SISTIM PERSAMAAN LINIER
BENTUK UMUM
PERMASALAHAN
CARI X1 Xn SEDEMIKIAN RUPA SEHINGGA PERSAMAAN DIATAS
TERPENUHI SECARA SIMULTAN ?
BENTUK TERBATAS n = 3
nnnnjj n2n21n1
inn ijj i22 i11 i
nnjj21
nnjj21
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
baaaa
baaaa
baaaa
baaaa
2222221
1111211
3333231
2232221
1131211
baaa
baaa
baaa
321
321
321
xxx
xxx
xxx
aij , bi = KONSTANTA
Xj = VAR.YG DICARI
i = BARIS
j = KOLOM
10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB
METODE CRAMERDESKRIPSI : CARA ANALITIS DIMANA X1 Xn AKAN DIHITUNG DENGAN DETERMINANNYA.
PENYELESAIAN : UNTUK n = 3,
METODE ELEMINASI GAUSSDESKRIPSI : CARA SEMI NUMERIK DIMANA X1 Xn AKAN DIHITUNG MELALUI PROSEDUR BERIKUT :
A
Ax1
333231
232221
131211
33323
23222
13121
1
aaa
aaa
aaa
aab
aab
aab U/ X2 GANTI KOLOM 2
PEMBILANG DGN RUAS
KANAN.
U/ X3 GANTI KOLOM 3
PEMBILANG DGN RUAS
KANAN.
10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB
PENYELESAIAN : UNTUK n = 3,
BILA a11 0 FAKTOR PENGALI m1 = a21 / a11
BILA a11 = 0 PERMUTASIKAN / PERTUKARKAN LEBIH DULU
BARIS YG MENGANDUNG a11 0.
TRANSFORMASI ELEMENTER BARIS 2 DIKURANGKAN DGN
[ BARIS 1 DIKALIKAN DGN m1 ] :
ANALOOG UNTUK ELIMINASI a31 DAN a32 !!!
HASIL TRIANGGULASI ATAS :
22322
1213231222
'''
)()()(0
baa
bbaaaa
32
13121
xx
mxmxm
SISTIM PERSAMAAN
LINIER ( SEGIEMPAT )TRANSFORMASI ELEMENTER
SISTIM TRIANGGULASI
ATAS ( SEGITIGA ATAS )
333
22322
1131211
""
'''
ba
baa
baaa
3
32
321
x
xx
xxx
DEFINISIKAN FAKTOR PENGALI U/ MENGELIMINASIKAN
ELEMEN-ELEMEN KOLOM DIBAWAH DIAGONAL
10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB
HASIL PENYELESAIAN AKHIR :
KELEMAHAN :
TRANSFORMASI ELEMENTER MENGANDUNG BANYAK OPERASI
ARITMATIKA BILA n >>> MAKA OPERASI ARITMATIKA >>>
SEHINGGA KESALAHAN >>> !!!
METODE ITERASI GAUSS-SEIDEL
DESKRIPSI : CARA NUMERIK PENUH DIMANA X1 Xn AKAN
DIHITUNG MELALUI PROSEDUR BERIKUT :
11
13121
22
232
33
33
'
''
"
"
a
aab
a
ab
a
b 321
323
xx x
x xx
SISTIM PERSAMAAN
LINIER
BENTUK RUMUS
ITERASI
ITERASI S / D : X(k) X(k-1) DGN
KETELITIAN TERTENTU
PENYELESAIAN PDKT AWAL
Xj(0) , j = 1,2,3 … . . n
10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB
RUMUS ITERASI : U/ n = 3,
ASUMSI : a11 0 , a22 0 , a33 0 DAN k = ITERASI
PROSES ITERASI :
ITERASI 1 DIAMBIL P.P.A X1(0), X2
(0) DAN X3(0) :
N1,2,...,j(k)
2
(k)
1
(k)
3
1)-(k
3
(k)
1
(k)
2
1)-(k
3
1)-(k
2
(k)
1
xx x
xx x
x-x- 1
x
32313
33
23212
22
13121
11
1
1
aaba
aaba
aaba
xx x
xx x
x-x- 1
x
(1)
2
(1)
1
(1)
3
(0)
3
(1)
1
(1)
2
(0)
3
(0)
2
(1)
1
32313
33
23212
22
13121
11
1
1
aaba
aaba
aaba
10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB
ITERASI 2 DIAMBIL X1(1), X2
(1) DAN X3(1) :
DAN SETERUSNYA S / D DIPEROLEH X(k) X(k-1) DAN ITERASI
DIHENTIKAN ATAS DASAR KRITERIA :
RUMUS UMUM ITERASI : U/ ( n X n ),
xx x
xx x
x-x- 1
x
(2)
2
(2)
1
(2)
3
(1)
3
(2)
1
(2)
2
(1)
3
(1)
2
(2)
1
32313
33
23212
22
13121
11
1
1
aaba
aaba
aaba
ketelitian x-xm 1)-(k(k)(k)
N1,2,3,...,kn1,2,3,..., ji ,
(k)
j
n
1ij i i
i j1)(k
j
1-i
1j i i
i j
i i
i1)(k
i
x xxa
a
a
a
a
b
10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB
KELEMAHAN :
SANGAT PEKA THD VARIASI ANTAR ELEMEN YG KECIL
SANGAT LAMBAT KONVERGEN BILA DETERMINAN 0
PERLU DIKEMBANGKAN KRITERIA KONVERGENSI !!!
