Tema 2 Álgebra Lineal (Espacios vectoriales)
1 de 1
Espacios Vectoriales Vector: Magnitud, dirección y sentido
→+= νβuαω Combinación lineal
→ω,v,u Vectores
→β α, Escalares
→uα Multiplicación por un escalar
→+ vβuα Suma de vectores
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2 de 2
Sea ( ){ }R y, x y,xR 11112 ∈=
( 211 R ) y,xu ∈=
222 R ) y,(x ∈=v
( ) ( )( ) ( )( ) 2
2121
2211
2211
Rβyαy,βxαx βy ,βxαy,αx
y,xβ y,xα vβuαω
∈++=
+=
+=+=
Sea
∈
= R d ,c ,b ,a
dcba
M 111111
11
Mdcba
u11
11 ∈
= M
dcba
v22
22 ∈
=
Rβα, ∈ vβuα +=ϖ
+
=
22
22
11
11
dcba
βdcba
α
+
=
22
22
11
11
βdβcβbβa
αdαcαbαa
Mβdαdβcαcβbαbβaαa
2121
2121∈
++++
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3 de 3
Las leyes de adición y multiplicación por un escalar tienen en común un gran número de propiedades algebraicas. A dicha estructura se le conoce como “ESPACIO VECTORIAL”
Definición: Sea V un conjunto no vacío y sea K un campo donde se definen las operaciones de suma (+) y multiplicación por un escalar ( .) K puede ser:
enteroszo racionalesQ
naturalesNcomplejosCrealesR
→→→→→
V es un espacio vectorial (EV) si cumple con las siguientes axiomas:
1. La suma de dos elementos en V es cerrada
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4 de 4
única es vu V y vu: V v,u +∈+∈∀
2. La adición es conmutativa
uv vu: V v,u +=+∈∀
3. La adición es asociativa
( ) ( ) wvu wvu: V w ,v,u ++=++∈∀
4. Existe en V un elemento neutro para la adición
euu ue : V e +==+∈∃
5. Todo elemento de V tiene un inverso z
vzez v: V z V v +==+∈∃∈∀
6. La multiplicación de un vector de V por un escalar es cerrado
V vα :K α V y v ∈∈∀∈∀
7. La multiplicación por un escalar es asociativa
( ) ( )vαβvβα :K β α, V y v =∈∈∀
8. Distributividad de la multiplicación sobre la adición de escalares
( ) vβvαvβα :K β α, V y v +=+∈∈∀
9. Distributividad de la multiplicación sobre la adición de vectores
( ) vαuαvuα :K α V y v ,u +=+∈∈∀
10. Existencia de la unidad de K
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5 de 5
vv1 : V v =∈∀ Las condiciones de suma o multiplicación por un escalar pueden ser la usual o proponerse. Ejemplo: Sea el conjunto ( ){ }R a a 1,A ∈= definido sobre R y las condiciones de suma y multiplicación definidas por ( ) ( ) b)a (1,b 1,a 1, +=+ ( ) Aa 1,u ∈=∀
( ) Ab 1,u ∈=∀ ( ) αa)(1,a1,α =
( ) Aa 1,u ∈=∀ R α ∈∀ Verifique si A es un Espacio Vectorial Sean ( ) Ac) (1,w b); (1,v ;a 1,u ∈=== y R γ y β, α, ∈
