ELASTICIDADE
Pela simetria verifica-se que o princípio de conservação de Momentum angular se verifica.
Como div T( ) 0= o campo é admissível , isto é a condição de conservação domomentum linera se verifica, se o corpo não estiver submetido acargas de corpo.
Além disto é necessário verificar as condiões de equilíbrio na fronteira do corpo.
(2) Um processo de carregamento sucessivo produz em um ponto de um corpo os seguintes estados de tensão.
(a) Se estes estados de tensão são combinados, qual as direções principais de tensão e o valor destas tensões.
(b) Considerando um material elástico, linear e isotrópico, calcule as compo-nentes de deformações, em relação ao sistema cartesiano ( x,y,z), asso-ciadas a este estado de tensão,
450
6000 N
6000 N
+ x x
8000 N
8000 N
600
Caso1
σx1 3000 σy1 3000 σxy1 3000
Caso 2
σx2 8000 sin 60 deg( )2 σx2 6 103
σy2 8000 sin 30deg( )2 σy2 2 103
σxy28000
2sin 120 deg( ) σxy2 3.464 103
Estado finalσx σx1 σx2 σx 3 103
σy σy1 σy2 σy 1 103
σxy σxy1 σxy2 σxy 6.464 103
σ1σx σy
2
σx σy
2
2
σxy2
σ1 7.766 103
σ2σx σy
2
σx σy
2
2
σxy2
σ2 5.766 103
Direção entre a direção x e a direção 1
θ1x12
atan2 σxy
σx σy
θ1x 36.404 deg
Rσx σy
2
2
σxy2
σmσx σy
2 θ 0
π100 π
σθ( ) σm R cos 2 θ( ) τθ( ) R sin 2θ( )
Y X( )σxy
σx σmσm X X σy σy 1 σx
1 104 5 103 0 5 103 1 1041 104
5 103
0
5 103
1 104
Circulo de MohrXYxy
σ2 σ1
7766
5766
36
(b) Deformações
Estado Plano de deformação σz 0=
εx1Eσx νσy = εy
1Eσy νσx = εz
νEσx σy =
σxz σyz= 0= εxy1 ν( ) σxy
E=
(2) Um tubo com diâmetro externo Re três vezes maior que o diâmetro interno Ri é composto de um tubo externo de aço de diâmetro interno ro=2 Ri-D e um tubo interno de diâmetro de diâmetro externo r1=2Ri+ D ajustado com interferência no tubo externo. Considerando estado plano de deformação,
(a) Calcule as tensões internas oriundas da montagem. (b) Calcule as tensões devidas a pressão interna e, com base no Critério de
Tresca, determine a pressão limite elástico para o tubo composto e o tubo homogêneo.
Re
Ri
r
Re32
Ri= ro RiΔ2
= ri RiΔ2
=
(a) Cinemática ue Ri ui Ri Δ=
