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Les fractions
Mathématiques - 5ème
Fiche de cours
AUTO-EVALUATION : Pour mesurer tes progrès et cibler tes révisions. Cette fonctionnalité sera également disponible sur notre prochain site internet interactif!Certaines divisions tombent justes. C'est par exemple le cas de la division 28 ÷ 5 qui donne 5,6.
D'autres ne s'arrêtent jamais comme par exemple :56 ÷ 3 = 18,66666666666...
Le résultat exact de cette division (quotient) est le nombre .
Remarque :VOCABULAIRE : Un dictionnaire en ligne te permettra d’accéder à tout moment aux définitions des termes mathématiques utilisés au collège. Le dictionnaire sera disponible sur notre prochain site internet interactif!
Comme nuage = en haut
1 - Définition :
Réponse :
INDICES
Les fractions - 5ème
Numérateur
= Quotient
Qu’est-ce qu’une fraction ?
Le résultat exact de la division de a par b ≠ 0 est la fraction , avec a au numérateur et b au dénominateur.
Rappel :Quotient = résultat
d’une division.
DénominateurComme descendre = en bas
25
Prends le temps de réfléchir…Si tu ne connais pas la réponse,
affiche les indices.
!!
563
2 - Cours : Dans la fraction , que désignent les nombres a et b?
Le nombre a écrit au-dessus du trait de fraction désigne le numérateur.
Il indique combien de parts on a pris.
Le nombre b écrit au-dessous du trait de fraction désigne le dénominateur.
Il indique en combien de parts on a divisé.
b
a
INDICES
Réponse :
N
D
Regarde bien les indices.Ils sont là pour t’aider à trouver la bonne réponse.
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3 - Propriété : Comment savoir si une fraction est inférieure ou supérieure à 1 ?
Règle : Une fraction est inférieure à 1 quand le numérateur est plus petit que le dénominateur.
INDICES
Réponse :
Exemples : < 1
> 1
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4 - Cours :
Il s’agit d’un nombre fractionnaire = qui est représenté sous la forme d’une fraction.
𝑎𝑏
Lorsque b est un nombre non nul (différent de 0), l’écriture est le quotient d’un nombre a par b.
Quel est le nombre qui, multiplié par b, donne a ?
b
a
INDIC
E
Réponse :
Exemple :
car
Les fractions - 5ème
𝑎𝑏×𝑏=
𝑎𝑏×𝑏1=𝑎1=𝑎
52×2=
52×21=51=5
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5 - Exercice : Complète les égalités ci-dessous pour qu’elles soient vraies :
INDIC
E 𝒂𝒃×𝒃=𝒂
16×6=1 1
5×5=1
34×4=3 11
6×6=11
78×8=7
9×139
=13
98×8=9
56×6=5
4×74=7?
?
??
?
?
?
? ?
Les réponses s’affichentune par une.
Dès que Logikanoo sera officiellement lancéet à chaque fois que cela sera possible,
tu pourras directement entrer tes réponseset connaître ton résultat.
Cette fonctionnalité concernerade nombreux exercices !
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6 - Propriété : Comment obtient-on une fraction égale à une autre ?
Pour trouver une fraction égale à une autre, on utilise la règle suivante :
Si on multiplie (ou divise) le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même nombre non nul (différent de 0), alors on obtient une fraction égale à la fraction initiale.
(avec b≠0 et c≠0)
INDIC
E
Réponse :
Exemples :
𝒂𝒃
=𝒂×𝒄𝒃×𝒄
𝒂𝒃
=𝒂÷𝒄𝒃÷ 𝒄
56=5×36×3
=1530
2515
=25÷515÷5
=53
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𝟏𝟐𝟏𝟔
=3×44×4
=𝟑𝟒
7 - Cours : Que veut dire « simplifier une fraction » ?
Simplifier une fraction consiste à l’écrire avec un numérateur et un dénominateur les plus petits possibles.
INDICES
Réponse :
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8 - Cours : Comment simplifier une fraction ?
Règle : Si on multiplie (ou divise) le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même nombre non nul (différent de 0), alors on obtient une fraction égale à la fraction initiale.
Par division→ On repère que 21 et 14 sont tous deux dans la
table de multiplication de 7.
→ Puis, on barre le 7 au numérateur et au dénominateur.
Par décomposition en produits→ On décompose 21 et 14 en produits (nombres
multipliés) contenant le nombre 7.
→ Puis, on barre le 7 au numérateur et au dénominateur.
𝟒𝟔
=2×23×2
=𝟐𝟑
𝟒𝟔
=4÷26÷2
=𝟐𝟑
INDICESOU
Réponse :
𝟐𝟏𝟏𝟒
=3×72×7
𝟐𝟏𝟏𝟒
=3×72×7
=𝟑𝟐
Remarque : On ne peut pas simplifier davantage.
