301. Jika 10,,, =+++> dcbadandcba . Buktikan 161111 ≥+++dcba
Jawab :
164414
41111
11111111≥+++⇔
+++≥⇒
+++≥+++
dcbadcbadcba
dcba
302. Jika a, b, c dan d adalah bilangan-bilangan real positif, tunjukkan bahwa
4≥+++ad
dc
cb
ba
Jawab :
414
...4
4 ≥+++⇔≥+++
⇔≥+++
ad
dc
cb
baa
ddc
cb
ba
ad
dc
cb
baa
ddc
cb
ba
303. Diketahui akar-akar persamaan 0543 23 =++− xxx adalah a, b dan c. Tentukan nilai 333 cba ++
Jawab :
( ) ( )
543543543
543054314.232
414
313
23
23
23
2323
22222
−−=−−=
−−=−−=⇔=++−
=−=++−++=++
===++
=−−=−=++
cccbbbaaa
xxxxxxbcacabcbacba
acbcacab
abcba
+( ) ( ) 24153.41.31543 222333 −=−−=−++−++=++ cbacbacba
304. Diketahui akar-akar persamaan 08 234 =+−+− cbxaxxx membentuk barisan aritmetika dengan beda 2. Tentukan nilai a, b dan c !Jawab :Misal akar-akar persamaan : 6,4,2, 4321 +=+=+== pxpxpxpx
( ) ( ) ( )
ccxxxxbbbxxxxxxxxxxxx
aaaxxxxxxxxxxxxxxxxMaka
pppppxxxx
=−⇒=−=⇔=+−−−⇒=+++
=⇔=+++−−−⇒=+++++===−=
−=⇔=++++++⇒=+++
158151553
1415535315,3,1,1
186428
4321
432431421321
434232413121
4321
4321
305. Diketahui βα dan merupakan dua akar persamaan 013 =+− xx . Tunjukkan bahwa α β merupakan akar-akar persamaan 0123 =−+ xx Jawab :Misal akar-akar persamaan 013 =+− xx adalah γβα dan, maka :
( )
( ) 0111
:)1()2(
)2.......(11
)1.....(11
0
22
2
=−+⇔−=
−
=⇔=
−=−⇒−=++⇔=++
−=+⇒=−=++
α βα βα β
α β
α βγα β γ
γα ββαγα ββ γα γα β
γβαγβα
keSubstitusi
ac
ab
Jadi α β merupakan akar-akar persamaan 0123 =−+ xx
306. Tentukan 2222 dcba +++ jika
178583818
176563616
174543414
172523212
22
2
22
2
22
2
22
2
22
2
22
2
22
2
22
2
22
2
22
2
22
2
22
2
22
2
22
2
22
2
22
2
=−
+−
+−
+−
=−
+−
+−
+−
=−
+−
+−
+−
=−
+−
+−
+−
dcba
dcba
dcba
dcba
Jawab :
Sistem persamaan di atas memenuhi persamaan 17531 2
2
2
2
2
2
2
2
=−
+−
+−
+− x
dxc
xb
xa
dengan akar-akar 24
23
22
21 86,4,2 ==== xdanxxx .
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )
( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )
3675318642
0.......75310531731
7517537531
7531531731751753
2222
222222222222
4321
3222222224
22222222
222222222222
22222222
222222222222
=+++
+++++++=+++
−=+++
=++++++++−=−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−
−−−−=−−−+−−−+−−−+−−−
dcbadcba
abxxxx
xdcbaxxxxdxxxc
xxxbxxxaxxxx
xxxxxxxdxxxcxxxbxxxa
307. Diketahui a, b dan c bilangan real positif. Buktikan bahwa ( )cbaabcaccbba ++≥++ 222222
Jawab :
( )cbaabcbcaabcacb
cbabaccab
accbbaaccbbaaccbba
++≥++≥
+++++=
+++++=++
)2()2()2(
)()()(
)()(
2212
212
21
22221222
21222
21
22222221222222
21222222
308. Diketahui a, b dan c bilangan real positif dan a+b+c = 1. Tunjukkan bahwa
31≤++ acbcab
Jawab :( )
bccbaccaabba
bcacabcbabcacabcba
cba
222
)1.......(22211222
1
22
22
22
222
222
2
≥+≥+≥+
−−−=++=+++++
=++
+( )
312221)1(
2222 222222
≤++⇔++≥−−−⇒
++≥++⇒++≥++
bcacabbcacabbcacabDari
bcacabcbabcacabcba
309. Jika a, b, c dan d bilangan positif, maka tunjukkan bahwa ( ) ( ) cdabdbca +≥++Jawab :
( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) cdabdbca
cdabdbca
abcdcdabdbca
Daribcadcdabdbca
abcdbcadbcad
+≥++
+≥++
++≥++
+++=++≥+⇔≥−
2
2
2
:)1(
)1......(20
310. Jika a dan b bilangan real positif, tunjukkan bahwa 333
22
+≥+ baba
Jawab :( ) ( ) ( )
( )333
333
223333
332233
22332233
22
22
8:44
3344
)(3333
000
+≥+
+≥+
+++≥+
+++≥+
+≥+⇔≥−−+≥−+⇒≥−
baba
baba
abbababa
baabbaba
abbabaabbababababa
311. Diketahui x, y dan z adalah bilangan real positif sedemikian hingga x+y+z = 1. Buktikan bahwa ( ) ( ) ( ) xyzxzzxzyyzyxxy 4222 ≥+++++Jawab :
xyzxyzzxyyzxxyzyzxzxyxyzxyzzxyyzxyzxzxy
xyzxyzzxyyzxyzxzxy
zyx
zyx
zyx
zyx
zyxzyxzyx
4610
10
10
101
93313
3
222
222
222
111
111
111111111
