ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Σελ.
ΠΡΟΛΟΓΟΣ 5
∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Ενότητα 1
Η έννοια του διανύσµατος 7
Πράξεις διανυσµάτων 11
Ενότητα 2
Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα 19
1η Συνθήκη παραλληλίας διανυσµάτων 19
Ενότητα 3
Συντεταγµένες στο επίπεδο 30
Μέτρο διανύσµατος 33
2η Συνθήκη παραλληλίας διανυσµάτων 34
Συντελεστής διεύθυνσης διανυσµάτων 35
Ενότητα 4
Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων 44
Προβολή διανύσµατος σε διάνυσµα 46
Ενότητα 5
Ερωτήσεις επανάληψης 61
Ασκήσεις επανάληψης 63
Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο
Ενότητα 6
Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας – Καθετότητα –
Παραλληλία ευθειών 70
Εξίσωση ευθείας 72
Ενότητα 7
Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας 84
∆ιάνυσµα παράλληλο – κάθετο σε ευθεία 85
Ενότητα 8
Απόσταση σηµείου από ευθεία 94
Εµβαδόν τριγώνου 94
Ενότητα 9
Ερωτήσεις επανάληψης 104
Ασκήσεις επανάληψης 106
ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ
Ενότητα 10
Εξισώσεις κύκλου 112
Εφαπτοµένη κύκλου 113
Ενότητα 11
Εξισώσεις παραβολής 130
Εφαπτοµένη παραβολής 132
Ενότητα 12
Εξίσωση έλλειψης 147
Εφαπτοµένη έλλειψης 150
Ενότητα 13
Εξίσωση υπερβολής 165
Ασύµπτωτες υπερβολής 167
Εφαπτοµένη υπερβολής 168
Ενότητα 14
Ερωτήσεις Επανάληψης 180
Ασκήσεις Επανάληψης 182
Ενότητα 14Β
Μεταφορά Αξόνων 186
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Ενότητα 15
Η µαθηµατική επαγωγή 192
Ενότητα 16
Ευκλείδεια διαίρεση 198
Ενότητα 17
∆ιαιρετότητα 205
Ενότητα 18
Ερωτήσεις Επανάληψης 210
Ασκήσεις Επανάληψης 210
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 212
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 223
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1999-2004 268
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Ο.Ε.Φ.Ε. 2000-2014 310
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 374
Μαθηµατικά Προσανατολισµου Β’ Λυκείου, Προλογικό Σηµείωµα
.
Πριν πέντε – έξι χρόνια ξεκίνησε η συγγραφή του βιβλίου
που κρατάς στα χέρια σου. Απευθύνεται στους µαθητές της
Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης της Β΄ Λυκείου,
«φιλτράροντας» την ύλη µέσα από εµπειρία και διδασκαλία ετών
σε φροντιστηριακά τµήµατα.
Αποτελείται από τέσσερα κεφάλαια , τα οποία χωρίζονται σε
επιµέρους ενότητες, καθεµιά από τις οποίες περιέχει:
• Ανάπτυξη της θεωρίας µε παρατηρήσεις – σχόλια
• Λυµένες ασκήσεις
• Ερωτήσεις Κατανόησης
• Άλυτες ασκήσεις
Μετά την ανάπτυξη κάθε κεφαλαίου υπάρχουν ερωτήσεις
επανάληψης και ασκήσεις επανάληψης.
Στο τέλος του βιβλίου θα βρείτε:
• Επαναληπτικές ασκήσεις όλων των κεφαλαίων (κύρια
από τον ΕΥΚΛΕΙ∆Η , το περιοδικό της Ε.Μ.Ε.), µε τις
απαντήσεις τους.
• Τις απαντήσεις όλων των Άλυτων Ασκήσεων του
βιβλίου.
• Τα θέµατα των Πανελλήνιων εξετάσεων από το 1999
έως και το 2004.
• Τα θέµατα των εξετάσεων Προσοµοίωσης της ΟΕΦΕ
από το 2002 έως και σήµερα.