1) Verificar si única es vu V y vu: A v,u +∈+∈∀
b) (1,a) (1, vu +=+
A b)a (1, ∈+= ∴ Cumple el axioma
2) Verificar si uv vu: A v,u +=+∈∀ uv vu +=+ a) (1,b) (1, b) (1,a) 1,( +=+
a) b (1, b)a 1,( +=+ ∴ Cumple el axioma
3) Verificar si ( ) ( ) wvu wvu: A w ,v,u ++=++∈∀ ( ) ( ) wvu wvu ++=++
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( ) ( )[ ] ( )c 1,b 1,a 1, ++ ( ) ( ) ( )[ ]c 1,b 1,a 1, ++
( ) ( )c 1,ba 1, ++ ( ) ( )cb 1,a 1, ++
( )cba 1, ++ = ( )cba 1, ++ ∴ Cumple el axioma
4) Verificar si euu ue : A e +==+∈∃ Sea e) (1,e = ( ) ( ) ( )b 1,b 1,e 1, =+ ( ) ( )b 1,be 1, =+ ∴ 0ebbe =→=+
( )0 1,e = ∴ Cumple el axioma
5) Verificar si vzez v: A z A v +==+∈∃∈∀ Sea z) (1,z = ( ) ( ) ( )0 1,b 1,z 1, =+ ( ) ( )0 1,bz 1, =+ 0bz =+ bz −= Tal que b)- (1,z = ∴ b)- (1,z : A z =∈∃ ∴ Cumple el axioma
6) Verificar si A vα :R α A y v ∈∈∀∈∀
( ) ( ) A αa 1,a1,α ∈= ∴ Cumple el axioma
7) Verificar si ( ) ( )vαβvβα :R β α, A y v =∈∈∀ ( )uβα ( )uαβ
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( )[ ] =a 1,βα ( )( ) =a 1,αβ ( ) =βa1,α ( )αβa1, ( )αβa 1, ∴ ( ) ( )uαβuβα = ∴ Cumple el axioma
8) Verificar si ( ) uβuαuβα :R β α, A y u +=+∈∈∀ ( )vβα + vβvα +
( ) a) (1,βα + ( )a) 1,βa) α(1, +
( )( )aβα ,1 + ( )βa 1,αa) (1, +
( )βaαa 1, + ( )βaαa 1, + ∴ ( ) uβuαuβα +=+ ∴ Cumple el axioma
9) Verificar si ( ) vαuαvuα :R α A y v ,u +=+∈∈∀ ( )vuα + vαuα + ( ) ( )[ ]b 1,a 1,α + ( ) ( )b 1,αa 1,α +
( )ba1,α + ( ) ( )αb 1,αa 1, + ( )b)α(a1, + ( )αbαa1, + ( )b)α(a1, + ( )b)α(a1, + ∴ ( ) vαuαvuα +=+ ∴ Cumple el axioma
10) Verificar si uu1 : A u =∈∀ ua)(1,a) 1(1,u1 === ∴ Cumple el axioma
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Por tanto el conjunto ( ){ }R a a 1,A ∈= definido bajo las condiciones de suma y multiplicación mostradas es un E.V. sobre R. Subespacios Vectoriales Sea V espacio vectorial sobre K y sea S un subconjunto de V s es un subespacio de v (SEV de V) si es un EV sobre K respecto a la adición y a la multiplicación por un escalar
Teorema Sea V un espacio vectorial sobre V y sea S un subconjunto de V. S es un subespacio vectorial de V si y sólo si 1) S vu :S v ,u ∈+∈∀ Cerradura bajo la suma 2) S vα :S v :K α ∈∈∀∈∀ Cerradura bajo la multiplicación por un escalar Ejemplo:
Verificar que
∈
−
= R b a, b2a
baT es un SEV de las matrices de orden dos elementos
en R.
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E. V.
