Copyright 2007 宮田明則技術士事務所1
モールの応力円(直交三軸応力対応)
Otto Mohr の考案による応力円のおさらい。
直交三軸応力σ1, σ2,σ3が既知のとき任意の向きの平面
上の垂直応力σ、せん断応力τ を求める。
直交する2面のσ、 τから主応力を求める。
二次元問題での、最大せん断応力、最大、最小垂直応力
最大傾斜角を求める。
参考資料
湯浅亀一「材料力学」日本機械学会1952年 岡本舜三「応用力学演習」理工図書1955年
Copyright 2007 宮田明則技術士事務所2
3次元(直交3軸応力時)のσ、τ3次元用モールの応力円
360,
445,
360
2,4,8
321
321
παπαπα
σσσ
=°==°==°=
===
( )( )( )
。を求める計算図である せん断応力
、垂直応力であるとき、その面の
軸となす角が、
ある面の法線が、
が既知であり、
の応力円は主応力モール
τσγβαααα
σσσσσσ
,,,,,,,,
,,,,)(
321
321
321
orzyxorxxx
orMohrOtto
zyx
( )が求める応力である。
、標で交わる。この点の座1点
この三つの円がⅢの同心円を描くと、
を求め、円Ⅱ、円からに、
描く。同様を通る円Ⅰの同心円を
交点をなす直線と円Ⅱとのに対し
τσ
αα
α
G
QQQAA
3232
1
1
,,
'
τ
σ1σ3 σ2
60°60°45°
G
σ0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
41A
A
1C 1B
C B
1α3α 2α
1o 3o2o
1Q
2Q
3Q
円Ⅱ
円Ⅲ
円Ⅰ
2,0,
2:
2,0,
2:
2,0,
2:
213
21
312
31
321
32
321
σσσσ
σσσσ
σσσσσσσ
−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
>>
r
r
r
円Ⅲ
円Ⅱ
円Ⅰ
とする。中心、半径で描く。
Ⅲをつぎのまず、円Ⅰ、円Ⅱ、円
Copyright 2007 宮田明則技術士事務所3
1σ2σ
3σ
),,( 321 αααn
),,( 321 βββp3x
2x
1x
στ
O
1
2
3
333222
32
111111
13
21
321
coscos,coscos,
coscoscoscoscos
12,cos31,cos23123
,123
,,3
ασβασβ
ασβασβα
αα
τσ
σσσ
==
=→==
Δ=Δ=ΔΔ
Δ
ppxxpA
pApAxpAA
OAOAOpA
pp
成分から、の同様にして、力
成分は、のであるから、力
は、
の各直交成分とすると、の面積を
る。
とすせん断応力を行な成分、すなわち、
面に平の面に垂直な成分をとする。
面上の合応力をしているとき、その
の応力が作用軸にそれぞれ直交
( ) ( ) ( )
( )
( )( ) ( )( )
理すると、
等を代入して整
せん断応力は、
になるので、が
方向成分の合計の法線の
である。
質から、ここに、方向余弦の性
32
22
12
12
32
1332
22
32
22
12
2132
322
3
22
222
212
122
1
23
232
221
21
322
3222
2122
1
222
32
322
212
1
322
3222
2122
1
23
22
21
2
32
22
12
32
22
12
coscoscos1
coscoscoscos
coscos(2cos1cos
cos1coscos1cos
coscoscos
coscoscos
coscoscos
)3,2,1(coscoscos
coscoscos
1coscoscos
1coscoscos
ααα
αασσαασσ
αασσαασ
αασαασ
ασασασ
ασασασ
στ
ασασασσ
σσ
ασασασ
βββ
βββ
ααα
+=−
++
−−+
−+−=
++−
++=
−=
++=
=
++=
++=
=++
=++
p
Ani
pppp
i微小4面体の応力平衡
応力円の導出
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( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( ) ( )( )1231
22
1231
32
1231
321
2
123123
21
2213
21
2312
21
23
21
22
21
1312123
22
21
321
212
22
211221
3121
233113
2323
222332
2
1
23
22
21
321
32
22
12
322
3222
2122
1222
32
322
212
1
32
22
12
32
22
12
2223
21
22313
22
22322
21
2221
2
32
322
212
1
32
122
3132
222
3222
122
212
cos
001111
11
1111
coscoscos
coscoscos
coscoscos
coscoscos1