Από τη θέση αυτή θα ήθελα να ευχαριστήσω τον συνάδελφο
Μαρίνο Παπαδόπουλο για την συµβολή του στις Ερωτήσεις
Κατανόησης όπως και τον φίλο Παναγιώτη Τσαούση που είχε τη
γενική ηλεκτρονική επιµέλεια του βιβλίου.
ΑΑΑννντττώώώνννηηηςςς ΜΜΜπππαααλλλάάάφφφαααςςς
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ – Α.ΜΠΑΛΑΦΑΣ - Μ.ΠΑΠΑ∆ΟΠΟΥΛΟΣ
1
Μάθηµα 1
Κεφάλαιο : ∆ιανυσµατικός Λογισµός
Θεµατικές ενότητες : 1. Η έννοια του διανύσµατος
2. Πράξεις διανυσµάτων
1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ
Ορισµός : ∆ΙΑΝΥΣΜΑ είναι το προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα µε
διατεταγµένα άκρα.
Το Α λέγεται αρχή του διανύσµατος και το Β πέρας του διανύσµατος.
Συµβολίζεται: AB→
(πολλές φορές και για πρακτικούς λόγους ένα διάνυσµα
συµβολίζεται µόνο µε ένα µικρό γράµµα: πχ. α
:
1ο. Επειδή δύο σηµεία του επιπέδου ορίζουν µοναδική ευθεία η ευθεία αυτή
ονοµάζεται Φ Ο Ρ Ε Α Σ ή ∆ Ι Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η του διανύσµατος !
2ο. Επειδή το ζεύγος των σηµείων είναι διατεταγµένο (δηλ.καθορίζεται η σειρά
των σηµείων ) µας ορίζει τη Φ Ο Ρ Α !
3ο. Το µήκος του ευθυγράµµου τµήµατος (ΑΒ) ορίζει το Μ Ε Τ Ρ Ο !, | | 0ΑΒ ≥
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ
1ο. Αν η αρχή και το πέρας του διανύσµατος συµπίπτουν τότε λέµε το διάνυσµα
είναι µηδενικό ! Γράφουµε 0ΑΒ =
2ο. Αν το ευθύγραµµο τµήµα έχει µέτρο 1 τότε λέµε το διάνυσµα µοναδιαίο
γράφουµε | | 1ΑΒ =
A
B
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ – Α.ΜΠΑΛΑΦΑΣ - Μ.ΠΑΠΑ∆ΟΠΟΥΛΟΣ
2
3ο. Αν δύο διανύσµατα έχουν την ίδια διεύθυνση τότε τα λέµε συγγραµµικά ή
παράλληλα. Αυτό σηµαίνει ότι βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία ή σε
παράλληλες ευθείες.
Συµβολίζουµε AB→
// Γ∆→
και λέµε ότι αυτά τα διανύσµατα έχουν ΙΙ∆∆ΙΙΑΑ
∆∆ ΙΙΕΕΥΥΘΘΥΥΝΝΣΣΗΗ ..
4ο. Αν έχω συγγραµµικά διανύσµατα µε την ίδια φορά τα λέµε οµόρροπα
αν έχουν αντίθετες φορές τα λέµε αντίρροπα .
γράφουµε α β↑ ↑
για τα οµόρροπα α β↑↓
για τα αντίρροπα
α β↑ ↑
α β↑↓
Το µηδενικό διάνυσµα δεν έχει συγκεκριµένη φορά και διεύθυνση!
Και γράφουµε πάντα 0
και όχι 0
A
B
Γ
∆ Α
Β
Γ
∆
Α
Β
Γ
∆
A
B
∆
Γ
Α
Β
∆
Γ
A
B
Γ
∆
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ – Α.ΜΠΑΛΑΦΑΣ - Μ.ΠΑΠΑ∆ΟΠΟΥΛΟΣ
3
Το µοναδιαίο δεν είναι 1 δηλ. δεν γράφουµε 1ΑΒ =
αλλά | | 1ΑΒ =
ΙΣΑ ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
∆ύο διανύσµατα θα τα λέµε Ι Σ Α αν έχουν και τα τρία στοιχεία τους ίσα
δηλ. διεύθυνση , φορά , µέτρο.
