[บทท�� 5 การเคลื่��อนท��แบบวงกลื่มก�บกฎของน�วตั�น]

เมื่��อวั�ตถุเคลื่��อนที่��เป็�นวังกลื่มื่ในระนาบแนวัก�บพื้��นโดยมื่�อ�ตราเร�วั v คงที่�� จะที่"าให้$เก%ดการเคลื่��อนที่��แบบวังกลื่มื่สมื่"�าเสมื่อ

ควัามื่เร'งที่��เก%ดขึ้)�นจากการเป็ลื่��ยนที่%ศขึ้องควัามื่เร�วั มื่�ที่%ศเขึ้$าส+'ศ+นย,กลื่าง แลื่ะมื่�ค'าคงต�วั

จากกฎขึ้องน%วัต�นแรงที่��กระที่"าต'อวั�ตถุที่��เคลื่��อนที่��เป็�นวังกลื่มื่

2va

R

2vF ma m

R

แรงมื่�ที่%ศเขึ้$าส+'ศ+นย,กลื่างเพื้��อด)งให้$เคลื่��อนที่��เป็�นวังกลื่มื่รอบจดศ+นย,กลื่าง

แต'ถุ$าเชื�อกขึ้าดแรงด)งไมื่'มื่� วั�ตถุจะห้ลื่ดออกไป็ในแนวัเส$นตรงที่��ส�มื่ผั�สก�บวังกลื่มื่

0

0

F

a

v

ตั�วอย่�างท�� ตั�วอย่�างท�� 5-1 5-1 กลื่'องวั�ตถุขึ้นาดเลื่�กมื่วัลื่ 0.300 kg ห้มื่นเป็�นวังกลื่มื่อย'างสมื่"�าเสมื่อบนพื้��นผั%วัระด�บลื่��น กลื่'องผั+กต%ดก�บเชื�อกยาวั 0.140 m ซึ่)�งป็ลื่ายอ�กขึ้$างห้น)�งย)ดไวั$ก�บเขึ้�มื่ซึ่)�งป็2กไวั$ที่��ผั%วั ถุ$ากลื่'องห้มื่นครบสองรอบต'อวั%นาที่� จงห้าแรงที่��เชื�อกกระที่"าต'อกลื่'องแรงที่��เชื�อกกระที่"าต'อกลื่'องค�อแรงที่��มื่�ที่%ศเขึ้$าส+'ศ+นย,กลื่างซึ่)�ง

F ma

ห้าขึ้นาดควัามื่เร'งเขึ้$าส+'ศ+นย,กลื่างได$จาก

2

2

4 Ra

T

2

2

4 0.14022.1

0.50a

จากโจที่ย,กลื่'องห้มื่นสองรอบใชื$เวัลื่า 1 วั%นาที่� คาบในการห้มื่น T = ½ = 0.50 วั%นาที่�

m/s2

แรงที่��เชื�อกกระที่"าต'อกลื่'อง

0.300 22.1 6.63F น%วัต�น

ตั�วอย่�างท�� ตั�วอย่�างท�� 5-2 5-2 วั�ตถุขึ้นาดเลื่�กมื่วัลื่ m ผั+กต%ดด$วัยเชื�อกยาวั L ถุ$าวั�ตถุน��เคลื่��อนที่��เป็�นวังกลื่มื่ด$วัยอ�ตราเร�วัคงที่�� v ในแนวัระด�บ ร�ศมื่�ขึ้องวังกลื่มื่ r ด�งแสดงในร+ป็จงห้าอ�ตราเร�วั v ขึ้องวั�ตถุ

v

เขึ้�ยนแผันภาพื้โดยแยกองค,ป็ระกอบขึ้องแรงตามื่แกน x แลื่ะ แกน yจากกฎขึ้องน%วัต�นระบบไมื่'มื่�ควัามื่เร'งในแนวัด%�งด�งน��น

0yF

แรงในแนวัระด�บมื่�ที่%ศเขึ้$าห้าจดศ+นย,กลื่างขึ้องวังกลื่มื่

xF ma2

sinx

vF T m

r ค�อ

cos 0T mg

น"าสมื่การที่��ได$จากองค,ป็ระกอบ y ห้ารด$วัยสมื่การที่��ได$จากองค,ป็ระกอบ x 2

tanv

rg

ด�งน��นอ�ตราเร�วั v จะมื่�ค'าเที่'าก�บ

tanv rg

แต'จากร+ป็ร�ศมื่� r = L sin sin tanv Lg

ตั�วอย่�างท�� ตั�วอย่�างท�� 5-35-3 จากร+ป็ ลื่+กบอลื่มื่วัลื่ 030. kg แขึ้วันด$วัยเชื�อกยาวั 20. m จงห้าอ�ตราเร�วัที่��จะที่"าให้$ลื่+กบอลื่เคลื่��อนที่��เป็�นวังกลื่มื่โดยที่��เชื�อกที่"ามื่มื่ 40๐ ก�บแกน