≥+++−++≥+++++
≥+++++
≥+++++
≥+++
≥++⇔++
≥⇒++
≥++
( ) ( ) ( ) xyzxzzxzyyzyxxy 4222 ≥+++++
312. Diketahui a, b dan c bilangan positif dan (1+a) (1+b) (1+c) = 8. Buktikan bahwa 1≤abcJawab :(1+a) (1+b) (1+c) = 81 + (a+b+c) + (ab+ac+bc) + abc
( ) ( )( )( )
( )( )
11
21
81
8331
31
31
31
32
31
3
≤≤
≤+
≤+
≤+++
abcabc
abc
abc
abcabcabc
313. Diketahui a, b, c dan d bilangan real positif dan a+b+c+d = 1. Buktikan bahwa 614141414 <+++++++ dcba
Jawab :
( ) ( ) ( ) ( )
614141414
24141414144
1414141448
414141414
414141414
414141414
4141414142222
<+++++++
≤+++++++
+++++++≥
+++++++≥+++++++
+++++++≥+++++++
dcba
dcba
dcba
dcbadcba
dcbadcba
314. Tentukan bilangan real yang memenuhi sistem persamaan :( ) ( )( ) ( )( ) ( )42
42
42
131213121312
xxxzzzzyyyyx
+=+++=+++=++
Jawab :Misal zyx ≥≥ maka :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 03431
03222313121312
22
234
4242
≤++−
≤+−−−+≥++⇒+=++
yyy
yyyyyyyyyyyx
Karena ( ) ( ) 034310343 222 ≤++−>++ yyymakayy hanya dipenuhi oleh y = 1 sehingga x = 1 dan z = 1
315. Jika 11 2222 =+=+ dcdanba , tunjukkan bahwa 1≤+ bdacJawab :
bddbacca22
22
22
≥+≥+
+
12211
222222
≤++≥+
+≥+++
bdacbdac
bdacdcba
316. Jika diketahui 1222 =++ cba , buktikan bahwa - 121 ≤++≤ bcacab
Jawab :( )
)2........(12.2.2.1
)()()(
)1......(2102221
02220
21
21
21
222122
2122
21222
222
2
bcacabbcacab
cbcabacba
bcacabbcacab
bcacabcbacba
++≥++≥
+++++=++
−≥++⇔≥+++
≥+++++≥++
Dari (1) dan (2) disimpulkan bahwa : - 121 ≤++≤ bcacab
317. Tunjukkan bahwa jika a, b dan c adalah panjang sisi-sisi sebuah segitiga, maka : ( ) ( ) ( )bcacabcbabcacab ++<++≤++ 43 2
Jawab :( )
( ) ( ) ( )( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) )2.........(444
222
222...222
)1.........(333
222
222222
2
2
2222
2
2
222122
2122
21
2222
bcacabcba
bcacabbaccabcbacba
bcacabccbbaabcacabcbacba
bcacabcba
bcacabbcacabcba
bcacabcbcababcacabcbacba
++<++
++++++++<++
+++++=+++++=++
++≥++
+++++≥++
++++++++=
+++++=++
Dari (1) dan (2) disimpulkan bahwa : ( ) ( ) ( )bcacabcbabcacab ++<++≤++ 43 2
318. Buktikan bahwa 101
10099.......
65.
43.
21 <
Jawab :
Misal P = 10099.......
65.
43.
21
dan Q = 9998.......
76.
54.
32
maka :
PQ = 1001
10099.
9998.........
43.
32.
21 =
101
100122
<
<⇔<⇒<
P
PPQPQP
101
10099.......
65.
43.
21 <
Catatan :Bentuk umum persamaan polinom berderajat n adalah :
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
n
nn
n
nnn
n
nn
nnn
nnn
nn
n
n
nn
n
n
nn
n
nn
nn
nn
nn
aaxxxx
aaxxxxxx
aaxxx
didapatDari
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
makapolinompersamaanakarakarxxxJikaaax
aax
aax
aax
axaxaxaxa
0321
213121
121
212
131211
21
321
21
012211
012
21
1
)1(.........
........
.......
.......
:)3(&)2()3.(..........
0....)1(...................
0.........:,,......,,
)2........(0......
)1........(0........
−=
=+++
−=+++
=−+++++++++−
=−−−−−
=+++++
=+++++
−−
−
−−
−
−−−−
−−
−−
319. Diketahui 321 ,, xxx merupakan akar-akar persamaan 0132 23 =+−− xxx . Tentukan nilai
321
111xxx
++
Jawab :
212111
111)1(
212)1(
321
323121
321
3
333321
3
232323121
=−−=++=++
−=−=−=
−=−=−=++
−
−
xxxxxxxxx
xxx
aaxxx
aaxxxxxx
320. Akar-akar persamaan 014 23 =++− qpxxx merupakan deret geometri dengan rasio 2. Tentukan nilai p dan q yang memenuhi !Jawab :Misal akar-akar tersebut adalah axaxax 4,2, 321 ===
648.4.2
56321681
8,4,2
2144214114
321
323121
321
321
−=⇔−=⇒−=
=⇔=++⇒=++
===
=⇔=++⇒=−−=++
qqqxxx
pppxxxxxx
xxxBerarti
aaaaxxx
321. Jika βα dan akar-akar persamaan ( )Rbabaxx ∈=+− ,02 . Bentuklah persamaan
kuadrat yang akar-akarnya αβ
βα 33
dan
Jawab :
( ) ( ){ } ( )
( )
( ) 2233
22422233
222222224433
.