Συµβολίζουµε AB→
= Γ∆→
και προφανώς ισχύουν:
ΜΕΣΟ ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ
i) Αν Μ µέσο του ΑΒ τότε: AΜ→
= ΜΒ→
και αν AΜ→
= ΜΒ→
τότε το Μ είναι το µέσο του
ΑΒ
ii) Αν AΒ→
= Γ∆→
τότε το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι παραλληλόγραµµο (γιατί οι απέναντι
πλευρές του ΑΒ και Γ∆ είναι ίσες και παράλληλες).
ΑΝΤΙΘΕΤΑ ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
∆ύο µη µηδενικά διανύσµατα λέγονται ΑΝΤΙΘΕΤΑ όταν έχουν ΑΝΤΙΘΕΤΗ
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΑΙ ΙΣΑ ΜΕΤΡΑ.
Συµβολίζουµε: AΒ→
= Γ∆→
− και προφανώς ισχύει:
AB→
= Γ∆→
:
BA=∆Γ
ΑΓ Β∆
∆Β ΓΑ
=
=
Α
Β
Γ
∆
Α Μ Β
Α
Β
∆
Γ
AΒ→
= ΒΑ→
−
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ – Α.ΜΠΑΛΑΦΑΣ - Μ.ΠΑΠΑ∆ΟΠΟΥΛΟΣ
4
ΓΩΝΙΑ ∆ΥΟ ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ
Αν έχω δύο µη µηδενικά διανύσµατα µε κοινή αρχή Ο δηλ. , ΟΒα βΟΑ = =
Τη κυρτή γωνία των διευθύνσεών τους την ονοµάζω γωνία των διανυσµάτων
και γράφω :
α
[ ]( , ) 0,α β θ π= ∈
θ β
Επίσης: i) Αν α β↑↑
τότε ^
ω=0
ii) Αν α β↑↓
τότε ^
ω=π
iii) Αν α⊥β
τότε ^
ω=π/2
ΣΧΟΛΙΑ:
i) Αν κάποιο από τα α,β
είναι το µηδενικό διάνυσµα 0
τότε γωνία των α,β
µπορούµε
να θεωρήσουµε οποιαδήποτε γωνία (µε 0≤ ω≤ π).
ii) Το µηδενικό διάνυσµα 0
θεωρείται ότι είναι παράλληλο ή κάθετο µε οποιοδήποτε
άλλο διάνυσµα.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ – Α.ΜΠΑΛΑΦΑΣ - Μ.ΠΑΠΑ∆ΟΠΟΥΛΟΣ
5
2. ΠΡΑΞΕΙΣ ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ
Ι. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ
Έστω τα διανύσµατα α και β
Το άθροισµα των δύο διανυσµάτων είναι και αυτό διάνυσµα και προκύπτει µε ένα από
τους παρακάτω τρόπους:
i) (κανόνας παραλληλογράµµου –
διανύσµατα µε κοινή αρχή)
ii) (κανόνας διαδοχικών διανυσµάτων)
Βλέπουµε: ΟΑ + ΑΒ = ΟΒ= ΟΒ= ΟΒ= ΟΒ
ΣΧΟΛΙΟ: Ο β΄ τρόπος µπορεί να εφαρµοστεί και για άθροισµα παραπάνω
των 2 διανυσµάτων: π.χ.: ΑΒ
+ΒΓ
+ Γ∆
= Α∆
α
β
α + β
α + β
Ο
Α Β
α
β
β
ω
α
ω
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ – Α.ΜΠΑΛΑΦΑΣ - Μ.ΠΑΠΑ∆ΟΠΟΥΛΟΣ
6
βα
−
ΙI. ΑΦΑΙΡΕΣΗ ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ
Έστω τα διανύσµατα α και β
Η διαφορά των διανυσµάτων α και β
είναι προφανώς το άθροισµα των διανυσµάτων α
και β
− .
