Download doc - 04 Ecuatiile dinamicii

4 . ECUAŢIILE GENERALEALE DINAMICII FLUIDELOR

4.1. STAREA DE EFORTURI ÎN INTERIORUL UNUI

FLUID. TENSORUL TENSIUNILOR

Asupra unui fluid în mişcare se exercită forţe care pot fi împărţite în

două categorii şi anume forţe de masă şi forţe de suprafaţă. În ceea ce

priveşte prima dintre aceste categorii, forţele respective se exprimă prin

vectorul , fiind densitatea şi f forţa raportată la unitatea de masă, având

deci dimensiunile unei acceleraţii. Principala forţă de masă este greutatea, în

care caz, iar alte astfel de forţe mai sunt cea centrifugă, forţa lui Coriolis şi

forţele de natură electromagnetică.

Forţele de suprafaţă sunt reprezentate prin tensiunile care se exercită

pe suprafaţa fluidului. Această definiţie este valabilă şi pentru orice

subdomeniu al domeniului ocupat de fluid.

Prin urmare, dacă utilizăm un raţionament asemănător cu cel referitor

la presiune, acţiunea masei m1 asupra masei m2 se traduce printr-un sistem

de forţe , fiind o forţă raportată la unitatea de suprafaţă (tensiune),

dA elementul de arie al suprafeţei de separaţie S şi n versorul normalei

exterioare pe dA (figura 4.1).

Acţiunea fiind reciprocă, masa m2 exercită asupra masei m1 un sistem

de forţe . În cazul unui fluid real (vâscos), vectorul tensiunilor nu

are acelaşi suport cu versorul n al normalei pe dA. Prin urmare, are o

componentă normală pe dA şi o alta tangentă la acest element de arie, ceea

ce înseamnă că într-un fluid real în mişcare există atât tensiuni normale cât

şi tensiuni tangenţiale.

Figura 4.1

59 Mecanica fluidelor

Într-un fluid aflat în repaus, , p fiind presiunea şi prin

urmare nu există tensiuni tangenţiale. Această proprietate se menţine şi în

cazul fluidelor ideale aflate în mişcare.

În mişcarea unui fluid real, vectorul tensiunilor depinde de punct,

respectiv de vectorul de poziţie r, de orientarea elementului dA, definită prin

versorul normalei n, precum şi de timpul t dacă mişcarea este nestaţionară.

Să considerăm, în interiorul unui fluid în mişcare, într-un punct O, un

volum elementar dV, de forma unui tetraedru OABC având muchiile OA,

OB şi OC, paralele cu axele triedrului cartezian ortogonal Oxyz, de lungime

dx, dy şi dz (figura 4.2). Mai departe, notăm cu dAx aria feţei OBC, cu dAy

aria feţei OCA, cu dAz aria feţei OAB şi cu dAn aria feţei ABC, indicii

referindu-se la direcţia normalei pe faţa respectivă. De asemenea, notăm cu

vectorii tensiunilor pe feţele OBC, OCA, OAB şi cu

vectorul tensiunilor pe faţa ABC.

Conform celor spuse mai înainte, aceşti vectori nu mai sunt normali

pe feţele pe care acţionează. Versorii normalelor pe feţele OBC, OCA şi

OAB sunt chiar versorii ai axelor de coordonate şi sensul lor

pozitiv este deci către interiorul volumului considerat. Ca urmare, vom

orienta versorul normalei n pe faţa ABC tot către interiorul volumului.

Să scriem ecuaţia de mişcare pentru masa elementară cuprinsă

în acest volum, viteza v fiind aceea a centrului de masă. Obţinem astfel

(4.1)

Figura 4.2

Ecuaţiile generale ale dinamicii fluidelor 60

sau, dacă notăm cu h lungimea normalei coborâtă din punctul O pe faţa

ABC,

(4.2)

deoarece volumul tetraedrului are expresia

.

Pe de altă parte, dacă nx, ny, nz sunt cosinuşii directori ai normalei n,

avem

, , ,

semnul negativ datorându-se faptului că, la rândul lor, nx, ny, nz sunt

negativi, unghiurile dintre n şi versorii ai axelor de

coordonate fiind obtuze.