2422
222
b
bbbaa
bbba
bdana
==
+−=−−=+
−−+=−+=+=+
==+
α βαβ
βα
αβ
βα
α βα βα ββα
α ββαβα
α ββα
αβ
βα
α ββα
Jadi persamaan kuadrat baru yang dimaksud adalah :
( ) 024024 322422224
2 =++−−=+
+−− bxbbaabxataubxb
bbaax
322. Jika a, b dan c adalah akar-akar persamaan kubik 0532 23 =−−+ xxx . Tentukan
persamaan kubik yang ketiga akarnya c
danba
11,1
Jawab :
5211153111
515
313
212
−=++=++
−=++=++
=−−=
−=−=++
−=−=++
abccba
bcacab
abcbcacab
cba
abc
bcacab
cba
Persamaan kubik yang dimaksud adalah :
01235
051)()(
01111111
0111
23
522
533
23
=−−+
=−+−
=−
+++
++−
=
−
−
−
−−
xxx
xxx
abcx
bcacabx
cbax
cx
bx
ax
Catatan :1. Keterbagian
a habis dibagi b ditulis b/aa tidak habis dibagi b ditulis b/aSifat-sifat keterbagian :1. a/b dan b/c maka a/c2. ab/c maka a/c dan b/c3. a/b dan a/c maka a/(ax+by) dimana x,y∈ B
A. Keterbagian oleh n21. Suatu bilangan habis dibagi 2 jika angka terakhirnya habis dibagi 22. Suatu bilangan habis dibagi 4 jika 2 angka terakhirnya habis dibagi 43. Suatu bilangan habis dibagi 8 jika 3 angka terakhirnya habis dibagi 8
B. Keterbagian 3, 9, 11Misal bilangan 0121 ........ aaaaaa nnn −−=1. Bilangan a habis dibagi 3 jika ( )0121 ..... aaaaa nnn +++++ −− habis dibagi 3
2. Bilangan a habis dibagi 9 jika ( )0121 ..... aaaaa nnn +++++ −− habis dibagi 9
3. Bilangan a habis dibagi 11 jika ( )0121 ..... aaaaa nnn −−−−− −− habis dibagi 11
323. Bilangan berangka enam a1989b habis dibagi 72. Tentukan a dan b !Jawab :72 = 8 x 9 maka 8/a1989b sehingga 8/89b atau b = 6 9/a1989b sehingga 9/(a+1+9+8+9+6) atau 9/(33+a) atau a = 3
324. Tentukan semua pasangan-pasangan bilangan asli a dan b sehingga 199122 =− baJawab :(a-b)(a+b) = 1.1991 atau (a-b)(a+b) = 11.181a+b = 1991 a+b = 181a-b = 1 a-b = 11Maka a = 996 dan b = 995 maka a = 96 dan b = 85
Catatan :Bilangan Kuadrat1. Angka satuan yang mungkin untuk bilangan kuadrat adalah 0, 1, 4, 5, 6 dan 92. Setiap bilangan kuadrat dibagi 4 maka sisanya 0 atau 13. Jika p bilangan prima dan p/ 2n maka 22 / np
325. Carilah suatu bilangan kuadrat sempurna yang angka-angkanya berturut-turut adalah : k(k+1)(k+2)(3k)(k+3)
Jawab :1. Angka pertama k yang mungkin adalah 1,2,3,4,5,6,7,8,92. Angka keempat 3k yang mungkin adalah 0,1,2,3Dari (1) dan (2) maka k yang mungkin adalah 1,2,3Bilangan kuadrat yang mungkin adalah 12334, 23465 atau 3459612334 dibagi 4 sisa 2 , jadi 12334 tidak mungkin23465 dibagi 5 adalah 4693 tidak dapat lagi dibagi 5, jadi 23465 tidak mungkin34596 = 222 3132 xx merupakan bilangan kuadrat yang dimaksud.
Catatan :
Bilangan a dikatakan kongruen dengan b modulo n ditulis a ≡ b(mod n) jika a dan b memberikan sisa yang sama jika dibagi oleh n.
326. Jika a dan b kongruen modulo m, buktikan bahwa selisihnya dapat dibagi mJawab :
)/()()(mod
21
21
bammqqbarmqbdanrmqamba
−⇒−=−+=+=⇒≡
327. Buktikan bahwa ( ) )mod(nbban mm ≡+Jawab :Membuktikan bahwa ( ) )mod(nbban mm ≡+ sama artinya dengan membuktikan ada
bilangan bulat k sehingga ( ) knbban mm =−+( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ){ }kn
nbamanamana
bbbanmbanmanbbanmmm
mmmmmmm
=+++=
−++++=−+−−−
−−
121
11
.....
......
328. Tentukan angka satuan bilangan 19911997Jawab :Angka satuan 19911997 ≡ sisa pembagian 19911997 oleh 10
( )
( )( )
)10mod(3)10mod(31
)10mod(3432421
)10mod(77
)10mod(7)10mod(7
)10mod(710199
497
34974
34974
1991
1991
≡≡≡
≡
≡
≡+≡
+
xx
x
x
x
Jadi angka satuan 19911997 adalah 3.
329. Tentukan sisa 193 dibagi 14Jawab :
)14mod(3)14mod(3 16319 +≡ x
( )( )( ) )14mod(31
)14mod(31142
)14mod(33
6
6
163
x
xx
x
−≡
−≡
≡
)14mod(3319 ≡Jadi sisa pembagian 193 oleh 14 adalah 3.
330. Tentukan sisa pembagian 19903 oleh 41Jawab :
)41mod(3)41mod(3 249741990 +≡ x
( )( )( )
( ))41mod(32
)41mod(941)41mod(9
)41mod(91
)41mod(91412
)41mod(33
497
497
24974
≡−≡
−≡−≡
−≡
≡
x
xx
x
Jadi sisa pembagian 19903 oleh 41 adalah 32.