Ισχύει δηλαδή )β(αβα
−+=− . Έτσι :
ΠΠααρρααττήήρρηησσηη :: Αν θέλω να δω στο ίδιο σχήµα και το άθροισµα και τη διαφορά
τότε σχηµατίζω το παραλληλόγραµµο :
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ
i) αββα
+=+ (αντιµεταθετική ιδιότητα)
ii) )γβ(αγ)βα(
++=++ (προσεταιριστική ιδιότητα)
iii) αα00α
=+=+ (ουδέτερο στοιχείο)
iv) 0α)α()α(α
=+−=−+ (αντίθετο στοιχείο)
v) βαβαβα
+≤+≤− (τριγωνική ανισότητα)
Σχόλιο : Αν βαβα
+=+ τότε βα
↑↑
β
α
Ο
Α Β -β
α
α
β
α + β
α − β
Ο Α
Β Γ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ – Α.ΜΠΑΛΑΦΑΣ - Μ.ΠΑΠΑ∆ΟΠΟΥΛΟΣ
7
ενώ αν βαβα
+=− τότε βα
↑↓ και αντιστρόφως
∆ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΕΩΣ
Αν Ο είναι το σηµείο αναφοράς όλων των διανυσµάτων, διάνυσµα θέσης ή ,
διανυσµατική ακτίνα του σηµείου Μ ονοµάζουµε το διάνυσµα ΟΜ
, άρα
αναλύοντας ένα τυχαίο διάνυσµα θα έχω , ( η ΟΑ )ΑΒ = ΟΒ−ΟΑ + ΑΒ = ΟΒ
ΟΑ + ΑΒ = ΟΒ ΒΑ = ΟΒ ⇔ −ΟΑ
το οποίο µας δείχνει ότι κάθε διάνυσµα ισούται
µε την διανυσµατική ακτίνα του τέλους του
µείον την διανυσµατική ακτίνα της αρχής του.
Γενικότερα για τυχαία σηµεία του επιπέδου µπορώ να έχω :
.....ΑΚ = ΑΒ+ ΒΓ + Γ∆ + ∆Ε + ΙΚ
( το τέλος του πρώτου η αρχή του επόµενου! )
Π.χ. Σε τυχαίο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ δείξτε ότι ΑΒ− ∆Γ = Α∆ −ΒΓ
Έχω δύο τρόπους να εργασθώ :
1ος
: ΑΒ− ∆Γ = Α∆ −ΒΓ ⇔ ΑΒ + ΒΓ = Α∆ + ∆Γ ⇔ ΑΓ = ΑΓ
2ος
: Αναλύω σύµφωνα µε το διάνυσµα θέσης
ΑΒ − ∆Γ = Α∆ −ΒΓ
( ) ( ) 0 0⇔ ΟΑ −ΟΒ− Ο∆ −ΟΓ = ΟΑ −Ο∆ − ΟΒ−ΟΓ ⇔ =
Ο Α
Β
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ – Α.ΜΠΑΛΑΦΑΣ - Μ.ΠΑΠΑ∆ΟΠΟΥΛΟΣ
8
ΑΑ ΣΣ ΚΚ ΗΗ ΣΣ ΕΕ ΙΙ ΣΣ ΜΜ ΕΕ ΑΑ ΠΠ ΑΑ ΝΝ ΤΤ ΗΗ ΣΣ ΗΗ
1) Για τέσσερα τυχαία σηµεία Α,Β,Γ,∆ του επιπέδου να δείξετε ότι
ΑB + ∆Γ = ∆Β+ ΑΓ
.
ΛΥΣΗ:
Α΄ τρόπος (µε πρόσθεση – αφαίρεση διανυσµάτων)
ΑB + ∆Γ ΑΒ -ΑΓ= ∆Β+ ΑΓ ⇔ = ∆Β− ∆Γ ⇔ ΓΒ = ΓΒ
που ισχύει.