După înlocuirea în (4.2) şi simplificarea cu dAn rezultă

(4.3)

şi dacă trecem la limită, făcând pe h să tindă spre zero, obţinem

, (4.4)

rezultat cunoscut sub numele de formula lui Cauchy.

Prin urmare, vectorul tensiunilor de pe o suprafaţă elementară de

orientare n dată, într-un punct oarecare M al fluidului este o funcţie liniară

de vectorii tensiunilor de pe suprafeţele din planele paralele cu planele de

coordonate ale triedrului cartezian ortogonal.

Fiecare dintre vectorii are o componentă normală pe

planul corespunzător şi două componente tangenţiale situate în acest plan.

Prin urmare, putem scrie

(4.5)

componentele cu indici de acelaşi fel fiind tensiunile normale, iar

componentele cu indici diferiţi tensiunile tangenţiale. Dacă proiectăm relaţia

(4.4) pe axele de coordonate, găsim

(4.6)


sau, sub forma matricială

(4.7)

În felul acesta, se pune în evidenţă faptul că starea de tensiune de pe o

suprafaţă elementară de orientare n este determinată de tensorul reprezentat

prin matricea pătrată din relaţia precedentă, respectiv de trei tensiuni

normale şi şase tensiuni tangenţiale. Ca urmare, tensorul de ordinul al doilea

din (4.7) se numeşte tensorul tensiune al lui Cauchy. Acesta este, de fapt,

prima mărime tensorială care a apărut în ştiinţă, iar denumirea de tensor,

generalizată ulterior, se datorează semnificaţiei sale fizice, componentele

sale fiind tensiunile normale şi cele tangenţiale,

. (4.8)

4.2. ECUAŢIA DE MIŞCARE

4.2.1. Expresia generală

Să considerăm un domeniu fluid cu frontiera , câmpul

vectorial al forţelor de masă f şi câmpul tensorial T fiind definite pe

închiderea . Impulsul masei de fluid din are expresia

şi în conformitate cu principiul variaţiei impulsului putem scrie

(4.9)

derivata în raport cu timpul a impulsului fiind egală cu rezultanta forţelor

care acţionează asupra fluidului. Cu ajutorul formulei (2.22), găsim însă

(4.10)

iar din ecuaţia de continuitate (2.61) rezultă

(4.11)


astfel că, în cele din urmă, obţinem

(4.12)

şi ecuaţia (4.9) devine

. (4.13)

Formula lui Cauchy (4.4) ne permite să aplicăm formula lui Gauss

şi anume

(4.14)

iar ecuaţia (4.13) devine

şi prin urmare

. (4.15)

Aceasta este ecuaţia de mişcare a lui Cauchy şi dacă ţinem seama de

(2.7) mai putem scrie

. (4.16)

În proiecţie pe axele triedrului cartezian ortogonal Oxyz, avem

.

(4.17)

4.2.2. Simetria tensorului tensiunilor

În condiţiile precizate mai înainte, scriem momentul cinetic al masei

de fluid din care are expresia


şi dacă aplicăm principiul variaţiei momentului cinetic putem scrie

(4.18)

derivata în raport cu timpul a momentului cinetic fiind egală cu momentul

rezultant al forţelor care acţionează asupra fluidului din .Tot din (2.22)

obţinem însă

(4.19)

sau

(4.20)

după ce utilizăm din nou ecuaţia de continuitate (2.61), respectiv formula

(4.11).Ca urmare, ecuaţia (4.18) devine

. (4.21)

Produsul vectorial fiind distributiv, din (4.4) rezultă

(4.22)

ceea ce permite să aplicăm formula lui Gauss

(4.23)

astfel că ecuaţia (4.21) ia forma

şi prin urmare

. (4.24)

După câteva calcule, găsim


(4.25)

unde am ţinut seama de faptul că

şi de acela că

, , .

Din (4.15) rezultă însă că membrul stâng al ecuaţiei (4.25) este identic

nul şi prin urmare

(4.26)

Pe de altă parte, şi au expresiile (4.5) şi deoarece

,

,

găsim, în loc de (4.26)

sau

, , . (4.27)

Tensorul tensiunilor este deci simetric, existând numai trei tensiuni

tangenţiale diferite între ele.