331. Tentukan bilangan empat digit abcd yang memenuhi 4x(abcd) = dcbaJawab :4x(abcd) = dcba (empat digit), maka nilai a yang mungkin adalah 1 atau 2
4x(abcd) = ……..a (bersatuan genap), maka a tidak mungkin 1.Jadi a = 2 sehingga d = 8 32bc8 4 x8cb24xb < 10 maka b yang mungkin 0,1,24xc+3 tidak mungkin bersatuan 0 atau 2, jadi b = 1Karena b = 1 maka c = 7Jadi bilangan yang dimaksud 2178.
332. Jika ditulis dalam bilangan basis 10, tentukan banyaknya angka bilangan 2516 54 xJawab :
27252525725322516 1027,1101285225254 xxxxxx ====Jadi banyaknya 28 angka
333. Tentukan banyaknya angka 0 terakhir dari 1000!Jawab : Angka satuan yang menghasilkan angka 0 adalah kelipatan 5 dikali kelipatan 2, yakni
sebanyak 2005
1000 =
Angka puluhan yang menghasilkan angka 0 sebanyak 40251000 =
Angka ratusan yang menghasilkan angka 0 sebanyak 96251000
1251000 =+
Jadi banyak angka 0 terakhir dari 1000! Adalah 200+40+8+1=249
334. Tentukan dua angka terakhir dari 12343Jawab :Dua angka terakhir 12343 = sisa pembagian 12343 oleh 100
)100mod(3)100mod(3 420651234 +≡ x
( )( )( )( )( )( )
)100mod(69)100mod(39691
)100mod(81492401
)100mod(8149
)100mod(811989
)100mod(8143
)100mod(81243
)100mod(33
51
51
1512
103
1032
206
42065
≡≡≡
≡
≡
≡
≡
≡
+
xxx
x
x
x
x
x
x
x
Jadi dua angka terakhir dari bilangan 12343 adalah 69.
335. Tunjukkan bahwa 105105 43 + habis dibagi 7Jawab :
( ) )7mod(373)7mod(43 105105105105 −+≡+( ))7mod(0
)7mod(33 105105
≡−+≡
Jadi 105105 43 + habis dibagi 7.
336. Untuk n bilangan asli, buktikan bahwa nn 53 + habis dibagi 6Jawab :
nnnnnnnnn 6)1()1(65 33 ++−=+−=+Karena (n-1)n(n+1) habis dibagi 6 dan 6n juga habis dibagi 6 maka nn 53 + habis dibagi
6.
337. Tentukan yx →
lim yx
yx
yx
yx tantan)1(1
tantan−+−
−
Jawab :
yx →lim
yxyx
yx−+
−11.
tantan1tantan
= yx →
limyxyyx
−−− ).tan(
Misal x – y = z maka :
=0
lim→z
yyzz −=−.tan
338. Tiga bilangan real a, b dan c memenuhi persamaan :(a+b)(a+b+c) = 120(b+c)(b+c+a) = 96(c+a)(c+a+b) = 72Tentukan nilai 3a + 2b + cJawab :Misal a+b+c = x maka :a+b = x–c, x+c = x-a, c+a = x-b( )( )( ) 7272
9696120120
2
2
2
=−⇔=−=−⇔=−=−⇔=−
bxxxbxaxxxaxcxxxcx
+( )
122882
28832883
2
22
2
==
=−
=++−
xx
xxcbaxx
262121223612
4961214496212012144120
2
2
=++=++=⇒=++
=⇔=−⇒=−=⇔=−⇒=−
cbaJadibcba
aaaxxcccxx
339. Persamaan 032 =+− nnxx mempunyai akar-akar α dan β . Tentukan n untuk nilai minimum 33 βα +
Jawab :
( ) ( )
min1086max00
01830'93
3
2
23333
−=⇒==⇒=
=−⇒=−=+−+=+=
==
=−=+
znzn
nnznnzMisal
nac
nab
βαα ββαβα
α β
βα
340. Tentukan jumlah n suku pertama dari deret ......32log8log2log 777 +++Jawab :
( ) ( ) 2log.4log).1(2log.2)1(2
4log28log2log8log
727721
21
7777
nnnbnanS
b
n =−+=−+=
==−=
341. Tentukan nilai dari ( )2
222
2.22.42
+
+ −tt
tt
Jawab :
3142
22.2222
22
22222
22
2242
=−=−=−+
++
+
++
t
tt
t
tt
342. Jika p dan q adalah akar-akar persamaan 0322 =+− xx , maka tentukan persamaan
kuadrat yang akar-akarnya 21
21
22 ++ qdan
pJawab :
( ) ( )
91
4491
21.
21
92
44942
424
21
21
:2
12
1
2642)(32
22
222
22
22
22
222
=+−
=++
=
=+−
+−=+++
++=+
++
=+
+=
+=
−=−=−+=+⇒=
=+
qp
qppqqp
qp
makaq
danp
Misal
pqqpqppqqp
α β
βα
βα
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya α dan β adalah :
( ) 012900 291
9222 =+−=+−⇒=++− xxatauxxxx α ββα
343. ABCD adalah bidang empat beraturan (tetrahedron) dengan panjang rusuk 4 cm. Hitung jarak antara AB dan CD !Jawab :
D D F F
C A
C E E B
( ) 22212
1224
22
22
=−=
=−==
EF
ECED
344. Tentukan persamaan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap titik (3,0) dan (-3,0) adalah 10 !Jawab :
Berupa ellips dengan persamaan 12
2
2
2
=+by
ax
11625
169253510222
2
=+
=−===⇔=yxellipsnyapersamaanJadi
bsehinggacdanaa
345. Tentukan nilai ∫ −
2
6
22 sintan
π
π θθθd
Jawab :
121sin1
sincos
sintan
2
6
2
6
2
6
222=+−=
−==
− ∫∫π
π
π
π
π
π θθ
θθ
θθθ dd
346. Polinomial derajat tiga 023 =+++ cbxaxx dengan a = b+c mempunyai akar-akar
321, xdanxx . Tentukan nilai 23
22
21 xxx ++
Jawab :
( ) ( ) ( ) babaac
abxxxxxxxxxxxx 2222 22
2
3231212
32123
22
21 −=−−=
−
−=++−++=++
= 222 )22(2)( cbcbbcb +−+=−+
347. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan bidang alas ABCD. Berapakah sudut antara diagonal AF dan BH ?Jawab :
H G H
P P E F
Q α Q D C R
A B
( )
900
22.