𝟐𝟏𝟏𝟒
=21÷714÷7
𝟐𝟏𝟏𝟒
=21÷714÷7
=𝟑𝟐
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9 - Exercice :
5664
=7×88×8
=78
INDIC
E
Simplifie au maximum chacune des fractions suivantes :
𝟐𝟏𝟏𝟒
=3×72×7
=𝟑𝟐
6345
=7×95×9
=75
2849
=7×47×7
=47
2674
=13×237×2
=1337
1535
=3×57×5
=37
1845
=9×29×5
=25
5616
=8×78×2
=72
Les fractions - 5ème
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10 - Exercice : Ecris chacun des nombres suivants sous la forme d’une fraction de dénominateur égal à 100 :
2920
=29×520×5
=145𝟏𝟎𝟎
1,45=145𝟏𝟎𝟎
1825
=18×425×4
=72100
74=7×254×25
=175100
0,8=810
=8×1010×10
=80100
0 ,45=45100
INDIC
E
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11 - Propriété :
Réponse :
Comment comparer 2 nombres en écriture fractionnaire ?
Si 2 fractions ont le même dénominateur
Si 2 fractions ont le même numérateur
Si 2 fractions n’ont pas le même dénominateur
Règle : Pour comparer deux fractions ayant le même dénominateur, il suffit de comparer les numérateurs : la fraction ayant le plus grand numérateur est la plus grande.
Exemples :
Règle : Pour comparer 2 fractions ayant le même numérateur, il suffit de comparer les dénominateurs : la fraction ayant le plus grand dénominateur est la plus petite.
Exemples :
Règle : Pour comparer 2 fractions n’ayant pas le même dénominateur, on modifie l’écriture des fractions pour qu’elles aient le même dénominateur.
Exemples :
2𝟔
<5𝟔
12𝟏𝟓
>8𝟏𝟓
𝟖15
<𝟖3
𝟏𝟎3
>𝟏𝟎9
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒 :25𝑒𝑡720
25=2×45×4
=8𝟐𝟎
𝐶𝑜𝑚𝑚𝑒 :8𝟐𝟎
>7𝟐𝟎
𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠25>720
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12 - Exercice :
220et920
47et2328
Compare les fractions suivantes :
21𝟏𝟕
>8𝟏𝟕
INDICES
𝟏𝟕21
<𝟏𝟕8
216et78
78=7×28×2
=14𝟏𝟔
2𝟏𝟔
<14𝟏𝟔
2𝟏𝟔
<7𝟖donc
220
<920
25et920
167et1615
167
>1615
Les fractions - 5ème
25=2×45×4
=820
820
<920donc
25<920
47=4×47×4
=16281628
<2328donc
47
<2328
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13 - Définition :
Un nombre décimal est un nombre qui a une écriture à virgule finie.
Qu’est-ce qu’une fraction décimale ?
Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 10; 100; 1 000; 10 000…
INDICES
Réponse :
Exemple :
Rappel :
45100
2341000
2110
24100
;28510;51210000
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Réponse :
14 - Cours : Comment effectuer une division dont le diviseur est décimal ?
Règle : On multiplie le numérateur et le dénominateur par 10, 100 ou 1000… afin que le dénominateur soit entier.
Exemple :
354,25
=3500𝟒𝟐𝟓
X 100
354÷6,71=3546,71
=354×1006,71×100
=35400671
=35 400÷671=52,76
X 100INDIC
E
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28,4÷ 0,165=28,40,165
=28,4×10000,165×1000
=28 400165
42,1÷19,4=42,119,4
=42,1×1019,4×10
=421194
93,7÷ 0,135=93,70,135
=93,7×10000,135×1000
=93700135
87,6÷ 0,38=87,60,38
=87,6×1000,38×100
=876038
15 - Exercice : Transforme les divisions suivantes en division dont le diviseur est un nombre entier :
25𝟕 ,𝟔
250𝟕𝟔
Nombre décimal Nombre entier
=X 10
X 10INDIC
E
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INDIC
E
16 - Cours : Comment additionner ou soustraire deux fractions ayant le même dénominateur ?
4𝟑
+2𝟑
+1𝟑
=7𝟑
Dans une suite d’additions, on peut changer l’ordre des termes et les regrouper pour simplifier les calculs.
Règle : Pour additionner (ou soustraire) deux fractions ayant le même dénominateur, il faut :- Additionner (ou soustraire) les deux
numérateurs.- Conserver leur dénominateur commun.
Réponse :
Rappel :
Exemple :2𝟑
4𝟑
1𝟑+ + =
𝒂𝒃
+𝒄𝒃
=𝒂+𝒄𝒃
𝒂𝒃−𝒄𝒃
=𝒂−𝒄𝒃
(avec b≠0)
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79−49=7−49
=39=1×33×3
=13
5520
+4020
=55+4020
=9520
=19×54×5
=194
6136−5436
=61−5436
=736
910
+2710
=9+2710
=3610
=18×25×2
=185
17 - Exercice : Effectue les calculs suivants et donne le résultatsous la forme d’une fraction simplifiée :
𝒂𝒃
+𝒄𝒃
=𝒂+𝒄𝒃
𝒂𝒃−𝒄𝒃
=𝒂−𝒄𝒃 (avec b≠0)INDICES
Les fractions - 5ème
1525
+3425
=15+3425
=4925
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INDIC
E
18 - Cours : Comment additionner ou soustraire deux fractionsn’ayant pas les mêmes dénominateurs ?