∈
= R d c, b, a,
dcba
M2
∈
−
= R b a, b2a
baT Subconjunto de M2
Sean:
−
=b2a
bau
1
11; T
b2aba
v22
22∈
−
=
Rα∈
1) Verificar que T vu :T v ,u ∈+∈∀
( ) ( ) T b2a
babb2aa
bbaab2a
bab2a
bavu
33
33
2121
2121
22
22
11
11∈
−
=
+−+
++=
−
+
−
=+
T vu ∈+ ∴ Cumple el axioma
2) Verificar que ∏∈uα
cumpleTuα
Tb2a
baαb
2αa
αbαab
2a
baαuα
44
44
11
11
11
11
⇒∈∴
∈
−=
=
−=
Tal que el conjunto T es un Subespacio vectorial de M2
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Combinación lineal. Conjunto generador. Base y dimensión. Coordenadas de un vector y matriz de transición Definición v es una combinación lineal de 1v , 2v ,..., nv si puede expresarse como
vα.......vαvαv nn2211 +++= Donde n21 α,...,α,α son escalares Considerando e) EV R2
( ){ }Ryx,yx,R2 ∈=
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( ) ( )4 2,α1 2,α4 5,vαvαv
2 1
2211
+=
+=
Si 2α1 = y 21α1 =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )4 5,4 5,
2 1,2 4,4 5,
4 2,211 2, 24 5,
=+=
+=
∴v es una combinación lineal (CL) de 21 v y v
Dependencia lineal
→+= v21v2v 21 Combinación lineal
→=++− 0v21v2v1 21 Ecuación de dependencia lineal
Donde 0 es el vector cero y aparece como una combinación lineal de 21 v y v ,v Definición Sea { }n21 v,...,v,vS = un conjunto de vectores
1) S es linealmente dependiente (L.D.) si existen escalares n21 α ..., ,α ,α α, 1, no todos iguales a cero, tal que
→=+++ 0vα...vαvα nn2 21 1 Ec. De dependencia lineal
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2) S es linealmente independiente (L.I.) si la igualdad
→=+++ 0vα...vαvα nn2 211 Sólo se satisface con 0α...αα n21 ==== Ejemplo:
Sea el EV ( ){ }Rcb,a,cb,a,R3 ∈= y
sean ( ) ( ) ( ) 321 R 0 4, 2,v ;0 1, 2,v ;1 4, 5,v ∈===
Determinar sí son LD o LI
0vαvαv α 2 21 1 =++
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
0α04αα4α02α2α5α
0,0,0α,4αα,4α2α2α5α0,0,0,0,4α2α0 ,α ,2αα 4αα 5αα0 0, 0,0 4, 2,α0 1, 2,α1 4, 5, α
21
21
2121
2211
2 1
=
=++=++
=++++=++
=++
Por tanto:
04αα02α2α
21
21
=+=+
4122
~
3011
R1/2
R1(-1)+R2
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13 de 13
0α0α00α0αα
0α03α0αα
22
2
32
33
32
=⇒==+=+
=⇒==+
0ααα 321 === ; por tanto, el conjunto { }21 v ,v ,v es el linealmente independiente Utilizando la matriz en forma escalonada canónica
042012145
~
145012042
~
−−
160030021
~
100010021
~
100010001
( )( ) 31
21
1
R5RR2R
21R
+−+−
( ) 32
2
R6R31R
+
− ( ) 12 R2R +−
∴ El conjunto es Linealmente independiente Utilizando la matriz en forma canónica escalonada, si ningún renglón se hace ceros, el conjunto es L.I. En caso de que algún(os) renglón(es) sea(n) cero, el conjunto es L.D. Teorema Si S es un conjunto L.I., entonces cualquier subconjunto de S también lo es
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Teorema Todo conjunto que contienen al vector cero es L.D. Conjunto generador Cuando todos los vectores de un E.V. pueden obtenerse mediante una combinación lineal de un conjunto finito de vectores, se dice que tal conjunto es generador del espacio EV V
mm2211
mm2211
uβ...uβuβvuα...uαuαv
+++=
+++=
. . . . .
. . . . .
