7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
1/40
PROF. DR BRANKO LATINOVI
EKSPERTNI SISTEMIFUZZY SISTEMI
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
2/40
Fuzzy sistemi sadraj prezentacije
Fuzzy (rasplinuta) logika
Fuzzy skupovi i fuzzy funkcije pripadnosti
Operacije nad fuzzy skupovima
Operacije specijalno razvijene za fuzzy skupove
Primena fuzzy teorije
2/40
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
3/40
Fuzzy sistemi
Fuzzy (rasplinuta) logika
Fuzzy skupovi i fuzzy funkcije pripadnosti
Operacije nad fuzzy skupovima
Operacije specijalno razvijene za fuzzy skupove
Primena fuzzy teorije
3/40
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
4/40
Fuzzy sistemi Fuzzy (rasplinuta) logika
Fuzzy (rasplinuta) logika je nastavak razvoja "klasine" Aristotelovelogike za sluaj neizvesnosti.Razvio je Zadeh 1965. godine za podraavanje ljudskogrezonovanja primenom raunara.Osnova za primenu ovog pristupa je da u ljudskom razmiljanjunijedna pojava nije "crno - bela", tj. da izmeu njih postoji "sivazona" koja se opisuje razliitim pridevima sa dodeljenim numerikimvrednostima.
Neizvesnost moe nastati iz vie razloga, od kojih se izdvajaju: nepouzdanost informacija,
nepreciznost prikaza sadraja pojmova, nekompletnost informacija,
kontradiktornost informacija iz vie izvora i
brze promene informacija.4/40
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
5/40
Fuzzy sistemi Fuzzy (rasplinuta) logika
Fazi logika kao deo teorije rasplinutih skupova je oblast iji se rezultati nalaze unajveem broju praktinih primena, a posebno u sistemima sa priblinimzakljuivanjem i ekspertnim sistemima. Klasina logika polazi od stava da je nekotvrenje istinito ili neistinito i zato upada u paradokse kao to je ovaj koji potie izstare Grke: Jedan Krianin tvrdi da svaki Krianin lae. Ako je njegovo tvrenjeistinito, onda i on lae pa tvrenje nije istinito. Ako je njegovo tvrenje neistinito, ondaon govori istinu pa je tvrenje istinito.
Teorija rasplinutih skupova stvara osnovu za jednu vievrednosnu logiku kojasvakom tvrenju dodeljuje stepen istinitosti koji u sluaju pomenutog paradoksaiznosi 0.5.
Pored toga, fazi logika obuhvata i sluajeve kada svi uslovi ne moraju u potpunostibiti ispunjeni da bi se pojavila posledica, kao i sluajeve kada ispunjenost uslova neznai obavezno pojavljivanje posledice (tzv. slaba implikacija).
5/40
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
6/40
Fuzzy sistemi Fuzzy (rasplinuta) logika
Fuzzy (rasplinuta) logika koristi se za modeliranje sloenih sistema u kojima jeprimenom drugih metoda veoma teko uvrditi meuzavisnosti koje postojeizmeu pojedinih promenljivih. Iskazi su sa implicitnim rasplinutimkvantifikatorima koji zahtevaju korienje rasplinute logike. Logika ima dve
komponente: sistem za predstavljanje znaenja iskaza i drugih semantikihveliina i sistem zakljuivanja.
Ulazne promenljive u fuzzysistemima predstavljaju tzv. lingvistike promenljive(mali broj vozila u redu ispred semafora, kratko vreme ekanja, visokatemeperatura, nizak pritisak, visoka osoba itd.) Izlazni rezultat je u
kontinualnoj formi. Drugim reima svim moguim vrednostima izlaznepromenljive pridruen je odgovarajui stepen pripadnosti. Modeli zasnovani nafuzzylogici sastoje se od If-Then pravila.
6/40
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
7/40
Fuzzy sistemi Fuzzy (rasplinuta) logika
Uporeivanje fuzzy logike i verovatnoe:
Fuzzy logika Verovatnoa
Fuzzy logika barata sa deterministikim nedoreenostimaineodreenostima
Verovatnoa se bavi verodostojnou sluajnih dogaaja
Fuzzy logika pokriva subjektivnost ljudskog miljenja, oseanja,jezika
Verovatnoa pokriva objektivnu statistiku u prirodnim naukama
7/40
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
8/40
Fuzzy sistemi
Fuzzy (rasplinuta) logika
Fuzzy skupovi i fuzzy funkcije pripadnosti
Operacije nad fuzzy skupovima
Operacije specijalno razvijene za fuzzy skupove
Primena fuzzy teorije
8/40
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
9/40
Fuzzy sistemi Fuzzy skupovi i fuzzy funkcije pripadnosti
Osnovni elemenat za predstavljanje i obradu
nepreciznosti u fuzzy tehnologijama je fuzzy skup.