În încheiere, menţionăm că formula (4.4), ecuaţia (4.15) ca şi relaţiile

(4.27) sunt valabile nu numai pentru fluide ci şi pentru orice mediu

continuu deformabil deoarece nu s-a utilizat la deducerea lor nici o ipoteză

restrictivă în acest sens.

Există însă medii continui, inclusiv fluide, la care apar momente

interne, ceea ce înseamnă că în acestea sunt cupluri masice şi de suprafaţă

repartizate. Formula (4.4) şi ecuaţia (4.15) rămân valabile dar ecuaţia

variaţiei momentului cinetic are altă formă şi în consecinţă tensorul

tensiunilor nu mai este simetric.

4.2.3. Legea constitutivă


Ecuaţia de mişcare (4.15) nu poate fi utilizată în studiul mişcării

fluidelor decât dacă se stabileşte în prealabil o relaţie între tensorul

tensiunilor şi tensorul vitezelor de deformaţie. O astfel de relaţie se numeşte

legea constitutivă. Denumirea de lege şi nu de ecuaţie arată că relaţia la care

ne referim respectă principiul obiectivităţii sau al indiferenţei materiale ceea

ce înseamnă că nu depinde de sistemul de referinţă. Într-adevăr, ecuaţiile,

inclusiv acelea pe care le-am stabilit până în prezent, au forme care depind

de sistemul de referinţă adoptat.

În stabilirea acestei legi pentru fluidele reale, se consideră că acestea

sunt omogene şi izotrope, aşa cum am precizat de altfel în primul capitol.

De asemenea, forma generală a acestei legi este

(4.28)

şi conform celor spuse mai sus, tensorul tensiunilor T nu depinde de poziţia

r, iar funcţia f este independentă de orientarea axelor; de asemenea T este o

funcţie continuă de .

În sfârşit, atunci când fluidul este în repaus ( =0) avem , I

fiind tensorul unitate

. (4.29)

În aceste condiţii, fluidul real se mai numeşte şi stokesian, deoarece

definiţia dată mai sus corespunde cu ideile enunţate de Stokes. Se poate

arăta că o lege generală ce corespunde celor precizate mai înainte este

(4.30)

unde

, (4.31)

cu

(4.32)

în care sunt invarianţii scalari ai tensorului vitezelor de

deformaţie şi anume

, , (4.33)

expresii în care simbolul tr semnifică suma termenilor de pe diagonala

principală a matricei tensorului respectiv, iar simbolul det determinantul

acestei matrice; astfel, observăm că avem

. (4.34)


În expresiile funcţiilor au fost incluse densitatea şi

temperatura fluidului deoarece tensorul depinde şi de starea termodinamică

a fluidului. În ceea ce priveşte presiunea, am arătat în primul capitol că există

o relaţie între aceasta, densitate şi temperatură (ecuaţia de stare).

Fluidele a căror lege constitutivă este (4.30) se numesc fluide Reiner

– Rivlin.

Legea (4.30) fiind complicată se utilizează diferite aproximaţii care se

bazează pe introducerea unor expresii polinomiale pentru funcţiile

fenomenologice . Astfel, aproximaţia de ordinul zero este

(4.35)

şi prin urmare

(4.36)

ceea ce reprezintă cazul fluidelor ideale, fără vâscozitate. Presiunea

termodinamică, introdusă în ecuaţia de stare, se confundă în acest caz cu

presiunea mecanică şi poate fi deci funcţie de densitate şi de temperatură.

În cazul în care presiunea depinde numai de densitate, fluidul se numeşte

barotrop.

În aproximaţia de ordinul întâi, avem

, , (4.37)

şi fiind funcţii de variabilele r şi T. Dacă ţinem seama de (4.34) legea

constitutivă (4.30) devine

(4.38)

fluidele pentru care este valabilă această lege numindu-se newtoniene.

În cazul particular al unui fluid incompresibil, legea (4.38) ia forma

. (4.39)

Precizăm că legea constitutivă (4.38) poate fi dedusă direct, utilizând

proprietatea de izotropie a fluidului, datorită căreia direcţiile principale ale

tensorilor simetrici T şi coincid, precum şi formula (4.36).