Β΄ τρόπος (µε χρήση σηµείου αναφοράς)
Α∆ + ∆Γ = ΟΒ−ΟΑ + ΟΓ −Ο∆ = ΟΒ−Ο∆ + ΟΓ −ΟΑ = ∆Β+ ΑΓ
2) ∆ίνεται σηµείο αναφοράς Ο και α,β, γ,δ
τα αντίστοιχα διανύσµατα θέσεως των
σηµείων Α, Β, Γ, και ∆. Τι συµπέρασµα βγάζετε αν:
i) α+γ β+δ=
ii) α-γ β-δ=
ΛΥΣΗ:
i) α+γ β+δ= ⇔
ΟΑ + ΟΓ ΟΑ - ΟΒ ΒΑ = ΟΒ+ Ο∆ ⇔ = Ο∆ −ΟΓ ⇔ = Γ∆
∆ηλαδή το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ έχει τις απέναντι πλευρές του ΒΓ και Γ∆ ίσες και
παράλληλες άρα είναι παραλληλόγραµµο.
ii) α-γ ΟΑ ΟΓ= − = ΓΑ
β-δ ΟΒ Ο∆= − = ∆Β
Έτσι: ΓΑ = ∆Β
. ∆ηλαδή το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ έχει ίσιες διαγώνιες.
3) ∆ίνονται διανύσµατα α,β, γ
µη µηδενικά για τα οποία ισχύουν α β
= γ3 2
=
και
α+β 5 γ=
. ∆είξτε ότι τα α,β
είναι οµόρροπα ( )α β↑↑
.
ΛΥΣΗ:
Έχουµε: α β
= γ3 2
=
έτσι α 3 γ=
και β 2 γ=
. Άρα α β 3 γ 2 γ 5 γ+ = + =
.
Αλλά επίσης α+β 5 γ=
. Έτσι α+β α β= +
, δηλαδή ( )α β↑↑
.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ – Α.ΜΠΑΛΑΦΑΣ - Μ.ΠΑΠΑ∆ΟΠΟΥΛΟΣ
9
4) Αν ισχύει ΚΒ ΑΛ ΚΛ+ =
να αποδείξετε ότι τα σηµεία Α και Β ταυτίζονται.
ΛΥΣΗ:
Έχουµε από την δοθείσα σχέση:
ΚΒ ΑΛ ΚΛ ΚΒ ΚΛ ΑΛ ΛΒ ΛΑ
ΛΒ ΛΑ 0 ΛΒ ΑΛ 0
ΑΛ ΛΒ 0 ΑΒ 0
+ = ⇔ − = − ⇔ = ⇔
⇔ − = ⇔ + = ⇔
⇔ + = ⇔ =
το οποίο µας λέει ότι τα σηµεία Α, Β ταυτίζονται.
5) Παίρνουµε παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆.
Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις:
i) Α∆ ∆Γ+
ii) Α∆ ΓΒ+
iii) Α∆ ΟΓ−
iv) ΑΒ Ο∆+
v) ∆Α ΟΓ+ + Ο∆
i) Α∆ ∆Γ ΑΓ+ =
ii) Α∆ ΓΒ Α∆ ∆Α ΑΑ 0+ = + = =
iii) Α∆ ΟΓ ΒΓ ΟΓ ΒΓ ΓΟ ΒΟ− = − = + =
iv) ΑΒ Ο∆ ∆Γ Ο∆ Ο∆ ∆Γ ΟΓ+ = + = + =
v) ∆Α ΟΓ ΓΒ ΟΓ ΟΒ Ο∆ 0+ + Ο∆ = + + Ο∆ = + =
6) Έστω τα σηµεία Κ, Λ, Μ, Ν. Βρείτε σηµείο Ρ τέτοιο ώστε: ΛΡ ΚΜ ΛΝ+ = −ΜΝ
ΛΥΣΗ:
Έχουµε διαδοχικά:
( )ΛΡ ΚΜ ΛΝ ΛΡ ΛΝ ΚΜ
ΝΡ ΚΜ ΜΝ
+ = −ΜΝ ⇔ − = − −ΜΝ ⇔
⇔ = − + ⇔ ΝΡ = −ΚΝ ⇔ ΝΡ = ΝΚ
Άρα το Ρ ταυτίζεται µε το Κ.