. . . . . mm2211n uγ...uγuγv +++=
Definición Sea V un EV sobre K y sea { }m21 u ,...,u ,uB = un conjunto finito de vectores de V. Se
dice que B es generador de V si para todo vector Vv ∈ existen escalares m21 α,...,α,α tales que m m2 21 1 uα...uαuαv +++=
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En general cuando un conjunto es generador (CG) es LD, podemos suprimir alguno de sus vectores y obtener de ello otro conjunto generador del mismo EV, el cual es LI, denominado BASE Definición Se llama base de un EV a un CG de V que es LI Teorema Sea V un EV de K. Si { }m21 u ,...,u ,uB = es una base de V, entonces cualquier otra base de dicho espacio está formada por m vectores. Definición Sea V un EV sobre K. Si { }m21 u ,...,u ,uB = es una base de V, se dice que V es de dimensión m. dim V=m Teorema Si V es un EV de dimensión m, cualquier conjunto LI formado por m vectores es una base de dicho EV Teorema Si V es un EV de dimensión m y W un SEV V, entonces dim mW ≤ . En particula si dem W=m entonces W=V
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Ejemplo
Sea
∈
−−
+= Rba,
2babbaba
V
Un E.V. sobre R
{ }
−
−−−==
050505
,834743
w ,wA 21 determinar si A es una base de V
Verificamos si A genera a V Sea:
V2bab
babav ∈
−−
+=
2211 ωα,ω,αv +=
=−
+−−−−
=−−
+
050505
α834743
α2bab
baba21
−−
+−−+−1211
21121
8α5α3α4α5α7α4α5α3α
ba5α7αb4α
a5α3α
21
1
21
+=+−=−
=+−
4bα1 =
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17 de 17
203b4a
5
b43a
α2−
=
−−
= ∴A genera a V
Para verificar si A es base de V se determina su dependencia lineal
0ωβωβ 2211 =+
=
−
+
−−−−
000000
050505
β834743
β 21
07β7β0β 04β
05β3β
21
1 1
21
=−−=→=−
=+−
0β 05β0β
22
1
=∴=−=
{ }2121 ω,ω A 0ββ =∴== es Linealmente independiente. A es base de V.
Coordenadas de un vector respecto a una base ordenada Si consideramos el espacio
∈
−
= Rba, a0
baΜ
Para el cual el conjunto
−
=0010
,10
01B es una base
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18 de 18
{ }21 w,wB =
Para Μ7037
u ∈
−−
=
U puede expresarse como:
+
−
=
−−
0010
α10
01α
7037
21 3α7α
2
1
−==
A los escalares 7 y -3 se les llama “Coordenadas de u en la base B, y se representa
[ ]
−
=3
7u B vector de coordenadas de u en la base B
Definición Sea { }n21 v ,...,v ,vB = una base del espacio vectorial V sobre K, y sea Vx ∈ . Si
nn2211 vα...vαvαx +++= . Los escalares nα,...,α,α 21 se llaman coordenadas de x
en la base B y el vector ( ) T321B )α ,α ,(αx = se llama vector de coordenadas de x en la
base B
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19 de 19
Matriz de transición
A y B son bases de V Sea Vv ∈ Vv ∈
( ) ( )T
A
321
cb,a,v
ucubuav
=
++=
( ) ( )TB
321
fe,d,v
wfwewdv
=
++=
Como VA ∈ , entonces los vectores del conjunto A se pueden expresar como una combinación lineal de los vectores de la base B
( ) ( )( ) ( )( ) ( )T
321B33322113
T321B23322112
T321B3322111
γ,γ,γuwγwγwγu
β,β,βuwβwβwβu
α,α,αuwαwαwαu
=→++=
=→++=
=→++=
Podemos definir una matriz
=
333
222
111
AB
γβαγβαγβα
Μ
Tema 2 Álgebra Lineal (Espacios vectoriales)
20 de 20
Tal que