Fuzzy skup predstavlja skup elemenata sa slinimsvojstvima.
Diskretan (klasian) skup je skup elemenata sa istimsvojstvima.
9/40
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
10/40
Fuzzy sistemi Fuzzy skupovi i fuzzy funkcije pripadnosti
Diskretni skupcrisp set (crisp ukazuje na jasnoodreene granice skupa)
Fuzzy skupfuzzy set U diskretnom skupu svaki elemenat pripada tom skupu
sa stepenom pripadnosti 1.
U fuzzy skupu svaki element pripada tom skupu u
izvesnom stepenu.
10/40
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
11/40
Fuzzy sistemi Fuzzy skupovi i fuzzy funkcije pripadnosti
Fuzzy podskup A
x
A
X
Pravougaoni ram predstavlja skup X, a granica neodreenosti fuzzypodskupa A oznaene su isprekidanimlinijama.
Teorija fuzzy skupova definie stepen do kojeg je element x skupa X ukljuen u neki podskup.
Funkcija koja pokazuje stepen do kojeg je x ukljuen naziva se funkcija pripadnosti.
Stepen ukljuenosti nekad se zove i stepen pripadnosti, obimili stepen.
11/40
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
12/40
Funkcija pripadnosti
Definicija: Neka je dat neprazan skupX. Fuzzyskup
A u X se opisuje funkcijom pripadnosti:A(x):X [0,1]gde je A(x) stepen pripadnosti elementa xfuzzy skupuAza svako xX.
X se naziva nadskup ili univerzalni skup.
Fuzzy sistemi Fuzzy skupovi i fuzzy funkcije pripadnosti
12/40
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
13/40
Primer Ako Golf 4 ima maksimalnu brzinu 200 km/h moemo rei da
tvrdnja Golf 4 je brz ima stepen istinitostiod 0.75
Ako BMW ima maksimalnu brzinu 250 km/h moemo rei datvrdnja BMW je brz ima stepen istinitostiod 0.90
Ako Yugo ima maksimalnu brzinu 320 km/h moemo rei datvrdnja Yugo je brz ima stepen istinitostiod 1.00
Stepen istinitostiovde predstavlja meru pripadnosti skupu istinitihiskaza.
Fuzzy sistemi Fuzzy skupovi i fuzzy funkcije pripadnosti
13/40
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
14/40
Predstavljanje fuzzy skupova na raunaru
Razliiti oblici fuzzy funkcija pripadnosti:
1. Trougaona funkcija pripadnosti1.a Kontinualan sluaj
1.b Diskretan sluaj
2. Trapezoidna funkcija pripadnosti
3. Deo po deo pravolinijska funkcija pripadnosti
4. Zvonasta funkcija pripadnosti radial basis
Fuzzy sistemi Fuzzy skupovi i fuzzy funkcije pripadnosti
14/40
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
15/40
Predstavljanje fuzzy skupova na raunaru1. Trougaona funkcija pripadnosti
1.a Kontinualan sluaj
Fuzzy sistemi Fuzzy skupovi i fuzzy funkcije pripadnosti
0
2
2
0
)2
2()
2
2(
x
x
x
x
A
A(x)A
1
-2 20 x
15/40
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
16/40
Predstavljanje fuzzy skupova na raunaru1. Trougaona funkcija pripadnosti
1.a Diskretan sluaj
Fuzzy sistemi Fuzzy skupovi i fuzzy funkcije pripadnosti
}2,5.1,1,5.0,0,5.0,1,5.1,2{ X
5.1
25.0
1
5.0
5.0
75.0
0
1
5.0
75.0
1
5.0
5.1
25.0
A
A(x)A
1
-2 20-1 1 x
16/40
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
17/40
Predstavljanje fuzzy skupova na raunaru2. Trapezoidna funkcija pripadnosti
Fuzzy sistemi Fuzzy skupovi i fuzzy funkcije pripadnosti
4
2
2
2
2
4
)2
4(
1)
2
4(
x
x
xx
x
B
B(x)B
1
-4 40-2 2x
17/40
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
18/40
Predstavljanje fuzzy skupova na raunaru3. Deo po deo pravolinijska funkcija pripadnosti
Fuzzy sistemi Fuzzy skupovi i fuzzy funkcije pripadnosti
20
20
10
111.0
xx
xC
C(x) C
1
200 10 x
18/40
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
19/40
Predstavljanje fuzzy skupova na raunaru4. Zvonasta funkcija pripadnosti radial basis
Fuzzy sistemi Fuzzy skupovi i fuzzy funkcije pripadnosti
x
x
x
eD
2)5(5.0
D(x) D
1
0 5 x
19/40
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
20/40
Normalnost, konveksnost i broj elemenata
1. Normalnost fuzzy skupa
Fuzzy skup je normalan ako i samo ako je maxxX
A(x)=1
Fuzzy skup koji nije normalan naziva se sub-normalan ili pod normalan
fuzzy skup.