εzz εrz= εθz= 0=Estado plano de deformação
Simetria de Revolução: u r( )
εrr ru r( )d
d= εθθ
u r( )r
=
(b) Constitutiva
σzz λ εrr εθθ =
σrr 2 µ εrr λεθθ εrr =
σθθ 2 µ εθθ λεθθ εrr =
(c) Equilíbrio
rσrr
dd
σrr σθθ
r 0=
Solução com pressão nula:
σrr σθθ 2 µru r( )d
dur
= 2 µ rr
u r( )r
dd
= εθθ εrrru r( )d
dur
= 1r r
u r( ) r( )dd
=
rσrr
dd
2 µ 2ru r( )d
d
2 λ
r1r r
u r( ) r( )dd
dd=
Substituindo na equação do equilíbrio:
2 µ 2ru r( )d
d
2 λ
r1r r
u r( ) r( )dd
dd 2 µ
ru r( )
rdd
0=
2 µr r
u r( )dd
u r( )r
dd
λr
1r r
u r( ) r( )dd
dd 0=
2 µr
1r r
u r( ) r( )dd
dd λ
r1r r
u r( ) r( )dd
dd 0= ou
1r r
u r( ) r( )dd D1=
ru r( ) r( )d
dD1 r=
u r( ) D1r2
D2r
=ru r( )d
d12
D1D2
r2=
σrr 2 µ λ( )ru r( )d
d
λur
= σrr 2 µ λ( )12
D1D2
r2
λ D112
D2
r2
=
σrr 2 µD2
r2 µ λ( ) D1= u r( ) D1
r2
D2r
=
Condições de Contorno e cinemática
σrriRi2
0= σrI1 Ri σrre Ri = σrr2 Re 0=
ue Ri ui Ri Δ=
σrri 8 µD2i
Ri2
µ λ( ) D1i= 0= D1i8µ
µ λ( )
D2i
Ri2
=
σrre 8 µD2e
9R.i2 µ λ( ) D1e= 0= D1e
8µµ λ( )
D2e
9R.i2=
σrri 2 µD2i
r2 µ λ( )
8µµ λ( )
D2i
Ri2
= σrri2 D2i µ
Ri2
4Ri
2
r2
=
σrre 2 µD2e
r2 µ λ( )
8µµ λ( )
D2e
9R.i2
= σrre2D2e µ
9R.i24
9R.i2
r2
=
2 D2i µ
Ri2
4Ri
2
Ri2
2D2e µ
9 Ri2
4
9 Ri2
Ri2
= D2i5 D2e
27=
σrri10 D2e µ
27Ri2
4Ri
2
r2
= σrre2D2e µ
9R.i24
9R.i2
r2
=
u r( ) D1r2
D2r
=ui r( )
D2i
Ri2
r4µ
µ λ( )
Ri2
r2
=
ue r( )D2e
9 Ri2
r
4µµ λ( )
9 Ri2
r2
=ui r( )5D2e
27R.i2 r
4µµ λ( )
Ri2
r2
=
ue Ri ui Ri Δ=
D2e9
4µµ λ( )
9
5D2e
274µ
µ λ( )1
ΔRi= D2e27 µ λ( ) Δ Ri
32 2µ λ( )=
D1i5 µΔ
4 Ri 2µ λ( )= D1e
3µ4 2µ λ( )
ΔRi=D2i
5 µ λ( ) Δ Ri
32 2µ λ( )=
σrri5 µ µ λ( ) Δ16 Ri 2µ λ( )
4Ri
2
r2
= σrre3 µ µ λ( ) Δ16 Ri 2µ λ( )
49R.i2
r2
=
σθθ µ λ( ) D12 µ D2
r2=
σθθi µ λ( )5 µ Δ
4 2µ λ( ) Ri
2 µ5 µ λ( ) Δ Ri
32 2µ λ( )
r2=
σθθi5 µ Δ µ λ( )
16 Ri 2µ λ( ) 4
Ri2
r2
= σθθe3 µ µ λ( ) Δ16 Ri 2µ λ( )
49R.i2
r2
=
σzz λ εrr εθθ =λσrr σθθ
2 µ λ( )=
σzzi5 µ λ Δ
4 Ri 2µ λ( )= σzze
3 µ λ Δ4 Ri 2µ λ( )
=
Adimensionais
ρ2rRi
= ρ 1 1.01 3
Σ σ2 Ri
Δ
2µ λ( )µ µ λ( )[ ]
=
Σrr ρ( ) if ρ 252
11
ρ2
32
19
ρ2
Σθθρ( ) if ρ 252
11
ρ2
32
19
ρ2
ν 0.3
Σzz ρ( ) if ρ 252
ν32ν
1 1.5 2 2.5 36
