος


2 2 2 64 36 64 36 8 6ΑΔ ΓΔ ΒΔ ΑΔ 6,4 3,6 ΑΔ ΑΔ 4,8

10 10 100 10



§ 9.4 – Γενίκευση του Πυθαγορείου Θεωρήματος

ΑΣΚΗΣΗ (2_19650)

Δίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές 3 , 4 και 6 .

α) Να αποδείξετε ότι η γωνία ˆ είναι οξεία.

Μονάδες 10

β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο και να βρείτε ποια είναι η αμβλεία

γωνία του.

Μονάδες 15

ΛΥΣΗ

α) Έχουμε ότι: 2

22 2 2 2

2 22

3 916

4 1636 9 45

6 36

Επομένως,

ˆ 90

β) Αν το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο, η αμβλεία γωνία θα βρίσκεται απέναντι από την

μεγαλύτερη πλευρά, δηλαδή την β.

Παρατηρούμε ότι: 2

2 2 2

2 2

36

16 9 25

Επομένως: ˆ 90 και προφανώς το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο.

ΑΣΚΗΣΗ (2_19652)

Δίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές 4 , 4 και 7 .

α) Να αποδείξετε ότι η γωνία ˆ είναι οξεία.

Μονάδες 10

β) Να χαρακτηρίσετε τις υπόλοιπες γωνίες του τριγώνου ως οξείες ή αμβλείες. Για τι

τρίγωνο πρόκειται (οξυγώνιο, αμβλυγώνιο ή ορθογώνιο);

Μονάδες 15

ΛΥΣΗ

α) Έχουμε ότι: 2

22 2 2 2

2 22

4 1616

4 1649 16 65

7 49

Επομένως,

ˆ 90



β) Παρατηρούμε ότι: 2

2 2 2

2 2

49

16 16 32

Επομένως: ˆ 90 και προφανώς ˆ 90 (κάθε τρίγωνο έχει το πολύ μία αμβλεία

γωνία, ενώ οι υπόλοιπες δύο γωνίες είναι οξείες)

Τελικά τι τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο.

ΑΣΚΗΣΗ (2_19653)

Δίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές με μήκη 5 , 4 και 3 .

α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και να βρείτε ποια πλευρά είναι η

υποτείνουσά του.

Μονάδες 15

β) Να αλλάξετε το μήκος μόνο μιας από τις πλευρές του τριγώνου, ώστε το νέο

τρίγωνο που προκύπτει να είναι οξυγώνιο. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Μονάδες 10

ΛΥΣΗ

α) Παρατηρούμε ότι: 2 2

2 2 2

2 2 2 2

5 25

4 3 16 9 25

Επομένως: ˆ 90 , δηλαδή το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Η υποτείνουσα βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία Α και είναι η πλευρά α.

β) Για να μετατραπεί ένα τρίγωνο σε οξυγώνιο, θα πρέπει η μεγαλύτερη γωνία να

είναι οξεία.

Αλλάζοντας την πλευρά γ από 3 σε 4, συνεχίζει η γωνία Α να είναι η μεγαλύτερη

γωνία, αφού θα βρίσκεται απέναντι από την μεγαλύτερη πλευρά ( 5 , 4 , 4 )

και θα ισχύει: 2 2

2 2 2

2 2 2 2

5 25

4 4 16 16 32

Επομένως, το τρίγωνο είναι πλέον οξυγώνιο.

Παρατήρηση: Για 5 , 4 , 4 ισχύει η τριγωνική ανισότητα:

και συνεπώς δημιουργούν τρίγωνο!

ΑΣΚΗΣΗ (2_19655)

Δίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές με μήκη 6 , 10 και 8 .

α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και να βρείτε ποια πλευρά είναι η

υποτείνουσά του.

Μονάδες 15



β) Να αλλάξετε το μήκος μόνο μιας από τις πλευρές του τριγώνου, ώστε το νέο

τρίγωνο που προκύπτει να είναι αμβλυγώνιο. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Μονάδες 10

ΛΥΣΗ

α) Παρατηρούμε ότι: 2 2

2 2 2

2 2 2 2

10 100

6 8 36 64 100

Επομένως: ˆ 90 , δηλαδή το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Η υποτείνουσα βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία Β και είναι η πλευρά β.

β) Για να μετατραπεί ένα τρίγωνο σε αμβλυγώνιο, θα πρέπει η μεγαλύτερη γωνία να

είναι αμβλεία.

Αλλάζοντας την πλευρά β από 10 σε 11, συνεχίζει η γωνία Β να είναι η μεγαλύτερη

γωνία, αφού θα βρίσκεται απέναντι από την μεγαλύτερη πλευρά ( 6 , 11 και

8 ) και θα ισχύει:

2 22 2 2

2 2 2 2

11 121

6 8 36 64 100

Επομένως, το τρίγωνο είναι πλέον αμβλυγώνιο.

Παρατήρηση: Για 6 , 11 , 8 ισχύει η τριγωνική ανισότητα:

και συνεπώς δημιουργούν τρίγωνο!



ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

§ 8.2 – Κριτήρια Ομοιότητας

ΑΣΚΗΣΗ (4_19679)

Στο διπλανό τραπέζιο ΑΒΓΔ η ευθεία ΜΛ είναι παράλληλη στις βάσεις ΑΒ και ΔΓ

του τραπεζίου και ισχύει ότι : ΑΜ 1

ΑΔ 3

α) Να αποδείξετε ότι ΑΚ 1

ΑΓ 3 και

ΒΛ 1

ΒΓ 3

Μονάδες 8

β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΓ είναι όμοια και στη συνέχεια να

συμπληρώσετε το κενό στην ισότητα:ΑΒ ΒΓ

ΚΛ .

Μονάδες 7

γ) Αν ΑΒ = 4 και ΒΛ = 2, τότε, χρησιμοποιώντας τα προηγούμενα ερωτήματα

α) και β), να υπολογίσετε τα τμήματα i) ΒΓ και ii) ΚΛ

Μονάδες 10

ΛΥΣΗ

α) Από το θεώρημα του Θαλή για τις παράλληλες ευθείες ΑΒ║ ΜΛ║ ΔΓ που

τέμνονται από τις ευθείες ΑΔ και ΑΓ έχουμε :

ΑΚ ΑΜ

ΑΓ ΑΔ

υπόθεση

ΑΚ 1

ΑΓ 3 (1)

Όμοια από το θεώρημα του Θαλή για τις παράλληλες ευθείες ΑΒ║ ΜΛ║ ΔΓ που

τέμνονται από τις ευθείες ΑΔ και ΒΓ έχουμε:

ΒΛ ΑΚ

ΒΓ ΑΓ

1

ΒΛ 1

ΒΓ 3 (2)



β) Από τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΓ έχουμε,

ΑΓΒ ΑΓΒ ( κοινή γωνία )

ΑΒΛ ΚΛΓ ( ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των ΚΛ ║ ΑΒ που τέμνονται

από την ΒΓ )

άρα είναι όμοια, οπότε

ΑΒ ΒΓ

ΚΛ ΛΓ (3)

γ) i) Από την σχέση (2) έχουμε,

ΒΛ 1 2 1ΒΓ 2 3 ΒΓ 6

ΒΓ 3 ΒΓ 3

ii) Από την σχέση (3) έχουμε,

ΑΒ ΒΓ ΑΒ ΒΓ 4 6 4 6 8ΚΛ

ΚΛ ΛΓ ΚΛ ΒΓ ΒΛ ΚΛ 6 2 ΚΛ 4 3



§ 9.2 – Το Πυθαγόρειο Θεώρημα

ΑΣΚΗΣΗ (4_19682)

Στο διπλανό σχήμα, το τμήμα ΑΓ είναι το τριπλάσιο του ΑΒ και το τμήμα ΑΔ είναι

το τριπλάσιο του ΑΕ. Επίσης ισχύει ότι ΓΔ = 9.

α) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ΒΕ και ΓΔ είναι παράλληλες.

Μονάδες 7

β) i) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΓΔ είναι όμοια και ότι ο λόγος

ομοιότητάς τους είναι 1

3

Μονάδες 8

ii) Nα βρείτε το ΒΕ

Μονάδες 5

γ) Αν ΑΓ = 12 και ΑΕ = 5, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΕ είναι ορθογώνιο.

Μονάδες 5

ΛΥΣΗ

α) Από υπόθεση το τμήμα ΑΓ είναι το τριπλάσιο του ΑΒ άρα ΑΓ 3ΑΒ και το

τμήμα ΑΔ είναι το τριπλάσιο του ΑΕ άρα ΑΔ 3ΑΕ

Έχουμε,

ΑΒ ΑΒ

ΑΓ 3 ΑΒ

1

3 και

ΑΕ ΑΕ

ΑΔ 3 ΑΕ

1

3 άρα

ΑΒ ΑΕ

ΑΓ ΑΔ

Άρα αφού ΒΕ και ΓΔ τέμνονται από ΑΓ και ΑΔ με ΑΒ ΑΕ

ΑΓ ΑΔ τότε από αντίστροφο

θεωρήματος Θαλή έχουμε ότι : ΒΕ║ΓΔ

β) i) Από τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΓΔ έχουμε,

Α Α ( κοινή γωνία )



ΑΒΕ ΑΓΔ ( ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των ΒΕ ║ ΓΔ που τέμνονται

από την ΑΓ )

Επομένως τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΓΔ είναι όμοια και έχουν λόγο ομοιότητας :

λ= ΑΒ ΒΕ ΑΕ 1

ΑΓ ΓΔ ΑΔ 3 (1)

ii) Από σχέση (1) έχουμε:

ΑΒ ΒΕ ΑΕ 1

ΑΓ ΓΔ ΑΔ 3 ΒΕ 1

ΓΔ 3 ΒΕ 1

9 3 9

ΒΕ ΒΕ 33

γ) Από σχέση (1) έχουμε:

ΑΒ ΒΕ ΑΕ 1

ΑΓ ΓΔ ΑΔ 3 ΑΒ 1

ΑΓ 3

ΑΒ 1

12 3 ΑΒ

12

3

άρα ΑΒ = 4

Στο τρίγωνο ΑΒΕ έχουμε :

2 2ΑΕ 5 25

και

2 2 2 2ΑΒ ΒΕ 4 3 16 9 25

Άρα 2 2 2ΑΒ ΒΕ ΑΕ

Άρα από αντίστροφο Πυθαγορείου Θεωρήματος το τρίγωνο ΑΒΕ είναι ορθογώνιο με

0ΑΒΕ 90