Fuzzy sistemi Fuzzy skupovi i fuzzy funkcije pripadnosti
Sub-normalan fuzzy skup se jednostavno moetransformisati u normalan ako se sve vrednosti
stepena pripadnosti podele najveim stepenompripadnosti za dati skup.
Ova se operacija naziva normalizacija
A
A
1
0.7
20/40
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
21/40
Normalnost, konveksnost i broj elemenata
2. Konveksnost (ispupenost) fuzzy skupa
Fuzzy skup je konveksan ako i samo ako vaix1X, x2X, [0,1]
A(x1+(1-)x2) min(A(x1), A(x2))
Fuzzy sistemiFuzzy skupovi i fuzzy funkcije pripadnosti
A
1
X1 (1+)x1X2
A
X2 X1 (1+)x121/40
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
22/40
Normalnost, konveksnost i broj elemenata
3. Broj elemenata (kardinalnost) fuzzy skupa
Ako je X diskretan i konaan skup, onda se kardinalnost fuzzy skupa izraava zbiromstepena pripadnosti pojedinih elemenata fuzzy skupa
4. Relativna kardinalnost fuzzy skupa
Relativna kardinalnost fuzzy skupova se dobija kada se njegova kardinalnost podeli
kardinalnou celog domena tog skupa
Fuzzy sistemi Fuzzy skupovi i fuzzy funkcije pripadnosti
Xx
A(x)|A|
||
|||A|X
A
22/40
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
23/40
Jo neke karakteristike fuzzy skupova Fuzzy singlton (singleton) je fuzzy skup ija sepodrka sastoji samo
od jednog elementa iz Xi pri tome vai:
A(x)=1 Taka prolaska (crossover point) je element izXza koji vai:
A(x)=0.5
za Jezgro(kernel) fuzzy skupa vai:ker(x)={x|A(x)=1}
Visinafuzzy skupa A je supremum funkcije A(x) po celom skupu Xtj.Visina odA= Height(A)=sup
xA(x)
Ve pomenuta normalizacija moe se izraziti i ovako:
Fazi skup je normalizovan ako je Height(A)=1, inae je nenormalizovan.
Fuzzy sistemi Fuzzy skupovi i fuzzy funkcije pripadnosti
23/40
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
24/40
0
1
140 160 180 200
Nizak
Visok
Skoro prosjean
Visina (cm)podrka fuzzy skupu
Funkcija
pripadnosti
Istovremenim razmatranjem funkcija pripadnosti fuzzy skupova dobija se ovakav
grafikon: Skale za nizak, skoro prosjean i visok
Fuzzy sistemi Fuzzy skupovi i fuzzy funkcije pripadnosti
24/40
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
25/40
0
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
skala mali
srednji
veliki
Tipian primer za funkciju pripadnosti je linearna trapezoidna funkcija
Fuzzy sistemi Fuzzy skupovi i fuzzy funkcije pripadnosti
brojevi
25/40
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
26/40
Fuzzy sistemi Fuzzy skupovi i fuzzy funkcije pripadnosti
Pored Funkcije pripadnostii Fuzzy skupabitno je jospomenuti tri pojma:
Fazifikacijaprevoenje realnih vrednosti u fazivrednosti
Fazi pravilapravila zakljuivanja za fazi logikeprobleme
Defazifikacijaprevoenje fazi vrednosti u realnevrednosti
26/40
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
27/40
Fuzzy sistemi Fuzzy skupovi i fuzzy funkcije pripadnosti
Primer INVERZNO KLATNO bez ulaska u pojedinosti
ematski prikaz upravljakog modela i u njemu mesto fazifikacije, fazi pravila(zakljuivanja) i defazifikacije :
27/40
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
28/40
Fuzzy sistemi Fuzzy skupovi i fuzzy funkcije pripadnosti
Primer - fazifikacija, fazi pravila (zakljuivanje) i defazifikacija:
Za fazifikaciju ulaznih veliina, funkcijepripadnosti fuzzy skupovima su
trougaone funkcije opisane sa tri
veliine.