4

0

๐

mg

T sin

T cos

T

อ�ตราเร�วัขึ้องลื่+กบอลื่ค�อsin tanv Lg

2.0 9.8 sin 40 tan 40

3.25

v

m/s

ตั�วอย่�างท�� ตั�วอย่�างท�� 5-45-4 รถุยนต, BMW ก"าลื่�งเลื่��ยวัโค$งบนถุนนราบที่��ไมื่'ได$ยกเอ�ยงโดยที่��ร �ศมื่�ควัามื่โค$ง 230 m ถุ$าส�มื่ป็ระส%ที่ธิ์%6ควัามื่เส�ยดที่านระห้วั'างลื่$อแลื่ะถุนนมื่�ค'า s = 0.87อ�ตราเร�วัส+งสดที่��คนขึ้�บเลื่��ยวัรถุได$โดยที่��รถุไมื่'ไถุลื่มื่�ค'าเที่'าใดจากกฎขึ้องน%วัต�น ควัามื่เร'งที่��

เก%ดขึ้)�นในแนวัระด�บค�อควัามื่เร'งเขึ้$าส+'ศ+นย,กลื่างแรงที่��กระที่"าค�อแรงเส�ยดที่านระห้วั'างลื่$อรถุก�บพื้��นถุนน ควัามื่เร'งในแนวัด%�งเป็�นศ+นย,2

x s

vF f m

R

0yF N mg N mg

สมื่การแรกแสดงให้$เห้�นวั'าแรงเส�ยดที่านที่��จ"าเป็�นในการร�กษาให้$รถุแลื่'นเป็�นเส$นที่างวังกลื่มื่มื่�ขึ้นาดเพื้%�มื่ตามื่อ�ตราเร�วั แต'แรงเส�ยดที่านสถุ%ตส+งสดที่��เป็�นไป็ได$ค�อ

,maxs s sf N mg

ด�งน��น 2

s

vmg m

R

ค'าอ�ตราเร�วัส+งสดค�อ

sv gR

0.87 9.8 230 44v m/s

ตั�วอย่�างท�� ตั�วอย่�างท�� 5-55-5 ถุ$ายกพื้��นถุนนเอ�ยงที่"ามื่มื่ ก�บแนวัระด�บ โดยที่��พื้��นถุนนก�บลื่$อรถุไมื่'มื่�แรงเส�ยดที่านใดๆ ถุ$ารถุวั%�งด$วัยอ�ตราเร�วัคงที่�� 25 เมื่ตร/วั%นาที่� แลื่ะร�ศมื่�ควัามื่โค$งขึ้องถุนนเป็�น 230 เมื่ตร ต$องใชื$มื่มื่ เที่'าใดจ)งจะเลื่��ยวัโค$งได$อย'างป็ลื่อดภ�ย

เขึ้�ยนแผันภาพื้แรงที่��กระที่"าบนรถุได$ด�งร+ป็ควัามื่เร'งในแนวัแกน x ค�อควัามื่เร'งเขึ้$าส+'ศ+นย,กลื่าง แลื่ะควัามื่เร'งในแนวัแกน y เป็�นศ+นย,

2

sinx

vF N m

R

cos 0yF N mg

ห้ามื่มื่เอ�ยงขึ้องถุนนได$จาก

2

tanv

gR

225

tan 0.2779.8 230

1tan 0.277 15

ถุ$าเราผั+กเชื�อกเส$นต%ดก�บวั�ตถุแลื่ะเห้วั��ยงวั�ตถุเป็�นวังกลื่มื่ในระนาบด%�ง

ควัามื่เร�วัขึ้องวั�ตถุน��ไม�คงต�วัยกเวั$นที่��จดส+งสดแลื่ะต"�าสดแรงสที่ธิ์%ไม�ได$ชื��เขึ้$าห้าศ+นย,กลื่าง

ขึ้องวังกลื่มื่ที่��งแรงแลื่ะควัามื่เร'งมื่�องค,

ป็ระกอบในที่%ศส�มื่ผั�สก�บวังกลื่มื่กรณี�เป็�นการเคลื่��อนที่��แบบ

วังกลื่มื่ที่��ไม�สมื่"�าเสมื่อเราไมื่'สามื่ารถุใชื$สมื่การควัามื่เร'ง

คงต�วัเพื้��อห้าควัามื่ส�มื่พื้�นธิ์,ระห้วั'างอ�ตราเร�วัที่��ต"าแห้น'งต'างๆ ก�นได$ เพื้ราะที่��งขึ้นาดแลื่ะที่%ศที่างขึ้องควัามื่เร'งมื่�ค'าไมื่'คงต�วั