Din (4.38) rezultă, în coordonate carteziene ortogonale

(4.40)


precum şi

(4.41)

şi se observă imediat că este vâscozitatea dinamică introdusă în primul

capitol. Într-adevăr, expresiile (4.41) conţin ca un caz particular legea lui

Newton prezentată acolo.

Din consideraţiile precedente rezultă că în fluidele în repaus ca şi în

cazul fluidelor ideale în mişcare nu există tensiuni tangenţiale, iar din (4.36)

rezultă

şi prin urmare presiunea este media aritmetică, cu semn schimbat, a

tensiunilor normale.

La fluidele reale în mişcare, putem defini o presiune medie tot ca

medie aritmetică, cu semn schimbat, a tensiunilor normale

(4.42)

sau, după utilizarea relaţiilor (4.40)

(4.43)

Presiunea mecanică astfel definită nu mai este deci aceeaşi cu

presiunea termodinamică decât dacă fluidul este incompresibil

sau dacă

(4.44)

ipoteză introdusă de Stokes. În cazul în care nu se acceptă această ipoteză,

se pune

(4.45)

unde este a doua vâscozitate sau vâscozitatea dilataţională, fiind

vâscozitatea de forfecare. Ca urmare, relaţiile (4.40) devin


(4.46)

în timp ce relaţiile (4.41) rămân neschimbate.

Menţionăm însă că unii autori dau denumirea de a doua vâscozitate

chiar coeficientului .

Ipoteza lui Stokes este însă utilizată pe scară largă, chiar dacă este

contrazisă de unele fapte experimentale. Acceptarea acestei ipoteze, care nu

este necesară la fluidele incompresibile, se bazează pe faptul că sunt afectate

numai tensiunile normale, erorile introduse fiind mici.

4.2.4. Ecuaţia Navier – Stokes

În ecuaţia de mişcare a lui Cauchy (4.15), introducem pentru vectorii

tensiunilor , expresiile (4.5). Utilizând după aceea legea

constitutivă (4.38), respectiv expresiile (4.40) şi (4.41) ale tensiunilor

normale şi tangenţiale, cu ipoteza că şi sunt constante, găsim

(4.47)

unde este laplacianul vectorului viteză .

Aceasta este ecuaţia Navier-Stokes, iar dacă ţinem seama de

formula cunoscută

(4.48)

mai putem scrie

.(4.49)

Dacă nu acceptăm ipoteza lui Stokes (4.44), cu ajutorul relaţiei

(4.45) ecuaţia (4.47) devine

(4.50)

iar (4.49) ia forma


.

(4.51)

În sfârşit, atunci când se adoptă ipoteza lui Stokes care, aşa cum se

observă din (4.44) şi (4.45) este echivalentă cu , ecuaţia (4.49) capătă

forma cea mai obişnuită şi anume

(4.52)

sau

. (4.53)

Dacă ne referim la forma (4.52) a ecuaţiei Navier – Stokes avem,

în proiecţie pe axele triedrului cartezian ortogonal Oxyz,

(4.54)

În cazul în care fluidul este incompresibil , ipoteza lui

Stokes nu mai este necesară iar ecuaţiile (4.47) şi (4.49) devin

, (4.55)

respectiv

. (4.56)

Proiecţiile ecuaţiei (4.55) pe axele triedrului cartezian ortogonal

Oxyz sunt


,

, (4.57)

,

cu menţiunea că, de data aceasta, am scris dezvoltat expresiile

componentelor acceleraţiei conform formulelor (2.10).

În cazul raportării mişcării fluidului la un triedru mobil, viteza

absolută a fluidului, faţă de un sistem fix, are expresia

(4.58)

fiind viteza originii triedrului mobil faţă de cel fix, viteza unghiulară a

triedrului mobil faţă de cel fix, iar viteza relativă a fluidului în raport cu

triedrul fix.