Règle : Pour additionner deux fractions, il faut transformer chaque fraction en fraction équivalente, mais en prenant soin de donner à chaque nouvelle fraction le même dénominateur, de telle sorte qu’elles aient « un dénominateur commun », on dit communément aussi « réduire au même dénominateur».
4𝟓
+3𝟏𝟎
=4×2𝟓×𝟐
+3𝟏𝟎
=8𝟏𝟎
+3𝟏𝟎
=8+3𝟏𝟎
=11𝟏𝟎
« On ne mélange pas les torchons et les serviettes »
1 10+1 10
+1 10
+
Réponse :
Attention : Dans les calculs de nombres en écriture fractionnaire, avant d’effectuer les calculs, pense à simplifier chacune des écritures fractionnaires si c’est possible.
Exemple :
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INDIC
E
19 - Exercice :
49−727
=4×39×3
−727
=12−727
=527
32−712
=3×62×6
−712
=18−712
=1112
58+52=58+5×42×4
=5+208
=258
87−435
=8×57×5
−435
=40−435
=3635
914
+67=914
+6×27×2
=9+1214
=2114
=3×72×7
=32
74−740
=7×104×10
−740
=7 0−740
=6340
1ère étape = réduis les fractions au même dénominateur,
2ème étape = calcule la somme ou la différence des numérateurs des fractions obtenues,
3ème étape = conserve le dénominateur commun.
Effectue les calculs suivants et donne le résultat sous la forme d’une fraction simplifiée :
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20 - Cours : Comment multiplier deux fractions ?
Règle : Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
(avec
Attention : Pense à simplifier si c’est possible avant de terminer les calculs.
INDIC
E
Réponse :
Exemples :
𝒂𝒃×𝒄𝒅
=𝒂×𝒄𝒃×𝒅 𝒂×
𝒄𝒅
=𝒂×𝒄𝒅
𝒂𝟏×𝒄𝒅
=𝒂×𝒄𝟏×𝒅
=𝒂×𝒄𝒅
73×95=7×93×5
=6315
4×1520
=4×3×54×5
=4𝟏×34=4×34
=3
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21 - Exercice :
350×109
=1×32×5×5
×2×53×3
=15×3
=115
INDICES
Effectue les calculs suivants et donne le résultat sous la forme d’une fraction :
𝒂𝒃×𝒄𝒅
=𝒂×𝒄𝒃×𝒅 𝒂×
𝒄𝒅
=𝒂×𝒄𝒅
2063×818
=5×47×9
×9×92×4
=5×97×2
=4514
7×2412
=7×2×121×12
=7×21=7×21
=141
=14
13×25=1×23×5
=215
Multiplie
Vérifie qu’on ne peut pas simplifier
7𝟏
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22 - Règle : Dans un calcul comportant plusieurs opérations, quelles sont les priorités à respecter?
Règle : Dans un calcul comportant plusieurs opérations, on doit :
1. D’abord, s’occuper des parenthèses.2. Puis, effectuer les multiplications et
les divisions.3. Enfin, on doit faire les additions et
les soustractions.
34×(𝟕𝟓+𝟖
𝟓 )− 720=34×7+85−720
Réponse :
A savoir : Lorsqu’aucune opération n’est prioritaire sur une autre (par exemple une addition suivi
d’une soustraction), on doit effectuer le calcul de la gauche vers la droite, comme si on lisait.
S’il n’y a que des additions ou que des multiplications, on peut faire les calculs dans n’importe quel ordre.
Cas particulier du trait de fraction:
¿𝟑𝟒×𝟏𝟓𝟓−720
¿3×154×5
−720
¿𝟒𝟓𝟐𝟎
−𝟕𝟐𝟎
¿45−720
¿3820
¿1910
Les parenthèses autour du numérateur et du dénominateur sont sous-entendues.
INDIC
E
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INDIC
E
23 - Exercice :
7 =
Attention aux priorités dans les calculs
Il faut effectuer les calculs dans l’ordre suivant :- Les calculs entre parenthèses.- Les multiplications et les divisions (de gauche à droite).- Les additions et les soustractions (de gauche à droite).
25+310−3×14×5
¿25+310−320
¿2×45×4
+3×210×2
−320
¿820
+620−320
¿8+6−320
Effectue les calculs suivants et donne le résultat sous la forme d’une fraction simplifiée :
12+53×14=¿ 2
5+310−34×15=¿
7×3+57
¿7×87
¿8
12+5×13×4
¿12+512
¿1×62×6
+512
¿612
+512
¿6+512
¿1112 ¿
1120
¿12+512
¿612
+512
¿25+310−320
¿1×62×6
+512 ¿
2×45×4
+3×210×2
−320
¿820
+620−320
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Fin
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