( ) ( )AABB vΜv =
=
=
fed
cba
γβαγβαγβα
333
222
111
[ ] 1BA
AB ΜΜ −
=
( ) ( )BABA vΜv =
Ejemplo:
Sea ( ){ }Rz y, x,0;zxz z y,x,V ∈=−= un EV sobre R y los conjuntos
( ) ( ){ } ( )( ){ }4 1, 2,6 0, 3,B y 0 1, 0,,2 0, 1,A == dos bases de V
a) determinar ABM
b) expresar ( )8 1, 4,z = como una C.L. de los vectores de la base B, utilizando la matriz de transición
( ) ( ){ } { }( )( ){ } { }21
21
w ,w4 1, 2,6 0, 3,Bu ,u0 1, 0,,2 0, 1,A
==
==
ωβωβuωαωαu
22112
22111
+=
+=
22
11AB βα
βαM
( ) ( ) ( )2,1,4α3,0,6α1,0,2 21 += (1) ( ) ( ) ( )2,1,4β3,0,6β0,1,0 21 += (2)
Tema 2 Álgebra Lineal (Espacios vectoriales)
21 de 21
De (1)
0α 2α4α63
1α 12α3α
221
121
=→=+
=→=+
De 2
04β6β
1β 1β 3
2β 02β3β
21
22
121
=+=→=
−=→=+
−=∴
103
23
1M A
B
b) ( )4,1,8z = ( ) ( )A
ABB zMz =
21 ubuaz += ( ) ( )TA ba,u =
( ) ( ) ( )0 1, 0,b2 0, 1,a8 1, 4, += a= 4
b=1 ( ) ( )TA 4,1z⇒
( )
=
−=13
214
113
23
1z B
Tema 2 Álgebra Lineal (Espacios vectoriales)
22 de 22
Tal que
( )
( ) ( )( )8 1, 4,z
4 1, 2,4 0, 2,z
4) 1, 1(2,6 0, 3,32z
=
+=
+=
Producto Interno
• Conjunto de escalares • Conjunto de vectores • Operación de suma y multiplicación por un escalar • Operaciones de naturaleza algebraica
• Magnitud • Distancia Conceptos métricos • Ángulo
El producto interno se generaliza a un E.V. cualquiera del producto escalar R (llamado también “producto interno”) Definición Sea V un E.V. sobre C. Un producto interno (p.i.) en V es una función de VxV en C que
asigna a cada pareja ordenada ( )v,u de vectores de V un escalar ( ) C vu ∈ , llamado
producto u por v , que satisface las siguientes propiedades:
Tema 2 Álgebra Lineal (Espacios vectoriales)
23 de 23
1) ( ) ( )uvvu = Simetría
2) ( ) ( ) ( )ωuvuωvu +=+ Aditividad
3) ( ) ( )vuαvuα = Homogeneidad
4) ( ) 0u si 0 uu ≠⟩ Positividad
Donde ( )vu representa el conjugado del número complejo ( )uv
Si
baα
biaαbiaα
Cα
22 +=
−=
+=∈
aaα
aαaαRα
2 ==
=
=∈
Ejemplo: En el E.V. 2P≤ , de los polinomios de grado menor o igual a dos con coeficientes reales se define la función
( ) ( ) ( ) 2
1
0iΡq ,p iqipqp ≤
=∈∀∑= verificar si es un producto interno
{ }Rc b, a, c bxaxΡ 2
2 ∈++=≤ Sea
2332
3
2222
2
2112
1
Ρ cxbxarΡ cxbxaqΡ cxbxap
≤
≤
≤
∈++=
∈++=
∈++=
1) Verificar si ( ) ( )pqqp =
Tema 2 Álgebra Lineal (Espacios vectoriales)
24 de 24
( ) ( ) ( )( )[ ]( ) ( ) ( )( )[ ]
( ) ( )pqqp
cbacbaccpq
cbacbaccqp
11122212
32211121
=∴
+++++=
+++++=
2) Verificar si ( ) ( ) ( )rpqprqp +=+
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]( )( )
( )
( )( )( )
44444 344444 21
444444 3444444 21
rp
33311131
qp
22211121
3332221113121
323232111321
32322
32
cbacbacc
cbacbacccbacbacbacccc
ccbbaacbacccrqpccxbbxaarq
+++++
++++++=+++++++++=
+++++++=+
+++++=+
3) Verificar si ( ) ( )qpαqpα =
( ) ( )( )
( )( )[ ]( )qpα
cbacbaccαcbacαbαaαccαqpα
cαxbαxaαpα
22211121
22211121
112
1
=
+++++=
+++++=
++=
4) Verificar si ( ) 0 pp ⟩ para 0p ≠
( ) ( )( )( )
( ) 0 pp0p si
cbac
cbacbaccpp2
11121
11111111
⟩→=∴
+++=
+++++=
Tema 2 Álgebra Lineal (Espacios vectoriales)
25 de 25
Entonces ( ) ( ) ( )iq ipqp1
0i∑==
es producto interno.