4
2
0
2
4
6
Σrr ρ( )
Σθθρ( )
Σzz ρ( )
ρ
Solução do cilindro com pressão interna sem interferencia
σrr 2 µD2
r2 µ λ( ) D1= σθθ µ λ( ) D1
2 µ D2
r2=
σrrRi2
p= 8 µD2
Ri2
µ λ( ) D1 p=
σrr32
Ri
0= 8 µD2
9 Ri2
µ λ( ) D1 0= D1
8 D2 µ
9 Ri2
µ λ( )=
D1p
8 µ λ( )=8 µ
D2
Ri2
µ λ( ) D1 p= D29 Ri
2 p
64 µ=
µ λ( )µ
1 2 ν= λ
2νµ1 2 ν
=σrrp32
9 Ri
2
r24
= σθθp32
9 Ri2
r24
=
2 µ λ( )2 µ 1 ν( )
1 2 ν= µ µ λ( )
2 µ λ( )µ
2 ν 1( )=
Pressão interna mais montagem com interferência:
σrri5 µ µ λ( ) Δ16Ri 2µ λ( )
4Ri
2
r2
p32
9 Ri2
r24
= σθθi5 µ Δ µ λ( )
16 Ri 2 µ λ( ) 4
Ri2
r2
p32
9 Ri2
r24
=
σrre3µ µ λ( ) Δ16 Ri 2µ λ( )
49R.i2
r2
p32
9 Ri2
r24
= σθθe3 µ Δ µ λ( )
16 Ri 2 µ λ( )4
9R.i2
r2
p32
9 Ri2
r24
=
σrrip8
5 µ Δ4Ri 1 ν( )
932
p5 µ Δ
16 Ri 1 ν( )
Ri2
r2= σθθi
p8
5 µ Δ4Ri 1 ν( )
932
p5 µ Δ
16 Ri 1 ν( )
=
σrrep8
3 µ Δ4Ri 1 ν( )
p32
3 µ Δ16 Ri 1 ν( )
9 Ri2
r2= σθθe
p8
3 µ Δ4Ri 1 ν( )
p32
3 µ Δ16 Ri 1 ν( )
9 Ri2
r2=
Σσp
=θ 0π20
π2
Sem interferência:
Σrrs ρ( )18
9
ρ21
Σθθs ρ( )18
9
ρ21
Com interferência
εEΔ
Ri p 1 ν2
=
Σrri ρε( )18
58ε
98
58ε
1
ρ2
Σθθi ρε( )18
58ε
98
58ε
1
ρ2
Σθθe ρε( )18
38ε
18
38ε
9
ρ2Σrre ρε( )
18
38ε
18
38ε
9
ρ2
Σθθc ρε( ) if ρ 2 Σθθi ρε( ) Σθθe ρε( ) Σrrc ρε( ) if ρ 2 Σrri ρε( ) Σrre ρε( )
1 1.5 2 2.5 33
2
1
Sigma rSigma r - epsi=1Sigma r - epsi=3Sigma r - epsi=5
01 2
1 1.5 2 2.5 35
0
5
10
Sigma tetaSigma teta - epsi=1Sigma teta - epsi=3Sigma teta - epsi=5
0
1 2
1 1.5 2 2.5 30
2
4
6
8
10
TrescaTresca - epsi=1Tresca - epsi=3Tresca - epsi=5
0
1 2
Sem interferência : τs ρ( ) Σθθs ρ( ) Σrrs ρ( ) τsc ρε( ) Σθθc ρε( ) Σrrc ρε( )
ρ 4
Given
1 ρ 3
ρmax Maximize τs ρ ρmax 1 τs ρmax 2.25
ε 1.8
ρMaxc ε( ) Maximize τsc ρ ρMaxc ε( ) 2 τsc ρMaxc ε( ) ε 3.6
αPlimeσY
1τs
= αs1
τs ρmax
αs 0.444
αsc1
τsc ρMaxc ε( ) ε
αsc 0.278
(1) Uma viga (b=1) é carregada na sua extremidade livre por uma carga distribu-ída p(y,z). Assumindo estado plano de tensão, utilize as funções de tensão de Airy para determinar a distribuição de tensões na viga .Plote os resulta-dos no engaste. Compare estes resultados com os obtidos pela teoria de vi-ga de Euler.