23.2
cos
2322
2452
422
43
21
21
2452
212
=⇒=−+
=
==
==
=+=
ααss
sss
sHBHQ
sPRPQ
sssHP
348. Berapakah umur B jika diketahui kuadrat umur A dikurangi kuadrat umur B adalah 1817 tahun ?Jawab :
( ) ( ) thBdanthABABABA 28511817181722 ==⇒=−+⇔=−
349. Berapakah radius alas kerucut dalam sebuah bola yang berjari-jari a cm agar kerucut volumenya maksimum ?Jawab :
A
t O r C x D
B
( )( ) ( )
( )( )
2
98
232
22
:
02..'
32
22
2222
22222
2233122
32
32
22212
3122
32
32
222312
31222
312
31
21
21
ax
xa
andikuadratkaxxaa
xxaxaa
xxaxxaxax
xxaxxaxaxV
xaxaxxaaxtxV
=
=
−=−
=−+−
−=−+
=−−+−+=
−+=−+==
−
−
ππππ
πππ
ππππ
350. Jika x, y dan z adalah suku ke-m, ke-n dan ke-p dari deret geometri, berapakah nilai dari pmmp yx −− .
Jawab :
( ) nmpmnmpmnppmnp zzzrx
rxxrxyx
xrzdanxry
−−−−−−−− ======
==
13
3
11.1...
351. Diketahui persamaan kuadrat 02 2 =++ qxx dengan akar-akar 1x dan 2x . Jika 1x , 2x
dan 2121 xx membentuk deret geometri, maka tentukan nilai q !
Jawab :
( )
121).1.(2
21
21)1(101
21
:)2()1(
)2.......(
22
)1.......(21
21
212
1212
11
212
122
212
122
2
2121
1
2
2121
1221
−=−=
=−−−=⇒−=⇒=+⇔=−−
=⇒=⇔=
=⇔=
−−=⇔−=+
qJadi
xxxxx
keSubstitusi
xxxxxxxx
xx
xxqqxx
xxxx
352. Tentukan suku negatif pertama dari barisan 500, 465, 430, 395, ……Jawab :
25)35.(15500150)35)(1(5000
16 −=−+=>⇔<−−+⇒<
UnnUn
353. Garis 3x - 4y – 11 = 0 menyinggung lingkaran 06222 =+−−+ cyxyx . Tentukan nilai c !Jawab :
Substitusi 4113 −= xy ke 06222 =+−−+ cyxyx maka akan didapat :
60)16577.(5.4)34(04
016577345
22
2
−=⇔=+−−⇒=−
=++−
cc
acbSyarat
cxx
354. Jika garis 0233 =−− yx diputar dengan pusat O(0,0) sebesar 45 berlawanan arah dengan jarum jam, maka tentukan bayangannya !Jawab :
03203''2
20232''3
2''
0233
2''
2''
22'22'
2222
45cos45sin45sin45cos
''
21
21
21
21
21
21
21
21
=−−=−−
=−
−−+
=−−
−=+=⇒
+=−=
+−
=
−=
yxatauyx
xxyyxyx
xyyyxxyxyyxx
yxyx
yx
yx
355. Y
2 xy = I II
0 4 X
Berapa luas I : luas II ?Jawab :Luas persegi panjang = L = 4 x 2 = 8
2:1316:
38:
38
3168
3164
032
4
0
23
==
=−=−=
=
== ∫
III
III
II
LL
LLL
xdxxL
356.
1s
2s
x
3s
Radius lingkaran besar adalah R. Hitung keliling daerah yang diarsir !Jawab :
( ) RxxRRssss ππππ 2.2.2.2. 21
21
21
321 =+−+=++=
357. Suatu lingkaran dengan jari-jari 5 cm dipotong pada bagian yang bersudut 144 . Sisanya dibuat kerucut. Tentukan volume kerucut yang terjadi !
