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7/17/2019 01b - statica

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STATICA

• Grandezze e operazioni fondamentali

• Carichi e vincoli

• Equazioni di equilibrio

• Calcolo delle reazioni

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1

Grandezze e operazioni fondamentali

Forza, momento e loro risultanti

Forza:

• Vettore (modulo, direzione, verso)

• Operazione di risultante

∑= i xiFx F R

In componenti cartesiane

La risultante è un vettore libero, cioè non legato a un particolare

punto di applicazione

∑= i yiFy F R ∑= i

ziFz F R

F 1

F 2

RF

F Rr

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2Momento di una forza

• Vettore (risultato di un prodotto vettore o prodotto esterno)…

F M rr

∧−= )OP(O

polo

punto di applicazione

della forza

•… libero (nota: è calcolato rispetto a O, non applicato in O)

F

M

O

P

O

Vettore M O perpendicolare alpiano contenente (P-O) e F

Fb M =O

F

O

P

b

M O

Rappresentazione pratica 2D

(direzione vettoriale momento

sempre normale al piano delloschema)

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3Momento risultante

• Vettore (somma vettoriale)

∑∑ +∧−=+=i

iiii

ii M C F C M R ))OP(()( OO

rrrrr

momento “puro”

• Trasposizione (regola per il cambiamento di polo: da O a O')

F M M R R R

rrr

∧−+= )'OO(O'O

Significato pratico dei momenti puri: casi in cui un sistema produce

solo momento e nessuna forza risultante.

Esempi:

C=Fh

h F

F

coppia di due forze

uscita da

un motore

Proprietà utile pereseguire certi calcoli

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4Equilibrio statico

Un sistema è in equilibrio statico se:

• equil. alla traslazione

• equil. alla rotazione

0rr

=∑i iF

0)( O

rrr

=+∑i ii C M

0=∑i xiF 0=∑i yiF

0)( =++−∑ii yii xii C F xF y

Nel piano, ragionando per componenti (e con polo in O):

y

xO xi

yi

F yi

F xiPi

Cioè se forza e momento risultanti (polo qualsiasi) sono nulli

In pratica, nei sistemi meccanici l’equilibrio si realizza tra carichi applicati e

reazioni dei vincoli (supporti, fissaggi, cuscinetti,…)

notare i differenti

versi di momentodovuti a F xi, F yi

3+3=6

condizioni

2+1=3 condizioni

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Equivalenza statica (1)

Due sistemi sono equivalenti se danno origine a:• stessa forza risultante

• stesso momento risultante

Notare che equivalenti non significa che

sono identici, ma che nelle equazioni di

equilibrio danno uguale contributo

Il momento di trasporto M permette dirispettare l’equilibrio alla rotazione

M=Fd F

d

Sistema equivalente

F d

Sistema originale

Il principio di equivalenza viene spesso utilizzato per sostituire,

nelle equazioni, un sistema complicato con uno semplice

Casi notevoli di uso dell’equivalenza:

1) “Trasporto” trasversale di una forza

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6

Equivalenza statica (2)

F 1

F 2

F 3

2) Sostituzione di un sistema di forze/momenti con i soli:

• Forza risultante, applicata in un punto arbitrario, e

• Momento risultante, calcolato con polo nel punto arbitrario

Sistemi piani: è possibile sostituire il sistema con la sola risultante

applicata su una particolare retta di passaggio, l'asse centrale.

Per determinarlo:

i) Si sostituisce il sistema iniziale con la risultante

applicata in O e il momento risultante R M o;

0O'O

=ξ−= F M M R R R F M R R / O

=ξ→ ξ

RF

O'

ii) Utilizzando l’equazione di trasposizione del

momento si cerca il polo O' per il quale il momento

risultante si annulla:

F

M O

R

R

O

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Carichi e vincoli

Carichi: azioni esercitate sulla struttura (di solito dati del

problema)

• Concentrati (puntuali): forza, momento

• Distribuiti:

di volume – es.: peso specifico di un materiale

di superficie – es.: pressione di un fluido, peso all’unità di

area di un elemento “bidimensionale”(lamiera, …)

di linea – es.: peso all’unità di lunghezza di un elemento

“monodimensionale” (cavo, barra,…)

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8Vincoli: collegano gli elementi strutturali fra di loro (v. interni) o a

un basamento (v. esterni), esercitando reazioni (di solito incognite

del problema)

Duplice aspetto:

• Cinematico: limitazione del moto Vincoli interni – punti di elementi diversi sono obbligati ad

assumere uguali componenti di spostamento/rotazione

Vincoli esterni – punti di elementi diversi sono obbligati adassumere le componenti di spostamento/rotazione imposte dal

basamento (di solito nulle)

• Statico: applicazione delle reazioni

Vincoli interni – forze, momenti di reazione scambiati tra gli

elementi collegati

Vincoli esterni – forze, momenti di reazione applicati dal

basamento alla struttura e viceversa

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Termini noti e incogniti

Dei due termini, cinematico (spostamento o rotazione) e statico

(forza o momento) associati a un certo grado di libertà, sempre uno

dei due è noto e l’altro è incognito :

• Se è noto lo spostamento o la rotazione (vincolo), allora è

incognita la reazione esercitata

• Viceversa, se è nota la forza o il momento (applicazione di uncarico), allora il corrispondente spostamento è incognito

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10Tipi di vincolo (1)

• Cerniera (2 reaz. incognite)

Ordine del vincolo:

Numero di gradi di libertà (coincidente col numero di componenti

di reazione) vincolati: vincolo semplice, doppio, triplo, ecc.