După efectuarea unor calcule, asupra cărora nu insistăm deoarece sunt

cunoscute din cinematica solidelor, se obţine expresia acceleraţiei absolute

sub forma

(4.59)

în care punctul înseamnă derivarea în raport cu timpul iar derivata materială

a vitezei relative este calculată în sistemul mobil. Prin urmare, în ecuaţia

Navier – Stokes expresia precedentă (4.59) a acceleraţiei înlocuieşte pe

aceea considerată mai înainte.

4.3. ECUAŢIA IMPULSULUI



Considerăm ecuaţia (4.9) şi observăm că, în conformitate cu formula

(2.26) în care punem , putem scrie

(4.99)

fiind o mulţime mărginită fixă în E3 care coincide cu la t=t1. În felul

acesta, ecuaţia (4.9) devine

(4.100)

unde D, la care am omis indicele, este deci un domeniu din E3 ocupat de

fluid, a cărui frontieră este o suprafaţă regulată cu normala exterioară

n.

Observăm că (4.99) reprezintă de fapt forma lagrangiană a ecuaţiei

impulsului în timp ce (4.100) este forma euleriană a acestei ecuaţii. Dacă

introducem notaţiile

, (4.101)

ecuaţia (4.100) se scrie

(4.102)

formă sub care este utilizată de obicei în aplicaţii.

4.3.2. Ecuaţia impulsului pentru un tub de curent

Să considerăm o porţiune dintr-un tub de curent delimitată de

secţiunile normale S1 şi S2 (figura 4.3) şi să presupunem că mişcarea este

staţionară. Dacă ţinem seama şi de expresia debitului volumic elementar

dQ, ecuaţia (4.102) devine

(4.103)

Figura 4.3


deoarece, conform definiţiei tubului de curent, debitul prin suprafaţa laterală

Sl a acestuia este nul. Dacă S1 şi S2 sunt suficient de mici, putem admite că

vitezele de pe acestea, v1 respectiv v2 sunt constante astfel că putem scrie

,

dacă ţinem seama de orientarea versorilor n1 şi n2 ai normalelor pe S1,

respectiv S2 şi introducem debitul masic Qm. Mişcarea fiind staţionară,

acest debit este constant, conform formulei (2.69) şi prin urmare, în cele

din urmă avem

, (4.104)

şi ecuaţia (4.103) se scrie

(4.105)

având, sub această formă, diferite aplicaţii practice, după ce se explicitează

forţele de masă şi de suprafaţă. Precizăm de asemenea că (4.105), aşa cum

se poate constata imediat, este valabilă atât pentru fluidele compresibile cât

şi pentru cele incompresibile.

4.4. ECUAŢIA MOMENTULUI CINETIC


Referindu-se la ecuaţia (4.9), observăm, la fel ca în cazul precedent

(figura 4.4), dacă punem în (3.25) obţinem

Figura 4.4


(4.106)

şi având semnificaţiile cunoscute.

Mai departe, procedând la fel ca şi în cazul ecuaţiei impulsului, găsim

. (4.107)

Dacă introducem notaţiile

, (4.108)

ecuaţia (4.107) se scrie

(4.109)

această formă fiind utilizată în mod curent în aplicaţii.

4.4.2. Ecuaţia momentului cinetic pentru un tub de curent

Presupunând, ca şi în cazul ecuaţiei impulsului că mişcarea este

staţionară şi introducând expresia debitului volumic elementar dQ, ecuaţia

(4.109) devine

. (4.110)

Dacă S1 şi S2 sunt şi de data aceasta suficient de mici, putem utiliza

aceeaşi ipoteză relativă la vitezele şi , găsind astfel

,

cu aceeaşi observaţie referitoare la orientarea versorilor n1 şi n2. Ca urmare

la ipoteza referitoare la S1 şi la S2, am introdus razele vectoare r1 şi r2 ale

centrelor acestor secţiuni.

Dacă ţinem seama de (2.69) putem scrie

,

(4.111)

ajungând astfel la ecuaţia


(4.112)

utilizabilă în aplicaţii după explicitarea momentelor forţelor de masă Mm,

respectiv al forţelor de suprafaţă Ms. Ca şi (4.105), ecuaţia (4.112) este

valabilă atât pentru fluidele compresibile cât şi pentru cele incompresibile.