coscoscos3
coscoscoscoscoscos
coscoscos
coscoscoscoscoscos
σσσστσ
σσσσσσσ
σσσσσσα
σσσσσσ
σσσσσσσσσσσσσσσσσσ
σσσσσσ
σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ
σσσσσσσ
ααα
ασασαστσ
ασασασσ
ααα
ααα
τσ
αασσαασσαασστ
ασασασσ
αασσαασσαασστ
−−+
−−−
++
−−−=
−−−−=
−−−−−=−−−−==Δ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−−−
Δ=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
++=+=
++=
++=
+=
−+−+−=
++=
−+−+−=
−
pp
p
pを求めると、、、式から次に、次の
とめると、が得られる。以上をま
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( )( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) 円Ⅲとする。は最小値をとる のとき
円Ⅱとする。は最大値をとる のとき
とする。円Ⅰは最小値をとる のとき
である場合を考える。いま、
円
円
同様にして、
円
この分子は、
L
L
L
LL
LL
LL
2/0cos0
2/0cos0
2/0cos0
32
cos2
22
cos2
12
cos2
22
2222
cos
213332
1323
312222
3212
321112
2131
321
23
221
32
13232
221
22
231
22
32122
213
21
232
12
21312
232
2322
232
232
232
232322
2131
23232
2
12
σσασσσσ
σσασσσσ
σσασσσσ
σσσ
σσασσσστσσσ
σσασσσστσσσ
σσασσσστσσσ
σστσσσ
τσσσσσσσσσσ
σσσστσσσσσσα
−==→>−−
−==→<−−
−==→>−−
>>
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+−−=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+−−=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+−−=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−∴
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−=
++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
++
−
−−+++−
=
RR
RR
RR
R
R
R
Copyright 2007 宮田明則技術士事務所6
3σ
2σ
1σ
( )0,1m( )0,2m
( )0,3m
3R1R
2R
円 Ⅰ円 Ⅲ
円 Ⅱ
τ
σO
( )
( )
( )
が指定可能である。
つだけつのうちというように、
とすれば、たとえば、
るから、
の制約があまた、
含む斜線部内となる。
界をの存在範囲は、図の境したがって、
る。の境界を含む内側となⅡの存在範囲は円
のときは、大の円であるから、
は可能な最Ⅱる。円範囲は両円の外側とな
の存在のときは、
あるから、は、可能な最小の円でⅢと円Ⅰ円
234/4/,2/
1coscoscos
,
,0cos
,0cos,0cos
3
21
32
22
12
22
32
12
παπαπα
ααα
τσ
τσα
τσαα
=
==
=++
≠
≠≠
( )( )
( )( )
( )( )
を得る。これから、
との交点を示す式は、と円
に代入して円Ⅱこれを円、
、このとき、円Ⅱでは、
31
31
2
232
12
2131
13
232
132
22
cos
2cos
2
11
0cos
σσσσα
σσασσσσ
σσσσσσσ
σσσστ
α
−−
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+−−=
−−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−
−−=
=
2,
2,
2
2,
2,
221
331
232
1
213
312
321
σσσσσσ
σσσσσσ
−=
−=
−=
+=
+=
+=
RRR
mmm
主応力円 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ
Copyright 2007 宮田明則技術士事務所7
よって求められる。ジに示すように作図に
は、次ペー、の応力が既知の場合のその面
と、が定まる。
線の方向余弦から決めれば、その面の法