Za defazifikaciju izabran je metod
teitak{N,Z,P} , a uFM[k,2]centar k-tog elementa fuzzy skupa.
U procesu zakljuivanja na osnovu
fuzzy skupova koji opisuju ulazneveliine i fuzzy pravila odreuje fuzzyskup koji predstavlja upravljakuveliinu. uF[k]=
i,jF[i]F[j], gde je
k{N,Z,P}, a i,j su indeksi matricepravila gde je element jednak k.
28/40
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
29/40
Fuzzy sistemi
Fuzzy (rasplinuta) logika
Fuzzy skupovi i fuzzy funkcije pripadnosti
Operacije nad fuzzy skupovima
Operacije specijalno razvijene za fuzzy skupove
Primena fuzzy teorije
29/40
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
30/40
Operacije nad fuzzy skupovima e biti objanjene poredei ih saoperacijama nad obinim skupovima, jo uvek se ne govori ooperacijama koje su specijalno uvedene za rad nad fuzzy
skupovima.Govori se o tri osnovne funkcije nad skupovima: komplement, unija i
presjek.
Na primer, unija obinih skupova M i N je izraena kao:
MN = {x:xM ili xN}Za definisanje unije fuzzy skupova, koristie se funkcije pripadnostikoje definiu fuzzy skupove.
Fuzzy sistemi Operacije nad fuzzy skupovima
30/40
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
31/40
Fuzzy sistemi Operacije nad fuzzy skupovima
Uzmimo najjednostavniji primer
A(x)
31/40
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
32/40
Fuzzy sistemi Operacije nad fuzzy skupovima
Komplement je
(x)=1-A(x)
32/40
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
33/40
Fuzzy sistemi Operacije nad fuzzy skupovima
Unija je
AB(x)=A(x)B(x)
33/40
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
34/40
Fuzzy sistemi Operacije nad fuzzy skupovima
Presek je
AB(x)=A(x)B(x)
34/40
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
35/40
Fuzzy sistemi
Fuzzy (rasplinuta) logika
Fuzzy skupovi i fuzzy funkcije pripadnosti
Operacije nad fuzzy skupovima
Operacije specijalno razvijene za fuzzy skupove
Primena fuzzy teorije
35/40
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
36/40
Fuzzy sistemi Operacije specijalno razvijene za fuzzyskupove
Postoji mogo operacija specijalno razvijenih za fuzzy skupove, ali
ovde e biti prikazano nekoliko:
ALGEBARSKI ZBIR i PROIZVOD
GRANINI ZBIR i RAZLIKA
DIREKTAN PROIZVOD FUZZY SKUPOVA
Fuzzy skupovi se oznaavaju sa podvuenim slovom, poto vie nema potrebe zanaglaavanjem razlika izmeuobinih i fuzzy skupova, fuzzy skupovi e biti oznaavanibez podvlaenja.
36/40
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
37/40
Fuzzy sistemi Operacije specijalno razvijene za fuzzyskupove
ALGEBARSKI ZBIR
A+B(x)=A(x)+B(x)-A(x)B(x)
ALGEBARSKI PROIZVOD
AB(x)=A(x)B(x)
GRANINI ZBIRAB(x)=(A(x)+B(x))1
GRANINA RAZLIKAAB(x)=(A(x)-B(x))0
DIREKTAN PROIZVOD FUZZY SKUPOVA
AxB(x)=A(x)B(x)
37/40
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
38/40
Fuzzy sistemi
Fuzzy (rasplinuta) logika
Fuzzy skupovi i fuzzy funkcije pripadnosti
Operacije nad fuzzy skupovima
Operacije specijalno razvijene za fuzzy skupove
Primena fuzzy teorije
38/40
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
39/40
Fuzzy sistemi Primena fuzzy teorije
Zamena konvencionalnih tehnologija u naunim aplikacijama iinenjerskim sistemima (prepoznavanje oblika, upravljanje)
Primena u industriji i komercijalnim aplikacijama (navigacioniureaji, podzemna eleznica, vemaine,usisivai, fotokamere itd.)
Kao forma aproksimativnog rezonovanja nalazi primenu uinformacionim tehnologijama i ekspertskim sistemima.
39/40
7/29/2019 02 Fuzzy Sistem i
40/40
Fuzzy sistemi
Da zakljuimo, fuzzy teorija je specifino projektovana za predstavljanjeljudskog znanja i zakljuivanja na takav nain da se moe jednostavnopredstaviti na raunaru.
U narednom periodu treba oekivatijo znaajnije uee fuzzy teorije u
upravljakim strategijama, prije svega
za donoenje strategijskih i kontrolnih(nadzornih) odluka.