KRITERIA KONVERGENSI
BENTUK MATRIKS
BENTUK UMUM ( DIMENSI n X n ) :
n
ij1,j
i ji i aa
n
j
n
j
2
1
nnnjnn
inijii
nj
nj
x
x
x
x
b
b
b
b
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
2
1
21
21
222221
111211
BXA
atau x iji j ba
ELEMEN DIAGONAL HARUS
DOMINAN !!!
BENTUK SINGKAT :
10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB
BENTUK AUGMENTASI : U/ n x n,
BENTUK U/ n = 3 :
PENYELESAIAN DG METODE INVERSI / CRAMER / KOFAKTOR :
[A]-1 = INVERS MATRIKS A, adj [A] = ADJOINT MATRIKS A,
ij = KOFAKTOR DAN Mij = MINOR.
3333231
2232221
1131211
3
2
1
333231
232221
131211
baaa
baaa
baaa
b
b
b
aaa
aaa
aaa
3
2
1
x
x
x
ij
ji
ijji MAadjA
AadjA
BAX
)1(1
1
ji j ba
10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB
METODE CROUT ( DEKOMPOSISI MATRIKS )
DESKRIPSI : CARA SEMI NUMERIK DIMANA X1 Xn AKAN DIHITUNG
MELALUI PROSEDUR BERIKUT ,
PENYELESAIAN : U/ 3 x 3,
[ aij : bi ] = [ Lij ][ Tij : ci ]
HITUNG KOEFISIEN
Lij , Tij , Ci
PENYELESAIAN
Xj
TEKNIK INSPEKSI ( HASIL KESAMAAN
RUAS KIRI DAN KANAN )
TEKNIK SUBSTITUSI TERBALIK
PADA [ Tij : CI ]
3
223
11312
333231
2221
11
c 100
c T10
c TT1
LLL
0LL
00L
3333231
2232221
1131211
baaa
baaa
baaa
10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB
HASIL PERHITUNGAN KOEFISIEN :
PENYELESAIANNYA :
X3 = C3 X2 = C2 – T23 X3 X1 =C1 – T13 X3 – T12 X2
RUMUS UMUM DAN PENYELESAIAN :
33
2321313
22
1212
11
1
233213313312313231
22
13212312212221
11
13
11
1211
L
)cL-cLc
L
cLc
Lc
TL-TLL TLL L
L
TLT TLL L
L
T L
T L
321
333231
232221
131211
()(
)(
bbb
aaa
aaa
aaa
)1(,...,3,2,11
1
nj n2,3,4,..., i
1-i
1k
kiki
i i
i
n
1jr
rjrjjn2,3,4,..., j , ji
1-i
1k
kjiki j
i i
i j
nn n1,2,3,..., j , jikj
1j-
1k
ikiji j
, cLL
c
xTc x , TLL
T
cx , TLL
b
a
a
10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB
METODE CHOLESKI ( MATRIKS SIMETRIS )
DESKRIPSI : CARA SEMI NUMERIK DIMANA X1 Xn AKAN DIHITUNG
MELALUI PROSEDUR BERIKUT :
PENYELESAIAN : U/ 3 x 3,
[ aij : bi ] = [ Uji ][ Uij : ci ]
HITUNG KOEFISIEN
Uij , Ci
PENYELESAIAN
Xj
TEKNIK INSPEKSI ( HASIL KESAMAAN
RUAS KIRI DAN KANAN )
TEKNIK SUBSTITUSI TERBALIK
PADA [ Uij : CI ]
333
22322
1131211
332313
2212
11
c U00
c UU0
c UUU
UUU
0UU
00U
3333231
2232221
1131211
baaa
baaa
baaa
10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB
HASIL PERHITUNGAN KOEFISIEN :
PENYELESAIAN :
RUMUS UMUM ( n x n ) :
33
2321313
2
23
2
1333
12
13
22
1212
22
131223
11
12
11
1
2
122211
U
)Uc-Ucc UUU
UU
U
Ucc
U
UUU
UU
U
c UU U
323
13
22312
12211
(
)()(
ba
a
baa
baa
i i
1-i