Teorema Sea V un E.V. sobre C y sea (-1) un producto interno en V entonces Vv,u ∈∀
( ) ( ) ( )vv vuvu 2 ≤ donde ( )vu es el módulo de ( )vu . La igualdad se cumple si
v y u son L.D.
( ) ( )( )( ) ( )( ) L.I. son v y u vvuu vu
L.D. son v y uvvuuvu2
2
→⟨
→=
Definición Sea V un EV sobre R y sea .. un p.i. en V. Se llama norma de v en V y se representa
con v al número real no negativo definido por ( )1/2vvv = . La desigualdad de Cauchy-
Schwarz (C-S) puede ser expresada como
( )( ) v uvu
v uvu222
≤
≤
Producto de vectores
Producto de escalares
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26 de 26
Propiedades que satisface toda norma Si V es un EV con p.i., entonces C αV y v,u ∈∈∀
vu vu 4)
u αuα 3)
ou0u 2)
0u 1)
+≤+
=
=⇔=
≥
Se dice que un vector es unitario cuando 1u = . Para cualquier vector u u1e
= es
unitario. Definición Se llama distancia de u a v se representa ( )v,ud , al número real definido por:
( ) ( )([ ] 21
vuvuvuv,ud −−=−=
( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )ω,vdv,udω,ud 4)
u,vdv,ud 3)0u0v,ud 2)
0v,ud 1)
+≤
=
=⇔=
⟩
Definición Sea V en EV con producto interno real y sean u y v dos vectores no nulos de V. Se llama ángulo entre u y v al número real θ , en el intervalo Πθ0 ≤≤
Desigualdad del triángulo
Tema 2 Álgebra Lineal (Espacios vectoriales)
27 de 27
( )
vuvu
θ cos =
( ) biavusi +=
( )vuvuR
θ cos ≅
La desigualdad de C-S se expresa
( ) vuvu ≤
( )
1vuvu
≤
( )1
vuvu
1 ≤≤−
Existe uno y sólo un θ con intervalo Πθ0 ≤≤ cuyo coseno es igual al cociente. Ejemplo: Sea el p.i. en C2 definido como ( ) y2xyxyx 1221 += , ( ) ( ) 2
2121 C y,yy ,x,xx ∈==∀ ,
donde 21 y y y son los conjugados de 21 y yy . Para los vectores ( )ii,2x −= y ( )21,1y +−=
a) Obtener el ángulo θ que forman los vectores y y x .