Ο
Α Β
Γ ∆
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ – Α.ΜΠΑΛΑΦΑΣ - Μ.ΠΑΠΑ∆ΟΠΟΥΛΟΣ
10
Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ
Σε κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις να σηµειώσετε το σωστό(Σ) ή λάθος(Λ).
1. Τα AB
και AM
είναι διαδοχικά. Σ Λ
2. Αν τα διανύσµατα ,α β
είναι αντίρροπα, τότε έχουν
την ίδια διεύθυνση. Σ Λ
3. ΒΓ −ΒΑ = ΑΓ
Σ Λ
4. α β και α = β ⇔ ↑↑ α = β
Σ Λ
5. α +β = α + β
Σ Λ
6. Αν 0α +β =
τότε τα διανύσµατα είναι αντίθετα. Σ Λ
ΕΕ ΡΡ ΩΩ ΤΤ ΗΗ ΣΣ ΕΕ ΙΙ ΣΣ ΚΚ ΑΑ ΤΤ ΑΑ ΝΝ ΟΟ ΗΗ ΣΣ ΗΗ ΣΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ – Α.ΜΠΑΛΑΦΑΣ - Μ.ΠΑΠΑ∆ΟΠΟΥΛΟΣ
11
B. ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗΣ
Αντιστοιχίστε τα στοιχεία της στήλης (Α) µε τα στοιχεία της στήλης (Β).
ΣΤΗΛΗ (Α)
ΣΤΗΛΗ (Β)
1. ΒΓ −ΒΑ
2. ΑΒ+ ΒΑ
3. ΑΒ+ ΒΑ
4. ΑΒ
5. ΑΜ +ΜΒ
6. ΑΒ + ΒΑ
7. , , 0α +β = α + β α β ≠
8. , , 0α +β = α + β α β ≠
Α. α β րւ
Β. 0
Γ. ΑΓ
∆. ΑΒ
Ε. ΒΑ
Ζ. (3, -1)
Η. α β րր
Θ. 0
Ι. 2 ΑΒ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ – Α.ΜΠΑΛΑΦΑΣ - Μ.ΠΑΠΑ∆ΟΠΟΥΛΟΣ
12
ΑΑ ΛΛ ΥΥ ΤΤ ΕΕ ΣΣ ΑΑ ΣΣ ΚΚ ΗΗ ΣΣ ΕΕ ΙΙ ΣΣ
1. Αν , β , γ , δα
οι αντίστοιχες διανυσµατικές ακτίνες των σηµείων Α , Β , Γ , ∆
τι συµπεράσµατα βγάζετε για το ΑΒΓ∆ αν ισχύουν
(1) |α | | | (2) α και |α | | |γ β δ γ β δ γ β δ− = − + = + − = −
2. Αν για δύο τρίγωνα ΑΒΓ , Α∆Ε ισχύει ΑΒ+ ΑΓ = Α∆ + ΑΕ
να δείξετε ότι το
Β∆ΓΕ είναι παραλ/µο
3. ∆ίνονται τα σηµεία Α, Β Γ , ∆ και Ο το µέσο του ΑΓ. ∆είξτε ότι ισχύει
ΟΒ+ Ο∆ = ΑΒ− ∆Γ
4. ∆ίνεται κανονικό εξάγωνο ΑΒΓ∆ΕΖ και , ΒΓα βΑΒ = =
να εκφράσετε το
διάνυσµα Γ∆
ως συνάρτηση των , βα
5. ∆ίνονται τα παραλ/µα ΑΒΓ∆ και ΑΒΓ΄∆΄ .∆είξτε ότι και το ∆ΓΓ΄∆΄ παραλ/µο.
6. ∆ίνονται τα σηµεία Α , Β , Γ , ∆ .Να συγκριθούν τα διανύσµατα
και ψχ = ΑΒ+ ∆Γ = ΑΓ + ∆Β
(δηµιουργήστε τη διαφορά)
7. Αν για τα σηµεία ισχύει η σχέση : ΑΒ+ ΓΑ = ΚΒ+ ΓΛ
να δείξετε ότι
τα σηµεία Κ , Λ ταυτίζονται .
8. ∆ίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ∆ και Μ , Ν τα µέσα των πλευρών Α∆ , ΒΓ
αντίστοιχα .∆είξτε ότι ΜΝ = ΑΜ + ΝΓ
9. Αν για τα σηµεία Α , Β , Γ ισχύει ότι 2 | | 3 | | 6 | |ΑΒ = ΒΓ = ΑΓ
δειξτε ότι τα σηµεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά .
10. ∆ίνονται τα σηµεία Κ, Λ, Μ, Ν τέτοια ώστε: ΚΛ − ΝΛ = ΝΜ −ΚΜ
. Να αποδείξετε
ότι τα σηµεία Κ και Ν ταυτίζονται.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ – Α.ΜΠΑΛΑΦΑΣ - Μ.ΠΑΠΑ∆ΟΠΟΥΛΟΣ
13
11. Αν ΑΒΓ τυχαίο τρίγωνο να δείξετε ότι 0ΑΒ+ ΒΓ + ΓΑ =
.
12. ∆ίνονται τα σηµεία Α,Β,Γ, και τα σηµεία ∆,Ε τέτοια ώστε και Γ∆ = ΒΑ ΕΒ = ΑΓ
.
Να αποδείξετε ότι το Α είναι µέσο του ∆Ε.
13. ∆ίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και το ύψος του Α∆. Υπολογίστε τις γωνίες:
( ) ( ) ( ) ( )i) ,A ii) ,B iii) ,Β iv) , A∆ ΑΒ Γ ΑΒ Γ ΑΓ Γ ΑΒ
14. Υπολογίστε τα αθροίσµατα:
i) ΛΝ+ΜΟ+ΝΜ
ii) ΚΙ-ΚΜ+ΛΜ
iii) ΛM-KM-ΛΟ
iv) AK KB+AΝ BΝ
v) OK AΛ ΚΛ ΑΚ
− −
+ − −
15. ∆ίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. BA α, ΓΑ β και BΓ γ= = =
Συµπληρώστε τα κενά:
( )( )
i) α+β=
ii) ΒΜ+ΓΜ =
iii) ΜΒ ΑΓ
iv) β, α
v) ΜΑ, -β
+ =
− =
γ
α
β
A
B Γ Μ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ – Α.ΜΠΑΛΑΦΑΣ - Μ.ΠΑΠΑ∆ΟΠΟΥΛΟΣ
14
16. Συµπληρώστε τα κενά: µε το ΑΒΓ∆ παραλληλόγραµµο
( )( )
i) ΓΑ, ΑΒ =
ii) ∆Γ,ΓΒ =
iii) ∆Α ∆Γ
iv) ∆Ο .... Ο
v) ∆Β Α∆
+ =
+ =
+ =
17. ∆ίνονται τα τρίγωνα ΑΒΓ και ∆ΕΖ. Να αποδείξετε ότι:
Α∆ ΒΕ ΓΖ ΑΕ +ΒΖ Γ∆ + + = +
18. ∆ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ και σηµεία Ε και Ζ τέτοια ώστε ΑΕ ΖΓ =
. Να
δείξετε ότι το ΕΒΖ∆ είναι παραλληλόγραµµο.
19. ∆ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ και Κ τυχαίο σηµείο. Να δείξετε ότι:
i) ∆Α ΒΚ ΓΚ ii) ΑΚ +ΓΚ ∆Κ+ ΒΚ + = =
20. Αν α 1 και β 4 = =
, να αποδείξετε ότι: 3 α β 5 ≤ − ≤
A Β
∆ Γ
40 50
70