h/2
h/2 P
R
x
y
L
M
p y z( )3 P
2 b h1 4
y2
h2
=A
Ap y z( )
d P=
Condições de Contorno:
σyy xh
2
0= σyy xh2
0= σxx L y( ) 0=
σxy xh
2
0= σxy xh2
0= σxy L y( )3 P
2 b h1 4
y2
h2
=
h
2
h
2ybσxy L y( )
d P=h
2
h
2ybσxy 0 y( )
d P=
h
2
h
2ybσxx L y( ) y
d 0=
h
2
h
2ybσxx 0 y( ) y
d P L=
O momento em cada seção deve satisfazer acondição:
h
2
h
2ybσxx x y( ) y
d M x( )=
σxx 2yϕx y( )d
d
2= σyy 2x
ϕx y( )d
d
2= σxy x y
ϕx y( )
=
ϕ3 x y( ) a2 x2 b2 x y c2 y2
a3 x3 b3 x2
y c3 x y2 d3 y3
=
ϕ4 x y( ) a4 x4 b4 x3
y c4 x2 y2
d4 x y3 e4 y4
=
ϕ5 x y( ) a5 x5 b5 x4
y c5 x3 y2
d5 x2 y3
e5 xy4 f5 y5
=
Pela condição de simetria de
σyy xh2
σyy x
h2
= 0= então Φ deve conter termos pares em y
dϕxx 6 a3 x 12 a4 x2 2 c4 y2
20 a5 x3 6 c5 x y2
=
dϕxy b2 2 c3 y 3 d4 y2 4 c4 x y 6 c5 x2
y 4 e5 y3=
dϕyy 2 c2 2 c3 x 6 d3 y 2 c4 x2 6 d4 x y 12 e4 y2
2 c5 x3 12 e5 x y2
=
Para satisfazer ∇4=0 algumas restrições devem ser impostas aos coeficentes, por exemplo:
Para ϕ4 x y( )
2 2x 2yϕx y( )d
d
2d
d
2
8 c4 24 c5 x=4xϕx y( )d
d
424 a4 120 a5 x= 4y
ϕx y( )d
d
424 e4 24 e5 x=
24a4 24e4 8c4 0= e4 a4c43
=
120 a5 24 e5 24 c5 0= e5 5 a5 c5 =
σyy xh2
σyy x
h2
= 0=
σyy xh2
3 c5 h2 x
2
c4 h2
2 20 a5 x3
12 a4 x2 6 a3 x= 0=
3 c5 h2
26.a3 0= c4 0= a5 0= a4 0=
e4 a4= e5 c5= a3c5 h2
4=
σyy3 c5 h2
2x 6 c5 x y2
=
σxy b2 2 c3 y 3 d4 y2 6 c5 x2
y 4 c5 y3
=
σxx 2 c2 2 c3 x 6 d3 y 6 d4 x y 2 c5 x3 12 c5 x y2
=
σxy L y( )3 P
2 b h 1 4
y2
h2
= c5 0= c3 0= b23 P
2 b h= d4
2 P
b h3
=
σyy 0=
σxy3 P
2 b h6 P
b h3
y2
=3 P
2 b h 1 4
y2
h2
=
σxx 2 c2 6 d3 y12 P
b h3
x y=
σxx L y( ) 0= 2 c2 6 d3 y12 P
b h3
L y 0= c2 0=
d32PL
b h3
=
σxx 62PL
b h3
y12 P
b h3
x y= σxx12P L
b h3
y 1xL
=
b
h
2
h
2y
3 P2 b h
1 4y2
h2
d simplify P ok!
b
h
2
h
2y
12P L
b h3
y 1xL
d simplify 0 ok!
b
h
2
h
2y
12P L
b h3
y2 1
xL
d simplify P L x( ) M x( ) P L x( )[ ]= ok!
Coincide com a solução analítica, exceto pela tensão de cisalhamento que é nula na teoria de viga.
Σσb h
P= ξ
xL
= η2yh
=Representação gráfica no engaste x=0
Σxy η( )32
1 η2 ε
hL
=Σxx ξη ε( )6εη 1 ξ( )
η 1 0.999 1 ξ 0 0.01 1
1 103 500 0 500 1 1031
0.5
0
0.5
1Tensões: h/L=0.01
η
η
Σxy η( ) Σxx 0 η 0.01( )
10 5 0 5 101
0.5
0
0.5
1Tensões: h/L=1
η
η
Σxy η( ) Σxx 0 η 1( )
ε 0.01 Σξη( )12
ε2η 1 ξ( )
ξlow 0 ξhigh 1 ηlowε
2 ηhigh
ε2
ξn 100 ηn 100
Xτ CreateMesh Σξlow ξhigh ηlow ηhigh ξn ηn
Xτ
ε 1 Σξη( )12
ε2η 1 ξ( )
ξlow 0 ξhigh 1 ηlowε
2 ηhigh
ε2
ξn 100 ηn 100
Xτ CreateMesh Σξlow ξhigh ηlow ηhigh ξn ηn
Xτ
Eν
1 ν2
λ2νµ
1 2 ν=
Ri2
r2
2