、物体内の面を点で交わっていないが円が
つのの円円円、を満たしていないので
左図では、
との交点から、円Ⅰと円
との交点から、同様にして、円Ⅲと円
であるが、図で、
ではとの交点円Ⅱと円
τσσσσαααααα
ααα
α
α
ασσσσ
σσσσ
σσσσα
321321321
32
22
12
12
12
1131
31
2
31
3
111
31
31
2
,,,,,,
133,2,1
1coscoscos
3
2
cos
coscos
cos1
=++
∠=
∠=
∠=→−−
=∠∴
−=
−=
==∠=∠
−−
=
FCC
EBB
DAADAA
CDCD
CACD
CDCDDCDDAA
D
2,
2,
2
2,
2,
221
331
232
1
213
312
321
σσσσσσ
σσσσσσ
−=
−=
−=
+=
+=
+=
RRR
mmm
3σ
2σ
1σ
( )0,1m( )0,2m
( )0,3m
3R1R
2R
円 Ⅰ円 Ⅲ
円 Ⅱ
τ
σO
1α1α
1α
A
A1
B1
C1
C B
D
D1
円 1
3αE
F2α
円 2 円 3
Copyright 2007 宮田明則技術士事務所8
( )。円Ⅱの上頂点である
応力は、図から、最大せんだん
を通る。と
を描くを中心とする円を通るの交点
をとり、円Ⅰとから、念のため、
ある。
の座標で、が求める二つの円の交点
を描く。を半径とする円
を引く。
から円Ⅲへとなるよう
を描く。を半径とする円
を引く。
から円Ⅱへとなるよう
とおりである。半径は、図の下に示す
心位置とⅠ、Ⅱ、Ⅲを描く。中主応力円
る。となるよう番号をつけ
2
3.7
2.6
.51.4
.3
.2,.1
212
3
31
2
21
1
11
321
σσ
α
τσ
α
α
σσσ
−=
=∠
=∠
>>
R
GoF
CC
GEo
BEBBEBDo
ADAADA
2,
2,
2
2,
2,
221
331
232
1
213
312
321
σσσσσσ
σσσσσσ
−=
−=
−=
+=
+=
+=
RRR
mmm
3σ
2σ
1σ
( )0,11 mo( )0,22 mo
( )0,33 mo
3R1R
2R
円 Ⅰ円 Ⅲ
円 Ⅱ
τ
σO
1A
A
D
円 1
B
1B
E
1α2α
G
C
1C
円 2
円 3
3α F
Copyright 2007 宮田明則技術士事務所9
( )
)(
1210
21
4cos
2cos
4cos
coscoscos
4,
2,
4
32/
222
32
22
12
321
31
下図および次ページとなっている。
このとき、
あることが分かる。
のときで
には、図から
つの円が交わるためこの点で、
同じで
半径と点である。値は円Ⅱの
るのはせん断応力が最大にな
るとき最大せん断応力を与え
=++=
++=
++
===
−
πππααα
παπαπα
σσG
2,
2,
2
2,
2,
221
331
232
1
213
312
321
σσσσσσ
σσσσσσ
−=
−=
−=
+=
+=
+=
RRR
mmm
3σ
2σ
1σ
( )0,11 mo( )0,22 mo
( )0,33 mo
3R1R
2R
円 Ⅰ円 Ⅲ
円 Ⅱ
τ
σO
1A
A
D
円 1
B
1B
E1α2α
G
C
1C
円 2
円 3
3α
F
1x2x
3x
法線 n2σ
2σ
1σ
3σ
Copyright 2007 宮田明則技術士事務所10
1x
3x
1σ
3σ
面の法線 n 2/sincos
2/cos
2/cos
4/
3333'3
332
3'3
333'3
3
σααστ
σασσ
σασ
πα
==
==
==
=
p
'3σ
'3τ
'3p
'1p
'1σ '
1τ2/sincos
2/cos
2/cos
4/
1111'1
112
1'1
111'1
1
σααστ
σασσ
σασ
πα
==
==
==
=
p
3α1α
合応力 p
( ) 2/31
'3
'1max
σστττ
−=−=
1α
3α
応力の平衡図と最大せん断応力τmax
13
12
12
32
32
12
2
3
2
1
321
2/sin
cos1cos
1coscos
0cos4/
,2/,4/
,
απαα
αα
αα
απαπαπα
σσσ
−=∴=
−=→
=+→
====
>> 引張りを正
σ
Copyright 2007 宮田明則技術士事務所11
小さい二つの応力が等価の場合
( ) ( )
が重なる。、円、円Ⅲ円
とⅡ、円は点Ⅰ以上から、円
とすると、
32)0,(
22
22
cos
2
2212
221
2212
212
122
2122
2
23
σ
σστσσσ
σστσσσ
ασστσσ
σσ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−
−=+−
=
1σ2σ
1α
σ
τ
1σ2σ
1α
σ
τ
( ) である。
のときで、値は、
最大せん断応力は、
2/
4/
21max
1
σστ
πα
−=
=
G
Copyright 2007 宮田明則技術士事務所12
大きい二つの応力が等価の場合
( ) ( )
Ⅱ上。円Ⅰの存在範囲は円
、は点Ⅲが重なる。円
、円、円Ⅱと円Ⅰ以上から、円