1k
kkii
i n2,3,4,..., j
i i
1-i
1k
kjkii j
i j
n2,3,4,..., i
i
1k
2
kii ii i
U
cU
c , U
UU
U
, UU
ba
a1
11
31321211
22
32322
33
33
U
xU-xU-c x
U
xUc x
U
cx
10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB
X1
X2
( 0,0 )
1
2
1
PENYELESAIANNYA :
CONTOH SOAL :
INTEPRETASI GEOMETRIK M ITERASI SPL 2 X 2 :
1)-(n1,2,3,...,i
i i
n
1ik
kiki
i
nn
nn
, U
xUc
x
U
cx
2 X1 + X2 = 2
X1 – 2 X2 = 2
TITIK POTONG PENYELESAIAN
YANG DICARI !!!
ARAH PERGERAKAN ITERASI MENUJU
TITIK POTONG DUA KURVA KONVERGEN !!!
10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB
INVERSI MATRIKS
BENTUK MATRIKS U/ SPL DGN 3 PERSAMAAN :
DALAM BNTK SINGKAT DAN BNTK AUGMENTASI :
PENYELESAIAN :
BILA [ A ] NON SINGULAR ( A 0 ), MAKA :
ATURAN CRAMER ( METODE KOFAKTOR )
A = DETERMINAN [ A ], [ C ]T = ADJOINT [ A ].
3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211
x
x
x
b
b
b
aaa
aaa
aaa
bAA BX
Invers Matriks
11
111
X
X
ABA
IAABAAA
T C
AA
11
10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB
METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN :
AMBIL :
HASIL PERKALIAN DLM BNTK MATRIKS :
C11 , C12 , . . . , C33 DAPAT DIHITUNG, NAMUN PERHITUNGAN
MENJADI BANYAK !!!
IACCA
ccc
ccc
ccc
CA
333231
232221
131211
1
100
010
001
333231
232221
131211
333231
232221
131211
ccc
ccc
ccc
aaa
aaa
aaa
1
0
0
1
00
000
000
000
33
13
12
11
3331
31
21
11
c
c
c
c
aa
a
a
a
10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB
PENYEDERHANAAN DLM BTK AUGMENTASI :
METODE REDUKSI
AMBIL SPL DG 3 PERSAMAAN DLM BTK MATRIKS :
PROSEDUR REDUKSI :
[ Ri ] = MATRIKS PEREDUKSI, DIAMBIL SDRS HASIL PERKALIAN
AKHIR [ RI ] [ A ] = [ I ], DENGAN i = DIMENSI MATRIKS.
333231
232221
131211
333231
232221
131211
100
010
001
100
010
001
ccc
ccc
ccc
aaa
aaa
aaa
CIIA
BA
b
b
b
aaa
aaa
aaa
X
x
x
x
3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211
1,2,3i ,X ii BRAR
10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB
REDUKSI KOLOM 1 DR [ A ] [ R1 ] DIAMBIL BERIKUT :
HASIL PERKALIAN :
DALAM BENTUK SINGKAT :
BRAR
a
a
a
a
a
R 11
11
31
11
21
11
1 X
10
01
001
3
2
1
1
3
2
1
'
33
'
32
'
23
'
22
'
13
'
12
x
x
x
0
0
1
b
b
b
R
aa
aa
aa
BRA 11 X
10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB
REDUKSI KOLOM 2 DR [ A ] [ R2 ] DIAMBIL BERIKUT :
HASIL PERKALIAN :
DALAM BENTUK SINGKAT :
BRRAR
a
a
a
a
a
R X 1212
'
22
'
32
'
22
'
22
'
12
2
10
01
0
01
3
2
1
12
3
2
1
"
33
"
23
"
13
x
x
x
00
10
01
b
b
b
RR
a
a
a
BRRA 122 X
10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB