DERIVADAS
Anival Torre
ANIVAL TORRE
1
.
x
y
x
(x, f(x))
Definición de derivada
s
T
2
ANIVAL TORRE
La derivada de una función f(x), denotada por f ´(x), es la pendiente de la recta tangente a la función f(x)
.s
x
.(x, f(x))
x
yf
Dx
(x+ h, f(x+ h))
Dy
Pendiente de la recta secante a una Curva
x+hDx
Dy T
hxfhxf
XY
mS)()(
3
ANIVAL TORRE
f(x)
f(x+h)
Suponga que f(x) es contínua, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto P(x, f(x)) es:
Pendiente de la recta tangente a una Curva
ANIVAL TORRE
4
hxfhxf
LimmTh
)()(0
hxfhxf
Limxfh
)()()(
0
'
Recta normal a una gráfica
La recta normal a una gráfica en un punto dado es larecta perpendicular a la recta tangente en ese punto.
x1
Lt
Ln
y = f(x)
ANIVAL TORRE
5
6
Reglas de derivación
1. Diferenciación de una constante
Si f(x) = c, entonces, f ´(x) = 0
2. Diferenciación de potencias (n Z+)
Si f(x) = xn, entonces, f ´(x) = n x n -1
3. Diferenciación para producto con una
constante
Si h(x) = c f(x), entonces, h´(x) = c f ´(x) ANIVAL TORRE
7
4. Diferenciación de una suma
Si h(x) = f(x)+g(x), entonces, h´(x) = f ´(x) + g
´(x)
5. La derivada de la suma de un número finito de
funciones es igual a la suma de las derivadas
6. Diferenciación de un producto
Si h(x) = f(x)g(x), entonces,
h´(x) = f ´(x)g(x) + f(x)g´(x)ANIVAL TORRE
87. Diferenciación de un cociente
Si h(x) = f(x)/g(x), entonces,
h´(x) = f ´(x)g(x) - f(x)g´(x) [g(x)]2
8. Diferenciación de potencias (n Z- )
Si f(x) = x- n, entonces, f ´(x) = -n x- n -1, x 0
De esto se deduce que si r Z-{0}, entonces,
Dx[x r ] = r x r -1
ANIVAL TORRE
9
Derivada de la función compuesta
Si la función g es diferenciable en x y la función f es diferenciable en g(x), entonces la función compuesta f o g es diferenciable en x, y
(f o g)´(x) = f ´(g(x)) g´(x)
También se le conoce como “regla de la cadena”Si hacemos u = g(x), tenemos:
Dx[f(u)] = f ´(u)DxuDerivada de una Función Idéntica Si f(x)= X; entonces f΄ (x) = 1
ANIVAL TORRE
Aplicaciones
ANIVAL TORRE
10
Determine la pendiente de las siguientes funciones
1. Y= 2x + 4
2. Y= 4X – 1
3. Y= -3X + 2
4. Y= 3x – 1
5. Y= 4x - 2
ANIVAL TORRE
11
Hallar la derivada de las siguientes funciones1) f(x) =2x2 en x= 3
2) f(x) = x2 + 2 en x= 2
3). f( x )= x ² - 2x + 1 en x=1
4) f(x) = x³ - 1 en x= 1/3 5) f(x) = en x=4x
Aplicaciones
ANIVAL TORRE
12
1) Dada y= f(x) = x2 + 5x – 8 , hallar y, y/ x, cuando varia : a) x0= 1 a x1= 1,2 b) x0= 1 a x1= 0,8
2) Dada y= f(x) = x2 - 2x +3 , hallar y, y/ x, cuando varia : a) x0= 1 a x1= 1,5 b) x0= 1 a x1= 2
Aplicaciones
ANIVAL TORRE
13
Hallar la pendiente de las siguientes curvas:
1.Y = X² en el punto X=2
2.Y= 2X² - 3X + 1 en el punto X=3
3.Y = X² + 1 en el punto X=1
4.Y= 3X² +5X + 2 en el punto X=3
5.Y= X³ - 3 en el punto X=4
Aplicaciones
ANIVAL TORRE
14
1.- Probar que f (x)=ax+b (a,b,ε R; a≠0) es derivable.
2.- Hallar la derivada de f(x) = x² + x
3.- Hallar la derivada de f(x) = x³ + 3x²-4x + 6
4.- Hallar la derivada de f(x) = x² -7x + 4
5.- Hallar la derivada de f(x) = x³ -5x²+2x -9
Aplicaciones
ANIVAL TORRE
15
1.- Si f(x) = 3x² + 6x Hallar f΄ (x)2.- Hallar la derivada de la función f(x) = ( 6x²+1) (x³ -2)3.-Hallar la derivada de la función
4.-Si f(x) = 5x3 - 7x2+ 3x-9 Hallar f΄ (x)5.-Hallar la derivada de la función f(x) = ( 2X³-X²) (3x³ +4)
324
)(2
xxx
xf
Aplicaciones
ANIVAL TORRE
16
Obtener la primera derivada las siguientes funciones:
1. y = 4 + 2x – 5x² + 3x³ - 6x4 +9x5
2. y = 1/ x + 3/ x² + 2/ x³
3. y = 2x1/2 + 6x1/3 +2x3/2
4. y = 2/ x1/2 + 6/ x1/3 – 4/ x3/4
5. y = (3x2)1/3 – 1/ (5x) ½
Aplicaciones
ANIVAL TORRE
17
1) Una compañía vende libros y encuentra que sus ingresos totales generados por la venta de x libros , donde x se da en miles esta dado por: I(x) = 20000(x)1/2 /(4 + x3/2 )a) HALLAR LOS INGRESOS MARGINALES I'(x) b) CALCULAR I'(3)
Aplicaciones
ANIVAL TORRE
18
2)La temperatura de una persona durante una enfermedad esta dada por:
Donde t es la temperatura en g.f. en el tiempo t, en hr.
a) Hallar la razón de cambio de la temperatura respecto al tiempo.
b) Determine la razón de cambio en t=2 horas.
2
4( ) 98,6
1
tT t
t
Aplicaciones
ANIVAL TORRE
19
sea un número real cualquiera. tracemos un angulo cuya medida sea radianes de modo que su vertice este situado en el origen de un sistema cartesiano de coordenadas siendo el eje x el origen de angulos. tomando un punto p(x,y)sobre el otro lado del angulo de 0 se verifica que:sen = y ; cos = x
Y p(x,y) X
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
El dominio de sen y de cos son numeros reales; el campo de variacion : sen es: -1<= y<= 1
cos es: -1<= x<= 1
ANIVAL TORRE
20
Entonces:tg = sen / cos ctg = cos / sen sec = 1/cos csc = 1/sen
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
ANIVAL TORRE
211. sen²x+cos²x=12. 1+tg²x = sec²x3. 1+ ctg²x= csc²x4. sen²x= (1-cos2x) / 25. cos²x= (1+cos2x)/26. senx.cosx=(sen2x)/27. senx.cscx= 18. cosx.secx=19. tgx.ctgx=110. sen2x=2senxcosx11. cos2x=cos²x-sen²x
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
Derivada de las funciones trigonométricas
ANIVAL TORRE
22
Si f(x) = sen x → f΄(x) = cos xSi f(x) = cos x → f΄(x) = - sen xSi f(x) = tg x → f΄(x) = sec² xSi f(x) = ctg x → f΄(x) = - csc² xSi f(x) = sec x → f΄(x) = sec x tg x
Si f(x) = csc x → f΄(x) = - csc x ctg x
ANIVAL TORRE
23
Sea u una funcion derivable
uDuctguuecD
uDtguuuD
uDuuctgD
uDutguD
uDsenuuD
uDusenuD
xx
xx
xx
xx
xx
xx
..csccos_.6
..secsec_.5
.csc_.4
.sec_.3
.cos_.2
.cos_.1
2
2
Derivada de las funciones trigonométricas
ANIVAL TORRE
24
Hallar la primera derivada de las funciones:1. y=cos² xSolución:Luego : y΄ = 2 cos x (cosx)΄ y΄ = 2 cos x (-senx) y΄ = -2 sen x cosx
Ejemplo
ANIVAL TORRE
25
2. y=sen² 3xsolución:Luego : y΄ = 2 sen 3x (sen3x)΄(3x)΄ y΄ = 2 sen 3x (cos3x)3 y΄ = 6sen 3x (cos3x)
Ejemplo
ANIVAL TORRE
26
3. y=cos² 5xSolución:Luego : y΄ = 2 cos 5x (cos5x)΄(5X) ΄ y΄ = 2 cos 5x (-sen5x)5
y΄= -10 sen5x cos5x
Ejemplo
ANIVAL TORRE
27
4. y=sen² 7x5
solución: Luego : y΄ = 2 sen 7x5DX (sen7x5)
y΄ = 2 sen 7x5 (cos7x5) DX (7x5)
y΄ = 2 sen 7x5 (cos7x5) 35x5-1
y΄ = 2 sen 7x5 (cos7x5) 35x4
y΄ =70x4 sen 7x5 cos7x5
Ejemplo
ANIVAL TORRE
28
5.- y=sen³ 2x⁴solución: y=(sen 2x⁴) ³Luego : y΄ = 3 (sen 2x⁴)² (sen 2x⁴) ΄ y΄ = 3 (sen 2x⁴)²(cos 2x⁴) (2x⁴) ΄
y΄ = 3 (sen 2x⁴)²(cos 2x⁴) (8x³)
y΄ = 24x³ (sen 2x⁴)²(cos 2x⁴)
Ejemplo
ANIVAL TORRE
29
6. y = ctg(1-2x2)y΄ = -csc2(1-2x2)DX(1-2x2)
y΄ = -csc2(1-2x2)(0 -4X2-1 )y΄ = -csc2(1-2x2)(-4X)y΄ = 4X csc2(1-2x2)
Ejemplo
ANIVAL TORRE
30
7. y= tg x2
y΄ = sec2x2 DX(x2)
y΄ = sec2x2 (2x)y΄ = 2x sec2x2
Ejemplo
ANIVAL TORRE
31
8. Y=tg 3x4
y΄ = sec23x4 DX(3x4)
y΄ = sec23x4 (12X4-1)y΄ = 12X3 sec23x4
Ejemplo
ANIVAL TORRE
32
9. y = tg2 3x5
y = (tg 3x5) 2
Y’= 2 (tang3x5) 2-1DX (tang3x5) = 2 (tang3x5) sec2(3x5)DX(3x5) = 2 (tang3x5) sec2(3x5)(15x5-1) = 2 (tang3x5) sec2(3x5)(15x4) =30 x4 tang3x5sec23x5
Ejemplo
ANIVAL TORRE
33
10. y=sen² 7x5
solución:Luego : y΄ = 2 sen 7x5DX (sen7x5)
y΄ = 2 sen 7x5 (cos7x5) DX (7x5)
y΄= 2 sen 7x5 (cos7x5) 35x5-1
y΄ =2 sen 7x5 (cos7x5) 35x4
y΄ =70x4 sen 7x5 cos7x5
Ejemplo
ANIVAL TORRE
34
11. y= sen3x+cos2xSOLUCION:Y’= cos3xDX(3X) + (-sen2x) DX(2X)
= cos3x(3) - sen2x(2) =3cos3x - 2sen2x
Ejemplo
ANIVAL TORRE
35
12. f (x) = sen x cos x + tg xSolución: f΄ (x) = ( sen x cos x )΄ + ( tg x )΄ f΄(x) = ( sen x)΄ cos x + sen x ( cos x )΄
+ sec² x f΄(x) = cos x cos x + sen x ( -sen x)
+ sec ² x
f΄(x) = cos² x - sen² x + sec² x
Ejemplo
ANIVAL TORRE
36
senxxsenx
xfcos
)(.13
xsen
xxsenf
senx
xxsenxxsenxxsenxf
senx
xxsenxsenxxxsenxf
senx
senxxsenxxsenxxsenxf
2
22'
2
22'
2
'
2
'''
)cos(
)(
coscoscos)(
)(
))(coscos()(cos)(
)(
)()cos()cos()(
Ejemplo
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.
37
ANIVAL TORRE
3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.
4. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.
38
ANIVAL TORRE
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
logaritmo Natural
El logaritmo natural es un logaritmo que tiene como base el número 2,718281828…
Debido a que es muy incómodo trabajar con un número que tiene muchos decimales, se le ha asignado la letra “e”:
e = 2,718281828…Para simplificar más esta notación, en
logaritmos se utiliza la abreviación de
logaritmo natural (ln) para referirse a un logaritmo que tenga este número como base:
39
ANIVAL TORRE
Fórmulas de Derivación
e) base o natural log :ln ( .1
ln).2
10) base :log ( .log
log).1 a
uDu
uD
uDu
euD
xx
xax
(log )(ln )a
d uu
dx u a
40
ANIVAL TORRE
APLICACIONES
Hallar las derivadas de las funciones.1. y=loga(4x3+2) P: 1/u * logae DX u
dy/dx=1/(4x3+2) *logae DX (4x3+2) = 1/(4x3+2) *logae (12x2) = 12x2 /(4x3+2) *logae
41
ANIVAL TORRE
2. y=log²a(3x3-1) P: 1/u * logae DX u y= 2loga(3x3-1)
dy/dx=2loga(3x3-1)*DXloga(3x3-1) =2loga(3x3-1)*1/(3x3-1) *logae DX (3x3-1) = 2loga(3x3-1)*1/(3x3-1) *logae (9X2) =18X2/ (3x3-1) *loga(3x3-1)* logae
42
ANIVAL TORRE
APLICACIONES
3. y= ln(5x+3)2 p: 1/u * Dx u
Aplicando propiedades de logaritmos: y= 2ln(5x+3) dy/dx= 2DXln(5x+3)
= 2*1/(5X+3) DX(5x+3)
= 2*1/(5X+3) (5) =2/(5X+3)
43
ANIVAL TORRE
APLICACIONES
4. y=loga(5x4+2)2 p: 1/u * logae DX u
5. y= ln3 (7x-1)4 p: 1/u * Dx u
44
ANIVAL TORRE
APLICACIONES
6. y= ln(x2 +2)²(x3 -3) p: 1/u * Dx
u
7. y= ln(3x4 -2)(x2 +5)3 p: 1/u * Dx u
45
ANIVAL TORRE
APLICACIONES
8. f(x)= x3 / (5x-7)2
9. f(x)= (2x+3)3 / (3x+4)2
10. y=lnsen2x 11. y=lncos3x2 12. y= ln tangx
46
ANIVAL TORRE
APLICACIONES
Si f(x)=ex ; entonces f ’(x)=ex
uDuuuDvuuD
uDKKKD
uDeeD
xv
xvv
x
xuu
x
xuu
x
.ln..3
..ln.2
.1
1
Fórmulas de derivación
47
ANIVAL TORRE
DERIVADAS EXPONENCIALES
Hallar las derivadas de las funciones1. Y=e2x P: y’= eu
du
y’ = e2x DX 2X
= e2x (2)
= 2 e2x
48
ANIVAL TORRE
APLICACIONES
2. Y=e3x² P: y’= eu du y’ = e3x² DX 3x² = e3x² ( 6x) =6 e3x²
49
ANIVAL TORRE
APLICACIONES
3. y=a3x² P: Y’=kulnk Dxu y’= a3x² ln a .Dx(3x²) = a3x² ln a (6x) = 6x. a3x² ln a
4. y=54x³
y’= 54x³ln 5 .Dx(4x³) = 54x³ln 5 (12x²) = 12x² 54x³ ln 5
50
ANIVAL TORRE
APLICACIONES
F’(x)= 3x DX(senx) + senx Dx (3x ) = 3x COSX + senx (3x ln3 ) = 3x COSX + 3x ln3 senx = 3x ( COSX + ln3 senx )
)(,3f(x) Si ' xfhallarxsenx1.
51
ANIVAL TORRE
APLICACIONES
(x)fhallar ; x cos4 f(x) Si -2. '2x
52
ANIVAL TORRE
x
x
exf
xexf3'
'3'
3)(
)3()(
)(fhallar ,e f(x) Si -3. '3x x
APLICACIONES
)(fhallar x,tg21
f(x) Si -4. ' xx
53
ANIVAL TORRE
APLICACIONES
x
x
ex
xex
x
4'
'4'
'4x
4)(f
)4()(f
:Solución
)(fhallar ; e f(x) Si -5.
54
ANIVAL TORRE
APLICACIONES
6. f(x) = e2x³ + 4(5x³ + 2x)
7. f(x) = e(4x³ + 3x²) + 74x³
8. f(x)= e 1/3X
55
ANIVAL TORRE
APLICACIONES