Jawab :
144 ⇒ 5 t
3
ππ 124.3....4925
231
31 ===
=−=
tLVt
alas
358. Pada persegi ABCD, AE adalah garis bagi pada ∠ BAC. Jika sisi persegi adalah 10 cm, maka tentukan panjang AB + BE !Jawab :
D 10 C
10 E o o A B
( )210)12(10105,22tan1010
5,22122
)1.(1.4425,22tan
015,22tan25,22tan5,22tan15,22tan245tan 2
2
=−+=+=+
−=−−+−
=
=−+⇔−
=
BEAB
Ikuadrandikarena
359. Tentukan koordinat fokus dari ellips 0369636169 22 =+−++ yxyxJawab :( ) ( )
( )3,27
7916193
162 22
−±=
=−=⇒=−++
FFokus
cyx
360. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva ( ) xxy sincos= di titik A(0,3)Jawab :
( )
3)0(03)(
0)0.(cos0sin0)(cossin)sin.(cossin'
11
10sin2
1sin21sin
=−=−
−=−=−=⇒=
−=−==−
−−
yxy
xxmyymx
xxxxxym xx
361. Y
A
B
x
0 C X x g
Jika luas segitiga ABC = 24 dan luas daerah yang diarsir adalah ( )π93641 − , maka
tentukan persamaan garis g !Jawab : Y
A (0,a)
a - x B
x C (b,0) 0 X x b - x g
Misal persamaan garis g : ax + by = ab
( ) ( ) ( )
12348412:12348124:
412124)2()1()2.....(1636669969363
24296936
424936
)1.......(4824
2
1
22
21
212
41
41
21
=+=+=+=+
=⇒==⇒=⇒=+⇔+−−−=−⇒=
−+−−=−
−−−−−=−
=⇔=
yxatauyxgyxatauyxgJadi
baataubadanDaribabaxAmbil
axxbxx
xxxaxxbx
abab
ππππ
ππ
362. Sejumlah murid SMA X ingin mengumpulkan uang sebanyak Rp 960 dimana setiap murid membayar sama. Ternyata diketahui ada 4 orang tidak bisa membayar. Untuk menutupi kekurangannya, murid-murid menambah iurannya masing-masing Rp 20. Tentukan banyaknya murid yang membayar iuran !Jawab :Misal jumlah murid = x dan jumlah iuran masing-masing = p
Maka : 960 = px atau x
p 960=
MxTMx
xxx
xxx
pxpxpx
1612
0192480960420960960
80420960)20)(4(960
2
=−=
=−−⇔−
−+=
−−+=+−=
jadi jumlah murid yang membayar = x – 4 = 16 – 4 = 12 murid
363. Bila x235log4 −= maka tentukan 8log04,0
Jawab :
xx 2
1143
5log1
43
5log21
23
25log1
23
5log1
232log
232log8log
23
444253504,0 2
=−
−=
−=−=−=−=−==−
364. Tentukan nilai 18sin36sin54sin72sinJawab :
( )( ) ( )
( )
5
136sin36sin41
36sin54cos4
118cos18sin
54cos2118cos18sin18sin54cos2
118cos18sin36sin72sin1
18cos18sin36sin18cos
118sin
11
18sin18sin21
18sin18sin1
18sin18sin1
118sin11
72cos1
136sin72cos
144sin136sin72sin2
36sin36sin72sin2
36sin272sin36sin108sin
36sin272sin36sin72cos2
36sin272sin72cos
36cos72cos
18cos54cos
18cos90cos54cos90cos
36sin54sin2.18sin72sin2
161
161
161
161
2161
2161
2161
218cos36sin
161
2161
2
161
161
161
161
161
161
161
81
81
81
81
41
41
41
=
+=+=
+=+=
+−=+−=
+−
=+−=
−=
−=
−=
−=
−=
−=
−=
+−=
+=
+=
+=
=
−−=
−−
365. Jika n bilangan asli, buktikan bahwa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2005100320052004......321 +≤+++++ nnnnnnJawab :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )( )
( ) 2
2
2
2
1003)1004)(1002(
.........1003)2003)(3(
1003)2004)(2(
100320051
10032
2005120051
+≤++
+≤++
+≤++
+≤++
+=+++≤++
nnn
nnn
nnn
nnn
nnnnn
x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2004100320052004......321 +≤+++++ nnnnnn (tanpa (n+1003))
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2005100320052004......321 +≤+++++ nnnnnn
366. Jika n bilangan bulat positif sehingga 2n + 1 kuadrat murni, buktikan bahwa n + 1 merupakan jumlah dua bilangan kuadrat berurutan !Jawab :Misal 2n + 1 = 2sKarena 2s ganjil maka s juga ganjil atau misal s = 2t + 1, maka :
( )( )22222
22
1121221
221212
++=+++=++=+
+=⇔+=+
tttttttnSehingga
ttntn
367. Jika 3n + 1 bilangan kuadrat sempurna, buktikan bahwa n + 1 merupakan jumlah dari tiga bilangan kuadrat sempurnaJawab :Misal 213 sn =+Kemungkinan s adalah s = 3t + 1 atau s = 3t – 1
( )
( )
( )
( ) 2222
222
2222
222
113691
3691691313.2
113691
3691691313.1
tttttn
ttntttn
tttttn
ttntttn
++−=+−=+
−=⇔+−=−=+
+++=++=+
+=⇔++=+=+
368. Jika badanba ≠> 0, , buktikan 2233 abbaba +>+Jawab :
( ) ( ) ( )
2233
222233
22
22
222
)0,(2
abbabaabbaabbaba
baabbababakarenaabba
+>+
+>++++<++
>>+
369. Untuk yxdenganAsliyx >∈, , buktikan bahwa ( ) ( )!1!1!! ++−≥+ yxyxJawab :
( ) ( )( )
( ) ( )!1!1!!)2()1()2........(!1!1.2
)1.......(!!1!1!1.1
++−≥+⇒++>⇒+>
=−⇔+=⇒+=
yxyxJikayxyxUntuk
yxyxyxUntuk
370. Jika cbacba ≠≠> ,0,, , buktikan ( ) ( )bcacabcba ++>++ 32
Jawab :
( ) ( ) ( )
bcacabcbabcacabbcacabcbabcacabbcacabcba
bcacabcbacbcaba
333)()(3)(2)(2)(3
0
2
222
222
222
222
++>++++>+++++
++−++>++++>++
>−+−+−
371. Jika cbacba ≠≠> ,0,, , buktikan bahwa ( ) ( )cbaabcbcacab ++>++ 32