とすると、
=
−=+−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−
=
τσσ
ασστσσ
σστσσσ
σστσσσ
σσ
,)0,(
21cos
22
22
1
322
3122
1
2312
231
2312
231
12
21 σσ =3σ
3α
σ
τ
( ) である。
のときで、値は、
最大せん断応力は、
2/
4/
31max
3
σστ
πα
−=
=
21 σσ =3σ
3α
σ
τ
円 3
Copyright 2007 宮田明則技術士事務所13
直交三軸の応力が等しい場合
( )
である。せん断応力は
で重なる。が点円
、円Ⅲ、円、円Ⅱと円Ⅰ円
とすると、
0)0,(3
210
0
220
0123
σ
τσσ
σσσσ
=+−
===
0σσ
τ
Copyright 2007 宮田明則技術士事務所14
である。その値は、
で生じる。最大せんだん応力は、
行く方法もある。
から時計式に増加してをの代わりに
を与える。、ばそこが
円との交点をとれを所定の値にとり応力
2/4/
02
xσπβα
βατσ
α
==
ασ
τp
maxτ
β2α
σ
τ
2/xσxσ
αβ
単純応力の場合(1軸)
( )
22
2
2
22
2/2sincossinsin2/2cos1coscos
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −∴
===+===
xx
xx
xx
pp
στσσ
ασαασατασασασ
A
'A
n
αασ cosxp =
β
σ
τ
xxσ
A
'A
α
n 面A-A’の法線
p
これは、中心座標(σx/2, 0), 半径σx/2 の円である。
Copyright 2007 宮田明則技術士事務所15
平面応力の場合(2軸の主応力が既知の場合)
である。だん応力
がせん方向成分のベクトル和
面軸を含むの
である。和が垂直応力
方向成分のベクトルの
である。
とする。軸となす角をを
軸とのなす角と面の法線
τ
σ
βσασπβα
βα
',,
,
cos,cos2/
,
AAyxpp
pp
pp
yx
yx
yx
yyxx
−
===+
n
n
( )
( )B
pp
A
pp
yx
yx
yx
yx
yxyx
yx
yx
yx
yx
L
L
ασσ
τ
αβσαασ
ββσαασ
βατ
βσσσσ
σ
ασασ
ασασ
βσασ
βασ
2sin2
cossincossin
cossincossin
sinsin
2cos22
22cos1
22cos1
sincos
coscos
coscos
22
22
−=
−=
−=
−=
−+
+=
−+
+=
+=
+=
+=。式で表すと、次になる
( )( )
の円である。半径これは、中心座標
を消去すると、を応用して式から
2,0,
2
22
1sincos2
22
22
yxyx
yxyx
BA
σσσσ
σστ
σσσ
αθθ
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−
=+
x
y
xσ
yσ
n
xpα
β
σ
yp
τ
A
A’
α
β
Copyright 2007 宮田明則技術士事務所16
( )( ) 2/
2/
yx
yx
r
m
σσ
σσ
−=
+=
二次元のモールの応力円 三次元のモールの応力円との関係
2,
2,
2
2,
2,
221
331
232
1
213
312
321
σσσσσσ
σσσσσσ
−=
−=
−=
+=
+=
+=
RRR
mmm
2/,,
0,,
)(
321
321
παβααα
σσσσσσ
===
==== zyx
p 。が左図と同じ点になる上の点
青えにより円Ⅲ上図で、以下の置き換
3σ
2σ
1σ
( )0,1m( )0,2m
( )0,3m
3R1R
2R
円 Ⅰ円 Ⅲ
円 Ⅱ
τ
σO
1α3α
2αp
ααα β2 β
β
ϕ
τ
σ
yσxσ
o(m,0)
τ
σ
p
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平面応力状態の直交二面の応力から、θだけ回転した直交二面の応力を求める
の関係がある。
、進んだ位置にあり進んだ位置すなわち
だけ時計式に左上の応力円上を
が得られるのでてだけ反時計式に回転し
をについては、面の法線、または、
直交する2面、1、左下の図に示すような
''
''21
12
2
1
0
18022
2/'2'12
yxxyyxxy
yxyx
ττττ
σσσσσσ
πββ
π
+==+
+=+=+
°
+=
nn
( )
( ) ( )
( )( ){ } θ
θ
β
θβθβ
βπββ
ετσσστσ
εσσ
σε
εσεσ
θ
εσεσεσ
σ
200
''
2010
'1
'1
012
1
20
'2
20
'1
'2
'1
20
202
201
0
,
,
jxyxxyx
j
j
jj
jjj
jj
pp
p
prp
rprppp
rrprp
r
+−+=+
−+=
−=
−=+=
−=+=+=
++
+
、すなわち、
の式に代入し、これを
、の式から、上の