จากกฎขึ้องน%วัต�นจะได$องค,ป็ระกอบขึ้องแรงสที่ธิ์%ในที่%ศต��งฉากก�บเส$นส�มื่ผั�ส

แลื่ะองค,ป็ระกอบขึ้องแรงสที่ธิ์%ในที่%ศขึ้นานก�บเส$นส�มื่ผั�ส

แรงต)งเชื�อกที่��จดส+งสดค�อเมื่��อ = 180o แลื่ะที่��จดต"�าสด = 0o

cosF T mg ma

sinF mg ma

2vT m g

R

2vT m g

R

แลื่ะ

ตั�วอย่�างท�� ตั�วอย่�างท�� 5-65-6 ผั+$โดยสารคนห้น)�งมื่�มื่วัลื่ 60.0 kg น��งอย+'บนชื%งชื$าสวัรรค,ที่��เคลื่��อนที่��เป็�นวังกลื่มื่ร�ศมื่� 8.00 เมื่ตร ในระนาบด%�งด$วัยอ�ตราเร�วัคงต�วั แลื่ะชื%งชื$าห้มื่นครบรอบในเวัลื่า 10.0 วั%นาที่� สมื่มื่ต%เก$าอ��น� �งต��งตรงอย+'ตลื่อดเวัลื่า จงห้าแรงที่��เก$าอ��กระที่"าต'อผั+$โดยสารที่��ต"าแห้น'งส+งสดแลื่ะต"�าสดขึ้องวังกลื่มื่

v

mg

N

จากกฎขึ้องน%วัต�นที่��จดส+งสดขึ้องชื%งชื$าสวัรรค,

2

t

vF mg N m

R แรงที่��เก$าอ��กระที่"าต'อคนที่��จดส+งสด

อ�ตราเร�วัขึ้องชื%งชื$าห้าได$โดย 2 8.002

5.0310

Rv

T

m/s

2

t

vN m g

R

25.03

60.0 9.8 3988.00tN

น%วัต�น

แรงที่��เก$าอ��กระที่"าต'อคนที่��จดต"�าสด 2

B

vF N mg m

R 2

B

vN m g

R

25.03

60.0 9.8 7788.00BN

น%วัต�น

แรงโน$มื่ถุ'วังเป็�นแรงสนามื่ระห้วั'างวั�ตถุที่��กระที่"าซึ่)�งก�นแลื่ะก�น เชื'นแรงด)งด+ดระห้วั'างโลื่กก�บดวังจ�นที่ร, แรงด)งด+ดระห้วั'างโลื่กแลื่ะดวังอาที่%ตย,

กฎควัามื่โน$มื่ถุ'วังขึ้องน%วัต�น “ที่กอนภาคสสารในเอกภพื้ด)งด+ดที่กอนภาคอ��นด$วัยแรงซึ่)�งแป็รผั�นตรงก�บผัลื่ค+ณีขึ้องมื่วัลื่ขึ้องอนภาค แลื่ะแป็รผักผั�นก�บก"าลื่�งสองขึ้องระยะห้'างระห้วั'างอนภาคที่��งสองน��น”

G ค�อค'าคงต�วัสากลื่ ป็ร%มื่าณีน��มื่�ค'าเด�ยวัไมื่'วั'าวั�ตถุจะอย+'ที่��ใดก�ตามื่G = 6.67259 X 10-11 N.m2/kg2

1 22

GmmF

r

ตั�วอย่�างท�� ตั�วอย่�างท�� 5-75-7 จงห้ามื่วัลื่ขึ้องโลื่กถุ$าให้$ระยะห้'างระห้วั'างโลื่กก�บดวังจ�นที่ร,เป็�น 3.84 X 108 เมื่ตร แลื่ะวังโคจรขึ้องดวังจ�นที่ร,รอบโลื่กเป็�นวังกลื่มื่สมื่บ+รณี, โดยให้$ดวังจ�นที่ร,โคจรรอบโลื่กใชื$เวัลื่า 273. วั�นแรงด)งด+ดที่��โลื่กกระที่"าต'อดวังจ�นที่ร,จะเที่'าก�บ แรงเขึ้$าส+'

ศ+นย,กลื่างขึ้องการเคลื่��อนที่��เป็�นวังกลื่มื่รอบโลื่กขึ้องดวังจ�นที่ร, ให้$ m ค�อมื่วัลื่ขึ้องดวังจ�นที่ร, แลื่ะ M ค�อมื่วัลื่ขึ้องโลื่ก2

2

v GmMF m

R R

2RvM

G

คาบในการเคลื่��อนที่��ขึ้องดวังจ�นที่ร, 6hour min s

27.3 day 24 60 60 2.36 10 sday hour min

T

อ�ตราเร�วัขึ้องดวังจ�นที่ร,

8 36

2 3.84 1021.02 10

2.36 10

Rv

T

m/s

2RvM

Gมื่วัลื่ขึ้องโลื่ก

28 3

11

24

3.84 10 1.02 10

6.67 10

5.99 10

ก%โลื่กร�มื่