Vincoli notevoli nel piano:

Le componenti segnate sono da

intendersi come reazioni esercitate

dal basamento verso gli elementi

V

V

O

V

O

• Appoggio o carrello (1 reaz. incognita)

• Incastro (3 reaz. incognite)

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Tipi di vincolo (2)

• Cerniera interna (2 reaz. incognite)

Le componenti segnate sono da

intendersi come di azione e

reazione scambiate tra gli

elementi

• Guida prismatica interna (2 reaz.incognite)

OVO

V

V

V

O''

V ''

O'

V '

F ' O'≠O''

V '≠V '' La situazione si complica nel caso di carico

applicato direttamente sul vincolo

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12Grado di iperstaticità (1)

Obiettivi:• Conteggiare il numero di reazioni incognite

• Stabilire se un problema è risolvibile con le sole

equazioni della staticaDefinizione:

h rappresenta il numero di gradi di libertà del sistema, con segno cambiato

a pciv +++= )(23

h= N° reazioni – N° equazioni

Per problemi piani: mvh 3−=N° elementi

Gr. di lib. nel pianoN° reazioni

N° appoggi

N° guide prismatiche

N° incastri

N° cerniere

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Grado di iperstaticità (2)

Casi possibili:

• h < 0 “ipostatico” (o “labile” )

la posizione degli elementi non è univocamente

determinata (meccanismo) equilibrio statico possibile se i carichi esterni soddisfano

opportune condizioni

• h = 0 “isostatico”

posizione degli elementi univocamente determinata

è possibile determinare le reazioni incognite mediante le

sole equazioni della statica

• h > 0 “iperstatico”

sistema sovravincolato

NON è possibile determinare le reazioni incognite

mediante le sole equazioni della statica

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Esempi di sistemi labili, iso- e iperstatici (2D)

m = 1

h = -3

v = 0

m = 1

h = -2

v = 1

a = 1

m = 1

h = -1

v = 2

c = 1

m = 1

h = 0

v = 3

c = 1

a = 1

m = 1

h = 0

v = 3

i = 1

m = 1

h = 1

v = 4

c = 2

m = 1

h = 1

v = 4

i = 1a = 1

m = 1

h = 2

v = 5

i = 1c = 1

m = 1

h = 3

v = 6

i = 2

m = 2

h = -1

v = 5

c = 2

a = 1

m = 2

h = 0

v = 6

c = 3

Un elemento

Due elementi

m = 2

h = 1

v = 7

i = 1

c = 2

eccetera …

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Scrittura equazioni di equilibrio

Procedura

• Racchiudere ogni elemento in una linea di distacco che lo

isola dagli altri interrompendo i vincoli• In corrispondenza delle interruzioni, segnare su ogni

elemento le componenti di reazione (incognite)

diagramma di corpo libero

le componenti segnate indicano le azioni degli altri elementi (o

del basamento) sull’elemento considerato

• Per ogni elemento scrivere le equazioni di equilibrio

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Esempi di diagrammi di corpo libero nel piano

Scelta di direzione e verso delle componenti incognite

• Per gli appoggi la direzione è quella dell’unica

componente di reazione applicata;

• Per le cerniere si scelgono due direzioni ortogonali,spesso (ma per comodità, non obbligatoriamente!)

orizzontale e verticale

• La scelta di un verso o del suo opposto è arbitraria,

semplicemente cambia di segno la reazione datrovare

importante: principio di azione e reazione

nei vincoli interni

F

F

1

2

A

B

linea di

distacco

F

F

1

2

V A

V BOA

F F

12

V AV B

OA OB

V C

OC

OC

V C

F F

12

BA

C

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17Equazioni di equilibrio nel piano

Gruppo di tre equazioni, scelte fra le seguenti combinazioni:

a) 2 equazioni di equilibrio alla traslazione lungo

direzioni non parallele + 1 equazione di

equilibrio alla rotazione intorno ad un puntoarbitrario;

Polo 1

Polo 2

90°

direzione di equil.alla traslazione

NO!

Polo 1

Polo 2

Polo 3NO!

Nei casi b), c) non rispettare le limitazioni porta

a scrivere equazioni che non esprimono tre

condizioni diverse di equilibrio nel piano

b) 2 equazioni di equilibrio alla rotazione + 1

equazione di equilibrio alla traslazione lungo

una direzione non perpendicolare allacongiungente i punti rispetto ai quali si

calcolano i momenti;

c) 3 equazioni di equilibrio alla rotazione intornoa punti non allineati.