は、、だけ回転したこれらを
とすれば、、半径を標を
みなし、円の中心の座左上の図を複素平面と
n1(α1,β1)
n2(α2,β2) x
y
n’1(α’1,β’1)
n’2(α’2,β’2)
θ
xσ
yσxyτ
xyτ'xσ
'xyτ'
xyτ 'yσ
1
2
1‘ 2‘
1
ααα β2 2
πα +β
ϕ
τ
σ
yσxσ
o
τ
σ
1p
πβ +2
β2
2p
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( ){ }( )
( )( )( ) ( )
( )
( )( ){ }
( )( ) ( )
( )
めると、
なので、以上をまと
の式からは、、同様に、
を代入して、
''
'
00'
200
''
2020
'2
022
'22
'
'
0
0'
00'
200
''
,
2cos2sin2
2sin2cos22
2sin2cos
2cos2sin2
2sin2cos22
2/
2cos2sin
2sin2cos
yxxyyxxy
xyyx
xy
xyyxyx
xyyy
jxyyxyy
j
j
yxyx
yx
yxyxyx
x
yx
yxxxy
yxxx
jyxxxyx
jj
pp
pr
pp
jj
ττττ
θτθσσ
τ
θτθσσσσ
θτθσσσσ
ετσσστσ
εσσ
σε
θτθσσ
τ
θτθσσσσ
σ
σσσ
θτθσστ
θτθσσσσ
ετσσστσ
θ
θ
β
θ
−=−=
+−
−=
−−
−+
=
−−+=
+−+=+
−+=
−=−
+−
=
−−
++
=
+=
+−=
−−+=
+−+=+ ( ) ( )
( ) ( )
( )θτθ
σστ
θτθσσσσ
σ
θτθσσσσ
σ
2cos2sin2
2sin2cos22
2sin2cos22
'
'
'
xyyx
xy
xyyxyx
y
xyxyx
x
+−
−=
−−
−+
=
−+
+= y+
σ
τ
yσ
xσ
θ2xyτ
δoP’
( )22
2 xyyxr τ
σσ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=半径⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +0,
2yx σσ
中心
co
'xσ
'xyτ'ϕ
力を求める図。だけ回転した面での応から
が既知のとき、それ上式を利用し、
θ
τσσ xyyx ,,
R
Q
δθ2
'yσ
P
1σ2σ ( )になる。主応力
とすれば参考
になる。の対極が
。をとると
から反時計式に
を通る円を描く。
を中心にとの交点
を結ぶ。横軸
を定める。点
から、
21,2
'.4'2
.3,
.2,
,,.1
σσδθ
θ
τσσ
=
PPP
oQRQ
oQR
RQxyyx
'xyτϕ
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最大せん断応力
最大、最小垂直応力
( )22
21
21
22,
,
,,
xyyxyx
xyyx
rOo τσσσσ
σσ
σσ
τσσ
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −±
+=±=
で、その値は、図の
最小垂直応力は、が既知のとき、最大、
。せん断応力を求める図
が既知のとき、最大xyyx τσσ ,,
σ
τ
yσ xσ 22 πδθ +=
xyτδo
( )22
2 xyyxr τ
σσ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=半径⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +0,
2yx σσ
中心
co 'xyτ
R
Q
δ
1σ2σyx
xy
xyyx
GG
RQo
QRRQ
σστ
δ
πδθ
πδθ
τσσ
−=
+=∴
−=
2tan
42
22
',.3,
.2,
,,.1
のせん断応力である。
が絶対値が最大
円の上、下の頂点
を通る円を描く。
を中心にとの交点
を結ぶ。横軸
を定める。点
から、
'xyτ
2πδ +
G
G’
r
r
最大傾斜角
( ) ( )( )
( ) ( )( ) 21
21
22
2221
2
2/2/2
sin
)(
σσσσ
σστσσ
σστσσ
ϕ
ϕ
+−
=+
+−=
+
+−==
yx
xyyx
yx
xy
OooP
OPO
を引けば、ら円に接線
かに、原点とすれば、上図のようを最大値
対する角度の合応力の、面の垂線に最大傾斜角
二次元応力円の応用
傾斜角を求める図。
が既知のとき、最大xyyx τσσ ,,
σ
τ
yσ xσ
θ2
xyτδo
( )22
2122
σστσσ −
=+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −= xy
yxr半径⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +0,
2yx σσ
中心
co 'xyτ
R
Q
δ
P
1σ2σ
'xyτ
r
r
ϕ