Jawab :( ) ( ) ( )
( )cbaabcbcacababccabbcaabccabbcabcacababccabbcaabccabbcabcacab
abccabbcabcacabbcacbcabacab
++>++
++>+++++++−++>++
++>++
>−+−+−
3)()(3)(2)()()()(2)(3)()()(
)()()(0
2
222222222
222222222
222222
222
372. Untuk setiap bilangan asli, buktikan bahwa )12.....(7.5.3.1 −≥ nnn
Jawab :
n
n
n
nn
nnnn
nn
n
)12......(7.5.3.1
)12......(7.5.3.1)121(
)12......(7.5.3.1)12(.....7531
21
−≥
−≥−+
−≥−+++++
)12.....(7.5.3.1 −≥ nnn
373. Diketahui 522 =+ − xx . Tentukan nilai xx −+ 44 = …..Jawab :
( ) 23225442522 2 =−=+⇔=+ −− xxxx
374. Diketahui 522 =+ − xx . Tentukan nilai xx −+ 88 = …..Jawab :
( ) 1105.1.3125)22(2.2.32288 3 =−=+−+=+ −−−− xxxxxxxx
375. D
3 C 6 3 A 4 B
Tentukan nilai BAD∠cos !Jawab :
( )
3317
6634cos
)cos.(1899cos481636180cos3.3.233cos4.6.246
180222222
==
−−+=−+−−+=−+⇒=
∠−=∠
A
AAAABDBD
AC
376. Diketahui .32,0cossin =αα Nilai .......cos1
sin1 =−
ααJawab :
( )
825
64225
cos1
sin1
64225
)32,0(32,0.21
cossincossin2sincos
cossinsincos
cossinsincos
cos1
sin1
22
222
==−
=−=−+=
−
−=−
αα
αααααα
αααα
αααα
αα
377. Seorang murid diminta menyelesaikan 10 dari 17 soal, namun setiap nomor genap harus dikerjakan. Tentukan banyak pilihan yang dapat diambil !Jawab :Banyaknya soal wajib sebanyak 8 butir, jadi banyaknya soal pilihan =
3629)810()817( ==−− CC
378. Tentukan himpunan penyelesaian dari 01522 ≤−− xxJawab :
( ) ( )
55505
:,3
03501522
≤≤−⇔≤⇔≤−
+
≤+−⇔≤−−
xxx
makapositifdefinitxKarena
xxxx
379. Jika 01242 <−− xx maka tentukan ......491444 22 =+−+++ xxxxJawab :
6201242 <<−⇒<−− xxx( ) ( )
9727262
7272491444 2222
=−++−++<<−
−++=−++=+−+++
xxmakaxxkesidisubstituxJika
xxxxxxxx
380. Diketahui abxbaxxgdanffbxaxxxf ++−===+++= )()(0)2()1(,2)( 323 maka tentukan nilai g(-1) = ……Jawab :
2231)1(233)(
12)2()1()2......(5202248)2(
)1......(3021)1(
33
−=+−−=−++=++=
−=−=−=+⇔=+++=
−=+⇔=+++=
gxxabxxxg
bdanadidapatdanDaribabaf
babaf
381. Jika 13)( 3 +−= xxxf dan 1)(1 =− af maka tentukan nilai a !Jawab :
1131)1(1)(1 −=+−==⇔=− afaf
382. Jika βα dan akar-akar nyata dari 2
121 22
++=++
xxxx maka tentukan nilai α β = …..
Jawab :Misal 12 ++= xxy maka :
( ) ( ) ( ) ( ) 0250341
12 22 =−+++⇔=−+⇔+
= xxxxyyy
y
Karena βα dan akar-akar nyata maka 022 =−+ xx sehingga 2−=α β
383. Tentukan nilai k jika ( ) ( )∫ −=−−21
13
641953 dxxxk
Jawab :
( ) ( )
[ ]2
6443
64)2)(2(3
64)6)(2(3
64)19)(5(3
641953
4
43
31
4
4
8
0
21
13
21
13
−=
−=−
−=−+
−=−−
−=−−
−=−−
−
−∫
∫
∫
∫
kxxk
dxxxk
dxxxk
dxxxk
dxxxk
384. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Titik P terletak di tengah-tengah CD, maka tentukan jarak titik B ke bidang APH !Jawab :
H G
E F
D P C
A B
T D’ C’
A’ B’
Q
B.QC’H berupa limas beraturan.Luas segitiga ABC’ = '..'.. 2
121 ACBTBCAB =
68
3424.4
''. ===
ACBCABBT
385. Diketahui bidang empat T.ABC dengan TA = TB = 5, TC = 2, CA = CB = 4 dan AB = 6. Jika α sudut antara TC dengan bidang TAB, maka tentukan cos α !Jawab :
T PT = 4PC = 7
5 α1613
2.4.27416cos =−+=α
A C P B
386. Tentukan jarak terdekat garis 3x + 4y + 18 = 0 terhadap lingkaran 4)1()1( 22 =−+− yx Jawab :
Q d r
P(1,1)
Pusat lingkaran P(1,1) dengan jari-jari r = 2
325
543181.41.322
=−=−=
=+
++=
rPQd
PQ
387. Jika ( ) ( ) 22
7
1).(
11
−+=
−++
xbaxxH
xxx
maka tentukan nilai a – b = ……
Jawab :
1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 21 1 1 1 1 1 1 2 3 S1 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 8 S2
Sisa = S2.P1+S1 = 8(x-1) + 3 = 8x – 5 = ax + ba = 8 dan b = -5Sehingga a – b = 13
388. Apabila 21 xdanx akar-akar persamaan 0352 =+− xx maka tentukan nilai dari
( ) ( ) ......4242 2221
21 =+−+− xxxx
Jawab :( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
4315.33.9
139130130
133513354242
2121
21
222211
212
221
21
=++=
+++=++++=
+++−+++−=+−+−
xxxxxx
xxxxxxxxxx
389. Jika abc = 900 dan cba logloglog 532 == maka tentukan nilai a + b + c = ……Jawab :abc = 900 dan cba logloglog 532 == maka a = 4, b = 9 dan c = 25Jadi a + b + c = 4 + 9 + 25 = 38
390. Jika A(-2,5), B(4,1) dan C(2,5) ditransformasikan oleh matriks
5232
maka tentukan
luas segitiga bayangannya !Jawab :
324.4.)610(5232
' 21 =−== xxLL
391. Jika 24 =+=+db
cadan
dc
ba
maka tentukan nilai cb
Jawab :
212424 =⇔=⇒=+=+
cbcdbd
cdbcaddan
bdbcad
392. Tentukan bentuk sederhana dari 122
632
34
++Jawab :
Misal 32
2=x maka :
( ) ( )14214
126
116
11.