Tema 2 Álgebra Lineal (Espacios vectoriales)
28 de 28
Solución: ( ) ( )( )[ ]
( ) ( )( )( )( )
( ) 0yxR11i
410i4i4i2i8i4i
2i12i4i2i1i221i
21,1ii,2yx
2
i
=∴
−=−−+−=
+−−+−=
−−+−=−−+−=
+−−=
( )( )[ ]( )
( )( )( )
11101
4i2i2i421i2i221
i1,2i1,2xxx
2
2
=+=
−−++=
+−+=
−−==
( ) ( )( )[ ]( )( )( )( )
( )
90ºθ
0
11110
yxyx
Cosθ
11y11
41214i2i2i121
2i12i121
2i1,12i1,1yyy
11x
2
2
≅∴
≅
=ℜ
≅∴
=
=++=
−+−+=
−++=
+−+−==
=
Tema 2 Álgebra Lineal (Espacios vectoriales)
29 de 29
Ortogonalidad En un EV con producto interno dos vectores V v , u ∈ son ortogonales si ( ) 0vu =
como 0v ,0u ≠≠
( )
90º2Πθ
vu0
vuvu
θ cos
==
==
Definición Sea V un EV con p.i. y sea { }v ,...,v ,vS n21= un conjutno de vectores de V. Se dice que S es ORTOGONAL cuando ( ) ji 0vv ji ≠∀= , si además 1vi = el conjunto es
ORTONORMAL. Teorema Sea V un EV con p.i. y sea { }n21 e ,...,e ,eB = una base ortogonal. Entonces
Vu ∈∀
( ) αv iB = donde ( )( )ee
evα
ii
ii =
Si B es una base ortonormal ( )ii evα =
Proceso de Gram-Schmit Sea ( )v ...,v vG 32,1,= un conjunto que genera a V. El procedimiento construye
( )w ..., wwG 32,1,o = que también genera a V. La idea es formar uno a uno los vectores de Go
Tema 2 Álgebra Lineal (Espacios vectoriales)
30 de 30
( )( )
( )( )
( )( )
n1,2....,iparawwwv
vw
wwwwv
vw
wwwv
α
wαvvαvwwvαv
vw
1i
1K KK
K1ii
111
1222
11
121
1121122
2112
11
=
∑−=
−=
−=
−=−=+=
=
−
=
Tema 2 Álgebra Lineal (Espacios vectoriales)
31 de 31
Ejemplo: Obtener una base ortonormal del EV V generado por los vectores
{ } ( ) ( ) ( ){ }0 1, 1,,1 1, 2,,1 0, 1,v v ,vA 32,1 −−−== Solución
1) Obtener ( )w ...,w wG 32,1,=
( )( )( )
( ) ( )( )( )[ ]312
11,0,12wv
wwwwv
vw
11,0,wvw
12
111
1222
1
11
=−−=
−−=
−=
−==
( ) ( )( )[ ]
( ) ( )
( ) ( )( )2
11,2,1
23,0,2
32,1,1
11,0,232,1,1w
21111,0,11,0,ww
2
11
−−=
+−=
−−
−−=
=+=
−−=
( )( )
( )( )
( ) ( )( )[ ]
( ) ( )
2301
21
21,1,
211,1,0wv
100111,0,1,1,0wv
wwwwv
wwwwv
vw
33
13
222
231
11
1333
=++=
−−
−=
−=++−=
−−=
−−=
Tema 2 Álgebra Lineal (Espacios vectoriales)
32 de 32
( )
23
411
41
21,1,
21
21,1,
21
ww 33
=++=
−−
−−
=
( ) ( )( ) ( )
( )( )
−
−−−−
−−=2
12,1,1
23
23
11,0,211,1,0w3
( )
( ) ( )( )0,0,0
1,01,1,1,0211,,
21
21,1,
211,1,0
=−+−=
−+
−
+−=
( ) ( )
( )
−−
−=
−−
−=
21,1,
21,11,0,B
0,0,0,21,1,
21,11,0,Go
( )
( )
( )23
ww
11,0,21
e
2w
2ww
ww1
e ww1
e
22
1
2
11
22
211
1
=
−=
=
==
Base ortogonal
Tema 2 Álgebra Lineal (Espacios vectoriales)
33 de 33
{ }
−−
−
==
−−=
−−=
=
61,
32,
61,
21,0,
21
eeB
61,
32,
61
e
21,1,
21
32
e
23
w
21,1
2
2
2
BASE ORTONORMAL