16
16 3
322
32
−=−
−=
−−=
−−
++=
++ xx
xx
xxxx
393. Tentukan jumlah dari ......1615
814
413
2121 +
+
+
+
+
Jawab :
.........
.........1
164
83
42
21
21
165
84
43
22
++++=
+++++=
AA
-
4211
1
.........1
212
1
161
81
41
21
21
=⇒=−
=−
=
+++++=
Ar
aA
A
394. Tentukan nilai dari ∞→x
lim 111124 222 +−−−+−++ xxxxxx
Jawab :
∞→xlim
=+−−−+−++ 111124 222 xxxxxx
∞→xlim
=+−−−++−+−++ 11121124 2222 xxxxxxxx
∞→xlim
114441124 2222 +−−−++−+−++ xxxxxxxx
= 312)1(1
42412 =−−+−
395. Hasil dari ......20012.46012.1612.5812.712 2345 =−−+−−Jawab :
12 1 -7 -58 16 -460 -200 12 60 24 480 240 +
1 5 2 40 20 40 Hasil yang diminta.
396. Hitung nilai 18sin54sinJawab :
Cara I : 41
72sin272sin
18cos236sin36cos
18cos236sin.54sin18sin54sin 2
1
====
Cara II : p = 18sin54sin
4136sin.36sin
18sin18cos18sin)18cos90(cos18sin36sin54sin36sin
21
21
21
21
=⇒=
=−−==
pp
p
Cara III :
( ) ( )
( )
( )( ) ( )
415518sin54sin
552118sin2136cos54sin
518sin
0118sin218sin4118sin
0118sin218sin4118sin0118sin318sin218sin4
18sin2118sin418sin318.2cos18.3sin
36cos54sin
41
41
41
41
41
41
41
412
41
41
2
2
23
23
=+−+=
+=+−−=−==
+−=
=−+=
=−+−=+−−
−=−=
=
mungkintidak
Cara IV : Dengan pendekatan geometri
D C
36 E x 36 x 36 36 72 A x B
Pada segitiga ABE dengan aturan cosinus : 18sin
2172cos72cos.1..21222 ==⇔−+=x
xxx
Pada segitiga BEC dengan aturan cosinus :
41
21.
218sin.54sin
54sin2
36cos36cos..1.211 222
==
==⇔−+=
xx
xxx
397. Tentukan jumlah semua penyelesaian persamaan
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 43
321
211
11 =
+++
+++
+ xxxxxxJawab :
( ) 111
11
+−=
+ xxxx
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
313043
43
311
43
31
21
21
11
111
43
321
211
11
212 −=−=+⇒=−+⇔=
+−
=+
−+
++
−+
++
−
=++
+++
++
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
398. Jika a, b dan c akar-akar persamaan 052 23 =+−− xxx maka tentukan nilai ( ) ( ) ( )cba −−− 222Jawab :Cara I :
35)1(22.48)(2)(48)2()2()2(
5
1
2
=+−+−=−+++++−=−−−
−=−=
−==++
=−=++
abcbcacabcbacbaadabc
acbcacab
abcba
Cara II :
3528852220)()()(
052
23
23
=+−−=+−−==⇒=−−−
=+−−
xxxkexSubstitusixcxbxax
xxx
399. Tentukan himpunan penyelesaian 02622 <+−− xxJawab :
{ }24::)()(24082262)
)(042226)
262)26(2620262
22
22
222
<<−<<−⇔<−+⇔−<−
∈>+−⇔−<+−
−<−<−−⇔−<−⇔<+−−
xxHPiidaniDarixxxxxii
Rxpositifdefinitxxxxi
xxxxxxx
400. Jika 900 << θ sehingga 25,02coscos =θθ maka tentukan nilai θ Jawab :Cara I :
3672cos36cos18sin54sin
2coscos
41
41
41
=⇒=⇔=
=
θ
θθ
Cara II :
( )
3672.36360.3
360.1804360.4sin4sin
sin2cos2sin
sin2coscossin
sin2coscos
41
41
41
21
41
41
=+==
+−=+==
=
=
=
θθθ
θθθθθθ
θθθθθθθ
θθθ
kataukkatauk
x
401. Diketahui kjiOBdankjiOA 3222 ++=++= . P pada AB sehingga OBAP = .
Tentukan OAAP.Jawab : O’
B P A
O
14941 =++=AP
6411 =++=OA
211 =+=AB
323'cos
323
6.2.21426cos =∠⇒−=−+=∠ BAOOAB
73323.6.14'cos. ==∠= BAOOAAPOAAP
402. Tentukan x jika xxx −=+− 2442
Jawab :
( ) 22222244 22 ≤⇒−=−⇔−=−⇔−=+− xxxxxxxx
403. Jika 032 =−− xx akar-akarnya p dan q, maka tentukan ( ) ( )52 22 ++++ pqqpJawab :
63)81)(61()8)(5()53()23()5()2(
3330322
2222
=++=++++=++++++=++++
+=+=⇒+=⇔=−−qpqppqqppqqp
qqdanppxxxx
404. Jika ( ) ( ) ( )7,1,2 −−+ aaa merupakan barisan geometri, maka tentukan rasionya !Jawab :
2)2()1()1()7(
)1()1(2
12
23
=+−−−−−=
=−−=
−−=
−−
aaaar
rrarar
aararar
UUUU
405.
Recommended
